数学家利用虚拟现实技术(VR)让人们体验非欧几何

 

 

原文作者:Rebecca Hills-Duty。 

译文作者:Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员,就读于布里斯托大学。

 

 

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俄克拉荷马州立大学和佐治亚理工学院的数学家们正在尝试为生活带来一个不同的世界:通过创造一个虚拟现实空间来探索那些我们所熟知的规则无法实现的“另类几何学”

 

在我们平时所学的一般几何学中, 两条平行线永远以相同的距离延续,从来不可能靠近或者远离对方。然而在非欧几里得几何中,同样的平行线最终会相交,或者改变方向渐渐远离。

 

 

佐治亚理工学院的Eilsabetta Matsumato与俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman日前正在研究一个叫做“双曲VR”的项目,该项目旨在共同努力来向大众科普双曲几何学——一种两条平行线可以渐渐发散的非欧空间。Elisabetta Matsumato说:“你当然可以想象出这种现象,但是你很难切身感知它,直到你真正体验到了这种情况。”

 

在现在已经创造出的双曲世界中,使用者们除了四处走动以外,并没有太多可做的事。但是该团队正在计划在虚拟现实世界中创造双曲房屋以及街道,甚至建造一个非欧几里得版本的篮球。

 

 

在非欧空间中做体育运动并非一个新生事物,先前已经有一位伊利诺伊大学芝加哥分校的拓扑学家David Dumas在学生的帮助下制造了一个虚拟现实(VR) 壁球游戏。在此游戏中,在撞向不同的方向后球可以返回起始点。

Dumas说:“解决如何使用虚拟现实(VR) 作为一种研究工具现在才刚刚起步。”运用数学原理的可视化一直帮助良多,比如使用分形的视觉实现使人更好地理解潜在的数学世界。

 

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原文作者:Rebecca Hills-Duty。 

译文作者:Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员,就读于布里斯托大学。

下雨没伞:跑还是不跑?

 

原文作者:Atheeta Ching,伦敦大学学院数理生态学博士。 

译文作者:radium,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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编者按: 有一个故事,说下雨天,大家都拼命的在雨中跑。有一个人却慢慢的走,别人问他为何不跑,他说,你没看见前面也在下雨吗,跑有用吗?很多人都是把这人当笑话来看的,但是这篇文章告诉你,问题没那么简单!

 

 

很多事情都影响着我们的生活,其中一件事便是天气,特别是下雨天未带伞(或者我们懒于将伞从包里拿出来)时的窘迫。凭直觉就知道似乎奔跑就是最好的选择,或者至少我们走快一点,就可以少淋一些雨。但是这也意味着雨点会以更快的频率从正面打在我们身上。


 
所以,如何才能让雨点在我们衣服上画的地图的面积少一点呢?这个问题实际上在过去的几十年里被众多的专家或爱好者们讨论过,无论是数学杂志还是像《流言终结者》这样的科普电视节目(事实上他们关于这个问题做了两期节目,第二期是对它的更正)。

 

让我们从最简单的模型开始,想象雨点匀速竖直落下。在图中,你就是那个灰色的长方形(因为下雨让你的心情不好,灰色可以表达这点心情)。

 

 

同时我们也要假设雨点均匀降落,其次第二个假设是假设雨点只从人的头上落下,而不考虑打在身上的情况。在这种情况下,无论雨点下落的速度有多快,你最好的选择便是“跑”。跑的越快你在雨中所淋到的雨越少。
 

好了,现在我们考虑,如果雨点因为风的缘故以一个角度降落在你身上又会如何呢?对于这个问题我们将会介绍一些真正的数学。和前面一样,我们将假设雨速度为定值Vr均匀下落。

 

雨域是这个问题的一个很重要的概念。这个区域包含了所有将会淋到你身上的雨点的初始位置。假设你以s的速度运动,因此在二维图上你的速度可以表示为向量Vu=(s,0),这使得你在雨中花费的时间为1/s。

 

在你身上取一个点P,在雨域取一点Q,在t时刻后在这一点上的雨点会淋到你身上。然后我们就可以得出出雨点会在Q + Vr·t这一点上淋在你身上。而你的原始位置P可以表示成为 P=Q + Vr·t − Vt·t。从而对于每一个你暴露在外可以淋到雨的位置P,对任意时间t∈[0,1/s],点P+(Vr−Vt)·t在雨域内. 

 

 

完整的下雨的区域由这些斜线勾勒出来了。每一条斜线的长度为 ||Vr−Vt||/s。这样就十分清晰了:如果雨以一定的角度下落,你应该跑的越快越好,缩短雨域的水平长度(下雨区域内的“宽”是定值,而和人的身高成比例)。

 

要是雨从你背后方来,又会怎样呢?这样一来,事情变得有一点复杂。雨点速度的分解为Vr=(V1,V2),因为雨点有向前方的速度,因此 V1>0。于是一些不同事情将会发生(假设雨以一定的速度均匀下落)。之前我们提到,你以速度s移动。如果s>V1你就不会被你背后的雨淋到,但是你的头部和你身体的正前方会被淋到。

 

如果 s=V1,也就是说,你的速度和雨在你前进方向的速度一样,那么仅仅只有你的头部会被淋到雨。最后,如果s<V1显然你的背部和头部会被淋到雨,但是你的身体的正面会保持干燥。令Af为你身体正面或背面的暴露在雨中的面积,而At为你头部暴露在雨中的面积。

 

在我们之前的二维案例中,这些只是表示你所代表的长方形的高度和宽度。雨点淋湿的这些部分的总量分别正比于Rf =|V1−s|·Af  以及 Rt=|V2|·At。
 

上述中在雨中的时间为1/s,被雨淋湿的函数为R,正比于:


R1(s) = [(V1 - s)·Af + |V2|·At]/s 若 s≤V1


R2(s) = [(s- V1)·Af + |V2|·At]/s 若 s>V1

 

其中比例的乘子是雨的密度。注意这个函数可以被应用到之前的例子。即雨点向后方下落,V1<0。我们发现我们总会有R=R2,因此让R最小化的方法便是尽可能地增加s。

 

雨点向前落下的例子中我们有V1>0. 让C = -V1·Af + |V2|·At 然后注意到R是连续的R1是一个关于s的减函数,而R2的变化依赖于C的正负。


如果C>0,R2也是关于s的减函数,要取R的最小值,那么s应该增加到最大值。


如果C=0,R2是一个常值。我们可以通过取任意的s≥V1来最小化R

 

如果 C<0,R2是一个关于s的增函数,那么我们仅仅只能通过让s=V1来最小化R。例如:你精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。

 

C依赖于你的体格和在雨中的速度。如果雨向前方的速度很小,那么你最佳的选择任然是尽可能快的跑。但是,如果雨向前的速度很大,使得C<0,那么你最好精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。同时也意味着雨点会打湿你的头部,但这些都是理论上讲的情况。

 

关于这个问题还有很多复杂的模型,考虑不同的形状(不是正方形的情况下)或者突然来阵一阵大风,都会影响最终的结论。最后,我们将以Matthew Wright(很遗憾不是之前Chalkdust的成员)写的五行打油诗来结束。


固执的青春


暴露在雨中的执拗


若雨从背后拥抱


我我便与雨同行


但若迎风而行


最华丽的步调


便是与雨赛跑

 

 

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地震数学建模与预测

 

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2011年3月11号日本发生9.0大地震发生,这次大地震震中位于日本的一个港口,它也让整个世界包括很多地震专家们感到震惊。它猛力地提醒着我们对断层以及它们突发的和灾难性的行为是多么的无知。如何找到断层清晰准确的几何描述并测绘出周围区域存在的拉紧形变区,这依然是一个悬而未决具有挑战性的问题。如果我们能克服这个挑战,我们就能进行地震活动的模拟仿真,进而更好的评估它对指定区域所带来的的风险。

 

 

我的合作者是约内斯库(他在巴黎大学),根据切向位错原理,我们已经开发出了一套行之有效的方法来定位和描述活跃的断层。这套方法是基于如下的假设:只有表面观察结果可以获取并且无牵引的情况可以应用于该表面。


我们也根据GPS的观察结果探索了探测慢滑移事件(比如无声地震或者地震成核阶段)的可能性。我们的研究依赖于对于已观察到的表面位移的渐进估计。这种估计在导出我们称之为矩重建方法的过程中被首次使用。之后它也用于寻找地表面移场必要的条件。这些条件就导致了以下两个参数的引入:活化因子和置信指标。根据表面观察结果,这两个参数可以用有效的方法计算出来。它们表明了一个标准変位场的产生是否是归因于活跃的断层。


结合最小二乘最小化和矩方法,我们之后发展了一个综合的断层轮廓重建技术。我们仔细研究者我们的重建工作是如何受到观测仪器敏感性和地表观测点坐标方格的步长的影响得。计算这样坐标方格最大的允许步长是为了应用于不同的断层深度和方向。最后我们得到了基于虚拟数据的数值重建法。

 


对于这种准静态断层滑动问题的正逆性的数学分析现在已经完备了。我们当前在应用这种理论来记录在太平洋海岸的墨西哥附近的大型区域测量的移位数据。这的确是一项很有挑战性的工作,因为我们不得不应对有噪声且有错误的数据,有时用那种花费极高的仪器一个月才解决几毫米的位移测量,这样只能得到极其稀疏的数据。在墨西哥沉没地区,一个可靠的活跃断层的重建只有通过各种数学模型的结合才能实现,这些数学模型要合理地反映压力,地壳移位以及待恢复参数的指定物理界限。幸亏有两个世纪的观察调查工作,地球物理学家们可以知道这些界限。


所以有没有那么一天地球物理学家能够预测地震事件呢?不幸的是,地震预测可能永远不会像天气预测那样靠谱。最多可能有一天我们能更好地评估一下一个地区在接下来100年内会发生地震的可能性。那就是说,知晓断层和给定区域应力剖面的精确几何形状可能会对于我们预测地震事件的强度和震波形式有所帮助。

 

 

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纪念一位靠出逻辑题目找到老婆的数学家

原文作者:RICHARD SANDOMIR,纽约时报记者。 

译文作者:mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:donkeycn

 

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雷蒙德·斯穆里安(Raymond Smullyan),他的快乐,敏捷的头脑使他成为一个音乐家,魔术师,数学家,最妙的是,他还是一个创作谜题的逻辑学家(哆嗒小编注:实际上他的头衔里还有哲学家和道教学家),2017年2月6日(星期一)在纽约州哈德逊市去世,享年97岁。

 

他的亲人黛博拉·斯穆里安(Deborah Smullyan)确认了他的死讯。

 

 

斯穆里安教授是一名正儿八经的数学家,他的出版物和博士学位证明了这一点。但他最伟大的遗产可能是他设计的极其烧脑的逻辑谜题,它们或呈现在许多书籍中,或者只是出现在休闲的谈话中。

 

 

有时他们是一次性的,有时他们被嵌入更长的叙述中来解释数学概念,例如布尔逻辑,就像2015年他在《乔治·B的魔法花园和其他逻辑谜题》(The Magic Garden of George B and Other Logic Puzzles)中所做的那样;或者回溯分析,1981年他在《阿拉伯骑士的象棋奥秘》(he Chess Mysteries of the Arabian Knights)中进行了探讨。

 

 

他也是一个有趣的人。斯穆里安教授有着长长的白头发和胡子,长得像《指环王》系列电影中伊恩·麦凯伦(Ian McKellen)饰演的法师甘道夫(Gandalf)。他身材瘦长,讨厌健身,酷爱牛排和鸡蛋。他研究东方宗教。他讲老套的笑话,对身边的人表演近距离魔术。直到90多岁他仍带着激情和才华弹钢琴。 (尽管他年轻时因肌腱炎而脱离音乐事业。)

 

 

他对他自己的哲学、谚语情有独钟,例如,“我为什么要担心死亡?这不可能在我活着的时候发生!“

 

 

纽约城市大学研究生中心(Graduate Center of the City University of New York)的数学、哲学与计算机科学退休教授梅尔文·费廷(Melvin Fitting)回忆了斯穆里安教授的风采,在20世纪60年代,斯穆里安教授在叶史瓦大学(Yeshiva University)是费廷的老师,而费廷当时正在攻读博士学位。

 

教授在一次采访中说道:“他会微笑着期待他将要展示的许多美丽的东西。”

 

 

几十年来,斯穆里安教授似乎不停地创作的谜题,从中看到数学之美,并将其视为传播数学福音的工具。在他1982年的书《‘女士还是老虎?’以及其他逻辑谜题》(The Lady or the Tiger? And Other Logic Puzzles)中,他写道,如果希腊数学家将其作为一本谜题书,欧几里德的《几何原本》将会获得更大的普及。

 

 

他写道:“问题:给定一个等腰三角形,对应的两个角是否必然相等?为什么相等或者为什么不相等?”

 

 

他的谜题几乎是他本身的一部分,他与后来成为的妻子布兰奇(Blanche de Grab)第一次约会的时候就提出了一个谜题。

 

 

他向她提出的命题,就像他所描述的那样,一定能得到她的吻。回想起这件事,他写道,这是一个“赢得一个吻的相当狡猾的方式,不是吗?”

 

哆嗒小编插播:这是一个在数学圈流传很广的美谈。斯穆里安第一次见到女神时,达成一个约定——斯穆里安说一句话,如果这句话是对的,女神要给斯穆里安一张女神的照片,如果是错的则不给照片。斯穆里安说的话是:“你既不会给我你的照片,也不会亲我一下”。于是斯穆里安成功的获得女神的一个吻。

 

 

詹姆斯·麦迪逊大学(James Madison University)的数学教授杰森·罗森豪斯(Jason Rosenhouse),他在2015年编辑了一本书,书中赞美斯穆里安先生,对于那些以前不了解数学的人,他的谜题可以清晰地揭示数学之美。

 

 

“就像哄小孩子吃蔬菜,” 罗森豪斯教授在接受电话采访时补充说:“雷蒙德用一串逻辑谜题作为工具来展现诸如哥德尔不完备定理。“

 

 

马丁·加德纳(Martin Gardner),一位著名的数学谜题作者,把斯穆里安教授与牛津大学逻辑学家查尔斯·道奇森(Charles Dodgson)相提并论,道奇森也是以笔名路易斯·卡罗(Lewis Carroll)而更广为人知的作家。斯穆里安教授在1982年的书《爱丽丝漫游谜题王国:一个给八十岁以下儿童的卡罗式的故事》(Alice in Puzzle-Land: A Carrollian Tale for Children Under Eighty)中向卡罗致敬。

 

 

在其中一章,斯穆里安教授写道:爱丽丝心中思忖这个蛋人(Humpty Dumpty)是多么的混乱,但又相当合乎逻辑。

 

 

“我想知道,”她说,“他怎么做到既混乱又合乎逻辑的?”

 

 

在斯穆里安先生曲折的人生道路上,似乎有过一些令人困惑的逻辑。

 

 

雷蒙德·梅里尔·斯穆里安于1919年5月25日在皇后区法洛克威(Far Rockaway,Queens)出生,他的父亲伊西多尔(Isidore)是一名商人;他的母亲露西娜·弗里曼(Rosina Freeman)是一位家庭主妇。

 

 

他的求学经历是到处游学和不拘一格的。他曾就读于俄勒冈州的太平洋大学(Pacific University)和里德学院(Reed College),然后自己研究数学和逻辑。他还学习魔术。他创作了一些国际象棋谜题,这些谜题更为关注已经走出的棋步而不是将要走的棋步。

 

 

他以艺名Five-Ace Merrill在夜总会表演魔术,比如芝加哥Pump Room夜总会,他在那里工作获取报酬。他继续攻读并取得芝加哥大学的数学学士学位和普林斯顿大学的博士学位。他分别在普林斯顿大学、叶史瓦大学、纽约市立大学莱曼学院和印第安纳大学任教。

 

 

他的教学理念有点令人困惑。“我的原则是教给学生尽可能多的东西,并尽可能少地要求他们”,他对2008年的《Mathematical People: Profiles and Interviews》一书的作者Donald Albers和Gerald Alexanderson如是说。

 

 

但是,他补充说,明显的宽容所造成的影响是许多学生在他的课程中比在任何其他课程更努力。

 

 

斯穆里安教授身后遗下了继子杰克·科蒂克(Jack Kotik)、六位继孙子女和16位继曾孙子女。他的妻子布兰奇,比利时出生的钢琴家和音乐教育家,2006年去世。他的第一次婚姻以离婚结束。

 

 

科蒂克先生回忆说,他和妻子在纽约Elka Park的斯穆里安的房子里,听了有关职业运动员高薪的广播报道。他的母亲布兰奇说,他们的薪水过多了。

 

 

斯穆里安教授说,拿这么高薪水是不公平的。

 

 

 

“我说,‘雷蒙德,你比大多数人更聪明,不是吗?’”科蒂克先生在接受电话采访时说。 “‘是的,’他说。所以我说,'我认为这是不公平的。我们应该把你的大脑分出一部分分发给可以使用它的人。’”

 

 

 

“他沉默了一分钟,最后他说,‘我无法给出任何理由,但我不会这样做。’”

 

 

谜题是斯穆里安先生的一个重要组成部分 —— 逻辑学家打招呼和考验他人的方式。

 

 

当他遇到他最近的编辑罗歇尔·克伦泽克(Rochelle Kronzek)时,他要求她解答一些问题。

 

 

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“一开始吓到我了,但我想出了创造性的答案,”世界科学出版社执行编辑克伦泽克女士在接受采访时说,“他不止一次地笑了,因为他喜欢我的思考方式。看到别人如何思考,他从中得到很大的乐趣。”

 

 

为什么R² = 0.99不一定是好消息?

 

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在经济、政治科学和心理学等社会科学领域中,人们普遍认为R = 0.7在线性回归的结果中是值得庆贺的。

 

 

R2 反映了因变量的全部变化能通过回归关系被自变量充分解释的比例,然而对于R = 0.7,这个比例大约是50%。

 

在物理学中,因变量和自变量需要更高的线性拟合度,所以在物理学期刊中,如果R2的值如果小于0.95则认为研究结果是十分不可靠的。

 

如果我们线性回归中的r2 =0.99说明总体结果良好,对吗?我们可以确定一定以及肯定,因为在因变量的变化中只有1%不能由自变量的变化来解释的。

 

其实那可不一定,可以用如下简单的例子来解释。

 

 

生物学的一个案例

支原体细菌有一个包含580076个核苷酸的基因组。在该基因组中,起始密码子ATG出现了9,020次,并且这些ATG密码子开始和结束的位置为214, 263, 355, 452, 467, 547, 568, 686, 734, 822, 831, 850, 930, 1023,  … , 579349, 579358, 579437, 579508, 579579, 579717, 579804, 579846, 579889, 579892, 579927, 579961, 580026, 580042。我们可能会问的一个问题是:这些ATG密码子的位置是否均匀分布在基因组上?

 

 

解决这个问题的一个非常简单的方法是,在1到580,076的范围内,产生9020个均匀分布的随机整数,并以这些随机整数为自变量绘制出ATG密码子位置的散点图。换句话说,通过线性回归,我们来看ATG位置的变化有多少是可以由均匀随机整数变量的变化来解释的。

 

(熟悉线性回归的读者可能会认为这并不是一个好主意,因为这里的自变量是服从均匀分布的,而不是正态分布——这是线性回归的基本假设之一。)

 

下面这幅图描绘的是ATG密码子的位置比照从小到大排列的9020个均匀分布随机整数的散点图:

 

 

数据点的位置––ATG比照有序的随机整数–是蓝色的线表示,而回归线由红色的线表示。

 

对于这个回归得到r2 = 0.9912,这表明ATG密码子位置的变化只有小于1%的比例不能由自变量,即这里的随机整数的变化所反映。

 

然而,这幅图还告诉了我们一些别的东西:数据点先是在回归线的上方,然后落到回归线以下,接着又回到了回归线上方。

 

更为仔细的观察

 

我们可以更清楚地了解数据点和回归线之间的差异–残差–通过观察残差图:

 

 

也许这只是一个从1到9020的特定随机选择的产物?

 

为了测试这个问题,我们可以多次重复我们的随机选择。当我们这样做的时候,发现这种模式仍然存在:在支原体基因组中,ATG密码子的位置和1至9020的有序随机整数之间存在很小但真实存在的差异。

 

基因组中的ATG密码子位置和随机位置是一个很小的但也可能很显著的差异。

 

作为一个生物学家,你不想深入研究一下吗?

 

得到的启示

警惕“高”的R2 值:仔细地观察回归中的残差图,并试图理解这个图背后的含义。

 

 

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开放存取式数学研究与论文创作

 

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作者:王浩,牛津大学教育学硕士,香港城市大学英语博士,现于香港浸会大学从事英语教学工作。

 

 

从牛顿在苹果树下被砸出灵感的传说可见,长期以来,科学研究都是以个体为单位的科学家以及由个体科学家所领导的团队所从事的工作。而近年来,互联网技术的兴起却有可能改变这一数百年所形成的传统,为科研合作提供新的范式与平台。笔者试图从一个英语写作老师和应用语言学研究者的视角,通过介绍数学家陶哲轩等人倡导的开放存取式(open access)数学研究项目Polymath,讨论互联网时代新型的科研合作模式在数学界的发展,并思考科学2.0与论文写作2.0在未来发展中面临的机遇与挑战。
 
 
1. 开放存取:数学家陶哲轩教授倡导和参与的数学科研新范式 
 
 
 
 
当代数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩教授在2009年当选美国人文与科学院院士的演讲上介绍了近年来数学研究界出现的一种新型合作模式Polymath。他在演讲中指出,互联网是古腾堡印刷术以来对人类科研与交流影响最大的技术。通过利用互联网建立一个开放的数学研究平台,数学家和对数学感兴趣的人士可以针对某个数学问题的研究共同努力,获得比个体数学家或研究团队更有效的科研成果。陶教授还指出,自己曾将撰写的这篇演讲稿放在博客上收集网友的评论,并根据意见作出修改,这也体现了他的知行合一。 
 
   
 
 
          最早提出这种互联网开放存取式数学研究模式的Tim Gowers教授在其博文《群体合作数学是否可能?》(Is massively collaborative mathematics possible?)指出,这种群体合作模式有以下三个优势:
 
1)很多时候解决问题是需要运气的,仅从概率的角度来看,更多人的参与也会提升好运气的机会;
 
2)通过交流互动集思广益能让具有不同知识和背景的合作者碰撞出火花与洞见;
 
3)有的人善于提出新的想法,有的人更专注于对想法具体实现,合作有利于参与者取长补短共同进步。 
 
 
2. 专门用途英语视角下的开放式数学论文写作与修改 
 
 
 
 
2016年应用语言学界著名的学术期刊《专门用途英语》(English for Specific Purposes) 发表了英国Sheffield Hallam University大学教育学院英语老师Lisa McGrath博士的论文《开放存取式写作:针对一篇纯数学研究论文的在线初稿写作与修改的研究》(Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics)。这是应用语言学界和专门用途英语研究领域第一篇关注开放存取式数学论文写作的论文。
 
McGrath博士通过收集和分析Polymath 8博客下的659条评论(共计57,105词),利用前人工作总结出的框架,对相关评论进行编码后分作6大类:
 
1)数学论证(mathematical argument):相关的编码包括检查或修改现有的数字内容;设置数学符号;编写定义、定理和论证;
 
2)元数学论证(meta-mathematical argument):相关编码包括调整或建议添加说明文字、例子或者对选取研究方法动机的解释;讨论引用文献;在导论中讨论研究的语境与框架
 
3)说明性结构(expositional structure):相关编码包括论文分节、图表和图形的排位;信息呈现流程的控制
 
4)命题式展开(propositional development)产出新的数学知识;报告和讨论新的结果
 
5)格式讨论(formal):调整或报告句子层面的问题(如数学代码或文本的笔误)
 
6)运营讨论(operational):组织调配工作与合作;处理技术相关问题;分配工作量;报告作出的修改;讨论与出版相关的问题;选择期刊;决定作者身份   
 
分类 出现次数
数学论证 158
元数学论证 81
说明性结构 35
命题式展开 75
格式讨论 177
运营讨论 120
646
 
 
McGrath博士对开放式论文写作与修改过程的研究所使用的框架对于需要用英语写作数学论文的朋友也有一定的启发。从上表可见,数学论文的作者不仅要在数学论证上动心思,还要在所谓元数学论证上下功夫,也就是要对自己的工作本身进行思考和讨论,不仅让读者知道自己做了什么和如何做的,还要让读者明白自己为什么这么做。与此同时,在数学论文写作的格式与运营方面,多些和导师、同学讨论获取他们的帮助也很重要。
 
 
 
 
 
 
正如McGrath博士在论文中所说,由于本研究的数据主要来源于博客中的讨论,并没有触及具体论文不同版本的修改或写论文前Polymath参与者就数学问题本身的讨论。因此,Polymath这种新型数学研究模式所涉及的内容和对数学研究者的启发远远不止这篇论文讨论的范围。然而,McGrath博士作为第一位关注Polymath的英语老师和研究者所展示出的宽广的研究视野和具开拓性的研究精神却值得我们学习。  
 
3. 从科学2.0到论文写作2.0 
 
McGrath博士的论文可以放在科学2.0和论文写作2.0这两个较大的语境下解读,或许能为广大的科学研究者和从事论文写作的作者、老师提供新的启发。
 
 
 
2008年马里兰大学计算机系Ben Shneiderman教授在顶级期刊Science上发表短文Science 2.0具有前瞻性的指出互联网技术在为新一代的科研范式的产生和发展提供机遇的同时也需要 “新一代科学Science 2.0来研究社会科技系统中的综合性跨学科问题” 。作者认为,科学1.0时代的英雄像伽利略、牛顿和爱因斯坦提供了关键的方程来描述重力、电、磁和光之间的关系。相反的,Science2.0的领袖们研究重点在信任、同理心、责任与隐私。作者预言,未来400年的伟大科学探险将在于界定、量度和预测上述这些变量从而加速科学发现、工程创新、电子商务和教育。由此可见,新型的科研范式和合作模式也为科学界提出了新的课题和新的挑战,甚至会带来一场新的科学革命。
新的科学革命对英语论文写作与修改也提出新的挑战和机遇。笔者作为一名英语写作老师,也曾协助不少的博士生、青年教师修改英语论文。因此在这里,我想思考一下互联网时代新型科研合作与交流对英语论文写作可能产生的影响。
 
长期以来,论文的写作、审稿都是一个相对封闭的过程。为了确保公平、公正,大多数期刊都采用了双盲的审稿模式,即作者和审稿人都是匿名的。然而,这种模式也带来了不少问题,其中最显著的一点是审稿周期太长。笔者2016年在Journal of Second Language Writing上发表的一篇关于论文修改的文章从2015年6月底初次投稿到10月底获得审稿人的首次意见再到2016年3月最终见刊,前后耗时长达9个月,据说还是比较幸运和顺利的。
 
然而,学界在审稿方面的改革尝试并不成功。顶级学术期刊Nature曾于2006年推出开放式同行评阅的实验。研究人员向1369篇通过Nature编辑初审的论文稿作者发出邀请参加这次实验,仅有71篇的作者同意参与实验,将论文稿放在网上接受开放式评议。
 
 
 
开放式审稿遭到冷遇或许说明科学界对于在工作方式上的革新并不热衷,而在论文写作方面,想推行这方面的改革就更困难了。除了像Polymath这种没有特定作者的项目可以实现互联网上的开放式写作与修改,绝大多数的作者仍然只能在小范围内获得导师或朋友的帮助。然而,我们不难想象在互联网时代协作式论文写作对于提升写作效率、改进论文稿质量的潜力。如果作者能将自己的论文稿放在网络上如同维基百科或者开源软件的代码那样供大家讨论和修改,整个论文创作和修改的过程都会发生根本性的改变。  
 
4. 结语   
 
科学的发展,和人类文明的进步一样,是在传统与创新这两种力量的博弈与平衡间进行的。一方面,科学家必须不断利用传统的资源和制度来工作;另一方面,创新又是科学不断发展和进步的动力源泉。本文所讨论的开放存取式的数学研究与论文创作模式是互联网时代研究工作方式上的创新,和历史上各种创新一样,都会遇到很大的阻力和困难。陶哲轩教授曾在一次演讲中提到,当他提交署名为Polymath的论文给加州大学洛杉矶分校数学系时,工作人员拒绝接收这份论文作为他的成果。对于享誉世界的陶哲轩教授,这当然不足挂齿。但是对于众多还在为职称而劳碌、为三餐而奔波的大学青年教师来说,Polymath这类的开放式协作模式在贡献认可机制上的缺陷却是致命的。 爱因斯坦早就说过:科学是很棒的工作,只要不靠它谋生(Science is a wonderful thing if one does not have to earn one's living at it.)。笔者相信,随着科技的发展、人类文明的进步,我们会在不久的将来摆脱生存所带来的焦虑和个人名利的束缚,摸索出一套更能发挥个人和集体合作潜能的科研工作与论文写作模式。 
 
 
参考文献
 
Greaves, S., Scott, J., Clarke, M., Miller, L., Hannay, T., Thomas, A., & Campbell, P. (2006). Nature’s trial of open peer review. Nature, 444(971), 10-1038. 
 
McGrath, L. (2016). Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics. English for Specific Purposes, 43, 25–36.  
 
Shneiderman, B. (2008). Science 2.0. Science, 319(5868), 1349–1350.  
 
 
 

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2017国际奥数竞赛结果:韩国第一,中国第二

 

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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网最新消息(http://www.imo-official.org/),在巴西举办2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛成绩揭晓。韩国队以170分的成绩获得团体第一,中国对159分夺得第二,越南155分获得第三。此前连续两年夺得第一,此次比赛志在三连冠的美国队,仅获得第四名。第五到第十名依次是,伊朗、日本、泰国、新加坡、中国台湾、英国、俄罗斯。

 

 

此次是韩国是第二次获得国际数学奥林匹克竞赛团体第一。2014年当韩国举办世界数学家大会(四年一届的数学界最高规格会议)时,第2012年韩国夺得的IMO团体第一被作为韩国当代的数学教育成绩被做入大会举办方的宣传视频。

 

 

此前,我们哆嗒数学网的小编介绍过此次比赛的一道题目(见这里)。从结果来看,这道和游戏有关的题目成为了此次比赛的最难的一道题目。来自111个国家的615名参赛选手,只有来自6个国家的7名选手有得分。其中,完全作对的只有来自俄罗斯和奥地利的两名选手。

 

近年来,国内在为“奥数”降温的同时,似乎部分舆论又在走向另外一个打压“奥数”的极端。相反,其他国家对“奥数”开始重视,比如美国的启动的集训模式,以及韩国的国家理科班模式。

 

尽管没有夺得第一名,第二名也是一个非常优异的成绩,我们向中国队表示祝贺!

 

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奥数竞赛题目:召唤师峡谷中的追杀

 

 

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柔弱可怜的兔子提莫与攻击力爆棚的猎手艾希在一个无阻挡物件、大小无限的召唤师峡谷相遇了。艾希以为见到了软柿子,一定要击杀提莫!

但他们交手时发现,它们的技能不知道被谁修改了,再也不是《英雄联盟》游戏中的那些了。

提莫有一个强力的被动隐身技能,让艾希在任何时候无法看到他。还有一个更加恐怖的免疫任何伤害的技能,施放后10亿秒内免疫一切伤害。另外,还有一个逃跑技能,冷却时间1秒,作用是跑向离自己当前位置1米的地方。

艾希也不是吃素的,她有个大杀招可以把周围100米范围内的任何猎物秒杀,而且可以任意时间使用。还有一个用来搜索猎物位置的技能,但是这个技能不能给出猎物的准确位置,可能与猎物的实际位置有不超过1米的误差,即是说她只能探测出猎物存在的一个圆形范围,冷却时间1秒。当然,她有个追击技能,作用是自己向自己想要的方向追出一米,冷却时间是1秒。

假设,游戏时间可以无限,提莫和艾希现在处于相同位置,那么艾希是否有办法一定能击杀提莫?

 

 

好吧,如果我告诉你,上面的游戏描述的是2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)第3题的内容,你会惊讶吗?

但事实上就是如此。当然,IMO比赛会用非常严谨的数学语言表达,原题表述如下:

 

 

不知道参赛的同学们在考场上会不会想到自己在娱乐游戏中的场景。

按往年的经验,IMO竞赛的第3题和第6题会是最难的两道题目。我们这里不提供答案,实际上现在答案已经能从网上搜到。从网上提供的答案来看,提莫10亿秒的免疫时间还是太长了,兔子提莫完全有机会逃脱。

于是我们排开竞赛的因素,想问几个更加有趣的问题:

1、 把免疫时间减少到多少秒时,艾希能有办法一定能击杀提莫?
2、 把艾希大招范围增加到多大时,艾希能有办法一定能击杀提莫?
3、 考虑艾希搜索技能的概率因素,怎么样设置提莫免疫时间和艾希大招范围,使得游戏的平衡的?

另外,我们总希望把一些数学题目变好玩,可以从身边的题目玩起呀!

