博弈论 3人枪战 生存率问题

博弈论的极端

$3$个人$A$、$B$、$C$要以枪战的方式解决恩怨,他们每轮以$A\to B\to C$的顺序($A$先开枪),选择向除自己以外的其他一个人射一发子弹 或故意射偏(其他人并不知道是故意)。已知$A$、$B$、$C$的命中率分别为$\cfrac{2}{3}$、$\cfrac{7}{20}$及$\cfrac{1}{9}$。

若三个人都知道对方的命中率,且枪战最终结果只有一人存活。每个人都想使自己的生存率最高,求$C$的射击策略是什么?及$C$的生存率?

(提示:他们的原则是先解决恩怨,再去保命。即:每个人更希望成为$\underline{唯一}$的生还者)
已邀请:
$两人的时候,会相互开枪,不会放空枪
\\所以三人时,如果要开枪,总会选择射击对面两人中命中率高的人,故BC都只会对A开枪,
\\所以A不能坐以待毙,只有反击,每轮都会开枪打B,B也只会打A,直到有人死亡
\\C在AB有一人死之前,如果开枪射击命中A或B,剩下一人都会马上射击C,这时C为后手。
\\故C应该在AB两人存活时放空枪,并且在AB一人死之后立即开枪射击活下的人,这样有先手优势
\\\
\\
设A,B,C的命中率分别为a,b,c,a>b>c,C的存活率为
\\\sum_{n=0}^{\infty}{(1-a)(1-b)}^{n}a*\sum_{k=0}^{\infty}{(1-a)(1-c)}^{k}c+\sum_{n=1}^{\infty}{(1-a)}^{n}{(1-b)}^{n-1}b*\sum_{k=0}^{\infty}{(1-b)(1-c)}^{k}c
\\=\cfrac{a}{1-(1-a)(1-b)}\cfrac{c}{1-(1-a)(1-c)}+\cfrac{b(1-a)}{1-(1-a)(1-b)}\cfrac{c}{1-(1-c)(1-b)}
=\cfrac{125}{893}

\\\ \\\
注意到\cfrac{a}{1-(1-a)(1-b)}+\cfrac{b(1-a)}{1-(1-a)(1-b)}=1,即C的存活率大于与B对拼并先开枪\\的存活率(\cfrac{c}{1-(1-c)(1-b)}),小于A对拼且先开枪的存活率(\cfrac{c}{1-(1-a)(1-c)}),
\\前半句话意为:菜鸟可以采取策略在一定程度上提高自己的存活率
\\后半句话意为:菜鸟还是菜鸟,策略只能提高一部分存活率,提高实力(命中率)才是王道




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