高等代数

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高等代数丘维声课后习题

大学数学海马非马 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 79 次浏览 • 2017-12-04 08:43 • 来自相关话题

求教定积分和反常积分的题,求解题步骤

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大学数学 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 432 次浏览 • 2017-07-18 17:25 • 来自相关话题

如何学好数学系的数学

其他数学◣倔強的夢想◢ 回复了问题 • 23 人关注 • 19 个回复 • 3654 次浏览 • 2017-04-11 20:29 • 来自相关话题

高等代数题目

大学数学[已注销] 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 761 次浏览 • 2017-03-31 15:36 • 来自相关话题

点(u,v)是圆锥曲线上的点,那么直线y=ux+v是否恒与另一个圆锥曲线相切?

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大学数学MathematicaV9 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 785 次浏览 • 2017-01-09 12:27 • 来自相关话题

f(n)是整变整值函数,(m-n)|f(m)-f(n),它是否一定是多项式函数?

其他数学icesheep 回复了问题 • 3 人关注 • 2 个回复 • 950 次浏览 • 2016-12-04 00:33 • 来自相关话题

高代 次数等于一复系数多项式为啥在复数领域上没有根

大学数学shaxudong 回复了问题 • 2 人关注 • 1 个回复 • 745 次浏览 • 2016-10-19 21:10 • 来自相关话题

证明:秩为k的m*n阶矩阵全体构成一个k(m+n-k)维光滑流形

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专业数学凌空一羽 发起了问题 • 1 人关注 • 0 个回复 • 844 次浏览 • 2016-08-04 08:50 • 来自相关话题

问一道高代行列式。

专业数学mathematica 回复了问题 • 3 人关注 • 1 个回复 • 806 次浏览 • 2016-07-30 17:04 • 来自相关话题

证明整系数多项式不可约

大学数学妖心儿 回复了问题 • 5 人关注 • 2 个回复 • 1706 次浏览 • 2016-07-23 18:24 • 来自相关话题

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Ramanujan

Ramanujan 回答了问题 • 2016-07-16 20:30 • 19 个回复 不感兴趣

如何学好数学系的数学

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很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
很少有人能勤奋到需要去拼天赋的状态,我觉得应该多想多思考,你有试过夜深人静的时候看数学书考到半夜两点钟的状态吗?只要肯花时间,肯去思考肯定会有进步的,而且当你上瘾之后,你会发现学数学还有解数学题是一种享受。
注意到如果$z$是是系数多项式的根,则$\overline{z}$也是。

于是多项式的虚数根成对出现。

于是多项式在复数域能分解成

$a(x-x_1)\cdots(x-x_m)(x-z_1)(x-\overline{z_1})\cdots(x-z_n)(... 显示全部 »
注意到如果$z$是是系数多项式的根,则$\overline{z}$也是。

于是多项式的虚数根成对出现。

于是多项式在复数域能分解成

$a(x-x_1)\cdots(x-x_m)(x-z_1)(x-\overline{z_1})\cdots(x-z_n)(x-\overline{z_n})$

其中$x_1,\cdots,x_m$为其实根,$z_1\cdots z_n$为其虚数根,$a$是最高次项系数

注意到,对任意复数$z+\overline{z}~,~z\overline{z}$都是实数。

于是上面的式子其实等于

$a(x-x_1)\cdots(x-x_m)[x^2-(z_1+\overline{z_1})x+z_1\overline{z_1}]\cdots[x^2-(z_n+\overline{z_n})x+z_n\overline{z_n}]$

写成了不超过2次实多项式的因式分解。
元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-06-30 07:42 • 1 个回复 不感兴趣

线性函数证明

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令 $E_{ij}=e_ie_j^T$ 为 $n$ 阶方阵全体的一组基, 由线性性只需对这组基进行验证.

1. 由 $f(E_{ii})=f(E_{ij}E_{ji})=f(E_{ji}E_{ij})=f(E_{jj})$ 得 $nf(E_{ii})=\su... 显示全部 »
令 $E_{ij}=e_ie_j^T$ 为 $n$ 阶方阵全体的一组基, 由线性性只需对这组基进行验证.

1. 由 $f(E_{ii})=f(E_{ij}E_{ji})=f(E_{ji}E_{ij})=f(E_{jj})$ 得 $nf(E_{ii})=\sum_{k=1}^nf(E_{kk})=f(E)=n$, 所以 $f(E_{ii})=1$.

