Stacks Project 1947页光滑流形之间映射光滑性的充要条件的证明

Stacks Project 1947页有这么一个assertion:
And any map $f: M\to N$ of manifolds is smooth if and only if for every local section $h$ of $\mathcal C_{N}^{\infty}$ the composition $h\circ f$ is a local section of $\mathcal C_{M}^{\infty}$.

充分性证明:
$\forall a\in M$, 在$N$中选定一个光滑chart $(V,\varphi)$ such that $f(a)\in V$. 假设$N$是$n$维光滑流形,则复合映射$\chi_i:V\to \varphi(V)\overset{p_i}{\rightarrow} \Bbb R$是一个光滑函数,即a local section of $\mathcal C_{N}^{\infty}$, 其中$p_i(1\le i\le n)$是到第$i$个分量的投影映射。
根据assertion的条件,则$\chi_i\circ f: f^{-1}(V)\to \Bbb R$ is a local section of $\mathcal C_{M}^{\infty}$, 即是一个光滑函数,则存在光滑chart $(U_i, \psi_i)$使得$a\in U_i$并且$(\chi_i\circ f)\circ \psi_i^{-1}$是光滑的。令$W=\cap_{1\le i\le n}U_i$, 则$(W, \psi_1|_W)$是一个光滑chart, 并且$a\in W$, $f(W)\subset V$, $\varphi\circ f\circ(\psi_1|_W) ^{-1}$是光滑的。

必要性证明:
略。
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