 

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天妒英才:世界首位女性菲尔兹奖得主逝世

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伊朗天才数学家,世界首位女性菲尔兹奖得主,玛利亚姆·米尔扎哈妮,因乳腺癌医治无效,于当地时间7月15日在其所在医院去世,享年40岁。

 

“世上的一盏明灯就此熄灭了,我的心都碎了……她走得太快了,”美国宇航局的伊朗裔科学家,Firouz Naderi,在他的Instagram(注:国外著名图片社交平台)上的最新消息中写到。后来他发推补充到:天才?没错。当然她还是一位女儿,一位母亲以及一位妻子。


米尔扎哈妮从2013年起,已与癌症斗争了四年,最近因癌症已经扩散到骨髓而住院。


米尔扎哈妮1977年出生于伊朗德黑兰,儿时的梦想是成为一名作家。后来在其哥哥的激发下进入了数学学习。她为代数几何做出了开创性贡献,于2014年获得菲尔兹奖。


米尔扎哈妮于1994年和1995年两次获得国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌,于1999年获伊朗谢里夫理工大学数学学士学位并于2004年获哈佛大学数学博士学位。


在2004至2008年间,她是普林斯顿大学克雷数学研究所的研究员和助理教授。后来她在斯坦福大学担任教授。她获得的荣誉包括2009年因在纯数学领域研究中所做的贡献而获得的布卢门撒尔奖,以及2013年美国数学学会颁发的萨特数学奖。2013年获得萨特的获奖感言中,米尔扎哈妮隆重感谢的自己在伊朗接受教育的两所学校的老师——德黑兰Farzanegan女子高中(为女子天才设立的专门学校)以及谢里夫大学——称赞他们是“伟大的教师们”。

 


米尔扎哈妮是世界上获得被称为数学最高荣誉菲尔兹奖的第一位女性(也是目前唯一一位女性),也是第一个获得此奖伊朗人。当2014年米尔扎哈妮的获奖消息传回伊朗,伊朗舆论当时有截然相反的态度。当时伊朗总统哈桑·鲁哈尼在推文上发出了米尔扎哈尼没有带头巾的照片。回帖立刻分为两派,强硬派对此照片强烈抗议并拒绝对米尔扎哈尼获得的成就表示祝贺,而另外一派认为鲁哈尼此行为具有进步意义并点赞。伊朗国内还有人向国家施压,认为应该按照伊朗的伊斯兰刑法典处罚米尔扎哈妮。

 

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将咖啡转化成定理的男人

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数学家过生日你要给他送什么呢?嗯,如果是一个大生日,比如100大寿,你可以举办一个以他命名的会议为他庆生。前几天就发生了这样一件事:数学家们聚集到了匈牙利,庆祝保罗·埃尔德什(Paul Erdos)诞辰100周年。


会议期间,他们讨论了埃尔德什的工作和他留下的宝贵遗产。不论埃尔德什的数学能力还是他的工作风格都使他成为了一个传奇人物。下面让我们看看他是如何影响数学这一学科的:

 


他是一个“问题解决者”


一般来讲,数学家分两种:一种是“解决问题者(Problem Solver)”,一种是“理论建立者(Theory Developer)”。人们首先听说的通常是解决问题的那类数学家,他们常常出现在新闻中。但是关注度最高的数学研究往往是关于高深理论的。就像在物理里,不论是资金还是关注点,通常都和大一统理论相关。

 

埃尔德什对解决问题更感兴趣。处理“疑难杂症”是他的强项。他会去攻克数学中各个领域的难题,并且他不介意用什么工具去解决:比如他就很擅长用高中知识去解决一些艰深问题。 他用行动证明了数学中并不是所有东西都能被宏大理论所囊括。

 


他发表了很多论文


埃尔德什四处狩猎有意思的问题,这使它的足迹遍布了整个世界。他是数学界的牧羊人,不带支票,不带信用卡, 拎着装了半箱的手提箱走遍了世界。“财产就是累赘”——他如是说。


他经常会出现在同事的家中,以咖啡和苯丙胺(译者注:一种兴奋剂)为燃料轰击谜题。他不断旅行造就了他惊人的产出:埃尔德什一生发表了1525篇论文,历史上只有欧拉比他发表的论文多。


尽管数学常常是独行侠的天下,但埃尔德什却将它视为社交工具。最近兴起的polymath项目其实就是埃尔德什哲学的成功推广。
(译者注:Polymath项目由英国数学家蒂莫西·高尔斯[Timothy Gowers]发起。在该项目中,多个数学家协作交流,合力解决数学问题。目前为止,已有多个艰深并且重要的问题在polymath中被解决。)

 


他的人际圈很广


由于他大量合作并发表论文,埃尔德什最终有了500多个共同作者。他的数学家小伙伴们发明了“埃尔德什数”来衡量一个人与埃尔德什的“连接程度”。如果你与埃尔德什一起发表过论文,那么你的埃尔德什数是1。如果你没和埃尔德什发表过论文,但与一个和埃尔德什合作过的人发表过论文,那么你的埃尔德什数就是2,以此类推。这其实就是数学版的“贝肯六度空间理论”。(译者注:凯文·贝肯 [Kevin Bacon] 是美国著名演员。电影爱好者间曾流行找到任何一个演员到凯文·贝肯的最短路径。)


如果把你的贝肯数和埃尔德什数相加,得到的就是埃尔德什-贝肯数。比如费曼的埃尔德什-贝肯数是6,娜塔莉·波特曼(Natalie Portma)的埃尔德什-贝肯数是7。
 
 

 


埃尔德什除了有着复杂的合作网络,他还发明了一种生成随机网络的方法。以他和匈牙利数学家阿尔弗雷德·伦伊(Alfred Renyi)命名的埃尔德什-伦伊(Erdos-Renyi)模型是首个生成随机图的算法。该模型中,我们选定若干节点,然后以相同的概率在任意两点之间连线。由于它数学上的简洁性,埃尔德什-伦伊模型至今还被广泛应用在传染病模型以及金融系统稳定性研究中。

 

 

他喜欢素数


尽管埃尔德什喜欢探索数学的各个领域,他对素数尤其感兴趣。20世纪40年代末,埃尔德什开始研究素数定理。素数定理说的是假如你有一个非常大的数x,那么差不多存在x/log(x)个素数小于x。此前素数定理的证明冗长而繁琐。埃尔德什与挪威数学家阿特勒·塞尔伯格(Atle Selberg)找到了一个非常简洁的证明。然而即使是埃尔德什也并不总是能解决他感兴趣的问题。比如他曾苦苦思索孪生素数猜想,但他只证明了一个很弱的结论。事实上,直到最近张益唐的工作才使孪生素数猜想有了突破性的进展。

 

 

 

 

他为解决难题提供奖金


为了鼓励人们去解决难题,埃尔德什会为一些问题设立奖金。对于他认为比较简单的问题,他会设立10到25美元不等,对于他认为很难的问题,他则会设立上千美元作为奖金。一个数学家想通过这种方式挣钱并不简单,如果埃尔德什不喜欢某个证明,他还会克扣奖金。

 


他没有获得数学界的最高荣誉


一般认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖,但埃尔德什并没有获得过这个最高荣誉。塞尔伯格与埃尔德什发现素数定理的简洁证明后,他迅速就这个证明方法写了一篇论文。这也成为了塞尔伯格获菲尔茨奖一大助力。然而这并不是埃尔德什喜闻乐见的(译者注:塞尔伯格和埃尔德什曾就是否该联合发表素数定理的论文争得不可开交)。在与塞尔伯格的争吵过后,埃尔德什再一次提起了他的行囊,去寻找更多有意思的难题。沿着他的足迹我们可以发现一连串新奇的问题和方法。 伦伊曾经说过“一个数学家就是一台将咖啡转化为定理的机器”。在这一点上,没有人像埃尔德什做得这么好。

 

译者注:


1.一般外界认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖(Fields Medal),但由于菲尔茨奖仅颁给年龄小于40岁的数学家,它并非终身成就奖。与之相比,沃尔夫奖(Wolf prize)与阿贝尔奖(Abel prize)则更能说明问题。埃尔德什获得过沃尔夫奖。塞尔伯格则是菲尔茨奖、沃尔夫奖以及阿贝尔奖的大满贯得主。


2. 埃尔德什不仅在数学上造诣极高,他的生活方式也很令人感动。更多关于埃尔德什的故事请见:http://www.brunel.ac.uk/~csstzzw/Erdos.html


3. 埃尔德什与塞尔伯格对素数定理证明中两人各占多少功劳存在分歧,在发表论文时,两人就闹翻了。这段有意思的故事可以参考:Goldfeld, Dorian. "The elementary proof of the prime number theorem: An historical perspective." Number Theory. Springer New York, 2004. 179-192 (英文).

 

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来自未来的围棋:假如围棋棋盘有无限大

 

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AlphaGo和世界排名第一的中国棋手柯洁的比赛结束了。不出所料,即便柯洁这样的围棋大师,也已经完全不是我们人类发明的围棋程序的对手。但是,熟悉人工智能的人都知道,无论人工智能有多么强大,他能做出能让现在的人们多么惊奇的事情,它的本质并不是黑魔法,而仅仅是数学。

数学里有一个分支叫做博弈论,英语叫做Game Theory,直译过来就是“游戏理论”的意思。围棋是一种游戏,这个游戏的很多理论也符合博弈论的一些经典结论。博弈论里有一种游戏叫做完全信息博弈,意思是无论是自己还是你的对手,和游戏有关的所有信息都是知道的。自己能走哪里,对手能走哪里,自己之前做过什么,对手之前做过什么,都是相互知晓,没有隐藏。相反,现在最火的电脑网络游戏之一的《英雄联盟》则不是完全信息博弈,因为迷雾的影响,你在某个时刻并不知道对手是在打野还是回城升级装备。

我们的故事现在开始。

用一种数学表示围棋

 

诗人歌德曾经调侃:数学家就像法国人一样,无论你说什么,他们都能把它翻译成自己语言,然后完全不是你刚才说的那样。我不知道这是在膜还是在黑,我保证读完这一小节后,有很多读者都会有这样的感觉。

当执黑先行,棋盘上有19×19=361个交叉点,加上Pass(即是说不走,让对方走),黑棋有362种下法可以选择,当黑棋下完第一步,那么因为之前黑棋下过的位置不能再下,白棋还剩360个位置可以行棋。当棋局进行到某个局面,考虑到按围棋规则不能落子的点,黑棋和白棋能下位置数量会有所不同,但可选择的下法有仅仅是有限个——不超过362个。

我们把每个局面下起手可以选择下法编号,0号下法是Pass,1号下法、2号下法、……n号下法。那么不嫌麻烦,我们下棋的时候,完全可以不用摆子,叫出下法编号就可以。

比如黑棋叫出1号下法,白棋叫出8号下法,然后黑棋再叫出下完1号、8号下法局面下的5号下法,再来给白棋叫出他的下法。实际上,这个时候,黑白双方已经不是在玩一个落子的游戏,而是在玩一个叫号的游戏,叫出的都是自然数。

黑方叫号:  1   5  8  9         11   12

白方叫号:   8  3   6  11         55   4

 

围棋会在有限步后终止游戏,判定胜负。终止的那一刻,我们记录下了一个序列,比如上面对局的序列就是<1,8,5,3,8,,12,4>,这是一个记录比赛进程的行棋序列,我们把这个序列一个符号x表示,特别的上面行棋序列的x(0)=1,x(1)=8,x(2)=5用它也可以来判定胜负。

 

按中国规则,黑棋要要还三又四分之三字给白棋。
我们制造一个集合 A = { x : x为行棋序列,x使得 黑棋子数-3.75 大于 白棋子数+3.75 }, 那么黑棋赢的表述就成了,行棋序列x∈A 。白棋赢的表述就是 x ∉ A 。

我们可以改变集合A,从而改变游戏的规则。比如比较温和的改动是改变还子个数,比如以前的围棋是不还子的。激进的改动是,如果行棋序列中使得围棋棋盘上首先出现五连珠的一方算赢,那么这游戏变成了一个可以吃子的五子棋,而不再是围棋。

但无论怎么改变集合A,有一点始终没变,游戏始终是一个完全信息的有限游戏(就是说每次能选择下法有限,游戏也会在有限步内终止)。


博弈论经典结论:完全信息的有限游戏,必有一方有必胜策略。意思是说,围棋在双方都有能力最强招的情况下,其实胜负已定。这种有一方有必胜策略的游戏,叫做决定的游戏

 


穿越到未来的围棋

 

好吧,如果一个职业棋手对我说,“你说胜负已定,你说是黑棋赢还是白棋赢?我们来下下?”,我只能报以微笑,并认输回应,虽然最强招在数学上被证明存在,存在性并不能保证我能知道它具体是什么。就算棋力远远超过人类AlphaGo现在他也不能保证他知晓这个其实已经存在最强招法。

然而,我们可以试想一下,到某个遥远的未来。人类的智能水平发展到一个让现在的看来人匪夷所思的高度。每个人都知道围棋的最强招法,于是围棋变得无趣,因为还没有落子我们就知道了结果。

未来的人不再满足只有361个交叉点,他们设计横竖都无穷个行列(确切的讲是可数无穷),以满足每一次轮到他落子的时候,自己可以有无穷个可以落子位置。他们也不再满足在有限步结束的游戏,而把游戏规定成需要无限的进行下去。

他们还是叫号地玩游戏。这样,黑棋第一步,在0号下法,1号下法,..., n号下法,…选择出一种下法落子,然后白棋在对应局面的,0号下法,1号下法,..., n号下法,… 中选择一种应对。

棋局的出牌会变成这样:

 

方叫号 1      3       6       81        4       

方叫号    3       6      33       45       99   

 

这样,行棋序列会变得无限长,成为<1,3,3,6,6,33,81,45,4,99,>

 

这是一个在有限步之内无法完成的游戏。在当前的现实中,是无法完成这个游戏的。但是在数学中,无限是一个可以达到完成的实体。也许智能高度发达在未来,我们能在大脑的意念中,玩耍这个游戏。

那么如何判定输赢呢?和前面一样,事先设定一个集合A,A由一些无限长的自然数序列组成,如果最后得双方的行棋序列x是A里的元素,则黑棋赢。否则,x ∉ A 白棋赢。


新的游戏,似乎只是把有限的情况改成无限。它仍然的完全信息的游戏。那么无论我们怎么改变A,是不是黑白双方,必有赢的策略呢。

现在,我可以告诉你,之前的都是铺垫,真正的内容才刚刚开始。

 

这是什么游戏?

 

这不是小编杜撰的游戏,数学家,尤其是集合论学家们早已经研究了很多。这个游戏带来的相关论题,却和公理体系和实数结构有关系。

为了标记方便,我们把前面无限游戏下选定集合A为胜负判定集合的游戏叫做Game(A)。

为了阐述和实数的联系我们先做一个铺垫。如果你有拓扑学的基础知识的话,会很容易看懂下面再说什么。

取集合NS = { x: x为自然数的无穷序列}

对于两个自然数的无穷序列:

x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈NS

y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈NS

定义距离d( x, y) 如下:

 

 

你还能验证距离函数d( x,y )在NS中还是一个完备的距离。而这个距离诱导的拓扑竟然和无理数同胚(你试试用连分数验证一下)——虽然我们知道无理数在通常的距离下,无理数并不是完备距离空间——而无理数在很多数学意义下,占有了实数的大多数。研究NS这个自然无穷序列的空间就和实数的研究联系起来了(实际上,集合论学家更关心的是Borel同构,实数和无理数是Borel同构的)。

实际上,如你可以想到的,集合论里,把一个自然数的无穷序列称为实数。实际上,集合论学家把他看成实数的一种形态。下面的部分,当我们说到实数的时候将不区分这样的具体形态。

是不是我们无论怎样改变集合A, Game(A)的黑棋和白棋中都有一方有必胜的策略呢?

在现行使用最多,也最被人接受的数学公理体系ZFC中,你是可以用选择公理构造一个集合,使得黑白双方都没有必胜策略。

有很多办法,从不同角度去构造这样的集合。但我们不会在这里去表述这种集合的构造细节。这里只是提示一下其中的一个办法:无论黑棋的策略或者白棋的策略,都只有连续统基数c那么多个,而实数的子集实在是比这个多得多。用这个实数,超限的归纳和用一些对角线方法,就能造出这样的集合。

有一个集合A,使得游戏Game(A)的对局双方都没有必胜策略。但是,只要有人愿意开一把,行棋的序列总能判定胜负——这样的游戏是不是变得好玩了呢。


一些人的吐槽:选择公理是真的吗?

 

“什么?居然有一个集合A,让Game(A)不能被确定,我完全不能接受!”好吧,熟悉选择公理的人一定会说,选择公理做出来的东西不具有构造性,那意味着样的集合是看不清也摸不着的。的确,有的人更愿意相信所有的Game(A)应该有一方有必胜的策略,有就是说,游戏是决定的,这就是决定性公理。

决定性公理(Axiom of Determinacy,简称AD):对所有NS中的子集,所有的Game(A)都是决定的。

按照一般的要求,一个命题要成为公理,它应该至少要和常用的策梅洛-弗兰克尔公理体系(ZF公理体系)不矛盾,集合论中叫做协调。但是,这里有个很奇怪的结论,因为AD能推出ZF体系是协调的,于是根据哥德尔的第二不完备定理,ZF + AD这个体系是否相对于ZF协调,不能被证明。

另外,虽然ZF+AD中对普遍的选择公理(即任意多的集合簇有选择函数)不成立了,但是它对选择公理的的否定没有完全彻底,对可数选择公理还是成立的——ZF+AD能将可数个集合有选择函数变成定理(Countable Choice)。

于是,实分析中一些常用的定理,在ZF+AD还是成立的(至少在实数范围内是成立的),比如

可数个可数实数子集的并还是可数的。

海涅归结原理:当x→a时,实函数f(x)→b,当且仅当,对任意序列x(n)→a,n→∞,f(x(n))→b。

贝尔纲定理:实数这个完备度量空间中,可数个稠密开集的交稠密。

历史上,波莱尔曾经旗帜鲜明地反对选择公理,但他认为可数的选择公理是可以的,并且可数选择公理就够了。也许决定性公理可以成为他的一个选项。

        实际上,决定性公理会牵涉到实数的一些底层性质。而这些联系,是通过设计一些新的游戏来展示的。

 


        新游戏一:关于第一纲集和贝尔性质

 

     如果一个集合的闭包没有内点,那么这样的集合被称为无处稠密集合。而第一纲集就是可数个无处稠密集合的并。

     一个集合如果它和某个波莱尔集的对称差是第一纲集,我们说具有贝尔性质。

     我们现在来看一个新的游戏。在之前的Game(A)中,黑白双方叫出的是一个数字,而这个新游戏中,黑白双方叫出是一串数字,一个有限长度的自然数序列。

黑方叫号: <0,3,5,6>   <2,1>    <8, 9,7,9,5,9>  <4,12,5,7,8,0> ...

白方叫号:     <0,5>   <2,1,34,5>        <9>     <4,12,5,7,8,0>  ...

 

  同样,我们把这些序列拼接起来,能得到一个无限长的自然数列,比如上面的拼接起来就是 <0,3,5,6,0,5,2,1,2,134,5,8, 9,7,9,5,9,9,4,12,5,7,8,0,4,12,5,7,8,0, ...>

 

我们还是设定一个集合A,规定得到的序列x∈A,黑方赢,否定白方赢。

这个游戏叫做Banach-Mazur游戏,在设定的集合A下,我们把它名字叫做Game1(A)。

如果你理解了前面的编号思想,你很容易想清楚,如果所有的Game(A)是决定的,那么所有的Game1(A)也是决定的。

你可以试试证明这样一个事情:Game1(A)中,白方有必胜策略,当且仅当,A是第一纲集。

于是,有人能利用上面的结果,得到:

如果决定性公理成立,则任何实数子集都具有贝尔性质。

因为,贝尔性质是一种拓扑性质,所有决定性公理其实能说明实数在拓扑性质上的一些确定性。

 


新游戏二: 完备集性质和连续统假设

 

如果一个实数子集是没有孤立点的闭集,我们说这个集合是完备集。如果一个实数子集是有限的或可数,再或包含一个完备集,那么我们说这个集合具有完备集性质。

我们新游戏二的规则发生重大改变。黑方能叫的号还是一串数字,不过数字只能在0和1中选择,而白方只能叫出一个数字,同样只能在0,1中选择。

黑方叫号: <0,1,1,0>   <0,1>   <0, 1,1,1,1,1>  <0,0,1,1,0,0>    ...

白方叫号:       0      0           1          0      ...

 

同样,我们把这些序列拼接起来,能得到一个无限长的0-1列,比如上面的拼接起来就是,<0,1,1,0,0,0,1,0,0, 1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,...>

这里,我们其实已经只是在0-1序列组成的空间里叫号了。

取集合TS = { x: x为0-1无穷序列},

x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈TS

y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈TS


这个TS空间里,如果我们按前面相同的方式定义距离

 

 

那么通过这个距离诱导得到的拓扑空间,和康托集同胚。

我们设定一个TS的子集A,规定得到的序列x∈A,黑方赢,否定白方赢。定名Game2(A)。

同样,用一些小技巧,我们可以知道,在决定性公理成立的情况下,所有的Game2(A)都是决定的。

关于这个游戏,有两个经典的结论。
Game2(A)中,白方有必胜策略,当且  仅当,A是可数或者有限集合。

Game2(A)中,黑方有必胜策略,当且仅当,A是包含一个完备集合。

于是,如果决定性公理成立,那么任何实数子集都有完备集性质。

如果,你对完备集合一些性质比较熟悉的话,会知道完备集合的是和实数集合等势的。于是,我们在决定性公理成立的情况下,得到一个比较弱的连续统假设成立:任何一个实数子集要么和实数等势,要么至多可数的势。

 


新游戏三:勒贝格测度与可测集合

 

这里,由于篇幅原因,我们不再具体介绍新游戏三了。新游戏三的大致思路就是,想办法把游戏移植到传统形态的实数上去,并把勒贝格测度结合起来。通过前面两个变种游戏,大家应该能相信,这样事情是能办到的了吧。

这里要说的重点是下面这个有意思结论。

如果决定性公理成立,所以实数子集都是勒贝格可测的。于是什么不可测的Vatali集,Banach分球怪论什么的,都不存在了。

 

结束

 

我们从一个传统的围棋游戏开始讲述,把围棋用数学转化成了一个大家只呼喊自然数的游戏,然后进一步让它“进化”成了一个无穷游戏。然后发现它居然能与实数的结构有着深刻的联系,难怪有集合论学家自嘲:

 

集合论学家就是一群不知道实数是什么的数学家。

 

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软科世界一流数学学科排名:普林斯顿世界第一、北大中国第一

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软科世界大学学术排名(ARWU)这个排名名字大家也许有些陌生。他实际上是以前的上海交大世界大学学术排名,始于2003年。2016年以前,每当这个排名公布,几乎所有的媒体都会指明这是上海交通大学发布的排名。但是,在2016年起,这个排名不再强调这个关系。


虽然是国内机构给予的排名,但是据说有一定分量。这里举两个例子台湾大学连续四年在这个排名下降,校方专门出面解释:“台大本身没有退步,只是其他学校进步太快。他们经费投入多!”。另外一个例子来自菲尔兹奖得主维拉尼的自传《一个定理的诞生》,自传中写道,作者去普林斯顿进行访问拜访了著名女数学家张圣容,向她询问是否因为普林斯顿大学的数学为在这个排名中保持第一而感到自豪——张圣容的回答就请大家在书中寻找吧。

同样,任何排名都会有争议。比如2015年的数学学科排名中,兰州大学中国内地第一,被广泛讨论。


2017年开始,学科排名单独发布。排名的计算按照论文总数(PUB)、论文标准化影响力(CNCI)、国际合作论文比例(IC)、顶尖期刊论文数(TOP)、教师获权威奖项数(AWARD)五大项指标评分后,加权综合得到的总评分由高到低排名。如果你真有兴趣,可参见http://www.zuihaodaxue.com/subject-ranking/ARWU-SUBJECT-Methodology-2017.html 。

 

数学学科方面,来自美英法三国的高校瓜分了前十的所有交椅。其中美国6所、英国和法国各2所。依照顺序依次是普林斯顿大学、纽约大学、巴黎第六大学、麻省理工学院、巴黎第十一大学、加州大学洛杉矶分校、剑桥大学、斯坦福大学、德克萨斯州大学奥斯汀分校、牛津大学。

 


在亚洲,因为并列的缘故,前10名中有12所高校。来自以色列的大学成为亚洲排名的主角(按地理划分,以色列的确属于亚洲国家),耶路撒冷希伯来大学以全球排名第11的成绩排在亚洲第一,第二是日本的东京大学,全球排名第20,第三是全球排名第28的沙特阿卜杜勒阿齐兹国王大学,中国最高的是北京大学,全球排名第36,亚洲第4。

 


中国共有73所高校进入榜单。然而仅有北大进入前50名,所以没有以并列的方式出现在排名里。全部排名如下:

 

 

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高考志愿填报:关于数学专业的三大误区

 

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高考结束了,大家马上会进入志愿填报。志愿填报中,专业选择是其中顶重要的一项,每年都有高考生因为对专业了解不足,填报了让自己后悔的专业,造成遗憾。说实话,我们哆嗒君这方面也帮不了什么忙,谨以此文,帮助大家少进点坑。

 

下面的三大误区,在数学专业内也许是常识,但是对于不了解的学生和家长来说,却可能是重要的信息。请帮哆嗒君转告给他们。


误区1  数学与应用数学专业离计算机很远

的确远,但是不如大多数人想象的那么远。这个专业虽然几乎所有的课程都是数学,但就专业而言数学与应用数学覆盖的范围很广。数学与应用数学,是联系数学与自然科学、工程技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学的重要桥梁。该专业在考研上有很大优势,一些非数学专业的研究生招生上,对数学专业有偏好。比如比较热门计算机、金融等专业的一些方向的教授更偏爱招收本科数学背景的学生,而非他们本专业的学生。而对于考试本身,对于考研要考数学的专业来说,数学统考是大多数人的噩梦,但不是数学专业学生的噩梦。另外,即便是大学毕业直接找工作,IT行业与金融行业这两个行业也是数学与应用数学专业就业的大户。

 

误区2  信息与计算科学专业离计算机很近

的确近,但是不如大多数人想象的那么近。大部分学校信息与计算科学专业开在数学学院或者理学院,它其实就是一门数学——计算数学,数学的一个分支。信息与计算科学是以信息领域为背景,将数学与信息、管理相结合的交叉学科,主要核心课程首先是数学专业的核心课程,然后才是该专业的特色课程,比如金融分析、软件设计方法等。信息与计算科学专业着眼于培养不仅数学功底扎实,而且掌握信息科学和计算科学的理论与方法的数学人才。这个专业在考研和就业有着前面数学与应用数学专业几乎相同的优势。IT行业与金融行业这两个行同样也是该专业就业的大户。


误区3  统计学专业是数学的分支

统计学专业要学很多数学,甚至数学可能会是一个人在该专业的学习瓶颈。我们从小学、中学开始,统计学的基础就是从数学课中习得的。但是统计学是一门和数学并列的独立学科,不是数学学科的分支。统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段,以达到推断所测对象的本质,甚至预测对象未来的一门综合性科学。从学位授予方面看,大部分统计学专业授予经济学学位,另外还有很多学校授予理学学位。这要看具体学校的设置,一般来说,如果统计学在经济学院下授予经济学学位,如果在数学学院或者理学院下授予理学学位。特别注意,部分学校,分别在经济学院和理学院都分别设有相同名称的统计学专业,但是授予的学位是不同的。

 

最后,我们哆嗒对高考志愿填报的建议是:无论你选择什么专业,无论理科、工科,甚至文科,无论你的专业培养方案中有没有数学课程,认真对待对数学的学习,你都会终生受益的。

 

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中国校友会网发布2017中国数学本科专业排名

 

近日,中国校友会网大学研究团队发布了2016中国大学本科专业排行榜。其中数学与应用数学专业的星级排名也同期发布。星级排名的最高星级为8星。榜单公布了5个星级的排名,分别是8星级、7星级、6星级、5星级、4星级。共有89所高校的数学与应用数学专业进入榜单。

 

数学与应用数学专业8星级大学共有三所大学,分别是北京大学(第1名)、复旦大学(并列第2名)、清华大学(并列第2名)。7星级大学也有三所大学,分别是中国科学技术大学(并列第4名)、南开大学(并列第4名)、山东大学(第6名)。另外6星级大学有6所,他们都并列第7名,分别为南京大学、浙江大学、四川大学、中南大学、陕西师范大学、北京师范大学。星级在6星级及以上的大学共有12所,他们包揽了数学与应用数学专业本科排名的前10名。

 

以下是89所大学的完全排名,注意,和往年排名一样,多校并列是校友会排名的特色。

 

谷歌:将语言翻译转化为向量空间中的数学问题


 

此文原载于麻省理工科技评论网站。

翻译作者:浪荡游侠,哆嗒数学网翻译组成员

 

 

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“语言翻译?简单,找到一个线性变换就行了。”——谷歌工程师

计算机科学正在颠覆着语言翻译。每个用过BabelFish或者谷歌翻译的人都知道它们能提供有用的翻译,尽管有时很蹩脚……

机器翻译的基本原理是:计算机对用两种语言表述的材料做词语比较,如果两个词有着相同的统计性质,我们便认为它们是等价的。其中一个很头疼的问题是初始的翻译依赖于语言学家所翻译的材料,而搞定这些材料是很费时费力的。

不过最近Tomas Mikolov所在的谷歌团队发明了一套不依赖于大量人工翻译的方法。它的机理是用数据挖掘为语言建模,然后比较两种语言模型之间的差别。他们说:“这种方法没有对语言做太多的假设。它的适用范围非常广,我们甚至可以用它来完善字典。”


Mikolov表示,他们假设每个语言形容的东西都是差不多的。比如每个语言都有一个对动物的总称,例如英文里“animal”是猫、狗、牛等动物的总称,还有他们在句中的用法也是差不多的,比如“猫是一种比狗小的动物 (Cat is an animal that is smaller than dog)”。数字也是一样,下图就是对数字在句中的用法所建立的模型(左:英语,右:西班牙语)。你看它们在英语和西班牙语里都是差不多的。

 

 

这个观察很重要。我们的新方法就是基于用词语之间的关系来表示整套语言系统。我们将所有可能的词语关系所构成的集合称作“语言空间”。你可以把它想象成一系列从一个词语指向另一个词语的向量。最近语言学家发现我们可以用数学的方法去研究这些向量,比如“国王-男性+女性”所得到的向量就和“女王”所表示的向量差不多。研究表明不同语言所对应的“语言空间”的结构其实是差不多的。翻译本质上就是一个“语言空间”到另一个“语言空间”的变换。

现在我们已经把语言翻译变成了一个数学问题。谷歌团队所要解决的就是把这个具体变换找出来。他们所采用的方法是先用少量语言学家所翻译的材料找到一个大致的映射。一旦这个大致的映射被勾勒出来,将它扩展到更大的语言空间上就非常简单了。Mikolov和他的同事们说:“这个方法很简单,但它非常有效:我们把英语与西班牙语之间的翻译精度提升到了90%”。值得一提的是这个方法还可以用来去改善字典,甚至去为字典纠错。比如谷歌团队就用这个方法在“英语-捷克语”字典中找到了很多错误。

最后Mikolov指出,这个方法仅仅对语言做了一些最基本的假设,所以它可以被用来鉴别暗语、方言等没什么关联的语言。事实上,尽管英语与西班牙语同属印欧语系,但是这个方法用在其它不同源的语言上效果也一样好,比如英语和越南语。Mikovol团队说:“这个方法的诞生是未来多语言交流的重要一步,但这仅仅是个开始。显然还有更多东西需要探索。”

 

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六一儿童节:看看这10个数学家的逆天童年

 

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什么人能过六一儿童节?不同人可能给出不同的答案。如果按我们中国相关法规的说法,未满14周岁的公民都会在当天放假一天。好吧,如果14岁是否还是“宝宝”的界限的话,那么本宝宝哆嗒君一起来和大家盘点10位数学家,他们的孩提时代都做了啥。

 

 

No. 10 祖冲之: 10岁豪言,不求升官发财,只求得知宇宙之奥秘

 

 

祖冲之是我国南北朝时期的数学家、天文学家。祖冲之的数学著作《缀术》记载了很多数学计算的方法,比如一些特殊的二次方程和三次方程根的计算。另外,祖冲之还将圆周率推算到了3.1415926到3.1415927之间,也是当时对圆周率计算精度最高的。

 

祖冲之的爷爷、爸爸都是当官的,祖冲之小时候被逼着学习四书五经就是必然的了。但是,小祖冲之并不擅长学习这些,经常因为无法背诵课文而被爸爸骂成蠢猪笨牛。最后还是祖冲之的爷爷出来说话:“算了算了,书念不好也许其他的能做好呢。别再难为孩子了。”

 

某个机会,祖冲之的爷爷发现祖冲之对天文学很感兴趣,于是给祖冲之找来很多关于天文学的书。看到小祖冲之读得津津有味,大家都很高兴。于是,祖孙三人就经常一起讨论天文知识。

 

10岁那年,家里带着祖冲之去天文学家何承天的家里。何承天见祖冲之对天文感兴趣,满心欢喜。爷爷见状,顺水推舟道:“你看你这么喜欢这孩子,就收了他当徒弟吧?”

 

何承天转过头来,对小祖冲之说道:“小盆友,研究天文历法非常苦逼呀,而且不能升官发财,你真愿意搞这个?”

 

10岁的祖冲之一本正经的正面回答:“升官发财算什么,我想知道的是宇宙的奥秘!”

 

传奇指数:★★★

逆天指数:★★★

 

No. 9 泊松:襁褓中就开始摇摆,于是成为研究摆的顶级专家

 

 

泊松是法国数学家。数学中留下了很多他的名字。泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流……

 

泊松的父亲是退役的军人。据说泊松小时候,泊松被母亲交给保姆看管。保姆觉得泊松体格太差,保姆忙不过来的时候,就把泊松放在一个摇篮式的布袋里,并将布袋挂在棚顶的钉子上。于是,在布袋里扑腾的泊松就被吊着他摆来摆去。保姆认为,这能锻炼身体。

 

泊松后来说,我在很小的时候就开始为研究摆准备了,嗯,就是那个时候。泊松对摆的研究情有独钟,一直到晚年都没有改变兴趣。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★

 

 

No. 8 柯西:拉格朗日对他爹说,数学可以先缓缓,因为他逆天是必然

 

 

柯西是法国数学家、物理学家、天文学家。我们从中学开始熟悉的柯西不等式就是他发现的。实际上,柯西在数学上有很多贡献,包括对极限理论的严格化工作。

 

柯西的父亲当过参议院秘书长,因为工作关系,他的父亲经常带着10岁左右的小柯西一起出入法国参议院。于是,小柯西有机会直接接触到同样是政府官员的顶级数学家拉普拉斯和拉格朗日。

 

两位数学家和柯西经常聊数学,柯西的数学天赋让他们非常赞赏,认为柯西以后必成大器。但是,拉格朗日觉得柯西身体单薄,怕过早接触数学会吃不消,于是建议他爹,17岁之前别让柯西碰数学,而只学文学——反正柯西未来数学都是逆天的存在,这样数学家还能多一位文学厉害的人物。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★☆

 

 

No. 7 张衡:从小就开始数星星 ,能数到1000+

 

 

张衡是中国东汉时期伟大的天数学家、文学家、发明家、地理学家、文学家。与司马相如、扬雄、班固并称汉赋四大家。数学著作有《算罔论》,但已经失传。而后面的《九章算术》中提到了张衡计算的圆周率为10的开方,约为3.16,这是中国第一个用理论计算圆周率的记录。

 

张衡出生于一个名门望族家庭,他的爷爷曾经用几千士兵战胜匈奴的上万骑兵,立下大功。还担当了平定四川的任务,平定四川后当过四川地区的一把手而没有任何腐败记录。所以张衡一直以爷爷为榜样。

 

那个时候,数学的发展和天文学密不可分。而幼年的张衡对天空中的星星非常感兴趣。课文《数星星的孩子》就是说的张衡的故事。从各方面来看,张衡数星星的事极有可能发生在他10岁之前,而张衡已经在那时已经能识数到1000以上(东汉呀,识数的人就没几个吧)。而且,望着天上漫天星斗,眼不花的从1数到1000以后,是一件极需要耐心的事情。作为一个小男孩子,是多么的不容易。

 

张衡后来还发展的浑天说理论,改进了浑天仪,使得对天体运行的测算更加精确。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★★

 

 

No. 6 图灵:3岁做实验,8岁写著作

 

 

图灵,英国数学家、逻辑学家,被称为计算机科学之父,人工智能之父。二战的时候,帮助盟军破译德国密码,为反法西斯的胜利提供了一臂之力。

 

图灵的爷爷虽然获得过剑桥大学的数学荣誉学位,但其实数学能力一般。应该说图灵的家里人对图灵在数学上的成长帮助不大。

 

图灵少年时就表现出独特的直觉创造能力和对数学的爱好。3岁的时候,图灵自己做了一次科学实验——把一个玩具木头人的胳膊、腿掰下来栽到花园里,试图种出更多的木头人。8岁时图灵开始尝试写一部科学著作,题目为《关于一种显微镜》。虽然书上有很多语言上的错误,但总体来说还是有模有样的作品。那个时候,当其他孩子踢球的时候,图灵却喜欢不上场,在场外计算皮球飞出界外的角度。

 

传奇指数:★★★★

逆天指数:★★★★

 

No. 5 高斯:老师说,这孩子太牛,我教不了

 

 

高斯是德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯是近代数学的奠基人之一,有“数学王子”之称。

 

高斯出生于一个普通家庭,他的爸爸做过包工头。母亲没有上过学,在嫁给高斯爸爸之前做女佣工作。

 

有一说是这样的,高斯对计算天生敏感,3岁帮爸爸看账本,并指出了账本上的错误……

 

大家可能知道的更多的故事是关于等差数列求和的。10岁那年,高斯的小学老师彪特耐尔让他班里的所有学生计算1 + 2 + 3… + 100的结果。小高斯很快的算出了正确的结果:用1和100组合成101,2和99组合成101,….这样能组合成50个101,得到5050。这是彪特耐尔没交过的办法。要知道那个年代,等差数列的求和是大学才学习的知识,而小高斯看上去有能力掌握这个数学技能。于是,下课后彪特耐尔向校长汇报:“对于高斯,我已经没什么可教的了。”

 

后来,彪特耐尔为了不埋没高斯的数学天赋,经常托人去大城市汉堡买更先进的数学书给高斯看,还让自己的助理对这个普通家庭的孩子多加照顾。

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★

 

 

No. 4 维纳:9岁上中学,12岁中学毕业

 

 

维纳是美国应用数学家,控制论的创始人,也是随机过程理论的先驱。

 

维纳6岁时,严重怀疑乘法交换律的正确性。他曾经画了一个矩形,然后旋转90度后,确定长和宽对调后,矩形的面积没变。要知道,对乘法交换律的考虑,也是现代代数学的开端之一。

 

维纳由于太过于聪明,被称为神童,以至于无法进入正常的学校学习。9岁作为有特殊才能的学生进入中学学习,12岁就从这个学校毕业了。

 

传奇指数:★★★★

逆天指数:★★★★☆

 

 

No. 3 帕斯卡:12岁自己推出欧几里德的几何定理,13岁发现“帕斯卡三角形”

 

 

帕斯卡,法国数学家、物理学家、哲学家、文学家。数学上发现了帕斯卡三角形,对概率论也有极大的贡献。提出著名的“帕斯卡赌局”,劝导人们应该相信上帝的存在。

 

帕斯卡出生于一个法国的贵族家庭。在帕斯卡8、9岁的时候,帕斯卡和他父亲一起来到巴黎。于是,小帕斯卡有了和但是最顶级数学家——诸如笛卡尔、梅森——接触的机会。虽然,帕斯卡小时候没有去接受正统的学校教育,而是在家里由他的父亲和其他亲戚叫他念书。帕斯卡的父亲也是一个数学家,但是家里人觉得学好拉丁文才是正统,于是父亲想方设法的让他少看数学,多学语言。

 

12岁那年,他父亲惊讶的发现,偷偷学习数学的帕斯卡几乎自己独立的发现了欧几里得的全部几何定理。于是决定,还是教授小帕斯卡数学吧。

 

13岁,帕斯卡发现了著名的帕斯卡三角形(中国叫杨辉三角)。

 

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★☆

 

 

No. 2 陶泽轩:8岁上中学,12岁IMO金牌

 

 

陶哲轩是澳大利亚的华裔数学家,2006年菲尔兹奖得主。兴趣广泛,对调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论等领域都要重要贡献,被誉为“数学界莫扎特”。

 

陶哲轩的爸爸妈妈都是在香港大学毕业的。母亲还是数学和物理专业的高材生。

 

陶哲轩实在太聪明了,很长时间找不到合适的学校。于是,陶哲轩的妈妈承担了在家里为小陶哲轩做启蒙教育的任务。

 

于是陶哲轩7岁自学微积分,8岁半上中学,10岁参加国际奥林匹克数学竞赛(IMO)并得到奖牌。第三次参加IMO时获得金牌,当时陶哲轩12岁。迄今为止,这依旧是IMO金牌得主的最年轻记录。

 

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★★

 

 

No. 1 欧拉: 9岁自学《代数学》,13岁上大学

 

 

欧拉是最伟大的数学家之一,分析、代数、几何都要欧拉伟大的贡献。欧拉还是最多产的数学家之一,共写下了886本书籍和论文。

 

欧拉出生在一个牧师家庭。很小的时候,就利用“周长相等四边形正方形面积最大”帮助他的父亲改造羊圈。让老爹见识了欧拉的数学天赋。

 

9岁时,欧拉就在阅读德国数学家鲁道尔夫的《代数学》。这个书他学校的老师都不一定能看懂。他的数学老师数学家伯克哈特知道小欧拉看《代数学》后,直呼天才。

 

13岁,欧拉考进巴塞尔大学,当时举世轰动。

 

传奇指数:★★★★★

逆天指数:★★★★★

 

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在数学里是不会上当受骗的

 

原文作者:  Siobhan Roberts

认领人: mathyrl

校对人: 333

 

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对于Sylvia Serfaty而言,数学是关于真理和美,关于建立科学与人文之间联系的学问。

 

几年前,一位即将毕业的博士生向Sylvia Serfaty寻问了一些关于纯数学无用的存在主义问题。新近获得著名的庞加莱奖(Henri Poincaré Prize)的Serfaty,只是以诚实和令人愉快的方式说服了他。纽约大学柯朗数学科学研究所的研究员Thomas Leblé表示:“她非常热情,善解人意和有人情味。“她让我觉得数学即使有时似乎显得有些徒劳,至少它会很友好。智慧和人类的冒险是值得的。”对于Serfaty,数学是关于建立科学与人文之间联系的学问。但是,Leblé回忆说,Serfaty还强调,数学家必须在“编织自己的地毯”中找到满足感,并指出,首先需要耐心和孤独的工作。

 

 

Serfaty在巴黎出生和长大,读高中时首次被数学所吸引。最终,她倾向于物理问题,构建数学工具来预测物理系统应该发生什么。在20世纪90年代后期的博士研究中,她专注于金兹堡-朗道方程(Ginzburg-Landau equations),该方程描述了超导体及像旋风般旋转的涡旋。她所处理的问题是确定这些涡旋在何时、何地以及如何出现在静态(与时间无关)基态。在十多年的时间里,她与巴黎东区大学(University of Paris-Est)的Étienne Sandier一起解决了这个问题,并与之合著了《在磁性金兹堡-朗道模型中的涡旋》一书。

 

 

在1998年,Serfaty发现了一个非常吸引人的关于这些涡旋如何随时间演变的难题。她认定这就是她真正想要解决的问题。经过初步考虑,她被卡住,然后放弃了它,但是她不时地回到这个问题。多年来,她与合作者一起建立了一些工具,希望可以最终为期望的目标提供途径。经过了将近18年,在2015年,她终于想到了正确的视角,并找到了解决方案。

 

 

 “首先,从一个‘某些东西应该为真’的愿景开始,” Serfaty说,“我认为我们大脑中有‘软件’,可以这样说,让我们可以对一个命题的品质以及真实性给出一个判断。”

 

而且,她指出,“你不会被忽悠,也不会上当受骗。一个事情是否真实,有这个明确的概念作为依据。

 

 

2004年,28岁时,她因金兹堡-朗道模型的分析工作而获得了欧洲数学学会奖;接着是2012年的庞加莱奖。这位两个孩子的母亲,能演奏钢琴,热爱骑自行车,去年9月,她作为全职研究员回到了科朗研究所(Courant Institute),自2001年以来她一直在此担任过多个职务。在数学系的大约60名全职教职员工中只有五名女性,她是其中之一,她认为这个比例不可能在短期内获得平衡。

 

在1月份,《量子杂志》(Quanta Magazine)在科朗研究所与Serfaty交谈。以下是对话的编辑精简版本。

 

量子杂志:你在什么时候找到了数学?