2. 当 $i\neq j$ 时 $f(E_{ij})=f(E_{ii}E_{ij})=f(E_{ij}E_{ii})=f(0)=0$.
元始天尊

元始天尊 回答了问题 • 2015-07-02 01:52 • 2 个回复 不感兴趣

证明整系数多项式不可约

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利用 Rouche 定理可知 $x^n+5x^{n-1}+3$ 有 $n-1$ 个根在单位圆内部(考察 $x^n+5x^{n-1}$),余下一个根在单位圆外。
如果 $x^n+5x^{n-1}+3$ 在整数环上可约,那么它至少需要有两个根在单位圆外或者单位圆周... 显示全部 »
利用 Rouche 定理可知 $x^n+5x^{n-1}+3$ 有 $n-1$ 个根在单位圆内部(考察 $x^n+5x^{n-1}$),余下一个根在单位圆外。
如果 $x^n+5x^{n-1}+3$ 在整数环上可约,那么它至少需要有两个根在单位圆外或者单位圆周上,矛盾。
poorich

poorich 回答了问题 • 2015-07-12 00:22 • 1 个回复 不感兴趣

一道坑坑的多项式证明

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设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$,
因为 $f(x)$ 在有理数域上不可约, 故 $a_0\neq 0$.
令 $\varphi(x)=a_n+a_{n-1}x+\cdots +a_1x^{n-1... 显示全部 »
设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$,
因为 $f(x)$ 在有理数域上不可约, 故 $a_0\neq 0$.
令 $\varphi(x)=a_n+a_{n-1}x+\cdots +a_1x^{n-1}+a_0x^n$,
设 $\alpha$ 与 $\frac 1 \alpha$ 是 $f(x)$ 的根, 故有
$a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots +a_1\alpha^{n-1}+a_0\alpha^n=0$.
又 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根, $f(x)$ 不可约, 故 $f(x)|\varphi(x)$,
设 $\beta (\neq 0)$ 是 $f(x)$ 的任一根, 则 $\varphi(\beta)=0$,
即 $a_n+a_{n-1}\beta+\cdots +a_1\beta^{n-1}+a_0\beta^n=0$,
$\Rightarrow\ a_n(\frac 1 \beta)^n+a_{n-1}(\frac 1 \beta)^{n-1}+\cdots +a_1\frac 1 \beta+a_0=0$,
从而 $\frac 1 \beta$ 为 $f(x)$ 的根.
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-08-03 16:58 • 2 个回复 不感兴趣

关于非齐次方程有解的一个等价命题

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必要性显然。只证明充分性。

考虑增广矩阵$[A:b]$,令$K=[A:b]^T=\left[\begin{matrix}A^T\\b^T\end{matrix}\right]$

则,一方面,显然有$r(A)\le r([A:b])$

另一方面,$A^Tx... 显示全部 »
必要性显然。只证明充分性。

考虑增广矩阵$[A:b]$,令$K=[A:b]^T=\left[\begin{matrix}A^T\\b^T\end{matrix}\right]$

则,一方面,显然有$r(A)\le r([A:b])$

另一方面,$A^Tx=0$的解也是$Kx=0$的解。

说明$m-r(A^T)\le m-r(K)$,得到$r(A)\ge r(K)=r([A:b])$

所以$r(A)= r([A:b])$

说明方程有解。
妖心儿

妖心儿 回答了问题 • 2015-11-12 23:27 • 1 个回复 不感兴趣

求方程组的解

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$yz=x^2-a\\
xz=y^2-b\\
xy=z^2-c$

$(y^2-b)(z^2-c)=x^2yz=(yz+a)yz\\
\Rightarrow -bz^2-cy^2+bc=ayz=a(x^2-a)\\
\Rightarrow ax^2+cy^2+... 显示全部 »
$yz=x^2-a\\
xz=y^2-b\\
xy=z^2-c$

$(y^2-b)(z^2-c)=x^2yz=(yz+a)yz\\
\Rightarrow -bz^2-cy^2+bc=ayz=a(x^2-a)\\
\Rightarrow ax^2+cy^2+bz^2=a^2+bc$

$ax^2+cy^2+bz^2=a^2+bc\\
cx^2+by^2+az^2=b^2+ac\\
bx^2+ay^2+cz^2=c^2+ab$

$x^2=\cfrac{(a^2-bc)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc}\\
y^2=\cfrac{(b^2-ac)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc}\\
z^2=\cfrac{(c^2-ab)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc}$
Math001

