# Stacks Project 1947页光滑流形之间映射光滑性的充要条件的证明

Stacks Project 1947页有这么一个assertion:
And any map $f: M\to N$ of manifolds is smooth if and only if for every local section $h$ of $\mathcal C_{N}^{\infty}$ the composition $h\circ f$ is a local section of $\mathcal C_{M}^{\infty}$.

$\forall a\in M$, 在$N$中选定一个光滑chart $(V,\varphi)$ such that $f(a)\in V$. 假设$N$是$n$维光滑流形，则复合映射$\chi_i:V\to \varphi(V)\overset{p_i}{\rightarrow} \Bbb R$是一个光滑函数，即a local section of $\mathcal C_{N}^{\infty}$, 其中$p_i(1\le i\le n)$是到第$i$个分量的投影映射。