定积分

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求教定积分和反常积分的题,求解题步骤

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两个行列式定积分不等式的证明

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定积分习题 关于将球从水底拉出求做功的多少

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求一个分母含有lnx的定积分

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一个组合极限题目

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怎么解 过程谢谢了

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怎么解 为什么

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怎么解 详细过程

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狄利克雷

狄利克雷 回答了问题 • 2015-08-11 16:20 • 1 个回复 不感兴趣

求定积分$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx$

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利用级数求定积分的值
当$x\in (0,1)$,有$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{x^n}{n}$
故$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx=-∫_0^1\ln x\sum_{n=1}^{+\infty}\cf... 显示全部 »
利用级数求定积分的值
当$x\in (0,1)$,有$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{x^n}{n}$
故$∫_0^1\ln x\ln(1-x)dx=-∫_0^1\ln x\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{x^n}{n}dx$
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}∫_0^1\ln x\cfrac{x^n}{n}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty}∫_0^1\cfrac{\ln x}{n(n+1)}d(x^{n+1})$
运用分部积分公式,得
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n(n+1)}\left[\left.(x^{n+1}\ln x)\right|_0^1-∫_0^1x^{n+1}d(\ln x)\right]$
$=-\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{-∫_0^1x^{n}dx}{n(n+1)}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n(n+1)^2}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{n+1-n}{n(n+1)^2}$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\cfrac{1}{n(n+1)}-\cfrac{1}{(n+1)^2}\right]$
$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{(n+1)^2}\right]$
$=1-(\cfrac{\pi^2}{6}-1)=2-\cfrac{\pi^2}{6}$
Eufisky

Eufisky 回答了问题 • 2015-09-27 18:17 • 1 个回复 不感兴趣

求定积分cos nx/(cos x+cosh a)在[-pi,pi]的值

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PS:你这题目上少了个负号,囧!!!
注意到
\begin{align*}
&{a_{n + 1}} + {a_{n - 1}} = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{\cos \left( {n + ... 显示全部 »
PS:你这题目上少了个负号,囧!!!
注意到
\begin{align*}
&{a_{n + 1}} + {a_{n - 1}} = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{\cos \left( {n + 1} \right)x + \cos \left( {n - 1} \right)x}}{{\cos x + \cosh a}}dx} \\
=&\frac{2}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{\cos nx\cos x}}{{\cos x + \cosh a}}dx} = \frac{2}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\cos nxdx} - \frac{{2\cosh a}}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{\cos nx}}{{\cos x + \cosh a}}dx} \\
=& - 2\cosh a \cdot {a_n}.
\end{align*}
当$m>1$时,我们有
\begin{align*}
\int_0^\pi {\frac{{dx}}{{\cos x + m}}} & = \int_0^\pi {\frac{{dx}}{{\left( {m + 1} \right){{\cos }^2}\frac{x}{2} + \left( {m - 1} \right){{\sin }^2}\frac{x}{2}}}} \\
& = 2\int_0^{ + \infty } {\frac{{dt}}{{\left( {m + 1} \right) + \left( {m - 1} \right){t^2}}}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{m^2} - 1} }}.
\end{align*}
因此
\begin{align*}
{a_0} &= \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{{\cos x + \cosh a}}dx} = \frac{2}{\pi }\int_0^\pi {\frac{1}{{\cos x + \cosh a}}dx} \\
&= \frac{2}{\pi } \cdot \frac{\pi }{{\sqrt {{{\cosh }^2}a - 1} }} = \frac{4}{{{e^a} - {e^{ - a}}}} = \frac{{ - 4{e^a}}}{{1 - {e^{2a}}}}\\
{a_1} &= \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{\cos x}}{{\cos x + \cosh a}}dx} = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {dx} - \frac{{\cosh a}}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {\frac{1}{{\cos x + \cosh a}}dx} \\
&= 2 - \cosh a \cdot {a_0} = \frac{4}{{1 - {e^{2a}}}}.
\end{align*}
由${a_{n + 1}} + {a_{n - 1}} = - 2\cosh a \cdot {a_n}$可知
\begin{align*}{a_{n + 1}} + {e^{ - a}}{a_n} = \left( { - {e^a}} \right)\left( {{a_n} + {e^{ - a}}{a_{n - 1}}} \right).\end{align*}

