菲尔兹得主舒尔茨:我没有改变判断,ABC仍然是猜想

 

本文作者,Davide Castelvecchi,《自然》杂志记者。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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经过8年的漫漫征途,日本数学家望月新一终于得到了某种意义的确认。他的600页长度关于数论超级难题“ABC猜想”的论文,被学术杂志接收。

 

接受论文的《数理解析研究所公刊(PRIMS)的主办单位就望月新一供职的京都大学,望月新一是该杂志的主编。——论文的接受,就是是关于这个证明的长期而激烈的争论的最新进展。

 

43日在京都举行的新闻发布会上,另外两名数理解析研究所数学家柏原正树和玉川安骑男用日语宣布了该论文的发表。 柏原正树原说,该论文“将产生重大影响”。当被问及望月对报纸被接受的消息有何反应时,柏原正树说:“我认为他很欣慰。”

 

望月新一多年来一直拒绝接受记者采访,这回也没出现在新闻发布会上。

 

八年前,望月在网上发布了四篇篇幅巨大的论文,声称已经解决了ABC猜想。论文对于数学家们是有难度的,他们花了多年的时间来理解它。在2018年,两位数学界威望极高的数学家表示,他们认为自己在望月新一的证明中发现了一个缺陷——许多人认为这对望月新一论文的致命一击。

 

这个最新公告似乎并没有让多少学者站到望月新一一边 “我可以肯定地说,自2018年以来,数学界的意见没有太大变化”加州大学圣地亚哥分校的数论学基兰·基德拉亚说,他们多年来试图验证望月新一证明的专家之一。加州大学伯克利分校的另一位数学家爱德华·弗伦克尔说:“由于可能出现新的信息,我将不予发表有关该作品的判断,直到该作品真正发表

 

望月新一声明证明的ABC猜想”是一个揭示自然数加法和乘法之间深刻联系的猜想。任何自然数都可以分解成为素数的乘积,比如,60=5×3×2×2。 粗略的讲,这个猜想可以这样粗略的表述:如果有一堆小的素数整除ab,那么能整除c = a + b的更大的素数非常少。


如果证明得到确认,那么该证明可以改变数论的面貌。例如提供一种全新的方法来证明费马大定理。费马大定理的证明过程堪称传奇,它是皮埃尔·费马在1637年提出的,而1995年这个问题才被确认解决。

 

 


这次故事始于颇有声望的数论学家望月新一。2012830日他悄悄发布了他的预印本——不在数学家首选的arXiv上,而是在他自己工作单位的网页上。这些论文以硬核,特立独行的风格撰写,文章中的数学概念数学界的其他数学家似乎都没怎么见过——“就像您可能从未来或从太空阅读论文一样,” ——论文发表后不久,威斯康星大学麦迪逊分校的一位数论学家乔丹·艾伦伯格写道,就在他的博客上发表了文章,他如是评论望月新一的论文。

 

望月新一拒绝了所有让他出国讲授他的论文的邀请。尽管当时他的一些身边的同事说他们发现该证明是应该是对的,但世界各地的专家们不太愿意独立的去研读他的论文,更不用说对其进行验证了。随后几年就此主题举行了多次会议,与会者向外界展示了一些该问题的部分进展,但表示可能还要花费很多年才能得出最终结论。其间,包括望月新一的博导法尔廷斯在内的许多数学家也公开批评望月新一,说他没有尝试把他的证明思想表述得更清楚。

 

 

20171216日,日本《朝日新闻》报道望月新一的证明已接近正式验证通过,这一成就能与1994年证明的费马大定理的证明相媲美。

 

同时,有传言称《数理解析研究所公刊》已经接受了这些论文,不过当时其编辑对此予以否认。但是争议再次爆发,一些数学家公开批评望月新一在自己供职的研究所发表论文实在吃相太难看。

 

纽约哥伦比亚大学的数学物理学家彼得·伍伊特201712月在他的博客上写道,该期刊对论文的接收将创造一种“数学史上前无古人的情形:著名数学期刊声称他们已经验证通过了一个非常著名的猜想,而研究该领域的大多数专家却无法理解该证明。”

 

论文即将出版的传言看来证据不足。然而,几个月之后,事情变得更加对望月新一不利。波恩大学的彼得·舒尔茨和法兰克福歌德大学的雅各布·斯蒂克斯公开反驳了他ABC猜想的证明,并指出了他们认为的一个具体、关键一段论证是错误的。尤其是舒尔茨被认为是数论方面的权威,他于20188月获得菲尔兹奖(数学领域的最高荣誉)。同月,舒尔茨和斯蒂克斯公开反对的观点在当时《科学》杂志的独家文章中被引用。《量子杂志》也报道,他们发现了一个严重的,无法修补的缺陷。 “我认为ABC猜想仍然没有解决,” 舒尔茨告诉《量子杂志》, “任何人都还有机会证明这一猜想。”


