数学分析

极限求值问题

Ramanujan 回答了问题 • 2016-07-16 20:30 • 19 个回复 不感兴趣

如何学好数学系的数学

zhhhhxhq 回答了问题 • 2015-09-27 22:25 • 4 个回复 不感兴趣

一道求极限题目

$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr) =\lim... 显示全部 »$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}-\sum_{k=0}^{n-1}{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}+\sum_{k=n}^{\infty}{e}^{-k}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(1-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}{e}^{k})\end{smallmatrix}\bigr)$$\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(n(\cfrac{k}{n}+\cfrac{{k}^{2}}{2{n}^{2}}+O(\cfrac{{k}^{3}}{3{n}^{3}}))-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(\cfrac{{k}^{2}}{2n}+O(\cfrac{{k}^{3}}{{n}^{2}}))+O({(\cfrac{{k}^{2}}{2n})}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{3})}{n}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{4})}{4n}
\\=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=S=\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{{(k-1)}^{2}}{2}
\\=eS-\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{2k-1}{2}
=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}(2k-1)
\\=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}(2k+1)
=\cfrac{1}{2e-2}+{e}^{-1}S+\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k}
\\=\cfrac{1}{1-{e}^{-1}}\cfrac{1}{2e-2}(1+\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k})
=\cfrac{{e}^{-1}({e}^{-1}+1)}{2{(1-{e}^{-1})}^{3}}

$Math001 回答了问题 • 2016-05-28 16:26 • 1 个回复 不感兴趣 一道积分证明题 赞同来自: 对于一个黎曼可积函数，用阶梯函数上下逼近即可。所以我们考察阶梯函数的情况。 设$a=a_1<a_2<\cdots<a_n=b$对一个$[a,b]$的阶梯函数$g(x)=\begin{cases}c_i,& a_i\le x... 显示全部 »

$g(x)=\begin{cases}c_i,& a_i\le x< a_{i+1},1\le i< n-1\\c_{n-1}&a_{n-1}\le x\le b\end{cases}$

Math001 回答了问题 • 2016-06-18 03:28 • 3 个回复 不感兴趣

有关等价无穷小的定义

Eufisky 回答了问题 • 2016-11-25 17:21 • 1 个回复 不感兴趣

这个怎么证明

\begin{align}
f\left( a \right) - f\left( \xi \right) = \frac{\xi }{2}{f^2}\left( \xi \right)
\end{align}

\begin{align}
f\left( a \right) - f\left( \xi \right) = \frac{\xi }{2}{f^2}\left( \xi \right)
\end{align}