行列式

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如何学好数学系的数学

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问一道高代行列式。

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行列式计算

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矩阵迹与行列式问题

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一道余子式与行列式问题

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行列式计算

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Ramanujan

Ramanujan 回答了问题 • 2016-07-16 20:30 • 19 个回复 不感兴趣

如何学好数学系的数学

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很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-06-26 15:48 • 1 个回复 不感兴趣

行列式计算

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设$D_n=\left|\begin{matrix}x&y&y&\cdots&y\\z&x&y&\cdots&y\\z&z&x&\cdots&y\\&&am... 显示全部 »
设$D_n=\left|\begin{matrix}x&y&y&\cdots&y\\z&x&y&\cdots&y\\z&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\z&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_{n}$

情况1: 若$y=z$,容易计算$D_n=[x+(n-1)y](x-y)^{n-1}$

情况2:若$y\not=z$

则有$D_n=\left|\begin{matrix}z+(x-z)&y&y&\cdots&y\\z&x&y&\cdots&y\\z&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\z&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_n$

$=\left|\begin{matrix}z&y&y&\cdots&y\\z&x&y&\cdots&y\\z&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\z&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_n+\left|\begin{matrix}x-z&y&y&\cdots&y\\0&x&y&\cdots&y\\0&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\0&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_n$

$=z\left|\begin{matrix}1&y&y&\cdots&y\\1&x&y&\cdots&y\\1&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\1&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_n+(x-z)\left|\begin{matrix}x&y&y&\cdots&y\\z&x&y&\cdots&y\\z&z&x&\cdots&y\\&&\cdots\\z&z&z&\cdots&x\end{matrix}\right|_{n-1}$

$=z(x-y)^{n-1}+(x-z)D_{n-1}$

即得到递推式子$D_n=z(x-y)^{n-1}+(x-z)D_{n-1}$

注意原行列式转置后,值不变。而转置后只是符号$y$与$z$对换。

于是有$D_n=y(x-z)^{n-1}+(x-y)D_{n-1}$

联立解得$D_n=\dfrac{y(x-z)^n - z(x-y)^n}{y-z}$
元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-08-04 13:10 • 1 个回复 不感兴趣

矩阵迹与行列式问题

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记 $A$ 的特征值的基本对称多项式为 $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$, $\ldots$
把第 $2$ 列的 $-e_1$ 倍, 第 $3$ 列的 $e_2$ 倍, $\ldots$, 第 $n$ 行的 $(-1)^{n-1}e_... 显示全部 »
记 $A$ 的特征值的基本对称多项式为 $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$, $\ldots$
把第 $2$ 列的 $-e_1$ 倍, 第 $3$ 列的 $e_2$ 倍, $\ldots$, 第 $n$ 行的 $(-1)^{n-1}e_{n-1}$ 倍都加到第一列上, 这样第一列的前 $n-1$ 个元素都是 $0$ (利用 Newton 恒等式), 最后一个元素是 $(-1)^{n-1}ne_n=n\det(A)$, 按该列展开即结论.
元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-08-16 14:58 • 1 个回复 不感兴趣

一个行列式证明

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把 $\det(A)$ 记成 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$.
$λ_1>0$ 的条件可以去掉, 因为
$a_1^s\dotsm a_n^sD(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1... 显示全部 »
把 $\det(A)$ 记成 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$.
$λ_1>0$ 的条件可以去掉, 因为
$a_1^s\dotsm a_n^sD(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)
=D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1+s,\dotsc,\lambda_n+s)$.

先证明 $D(a_1,\dotsc,a_n;\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)\neq0$. 用归纳法可以假定阶数小于 $n$ 时结论已成立.
$D=0$ 等价于存在非零常数 $c_1$, $\dotsc$, $c_n$ 使得对每个 $i$ 都有 $c_1a_i^{\lambda_1}+\dotsb+c_na_i^{\lambda_n}=0$.
于是函数 $f(x)=c_1x^{\lambda_1}+\dotsb+c_nx^{\lambda_n}$ 至少有 $n$ 个正根.
设 $c_1$, $\dotsc$, $c_n$ 中去掉 $c_k$ 后仍然不全为零.
由 Rolle 定理,
$[f(x)/x^{\lambda_k}]'=\sum\limits_{i\neq k}c_i(\lambda_i-\lambda_k)x^{\lambda_i-\lambda_k-1}$
至少有 $n-1$ 个正根 $\xi_1$, $\dotsc$, $\xi_{n-1}$.
这样就得到 $D(\xi_1,\dotsc,\xi_{n-1};\lambda_1-\lambda_k-1,\dotsc,\lambda_n-\lambda_k-1)=0$,
或者等价地 $D(\xi_1,\dotsc,\xi_{n-1};\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)=0$, 和归纳假设矛盾.

接下来就好办了. 考察连续函数
$g(t)=D(a_1,\dotsc,a_n;t+(1-t)\lambda_1,\dotsc,t+(1-t)\lambda_n).$
$g(1)$ 是 Vandermonde 行列式, 若 $g(0)<0$, 由 $g(1)>0$ 得 $(0,1)$ 之间必有零点, 矛盾.

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