苦行说:我的数学专业学习之旅

作者,MathRoc,哆嗒数学网群友

 

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求学是苦行之旅,需要去征服一座又一座崇山峻岭。幸运的是我征服了第一段矮坡,在此我想分享自己的学习历程。“学说”一题极为宏大,学浅才疏使我力有不逮,故此写下这篇不甚成熟的“苦行说”,望大家多指点。

 

诗人林珊在《山行》中写道:“我还是去得晚了一些‖满山的黄叶已经落尽了‖只有风,从山顶袭来‖枯草里的星辰是什么时候撒下的‖瓦楞上的残雪是什么时候落下的‖香山寺的钟声也无法给予我‖想要的答案”。或许这正是我本科四年的学习生活的真实写照。

 

当我初踏入大学校园时,草平雨新路无尘,一切都是可爱的模样。但入学后我发现自己与数学系的学生之间有很大的差距。他们或是在高中便已学完大一、大二的内容,或是在竞赛中取得了很好的成绩,少数则在初中时便学习了大学内容,一言以蔽之,有深厚的数学基础和非凡的学习能力。当时的我想迅速追赶,但竭尽所能也难以望其项背,从此便进入了漫长的迷茫期。

 

起初未接触数学系的同学,自然不知道需要在何阶段读何书,我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰,我仍在坚持,去教室的路上、吃饭时、睡前,无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决,也曾四本书并进,正文能懂但对题目畏葸不,就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃,一个月内如此往续,应有10本以上,比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来,所选的书是最难的那一批,所做的皆为无用功。

 

经此一役,我向很厉害的学弟请教,他指出我应该先读大一内容——数分、高代,并分别推荐了史济怀、李炯生(号称亚洲最难)的教材。诚然,对已有基础或学习能力强的人来说,它们是非常不错的入门教材。但对当时基千疮百孔的我而言,这无疑是一剂虎狼猛药。

 

我再次被习题拦在了门外,但也开始主动寻找“没学明白”的症结所在。我发现,对教材难度预设太高,我应该选择更合适的书。自此,踏上了寻找适合自己的书籍的漫长历程。

 

迷茫时期持续了近两年,为此付出的代价也是不小的。此间我为转数学系辗转奔波过,比如咨询教务处老师、给校长信箱写信以期有一次转专业考核的机会。转专业政策是只看原专业的排名,或有省级以上的竞赛证书等的证明,因此所有努力是徒劳的。在朋友的劝慰下我走出了这段晦暗的时期,继续踏上那条前路似无光的寻书之旅。奇迹的是,我此后竟未被生活击倒过。

 

在大二、大三时专业基础课愈来愈多,留给自学的时间也日渐递减。我选择将更多的精力投入到自学中,自然而然挂了好几科。然而,与此同时我走出了迷茫期和寻书之旅,并确定了当时喜欢的方向——概率论。我用了几个月的时间初学了一些书籍,如王梓坤《概率论基础及其应用》、Durrett的概率论、JunShao的数理统计和Ross的随机过程。

 

后来在阅读了潘承洞先生的《阶的估计基础》后,我发现更喜欢的是一直在被偏废的渐近分析。我是足够幸运的,因为我能比一些朋友更早知道自己的兴趣爱好;我也应该省思,因为这一过程耗费了本应绽放的青春。

 

大三下、大四上开始为考研准备,但择校成为了最大的问题。我的兴趣尚算广泛,准确来说很偏(渐近分析、特殊函数、解析数论),含解析数论方向的学校大多考研难度大,而含前两者的学校几乎没有,所以备选的学校很少。在一番衡量后我选择解析数论方向,正当满心欢喜地备考时,专业课来了。在大一到大三上,我们都在学习专业基础课,大三下开始才学习真正的专业课。这对我来说,无疑是极大的考验。

 

当我全部通过以后,迷茫期的代价姗姗来迟——机械制图与机械设计是对我而言最难的两门课,它们需要重修,此时距考研初试只有一月余。经过一番思想斗争,我决定放弃考研,并竭我所能通过它们,最终如愿以偿。

 

如果用一个词概括大学生活,我选择“俯拾仰”,即一举一动都有收获。在社团活动中,我负责心理协会的公众号运营与青年报的评论撰写,这些活动让我明白了什么是“因热爱而坚持”;在网络平台上,我学会了写博客和运营自己的数学公众号,我从中体会到了什么是“因坚持而热爱”。我的大学生活是云层下的光,指引着我走向成熟,我将永志不忘这四年时光。

 

等毕业后,也就是去年,我全身心地投入考研,现在已被志愿高校拟录取。不太恰当地说,“细思皆幸矣,下此便翛然”。当然,不取“老”之意。

 

学习历程皆陈于此,接下来我想聊聊网络数学竞赛。

 

第一次接触它是在参加Xionger网络数学竞赛(下称:熊赛),值得一提的是熊赛自其诞生就广受关注与好评,但唯一的败笔是近几年的分数和最终排名未能公布。我参加的是第二届,当时高手如云,题目值得玩味,而后一届题目数量翻倍,加之熊哥平时很忙、供题人集不全,赛后题目便改不完了。我只参加了一届赛,此后没有参加网络竞赛与各种线下竞赛。但我举办过两届团子杯网络数学竞赛,也为熊赛和八一杯数学竞赛供过题。当然,Binger杯数学竞赛也没落下,但是举办者处于半退网状态,第二届也便没举办起来。

 

在我看来,网络数学竞赛应是一场盛筵,智者得以提升,慧者得以洞悉,而平庸者如我得以开阔眼界、培养文献检索能力以及与更多人交流。

 

谈谈我的经验吧!起初我在各种习题书中寻找偏难怪的题目,但转念一想,网络竞赛不是要选拔人才,也不是真正的竞赛,而是出题人与答题者互相学习交流的一次绝佳的机会。于是我转向寻找趣味性、普适性的问题。为熊赛和八一杯提供的是难题,自然无人答出,此后我多次反思,决定降低难度、仍保持普适趣味性但架构纸老虎——能用简单知识解决的难题,这一次又给八一杯献上两题,后来发现每题都有人给出正确解答,甚至给出了新解法。

 

我在大二时开始运营数学公众号。起初用AxMath来编写公式再生成图片上传平台,但这样会使排版很乱。接下来我学用LaTeX,将编译出的文件截图再上传,这一阶段收获颇丰。后来我发现之前的文章美观与简陋并存,一狠心便注销了公众号,然后重新注册,用mdnice网页的粘贴功能开始了美观之旅。

 

我编写过《阶的估计基础》习题解答,此过程可谓“大胆假设,小心求证”。想我所想,但也向诸多朋友、学长请教,以保证解答的严谨性。

 

网络上数学的小圈子里常称彼此为“数学人”。那么,究竟怎样才算一个合格的“数学人”呢?在我看来,这与“数学”和“人”密不可分。我们不仅仅需要“数学品位”和“数学钻研”,更需要向人请教和适当的人际交往。

 

 

请允许我讲一些关于学习的粗浅的见解:

 

  1. 不忘初心 或许忘掉了不少曾学过的理化生知识,但我时刻不敢忘初心。我是一个愚笨的人,没有数学天赋,对数学是喜欢但谈不上热爱。且听我言,一位好朋友的室友本科在北大医学系读书,后来拿到了医、数双学位,目前是基础数学的在读硕士。与他相比,我面前的高山只算缓坡。每个人的路应由自己走,学习也应是自己的事。论他人是如何渡过困厄的,就个人而言,走出迷茫和困厄的最好的办法便是不忘初心。

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2. 保持热情 我也曾懈怠,但这只会使我胸无点墨。以我为例,我的热情之火被屡次碰壁的经历所磨灭,由是学习效率低下,只能用比别人更多的时间来弥补学习上的亏空,这也让曾经的我信心大减。即使面临窘境,也请务必保持热情,请相信我的诗中写的“我的肩上落有闪着青光的萤火,它能带来满天的星光,映衬着天上的云雨声、海上的风涛声”。

 

3. 广交诤友 我很幸运地交到了一群诤友,但为此也很惭愧,因为他们给予了太多的帮助而我帮不上他们。在我失落时,他们会安慰我;在我不知道如何进一步学习时,他们给予中肯而详尽的建议。人生之途漫漫,一定孤独,但有了诤友,未来不会再黯淡,至少它能开出苦涩的花,不是吗?

 

4. 莫羡他人 准确地说,不要只羡慕他人的成功,不要总攀比。这些年我见到了很多不良的学习风气,比如“膜”“卖弱”,意即不论别人如何都去膜拜、不论如何都说自己水平很低;再如“如何评价”,意即如下的现象:常问如何评价某人才大二就这么厉害,每年都问如何评价期末考试题目这么难等等。这些既不利于学习,也不利于生活。学习是一条崎岖蜿蜒的山路,你既需要攀登,也需要抵制崖间的花香诱惑。

 

苦行之旅,应旷达随性。席慕蓉在《诗的旷野》里写道:“文字并非全部‖生活也不是 我们其实‖不需要逼迫自己‖去证明这一生的意义和价值‖在诗的旷野里‖不求依附 不去投靠‖如一匹离群的野马独自行走‖其实 也并非一无所有‖有游荡的云 有玩耍的风‖有潺潺而过的溪流‖诗 就是来自旷野的呼唤‖是生命摆脱了一切束缚之后的‖自由和圆满”。

 

苦行之旅,应常省思。我现在能独立地发现学习中暴露出的一些问题,比如自卑、易懈怠。我为自己开了一剂良方“悟学知心,斩棘披荆”,要不断地了解自己,要有迎难而上的决心。当我上下求索时,收获或许很少但成长很快,我有勇气也有信心

 

 

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可能是自俄罗斯方面关于国际数学家大会最后的声明

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前文提到,国际数学家大会的官网(icm2022.org)现在用其域名已经无法登录网站,而是跳转到国际数学联盟IMU的官网首页。而其官推在2022年2月11日之后就没有动态了,在IMU正式确定国际数学家大会完全线上举行后,ICM2022官推用图片形式发布了来自原俄罗斯举办方的四位教授的声明。这可能会是自俄罗斯方面关于国际数学家大会最后的声明。

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全文如下:

 

 

我们谴责疯狂、非正义以及威胁人类生存不可逆转的战争。虽然我们的损失和数百万乌克兰人民的损失和他们正在遭受的苦难无法相提并论,但我们也痛心的看到我们多年以来的全部梦想和全部努力毁于一旦。我们努力的目标和现在正在发生的可怕事件以及相应的责任渐行渐远。不过,环顾我们已经破碎的梦想,我们依然感到我们背负了一笔巨额的债务,在我们这代人的有生之年都无法偿还。

 

德米特里·贝利亚耶夫(牛津大学教授)

安德烈·奥昆科夫(莫斯科大学教授,2006年菲尔兹奖得主)

茱莉亚·佩夫佐娃(华盛顿大学教授)

斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫(圣彼得堡大学教授,2010年菲尔兹奖得主)

 

——编者注:各个教授的身份为小编补充

 

 

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原定俄罗斯举办的2022国际数学家大会改为全线上举行

 

 

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编者按:国际数学联盟(IMU)官网发布声明,原定俄罗斯举办的2022国际数学家大会改为全线上举行。截至发稿为止输入原ICM官网网址已经无法正常打开网页,而是跳转到IMU官网首页。本文是翻译IMU的官网发布的声明,该声明立场并不代表小编立场。我们和发言人立场一致——站在和平、正义的一边。

 

 

国际数学联盟(IMU)执行委员会决定如下:

 

1、 2022国际数学家大会(ICM)将完全线上举行,主会场不会设在俄罗斯,但议程按照圣彼得堡线下计划的时间表进行。

2、 参加线上举办的国际数学家大会免费。

3、 国际数学联盟全体大会(General Assembly , GA)将在俄罗斯之外的地方线下举办。

4、 联盟全体大会之后一天,在相同会场举行颁奖典礼, 颁发国际数学联盟2022年度的奖项。

5、 国际数学家大会和国际数学联盟全体大会的日期不变。

6、 我们将进一步补充关于这两个活动更多的实用信息。

 

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18届国际数学联盟全体大会决定把2022年国际数学家大会举办权授予俄罗斯圣彼得堡。为了大会的成功举办,俄罗斯的同事在抗击全球疫情的大背景下,为准备大会做出了令人钦佩的奉献。我们对这些工作表示衷心感谢。在此之前的7月份,在圣彼得堡已经举行了一次全体大会的会议。

 

 

国际数学家大会是聚集全世界数学家的会议,其地位不可或缺。它抛开政治和文化差异,讨论数学。国际数学联盟全体大会是国际数学联盟的最高会议。在这个会议上,每隔四年会做出包括换届选举和预算在内的重要决议。

 

 

但是,最近俄乌局势发生剧烈变化。俄罗斯的行动受到世界范围的谴责,已经不可能在俄罗斯举办线下活动。实际上,联合国秘书长在2022年2月23日就呼吁:“出于人道,不要让这场战争在欧洲爆发,这可能是本世纪初以来最严重的战争。”这一呼吁并没得到重视。

 

 

我们,国际数学家大会执行委员会,对局势进行了深入分析。我们强烈谴责俄罗斯的行动,并对乌克兰的同行和人民致以最深切的同情。

 

 

如此形势,国际数学联盟已经不可能按照惯例让国际数学家大会和国际数学联盟全体大会在俄罗斯线下举行。参照华沙国际数学家大会的先例,我们考虑过把国际数学家大会推迟一年的可能性。但是,一年后局势如何发展也不明朗,所以这个选项不可行。另外一个选项是完全取消国际数学家大会的举办。国际数学联盟认为这个选项过于激进,没有必要,也对数学界无益。当下,我们的最后选择的是按原来的时间表完全线上举办。报告人可以选择提交录播视频演讲,也可以选择线上直播演讲。我们理解时差会带来很多问题,但是大会议程紧凑,别无选择。不过,参加线上形式国际数学家大会是免费的。这需要大量的组织工作,我们将尽快提供更多细节。

 

就国际数学联盟全体大会而言,面对面的会议非常重要。然而,由于不能在圣彼得堡会面,我们的全体大会将在俄罗斯以外举办。

 

 

国际数学联盟执行委员会,2022年2月26日,于柏林

 

 

 

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俄乌局势对数学的影响:2022国际数学家大会还能按原计划举行吗?

 

 

 

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2022年国际数学界最大盛会必然是定于7月在俄罗斯举行的国际数学家大会(ICM),世界上最优秀的数学家届时汇聚一堂,参加这个四年一度的数学交流活动。另外,大会最重要的一个议程莫过于颁发菲尔兹奖的新得主,这个奖项被誉为数学界最高奖项之一。

 

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然而,俄罗斯和乌克兰两国局势的剧变,让这个大会的举办充满了变数。

 

 

 

 

美国数学会在其官网发表了如下声明:

 

美国数学学会(AMS)领导团队对当前的乌克兰局势及其对计划于俄罗斯圣彼得堡的2022年国际数学家大会 (ICM) 的影响感到担忧。国际交流活动对数学的健康发展至关重要。国际数学家大会也是支持和庆祝这些发展的不可替代的契机,但当前局势并不支持。美国数学会没有计划参加在圣彼得堡举行的会议。我们也敦促国际数学联盟不要在 2022 年 7 月在俄罗斯举办国际数学家大会。

 

AMS-NSF-Simons-ICM旅行资助项目(为参加国际数学家大会的师生提供交通补助的项目——哆嗒数学网编者注)已暂停。已经通过申请的人士将收到来自美国数学学会的进一步通知。

 

美国数学学会是一个由全球 30000 名个人和 570 家研究机构组成的专业协会,致力于推进数学研究和学术交流,并通过提供学术出版、学术会议、宣传活动、求职服务等方式联系全球数学界。

 

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欧洲数学会的官网,到发稿为止还没针对俄乌局势的声明。

 

伦敦数学会官网的声明是,“强烈建议国际数学联盟不要在2022年7月在俄罗斯举办国际数学家大会”。

 

主办方的ICM2022官网,目前没有受到俄乌局势影响。

 

国际数学家大会相关事宜的决定方国际数学联盟的官网依旧在醒目位置展示将在2022年7月举办国际数学家大会,但是加粗了一个注意事项,表述为:国际数学家大会按计划将于2022年7月6日至14日举行,如果局势发展需要,大会的部分内容将线上举办。

 

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愿世界和平!

 

 

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第二轮“双一流”建设数学学科名单

 

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根据教育部官网2月14日消息,《关于公布第二轮“双一流”建设高校及建设学科名单的通知》发布,我们哆嗒数学网小编最关心的是数学学科建设名单。

 

 

首先,公布的高校名单中,北京大学、清华大学两所高校并未列出具体的学科建设名单,而标注的是“自主确定建设学科并自行公布”。按教育部相关发言人解释,这是扩大高校建设自主权的举措,先行赋予北京大学、清华大学两校学科建设自主权。让两所高校编制完成建设自主权扩大整体方案后,自行公布建设学科。不过从两所学校的历史底蕴和近几年的对数学学科的投入来看,这两所高校把数学学科列入名单几乎板上钉钉。

如果把北京大学、清华大学计算在内,本轮名单共有15所高校的数学学科被列入“双一流”建设学科名单,比第一轮名单数量上增加1所。其中湘潭大学和南方科技大学是新被列入名单的高校。而首轮被列入名单的东北师范大学的数学学科被撤销。

下面是“双一流”建设数学学科的完全名单(以学校代码为序)

北京大学(自主确定建设学科并自行公布)
清华大学(自主确定建设学科并自行公布)
北京师范大学
首都师范大学
南开大学
吉林大学
复旦大学
上海交通大学
中国科学技术大学
山东大学
湘潭大学(新)
中南大学
中山大学
四川大学
南方科技大学(新)

给予公开警示(含撤销)的首轮建设学科名单:

东北师范大学:数学学科予以撤销,根据学科建设情况调整为“教育学”

 

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2022年沃尔夫数学奖得主公布

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根据沃尔夫奖官方网站消息,2022年沃尔夫数学奖获奖者发布,美籍罗马尼亚数学家,麻省理工学院教授乔治·卢斯蒂格(George Lusztig) ​​​获得该奖,表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。

卢斯蒂格教授是表示论和代数几何方面的顶级专家。他证明了表示论中许多中心问题与舒伯特簇的拓扑和几何相关联。表示以及相关的舒伯特簇结构是复杂的,卢斯蒂格找到了组合论的工具来刻划它们的拓扑和几何。利用这些工具,卢斯蒂格以及其它数学家推动了重要的发展,使人们改变了在该领域的思考方法,对表示和舒伯特簇的深层次的理解成为可能。

因为相关方面的研究,卢斯蒂格还获得过1985年柯尔代数奖,2008年斯蒂尔终身成就奖,2014邵逸夫数学奖。

沃尔夫数学奖被视为数学界最重要的三大奖项之一,大多数时候为每年颁发一次。2021年沃尔夫数学奖空缺,没有颁发。著名华人数学家陈省身、丘成桐分别在1983年和2010年获得该奖。

 

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复数在现实中刚被发现?

 

 

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这几天总有人cue我们哆嗒数学网的小编关于一则新闻的看法,这是中科大官网在其首页发布的一篇新闻稿,标题叫《中国科大首次实验排除实数形式的标准量子力学》,大意是说中科大的潘建伟、潘建伟、陆朝阳等人与国外研究机构合作,“排除以实数形式描述标准量子力学的可能性”。

 

看标题和主要内容,是中科大的又一个科研成果的报道,还是中规中矩。但是文章中的一句话,让人有点不明就里。文章原文写道:“证明了实数无法完整描述标准量子力学,确立了复数的客观实在性。”尤其后一句的“确立复数的客观实在性”。

 

 

 

确立“客观实在”是非常烧脑且困难的问题。哲学史上发生过这样的讨论,如何确立一个东西是客观实在呢?你得有一个标准吧,先给一个实在的定义吧。于是有人说,我要是能实实在在看见某件东西,那东西就是客观实在的。于是有人反驳,如果你闭上双眼,什么也看不见,这世界上就没有客观实在的东西吗。于是又有人说,我看不见,别人能看见也行,也算客观实在。于是,有人继续反驳,海洋深处有一条所有人没见过的鱼,在渔夫没打捞上来的时候,没人见过,那么这条鱼是被打捞上来的时候,才成为实在的吗?于是,他们又有了新的解决方案,把“上帝”请了出来,上帝他能看见的就是实在……

 

 

数学哲学中,也有一个很烧脑的问题。数学本身是宇宙中的客观的实在,还是说它只是人类大脑中的造物。或者说数学是发明还是发现。很多人如果没有深入思考过这个问题,会脱口而出,当然是发现,1、2、3……,三直线、角形、圆形都摆在那里,实实在在的,我们只是用我们的符号表述了它。但进一步想,真正直线存在吗?直线上的无穷多个点,真的是客观存在的吗?或者说,这种数学中关于无穷的表述,是一种关于实在的表述吗?《几何原本》中,那种无法分割,没有大小的点,人类真发现过?如此这般,数学到底是发明还是发现,你是不是开始动摇了。

 

 

还有一种关于这个问题更烧脑的引申:如果遥远一个行星上有一种智慧生物,但和人类不一样的是他们是类似“虫族”蜜蜂的生物群体。有蜂后、蜂王、工蜂之类的天然差别,他们分工不同,能有能力输出智力成果只有蜂王,其他工蜂提供蜂王思考的所需,然后集体产出智力成果。那么,这种生物研究出来的数学,和人类是否一样?——如果你之前认同的是数学是大脑的造物,那么这里不同结构大脑产生的数学,就可能是不同的。如果的确是一种对实在的发现,那么这里的两种数学应该相同。

 

上面的问题真不是在杠,的确是一些严肃的哲学或者数学哲学中的问题。因为问题复杂,一些数学哲学家甚至认为数学既是发明,也是发现,需要具体问题具体分析。

 

而得到问题答案不是最重要的。讨论哲学里的问题,大多时候,目标不是为了得到一个确信的答案,而在于思考和讲道理的过程,在这样的过程中能得到思考方式、证明方式才是真正重要的收获。人类历史中,从思考宇宙是什么开始,我们在讨论过程中知道了首先看清宇宙,要看清宇宙我们就要有看清的工具,于是有了望远镜,还有了各种宇宙探测器。

 

回到这里的主题。你现在知道要证明“确立复数的客观实在性”是多么困难的问题了吧。

 

我们的总结如下:

 

一、如果你坚持全部数学都是人脑中的造物,那么你无论怎么样的物理实验都无法确立它。

 

二、如果你认为数学是一种客观实在,需要用实验确立这种实在性。这种实验也许能提供一个视角。但是,在量子力学出现之前,复数已经出现在了其他学科中被冠以了各种物理意义。不能说,只有标准量子力学的实验结果才能确立它。

 

所以,我们认为,这个表述多少有点夸张了。

 

值得注意的是,有网友指出,这篇文章挂在预印本网站的初版是这样说的:

 

Our results disprove the real-number description of nature and establish the indispensable role of complex number in the quantum mechanics

我们的结果证了关于自然的实数描述,确立了复数在量子力学中不可或缺的作用。

 

之后修改成了:

Our results disprove the real-number formulation and establish the indispensable role of complex numbers in the standard quantum theory

我们的结果证了关于实数的公式,确立了复数在标准量子理论中不可或缺的作用。

 

 

无论如何,也没有哪一句,有中科大新闻稿中那句话那么夸张。

 

 

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数学家最重要的素质:让数学好玩

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2022年,世界国际数学家大会(ICM)将在俄罗斯的圣彼得堡召开。大会的组委会早些时候公布了本届大会的特邀报告人,并采访了其中来自俄罗斯的数学家。

 

叶夫根尼·费金(Evgeny Feigin), 物理和数学科学博士,俄罗斯高等经济学院数学系教授,同时也是俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院教授。本次大会受邀作45分钟报告。这个访谈有意思的在于,我们可以窥见俄罗斯基础数学人才的培养轨迹。

 

 

 

——你是如何进入数学领域的?

 

从8年级开始,我就在莫斯科第57中学数理班学习。我们有很多数学内容在学,各种门类,而且非常严肃。我的数学生涯从这个时候就开始了。进入大学的前一年,我上了一个数学数学夜校。一方面是处于兴趣,另一方面也是进入大学的学前准备。从某种意义来说,我真正的数学学术工作从那时开始。

 

 

当我从中学毕业后,我同时进入了莫斯科国立大学和莫斯科独立大学学习(独立大学这里提供五年制的学习,但不授予学士和硕士学位)。在校期间,我非常清楚第一年该做什么。我想学习更多的新东西,我要不断地给自己的学习加码。这几学期,独立大学让这些成为可能。强力的老师,有趣的课程,稍不注意成绩就会考不好,等等。我在那儿选了很多有难度的课程。可以说,独立大学可以看成一个入门学校,有一些学生只在独立大学一所学校学习,但这样的学生很少。总的来说,独立大学被看成是一种提供额外学习的学校。

 

 

我重这两所大学毕业后,我进入研究生的学习。答辩后,我得到了一份的德国科隆大学的博士后职位,在那边待了一年。

 

 

——同时学习两所大学的课程是不是会很难?

 

 

不太容易。独立大学的课都在晚上,莫大的课在白天。所以,我每天都一直在上课。无论是协调时间还是协调精力都有难度。但我有个优势,我在57中学到的知识,让我能学得更轻松一点。

 

独立大学不是一个常规的教育机构。这里没有全日制的培养,是专门的额外补充教育。这里的课程的老师都是非常强的数学家。一个不太为人知的情况是,高等经济学院的数学系是十多年前由有独立大学的骨干教授团队决定设立的。我这一代做数学的人很多都有独立大学的背景。

 

——作为一个数学家,你现在在做什么

 

简而言之,我在做可在代数几何、数学物理和组合学中的应用的表示论。宏观来说,表示论是一种通过变换来研究对象的方式。这些对象可能是几何图形、代数结构或者离散对象。通过观察内部结构,你可以描述你感兴趣的对象。我最喜欢的就是表示论有着大量应用。这再一次证实,数学不是被分割成独立的部分,而是一个大而统一的整体。表示论很好的说明了这一点,它很自然的出现在数学和物理的不同领域中。

 

 

——你怎么进入这个方向的?

