极限求值问题

$\lim\limits_{x \to +∞}x[\ln(e+\dfrac{1}{x})-1]$
为什么要令$t=\dfrac{1}{x}$,$t\to0$来解,不能直接用x趋向正无穷来解呢

感觉两个都能解出来,但是答案不同
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令$t=\dfrac{1}{x}$

则$原式=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\ln(e+t)-1}{t}=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\frac{1}{e+t}}{1}$

$=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{1}{e+t}=1/e$

如果不用替换有

$原式=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(\frac{ex+1}{x})-1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln({ex+1})-\ln x-1}{\frac{1}{x}}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{e}{ex+1}-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{ex+1}=1/e$

结果一样。

暗者

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正无穷乘0是不等于0的

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