请教一道数列与函数极限的证明题

设$\textit{f}$$\left(x \right)$在$\left( a,+∞\right)$上严格单调上升,若$\lim\limits_{n \to ∞}$$\textit{f}$$\left({x}_{n} \right)$$=$$\lim\limits_{x \to +∞}$$\textit{f}$$\left(x \right)$,求证:$\lim\limits_{n \to ∞}$${x}_{n}$$=$$+$$∞$
并叙述去掉“严格”有怎样的反例
大一期中题,求思路QAQ
(还有$\lim\limits_{n \to ∞}$$\textit{f}$$\left({x}_{n} \right)$$=$$\lim\limits_{x \to +∞}$$\textit{f}$$\left(x \right)$这里请问需要讨论极限值为$+$$∞$、$-$$∞$这些吗?)
感觉像是用$Heine$定理,又有点怪怪的
先膜$Dalao$
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Math001

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由题意$K=\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$为$f(x)$取不到的上确界。

若 $\{x_n\}$ 的下极限为有限数$M$,则$x_n$存在子列使得$f(x_n)$收敛于$ f(M)<K$,得到矛盾。

若$\{x_n\}$的下极限为$-\infty$,于是$f(x_n)$的极限必然小于$f(x_1)<K$矛盾。

于是$\{x_n\}$ 的下极限为$+∞$,得到结果。

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