 

从学生时代我就开始学表示论了,表示论的涉及的范围很广,你可以在学表示论的同时学习概率论、代数几何、量子场论、凸几何或组合学。

 

——你准备在国际数学家大会的做哪方面的报告?

 

在这次大会上,我将讲一下我在半单李代数的有限维表示的工作进展。简单的说,这种方法基于利用Poincaré-Birkhoff-Witt 定理对表示进行阿贝尔化的思想。在这种方法的框架下,有可能获得关于代数、几何和组合性质的经典对象的许多结果,以及发现与箭图和凸几何表示论数学分支的意想不到的联系。我就准备谈谈这些。

 

——对于国际数学家大会,你怎么看?

 

实际上,我从来没有去过国际数学家大会。这是一个盛大的活动,大量数学家从世界各地汇聚到此。当然,国际数学家大会是一个科学学术活动,但是它也带来了巨大的社会效应和和普及效应。国际数学家大会向世人展示了数学的浩瀚如烟。学者们一般在一起都是开小议题的学术会议,他们讨论某个方向框架下的狭窄议题。国际数学家大会在具体的学术交流上可能效率不高,但是国际数学家大会有巨大的社会影响力。

 

——你为什么会受邀成为国际数学家大会的报告人?是因为某项具体的工作吗?

 

国际数学家大会有一个专门的国际委员会负责报告人的邀请名单。数学是一门很艰深的科学,很难在短期内评估一位数学专家。确实有那种某个数学家通过一两个成果对某个领域带来巨变,但是这相当罕见。通常情况下,对数学成果的评估需要很多年时间。

 

 

 

——对一个数学家来说,最重要的素质是什么?

 

最重要的事情就是让数学变得有趣。数学家应该被新思想带来的快乐、研究中的美妙事物所驱动前进。数学科学应该是“燃”起来的,思考它的时候是非常好玩的。

 

2022年,世界国际数学家大会(ICM)将在俄罗斯的圣彼得堡召开。大会的组委会早些时候公布了本届大会的特邀报告人,并采访了其中来自俄罗斯的数学家。

 

叶夫根尼·费金(Evgeny Feigin), 物理和数学科学博士,俄罗斯高等经济学院数学系教授,同时也是俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院教授。本次大会受邀作45分钟报告。这个访谈有意思的在于,我们可以窥见俄罗斯基础数学人才的培养轨迹。

 

 

 

——你是如何进入数学领域的?

 

从8年级开始,我就在莫斯科第57中学数理班学习。我们有很多数学内容在学,各种门类,而且非常严肃。我的数学生涯从这个时候就开始了。进入大学的前一年,我上了一个数学数学夜校。一方面是处于兴趣,另一方面也是进入大学的学前准备。从某种意义来说,我真正的数学学术工作从那时开始。

 

 

当我从中学毕业后,我同时进入了莫斯科国立大学和莫斯科独立大学学习(独立大学这里提供五年制的学习,但不授予学士和硕士学位)。在校期间,我非常清楚第一年该做什么。我想学习更多的新东西,我要不断地给自己的学习加码。这几学期,独立大学让这些成为可能。强力的老师,有趣的课程,稍不注意成绩就会考不好,等等。我在那儿选了很多有难度的课程。可以说,独立大学可以看成一个入门学校,有一些学生只在独立大学一所学校学习,但这样的学生很少。总的来说,独立大学被看成是一种提供额外学习的学校。

 

 

我重这两所大学毕业后,我进入研究生的学习。答辩后,我得到了一份的德国科隆大学的博士后职位,在那边待了一年。

 

 

——同时学习两所大学的课程是不是会很难?

 

 

不太容易。独立大学的课都在晚上,莫大的课在白天。所以,我每天都一直在上课。无论是协调时间还是协调精力都有难度。但我有个优势,我在57中学到的知识,让我能学得更轻松一点。

 

独立大学不是一个常规的教育机构。这里没有全日制的培养,是专门的额外补充教育。这里的课程的老师都是非常强的数学家。一个不太为人知的情况是,高等经济学院的数学系是十多年前由有独立大学的骨干教授团队决定设立的。我这一代做数学的人很多都有独立大学的背景。

 

——作为一个数学家,你现在在做什么

 

简而言之,我在做可在代数几何、数学物理和组合学中的应用的表示论。宏观来说,表示论是一种通过变换来研究对象的方式。这些对象可能是几何图形、代数结构或者离散对象。通过观察内部结构,你可以描述你感兴趣的对象。我最喜欢的就是表示论有着大量应用。这再一次证实,数学不是被分割成独立的部分,而是一个大而统一的整体。表示论很好的说明了这一点,它很自然的出现在数学和物理的不同领域中。

 

 

——你怎么进入这个方向的?

 

从学生时代我就开始学表示论了,表示论的涉及的范围很广,你可以在学表示论的同时学习概率论、代数几何、量子场论、凸几何或组合学。

 

——你准备在国际数学家大会的做哪方面的报告?

 

在这次大会上,我将讲一下我在半单李代数的有限维表示的工作进展。简单的说,这种方法基于利用Poincaré-Birkhoff-Witt 定理对表示进行阿贝尔化的思想。在这种方法的框架下,有可能获得关于代数、几何和组合性质的经典对象的许多结果,以及发现与箭图和凸几何表示论数学分支的意想不到的联系。我就准备谈谈这些。

 

——对于国际数学家大会,你怎么看?

 

实际上,我从来没有去过国际数学家大会。这是一个盛大的活动,大量数学家从世界各地汇聚到此。当然,国际数学家大会是一个科学学术活动,但是它也带来了巨大的社会效应和和普及效应。国际数学家大会向世人展示了数学的浩瀚如烟。学者们一般在一起都是开小议题的学术会议,他们讨论某个方向框架下的狭窄议题。国际数学家大会在具体的学术交流上可能效率不高,但是国际数学家大会有巨大的社会影响力。

 

——你为什么会受邀成为国际数学家大会的报告人?是因为某项具体的工作吗?

 

国际数学家大会有一个专门的国际委员会负责报告人的邀请名单。数学是一门很艰深的科学,很难在短期内评估一位数学专家。确实有那种某个数学家通过一两个成果对某个领域带来巨变,但是这相当罕见。通常情况下,对数学成果的评估需要很多年时间。

 

 

 

——对一个数学家来说,最重要的素质是什么?

 

最重要的事情就是让数学变得有趣。数学家应该被新思想带来的快乐、研究中的美妙事物所驱动前进。数学科学应该是“燃”起来的,思考它的时候是非常好玩的。

 

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2022国际数学家大会启动志愿者招募

 

 

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​2021年12月,2022年国际数学家大会(ICM)组委会在其官方网站宣布,启动了该届大会志愿者的招募程序。招聘需求和流程都能在ICM官网找到。

 

2022年国际数学家大会定于2022年7月6日至14日在俄罗斯的圣彼得堡举办。新一届的菲尔兹奖届时也会在大会上公布。菲尔兹奖有着“数学届的诺贝尔奖”的称谓,被认为是数学领域的最高奖项之一(部分人认为“之一”两字可以去掉)。

 

志愿者被要求必须年满18周岁,并有熟练使用俄语和英语与人交流的能力。如果你能熟练使用其他语言,诸如中文、西班牙语、法语、德语等,这些语言能力能成为你的加分项。同时组委会也希望,申请人热爱数学,遵守志愿者计划规程,并有出色团队合作能力。

 

志愿者会被安排在本届数学家大会的各种活动的各个场馆,包括全体大会、相关文化活动和商业活动场馆。志愿者的主要工作是:参会者认证、机场及火车站的宾客接待、参会者的指引和问询支持、在新闻中心、会展中心等场所与协助记者。

 

 

每一个志愿者将接受相关培训,以及来自志愿者中心专家的必要指导。此外,组委会认为参与国际数学家大会是提高你专业技能和沟通技巧的绝佳途径。组委会还会为志愿者举办一个盛大的派对,另外每一位志愿者都会收到来自大会的个性化的感谢信。

 

 

 

 

组委会宣传成为ICM志愿者是一个独一无二的自我提升机会和个人经历,他们总结的成为的志愿者好处。

 

成为志愿者的好处:

 

能参加一个四年一度的世界上最重要的数学盛会

加入国际数学届

交到新朋友

英语的具体实践以及了解其他语言

这是一个可以得到就读大学认可的社会实践活动

提高专业技能、沟通技巧以及其他能力的提升

收到大会的礼品和专属纪念品

享受一次数学盛宴,难忘的经历

参加签名会

参加大会志愿者的散伙饭派对

 

 

志愿者大礼包括以下内容:

 

国际数学家大会专属志愿者服装

专业培训

免费住宿

免费餐食

免费交通

参与证书

健康保险

 

 

最后提示一下,这个活动的重要时间点:

 

申请截至日期:2022年3月1日

面试时间:2021年12月—— 2022年4月

功能区和班次安排:2022年4月

培训:2022年6月

证件和制服发放:2022年6月

服务时间:2022年7月

 

 

 

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这位世界级数学大师当初选择学数学的原因竟然是……

翻译,math001,哆嗒数学网翻译组成员

本文原载于ICM2022官网

 

           

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前苏联数学家的柯尔莫哥洛夫是现代概率论的创立者之一。另外,柯尔莫哥洛夫还对拓扑学、几何学、数理逻辑、经典力学、湍流理论、算法复杂性理论、信息论、函数论、三角级数理论、测度论、函数逼近论、集合论、微分方程理论、动力系统理论、泛函分析诸多领域有所涉猎。他的成果对现代数学产生了深远影响。

 

 

初入数学

 

1903年4月25日柯尔莫哥洛夫出生于坦波夫。他的父亲是一名农艺师,而他的母亲玛丽亚·柯尔莫哥洛娃却因难产而死。这位未来的数学家实际上是被他母亲的姐妹们带大的,其中薇拉·柯尔莫哥洛娃是他的法定收养人。姐妹们为当地的孩子经营了一所学校,学校还办了一本叫做《春燕》的杂志。孩子们在《春燕》上发表自己创作,有诗歌、绘画还有各种小故事。柯尔莫哥洛夫的第一个数学”成果”也在这个杂志上发表:他发现前几个奇数之和一定是完全平方数,比如1+3+5=3²。

 

 

1910年,柯尔莫哥洛夫和他的姨妈搬到莫斯科,以便柯尔莫哥洛夫能进入一所预科学校学习。他们选择了私立的雷普曼预科学校。这是一所拥有一流教师的教育机构,这个机构采用了一系列当时看来比较独特的教学方法(一些方法现在看来也很独特)。比如,男女不分班,老师不给学生打分数,如果学生对某学科有兴趣,学生可以跨班到高中班学习。

 

 

1920年,柯尔莫哥洛夫进入莫斯科大学数学系学习。起初,柯尔莫哥洛夫感兴趣的是俄国史,而且研究非常深入。他利用15、16世纪抄书吏留下的材料对下诺夫哥罗德的土地问题进行研究。前苏联历史界的领军人物亚宁这样回忆柯尔莫哥洛夫退出历史研究的原因:“柯尔莫哥洛夫多次说过他不再搞历史的情况。当他在讨论班上对他的研究作报告的时候,讨论班的主持人巴赫鲁申教授非常认可报告的成果,但是他说柯尔莫哥洛夫的结果并不完全可靠。因为,在历史学里,每个结论都需要多个证据的证明来确定。说到这,他总是说:‘我之所以决定投身科学领域,因为那里只需要一条证明就能得到最终结论。’”就这样,历史学界永远失去了一位学术天才,而数学界却多了一位巨星。

 

 

柯尔莫哥洛夫这样描述他进入数学研究的情况。“在决定进入严肃的科学领域之前,我当然要力争向最好的数学家学习。我非常幸运,我能和乌里松、亚历山大洛夫、斯特潘诺夫一起学数学,另外鲁津是我学习过程中最主要的的老师。”

 

 

在莫斯科大学学习期间,柯尔莫哥洛夫经历了严重的经济困难,但是数学方面的成功大大弥补了他生活上的不方便。奖学金不足以能完全应付日常开销。“我通过一年级考试的头一个月, 作为一个二年级的学生,我可以得到每月16千克面包和1千克黄油的配给。对于那个年代,这是一个丰盈的物质保障。我为自己置办了衣物,还自己亲手做了自己穿的木鞋。”

 

 

随着时间的推移,柯尔莫哥洛夫对数学越来越感兴趣。终于,柯尔莫哥洛夫得到了实分析学大师鲁津的注意。随后这位数学新秀成为鲁津的研究生。在整个1920年代,这位数学家都在这个领域一丝不苟的耕耘。

 

 

初露锋芒

 

 

1922年,柯尔莫哥洛夫因为构造了一个傅里叶级数处处不收敛的可积函数而闻名世界。每个可积函数可以表示为无限个正余弦曲线之和——即傅里叶级数。取出这个无限和的前面部分,并计算部分和可以得到一个序列,这个序列可以收敛于一个确定的数。19岁的大学生柯尔莫哥洛夫给出一个不成立的反例,震惊当时的数学界。

 

 

1924年,这位数学家开始研究概率论和大数定律。大数定律是描述大量重复实验结果表现的一个理论。他证明了大数定律的一个版本(柯尔莫哥洛夫强大数定律),独立同分布的随机变量变量适用于大数定律的充要条件是每个随机变量期望存在。柯尔莫哥洛夫是在和另外一位前苏联概率论顶级专家辛钦进行长期和卓有成效的合作后,得到这个成果的。

 

 

一般认为,柯尔莫哥洛夫对概率论方面有一项影响重大的工作,他给与了概率论以现代视角。他对概率论提出了一个公理化方案,这项方案至今被绝大多数领域内专家接受。

 

 

1925年,这位杰出的数学家发表论文《排中律》,这篇文章解决了两大数学哲学流派的争执:形式公理派和直觉主义派。柯尔莫哥洛夫证明了直觉主义中不能使用的(超限归纳中的)排中律并不一定破坏证明的构造性(排中律是说命题“A”和“非A”必有一件为真,没有第三个可能)。他能够证明,所有按照经典形式逻辑规则推导的公式,通过特别的转换,都可以化为直觉主义逻辑的可推导公式。

 

 

1931年,柯尔莫哥洛夫被推举为莫斯科大学教授,1935年到1939年期间,他担任该校数学力学研究所所长。1933年他提出了一种非参数检验的方法,这个方法今天称为柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验(K-S检验)。此方法可用于样本和参考概率分布的验证比对。

 

 

军事研究

 

 

二战期间,所有的研究都为军事服务,柯尔莫哥洛夫研究了炮火的最佳散布策略(人工散布)。战后,他重返了和平的研究。1930年代后期,柯尔莫哥洛夫一直对湍流问题感兴趣,他在1941、1942年和1962年的著作中对此进行了研究。他发展了“局部各向同性湍流”理论,这些研究有助于进一步描述湍流的结构。1946年,这位数学家在苏联科学院地球物理研究所建立了大气湍流实验室。 

 

1953年,柯尔莫哥洛夫提出“算法”的一种新定义。这个定义的特别之处是,问题本身和问题的解都以某种一维拓扑复形的形式表示,算法过程的每个阶段都是将一个复形处理成另一个复形(通过特定的规则)。

 

 

改革家

 

 

1960年代,苏联领导人决定对数学教育和教学体系改革,因为当时的数学课程教给学生的知识过于陈旧,最新的数学成果完全没有涉及。柯尔莫哥洛夫在这些改革中发挥了非常重要的作用。在他的领导下,新的课程和教材被开发出来,并陆续再版。

 

 

 

1976年,柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学力学数学系建立了数理逻辑部。1980年,柯尔莫哥洛夫担任该部主任直到1987年逝世。纵观柯尔莫哥洛夫一生,他获得了大量奖项和荣誉,得到了广泛认可,这些认可远远超出了数学界。

 

 

 

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2021软科中国最好学科数学学科排名公布

 

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”10月25日公布了“2021中国最好学科排名”,包括96个一级学科,其中也包括了数学学科排名。

 

 

数学学科的排名对象是在该校保有数学学科学术型研究生学位授权点的所有高校。而排名公布的是数学学科排名前50%的高校,就是说如果不在榜单内意味着不在前50%。

 

 

中国最好学科排名的指标体系由人才培养、科研项目、成果获奖、学术论文、学术人才5个指标类别组成,下设17个指标维度,包括50余项测量指标。由于部分指标在不同学科门类的适用性和重要性存在差别,因此中国最好学科排名在不同学科采用差异化的指标体系。中国最好学科排名首先在各个指标维度的层面计算每所高校的得分,令该指标维度表现最好的高校为该维度的最高分(例如50、100、200),其它高校按其与最高值的比例得分,一所高校的总得分由各指标维度得分加和得出。

 

 

有138所高校进入数学排名,比去年增加4所。前10名的高校几乎没有变化,四川大学从12名上升3位到第9名,而东南大学被挤出前十。北京大学依然是第一名,复旦大学和清华大学分列第二、三名。第四到第十名分别是:山东大学、中山大学、浙江大学、中国科学技术大学、西安交通大学、四川大学、上海交通大学。

 

以下哆嗒数学网的小编奉上全部排名:

 

 

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USNEWS公布2022世界最佳大学数学排名

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每年下半年,《美国新闻和世界报导》都会公布年度大学排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。近日,USNEWS公布了2022全球最佳大学排名已经公布。该排名还针对数学学科有分类排名,我们哆嗒数学网小编当然最关心数学排名啦。
 

从全球的数学排名来看,排名前三名都被美国高校占据。第一是美国的麻省理工学院,第二斯坦福大学,第三名是普林斯顿大学,当然第三名有并列情况,同是第三名的还有法国的索邦大学。第五到第十名分别是、剑桥大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、哈佛大学(美国)、巴黎大学(法国)、牛津大学(英国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)。前10名的高校较去年没有变化,只是做了位次上的调整。

 

亚洲方面,占据这个区域前10名的有6所中国高校。第一名是中国内地的复旦大学。同样来自中国内地的北京大学和电子科技大学分列二、三名。第四到第十名分别是:沙特国王大学(沙特)、上海交通大学(中国内地)、东南大学(中国内地)、新加坡国立大学(新加坡)、阿米喀布尔理工大学(伊朗)、浙江师范大学(中国内地)、伊斯兰阿扎德大学(伊朗)
 

 
而中国榜单方面,共有52所中国高校进入数学学科的排名。其中内地高校46所、香港高校6所。台湾和澳门均无高校进入数学学科的榜单。前三名是复旦大学、北京大学、电子科技大学。第四到第十名分别是:上海交通大学、东南大学、浙江师范大学、中国科技大学、清华大学、南开大学、香港中文大学。去年排名中国第一的曲阜师范大学今年没有出现在榜单中。

以下奉上全部中国高校排名列表

 

 

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何旭华教授获得李理论谢瓦莱奖

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根据10月6日美国数学会(AMS)官网发布的消息。2022年美国数学会李理论谢瓦莱奖(Chevalley Prize in Lie Theory)授予香港中文大学数学系卓敏讲座教授何旭华,以表彰他在李理论至少三个方向上取得的重大进展,包括p进数群的赫克代数的余中心,仿射德利涅-卢斯蒂格簇,半单群的模表示论等方面的研究。

 

 

何旭华教授于1996年以30分的成绩获得第37届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌,这项赛事的满分为42分,当年金牌分数线为28分。之后,何进入北京大学数学科学学院学习,于2001年获学士学位。本科毕业于后赴美国麻省理工学院攻读博士学位,师从著名数学家师治·卢斯蒂格,2005年获博士学位。曾在香港科技大学、美国马里兰大学任教。现为香港中文大学数学系卓敏讲座教授。他的研究方向是算术几何,代数群和表示理论。曾获2013年晨兴数学奖、2020年科学探索奖,并曾受邀在2018年国际数学家大会上作45分钟报告。

 

 

李理论是基础数学领域最热门的方向之一,它不仅仅在数学内部有深入研究,同时该理论已经深深植入理论物理的研究框架中,甚至在诸如计算机视觉这种实用领域,都有所应用。

 

谢瓦莱奖于2014年由乔治·卢斯蒂格设立,以纪念布尔巴基学派创始成员、著名数学家谢瓦莱(Claude Chevalley,1909—1984)。该奖每两年颁发一次,授予李理论(包括李群和李代数)方向过去六年中的重大成果,获奖人须获得博士学位不满25年。

 

 

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我真被惊到了,当第一次我看到这个关于连续统假设命题和它的证明

 

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偶然在网上看到一个问题表述是这样的:

 

设S是一个由解析函数为元素构成的集合,对每个固定的复数z,集合{ f(z):  f ∈ S } 都是可数集。

 

问题是:S这个集合是否一定是可数集合。

 

为了消除大家所看书本的歧义,这里说明一下,本文的可数包括了有限和无穷可列的情况。

 

本以为这个问题是某本分析教材上的小练习,结果我翻阅了一些资料后发现,问题的答案很有趣,是让人吃惊的那种有趣。

 

这叫做Wetzel问题,你在Wiki上搜索Wetzel's problem能搜索到它的介绍。后来数学家埃尔德什解决了它。因为证明过程非常简短和漂亮,被收录到了《数学天书中的证明》一书中。

 

 

问题的答案是,你认为S一定可数,那么就是说你不承认连续统假设。反过来,如果你认为S不一定可数,那么你就承认了连续统假设。

 

也就是说,这个问题的YES等价于连续统假设不成立。

 

因为连续统假设在ZFC中不可判定,这意味着,这样的S是否可数,在数学界最广泛承认的公理体系ZFC中不可判定。

 

要证明这件事情,不需要用到过于高深的数学知识,只要对复变函数和集合论的一些基础知识就可以。这些知识包括:

 

1、知道无穷序数和基数的概念(因为显示希伯来字母א会有莫名其妙的问题,这里我们用aleph代替这个字母)。尤其知道可数基数aleph_0,最小的不可数基数aleph_1,以及实数基数c的概念和基本性质。

 

这里强调一下,网上一些人,甚至一些科普书籍中,都不假思索的把aleph_1当成实数的基数。这是不符合通常习惯的,aleph_1当成实数基数只有一种可能,就是连续统假设成立。而实数的基数一般用c表示。少数情况下,我也见过用不带下标的aleph表示。但如果要用aleph_1表示实数基数,一定要强调是承认了连续统假设,这时候c = aleph_1 。如果不承认就是 c > aleph_1。

 

2、知道复变里的解析延拓定理的内容。只需要知道,不要求清楚证明的细节。

 

3、知道选择公理以及它的变种良序原理。我们经常用良序原理来进行超限归纳。而且我们很多时候提到选择公理的时候,不区分用的是它的原始版本还是良序原理版本。     

 

我们开始我们的证明了,先看连续统假设不成立,即c > aleph_1情况。

 

这种情况比较简单。不妨假设S中函数的个数只有aleph_1个,如若不然,就取一个相同基数的子集。

 

对于S中不同的两个解析函数f,g , 做集合 S( f , g ) = { z: f(z) = g(z) },那么S( f ,g )是可数集合。这是因为,如果这个集合不可数,那么S( f ,g )在复平面上上必有聚点。那么根据解析延拓定理,f和g是相同的解析函数。

 

那么,把f, g 跑遍S中所有的不同函数对,∪S( f, g ) 这个并起来的集合就是aleph_1个可数集的并,所以只有aleph_1个元素。因为c > aleph_1,而复数有c个。这样必然有一个复数w不在∪S( f, g )里。这意味着,S中的函数在z = w处,取值都互不相同。就是说{ f(w) : f ∈S }的基数是aleph_1,不可数 。不能满足设定需要达到的条件。

 

再看续统假设成立,即c = aleph_1情况。

 

这里,我们就要使用超限归纳法了。我们要用这个办法构造出有个aleph_1个解析函数的集合,满足题设的条件。

 

我们取Q为实部和虚部都是有理数的复数组成的集合。这个集合是可数而且稠密的。

 

根据选择公理,我们用序数给所有复数一个编号,让第α个复数为z_α。因为复数只有aleph_1个,所有α只需要取遍可数序数就可以,因为可数序数的个数正好aleph_1。

 

这意味着对于一个复数z_α,下标比α小的复数只有可数多个。

 

我们试图构造“一列”解析函数f_α,其中下标α也跑遍所有可数序数。注意,这里“一列”标上的引号,表示它并不是通常意义的数列。这列函数满足对于这样的条件:如果β≥α,那么函数f_β(z_α) ∈ Q 。这样对于任意一个固定的复数z_α,所有的函数值被分成两部分,β≥α的部分,因为函数值都在Q中,这些值只能由可数多个。而β<α的部分,因为可数序数的性质,也只能产生可数个函数值。这样能保证这样的“一列”解析函数满足设定的条件。

 

 

我们开始用超限归纳法了。由于有很多细节要一一验证,所以我这里说主要思路。如果这篇文章在这里能超过3000的阅读,我也许可以做一个视频,验证更多的细节,毕竟如果东西没人看的,做出来也没什么意思。

 

说明一下,下面的所有希腊字幕的下标,都是可数序数。

 

初始值的f_0定义为零函数吧,并不太重要。

 

然后,假设对于所有的β<α中的f_β已经定义好,现在来定义f_α。因为α是可数序数,所以有可数个函数f_β,另外把下标小于α的复数z_β也提出来,也是可数个。

 

因为f_β和z_β分别都有可数个,所以我们分别重新排成函数列和数列。f_β重排成函数列g_n,z_β重排成数列w_n 。

 

然后,按如下模式,我们再递归的定义一列函数p_n ,过程如下

 

p_0(z) = s_0 , 其中 s_0∈ Q ,但s_0≠g_0(w_0) , 这很容易办到,因为Q中无限个元素。

 

p_(n+1)(z) = p_n(z) + a_n * (z - w_0)(z-w_2)...(z-w_n) 

 

这里需要适当的设定a_n 的值,让其满足a_n趋于零的速度足够快,保证p_n的内闭一致收敛性,另外p_n(w_n)也不能等于g_n(w_n)。这两点都可以利用在原点附近设定了一个关于n的一个合适无穷小来设定,因为每次添加都是添加了一个多项式,只要保证a_n这个因子能让系数足够小就可以了。于是,对于a_n我们还能有无穷多个选项备选,使之满足这两个条件。在这无穷多个备选项中,我们还需要再选精细一点,还要保证p_n(w_n) ∈ Q , 这个可以通过Q的稠密性,并解一个一元一次方程满足。

 

这样,p_n将一致收敛的于一个解析函数,这个函数就是要定义的f_α,注意这个时候f_α(w_n) = p_n(w_n) = p_(n+1)(w_n) = ... =  p_(n+k)(w_n) 。

 

而且,这个定义的f_α满足如果β≥α,那么函数f_β(z_α) ∈ Q (为什么?留作习题吧~~)。

 

于是完成全部证明。

 

 

 

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软科发布2021年世界一流学科数学排名

 

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2021年5月26日,2021年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面,来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一,美国的普林斯顿大学屈排名第二,法国的索邦大学排名第三。前三名与去年没有变化。第四到十名分别为:剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、斯坦福大学(美国)、麻省理工学院(美国)、纽约大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中,美国仅有一所,这个种情况在这个排名中,是及其罕见的。不过前十总体格局还是美国优势占据其中五所,法国、英国分别占据两所,瑞士一所。

亚洲方面,有五所亚洲高校排名前50,加上6个并列的51-75排名的6所,亚洲排名前十的有11所高校。日本的京都大学排名第一,总排名23名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第24。同样来自以色列的特拉维夫大学排名亚洲第三,总排名第37。来自中国的北京大学、复旦大学分列亚洲第四、第五,总排名分别是第41、第47。值得注意的是,前十名大学中,没有来自中国香港的大学,而去年还有两所.

