扶磊《代数几何》56页注释(2)

We may find a natural number $N$ such that $S_k\otimes_AA_p/pA_p=0$ for any $k\ge N$. By Nakayama's lemma, we have $S_k\otimes_AA_p=0$ for any $k\ge N$.

显然$S_k\otimes_AA_p$就是Nakayama's lemma中说的那个模$M$, 但是它不一定是$A$-有限生成模。
我们注意到$S_k\otimes_AA_p$的右边是$A_p$,并且它是$A_p$-有限生成模,看到希望了。
$A_p$只有一个极大理想$pA_p$,它的大根就是$pA_p$。如果能证明$pA_p(S_k\otimes_AA_p)=S_k\otimes_AA_p$就解决问题了。
我们需要将它与条件$S_k\otimes_AA_p/pA_p=0$联系起来。
我们注意到$pA_p(S_k\otimes_AA_p)=S_k\otimes_AA_p\Leftrightarrow (S_k\otimes_AA_p)/(pA_p(S_k\otimes_AA_p))=0$
而我们已经有$S_k\otimes_AA_p/pA_p=0$,看这两个式子长的模样,很自然地,我们会猜想有$(S_k\otimes_AA_p)/(pA_p(S_k\otimes_AA_p))\cong S_k\otimes_AA_p/pA_p$, 如果证明这个同构成立,问题就解决了。
这个不费吹灰之力。
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