先证一个小引理

设$b,d,\epsilon$为正数,$a,c,A$为复数。
若$|\frac{a}{b}-A|< \epsilon$,
$|\frac{c}{d}-A|<\epsilon$,
則$|\frac{a+c}{b+d}-A|<\epsilon$.

證明:
令$\frac{a}{b}-A=x$, $\frac{c}{d}-A=y$,
則$|x|<\epsilon,|y|<\epsilon$.
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{b(A+x)+d(A+y)}{b+d}=A+\frac{bx+dy}{b+d}$,

$|\frac{a+c}{b+d}-A|=|\frac{bx+dy}{b+d}|\le \frac{b}{b+d}|x|+\frac{d}{b+d}|y|<\frac{b}{b+d}\epsilon+\frac{d}{b+d}\epsilon=\epsilon$.
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