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lim x^2 { 3^(1/x) - 3^[ 1/ (x +1) ] } x趋近于无穷
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海马非马

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$\lim\limits_{x\to\infty}{x^{2(3^\dfrac{1}{x}-3^\dfrac{1}{x+1})}}$
还是
$\lim\limits_{x\to\infty}{x^2 \cdot( 3^\dfrac{1}{x}-3^\dfrac{1}{x+1})}$?

估计是后者。把$x^2$取倒数后换到分母,成为一个$\dfrac{0}{0}$型不定式,用洛必达法则可简单求解。或者用$a^x-1$与$\ln a \cdot x$是$x \to 0$时的等价无穷小来求解也可。

涉及到的主要变形如下:
$x^2 (3^{\dfrac{1}{x}}-3^\dfrac{1}{x+1})=\dfrac {3^{\dfrac {1}{x+1}} (3^{\dfrac {1}{x^2+x}} -1)}{\dfrac {1}{x^2}}$

用等价无穷小,$ (3^{\dfrac {1}{x^2+x}} -1)$等价于$\dfrac {\ln 3}{x^2+x}$
所求极限=$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\ln 3 \cdot x^2 3^\dfrac {1}{x+1} }{x^2+x}=\ln 3$

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