 中国高校有101所大学进入榜单,数量上较于去年下降1所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第41名。第二名是复旦大学,世界排名第47名。清华大学、中国科学技术大学位列51-75名次区间,香港城市大学、上海交通、中山大学、武汉大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学八强。最后,哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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2021泰晤士中国数学学科评级:三分之一的A+还是集中于美国

 

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2021年5月11日,著名的大学排名机构泰晤士高等教育再次更新了2021中国评级。这个评级按照中国教育部的学科划分,以及类似的评级模式,对世界范围内的大学进行了一番“学科评级”。所以,在泰晤士排名的官方网站上,把这个评级命名为“中国学科评级”。

该评级把对应学科进行评级,分为A+, A,A-, B+, B, B-, C+, C, C-共9个等级。参评学校的评分的前11.11%会被评为A+,而下一个11.11%的分段获得A,以此类推。

评分因素参考五大指标,分别是:教学(学习环境),研究(发表量、收入和声誉),引用(研究影响力),国际视野(国际教师、学生和国际合著)和行业收入(知识转移)。

数学学科方面,我们哆嗒数学网的小编整理了该学科评级。共有100所中国高校进入榜单。值得注意的是,去年该机构把山东大学只被评为B,而今年山东大学评级是A-。

另外,从世界范围来看,数学学科共有122所大学被评为A+。其中美国共有42所大学被评为A+,遥遥领先于其他国家。接下来是中国的12所,内地7所,香港5所。排在第三的是英国的11所。

 

 

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70岁买鸡蛋大爷看英文高数书?不!你们还是低估了他!

 

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4月19日,武汉街头,一位卖鸡蛋的大爷火了。各路媒体都在转载这样一条地方新闻:一位70多岁卖鸡蛋的大爷面前,放着土鸡蛋、皮蛋、咸鸭蛋,但从不吆喝,时常专注地阅读纯英文版的《高等数学》《高等物理》和金庸武侠小说。据悉,这位大爷在1965年考入武汉某大学物理系,毕业之后先后在三所大学授课30多年。他自己说,无论是卖鸡蛋和看书,都是为了打发闲暇时间。

然而,尽管“高等数学”和“纯英文”吸引了足够多的眼球。但转发各路小编们还是低估了这位卖鸡蛋的大爷。视频中这位老师看的根本不是《高等数学》,而是看的一本物理学的专业教材。从拍摄到的目录来看,目录中的“布里渊区”、“费米面”、“维格纳-赛茨法”等,应该是固体物理的内容。

 

经过我们哆嗒数学网的群友的s取证。这位物理老师看的是由美国物理学家基泰尔(Charles Kittel)写著的《固体物理导论》,英文名字叫Introduction to Solid State Physics ,是物理专业的经典教材之一。下图目录中的内容一样,但排版不一样,应该是版本不同。

化学工业出版社也有这本书的翻译版本。这本书应该比一般的《高等数学》教材难得多,毕竟《高等数学》这门课只是理工科大学生在大学一年级上的入门课程。

 

当然,对于大爷具体看的什么书媒体们是不太关注的。大家关注更多的是老人的生活态度。古稀之年,即便买着鸡蛋,也不忘看着自己喜爱专业书籍。不为名利,不为出什么科研成果。获取知识本身,就能让人快乐,不是吗?

 

 

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他是个数学天才:谁能有这样的推荐信?

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网上流传着一封关于约翰·纳什当年去普林斯顿的推荐信。我们哆嗒数学网查证后,发现是真的。信件内容如下:
 
中文译文:
 
尊敬的莱夫舍茨教授:
这封信是向你推荐约翰·纳什先生到普林斯顿研究生院读博。
纳什先生今年19岁,6月即将从卡耐基技术学院毕业(编者注:卡耐基技术学院是卡耐基梅隆大学的前身)。他是个数学天才。
理查德·达芬 谨上
 
写这封信的理查德·达芬(Richard Duffin)在当时就是一位著名的物理学家。数学物理中有个DKP代数,他就是那个D。另外数论中,有个以他名字命名的关于丢番图逼近的猜想——达芬-谢弗猜想(Duffin–Schaeffer conjecture)——也非常有名。而后者刚在2019年被证明出来,成为定理。这个定理的证明过程在2020年被发到最顶级的数学杂志《数学年刊》(Annals of Mathematics)上。
 
有了这样学术大牛的推荐信,信的长短也不重要了。据说,达芬同时还向哈佛推荐了纳什,而且哈佛也接受了纳什入学申请。这时,普林斯顿数学学院的主席,也就是本文推荐信的接收者莱夫舍茨(Lefschetz)教授,果断向纳什提供了约翰·肯尼迪奖学金,让纳什感到自己在普林斯顿应该更受重视,于是选择普林斯顿。
 
 
两年后的1950年,纳什的博士论文《非合作博弈》出世。论文共28页,论文中提出的“纳什均衡”的概念以及相关研究,让他在1994年获得诺贝尔经济学奖。
 
 

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因为这部数学名著中文版的错误,我决定再科普一下这个知识

作者: Math001

 

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事情的起因是我们哆嗒数学网的一位网友拿着Hardy和Wright合著的《数论导引》中文版说,书中明确指出,数学家早在1930年前后,就证明了eπ是无理数。这个让我吃惊,因为就几天前,我所能查到的资料,都说明eπ是否是无理数的问题还是一个未知答案的问题。——2017年前后,有人在预印本网站上发文说证明了它是无理数,但是被各路数学家指出了这篇文章的低级错误。

《数论导引》是英国顶级数学家Hardy的名著,英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直译一般应该是《数论导引》。但是,为了销售上的考虑,图灵出版社翻译这本书的时候,将书名定成了《哈代数论》,当当有售,现在巨贵。如此名著中既然这样写了,我们就要认真考证一下,到底怎么回事。

第一反应是不是翻译成中文后,阴差阳错出现了搬运错误。上面中文版的截图是该书的第6版,于是我也找到英文版的第6版来对比。结果,不出我所料,英文版和中文版的内容果然对不上。出乎我意料的是,中英对照的差异——比我原想的大的多。

首先,英文版中列出了两行实数,分别列出了哪些是已经被证明了是无理数的数,哪些还没有被证明是无理数的数。两行数,每行4个数,共8个。而中文版中对应的两行数变成每行3个数,共6个。然而,数的个数还不是最大的差异。在已经被证明了是无理数的那一行中,中文版里列入了eπ,而英文版里并没有eπ,而是另外两个数。而还没有证明是无理数的那一行,英文版里本来有e+π,但是中文版里把这个数去掉了。

 

——遗憾的是,e+π以及eπ这两个数的是否是无理数,到目前为止,依旧是未解之谜,人类中没人知道。这些问题涉及数学里的一个研究分支,叫做超越数论。

 

超越数论里有个非常重要的猜想,叫做沙努尔猜想。如果这个猜想成立,那么很多数的无理性以及超越性都能得到证明,包括e+π和eπ。

 

在介绍这个猜想之前,首先要介绍一下在有理数数域上线性相(无)关和代数相(无)关的概念。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果不存在全为零的有理数q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 + q2·x2 + ... + qn·xn = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上线性相关,否则叫做在有理数域上线性无关。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果存在非零n元有理数系数多项式f满足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上代数相关,否则叫做有理数域上代数无关。

 

沙努尔猜想说:如果n个复数x1, x2, ... , xn在有理数域上线性无关,那么这2n个复数中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n个复数有理数域上代数无关。(其中e^x 表示e的x次方)

 

知道了沙努尔猜想,我们就可以在假设这个猜想成立的情况,证明e+π和eπ都时无理数(实际上能证明都是超越数)。

 

1和πi显然在理数域上线性无关,所以 1 、πi 、 e 、 -1这4个数中,能找到2个代数无关。(注意 e^πi = -1)

 

如果令f(x,y)=(x-1)(x+1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 说明±1和所有复数都代数相关。所以只能πi 和 e代数无关。

 

πi 和 e代数无关能得到π和e代数无关。这一点,如果你有代数扩张方面的知识能迅速看出来。当然,这里为了保证这篇文章一定的友好度,我们也简单说明一下。

 

如若不然存在非零二元有理系数多项式f(x,y)满足f(e,π) = 0。 那么令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy),这是一个非零有理系数多项式。而g(e,πi) = 0 ,与πi 和 e代数无关矛盾。

 

那么e+π不可能是有理数。如若不然,e+π=q是有理数,则令f(x,y) = x+y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同样的方式,也可证明eπ不可能是有理数。

 

好了,我想科普的内容就是这个沙努尔而猜想。如果读者你能有幸解决他,得几个数学界的大奖是没问题的。甚至如果你没满40岁的话,冲击一下数学界的最高奖菲尔兹奖也是有机会的。

 

如果,你能证明eπ、e+π是无理数的话,拿个数学的博士学位应该没问题吧。

 

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智慧与美貌并存:三八节给你推荐一位美女数学家吧

 

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米歇尔·奥丁说出了我的心声:“尽管数学家几乎不知道索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的作品,但他们都看过她的肖像。”我曾经在索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的纪念活动中,去帮助女孩子们,让她们对学数学产生兴趣。我知道科瓦列夫斯卡娅是一位开创性的女数学家,但是我对她的生活和工作的细节却是一无所知。


当我偶然发现奥丁的《纪念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》(Remembering Sofya Kovalevskaya)一书时(2008年以法语出版,2011年以英语出版),我决定是时候纠正这种状况了。这本书不是一本普通的数学家传记。正如奥丁在引言中所写,这本书不是一本历史书,它也不是一本数学书或者一本小说。这是一个不拘一格的、独特的作品,它不屑于一个简单的标签。当你读的时候把你的期望放在一边。用《Marcel the Shell》里一句智慧的话来说,“真的,你只要搭个便车就行了。”

 


1850年,科瓦列夫斯卡娅在莫斯科出生。1868年,她步入了一场交易性的婚姻,因此她离开了俄罗斯,最终跟随柏林大学著名的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯学习数学。因为柏林大学不招收女学生,所以卡尔·魏尔斯特拉斯私下里教她。1874年,她在缺席的情况下获得了哥廷根大学的博士学位。拿到学位后,几年内她没有找到工作,并且生下了女儿。最后,在米塔-列夫勒的努力帮助下,科瓦列夫斯卡娅在斯德哥尔摩找到了一份私人教师的工作(一个学术级别低于教授的职位)。1888年,她获得了一项殊荣,这使她有可能在斯德哥尔摩获得教授的永久职位。不幸的是,在那不久之后她就死了。她精通多种语言,无论是俄语、波兰语、法语、德语、英语还是瑞典语。除了数学事业外,她还会写小说和戏剧。

就算现在看来,她的职业生涯也很现代化,我被震撼了。奥丁写道:“毫无疑问,她是第一个以我们今天所理解方式从事大学学术职位的女性:她通过定理证明获得博士学位,然后她教授课程,关注政治,她深信着科学家应该肩负的责任,她到处旅行,她证明了更多的定理,她参加委员会会议(但没有太大的热情),她有一个女儿,她是国际期刊(Acta Mathematica)的编辑,她为妇女的权利而战,她参加并为科学会议做出贡献,她准备升职,她写了很多报告和推荐信,她远道而来与其他大学的同事见面”她非但没有因为是个女人而成为贱民,相反,她成为了数学界受人尊敬的一员。


科瓦列夫斯卡娅在广泛的分析领域研究了几个问题。她的博士论文包括三篇关于三个不同主题的论文,任何一篇都足以独立获得学位。它们涵盖了偏微分方程、阿贝尔函数和土星环的形状。她晚年最重要的工作是研究像陀螺一样的旋转(也就是说,在一个点保持固定的情况下的转动)。欧拉和拉格朗日解出了两种最简单的“陀螺”,科瓦列夫斯卡娅发现了另一种可以被分析的“陀螺”。正是这部作品为她赢得了1888年的勃丁奖。奥丁通过科瓦列夫斯卡娅的“陀螺”与科瓦列夫斯卡娅邂逅,并在涉及科瓦列夫斯卡娅关于这个问题的工作的章节中深入到了数学的核心细节。

 

尽管科瓦列夫斯卡娅取得了成功,但她确实遇到了困难,她的声誉也因此经历了起起伏伏。其中造成声誉受损的原因,有一些是因为在她死后,她的一篇论文被发现有一个致命的错误,这是一个不幸的情况,即使是有成就的,细心的研究人员偶尔也会遇到这种情况;有一些是由于人们对妇女的角色和行为的偏见。

 

在读这本书的时候,我碰巧重读了弗朗西斯·苏的《人类繁荣的数学》,这是他在一月份作为即将退休的美国数学协会主席发表的演讲。在演讲稿中,他引用哲学家西蒙娜·韦伊(数学家安德烈·韦伊的妹妹)的话“每一个人都在为了被不同地解读而发出无声的呼喊”并对此进行了反思。

 

奥丁的书不仅讲述了科瓦列夫斯卡娅与数学家过去和现在的关系,也用同样的篇幅讲述了她自己的生活和工作。奥丁列举了她所面临的一些侮辱,以及她的名誉仍然面临的问题—她为了能够学习数学、能有离开俄罗斯的自由而进入的“白人”婚姻,她的薪水问题,关于她是否真的能够独立于她的顾问卡尔·魏尔斯特拉斯的陆续而来的问题,关于她的外表的没完没了的评论—我无声地呼喊着希望科瓦列夫斯卡娅能够以不同的角度被解读。她不应该成为其他人对女性和数学家应该是什么的预测的画布。在第11章“我记得索菲娅,乔治、约斯塔、茱莉亚和所有其他人写的”中,这种感觉最为辛酸。在其中,奥丁收集了一些生前认识科瓦列夫斯卡娅的人和她死后通过名誉和谣言认识她的人所写的有关科瓦列夫斯卡娅的信件或其他文字。        

例如,奥丁的书中包括了摘录自卡尔·魏尔斯特拉斯的另一位学生卡尔·龙格的一封信:

星期六我们在她的公寓举行了一次非常有趣的聚会。聚会由科瓦列夫斯卡娅太太和四位年轻的数学家组成,我们像往常一样交谈。她大约30岁,面容娇嫩,她很体贴,还有点悲伤(距离弗拉基米尔(科瓦列夫斯卡娅的丈夫)自杀已经有两个月了),她微笑时相当迷人。对我来说,和一位女士谈论数学并能完全自由地畅谈是很奇怪的。她对这方面的问题很了解。我知道这一点,尤其是当她就着我的工作,提出了很有价值的问题的时候。在这之前,我曾想象过她可能是个鼻子尖锐,长相古板,戴着眼镜的人,但我惊奇地发现,科学教育竟能与如此完美的女性气质相提并论[原文如此]

正如奥丁费尽心力所观察到的,龙格对科瓦列夫斯卡娅是一位优秀的数学家和一位有魅力的女性的惊讶表明,“这种刻板印象可以存在于物种之前。”一次又一次地阅读回忆,我觉得科瓦列夫斯卡娅正被其他人的观念和信念所掩埋。

科瓦列夫斯卡娅和两位数学界的早期女性苏菲·姬曼、艾米·诺特一样,都是英年早逝。当她在热那亚和斯德哥尔摩之间旅行时感染肺炎时,年仅41岁。关于那个故事,奥丁写道:

在丹麦,又是一个寒冷的冬天,天空飘着雨雪。火车站台上有风,渡轮上也有风,风从一个地方呼呼地一路吹到另一个地方。在这种情况下,当然,当索菲娅到达斯德哥尔摩时,她病了。一开始病情并不明显,因为她在2月6日(星期五)教这学期的第一节课,然后她去参加了天文台的一个聚会,因为发烧,她提前离开了,之后,她还乘错了公共汽车,那时候的天气非常寒冷……之后,她变得更糟了,就上床睡觉了。周一,她看起来似乎好多了,她和米塔格·莱夫勒谈论了她对欧拉方程的看法……但是她的病已经转变成了肺炎,那时是在19世纪,比发现青霉素的时候早了40年……即使你是41岁的杰出科学家,即使你有很多科学、个人和文学方面的计划,你还是死在了肺炎的手上。正如索菲娅所说,正如她生病前写给朋友的信中所说,即使你很快乐,你也会死,就像那时的索菲娅一样,然后,就是索菲娅所做的那样,她最终死于肺炎。        

奥丁独特的表达使《怀念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》成为一本引人入胜的、感人的书。它不是传统传记的替代品,但对于任何有兴趣从另一个角度看待科瓦列夫斯卡娅的人来说,它是一本引人入胜的读物。

正如奥丁在书中指出,存在着许多不同版本的音译的科瓦列夫斯卡娃的名字,但他更喜欢拼写成“Sofya Kovalevskaya”。在这篇评论中,我大部分都是跟随奥丁的脚步,使用了“索菲娅·科瓦列夫斯卡娅”

 

 

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2021年QS世界大学数学学科排名公布

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近日,QS官网公布了其2021年世界大学排名,同时公布了世界大学学科排名,该学科排名涵盖51个不同学科门类,我们哆嗒数学网依旧只是关注数学学科的排名。

 
哆嗒君温馨提示:任何排名根据其排名方法都有不同的侧重点,都不能直接对应成学科实力。不过,我们队关于排名的讨论都持开放态度。
 

数学学科排名方面,美国院校依然霸榜,占据前十名中的六个席位。另外英国占据两席,瑞士占据一席。本次排名中,来自亚洲新加坡的新加坡国立大学挤进前十,排在第九位。第一到第十分别是:麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、哈佛大学大学(美国)、剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、普林斯顿大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、新加坡国立大学(新加坡)、加州大学洛杉矶分校(美国)。

 

 

亚洲方面的前十排名中,来自中国的高校占据了其中6个,其中4个来自内地,2个来自香港。来除了总排名第9的新加坡国立大学排在亚洲第一外。其余第二到第十名分别为:清华大学(中国内地,18名)、北京大学(中国内地,19名)、东京大学(日本,并列24名)、南洋理工大学(新加坡,31名)、香港科技大学(中国香港,36名)、香港中文大学(中国香港,37名)、上海交通大学(中国内地,44名)、复旦大学大学(中国内地,并列45名)、京都大学(日本,并列45名)。

中国高校共有49所大学进入榜单。其中内地高校36所,香港高校和台湾高校各6所,澳门高校1所。在中国的高校的排名中,排名第一的是清华大学,世界排名第18名。北京大学和香港科技大学分列第二和第三位。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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随机性有时也能让数学更容易

 

作者:Kevin Hartnett,《量子》杂志记者

翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

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翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 


 

随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

 

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时差反应东西向不对称性的解释

作者: Thomas M. Antonsen等

翻译,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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时差反应是搭乘飞机旅行的人在跨越多个时区后常常出现的现象。经典症状包括头晕、恶心、在当地出现白天醒不了、晚上睡不着。用简单的话来说,人体内的时间调节机制一般会与当地的24小时昼夜周期相适应,这一般取决于外部自然条件(特别是日出日落)和社会条件。由于快速地跨越了多个时区,身体内的昼夜节律调节机制需要时间去与所在地的外部自然昼夜周期进行同步;这种重新同步机制的现象便是旅客们所表现的时差反应现象。由于节律器的重新同步是一种动态机制,这便促使人们从动态系统的角度进行数学建模,并尝试解释这一现象。

 

当身体产生许多信号来帮助调节身体的昼夜周期时,身体当中的一个部位似乎起着非常重要的作用:视交叉上核(the suprachiasmatic nucleus,SCN),这是人体大脑中一个非常狭小的部位。医学研究发现视交叉上核是由104个调节神经元组成的一个序列,所以我们也就可以有理由认为如果把这些神经元单独隔离开来,这些生命调节器的周期大致在一个平均值上,通常情况下其平均时间在24小时以上。当这些神经元组合在一起的时候,这些生命节律调节器便会进行相互协调,同时当其中一个神经元受到外界刺激后,他会通知其他神经元进行调节。就比如,太阳的升起和落下。这些结论是我们构建模型和预测分析的基础概念,同时也是其他研究者的基本思路。但是我们所构建的模型与之前的研究者有所不同,我们着眼于组合在一起的每一个的视交叉上核神经元的微观状态,并将忽略高维度微观结构,将我们的研究缩减到低维度的宏观结构以便进行观察。我们建立模型主要是为了解释相比于向西跨越相同数量时区,时差反应在向东跨越同样数量的时区后将会更加严重(例如,恢复时间更长)的现象,因为这是人们普遍的感受。特别的,我们分析视交叉上核的平均昼夜周期略大于24小时现象对于东西时差反应不对称现象的解释有多少可信度。

 


在决定去了解在N个神经视交叉上核集合中去分析跨时区旅行和时区重新同步之间的相互作用之初,我们使用了一个非常简单的模型来分析这些神经元的作用,这是考虑到了部分现实情况。藏本模型(Kuramoto model)是一个非常出名的模型,在这个模型中每一个神经视交叉上核的复杂动态变化都会被简化成一个简单的时间和相相关的演化方程θi(t),i表达的是在第i个视神经交叉上核的状态。其中i=1,2,3,……N. 而视神经交叉上核的相则会在时间上提前一点。根据下面的公式可以得出各个变量之间的关系:



其中,ωi是每个视神经交叉上核的自然频率。在模型中,ωi是通过分布函数g(ωi)取得的,我们取的是在24小时内的最大值ω。右边第二个加数描述的是每一个视神经交叉上核与其他神经元之间同步的概率,其耦合强度为K。第三个加数则表示的是与外部的联系,特别是太阳光的影响。它影响的强度为F,每个神经元都有一个相位δt + p,其中δ= 2πhr/(24s),他代表的是每日的频率,p相位依赖于时区。如果t是格林威治标准时间,p为正数,在格林威治东边,p的取值范围为0 < p <π;若在西边,则为-π< p < 0。


看上去这个等式十分简单,但是它仍然需要巨大的数据量,每一组等式所需要的数据大概在N-10^4的数量级上。因此为了能够进一步简化等式,我们在这里提出两种方法。第一步,我们取连续极限:N→∞,则SCN的状态取决于调节神经元的相位和频率随时间分布的函数,f(θ,ω,t)。当N>>1时,N→∞的极限才能有很好的近似。第二,我们使用通常所说的奥特——安东森假设(Ott-Antonsen ansatz),这个假设为解出分布函数f提供了非常好的方法。当简化系统转化为连续介质系统时,该假设为f(θ,ω,t)限定了函数表达式。更进一步地,注记[6]发现在一个条件较为宽松而且长时间的状态下,f会在一定概率下收敛到简化条件的解上。因此,我们捕捉每一个汇点和分叉点。在自然调节频率:


的洛伦兹分布情况下,SCN的宏观状态将由一个单一复数变量

 

来表示,我们由此得到如下公式:

 

 

其中复变量z的极角表示的是SCN的总体全局视神经上核相位。因此我们的假设将一个N维系统简化为这种单一,一致性的复数常微分方程,以使我们能够快速遍历每一个变量空间,并能对动态系统有更深刻的理解。


尽管假说仍然需要对等式1所表示的宏观状态行为进行研究,这种假说仍然旧展示了这种降低维度能力的作用,不仅仅对等式1有效,还对非常多的情况有作用。这些场景包括,在伦敦千禧桥上的人行横道上人致振动、约瑟夫森结电路、鸟鸣的模型建立和脉冲耦合神经元网络构建。这个模型还可加入更多额外的动态特征,例如某一个视神经上核对另一个的延时影响,不同网络拓扑、空间耦合和反馈控制模型的效果。


正如图像一所示,该模型是一个性质相异的动态空间,它拥有三个变量体系。我们认为一个正常人的昼夜节律是与外部24小时周期相协调的,在z相位空间中是有一个对应的固定点(在图1a和1b中的一个黑点)。图1c所示的状态是一个人的昼夜周期节律与外部24小时周期是不同步的。该图表明这个人的昼夜相位和外部刺激的相位变化曲线最终形成了一个封闭曲线,在z相位上组成一个周期性轨道。图1a和图1b的动态关系之间其实也有差别;通过鞍结分岔过程处理,除了对应的固定点,图1b还有两个另外的固定点,一个不稳定(显示成未闭合的圆)和一个鞍结(表示成一个交点)。鞍结的不稳定特性就形成了一个环,而且z相位可以通过两个相反的方向到达固定点。


为了能够分析健康人从时差反应中恢复过来的过程,我们假设旅行者是从他之前的时区(z相位是在固定的位置)来到目前的位置的。为了简化分析过程,我们同时假设旅行者的跨时区旅程非常快,因此建立这个方程的时候在公式一中p的变化会是不连续的。因此,在旅行的最后,状态变量z会迅速被[p(initial)-p(final)]旋转后的(|z|fixed)所代替。z相位地固定点回到他之前的固定点前边还是后边取决于旅行结束的位置。我们比较感兴趣的是恢复过程中存在的东向和西向的不对称性,和以及恢复到正常状态的时间。我们用一系列通用的变量代表了一个健康人的各项指标。图1a表示的便是变量集作用后生成的图像,这张图中只有一个固定点是稳定的。当外部刺激不存在时,视神经交叉上核神经元集合平均调整时间为24.5小时,和外部实验观察类似。这个计算结果也意外地表明自然状态下,正常人视神经交叉上核神经元调节周期为24小时,与实验结果有一个比较小的差距(约30分钟),这也就足以说明东西向时差反应的不对称性是比较明显的。


在动态系统应用的SIAM会议上(DS17),爱德华·奥特将会出席朱桢·摩斯尔名为“大型多个联动的昼夜调节器的应急行为”的讲座。该讲座将于今年五月在犹他州雪鸟市举行。他同时会组织并在“使用备用电脑来学习动态系统”的系列讲座上发表讲话,而米歇尔·吉瓦将会在“对称性、非对称性和网络同步”的系列讲座上发表演讲。

 

 

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算术先知:彼得·舒尔茨

作者:Erica Klarreich,《量子》杂志记者

翻译,Erica,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

 

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在他28岁的时候,彼得·舒尔茨(Peter Scholze)正在揭开数论与几何之间深刻联系的神秘面纱。

 

在2010年,一个令人震惊的传闻在数论界传开并传到了韦恩斯坦(Jared Weinstein)的耳中。传言,德国波恩大学的某个研究生发表了一篇论文,仅用了37页就重写了“Harris-Taylor”,这个高深莫测的定理本来用了228页的一本小书的篇幅来证明的。然而,这个22岁的研究生发现了一种法涉及到数论和几何之间的广泛联系方法,回避了证明中最复杂部分。

 

 

“一个这么年轻的人做出了如此革命性的成果,这实在是太惊艳了,” 波士顿大学34岁的数论学家韦恩斯坦如是说。“这实在是让人敬佩。”

 

 

波恩大学的数学家们早已意识到他超凡的数学思维,他们也在仅仅两年后就任命舒尔茨为正式的教授。在他发表了这篇关于Harris-Taylor的论文后,整个数论和几何领域的专家们也开始注意到了舒尔茨.

