极限

极限

极限求值问题

大学数学暗者 回复了问题 • 4 人关注 • 2 个回复 • 911 次浏览 • 2017-03-31 15:40 • 来自相关话题

a[n+1]=k*a[n]*(1-a[n])的数列极限问题

大学数学[已注销] 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 499 次浏览 • 2017-03-31 15:37 • 来自相关话题

求一个极限问题

大学数学[已注销] 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 429 次浏览 • 2017-03-31 15:07 • 来自相关话题

求如图式子极限

大学数学[已注销] 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 405 次浏览 • 2017-03-31 15:06 • 来自相关话题

极限的证明

大学数学[已注销] 回复了问题 • 3 人关注 • 2 个回复 • 616 次浏览 • 2017-03-31 15:00 • 来自相关话题

若limf(x)≡0,f(x)是否一定有零点?

大学数学永進大帝 回复了问题 • 3 人关注 • 1 个回复 • 503 次浏览 • 2016-11-04 12:51 • 来自相关话题

大神,求过程,谢谢

大学数学曼斯拉乌 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 548 次浏览 • 2016-07-26 00:28 • 来自相关话题

二重积分,极限

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大学数学ゞ灬若心╰→ 发起了问题 • 2 人关注 • 0 个回复 • 887 次浏览 • 2016-04-24 00:28 • 来自相关话题

一道求极限题目

大学数学小灰灰 回复了问题 • 1 人关注 • 1 个回复 • 837 次浏览 • 2016-04-17 01:01 • 来自相关话题

一个组合极限题目

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大学数学ゞ灬若心╰→ 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 813 次浏览 • 2016-04-13 10:54 • 来自相关话题

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妖心儿

妖心儿 回答了问题 • 2015-09-28 17:59 • 3 个回复 不感兴趣

如何证明$\cfrac{x^n}{n!}\to0$

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$\left|\cfrac {x^n}{n!} \right|=\cfrac {|x|^{[|x|]}}{[|x|]!}\cfrac {|x|}{[|x|]+1}\cfrac {|x|}{[|x|]+2}...\cfrac {|x|}n\le \cfrac {... 显示全部 »
$\left|\cfrac {x^n}{n!} \right|=\cfrac {|x|^{[|x|]}}{[|x|]!}\cfrac {|x|}{[|x|]+1}\cfrac {|x|}{[|x|]+2}...\cfrac {|x|}n\le \cfrac {|x|^{[|x|]}}{[|x|]!}\cfrac {|x|}n \rightarrow 0,n\rightarrow \infty.$
代数龙

代数龙 回答了问题 • 2015-10-07 22:19 • 1 个回复 不感兴趣

limn趋于无穷cosx/2·cosx/4…cosx/2^n

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解答如下:
\begin{eqnarray}\cos \cfrac{x}{2}\cos \cfrac{x}{4}\cdots \cos \cfrac{x}{2^n} &=\cfrac{\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\c... 显示全部 »
解答如下:
\begin{eqnarray}\cos \cfrac{x}{2}\cos \cfrac{x}{4}\cdots \cos \cfrac{x}{2^n} &=\cfrac{\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\cdots (\cos \frac{x}{2^n} \sin \frac{x}{2^n}2) 2^{n-1}}{2^n}\cdot \cfrac{1}{\sin \frac{x}{2^n}}\\ &= \cfrac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{2^n}{x}\cdot\sin \frac{x}{2^n}} \rightarrow\cfrac{\sin x}{x}(n \rightarrow \infty).\end{eqnarray}
望采纳,点击右下角的最佳回复或者赞哦!!!哈哈
利用等价无穷小量,x->兀/6时,Sin(X-兀/6)/(X-兀/6)=1。则X->兀/6时,和差化积,(SinX-1/2)/(X-兀/6)=(SinX-Sin兀/6)/(X-兀/6)=2C0S(兀/6)Sin[(X-兀/6)/2]/[2·(X-兀... 显示全部 »
利用等价无穷小量,x->兀/6时,Sin(X-兀/6)/(X-兀/6)=1。则X->兀/6时,和差化积,(SinX-1/2)/(X-兀/6)=(SinX-Sin兀/6)/(X-兀/6)=2C0S(兀/6)Sin[(X-兀/6)/2]/[2·(X-兀/6)/2]=C0S(兀/6)=3^(1/2)。手机打的字体别介意。
好道周

好道周 回答了问题 • 2015-10-12 18:12 • 2 个回复 不感兴趣

求下列题目极限

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有界和无穷小乘积是0
有界和无穷小乘积是0
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-10-14 12:57 • 1 个回复 不感兴趣

怎么用定义证明极限

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因为
$|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{2(2n+1)}\le \dfrac{1}{4n}\le\dfrac{1}{n}$

所以,对任意给定的$\epsilon>0$,取$N=[\dfrac{1}... 显示全部 »
因为
$|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{2(2n+1)}\le \dfrac{1}{4n}\le\dfrac{1}{n}$

所以,对任意给定的$\epsilon>0$,取$N=[\dfrac{1}{\epsilon}]$,当$n>N$时有

$|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}| \le\dfrac{1}{n}<\epsilon$
代数龙