在望月新一个人主页的同期评论中,他并没有理会这些批评,认为两位批评者根本没看懂他的论文。但是几位专家告诉《自然》杂志,数学界的大部分学者认为认为这件事应该有个结果。

 

现在接收论文似乎已经是板上钉钉了。舒尔茨在一封电子邮件中对《自然》杂志说:“自从我与斯蒂克斯撰写那篇文章以来,我的判断没有任何改变。” (在另一封电子邮件中,斯蒂克斯拒绝发表评论。)

 

在新闻发布会上,玉川安骑男说,证明过程本身并未因舒尔茨和斯蒂克斯的批评而改变。玉川安骑男同时表示,关于它的一些评论也将在论文中发表,但没有本质改变。

 

负责出版该杂志的欧洲数学会主席沃尔克·梅尔曼表示,如果该期刊的编辑“抛弃这些批评”并在不进行重大修订的情况下发表该论文,就会对他们和望月新一产生不利影响。梅尔曼说(欧洲数学会对期刊的内容没有编辑控制权,直到《自然》联系他,他才知道论文即将发布的公告。)


但是一位不愿透露姓名的数学家说,杂志的编辑和评审几乎不可能对论文还能做什么了。 “如果世界上最好的数学家们花了大量时间都无法阻止将要发生的事情,那么一个评审还能做什么?”

 

数学家经常在他们担任编辑的期刊上发表论文。东京大学卡夫里宇宙物理与数学研究所的数学家中岛启教授说,只要作者遵照同行评议回避流程,“这种情况就不会违反任何规则,而且很普遍”。中岛启以前是《数理解析研究所公刊》编辑委员会的一员。 同时,梅尔曼也确认这不会违反欧洲数学会的准则。

 

柏原正树说望月新一已经退出了审查程序,并且没有参加有关该论文的任何编辑委员会会议。他说,该杂志此前也曾发表过其他期刊编辑委员会成员的论文。

 

 

望月新一的论文于25日被接收,但是发表日期尚未确定。 柏原正树说:“论文很长,问题比较特殊,所以不好说多长时间能见刊。”

 

在数学界,期刊的认可印章通常并不是同行评审过程的终点。重要的结果只有在数学界达成共识后才能真正成为被承认的结论。在论文正式发表后数年才被真正承认的情况时有发生。

 

“尽管多年来历经艰难险阻,但我仍然认为,如果望月新一的思想正确无误,那就太好了。”英国牛津大学数学家金明迥说。

 

 

 

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现实中无限存在吗?

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如果能够到达宇宙的边缘,我们会看到什么呢?这个问题很难想像,因此我们很容易得出这样的结论:宇宙没有边界,所以它必定是无限的。但是,这并不是一个必然的结论。有些东西虽然是有限的,但它们却没有边界,比如球面。它具有有限的面积,但当我们在这个球面上走的时候,却永远也不可能遇到边界。宇宙究竟是有限的还是无限的,这个问题目前尚无定论,并且这两种可能性都有相应的数学模型支持。更一般地,宇宙中是否存在任何无限的量,这是一个很深奥的问题。2013年四月份,哲学家、宇宙学家和物理学家们齐聚剑桥大学,针对这一问题进行讨论、交流。这次会议是宇宙学哲学的系列会议之一。

 

我们无需害怕的无限


人类很早就开始研究无限以及它与现实的关系。“物理学上对无限的研究肇始于亚里士多德”,剑桥大学宇宙学家约翰・D・巴罗(John D · Barrow)介绍说,“亚里士多德对两种类型的无限进行了清晰的划分。他称其中一种为潜在的无限,并且非常乐意允许这种无限存在于对世界的描述中。这就像一张永远到不了最后一行的清单。自然数是一个很好的例子:1,2,3,4,5 …… ,这样,这张清单可以一直列下去 —— 它是无限的。但你永远也无法接近到这个无限。宇宙可能有无限的尺寸,它可能有无限久远的过去,它可能注定有无限长的寿命。但这些都是潜在的无限,所以没必要对他们产生恐惧。潜在的无限更像是‘没有限制’的另一种说法 —— 它们是没有边界的,就像那张清单上的数。”

 