 

SYLVIA SERFATY: 在高中时,有一个小插曲让我觉得数学会是我的菜:我们有一些作业是需要在家里解决的小问题,其中一个似乎很难。我一直在想啊想,徘徊着试图寻找解决方案。最后我想出了一个意料之外的解法 —— 比起问题要求更为普遍,使之更抽象。所以当老师给出解法的时候,我提出了我的解法,每个人都很惊讶,包括老师自己。

 

 

我很高兴我找到了一个创造性的解法。那时我还是一个少年,有点理想主义。我想要做出创造性的影响,搞研究似乎是一个美妙的职业。我知道我不是一个艺术家。我的爸爸是建筑师,在严格的意义上他是一个真正的艺术家。我总是把自己与这个形象进行比较:那个人有才能和天赋。这在建立自我认知,对自己所能做的和我想要实现的想法方面发挥了重要作用。

 

 

所以你不认为自己有天赋——应该不是一个天才吧。

我的确不是天才,而且我认为这些小天才和神童的形象对这个行业会造成危害。这些关于科学家的好莱坞电影也可能会起反作用。他们告诉孩子,有一些天才在那里做真正酷的东西,孩子们可能会想,“哦,这跟我没什么关系”。也许5%的职业符合这种刻板印象,但其余95%并不是这样的。你不必先成为那5%的人,才能去做有趣的数学。

 

 

对我来说,我的小小梦想需要足够的信心和信念。我的父母告诉我,“你可以做任何事情,你应该去追寻它” —— 我的母亲是老师,她总是告诉我,我在我的小伙伴们当中名列前茅,如果我不成功,谁会呢?我的第一位大学数学老师发挥了很大的作用,他真正相信我的潜力,然后当我做研究的时候,我的直觉证实我真的很喜欢数学 —— 我喜欢它的美丽,我喜欢它的挑战。

 

所以,如果你想成为一名数学家,你必须对挫败感应对自如吗

 

做研究就是这样。你会享受解决问题的乐趣如果你难以解决它。乐趣就在于与一个问题进行斗争。这与徒步旅行相似:你向山上爬,这很艰苦,你出了很多汗,但当一天结束时,奖励就是那美丽的景色。解决一个数学问题有点像这样,但是你并不总是知道路在哪里,以及到达山顶的距离。你必须能够接受挫折,失败,和自己的局限。当然,你必须要足够优秀;这是最低要求。但是,如果你有足够的能力,那么你培养它,并以它为基础,正如一位音乐家需要演奏音阶和练习才能达到顶级水平。

 

你如何解决问题?

 

在我开始攻读博士学位时,我获得了来自Tristan Rivière(我的导师Fabrice Béthuel以前的学生)的建议,他告诉我:人们往往认为数学研究是关于那些大想法的,但不是的,你必须从简单的、愚蠢的计算开始——再次像个学生那样,自己重头做这一切。我发现这是真的。很多好的研究实际上是从简单的东西、初等的事实、基本的砖块开始,你可以在这基础上建起一座大教堂。数学的进展来自于对你所遇到的问题的典型案例、最简单实例的理解。通常这是一些容易的计算;只是没有人想到应当用这种方式来看。

 

 

这个观点是你培养出来的,还是自然而然出现的?

 

这就是我所知道的。我告诉自己,总是有很多聪明的人已经思考这些问题,做出了非常漂亮和精致的理论,当然我也不能总是在这个方面和他们进行竞争。但让我试着从头开始重新考虑这个问题,以我自己的那一点基本的了解和知识,看看我能走到哪里。当然,我已经建立了足够的经验和直觉,我只是假装自己什么都不懂。最后,我认为很多数学家以这种方式进行,但也许他们不想承认,因为他们不想被看成头脑简单。老实说,这个职业有很多的自负。

 

 

自负对数学抱负是有还是阻碍?

 

我们进行数学研究,是因为我们喜欢这些问题,而且我们喜欢寻找解决方案,但我认为也许有一半是因为我们想要惊世骇俗。如果你在一个荒无人烟的孤岛上,没有人欣赏你漂亮的证明,你还会做数学吗?我们证明定理,是因为有听众来进行交流。大多数的动机还是,在下次会议上介绍你的工作,看看同事的想法。然后,人们对此表示赞赏,并提供积极的反馈意见,就带来了很大的满足感。然后你可能得奖,如果是这样,也许你会得到更多的奖,因为你已经得奖。你会在很好地期刊上发表论文,你会跟踪你发表的论文数量以及MathSciNet上有多少引用量,而且你不可避免地会习惯于将自己与你的朋友进行比较。你经常被你的同行评判。

 

 

这是一个促进科学家不断工作的系统。因为他们希望保持排名,所以这就推动了他们发表论文和努力工作。但这也带来了很多自负。在某些时候我认为这太多了。我们需要更加注重真正的科学进步,而不是外在的财富。我可以肯定这个方面对女性不是很友好。还有书呆子的刻板印象 —— 我不认为自己是一个书呆子。我不认同那种文化。我不认为是因为我是一个数学家就必须得成为一个书呆子。

 

 

更多的女性进入这个领域会有助于平衡这种印象吗?

 

对于这个领域的女性来说,我并不乐观。我不认为这是一个自然会解决的问题。过去20年的数字并没有很大的改善,有时甚至会下降。

 

问题是:你能说服男人,如果周围有更多的女性科学家,科学和数学真的会更好吗?我不确定他们能否被说服。会更好吗?为什么?会使他们的生活更好吗?会使数学更好吗?我倾向于认为会更好。

 

 

以什么方式?

拥有多样化的心态很好。两位不同的数学家以两种略微不同的方式思考,女性倾向于略有不同的思考。数学不是大家盯着一个问题然后试图解决这个问题。我们甚至不知道问题在哪里。有些人决定要在这里探索,有些人在那里探索。这就是为什么你需要有不同观点的人,想到不同的观点,找到不同的道路。

 

 

在你自己过去二十年的工作中,你专注于数学物理学的一个领域,但这导致了你进入多个不同的方向。

随着你的数学成熟度的逐渐加深,观察到冥冥之中一切是如何连接起来,这真的很美。有这么多东西彼此联结着,同时你也不断在自己的头脑中构建新的连接。等有了经验,你会发展出对你自己而言独一无二的观点 —— 当然也会有其他人从别的角度到达你所发现的这个地方。这是富有成效的,这就是你可以解决某些问题而比你更聪明的人不能解决的原因,因为他们缺少必要的视角。

 

你的方法意外地打开了其他领域的门 —— 这是怎么发生的呢?

我从一开始就有一个重要的问题是了解涡旋的模式。物理学家从实验中知道涡旋形成三角形晶格,称为Abrikosov晶格,因此问题是要找出它们形成这些模式的原因。我们还未能完整回答,但我们已经取得进展。 2012年我们发表的一篇文章,首次严谨地将结晶问题与金兹堡-朗道涡旋问题联系起来。事实证明,这个问题在数论和统计力学以及随机矩阵等其他数学领域也出现了。

 

我们证明的是,超导体中的涡旋表现为与所谓的库仑相互作用的粒子相似 —— 基本上,涡旋像电荷一样作用,并互相排斥。你可以将粒子看作互相不喜欢而被迫呆在同一个房间的人 —— 他们应该站在哪里,以尽量减少相互间的厌恶?

 

跨越到一个新的领域是否困难?

这是一个挑战,因为我不得不学习一个新领域的基础知识,在这个领域没人认识我。最开始会有一些对我们结果的怀疑。但是,作为新来者,我们可以发展一些新的观点,因为我们没有任何先入为主的观念 —— 无知在这种情况下是有帮助的。

 

一些数学家,他们的工作往往以一些自己明确知道该怎么做的问题入手,然后他们将问题变形推广,就像周边产品:你制作电影,然后你卖T恤,然后你卖的杯子。我认为一种可以区分优秀数学家的方法是,他们不断前进并开拓新的领域。

 

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520:向你心中的数学家表白吧!

分析学家:所有的判别法都无法检验我对你的感情,对你的爱永不收敛!

 

 

双曲几何学家: 直线有无数条平行线, 但你没有。无论我奔向哪里,都将与你相遇!

 

 

 

拓扑学家:无论生命历经何等沧桑,只需要通过一个微分同胚,你就能看见,我对你的心万年不变!

 

 

统计学家:与你一瞬间的偎依,就足以拒绝零假设!

 

图论学家: 我的心就是一个引出1000条弧的节点,每条弧都指向着你!

 

组合学家: 你问我爱你有多深?选择组合代表我的心!

 

概率论学家: 说“百万里挑一”完全不能表达你在我心中的地位,你是零概率事件!

 

运筹学家: 我终止所有搜索算法的运行,因我已经找到了全局最优解——就是你!

 

逻辑学家: 我对你的爱,不单单是必须的,更加是充分且必要的!

 

数论学家: 我和你之和一定是一个质数,因我我们一旦在一起,就永远不会再分解了!

 

 

惊!歌德巴赫、孪生素数猜想还可以这样玩

 

作者: Math001,哆嗒数学网网主

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com。

 

 

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这篇文章把约数、素数、孪生素数猜想、歌德巴赫猜想用一种“可视化”的办法,把它们“变”成了一个可以看见的填字涂色游戏。而这种转化为“变戏法”的过程所涉及的知识,只涉及初等数论的知识,如果有兴趣的读者不嫌麻烦,可以耐心地把其中的转化过程一一验证,如果没时间验证也没关系,可以暂且相信我们哆嗒数学网的小编,跳过一些繁琐的证明过程,一起领略另外一种“数形结合”的奇妙。

 

首先声明,我们的目的是把一些数论问题变得“好玩”、“好看”。即便把这些问题变成了小游戏,问题的难度可能依然没有得到任何程度的降低(有可能变得更难)。如果你觉得真的变好玩了,不妨让更多的人看到这些玩法并一起玩,这会是件非常有趣的事情。

 

 

  • 起航:做一张巨大的正整数表格

 

我们按下面的步骤,来做一张表格:

 

第1行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3、……

 

第2行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔1个空格。

 

第3行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔2个空格。

 

……

 

第i行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔i-1个空格。

 

……

 

理论上,这是一个有无穷行和无穷列且大部分地方都是空格的大表格(无穷矩阵),不过我们可以截取它的一部分来说明一些问题。

 

据说,几百年前的欧拉已经用过这样表格研究数学问题了。如果真是这样,欧拉真是一位十分有耐心的数学家。用“人肉”绘图的方式,哪怕只有几百行几百列,也是一件耗时耗力的工作。因为一会儿我们要在这个表格上做一种类似“跳格子”游戏的操作,我们把这个表就叫做“跳格子表”吧。不过现在有了计算机,我们可以轻易的做到这样的事情。下面是我们哆嗒君用Excel软件做的17行50列的表格(点击图片放大观看):

 

 

我们稍微地归纳一下这个表格的填字规律,第i行第j列,即位置( i , j )的“填字”N( i , j )将是

 

 

事实: 位置( i , j )的填字不是空格的充要条件是,j-1 是 i 的倍数,即i是j-1的约数。

 

 

  • 约数与质数“重定义”

 

我们知道,对于两个正整数来说,如果a是b的倍数,b就是a的约数。如果一个大于1正整数的约数只有1和它本身,我们就说这个数是素数,也叫质数。

 

然而,我们这里既然做了表格,目的就是要重新利用表格上语言来说,到底什么是约数。

 

观察下面表格的红色路径,它们都是从第1行的某个数字开始,向左下方一路斜着拉了条斜线拉到最左侧的那一列的1。比如我们图中的6, 11, 18。从6拉的路径里,除了空格,经过的数字有6,3,2,1,而从18开始的,经过的有18,9,6,3,2,1。 恩,你发现了吗,经过的数字,正好是起始数字的约数。于是,我们说,在这样的表格里,约数可以这样表述:

 

约数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”的路径中经过的数字。

 

 

对于观察到的这个结果,我们给出一个简单的证明。我们来看,从(1,n)出发所经过的格子( 1+i , n-i ) , i = 0,1,2,3,…,n-1。根据前面的事实1,N( 1+i , n-i ) 是一个数字,当且仅当 n-i-1 = n-(1+i) 是 1+i的倍数,就是说n是1+i的倍数。而当n是1+i的倍数时,格子中的数字是N( 1+i , n-i ) = 1 + (n-i-1)/(1+i) = n/(1+i) 。这个是一个正整数且是n的约数。而i从0到n-1遍历的时候,1+i遍历了n所有可能的约数,而且每个约数恰好出现一次。

 

有了这个结果,我们还可以“重新定义”素数:

 

素数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”路径中,除了路径的起点与终点,经过的全是空格。

 

上面图中的11便是其中的一个例子。

 

 

  • 孪生素数猜想的玩法

 

如果两个(奇)素数之差是2,我们就说这两个素数是一对孪生素数。比如3和5、11和13,、17和19等等。直到2016年9月,发现的已知的最大的一对孪生素数是下面两个数,展开后,这两个数都有388342位,这里一定是写不下了的。

 

 

孪生素数猜想是说,有无穷多对孪生素数。那么在我们的表格中会怎么表述这个猜想呢?

 

我们从第一排的某个数字出发(即(1,n)位置出发),如果往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,一路空格走到1,那么这个n以及n-2都是素数。下图中的13就是这个情况。

 

 

证明这个的思路,也和前面一样,是一些简单的倍数、约数验证。从(1,n)位置向右下斜走n-3格,踩中的位置为N(1+n-3,n+n-3) = N(n-2,2n-3) = 1 + (2n -3 -1)/(n-2) = 3 。就是说从任何(1,n)出发,n-3格的时候踩中3是必然的 。 另外,因为是一路空格踩过来,所以 i = 1,2,...,n-4的时候,N(1+i,n+i)都是空格,也就是说n+i-1= (n-2) + (1+i)不是1+i的倍数,即n-2不是1+i的倍数。就是说2,3,...,n-3,都不是n-2的约数,从而n-2是素数。而n本身是素数是从(1,n)出发的左下斜线路径决定的。

 

于是我们有了,孪生素数猜想的“跳格子”表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,踩过一路空格走到1。

 

 

  • 还没玩够,马跳模式下的孪生素数猜想猜想

 

你下过中国象棋、国际象棋吗?如果下过,就会知道象棋中马的走法。俗话说“马走日”,意思马会形状如“日”字的一个角跳到对角线上的另外一个角。当然如果你不知道象棋而知道围棋,那么围棋中“小飞”的走下法和“马走日”的走法差不多都是我要表达的意思。

 

马跳可以横着跳,也可以竖着跳。横着跳的相当于跳了一个平躺的“日”的对角线,而竖着跳就是一个站立“日”。

 

下面我直接给出两个结论,然后简单的验证了其中一个。另外一个读者可以自己验证,都是简单的约数验证。

 

2n-1是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往左下竖马跳,踩过一路空格,踩到1

 

2n-3是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往右下竖马跳,踩过一路空格,踩到2。

 

当从(1,n)位置出发的时候,往左下竖马跳n-1步后踩到1是非常容易判定的。  由于一路踩过的都是空格,所以(1+2i, n-i )位置在1< i <n-1上都是空格,就是说n-i-1 不都不会是1+2i的倍数。因为1+2i是奇数,所以相当于是说 2(n - i - 1) = (2n-1)-(1+2i) 也不是1+2i的倍数,即2n-1不是不会是1+2i的倍数。这时1< 1+2i <2n-1 ,就是说奇数2n-1没有奇素因子。2n-1为素数。

 

2n-3的素数条件验证是相似的。

 

下图从10出发的两个方向的马跳,说明了19、17是一对孪生素数。

 

 

于是,我们有了第二种表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”第二表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往左下一路马跳,踩过一路空格后,踩到1,而从往右下一路马跳,踩过一路空格后,踩到2。

 

 

  • 说好的歌德巴赫猜想呢?

 

这一部分,我们就会来实现这个猜想。玩之前我们会介绍一种“跳格子表”上的新走法——k级马跳,以及我们会换一个更大的棋盘来玩。

 

前面介绍的马跳的位置,其实是向横(竖)着移动一格,然后朝另外一个方向竖(横)着移动2格所得到的位置。如果我们把第二次的2格换成其他数字k,然后将这个新的走法称为k级马跳。

 

那么,前面的走法就成了k级马跳的特例。最早棋盘上的斜着走,就是1级马跳,而上一部分的默认马跳其实是2级马跳。

 

另外还有一种特殊情况,0级马跳,横着的0级马跳竖着直走,竖着的0级马跳是横着直走。

 

为了玩得开心,我们引入0和负数,把之前的表格向左边无限扩展,得到下面样子的表格。我们省略负号,把0和负数涂上绿色。这个表格是之前的升级版,我们叫做“跳格子表2”。

 

 

 

 

“跳格子表2”保留所有之前未升级版本表格的性质,比如N(i,j)的值,我们可以计算N(2,-1)=1+ (-1-1)/2 = 0, N(8,-63) = 1+ (-63-1)/8 = -7 , 以及 N(3, -6) = 空格。 因为-6-1 = -7 不是3的倍数。

 

现在我们的准备工作完毕,开始要说歌德巴赫猜想的玩法了。

 

歌德巴赫猜想是说,每个不小于6的偶数可以写成两个奇素数之和。

 

我们说一个不小于6的偶数2n,如果存在一个非负整数k,使得从第一行的n+1位置出发,向往右边一路横着进行k级马跳,踩过一路空格,最后踩到k+2,往左边一路进行k级马跳踩过一路空格,最后踩到2-k。 那么2n能写成两个素数的和。

 

我们来看看为什么。

 

从(1,n+1)往右横着k级马跳,跳n-k-1步踩到的点的值N(1+(n-k-1),n+1+k(n-k-1)) = N(n-k,1+(1+k)(n-k)) = 1 + (1+(1+k)(n-k)-1)/(n-k) = k+2 ,就是说n-k-1步后必然踩到k+2,  由于是一路空格踩过来,说明当1≤i≤n-k-2 的时候, 1+i都不是n-k的约数。即2,3,4,...,n-k-1 都不是n-k的约数。于是n-k是素数。

 

利用相同的办法可以验证,n+k也是素数。只需要验证向左边移动n+k-1步的情况。

 

相反,如果一个不小于6的偶数2n = p + q,其中p≤q是奇素数。那么我们令k = n-p = q-n。那么这个k对应的k级马跳就是符合游戏设定k级马跳。

 

那么这个时候,我们可以表述歌德巴赫猜想了。

 

歌德巴赫猜想的“跳格子2”表述: 对每个不小于4的正整数n,存在一个非负整数k,使得从“跳格子表2”中第一排的n位置出发,往右横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到k+2,而往左横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到2-k。

 

下面的例子是对从16可写成两素数之和的验证。这个时候n=8,n+1 = 9, 所以从第一行的9开始跳,k的取值是3,所有最终右边跳到k+2=5,左边跳到2-k = -1 ,于是n+k = 8+3 = 11, n-k = 8-3 = 5, 16 = 11 + 5 ,16写成了5和11两个素数和。

 

注意,k=0 的特殊情况是这样的: 从n+1一直直线往下走,踩过一路空格踩到2。比如上面图从4出发向下走的黄色部分,说明了6满足哥德巴赫猜想。

 

 

 

 

  • 谁发现(发明)的这个游戏?

 

好的,我们把孪生素数猜想和歌德巴赫猜想都在一个有趣的表格上重新实现了。那么这个游戏是谁发明的呢。

 

发明这个游戏的人叫Cloitre,是一位法国的数学的业余爱好者。他把他的这个发现写成的论文,可以在http://www.les-mathematiques.net/articles/Chemins.pdf 看到。我们哆嗒君把他的玩法优化,并处理完几个小错误之后呈现给了大家。这个游戏不是他在数学上唯一的发现。Cloitre的很多发现并不逊色于在大学任教的数学专业人士,。比如2004年,他发现了ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + ... 的一个极其简单,但之前无人发现的公式,这个公式被收录在WolframMathWorld的词条中。

 

 

一些专业的数学教授也乐意和Cloitre合作,Cloitre也乐于在网上分享他的数学上点点滴滴。著名数列百科网站OEIS有Cloitre的4000多条贡献,一些数列中隐含的问题也激发了一些专业人士的研究兴趣。

 

所以,业余人士做的数学,也会被人叫好,也是会被人们承认的。这个时候,专业人士也不会叫你“民科”,当然——前提是你的研究是对的。   

 

 

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英国专家:中国数学教学体系能促进社会阶层流动

 

原文作者:Harry Low,BBC记者。

翻译作者:胡杨,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华南理工大学

校对:mathyrl

 
 

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中国上海在2009年和2012年参加了三年一度的针对15岁学生学术能力的国际学生评估项目测试(PISA测试),结果是上海学生的数学能力在国际上排名第一,德国,英国,美国,甚至连新加坡,日本都排在后面,这里的奥秘是怎样的呢?

 


上海小学教师的教课生涯和世界其他国家老师是不一样的,有一点就是,每一个老师专攻一定的科目,如果你教数学的老师那你就只教数学。


这些专业的教师需要连续5年接受专业的培训,这个培训针对固定年龄层的学生,在这5年中,教师可以更好的了解自己所从事的科目和学生的学习情况。


在取得教师资格后,小学教师一般每天上两节课,他们每天剩余的工作时间就是辅导那些需要额外学习帮助的同学以及和同事讨论教学方法。


“如果你把这些专业的老师和现在的英国小学教师比较的话,那些英国小学教师可能只接受过5天职前教师培训”,伦敦Ashburnha社区学校的校长BenMcMullen说到。


“他们可能会在培训生涯的第一年第二年接受后续的培训,通过在职培训和员工会议等等,但这样只接受几天教育培训的人和那些接受了特定科目训练5年的专业教师没有可比性”。


在中学也有相似的故事,老师花少量的时间和学生们在教室里上课,而更多的时间会花在课程计划制定和课程优化方案上。


还有其他的一些不同:上学时间更长,从早上7点到下午4、5点。班级人数也更多,课程时间也更短,每一课只有35分钟,每一课中间有15分钟的自由活动时间。


不会按照学生的能力把学生分成小组,每个学生都必须在老师讲解下一部分时搞明白刚才讲的东西。每年被教育部门派遣来到上海参观学习的英国教师McMullen说在学校早期的基础算数教育比英国的教的更慢。

 

“他们看到了我们的课程,被我们的教学内容吓到了”,他说。“他们直到四五年级才会教学生分数,因为他们觉得那时候学生已经熟练掌握乘法和除法,这本质上就是一个‘掌握学习’的教学模式:每次的教学内容少一点,取得逐步的小进步,通过不断的复习直到学生都明白掌握了,确保全班整体进步”。


中国大陆其他城市学生的数学水平可能和上海学生不同,2015年的国际学生评估项目测试显示,上海、北京、江苏、广东联合排名第五,落后于新加坡、日本、台湾和香港。


也有人提出上海前几年的测试结果被四分之一的城市学生影响。然而PISA测试项目组坚持说他们的结果说明上海农民工的孩子比西方国家专业人士的孩子要厉害。

这是此体系吸引人的一个关键点,它让贫穷的孩子认识到他们自己的潜力,增加社会阶层转变的社会流动性。但是伦敦大学学院的Henrietta Moore认为此体系也有不足之处。

 


她说:“这个的初衷是,努力就会带来回报,所以这么做的功利性就很强,由此来带来了孩子们创造力不足的问题,现在中国的数学老师们最热衷于找到解决此问题的办法,而解决这些问题需要社会空间和所处的环境综合作用。”


“我们英国实际上做得更好,他们也在尝试发展和向我们学习”。


另一个对这个体系的批判就是父母逼迫孩子学习。大约有80%的学生参加校外补课。


Moore说:“家长对教育兴趣带来的一个问题是家长变得争强好胜——家长之间的攀比他们的孩子还要明显,所以他们想让自己的孩子参加所有的这些课外辅导班”。


所以别的国家可以借鉴这套体系吗?


“我同意教学数学的老师们都需要深入了解数学概念的建构和对孩子们如何学习的深刻理解”,Anne Watson说,她是牛津大学的数学荣誉退休教师。“我也同意对每个学生拥有高期待值的想法”。


互联网公司老板Martha Lane-Fox也是这个体系的支持者。


“有两个吸引我的地方”,她说,“那种认为人人都有可能成为数学高手的观念比英国社会的观念要强烈,我也很喜欢对细节的关注,我对渐进学习法和让事物进行微小的进步的观念很感兴趣”。


“这套体系的基本面是正确的,当一想到人人都可以放飞数学天性,我就心潮澎湃。”


McMullen的小学已经向上海的学校借鉴了一些观点。


学生不按成绩分方向分开上课,学生们自由交流互动,课堂上有一种“不一样的氛围”。


McMullen说:“年轻的学生们在学校能够学到令人难以置信的扎实数学基础、熟练的计算技能和清晰的概念”。

对于老师来说,还有一个很大的好处,他说,就是不用再划那么多重点了。

 

 

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女神艾米的美妙数学

 

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连接了对称性和理论物理学的诺特定理,是我所了解过的最美丽和优雅的概念之一。然而最出乎我意料的是,诺特居然是一个名为艾米的女子。尽管我一向相信女性和男性一样,拥有做到任何事情的能力,但是,当我刚接触这件数学中的美妙艺术品的时候,我相信这无疑是由一位男数学家得到的;至于它的发现者实则是一位女性,则从来没有想到过。当然,那时我知道玛丽·居里,一位女科学家,她的盛名足以让她成为物理学圣殿中的传奇。但我,作为一个已经大二的学生,以前却从来没有在物理课上听说过诺特,或者是其他女性!这个认识让我擦亮了眼睛,明白了从前不知情的偏见,也让我想要了解更多。

 

 

诺特是一位真正的数学家,是建立抽象代数学的先驱者之一,她擅长以全新的方式处理问题。她在物理中的工作尤其引起了我的关注,即帮助一位可怜的物理学家弄清楚了他的理论中所需要的数学知识,而这只不过是她的成就中的冰山一角。作为其结果,诺特定理诞生了,专业地来说,就是上面的公式。该定理断言,对于一个物理(力学)体系的每一个连续的对称变换,都有一个与之相关联的守恒量与之对应。守恒定律是理论物理中的一个基本规律,它让我们可以决定一个现象在物理学中是否会发生。诺特定理把它和力学系统的对称性联结了起来,从而使得我们能够单单从拉格朗日量,一个关于系统能量的函数的性质中,决定哪些物理量是守恒的。很多守恒定律都众所周知,例如一个封闭系统的能量和动量守恒定律,但是诺特定理成功地消释了在近代物理学新理论中出现的那些守恒律(例如广义相对论)中的悖论。说这条定理是物理学中的一个“重要结果”,是有些轻描淡写了。

 

 

艾米成长于一个数学家辈出的家庭,但她的家人并没有注意到她的天赋,也不鼓励她追求她的数学梦想。当她开始被数学吸引时,她还在为成为一名语言教师接受训练。就在此时,她开始去埃尔朗根大学听课。作为一位女性,她不能够正式注册,所以她只能在课上旁听。几年之后,女性开始被正式允许去上课。但关于女性权利的公平政策,她一向没有赶上太多。有一段时间,当她通过博士毕业论文答辩后,她仅被允许以希尔伯特的名义去哥廷根大学教书。几年后,她总算找到了一份教职,尽管薪水微薄。她从来没有能够在德国成为一位全职教授,甚至凭借她的工作得到相应报酬。1933年,由于她的犹太人身份,她被德国法西斯赶出了哥廷根大学,之后她搬到了布林茅尔学院,一所美国的女子名校。在这所学院的日子总是伴随着困境,比如不能够授课研究生课程,找到一份终身教职,健康状况不容乐观,并且当时德国的政治情形也很糟糕。但是,她却从不同的角度看待事情,并称“最后的一年半是我整个生命中最快乐的,因为在布林茅尔和普林斯顿得到了认可,而从来没有在自己的国家得到过这些”。不幸的是,她不久之后就因为肿瘤切除手术的并发症去世了。

 

当浏览诺特的生平时,最让我感到震撼的是她的个性。她是一位传奇女性,一位声誉卓著的数学家。她非常规的生活方式引起了很多笑话,但她自己从来不以为意。她的容貌、着装和体重常常被人评论,她的声音也是如此,被认为是“大声而令人不快的”,因为不像其他女性传统意义上那样柔和和高雅。她非常关爱学生,经常和他们分享自己的观点,充满激情和热情地授课,甚至不论他们的政治立场(那时她有一个学生常常穿着一件纳粹冲锋队的褐色T恤去她家中上课)。她的学生们高度赞扬她,因为她让他们感到她是学生群体中的一份子,“好像她也是在第一次思考这些定理”。她将一种简洁化和去除不必要部分的原则应用于数学和生活。她穿着男士皮鞋和外套,在那时,她一个星期有六天在同一个餐馆的同一个时间档的同一时刻吃同一顿晚饭。据诺特的唯一一位美国研究生学生说,“她思考问题和工作的方式简直就是她生活方式的一个写照:那就是,甄别出一切不必要的东西,把它们推到一边,然后全身心地投入到现实工作中去”。

 

 

她同样得到了她的同事们的高度赞扬,也正是由于他们持续不断的努力她才得以找到教职,第一次是在哥廷根,后来则是在布林茅尔学院和普林斯顿高等研究院(尽管很不幸地,她原本可以在去世前加入后者)。赫尔曼·外尔,二战前哥廷根的一位教授,说他“对于在她身边从事一份比她待遇更好的教职感到羞愧。因为作为一位数学家,她在很多方面都胜过我”。在她对爱因斯坦的广义相对论做出重要贡献之后,爱因斯坦写信给希尔伯特说:“昨天我收到了诺特女士的一篇关于不变量的很有意思的论文。我对这种东西居然可以以这样一般的方式被理解感到印象深刻。哥廷根的老家伙应该向诺特女士讨教。她是真正理解这些东西的人”。他后来在为《纽约时报》准备的她的讣告中写道,“在当世健在的最具竞争力的数学家的评判中,诺特是自高等教育向女性开放以来最具有独创性的数学天才”。

 

不像她的男性同事们,诺特并没有在她的一生中得到过太多认可,却反而因为一些不重要的事情受到批判。身为历史学家的克里斯和曼说:“如果诺特是一个男子,她的容貌、举止、和教室里的行为,会被解读为健忘性的天才,此常见于世人对于男子的评价”。我发现诺特确实给人很多启迪。因为她的成就,都是在逆着人潮行走,怀着她对追寻数学的终生热情,经过艰辛的挣扎而取得的;因为她对学生和同事的驱动力和态度,对于批判的无视;因为她的——美妙数学。

 

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神奇的分数维

编者按:如果你第一次看到豪斯多夫维度的严谨定义,你一定多少有点晕吧,过程是:

对于度量空间X, S为X的一个子集,d为非负实数

1、 先定义S的d维豪斯多夫容量(d-dimensional Hausdorff content )

   

2、 然后定义S的豪斯多夫维度为使得S的d维豪斯多夫容量为零的那些d的下确界,即:

但当你用这样定义去验证一个简单集合(比如康托集)的豪斯多夫维度的时候,过程是比较复杂的。但你细细评味,你会发现,证明过程貌似就是在做收缩,放大之类事情,也是本文介绍的豪斯多夫维度最初始的思想。有的时候,数学的难度就是这样产生的:一个简单的思想,教科书只能用最严谨的方式告诉你,这时候用的表述已经看不到最早的想法,于是你必然开始用最复杂的字面意义去理解它。如果,这个时候有个知道背景的人提醒你,那能少走多少弯路呀。

 

作者: 金星光,就读于重庆师范大学数学与应用数学专业

 

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看过《哈利波特》的人想必对于9又3/4站台并不陌生,这是通往霍格沃兹魔法学院的入口。当年哈利、赫敏与罗恩推着装满魔法物品的小推车冲进墙内的场景到现在都还令我记忆犹新。9又3/4站台为我们揭示了一个魔法世界中的一个分数维的车站,那么在数学世界中是否存在着维数为分数的事物呢?今天我们就来探究一下神奇的分数维。

    

     众所周知我们生活在一个三维的空间中,我们需要三个数值就能唯一的确定我们在空间中所处的位置:经度、纬度和高度。在这里我们对维数的定义借用了拓扑中对于维数的定义:空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。显然这种拓扑方法定义的维数当然只能是整数,那么对于分数维我们就不能采用拓扑中对于维数的定义了。接下来我们就要从另一角度重新定义维数。

     首先我们要先要了解一个概念叫做图形的自相似性,即一个图形本身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的;一个矩形可以看成是由4个与自己相似、面积为原矩形面积的1/4的小矩形组成;一个立方体则可以看成是由8个体积为原立方体体积的1/8的小立方体组成;利用自相似性,维数就可以这样简单而直观的理解:首先将图形按照M:1的比例缩小,然后,如果原来的图形可以由N个缩小之后的图形拼成的话,这个图形的维数d=ln(N)/ln(M) 。(注:这个数也叫做豪斯多夫维数Hausdorff dimension)。我们可以用这个办法轻易的计算立方体的维数为3,当将正方体按照2:1的比例缩小,可以得到8个小正方体,即M=2,N=8,则d=ln(8)/ln(2)=3。

      其实对于非整数维的几何图形,早在1890年,就已经被意大利数学家皮亚诺(G.Peano)提出。当时他构造出一种奇怪的曲线,被称作“皮亚诺曲线”。

具体的构造方式见下图。

             

按照这种方法最后所逼近的极限曲线,应该能够通过正方形内的所有的点,充满这个正方形,即曲线有面积。这个结论令当时的数学家惶恐。在皮亚诺之后,科学家对于这种几何的研究形成一个新的几何分支叫做“分形几何”。

另一个在数学中比较著名的分数维的图形是科赫曲线(Koch snowflake)。它的产生可以采用如下方法:在一段直线中间,以边长的1/3为边的等边三角形的两边来代替直线中间的1/3,得到图形(a),对(a)的每条线段重复以上做法又得到图形(b),对(b)的每段线段又重复得到图形(c),而对(c)的每段线段又重复就得到了图形(d),如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。

 

    我们采用上述计算维数的办法来计算科赫曲线的维数。

首先将科赫曲线的尺寸缩小至原来的1/3,然后用4个这样的小科赫曲线便能构成与原来一模一样的科赫曲线。即此时:M=3,N=4, 即d = ln(4)/ln(3) = 1.2618……

很明显我们可以看出科赫曲线的维数不是一个整数,而是一个小数或分数。

    分数维的出现滋生出数学中“分形几何”这门学科的发展,为我们打开了一个新世界的大门,它的神奇之处在于弥补了我们的未知、颠覆了我们的已知。数学的发展始于观察、形于思考、终于证明。每次新事物的出现看似是对于已有数学框架的撼动,其实本质上是一种进步与发展,来弥补这个美好的数学世界。而数学以其自身的魅力吸引着每一位热爱他、追随他的人,在远方智慧深处闪耀着永恒的星光。

 

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从一到无穷大:对应与计数

 

作者: 桃夭灼灼

 

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一、伽利略的疑惑

    物理学家伽利略曾提出这么一个问题。我们知道任何一个偶数都可以写成2n(n为自然数)的形式,因此对于任何一个自然数n,都可以将它乘以数字2而得到一个偶数2n。此外,如果有两个不同的自然数n和m,按照上面的方式可以得到两个不同的偶数2n和2m,换句话说,不可能有两个不同的自然数对应着同一个偶数。现在的问题是,按照这个方式,可以将自然数和偶数作一对一的对应,同时表明自然数似乎和偶数是一样多的。但是直觉告诉我们,偶数只是自然数的一部分,或者仅占自然数的一半,因为还有另一半是奇数。

伽利略对于这个问题思考很久,但无法给出令人满意的结果。在此之后的两百年间,数学家对于涉及到无穷大的问题,总是以“比任何数都大”的方式处理。

 

二、康托的解答

    19世纪,数学家康托作出这么一个设想:如果我们承认自然数的确是和偶数一样多,那会带来什么样的影响?