代数龙 回答了问题 • 2015-12-24 19:34 • 2 个回复 不感兴趣

一题极限的问题

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解:首先,你需要了解等价无穷小的概念. 其次就是运算技巧,在乘除运算中等价量是可以替换的,在和差运算中替换是需要满足条件的(一般不推荐使用).
\begin{equation} \begin{aligned}\lim_{x\to 0} \frac{\arc... 显示全部 »
解:首先,你需要了解等价无穷小的概念. 其次就是运算技巧,在乘除运算中等价量是可以替换的,在和差运算中替换是需要满足条件的(一般不推荐使用).
\begin{equation} \begin{aligned}\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x \arcsin x} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x\cdot x}=1.\end{aligned}\end{equation}
当$x \to 0$时,有如下等价量
\begin{gather} \arctan x \sim x \\
\arcsin x \sim x \\
\tan x \sim x \\
\sin x \sim x \\
\cos x \sim 1-\frac{1}{2}x^2 \\
\ln (1+x) \sim x \\
e^x -1\sim x \\
a^x-1 \sim x \ln a \\
\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} \\
(1+bx)^c -1 \sim cbx.
\end{gather}
望采纳,记得点赞和最佳回复哦!嘿嘿!!!
代数龙

代数龙 回答了问题 • 2016-01-10 22:55 • 1 个回复 不感兴趣

求数列极限

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In fact, the following paper have a genaralization proposition: A. Herschfeld, $On$ $infinite$ $radicals$. American Mathematical ... 显示全部 »
In fact, the following paper have a genaralization proposition: A. Herschfeld, $On$ $infinite$ $radicals$. American Mathematical Monthly, 1935 419-429, that is
\begin{equation}\text{A sequence } u_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\cdots+\sqrt{a_n}}} \text{is convergent}\displaystyle
\Leftrightarrow \varlimsup\limits_{n \rightarrow \infty} a_n^{2^{^{-n}}}<+\infty \end{equation}
It is obvious that $\varlimsup\limits_{n \rightarrow \infty} a^{2^{^{-n}}}=1<+\infty$, So we may assume that $\lim\limits_{x\to +\infty}x_n=x$, we can pass to limit $n \to +\infty$ in $x_n=\sqrt{a+x_{n-1}}$, giving $x=\sqrt{a+x}$ , thus $x=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$.
Now, I'll give you a elementary solution.
Since $a>0, x_1=\sqrt{a}<\sqrt{a+\sqrt{a}}=x_2$. By induction, if $x_{n}<x_{n+1}$, then $x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}<\sqrt{a+x_{n+1}}=x_{n+2}$. Thus, $x_{n}$ is an increasing sequence.
To show the sequence $x_{n}$ is bounded, firstly, we consider the case where $a\geqslant 2$, in this case, $0<x_1=\sqrt{a}\leqslant a$, now if $0<x_n\leqslant a$ for any positive integer $n$, it follows that $0<x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}\leqslant \sqrt{2a}\leqslant a$. Thus also by induction we have $0<x_{n}\leqslant 2$ for all $n$.
lastly, considering the case $0<a<2$, you can show that $0<x_n <2$ by analogous methods ( By induction).
Therefore, we have shown $x_n$ is monotone and bounded sequence.
嘿嘿,记得点赞和最佳回复哦!!!
小灰灰

小灰灰 回答了问题 • 2016-04-17 01:01 • 1 个回复 不感兴趣

一道求极限题目

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$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim... 显示全部 »
$\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\cfrac{e}{e-1}-\sum_{k=1}^{n}{(\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}-\sum_{k=0}^{n-1}{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}\end{smallmatrix}\bigr)
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}+\sum_{k=n}^{\infty}{e}^{-k}\end{smallmatrix}\bigr)
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(1-{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}{e}^{k})\end{smallmatrix}\bigr)$$
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(n(\cfrac{k}{n}+\cfrac{{k}^{2}}{2{n}^{2}}+O(\cfrac{{k}^{3}}{3{n}^{3}}))-k+O({(-ln{(1-\cfrac{k}{n})}^{n}-k)}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
\\=\lim\limits_{n\to \infty}n\bigl(\begin{smallmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}(\cfrac{{k}^{2}}{2n}+O(\cfrac{{k}^{3}}{{n}^{2}}))+O({(\cfrac{{k}^{2}}{2n})}^{2})\end{smallmatrix}\bigr)$$
=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{3})}{n}+\cfrac{O(\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}{k}^{4})}{4n}
\\=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}\cfrac{{k}^{2}}{2}
=S=\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{{(k-1)}^{2}}{2}
\\=eS-\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}\cfrac{2k-1}{2}
=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}{e}^{-k+1}(2k-1)
\\=\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=0}^{\infty}{e}^{-k}(2k+1)
=\cfrac{1}{2e-2}+{e}^{-1}S+\cfrac{1}{2e-2}\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k}
\\=\cfrac{1}{1-{e}^{-1}}\cfrac{1}{2e-2}(1+\sum_{k=1}^{\infty}2{e}^{-k})
=\cfrac{{e}^{-1}({e}^{-1}+1)}{2{(1-{e}^{-1})}^{3}}


$
曼斯拉乌

曼斯拉乌 回答了问题 • 2016-07-26 00:26 • 1 个回复 不感兴趣

大神,求过程,谢谢

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分子分母同时乘以分母的共轭因式,答案为-2
分子分母同时乘以分母的共轭因式,答案为-2
Math001

Math001 回答了问题 • 2016-09-21 19:57 • 2 个回复 不感兴趣

极限求值问题

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令$t=\dfrac{1}{x}$

则$原式=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\ln(e+t)-1}{t}=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\frac{1}{e+t}}{1}$

$=\lim\limits_{t\to... 显示全部 »
令$t=\dfrac{1}{x}$

则$原式=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\ln(e+t)-1}{t}=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\frac{1}{e+t}}{1}$

$=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{1}{e+t}=1/e$

如果不用替换有

$原式=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(\frac{ex+1}{x})-1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln({ex+1})-\ln x-1}{\frac{1}{x}}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{e}{ex+1}-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{ex+1}=1/e$

结果一样。

极限求值问题

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