一道积分证明题

$f(x)$是闭区间$[a,b]$上的可积函数,求证:对任意$\varepsilon>0$ 存在连续函数,$p(x)$和$q(x)$,使得$p\leq f\leq q$ 且$\int_a^b (q(x)—p(x))<\varepsilon$
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Math001

赞同来自: 勿忘初衷 大佬蒋

对于一个黎曼可积函数,用阶梯函数上下逼近即可。所以我们考察阶梯函数的情况。


设$a=a_1<a_2<\cdots<a_n=b$

对一个$[a,b]$的阶梯函数

$g(x)=\begin{cases}c_i,& a_i\le x< a_{i+1},1\le i< n-1\\c_{n-1}&a_{n-1}\le x\le b\end{cases}$

设$g(x)$在这个区间最大最小值之差为$K$

对任意$\epsilon>0$,令$\epsilon'=\dfrac{\epsilon}{n(K+1)}$,再不妨$\epsilon'<\min_i\{a_{i+1}-a_i\}/2$

定义函数$h(x)$

若$c_i\le c_{i+1}$则令$h(x)=\begin{cases}c_i& a_i\le x<a_{i+1}-\epsilon'\\\dfrac{c_{i+1}-c_i}{\epsilon'}(x-a_{i+1}+\epsilon')+c_i&a_{i+1}-\epsilon'\le x<a_{i+1}\\c_{i+1}&a_{i+1}\le x<a_{i+2}\end{cases}$

否则,责令$h(x)=\begin{cases}c_i& a_i\le x<a_{i+1}\\\dfrac{c_{i+1}-c_i}{\epsilon'}(x-a_{i+1})+c_i&a_{i+1}\le x<a_{i+1}+\epsilon'\\c_{i+1}&a_{i+1}+\epsilon'\le x<a_{i+2}\end{cases}$

显然$h(x)$连续,$h(x)\ge g(x)$

且$h(x)-g(x)$的非零部分至多只在$n-1$个长度为$\epsilon'$的区间上取得。而且在这些区间上,上下确界相差$|c_i-c_{i+1}|\le K$

于是$\int_a^b(h(x)-g(x))dx<(n-1)K\epsilon'<\epsilon$

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