    要承认这个事实,首先从有限多个事物开始说起。比如有五个苹果装在篮子里,有五本书放在书架上,我们的第一反应是它们的数量都是5,但我们忽略了一个过程,我们是用阿拉伯数字5来表达这个结论。可是,一旦停止使用任何一种计数方式(如阿拉伯数字,罗马数字等),我们的想法仍然认同它们一样多,因为可以给这五个苹果和五本书贴上不同的标签,比如用大写字母ABCDE表示五个苹果,用小写字母abcde表示五本书,然后让每一个大写字母与相应的小写字母对应,这样五个苹果和五本书是一样多的。

    此外,对于五个苹果和七本书,可以肯定它们是不一样多的。更进一步,只要所研究的问题中事物数量是某个自然数,类似于上面贴标签的方法,总能得出谁多谁少的结论。但是语言文字中使用的字母、符号总是有限(例如英语有26个字母,俄语有33个字母,日语有71个假名),而对于事物数量稍多一些的整体,却无能为力,因此数字起到了一个非常重要的作用,其中自然数的引入帮助我们自动完成了这么一个一对一的贴标签过程。

    接下来考虑这么一个事实。如果事先有100个人,旁边还有一堆书,但不知有多少,现在让每个人都拿一本书,最终正好拿完,并且没有一个人会拿走两本书,也没有一个人没有书,那么一定有100本书,自然不需要一本一本地去数。

如果实现的人数也不知道,当然我们还是不知道有多少本书,但仍然可以肯定,人数和书本的书目是一样多的,尽管我们对于其中的数量一无所知。这个事实表明:由人所构成的集体与由书本所构成的整体之间的个数相同。

    总之,只要所研究的问题中事物数量是有限,那么一定可以建立一个一对一的对应来确定谁多谁少,而无需知道有多少和是多少。这个结论给予我们一个启发:对于涉及到无穷多个事物的两个整体,能否用类似的方式来区别这两个整体所含有事物数量是否有差别?但是要注意,在无穷多个事物组成的整体中,已经不能用“数量”或“个数”的概念。

    康托对此给出了一个令人满意的结果。他认为凡是有无穷多个事物的一个整体,可以用“势”(“基数”)来描述这个整体中所含有事物的多少。当然,对于一个数量有限的整体,势就是它所含有事物的个数。其次,对于两个整体A和B,只要能在A和B之间建立起一个一对一对应,而不管A和B究竟有多少(即使有无穷多个),我们就认为他们有相同的势。例如,取A为全体自然数,而B是全体偶数,根据开始给出的对应方式,A和B有相同的势。这样自然就解决了伽利略提出的问题,但它打破了我们的常识性认识,即欧几里德在《几何原本》一开始就提出的规定:整体比部分多。

    对于集合中元素的“个数”,如果可以用一个具体的数字来表达,则称这个集合是有限集,反之,如果找不到一个具体的数字来表达“个数”,或者说集合中元素的“个数”比任何一个自然数都大,则称这个集合是无限集。对于有限集,在组合数学中有广泛研究。对于无限集,根据康托的思想,将无限集中元素的“个数”称为“势”。两个无限集A和B之间如果有一个一一映射(既是单射又是满射),则这两个集合有相同的势,称为对等的。

    对于全体偶数组成的集合,显然和全体自然数组成的集合有相同的势,当然还有很多集合与全体自然数组成的集合有相同的势,例如分数和自然数一样多,有理数和自然数一样多。为此,规定全体自然数组成的集合的势为“阿列夫零”。这个称呼来自于希伯莱字母“阿列夫”,其原因或许在于数学家康托是犹太人。如果一个无限集的势为阿列夫零,称为可数集,反之一个无限集的势不是阿列夫零,称为不可数集。除了阿列夫零以外,康托还为我们规定了阿列夫一、阿列夫二、阿列夫三……等无穷多种势,同时他得出了一个重要的结论:任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势。这就说明没有最大势。

此外,康托首先看到了一个自然而重要的问题:在阿列夫零和阿列夫一之间是否存在一个中间势?他并没有解决这个问题,但他相信没有这个中间势。这就是著名的康托连续统假设。这个假设现在终于被人们搞清楚了,它可以作为一条公理,并且与集合论中其它一些公理是独立的。

 

三、希尔伯特旅馆

    在1900年第二届国际数学家大会上,希尔伯特把康托的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首,他本人则提出了一个有趣的故事。

    有一个旅馆,我们称它为希尔伯特旅馆。第一天来了一位客人要求入住,但老板表示已经客满,不过老板想出了一个方法。首先,他让一号客房中的客人搬出,让外面等待的客人入住一号客房。然后让二号客房中客人搬出,让原先一号客房中的客人入住二号客房,再让三号客房中的客人搬出,让原先二号客房中的客人入住三号客房。依此方式,最终让每个客人都有自己的客房(包括新来的客人)。

    第二天,又来了一些游客,人数大约在100人左右,旅馆老板表示已经客满,不过聪明的老板又想出了一个方法。首先安排第一个游客入住,所作的安排与第一天入住的客人所作的安排一样。待第一个游客住下,又安排第二个游客入住,所作的安排与第一个游客所作的安排一样。最后,依次安排第三个、第四个游客直至最后一个游客入住。第三天,又有很多游客要求入住,人数无法确定,总是有无穷多人,老板表示已经客满,但他有方法可以让每个客人有自己的客房。

我们暂时不去关心老板最后的安排,这个故事被数学家们称为希尔伯特旅馆,借此他引出数学上的“可数无穷大”概念。与现代图论结合,又产生了网络枢纽无堵塞观点。

 

四、尾言

    自康托提出连续统假设以来,数学家一直致力于解决这个问题。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论,为了消除这些悖论,就开始对集合论进行公理化处理,并先后尝试建立了几个集合论公理系统。人们通常使用的是策梅洛和弗兰克尔建立的ZFC公理系统。进行公理化后,基本上都能消除悖论。1938年哥德尔证明了连续统假设和ZFC公理系统不矛盾,两者是协调的。1963年美国数学家科恩又证明了连续统假设和ZFC公理系统是彼此独立的,是不可能判定真假的。这样在ZFC公理系统中,连续统假设是不可能判定真假的,这是60年代集合论的最大进展之一。正如帕斯卡比喻的那样:人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟,我们总想要追求某种确定性,但却永远也抓不住,一不小心我们的整个基础就会分崩离析,而下面就是那无底深渊。在数学上,人永远只是探索者,没有“终结者”。

 

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作者: 桃夭灼灼

 

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一道美国大联盟杯决赛试题赏析

 

作者: 熊π,就读于北师大附属实验中学高二

 

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SPCS全称为Stanford Pre-Collegiate Studies,又名“斯坦福大学天才少年培养计划”。美国“数学大联盟杯赛” 与SPCS通力合作,专门针对具有杰出才华的中学生,精心设计适合他们成长的课程和题目,在中学阶段就积极介入对他们的培养,旨在为他们今后的成长打下坚实的基础。

2016年8月,一年一度的美国数学大联盟杯决赛(9-12年级)在斯坦福大学如期举行。从去年11月开始,经过初赛、复赛层层选拔,来自八个国家98名翩翩少年成为了幸运的参赛者。作为中国赛区的幸运儿之一,笔者在决赛中基本发挥水平,以第17名的成绩斩获一枚优秀奖(Certificate of Merit)。

决赛共10道题,本人做出了其中6道。有一道三角函数题最为可惜,有思路有方法应该会做可是临场没做出来,从考场一出来就做出来了。
超出了高一学生知识结构的有两道一元四次方程,笔者回国后查阅高等代数资料得到解决。最有意思的是一道涉及“二项展开式”的填空题,题目短小易懂,系数锋芒毕露。笔者临场简直像小狗啃榴莲——无从下口。

【题目】如果 ,那么 的值是多少?


【疑问一】等式右边会出现一次项二次项吗?


因为 ,所以常数项容易求,在等式两边令x=0,则有a_0 = 2^2016。但是右边会出现一次项二次项吗?笔者感觉x的最小指数应该是2015,貌似a_1, a_2, ……, a_2014应该为0。

岂止笔者有这样粗浅的认识!因为组委会始终没有提供参考答案,回国后笔者曾就此题向今年刚刚升入北大元培学院的高三学长请教,他参加过中国数学联赛,他的第一感觉跟笔者的竟然完全相同!

 


【疑问二】利用二项式定理能解决问题吗? 
  


  
这三种情况下对应的系数之和即为 ,所以

 

 


    对于电脑来说,写几行程序这点运算不算什么。但是考场上连普通计算器也不准携带,笔者水平有限,至此陷入了僵局……


【疑问三】怎么会出现-1/2,这么奇怪的系数?


 ,三个一组三个一组,每组中连续出现两个-1/2 ,太奇怪了。由【疑问一】、【疑问二】可知,用常规的实数0,1赋值不可能有这种效果出现。想想我们所见过的成千上万不计其数的数,实数也好虚数也罢,哪一个数的整数次幂会以3为周期,并且同时含有系数 ?


虚数单位i的整数次幂周期为4,显然不满足。


等等……别着急!试试1的三次虚根如何?对对对,肯定是它, ω!


笔者感觉肯定是它,久违啦,ω!


【解】 


 


 
   
这正是:初看小狗啃榴莲,系数锋芒毕露;再看二项展开式,运算言不堪苦。
众里寻他千百度,暮然回首虚数;九九归一成正果,醍醐灌顶开悟!

 

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一位小学生写给华罗庚的信

 

这是到目前为止我们哆嗒数学网收到的年龄最小的作者投稿——一名小学五年级的同学写的一篇书信体作文。这篇文章,内容切入点和一些用词稚气未脱,大概符合现在小学生的思考方式。但是,文章行文所用的手段还是比较老练,相信其指导老师费了不少心力帮助修改。我们哆嗒的每个读过此文的小编,都有非常喜欢。

哆嗒一直希望身边每个人都来普及数学、数学家、数学界的知识。你知道一分,就分享一分,知道十分,就传授十分,不必在意别人嘲笑你“半灌水响叮当”。只要对数学知识有足够尊重,投稿文章无论水平高低,内容深浅都可能是我们发布的内容。——这位王怡淋小同学做到了。

本来所有文章会有个一起投票的流程,对于这位小朋友,我们觉得把他放到一堆成年人里投票排位是一件残忍的事情。所以,未来投票列表里不会出现这篇文章,我们也准备了一份小礼品,直接寄给这位小作者(貌似是他老师代收)。

 

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致华罗庚的一封信

河北省保定市永华南路小学 王怡淋

 

敬爱的华罗庚大师:

     您好!我是五年级的一名小学生。数学课上,老师总是提起您的名字;语文课上,老师也总是给我们讲起您的事迹。我对您充满了好奇:为什么您的数学学得那么好?为什么初中毕业就能成长为伟大的数学家……读了您的传记,我才对您有了更深入的了解,更加敬佩您了!

    我敬佩您的自学能力和刻苦精神!虽然您从小就显出数学天赋,但因为家境贫寒,初中毕业不得不退学。在您应当接受教育的岁月,一个“穷”字剥夺了您的梦想!但是您并没有丢掉数学学习,依然边帮助家里干活边自学数学,顽强的自学到了十八岁!这得需要多大的毅力呀!

想想我们现在,生活条件优越,不愁吃不愁穿,想要什么有什么,我们还有什么资格不好好学习,珍惜我们现在的学习机会?我们应该在学习上刻苦努力,勤动脑,勤动手。课上跟紧老师,课下认真完成作业,珍惜并用好我们的美好学习时光!

我敬佩您对数学的痴迷与热爱!您在帮家里干活时,冬天在账台上看数学书,演算数学题,入了迷,竟然忘了接待顾客,被人称为“罗呆子”!进入清华,您就给自己五、六个小时的睡眠!想想自己对待学习和时间真是不应该!我一定向您学习,对学习要认真,尤其是听课、做题时注意力要集中,不能走思,不能干别的事;对待时间,要有计划有安排,要做很多有用的事!

我敬佩您的坚强品质!由于您得了一次重病,造成终身残疾,只能借助手杖走路。但您并没有被吓倒,您还幽默却很坚定地说:“我用健全的头脑,代替不健全的双腿!”这种精神,让您从一个初中毕业生成长为一代数学大师!您真的很了不起!我们四肢健全,身体健康,学习生活中遇到点儿困难算的了什么呢?我们应该笑着生活!

我更敬佩您的爱国精神!您这样一位大师,完全有条件留在美国,和家人一起享受优越的生活——住洋房,开汽车。可是您毅然放弃这些,在新中国诞生后,“为了国家民族”,回到了祖国的怀抱。用自己所学,为我国的现代化建设做出了突出的贡献。

华罗庚大师,您是我们学习的榜样!您如同一盏明灯,指引我们在知识的海洋尽情遨游;您如同一股清泉,滋润着我们健康快乐成长。我一定好好学习,勤奋努力,学习更多的知识,增长本领,用自己的力量为国家做出贡献!

此致

敬礼

                                                                    崇敬您的小学生:王怡淋

                                                                        2017年4月5日

 

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拆解一个极限的前世今生

 

作者: 季真俊,就读于华东师范大学。

 

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 在同学刚刚步入微积分时,相信有很多人都会在这一个极限上摸不着头脑:这是一个的“∞的0次方”形式的未定式,因此常规的四则运算都对其无济于事。


在华东师范编写的第四版数学分析上,给出了两边夹的做法:

 

 

可这个证明有些让人有点摸不着头脑,下面我们就来介绍这一个极限的由来:


引理1:

 

证:

 

 

,则可以得到以下结论:

 


引理2:


再令,则又可以得到以下结论:


引理3:

 


再来看我们一开始提出的那个问题:求,由引理3可直接得到


而且还可以得到这个极限的加强形式:

 

当然,有些了解stolz定理的同学也会说,这个极限完全不需要这么麻烦,取对数之后使用stolz定理,也可以直接得到答案。


不错,但是如果我们认真研究一下引理1和stolz定理的关系,则不难发现引理1的逆命题便是stolz定理的一个特殊情况,而在均存在的情况下,引理1及其逆命题是互相等价的。因此我们并不需要用上stolz这把“牛刀”去宰一只鸡,而仅仅使用其一个特殊情况就够了。


除此以外,也可以先对其取对数后利用归结原则将数列极限转化为函数极限以后洛必达求解。


下面我们考察这个极限的一个变型:
 

 


例:求,其中


方法一:



 
方法二:


以上两种方法虽然本质相同,但由于处理原式的技巧不同,其繁简度亦有很大差异,因此我们在思考问题时同样要注意:是否有更快的捷径?

 

 

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用数学技术修复艺术珍品

 

原文作者:多贝茜,女,国际数学联盟主席,被誉为小波分析奠基人之一。

翻译作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师

校对:donkeycn

 

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近期在北卡罗来纳州艺术博物馆(NCMA)展出的圣约翰事迹祭坛画,是14世纪Francescuccio Ghissi的作品。它共有九个场景组成:8副小图描绘了圣约翰传教时的场景,而中间大图描绘了圣约翰肋部被钉死在十字架上的场景。19世纪末该祭坛画被锯开,九块中的八块被卖给了不同的收藏家。而描绘一个较小的场景的最后一块却丢失了。


数学在该幅祭坛画近百年首次展出中功不可没。该项工作是我和我的几个同事参与的一个项目中的一部分。我们已经开发出新的数学技术, 不仅可以逆转老化的观察效果, 同时也可解决并消除善意但并不令人满意的保护工作的影响。这些技术也可以用于世界上其他艺术品的修复工作。

(下面便是复原后的Francescuccio Ghissi圣约翰祭坛画)


无独有偶,数学化图像分析多年来一直在使用,而且有形式多样。但另外一个关键事件是修复了另外一幅作品,解决了艺术史学家们几十年的争议。


15世纪休伯特•凡•艾克和扬•凡•艾克两兄弟共同创造了一件伟大的艺术巨作——根特祭坛画。该作品有12块木板组成,其中的八块由铰链链接。当画屏合上的时候,中间一层的最右边一块显示了圣母领报的场景;而在其背景中,放在支架上的是一本中世纪著作中翻开的一页。然而尚不清楚凡•艾克兄弟只是想画一本书还是想将书上的真实文本一起画上。如果是后者,那么艺术历史学家想辨识那些文本。


该幅画的部分问题在于其表面上有深浅不一的棕色细裂缝,非常类似于画上的字母,许多裂缝倾斜方向类似字母的笔画。这些裂缝阻碍了潜在的文本的阅读,甚至连破译手稿的专家也难以理解。


2010年,艺术品保护工作者展开了根特祭坛画的恢复工作。该项目的部分工作,就是对该作品进行高精度的摄影。这是破译画板上潜在文本的机会。艺术史家马克米兰•马滕斯询问我和我的同事能否采用高分辨率扫描及数学方法解决问题。 

 

我们的工作有两个步骤:找到一种方法来自动检测众多的裂缝,然后再进行修补(或消除)。后者是采用他人开发的先进的处理方法。但裂缝检测变成了一个难题。最后,我们不得不依赖于画板的X射线成像,选出明显的裂缝, 结合几种滤波方法,测出合适的数据。


裂缝修复后,尽管产生的潜在文本看起来和以前一样难辨认。但是不依赖古文书学家,他们辨认出了12组单词,明确表示凡艾克画了一个真实的文本。令艺术史学家欣喜的是,他们识别出这些是来自于托马斯•阿奎那在圣母领报节写的神学文本并在14世纪初在弗兰德斯由文士复抄下的。


在这个项目中获得的经验对于修复Ghissi的祭坛画是至关重要的。在展览准备的过程中,荷兰艺术家和艺术品修复专家夏洛特•卡斯珀接受委托画一幅丢失的画板的替代品。他和北卡罗莱纳州艺术博物馆馆长大卫•斯蒂尔一起设计了Ghissi风格的构图;场景的构思来自于《金色传奇》(Golden Legend),一本记载中世纪圣徒生活的畅销书,以及前面的七块小画板。


当更换面板准备好时,它生动地展示了崭新的祭坛画有多么明亮和闪闪发光。但人们还清楚地发现,卡斯珀的画板很难和其他相邻的八块画板在同一个画框中展示。原画板的年代比较老,色彩也不那么鲜艳,新画板的“光彩”会喧宾夺主。虽然原话板才是真正的祭坛画而在某种程度上讲新的画板并不是。


于是,数学分析有了用武之地。在研究了老画板以及新的画板之后,我们做了一个高分辨率的数字版的新画板,模仿650年的老化色素使得金色看起来更加陈旧而色彩更加柔和。我们还增加了一个可信的裂缝模式。总之,我们在无形中老化画板。老化版本的印制使得我们完成了圣约翰祭坛画。

 


同样的技术分析也可以应用在相反的方向:原来是将微调后的数字图像处理从新过渡到老,而现在我们也想把现有画板进行高分辨率成像并且将陈旧老化的颜色匹配成为“粉饰一新”的版本,由此复原14世纪的成果。为此我们仍然需要检测和修复裂缝,但重要的是我们已经学会了如何处理根特祭坛画。


在根特祭坛画裂缝移除的过程中,X射线成像起到了至关重要的作用。所以我们要求NCMA的管理员提供圣约翰祭坛画的X射线照片。在这些X射线照片中最显著的特征是一个恼人的重叠网格结构。这个后来发现是由于在19世纪和20世纪初一个相当标准的保护措施。为了减少翘曲,管理员计划在修复老欧洲绘画时将木板厚度降至1厘米或更少。为了达到这个效果,他们随后在后面支撑了硬木网或硬木支架。这个硬木网包括沿着木纹方向的固定组件和穿过固定部分垂直于木纹的滑动组件构成。


然而支架不能一直支撑。在极端的情况下,实木板所反应的应力约束会产生大的裂缝。专家被要求仔细清除原有的支架,取而代之的是一个具有较小刚性的支撑结构,这使得面板能够自然翘曲。然而这是一个非常棘手并且耗资巨大的过程。

 

令修复人员烦恼的是,支架的网格结构会隐藏在绘画和试图从X射线成像收集到的保护修复细节中。我们想知道数学分析和图像处理能否有助于移除这些真实影像时,我们的初步方案受到了热情的帮助, 数个不同博物馆的工作人员尝试提供各种数据以实现我们的想法。特别有用的是同一幅画在有支架和没有支架的情况下的X射线成像,对我们验证计算结果是至关重要的。Rujie (Rachel) Yin,
杜克大学数学系的研究生,负责了该项工作。


这个项目是我们面临的最大挑战。其中一个复杂的问题是即使在一块木头里,木纹也会有很大的变化。这使得当其他细粒度和细长的纹理存在时,难以可靠地识别木纹纹理——很可能修复人员要在图画的X射线成像中更好地揭示笔触模式的不同。只消除支架木纹的目的使得任务变得更加具有挑战性,因为被观测到的木纹一般都不是孤立的。支撑区域包含画板和支架的纹理,而无支撑区域只包含画板的纹理。(不幸的是,辨别这个木纹图案没有太多用处,因为画板的纹理将是不同的,而且只有几厘米。)


我们求助于机器学习算法区分那些有可能属于画板和其他有可能来自于支架的特征。当支架和画板的纹理显著不同时,我们开发的算法取得了良好的效果。不幸的是对于根特祭坛画,相同的木材——佛兰德橡树——同时用于画板和支架,算法在解析纹理的时候遇到了一些麻烦。此外该算法速度非常缓慢。


幸运的是,目标用户是地球上最有耐心的人: 艺术品修复人员在用棉签和蒸馏水清理绘画时通常连眼睛都不眨一下, 所以对他们来说,一个算法运行几个小时是完全可以接受的。Yin的概念验证代码已经被转变成一个更强大的版本,附带一个能够被艺术品修复人员使用的端口。该开源软件可以免费下载。

 


新展览中,新老版本的祭坛画都在大屏幕上展示,除了短纪录片展示图像处理以外,还(非常印象派地)解释了数学进行“复原”和“老化”的过程。


现在我们致力于其他问题。例如, 19世纪极少数情况下会遇到的一种画板,两面都有绘画,但没有分开,使两面可以同时展示,画板的x射线图像比可见光照片显示了所有的更为突出的典型细节——但缺点是该图像是两面画混合的结果。能否利用两个单面画的可见光照片的信息,将混合x射线图像分解为两个单面画的x射线图像吗?这也是一个具有挑战性的问题,我们已有了初步结果,但仍然希望做得更好。另外还有很多其他问题也亟待解决。


到目前为止,我们的艺术史家和艺术文物修复工作提供了有趣的数学问题,已经让我们远远地超出了现成工具的简单应用。尽管我们还没有建立新的数学理论,但我认为这只是一个时间问题,我愿意打赌它会发生在未来10年之内。而且我敢打赌,10年前我们的艺术界的合作者都不会预测数学会在他们自己的工作中如此有价值。


他们发现了我们一直都知道的事情——数学无处不在。

 

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无穷与直觉

 

原文作者:德夫林,斯坦福大学数学教授,英国数学科普作家。

翻译作者:Y.W.,哆嗒数学网翻译组成员,就读于北京四中

校对:donkeycn

 

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格雷•安东尼克在纽约时报上好玩的专栏“数趣”刊登了伯克利数学家艾迪•弗兰克关于人类大脑在理解无穷上的难题的贡献。如果你还没有读这期报道,你应该去看看(http://wordplay.blogs.nytimes.com/2016/05/30/frenkel-cantor/?_r=0)。


无穷带来了不少反直觉的结果。举个经典的例子:希尔伯特的旅店。这里有无穷多个房间,每个房间都印上各自的自然数编号:房间1,房间2,房间3等等,直到所有自然数都被用到,有一个晚上,一位旅客来到宾馆前台,前台告诉他说宾馆的房间已经满了。“但是不要担心,先生,”前台服务生说,“我刚刚在大学上了一门数学课,所以我知道怎么帮你找个房间。给我一分钟,让我打几个电话。”过了一会儿,这位旅客得到了一个房间。服务生让每位客人搬到房间号为下一个整数的房间。所以房间1的客人搬到了房间2,房间2的客人搬到了房间3,以此类推。每个人都换了房间,谁也没有离开旅店,但是房间1为这位新客人腾空了。

 

我认为所有MAA Online(MAA为美国数学协会的缩写)的普通读者都熟悉这个著名的例子。但是我觉得大多数人都不能把这个例子上升到无穷的层面来理解。一会儿看到可数无穷(基数为א‎_0)和第一个不可数无穷(基数为א‎_1,小于等于实数的基数c)的时候,你们就会发现这比想象的还奇妙。


无穷带来的另一个让我目瞪口呆的结果和树有关。不是在森林里长的树,是在数学家使用的术语中提到的树。


一棵树就是一个偏序集 (T,<)。树中所有小于x的元素构成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是说这棵树有特定的生长方向(通常是图中的竖直向上方向),分支也都向上生长。通常来说,一棵树有一个独特的最小元素,这个元素被称为根。如果遇到了一棵没有根的树,你可以在不改变树的其他部分的结构的情况下手动加一个根。


由于每个树上的元素都位于它的前继构成的唯一良序集的顶端, 因此每个树上的元素在树中都有良好定义的高度: 即前继构成的集合的序数。对于每一个序数k,我们可以用T_k来表示树中所有高度为k的元素的集合。 T_k被称为T的第k层。T_0包含树的根,T_1是根的所有直接后继的集合,以此类推。


综上所述,树靠下的部分如图所示,(树中每一个“小黑点”就是一个节点):

 

 

(其实可以有所不同,每一层的元素数量没有限制,或者说每一个元素的后继元素的数量没有限制)


König引理是集合理论的经典例子。König引理指出,若T是一棵有着无穷个节点的树, 且对每个自然数n,T_n是有限的, 则T有一个无穷的分支, 即有一个无穷的线性序子集。


这很好容易证明。你可以用递归来定义一个分支{x_n: n为自然数}。令x_0为树的根。尽管树是无穷的,但T_1是有限的。 T_1中至少有一个节点元素的上面有无穷个元素比这个节点大。令x_1为T_1中这样的一个元素。由于x_1 的上面也有无穷个元素大于x_1,而在T_2中只有有限个后继元素, 所以T_2中至少有一个x_1的后继元素的上面有无穷个元素比x_1大。令x_2为T_2中一个这样的元素。同理,可定义T_3中的x_3,使其上面有无穷个元素,以此类推。这个简单的过程可以清楚地定义一个无穷分支{x_n: n为自然数}。

 

以上是König引理成立的理由。然后人们试图通过类比来证明如下命题:若你有一颗不可数的树(即基数至少是א‎_1的树)T,且对于每一个可数序数k,T_k是可数的,则T有一个不可数的分支,即满足如下条件的一个线性序子集:对于每一个可数序数k,该线性序子集与T_k的交不空。

 

但就这样下来, 然而事实显示上述命题不成立。 我们可以构造这样一棵不可数的树:对于每一个可数序数k,T_k都是可数的,然而这棵树却没有不可数的分支。这样的树被称为Aronszajn树。 这样的树最初被一个俄罗斯数学家构造出来。


下面是构造Aronszajn树的具体方法。 树的元素是严格递增的(有限或可数超限)有界有理数序列。 树中的序为序列的扩展(比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的扩展)。显然,这样的树不会有不可数的分支。 因为否则它的极限(更确切地说:集合论意义下的并集)将是一个不可数的严格递增的有理数序列,这与有理数构成可数集合的事实矛盾。


你可以通过对树的层来递归构造这样的树。 T_0由空节点构成。构造完T_k后, 你可以通过给T_k中的每个序列s加上任意一个可能的递增值来得到具有(k+1)的项严格递增的有理数序列,从而得到T_(k+1) 。也就是对于每一个T_k中的s和任一大于或等于s的上确界的有理数q附加到s,并将结果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可数个可数集合的并集,因此它自己也可数。


当范围仅限于自然数时,这样的常规递归就满足定义了,但当递归覆盖到可数序数时, 你需要处理极限序数,即那些不是任何更小序数的后继序数的序数。

 

为了实现这棵树关于极限层的定义,你需要构造一棵符合以下被称为Aronszajn性质的树:对每一对层T_k和T_m,其中k<m, 对T_k中的每个序列s及大于s的上确界的有理数q,存在T_m中的序列t,序列t扩展了s且序列t的上确界比q小。


由于我们把T_k中的每一个序列都扩展到所有可能扩展到的序列,所以刚才给出的从T_k出发得到T_(k+1)的定义满足上述特性。


现在假设m是一个极限序数,且我们已经对每一个k<m定义了T_k。对于满足k<m的T_k中的每个任意给定的元素s及每个大于s上确界的有理数q,根据整数的递归来定义一条通过树已构造部分的路(s_i : i为自然数),且使它的极限(作为有理数序列)的上确界为q。


首先,你要选择严格递增的有理数序列(q_i : i为自然数),且使q_0超过s的上确界,且极限为q。

 

你还要选择严格递增的比m小的序数序列(m_i : i为自然数),且极限为m, 且使s在树中位于m_0层的下面。

 

现在你可以用Aronszajn性质来构造序列(s_i : i为自然数)使s_i位于m_i层,且s_i的上确界比q_i小。

 

为每一组s和q 构造这样的一条路(s_i : i为自然数), 并令T_m(编者注:原文写的是T_k,应该是作者笔误)包含所有如此构造出来的有理数序列的极限。值得注意的是这样定义的T_m是可数的。

 

显然这样定义的构造满足Aronszajn性质,因此可以继续这样构造下去。

 

于是,我们完成了我们想要的构造。

 

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跑不完的龟兔赛跑

 

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兔子:如果比赛可以再来,我能在你的龟壳上打瞌睡吗?
乌龟:如果可以的话,我能定义起点就是终点吗?

 

 

这是一个古老而又经典的故事,我们知道,兔子在速度上有绝对的优势,因为大意轻敌,才输掉了这场赛跑。换句话说,如果兔子认真与乌龟比赛,乌龟必输无疑,可伶的乌龟难道就只能把胜利的希望寄托于兔子的粗心大意上吗?在既定的赛道下,兔子凭借速度上的优势,率先跑完整个赛道,根据比赛规则,谁先跑完这段赛道所对应的有限路程谁就取胜,结合现实中的田径比赛,这一点很容易理解。可要是我们把比赛环境从有终点扩展到没有终点,那还会是兔子赢吗?换句话说,我们可以定义这样一种形式的龟兔赛跑:兔子和乌龟同在一个没有终点的无限空间里面比赛跑步。

 

要分出胜负的前提是要制定一个比赛规则,在有限空间里面,谁先到达给定终点谁就是胜利者,兔子比乌龟先到终点等价于在既定的路程下(直线赛跑),当兔子到达终点的时候,乌龟总在兔子已跑完的路程中,所对应的一段路程里,全程来看,乌龟经过的路程包含于兔子经过的路程(如下图所示)。

 

 

在有限的空间里面比赛,既定的赛道下,兔子和乌龟都会产生一个有限长度的路程集合 S,根据兔子和乌龟所产生路程集合之间的包含关系,来定输赢。同样,依据路程集合之间的包含关系,我们可以把比赛的胜负判定从有限空间推广到在无限空间,假设兔子的速度大于乌龟且都保持匀速,比赛一开始,兔子就会和乌龟拉开差距,可是在这个没有尽头的比赛里面,兔子漫无目标地奔跑着,全然不顾乌龟的情况,对于乌龟来说,也很迷惘,于是它顺着兔子的脚印走,兔子跑过的路程,他也走过,兔子走出个 A 形,乌龟也会走出个 A 形,兔子走出个 B 形,乌龟也会走出个 B 形。我们每隔相同的一段时间 t 记录一次乌龟的轨迹 s,那么比赛一开始,经过时间 t 后我们记录为 s1 ,那么在下一段时间中所产 生的路程我们记录为 s2 ,这样我们会得到序列: s1 , s2 , s3 ,... ,对于超于乌龟的兔 子来说,兔子也具有这样一段序列,时间的无限性决定了存在无限个 t 时间段,也就会产生无数个si ,这样下来,我们得出一个结果:在无限空间里面,如果兔 子漫无目的的跑,乌龟紧跟其后,这样一来,乌龟就会根据兔子所留下的脚印建立与兔子路程元素一一对应的映射关系,兔子和乌龟就会产生同一个由无数个路程元素所构成的无穷路程集合 S,从这个角度来说,乌龟和兔子打平了(如下图所示)。

 

 

第一回合下来,得知与乌龟平起平坐的兔子心中很不服气,他发誓要在下一回合中以更快的速度来超越乌龟,不明真相的兔子依然漫无目的、四处寻找胜利的目标,聪明的乌龟,终于想出了战胜兔子的方法。比赛一开始,乌龟并没有紧跟兔子其后,而是另辟蹊径的乱走一通,经过 t 时间段后再重新回到了兔子的轨迹上来,沿着兔子的轨迹行走下去,这样一来,乌龟除了产生与兔子一样的路程集合 S,还多出了他自己走出的路程,而就因为这段路程,不管兔子再怎么使蛮劲也无法弥补,从这个角度来讲,乌龟取得了第二回合的胜利(如下图所示)。

 

 

兔子思来想去之后,终于知道了自己失败的原因,归根结底,智慧才是决定成败的关键,和前两个回合一样,兔子一马当先,乌龟心中暗自高兴,依然沿袭第二回合的战术,可没过多久乌龟就发现兔子正在一棵树下睡大觉,乌龟以为兔子又开始犯同样的错误了,索性撇下兔子不管,自己再次另辟蹊径,当乌龟从兔子留下的最后一个脚印出发,以一条直线往点 A 走去时,兔子突然从侧面杀过来,在 A 点兔子和乌龟相遇,乌龟懵了,他往兔子来的方向一看,再看了看自己走过的路径,和兔子所构成的路径正好围成一个三角形,由于两边之和大于第三边,这样看来,从兔子脚印消失的那段算起,兔子经过了比乌龟多的路程,况且还比最开始自己另辟蹊径所产生的路程加起来还多,这就意味着:从比赛开始到 A点龟兔相遇,兔子走过了比乌龟多的路程。这时乌龟才意识到自己上了兔子的当,那乌龟还能反败为胜吗?是依旧自己走还是回到兔子的轨迹上,此时的乌龟必须为自己做出个选择,如果都不选,那么乌龟就只能和兔子在 A 点处站着直到天长地久,这样下去,兔子赢,可是不管乌龟怎么选择,其结果都一样,只要乌龟稍作移动,哪怕是很小的一段(不妨将一小段近似的看作为一条直线),那么兔子凭借速度上的优势,始终能走出与乌龟围成三角形的途径,这样一来我们把每一次的相遇做一次记录,就构成了两个不同的无限路程集合,兔子所产生的无限路径集合中的每一个路程元素都大于乌龟所产生的。从这个角度上来讲,兔子取得了胜利(如下图所示)。

 

 

在这个三局两胜制的比赛中,照目前形势来看,第三局的比赛显得尤为重要,经过前两局比赛的洗礼,兔子和乌龟心中都以明了,乌龟:我不能打第一枪,如果我一跑,那么兔子必然会凭借速度优势把我各个击破。兔子:我不能松懈,我要时刻盯着这个老奸巨猾的乌龟,一有机会我就要超越他。乌龟和兔子:我不能一直和他僵持下去,要赢得比赛我一定要放手一搏!比赛开始后,兔子还是采取对乌龟各个击破的战术,乌龟无可奈何,不这道该怎么办才好。乌龟再次陷入迷惘之中,可是希望往往出现在绝望的时候,乌龟发现前方出现了一个很窄的通道,在这个通道里面行走,兔子只能勉强的挤进去,然而乌龟却能行走自如,兔子在整段狭窄的路径里,并没有超越乌龟,只是和乌龟走了一模一样的路程,这让乌龟心中重新燃起了希望,聪明的乌龟终于又一次找到了战胜兔子的方法:如果我总能在这个无限空间里面找到一段路径:只能容我这个狭小的身躯进去,兔子挤不进去。那么我一旦进去,兔子就不能对我实现超越了,当然兔子不会坐以待毙,因为我会一直在这个通道里面不停地走动产生路程,当我在狭窄的通道里够弥补之前兔子超越我的那段路程的同时,沉不住气的兔子必定也会不停的跑动,在地上产生脚印,有了他的脚印,出来后,我就一定能产生和他一样多的路程,然而兔子也会争分队秒的对乌龟实施超越。(如下图所示)

 

 

变是永恒的,不变是暂时的,在这个无限的空间里比赛,不存在绝对的胜利者,有的只是自身优劣的转换。

 

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我的折纸,我的数学,我的世界

 

作者: 悠然,香港折友会成员。

 

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看过《最强大脑》吗?有一期节目中鲍霣代表中国队与国际战队的PK项目就是折纸。说到折纸,您一定不陌生,小时候都玩过,小纸船、小青蛙、小衣服……可是,但可是,现在的折纸真的不一样了!一纸成型的各种高难作品呈出不穷,在日本、俄罗斯等国家都有大型比赛、专业杂志、年会等,折纸已经进入如麻省等高级学府作为一门学科进行教学,还被广泛应用到如纺织、建筑、医疗、航空、警务防弹等方方面面。


本人是在一个偶然的机会接触到现代纸艺,被老外的作品震惊到,原来纸还可以折得这么美,而且还是一张纸,大大超出我的想象!因为得不到资料,又很想拥有那样的作品,于是便利用自己已有的一些数学知识进行破解,终于自己折成了,非常有成就感!

