关于柯西列的证明题,求详细证明步骤,麻烦了

题目:
柯西列:
对于实数列${x}_{1}$${x}_{2}$${x}_{3}$...,对于任意$\varepsilon$$>$0,存在整数${n}_{0}$$>$0,使得全部整数${k}_{1}$${k}_{2}$$\geq$${n}_{0}$有$\left|{x}_{{k}_{1}}-{x}_{{k}_{2}} \right|$$<$$\varepsilon$成立(即数列单调减少且有下界)的实数列为柯西列。
求证:
1)${c}_{n}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\cfrac{1}{k}$

a) 证明对于 ${d}_{n}$=$\sum_{k=1}^{n}$${\cfrac{1}{2}}^{\left\lfloor {log}_{2} k\right\rfloor}$($\left\lfloor v \right\rfloor$是小于v的最大整数)。任意整数n$>$0有${c}_{n}$$\geq$$\cfrac{{d}_{n}}{2}$

b)证明实数列${d}_{1}$${d}_{2}$${d}_{3}$...不是柯西列;并证明实数列${c}_{1}$${c}_{2}$${c}_{3}$不是柯西列

2)${f}_{n}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\cfrac{1}{k}$-${log}_{e}$n证明
a) 任意整数${m}_{1}$及${m}_{2}$,若0$\leq$${m}_{1}$$\leq$${m}_{2}$,有${log}_{e}$(${m}_{2}$+1)-${log}_{e}$${m}_{1}$$\leq$$\sum_{k={m}_{1}}^{{m}_{2}}$$\cfrac{1}{k}$

b)证明${f}_{n}$为柯西列。
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