与素数和整除性有关的数论问题

对任意素数$p$, 证明:

$(\sum\limits_{k=0}^{p-1}2^{k(2^p-1)})+(2^p-1)^{2^p-1}$
都能被$2^p(2^p-1)^2$整除。
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记$S=(\sum\limits_{k=0}^{p-1}2^{k(2^p-1)})+(2^p-1)^{2^p-1}$
要证明S能被$2^p(2^p-1)^2$整除,只要证明S能被$2^p$和$(2^p-1)^2$整除。
一、证明S能被$2^p$整除
$S=1+(\sum\limits_{k=1}^{p-1}2^{k(2^p-1)})+(2^p-1)^{2^p-1}≡1+(-1)^{2^p-1}≡0 (mod 2^p)$
二、证明S能被$(2^p-1)^2$整除
$ S=(2^{(2^p-1)p}-1)/(2^{2^p-1}-1)+(2^p-1)^{2^p-1}≡(2^{(2^p-1)p}-1)/(2^{2^p-1}-1) (mod (2^p-1)^2)$
要证明S能被$(2^p-1)^2$整除,只要证明$(2^{(2^p-1)p}-1)/(2^{2^p-1}-1)$能被$(2^p-1)^2$整除。
设质数q整除$2^p-1$,所以$2^p≡1 (mod q)$,设2对模q的指数是δ,所以δ整除p,所以δ=p。
若$2^{2^p-1}-1≡0 (mod q)$,则δ整除$2^p-1$,所以p整除$2^p-1$,但是$2^p≡2 (mod p)$,所以q不能整除$2^{2^p-1}-1$,
所以$2^{2^p-1}-1$与$(2^p-1)^2$互质,所以只要证明$2^{(2^p-1)p}-1$能被$(2^p-1)^2$整除。
$2^{p(2^p-2)}+2^{p(2^p-3)}+2^{p(2^p-4)}+...+2^p+1
≡1^{2^p-2}+1^{2^p-3}+1^{2^p-4}+...+1+1≡2^p-1≡0 (mod 2^p-1)$
所以$2^{p(2^p-1)}-1=(2^p-1)(2^{p(2^p-2)}+2^{p(2^p-3)}+2^{p(2^p-4)}+...+2^p+1)≡0 (mod (2^p-1)^2)$

Princess Charlotte

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我是来问下怎么发帖啊,这里写什么?

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