 


 
发现自己也能玩现代折纸后,首先就是折些自己喜欢的东东,如魔方、数独、九宫图、俄罗斯方块、国际象棋、迷宫等。
 
 

 

 

折纸过程中,想到了能不能把数学中用到的一些递归、衍生、自相似的规律应用到折纸中呢?于是,就有了下面的这些作品:

 


 
数学解题讲究“举一反三”,不仅为了加深理解、扩展思路,也为了寻求最优算法。折纸也可以作到“举一反三”,你信吗?举几个例子:杨辉三角、谢尔宾斯三角形、二叉树。
 
 

 

 


 
圆、弧、曲线、点、直线等都是数学研究的对象。那么,基于此观点,有两个符号便忍不住要用折纸折出来,一个是“一生二、二生三、三生万物”的太极符号,一个是左旋和右旋有不同意义的“卍”。
 


数学上,立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。它是平面几何的补充。但当实际需要三维图形时,我们常常是用二维图形来表现的。折纸也能作到!
 

 


 
数学博大精深、学无止境,本人只涉猎了一小部分,将一些数学概念用折纸作品表现出来,以普及和扩展数学的相关知识:下面的作品有勾股定理、莫比乌斯带、不可能三角形、二次曲面、斐波那契曲线及矩形、彭罗斯楼梯及“π”符号。

 


 
最后,给大家奉献两个有意思的视觉作品。
 


 


The world is magic, if you don't think so, then find it or make it so. So does math and origami. Bless you, my friends!


【注:文中所用插图皆为作者本人亲手折制拍摄,部分为原创作品。】
                                            

 

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别想多了,数学就是无处不在的!

 

原文作者:Anna Haensch,任教于杜肯大学数学与计算机科学系。

翻译作者:飞狂腾达,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学

 

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上周,数学史学家Michael J. Barany 在《科学美国人》网站上发表博客题为“数学家在过渡吹捧‘数学是无处不在的’”(哆嗒数学网的翻译版见这里)。一上来我们可以讨论这篇文章的主要观点是否有价值,但首先我们可以忽略这一观点就像看待一个笔误一样。看上去Barany打算论证数学并不是无处不在,即使所有的媒体都怀着极大的热情在宣称和试图让你相信:“看看你的周围,数学隐藏在我们生活的方方面面”。

 

 

但这并不完全是Barany的主要观点,事实上它提到了超出标题的内容,并且步步递进才提到了Jordan Ellenberg,与此相反,似乎Barany正在努力塑造的是数学家并不是到处都有这一观点。他说在制定有关高等数学公众支持的政策决策时,应该考虑这一点。

 

Barany讨论了从巴比伦时代一直到二战后社会文化中数学的作用。他说,古人把数学当作“做生意的诀窍,而不是一个公众的课程”,并补充说:“几千年来,先进的数学仍然是优越阶层所关注的,无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。” Barany解释说,从历史上看,数学是精英的领域,这是一个力量的源泉,是只适用于最高的阶层的。数学家们栖息于上层领域,他们作为国家元首的顾问,营造出一种神秘感和不可触及的高度。

 

Barany认为,这种“他者性”和精英地位意味着数学不是提供给所有人,今天的数学仍旧如此。笔者我相当同意。这是一件有意思的事情——即便我还找不到准确的人口统计调查来支持这一点——先进的数学主要被有经济优势的人占据。但是,这里Barany的论证就失去了力量:这不是对任何课程的高级研究都是同样情形吗?能从继续读研究生已经是一件非常奢侈的事情,无论是研究数学,科学,语言,艺术,想无所事事地花4-6年领着微薄的薪水来思考这些东西,那是怎么样的“厚脸皮”才能做到。

 

一些历史学家,尤其是博主Thony Christie,对Barany构建的数学和社会的关系图提出质疑。Christie认为Barany夸大精英主义和数学家的“他者性”,指出数学在十七世纪科学革命发挥了巨大作用。这证实了笔者的猜想,那就是在过去的几个世纪里,数学与其他科学的成长和发展并没有什么不同。

 

在推特上的对话,Barany捍卫了自己的观点来应对数学传奇学者Steven Strogatz 给人们提的两个核心问题,(1)为什么公众支持先进的数学,和(2)为什么公众学习基本层面的数学?人们试图用“数学无处不在”来回答,Barney认为,“数学无处不在”并不是一个合适的答案。但笔者我反对Barney。

 

我认为数学无处不在,正是对回答陈词滥调的问题“我什么时候会用到这个?”的一剂良药。数学无处不在,正如任何事物无处不在。科学无处不在,艺术无处不在,语言无处不在,在某些情况下,无处不在就使足以让人们相信他们会用到这些学科。它无处不在,因此知道它将帮助你理解一切。所以我认为“数学无处不在”是激发公众学习基础层面数学的好方法。我想我们都能认同,学习基础层面的数学是一件很好很重要的事情。

 


因为帮助孩子养成良好习惯的最好方法就是树立一个积极的榜样,我认为政策制定者应该选择支持高等数学,就像他们支持任何先进的科学研究一样。因为尽管它有时候看起来似乎没什么用,但伟大的发现都是从基础研究中迸发出来的。

 

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数学家们正过度吹捧“数学无处不在”这一观点

 

 

原文作者:Michael J. Barany,数学史学家,先后工作于普林斯顿大学、达特茅斯学院。此文原载于《科学美国人》博客。

翻译作者:飞狂腾达,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学

 

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数学对于社会来说是至关重要的,也是少数人的职责——并且无论在什么历史时期,都一直是这样。

 

有人表示反对本文观点,敬请关注下一篇驳斥这篇文章观点的博文《别想多了,数学就是无处不在的》。

 

大多数人永远不会成为数学家,但是每一个人都和数学有着瓜葛。几乎从人类文明的开端,社会就赋予了数学家们既定的特殊权利。大众如何支持精英数学和为什么要支持精英数学的问题一直然存在,在过去的五个世纪(尤其是最近的两个世纪),什么样的数学应该让普通大众去了解是一个讨论较多的相关问题。

 

 

为什么数学对社会很重要?听数学家,政策制定者和教育家,答案似乎一致:因为数学无处不在,所以每个人都应该关注它。各种书籍和文章有很多的数学的例子,作者们列举数学的各种例子,声称数学隐藏在日常生活的方方面面,它解锁强大的真理和技术,也强烈联关联着个人和国家的前途命运。数学教授Jordan Ellenberg,畅销书《数学教你不犯错》的作者,他说:“放眼望去,数学就在你的身边,无处不在。”


的确,数字和测算在大部分人的日常生活中出现的最多,但这也极容易让我们产生误解,把数字和测算估计混为一谈,从而影响你生活的方式。当我们谈论公共政策的数学,尤其是公众对数学培训和研究进行投资时,我们不是在谈论简单的加减乘除和测量。在数学的历史长河中,利用它为社会作出巨大贡献已经成为少部分人的责任。社会重视和培养数学不是因为它无处不在,而是因为对于每个人来说数学都很难。我们要认识到数学在历史价值中的重要性,而不是煞有介事认为它隐藏在我们周围。这提供了一个让我们对数学如何融入社会的真实情况的了解,并且可以满足公众一个更负责、更包容的学科的需求。

在前农耕时代,数学是传达神谕的工具。祭司们用天文的计算来记录季节和解释神明意志,他们对数学的特殊需求给了他们在社会中的权力和地位。早期的经济体变得越来越大,越来越复杂,商人和工匠把越来越多的把基础数学融入到他们的工作中,但对他们来说,数学是做生意的诀窍,而不是一个公众的课程。几千年来,先进的数学仍然是优越阶层所关注的,无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。

第一个比较普遍的想法是,任何超越简单实用数学的东西都应该有一个更广泛的历史,历史学家称之为早期现代时期,大约在五世纪以前,那时我们许多现代社会结构和制度开始形成。正如马丁•路德和其他早期的新教徒开始坚持圣经应该用他们自己的语言提供给大众,像威尔士的博学家罗伯特•雷科德一样的科学作家用印刷机这样相对较新的技术来为人类促进数学。雷科德在1543年的英语算术教科书一上来就有这样的一段言论:“没有人能独自做任何事,更不要说与另一个人讨论或者交易,但他仍然要和数字打交道”,当一些东西“数不清”的情况下我们会用数字(笑)。

这个时期更具影响力和代表性的却是与雷科德同时代的约翰•迪伊,他利用自己在数学界的声誉获得了一个权力很大的位置,他还建议伊丽莎白一世女王紧紧的把数学上的想法作为秘密,并且对于一部分数学知识进行保密。这使得他的反对者控告他有研究巫术和其他的一些秘密实验的行为。在第十七世纪的科学革命中,实验科学(至少在原则上)对任何观察者开放,一些新发起人怀疑数学参数是无法接近的,倾向于用错误的确定感来消灭不同的观点。相比之下,在十八世纪的启蒙运动中,法国科学院的学者,这些以往的特权人士,将他们掌握的难学的数学融入了公共生活中,并权衡了哲学辩论和公民事务,同时照顾了女性,少数民族和下层社会阶层。

全世界的社会模式都在十九世纪被政治和经济革命的浪潮所改变,但是法国的特权数学模式却在为国家服务这一宗旨上没有变化,不同之处在于谁成为数学精英的一部分。出生在上层家庭的孩子仍然得到政府的帮助,但在法国大革命后历届政府也采取了更多的措施来注重中小学教育,而考试的优异表现可以帮助一些学生提升社会地位,即使他们出身低微。政治和军事领导人在一些著名的学院接受统一的高等数学教育,准备应对现代国家的专门问题,并且融合法国的模式,包括大众化教育与特殊的数学训练结合的方法被欧洲,甚至大西洋彼岸的人效仿。尽管基础数学通过大众教育使越来越多的人了解,但数学仍然是一些特殊的东西,使精英能够被区分出来。尽管更多的人可能成为精英,但数学绝对不是每个人的。

进入二十世纪,通过精英训练来引导学生的系统在西方世界中越来越受到重视,但数学本身却不再是训练的中心了。这在一定程度上反映了政府考虑事项的优先级的变化,但部分原因是高等数学的麻烦给政府留下的问题。一旦启蒙数学家从哲学的角度讨论计算实用技术问题,后现代数学家便有借口开始转向研究可怕的抽象理论而不用它们直接解决世俗事务。

下一个转折点,它在今天许多方面继续定义数学和社会之间的关系,是第二次世界大战。在这种规模的战争中,主要的参战国遇到了在后勤,武器设计和使用,以及其他领域的新问题,而数学家被证明是有能力解决这些问题。这并不是说最先进的数学突然变得更实用,而是说各国政府发现这些高等数学培训会有新用途, 数学家们也找到新的理由说服国家政府重新支持他们。战后,数学家们得到了美国政府为首的大量政府的大力支持,前提是无论他们平时的研究是否有用,他们现在都证明了在下一场战争中需要受过高度训练的数学家。

 

 

一些战时的活动仍然占据着数学工作者的时间,无论是国内还是国外的,从安全科学家,到代码断路器的技术公司和美国国家安全局的运筹学研究人员都在寻找最优化的生产方法和供应链来影响全球经济。战后的电子计算为数学家们提供了另一个必要的领域。在所有这些领域中,精英们的显著数学进步促使数学家们继续接受今天的公共投资。如果每个人都对数字有信心,可以编写计算机程序,并评估统计证据,这是非常好的,并且这些都是中小学教育的重要目标。但我们不应成为混淆这些主要目标和公共支持数学理论的理由,数学一直都是在顶尖人才掌握的学科而不是每一个人的。

想象数学无处不在,这使得它太容易忽略了真正的政治,谁成为数学精英的一部分,谁就可以真正指望拥有先进的技术,过硬的安全和良好的经济,以及打赢最近的战争和下一场战争。相反,如果我们看到这种数学在历史上是由少数人建立的,我们被要求去问谁能成为少数人的一部分,他们用生俱来的专长来守护什么样的责任?我们必须认识到,今天的精英数学虽然比过去的一个、五个或是五十个世纪以前更为包容,但仍然是一个在那些具有性别、种族和阶级的人身上享有特殊权力的学科。如果数学真的无处不在,那么它就已经属于每个人了。但说到学习和支持数学,还有很多工作要做。数学并非是无处不在的。

 

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如果你不跟你的学生讨论数学,谁来讨论呢?

 

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在我读高中的第一年时,教我几何的老师有一天走进教室向我们发出挑战:用直尺和圆规把一个角三等分。谁成功了谁就可以在这门课上得A。我们将不需要做任何的家庭作业,或者参加任何的测试。什么都不用做了。当然,似乎想解决这个问题的想法太美好以至于不可能是真的。但当时在读9年级的我并不知道这是一个不可能解决的问题。于是我开始着手解决这个看起来简单的问题。

 

我想到了大约十几个错误的证明,这些证明中包括像这样的推理:好了,当你适当移动圆规一点点你就可以画这条线,于是就解决了!当然,这个推理是错误的,这是一种没有经过证明的方法。这是一个刚了解什么的证明的新手最容易犯的错误。

 

但是我的老师没有只告诉我我错了,或是坚定地认为我是注定要失败的;相反,他让我分享了每一个失败的证明背后的想法,让我发现了在我论据中的不严谨之处。他坐在我旁边时,我们广泛地谈论了什么能构成一个证明以及什么不能。他知道我会犯错。他知道这是一个不可能的任务。但是他依然认真地听我讲述。


我的老师在倾听我的想法时的开放态度,鼓舞着我继续努力,并不断尝试新的方法。随着我学的数学知识越来越多,我重新回到了这个问题上面。我尝试过三角学,尝试过微积分,尝试过作一条我称作“1”的单位长度的距离。看完电影《心灵捕手》后,我认为如果我做出所有图解的镜像,可能会对解决问题有帮助。我的每一种想法都是错的。但是沿着这条路,我学会了逻辑量词,我学会了证明,我学会了鉴别我证明中的错误。最后,当我在研究生代数课上看见这个证明是不可能被实现时,泪水缓缓流过的脸盘,却浇灌出了我心中快乐之花。

 

这个故事可以引发很多不同的讨论。Ben Braun为这篇博客写了一篇很漂亮的文章 (http://blogs.ams.org/matheducation/2015/05/01/famous-unsolved-math-problems-as-homework/), 讨论了关于学生致力于困难且不可能解决的问题的价值所在。我很看好这篇文章。我想去探究非正式数学讨论的价值,特别是当这些数学思想是不成熟甚至可能是错误的时候;这些价值在于激励我们的学生和别人分享他们的思想;这些价值在于参与到和我们学生的讨论当中。

 

我们为什么需要花时间讨论数学?

 

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正因为认识到对学生讲授数学并不是最有效的教育方式, 主动学习、探究学习、项目为导向的小组学习以及其他学习方法变得流行起来。在学习数学中鼓励交流是所有这些方法中产生的额外结果;而首先我想说,我十分赞成谈论数学,因为这样做对鼓励课堂内和课堂外开放的数学交流有着额外的教育上和文化上的益处。


1, 通过在一起讨论数学,我们的学生提升了他们的表达能力以及对数学思想的直觉。在一次授课中,我绕着教室走了一圈,倾听学生们的想法,我有时会听到学生们的对话可以最好的描述为“电话”游戏(传话游戏)的对立面。一个学生试着对我描述一个问题,尽管语无伦次,但他的队友们了解到他的想法,有时会插嘴,给出一个条理较清楚的表达。由于其他的人给出的更清晰的表达,最后他们给出了一个相当不错的问题陈述。在这个陈述基础上,我们可以引入更多正式的数学语言和定义。如果在第一次语无伦次的表述后,我直接把标准的枯燥冗长的陈述告诉他们了,我可能就剥夺了学生学习发展他们自己的思想的机会。同样,如果我假装我在自己做研究时,或与合作者会面时没有遵循类似的“逆向电话游戏”现象, 那一定是欺骗我自己。


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2, 数学交流可以激发出多元的想法,多元的视角以及多元的解答。恰当地来讲,大多数的我们,或者教育者们,都希望我们的学生能欣赏用不同解法解同一问题的过程。传统的教育可能让我们仅仅能展示一种解法,没法让学生尝试用不同的方式去思考,更糟糕的是,即使他们的解法是正确的他们也可能会认为他们不同的解法是错误的。通过给我们学生一些时间让他们团队学习,团队交流,我们也就给了他们时间让他们从队友之间的交流中学习解决同一问题的不同途径。相比于在全班同学面前,学生也许更愿意在小组讨论或私人聊天中问这样的问题“我们解决这个问题用了这样或那样的方法,这些方法都是正确的吗?”

 

3, 通过与学生讨论他们的想法,在他们的学习过程中,我们可以提供针对性的关注。当我们在与学生交流时,我们可以快速评估出不同学生之间的差异,比如有的学生除了最难的问题几乎可以完成所有的家庭作业,而有的学生依然在努力奋斗第一个问题,与前者谈论第一个问题以及和后者讨论最难的问题都属于浪费时间。因材施教,从学生们已经理解到了什么,我们可以决定他们最需要学什么。

 

最重要的是,我们帮助学生们学习知识的方式是赞赏他们当场提出来的问题和展现出的数学思想;而不是在讲解问题中穿插一些所谓的知识点,并希望学生们多多少少能从其中受益。

 

数学交流是数学课堂的延伸

 

William Thurston为美国数学会公告写了一篇名为《论数学中的证明和改进》的文章(Thurston 1994),其中写道:

 

数学家们养成了一个无效的交流习惯......我们按照自已对学生“应当”知道什么的理解,用机械的语言讲述着数学;而学生却在挣扎着实现更简单的目标:理解我们的语言,揣测我们的思维模式。

 

在一个例子中他进一步解释了这个想法。如果Alice和Bob是给定领域的研究人员。Alice有可能可以用一杯咖啡的时间大致给Bob讲述一项最近研究发展中背后的思想。但是相比之下,Bob可能需要从一小时长的学术报告会中势力搜寻相似的见解,或者中花几个小时阅读Alice的论文。Thurston继续说道:

 

为什么非正式的交谈相比与听报告和读论文更加高效?在一对一的交谈中,在正式的数学语言之外有更多的交流途径。他们运用手势,画图表,通过语音语调或者肢体语言,让交流变得更像一个双向式的交流。这样人们才能重点关注他们最需要注意的地方。


对比起来,学术报告和写论文有赖于更深入的数学形式描述,它们阻止听众以主观和直觉和方式与其中的数学进行互动。

 

作为专业的数学家,我们都有这方面的经历。我们坐着听完整个学术报告,除了前五分钟外我们并没有听懂任何东西。我们已经读过论文中的一个句子20遍了,但仍不能理解其中的含义。但我们也在喝咖啡时中我们求教同事、合作者或朋友,并从他们的回答中找到灵感。所以,如果这就是当作为专家的我们试图学习新的东西时的情形,这和我们的学生试图学习数学有什么区别?

 

我们怎样才能促进数学上的交流

 

在理论上,这个讨论可能会引起很多人的共鸣,但是因为许多理由,贯彻这些思想或许比较困难。这儿有一些可以在任何地方落实的具体的建议:

 

 1, 让我们在每节课用5分钟让你的学生解决一道例题,这道例题可以简单到“(3x+1)²的导数是什么?”然后让学生与他们的同桌对比答案,如果正确,相互鼓励对方。如果你有更多的时间,用更多的时间给学生更多的问题。一个由学生完成的例子比一个写在黑板上的例子更有价值。

 

2,  鼓励学生参加你的答疑,你助教的答疑以及校园数学帮助中心。提醒他们每天利用好这些资源。做一个能接受新思想的可亲近的教授。你的学生也是人,他们大多数都对“耍酷”感兴趣。如果你从个人的角度去接近他们,他们更愿意问你数学问题。

 

3, 和你的学生分享你数学奋斗史。其中一个原因是我们大多数能当上数学家是因为我们乐意去解决那些一眼看上去不可能解决的问题。但是在我们学生的眼里,我们似乎是无所不知的解题指南,可以解决所有数学问题。我们需要努力消除这个界限。

 

4, 号召学生投入到你解决问题的过程中去。要求他们明确有力地表达,为什么他们要这么做,以及提升他们的灵活变通应对错误思想的能力。Rachel Levy关于此提出了一些有意义的建议(http://maateachingtidbits.blogspot.com/2016/09/5-ways-to-respond-when-students-offer.html)。

 

Pelzer老师,希望你能看到这篇文章,感谢你与我分享思想。我三等分角失败了,但这个过程却点亮了我生命中对数学的求知欲。

 

 

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小波理论之父获得2017年阿贝尔奖

 

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根据2017年3月21日,挪威阿贝尔数学奖官网消息。77岁的法国数学家伊夫·梅尔(Yves Meyer)因为其在小波数理理论发展的关键贡献,被授予2017年阿贝尔数学奖。奖金为600万挪威克朗,约合75万欧元,485万人民币。颁奖仪式将在2017年5月23日,在挪威奥斯陆举行。

 


伊夫·梅尔被认为是小波理论的创始人之一。现在,小波理论的应用非常广泛,只有设计到“信号”或者“编码”概念的领域中大概都能有小波理论的用武之地,比如信号处理、图像处理、量子物理、生命科学、医学、地球物理、语言识别、语音识别、气象科学、金融工程等等领域都或多或少的能见到小波理论的“身影”。


梅尔的研究领域也不止是小波理论,由于在数论、算子理论、同调分析以及小波理论的贡献,梅尔还获得过2010年的高斯奖,应用研究和基础研究都是功勋卓著的。


以下是阿贝尔数学奖宣布获奖会议的视频,会议邀请了陶哲轩来介绍梅尔的工作,6分42秒陶登场。

 

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写给大一初学数分高数的朋友们:浅浅说说两个病态函数

作者: e^iπ+1=0,就读于上海科技大学生命科学学院。

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com,详情参见征稿说明

 

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编者按: 当我们进入大学,开始大学数学学习的时候,我们发现,尽管我们还是从熟悉的集合、函数的概念学起,但总觉得有哪些不对。函数的样子变得更奇怪,更抽象。那些奇怪的函数,被称作病态函数。此文就是为刚刚学习大一数学的人们,简单的拆解一下两个著名的病态函数。

 

数学的抽象性体现在很多地方,简单的例子如对于高维空间的探讨,又比如对无穷的探讨,都给人高度抽象的感觉。其实所谓抽象,很多时候和反直观或者不直观联系在一起。说道反直观,有一类函数不得不提,那就是病态函数,字面上很容易理解,就是“不正常”的函数,他们具有反直观想象的性质,甚至可称得上是数学家的梦魇。庞家莱曾将魏尔斯特拉斯举出来的病态函数的例子称为“一种对常识的蹂躏”。但是,在数学中,研究病态函数是很必要的,他们的存在丰富了我们的视野,加深了对于数学的了解。

 

最有名的病态函数的例子莫过于以下两个:

 

(a)狄利克雷函数

 

 

(b)魏尔斯特拉斯病态函数

a≥3是一个奇数,b是严格介于0与1之间的一个常数且满足ab≥1+3π/2,则函数是处处连续和处处不可微的。

 

第一个函数相信大家都不陌生,在学习函数连续性的时候都会有所接触,包括在学习黎曼积分的时候应该对其也有一定的了解。狄利克雷函数处处不连续,它的图像是不可能被严格画出来的,但是大致上是两条平行线。(这样说也不符合事实,因为这两条“直线”处处不连续。)正是这样一个函数,打开了一扇新的大门,黎曼积分。

 

事实上在黎曼积分之前,数学家和科学家已经能熟练掌握应用一些基本的定积分规则和使用,但事实上这大多并不建立于严谨的体系。直到黎曼的出现,他给出了黎曼积分的定义,从而为定积分带来了福音。

 

现在依据黎曼积分的定义,我们可以判断这样一个病态的函数究竟可不可积,答案是不可积的。证明其实也很简单,对狄利克雷函数选择相同的分划,但是取不同的介点集,得到的是不同的结果,由此可知黎曼积分不存在。

 

看起来判定一个函数不可积似乎并没有什么意义,但事实上黎曼积分的出现,是对定积分的一次规范,使得数学家可以在定义和逻辑构造的世界中自由地研究函数,而不是只能对结果做猜测,这是极其重要的。

 

但是故事并没有结束。虽然黎曼积分判定狄利克雷函数不可积,但是数学家并没有放弃它,相反,一种新的积分定义隆重登场,使得这个病态函数也具有可积性,这就是勒贝格积分。简单来说,黎曼函数是通过划分定义域取介点集,而勒贝格积分则是通过划分值域来操作。一个经典的解释方式是,假设我们手上有一角硬币,五角硬币和一元硬币,现在我们有两种方式去计算总和,一种是将所有硬币一字排开来数,从头数到尾,这等同于黎曼积分,从定义域的下界走到上界一遍;但我们同样有另一种选择,那就是将相同币值的硬币摞起来然后计算每种币值拥有多少个硬币,相乘再相加得到结果,而这就是勒贝格积分的基本思想。

 

所以我们现在对狄利克雷函数考虑勒贝格积分,狄利克雷函数只有两类值,这里我们选取最初的取值,即1,0的取值情况。那我们可以发现,考虑闭区间0到1上的积分,再将值域分割,考虑值域所对应的定义域的“长度”(术语叫做测度,但是为方便理解这里姑且叫长度),再相乘相加,根据勒贝格测度的定义我们可以得到的是这个和是0。这样一来狄利克雷函数便勒贝格可积了,且积分值为零。

 

这是数学理念上的一种突破,从定义域的探讨转向对值域的探讨。而且事实证明能够勒贝格可积的函数大大扩增,可见理念上小小的突破换来的可能是一片广阔的天空。

 

狄利克雷函数的故事其实还有很多,这里暂且不表,让我们转向一个更有挑战性的病态函数。魏尔斯特拉斯病态函数,可能这个函数不如狄利克雷函数有名,但是对于所有学习数学分析的同学这个函数还是应该有所了解的。而这个函数的性质是如此的病态以至于尝尝被认做理性推导对直觉世界的重大打击。

 

相信大家在学习函数连续性和函数可微性的时候遇到过这样的口诀“可微必连续,连续不一定可微”。是的,函数连续不一定可微,这样的例子数不胜数,最简单的就是绝对值函数y=|x|,在零处连续但是不可微。不知道大家有没有这样的疑问,一个连续函数究竟能不可微到什么程度呢?比如说绝对值函数,虽然在0处不可微,但是在其他点上既连续又可微。那我们猜想,连续函数是不是一定存在可微的点呢?

 

不幸的是,这个直观上正确的答案是错误的。魏尔斯特拉斯病态函数就是这样的一个例子。首先这不是一个初等函数,而它的图像与狄利克雷函数一样是不可能被严格画出来的。关于这个函数连续但是处处不可微的证明相信上百度能搜索得到,证明的核心思路分两步,先证明其连续(这个学了函数项级数的一致收敛后很容易),再证明其处处不可微(这个就很麻烦了)。证明处处不可微的思路是,每一点对应的导数定义的极限,都可以找到一个子列,使得这个子列的极限是无穷大。但是证明过程相对复杂,这里不赘述,有兴趣可参见《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》,这里面的证明不像教科书里那样死板。

 

但是看过这个证明的人,无不为魏尔斯特拉斯的卓越推理能力折服。他的证明好比是一场气势恢宏的交响乐,证明中的每个部分都承担一部分职责,而魏尔斯特拉斯犹如指挥家将他们整合为极其协调的整体。这种超越直觉的洞见,用定义,逻辑和不等式狠狠地摧毁了直观主义。

 

这里只介绍了两种比较著名的病态函数,但是这个家族的成员数量远多于此。他们的出现,可以说是对直觉的挑战,是对数学深层次的思考。引用《微积分的历程》的一段评价魏尔斯特拉斯工作的文字来结束全文:

 

“在持续不断的起伏中,数学家们建立起雄伟的理论体系,然后寻找足以揭示他们思想界限的恰当反例。这种理论与反例的对照成为正确推理的引擎,凭借这种工具,数学得以进步。因为我们唯有知道某些特性是如何丧失的,方能了解他们是怎么样发挥作用的。同样,我们唯有认清直觉是如何把人引入歧途,方能如实地评价推理的威力。”

 

 

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分组散步引发的一个烧脑排列组合问题

 

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如果你曾经制作过时间计划表或者之类的东西,你就会知道这不是一项轻松的工作——这也就是为什么组合数学,一门根据特定的规则设计东西的艺术,能够在数学世界中占有一席之地的原因。最近,正是在这个领域,数学家们有了一些突破。他们发现了一些很多人觉得根本不存在的特殊设计。这些设计所包含的结构非常抽象,但是它们在通讯技术领域很可能大有用处。

 

理解这一新发现最好的方式是从一个有趣的益智题开始。假设你有一组人,人数为9。每天他们以三个人为一组出去散步。你能做出合适的安排,以保证在四天的散步中任意两个人同组的次数不超过一次吗?

 

 

它构成了所谓的斯坦纳三元系:把n个对象(在这个例子中,n=9,对象是人)安排进一些三元组,以使得任意两个对象同组的次数不超过一次。上图显示了一个S(2,3,7)的斯坦纳系,有7个点和7条线(我们把中间的圆也当作一条线),每条线包含3个点,每两个点只同时出现在一条线上。换句话说,这些线就给出了这7个点满足上述条件的三元组。更一般地,一个斯坦纳系S(t,k,n)是指将n个对象安排进一些k元组,并满足任意t个对象在同一个k元组中出现的次数不超过一次(译注:原文为“不超过一次”,但根据“斯坦纳系”的定义,应为“恰好一次”)。

 

 

 

你会问一个很自然的问题:t,k,n取哪些值的时候,存在斯坦纳系?很明显,并非所有的数的组合都能够使系存在。事实上的确如此,我们有一个可除性条件:一个由t,k,n的值所确定的斯坦纳系S(t,k,n)能够存在,t,k,n必须要满足可除性条件(如图所示)。一个重要的结果来自于2014年数学家Peter Keevash的工作,这一结果表明当n充分大时,可除性条件是足够好的:如果n足够大,且t,k,n满足可除性条件,那么一个S(t,k,n)斯坦纳系必定存在。

 

 

这一结果包含了斯坦纳系的一个推广。让我们不再去想n个抽象的对象,而是考虑一个由0和1组成的长度为n的字符串(计算机使用这样的字符串,这表明它和信息技术有关联)。对于n=3,这样的字符串有(1,1,1)和(1,0,1)等。对于一个给定的n,所有这样的字符串的集合构成了一个向量空间(此处我们不详述向量空间定义的细节,读者可以参阅任何一本关于线性代数的书)。让我们把这个向量空间记作F(2,n):2表明在我们的字符串中所出现的不同的符号只有两个(0和1);n表明字符串的长度。每个向量空间都有一个维数,在这里,维数就是n,即字符串的长度。

 

 

正如一个n元集合有子集,一个n维的向量空间也有维数小一些的子空间。这导致我们思考一个类似于斯坦纳系的问题:给定一个向量空间F(2,n),数字t和k,你能找出F(2,n)的某些k维子空间,使得F(2,n)的每一个t维子空间都只包含于其中的一个k维子空间中吗?如果这样的系存在,我们称其为S(2;t,k,n)。(用数字2也是有可能构成一个向量空间的,数字2在我们的这个例子中告诉我们字符串只由两个符号构成,用别的数q代替2,我们记这样的向量空间为F(q,n),与之相关的斯坦纳系统记作S(q;t,k,n))

 

直到最近,数学家们都认为大家关心的形如S(q;t,k,n)形式的系的具体例子并不存在。不过,Michael Braun, Tuvi Etzion, Patric R.J. Östergård, Alexander Vardy 和Alfred Wassermann实力打脸,他们把这个预言证否了。特别的,他们找到了S(2;2,3,13)形式的几个不同的系。

 

“寻找过程充满挑战,因为所涉及的结构数目巨大,” Ostergard说,“即使是在高性能计算机的帮助下,寻找它们也是一项艰苦的行动。因此,除了使用代数技巧和计算机,我们也得运用自己的经验去猜测从何处开始搜寻,以缩小搜索的范围。”

 

数学家们会很高兴,因为这一结果解决了一个长期屹立不倒的问题。然而,这个结果还有一个令人惊讶的实际用处。通讯行业严重依赖于纠错码:这个想法是给信息用某种方式编码,使其即使在传输过程中产生了错误,这些错误也能被自动消除。结果证明,S(2;2,3,13)系统给某种特别的纠错技术提供了最优的编码。“我们的发现并不能直接变成产品,但是它或许将逐渐成为因特网的一部分。” Ostergard说道。最新结果已在Forum of Mathematics, Pi发帖(剑桥大学出版社网站的数学论坛)。

 

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数学是什么?

原文作者:德夫林,斯坦福大学数学教授,英国数学科普作家。

翻译作者:心一就读于南开大学数学专业。

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com,详情参见征稿说明

 

 
 

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一直以来,中学致力于讲授数学的技巧,很少讲数学是什么,学生因此认为数学就是学习并应用相关技巧以解决特定问题的一门学科。这有点像把足球运动看作是运用策略让球进门一样;二者确实点出了一些关键,但同时也丢掉了对整个图景的认识。

当然,考虑到中学课程安排的需要,上述情形容易理解,然而这种安排所导致的后果也不容小觑。尤其在当今世界,对数学的深度,广度,效力以及局限有一个基本的认识对于每一个人都大有裨益。这些年来,我(指Keith Devlin教授)见过许多数学相关专业的人,比如工程,物理,计算机甚至数学专业本身,他们告诉我,从小学到大学一路学下来,他们还是不知道数学到底是什么。只是在后来偶然的情形,当接触到数学某一部分真正的本质时,他们才开始感受到数学的魅力。

 

Ⅰ 不仅仅是算术


当下科技使用的数学,绝大部分是近三百年的成果,有些甚至只有一百年。然而中学的传统课程,却是至少三百年前甚至两千年前的知识。讲授历史如此悠久的内容无可厚非,正如谚语所云:物尽其用。事实上,八九世纪阿拉伯世界商人为提高交易效率而发展的算术依旧有用,区别只在于他们手算我们用电子表格。随着时间推移,社会进步,对新的数学的需求也日渐凸显,相应的教育也应与时俱进。

 

据研究,数学始于一万年前数和运算的发明,接下来的几个世纪,古埃及人和古巴比伦人在此前基础上发展了几何学和三角学。对上述文明而言,数学就像菜谱,实用为上(“对一个数或一个图先作这个,再作那个,就会得到想要的结果”)。公元前500年到公元300年,数学进入希腊新纪元。古希腊人对几何有特殊的偏爱,他们用线段长度来表示数字,当发现没有数字可对应的长度时(无理数的发现),他们的研究止步了。

 

事实上,数学正是从希腊时期开始被当作一门严肃的研究,不再像以前作为度量或计数技巧而存在。大约公元前500年,米利都的泰勒斯最早引进了现在被公认为数学基石的概念:定理,即数学论断可以通过形式推理得到证明。泰勒斯所指出的道路,在欧几里得的《几何原本》中体现地淋漓尽致,《几何原本》也因此成为继《圣经》之后流传最广的经典。

 

 

到第一个千禧年的前半页,印度人发明进位制,伊斯兰世界的学者在后半页将其进一步深化,到中世纪欧洲南部掌握了这一方法,此后数学的发展未曾停步,持续至今。与此对照,中学的课程在包含上述内容之外,只增加了两门新课程:初等微积分和初等概率论。也就是说,过去三百年发展起来的学科无一入选中学课程,而我们用的大多数数学正好就是这二三百年发展起来的!

