齐次理想的nilpotent radical也是齐次的

设$\mathfrak a$是一个homogeneous ideal,设$a\in \sqrt{\mathfrak a}$.
则存在正整数$n$使得$a^n\in \mathfrak a$.
将$a$写成degree由小到大的homogeneous elements之和。
$a = a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_k}$
$( a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_k})^n\in \mathfrak a$.
$\because a_{i_1}^n\in \mathfrak a$,
$\therefore a_{i_1}\in \sqrt{\mathfrak a}$.
又$\because ( a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots+a_{i_k})^n\in \sqrt{\mathfrak a}$.
$\therefore ( a_{i_2}+a_{i_3}+\cdots+a_{i_k})^n\in \sqrt{\mathfrak a}$
由完全归纳知, $a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_k} \in\sqrt{\mathfrak a}$.
Hence,$\sqrt{\mathfrak a}$ is also a homogeneous idea.

$(S_{(f)})_{\varphi (\mathfrak p)}\to S_{(\mathfrak p)}$
$\frac{\frac{a}{f^k}}{\frac{b}{f^n}}\mapsto \frac{af^n}{bf^k}$
$\because \mathfrak p\in D_+(f)$,
$\therefore f\notin \mathfrak p$.
假设$b\in \mathfrak p$,
由$\varphi$的定义
$\varphi: D_+(f)\to \mathrm{Spec}S_{(f)}$
$\mathfrak p\mapsto \mathfrak pS_f\cap S_{(f)}$
得$\frac{b}{f^n}\in \varphi (\mathfrak p)$,
推出矛盾,
$\therefore b\notin \mathfrak p$


$A_1\times A_2\to A$
$(ea,(1-e)b)\mapsto ea+(1-e)b$
易知这是个环同态。
$\because (ea,(1-e)a)\mapsto a$
$\therefore 这是满射.$
如果$ea+(1-e)b=0$,
则$e(ea+(1-e)b)=0$,
$\therefore ea=0$,
又$(1-e)(ea+(1-e)b)=0$,
$\therefore (1-e)b=0$,
$\therefore$这是个单射,
$\therefore$这是个同构。

$\bar{\bar{\{y\}}}$
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