 

 

 

在舒尔茨28岁的是,他开始在更广阔的数学界崭露头角。他获得的诸多奖项的颁奖词中称他“已经是当世最具有影响力的数学家之一”,并且是“一个几十年一遇的罕见天才”。他还被认为是数学界最高荣誉菲尔兹奖的大热门。

 

 

一类被他称之为“状似完备空间(perfectoid space)”的“分形”结构,作为舒尔茨的关键革新虽然问世才几年,但是它已经在算术几何,一个数论和几何的交叉领域,产生了深远的影响。Weinstein认为,舒尔茨的工作具有一种预判的功能,“他甚至能在工作还没开始之前,就能看清它的后续步骤是什么”。

 

 

许多数学工作者对于舒尔茨的反应是“一种威望、恐怖和激动的结合体”,和舒尔茨共同撰写了多篇论文的密歇根大学的数学家巴特(Bhargav Bhatt)这样评价。

 

 

这种反应的产生并不是因为他的个性,恰恰相反他的同事们一致描述他是平易近人的。舒尔茨在波恩大学的同事赫尔曼(Eugen Hellmann)说:“他从来不会让你觉得他是如何高高在上的。”

 

 

实际上,这是因为他那令人难以置信的深入研究数学现象本质的能力。不同于多数数学家,他通常不是从一个想解决的特定问题入手,而是从他自己想要明白的一些难以理解的概念开始。但那之后,他所创造的那些结构“在成千上万个其他方向上都有从未被预见到的应用,只是因为它们正是应该去考虑的正确对象”,与舒尔茨合作过的普林斯顿大学数论学家卡拉亚尼(Ana Caraiani)这样说。

 

 

学习算术

 

 

在他14岁的时候,舒尔茨开始自学大学数学,当时他就读于海因里希·赫兹中学,这是柏林的一所专精于数学和科学的精英高中。舒尔茨说,在这所高中,“只要你对数学感兴趣,你就不会无法融入其中”。

 

 

在16岁时舒尔茨了解到在十年前怀尔斯(Andrew Wiles)证明了最著名的17世纪数学难题,也就是费马大定理。这个定理说明,如果n大于2,那么方程x^n+y^n = z^n不存在全部非零的正整数解。舒尔茨如饥似渴地想要学习它的证明,但他迅速发现尽管问题描述起来很简单,解决它需要用到一些最前沿的数学。他说:“我当时什么都不懂,但它实在是令我着迷。”

 

 

因此舒尔茨退而寻求他需要学习什么才能理解费马大定理的证明。“直到现在,这仍然很大程度上是我学习的方式,”他说,“实际上我从未真正学习过线性代数之类的基础知识,我只是在学习其他东西的时候将它搞懂了。”

 

 

当舒尔茨钻研这个证明时,他被证明涉及的数学对象所吸引:被称为模形式和椭圆曲线的结构, 这些结构神奇地统一了数论、代数、几何和分析这些不同的领域。他表示阅读涉及的这些对象的理论比问题本身更加有趣。

 

 

 

舒尔茨的数学品味逐渐成型。如今,他仍然被那些求解简单方程整数解的问题所吸引。这些具体的整数解让更加深奥的数学结构在他面前都变得具体。“说到底,我对算术感兴趣。”他说如果发现当他抽象的构造能带来关于整数的一些小发现时,他会感到无法言语的开心。

 

 

在高中之后,舒尔茨在波恩大学继续追求着他对数论和几何的这种兴趣。他的同学赫尔曼回忆到,舒尔茨在他的数学课上从来不记笔记。舒尔茨可以迅速理解课程的材料,“不仅仅是表层的理解,而且是某种意义上很深度的真正理解,这样他也不会遗忘。”

 

 

舒尔茨开始了在算术几何领域的科研生涯,这个领域使用几何工具来研究多项式方程的整数解,例如xy²+3y=5这种方程的整数解。对于这种类型的一些方程,研究它们在被称为p进数(p-adic number)的数域中的解有着丰硕成果。p进数和实数一样是通过填补整数和有理数之间的间隙构造的(通常称其为完备化),但是关于“这些间隙之中什么样的数是彼此接近”的的概念和通常理解不同:在p进数当中,两个数的差是小的并不能说明它们是接近的,实际上只有它们之间的差可以被p整除足够多次,它们才被认为是接近的。

 

 

这是一个奇怪的判断依据,但它是有用的。以3进数为例,它提供了一种自然的方式去研究形如x²=3y²的方程,因为在其中有着3这样一个关键的因子。

 

 

舒尔茨说,p进数“和我们的通常感觉差别很大”。但是这些年来它们对他来说变得很自然。“如今我认为实数比p进数要难以捉摸得多。我和p进数相处得太久了,以至于现在实数对于我来说显得非常陌生。”

 

 

数学家们在1970年代注意到,如果通过构造一个以p进数为底且每一层环绕下面一层p次的无穷的数系的塔来扩张p进数,许多关于p进数的问题会变得更加容易。在这个无穷的塔的“顶部”的数域是一个“分形”的对象,这也是舒尔茨之后发展的状似完备空间理论的最简单的例子。

 

 

舒尔茨给他自己布置了这样一个任务:理清为什么这种无穷环绕的构造能使如此多的有关p进数和多项式的问题变得简单。“我尝试理解这种现象的内核,”他说,“但是并没有能解释它的一般性理论。”

 

 

他最终意识到,给很多种数学结构构造出状似完备空间是可行的。他证明了这些状似完备空间能够将关于多项式的问题从p进数的世界转移到一个不同的数学世界,在其中算术变得更加简单(例如,在做加法时不需要进位)。“状似完备空间最怪异的性质是它们可以在两个数域间魔术般地移动。”韦恩斯坦说。

 

 

这一想法促使舒尔茨部分证明了一个被称为权重单值性猜想(weight-monodromy conjecture)的复杂问题。2012年,他的博士论文就是这个问题。韦恩斯坦称,这篇论文“影响深远,全世界相关专家都会去研究它”。

 

 

舒尔茨“准确找到了正确且最简洁的方法来整合前人的全部工作,对这些工作他给出了一个优雅的刻画。随后,就因为他发现的是真真切切的正确框架,他又做出远超已知结论的成果。” 赫尔曼说。

 

 

俯瞰丛林

 

尽管状似完备空间的理论极其复杂,但舒尔茨的讲座和论文以清晰而闻名。韦恩斯坦称:“在舒尔茨向我解释前,我什么也不理解。”

 

 

卡拉亚尼说,每当舒尔茨阐述他的想法,总是想方设法降低难度,试图让那些研究生新生水平人能够理解。“在他的想法中有一种开放和包容的感觉,”她说,“并且他不仅仅和部分资深专家交流想法,实际上一大批的年轻人都有机会与其接触。” 卡拉亚尼认为舒尔茨友好且平易近人的举止使得他成为该领域的理想领袖。她提到有一次当她和舒尔茨在与一群数学家进行艰难的“远足”时,他是那个四处奔跑来确保每个人都能跟上的人。

 

 

尽管有了舒尔茨的解释,状似完备空间对于其他学者而言仍然是难以驾驭的,赫尔曼说:“如果你离他描绘的道路偏离了一点,那你就会发现自己处于如同丛林中央一般的困境。”但他认为舒尔茨本人“永远不会在丛林中迷失,因为他从未打算在丛林里纠缠。他总是在为了某种清晰明了的概念而寻找俯瞰整个丛林的视角。”

 

 

 

舒尔茨通过强迫自己飞过丛林里的藤蔓来避免被它们所困:就像他大学时一样,他喜欢不写下任何东西来工作。那样他就必须用最清晰的方法来阐明他的想法,他说:“你的大脑只有有限的能力,因此不能在其中做太过复杂的事。”

 

 

当其他数学家正开始尝试理解状似完备空间时,舒尔茨和他的合作者已经毫不意外的利用它做出最深刻的发现了。在2013年,他在网上贴出的一个结果“着实让学界震惊”,韦恩斯坦说,“我们都没有意识到这样一个定理即将诞生。”

 

 

舒尔茨的结果扩大了互反律的适用范围。互反律用“时钟的算术”(这个时钟不一定是12小时制的)来处理多项式的性质。“时钟的算术”(例如对于有12个小时的时钟,5+8=1)是数学中最自然且被广泛研究的有限数系。

 

 

互反律是有着200年历史的二次互反律的推广,而二次互反律是数论的奠基石,也是舒尔茨本人最喜欢的定理之一。这条定律陈述了给定两个素数p和q,在大多数情况下,p在有q个小时的时钟上是一个完全平方数当且仅当q是在有p个小时的时钟上的完全平方数。例如,因为5 = 16 = 4²,5在有11小时的时钟上是平方数,而由于11 = 1 = 1²,11在有5小时的时钟上也是平方数。

 

 

“我认为这令人震惊,”舒尔茨说,“从表面看来这两者似乎毫无关联。”

 

 

“你可以把很多的现代代数数论解释为是对推广这一定律的尝试。”韦恩斯坦说。

 

 

20世纪中叶,数学家们发现了互反律和似乎完全不同的主题之间的惊人联系:研究诸如 埃舍尔(M.C.Escher)著名的“天使与恶魔”的“双曲”几何。这一联系是“朗兰兹纲领”的核心部分,这一纲领是一些揭示数论、几何与分析之间关系的定理与猜想的合集。如果这些猜想能够被证明,我们通常能得到具有强大威力的工具。比如费马大定理的证明能够被归结于解决朗兰兹纲领的一个小部分(看出这个联系也很难)。

 

 

数学家们逐渐意识到朗兰兹纲领已经远远超出了双曲圆盘:它也可以在高维的双曲空间和其他情况下的簇中被研究。如今舒尔茨展示了如何把朗兰兹纲领延伸到“双曲三维空间”(一种双曲圆盘的三维类比)中的很多结构。通过构造一个状似完备空间版本的双曲三维空间,舒尔茨发现了一系列全新的互反律。

 

 

“舒尔茨的工作完全地改变了我们对能做到的和可能做到的事的看法。”卡拉亚尼说。

 

 

韦恩斯坦称舒尔茨的成果表明朗兰兹纲领“比我们所想象的还要深刻...它更加系统化,它无所不包”。

 

 

 

极速前进

 

 

和舒尔茨讨论数学就如同寻求一条“先知的预言”,韦恩斯坦认为。“如果他说:“是,这可以。”那么你可以对它抱有信心;反之你则应该立刻放弃;如果他说他不知道——他确实也有不知道的时候——那么你很幸运,因为你手中有了一个有趣的问题。”

 

 

卡拉尼亚说,与舒尔茨的合作并不是像预想中一样压抑的经历。当她与舒尔茨合作时,从来没有一丝紧迫感,她说:“感觉就像我们总是走在正确的路上——用最好的方法证明了我们能得到的最一般性的定理,总是正确地做出了关键的构造。” 

 

 

不过曾有一次,舒尔茨本人确实很又紧迫感——在2013年年底,他需要在他女儿的出生前的短暂时间,去把一篇论文写完。他说,推动给自己工作是件好事,“在之后,我就没什么事情需要完成了。”

 

 

舒尔茨说,成为一个父亲迫使他在时间管理上更加严格。但是他无需担心科研受到影响——数学填补了他其他家务事之间的空隙。“我想数学是我的激情所在,”他说,“我无时无刻都在思考数学问题”。

 

 

但他一点也不倾向于把这种激情浪漫化。当被问起是否有感觉自己注定要成为一个数学家时,他表示反对。“那听起来太哲学了”,他说。

 

 

从私人角度来说,他日渐增长的名气(例如,三月时他成为德国著名的莱布尼兹奖的最年轻得主,该奖项授予250万欧元的研究经费)让他有些许不适。“有时这有些让我不知所措,”舒尔茨说:“我试图让我的日常生活不被它影响。”

 

 

舒尔茨继续探索状似完备空间,但他也涉足其他有关代数拓扑的数学领域,该领域运用代数来研究几何。“在过去的一年半中,舒尔茨已经完全成为了这一学科的大师,”巴特称,“他改变了这一领域的思考方式。”

 

 

巴特认为,对于其他数学家们而言,舒尔茨进入他们的领域既是可怕的也是令人激动的。“这代表着该学科正在快速发展。我很欣喜他正在和我的工作紧密相关的领域工作,因此我确实看到了这些前沿知识在不断向前推进。”

 

 

但是对舒尔茨而言,他到目前为止的工作只是热身。“我仍然处于试图了解“那里有什么”的阶段,有一天也许我会用自己的语言来重新描述它们。”他说,“我觉得我并没有真正地开始研究这一领域。”

 

 

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科学探索奖颁奖:三位数学家获得300万奖金

 

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根据腾讯科技网站消息 ,2020年“科学探索奖”颁奖仪式在11月14日北京举行。50位获奖人经过层层选拔,最终从1200余名申报人中脱颖而出,每位获奖人由腾讯基金会资助的300万元人民币奖金,此300万奖金会在未来五年内以每年60万的额度发至获奖者,并且由获奖者完全自由支配。

 


“科学探索奖”设有数学物理奖,此次有6位学者获得此奖。其中有有三位数学家获得此奖,他们分别是来自香港中文大学的何旭华教授,来自华东师范大学的刘刚教授,来自上海交通大学的郁昱教授。以下是哆嗒数学网小白现场用手机拍的,请我们的粉丝包涵其质量。以下是相关图片哆嗒数学网小白现场用手机拍的,请我们的粉丝包涵其质量。

何旭华,研究方向为代数方向,为2018年国际数学家大会45分钟报告人。火箭理由是:“肯定他对德利涅-卢斯蒂格簇的研究进展,支持他在表示论和算术代数几何方向努力攻坚”。


刘钢,研究方向为微分几何方向,曾获得2017斯隆研究奖。获奖理由为:“肯定他在凯勒流形的格罗莫夫-豪斯多夫极限、单值化猜想及其相关问题方面的成绩,支持他在凯勒几何方向深入研究“。


郁昱,研究方向为密码学方向,获奖理由为”肯定他在伪随机性和抗泄漏密码等可证明密码理论方面的成绩,支持他在基于编码和格问题的后量子密码领域进行探索“。

 

“腾讯会长期保持对‘科学探索奖’的投入,助力国家基础研究的长远发展。我们也希望同更多的人一起努力,让科学成为时尚,让创新成为年轻一代的追求。”马化腾表示。

 

 

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许晨阳获“代数领域最高奖”科尔代数奖

 

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据美国数学会(AMS) 官方网站消息,2021年度科尔代数学奖(Cole Prize in Algebra)颁给许晨阳教授,以表彰他在代数领域取得的最新杰出成果:许晨阳与合作者们一起发展了K-稳定法诺簇模空间的代数理论,并且用K-稳定性实现了研究极小模型纲领中奇点的一个全新途径。

科尔代数奖每三年颁发一次,以奖励在过去六年中出现的著名代数研究。该奖项和科尔数论奖设立于1928年,被认为是数学中代数分支领域最高奖项之一。也是其他更为著名奖项——比如菲尔兹奖、阿贝尔奖——的前哨奖之一。

 

许晨阳教授在北京大学完成本科学业,在普林斯顿大学完成研究生学业。后在麻省理工学院担任博士后职位。他于2012年入职北京大学国际数学研究中心,2013年晋升为该中心教授。2018年,他加入麻省理工学院,2020年成为普林斯顿大学教授。也是从2018年开始,许晨阳教授在包括数学领域最顶级期刊Annals of Math在内的诸多顶级期刊上发表了多篇论文,此次科尔代数学奖特别奖励其中的5篇论文。

许晨阳教授的主要研究领域是高维代数簇的双有理几何学,按美国数学会官网介绍,他喜欢探索这门学科与其他领域的联系。

 

 

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十年磨一剑:中国数学家在微分几何领域取得重大突破

 

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根据中国科学技术大学科研部网站消息。中国数学家,中国科大几何与物理研究中心创始主任陈秀雄教授与王兵教授成功证明了“哈密尔顿-田”(Hamilton-Tian conjecture)和“偏零阶估计”(Partial C^0-conjecture)这两个国际数学界20多年悬而未决的核心猜想。日前,国际顶级数学期刊《微分几何学杂志》(Journal of differential geometry)发表了这一成果,论文篇幅超过120页,从写作到发表历时11年。

超过120页的论文也为审稿增加了难度。数学界里经常发生这样的事情,论文作者需要不断的向学界其他专家解释论文中的证明,回答其他专家对论文细节的提问。直到专业领域内的主要专家都能理解后,论文才能发表。这篇重要的从投稿到正式发表耗时六年,时间虽然长,但在数学学术界并非特殊现象。论文的审稿人评论“该文是几何分析领域内的重大进展,毫无疑问将激发诸多相关工作”。菲尔兹奖得主唐纳森也多次在媒体和文章中称赞此文为“几何领域近年来的重大突破”。

值得注意的是,根据中国科学技术大学科研部网站的表述,这篇文章引进的众多新的思想和方法在发表之前,其实已经被利用去证明其他微分几何的重大问题了。陈秀雄、王兵和孙崧利用这些方法给出丘成桐稳定性猜想基于里奇流的新证明,并发表在顶尖刊物《几何与拓扑》(Geometry and Topology)上。此外,论文的核心思想也被王兵和李皓昭推广到平均曲率流的研究并成功解决了著名的延拓性猜想,该成果发表于数学四大期刊之一的《数学新进展》(Inventiones Mathematicae)。

在闻名于微分几何界的西蒙斯几何物理中心网站,大家可以找到王兵教授的学术演讲视频,大多也和里奇流有关。

我们哆嗒数学网的小编还注意到,此消息早在11月4日就在中国科学技术大学科研部网站发布,浏览量不足200。昨天被人民日报、新华网等主要媒体转载后成为数学界朋友圈的热门话题。

最后,祝贺中科大,祝贺陈秀雄教授和王兵教授。向每一位十年、甚至几十年甘坐冷板凳的基础数学家们致敬。

 

 

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什么是空间?

 

 

作者:Marianne Freiberger,+Plus 记者

翻译,清风掠旷野,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

 

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在最近一次的“科幻、科学”活动的投票中,有人想要了解这个问题,于是我们邀请了Francesca Vidotto和George Ellis来为大家解答这些问题。

 

空间就是你站在的地方

 

空间就是一个舞台,物理的大戏不断在其中上演。如果你手上正好有一部手机,你可以很容易地借助手机内置的GPS装置确定你在空间中的位置,当然,是以地球的位置作为参考的坐标。当你开始移动的时候,对应的坐标的变化就刻画出了你的行动轨迹。空间和身处空间这个舞台中的物体无关。它不在乎你,或者其他任何在它之中的物体如何变化。即使所有的物体都消失,空间仍然存在。

 

 

以上是我们在学校学习到的空间的样子——一个刚性的盒子,万事万物都被包含在这个盒子里——并且,很难想像除此之外还有其他的空间的样子。这个观点在牛顿1687年出版《自然哲学的数学原理》之后占据了主导地位。牛顿在书中写道:绝对的、真实的、数学上的空间始终保持着一种不变和静止的状态,它与一切外在事物无关。


牛顿没有宣称他能够证明物理上的空间真的如上所述。“他意识到,他的陈述只是一个假说”,荷兰奈梅亨大学的理论物理学家Francesca Vidotto这样说,“但这个假说是这样强大,以至于我们可以据此建造桥梁,甚至探索外太空。”牛顿关于空间的假说如此强大,它强大到足以覆盖几个世纪以来关于这种抽象的、独立于物理实体之外的虚空是否真的存在的哲学争论的价值。

GPS卫星。如果它与地球,以及其他所有的一切都消失,空间还存在吗?(图片由NASA提供)

 

手指之间的空间

 

有一套数学体系牛顿的假设发展而来的,它是建造桥梁、制造飞船的基础知识。它基于一个和我们的直觉相符合的认识:空间是连续的。理论上,我们可以将空间任意放大,并且不会出现它分解为一块块最小像素之类的情况。


从另一个角度看,连续性是很让人难以置信的。一段连续的线,无论有多短,总是由无限多的单独的点组成。由于有太多的点,以至于无法用像 1,2,3,… 这样的整数给它们标号。如果有足够的时间,我们总可以给排队等候的人标记序号,即使是一条无限长的队。但是连续的线的情况与无限长的队列完全不同。连续的线给出的是不可数无限,它比无限多个的离散的点要大得多得多。所以,如果假设空间是连续的,就意味着要承认你手掌那么大小的空间中包含着一个可怕的无限。


“把你的手指分开10厘米”,南非开普敦大学的宇宙学家和数学家George Ellis解释道,“如果你相信你两跟手指之间有一条由点构成的连续的线,那就意味着你相信,在你的两根手指之间存在不可数无限多的点。那是完全不合理的。我认为那只能是一个数学上的想法,而不应该在现实世界中成立。”

 

空间扭曲

 

Ellis可能是正确的。对牛顿“绝对时空”的第一次冲击来自20世纪初爱因斯坦提出的相对论。相对论将空间的地位从舞台变为了舞台上的演员。爱因斯坦意识到观测者通过空间的方式会对时间和距离的测量产生影响。所以,时间和空间就被联系起来,称为“时空”。他还意识到时空能够被弯曲。在此之前,人们认为重力是一种超距作用。但是,爱因斯坦指出,重力只不过是时空几何学的产物。超大质量的物体,例如太阳,能够明显地弯曲时空,进而能够改变小质量物体经过它的轨迹。就像弹珠的滚动轨迹受到别的物体对它的碰撞以及它所在表面的曲率的影响。

 

 

当超大质量的物质集中到一个非常小的空间区域(当超大质量的恒星向自身内部坍缩时候才会发生),时空变得非常弯曲,以至于形成了黑洞。黑洞对物质的引力非常非常地大,同时时空的弯曲程度又非常高,以至于没有任何物质可以从它周围逃逸,哪怕光也不能。这意味着外界无法看到黑洞内部的样子。我们也无法进入黑洞而后再出来,向周围人讲述所见所闻。不论黑洞之中发生什么,外界都无从得知。

 

粒子和波


20世纪早期物理学的另一个重大发现是量子力学。量子力学描述构成物质的最微小粒子的行为。它的基础是一种违反人类直觉的概念——微小粒子(例如电子)的行为,有时像撞球,有时像波,它们同时具有粒子和波的特性。基于这一概念的最著名的结果是海森堡不确定性原理。假设有一个粒子,我们想要研究它的位置和动量(动量=质量×速度)。不确定性原理表明,如果我们测量的位置越精确,那么相应的动量的误差就越大,反之亦然。如果动量测量越精确,那么位置测量的不确定性就会增加。这不是因为我们不知道粒子在哪里,而是它某种程度上同时出现在许多地方。用Δx表示位置的不确定性,用Δp表示动量的不确定性,海森堡不确定性原理可以表述如下:

Δx×Δp≥ h/(4π)

h = 6.60606957 × 10^(-34) m²kg/s

尽管如此,这个不等式仍然表明,位置和动量不能同时地任意小。

 