 

因此,对数学的认识只局限于中学的人,就不大能理解数学研究其实是一项普世而经久不息的活动,也不会理解数学会像空气一样弥漫在日常生活中。比如很少有人知道,美国哪个机构雇佣了数量最多的数学博士(答案是国家安全局,为其效力的大多数数学家的主要工作是破解密码,以此帮助安全局获取被加密了的信息)。

 

近一百年来数学的发展可谓爆炸式。20世纪初,数学包含十二个子学科:代数,几何,分析以及其他。现在,这个数字增长到60~70,有些子学科比如代数或拓扑,可进一步分为子子学科,其他比如复分析或动力系统,则完全是新领域。数学自二十世纪八十年代以来爆炸式的增长,也革新了我们对数学的认识:数学是研究模式的科学。依据这个认识,数学的任务是界定并分析抽象的模式——数值的模式,形状的模式,运动的模式,表现的模式,选举的模式,可重复的随机性的模式等等。这些模式可以是真实的,也可以是想象的,可以是可见的,也可以不可见,可以是静态的,也可以是动态的,可以是定性的,也可以是定量的,可以是实用的,也可以是好玩的:从实际背景到思维创造,它们可以是世界的任何模式。不同的模式对应不同的数学分支,比如:


●代数与数论研究数和计数的模式
●几何研究形状的模式
●逻辑研究推理的模式
●概率研究随机性的模式
●拓扑研究紧密度和位置关系的模式
●分形理论研究自然界自相似性的模式 

 

Ⅱ 数学符号


各种天书般的符号——代数表达式,复杂的公式以及几何图表——是人们对现代数学的基本印象。数学家如此依赖抽象符号,某种程度反映了他们所研究的模式本身的抽象性。

 

现实世界不同的领域需要不同的表示方法,比如研究地形分布或者给初来乍到的人指路,最好是画个地图,而非文字说明。类似地,我们通过城市规划图来定位某个建筑,用曲谱记录乐曲。


在分析处理各种抽象的模式和结构时,数学的符号,概念以及程式被证明是最佳的选择。比如我们熟知的加法和乘法的运算律,运用代数符号极其方便有效。我们以加法交换律为例:


(文字形式)两数相加,顺序无关


(代数形式)m+n=n+m

 

 

上述例子只是对数学抽象性的惊鸿一瞥。对大部分的数学分支,假如不用抽象的符号,数学将不可避免的繁复。也因此,符号系统伴随数学的发展稳步增长。


符号进入数学,一般归功于法国数学家弗朗西斯·韦达。其实,公元250年亚历山大里亚的丢番图就已经开始使用代数符号。他的十三卷经典《算术》(现存6卷)公认是最早的代数教科书。在书中,丢番图用特殊符号代表未知数,未知数的幂以及减法和等号。


现在的数学书充斥各种符号,但符号之于数学正如乐谱之于乐曲。一段谱子代表一段曲子,谱子只有被唱出来或者演奏出来才成为灵动的曲子,也就是说,乐曲存在于我们的思维中而非纸上。对数学而言,道理也是如此:符号只是数学的表示,当经过专业人员(这里指受过数学训练的人)的解读,抽象的符号有了意义,数学如交响乐一样回响在读者的脑海中。

 

回到本节开头,再次强调:数学符号的抽象在于数学对象本身的抽象。抽象的数学可以帮助我们理解世界的运行模式。1623年,伽利略写道:


自然这本大书只有掌握它的语言的人方能读懂,这语言就是数学。


事实上,物理学可以用数学语言精确地描述。我们用飞机的例子来说明,数学何以帮助我们理解物理定律。喷气式飞机飞行时,我们是看不到任何向上托它的力量的,只有借助数学,我们才能理解那股隐形的力量。而这股力量,最早由十七世纪的伊萨克·牛顿所研究,经过几个世纪数学和工程的持续发展,我们终于能够制造出实际的飞机。这个例子很好地凸显了数学的力量:让不可见变成可见。 

 

Ⅲ 大学水准的数学


经过前述对数学历史的回顾,现在我们来说明大学数学与中学数学的本质区别。


大约150年前,虽然当时的数学已远远拓展到数之外的范畴,但数学家依旧认为数学的本质是计算,对数学的精通就意味着能够做复杂计算或者熟练推演符号。大体上,中学数学正是在这样的传统观念中建立起来。


直到19世纪,随着数学家攻克更复杂的问题,他们发现直觉并不总是能引导下一步的研究,相反,之前为解决实际问题而发展出来的方法可能会引出违反直觉的结果,比如Banach-Tarski悖论就是一个例子。这个悖论讲的是,理论上,我们可以把一个圆球用某种方式切成小块然后重新组合,就能得到两个(是两个,你没看错)和原来一样大小的圆球。


由此开始,数学迈入了只能在其内部理解自身的新阶段。(因为Banach-Tarski悖论在数学上无懈可击,其结论虽然诡异,我们依旧要承认它)类似上述只能在数学上加以说明而不可能借助其他方式验证的结果,促使数学家用数学方法来检验数学本身。


19世纪中期开始的这种“内省”,让数学家对数学有了全新认识:数学的重心不再是计算求解,而是理解抽象概念和关系,数学由强调“实操”转变为注重“理解”。数学对象不再局限于特定的函数,而是某一抽象性质的载体,证明不仅仅是按照规则变换对象,而是从概念出发进行逻辑推演。

 

这次观念革命,彻底改变了数学家对数学的看法。然而对数学家之外的人,世界依旧如常。人们真正感觉到变化,是从大学课程开始。比如说你是一个数学专业的大学生,初次接触“新数学”,结果被折磨地死去活来,你很可能会问候狄利克雷,戴德金,黎曼以及所有其他发明这些该死的知识的人。

 


下面再用一个例子来说明这种转变。十九世纪之前,数学家对函数的普遍看法是,诸如y=x²+3x-5这样给定x生成y的式子是一个函数。然后逆天的狄利克雷出场,他说:忘掉那些式子吧,多想想函数的输入-输出机制。函数,就是能把一个数变成另一个数的法则。这法则,不必非得是代数表达式,甚至,都不必局限在数的范围内:只要能把一类事物变成另一类事物,这样的法则就是函数。


依据这一看法,下面的定义就是一个函数:


x是有理数时,f(x)=0
x是无理数时,f(x)=1


试试画一下这个函数的图像!

 

由此开始,数学家转向研究抽象函数的特征而非代数表达式,比如不同的起始值是否总能对应不同的函数值?(这样的性质叫做单射)
这条抽象的道路为数学其中一个分支的发展立下了汗马功劳,这个分支即实分析。在实分析中,抽象函数的连续性与可导性是主要研究对象,所使用的“δ-ε(读作“德尔塔-埃普西隆”)定义”,直到今天,仍然是微积分课程的拦路虎。


到十九世纪五十年代,黎曼根据可微性定义复函数,在此之前,伟大的高斯首次把带运算的集合作为数学对象加以研究,由此定义了模剩余类。高斯思想的后继者,戴德金,则进一步研究环,域和理想,而这些概念,也是带某类运算的集合。


类似的变化,不一而足。

 

像大多数的变革一样,十九世纪的这次转变也有久远的渊源。古希腊时期,数学就从单纯的计算被提升到思维体操的高度,到十七世纪,微积分的另一发明人,莱布尼茨,则对数学的两方面都进行了研究。即便如此,直到十九世纪数学还是被当作解决问题的手段。生活在今天的数学家可能很难感受当时的冲击,而这场变革就这样悄悄地发生,渐渐地被遗忘,默默地影响数学的走向。本书就是在这样的背景下,怀着为读者提供理解现代数学的思维工具的使命而诞生。

 

十九世纪后半页的新数学成为大学数学的主旋律,但是高中的数学内容没有受到任何影响,正因如此,你需要一本这样的书(《Introduction to Mathematical Thinking》)来完成思维的转变。事实上,六十年代有过所谓的“新数学”运动,但大学数学系的精神被高中严重曲解,以致运动很快就被叫停。


对十八世纪的数学家而言,计算和理解同样重要,十九世纪的革命只是二者孰重孰轻的区别。但六十年代高中老师的解读却是,“忘掉计算,专注理解”,这种荒谬的论调遭到数学家Tom Lehrer的嘲笑,他在自编的歌曲「新数学」中写道:答案不知道,方法最重要。最终,“新数学运动”几年后惨淡收场,退出高中。


自由社会的教育政策就是这样,不知道未来会不会再来一次“新数学运动”?我们也不知道社会是否期待这样的改变,教育界就学生是否应该先掌握计算技巧然后再作抽象研究还有广泛的争议。
 


Ⅳ 为什么你应该学数学


至此,你应该明白,数学在十九世纪的变革(从强调计算到注重理解),只局限于以研究数学本质为己任的数学家群体。对于大多数的科学家,工程师以及其他在日常工作中用到数学的人来说,数学只是计算工具,直到今天依旧如此。甚至,计算在今天的重要性和广泛性远超历史的任何时期。


因此,在数学家之外的人看来,十九世纪的变革更像是内容的扩张而非焦点的转换。对于今天的大学生,学校期望他们不仅要掌握解决具体问题的技巧,同时也应清楚背后的思想并能从数学上证明他们所使用的方法。


这样的要求是否过分?这难得不应该是数学家的事情么?对于那些只是为了找份好工作而不得不学数学的学生来说(比如工程类专业),为什么也如此高要求?


有两个原因(剧透下:只有两个,并且这两个本质上是同样的意思)。


首先,教育不仅仅是职业培训。作为人类伟大文明的成果之一,数学应该和科学,文学,艺术以及历史一道,被当作文明珍宝而一代代传承下来。我们学习不仅仅是为工作和职业,职业技能只是教育给予我们的很小一小部分。


这一条毋庸置疑,接下来我们说工作技能的原因。


众所周知,很多工作需要数学技能。事实上,大多数行业对数学能力的要求远非我们想象的那么简单,这一点,找工作的同学会有深刻体会。


这些年的经验告诉我们,每一次产业升级都会产生巨大的人才缺口,这些人才必须具备相应的数学技能。实际上,如果更细致的考察这些技能,我们可以把它划分为两类。第一类,给定一个数学问题(即实际问题已经被归结为数学模型),解决之。第二类,抛给一个实际问题,比如说制造问题,能否识别出关键因素并用数学语言表述出来(即建模),然后解决之。


以往的情况是,社会对第一种技能需求巨大,对第二种需求很小。而数学教育能够培养兼具两种技能的人,虽然主要精力在培养第一种技能,但总会有人脱颖而出,掌握第二种技能。如此皆大欢喜。但在当今社会,随着企业创新加快,第二种技能,即跳出数学框架来思考问题的能力,开始取代第一种技能的地位。顿时,一切都不好了。


掌握这种(第二种)技能的人,最关键的,是要对数学的力量,应用范围,何时不可用何时可用以及如何应用有一个整体的认识。在此基础上,他们还需掌握一定程度的,不一定非得精通的数学知识。更重要的是,他们能在跨领域的团队中懂得合作,能够从新的角度看问题,有快速学习能力,然后应用已知方法解决新问题。


那我们应如何培养这样的学生?答案是:注重培养技巧背后的数学思想。古语有云,授人以鱼,不如授之以渔。对新时代的数学教育而言,道理也是如此。因为我们有太多的数学知识,并且新的还在不停增加,小学到大学的16年时间里,不可能全部掌握。即便掌握了,等到大学毕业开始工作时,有些知识已经过时,新的知识又成了风尚。因此,数学教育应该教会学生如何学习。


十九世纪数学内部激增的复杂性引发了数学从计算到概念理解的变革,150年之后的今天,在社会变革是由更复杂的数学所推到的背景下,数学那一次变革的重要性就不仅仅是对数学家,而是对所有想应用数学的人!


到现在你应该明白,为什么十九世纪的数学家要转换焦点,同时也应明白,为什么五十年代以来的大学生不仅要会计算也得掌握背后原理。换句话说,你应该明白了大学之所以逼着你学数学的良苦用心,比如能够顺利读完这本书。最后,希望你能够意识到数学对你人生的价值,而不仅仅是通过数学考试这么简单。

 

 

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费马大定理证明者:搞数学是一种怎样的体验?

此文原载于+Plus Magazine网站。

翻译作者:mathyrl哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师

稿件校对:333

 

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安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)是一个数学传奇。他由于证明了费马大定理(Fermat’s last theorem)这个数百年来一直嘲弄着数学家智慧的问题而格外地有名。在这次采访中,怀尔斯告诉我们,证明这样一个重要的结果是什么样的感觉,通常做数学又是什么样子。

 

 

本文基于安德鲁·怀尔斯在2016年9月的海德堡奖学金论坛(Heidelberg Laureate Forum)上举行的新闻发布会。《Plus》要感谢海德堡奖学金论坛(HLF)提供这个机会,所有参与者的精彩问题,以及安德鲁·怀尔斯的深思熟虑的回答!

 

在花了这么长时间来寻找证明之后,最终证明费马大定理是什么样的感觉?

简直棒极了。这是我们一直盼望的,这些造就启示和激动的时刻。实际上很难平静下来做任何事情 —— 那一两天(你)欣喜若狂。起初有点难以回到正常的工作生活,也很难沉下心来做一些平凡的问题。。

 

 

你是否认为你对费马大定理的证明是某种开始,而不是某种结束?

好吧,两者都是吧。对于那个非同寻常、经典而又浪漫的问题,我的工作给它画上了句号,这个数学问题在我还是小孩子的时候就驱使我和带领我走向数学,所以它也是我从那时起稚气而浪漫的数学观点的终结。

 

以它作为起点,打开了一扇通往朗兰兹纲领(Langland’s programme)的小门,以及试图在朗兰兹纲领得到结果的一种新的方式。那扇门的打开,(允许)很多人穿过和发展它,这也是我一直在努力做的。

 

 

你为什么秘密地进行证明工作?

实际上我没有秘密地开始。我告诉了一两个人,然后意识到不能告诉其他任何人:这不轻松。他们总是想知道我所做的一切,我是否取得进展等等。我完全确信那些在黎曼猜想(Riemann hypothesis另一个著名的未证明的问题)上工作的人,我相信其中有一些人,没有告诉全世界他们在做什么。因为如果你有一个想法,你只是想把它做出来。当然在大多数时候,你并没有想法...

 

第一次分享这个证明的经历(在剑桥的一系列讲座中),能够媲美这个证明的发现吗?

不,发现是最令人激动的事情。有一种泄露天机的小感觉。这是一场私底下的较量。它是让我五味杂陈的朋友,因为它有时对待我很糟糕。(笑声)但是把它传递到世界上也有种小遗憾的感觉。

 

 

你代表数学研究员向普通大众的听众演讲。当你与更广泛的公众交谈时,你会强调什么主题?

 

我想很多人在年轻的时候已经被数学吓退了。但实际上你会发现的是,孩子们在有某些负面的经历之前,他们真的乐在其中。糟糕的经历可能是因为你被教导或者你处在一个人们害怕数学的环境中。但我在大多数孩子中发现的自然状态是,他们发现数学是非常令人兴奋的。孩子们生来就很好奇,渴望探索外面的世界。我试图向他们解释,对于那些坚持下去的人,(做数学)真的是一个愉快的经验 —— 它非常刺激。

 

现在,当你作为一个稍大的孩子或成年人开始做数学时,你必须接受这种被困住的状态。人们不习惯这种状态。有些人觉得这样压力山大。即使是非常擅长数学的人有时也会觉得很难习惯,他们觉得这是他们的失败之处。但它不是的:它是这个过程的一部分,你必须接受(和)学会享受这个过程。是的,你不明白(当前的东西),但你要有信心,随着时间的推移你会弄明白 —— 你必须经历这个过程。

 

这就像体育训练。如果你想跑得快,你得训练。在你试图做任何新东西的过程中,你都必须经历这个困难的时期。这没什么好害怕的。每个人都这么过来的。

 

在某种意义上,我最为反对的,就是那种观点,例如电影《心灵捕手》(Good Will Hunting)所表达的,存在一些你天生的东西,要么你拥有它,要么你没有。这真的不是数学家的体会。我们都觉得数学很困难,这不是说我们和那些在三年级时与数学问题作斗争的人有什么不同。这真的是相同的过程。我们只是准备好打一场更大规模的战争,我们已经建立了对这些挫折的抵抗力。

 

是的,有些人比别人更聪明,但我真的相信,如果他们准备好应对这些更多是心理层面的问题,即如何处理被困住的情况,大多数人可以真正达到相当好的数学水平。

 

 

当你陷入困境时,你怎么做?

研究数学的过程在我看来是你理解了关于问题已有的一切,你想到了很多解决这个问题的想法,使用了所有可用于这些东西的技术手段。但通常问题依然存在,需要别的东西——所以是的,你陷入了困境。

 

然后你必须停下来,让你的头脑放松一下,然后再回来。你的潜意识正在以某种方式建立联系,你再次开始,也许在下午,第二天,甚至下星期,有时它就浮现出来。有时我把某个东西放下了几个月,我再回来然后发现它是显然的。我不能解释为什么。但你必须有信心,那会浮现出来。

 

有些人处理这种情况的方式是他们同时处理几件事情,然后当陷入困境时他们从一个切换到另一个。我不能这样做。对此我会变得狂躁。一旦我被一个问题困住,我就不能再思考别的东西。这更困难。所以我只是稍微休息一下,然后再回来。

 

我真的认为,如果你想成为一个数学家,有太好的记忆力并非好事。你需要有稍微不好的记忆力,因为你需要忘记你前一次处理(一个问题)的方式,因为它有点像DNA进化。你需要按照你以前的做法来犯一点小错误,使得你去做一些稍微不同的东西,然后这实际上能让你绕过去(问题)。

 

所以,如果你记住之前所有的失败尝试,你不会再去试一次。但是因为我的记忆力稍微有点不好,我可能会尝试基本上相同的事情,然后我意识到我只是错过了一点我需要做的小东西。

 

当你休息时 —— 你的一天是什么样的?

 

我喜欢去参观牛津附近美丽的地方。我的意思是反正牛津是一个美丽的地方,有很多地方可以去,以及邻近的兰斯洛特·布朗(别名Capability Brown)设计的布伦海姆楼(Blenheim House)那儿的美丽的地方。

 

有很多美丽的地方,例如就到这些在几个世纪前由那些真正投入了他们生命的人所创建的景观去走走,我发现那样非常放松。

 

创造力在数学中有多重要?

 

对,创造力就是它的全部。我认为外界对数学有不同的反应,其中之一是普通公众认为“不都是已知的吗?”,或认为它是机器式的。

 

但不是那样的,而是非常有创造性的。我们想出一些完全意想不到的模式,无论是在我们的推理过程中或结果里。是的,要与其他人交流,我们必须使其非常正式和非常合乎逻辑。但我们不是按那种方式创造的,我们不按那种方式思考。我们不是自动机。对于它应该如何组合在一起,我们已经发展出了一种感觉,我们试图感觉,“嗯,这个很重要,我没有使用这个,我想尝试并想出一些新的方式来解释这个,使得我可以把它放入方程,”等等。

 

我们认为自己非常有创造性。我想这有时对数学家们来说有点沮丧,因为我们从美和创造力等角度来思考,然而外界当然认为我们更像一台计算机。这完全不是我们看待自己的方式。

 

它可能有点像音乐。在某种意义上,音乐,你可以只是用数字把它写出来。我的意思是,他们只是些记号。它是上,下,上,下,加入一个节奏。它完全可以用数字方式写出,确实如此。但你听巴赫或贝多芬,这不是一系列的数字,还有别的东西。这与我们一样。有一些非常,非常有创造性的东西,是我们非常热衷的。

 

 

当事情开始变得协调并朝着正确的方向发展,你能感觉到吗?

 

是的,一点没错。当你有感觉,就像睡梦中和清醒之间的区别。当你做错了,在你内心深处往往有点儿感觉到它还没有足够简化。但当你做对了,那么你感觉到,“啊,这就是它了。”

 

你认为数学是被发现还是被发明?

老实说,我不能理解哪数学家会不同意它是被发现的。所以我认为我们都站在同一阵线。在某种意义上,也许证明是被创造的,因为它们更容易犯错并且有很多选项,但是根据我们的需要找到的实际的东西,我们只是认为它是被发现的。

 

这是一个必要的幻觉吗?作为一个数学家,做这项工作,你需要相信是你发现了它,而不是发明了它吗?

我不想说这是谦虚,但你以某种方式找到这个东西,突然你看到这个景致的美丽,你就是觉得它一直在那里。你不会觉得在你看到它之前它不在那里,这就像你的眼睛被打开,然后你看到了它。

 

 

谁创造了这个景致?

 

好吧,数学家不是那么的哲学。 (笑声)我们是艺术家,我们只是享受它,我们并不是它的一部分。有哲学家和其他人工作在数学中更哲学的一面,有一些人为这种事情劳心,但我们不是伯特兰·罗素。我们真的不是。 (笑声)我们其实想做数学本身。我们是工作的艺术家。

 

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对抗癌症:数学成为生命科学的“魔数”

 

原文作者: Tom Feilden,BBC科学记者

翻译作者:e^iπ+1=0就读于上海科技大学生命科学学院。

 

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“当今,如果你想投身到医疗事业中去,那么你最好是研究数学或者计算机科学的,而不是生命科学的。”

 

在一场关于他汀类药物(降低胆固醇的药物)的好处与坏处的讨论中,Rory Collins爵士说出这句精辟的话,而他本人是牛津大学临床试验的领头人。

 

这是一个很棒的小笑话,不过我都未曾细想。直到几天前,当我坐在一个关于启动癌症治疗新创想的新闻发布会上想起它来。

 

我在专家小组会议遇见癌症研究学会(ICR)的主任Paul Workman教授,这位教授我并不认识。但是过了一会儿我就明白他所说的这些正是Rory爵士考虑到的。

 

Andrea Sottoriva博士是一位天体物理学家。

 

 

他投入了相当多的时间去搜寻中微子——这是一种极难捕捉的亚原子粒子,产生于恒星如太阳中基本粒子的聚变——在海洋底部,并且分析利用坐落于日内瓦欧洲核子研究中心(CERN)的大型强子碰撞机做的原子碰撞试验的结果。

 

在位于萨顿的癌症研究学会(ICR)的实验室中遇到后,他对我说:“我的学科背景是计算机科学,特别是将计算机科学应用到粒子物理学。”

 

 

新纪元

 

所以为什么是癌症?

 

答案总结起来就是三个字:大数据。

 

Sottoriva博士带来的对抗癌症的武器,就是他在数学模型方面的专业经验,用于挖掘在信息革命给医疗带来的巨大数据宝藏

 

 

“激动人心的是,我们可以把所有在物理领域研究出的全新分析手段都应用于生命科学中,”他说道,

 

“所以现在我们拥有的所有全新的定量技术,使得我们可以处理巨大的数据量。并且我们现在可以把物理中的范式在生命科学中实现出来。”

 

当然,将数学应用于解决生命科学问题并不是一件新鲜事。

 

但是按照Rory Collins 爵士所说,只有现在,大数据革命在使医学转型,并且引领了生物信息学的新纪元。

 

“大数据为我们提供了绝好的机会去理解不同健康状态的决定性因素。”Rory爵士说道,

 

“数据的实用性是非常卓越的,处理这些数据的方法同样很卓越,所以创造了机会让我们弄明白究竟发生了什么,以及如何去避免疾病。”

 

 

 “数据灾难”的警告

 

但是大数据同样存在问题。虽然大量的数据赋予生物信息学力量,但是也存在其阿喀琉斯之踵。

 

亚利桑那州立大学的科学与社会学教授Daniel Sarewitz,警告人们“数据灾难”的存在——过于热情的研究者正面临不小的风险,他们正漂浮在由无关信息构成的海洋之中。

 

 

“如果小鼠模型好比是在路灯下寻找钥匙,那么大数据就好比在全世界的范围内寻找它”,Sarewitz教授如是说。

 

流行病学家Liam Smeeth教授也赞同这个观点。

 

他指出,如果研究者不能很好地限制他们搜寻的范围,那么科学家们将很快身处囹圄,走进死胡同。

 

“就好比是一个人对着墙射出箭,”他解释道,“他们对着一块很大的空白墙面射箭,然后上前去在箭的周围画一个靶子并声称命中了靶心。”

 

“科学家需要做的事情应该是做精确的科学,并且对着预先设定的目标射箭。”

 

在Sottoriva博士看来,着手处理大数据就好比是棋类大师应对棋局一样,

 

 

要利用数学模型去理解和解码癌症致病的游戏规则。

 

 

“大师所做的事情是预测对手下一步会怎么办,”他解释道,“如果我们解码了癌症的复杂度,并且对癌症接下来的行动做出预测,那么我们才能真的在坚实的数学基础上做出切实有效的治疗。”

 

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读《一个定理的诞生》有感

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写在正文之前

我关注哆嗒数学网时间虽然不长,但是作为一名数学爱好者,我仿佛找到了一个理想的彼岸。我曾在数学吧、33IQ等多个平台里面以提问和故事的形式分享我的“愚见”,一些零星的反响,带给了我不断探索的勇气与激情。偶然的机缘,我结识了哆嗒数学网,里面丰富多彩的数学故事、知识,以及经久不衰的书籍,让我叹为观止!本次我所参与的写作征集活动,也让我找到了一个能“畅所欲言”的舞台。祝愿哆嗒数学网能够充分利用互联网的优势,让数学那道神圣的光芒,照耀到每个默默为数学探究努力付诸行动的人。

最后我对搭建哆嗒数学网,以及背后那些为这个平台的正常运作而默默付出的人表示由衷的感谢!

 

作者是一名能为自己的目标而不懈追求的人,在他年轻的时候就被那包罗万象的波尔兹曼方程所吸引,与大多数数学家一样,围绕在他们周围的始终是堆积数米高的草稿子,一台笔记本电脑,一支笔,以及在自己所热衷的难题与生活面前数以万计的选择。他们是一群敢于在黑暗中前行的人,穷尽自己的智慧与胆识力求在黑暗中寻找出一条通向光明的道路,在这之前,或许他们也并不知道自己在哪儿,距离成功还有多远,唯一支撑他们继续前行的永远是那个最单纯的信念以及永不磨灭的好奇心,有人把定理和数学家的关系描述成:定理是在某个正确的历史节点上选择了一个正确的人来证实了自己的存在,而这个唯一接近真理的人在此之前却又是终日与孤独为伴,相逢的知己也就自然而然的成为了他生命中最难忘的人。对于隐藏在问题背后的本质,数学家们有着极其敏锐的嗅觉,即便已超越平凡的认知,可对于数学家来说,他们并不会停留于此,一颗追求完美的心,会时刻让他们陷入更深层次的世界里面。

本文的作者塞德里克·维拉尼,一个多才多艺且充满传奇色彩的数学家,与其他数学家一样,为了自己心中拟定的那个奋斗目标能够变成现实,他奔走于各所大学开展不同程度的学术讲座,从普林斯顿研究所再到庞加莱研究所,其间也不断的进行着各种深度的学术交流活动,结识了一些志同道合的朋友并且畅谈一番;与此同时,他也与普通人一样,有一个幸福美满的家庭,为了扮演好一个父亲的角色,他不忘准时去接送孩子上学,逗他们开心,陪伴他们健康成长。与常人不同的是,他目标非常明确,并且能为自己的目标而付出十倍于常人的努力。

 

 

朗道阻尼——粒子和波相互作用使波的振幅减小的现象。也许正如达尔文所述:“数学家就像是在黑暗中努力寻找黑猫的那一类人。”朗道阻尼就如同那只黑暗中的黑猫,因为从一开始,它就单单只是个猜想(尚未有被公认的数学表达式)。但是由于这个猜想所描述的等离子体的自发稳定性规律,让深处波尔兹曼方程正则性问题困惑的作者在冥冥之中嗅到了其中的关系。万物归宗,大到恒星自发组成具有稳定外形星系的神奇能力,小到等离子体的自发稳定性规律。二者虽然来自不同的研究领域,可在表述上却又不乏相似之处,或许能从相似的现象中可以提炼出相似的研究方法呢?通过把离散的恒星群体的运动近似的看作为连续的流体来进行研究,再对误差进行控制分析,从中导出与“最优运输”的关系,这一切的关联给作者带来了启发。在对以上部分的阅读中让我深刻的感受到了数学的神秘性,方向不同但思维方式却可以引起共鸣,再通过彼此之间的相互交融最后产生灵感。另外让我为之一颤的是文中所提到的 KAM 理论,它所描述的某些局部扰动并不能改变全局结构的特性,引起了我的共鸣,仅依靠自身的系统规律来实现局部无序到全局有序的转化,这种局部与整体不相一致的模式让我联想到了 IMO 中的一些情形:局部最优并不意味着全局最优。

文中不乏有晦涩的专业术语,细细品味之后,抛开不明觉厉的感觉,呈现在我眼前的那一道又一道思维亮点,让我叹为观止。在高层次的数学领域中,更趋向与把研究对象分解,从系统性的角度来研究其具有的性质,通过精确的定义、严密的推导、巧妙的构造,实现思维模式到解法的转化。天书般的数学符号像一个个彼此相连的音符,他们紧密而又美妙的组合,成为了响彻整个宇宙的天籁之音,高度概括性、抽象性、层次性的特点让它失去了初等数学那样的亲和力,里面所涉及的符号就像一个个机构一样庞大而又复杂,对深层次规律的探索时刻让我感受到一种“道可道,非常道”的压力。不过,万变不离其中,只要我们目标
明确,问题表述清晰形象,就不至于感到迷茫,数学背负着解释万物的使命,作为一门语言,我们用它来描述其他语言因为其自身的局限性而不能很好描述的现象,其操作过程往往是先把对象抽象出来在赋予其形象化的特征,这时问题很可能就转化为了一个能被解决的问题。

灵感引领我们取得突破的第一推动力,在研究过程中作者也曾多次陷入不同程度的困惑之中,忘我工作的状态之后,迎来的并不全是疲惫与绝望,上帝最喜欢在这个时候抛洒灵感的火花,指引着他走出困惑,爱迪生曾说过:“成功是 99%的努力加上 1%的灵感”。而我更情愿不这句话改为“成功是用 99%的努力去换取那 1%的灵感,再用那 1%的灵感去指引随后 99%努力的方向,直到最后取得成功”。诚然,努力也不一定会成功,必要的时候需要跳出死胡同,当正向进展受阻,不妨考虑从逆向进展,如本文所做:把某个部分可能出现的解所具有的特征提取出来进行分析,对特征解的分析能加深对整个系统的认识,有助于走出困境。当然以上方法极具特殊性,普遍来讲,解决一个数学难题最常见的两种情况是:1.突破性发现。这种情况又可细分为两种:1.1 已有的数学工具相互组合形成一个能带来突破性发现的数学工具,例如:微分几何就是微积分学与几何学交融后所形成的一个新领域,复变函数就是复数与函数交融后所形成的一个新领域。依靠这种突破性发现来攻克数学难题的数学家是极具眼光的一类,这让我联想到了解决庞加莱猜想的俄罗斯数学家佩雷尔曼,其核心工具“里奇流方程”,一个描述空间图形形状,即使在连续变化过程中出现干扰,但也最终偏向均匀分布变化而不改变拓扑结构的规律的方程。虽然佩雷尔曼不是发现里奇流方程的第一人,但他却将非线性几何偏微分方程用于拓扑学研究,并取得成功的人,这归功于他独特的眼光。1.2 敢于打破已有的数学工具,开创出一套崭新的数学工具用于问题的研究,例如:日本数学家望月新一,据说他就开创了一套前所未有的数学工具——宇宙际 TR 理论,用于解决困扰数学界已久的数论难题——ABC 猜想,可是由于目前还没有建立起一个好的标准来对此进行审核,所以研究的结果也就被搁置一旁,无人问津。这种情况很少,毕竟当前数学研究模式依然是把研究成果建立在彼此合作之上的。本文作者力图构造一个能便于自己研究的范数,构造是一项极具挑战性的工作,在各种条件所限制的前提下,为自己争取尽可能大的可突破空间,可事情往往不是单向发展的,构造出的模型在用于研究的过程中随时都会遇到新的问题,这是我们会在局部与全局之间做出选择,运气好的话,通过相关的技术能够完成在局部范围内的修复,研究的以继续,诚然,无法得到修复的局部错误波及到全局,对其产生显著影响的时候,那么就只能打道回府,另辟蹊径,“说到底,你所做的这些事,随便一个笨蛋都能做到,你应该去寻找一个更重大的问题,让人生更有意义”。

数学是一门极具艺术性的学科,一串看似简单静止的字符表达,却是一个复杂系统的缩影。是真理的传递形式的体现,是大量信息的浓缩体,艺术性的表达式成就了包罗万象的数学定理。数学是一门极具神秘性的学科,文中谈到格罗莫夫对纳什所提出的“非光滑嵌入定理”的评价是“这不应该存在,但确实存在”。数学是理论性很强的学科之一,它具有前瞻性,它推动世界的发展,但又超越现实的脚步,如今的数学已发展到及其抽象的阶段,即使是跨分支的交流也变得吃力,也许某些研究对象并不能在现实中找到实际意义,但是却能推动数学理论的发展,例如虚数单位 i,找不到实际意义,但却成为了复变函数的基础,而复变
函数的发展却有着实际的意义。这种虚实之间的转换更是给数学披上了神秘的面纱,殊不知还有多少这样“默默无闻”的东西等待去发掘。数学是一门极具吸引性的学科,一个都能看懂,都有话可说的命题,却是一声跨世纪的问候,费马大定理、哥德巴赫猜想,叙拉古猜想......它们是时代的句号;先辈们的省略号;智者的问号;胜利者的感叹号。数学是一门极争议的学科,1976 年,哈肯通过计算机对一千种构形加以检验,以此证明了四色猜想。关于这种依靠计算机来完成理论性的证明的行为,是否有悖于数学证明的初衷,成为一个备受争议的话题,计算机作为时代发展的产物,理应肩负起时代的使命,与人类合作发展,它是人
类智慧的体现形式,用它来辅助进行证明证明过程中所遇到的极其复杂的运算,是不影响人类在研究数学过程中所形成的思维模式,相反,计算机的合理使用会有助于提高我们对于运算本质的认识。数学是一门及其严谨的学科,尽管作者已经证明了在大尺度时间前提下的朗道阻尼,但是依然遭到不少人的质疑,于是他又带着“能否在无限时间条件下成立?”这个疑问,直到成功。一丁点的瑕疵,却使价值含量大打折扣,完美的定理周围总是围绕着一群苛刻的人。

“人应该把自己放在逆境中,才能成长”,致力于现实之中,却置身于希望之上。

 

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中国古代数学与西方数学有什么不同?

