数学分析

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积分公式的递推公式

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大学数学不及格不改网名 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 158 次浏览 • 2017-08-07 23:45 • 来自相关话题

同一过程中,无限个无穷小之积还是无穷小吗?

大学数学海马非马 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 336 次浏览 • 2017-07-23 20:32 • 来自相关话题

數學問題:2的20次方-1和2的19次方+1的最大公因數

专业数学海马非马 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 242 次浏览 • 2017-07-23 21:06 • 来自相关话题

求助一个分式求和问题,谢谢!

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科研数学tjgtom 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 454 次浏览 • 2017-06-12 00:26 • 来自相关话题

求一个反常积分

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大学数学天使哥特唯美 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 440 次浏览 • 2017-06-03 10:08 • 来自相关话题

积分不等式

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大学数学ustc1830010557 发起了问题 • 0 人关注 • 0 个回复 • 505 次浏览 • 2017-04-26 10:13 • 来自相关话题

如何学好数学系的数学

其他数学◣倔強的夢想◢ 回复了问题 • 23 人关注 • 19 个回复 • 3305 次浏览 • 2017-04-11 20:29 • 来自相关话题

伽马函数的一个不等式

专业数学千古醉人98 回复了问题 • 4 人关注 • 1 个回复 • 1729 次浏览 • 2017-03-31 15:42 • 来自相关话题

一个反常积分

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大学数学南风知我意 发起了问题 • 4 人关注 • 0 个回复 • 1084 次浏览 • 2016-08-25 10:20 • 来自相关话题

极限求值问题

大学数学暗者 回复了问题 • 4 人关注 • 2 个回复 • 1077 次浏览 • 2017-03-31 15:40 • 来自相关话题

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Ramanujan

Ramanujan 回答了问题 • 2016-07-16 20:30 • 19 个回复 不感兴趣

如何学好数学系的数学

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很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
zhhhhxhq

zhhhhxhq 回答了问题 • 2015-09-27 22:25 • 4 个回复 不感兴趣

证明数列收敛

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在数列$\{x_n\}$有界的时候是收敛的。

令 $s_n = \sum_{i=1}^{n}{1/i^2}$, 由所给条件得到 $0< x_n+s_{n-1} \leq x_{n+1} + s_n$, 根据$\{x_n\}$有界和$s_n$收敛就可以看... 显示全部 »
在数列$\{x_n\}$有界的时候是收敛的。

令 $s_n = \sum_{i=1}^{n}{1/i^2}$, 由所给条件得到 $0< x_n+s_{n-1} \leq x_{n+1} + s_n$, 根据$\{x_n\}$有界和$s_n$收敛就可以看出$\{x_n+s_{n-1}\}$是收敛的。从而得到数列$\{x_n\}$是收敛的。
风~

风~ 回答了问题 • 2015-12-05 14:04 • 3 个回复 不感兴趣

求一个分母含有lnx的定积分

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原式=∫(0,1)dx∫(a,b)x^y dy =∫(a,b)∫(0,1)x^ydxdy=ln(b+1)-ln(a+1)
原式=∫(0,1)dx∫(a,b)x^y dy =∫(a,b)∫(0,1)x^ydxdy=ln(b+1)-ln(a+1)
小灰灰

小灰灰 回答了问题 • 2016-04-17 01:01 • 1 个回复 不感兴趣

一道求极限题目

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$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim... 显示全部 »
$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}-\sum_{k=0}^{n-1}{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}+\sum_{k=n}^{\infty}{e}^{-k}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(1-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}{e}^{k})\end{smallmatrix}\bigr)$$
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(n(\cfrac{k}{n}+\cfrac{{k}^{2}}{2{n}^{2}}+O(\cfrac{{k}^{3}}{3{n}^{3}}))-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(\cfrac{{k}^{2}}{2n}+O(\cfrac{{k}^{3}}{{n}^{2}}))+O({(\cfrac{{k}^{2}}{2n})}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{3})}{n}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{4})}{4n}
\\=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=S=\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{{(k-1)}^{2}}{2}
\\=eS-\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{2k-1}{2}
=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}(2k-1)
\\=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}(2k+1)
=\cfrac{1}{2e-2}+{e}^{-1}S+\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k}
\\=\cfrac{1}{1-{e}^{-1}}\cfrac{1}{2e-2}(1+\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k})
=\cfrac{{e}^{-1}({e}^{-1}+1)}{2{(1-{e}^{-1})}^{3}}


