泛函分析

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求证:完备的欧几里得空间(不一定可分)一定具有标准正交基

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泛函分析问题

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泛函分析问题

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Math001

Math001 回答了问题 • 2014-04-04 21:15 • 0 个回复 不感兴趣

$c_0$空间与$c$空间同胚问题

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设$x=< x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\in c $,且$x_n\to r_x$

令$ f:c\to c_0, <x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\to < r_x,x_0-r_x,... 显示全部 »
设$x=< x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\in c $,且$x_n\to r_x$

令$ f:c\to c_0, <x_0,x_1,\cdots,x_n,\cdots>\to < r_x,x_0-r_x,x_1-r_x,\cdots,x_n-r_x,\cdots >$
这个就是一个同胚
妖心儿

妖心儿 回答了问题 • 2015-11-25 16:58 • 1 个回复 不感兴趣

两个泛函分析问题

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第一个问题你应该多读读书,看看什么是闭图像定理。。。闭图像定理是说如果图像是闭的,那么算子就是连续的。。。你要证明图像是闭的,就是说$G=\{(x,Tx)|x\in X\}$在乘积空间$X\times Y$中是闭的,乘积空间的范数定义为$||(x,y)||=|... 显示全部 »
第一个问题你应该多读读书,看看什么是闭图像定理。。。闭图像定理是说如果图像是闭的,那么算子就是连续的。。。你要证明图像是闭的,就是说$G=\{(x,Tx)|x\in X\}$在乘积空间$X\times Y$中是闭的,乘积空间的范数定义为$||(x,y)||=||x||_1+||y||_2$。。。所以任取$X\times Y$中的一个点$(x,y)$,当它是G的极限点时,因为$G$中的点都具有$(x,Tx)$的形式,所以有一列$(x_n,Tx_n)$按照乘积空间中的范数趋于$(x,y)$,也就是$x_n$趋于x,$Tx_n$趋于y。。。
然后收敛肯定弱收敛,就有$x_n$弱收敛于$x$, 所以$Tx_n$弱收敛于$Tx$. 另外$Tx_n$收敛于$y$所以也弱收敛于$y$. 然后弱极限唯一,就有$y=Tx$.也就是说$(x,y)=(x,Tx)\in G$.所以G是闭的。。。这时候闭图像定理就可以用了嘛。。。
反过来如果$T$是连续的,那么对于任意的有界线性泛函$f$,复合函数$fT$当然也就连续了,如果$x_n\overset{w}{\rightarrow} x$, 就有$fTx_n\to fTx$, 也就是说$Tx_n\overset{w}{\rightarrow}Tx$.
第二个问题你是不是打错了,应该是$A_n^*$强强收敛于$A^*$吧。。。这个根据$||A||=||A^*||$是显然的啊。。。用这个不就是$||A_n^*-A^*||=||A_n-A||$了嘛。。。不知道你看的是什么书,如果书上没有这些东西那建议你换本书看吧。。。
妖心儿

妖心儿 回答了问题 • 2015-11-27 18:55 • 1 个回复 不感兴趣

一个泛函分析问题

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这个并不是包含关系,而是商空间。。。
就是说$A:X\to Y$,这个映射是满射,但不一定是 单射,但是通过可以把A诱导到商空间$X/N(A)$上,这里$N(A)$是$A$的核,也就是$N(A)=\{x|Ax=0\}$.
$A':X/A(N)\to Y,A'[... 显示全部 »
这个并不是包含关系,而是商空间。。。
就是说$A:X\to Y$,这个映射是满射,但不一定是 单射,但是通过可以把A诱导到商空间$X/N(A)$上,这里$N(A)$是$A$的核,也就是$N(A)=\{x|Ax=0\}$.
$A':X/A(N)\to Y,A'[x]=Ax$
这样就有$A'$是单满的,之后再处理起来就很容易了。。。
小灰灰

小灰灰 回答了问题 • 2015-12-04 11:08 • 1 个回复 不感兴趣

一个求线性算子的范数问题

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一般的,$T:L[0,1]\to L[0,1]$
$g(x)\mapsto$$\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt$ 其中,f(t)$\in$C[0,1],
求$\left\|T\right\|$以及$T$的... 显示全部 »
一般的,$T:L[0,1]\to L[0,1]$
$g(x)\mapsto$$\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt$ 其中,f(t)$\in$C[0,1],
求$\left\|T\right\|$以及$T$的一个非平凡子空间
解:$\left\|Tg\right\|=\int_{0}^{1}\left|\int_{0}^{x}f(t)g(t)dt\right|dx$
$\leqslant\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\left|f(t)g(t)\right|dtdx$
$=\left(x\int_{0}^{x}\left|f(t)g(t)\right|dt\right)\mid_0^1-\int_{0}^{1}x\left|f(x)g(x)\right|dx$
$=\int_{0}^{1}(1-x)\left|f(x)g(x)\right|dx$
$\leqslant M\int_{0}^{1}\left|g(x)\right|dx\leqslant M\left\|g\right\|$
其中,$M=\underset{x\in[0,1]}{sup}(1-x)\left|f(x)\right|$,不妨设$(1-x_0)f(x_0)=M,x_0\in(0,1)$
定义函数如下:$a_n(x)=n\chi_{(x_0-\cfrac{1}{2n},x_0+\cfrac{1}{2n})}$,则有$\left\|a_n\right\|=1$
由连续性知,当n充分大时,$(1-x)f(x)在(x_0-\cfrac{1}{2n},x_0+\cfrac{1}{2n})上为正$
$故a_n(x)f(x)在[0,1]非负$
$\left\|Ta_n(x)\right\|=\int_{0}^{1}\left|\int_{0}^{x}f(t)a_n(t)dt\right|dx$
$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}a_n(t)f(t)dtdx$
$=\int_{0}^{1}(1-x)a_n(x)f(x)dx$
$=\int_{x_0-\cfrac{1}{2n}}^{x_0+\cfrac{1}{2n}}(1-x)a_n(x)f(x)dx$
$=\int_{x_0-\cfrac{1}{2n}}^{x_0+\cfrac{1}{2n}}(M+o(1))a_n(x)dx$
$=M+o(1)$
即$\lim\limits_{n\to\infty}\left\|Ta_n\right\|=M,故\left\|T\right\|=M$

$显然对于任意t\in(0,1),\chi_{[0,t]}(x)L[0,1]$是T的非平凡子空间

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