矩阵

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问一道高代行列式。

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一个矩阵问题

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一个矩阵问题

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关于矩阵和行列式

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元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-06-30 07:19 • 1 个回复 不感兴趣

矩阵存在性证明

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容易验证 $S=(E-A)(E+A)^{-1}$ 是满足要求的实反对称阵。
容易验证 $S=(E-A)(E+A)^{-1}$ 是满足要求的实反对称阵。
元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-08-16 14:58 • 1 个回复 不感兴趣

一个行列式证明

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把 $\det(A)$ 记成 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$.
$λ_1>0$ 的条件可以去掉, 因为
$a_1^s\dotsm a_n^sD(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1... 显示全部 »
把 $\det(A)$ 记成 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$.
$λ_1>0$ 的条件可以去掉, 因为
$a_1^s\dotsm a_n^sD(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)
=D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1+s,\dotsc,\lambda_n+s)$.

先证明 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)\neq0$. 用归纳法可以假定阶数小于 $n$ 时结论已成立.
$D=0$ 等价于存在非零常数 $c_1$, $\dotsc$, $c_n$ 使得对每个 $i$ 都有 $c_1a_i^{\lambda_1}+\dotsb+c_na_i^{\lambda_n}=0$.
于是函数 $f(x)=c_1x^{\lambda_1}+\dotsb+c_nx^{\lambda_n}$ 至少有 $n$ 个正根.
设 $c_1$, $\dotsc$, $c_n$ 中去掉 $c_k$ 后仍然不全为零.
由 Rolle 定理,
$[f(x)/x^{\lambda_k}]'=\sum\limits_{i\neq k}c_i(\lambda_i-\lambda_k)x^{\lambda_i-\lambda_k-1}$
至少有 $n-1$ 个正根 $\xi_1$, $\dotsc$, $\xi_{n-1}$.
这样就得到 $D(\xi_1,\dotsc,\xi_{n-1};\lambda_1-\lambda_k-1,\dotsc,\lambda_n-\lambda_k-1)=0$,
或者等价地 $D(\xi_1,\dotsc,\xi_{n-1};\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)=0$, 和归纳假设矛盾.

接下来就好办了. 考察连续函数
$g(t)=D(a_1,\dotsc,a_n;t+(1-t)\lambda_1,\dotsc,t+(1-t)\lambda_n).$
$g(1)$ 是 Vandermonde 行列式, 若 $g(0)<0$, 由 $g(1)>0$ 得 $(0,1)$ 之间必有零点, 矛盾.

问一道高代行列式。

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