$
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-05-28 16:26 • 1 个回复 不感兴趣

一道积分证明题

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对于一个黎曼可积函数,用阶梯函数上下逼近即可。所以我们考察阶梯函数的情况。


设$a=a_1<a_2<\cdots<a_n=b$

对一个$[a,b]$的阶梯函数

$g(x)=\begin{cases}c_i,& a_i\le x... 显示全部 »
对于一个黎曼可积函数,用阶梯函数上下逼近即可。所以我们考察阶梯函数的情况。


设$a=a_1<a_2<\cdots<a_n=b$

对一个$[a,b]$的阶梯函数

$g(x)=\begin{cases}c_i,& a_i\le x< a_{i+1},1\le i< n-1\\c_{n-1}&a_{n-1}\le x\le b\end{cases}$

设$g(x)$在这个区间最大最小值之差为$K$

对任意$\epsilon>0$,令$\epsilon'=\dfrac{\epsilon}{n(K+1)}$,再不妨$\epsilon'<\min_i\{a_{i+1}-a_i\}/2$

定义函数$h(x)$

若$c_i\le c_{i+1}$则令$h(x)=\begin{cases}c_i& a_i\le x<a_{i+1}-\epsilon'\\\dfrac{c_{i+1}-c_i}{\epsilon'}(x-a_{i+1}+\epsilon')+c_i&a_{i+1}-\epsilon'\le x<a_{i+1}\\c_{i+1}&a_{i+1}\le x<a_{i+2}\end{cases}$

否则,责令$h(x)=\begin{cases}c_i& a_i\le x<a_{i+1}\\\dfrac{c_{i+1}-c_i}{\epsilon'}(x-a_{i+1})+c_i&a_{i+1}\le x<a_{i+1}+\epsilon'\\c_{i+1}&a_{i+1}+\epsilon'\le x<a_{i+2}\end{cases}$

显然$h(x)$连续,$h(x)\ge g(x)$

且$h(x)-g(x)$的非零部分至多只在$n-1$个长度为$\epsilon'$的区间上取得。而且在这些区间上,上下确界相差$|c_i-c_{i+1}|\le K$

于是$\int_a^b(h(x)-g(x))dx<(n-1)K\epsilon'<\epsilon$
对任意的开区间$I$,定义$\omega_f(I)=\sup\limits_{x\in I}f(x)-\inf\limits_{x\in I}f(x)$

对任意的$x\in [a,b]$,定义$\omega_f(x)=\lim\limits_{\delta\... 显示全部 »
对任意的开区间$I$,定义$\omega_f(I)=\sup\limits_{x\in I}f(x)-\inf\limits_{x\in I}f(x)$

对任意的$x\in [a,b]$,定义$\omega_f(x)=\lim\limits_{\delta\to0}\omega_f((x-\delta,x+ \delta))$

显然$f(x)$在$x=x_0$连续,当且仅当,$\omega_f(x_0)=0$

还容易知道,对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)<\epsilon\}$是开集,这意味着对任意$\epsilon>0$有$\{x:\omega(x)\ge\epsilon\}$是闭集。

于是,我们来证明对固定$q\in\mathbb{Q}^+$,闭集$F_q=\{x:\omega_f(x)\ge5q\}$是无处稠密的。

只需要证明,对任意闭区间$I\subset [a,b]$,$I\setminus F_q$非空。

取定闭区间$I$,在$I$中考虑$E_k=\bigcap\limits_{i,j\ge k}\{x:|f_i(x)-f_j(x)|\le q\}$

显然$E_k$单调递增,且$\bigcup\limits_{k}E_k=I$

而由$f_i,f_j$的连续性得到每个$E_k$是闭集。

于是由Baire纲定理存在$k$,使得$E_k$包含一个开区间$J$

在$J$中有$|f_i(x)-f_j(x)|\le q$对任意$i,j\ge k$成立

于是,令$i=k,j\to\infty$有$|f(x)-f_k(x)|\le q$成立

取$a\in J$有,存在一个包含$a$的区间$J'$,在$J'$中有$|f_k(x)-f_k(a)|\le q$

于是在$J'$中有$|f(x)-f_k(a)|\le 2q$,

得到在$J'$中$\omega_f(x)\le 4q$

说明$J'\subset I\setminus F_q$,即是说,右边非空。

得$F_q$是无处稠密的。

而$f$的不连续点集为$\bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}^+}F_q$是第一纲集合。
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-06-17 02:05 • 2 个回复 不感兴趣

