求泛函分析中关于巴拿赫空间的一个例子

设R是一个线性赋范空间,若M是R的子空间,且N是R的一个有限维子空间,则它们的和M+N={x+y:x$\in$M,y$\in$N}是闭的。举出${l}_{2}$中两个闭线性子空间和不闭的例子
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Manifold

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$M+N$不一定是闭的。反例:$M$不是闭的,$N$是$M$的子空间。

如果$M$是闭的,那么$M+N$也是闭的。证明:令$\pi:R\to R/M$为商映射,则$M+N = \pi^{-1}(\pi(N))$。因为$\pi(N)$是$R/M$的有限维子空间,所以$\pi(N)$在$R/M$中是闭的,根据连续性$M+N$在$R$中也是闭的。

举例子:自己想。

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