微分中值定理题目

f(x)在[a,b]上可微,$\cfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$f(a)=$\cfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$f(b),证明 存在$\varepsilon$$\epsilon$(a,b) 使 $\cfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$f($\varepsilon$)=(f($\varepsilon$)-f(a))/($\varepsilon$-a)

主要导数的条件不会用
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咯咯咯

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构造函数F(x)=f(x)-f(a)/x-a ,由导数相等可以证ab连线必交曲线于x0,可以证b处导数值与x0处导数值与F在各点的取值必定是一个大于一个小于,由介值定理可得正

海马非马

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重新组织一下:

定理: A,B是函数f(x)上的两个不同的点,对应的x值分别为a, b。f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。C(c,d)是直线AB上的一个点,且$c\notin [a,b]$。那么在(a,b)上存在一个点$\xi$, 满足
$f'(\xi)=\cfrac {f(\xi)-d}{\xi-c}$

证明:
A,B,C在同一条直线上,显然$\cfrac {f(b)-d}{b-c}=\cfrac {f(a)-d}{a-c}$

定义函数$g(x)=\cfrac {f(x)-d}{x-c}$, 显然g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且$g(a)=g(b)=\cfrac {f(a)-d}{a-c}$, 根据罗尔定理,$\exists \xi \in (a,b)$, 使$g'(\xi)=0$,而
$g'(\xi)=\cfrac { f'(\xi)(\xi-d)-f(\xi)+d}{(\xi-c)^2}$, 易知
$f'(\xi)=\cfrac {f(\xi)-d}{\xi-c}$, 其中$\xi\in(a,b)$, 定理得证。

回到原问题。如果我们能证明从A(a,f(a))发出的直线中,存在一条与f(x)有除A点之外的两个交点,且交点的x坐标$\in (a,b)$,那么根据前述定理,原问题的结论显然成立。

1. 如果$\exists \delta>a, \forall x \in(a,\delta), f'(x)\equiv f'(a)$, 则该区间中的任意一点都满足原命题的结论;
2. 否则,$\exists c\in (a,b]$, 使f'(c)=f'(a)且$\forall d\in(a,c), f'(d)\neq f'(a)$。把这点称为C。我们将证明直线AC与f(x)在区间(a,c)内有一个交点(从而原命题成立)。

定义$g(x)=f(x)-\cfrac {f(c)-f(a)}{c-a}(x-a)$。则$g'(x)=f'(x)-\cfrac {f(c)-f(a)}{c-a}$, 显然g'(a)=g'(c)。
接下来我们证明$g'(a)\neq 0$. 对g(x), 根据罗尔定理,$\exists \eta\in(a,c)$使$g'(\eta)=0$, 或$f'(\eta)=\cfrac {f(c)-f(a)}{c-a}$。而g'(c)=g'(a)=0意味着$f'(c)=f'(a)=f'(\eta)=\cfrac {f(c)-f(a)}{c-a}$, 这与我们在2中的设定,即$\forall d\in(a,c), f'(d)\neq f'(a)$矛盾,所以$g'(a)\neq 0$。

分别取$(a,a+\epsilon)$和$(c-\epsilon,c)$中的两点p,q, 根据1,2的设定,$g(p)g(q)<0$。由介质定理,$\exists \sigma\in(a,c)$使$g(\sigma)=f(\sigma)-\cfrac {f(c)-f(a)}{c-a}(\sigma-a)=0$, 显然$\sigma$就是我们在2中要找的那个交点。

It's much more complicated than I had hoped and liked, but anyways....

感谢咯咯咯网友提供的思路。新年快乐!

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