二阶导数怎么求

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因为$f(x)$满足方程,所以

$f''(x)-2f(x)+4f(x)=0$

代入$x=x_0$有,$f''(x_0)-2f'(x_0)+4f(x_0)=0$

于是$f''(x_0)=-4f(x_0)<0$

所以在这点取极大值。
因为$f(x)$满足方程,所以

$f''(x)-2f(x)+4f(x)=0$

代入$x=x_0$有,$f''(x_0)-2f'(x_0)+4f(x_0)=0$

于是$f''(x_0)=-4f(x_0)<0$

所以在这点取极大值。
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-07-02 16:47 • 2 个回复 不感兴趣

一道极限题

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易知,$x_n\to0,n\to\infty$,于是容易得到$\lim\limits_{n\to\infty}(\cfrac{1}{\sin^2 x_n}-\cfrac{1}{x_n^2})=\dfrac{1}{3}$


于是$\lim\limits_{n\... 显示全部 »
易知,$x_n\to0,n\to\infty$,于是容易得到$\lim\limits_{n\to\infty}(\cfrac{1}{\sin^2 x_n}-\cfrac{1}{x_n^2})=\dfrac{1}{3}$


于是$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{nx_n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}(\dfrac{1}{nx_n^2}-\dfrac{1}{nx_1^2})= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (\dfrac{1}{x_{k+1}^2}-\dfrac{1}{x_k^2})$

有Stolz定理可得上面极限为 $\lim\limits_{n\to\infty}(\dfrac{1}{x_{n}^2}-\dfrac{1}{x_{n-1}^2})=\lim\limits_{n\to\infty}(\cfrac{1}{\sin^2 x_{n-1}}-\cfrac{1}{x_{n-1}^2})=\dfrac{1}{3}$

于是$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}x_n=\sqrt{3}$
凡星有梦

凡星有梦 回答了问题 • 2016-10-08 11:23 • 1 个回复 不感兴趣

有关等价无穷小的定义

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高阶无穷小量,重点在“阶”字。系数对阶数没有影响,故高阶无穷小量中通常不写系数。
高阶无穷小量,重点在“阶”字。系数对阶数没有影响,故高阶无穷小量中通常不写系数。
Eufisky

Eufisky 回答了问题 • 2016-11-25 17:21 • 1 个回复 不感兴趣

这个怎么证明

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\begin{align}
f\left( a \right) - f\left( \xi \right) = \frac{\xi }{2}{f^2}\left( \xi \right)
\end{align}
不成立吧,考察$f(x)=1$的情形.
\begin{align}
f\left( a \right) - f\left( \xi \right) = \frac{\xi }{2}{f^2}\left( \xi \right)
\end{align}
不成立吧,考察$f(x)=1$的情形.

积分公式的递推公式

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同一过程中,无限个无穷小之积还是无穷小吗?

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大学数学海马非马 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 336 次浏览 • 2017-07-23 20:32 • 来自相关话题

數學問題:2的20次方-1和2的19次方+1的最大公因數

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专业数学海马非马 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 242 次浏览 • 2017-07-23 21:06 • 来自相关话题

求助一个分式求和问题,谢谢!

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科研数学tjgtom 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 454 次浏览 • 2017-06-12 00:26 • 来自相关话题

求一个反常积分

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大学数学天使哥特唯美 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 440 次浏览 • 2017-06-03 10:08 • 来自相关话题

积分不等式

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大学数学ustc1830010557 发起了问题 • 0 人关注 • 0 个回复 • 505 次浏览 • 2017-04-26 10:13 • 来自相关话题

如何学好数学系的数学

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其他数学◣倔強的夢想◢ 回复了问题 • 23 人关注 • 19 个回复 • 3305 次浏览 • 2017-04-11 20:29 • 来自相关话题

伽马函数的一个不等式

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专业数学千古醉人98 回复了问题 • 4 人关注 • 1 个回复 • 1729 次浏览 • 2017-03-31 15:42 • 来自相关话题

一个反常积分

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大学数学南风知我意 发起了问题 • 4 人关注 • 0 个回复 • 1084 次浏览 • 2016-08-25 10:20 • 来自相关话题

向椭圆做法线的一个问题

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大学数学nichuang 发起了问题 • 2 人关注 • 0 个回复 • 729 次浏览 • 2016-09-23 07:25 • 来自相关话题