有界闭区间上连续函数列的极限函数的连续点集是稠密的

$f_n:[a,b]\to R$,$f_n$均连续
$f_n(x)\to f(x) , n\to \infty$
证明:$f(x)$的连续点集在$[a,b]$上稠密。
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Math001

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对任意的开区间$I$,定义$\omega_f(I)=\sup\limits_{x\in I}f(x)-\inf\limits_{x\in I}f(x)$

对任意的$x\in [a,b]$,定义$\omega_f(x)=\lim\limits_{\delta\to0}\omega_f((x-\delta,x+ \delta))$

显然$f(x)$在$x=x_0$连续,当且仅当,$\omega_f(x_0)=0$

还容易知道,对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)<\epsilon\}$是开集,这意味着对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)\ge\epsilon\}$是闭集。

于是,我们来证明对固定$q\in\mathbb{Q}^+$,闭集$F_q=\{x:\omega_f(x)\ge5q\}$是无处稠密的。

只需要证明,对任意闭区间$I\subset [a,b]$,$I\setminus F_q$非空。

取定闭区间$I$,在$I$中考虑$E_k=\bigcap\limits_{i,j\ge k}\{x:|f_i(x)-f_j(x)|\le q\}$

显然$E_k$单调递增,且$\bigcup\limits_{k}E_k=I$

而由$f_i,f_j$的连续性得到每个$E_k$是闭集。

于是由Baire纲定理存在$k$,使得$E_k$包含一个开区间$J$

在$J$中有$|f_i(x)-f_j(x)|\le q$对任意$i,j\ge k$成立

于是,令$i=k,j\to\infty$有$|f(x)-f_k(x)|\le q$成立

取$a\in J$有,存在一个包含$a$的区间$J'$,在$J'$中有$|f_k(x)-f_k(a)|\le q$

于是在$J'$中有$|f(x)-f_k(a)|\le 2q$,

得到在$J'$中$\omega_f(x)\le 4q$

说明$J'\subset I\setminus F_q$,即是说,右边非空。

得$F_q$是无处稠密的。

而$f$的不连续点集为$\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}^+}F_q$是第一纲集合。

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一楼好有学问。

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对任意的开区间$I$,定义$\omega_f(I)=\sup\limits_{x\in I}f(x)-\inf\limits_{x\in I}f(x)$

对任意的$x\in [a,b]$,定义$\omega_f(x)=\lim\limits_{\delta\to0}\omega_f((x-\delta,x+ \delta))$

显然$f(x)$在$x=x_0$连续,当且仅当,$\omega_f(x_0)=0$

还容易知道,对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)<\epsilon\}$是开集,这意味着对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)\ge\epsilon\}$是闭集。

于是,我们来证明对固定$q\in\mathbb{Q}^+$,闭集$F_q=\{x:\omega_f(x)\ge5q\}$是无处稠密的。

只需要证明,对任意闭区间$I\subset [a,b]$,$I\setminus F_q$非空。

取定闭区间$I$,在$I$中考虑$E_k=\bigcap\limits_{i,j\ge k}\{x:|f_i(x)-f_j(x)|\le q\}$

显然$E_k$单调递增,且$\bigcup\limits_{k}E_k=I$

而由$f_i,f_j$的连续性得到每个$E_k$是闭集。

于是由Baire纲定理存在$k$,使得$E_k$包含一个开区间$J$

在$J$中有$|f_i(x)-f_j(x)|\le q$对任意$i,j\ge k$成立

于是,令$i=k,j\to\infty$有$|f(x)-f_k(x)|\le q$成立

取$a\in J$有,存在一个包含$a$的区间$J'$,在$J'$中有$|f_k(x)-f_k(a)|\le q$

于是在$J'$中有$|f(x)-f_k(a)|\le 2q$,

得到在$J'$中$\omega_f(x)\le 4q$

说明$J'\subset I\setminus F_q$,即是说,右边非空。

得$F_q$是无处稠密的。

而$f$的不连续点集为$\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}^+}F_q$是第一纲集合。

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