概率论

1、设($\xi $,$\eta $,$\zeta $)的联合密度函数为p(x,y,z)=$\frac{1-sinxsinysinz}{8{π}^{3}}$ (0$\leq $x$\leq $2π,0$\leq $y$\leq $2π,0$\leq $z$\leq $2π) p(x,y,z)=0 (其他)
求证:$\xi $,$\eta $,$\zeta $两两独立,但不相互独立。

2、设$\xi $~N(a,${\sigma }^{2}$),求${e}^{\xi }$的密度函数(称为对数正态分布)。
已邀请:

Math001

赞同来自:

1、
$f_{\xi,\eta}(\xi,\eta)=\iiint\limits_{\begin{matrix} 0\le x\le \xi\\ 0\le y\le \eta\\0\le z\le 2\pi\end{matrix} }\cfrac{1-\sin x\sin y\sin z}{8\pi^3}=\cfrac{\xi\eta}{4\pi^2} $
同样可以计算得到
$f_{\xi,\zeta}(\xi,\zeta)=\cfrac{\xi\zeta}{4\pi^2} $
$f_{\eta,\zeta}(\eta,\zeta)=\cfrac{\eta\zeta}{4\pi^2} $

继续计算:
$f_{\xi}(\xi)=\iiint\limits_{\begin{matrix} 0\le x\le \xi\\ 0\le y\le 2\pi\\0\le z\le 2\pi\end{matrix} }\cfrac{1-\sin x\sin y\sin z}{8\pi^3}=\cfrac{\xi}{2\pi} $
同理可得到:$f_{\eta}(\eta)=\cfrac{\eta}{2\pi} $,$f_{\zeta}(\zeta)=\cfrac{\zeta}{2\pi} $

显然$f_{\xi,\eta}(\xi,\eta)=f_{\xi}(\xi)f_{\eta}(\eta),f_{\xi,\zeta}(\xi,\zeta)=f_{\xi}(\xi)f_{\zeta}(\zeta),f_{\eta,\zeta}(\eta,\zeta)=f_{\eta}(\eta)f_{\zeta}(\zeta)$
这说明两肉独立。
但$f(\xi,\eta,\zeta)\not=f_{\xi}(\xi)f_{\eta}(\eta)f_{\zeta}(\zeta) $
说明三个不独立。

2、
设分步函数$F_\xi(x)=P\{ \xi
则$F_{e^\xi}(y)=P\{e^\xi
对$y$求导得密度密数$f(y)=\cfrac{1}{\sqrt {2\pi}\delta}e^{-\frac{(\ln y-a)^2}{2\delta^2}}\cdot \cfrac{1}{y} $

要回复问题请先登录注册