尽管大多数人很乐意接受“潜在的无限”的存在,我们仍然不知道它是否真的存在。“当我们望向宇宙深处,我们的目力所及是非常有限的。因为宇宙已经存在了 140 亿年,”开普敦大学的宇宙学家乔治・埃利斯(George Ellis)解释道,“宇宙中最快的速度是光速,所以我们最多只能看到 140 亿光年远的地方,它稍微有点远,但基本上就是这样。我们完全没有机会看到无限远的地方。那就像从地面上的一座灯塔向外望去,我们可以看到地平线,但却无法看得更远。在地球上我们可以做飞机去到地球另一边。但是在宇宙中,它的尺寸实在是太大了,以至于我们无法像在地球表面上那样移动。我们卡在了我们所在的这个点上,所以只能够从这个点望向宇宙,触及到有限远的地方。”

 

但尽管是埃利斯提到的有限的过去,宇宙所经历的 140 亿年更像是一种修辞,而非一种确定的说法。我们知道宇宙现在在膨胀,所以如果回溯它膨胀的历史,我们会到达一个时间上的特殊点 —— 大爆炸。我们认为这个点是宇宙的开始。但是,物理学界公认的广义相对论和量子力学都不适用于这一时刻。目前有一系列的理论可以用来描述这一时刻的状态,但没有哪一个是确信无疑的。“一些理论认宇宙不存在开端,而另一些承认它的存在”,埃利斯说,“基本上我们是只是在做有根据的猜想。我们无法开展可以验证这些理论的实验,因为无法获得足够大的能量。”

尽管描述大爆炸当时的情况的超出了当前理论的范围,但已经有一种描述大爆炸之后很短时间的情况的模型被广泛接受 —— 膨胀理论。加州大学圣克鲁斯分校的教授安东尼・阿吉雷(Anthony Aguirre)认为,它能够告诉我们一些关于宇宙尺寸的信息。“膨胀理论认为,在非常早期的时候,宇宙按指数形式进行膨胀,所以它在非常短的时间内膨胀了大概 2的100次方倍。在该理论研究的早期,人们发现,膨胀理论给出了一系列暗示性的预测。其中一部分已经被证实,另一部分仍然需要实验进行验证。这使得我们对膨胀理论更加信服,但它也有非常有趣的副作用。”

其中的一个副作用是,在宇宙的不同区域中,膨胀的速率可能是不同的。在有些区域,指数膨胀很快就停止了,产生了一片可观测的宇宙,比如我们所处的区域。在其他的区域,由于宇宙组成的空间变化,膨胀会永远进行下去。我们拥有无限的时空,并不是因为我们假定时空是无限的,而是因为我们认为有一个过程自然地导致了时空的无穷限,”阿吉雷说,“我认为那是一个非常有趣的区别,因为我们可以从其他途径检测这一过程”。如果检测的结果能够让我们相信这就是宇宙的真相,那么时空的无限特性就是一个自洽理论的推论。

有趣的是,相关理论也暗示时空的尺寸还依赖于我们的观察位置。在广义相对论中,爱因斯坦告诉我们,时空其实是密不可分的,所以才有“时空”这个词 (spacetime)。如果我们想要单独地提及时间或者空间,就必须从数学上把它们分解开。“即使是像‘空间是有限的还是无限的’这样的问题,也依赖于我们如何单独地定义时间和空间”,阿吉雷解释说,“只存在‘时空’,这是爱因斯坦告诉我们的。我们可以采用许多方式把它分解成时间和空间。它们从根本上来说都是有效的,并且针对任意一个我们考虑的特定实验都能给出相同的结果。但它们仍有着不同的物理意义,并且对于某一特定的目的而言,一些分解比另一些更分解更为方便。”

“如果真的存在一个无限的‘时空’,那么总会存在一些方法让我们能够把它分解开,使得宇宙看起来是有限的,同时它正在膨胀。它可能永远膨胀下去,最终变成无限大,但是在任何一个时间点上,它还是有限的。同时,我们还可以把这同一个‘时空’按另一种方式分解,使得它在任何一个时刻具有无限的空间。这样它就是一个无限的、膨胀的宇宙。” 在一个膨胀的宇宙中,如果膨胀停止,那么就存在一种最自然的分解时空的方式,这种方式使得宇宙接近于一种均匀的状态(即我们所说的平坦的宇宙),并给出一个空间上无限的宇宙。“膨胀理论很自然地导致一个均匀和无限的宇宙。这样的宇宙会演化出我们所看到的东西。如果我们能够发现暗示性的证据,证明这样一个丰富的、多层面的、有趣的无限宇宙,这真的是太好了。”

 

实实在在的无限

 

宇宙的尺寸是否是无限的,这一问题涉及到亚里士多德提到的一种无限 —— 潜在的无限。这种无限我们可以想象得到,但无法真正地看到。亚里士多德提到的另一种无限是“实实在在的无限”。在接下来的讨论中,我们考虑的情况是,局部化的东西、我们可以实实际际测量的东西,变成无限。实在无限产生的一种情况是黑洞内部。当一个大质量恒星向它内部坍缩,并且没有什么能够阻止它时,黑洞就形成了。相关理论表明,这会导致在某一点上产生无限的质量密度。这样的无限在宇宙中存在吗?