最小的长度尺度



当我们尝试将量子力学与相对论结合在一起时,就会有出乎意料的发现。想要观测空间某一区域,我们就必须至少向那个空间投放一个探测粒子(例如光子)作为探测手段,观测探测粒子对该空间内物质的散射情况。如果空间区域R足够小,小到它的直径只有Δx,根据海森堡不确定性原理,探测粒子动量的不确定性就会非常大。巨大的动量意味着巨大的能量,进而意味着很大的质量(根据爱因斯坦质能方程):

E = mc²

E表示能量,m表示质量,c表示光速。


因此,将一个粒子限制在狭小空间就意味着在这个空间集中了巨大的质量。如果空间R足够小,以至于低于某个临界值,这是探测粒子的质量将变得极其地大,足以形成黑洞,吞噬掉空间R以及所有在它内部的物质。临界长度称为普朗克长度,其 数量级为10^(-35) m。这一数值难以想象地小,但它远不是0。所以,根据这个思想实验,所有足够小的空间都把自己隐藏起来了,所以我们什么也看不到。


“这告诉我们,在普朗克尺度下讨论距离和长度是没有意义的。”Vidotto说道。但,那是否表明,我们无法看到任何比普朗克长度小的东西?抑或是不存在比普朗克长度小的东西?“在我看来,这是个最基本的问题”,Vodotto说,“你可以把发现普朗克长度以下的物质视为一项伟大的发现。”


所以,我们可以认为,空间是由许多普朗克长度尺寸的粒子组成的。我们再也无法把空间无限细分。“我认为,我们有理由相信,时空是由不可再分的粒子构成的,”Ellis说道,“把你的手指分开10 cm,中间确实有大量的实体粒子,但总不是无限的。”


让我们接受最小长度的理由来自将相对论与量子力学结合起来的朴素尝试。但这一朴素尝试很快陷入困境,因为它给出了矛盾的、荒谬的预测。物理学家目前还没有提出非常成熟的量子引力理论。目前有两个可能正确的理论——弦论和圈量子引力论。“这两个理论都表明存在这一基本尺度,”Vodotto说道,“但也有一些理论框架没有用到基本尺度这一概念。”


那么是否可以通过实验验证呢。“首先,你要知道,那是真的真的真的很小很小很小,”Vidotto解释道,“日常生活的尺度与质子大小尺度的差别,跟质子尺度与普朗克长度尺度的差别是一样大的。那是真的太太太太小了。”探测普朗克长度尺度的物理现象需要的能量超过了人类目前的科技所能达到的极限。


“我认为,假如有一天我们看到了时空不连续的痕迹,那应该是宇宙学领域的进展,”Vidotto说道,“这种不连续有可能在宇宙微波背景辐射(大爆炸辐射的残留)中留下了一些痕迹。从宇宙微波背景辐射中,我们能够提取到早期宇宙的部分信息。现今宇宙的结构,包括恒星、星系、星系群等等的形成都可以追溯到早期宇宙的状态。或许,未来的某一天,我们能够理解早期宇宙的状态是如何直接地导致了量子不连续的结果。”


还有一种可能性,来自宇宙遥远的另一端的观测能帮助到我们。按假设时空原子的结构可能会改变光速。通过观测从遥远宇宙深处传来的光,我们可以计算出时间的延迟。“现有技术可以保证这一观测的实施”,Vidotto说道,“几年前MAGIC天文望远镜就观测到了一次时间延迟。但是一次测量不足以得出坚实的结论,尤其是在我们还没有完全弄清楚它背后的物理过程的情况下。”


就算时空本质的粒子属性终有一天会被证实,这也不妨碍我们在日常生活中遵循牛顿的直觉。作为对世界本质的描述,牛顿物理只是近似正确。但这种程度的近似足够完美地解决我们日常生活的时空尺度下的所有问题。正如Vidotto指出的那样,“一个优秀的物理学家,总是能够根据适用场景选择适合的物理理论。”

 

 


评论1 : 本文指出,任何物质都无法逃脱黑洞的引力。但是,最近发表的论文证明,信息可以逃离黑洞。(这个好像在霍金的科普书上看到过一点点,题目是“黑洞并不是真的黑”)


2011年8月11日,约克大学两位科学家的新发现给出了关于黑洞物理本质的新观点。传统观点认为,黑洞是空间中质量超大、密度超大的物体,可以弯曲空间,它可以吞噬一切距离它太近的物质,没有什么东西可以逃出它的引力范围。但Samuel Braunstein教授和Manas Patra博士的发现表明,信息可以从黑洞逃离。这一暗示可能具有革命性的意义——引力可能不是最基本的力。Braunstein教授介绍道:“我们的研究不需要黑洞弯曲空间的几何细节。它借鉴了一项最近提出的想法——空间、时间,甚至是引力本身可能都是一个更深层次理论的引力熵力性质。我们的工作认为,量子信息论可能是引力的熵力理论的根源。”


评论1的补充:
“虽然不能声称证明了逃离黑洞的可能性,但那是这个研究结果最直接的解释。事实上,研究结果表明,量子信息论会是将量子力学与相对论结合起来的关键理论。”

 

 

 

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USNEWS把曲阜师范的数学排在中国第一,你怎么看?

 

 

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美国有多个机构对大学进行排名,其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。近日,USNEWS公布了2021全球最佳大学排名已经公布。该排名还针对数学学科有分类排名,这也是我们哆嗒数学网小编最关心的。
 

从全球的数学排名来看,排名第一是法国高校索邦大学。美国的麻省理工大学和美国的斯坦福大学分列二、三名。第四到第十名分别是:普林斯顿大学(美国)、剑桥大学(英国)、巴黎大学(法国)、加州大学伯克利分校(美国)、牛津大学(英国)、哈佛大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)。

 


亚洲方面,占据这个区域前10名的有7所中国高校。第一名是中国内地的曲阜师范大学,该学校也高居全球数学排名第19名。同样来自中国内地的北京大学和山东科技大学分列二、三名。第四到第十名分别是:复旦大学(中国内地)、新加坡国立大学(新加坡)、上海交通大学(中国内地)、伊斯兰自由大学(伊朗)、清华大学(中国内地)、东京大学(日本)、香港中文大学(中国香港).
 

 
而中国榜单方面,共有45所内地高校、6所香港高校、2所台湾高校进入榜单。前三名是曲阜师范大学、北京大学、山东科技大学。由于多学校并列,所以有X所学校在前十,第四到第十名分别是:复旦大学、上海交通大学、清华大学、香港中文大学、台湾中国医药大学(并列第8)、中国科技大学(并列第8)、北京师范大学(并列第10)、南开大学(并列第10)。

 

以下奉上全部中国高校排名列表

 

 

 

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来来来,做一个黎曼重排定理的实验吧!

 

作者:辻顺平 ,日本趣味数学普及工作者。

翻译,mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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今天的主题是黎曼重排定理。定理断言,“条件收敛的实数项级数通过重排可以收敛到任意实数”。我们接下来将要对此详细说明,暂时看不懂这个定理的人也请放心。

 

无穷级数绝对收敛是指,级数各项取绝对值也收敛。

 

就像“绝对收敛”这个名称的字面意思那样。

 

相对地,条件收敛是指无穷级数收敛但不是绝对收敛。

 

比如,平方数的倒数之和是绝对收敛。

自然数的倒数的交错级数是条件收敛。

也许会有人提出疑问“为什么要关心绝对收敛和条件收敛呢?”,这是有原因的。

绝对收敛级数,不论哪种求和顺序都收敛到同一个值。总之,不需要关心求和顺序。

另一方面,对于条件收敛级数,收敛的值随着求和顺序而改变。条件收敛也太顽皮了呢。

例如,式(2)的级数收敛到log2,我们改变求和顺序如下:


求和收敛到  3log2/2。(计算过程请自行确认即可)

更有趣的是,根据本文开头提到的黎曼重排定理,对于条件收敛级数,通过改变求和顺序,可以使级数收敛到任意实数。

 

不管怎么说,“任意的实数”给人很不显然的感觉呢。

定理的完整内容和证明,参见网上的其他。

总之定理是可以证明的。在这里没有详细证明,会让人迷迷糊糊摸不着头脑,感觉好像很难的样子。

想要好好的理解定理,试着去看前面提到的证明,是可以比预想中更清晰地理解的。而且,如果仔细地阅读证明,就会注意到证明之中包含了让级数收敛到任意实数的方法。

不管怎么说,我们能让级数收敛到喜欢的实数值,这应该是很有趣的!

前面的引子说了这么长,今天的文章要介绍的是让条件收敛级数收敛到期望实数的步骤。

让级数收敛到期望实数的步骤
(需要准备的东西)

1、 条件收敛级数(1个):

这里的a_n全部为实数
2、 想要收敛到的实数(你喜欢的数都可以):r


(步骤)


①将原级数数列分为“正项组成的数列”和“负项组成的数列”。
※由于假定原级数为条件收敛,因此我们知道划分出来的两个级数都发散。


②只使用“正项组成的数列”的项求和,使得部分和恰好大于要收敛到的实数。
※因为正项组成的级数是发散级数,对于任意实数,存在有限部分和大于这个实数。


③只使用“负项组成的数列”的项求和,使得部分和恰好小于要收敛到的实数。


④使用“正项组成的数列”余下的项求和,使得部分和再一次恰好大于要收敛到的实数。


⑤使用“负项组成的数列”余下的项求和,使得部分和再一次恰好小于要收敛到的实数。


⑥接下来重复步骤④和⑤

仅此而已。

通过以上步骤,级数确实收敛到指定的实数。(详细证明请参照相关资料)

让交错级数收敛到期望的实数


接下来我们试着具体实行上面的步骤。


实验对象当然是交错级数了:

作为具体的例子,我们试着改变求和顺序使级数收敛到r=2。


①把级数数列划分为“正项组成的数列”

和“负项组成的数列”


②使用“正项组成的数列”的项求和,使得部分和恰好大于r=2。实际上计算到1/15,部分和大于2:

③使用“负项组成的数列”的项求和,使得部分和恰好小于2。实际上只加上-1/2,部分和就小于2:

④使用“正项组成的数列”余下的项求和,使得部分和再次恰好大于2:

⑤使用“负项组成的数列”余下的项求和,使得部分和再次恰好小于r=2:


⑥接下来重复④和⑤,于是就得到收敛于r=2的级数:


有趣吧!


收敛的情形用图像表示如下:


(改变求和顺序的交错级数收敛到2。)

同样,改变求和顺序而收敛到圆周率π的交错级数如下所示:

(改变求和顺序的交错级数收敛到3.14159…)

看起来的确是收敛到3.14159…呢!


理论上,不管是1.41421356…也好,5000万亿也好,级数能收敛到你喜欢的实数值。


用于验证的python代码如下所示。有兴趣的话请试着把玩一下。


r = 3.14159265 # 在这里输入收敛到的实数值
#r = 2 # 在这里输入收敛到的实数值


def a_pos(n_pos):
    return 1/(2*n_pos+1)

def a_neg(n_neg):
    return -1/(2*n_neg+2)


n_pos = 0
n_neg = 0
sum = 0

pos_neg_flag = 1   # 1: pos, -1: neg

for i in range(5):
    print("(ans) ".format(2*n_pos+1), end='')
    if pos_neg_flag > 0:
        while sum < r:
            sum += a_pos(n_pos)
            #print(sum)
            print("+ 1/{}".format(2*n_pos+1), end='')
            n_pos += 1
    else:
        while sum > r:
            sum += a_neg(n_neg)
            #print(sum)
            print("- 1/{}".format(2*n_neg+2), end='')
            n_neg += 1
    print(" =",sum)
pos_neg_flag *= -1   # pos, neg改变符号 

运行代码后是这样子的:
(ans) + 1/1+ 1/3+ 1/5+ 1/7+ 1/9+ 1/11+ 1/13+ 1/15+ 1/17+ 1/19+ 1/21+ 1/23+ 1/25+ 1/27+ 1/29+ 1/31+ 1/33+ 1/35+ 1/37+ 1/39+ 1/41+ 1/43+ 1/45+ 1/47+ 1/49+ 1/51+ 1/53+ 1/55+ 1/57+ 1/59+ 1/61+ 1/63+ 1/65+ 1/67+ 1/69+ 1/71+ 1/73+ 1/75+ 1/77+ 1/79+ 1/81+ 1/83+ 1/85+ 1/87+ 1/89+ 1/91+ 1/93+ 1/95+ 1/97+ 1/99+ 1/101+ 1/103+ 1/105+ 1/107+ 1/109+ 1/111+ 1/113+ 1/115+ 1/117+ 1/119+ 1/121+ 1/123+ 1/125+ 1/127+ 1/129+ 1/131+ 1/133+ 1/135+ 1/137+ 1/139+ 1/141+ 1/143+ 1/145+ 1/147+ 1/149+ 1/151 = 3.147125289923645


(ans) - 1/2 = 2.647125289923645


(ans) + 1/153+ 1/155+ 1/157+ 1/159+ 1/161+ 1/163+ 1/165+ 1/167+ 1/169+ 1/171+ 1/173+ 1/175+ 1/177+ 1/179+ 1/181+ 1/183+ 1/185+ 1/187+ 1/189+ 1/191+ 1/193+ 1/195+ 1/197+ 1/199+ 1/201+ 1/203+ 1/205+ 1/207+ 1/209+ 1/211+ 1/213+ 1/215+ 1/217+ 1/219+ 1/221+ 1/223+ 1/225+ 1/227+ 1/229+ 1/231+ 1/233+ 1/235+ 1/237+ 1/239+ 1/241+ 1/243+ 1/245+ 1/247+ 1/249+ 1/251+ 1/253+ 1/255+ 1/257+ 1/259+ 1/261+ 1/263+ 1/265+ 1/267+ 1/269+ 1/271+ 1/273+ 1/275+ 1/277+ 1/279+ 1/281+ 1/283+ 1/285+ 1/287+ 1/289+ 1/291+ 1/293+ 1/295+ 1/297+ 1/299+ 1/301+ 1/303+ 1/305+ 1/307+ 1/309+ 1/311+ 1/313+ 1/315+ 1/317+ 1/319+ 1/321+ 1/323+ 1/325+ 1/327+ 1/329+ 1/331+ 1/333+ 1/335+ 1/337+ 1/339+ 1/341+ 1/343+ 1/345+ 1/347+ 1/349+ 1/351+ 1/353+ 1/355+ 1/357+ 1/359+ 1/361+ 1/363+ 1/365+ 1/367+ 1/369+ 1/371+ 1/373+ 1/375+ 1/377+ 1/379+ 1/381+ 1/383+ 1/385+ 1/387+ 1/389+ 1/391+ 1/393+ 1/395+ 1/397+ 1/399+ 1/401+ 1/403+ 1/405+ 1/407+ 1/409 = 3.143260498314515


(ans) - 1/4 = 2.893260498314515


(ans) + 1/411+ 1/413+ 1/415+ 1/417+ 1/419+ 1/421+ 1/423+ 1/425+ 1/427+ 1/429+ 1/431+ 1/433+ 1/435+ 1/437+ 1/439+ 1/441+ 1/443+ 1/445+ 1/447+ 1/449+ 1/451+ 1/453+ 1/455+ 1/457+ 1/459+ 1/461+ 1/463+ 1/465+ 1/467+ 1/469+ 1/471+ 1/473+ 1/475+ 1/477+ 1/479+ 1/481+ 1/483+ 1/485+ 1/487+ 1/489+ 1/491+ 1/493+ 1/495+ 1/497+ 1/499+ 1/501+ 1/503+ 1/505+ 1/507+ 1/509+ 1/511+ 1/513+ 1/515+ 1/517+ 1/519+ 1/521+ 1/523+ 1/525+ 1/527+ 1/529+ 1/531+ 1/533+ 1/535+ 1/537+ 1/539+ 1/541+ 1/543+ 1/545+ 1/547+ 1/549+ 1/551+ 1/553+ 1/555+ 1/557+ 1/559+ 1/561+ 1/563+ 1/565+ 1/567+ 1/569+ 1/571+ 1/573+ 1/575+ 1/577+ 1/579+ 1/581+ 1/583+ 1/585+ 1/587+ 1/589+ 1/591+ 1/593+ 1/595+ 1/597+ 1/599+ 1/601+ 1/603+ 1/605+ 1/607+ 1/609+ 1/611+ 1/613+ 1/615+ 1/617+ 1/619+ 1/621+ 1/623+ 1/625+ 1/627+ 1/629+ 1/631+ 1/633+ 1/635+ 1/637+ 1/639+ 1/641+ 1/643+ 1/645+ 1/647+ 1/649+ 1/651+ 1/653+ 1/655+ 1/657+ 1/659+ 1/661+ 1/663+ 1/665+ 1/667+ 1/669+ 1/671+ 1/673 = 3.141796661628686

尽管证明看起来很抽象,如果具体地实行其中的步骤,证明就变得容易理解了。这次的情形就是这样一个真正的实例。

今天就先到这里吧。

 

 

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软科公布2020中国最好学科数学排名

 

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”10月15日公布了“2020中国最好学科排名”,包括96个一级学科,其中也包括了数学学科排名。

 

 

数学学科的排名对象是在该校保有数学学科学术型研究生学位授权点的所有高校。而排名公布的是数学学科排名前50%的高校,就是说如果不在榜单内意味着不在前50%。
 

软科中国最好学科排名的指标体系包括人才培养、科研项目、成果获奖、学术论文、高端人才五个指标类别,下设16个指标维度,共计50余项反映学科竞争力的客观量化指标。排名数据全部来自第三方数据源,如教育部、科技部、国家自然科学基金委员会、国际和国内文献数据库等。

 


有134所高校进入数学排名,和去年持平。北京大学依然是第一名,复旦大学和清华大学分列第二、三名。去年排名第二的山东大学,今年排名跌至第四。第五名到第十名分别是:中山大学、中国科学技术大学、浙江大学、西安交通大学大学、上海交通大学大学、东南大学。东南大学排名猛增8位,挤进前十。

以下哆嗒数学网的小编奉上全部排名:

 

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丘成桐的震怒?就为这一份竞赛成绩单?

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这回数学竞赛又上了热搜,这回不是大家关注的中小学数学竞赛,而是大学的丘成桐大学生数学竞赛,也就是俗称的丘赛。
 
这回网爆了一份截图,说著名数学家丘成桐愤怒了,原因是清华大学在今年这次(2020年)以他自己命名的数学竞赛中,惨败于北京大学。
 
本来这只是一个小圈子的数学竞赛,结果这份截图在知乎上发布后,浏览量瞬间破百万,出圈效应明显。在中国的互联网环境下,这样的话题能破百万,极其罕见。
 
鉴于这个出圈效应,可能很多吃瓜群众并不知道丘成桐以及丘赛,这里简单介绍一下。
 
丘成桐,当代最具影响力的数学家之一。1982年,他获得了数学领域的最高奖菲尔兹奖,是第一位荣获该奖的华裔人士。这个奖项的获得是他为世界上超一流数学家的最有力证明。2009年建立清华大学数学研究中心,次年在他本人的发起下,举办以他名字命名的丘成桐大学生数学竞赛。
 
 
丘成桐大学生数学竞赛,俗称丘赛,是一项面向中国大陆、香港及台湾地区高校在校大学生开展的数学竞赛。丘赛被认为是最接近学术研究级别的数学竞赛。丘成桐大学生数学竞赛2010年由丘成桐发起设立,比赛分设五个单项:几何与拓扑,代数、数论与组合,概率与统计,应用与计算数学,分析与偏微分方程。同时,该项比赛还设立团体赛,参赛者们可组队参加。
 
这回网传的图片如下,大致是说清华考的如此之差,被隔壁学校碾压,你们老师是怎么教的,如何向学校、政府交代?你们还想不想升职加薪了?
 
 
哆嗒数学网的小编查阅丘赛的官网后,发现在五个单项总决赛的入围名单中,北京大学45人次,清华大学17人次,复旦大学7人次,中国科学技术大学5人次,南京大学2人次,浙江大学1人次,上海交通大学1人次,山东大学1人次,浙江师范大学1人次。单从这个数据来看,来自清华北大参赛者占据四分之三以上。
 
 
我们没有能力验证这个截图的真假,但不过知乎的回答者们似乎并也没有人取质疑这件事情。他们纷纷对此事发表评论,我们哆嗒数学网的小编将部分观点总结后,罗列如下。
 
观点1:  这个丘赛,清华不是年年被北大碾压吗,今年为什么生气……
观点2:  就数学学科而言,北大一直比清华强很多啊……
观点3: 丘赛,清华还有主场之利……
观点4: 中科大今年有点差……
观点5:恭喜南大、浙大、上交、山大, 以及浙江师范大学……
 
附:2020年丘成桐大学生数学竞赛总决赛入围名单(个人)
 
几何与拓扑
1 陈起渊 清华大学
2 陈致远 北京大学
3 程柯豪 山东大学
4 段哲凡 清华大学
5 冯家睿 清华大学
6 蓝青 清华大学
7 李师铨 北京大学
8 欧阳铭晖 北京大学
9 彭淏 北京大学
10 申武杰 北京大学
11 王悦峰 北京大学
12 谢雨潇 清华大学
13 熊志尧 南京大学
14 杨泓暕 北京大学
15 周达明 北京大学
 
代数与数论
1 陈起渊 清华大学
2 陈致远 北京大学
3 郭若一 北京大学
4 何志强 中国科学技术大学
5 江元旸 北京大学
6 彭淏 北京大学
7 邱添 北京大学
8 谭健翔 北京大学
9 汤继尧 北京大学
10 田翊 北京大学
11 王泽宇 北京大学
12 肖宇 中国科学技术大学
13 杨向谦 北京大学
14 杨溢诚 复旦大学
15 于翔 清华大学
 
概率与统计
1 戴陈骁 清华大学
2 范辰健 复旦大学
3 郭宇城 复旦大学
4 胡行健 复旦大学
5 林立聪 北京大学
6 倪弘康 北京大学
7 欧阳铭晖 北京大学
8 申武杰 北京大学
9 杨笑东 中国科学技术大学
10 詹立宸 北京大学
11 张江昊 北京大学
12 邹广翼 中国科学技术大学
13 庄子杰 北京大学
 
 
应用数学与计算数学
1 陈奕行 北京大学
2 董明泽 北京大学
3 豆旭桉 北京大学
4 黄桢 北京大学
5 金则宇 北京大学
6 柯志发 南京大学
7 李羽航 北京大学
8 林挺 北京大学
9 刘水根 北京大学
10 刘劲 清华大学
11 王浩然 北京大学
12 许福临 清华大学
13 钟梓源 复旦大学
14 周颀 上海交通大学
 
 
分析与偏微分方程
1 豆旭桉 北京大学
2 冯天夏 清华大学
3 郭宇城 复旦大学
4 黄畅 清华大学
5 李羽航 北京大学
6 林挺 北京大学
7 林徐扬 浙江大学
8 秦珺辉 清华大学
9 王浩然 北京大学
10 谢雨潇 清华大学
11 苑之宇 北京大学
12 张一剑 浙江师范大学
13 赵子瑜 清华大学
14 郑伟豪 中国科学技术大学
15 周烁星 复旦大学
 
 
个人全能赛
1 陈起渊 清华大学
2 陈致远 北京大学
3 林挺 北京大学
4 欧阳铭晖 北京大学
5 彭淏 北京大学
6 秦珺辉 清华大学
7 申武杰 北京大学
8 王浩然 北京大学
 
 

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大家好,我是数学家!来抢诺贝尔奖了!

 

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2020年诺贝尔奖终于颁奖完毕,因为诺贝尔没有设立数学奖,我们哆嗒数学网的小编一般是不怎么关注这个奖项的。但今年有些不同,数学家彭罗斯获得了诺贝尔物理学奖而让小编的朋友圈热闹了好一阵子。


虽然没有设立数学奖,但数学作为一个人类学术的大学科,诺贝尔奖作为最受关注的学术奖项,似乎怎么也说过去。但你翻看历史,数学家在诺贝尔奖领域从来没有闲着——六个大奖项物理奖、化学奖、医学奖、文学奖、和平奖、经济学奖,每一个奖都闪现过数学家的身影。

 

1、 物理学奖


代表数学家1: 罗杰·彭罗斯  因“发现黑洞的形成是对广义相对论的有力预测”而获奖


在数学圈内的很多看来,彭罗斯首先是一个数学家,其次才是物理学家。而且彭罗斯的领域是数学和物理重合很高的数学物理方向。

彭罗斯三角、彭罗斯阶梯、彭罗斯平铺这些有趣又好玩的数学早就名声大振,活跃各种流行作品里。2020年,彭罗斯因“发现黑洞的形成是对广义相对论的有力预测”活动诺贝尔物理学奖,使得这位本来就多少明星气质的学者又火了一把


代表数学家2:马克斯·波恩,1954年,因“在量子力学领域的基础研究,特别是他对波函数的统计解释”获奖。


虽然一般被认为波恩是位物理学家,但是wiki上也吧数学家的头衔给了他。
波恩在哥廷根大学攻读博士的时候,跟着当时最牛三位数学家——希尔伯特、闵可夫斯基、克莱因——学习过数学。后来拿的学位也是数学博士学位。而波恩的物理学研究,其实用到的非常艰深的数学方法,留下来的一些东西,其实现在数学家也在研究。
 
2、 化学奖

代表数学家:约翰·波普,1985年,因“发展了量子化学中的计算方法”获奖。


虽然波普一般被认为是理论化学家,但波普自认为自己首先是个数学家,然后才是化学家。实际上,波普博士拿的是数学学位,毕业后,还在剑桥大学数学系当过一段时间讲师,自己的化学研究也用到非常高级的数学方法。所以,波普拥有数学家头衔也不算过分。但是,波普的化学同行们却不这么认为,他们坚定的人波普是一个绝对的化学家,然后数学家的身份嘛——他们得考虑一下。
 
3、 经济学奖

代表数学家1: 约翰·纳什,1994年,因“在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献,对博弈论和经济学产生了重大影响”获奖。


纳什绝对是一个伟大的数学家,然后顺便拿了个诺贝尔经济学奖。获得得诺贝尔奖的博弈论,虽然在经济领域应用较多,但也被认为是数学的一个分支。另外,纳什在他27岁时的一个微分几何的成果,也被认为是数学最高奖菲尔兹奖级别的成果。凭借微分几何的贡献,纳什在2015年获得过数学三大奖之一的阿贝尔奖。
故事的结局是悲剧的,在纳什领完阿贝尔奖回国后,死于回家路上的车祸。
 
代表数学家2:列奥尼德·康托罗维奇,1975年因“创立了享誉全球的线形规划要点,对资源最优分配理论做出了贡献”获奖


列奥尼德·康托罗维奇是前苏联时期列宁格勒大学(现圣彼得堡国立大学)的数学教授,是一位应用数学家。因为数学的研究,获得过苏联国内的斯大林奖金和列宁奖金。而让康托罗维奇的获奖的线性规划,也是应用数学的一个大分支。

 

 
如果说物理、化学算是数理化不分家,而经济领域本身和数据打交道比较多,数学家拿奖还算可以理解的话,下面的奖就慢慢的让你感到数学的神奇了。
 
4、 生理学或医学奖

代表数学家:阿兰·柯马克,1979年,因“创立计算机X射线断层成像(CT)的数学理论”获奖。
 


1979年的诺贝尔医学奖的授奖发言中说到:“今年诺贝尔医学及生理奖的两位获奖者都不是医学专家,然而他们在医学领域掀起了一场革命…… 他们所发明的计算机辅助X射线成像技术,使医学如同进入了太空时代。”柯马克的主业是物理,然后在与一家医院的合作项目中,将其遇到的问题转化为了一个数学问题,并写成了论文。论文中完全没提到CT什么的。后来,人们开始研究CT的工作原理,发现几十年前柯马克的这篇论文已经建立起了数学的理论框架。
 
但数学家们的表演还没有结束.......
 