 

作者: e^iπ+1=0,就读于上海科技大学生命科学学院。

 

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中国古代对于世界的认识是循环闭合的体系,千变万化的现象背后存在着某种联系,它们相互依赖;而西方对于世界的认识是基于直链单向的因果,从一般的抽象化的概念与产生的衍生来解释特殊的现象。这两种思考导致了根本性的区别,那就是中国古代注重对于事物的理解,利用一个现象去解释另一个现象,发掘内在关联;而西方更注重于逻辑,建立一般理论将所有的现象统一于理论之下。进而我们能理解,为何西方可以诞生近代公理化,高度抽象化的数学体系,而中国数学则不成体系,以原始形态呈现在数学家面前。


基于以上理解,我们不难理解,虽然中西方数学的起源非常类似,都是基于对于生活实践中遇到的问题进行归纳和理性的处理,然而中国数学的发展一直在延续前人的研究传统,即以直观现象或实例为基础,并加以运用。


需要指出的是,西方近现代数学发展(从16世纪开始),与西方现代科学发展的传统,并非是直接继承从古希腊时期开始,由几何原本奠定下的公理化研究方法。事实上当我们考察无论是近代数学还是物理学的发展之初,都基于对经验事实的依赖和大胆的猜测与想象。从这一点上,中西方差异在于,西方率先使用一般的,抽象的方式来解释特殊问题,坚信世界所有的现象可以被统一在数中。不仅如此,他们善于从复杂的现象中归纳出“优美的性质”,并且坚信优美,简单的理论是世界的终极解释。所以16世纪初,数学与科学的蓬勃发展中,无不透露出对于这种朴素哲学观的贯彻。比如开普勒,早期的天文学,数学的探索者,在其重要著作《世界的和谐》中指出,将天文学与音乐完美结合在一起的可能性,并且被看作是世界的和谐。而这种朴素认识论正是西方近现代科学的开端。


第二个重要问题是数学体系的建立和推演。必须承认的一点是,在体系的建立和推演上,中西方数学早早地分道扬镳。以《九章算术》为例,从内容上,中国古代数学问题的核心在于对实际问题的解释和再利用,故而卷分类以“方田”,“粟米”,“衰分”“少广”,“商功”等等实际生活场景进行分类。但是从数学内容上,九章算术不仅处理了大量复杂问题,而且包含了重要的哲学思想(如极限,分割,组合等)。最为流传的例子即“祖暅原理”,即判断两个物体的体积相同,可用“幂势既同,则积不容异” 这一原则进行判断,并且利用这个原理求出“牟合方盖”体积(所谓“牟合方盖”是指相同的两个圆柱正交围出的立体形)而这个立体形的体积求解是无法用初等数学解决,严格来说应使用微积分才能完全解决。而从其论述中,我们能看到朴素的积分思想,也展现了古代数学家杰出的数学直觉。同时,在研究的领域上有极大的弹性,从初等代数,初等数论到初等几何学(基于现代数学的观点)中的各个问题都有涉猎,并且给出了认识解决问题的重要思考。如卷八方程篇的开篇问题,即利用方程组思想解决问题,而以西方数学观点来看,所利用的正是高斯消元法。 再如广为乐道的中国剩余定理,以及勾股定理,涉及到了初等数学中大量重要核心命题。但是,从推导上,我们所给出的叙述性解释为主,而并非推导和计算。事实上,在《九章算术》中,只有遇到实际例子和少数公式上会进行计算,而原理性内容作为理解出现。 在这种情况下,数学的发展仅仅依靠极少数数学家不加证明的洞察给出进步,对于体系的发展本身是致命的。

 


而在西方,数学的发展在初期也是大胆而富有想象力的,不过他们并没有停留于理解,而是用相对细致的逻辑链组织成数学语言表达出来。数学的活力最早是在艺术家的手上复活,无论是绘画(透视画法对射影几何的影响),音乐理论发展,激发了人们的思维。16,17世纪数学家的工作时常是不严谨,甚至也没有任何数学公理基础的保证,如欧拉关于很多无穷级数的处理,都是基于一些朴素的认识,从形式上获得灵感便不加证明的使用。这个阶段的数学,思想上的推动力其实与中国古代数学家一样,依赖于数学家的直觉进行研究。但是,之所以西方数学在经历相似时期之后有爆炸性发展,原因有二。其一,使用抽象符号对数学进行描述,使得数学从实际问题中解放出来,可以自由地组合,用简单方式刻画复杂事物,发挥想象力,不再受制于具象。其二,相对中国古代数学,西方数学家更重视逻辑链的建立,所以从因到果的过程更细致,为之后的研究打下坚实铺垫。而我们津津乐道的数学公理化与抽象化的工作都不是在早期完成,而是在18世纪开始被越来越多数学家重视。分析学的诞生事实上就是数学家对于精细逻辑链的探索,为微积分打下坚实理论基础,同时揭示了大量显然命题正确性的由来,使得人们对微积分体系认识更为深刻。与此同时物理学的蓬勃发展推动了大量计算技术的发展,将微积分应用至实际研究中去变成了一种共识。进入19世纪后,一方面微积分席卷了几乎原来所有的初等数学分支,另一方面近代代数学的发展提供了抽象工具,如群论,用以解释方程解而诞生的理论,所以接下来发展的数学分支变成了群论,复变函数论,几何学也焕发新的光芒。进入20世纪后,无论是公理化还是抽象化的工作都达到了顶峰,数学家意识到各个数学分支间是有紧密联系的,拓扑学,集合论,抽象代数的发展将零碎的研究和数学分支网罗在相互联系的,统一的架构中,真正成为一套体系。 从这一点上,中国古代数学传统是不可能演化出这样的体系的,其原因不仅仅在于认识论的不同,而是一个更深刻的问题。


在《世界的重新创造》一文中提出,由于中国文化并未有真正的文化移植而导致中国科学的发展注定是不够好的论点,我是完全支持的。其一,截然不同的文化交流和碰撞会给两个文明都带来新的启示。其二,西方的文字系统更适合抽象性思维,而汉语由于其强大的组合能力和良好的直观性导致并未产生新的符号系统对数学进行描述,故而也很难进行复杂抽象的计算与推导。但是笔者认为,关键问题在于,为何中国古代数学与西方数学体系为何没有发生碰撞。从历史时期上来说,中国数学发展和西方数学发展存在一个大的时间差。中国数学的研究发源早,公元三世纪就已经有杰出的数学成果(九章算术最早成书亦是此时,由刘徽编纂成书)。而古希腊数学虽然亦有杰出成就,但是明显影响覆盖的范围远远不到东亚,最多至两河流域,再传入印度境内,而那已经时至公元八世纪。唐宋数学高度发达,并且九章算术逐渐演变为东亚的最重要的数学教科书。而在同时期的欧洲却在经历中世纪,以教会对世界解释权的垄断为主。一直到十三十四世纪时,经由印度,阿拉伯地区将数学原籍传回西欧社会,西方数学才开始发展,然而此时的中国是由蒙古人所统治的时期,数学发展明显受阻。进入十五世纪后,数学在欧洲开始复兴,进入蓬勃发展期,但中国数学却仍不温不火,并且越来越具有偏向性,在这一时期决定了中西方数学的差距。纵观来看,中西方数学发展的断档期对于双方的交流有很强的阻碍,没能在同一时期站在大致相似的高度上形成交流。 从政治上来说,中国古代数学的存在意义实则是为政治服务,所以研究注重实用性,偏向性,对于实际问题的解决很有一套,但是对建立系统性理论没有太大的热情。相较于西方对数学形而上的认识,中国的数学“合为时而用”,是可以“货与帝王家”的才能,如果没有政治支持,那么数学就没有发展土壤。也正因如此,中国的数学家也少之又少,数学文化的传播也并不是随心所欲。重要的,高级的计算技巧是不可能流入民间,自然也不可能催生中国整体上的数学发展。同时,即使在一部分重要的文献如论语,老子,周易等先后传入西方世界,然而东方的数学智慧却未曾到欧洲传播。而从研究方式和工具上,中国数学重视计算,重视实际结果。比如历法上的成就,所依托的正是极高的计算技巧。而这些技巧所依托的符号系统,相较于任何古代数学文明都是先进的。因为简易,而且是组合式的,再通过归纳,简写(比如百,千,万,亿的概念产生,再比如百万,千万,亿万这样的组合概念的产生),我们可以方便直观的表示极多数字,这对计算技巧的研究很有帮助。所以即使西方的符号体系,数字体系传入中国,但是在计算上的优越性必然导致这些不能取代千年沉淀的文字。

 


而今有很多对比中西方科学发展的探讨,很多的目的在于给中国古代科技科学正名,提振民族自信心,这一点无可厚非,但是我们应本着客观公正的态度探讨。如果将核心观点始终立足于两套文化系统的不同上,进而找到一个平等的平衡点,笔者认为大可不必。无论是以前提出的“倘若假以时日中国也能发展到西方同样程度的科学”,还是现在提出的“中国的科学广义上是格致学,生命博物学”,其实都是在避重就轻地谈问题。且不论西方列强以武力手段打开中国的大门是否是导致中国本土科学流产的原因,就算是在双方互不干涉的前提下,科学的基础学科数学的发展速度就不在一个层次上。中国的数学发展是累积式的,线性的,是稳步发展的,但是西方数学的发展是爆炸式的,好比指数函数,只会发展的越来越快,这就是巨大差距。再有从广义科学角度上切入的观点,基本是上升至哲学层面的认识,不能仅仅停留于探讨不同的思路和想法就长舒一口气,认为找到了平等就可以安心一些。对于现在的学习科学,研究科学的中国人来说,如何汲取古代智慧是非常重要的。这绝不是要抛弃科学的方法论,而是用不同于西方机械唯心论的角度认识世界。值得借鉴的一案便是数学家吴文俊所发展的“吴方法”。吴文俊教授从古代算法思想入手,通过构建程序证明了大量初等几何学,射影几何学内容,取得了非凡的成果。而在科学分支庞杂林立的现代,大体量的科学系统其实反而成了限制人们继续探索的阻碍,如何从中国古代的整体观来认识科学,是一个很可能成功,也极为重要的课题。某种程度上,我们应该庆幸中国的哲学思想与西方并立,或许将带给世界最重要的启示。

 

 

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欧拉最牛的五个数学成果

 

原文作者: Günter M. Ziegler,柏林自由大学数学教授

翻译作者:donkeycn哆嗒数学网翻译组成员,华东师范大学博士。

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com,详情参见征稿说明

 

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莱昂哈德·欧拉可能是史上最多产的数学家。欧拉1707年出生于瑞士的巴塞尔,但他一生中的大部分时间都是在柏林度过的。柏林的数学家们都为这一文化遗产而感到自豪。也正因为此,上个月(注:指2016年7月)在这个美丽的城市所举办的第7届欧洲数学大会有欧拉特色也不足为奇了。会上Günter M. Ziegler,一位来自于柏林自由大学的数学家以及公众参与数学的倡导者,作了一个与欧拉有关的五个著名问题的讲座。

 

这“五个天才的发现”之美,如Ziegler所述,在于,你不必是一个数学家就能去欣赏它们:或许要解决它们是困难的,但问题本身是容易理解且充满乐趣的。这就是为什么我们决定在这里重温它们的原因。

 

 

在这里我们不准备过多地谈论欧拉的生平(你可以在“MacTutor数学史档案”(注:原文“MacTutor History of Maths archive”)这个网站以及各种各样关于欧拉的书中找到许多有趣的信息)。值得说的是,欧拉也在俄国的圣彼得堡度过了很多时光。在那里,他育有13个孩子,在失明后完成了毕生大半的工作,并于1783年去世。欧拉曾声称“他作出一些最伟大的数学发现的时候,同时会抱着一个婴儿在他的怀里且其他孩子会围在他的脚边玩”。可悲的是,其中只有五个孩子活到成年。

 

 

现在让我们把欧拉的生平放在一边,回到那五个著名的问题上来。(这里没有注明问题的详情,有兴趣的可以百度之)

 

 

哥尼斯堡七桥问题  

 

是否可以在该市的地图上找到一条路线,使得穿过每一座桥恰好一次?欧拉对这个问题的解答导致了图论的起源。

 

 

 

骑士遍历问题

是否可以连续移动一个骑士(注:骑士指国际象棋中的“马”),使得它经过棋盘上每个格子恰好一次,最后回到初始格子?欧拉是第一批系统地分析这个问题的人,但仍有一些相关问题至今还是开放的。

 

 

 

36军官问题

欧拉可能没有完全解决这个问题,但它导致了许多重要的工作,包括我们今天知道的数独。(编者注:36军官问题是问,从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人,排成一个6行6列的方队,使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同,应如何排这个方队?)

 

 

欧拉多面体公式

这个关于三维物体的令人惊讶的结果告诉我们一些关于空间本质的东西。(编者注:欧拉多面体公式是指,任何简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系V - E + F = 2

巴塞尔问题 

这是一个无穷和,困惑了不少著名数学家,直到欧拉找到了令人惊讶的答案。

 

 

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什么时候必须得用反证法?

 

原文作者:高尔斯,剑桥大学数学教授,1998年菲尔兹奖得主。

翻译作者:radium哆嗒数学网翻译组成员,就读于重庆第二师范学院。

 

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已经有一段时间了,自从我在“哲学点滴”条目下写了一个帖子,也是在那儿我提出了像“如何说明一个命题比另一个命题更强,或者两个命题是等价的?”这样的问题。这篇文章就是讨论这个在我脑海里思考了很久的问题,但我发现它比我预想的更难。

 

 

似乎可以将定理分为三种类型:一种是不需要运用反证法来证明的,一种是不管用不用反证法都能证明的,最后一种是似乎只能用反证法。但是如何把一条定理归为这三种类型中的一种呢?

 

这个问题源自于我教给学生们一种前人所想出来的证明方法。比如下面这个“假设数列(An)发散。由此可知...几行计算...这意味着An→A,矛盾”,当你指出这个证明的第一行和最后一行可以被删除时,他们有时会十分惊讶。

 

没那么荒谬的证明更多的是像这样的。“我们知道|y-x|<δ,假设|sin(y)-sin(x)|≥δ,因为sin导数的绝对值最大为1,它推出|y-x|≥δ,这与条件矛盾。所以|sin(y)-sin(x)|<δ”在这个证明中,显然更好的是直接从前提出发,通过引理|f(x)-f(y)|≤sup|f’|·|x-y|推导出|sin(y)-sin(x)|<δ。但是,通常是运用反证法来证明引理:假设这个结论是错误的,然后运用中值定理。

 

所有这一切的结果是,已有的形式无法给我什么提示,“如果你的定理是像这样的,那么尝试着用反证法,不然不要这样做”对于本文的剩余部分,我将讨论另外一组例子,来阐释问题的复杂性。

 

 

例1根号2的无理性

 

这当然是运用反证法的经典证明,我们甚至可以给出一个证明这个命题必须要使用反证法的“准证明”。因为“无理性”意味着“对于任何整数对(p,q),都无法使sqrt(2)(sqrt表示开根号,下同)与p/q相等”。如果这是定义,那么让我们假设证明的最后两行消失了:因此sqrt(2)有性质P,因此sqrt(2)是无理数。

 

于是我们会问“为什么有性质P意味着那个数是无理数?”这可以很明显的看出来性质P意味着无理性,但是为了证明它仍然有必要说“于是,取任意有理数x=p/q...因此x没有性质P”(为什么这个是有必要的呢?正是出于同样的原因!也许这是证明长度或其他类似东西的归纳)

 

带着这些问题,考虑以下论证,我们从计算sqrt(2)的连分数展开开始。于是我们得到sqrt(2) = 1 + ( sqrt(2)-1 ) = 1 + 1/( sqrt(2) + 1)。继续对分数的分母进行展开得到2 + ( sqrt(2)-1 ) = 2 + 1/( sqrt(2)+1 ),于是我们看到连分数展开开始出现循环,标准记法是[1;2,2,2,……]。特别是,它是无穷的,因此sqrt(2) 是无理数。

 

第一眼看这个证明的,这似乎就是直接论证而不是运用反证法证明的:我们运用假设x^2=2演绎出x具有明显的无理数性质。但是,就像我之前笼统的评述一样,一个潜在的问题就是“为什么一个具有无限连分数展开的数是无理数?”

 

答案是什么呢?很明显一个有理数是有限小数,因为当你计算的时候,它的分母不断减少...哎呦,不好意思,这又是一个反证法。

 

所以答案也许应该这么说,如果你正在试图证明一个否定性的命题,那么你就不得不用反证法,但是什么是“否定性命题”呢?以下的定理如何?

 

定理:如果p和q是整数,那么p²≠2q²

 

啊哈!你说,是因为“不等于”形成了否定。但我们可以通过快速的变形成来解决。

 

定理:如果p和q是整数,那么(p²-2q²)²>0。

这个的否定又是怎样的?如果你认为它不管怎么样都受限于“严格大于”的概念,那么下面这个又怎么样?

 

定理:如果p和q是整数,那么存在实数x使(p²-2q²)²x = 1。

 

对我来说,这个命题起来对是相当肯定的,因为它断言某种存在性。

 

 

但如果你思考一下如何证明样的x存在,它将变的没那么肯定了。显而易见的想法是:“唯一可能出错的地方在p²=2q²上面,所以我们只须证明p²≠2q²。”那它又是否定的了。所以这是否意味着,如果对于一个命题,证明它的唯一合理的方式是将它重新归纳为一个包含否定词“非”的命题,那么这个命题就是否定性命题?即使这样看起来是正确的,似乎也很难具体化。

 

这儿还有一个对于最后一个类型的例子。无限是一种无理数性质吗?有人可能说是的,因为它意味着不是有限。但是,当我们讨论到连分数时,我们关心的是序列,我们可以定义一个无穷序列,如果它的项可以和自然数之间建立双射。(我们也可以定义一个无穷集合,如果它和它的某个真子集之间可以建立单射。但是仅仅由于真子集没有包含全部元素,我们就能称真子集是一个否定性的概念吗?)

 

 

例2.有界闭区间上的连续函数

 

直到最近我才“知道”下面是这种实例。如果你想运用[0,1]的紧性证明什么东西时,那么你既可以直接使用海涅-波莱尔定理(Heine-Borel theorem ),也可以通过反证法来处理,具体就是把区间内的数重新排成序列并应用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理(Bolzano-Weierstrass theorem.)。

 

例如,证明连续函数f在区间[0,1]是有界的,你既可以通过找函数f在每一点的领域是有界的(由连续性的定义)且将区间[0,1]有限覆盖(运用海涅-波莱尔定理),也可以假设函数f是无界的,构造序列(xn),满足对任意n有f(xn)≥n,应用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理通过反证法来证明。

 

我也默认有一种算法能将一种证明转换为另一种证明,虽然我从来没有实际尝试过其中的细节。

 

但是最近,在我和一个同事的谈话的过程中,谈到了下面关于这个定理的证明。在此之前我一直认为于自己对证明怎么运行的理解的很到位,但下面这个证明让我意识到事情远不止那么简单。这个想法是尽量模仿上述反证法的证明,但是最后的结果并没有用到矛盾来证明。具体的讲,构建一个序列是最有可能的引起矛盾的序列,然后证明它不会引起矛盾。下面是论证的具体内容。

 

令S∈R∪{∞}是{f(x) : x∈[0,1]}的上确界。通过上确界的定义,我们可以找到一个序列(xn)使f(xn)→S,通过波尔查诺-维尔斯特拉斯定理选择一个收敛的子序列yn,我们得到(f(yn))是(f(xn))的子序列,所以f(yn)→S。但是如果y是序列(yn)的极限,且f(yn)→f(y),所以S=f(y),即f(y)是函数f的一个上界。(注意这个证明也表明这个上界可以取到。)

 

似乎这个证明没有涉及矛盾。但是如果我们进一步思考,你会发现矛盾隐藏在证明的“明显”步骤中。例如,我们怎么知道我们可以找到一个序列(xn)使f(xn)→S?我们需要将它划分为两个问题(除非我们想要定义隐含在其中的广义实数直线的拓扑)。

 

S∈R不是值得深究的问题,因为它,我们立刻知道函数f是有界的。(尽管这一步是没有必要的,我们也可以获得其他的信息,比如函数f达到了上限)。如果我们将问题转向为S=∞,我们正在做的证明与假设函数f是无界的有什么不同?我自己也很困惑。

 

最后的感想

 

从这些例子中反映出来的一件事是,反证法的概念与你用的定义和你认为理所当然的一些小结论有关。例如,我们定义一个数是无理数,如果它的连分式展开是无限的。事实上我不会主张这样做,但如果有人这样做,那么我给出的根号2的无理性“直接”证明就是直接的。而且如果我们不准使用假设|f(x)-f(y)|≤sup|f’|·|x-y|那么要证明在|x-y|<δ的情况下|sin(y)-sin(x)|<δ就会变得没那么直接,还是需要反证法。

 

在这种情况下,也许我该给这样答复学生,虽然上面的讨论还是不很明确,但已经尽力了。——反证法是一个非常有用的工具,但是尽量不要使用它,除非你不得不用它。

 

 

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11名菲尔兹奖得主反对特朗普“穆斯林禁令”

 

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就在我们国人愉快的欢度春节的这段时间,美国总统特朗普又搞事情了。

 

1月27日,也就是大年三十这天,特朗普签署了“关于难民和移民政策的行政命令”,宣布暂停美国难民项目4个月,暂时禁止伊朗、伊拉克、利比亚、索马里、苏丹、叙利亚和也门的公民入境美国,为期90天。由于所点名的七个国家都是穆斯林国家,所以这个行政命令被俗称称为“穆斯林禁令”。

 

 

这个行政命令引发了美国国内和国际社会的强烈争议,其中不乏激烈的反对。而在竞选时期就和特朗普不和的学术界的一些“大佬”,也加入反对“穆斯林禁令”的队伍中。他们建立了一个网站(https://notoimmigrationban.com)联合学术界的学术人签名反对特朗普的这个行政命令。

 

 

这个网站上,他们对特朗普的“穆斯林禁令”表明了三条主要态度:

 

1、 这个行政命令是歧视性的。

 

2、 这个行政命令对美国的国家利益有害。

 

3、 这个行政命令是强加于我们学术界的过分负担。

 

 

目前,在该网站上已经有超过27000名人士签名,其中美国教员超过20000名。签名者中,很多是学术界的顶级大咖——51名诺贝尔奖得主、104名学术界其它重要奖项得主(包括菲尔兹奖、狄拉克奖、克拉克奖、图灵奖、庞加莱奖、科学突破奖、普利策奖、麦克阿瑟天才奖)。

 

其中菲尔兹奖得主11位,他们是:

 

 

德利涅,1978年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于比利时。

 

德里费尔德,1990年菲尔兹奖得主,就职于芝加哥大学,出生于前苏联时期的乌克兰。

 

高尔斯,1998年菲尔兹奖得主,就职于剑桥大学,出生于英国。

 

林登施特劳斯,2010年菲尔兹奖得主,就职于希伯来大学,出生于以色列。

 

麦克马伦,1998年菲尔兹奖得主,就职于哈佛大学,出生于美国。

 

米尔扎哈妮(女),2014年菲尔兹奖得主,就职于斯坦福大学,出生于伊朗。

 

奥昆科夫,2006年菲尔兹奖得主,就职于哥伦比亚大学,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

陶哲轩,2006年菲尔兹奖得主,就职于加州大学洛杉矶分校,出生于澳大利亚。

 

弗沃特斯基,2002年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

威藤,1990年菲尔兹奖得主,就职于普林斯顿高等研究院,出生于美国。

 

泽尔曼诺夫,1994年菲尔兹奖得主,就职于加州大学圣迭戈分校,出生于前苏联时期的俄罗斯。

 

 

不难发现,签名反对这个命令的菲尔兹奖得主绝大部分都是出生于美国国外而在美国就职的学者。在中国人气极高的华裔数学家陶哲轩出生于澳大利亚,而历史上第一位女性菲尔兹奖得主米尔扎哈妮,就来自“禁令七国”中的伊朗。

 

历史上看,数学学术活动也有受政治影响的先例。比如由于前苏联政府的限制,1970年得主诺维科夫和1978年得主玛古利斯没能前往颁奖地领奖(颁奖地点分别是法国和加拿大),而1966年得主格罗滕迪克也抵制了在前苏联举行的菲尔兹奖颁奖典礼,以抗议当时苏联在东欧的军事行动。

 

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数学真的是永恒的吗?

原文作者:Andrea McNally

翻译作者:吹牛皮出洋相哆嗒数学网翻译组成员,就读于苏州大学数学系

 

 

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任何涉及到数学学科的人都很可能会回想起一次或者多次被质问数学是否有用的经历,Eduardo在他的TED演讲“数学是永恒的”中讨论了这个问题。他指出这个问题有三种回答:第一种回答富有进攻性,它认为数学无关实际应用的需要,拥有属于它自己的意义;第二种是一种保守性的回答,它回复道从桥梁建设到信用卡账号,数学隐匿于一切事物的背后;第三种回答,也是Eduardo主张的观点,数学的实用性源自于它的培养直觉的能力,从而使其永恒。

 

 

数学是永恒的吗?Eduardo似乎是这么认为的,他认为钻石不能永恒,而一个定理可以。数学家们用他们一生的时间去提出猜想并想尽办法证明这些猜想,而一个猜想一旦被证明成立,他就成为了一个定理,一个永远存在的真理。因此,诸如勾股定理和蜂窝定理的理论将永远成立,无论我们在这里是否承认它们。这种想法根源于柏拉图主义,一种认为有独立于我们思想存在的抽象数学对象的哲学观点,因此所有数学上的真理只是等待着被发现而不是被发明。(下面是Eduardo的演讲视频,英文中字,地址 https://v.qq.com/x/page/l0186pbi37v.html) 

 

 

 

 

在数学哲学观的领域里有两个做出过重要贡献的人。第一个是德国数学家大卫·希尔伯特(下图),希尔伯特纲领的提出者,他主张所有的数学都可以用公理化的形式表示,并在这样的形式下给予证明,他能够通过有限的步骤给出古典数学问题的一个证明。希尔伯特坚信理论可以在不需要直觉的情况下得到发展并且产生一系列的规则和公理,这些规则和公理是相容的,所以人们不能同时证明出一个断言既是对的又是错的。像Eduardo一样,希尔伯特坚信数学的能力是无限的。

 

 

然而,希尔伯特的研究却给库尔德·哥德尔(下图)的研究以及他的不完备性定理带来了灵感。哥德尔证明了希尔伯特的关于生成公理的步骤的认知是不成立的,总会有一些猜想的证明实际上并不存在。哥德尔第一不完备性定理证明了数学理论不能被明确的统一起来并鉴别真伪,甚至看似最完美的基础理论都会含有有关自然数的不能被证明的断言。但是,我们要知道哥德尔从来没想过要推翻希尔伯特纲领,而仅仅是想要提供一个新的观点,这一点很重要。

 

 

所以这使得数学界仍然保持一定的开放性,以供人们去探索数学是否真的是无关人类的认知水平就已被创造好或永恒存在。如果一棵树在一片无人的森林中倒下,那它还会产生声音吗?如果有个猜想没人能证明,那这个猜想所对应的定理仍然存在吗?像许多学派的思想一样,这里存在着模糊性和不确定性。作为数学界的一名个体,我们有义务深入研究各种认知和观点,并得出我们自己的结论。不过我们可以肯定的是,直觉和创造力在数学中绝对是不可或缺的。

 

 

 

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数学带来世界末日?

 

原文作者:基斯·德夫林,斯坦福大学数学教授,数学科普作家。

翻译作者:xyz哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学数学系。

 

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由阿莱克斯·吉布内撰写和执导的新记录片《零日》(ZERO DAYS)无疑是本世纪最重要的电影。它同时与数学高度相关,因为这部电影的重点在于数学使我们可以通过一些算法就可以在几周内终结所有人的生命。

 

 

    理论上,我们在上世纪90年代中期就已经知道这些。然而,这部电影已经清晰地告诉我们,这一切已经不再是假设。我们已经可以做到这些了。

 

 

    这部电影表面上是关于计算机病毒“震网”的创造和分布,该病毒在2011导致了许多伊朗核计划中离心机的自毁。事实上,这也正是电影前四分之三部分的主题。

 

大部分被表述的内容都会被那些理解了这个迷人的故事的人所熟知,因为它是由一些与商业网络安全组织的调查记者揭露出来的。然而,在这件事情的处理上,让我感到有些奇怪的是,美国情报部门似乎已经和电影制作人合作,基本上承认了镜头中描述的“震网”是美国和以色列的联合项目,正如被外界广泛猜测却并未得到证实的那样。

 

 

    电影的最后20分钟揭示了这种意料之外的坦白的原因。在发现用一小段计算机代码建造末日武器是真实可能的之后,一些现代网络战的核心参与者意识到在世界范围内引起对当前形势的警醒迫在眉睫,并希望可以在如何处理这一情况的问题上达成全球的协定。正如一位高排位的贡献者所说,对全球核战可能导致人灭绝的认识导致了一个不安定,却稳固的制衡的建立,这一平衡从上世纪50年代持续至今。这位贡献者表示,我们需要对网络战做的事。

 

 

    在过去几千年中,数学一直是战争的主角。这一关系至少可以追溯到阿基米德公元在前250年所设计的用于与罗马作战的武器。

 

在上世纪40年代,当数学家与物理学家合作研发核武器时,数学驱动的武器发展达到了令人惊恐的程度。人类第一次拥有了可以灭绝人类的武器。

 

 

    现如今,四分之三个世纪过去,计算机工程师可以用数学建造至少有着相同破坏力的网络战武器。

 

 

    计算机代码如此危险的原因就在于,在当今社会,我们生活中主要依赖的基础建设是建于数学之上的。我们使用的大部分的技术系统和设备的内部是数以千计被称为“可编程逻辑控制器”(Programmable Logic Controllers ,PLC)的固态计算机。这些控制器基于传感器的输入,可以自主决策。

 

 

    “震网”病毒则可以将自身嵌入进控制伊朗离心机的控制器,引起离心机持续加速并超过安全范围,从而导致离心机解体。与此同时,“震网”病毒向在控制室中的工程师发送系统正常的信号。

 

 

    想象一下,现在有许多相似的代码以相同的方式引起关键系统的失效,如:电网系统,交通信号灯系统,供水系统,输气管网系统,医院系统,航线网络系统等。即使是你的汽车——以及其他任何由发动机驱使的车辆——都可能彻底停止工作。可编程逻辑控制器同样在这些设备和网络中起作用。

 

 

    事实上,想象一下,这些破坏可以以这种灾难性且相互联系的方式被施加,并且需要几周的时间才能恢复被破坏的系统。在没有电力、水力、交通与通讯的情况下,几百万人会在短短几天内开始死去,开始是成千上万的飞机,汽车与火车事故,随之而来的就是世界范围内的暴乱。

 

 

    可以肯定的是,现在的情况还未及于此,企图传播病毒的国家在摧毁不同系统的路上所需要克服的困难依然相当大——尽管这些系统的相互依存关系在一定程度上会降低他们的安全系数。另外,当自主的代码被释放出来,这些代码倾向于向多方向传播,就像所有电脑用户迟早会发现的那样。因此,释放病毒的国最终也会毁灭。

 

 但是,“震网”病毒展示出了电影中的场景在不久的将来可能变为现实。如果你可以实现这一切一次,你就可以重复造出这些武器。毕竟,这种武器不过是一种数学结构;一段代码罢了。设计这种武器则是个数学问题。不像核弹,数学家们不需要将他们的结果交给那些大型的资金充足的组织来造出这种武器。他们只需要自己敲击键盘即可。

 

 

这种原动力正是数学的本质,因为我们的祖先在几千年前就开始发展这门学科。我中那些数学专业的人一直知道这一点。看起来,这种力量已经到了新的水平,其可怕程度已经不亚于核弹了,而吉布内的电影的本意就是让更多的观众意识到这种力量。并不是说我们正面临着算法带来的人类的濒临灭绝,而是我们正处于一个数学的新纪元。

 

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小试牛刀:概率论击穿街头高端骗术

 

作者:清华大学数学系 @李逍遥易水寒 


(本文由作者授权哆嗒数学网发布)

 

 

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先来说说事情的起因。前不久,@江宁公安在线 收到微博求助,求助人在街上发现一个小摊玩掷骰子的游戏,规则如下。

 

 

如果看不清,我们把局部放大了看。

 

 

是的,貌似只有一个是罚钱的,其他的都赚钱。好的,从经验来看这一定是个骗术,但是他骗人的机制是怎么样的呢?

 

我们的公安蜀黍当然不能让人民群众失望,一定要给求助者一个完整的分析。于是,做了如下分析:

 

 

然后,蜀黍发现,他分析不下去了,貌似这并不是辣么简单的骗术,似乎骗人的手法还有点高端。于是向广大网友求助。

 

最后,来自清华大学数学系的 @李逍遥易水寒 给出了完整解答。 虽然,从专业数学的眼光上看,是一个简单的概率和数学期望的分析,但是解决的过程缺需要十分细心的操作。其间,还借助了软件辅助解决问题,为广大网友解惑。我们为他的这份工作点赞!

 

@李逍遥易水寒 的解答如下:

 

该游戏的26个数字布局是经过精心设计的,从而保证了利益的最大化。同时这种离散型分布而且是不具备统一的函数表达式的离散型分布,所以我们只能采用穷举加编程的方式来解决这个问题。下面的概率结果涉及到了很多细节,如果其中一个细节出错,那么最终的结果也一定会南辕北辙。第一个细节是“先交2元,然后选定方向,然后再掷骰子”。所有参与的玩家都是不清楚选顺时针和逆时针的差别,所以他们玩这个游戏的时候选方向是随机的,因此二种方向的概率都是1/2。5个骰子一共会出现6×6×6×6×6 = 7776个结果,其中有重复的情况。为了使具备高中数学水平的同学都能够看懂,本文主要采用最基础的数理方法来求解这个问题。虽然从我的角度来说很繁琐,但是从大家的角度来说将会方差便于理解整个问题,既明白结论,更重要的是能够明白问题推导的过程。

 

1.“中+50元”的概率:

 

(1顺时针掷出5点的概率: 首先选出顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出1点,总和为5 的时候,仅存在一个情况。因此概率为1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(2逆时针掷出30点的概率:首先选出逆时针方向,概率为1/2;然后5个骰子都必须掷出6点,总和为30 的时候,仅存在一个情况。因此概率也是1/2 × 1/7776 = 1/15552

 

(3综上所述, “中50元”的概率为:1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

 

2“中+35元”的概率:

 

与“中+50元”的情况一模一样,只是需要把顺、逆时针方向颠倒一下就可以得到这种情况。因此概率与“中+50元”一样,1/2 × 1/7776 × 2= 1/7776 ≈ 0.000128601

 

3.“中+10元”的概率:

 

     (1)顺时针掷出6点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后掷出6点,这种情况必须要5个骰子其中一个掷出2点,剩下4个掷出1点,总共有C(5,1) = 5(C(n,m)表示n元集中选取m个元素的组合数)个情况。因此概率为1/2 × 5/7776 = 5/7776 ≈ 0.0003215

 

       (2)顺时针掷出19点的概率:首先选择顺时针方向,概率为1/2;然后5个骰子点数相加之和等于19的可能情况的约束条件是:

 

 

需要通过编程来完成,结果是735种,因此概率为:1/2 × 735/7776 = 735/7776 ≈ 0.047325

 

(3)综上所述,“中+10元”的概率为:5/7776 + 735/7776 = 740/7776 ≈ 0.047582

 

4.“中+6元”的概率:

 

先选择逆时针方向,概率为1/2;然后掷出11点,方法同上,约束条件是: ,

 

 

也是需要通过编程来完成,得到的结果是205种,所以“中+6元”的概率为:1/2 × 205/7776 = 205/15552 ≈ 0.013181

 

5.“中+5元”的概率和“中-5元”的概率:

 

   这二种情况非常非常复杂。首先它们分别有19种和26种组合,第一步就需要先列举出来这45种组合,因为要根据每一种情况来设定约束条件,而且该游戏的设计没有按照一定的次序来进行,导致无法构造显示函数,毫无疑问又进一步加大了问题的难度。这45种组合全部计算出来之后编写程序,其中的这样才能得到“中+5元”的概率和“中-5元”的概率的准确解,没有误差的那种。下图给出的就是所有结果的概率分布,如果想要准确计算“中+5元”的概率和“中-5元”的概率,只需要将对应的情况列举出来然后累加求和即可。

 

5个骰子之和

对应的概率(准确值以及近似值)

5

1/7776≈0.000128601

6

5/7776≈0.000643004

7

15/7776≈0.001929012

8

35/7776≈0.004501029

9

70/7776≈0.009002058

10

126/7776≈0.016203704

11

205/7776≈0.026363169

12

305/7776≈0.039223251

13

420/7776≈0.054012346

14

540/7776≈0.069444444

15

651/7776≈0.083719136

16

735/7776≈0.094521605

17

780/7776≈0.100308642

18

780/7776≈0.100308642

19

735/7776≈0.094521605

20

651/7776≈0.083719136

21

540/7776≈0.069444444

22

420/7776≈0.054012346

23

305/7776≈0.039223251

24

205/7776≈0.026363169

25

126/7776≈0.016203704

26

70/7776≈0.009002058

27

35/7776≈0.004501029

28

15/7776≈0.001929012

29

5/7776≈0.000643004

30

1/7776≈0.000128601

 

 

“中+5元”的概率:

 

共有19种组合,分别是“逆7、顺8、顺9、··· 、顺28、逆29”,其概率为1/2  × ( 15 + 35 + 70 + 126 + 305 + 420 + 651 + 735 + 780 ×2 + 651 + 540 + 420 + 305 + 205 + 126 + 70 + 15 + 5 )/7776 = 6254/15552 ≈ 0.402135

 

 

 “中-5元”的概率:

 

总概率减去以上的所有概率得到1 – 7203/15552 = 8349/15552 ≈ 0.536844

 

 

同时我们也可以考虑采用蒙特卡洛模拟,需要编写模拟这个游戏程序去仿造这个游戏的过程(代码工作量依然不小,但是只需要将代码调试好,之后就不需要人工了),然后设定Xi = 5, 6, …, 30 , Xi的取值共有26种,这26个取值并不是均匀分布,而是呈“离散正态分布”,需要精确地算出来这26个取值的对应概率(上图已经给出了)。利用设计的蒙特卡洛算法进行模拟,比如说令i为10的9次方,也就是一亿次,虽然运算时间有点长,但是这样可以保证得到的概率值能足够精确到到你想要的任意小数点位数,结果与上述方法得到的精确值非常接近。

 

 

最后,我们给出顾客每参加一次这样的游戏所获得的期望收益值:

 

EX = 48 × 2/15552 + 33 × 2/15552 + 8 × 740/15552 + 4 × 205/15552 + 3× 6254/15552 + (-7) × 8349/15552 = - 32779/15552 ≈ -2.107703

 

意思就是当参与这个游戏顾客的数量足够多的时候,每做成一笔生意,这个老板都是净赚2.1元,次数越多,他每一笔生意的平均收入值无限接近于2.1元,同样的,顾客参与次数越多,每次都是亏损2.1元,次数愈多,每次游戏亏损的平均值无限接近于2.1元。

 

总结:

1、如果你想以2块钱来博取50块钱的奖金,那么要提醒你的是你梦想成真的概率只有0.0001,也就是万分之一的概率。

 

2、如果你不灰心,不想拿50块钱的奖金,只想拿35块钱的奖金,很遗憾,你此刻梦想成真的概率依然是万分之一。

 

3、如果你还不灰心,只想博取5块钱的奖金,然后去买个烤串,你的想法变为现实的概率是0.4,听起来还不错对吧。对不起,还有下面一种情况。

 

4、在这个游戏里面还有罚款的选项。你付2块钱有高达0.54的概率转到“-5块钱”这个选项。因此你有超过一半的概率每参与一次游戏都会输7块钱(2块钱的参与费加5块钱的罚金)的可能性。

 

5、综上所述,各种情况下既有赢钱也有输钱,那么通过求数学期望得到你每参加一次游戏在数学概率上都会输2.1元,参与的次数越多,你每次输钱的平均值也就无限接近于2.1元。

 

所以,还是老实去搬砖别想这些旁门左道了。

 

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阿蒂亚的奇思妙想王国

 

原文作者:Siobhan Roberts,专注于数学与科学的记者。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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尽管迈克尔·阿蒂亚(Michael Atiyah)的许多荣誉 ——他是菲尔兹奖和阿贝尔数学奖得主; 世界上最古老的科学团体伦敦皇家学会的前任主席(以及爱丁堡皇家学会的前任主席);剑桥大学三一学院的前主任; 爵士和皇家勋章的成员;并且基本上是英国的数学教皇 --- 但也许对他最贴切的描述是一个媒人。他有一种直觉来安排恰当的知识联络,通常涉及他自己和他个人的想法。在他半个世纪多的职业生涯中,他弥合了数学领域以及数学和物理中截然不同的想法之间的鸿沟。

 

 

例如,2013年春天的一天,当他坐在白金汉宫的女王画廊,等待与伊丽莎白二世参加年度皇家勋章午宴,阿蒂亚爵士为他的终生的朋友和同事、伟大的数学物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)爵士做了一次“媒”。

 

彭罗斯一直在试图发展他的“扭量”理论,一条已经进行了近50年的指向量子引力的道路。 “我有一种办法,这意味着走向无穷,”彭罗斯说,“先试图在那里解决问题,然后再回来。”他认为一定有一个更简单的方法。然后,阿蒂亚马上指出了它,建议彭罗斯使用一种“非交换代数”。

 

 “我想,‘哦,我的上帝,’”彭罗斯说。 “因为我知道这个非交换代数在这里一直在扭量理论里面。但我没有想到以这种特殊的方式使用它。有些人可能刚刚说,‘那样做不行的’,但是阿蒂亚可以立即看到,你可以用一种方法使它工作,那正是正确的做法。”考虑到阿蒂亚提出建议的地点,彭罗斯称他的改进的想法“宫殿般的扭量理论”。

 

 

这就是阿蒂亚的力量。大致来说,他花了他的职业生涯的前半部分将数学连接到数学,后半部分将数学连接到物理。

 

阿蒂亚最为人所知的是“指标定理”,于1963年和麻省理工学院的艾沙道尔·辛格(Isadore Singer)(正确地称为阿蒂亚-辛格指标定理)证出,该定理连接分析和拓扑 --- 这是一个被证明在数学领域以及后来的物理学中都很重要的基本联系。很大程度上由于这项工作,阿蒂亚获得了1966年的菲尔兹奖和2004年的阿贝尔奖(与辛格)。

 

 

在20世纪80年代,从指标定理中收集的方法意外地在弦理论的发展中发挥了作用 --- 试图将大尺度下适用的广义相对论和引力与小尺度下的量子力学相协调 --- 特别是在新泽西州普林斯顿高级研究所的弦理论家爱德华·威腾(Edward Witten)的工作中。威腾和阿蒂亚开始了深入合作,并在1990年威腾获得了菲尔兹奖,他是有史以来唯一获得该奖的物理学家,阿蒂亚是他的拥护者。

 

现在,86岁的阿蒂亚几乎没有降低标准。他仍然在研究大问题,仍然在试图统一量子和引力。在这方面,想法快速而激烈地到来,但正如阿蒂亚自己所描述的,它们仍然是直观、富有想象力、模糊和笨拙的原料。

 

尽管如此,他还是喜欢这种自由流动的创造力的状态,紧凑的时间表给他增添活力。在追求这些当前的调查和思考的过程中,去年12月,他在爱丁堡大学同一天里连续发表了多场的讲座,自1997年以来,他一直是爱丁堡大学的名誉教授。他热衷于分享他的新想法,他希望吸引支持者。为此,在11月,他在爱丁堡皇家学会举办了一个关于“美丽科学”的会议。在皇家学会集会和随后,每当他放慢下来有充分的时间,Quanta杂志就和阿蒂亚坐下来向他提问。以下是这些能抓多少就抓多少的对话的编辑版本。

 

QUANTA杂志:你对美和科学的兴趣的起点在哪里?

