R^1中是否存在不含有理数的不空完全集

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令$\{p_n\}$为所有有理数的序列。对于任意$n$,定义$I_n = (p_n - 2^{-n}, p_n+2^{-n})$,那么$E = \mathbb{R} - \bigcup I_n$是一个不含有理数、测度无穷大的闭集。只要证明$\mathbb{R}$中任何一个闭集都是一个完全集和一个可数集的集合,就可以得到一个$E$的不含有理数的非空完全子集。

证明:假设$E$是$\mathbb{R}$的一个闭子集。令$\{B_n\}$为$\mathbb{R}$的一个可数基,定义$W$为所有和$E$交集至多可数的$B_n$的并集,取$P = \mathbb{R}-W$。对于$P$的任意元素$p$,$p$的任意邻域和$E$的交集都不可数(否则存在包含$p$、与$E$交集可数的$B_m$),所以$P$没有孤点。因为$P$是闭集,所以$P$是完全集。如果$E$是闭集,那么$P\subset E$。

注意:这个结论不仅对$\mathbb{R}$适用,对任意第二可数空间都适用。

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