请教极大理想与模的相关问题

设$R$是一个含幺交换环,$M$是$R$-模,对$R$的任一极大理想$\mathfrak{a}$,都有$\mathfrak{a}M=M$, 请问是否一定有$M=0$?
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嗓威/qq

赞同来自: 大佬蒋

不一定哦,反例这么找,注意到M/aM同构于A/a tensor 上M,因此自然想到fiber,设B是flat A代数,诱导了specB到specA的限制映射,让这个映射不是满的(很多这样的限制映射都不是满的,atiyah46页给了满的充分必要条件,用第三条造不满的),这样取一个A的素理想p没有原像,接着对A作p局部化得到局部环Ap,这就是本题我们要找的反例的R,一般记对应的residue field为k(p),接着利用fiber of f* over p的性质(atiyah 47页),设Ap到Bp的映射为f,则Ap的那个极大理想的限制映射原像恰好就是k(p) tensor 上 Bp,而注意到p在原来的限制映射里没有原像,通过局部化那个交换图可以很容易得到这个极大理想在限制映射下也没有原像,从而这个tensor product为0,但是Bp并不是0.

shuai_shi - 中科院基础数学在读

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举个反例:令$R$是整数环$\mathbb{Z}$,则极大理想为$\mathbb{Z}_2$。再让$M=\mathbb{Z}_2$,显然$M$是$\mathbb{Z}$-模,满足你的条件。

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