群论

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有限群中子群的共轭类生成的群

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专业数学TIMOSTONEMAN 发起了问题 • 0 人关注 • 0 个回复 • 242 次浏览 • 2017-03-29 10:34 • 来自相关话题

群共轭作用下关于轨道的一个问题

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专业数学TIMOSTONEMAN 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 211 次浏览 • 2017-03-29 10:21 • 来自相关话题

设G是群,H是阿贝尔群,从G到H有n个同态,求从s个G的直和到H有多少个同态

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大学数学凌空一羽 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 938 次浏览 • 2016-01-19 10:58 • 来自相关话题

$G$是群,则对任意的$n$,集合$S_n=\{g^n|g∈G\}$是否是$G$的子群?

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大学数学hahaha 发起了问题 • 0 人关注 • 0 个回复 • 669 次浏览 • 2014-10-01 18:05 • 来自相关话题

设$A,B$为$G$的有限子群.证明:$|A|\cdot|B|=|AB|\cdot|A∩B|$

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大学数学hahaha 发起了问题 • 0 人关注 • 0 个回复 • 958 次浏览 • 2014-12-14 13:23 • 来自相关话题

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$n=2$时,由两个元素$a,b$生成的自由群$a^2b^2$不是任何元的平方
$n=2$时,由两个元素$a,b$生成的自由群$a^2b^2$不是任何元的平方
注意到$A\cap B$为$A$的子群,也是$B$的子群。

设$|A\cap B|=r $,$A\cap B$分划$A$的左陪集数是$m$,分划$B$的右倍集数为$n$

这样$|A|=mr,|B|=nr$

现在只需要证明$|AB|=mnr$

在上述中的... 显示全部 »
注意到$A\cap B$为$A$的子群,也是$B$的子群。

设$|A\cap B|=r $,$A\cap B$分划$A$的左陪集数是$m$,分划$B$的右倍集数为$n$

这样$|A|=mr,|B|=nr$

现在只需要证明$|AB|=mnr$

在上述中的每个陪集里取一代表$a_1,a_2,\cdots,a_m$,

令$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$,

注意$a_i^{-1}a_j\notin A\cap B, i\not=j~~~~(*)$

现在来证 $SB=AB$,一方面由$S\subset A$得到$SB\subset AB$

令一方面,取$ab,a\in A,b\in B$,则存在$a_i\in S,c\in A\cap B$,有$a_ic=a$

于是$ab=a_i(cb)\in SB$

再来证$|SB|=|S||B|=mnr$于是证毕。

设$B=\{b_1,\cdots,b_n\}$则$SB=\{a_ib_j:a_i\in S,b_j\in B\}$,其中${1\le i\le m,1\le j\le n}$

现在只要证当$i\not=i'$及$j\not=j'$时,$a_ib_j\not=a_{i'}b_{j'}$

否则有$a_{i'}^{-1}a_i =b_{j'}b_{j}^{-1}\in A\cap B$,与$(*)$矛盾,于是完成证明

有限群中子群的共轭类生成的群

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