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博弈论 3人枪战 生存率问题

专业数学小灰灰 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 1230 次浏览 • 2016-04-23 16:42 • 来自相关话题

一个有趣的不定积分

大学数学★永ぁ恒ギ★ 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 985 次浏览 • 2016-04-03 20:38 • 来自相关话题

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小灰灰

小灰灰 回答了问题 • 2016-04-23 16:30 • 1 个回复 不感兴趣

博弈论 3人枪战 生存率问题

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$两人的时候,会相互开枪,不会放空枪
\\所以三人时,如果要开枪,总会选择射击对面两人中命中率高的人,故BC都只会对A开枪,
\\所以A不能坐以待毙,只有反击,每轮都会开枪打B,B也只会打A,直到有人死亡
\\C在AB有一人死之前,如果开枪射击命中A或B,剩下... 显示全部 »
$两人的时候,会相互开枪,不会放空枪
\\所以三人时,如果要开枪,总会选择射击对面两人中命中率高的人,故BC都只会对A开枪,
\\所以A不能坐以待毙,只有反击,每轮都会开枪打B,B也只会打A,直到有人死亡
\\C在AB有一人死之前,如果开枪射击命中A或B,剩下一人都会马上射击C,这时C为后手。
\\故C应该在AB两人存活时放空枪,并且在AB一人死之后立即开枪射击活下的人,这样有先手优势
\\\
\\
设A,B,C的命中率分别为a,b,c,a>b>c,C的存活率为
\\\sum_{n=0}^{\infty}{(1-a)(1-b)}^{n}a*\sum_{k=0}^{\infty}{(1-a)(1-c)}^{k}c+\sum_{n=1}^{\infty}{(1-a)}^{n}{(1-b)}^{n-1}b*\sum_{k=0}^{\infty}{(1-b)(1-c)}^{k}c
\\=\cfrac{a}{1-(1-a)(1-b)}\cfrac{c}{1-(1-a)(1-c)}+\cfrac{b(1-a)}{1-(1-a)(1-b)}\cfrac{c}{1-(1-c)(1-b)}
=\cfrac{125}{893}

\\\ \\\
注意到\cfrac{a}{1-(1-a)(1-b)}+\cfrac{b(1-a)}{1-(1-a)(1-b)}=1,即C的存活率大于与B对拼并先开枪\\的存活率(\cfrac{c}{1-(1-c)(1-b)}),小于A对拼且先开枪的存活率(\cfrac{c}{1-(1-a)(1-c)}),
\\前半句话意为:菜鸟可以采取策略在一定程度上提高自己的存活率
\\后半句话意为:菜鸟还是菜鸟,策略只能提高一部分存活率,提高实力(命中率)才是王道




$
★永ぁ恒ギ★

★永ぁ恒ギ★ 回答了问题 • 2016-04-03 20:38 • 1 个回复 不感兴趣

一个有趣的不定积分

赞同来自:

在开始之前,先介绍几个恒等式:
⑴ $\textrm{sin}^3\theta+\textrm{cos}^3\theta$
$\equiv\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)\left(\tex... 显示全部 »
在开始之前,先介绍几个恒等式:
⑴ $\textrm{sin}^3\theta+\textrm{cos}^3\theta$
$\equiv\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)\left(\textrm{sin}^2\theta-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta+\textrm{cos}^2\theta \right)$
$\equiv\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)\left(1-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta \right).$

⑵ $\textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta$
$\equiv\sqrt{2}\textrm{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right)\textrm{sin}\left( \theta\right)+\sqrt{2}\textrm{sin}\left(\frac{\pi}{4}\right)\textrm{cos}\left( \theta\right)$
$\equiv\sqrt{2}\textrm{sin}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right).$

⑶ $1+2\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta$
$\equiv\textrm{sin}^2\theta+2\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta+\textrm{cos}^2\theta $
$\equiv\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)^2.$

⑷ $\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta\equiv\frac{1}{2}\textrm{sin}2\theta.$

⑸ $\textrm{sin}\left(2\phi - \frac{\pi}{2}\right)$
$\equiv-\textrm{cos}2\phi$
$\equiv1-2\textrm{cos}^2\phi.$

⑹ $\sqrt{2}\textrm{cos}\left(\theta+\frac{\pi}{4} \right)\equiv\textrm{cos}\theta-\textrm{sin}\theta.$

⑺ $\left[ \textrm{csc}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)+\textrm{cot}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{-1}\equiv\textrm{tan}\left( \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{8}\right).$
————————————————
设$\displaystyle I= \int \cfrac{d\theta}{\textrm{sin}^3\theta+\textrm{cos}^3\theta}.$
我们引入一个辅助计算的积分,设为$J$:
$\displaystyle J= \int \cfrac{\textrm{sin}\theta\ \textrm{cos}\theta\ d\theta}{\textrm{sin}^3\theta+\textrm{cos}^3\theta}.$


$\displaystyle I-J= \int \cfrac{\left(1-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta \right)d\theta}{\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)\left(1-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta \right)}=\int\cfrac{d\theta}{\textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta}$
$\displaystyle =\cfrac{\sqrt{2}}{2} \int \textrm{csc}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)d\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)$
$\displaystyle =-\cfrac{\sqrt{2}}{2} \textrm{ln}\left[ \textrm{csc}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)+\textrm{cot}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)\right]+C_1\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\ \textbf{①}$


$\displaystyle I+2J= \int \cfrac{\left(1+2\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta \right)d\theta}{\left( \textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta\right)\left(1-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta \right)}=\int \cfrac{\left(\textrm{sin}\theta+\textrm{cos}\theta \right)d\theta}{1-\textrm{sin}\theta\textrm{cos}\theta}$
$\displaystyle =2\sqrt{2} \int \cfrac{\left[\textrm{sin}\left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)\right]d\theta}{2-\textrm{sin} 2\theta}$ (设$\phi=\theta+\frac{\pi}{4}$)
$\displaystyle =2\sqrt{2} \int \cfrac{\textrm{sin}\phi \ d\phi}{2-(1-2\textrm{cos}^2\phi)}$
$\displaystyle =-\sqrt{2} \int \cfrac{\ d(\textrm{cos}\phi)}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\textrm{cos}^2\phi}$
$\displaystyle =-\sqrt{2} \left\{ \sqrt{2}\textrm{arctan}\left( \sqrt{2}\textrm{cos}\phi\right)\right\}+C_2$
$\displaystyle =-2\textrm{arctan}\left( \textrm{cos}\theta-\textrm{sin}\theta\right)+C_2$
$\displaystyle =2\textrm{arctan}\left( \textrm{sin}\theta-\textrm{cos}\theta\right)+C_2\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\ \textbf{②}$


$2\textbf{①}+\textbf{②}=3I$
$=-\sqrt{2}\textrm{ln}\left[ \textrm{csc}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)+\textrm{cot}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)\right]+2C_1+2\textrm{arctan}\left( \textrm{sin}\theta-\textrm{cos}\theta\right)+C_2$

$I=-\cfrac{\sqrt{2}}{3}\textrm{ln}\left[ \textrm{csc}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)+\textrm{cot}\left( \theta+\frac{\pi}{4}\right)\right]+\cfrac{2}{3}\textrm{arctan}\left( \textrm{sin}\theta-\textrm{cos}\theta\right)+C$
$\underline {\underline{ =\cfrac{\sqrt{2}}{3}\textrm{ln}\ \textrm{tan}\left( \cfrac{\theta}{2}+\cfrac{\pi}{8}\right)+\cfrac{2}{3}\textrm{arctan}\left( \textrm{sin}\theta-\textrm{cos}\theta\right)+C}}.$

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