“黑洞并不一定是个固体实体,它只是宇宙中的一种面”,巴罗解释道,“如果我们跨过这个面进入黑洞内部,就再也出不来了。因为摆脱黑洞的引力需要比光还快的速度。(黑洞的形成)实际上就是一大堆东西坍缩在一起,它们的密度变得越来越大。最终在它们周围会形成一种面,我们称为‘视界’。当我们进入到一个巨大黑洞(比如相当于太阳质量 10 亿倍的黑洞)的视界内部,情况其实就和这间屋子里差不多,没有什么特别的地方。但如果你想试着返回或者离开,你会发现你做不到。黑洞中心的密度会继续无限制地变大。在黑洞的外面,我们看不到里面的任何变化,它被隐藏起来了,它的效果被视界隔离了,视界内部的黑洞无法影响到它外面的宇宙。”

“很久之前,罗杰・彭罗斯(Roger Penrose)提出了一个被称为‘宇宙审查制度’的猜想。该猜想认为,如果奇点或者无限大真的在宇宙中存在,并且没有什么东西可以阻止它们,那么它们也将永远被困在视界之内。并不存在人们称之为‘裸奇点’的东西,所以并不存在任何能够影响视界之外的我们的宇宙的无限。这一猜想已经在很多情形下得到证明,但距离普遍证明还差很远。这是一个非常困难的数学问题。”

可能存在于我们的世界之中的另一种无限是无限小,或者说是,无限可分。如果我们有一把无比精准的尺子和一支铅笔,是否可以将一条直线段永远地划分成更小的线段,得到我们想要的尽可能小的线段?

埃利斯认为这样的想法非常荒谬。“如果我们把手指分开 10 厘米,并且真的认为手指之间有一条实实在在的点组成的线,那么在手指之间就会有无数个点。那完全是不切实际的。我认为实在无限只是一个数学概念,而非与物理世界相对应。理查德・费恩曼(Richard Feynman)说,如果他必须留下点什么给年轻一代的话,他会留下一句话,‘物质是由原子组成的’。我们有理由相信,对于时空来说也存在相似的说法 —— 时空是由最基本的‘时空的原子’组成的。如果我们把手指分隔开,手指之间确实会有大量的作为物理实体的点存在,但它们并不是无限的,也不是不可数的”

如果时空是由不可分的最小单元构成,那就必定存在一个最小的长度尺度。物理学理论确实支持这个观点。这些理论将这一比任何物体都小的长度称为普朗克长度。它的尺寸大概是10的-35次方:这个数的小数点后面有 34 个 0。现代观测仪器无法达到这样小的分辨率精度。并且从理论上来说,即使我们有能够达到这一精度的仪器,我们也无法测量任何尺寸小于普朗克长度的物体。


宇宙热狗

 

埃利斯对各种无限进行了重要区分。一方面,存在数学概念上的无限,例如,直线是无限可分的;另一方面,物理概念上的无限关注的是自然界中存在或不存在的真实的数量或现象。但实际上还有一种我们可能最熟悉的无限。

 

 

“如今我们要区分数学意义上的无限、物理意义上的无限,和神学家、哲学家谈论的超验的无限”,巴罗说道,“这种超验哲学是大街上的普通人非常熟悉的。如果你向他们提到无限,他们会认为他们知道你在说什么。那就像是神秘主义者对热狗推销员说的:给我做一个包含一切的热狗(双关含义是让我与一切融合,原句为 make me one with everything)。”

 

“在许多宗教传统中,‘一切事物的总和’可能与上帝或者宇宙的终极存在有着相同的含义。这与物理学家和数学家试图去处理的那种更加具体的事物不同。当我们回顾思想史、数学史和物理学史时,会发现,有人信仰数学上的无限;有人信仰物理学上的无限;有人怀疑任何其他形式的先验无限。将这些对不同类型无限的信仰与怀疑进行组合,我们得到了 2³=8 种不同的选择。” 

 

