利用数列极限定义证明极限,求证自己的方法是否正确,请看答案

利用$\varepsilon$-N的定义,证明:$\lim\limits_{n\to \bowtie}$$\sqrt[n]{a}$=1,其中a>0是一个常数.
解法一:(高数书上原解法)
证 当a=1时,结论显然成立.
现设a>1,记b=${a}^{\cfrac{1}{n}}$-1,则b>0.
因为
a=${(1+b)}^{n}$$\geq$1+nb=1+n(${a}^{\cfrac{1}{n}}$-1),
所以
${a}^{\cfrac{1}{n}}$-1$\leq$$\cfrac{a-1}{n}$.

于是,$\forall$$\varepsilon$>0,令N=[$\cfrac{a-1}{\varepsilon}$],则当n>N时,恒有|$\sqrt[n]{a}$|<$\varepsilon$,从而$\lim\limits_{n\to \bowtie}$$\sqrt[n]{a}$=1.
当0<a<1时,略.
解法二:(我自己的解法)
证 当a=1时,结论显然成立.
现设a>1,$\forall$$\varepsilon$要使|$\sqrt[n]{a}$-1|<$\varepsilon$,
因为0<$\cfrac{1}{n}$$\leq$1,且a >1,所以$\sqrt[n]{a}$-1>0,可以直接去绝对值

${a}^{\cfrac{1}{n}}$-1<$\varepsilon$
${a}^{\cfrac{1}{n}}$<$\varepsilon$+1
两边同时取对数
$\cfrac{1}{n}$lga<lg($\varepsilon$+1)
$\cfrac{1}{n}$<$\cfrac{lg(\varepsilon+1)}{lga}$
n>$\cfrac{lga}{lg(\varepsilon+1)}$
取N=[$\cfrac{lga}{lg(\varepsilon+1)}$]+1,即$\forall$$\varepsilon$,$\exists$N=[$\cfrac{lga}{lg(\varepsilon+1)}$]+1,当n>N时,恒有|$\sqrt[n]{a}$-1|<$\varepsilon$,
得证
想问问各位大神,我的解法是否可行,如果哪里出错还请说明,感激不尽!
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可以。


现设$a>1,\forall \epsilon$要使 $|\sqrt[n]{a}-1|<\epsilon$,



少了几个字,证明的最后加上了。说明你理解 $\epsilon-\delta , \epsilon-N$的思想精髓。那就行了。

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