一个积分方程问题

设函数$f(x)$可导,且满足方程$f(x)=x+\int_{0}^{x}(x-t)f'(t)dt$,求$f(x)$
已邀请:

Math001

赞同来自: 马桶圈凉

整理一下得到
$f(x)=x+x\int_0^xf'(t)dt-\int_0^xtf'(t)dt$

两边求导有
$f'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt$

两边在求导有
$f''(x)=f'(x)$

解这个微分方程的通解为
$f(x)=C_1+C_2e^x$

注意到,$f(0)=0,f'(0)=1$

得到$C_1+C_2=0,C_2=1$

于是又$C_1=-1,C_2=1$,有$f(x)=e^x-1$

黑色天空

赞同来自:

问问这个

[已注销]

赞同来自:

给你分享一个学霸云集的高数群吧,里面有全国各地的大神,以后有什么不懂的问题可以去问他们,群文件里还有很多经典的高数资料,需要自取,群号517441734

要回复问题请先登录注册