【不定积分】分母为根式的乘积

题目:
$\int \cfrac{1}{\sqrt{x^2+2}\sqrt{x^2+6}}{\mathrm{d} x}$


我的解法(断路了):
原式 $I= \int
\cfrac{\cfrac{1}{x^2+2}}{\sqrt{\cfrac{x^2+2+4}{x^2+2}}}
{\mathrm{d} x}$
$=\int
\cfrac{(\cfrac{2}{\sqrt{x^2+2}})^{2}/2^2}{\sqrt{1+
(\cfrac{2}{\sqrt{x^2+2}})^{2}}}
\cdot
\cfrac{{\mathrm{d} (\cfrac{2}{\sqrt{x^2+2}})}}
{-2x(\cfrac{2}{\sqrt{x^2+2}})^{3}/2^{3}}$
令 $u=\cfrac{2}{\sqrt{x^2+2}}$,化简得
$=-\int \cfrac{1}{\sqrt{1+u^2}\sqrt{4-2u^2}} {\mathrm{d} u} $

好,接下来没辙了。


另外,

用 W|A 计算引擎得到的结果是:
-(i EllipticF(i sinh^(-1)(x/sqrt(2)), 1/3))/sqrt(6)
——(居然)包含了复数、椭圆积分、双曲函数……
链接:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(sqrt(x%5E2%2B2)*sqrt(x%5E2%2B6))
结果图片:
https://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP39701dcfae170541g7da00005g9669e3g03ef710?s=11

但它完全不给看演算过程了。


所以向大大们请教。拜谢!
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MathematicaV9

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这是一个椭圆积分,无初等表达式。

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