概率论,条件期望

If E (Y |X) = a + bX, find E (Y X) as a function of E (X) and E(X^2)
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海马非马

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以离散的情形为例,

$\displaystyle E(XY)=\sum_{x,y} xyP(X=x, Y=y)$
$\displaystyle=\sum_{x} \Big[xP(X=x)\sum_y yP(Y=y|X=x)\Big] $
$\displaystyle=\sum_x \Big[xP(X=x)E(Y|X=x)\Big]$
$\displaystyle=\sum_x xP(X=x)(a+bx)$
$\displaystyle=\sum_x (ax+bx^2)P(X=x)$
$\displaystyle=aE(X)+bE(X^2)$

连续的情形可类似得到,答案是一样的。

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