微分方程

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Math001

Math001 回答了问题 • 2015-08-03 19:14 • 1 个回复 不感兴趣

举例说明在无限区间上Ascoli引理不成立

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考虑$f_n(x)=\begin{cases} -|x-2n-1|+1&x\in[2n,2n+2]\\0&其他\end{cases}$

显然$|f_n(x)|\le1$,所以一直有界。

对任意$\epsilon\in(0,1)$,取$\de... 显示全部 »
考虑$f_n(x)=\begin{cases} -|x-2n-1|+1&x\in[2n,2n+2]\\0&其他\end{cases}$

显然$|f_n(x)|\le1$,所以一直有界。

对任意$\epsilon\in(0,1)$,取$\delta=\epsilon$,当$0\le x_1-x_2<\epsilon$时有

若$x_1,x_2\in[2n,2n+2]$则
$|f_n(x_1)-f_n(x_2)|=||x_1-2n-1|-|x_2-2n-1||\le|x_1-x_2|=\epsilon$

若$x_1\le 2n\le x_2$则
则$f(x_1)=0,2n\le x_2<2n+\epsilon$
$|f_n(x_1)-f_n(x_2)|=f_n(x_2)=-|x-2n-1|+1=x-2n<\epsilon$

同理若$x_1\le 2n+2\le x_2$相似讨论。

其他情况,自然有$|f(x_1)-f(x_2)|=0<\epsilon$

说明$f_n$等度连续。

显然$f_n(x)\to0$,但对$\max|f_n(x)| = 1$,所以任意子列都不可能一致收敛。

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