5、 文学奖

代表数学家: 帕特兰·罗素,1950年,因“表彰他所写的捍卫人道主义理想和思想自由的多种多样意义重大的作品”获奖。


用“不想拿文学奖的数学家不是好的哲学家”这句话来描述罗素是再好不过了。罗素与怀特海合著的《数学原理》是第一部试图形式化所有数学的专著。而他提出的“罗素悖论”引发了数学界对数学理论底层更加深刻的讨论。罗素还是上个世纪最重要的哲学家之一,和另外几位哲学大咖一起创立了分析哲学。另外,他的一部《婚姻与道德》帮他获得了诺贝尔文学奖。
 
 
6、 和平奖

代表数学家:莱纳斯·鲍林,1962年,因“反对核弹在地面测试的行动”获奖。

经管鲍林的化学研究用到了很多数学分析工具,但他是绝对的化学家。把鲍林列为数学家似乎有些牵强,但是小编在查阅鲍林获得过的奖项的时候,发现他在1957年获得过费马数学奖章(Pierre Fermat Medal in Mathematics)。注意,这是一个比1989年才开始颁发的费马奖(Fermat Prize)更久远的奖项,按wiki上的说法,鲍林的获奖是“300年内仅有6次颁奖中的一次”。于是,列为数学家应该也不为过吧。鲍林先在1954年得了诺贝尔化学奖,然后在1962年获得诺贝尔和平奖。

 

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国际数学奥林匹克竞赛获奖者有多大几率成为职业数学家?

 

作者:Meera Desai

翻译,日月之文,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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哆嗒小编按: 本文原载于美国数学协会(MAA)网站,作者撰写此文时是美国水晶泉高地学校的一名高中生。作者除了自己积极参加美国国内的数学竞赛外,还积极推动其他女生学习数学和参加数学竞赛。所以本文有强烈的美国视角以及女性视角。文章提到的文章,请搜索Invisible Geniuses: Could the Knowledge Frontier Advance Faster,需要注意的是这篇文章没有该项赛事2019年及其以后的数据。

 

国际数学奥林匹克竞赛(IMO)是为高中生举办的世界数学锦标赛。第一次IMO于1959年在罗马尼亚举行,那年只有7个国家参加。现在,IMO已扩大到了100多个国家和地区。美国队在2018年的国际数学奥林匹克竞赛中获得了第一名, 并且在2015年和2016年都获得了冠军。

 

 

参加过第一次IMO的,现为罗马尼亚科学院数学部主任的Viorel Barbu博士饱含热情地写道:“数学一直是人类的一个生生不息的创造力领域,是一门有益于科学知识和技术成果的基础科学。青年数学家的作用和责任是带来和发展新的思想,在数学和其他科学领域之间架起新的桥梁。”

我一直想知道IMO参与者对整个数学和科学领域的贡献。我偶然发现了Agarwal博士与Patrick Gaule博士的精彩研究。两位研究人员分析了一些数据,这些数据考察了那些表现优异的IMO参与者在20年内的科学成果。这项研究指出,IMO参与者的成绩与所生产的数学成果之间存在着非常强的相关性(数学成果是通过数学论文和引文的数量来衡量的)。文章也试图证明在IMO成绩优异的学生更有可能成为职业数学家(这是通过获得数学博士学位来数量衡量的)

在这项研究中,我发现了一些非常有趣的现象,如下所示:

1、 在生产前沿数学知识的能力来看,与一般博士毕业生、甚至是精英院校的博士毕业生相比,IMO高分参赛者表现非常强劲,是压倒性的高于他们。

2、 一名IMO金牌获得者成为菲尔兹奖获得者的条件概率比前十名院校数学培养计划培养的博士毕业生的相应概率高出两个数量级。

3、 英年早逝的米尔扎哈妮(Maryam Mirzakhani)是IMO的金牌获得者且成绩优异,也是第一位获得菲尔兹奖(最负盛名的数学奖)的女性。陶哲轩(Terence Tao)在第29届IMO获得过一枚金牌,之后获得了菲尔兹奖,他是世界上最高产的数学家之一。(作者写这篇文章时,这两位数学家在美国是热搜——编者注)

 

 

4、 约22%的IMO参与者拥有数学博士学位;这些人中又有约三分之一的人是前十院校的数学博士(约占IMO参与者总数的7%)。IMO参与者中有1%成为国际数学联盟(IMC)的报告人,0.2%成为菲尔兹奖获得者。

这份研究论文清楚地阐述了IMO参与者对数学领域的贡献。该论文给出了鼓励每个人从小学开始到大学参加数学竞赛的强烈理由,因为通过参加数学竞赛而获得的解决问题的技能对你无论是对职业生涯还是学术研究工作都有长期的积极影响。

                 
美国队中最近一次获得IMO参赛资格的女生是在2007年,共有3名美国女学生在IMO获得奖牌。她们的数学生涯和贡献证实了研究结果。龚逸然(Sherry Gong) 代表美国分别于2005、2007年参加了IMO,并于2007年获得了金牌。她在哈佛大学的问题解决课程(Harvard's problem solving course)获得了100分以上(数学55分),然后在麻省理工学院获得数学博士学位。艾莉森·米勒(Alison Miller)于2004年代表美国获得了金牌。她在哈佛大学学习数学,并在普林斯顿大学获得数学博士学位。梅勒妮·伍德(Melanie Wood)代表美国参加了1998年和1999年的IMO,并在这两年中获得了银牌。她是美国第一位获得国IMO参赛资格的女生。她于2009年在普林斯顿大学获得博士学位,目前是威斯康星大学杰出成就数学教授。

 

 

 

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国际数学奥林匹克竞赛,中国蝉联总分第一,俄罗斯第二,美国第三

 

 

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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2020国际数学奥林匹克竞赛成绩刚刚公布,中国队获得以215分获得总分第一,俄罗斯队和美国队分列第二三名,成绩分别是185分和183分。第四到十名为:韩国、泰国、意大利(并列第6)、波兰(并列第6)、澳大利亚、英国、巴西。与上届相比,前十中欧洲队伍成绩普遍提高。

 

 

 

另外中国台湾获得总分第23名,中国香港获得总分第28名,中国澳门获得总分第63名。

 

从奖牌来看,中国队获得五金一银,其中李金珉获得42分,成为本届比赛唯一满分。俄罗斯获得两金四银,美国获得三金三银。

 

 

 

 

因为疫情影响,原定于今年暑假期间在俄罗斯圣彼得堡举办的此次竞赛,被迫延期到9月,并改为在线举行。主办方精心准备了在线开闭幕式、在线讲座、在线城市游览,把之前本来应该在线下活动搬到了线上。

 

本次依然有100多个国家参加此次竞赛。从国家数量规模来讲,国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动,其实为促进各国教育文化交流,选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。

 

最后,祝贺中国队时隔多年再度蝉联第一!

 

 

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收藏数学和物理世界惊喜玩具的人

作者:Erica Klarreich,量子杂志资深编辑。

翻译,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

 

 

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时枝正(Tadashi Tokieda)用孩子般的眼睛观察日常世界,发现了新的物理现象。

 

数学家时枝正,喜欢在大自然中发现的“玩具”。他说,“一个孩子和一个科学家可以分享同样的惊喜。”

 

时枝正生活在一个平凡的世界里,用平凡的东西做着不平凡的事。米缸里的米不从坡道上滚下来。纸条轻轻滑过坚固的障碍物。当有更多的球加到碗里时,碗里的球会改变方向地运动。


然而,时枝正的世界与我们的世界完全不同。他的关于数学的公开讲座很容易被误认为是魔术表演,但是实际上并没有没有耍花招,没有暗箱操作,没有魔术,也没有扑克牌。“我所做的一切,都是把自然介绍给观众,让观众认识自然。” 时枝正说。时枝正“如果你喜欢的话,那也算是有趣的、盛大的魔术表演。”

 

时枝正是斯坦福大学的数学家,他收集了100多个他所称的 “玩具”——日常生活中的物品,这些物品很容易制作,但它们表现出的一些现象却让人吃惊,甚至连物理学家都感到困惑。尽管英语是他的第七语言,但在公开讲座和YouTube视频中,时枝正还是用幽默而又隆重的描述来介绍他的玩具。不过娱乐只是他其中一个目的——同时,这也是为了让人们知道,科学研究并不只是职业科学家的专属领域。


“茫茫宇宙,能通过我们肉体器官感知的部分是有限的,”他说。“即便在这样的范围内,我们仍然可以亲身感知一些东西。我们之所以感受到惊奇,不是因为你告诉我某东西很神奇,而是因为我们实实在在看到了不同寻常的事情并感到惊奇。”


时枝正的是以“曲线进入”的方式进入数学研究道路的。在日本长大的他,从艺术家开始,后来成为古语言学家(研究和重现古代语言的人)。量子杂志采访了时枝正,谈及了他的数学和玩具收藏之路。为了清楚起见,采访经过了精简和编辑。


采访者: 你经常强调的是,商店里出售的那种玩具不是你所说的玩具。


答: 如果一个东西能在玩具店里买到,对我来说那就不是玩具,因为那意味着已经有人为它设计了玩法,你使用它的时候就应该那样玩。如果你买的是一些非常精密的电子玩具,孩子就有点像这个产品的奴隶。但情况往往是,孩子对那个玩具本身完全不感兴趣,反而没完没了地愉快地玩着包装纸和盒子,因为孩子通过自己的主动性和想象力,让这些东西变更好玩。


人们常常把我的玩具和游戏混为一谈——拼图、魔方等等。但这些绝对超出了我的兴趣和能力范围。我对那些由人设定规则的游戏不感兴趣。我只对自然界设定规则的游戏感兴趣。


你看,谜题是人设计的,是为了难倒其他人设计的,而这有悖于我的原则。我希望全人类能相互配合,在自然界中找到真正好的、让人惊奇的东西,大家一起明白它的原理。没必要人为的加大难度,也不需要加入其他额外的规则。这种神奇,哪怕一个孩子和一个科学家都可以共同感受到。

问: 你是怎么成为一个玩具收藏家的?


我以前做的是理论性非常一种纯数学——辛拓扑。在那些日子里,如果我的朋友或家人不了解科学,那我就不可能向他们介绍我的工作是做什么的。


但后来当我做博士后的时候,我在自学物理,成为物理学家,有些东西是有形的,尤其是我经常对宏观现象感兴趣。所以我决定,每当我写出一篇论文或者解决一个问题,无论多么不起眼,我都会设计一些桌面实验,或者你也可以说它是玩具。我可以在诸如厨房、花园这些地方向任何人展示这样的实验——一些简单而又实实在在的东西,向大家分享我做这些东西的乐趣。当然,如你所见,这样的分享取得极大的成功。


我的研究习惯渐渐地因此改变,现在研究出发点和之前完全不同。我会观察我的周围的日常现象,努力寻找那些有趣的东西。然后我就从这一点出发开始做科学。


问: 但在生活中,你很早就发现了你自己的第一个类似玩具的现象,对吧?一种方法是把两根莫比乌斯带粘在一起,然后沿着它们的中心线剪切,然后得到一个神奇的结果。


我七岁的时候偶然发现的。任何一个对数学感兴趣的人在童年时都会玩莫比乌斯带,显然,在通俗文学里有很多地方告诉你,沿着中心线剪切莫比乌斯带是很有意思的。而我是一个对折纸感兴趣的日本男孩,所以这样的男孩做这样的事情是很自然的。


但是,从沿着中心线剪切莫比乌斯带,到把莫比乌斯带粘在一起,然后再剪——嗯,我不会说这是一个必然的步骤,但那里有一个启发式的步骤。并不是说它是个大进步。而一旦迈出那一步,你就会发现一个奇妙的现象,它是那么的美丽和浪漫。它就在那里等着你。

问: 当年,你是打算做一个画家吧?


答: 那是我最擅长的。我是个早熟的孩子。五岁那年,我在东京的一家大画廊举办了一个展览。传说有一对夏威夷夫妇在画廊里看到了我的一幅静物画。他们想高价买下,但被我母亲否决了。


我周围的人都认为,我也认为,我将成为一名画家。从某种意义上说,绘画和图像还是我最在意的。我想,从深层的性格上来说,我更在乎的是绘画和图像,而不是语言,语言是我人生的下一个阶段。


问: 你完全靠自己就登上了那个舞台。当年,你从日本搬到法国上高中,那年你14岁。


那是我人生中真正的顿悟。在日本,你间接地知道其他语言和文化的存在,但我们是一个岛国,并不是每天都能看到其他语言和文化。我们的确学了一个叫英语的东西,但它只是一门考试科目,对吧?你能真正生活在那种语言中吗?你能在那种语言中坠入爱河,怀上孩子,看待死亡吗?当然不可能——它不够精致,不够丰富。


但是当我到了法国,这里有很多人,很棒的人,他们都生活在法语中。我有一种巨大的震撼,一个重大的启示。我对自己说:“我必须开始学习语言了。”


问: 所以,你成为了一名语言学家。直到后来,才对数学产生了兴趣,而那时你在东京,已经是一位语言学讲师了,对吗?那是个怎样的故事?


我当时正在完成我的论文,需要一个人的传记,所以我去了图书馆。不幸的是,那本传记不在原来的地方,但旁边有一本列夫·达维多维奇·兰道(Lev Davidovich Landau)的传记。他是一位俄国物理学家,在莫斯科单枪匹马地创立了一个非常强大的理论物理学派。


我开始读这本书,是因为我当时要坐火车旅行,需要读点东西。我从来没有听说过兰道。事实上,和其他人一样,我甚至不知道科学是作为人类的事业而存在的。什么是数学家?物理学家又是什么?我听过这些话,但可以肯定的是,这些人在现实生活中并不存在。


这本传记讲述了兰道54岁时发生了一场非常严重的车祸。他昏迷了一个半月。这时,他的儿子伊戈尔到医院看望父亲,他醒了。这是一个催人泪下的场景。然而,兰道并没有说“哦,我很高兴能活着”或“我的儿子,伊戈尔”之类的话。相反,他说:“伊戈尔,你来了。sin x对dx的不定积分是多少?"

 

 


好吧,伊戈尔拿出一张褶皱的纸,开始做起了计算,但不知怎么的,他却做不出来。兰道说:“伊戈尔,你认为自己是一个受过教育的成年人,却连这么简单的任务都完成不了。”


当我读到这句话的时候,我把它当作是对我个人的批评。我自诩为一个很有学问的人,但我一生中从未听说过微积分。我根本不知道这一连串的符号是什么意思。


作为对兰道的回应,我决定研究这个问题,直到能解决这个问题为止。兰道在传记中说:“不要把时间浪费在和数学家闲扯和举办讲座等方面——相反,找一本习题量最大的书,把所有的习题都过一遍。这就是你学习数学的方法。”我回到图书馆,找到了那本数学题量最大的数学书。那本书是用俄语写的,我不懂俄语,但一个年轻的语言学家不怕再多学习一门语言。


所以我花了整整一个冬天来研究这个问题,大概又过了一个半月,我就到了真正能做这个积分的地步。但我保持惯性,我一直在坚持。我停不下来。在三个月的时候,我发现了两件事情。第一,我相当擅长这种无脑式的机械性作业。第二,也许这不是学习数学的唯一方法。于是我四处寻找,发现自己可以请两年的假。


问: 然后就去了牛津大学学习数学。


在我看来,牛津是唯一能让你在两年内快速读完本科的地方。我虽然不会英语,但作为语言学家也不怕再多学习一门语言。


过了一段时间,我说:“这就是我想做的事情。” 我辞去了工作,去普林斯顿读了个博士。


问: 这是一条与众不同的进入数学研究的道路。


我不认为这个是与众不同的,但如果你把人们在某种社会中应该有的标准的生活方式,并试图把我和其比较,就会被认为是与众不同的。如果你明白我的意思,就会明白这只是一个投射的问题。如果你投射在错误的坐标轴上,事情就会变得很复杂。也许根据一个投射,我的过去很不寻常。但我不这么认为,因为我每天都在以自己的方式过着自己的生活。我从未尝试过做任何奇怪的事情——事情就自然而然发展成了这样。

 

现在你既是数学家又是玩具收藏家。你是否认为你的玩具是一种让世人自省的一种方法,让人们知道大家到底有多了解周围的世界?

 

恰恰相反——我是想把自己从自满的情绪中唤醒。当我分享的时候,我只是想和人们分享。我希望他们会喜欢,但我并不是要教育他们,我不认为普通大众需要自省。人们都在用自己的方式去奋斗,去努力,去进步。我有什么资格让他们去自省呢?

 

但我喜欢别人给我惊奇的事物,我也喜欢被别人证明我是错的。不是在公共场合,因为那很丢脸。但在私下里,我真的喜欢被证明是错的,因为那意味着讨论清楚后,如果我接受了它,我的知识就比之前多了一点,那么我会有更好的感受。


问: 你是怎么找到你的玩具的?你说过,这涉及到用孩子的眼睛看世界。


有时候,成年人有一种令人遗憾的倾向,就是只对那些已经被其他成年人标记为有趣的东西感兴趣。而如果你尝试一些新鲜事儿,再天真一点,就可以把所有的东西都看个遍,不管有没有标签,都能找到属于自己的惊喜。


所以,当我和孩子一起洗手的时候,我可能会发现,如果把水龙头开得很细——不是滴水,而是细细的、稳定的水流——然后把手指慢慢地抬向水龙头,实际上可以使水流起皱纹。这真的很神奇。可以看到珠子一样的皱纹。


事实证明,表面张力可以很好地解释这一点。有些人知道这一点,但世界上99. 9%的人都没有见过这种水的皱纹。所以说,这是一个令人欣喜的事情。你不应该放过这种惊喜的感觉。


于是你就这样做了。你只是四处张望。有时候你会觉得疲倦,头晕,或者被其他事情所困扰,导致你做不到这些。但是,你并不总是觉得累,也不总是心事重重。那时,你可以发现很多美好的东西。

Do you find that if a physical phenomenon surprises you, that’s a pretty reliable guide that it will surprise other people?
问:你是否发现,如果一个物理现象让你感到惊讶,那就是它会让其他人感到惊讶一个相当可靠的指引?


这根本就不是一个可靠的指南。有时候我觉得有些事情真的很让人惊讶,其他人会说:“好吧,那又怎样?”


有一点让人有些不安的是,如今,越来越多的人在虚拟现实中度过了那么多的时间。在虚拟现实中,什么事情都会发生。那么在物理世界中,没有人对物理世界中的很多事情感到惊讶。这可能是他们的惊讶和我的惊讶之间的一种突破点。


在讲座结束时,有一个很常见的问题是,“这一切是否有实际应用?”这真的很耐人寻味,因为无论我去哪里,这个问题都是用几乎完全相同的词问的。就像是在听预先录制好的信息。


我问他们,什么才算实际应用?这让人非常惊讶。粗略地讲,人们在5到10分钟内就会汇聚成两类实际应用。一类是,如果你能马上赚几百万美元。另一种是,如果你能立即杀死数百万人。其实很多人都有点被自己的回答吓到了。

然后我就跟他们说,好吧,我不知道别人怎么样,但是我的玩具有一个实际的应用。当我把我的玩具给一些孩子看的时候,他们似乎很开心。如果这不是实际应用,那什么才是呢?

 

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马丁·海尔获科学突破奖,孙崧获得新视野奖

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根据科学突破奖官网消息,2021科学突破奖获奖者于9月10日发布。其中数学奖被英国数学家,伦敦帝国理工学院教授马丁·海尔获得,以表彰他在随机分析理论,尤其是随机偏微分方程正则性结构理论中的革命性贡献。本次奖励的奖金是300万美元。

 

马丁·海尔是随机偏微分方程(SPDE)的顶级专家。与本次获奖几乎相同的理由,马丁·海尔在2014年获得了被誉为数学界最高荣誉的菲尔兹奖。随机偏微分方程在传统上意义对于数学家来说很难处理,海尔开发了一种新的理论框架,让一大类随机偏微分方程有了严谨的数学意义。这套理论也让这些方程变得更容易处理,从而开启了许多新的纯数学方向,同时对随机偏微分方程在科学和工程中的应用有着重大意义。

值得一提的是,中国数学家,中国科学技术大学校友,现加州大学伯克利分校副教授孙崧获得了新视野数学奖,以表彰他在复微分几何领域的诸多贡献,包括卡勒-爱因斯坦度量存在性以及模问题和奇异性的联系的研究。此项奖金10万美元。

孙崧出生于1986年。他在2019年和陈秀雄、西蒙·唐纳森一道,因卡勒-爱因斯坦度量存在性的成果获得了维布伦奖。而维布伦奖一般被视为几何领域的最高奖项,也是菲尔兹奖的前哨奖之一。

科学突破奖是世界上奖金最高的学术奖项,它由谢尔盖·布林、扎克伯格夫妇、马化腾、马云、尤里·米纳尔夫妇、安妮·沃西基共同出资兴办。

 

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菲尔兹奖得主沃恩·琼斯因病去世

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根据Reddit新闻以及维基百科网页更新的消息。新西兰数学家,1990年菲尔兹奖得主沃恩·琼斯爵士(Sir Vaughan Jones)因为严重的耳部感染医治无效而去世,享年6w7岁。

 

 

沃恩·琼斯是冯·诺依曼代数和扭结多项式研究方面的顶级专家。在1990年,他在日本京都举办国际数学家大会的菲尔兹颁奖典礼上,琼斯教授没有按常规身穿正装,而是穿着新西兰橄榄球国家队——著名的新西兰全黑队——队服出席。这在当时一时成为热门话题,以至于几十年后也一直为人津津乐道。2018年的国际数学家大会组委会,甚至专门做了纪念图片,来回忆这段趣事。毕竟,数学家也有权力在其他爱好上投入热情。

 

 

琼斯教授在扭结多项式上的研究成果现被称为琼斯多项式,这也是他获得菲尔兹奖的代表作。但这项研究源自于一个从未有人预料到的来自冯·诺依曼代数的分析学分支,这个分支之前被大多数人认为已经研究得非常充分,应该没什么可以深挖的了。

 

 

 

 

2009年,琼斯获颁新西兰骑士勋章,从此有了爵士头衔。

 

 

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关于湍流的一个结论的数学证明

本文转自马里兰大学计算机、数学及自然科学学院。

翻译,凝聚态小土豆,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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工程师们可不可以直接用数学方程设计出更好的喷气式飞机,从而大大减少对实验测试的需求量?天气预测模型可不可以精确预测海洋热量转化为飓风的细节过程?从目前来看这些构想暂时难以实现,但随着我们对湍流机理的越来越完备的数学解释,这些构想将在未来成为可能。


马里兰大学的数学家Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith以及Alex Blumenthal首次提出了严格的数学证明来解释湍流的基本定律——Batchelor定律。该定律的数学证明过程将于2019年12月12日在英国工业与应用数学学会(Society for Industrial and Applied Mathematics)的一次会议上公布。


虽然所有的物理定律都可以用数学方程来描述,但许多定律并没有详细的数学证明来解释定律背后的基础原理。而湍流无疑是非常难以得到严格数学解释的物理领域。从海浪、翻滚的云层和高速行驶的车辆后面的尾流可以看出,湍流是流体(包括空气和水)的无序运动,包括压力与速度的看似随机的变动。


湍流是描述流体流动的N-S方程如此难以求解的原因,曾经有人悬赏百万美元奖励能用数学方法充分解释湍流的人。要理解流体流动,科学家必须首先理解湍流。

UMD的数学教授、该证明的合著者之一Jacob Bedrossian说:“如果一个给定的物理定律是正确的,那么观测对应的物理系统并从数学上理解它应该是可能的。”“我们相信,我们的证据为理解为什么Batchelor定律,也就是关于湍流的一个关键定律,在某种程度上是正确的提供了基础,而迄今为止的理论物理工作还没有做到这一点。”这项工作可以帮助解释在湍流实验中观测到的一些变化,并预测可以适用和不适用Batchelor定律的情况。

自1959年引入Batchelor定律以来,物理学家们一直在争论这条定律的有效性和适用范围。Batchelor定律有助于解释化学浓度和温度变化如何在流体中分布。例如,把奶油搅拌到咖啡中会产生一个大漩涡,上面会有小漩涡分支,甚至更小的漩涡也会分支。随着奶油与咖啡的逐渐混合,漩涡越来越小,每一层的细节也在变化。Batchelor定律预测了不同尺度下漩涡的动力学细节。


该定律在以下几个方面得到验证:化学物质在溶液中的混合过程,流入海洋的河水与盐水的混合过程,流入北方的湾流温水与较冷的水的混合过程。学者们围绕这一重要定律的解释,已经发表了多篇重要工作,包括著名的大学教授Thomas Antonsen与Edward Ott在UMD的工作。然而,对于Batchelor定律的完整数学证明仍然是难以摸透的。


未涉入这项研究的明尼苏达大学数学教授Vladimir Sverak说,在Bedrossian教授和他的合著者的研究之前,Batchelor定律只是一个猜想。相关实验数据的支持,可以帮助人们推测定律的成立条件。而该定律的数学证明可以看作是在理想条件下的一致性检验,并且可以让我们更好地了解流体中到底发生了什么,从而启发未来研究的发展方向。


“我们不确定这是否可行,”Bedrossian说,他同时还在UMD的科学计算和数学建模中心工作。“普适的湍流定律被认为过于复杂,无法用数学方法来解释。但是我们能够通过结合多个领域的专业知识来解决这个问题。”


作为偏微分方程方面的专家,Bedrossian聘请了两名UMD的博士后研究员来帮助他解决这个问题。Samuel Punshon-Smith (17岁,博士,主攻方向为应用数学统计与科学计算),现在是布朗大学的Prager助理教授,是概率统计方面的专家。Alex Blumenthal是动力学系统和遍历理论(数学的一个分支,包括众所周知的混沌理论)的专家。研究者专长的四个不同的数学领域在其他方面很少相互影响到这个程度,但在这个问题上是必需的。


Sverak说:“解决这一问题的方法确实富有创造性和创新性,有些时候证明的方法甚至可能比证明本身更重要。Bedrossian教授和他的合著者的论文中的观点很可能在未来的研究起到很大的作用。”

该团队在这个问题上的研究达到了新的水平,为提出数学证明来解释其他未经证实的湍流定律奠定了重要基础。


Bedrossian:“如果这个证明让我们止步于此,也是一个比较出色的成果。”但我希望这仅仅是一个开端,能让我们在未来某时某刻可以明确地宣称‘是,我们可以证明湍流的普遍性定律,并且它们并不超出数学的范畴’。现在我们对如何用数学来研究这些问题有了更清晰的理解,我们正在努力构建研究这些定律所需的数学工具。


了解更多湍流定律背后的物理原理,最终可能有助于工程师和物理学家设计更好的交通工具、风力涡轮机和类似的技术,或做出更好的天气和气候预测。

 

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和菲尔兹奖得主一起在微博上讨论数学作业是怎样的画风?