Math001 回答了问题 • 2015-12-10 19:11 • 1 个回复 不感兴趣

高等代数题目

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$n=1$时,显然成立

$n>1$时

注意到$J^2=nJ$

于是有

$XJ=XJ^2+JXJ = nXJ+JXJ ~~~~(1)$

$JX=JXJ+J^2X = JXJ+nJX ~~~~(2)$

$(1)$减去$(2)$,有$XJ-JX... 显示全部 »
$n=1$时,显然成立

$n>1$时

注意到$J^2=nJ$

于是有

$XJ=XJ^2+JXJ = nXJ+JXJ ~~~~(1)$

$JX=JXJ+J^2X = JXJ+nJX ~~~~(2)$

$(1)$减去$(2)$,有$XJ-JX=n(XJ-JX)$,得到$XJ=JX$

于是有$X=2JX$,得到$(E-2J)X=0$

因为$E-2J$可逆,得到$X=0$
donkeycn

donkeycn 回答了问题 • 2016-04-06 10:14 • 1 个回复 不感兴趣

高代 不可约多项式的证明

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只需证:$f(x)$可约$\Leftrightarrow$ $g(x)$可约。
注意到 $g(x)=x^nf(1/x)$,
则$f(x)$可约
$\Leftrightarrow$ $f(x)=f_1(x)f_2(x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项... 显示全部 »
只需证:$f(x)$可约$\Leftrightarrow$ $g(x)$可约。
注意到 $g(x)=x^nf(1/x)$,
则$f(x)$可约
$\Leftrightarrow$ $f(x)=f_1(x)f_2(x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $f(1/x)=f_1(1/x)f_2(1/x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $x^nf(1/x)=x^{n_1}f_1(1/x)x^{n_2}f_2(1/x)$,其中$f_1(x)$是$n_1$次多项式,$f_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
(则$x^{n_1}f_1(1/x),x^{n_2}f_2(1/x)$分别是$n_1,n_2$次多项式, 令$g_1(x)=x^{n_1}f_1(1/x),g_2(x)=x^{n_2}f_2(1/x)$。)
$\Leftrightarrow$ $g(x)=g_1(x)g_2(x)$,其中$g_1(x)$是$n_1$次多项式,$g_2(x)$是$n_2$次多项式,$n_1+n_2=n$。
$\Leftrightarrow$ $g(x)$可约 。
小灰灰

小灰灰 回答了问题 • 2015-12-24 13:55 • 1 个回复 不感兴趣

一道多项式实根问题

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$假设该多项式的根x_1,x_2,x_3,x_4均大于等于1, x_3x_4\geq1
\\由根与系数关系得到x_1+x_2+x_3+x_4=6,x_1x_2x_3x_4=2
\\不妨设x_1x_2\geq\sqrt{2},x_3x_4\leq\sqrt{2}... 显示全部 »
$假设该多项式的根x_1,x_2,x_3,x_4均大于等于1, x_3x_4\geq1
\\由根与系数关系得到x_1+x_2+x_3+x_4=6,x_1x_2x_3x_4=2
\\不妨设x_1x_2\geq\sqrt{2},x_3x_4\leq\sqrt{2}
\\\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=6\geq x_3+x_4+2\sqrt{x_1x_2}\geq x_3+x_4+{2}^{\cfrac{5}{4}}
\\\Rightarrow x_3+x_4\leq 6-{2}^{\cfrac{5}{4}}

\\\Rightarrow {(x_3-x_4)}^{2}={(x_3+x_4)}^{2}-4x_3x_4 \leq {( 6-{2}^{\cfrac{5}{4}}

)}^{2}-4=(2-{2}^{\cfrac{5}{4}})(10-{2}^{\cfrac{5}{4}})<0
\\矛盾,故至少有一根小于1$

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求教定积分和反常积分的题,求解题步骤

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点(u,v)是圆锥曲线上的点,那么直线y=ux+v是否恒与另一个圆锥曲线相切?

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高代 次数等于一复系数多项式为啥在复数领域上没有根

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证明:秩为k的m*n阶矩阵全体构成一个k(m+n-k)维光滑流形

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问一道高代行列式。

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证明整系数多项式不可约

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