抽象代数

抽象代数

抽象代数的一个有趣问题

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近世代数基础一个计算题

专业数学Math001 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 747 次浏览 • 2016-03-07 16:39 • 来自相关话题

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$n=2$时,由两个元素$a,b$生成的自由群$a^2b^2$不是任何元的平方
$n=2$时,由两个元素$a,b$生成的自由群$a^2b^2$不是任何元的平方
注意到$A\cap B$为$A$的子群,也是$B$的子群。

设$|A\cap B|=r $,$A\cap B$分划$A$的左陪集数是$m$,分划$B$的右倍集数为$n$

这样$|A|=mr,|B|=nr$

现在只需要证明$|AB|=mnr$

在上述中的... 显示全部 »
注意到$A\cap B$为$A$的子群,也是$B$的子群。

设$|A\cap B|=r $,$A\cap B$分划$A$的左陪集数是$m$,分划$B$的右倍集数为$n$

这样$|A|=mr,|B|=nr$

现在只需要证明$|AB|=mnr$

在上述中的每个陪集里取一代表$a_1,a_2,\cdots,a_m$,

令$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$,

注意$a_i^{-1}a_j\notin A\cap B, i\not=j~~~~(*)$

现在来证 $SB=AB$,一方面由$S\subset A$得到$SB\subset AB$

令一方面,取$ab,a\in A,b\in B$,则存在$a_i\in S,c\in A\cap B$,有$a_ic=a$

于是$ab=a_i(cb)\in SB$

再来证$|SB|=|S||B|=mnr$于是证毕。

设$B=\{b_1,\cdots,b_n\}$则$SB=\{a_ib_j:a_i\in S,b_j\in B\}$,其中${1\le i\le m,1\le j\le n}$

现在只要证当$i\not=i'$及$j\not=j'$时,$a_ib_j\not=a_{i'}b_{j'}$

否则有$a_{i'}^{-1}a_i =b_{j'}b_{j}^{-1}\in A\cap B$,与$(*)$矛盾,于是完成证明
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-06-30 14:14 • 1 个回复 不感兴趣

抽象代数的问题

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设$n_q$为$G$的西罗$q$-子群的个数。

利用西罗定理。

则$n_q=1+kq$,因为$q\not|~p^2-1$

所以$n_q\not=p,~n_q\not=p^2$

于是$G$有正规的西罗$q$-子群。

说明$G\cong Z_{p^2}\... 显示全部 »
设$n_q$为$G$的西罗$q$-子群的个数。

利用西罗定理。

则$n_q=1+kq$,因为$q\not|~p^2-1$

所以$n_q\not=p,~n_q\not=p^2$

于是$G$有正规的西罗$q$-子群。

说明$G\cong Z_{p^2}\times Z_q$,或者$G\cong Z_{p}\times Z_{p}\times Z_q$

所以$G$可交换。
假设存在一个5阶元$a\not\in H$

设$K=<a>$,则$H\cap K=\{e\}$

于是$| HK|=|H||K|=25\cdot 5=125\ge100=|G|$

与$HK$为$G$的子群矛盾。

第三行的更一般结论见, htt... 显示全部 »
假设存在一个5阶元$a\not\in H$

设$K=<a>$,则$H\cap K=\{e\}$

于是$| HK|=|H||K|=25\cdot 5=125\ge100=|G|$

与$HK$为$G$的子群矛盾。

第三行的更一般结论见, http://duodaa.com/?/question/5455
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-03-07 16:39 • 1 个回复 不感兴趣

近世代数基础一个计算题

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先写成不相交交轮换的形式

$\sigma=(15743)(26)$ 以及$\tau=(13)(27)(456)$

注意到不交轮换是可以交换的于是

$\sigma^{2009}=((15743)(26))^{2009}=(15743)^{2009}(26)... 显示全部 »
先写成不相交交轮换的形式

$\sigma=(15743)(26)$ 以及$\tau=(13)(27)(456)$

注意到不交轮换是可以交换的于是

$\sigma^{2009}=((15743)(26))^{2009}=(15743)^{2009}(26)^{2009}$
$=(15743)^{5\cdot402-1}(26)^{2\cdot1004+1}$
$=(15743)^{-1}(26)^{}$
$=(13475)(26)$
$={{1234567}\choose{3647125}}$

同样的办法,可得$\tau^{2010}=(1)$

于是,结果是${{1234567}\choose{3647125}}$
donkeycn

donkeycn 回答了问题 • 2016-04-14 11:04 • 1 个回复 不感兴趣

一道抽象代数(近世代数)计算题

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$\because π_1^{2010}π_2^{-1}$
$=(1867)^{2010}(253)^{2010}(12765)^{-1}(84)^{-1}$
$=(1867)^{2}(253)^{0}(12765)^{-1}(84)^{-1}$
$=(16)... 显示全部 »
$\because π_1^{2010}π_2^{-1}$
$=(1867)^{2010}(253)^{2010}(12765)^{-1}(84)^{-1}$
$=(1867)^{2}(253)^{0}(12765)^{-1}(84)^{-1}$
$=(16)(78)(1)(15672)(84)$
$=(17482)(56)$,
$\therefore π_1^{2010}π_2^{-1}$生成群的阶为$[|(17482)|,|(56)|]=[5,2]=10$。

抽象代数的问题

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