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我们知道,中国人喜欢用的微博,在国外很少有人用的。他们喜欢用一个叫作推特的东西,使用方式和国内的微博差不多。

 

和国内的微博一样,大家在推特上发表的话题大部分是娱乐倾向的话题。一本正经的聊大学数学作业的就更少了 。这几天,就发生了这样有趣的一幕。

Barbara Fantechi 是意大利国际高等研究院的数学教授,其领域是代数几何。如果你百度她的名字,能搜索到她的一部著作——对格罗滕迪克名著FGA的解读。

她在推特上贴出了一个“作业题”:

假设A是一个非空集合,+是A上满足结合律和交换律的一个运算。对任意A中的元素a,A到A的映射x→x+a是双射。求证:(A,+)是一个交换群。

 

既然是大教授出的题目,看到的人即便要回复,也会给点面子吧。回答之前,都会对问题本身来个“高度评价”。 一位韩国的老师进行了回复。她首先说,这个问题对自己来说并不trivial,然后继续写出解答:

 

 

首先,我要找出单位元0。对每个a,由于双射的性质,我们能找到x(a)满足x(a)+a = a。 我想让x(a)的值和a的选取无关。用a+b诱导一个式子x(a+b)+a+b=a+b=x(a)+a+b,于是由双射的性质,则必有x(a)=x(a+b)。这样,就得到了单位元。于是,我们把-a选成由双射诱导的,与a运算后得到单位元的那个元素。最后,他还问:我想知道,我是不是用到了选择公理?能不能不用。

 

很多人回复:其实没用选择公理。

 

很多人参与的解答,方法都大同小异。连菲尔兹奖得主高尔斯也来凑热闹,在回答前,他首先说了一个“免责声明”,说自己的解答没有仔细验证过,不排除犯低级错误的可能。

高尔斯的回答是,对任意x和a,因为加法x+a是双射,所以存在b满足 x+a+b = x。于是得到,对任意y,有 y+x+a+b =y+x。再因为双射的性质说明a+b是单位元。不排除有更高端的证明方法,我来看看别人的回复吧。——PS,这个问题非常简单,但不显然。当我明白它不平凡之后。

 

有人也玩起了花样,用上了范畴论,他这样回答的:

1、 映射x→x+a是集合A自身的同构

2、 因此以这些映射作为态射,构成一个单对象范畴。

3、 每个态射都是同构的单对象范畴构成一个群。

4、 根据假设,得到运算交换性。

 

回复中,有人对这个办法提出异议。说:

对于第1条,需要证明逆映射也有x+a形式。

对于第2条,需要证明恒等映射也有x+a形式。

 

还有人开始讨论,题设是否能精简。比如双射的条件能不能改成满射,而无需单射的条件。有人回复说,只是满射的话,逆的唯一性满足不了。

有人认为交换性的条件可以不需要。马上有人就回复了反例:如果加法定义成 x+a = x(原推应该有笔误),映射满足除了交换性的所有条件,但这个运算都不能做成一个群。

当然,还有人吐槽:你的推文让我头疼……,Fantechi教授只好回复说:Sorry。

 

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黑白与粉笔的传奇:数学家们思考的样子

 

作者:Dennis Overbye纽约时报科技记者。

翻译,大纱帽儿,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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这是思考的样子。

 


思想,思想,还是思想。关于抽象概念之间的关系的假设和猜想 —— 图形,数字,几何,空间 —— 在迷雾般的粉笔尘中浮现,更多的是羽衣牌粉笔中浮现,这是一种最初生产在日本,现产自韩国的粉笔。


在这些图表里,谜题诞生又被破解。


在去年,一位摄影师兼纽约时装学院的教授Jessica Wynne,拍摄了数学家的黑板,寻找那些结伴纷飞、热情描绘想象、论据与猜想的符号。《不要擦掉》这部黑板相册集将于2020年秋季由普林斯顿大学出版社出版。


“数学家就像画家或者诗人,是模式的创造者。”英国数学家哈代在1940年写道。在一个夏季,Wynne女士通过她的三位在芝加哥大学任教的邻居Cape Cod, Amie Wilkinson和Benson Farb与数学结缘。她开始为他们的黑板摄像,感受其中亲切的艺术美。


“我被那不受时间影响的数学家的黑板之美与形给迷住了,他们对发现真理和解决问题的更高渴求使我着迷,”Wynne女士在电子邮件里说,“他们的想象引领他们先看到图像,而不是文字;看到图片优先于内涵。”


她还说:“我也沉迷于在黑板上创作的过程。”虽然科技进步,电脑诞生,这些却是大师自己选择的研究。


在对黑板与粉笔的热爱中,数学家们是(羽衣牌粉笔的)坚实支持者。在许多的科学研究领域,黑板被替换成了白板或者幻灯片演示;但数学家们说,粉笔既便宜又可生物降解,还比白板笔更好闻,而且方便清除,书写起来更加有趣。


Wynne女士的书名《不要擦掉》来自于黑板传达的信息:清洁人员几小时后就进来擦掉黑板上天才留下的艺术作品。


这样的事情确实发生过。近期,在杂志《鹦鹉螺》的一篇文章里,作者与MIT的物理学家Alan Lightman回忆一件发生在1970年代早期加州理工大学的偶然事件:理查德·费曼在Lightman的黑板上解开一个描述黑洞放热和辐射的方程,这类研究与当时的物理主流大相径庭。


Lightman博士第二天回来准备抄下那些方程,却发现黑板已经被擦的一干二净。一年后,史蒂芬·霍金做出了类似的演算,从而使他一举成名。


Wynne女士的照片说明关于黑板的想法不止一种方式。有些数学家用方程式将黑板填满,而哥伦比亚大学的博士生Alex Zhongyi Zhang在他几何的灵感迸发时,把值得著一篇论文的跳跃与变换通过一幅图展现在黑板上。
有些数学家的黑板整洁,比如Wynne女士在巴黎边上法国高等科学研究院的树林间上拍摄的这块黑板。


一位斯坦福大学的教授时枝正开玩笑地说,根据“黑”和“白”在黑板上的严格想象,数学家总是喜欢用白粉笔画的实心点表示“黑点”,用空心点表示“白点”。数学家能get到这个梗的,Wynne女士说。

然而其他黑板是无法解读的:一团团几乎被擦干净的困惑和挫折,对知识的探寻不总是拥有一个快乐的结局。

如果问数学家们,有的会说他们的工作是去获取与我们独立的柏拉图式理想世界。有些认为数学是人类头脑创造的结果,科学家用他们的大脑为真实世界中显而易见的规则建模。
为什么数学这么有用是一个谜。1960年,在一篇名为《数学在自然科学中的不合理有效性》的文章中,物理学家尤金·维格纳写道,“数学语言对描述物理定律公式的合适性是一个奇迹,这个奇迹是一个我们即不能理解也不应得的美好礼物。” 


数学家反复的工作。在爱因斯坦将地心引力描述成广义相对论里“空间扭曲”的半个世纪前,关于空间扭曲的方程早就出现在像德国哥廷根大学的波恩哈德·黎曼这样的数学家的黑板上了。


如果你想知道对于50或100年前那些具有分辨力的思考者而言宇宙是什么样的,就去看看这些空间吧。

 

 

 

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数学是对理解的追求,而不仅仅是追求计算

 

作者:Dr. Dilts 俄勒冈大学数学博士,其埃尔得什数等于3。

翻译,MathIsAll,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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大多数人的数学观念是在小学时被灌输的。

 

 

根据我的经历,小学数学是这样的:老师说我们需要计算一个东西。然后他展示了如何计算这个东西,计算有七个差别不大的变形。你的家庭作业是计算其中的六种变形。考试就考七个中的其中五个变形。

十年后,大多数人认为数学就是计算。由于采用死记硬背的方法,很多人都觉得数学就是一些一成不变的计算技巧。如果你执行一套晦涩的、难以理解的步骤,你将得到一个虚幻的“正确答案”。你必须按照特定的步骤算答案,如果你忘了这些解题步骤,就只能依靠老天爷帮忙了。于是,你只能陷入无限的绝望之中。


当然,作为来自远古智慧,他们相信所有的数学都来自高不可攀的地方。它冷峻,深隧,完美无瑕。


——但正真的数学不是那样。

 

那么,到底什么是数学?

 

计算是一个有用的工具,但绝对不是数学的全部。

 

数学是对理解的追求。 就像任何好的史诗幻想系列一样,它似乎永远不会完成。

 

我们数学家所寻求的理解是一种非同寻常的理解。 如果说科学的目标是描述和理解周围的宇宙“是什么”的话。那么,数学家试图去理解为什么“必须是”。

 

毕竟,一个数学家所问的问题通常是可能根本不存在的事物。你见过一条完全笔直的无限长的细线吗?或者大小恰好是90度的角?但是,如果我有一个完美平面直角三角形,我知道边长有一定的关系a²+b²=c²。

当然,我们可以数数,数出37头奶牛,但是奶牛是否关心这个37是个质数? 但是37的确是质数,因此如果有多个人要分享这37头奶牛,那么不可能做到平均分配。


作为一个数学家,我时常这样表述的我的工作——试图去发现连上帝都做不到的事情。即使是全能的上帝也无法创造出一个其边长不服从勾股定理的平面直角三角形。上帝也不能把37头奶牛平分给多个人。

决定“必须是”的基础是数学的定义和公理。

 

定义和公理是不同的,但又非常密切相关。

 

定义描述了我们谈论的事情。例如,欧几里得几何中,直线(相对于曲线)可以被定义为“各点看齐的线”(lies evenly with the points on itself——几何原本)。


公理描述了我们可以用定义 “做什么”。这些往往是非常基本的,“显然”的事情。例如,对称公理说:“如果A=B,那么B=A。”在这个例子中,你可以把这公理看作是你可以做的事情(这里你可以做的事情是交换等式两边),或者你可以把这条公理看作是在对两个东西相等在做定义。

 

在这个基础之上,数学是建立在逻辑上的。给定定义和公理,某些结论是必然的结果。这些结论我们称之为定理、引理或命题。

 

因为数学是以这种权威的方式教授的,所以数学的定义和公理似乎在某种程度上是“牢不可破”,它们不是人类的造物。 你会认为公理和定义是数学家正在寻找的“必须是”的一部分。

 

在某种程度上, 这可能是对的, 但我认为也不全是这样, 数学肯定不是这样做的。

 

当你读一本教科书时, 上面会出现被认为重要的定义和公理的最新思考。但这在一定程度上掩盖了一个事实, 即需要几百年甚至几千年的时间来决定“这些公理”应该成为构成数学的基础。

 

数学会演进,数学会变化。 今天使用的定义和公理与牛顿使用的定义和公理不尽相同。


这里关于牛顿的故事,实际上给出了数学是在变化的一个好例子。

 

牛顿以及莱布尼兹在1670年左右发明了微积分。在解决物理和数学中的许多重要问题时,微积分当即证明了它是非常有用的。

 

但是牛顿的微积分并不是建立在我们今天认为的严格的基础之上的。


为了解释他们的想法,牛顿和莱布尼兹都使用了一些“无穷小”的概念,说它们是“无穷小的数”。


无穷小在对微积分的直观解释中非常有用(当我自己教微积分时,我经常非正式地使用它们)。因此尽管人们接受了牛顿和莱布尼兹一些结论的证明,但仍然有些人对“无穷小的数”的观点感到不安。

 

但随着数学家深入研究微积分的思想,很明显无穷小量的论证并不完善。有一些重要的定理无法被精确证明,因为微积分的基础没有得到足够严谨的证明。


因此,19世纪的一个主要的数学课题是证明微积分的“合理性”,并确保微积分的基础是正确的。

 

这涉及发明新的定义。例如,微积分的一个关键思想就是“极限”。不太严谨的说,极限就是要回答“当输入接近某个数时,输出的数接近哪个数?”

 

对极限的直觉并不困难;你输入的数越来越接近你想要的数时,看看输出是否接近另外某个数。但是,我们今天使用的极限ε-δ定义,直到1820年才由柯西引入。


数学不是静态的,我们使用的公理和定义不一定是自然的待在某处,我们拿来就用。当我们寻求更深入的理解时,我们常常会发现我们早先的理解是不完善的,甚至是不正确的,我们于是开始寻求修复基础的办法。这种情况一次又一次地发生,以达到我们“牢不可破”现代数学思想。

 


总而言之,数学是寻求理解“必须是”的问题。但我们试图理解的概念并非一成不变。数学的对象是由人定义的,当我们更好地理解它们时,我们的定义和公理就就在变化中建立了起来。

 

 

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核武器的爆炸半径,他是怎么计算出来的!

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想象一下这样的场景:你是一名科学家,在上世纪40年代初为美国军队服务。此时军方交给你一项任务:计算新式武器——原子弹——的爆炸半径。很显然,美国打算使用原子弹去攻击敌人,而你要做的是确保原子弹爆炸时,友军在安全区域内。那么你要如何计算出爆炸半径呢?


其中一种解决方法是做一系列的实验。引爆不同尺寸,不同重量,不同强度的原子弹,并测量它们的爆炸半径,分析不同的参数是如何影响爆炸传播的距离。这也确实是美方军队所做的(下图展示了一部分实验结果)。

 

科学家从这些实验中总结出3个对爆炸半径有主要影响的参数:


1 --- 时间   爆炸后时间越长,爆炸形成的火球传播得越远;


2 --- 能量   增加爆炸的能量,火球的半径会增大;


3 --- 空气密度   这可能并不是特别显然,实际上空气密度变大会使火球半径减少。如果你将空气的密度想象成空气的“厚度”,那么空气密度越大,空气越“厚”,它会阻碍火球的传播,因此传播了更短的距离后火球就停止前进了。

 

当时,时间t,能量E,与密度ρ之间的具体关系是未知的。若要精确了解增加的能量对最终结果有何影响,你需要大量的数据。这意味着你需要大量的实验,除非你和英国数学家G·I·泰勒想法一样… …

 

 

 

Taylor主攻的领域是流体动力学,该领域研究的是液体,气体,以及某些具有流体特性的固体(例如冰块)的运动。听闻美国要做如此危险的实验时,他立即出手解决这个问题。他使用了一个巧妙的方法——量纲分析。对于上述提到的单位,我们可以列出它们的单位:

[时间]=[T]


[能量]=[ML²/T²]


[密度]=[M/L³]
             
其中表示时间单位是秒(s),M表示质量单位是千克(kg),L表示距离单位米(m)。我们需要解决的是爆炸的半径,而它的单位是长度L。Taylor的想法很简单,就是将这三个变量以某种方式组合起来,以凑出长度的单位。实际上,只有一种方式可以凑出长度的单位,因此凑出的结果会准确地告诉你火球的半径与这三个参数间的具体关系!可能听起来就像魔术一样,但是让我们试试吧。

为了消去质量的单位M,我们必须用能量除以密度(这是唯一的初等方式):


现在为了消去时间的单位,我们必须乘以时间的平方(同样地,在不改变变量的情况下,这是唯一的选择):

 


最后,上述方程两端开五次方,我们就得到了与长度有相同单位的式子:

 

 

因此我们就得到了计算爆炸半径的式子:

 


就是它了!在那段时间,美国军队将该方程视为最高机密,而G·I·泰勒竟然只简单使用了物理量的计量单位就如此简单地解决了,这让本来要做大量实验的小伙伴们略显尴尬。


我很喜欢这个故事,因为它展示了量纲分析在数学模型与科学中的广泛应用。物理的计量单位经常被看成计算结果的附属,但在这个故事中它们的确包含了大量重要的信息,这些信息能被用来推导出问题的解,而不必进行任何实验或更深入的计算。在大学中若要进行更高层次的数学与科学的研究,量纲分析是非常重要的技能。因为在许多问题中,要想精确推导出方程对你而言可能很困难,因此你不得不使用类似的技术以获得对问题的直观理解。

 

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泰晤士“中国学科评级”公布:美国数学A+级最多

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2020年7月22日,著名的大学排名机构泰晤士高等教育首次公布了一个有趣的排名。该机构按照中国教育部的学科划分,以及类似的评级模式,对世界范围内的大学进行了一番“学科评级”。在泰晤士排名的官方网站上,把这个评级命名为“中国学科评级”。

该评级把对应学科按照最高A+,最低C-的评分划分学校对应的学科的等级,每个学科一共分9个等级。参评学校的评分的前11.11%会被评为A+,而下一个11.11%的分段获得A,以此类推。

评分因素参考五大指标,分别是:教学(学习环境),研究(发表量、收入和声誉),引用(研究影响力),国际视野(国际教师、学生和国际合著)和行业收入(知识转移)。

数学学科方面,我们哆嗒数学网的小编整理了该学科评级。共有81所中国高校进入榜单。值得注意的是,山东大学只被评为B,但是这不是小编搞错了,该机构就是这样评的。

另外,从世界范围来看,数学学科共有108所大学被评为A+。其中美国共有40所大学被评为A+,遥遥领先于其他国家。接下来是英国和德国各有10所大学。中国有9所,其中内地5所,香港4所。

 

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“葛立恒数”的葛立恒去世

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知名数学家以及计算机科学家罗纳德·葛立恒(Ronald Graham)于7月6日在美国加州拉荷拉去世,享年84岁。

葛立恒在组合数学、图论、信息科学均有重要贡献。2003年,葛立恒获得斯蒂尔终身成就奖。

他最被大众熟知的是以他名字命名的“葛立恒数”,这时他在研究拉姆齐理论的时候,引入的表示大整数的一个方法。这个数学概念在1977年在《科学美国人》由马丁·加德纳向大众介绍后,被广大数学工作者和爱好者熟知。

 

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如果你数学不太好,怎么辅导孩子数学?

原文作者,Freireich ,Brian Platzer。

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

 

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如何在你的知识范围之外辅导你孩子的课后作业?

目前所有的学校都有课后作业,许多家长都在如何为他们孩子的作业辅导上焦头烂额。

 

就算有些家长能挤出点时间在阅读上为自己孩子提供帮助,但是他们大多都会在数学上感到力不从心。当孩子问父母数学问题的时候,父母总想躲得远远地。回忆起那些还给老师的公式定理就已经够有挑战性了,而且现在许多数学的教授内容和以前相比已经大相径庭。如果孩子感到了困惑,同样是困境中的父母该如何解围呢?

 

为了更好地让小学和中学阶段的孩子们独立思考和解决数学问题,你不一定非要将所有的答案都说出来。一个良好的心态能够走得更远。由于父母还肩负着老师和启蒙导师的身份,我们对此有以下建议。

 

不要告诉你的孩子你有多讨厌数学,或者曾经非常讨厌数学,抑或在数学科目上是一位差生。如果你的孩子接收到了你这种负面情绪,他们可能会对数学学科本身和作为一名学数学学生身份上产生长期的负面看法。相反地,你需要告诉他这个问题非常有技巧性,将他们解决好才是值得注意的一点。你的注意力应该在解决问题的过程。

 

提出一些问题让他们自己思考。你不必知道问题的答案。你可以试着启发他们,然后引导他们走到正确的思路上,并让他们对自己的问题有主动权。不要在意答案的准确性,不要告诉孩子正确还是错误。而是问他们这样回答的意义并解释原因,这是为了能够鼓励他们能够有更深入的数学思维。

 

试着用以下问题引导你的孩子:你可以告诉我你的想法吗?你是怎么知道的?为什么你认为他是对的?让他们向你详细阐述他们在课堂上学到的东西好过你告诉他们一些老师从未教授过的技巧。

 

用特别的方式激励他们。家长可以去询问他们哪一部分是他们非常困惑的。那些被难题困扰的孩子可能会回答:“全部”。这时候,父母就要在问题的第一个阶段开始,并仔细解释他们不懂的那一部分。就算你不能帮助他理解教材,你也可以和你的孩子分享老师传授的特定的步骤和定理,或许正是这些定理导致孩子感到困惑。例如,并不是你的孩子对于整个应用题感到困惑并不知道如何下手,而是对于如何计算多位数除法感到疑惑。

 

对于那些特别复杂的数学问题,父母应该这样鼓励自己的孩子:

 

对孩子提出的问题进行重新组织。当孩子们在难题面前停滞不前的时候,他们开始不断地重复自己的问题,而且会用自己的语言重新阐述一遍。为了能够正确回答孩子们的问题,他们需要能够准确地理解他们所提出的问题,以及哪些已经提供出来的信息能帮助他们解决问题。

 

对问题进行可视化处理。特别是当孩子遇到了几何问题和应用题的时候,快速地画一张草图,上面标上相关的数字和信息有助于学生清晰的了解问题发生的场景。而每当遇到几何图形问题的时候,必须画出草图。

 

让孩子给你讲解所学的东西。检验孩子已经真正掌握知识点的方法就是让你的孩子告诉你他们已经学到的东西。通过对问题的每一步骤进行解释和深入分析有助于让他们分清楚他们还不清楚的部分和他们已经掌握的部分。

 

通过解题步骤记录问题每一部分的解法来得到答案。告诉你的孩子,即使他们能够用自己的大脑解决这些问题,把过程写下来可以避免那些会粗心和计算带来的错误。基于这种原因,许多老师要求学生写出解出答案的每一步而不是只是写一个答案。如果写下了一个错误的答案,其他人无法得知孩子是怎么想的。更多地,如果孩子总是一而再再而三地出错,写下它们的过程有助于老师知道哪一部分是需要得到帮助的。

 

仔细书写并有条理的书写。所有的步骤应该使用铅笔以方便擦除,将你需要解决的问题标注出来,并在新的一行以确保有足够的空间来书写公式是非常重要的。用数字标记好的分开的书写能让孩子和他的老师更好的查阅。绘图纸(如果你手上有或者能打印一份)对那些希望将所做步骤几何化的人来说非常有帮助。

 

放慢速度。学生通常对于技巧的速度有误解,孩子们直接比谁的解题速度快比那些按照自己的速度去解题的人要犯更多的错误。速度比拼会导致很多问题,比如错误的理解思路,审题有偏差,和计算错误,甚至会忽略一些关键点。告诉孩子决定好用多长时间来解决自己的问题,时间通常是15或20分钟,并在整个解决问题的过程中设置一个定时器,这样完成作业就不再是一个限时比赛。

 

检查作业。学生应该承担起检查自己作业的责任。但是当他们寻求你的帮助,或者你已经发现他们已经做错了,不要直接告诉他们哪儿做错了。而是,试着启发性地向他们提问:“你能找到错误并改正它吗?”孩子能够培养出发现自己的错误并纠正错误的能力是非常重要的。

 

主动去寻找老师的帮忙。学生自我激励的能力始终很重要,但当网络学习平台比教师更够衡量和满足个人需求的时候,这项能力现如今变得更重要。许多学生现在不怎么寻求额外的帮助,所以你告诉你的孩子主动寻求老师的帮助会有助于理解教材,并告诉他老师对问题的看法同样是学生对学习过程的积累。

 

建议孩子优先解决他们觉得数学问题中比较难的那一部分。学生需要在早些时候解决这些问题,这是因为这时精力比较充沛,更容易集中注意力。

 

更重要的是,在辅导你的孩子的时候,不要让你的热情变成了一件恼苦的事情。不断地支持你的孩子表达他们的想法。不仅仅在数学上,同样在生活中,家长应该在如何提问题的重要意义上和用我们所学的知识去解决问题上起模范作用。

 

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2020软科世界一流学科排名公布:数学第一不是普林斯顿

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2020年6月29日软科世界2020年度一流学科排名公布。数学学科排名方面,最大的变化就是多年霸榜第一的普林斯顿大学这回不再是第一,取而代之的是法国的巴黎萨克雷大学,而普林斯顿大学屈居第二。前10名大学中,英美法大学占据9所,其中美国4所、法国3所、英国2所,而瑞士的苏黎世联邦理工学院也占据其中一所。第三到第十的具体排名是:索邦大学(法国)、斯坦福大学(美国)、剑桥大学(英国)、麻省理工学院(美国)、牛津大学(英国)、纽约大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、巴黎文理研究大学(英国)。

 

这回排名第一的巴黎萨克雷大学在名称上看上去是一个新大学,但是他实际上是有多所高校和研究所合并成的综合性大学,其中包括著名的数学强校,巴黎第十一大学。这个合并也是法国“卓越大学计划 ”一部分。“卓越大学计划 ”是因为法国内部之前一直苦于一些名校排名太低,为了提升排名,政府牵头合并学校,用以提升排名。法国学校这几年再各个排名表现不错,和这个计划不无关系。

 


亚洲方面各大高校的排名继续下跌。日本的京都大学排名第一,总排名24名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第25。新加坡国立大学大学排名第三,总排名第42。来自中国的北京大学排名在亚洲也仅排名第五,总排名第48。下面的亚洲前十因为并列原因,其实有12所高校。


 中国高校有102所大学进入榜单,数量上较于去年上涨18所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第48名。是唯一一个进入前50名的中国高校。而港城市、复旦、港中文、清华、中科大位列51-75名次区间。哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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计算小错误,人间大灾难:六个数学“小”错误导致的人间惨案

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如果有小朋友在阅读这篇文章,那么一定要记得一件重要的事情:在大人的世界里,哪怕一点点微小的计算错误,都将可能导致严重的后果,甚至会闹出人命!

