概率论 连续型随机变量

连续型随机变量在指定点取值概率为零,求证明,谢谢
已邀请:

Math001

赞同来自:

首先,我需要明确一下你连续型随机变量的定义。这里先看一维的情况,多维的一样从积分来推广。
定义1:对于一随机变量$X$的分布函数$F(x)$,如果存在非负的$\color{red}{可测}$函数$f(x) $,使得对任意$x$有$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt $。我们就说$X$是一连续型随机变量,$f(x)$是其密度函数。(这里的积分是勒贝格积分)

在这个定义下,这个问题结论是显然的,因为对任意实数$\{ X=a\} $是零测集。

定义2(一般工科教材的定义):对于一随机变量$X$的分布函数$F(x)$,如果存在非负的$\color{red}{黎曼可积}$函数$f(x) $,使得对任意$x$有$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt $。我们就说$X$是一连续型随机变量,$f(x)$是其密度函数。(这里的积分是黎曼积分)

在这个定义下$F(x)=P(X \le x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt $。

回忆一下高等数学中黎曼积分,广义黎曼积分以及变上限积分函数的定义和性质可知$F(x)$是连续的。

对任意正整数$n$,有$\{X=a\}\subset \{a-\cfrac{1}{n} < X \le a \} $
得到$0\le P(X=a)\le P(a-\cfrac{1}{n} < X \le a)=F(a)-F(a-\cfrac{1}{n})$
于是上式右边,令$n\to\infty $,由$F(x)$连续性得到
$ 0\le P(X=a)\le 0 $

证毕。

要回复问题请先登录注册