\begin{align*}{a_n} + {e^{ - a}}{a_{n - 1}} = {\left( { - {e^a}} \right)^{n - 1}}\left( {{a_1} + {e^{ - a}}{a_0}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = - {e^{ - a}}.\end{align*}
因此
\begin{align*}{a_n} = {\left( { - {e^{ - a}}} \right)^n}{a_0} = {\left( { - {e^{ - a}}} \right)^n} \cdot \frac{{ - 4{e^a}}}{{1 - {e^{2a}}}} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\frac{{4{e^{a\left( {1 - n} \right)}}}}{{1 - {e^{2a}}}}.\end{align*}
风~

风~ 回答了问题 • 2015-12-05 14:04 • 3 个回复 不感兴趣

求一个分母含有lnx的定积分

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原式=∫(0,1)dx∫(a,b)x^y dy =∫(a,b)∫(0,1)x^ydxdy=ln(b+1)-ln(a+1)
原式=∫(0,1)dx∫(a,b)x^y dy =∫(a,b)∫(0,1)x^ydxdy=ln(b+1)-ln(a+1)
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-01-16 19:38 • 1 个回复 不感兴趣

这题怎么解答 详细过程 谢谢了

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$原式= -\dfrac{1}{2}\int_0^ae^{-r^2}d(-r^2)$

$=-\dfrac{1}{2}e^{-r^2}|_0^a$

$=-\dfrac{1}{2}e^{-a^2}-(-\dfrac{1}{2}e^{-0^2})$

$=1-\... 显示全部 »
$原式= -\dfrac{1}{2}\int_0^ae^{-r^2}d(-r^2)$

$=-\dfrac{1}{2}e^{-r^2}|_0^a$

$=-\dfrac{1}{2}e^{-a^2}-(-\dfrac{1}{2}e^{-0^2})$

$=1-\dfrac{1}{2}e^{-a^2}$
永進大帝

永進大帝 回答了问题 • 2016-02-20 11:26 • 1 个回复 不感兴趣

怎么解 详细过程

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$\int x\ln x^2\,\text{d} x=\frac{1}{2}\int \ln x^2\,\text{d} x^2$
$\int x\ln x^2\,\text{d} x=\frac{1}{2}\int \ln x^2\,\text{d} x^2$
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-02-25 13:37 • 1 个回复 不感兴趣

怎么解 过程谢谢了

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利用奇函数在对此区间上的积分为零性质。

$原式=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^3}{x^2+1}(奇函数的积分)+\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2+1}$

$=0+\arctan{x}|_{-1}^1$

$=\dfrac... 显示全部 »
利用奇函数在对此区间上的积分为零性质。

$原式=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^3}{x^2+1}(奇函数的积分)+\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2+1}$

$=0+\arctan{x}|_{-1}^1$

$=\dfrac{\pi}{4}-(-\dfrac{\pi}{4})$

$=\dfrac{\pi}{2}$
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-03-01 22:57 • 3 个回复 不感兴趣

一个积分方程问题

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整理一下得到
$f(x)=x+x\int_0^xf'(t)dt-\int_0^xtf'(t)dt$

两边求导有
$f'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt$

两边在求导有
$f''(x)... 显示全部 »
整理一下得到
$f(x)=x+x\int_0^xf'(t)dt-\int_0^xtf'(t)dt$

两边求导有
$f'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=1+\int_0^xf'(t)dt$

两边在求导有
$f''(x)=f'(x)$

解这个微分方程的通解为
$f(x)=C_1+C_2e^x$

注意到,$f(0)=0,f'(0)=1$

得到$C_1+C_2=0,C_2=1$

于是又$C_1=-1,C_2=1$,有$f(x)=e^x-1$

求教定积分和反常积分的题,求解题步骤

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两个行列式定积分不等式的证明

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一个积分方程问题

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带根号的定积分(1+4/(sin∧2 2x))∧(1/2)从π/4到π/2

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