如果你不相信,那么下面我们会分享几个真实案例给你。在这些案例里,无一不是如此。

 

 

案例6: 方形窗引发航班坠毁

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在20世纪50年代,很多公司首次进军喷气式客机,领先的是德哈维兰公司。该公司制造的“彗星”号喷气式客机运用了很多先进技术,从而使飞机拥有很多前所未有的特性,比如增压舱的加入可以促使飞机比别的非得更高更远等等。

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或许是因为“彗星”实在不是个好名字吧,在1954年,两架“彗星”飞机在空中莫名解体。这场事故共夺去了56人的性命。

 

事后查明,事故原因令人惊讶的简单:飞机采用了方形窗设计!


在众多明显而又容易被忽略的因素中,方形窗的设计就是其中之一。当时的飞机设计师就是忽略了这一点。观察下面的奇巧巧克力的条图片,你看出了什么?是不是觉得稍微用点力这些巧克力就会从中破开?

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飞机残骸上那些方形窗锋利的斷口清楚的表明了事故原因:这些巧克力式的方形窗带来的结构缺陷没能及时被发现。


如果要在墙体上安装方形窗,需要造出四个90°的角,这会导致四个弱支撑点的出现。如果你的房子由砖块或者灰泥来建造,无需任何复杂计算,只需走到房子外面看看就会发现,沿着每个90°角的顶部会出现清晰的裂缝。

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在工程学中,类似奇巧巧克力条间的沟槽会用一个专业术语——“应力集中”来描述,意思是,在压力下更可能断裂的地方。

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如果你是飞机制造商,怎么解决这个问题呢?

 

在你乘机出行的过程中,你是否注意过飞机上的窗口其实都是圆角的?这些弧形曲线几乎是能够防止飞机发生空中解体最完美的形式了,就像搏击台上的圆形绳索护栏一样,它将应力分布到沿圆形曲线的所有各个点,而不是在一个尖锐的拐角上,这样就可以有效防止其随着时间的推移而分裂并形成裂缝。


相信我,这其实并不是一个容易说清楚的问题,专家们也是在对机舱结构重复进行了很多次压力测试后才得出这个结论的。试验结果证明,如果采用方形窗的机舱,裂缝就会从窗户的拐角处产生并逐渐扩大,最终会导致窗户像冒牌避孕套一样爆裂。


波音公司和道格拉斯公司的代表们都表示,他们的工程师们也未预料到该类事件的发生。如果不是彗星飞机第一个发生坠毁,那么他们的公司或许就会成为因采用方形窗设计而发生该类事故第一家。从那时候起,飞机的窗户都被设计为圆角。

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案例5: 跑道角度引发的战斗机坠毁事故

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由于航空母舰(以下简称航母)船体随着海浪上下摆动,航母上众多飞机又拥挤在一起,给在航母上能够降落的飞机留出的空间异常狭小。所以即便不是飞行员,你也能够想象到在航空母舰上降落实在是一件非常困难的事情。但请放心,航母上拥有众多辅助设备、计算机和各类指示信号来引导飞机降落。然而,早期的飞机可没有这样的待遇,它们遇到的是另外的问题。


可笑的小瑕疵:这里有张图会告诉你早期的航母是什么样子的。你是不是觉得简单的不像话?它上面只有一条直直的跑道。设计这条跑道的人不知道怎么想的?

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这种设计简直无异于让飞行员去自杀。如图所见,起飞的飞机正好占用了准备要降落的跑道一端的位置!如果不及时刹车停止,双方的飞机只能变成一团火球。然而及时让降落的飞机停下来可不是小事一桩,光是勾住拦阻索(一种能够使飞机快速停下的装置)就是很高难度了。经过了血与火的教训后,航母设计最终采用了当时看来似乎有些不合常规的方案,并加装防护网,确保飞机即便没能抓住所有拦阻索,也能及时减速停止。对于飞机来说,类似装置只是确保飞机能够利用障碍物及时停止的众多非凡措施之一。

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那么,问题来了,为了确保飞机在航母上安全降落的最棒的革新是什么?答案是:把跑道旋转了9°重新设计。如下图:

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好笑吗?其实一点也不,这可是花了很多年时间在研究出来的。在历史的长河中,很多伟大的技术进步,包括像航天器和原子结构等研究,都是在二战中诞生的。直到1952年,人们才想到要更改飞行甲板的角度。在此之前,任何一次降落,简直就是飞行员末日折磨。

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调整飞行跑道的角度可以让飞机的降落和检修工作得以同步进行。然而在二战中,如果一架飞机正在降落,那么另一架飞机就不得不推迟起飞,反之亦然。如果10年甚至更早以前有人能想到这个解决方案,不知道会拯救多少人的生命啊!

 


案例4: 意外改动引起的走廊坍塌事故

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凯悦酒店集团在对建在堪萨斯城的最新酒店设计单位提出要求,希望将所有的警铃及口哨包含在内。负责进行设计的建筑公司给出了一系列的空中走廊方案。这些走廊悬挂在顶部,以便于为客人提供最佳的观赏角度。总之,这个设计为酒店带来异常吸引人的特色,直到它有一天发生了突然坍塌,使100多人当场送命。

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事故原因异常的简单:一条长承重梁被两条短的代替了。

 

在日常活动中,人们总是倾向于选择阻力最少的那条路。(换言之,如果能够从杂乱无序的工作中摆脱出来,人们一般就会选择这样做)。在最初的设计图中,两条空中走廊一条在另一条的上面,两条空中走廊都被一条长长的承重梁支撑着,这个承重梁用螺钉紧紧固定在顶部。就像下图(a)所示:

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看起来相当简单明了,对吧?走廊悬挂在长长的承重梁上,这既能使它更坚固,也能使它受力较为均匀,承重梁穿过两条走廊后,一直延伸到顶部的天花板。

 

一般来说,大部件使用起来要费事一些。这很容易理解,如果要搬一把椅子到房间里,整体搬总要比搬一箱配件更费事些。这些长长的承重梁需要穿过很长的空间才能到达顶部固定它们的平台。

 


这样的承重梁制造起来可是比较困难,那就选更容易的方式,对不?所以,负责生产这些承重梁的钢铁公司作出了一个小小的改变,用两条短承重梁替代一条长承重梁,如下图中(b)所示。

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这样便于加工,便于安装,看起来是一样牢靠,对吧?但这个小小的改变产生的待见是牺牲了114人的性命,216人受伤,外带高达1亿4千万美金的诉讼索赔。

 

一条承重梁,两只螺钉。每个螺钉只需要承载自身所在平台的重量。这是个好方法,因为每个螺钉(以及与螺钉连接的焊接梁)只需要承载一个平台的重量。现在再来上图中(b)。怎么样?看到这样脑残设计,你想不想爆粗口?

 

现在可以清晰的看到,每个螺钉都必须承受两个平台的重量,并且是在那些劫数难逃的参观者们站在上面的情况下!看起来是不是非常明显?祝贺你们看出了这点,可当时任何一家公司里都没有一个专业人士意识到这一点。

 

接下来的某晚,在一场舞蹈比赛活动中,承受不住压力的螺钉从焊接梁上彻底断裂,空中走廊发生了坍塌。如下图:

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然而在接踵而来的诉讼过程中,人们发现,无论是钢铁制造公司还是负责结构设计的工程公司都没有做哪怕一丁点粗略的计算,而这些计算会清楚的显示出这个显而易见的缺陷。

 

 

 

 

 

 


案例3: 向内开门方式引发的夜总会惨案

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如果你曾置身在上世纪三四十年代的波士顿,并且你不是个古板无趣的家伙的话,那你一定去过“椰林夜总会”。它可是那个年代最炙手可热的城市夜总会,任何一个去过的人无不这样认为。OK,所以嘛,有时候那儿就会显得狭窄些,会有尽可能多的客人涌入,如果碰上节假日,人数甚至会是正常情况下460人容量的两倍还不止。热闹之后,客人玩够了就会独自离开回家去了,那时波士顿所有地方都没有任何像警示牌一类的安全措施。

 


1942年,一场突发的大火夺去了492人的生命。事后调查发现很多人并不是死于大火,他们的死因竟然是因为门是向内开的!这样的解释简直简单到难以置信。

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事情起因是一个勤杂工在黑暗中摸索着寻找电源插线板,他想看看他摸到了什么东西,于是他划燃了一枚火柴,这根火柴意外引燃了华丽的热带风格装饰品,而这些装饰品又非常易燃,结果很快俱乐部内到处都是浓雾和火苗。这场大火燃烧的非常迅猛,以致于事后发现一些人来不及放下手中的酒瓶就被火焰瞬间吞没了。


关于夜总会的安全隐患,你能想到严重超员和易燃物装饰,你或许没有想到过的另外一个可能都存在的严重缺陷:就是,逃生门是向内旋转开启方式。


主出入口因为安装的是旋转门,结果很快被想要出逃的人群给堵的结结实实。于是人群蜂拥至另一个出入口,结果前面的人被后面的人推搡着狠狠压在门上,导致门无法打开。据事后估算,如果在这场大火中的出入口的门是在外向锁闭的,那么至少会有300人能够逃出生天。

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不幸的是,这不是第一次(也不是最后一次)因为向内开启的门引起的恶性事件。易洛魁剧院大火、湖景文法学校火灾、纽约三角内衣工厂火灾、贝弗利山庄大火和杜邦广场酒店纵火案等等因为火灾导致人员重大伤亡事故中,无一例外的发现出口的门都是向内开启方式。如果你认为看了则事故后,你会近乎于偏执的检查最近的逃生门的开启方式,那么别担心,我跟你也一样。

 

 

 

 

案例2: 密不透风的塔科马海峡大桥崩塌事件

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塔科马海峡大桥曾被誉为工程学一个靓丽的范本,直到它崩塌落入塔科马海峡,并夺走了一条狗的性命。这条狗是因为感受到主人的恐慌情绪而离开轿车的,但它的主人明显并不是很慌张,他还有时间拿出相机记录下了这一不幸事件。

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在工程人员和物理专业学生眼里,塔科马海峡大桥毫无疑问是一个教会他们做什么和如何做的教科书般的例子。如果你想把一件足够大事物固定好,那么没有人会忘记这个事件的教训。说了这么多后,你可能在想这座大桥究竟什么地方出了错?

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原因依然很简单:桥上没有孔洞。

 

薄薄的大桥看起来会是怎样的?下面,通过这个事件你会清清楚楚的看到。

 

你或许想说桥的倒塌是因为廉价和少用了钢材,但事实上的原因很清楚:不透风!

 

无论建筑如何坚固,它依然会随风轻轻摆动。著名的迪拜哈利法塔(就是汤姆·克鲁斯在电影谍中谍里曾经摇晃着走过的建筑)在大风天里摆动幅度会达到6英尺。你可以自己算算。

 

塔科马海峡大桥压根就没有孔洞使风能够通过,那么为此它吃尽苦头注定无法避免。

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其实在事件最初,人们就知道会有什么事情要发生。只要有风,风就会紧紧压迫桥面,像摇油漆罐似得摇晃它。桥面上下摆动的幅度达到好几英尺,就像随时要掉入河床似得。桥面随风扭动的非常厉害,以至于当地人戏称它为“飞驰盖地”。


更糟糕的是,风导致的摇摆频率接近桥本身的固有频率,这可是异常危险的状况。意识到情况的严重性后,州政府聘请工程专家想要修正这个错误。专家给出的方案包括在“桥面上钻多个孔洞用来通风,从而防止桥体的扭曲。非常简单的修复方式,我敢打赌他们一定为自己没能早些想到这些而憎恨自己的愚蠢。然而,在还没来得及付诸实施任何修复措施之前,桥塌了。

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他们不得不在十年后重建了这座桥。下面看看,你是否能够找到设计中这些简单的不同点。

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案例1: 泰坦尼克号的沉没

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关于如何防止泰坦尼克号的沉没事件,有很多种说法。其中有人认为应该让船体直接撞向冰山上而不是试图绕过它,还有人认为原因在于首航前没有认真向上帝祷告,说什么的都有。人们对该事件的指责大多落在了缺乏足够的安全措施这一点上,这是非常错误的,真正的原因时是存在一个被刻意设计出来的潜在缺陷。

 

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这个缺陷就是:中央推进器无法反转。

 

泰坦尼克号拥有三个蒸汽推进器,外侧两个以活塞引擎驱动,中央一个以蒸汽涡轮驱动。蒸汽涡轮相较于活塞结构具有体积小和更高效率的优势,但它的缺点是单向工作,也就是说,蒸汽涡轮只能向前转动,带动的传动杆也只能向一个方向运动。

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所以,当危险来临是,当默克多大副想要操作船体全力后退以避免撞向冰山的时候,外侧的活塞引擎开始反向转动,而中央推进器却停止工作了(就像电影里的情节一样)。从常识上来说,如果你需要船体后退,你肯定不希望船体任何一个引擎把船体往前推。

 

不妙的是,中央推进器正好位于船舵的正前方,它的关停会使船舵少量进水,导致对任何操作的响应被拖慢。

 

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如果当初能够对中央推进器进行更合理的设计,就完全可以避免它反转时会停止的情况,那么泰坦尼克号就有可能逃过冰山的撞击,从而挽救1514人和8条狗的生命。

 

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人教社教材乌龙:爱因斯坦用相对论证明勾股定理震惊数学界

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这两天,一本书上对于一个定理的表述火了。这个定理便是著名的勾股定理。书中提到爱因斯坦用相对论证明勾股定理,还震惊了数学界。

尤其那个震惊世界的描述,有着浓浓的“民科”味道。我们哆嗒数学网的小编一开始并不在意,毕竟在当下的环境,一本杂牌书发表任何惊世骇俗的声明都不会是新鲜事情。

 

但定睛一看,不对!这个不是杂牌书,而是人民教育出版社出版的数学自读课本。这……

 

 

我们的朋友圈这件事也传开了。有人找到了这个说法的疑似英文出处。在这份英文材料里,描述了这个勾股定理,爱因斯坦以及他的相对论。但材料里明确说到,这里出现的E=mc²和爱因斯坦著名的质能方程虽然样子很像,但这完全是巧合(of coure entirely fortuilous)。

应该说,如果没有表述中没有相对论的乱入。这个证明还是挺巧妙的。思路大致如下:设直角三角形的斜边长度是c,两条直角边是a和b。用斜边上的高把直角三角形分成两个小直角三角形。这样两个小直角三角形和大直角三角形相似,斜边分别为c,a,b。于是,三个三角形的面积与c²,a²,b²成正比(这里你还可以进一步认为,都正比于某个单位面积)。设这个比例为m,就有面积带来的等式:

mc² = ma² + mb²

消去m,得到 c² = a² + b²

数学上,完全没有问题,但这和相对论没有半毛钱关系。


如果真是这个出处,不知道这起事件的原因是人教社的专家看不懂英文,还是小编读不懂数学。

人教社出版的课本,里面的内容被很多中小学生和老师奉为圭臬。如果出现这种让人啼笑皆非的错误,实在危害巨大。记得有一位物理学家对错误分了几个等级,小错误、严重错误、连错误都不如(not even wrong),这里的乌龙,我们认为就属于后者。

 

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数学家证明了低维度空间的一些对称性质不存在

 

原文作者,Kevin Hartnett,《量子》杂志高级编辑。

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

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罗伯特·齐默(Robert Zimme)先生被人另眼相看了。自2006年担任芝加哥大学校长开始,他因为获得九位数字的捐款以及发表很多关于保护校园言论自由的文章而登上各大报纸的头条。但在担任芝加哥大学校长之前,齐默先生是一位数学家。在他将学术研究放到一边很久以后,齐默先生曾经推动的研究终于产出了成果。

 

 

2017年,一个三位数学家组成的团队解决了名为齐默猜想的问题,这个问题主要是研究在某些情形下几何空间会显示出某种特定的对称性。他们的证明是近几年来最大的数学成就之一。这个问题是齐默在20世纪70年代后期到20世纪80年代前期学术活跃期间提出的,现如今这个问题得到了解决。

 

齐默说,“我想说的是,在这五年期间,我对这个问题日思夜想,它每一天都在困扰着我。所以,这个问题让我辗转反侧。现如今,我很高兴地看到这个问题得到解决。”

 

一般而言,我们通常认为几何空间的维度越多,对称性特征也就越多。比如,你可以去比较二维平面上的圆和三维空间中的球:旋转球的方法就比旋转圆的方法要多得多。这就是因为球的额外维度使得球有了更多的对称性。

 

齐默猜想关注点主要是在某种特定类型的对称性,这通常被称之为高阶格(higher-rank lattice)。这个猜想关注了以下问题:一个几何空间的维度是否会限制对这些类型对称性产生。芝加哥大学的阿伦·布朗教授(Aaron Brown)和赛巴斯提安·乌尔塔多·萨拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)和印第安纳大学的大卫·费希尔教授(David Fisher)的最新研究表明,只要低于某一维度,某些特殊的对称性就不可能存在。这也就证明了齐默猜想是正确的。

 

 

他们的研究解决了一个长期以来困扰数学界的问题,同时也开辟了新的研究方向。它揭示了几何空间中的内在特性。对称性是了解这些空间最基本的特征之一。这项新研究可以用比较准确的话来讲:这些对称特征能存在某一种空间中,但对于其它空间是不存在的。齐默猜想长达数十年间都没有取得突破,现在解决以后,数学家们便有了新的发现和成就。

 

在今年年初组织的一场关于新证明的会议上,芝加哥大学数学教授艾米·威尔金森(mie Wilkinson)表示:“这个猜想还能够让数学界研究和分析上很长一段时间。他们就这个问题提出了一个较为简单的方法。”

 

对称性的满足

 

对称性是人们从孩提时期的数学中便接触到的几何学概念。通过动手分析,孩子们便知道由于对称性,图形可以旋转、翻转和平移,最后得到的图形和最开始是一致的。图形的这种在变化中保持不变的特性满足了某种内在特点——它揭示了宇宙法则中的某种深刻涵义。

 

在数学中,数学家们用自己特定的规范性语言来研究对称性。这种语言为他们提供了非常准确的方法来描述在给定的几何空间中所有不同的对称性。

 

比如说,正方形有八个对称变换——也就是说有八种方法可以将正方形翻转、旋转成原来的图形。而对于圆来说,圆按任意角度旋转之后仍然是圆;它有无数个对称变换。数学家把特定几何对象或空间所具有的对称性全部归类在一起,称之为“群”。

 

群原本就是非常有价值的研究对象。群通常会出现在特定几何空间的研究中,但是他们也会出现在非几何领域中。比如,数的集合也可以组成群。(比如说:考虑如下的对称性,例如给一个数+5或-5。)


齐默说:“理论上,各类事物的对称性都可以用群来表达。”


现在我们讨论的对称性和我们在小学时所学到的相差甚远。比如,参考格的对称性。最简单的格就是一个二维网格。在平面上,你可以将这块网格往上、下、左、右的方向平移任意方块的距离, 然后得到一个它完全一样大小的网格。你还可以对网格内任何单独的正方形进行对称变换。这种有类似格的空间,一般而言会有无穷个多种多样的对称变换。

 


这种可以存在任何维度的空间里。在三维空间里,格就是一个个正方体,而不是正方形。在四维或更高维度的空间里,我们就无法画出这种格了,但是性质是一样的。数学家可以用自己的语言进行准确描述。齐默猜想的关注对象主要就是这些特定维度的。“如果你可以看到这些网格,这些奇怪的格会特别美丽。尽管我看不到。”乌尔塔多-萨拉查教授说,“我猜想如果它们能展现在我们眼前,他们的形状一定特别好看。”

 

早在二十世纪,数学家们便在许多的领域中发现对称性质,不仅在几何学,还有数论领域,逻辑学和计算机科学。当新的一个新群被发现以后,我们就自然而然地会问到——一个怎样的空间会对应这个群描述的对称?


有时候是非常明显的,一些群不能应用到特定的空间中去。比如,我们就很快知道圆的对称群不能应用到正方形中。就比如说,如果将正方形旋转10°,你就不能得到原来的那个正方形了。但是如果在一个有无数个对称轴的群中和一个有多重维度的空间里进行研究,我们很难确定哪些群的元素对应着空间的变换,而哪一些则不是。

齐默说:“由于在高维度的情况下,你由此得到的群会愈发复杂,问题的解决也就变得更加困难。”


松散的联系


当我们分析对称性的时候,我们所想象到的是,整个图形正在进行旋转,就像一个正方形按顺时针方向转90°。在一个比较微观的层级中去观察,对称性与点的运动有密切的联系。按对称性将空间进行变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这种视角下,将正方形顺时针旋转90°的真正意义是:考虑正方形上的每一个点,然后将它顺时针旋转90°,这样每个点就移动到了新的边上,这些点最终出现在与初始位置不同的边上。


或多或少的,我们都是用刚性的方式来进行移动。最熟悉的一些对称操作——通过对角线进行镜面变换,或者旋转90°——都非常刚性的。他们之所以刚性的是因为他们并没有对点进行扭曲。镜面变换前在顶角上的点在变换以后还是顶角上的点(只不过是不同的顶角),镜面变换前在边上的点在变换以后还是边上的点(只不过是不同的边上)。

 

但是,在实际上,还有很多更为灵活的对称变换类型,这也是齐默猜想所感兴趣的地方。在这些变换中,点会被最大限度的重组;他们在变换的过程当中不会完全遵循他们在变换前的位置关系。例如你可以将正方形的每一个点都围绕着移动三个单位——这还是满足了一个对称变换的基本要求,它将空间上的每一个点都移动到了新的位置。新证明的合作者艾伦·布朗借助球的模型来解释这种不受约束的变换方式。

 

布朗称:“你可以试着将球的南北两极向相反方向拉扯,球上的距离和点之间的距离会加大。”

 

当你在讨论一个网格时,除了平移平面中的网格,你还可以对网格进行扭曲,或者在某些地方进行扭曲,而在其他地方进行拉伸,这就使得转换后的网格不再与原来的网格完全重合。这些变换就没有那么刚性了,他们被称之为微分同胚。

 


在他的猜想当中,齐默有非常好的理由认为这种更为柔性的变换是有意义的。在20世纪60年代,格里戈里·马尔古利斯(Grigory Margulis)对在齐默的猜想当中涉及的这种高维格进行了研究。马尔古利斯也因为这项工作由此获得了菲尔兹奖。当要求只进行刚性的变换时,哪些空间可以由这些高维格转换而来,马尔古利斯给出了这种空间所有满足的条件。


因此,齐默猜想是对马尔古利斯研究的自然延伸。他便是开始于高维格架构变换得以实现的空间——马尔古利斯所找到的空间——并持续深入探讨如果允许不那么刚性的变换,也就是在放宽变换的条件之后,这个集合是否会进一步扩张。


在他们新的研究当中,三位数学家们证明了当高维格的放宽对对称性的定义以后,广义的对称性特征并没有本质变化。即使格进行不规则的空间变换时——比如剪切、弯曲、拉伸——高维格仍然被限制在它们所在的空间中。

 

费希尔说:“由于在这个问题上加了那么多的灵活性之后,你就有了一种直观的感受,这些高维格群能作用于任何空间上。所以,我们很惊讶的发现,答案是不对的。在某种情况下,他们不能作用于任何空间上。”


这几位数学家们在空间的维度和能作用在其上的高维格维度(或秩)之间建立了联系。他们证明了在通常情况下格的维度越高,空间的维度也应该越高,这样才能对格的对称性产生作用。在高维空间里,即使有非常好的空间变换灵活性,高维格的变换依旧受到高维空间的限制。


威尔金森说:“这就告诉了我们,空间将物体组合在一起会有一些非常基础的特性,这种特性使得他们能够产生这些变换。”

 

齐默猜想只是解决一个大问题的第一步。通过解决这个猜想,这个问题的研究者们对这些高维格能做用的空间给出了一个粗略的限制条件。下一步是更加宏伟的计划,研究者将关注在这些空间中格是如何出现的,接着将这些格在空间中变换的方法进行分类。

 

齐默说:“这项计划最后是要分清楚所有这些方法。在你目前所看到的问题之外还有更有趣的,有一些空间中,格是不能保持对称性的。但有趣的问题则远远超出了这些内容。”

 

 

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