实分析

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在某有界闭区域上定义的一切连续二元函数构成的集合的基数是什么,威慑么

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$|| f(x+h)-f(x)||=o(h^{1+\alpha}),f=C?$

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Math001

Math001 回答了问题 • 2012-05-25 13:32 • 0 个回复 不感兴趣

实变函数-单调函数导数几乎处处为零问题

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对于$x<y$有,
$f(y)-f(x)=\sum\limits_{r_n<y}2^{-n}- \sum\limits_{r_n<x}2^{-n}$
$=\sum\limits_{x\le r_n<y}2^{-n} >0 $
所以... 显示全部 »
对于$x<y$有,
$f(y)-f(x)=\sum\limits_{r_n<y}2^{-n}- \sum\limits_{r_n<x}2^{-n}$
$=\sum\limits_{x\le r_n<y}2^{-n} >0 $
所以单增。

对$q\in \mathbb Q^+ $,定义$A_q= \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(r_n-q\cdot 2^{-\frac{n}{3}},r_n+q\cdot 2^{-\frac{n}{3}})\ $

于是$m(A_q)\le \sum\limits_{n=1}^{\infty}2q\cdot2^{-\frac{n}{3}}\le 10q $

再令$A=\bigcap\limits_{q\in \mathbb Q^+}A_q $, 易知$A$为零测集。

于是取$x\not\in A$, 根据$A$的定义,就是说存在$q\in \mathbb Q^+ $,对任意的$n\in \mathbb Z^+ $有:

$q\cdot 2^{-\frac{n}{3}}\le |x-r_n|$

则有对任意$ y\in (0,1) $

$|f(y)-f(x)|= \sum\limits_{|x-r_n|<|x-y|}2^{-n} $ (这是由函数定义来的)

$=\cfrac{1}{q^2}\sum\limits_{|x-r_n|<|x-y|} 2^{-\frac{n}{3}} \cdot (q\cdot2^{-\frac{n}{3}})^2 $ (这步是恒等变形)

$<\cfrac{1}{q^2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^{-\frac{n}{3}} \cdot |x-y|^2$(这是步是因为$q\cdot 2^{-\frac{n}{3}}\le |x-r_n|<|x-y|$)

=$\cfrac{10}{q^2}|x-y|^2$

这说明对于$x\not\in A$有 $f'(x)=0$
Math001

Math001 回答了问题 • 2014-04-04 21:15 • 0 个回复 不感兴趣

$c_0$空间与$c$空间同胚问题

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设$x=< x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\in c $,且$x_n\to r_x$

令$ f:c\to c_0, <x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\to < r_x,x_0-r_x,... 显示全部 »
设$x=< x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\in c $,且$x_n\to r_x$

令$ f:c\to c_0, <x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\to < r_x,x_0-r_x,x_1-r_x,\cdots,x_n-r_x,\cdots >$
这个就是一个同胚
Math001

Math001 回答了问题 • 2014-06-27 17:19 • 0 个回复 不感兴趣

可数集合的问题

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令$C=B\setminus A$,则$C$为可列集或者有限集。

且$A$与$C$不交,$A\cup B = A\cup C$
因$A$可列,则存在双射$g_1:\mathbb{N}\to A$

若$C=\{c_0,c_2,\cdots,c_{k-1}\}... 显示全部 »
令$C=B\setminus A$,则$C$为可列集或者有限集。

且$A$与$C$不交,$A\cup B = A\cup C$
因$A$可列,则存在双射$g_1:\mathbb{N}\to A$

若$C=\{c_0,c_2,\cdots,c_{k-1}\}$有限集,则定义$f:\mathbb{N}\to A\cup C$如下
$f(n)=\begin{cases}c_n&n< k\\g_1(n-k)&n\ge k\end{cases}$
则$f$是一个双射。

若$C$是可列集,则存在双射$g_2:\mathbb{N}\to C$,定义$f:\mathbb{N}\to A\cup C$如下
$f(n)=\begin{cases}g_1(\cfrac{n}{2})&n为偶数\\g_2(\cfrac{n+1}{2})&n为奇数 \end{cases}$
则$f$是一个双射。
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-07-07 08:54 • 2 个回复 不感兴趣

证明分析里的一个存在性

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首先,有理数能写成$r_1,r_2,r_3,\cdots$序列,这个双射的存在,是构造性的。
所以,最后那个集合具体什么样,依赖这个序列的具体的构造。


令$U_i=\bigcup\limits_{1\le k\le i}E_i$,因为每个$E_i$是确定的... 显示全部 »
首先,有理数能写成$r_1,r_2,r_3,\cdots$序列,这个双射的存在,是构造性的。
所以,最后那个集合具体什么样,依赖这个序列的具体的构造。


令$U_i=\bigcup\limits_{1\le k\le i}E_i$,因为每个$E_i$是确定的,于是$U_i$确定。
那么那些属于$U_i$也是确定的。于是这是取$p_i\not\in U_i$

这个时候每个$p_i$都能通过具体的构造确定的(这里甚至可以$p_i\in\mathbb{Q}$)。

最后,在一个确定的序列里找收敛子列,让他收敛于$p$,这个$p$就是所求。

具体构造的operator,如果有兴趣,你可以用程序代码写一下,可能会很复杂。
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-07-08 17:15 • 1 个回复 不感兴趣

关于Dini导数的一个问题

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还是用分形的思想吧。

做函数$f(x)=\begin{cases}3x&0\le x< \dfrac{1}{4}\\x+\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\le x< \dfrac{1}{2}\end{cases}... 显示全部 »
还是用分形的思想吧。

做函数$f(x)=\begin{cases}3x&0\le x< \dfrac{1}{4}\\x+\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\le x< \dfrac{1}{2}\end{cases}$

这个函数单调连续,右端点极限$1$,最小值$0$

定义$g(x)=\begin{cases}2-\dfrac{1}{2^{n-2}}+\dfrac{1}{2^{n-1}}f(2^{n-1}(x-1+\dfrac{1}{2^{n-1}}))&x\in[1-\dfrac{1}{2^{n-1}},1-\dfrac{1}{2^{n}})\\2&x=1\end{cases}$

于是$g(x)$满足条件单调,且在$x=1$出左上导数和坐下导数不等。

左上导数和左下导数得存在性还是显然的。要得到原问题四个,只需要做适当的中心对称的操作就可以了。

一个分析问题的证明

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紧度量空间问题

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级数的a.e.收敛

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证明分析里的一个存在性

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一个Lebesgue积分问题

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【实变函数论】求有界点集的内测度小于外侧度的例子?

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可数集合的问题

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$c_0$空间与$c$空间同胚问题

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实变函数-单调函数导数几乎处处为零问题

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