概率论

1、考试时共有n张考签,m(m$\geq $n)个学生参加考试,被抽过的考签立即放回,求在考试结束后,至少有一张考签没有被抽到的概率。

2、设${A}_{n}$,${B}_{n}$为事件,${B}_{n}$$\subset $${A}_{n}$。证明:P$\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{A}_{n} \right)$-P$\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{B}_{n} \right)$$\leq $$\sum\limits_{n=1}^{\infty } $$\left(P\left({A}_{n} \right) -P\left({B}_{n} \right) \right)$。
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Math001

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第一题没想到办法。

第二题:
先回忆一个公式:若$B\subset A, $则$P(A-B)=P(A)-P(B) $

由$B_n\subset A_n $有 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n \subset \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n $

所以$P(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n)-P(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n) $
$=P(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n-\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n)$

证毕
$=P(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(A_j-\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n))$
注意到对于每个$B_j$,它是$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n$的子集,所以有
$A_j-\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n\subset A_j-B_j $
所以$\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(A_j-\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}B_n)\subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(A_j-B_j)$
所以上式$\le P(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(A_j-B_j)) $
$\le\sum\limits_{j=1}^{\infty}(P(A_i-B_j))= \sum\limits_{j=1}^{\infty}(P(A_j)-P(B_j))$

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