一道极限题

已知$0<{x}_{1}<1$,${x}_{n+1}=\sin{x}_{n}$,证明数列$\{\sqrt{n}$${x}_{n}\}$单调递增有上界,并求其极限。
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易知,$x_n\to0,n\to\infty$,于是容易得到$\lim\limits_{n\to\infty}(\cfrac{1}{\sin^2 x_n}-\cfrac{1}{x_n^2})=\dfrac{1}{3}$


于是$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{nx_n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}(\dfrac{1}{nx_n^2}-\dfrac{1}{nx_1^2})= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (\dfrac{1}{x_{k+1}^2}-\dfrac{1}{x_k^2})$

有Stolz定理可得上面极限为 $\lim\limits_{n\to\infty}(\dfrac{1}{x_{n}^2}-\dfrac{1}{x_{n-1}^2})=\lim\limits_{n\to\infty}(\cfrac{1}{\sin^2 x_{n-1}}-\cfrac{1}{x_{n-1}^2})=\dfrac{1}{3}$

于是$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}x_n=\sqrt{3}$

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看不懂。

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