近世代数基础一个计算题

设$\sigma ={{1234567}\choose{5 6 1 3 7 2 4 }}$,$\tau ={{1234567}\choose{3 7 1 5 6 4 2 }}$,计算${σ}^{2009}$${τ}^{2010}$
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Math001

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先写成不相交交轮换的形式

$\sigma=(15743)(26)$ 以及$\tau=(13)(27)(456)$

注意到不交轮换是可以交换的于是

$\sigma^{2009}=((15743)(26))^{2009}=(15743)^{2009}(26)^{2009}$
$=(15743)^{5\cdot402-1}(26)^{2\cdot1004+1}$
$=(15743)^{-1}(26)^{}$
$=(13475)(26)$
$={{1234567}\choose{3647125}}$

同样的办法,可得$\tau^{2010}=(1)$

于是,结果是${{1234567}\choose{3647125}}$

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