 

阿蒂亚:我出生86年前。那是我的兴趣开始。我母亲在佛罗伦萨怀上了我。我的父母要给我取名叫米开朗基罗,但有人说:“这对于一个小男孩来说是一个很大的名字。”这将是一场灾难。我不能画画。我根本没有天赋。

 

你提到了在罗杰·彭罗斯的“艺术在数学中的作用”的演讲中有什么东西“豁然开朗”了,你现在有了一个合作论文的想法。这个豁然开朗的过程或状态 --- 你能描述一下吗?

 

是这样一种东西:一旦你看到它,真相或真实性,它只是盯着你的脸。真相回过头来看你。你不必去找它。它在上面闪耀。

 

一般你的想法就是这样到来吗?

 

这是一个引人入胜的版本。数学的疯狂部分是当一个想法出现在你的脑海的时候。通常当你睡着了,因为这是你最无拘无束的时候。这个想法从某处浮起,天知道在哪里。它漂浮在天空中;你看看它,并欣赏它的颜色。它只是在那里。然后在某个阶段,当你试图冻住它,想要把它放在一个坚实的框架,或使它面对现实,然后它就消失掉,它不见了。但它被一个结构所取代,结构捕捉了某些方面,但这是一个笨拙的解释。

 

你总是做数学方面的梦吗?

 

我想是这样。梦想发生在白天,它们发生在夜间。你可以称它们是一个幻象或直觉。但基本上它们是一个思想状态 --- 没有词,没有图片,没有公式或语句。它是“先于”所有这些。它先于柏拉图。这是一个非常原始的感觉。再次,如果你试图抓住它,它就会死去。所以,当你早晨醒来时,一些模糊的残留物萦绕着,一个想法的幽灵。你试着想起它是什么,你只能得到一半正确的它,也许这是你能做到最好的了。

 

想象力是它的一部分吗?

 

绝对是的。在想象中进行时间旅行是易如反掌的 --- 你甚至不需要买票。人们回到过去,想象他们是大爆炸的一部分,然后他们问之前提出的问题。

 

是什么引导想象力 ——是美吗?

 

这不是你可以说明的那种美丽 --- 它是一个更抽象意义上的美。

 

不久之前,你与 泽米儿·泽基(Semir Zeki),伦敦大学学院的神经生物学家和其他合作者发表了一篇关于数学美及其神经相关的体验的研究。

 

这是我写过的最多人读的文章!很久以前人们就知道,当你听到好的音乐,阅读好的诗歌,或看到好的图片时,大脑的某些部分会亮起来 --- 所有这些反应都发生在同一个地方(“情感大脑”,特别是内侧眶额叶皮层)。问题是:数学美的欣赏是一样的还是不同的?结论是,它是一样的。大脑在音乐,艺术和诗歌中欣赏美的相同部位也参与数学美的欣赏。这是一个大的发现。

 

你通过向数学家展示各种方程,同时功能性磁共振成像(fMRI)记录他们的反应得到这个结论。哪个方程最漂亮?

 

啊,最漂亮的是欧拉公式:

 

 

它涉及π;数学常数e [欧拉数,2.71828 ...]; i,虚数单位;1;和0  —— 它在一个公式中结合了数学里所有最重要的东西,这个公式真的很深刻。所以大家都同意这是最美丽的方程。我曾经说过,这是哈姆雷特的名句“生存还是毁灭”(To be, or not to be)的数学等价 ——非常短,非常简洁,但同时非常深刻。欧拉方程只使用五个符号,但它也包含了美妙的深刻的想法,简洁是美丽的重要组成部分。

 

你因两个极其漂亮的工作而非常知名,不仅是指标定理,还有与德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)发展的K理论。跟我讲讲K理论。

 

标定理和K理论实际上是同一枚硬币的两面。它们开始不同,但之后它们变得如此地融合在一起以至于你不能解开它们。它们都与物理学有关,但是以不同的方式。

 

K理论是对平坦空间和平坦空间移动的研究。例如,让我们拿一个球体,地球,让我们拿一本大书,把它放在地球上并移动它。这是一个平坦的几何体在一个弯曲的几何体上移动。 K理论研究这种情况的所有方面 --- 拓扑和几何。它源于我们对地球的导航。

 

我们用来探索地球的地图也可以用来探索大规模的宇宙,用火箭射出到太空,和小规模的宇宙,研究原子和分子。我现在正在做的是试图统一所有这一切,而K理论是做到这一点的自然的方式。我们已经做了这种类型的地图数百年,我们可能会一直做数千年。

 

你对于K理论和指标定理在物理学中被证明是重要的感到意外吗?

 

噢,是的。我做了所有这些几何,没有任何它将链接到物理的想法。当人们说,“嗯,你所做的与物理学联系起来了。”这是一个大大的意外。所以我快速学习物理学,与好的物理学家交谈,以了解发生了什么。

 

你和威腾的合作是怎么产生的?

 

我在1977年在波士顿认识他,当时我对物理和数学之间的联系感兴趣。我参加了一次会议,有这个年轻的小伙子和老家伙们。我们开始说话,几分钟后,我意识到,年轻的小伙子比老家伙们更聪明。他理解我所说的所有数学,所以我开始注意他。那是威腾。我从那时起就一直和他保持联系。

 

和他一起工作是什么体验?

 

2001年,他邀请我去加州理工学院,在那里他是一位客座教授。我感觉像是再次成为一个研究生。每天早上我都会走进系里,我去会见威腾,我们会聊一个小时左右。他会给我做家庭作业。我会走开,花23个小时来赶上。同时,他会下去做半打其他的事情。我们有一个非常激烈的合作。这是一个令人难以置信的经验,因为这像和一个高明的导师一起工作。我的意思是,在我想到答案之前,他已经知道所有的答案。如果我们曾经有过争论,那么他是对的而我错了。真是尴尬!

 

你之前说过,在数学和物理之间偶尔出现的意想不到的互连是最吸引你的 --- 你喜欢发现自己闯入陌生的领域。

 

对的; 嗯,你看,很多数学是可预测的。有人向你展示如何解决一个问题,你再次做同样的事情。每次你向前迈进一步,你都会遵循前面那个人的步骤。每一次,有人提出了一个全新的想法,惊动了大家。刚开始,人们不相信它,然后当他们相信它,它导致一个全新的方向。数学之道是断断续续的。它有持续的发展,然后当突然有人有一个新的想法,它有不连续的跳跃。这些是真正重要的想法。当你得到它们,它们有重大的影响。我们还会有另一个跳跃。爱因斯坦100年前有一个好主意,我们需要另一个来带我们前进。

 

但是该方法不能只有引导性,还必须更具有研究性。如果你试图引导科学,你只能让人们走你告诉他们去的方向。所有的科学都来自人们注意到有趣的侧面路径。你必须有一个非常灵活的探索方法,让不同的人来尝试不同的事情。这是很困难的,因为除非你随大流,否则你不能得到一份工作。

 

由于担心前程,你必须守规矩。这是现代科学最糟糕的事情。幸运的是,当你达到我的年龄,你不需要管这一点。我可以想说就说。

 

这些天,你正在尝试一些新的想法,希望打破物理学的僵局?

 

嗯,你看,原子物理——电子,质子和中子,所有构成原子的东西。在这些非常非常非常小的尺度上,物理学的规律是相同的,但也有一个你忽略的力,这是一个引力。重力存在于任何地方,因为它来自宇宙的整个质量。它不会自己消失,它没有正值或负值,它都叠加起来。因此,不管黑洞和星系有多远,它们在宇宙中的任何地方都施加了非常小的力,即使在电子或质子中也是如此。但物理学家说,“啊,是的,但它是那么小,你可以忽略它;我们不测量那么小的东西,没有它我们也做得很好。”我的出发点是,这是一个错误。如果你纠正这个错误,你会得到一个更好的理论。

 

我现在再看一下大约100年前的一些想法,当时被丢弃了,因为人们不能理解它们。物质如何与重力相互作用?爱因斯坦的理论是,如果你放入一点物质,它改变了空间的曲率。当空间的曲率变化时,它对物质起作用。这是一个非常复杂的反馈机制。

 

我要回到爱因斯坦和保罗·狄拉克,用新的视点再次看着他们,我想我看到了人们错过的事情。我正在填补历史的空白,考虑到新的发现。考古学家挖掘东西,或历史学家找到一个新的手稿,并提供了一个全新的思想。这就是我一直在做的。不是去图书馆,而是坐在我家里的房间里,思考。如果你思考了足够长时间,你会得到一个好主意。

 

所以你的意思是引力不能忽略?

 

我认为物理学家所有的困难来自于忽略它。你不应该忽略它。关键是,我相信,如果你引入它,数学会得到简化。如果你离开它,你使自己更困难。

 

大多数人会说,当你看原子物理时,你不需要担心引力。规模很小,对于我们所做的计算,它可以忽略。在某种意义上,如果你只是想要答案,这是正确的。但是如果你想要理解,那么在这个选择中你犯了一个错误。

 

如果我错了,好吧,我犯了一个错误。但我不这么认为。因为一旦你选择这个想法,有各种各样的好的结果。数学融合在一起。物理学融合在一起。哲学融合在一起。

 

威腾对你的新想法怎么看?

 

好吧,这是一个挑战。因为在过去当我和他谈到我的一些想法时,他认为它们没有希望,他给了我10个不同的理由为什么它们是无望的。现在我想我可以捍卫我的想法。我花了很多时间思考,从不同的角度来看,并回到它。我希望我能说服他,我的新方法是有价值的。

 

你冒着损失声誉的风险,但你认为这是值得的。

 

我是作为一个数学家建立的声誉。如果我现在把事情弄糟,人们会说,“好吧,他是一个好的数学家,但在他的生命的尽头,他失去了他的骄傲。

 

我的一个朋友,约翰·鲍金霍恩(John Polkinghorne),就像我正在做的一样离开物理; 他进了教堂,成了一个神学家。在我80岁生日我们进行了讨论,他对我说,“你没有什么可失去的; 你只管前进,按你的想法去思考。”这就是我一直在做的。我拿到了我想要的所有奖牌。我能失去什么?所以这就是为什么我准备赌一把,这是一个年轻的研究员不会准备做的。

 

你在这个职业生涯的这个阶段对充满新想法感到惊讶吗?

 

我的一个儿子对我说,“不可能,爸爸。数学家在他们40岁的时候做完他们所有最好的工作。你年过80. 现在你不可能有什么好想法。

 

如果你在80岁以上的时候仍然保持清醒和警觉,你就有了优势:你已经活了很长时间,你已经看到很多事情,你有视角。我现在是86岁,在过去几年里,我有了这些想法。新的想法来了,你东一个西一个地捡起来,现在时机成熟了,而5年或10年前时机可能还没成熟。

 

是否有一个大问题一直在引导着你?

 

我总是想尝试理解为什么事情行得通。我不想只知道一个公式而不知道它是什么意思。我总是试图挖掘背后的东西,所以如果我有一个公式,我明白为什么它在那里。而理解本身是一个非常困难的事情。

 

人们认为数学开始于你写下一个定理,然后给出一个证明。这不是开始,而是结束。对我来说,数学创造性的地方,在你开始把事情写在纸上之前,在你尝试写一个公式之前。你画各种东西,你在你的头脑把它们翻转。你正在试图创建,就像一个音乐家试图创造音乐,或一个诗人。没有规定。你必须以你自己的方式做。但最后,就像一个作曲家必须把它放在纸上,你必须把东西写下来。但最重要的阶段是理解。证明本身并不能让你理解。你可以有一个很长的证明,最后不知道为什么它行得通。但要了解为什么它行得通,你必须对它有一种直觉反应。你必须感觉到它。

 

 

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月光女侠拨弦机

 

作者 Natalie Wolchover, 2016年8月4日发表


译者 林开亮, 2016年12月6日译 

 

(本文由译者授权哆嗒数学网发布,我们欢迎转载)

 

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译者按:原文标题“Moonshine Master Toys With String Theory”,译自https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/

本文译出当天,我曾将译稿与原文一并转呈杨振宁先生(他一直关心年轻的华裔科学家),次日收到杨先生的回复如下:

She is evidently a very interesting person. Do you know more about her background?    How did you get a copy of the quanta interview?


很遗憾,对这位女侠,我所知的,也仅仅限于Wikipedia提供的材料。读者中如有知情者,请能告诉我更多的情报,我对程之宁当然也很想了解更多。

 

 

物理——数学家程之宁(Miranda Chih‐Ning Cheng)正在努力研究以驾驭存在于弦论、代数和数论之间的一个奇妙联系。
 

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程之宁照片,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

2010年,位于冰岛南部的艾雅法拉火山爆发之后,程之宁因为 航班取消而滞留在巴黎。程之宁当时是 哈佛大学的博士后,研究弦论。在等待烟消云散之际, 她开始思考不久前挂在网上的一篇论文,该论文的三位作者(见大栗博司等人的文章“Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24”)指出了联系极遥远的一些数学对象之间的一个数值上的巧合。 “我仿佛沐浴在另一种月光里”,程回忆当时的思考说, “它可能是另一种月光吗?”

 

她恰好读过一本关于“魔幻月光(monstrous moonshine)”的书, 这是一种数学结构,其存在的最初迹象, 也仅仅是一种类似的数字上的巧合:1970年代末,数学家 John Mckay 注意到一个称之为  j-函数的第一重要系数 196884 恰好是 1 与 196883 之和,这两个数是一个称为魔群(monster group)可以表示的空间的 头两个维数。到 1992 年,研究者已经追踪到这个朦胧(因此比喻为“月光”)的对应的 一个不大可能的源头:弦论。弦论是一个备选的基本物理理论,它将 基本粒子投像为(cast as)小的振动弦。在一个特殊的弦论模型中, j-函数描述了 弦的振动,而魔群则俘获了这些弦所活动的时空网的对称。

 

程之宁说,在艾雅法拉火山爆发之前,这都是“陈芝麻烂谷子”了—— 对物理学家来说,只是一个已经休眠的数学火山。 作为魔幻月光之根基的弦论模型,跟现实世界的粒子或时空的几何完全不沾边。 但程之宁说,新的月光——如果真的有——也许不一样。它涉及到 K3曲面——她和许多弦论专家作为现实时空的一个玩具模型来研究的几何对象。

 

在她从巴黎启航回家之前,程之宁已经找到了新的月光存在的更多证据。 她与合作者 John Duncan 和 Jeff Harvey 逐渐梳理出不止一个而是23个新月光 的证据,这些新月光是一种数学结构,在对称群与数论中称为仿模形式(mock modular forms, 包含j-函数为特例)的基本对象之间 架起了桥梁。这23个月光的存在性,被作为“伴影月光猜想(Umbral Moonshine Conjecture)”在2012年正式提出, 去年被 Duncan 及其合作者证明。

 

与此同时,37岁的程之宁,也在追踪作为23个月光之基础的 K3 弦论—— 这是弦论的一个特殊版本,其中时空具有一个 K3 曲面的几何。她和其他弦论学者 希望能够用伴影月光的数学思想来详细研究 K3 模型的性质。这反过来可以成为 理解那些无法直接探测的现实世界——比如,黑洞内部——的有力工具。阿姆斯特丹大学 的助理教授程之宁,在 法国国家科研中心休假期间,跟 《量子杂志》(Quanta Magazine)谈论起月光的神秘,她对弦论的期望, 并分享了她那传奇的人生轨迹:从台湾的一个朋客摇滚乐(punk‐rock)高中辍学, 而最终成为一个探究数学与物理最深奥的思想的研究者。 访谈内容如下:

 



拨云现月的“月光女侠”程之宁,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

 

《量子杂志》:您研究所谓 K3 曲面上的弦论。它们是什么,为什么重要?

程之宁:弦论学家说,时空一共10维。既然我们只能感知4维, 其它6维必定卷曲或“紧化”得很小以至于看不到,就像一根非常细的电线的周环一样。 而额外的维数如何紧化的可能性太多了——比方说,大概有10的500次方种可能, 因此,几何不可能断定哪一种紧化比其余的紧化能更好地描述现实。 我们也不可能逐一研究所有可能模型的物理性质。 因此,你会代之以考察一个玩具模型。如果你喜欢精确结果而不是 近似结果,如我的情况那样,那么你通常最终会考虑一个K3 紧化, 它是介于太简单与太复杂之间的紧化。 它也俘获了 Calabi‐Yau 流形(研究得最多的一类紧化) 以及基于 Calabi‐Yau 流形紧化的弦论的一些关键性质。 K3 还有一个好处,你通常可以对它做直接的精确计算。

 

《量子杂志》: K3 实际上看起来像什么?

程之宁:你可以先设想一个平坦的环面,然后将它折叠, 于是将会产生不平的边边角角。数学家有办法将它磨平,其结果就是一个 光滑的 K3 曲面。

 

《量子杂志》:因此你可以探明在这个框架下的物理学, 弦在这个时空几何中游走?

程之宁:是的,在我的博士论文中,我探究了这个理论下的黑洞的性态。 一旦你有了卷曲的与K3相关的 Calabi‐Yau 流形,就可以形成黑洞。 那么,这些黑洞的性态如何——尤其是它们的量子性质如何?

 

《量子杂志》:那就是说,您可以试图解决信息悖论这个悬疑已久的谜题—— 当量子信息跌入黑洞中将会发生什么?

程之宁:当然。你可以探讨各种类型的黑洞—— 如现实的天体物理黑洞或来自弦论的超对称黑洞——的信息悖论和性质。 研究第二种黑洞将会给你的现实问题投来一线光明, 因为它们共享同样的悖论。 这就是理解 K3 下的弦论以及那一紧化下出现的黑洞 也可以给 其它问题的研究带来曙光的原因所在。至少,这是一个期望, 而且我认为这是一个合乎情理的期望。

 

《量子杂志》:您是否认为弦论确实描述了现实,或者 您只是为了它本身而纯粹研究的东西?

程之宁:就我个人而言,我一直把现实世界放在脑后—— 不过,真的真的非常靠后了。 我利用它作为决定研究前进的大致方向的一种灵感。 但我日常的研究并不是以解决现实世界的难题为目标。 在基本高能物理中,需要新的思想, 但很难说这些思想会来自何处。 理解弦论的基本、根本结构, 是必要和有益的。你必须从那些你可以计算东西的地方起步, 那通常会将你引向非常数学化的角落。 理解现实世界所付出的代价可能是长期的, 但在这一阶段是必要的。

 

《量子杂志》:对物理和数学,你是否一直有诀窍?

程之宁:儿时在台湾,我更喜欢文学,那是我最热衷的。 在我12岁左右时,我被音乐吸引,流行音乐、摇滚(rock)和朋克(punk)。 我一直很擅长数学和物理,但并非真正感兴趣。 我总觉得中小学对我是一种煎熬,总是想方设法逃学。 我试图跟老师打赌我没有必要去听课。 或者当我完全没病的时候我会请上几个月的病假。 又或者我在这里那里跳一级。 我想,我只是不知道如何对付当局。

大概是教学内容太简单了。我跳了两级,但那没有用。他们把我弄到一个特殊班, 结果更糟,因为班上的每个人都非常争强好胜, 而我恰好完全无法应对这种竞争。最终我 超级沮丧,我决定要么自我了断要么辍学。 于是,在16岁时,我辍学了, 并且离开了家,因为我坚信父母会逼迫我重回学校, 而我是坚决不肯的。 因此我开始在一家音像店工作,那时我也在一个 乐队演出,我喜欢这个乐队。

 

《量子杂志》:您如何从那里走向弦论的?

程之宁:长话短说,我有点受挫或厌烦。我想做点音乐之外的事情。 因此我试图回到大学,但有一个问题,我高中没有毕业。但在我辍学之前, 我在一个特殊班中,班里的每一个孩子都擅长理科。 因此我可以通过他们进入大学。 所以我想,没问题,太好了,我进入大学后先修物理或数学, 然后转到文学。因此,我进入了物理系,跟它有了断断续续的关系, 常常去上课,然后试着学习文学,同时也在乐队演奏。 后来我意识到,自己并非那么擅长文学。同时,有一个非常优秀的教师讲 量子力学。我只去听过他的一堂课后,就想,这实在太酷了。 我开始投入了稍微多一点的精力到数学和物理的学习, 我开始从中找到平和。那就是数学和物理开始吸引我的所在, 因为我在乐队玩音乐的另一半生活不知怎的有点混沌。 音乐汲取了你许多情感。你总是与人在一起工作, 音乐关于关心生活、关心情感——你必须把你自己的 许多奉献给它。而数学与物理似乎具有这种平和安静的美。 这是一个宁静的世界。

后来在大学快毕业时,我想,好了,让我再学一年物理, 然后此生与它了结,就可以自由漂泊我的人生了。因此我决定去荷兰见世面,学物理,而后来我确实也到了那里。

 

《量子杂志》:您在乌特勒支大学诺贝尔物理奖得主 Gerard’t Hooft 指导下 取得硕士学位,而后又在阿姆斯特丹大学做博士。是什么吸引你去那里?

程之宁:跟Gerard’t Hooft做研究当然是一个重要因素。但是, 学习更多的东西也是一个重要因素——这让我认识到 存在如此多有趣的问题。而且那是主要的因素。 对我而言,日常的片段也很重要。 学习的过程、思考的过程,正是优美之所在。 每天你都会遇到一些问题或思考方式, 或这个事实将会引出那个事实——我想,哦, 这真美。Gerard 不是一个弦论学家——但 他对量子引力的正确领域应该是什么非常开明, 因此允许我走别的道路。 我被弦论吸引,是因为它在数学上是严格的,而且很漂亮。

 

《量子杂志》:对于您现在研究的工作, 除了美感之外,您是否为数学与物理之间这些看似遥远的部分之间的联系的神秘性而着迷?

程之宁:神秘的方面联系着我个性中不好的一面,我执迷不悟的一面。 这是我的推动力之一,从普通人的观点来看,我要说这有点负面,尽管从科学家的观点来看并非如此。 但还有一个正面的推动力,就是我真的享受学习不同的东西并感受到自己何等无知。 我享受那种感觉,就像“我对此一无所知,我真的想了解!”所以那就是一个动机—— 待在数学与物理之间的边界地。月光是一个也许需要各种灵感和知识的谜题。 当然,它也需要美——这是一个优美的故事。 难以言说它为什么如此美。它的美,不同于一首歌或一幅画的美。

 

《量子杂志》:差别在哪里?

程之宁:通常来说,一首歌的美,在于它触发了某种情感, 引发你的共鸣。数学上的美不是那样。那种一种更结构化的东西。 它让你感觉到某种永恒得多的东西,并且独立于你而存在。 它让我感受到自己的渺小,我喜欢那种感觉。

 

《量子杂志》:确切地说,月光是什么?

程之宁:一个月光将一个有限对称群的表示关联到一个具有特殊对称性的函数。 这一关联的基础,至少在魔幻月光的情形,是弦论。 弦论有两种几何。一个是“世界面(worldsheet)”的几何。如果你有一条弦—— 本质上是一个圆周——在随时运动,那么你会得到一个圆柱面。这就是为何我们称之为 世界面的几何的原因;这就是弦本身的几何。 如果你弯曲圆柱面并将两端粘帖,就会得到一个环面(轮胎面)。 这个环面的对称会给你j-函数。弦论中的另一个几何是时空本身, 它的对称会给你魔群。

 

《量子杂志》:一旦你们找出了作为23个伴影月光之基础的K3弦论, 这些月光将会让你在K3弦论的研究途径方面有何收获?

程之宁:我们还不清楚,但这是可以期待的猜测: 月光的存在会告诉你,这个理论必定具有一个代数结构(你必须 能够对代数的元素做操作)。如果你考察一个理论,然后问, 在一定能级范围内存在哪种粒子?这个问题就不能穷尽了, 因为随着能级越来越大,问题也没有尽头。 在魔幻月光中,这彰显在这一事实中, 你观察j-函数,它有无穷多项, 那无穷多项基本上表征了粒子的能级。 但我们知道,这里潜在着一个代数结构—— 有一个机制将低能态关联到高能态。因此,这个无穷无尽的问题 有一个结构; 它不只是随机的。

正如你可以想到的, 有一个代数结构就可以帮助你 理解,表征这个理论的结构是什么—— 如果你看看低能态,它们就会告诉你高能态的一些信息。 然后,它会给你更多的工具去做计算。 如果你想理解高能级下的一些东西(比如黑洞内部), 那么我有更多的信息可以提供。 我可以用手头的低能数据计算我想了解的高能态的信息。 这就是我们的期望。
伴影月光告诉你,一定存在类似于此的某种结构,尽管我们尚不清楚它是什么。 从更一般的角度理解它,势必要求我们理解这个代数结构。 那将会引出对这个理论的一个深刻得多的理解。那就是我们的期望。

 

相关阅读:

数学家追踪“月光幻影”(Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow)https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/


及其中译本http://www.huanqiukexue.com/a/qianyan/tianwen__wuli/2016/0923/26494.html


译者简介:林开亮,先后就读于天津大学和首都师范大学数学专业,现任教于西北农林科技大学。热衷数学科普的翻译与写作,曾主持翻译《当代大数学家画传》和《数学与人类思维》,参与翻译《数学家讲解小学数学》和《数学巨匠》。发表的部分作品可见http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2016/talk.php?20160612A

 

 

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美国数学评选2016公众媒体10大热门数学事件

 

原文发布于美国数学会官网。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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近日,美国数学会官网发布一个榜单,点评了2016年在数学界或者社会上产生较大影响的,关于数学或者数学家的10个事件。这些关于数学和数学家的故事,由于出现在许多主流媒体上及其趣味性,从而对数学界和一般公众产生了影响。当然,是站在美国人的角度来点评的。

 

书和电影:《隐藏人物》

Margot Lee Shetterly(左图)的第一本书《隐藏人物》(Hidden Figures)讲述了黑人女性数学家们的故事,1958年,在美国国家航空航天局(NASA)采取措施完全消除种族隔离之前,她们在NASA的任务中做出了重要贡献。Christine Darden,现年73岁,从NASA退休之前成为声震工程研究的领导者。Katherine Johnson,98岁,负责计算水星计划和阿波罗计划的火箭轨迹。这部故事的电影版本,由Taraji P. Henson,Octavia Spencer和Janelle Monáe主演,预计于2017年1月发行。媒体对这本书和即将到来的电影进行了广泛的报道。

(照片:Aran Shetterly,下图)


 

《知无涯者》:关于拉马努金的电影

 

电影《知无涯者》是基于印度数学家拉马努金的生平,这位数学家死于32岁。曾经以扮演《贫民窟的百万富翁》男主角马里克而一炮而红的英籍印度裔演员戴夫·帕特尔饰演数学天才拉马努金,而1991年63届奥斯卡影帝杰瑞米·艾恩斯饰演拉马努金的同事兼支持者——另一位传奇数学家,哈代。 小野健(今年发表了一篇题为《我对Ramanujan的探寻》的自传)和2014年菲尔兹奖得主,印度裔数学家巴尔戈瓦对电影提出了建议。

(照片,从左到右: 小野健,影片副制片人和数学顾问; 杰瑞米·艾恩斯,饰演哈代 ,德维卡·贝斯饰演拉马努金妻子佳纳克伊;戴夫·帕特尔,饰演拉马努金; 巴尔戈瓦,影片副制片人和数学顾问。)

 

(《知无涯者电影海报》,下图)

 

2016 国际数学奥林匹克—— 美国又赢了


美国国际数学奥林匹克(IMO)队连续第二年在IMO中获得第一名。韩国落后美国7分,中国夺得第三。所有六个美国队成员在比赛中全部获得金牌。国家和地方新闻媒体以及社交媒体报道了美国教练Po-Shen Loh(卡内基梅隆大学),以及他对团队,团队的训练和比赛的描述。 (照片,从左到右:Ankan Bhattacharya,Allen Liu,Ashwin Sah,Michael Kural,Yuan Yao,Junyao Peng;由美国数学协会/卡内基梅隆大学提供)Ankan赢得了2016年全美的“谁想要成为数学家”比赛, Ashwin和Michael都是前参赛选手。

 

 

Andrew Hacker以及他的言论——“谁需要数学?”

实质上,Andrew Hacker认为,由于只有5%的人在他们的工作中使用代数或几何学,大多学生不需要学习这些科目。 纽约时报和许多其他出版物报道了他的观点,发表了专栏,并评论了他的书《数学神话和其他STEM妄想》。几个月后,Hacker参加了与James Tanton的辩论,辩论在国家数学博物馆(MoMath)的场所举行,并由纽约客进行报道。

 

安德鲁·怀尔斯获得2016年阿贝尔奖

 

世界各地的媒体,特别是在英国,宣布安德鲁·怀尔斯“由于他通过半稳定椭圆曲线的模猜想的方式对费马大定理的绝妙证明,打开了一个数论新时代”被评为2016年阿贝尔奖获奖者的消息。 美国国家公共电台(NPR)提供了关于怀尔斯的更多传记性细节,包括:“1963年,当他是一个在英格兰剑桥长大的十岁男孩时,怀尔斯在当地图书馆找到一本关于费马大定理的书的副本,怀尔斯回忆说,他对于他作为一个小男孩都可以理解的问题很感兴趣,然而三百年来它仍然没有被解决,‘我知道从那一刻起我永远不会放手,’他说,‘我必须得解决它。’”

(照片,安德鲁·怀尔斯,下图)

 

 

Eugenia Cheng:关于数学和烤馅饼

数学家Eugenia Cheng,目前在芝加哥艺术学院,给艺术学生教数学,广泛地做讲座,同时继续她的研究。她的书《如何烤制π:数学的可食用性探索》于2015年出版,令人感兴趣的是她把数学和烘焙联系起来。她接受纽约时报的采访,并与著名脱口秀主持人史蒂芬·科拜尔出现在晚场秀。Cheng坚持认为,公众的理解 ——数学很难,只有有才华的数学家才能做数学 ——完全错了,相反,她说,数学的存在是为了让生活更顺利,解决那些可以通过应用数学最强大的工具 ——逻辑 ——来解决的问题。”

 

 

诺贝尔物理学奖 ——拓扑学解释

 

诺贝尔物理学奖于2016年10月4日授予戴维·索利斯(华盛顿大学,西雅图),邓肯·霍尔丹(普林斯顿大学)和迈克尔·科斯特利兹(布朗大学)。瑞典皇家科学院的嘉奖包括以下声明:“三个获奖者在物理学中使用拓扑概念对于他们的发现是决定性的。”拓扑学是一个数学分支,描述那些只是逐步变化的属性。使用拓扑作为一种工具,他们能够使专家感到震惊。科学院的发言人,索尔斯·汉森,试图使用肉桂卷来解释拓扑,视频被许多新闻媒体和社交媒体报道。

 

 


数学毁灭性武器

数学家和华尔街前“金融工程师”Cathy O'Neil的书《数学毁灭性武器》,研究了一下她所谓的WMD(数学毁灭性武器) ——模型和算法,它们无意间“把人类的成见,误解和偏见编码进入软件系统,这些软件系统越来越多地管理我们生活。”她的挑衅思想被《发现》节目,美国国家公共电台(NPR)和其他媒体报道。

 

 

球堆积问题

寻找最有效的球堆积是数学家长期以来感兴趣的一个问题。3月,柏林数学学院和柏林洪堡大学的博士后研究员Maryna Viazovska发表了一份证明:在8维空间,E8是球形物体最密堆积。她通过使用模形式的理论来找到8维的“辅助”函数,从而做出了这个证明。辅助函数使数学家能够计算给定维度中允许的最大球体密度。 《Quanta杂志》和《新科学家》报道了这项研究发现,这是数学家非常感兴趣的,并向广泛的读者群体解释了这些概念。

(图片:E8根系统的可视化表示)

 


圆周率节

 

像往常一样,圆周率日引发庆祝活动,竞赛和媒体报道。严肃的一面是,数学家Carlos Castillo-Chavez研究亚利桑那州立大学的流行病,并使用“π”来研究一切循环的东西,如他自己对于循环再发生的流感的研究。而有趣的一面,John Conway,最近说,“‘派’可能是‘无理’的,但免费比萨饼就是一切”他与必胜客合作,编写了三个不同难度的数学问题,为“消费者和数学奇才”提出了独特的挑战。第一个正确解决并提交正确答案的人的奖品是3.14年的免费比萨饼。 美国数学学会(AMS)在普罗维登斯学院举办了一年一度的圆周率节“谁想成为数学家”数学竞赛。

 

 

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