对无限的意见确实存在分歧。巴罗和阿吉雷都很乐意接受数学意义上的无限,但都没将物理意义上的无限拒之门外。“发展一种包含‘无限’这一概念的实用理论是完全没有问题的”,阿吉雷解释说,“作为有限的个体,我们只能体验到整个宇宙中有限的一部分。但原则上,我找不出任何理由来限制宇宙应该是有限还是无限的。”

 

另一方面,埃利斯并不相信物理意义上的无限的存在。他指出在与物理有关的数学论证中使用无限大会带来潜在的问题。他提到了数学家大卫・希尔伯特(David Hilbert)的一个思想实验:假如我们有一座有无数间房间的旅馆,并且这个旅馆住满了客人。但是如果我们请住 1 号房间的客人换到 2 号房间,2 号房间的客人换到 3 号房间 …… 依此类推,每一个房间的客人都换到后一个房间下榻,那么这个旅馆的 1 号房间就又可以再住进新的客人 —— 这就产生了一个悖论:因为不存在最大的数,所以这个旅馆的 1 号房间总是可以住进新的客人,并且保证每个人都有住的地方。

 

由于这样的悖论的存在,我们在物理情境下使用“无限”概念的时候要非常小心。“有时当人们谈论无限时,他们其实指的是一个非常非常大的数。他们实际上是把‘无限’作为这个非常大的数的一种暗语。这种情况下,推测一下这个非常大的数是多少,并且只谈论这个大数而不是无限,会更有益处。有时候人们谈论无限,其实是指它的深层含义 —— 会产生悖论的那种含义。如果一个物理学论证或其他证明依赖于这样矛盾的依据,那它就是一个错误的论证,并且应该被其他更切实的论证取代。”

 

总之,关于物理世界中无限的存在性之争尚无定论。在缺乏具体的科学解答的情况下,寻求哲学的帮助便在情理之中。“重要的是让物理学家和哲学家在一起交流”,阿吉雷说,“我的许多物理学家同事都对哲学家有一种印象 —— 认为他们根本不了解物理学,他们在谈论、批判物理学,但他们却对物理学却不甚了解。或许过去有些哲学家是这样,现在有些哲学家也是这样。但和我交流讨论的哲学家们确实是真的了解物理学。我把他们视为思考这些基本问题的专家。相比于更倾向于经验主义和实用主义的物理学家来说,他们能够从更大的和不同的视角来看待这个问题。这一点是非常难能可贵的。”


以下是本文的精彩评论

 

评论一


关于无限的本质:从整数说起 ……

 

这是个非常深奥和严肃的问题。关于无限,有许许多多基本问题需要解决,其中的一部分可能有助于阐明关于无限的更深层次的性质。

 

举个简单的例子,比如整数。作为一个单一实体,它必定包括了“所有的整数”。这里需要注意,这是对一类具有某一特定性质的数的统一集合的一种描述方式。在这种单一实体的“整数”的概念下,从外部(即把“整数”视为一个整体)是不存在能够分辨出单个数字的特定结构的。这是无限的不可计算本质。

 

这也正是这类无限悖论的源头所在。如果所有的整数都有了,那么这个结构就完整了,它就成为作为整体的所有整数的一种性质,就像类维度的域一样。 所以一方面来说,我们有一个统一的无限域,一个无限的单一实体。在这个域中,只有所有单独的的整数被看作一体时,这个无限才是统一的。另一方面,把“整数”的内容看作单独的一个个整数,这些整数的数量是无限多。这样就又出现了悖论。有趣的是,在这种无限的观点看来,似乎存在着类似“波粒二象性”的悖论。

 

希尔伯特旅馆是对“无限”的边界的另一种解释。这种解释基于“无限”内部的基本组成部分。它假定没有对大小的限制,所以我们可以无限制地增大整数 —— 这是一个不确定性的、无限的边界的局部视图。“类维度”的视角则是把整数的无限看作是所有整数的一个完整的、固定的、无法计算的属性。

 

以上我所给出的关于整数无限性的描述创造出了一种有趣的观点。作为类维度实体的整数的无限性质代表了一种状态的改变 —— 从单个整数的视角转变为作为统一整体的整数的视角。这种无限指代整数的性质,因而是无法计数的实体。作为单个数的整数却是可数的,尽管是无限的。

 

 

评论二


守恒定律与 0 的关系

 

能量守恒定律告诉我们,能量不能被创生,也不能被消灭。所以今天存在的能量并不是被创造出来的,也不会被消灭。它只会通过熵继续演化。能量守恒与 0 的关系取决于我们对 0 的定义。如果 0 表示“无”,即什么也没有,那它是无法在我们的现实物理世界存在的。因为我们无法在一个只有真实存在的实体的世界里观测和解释“无”。我们也知道,空间本身是在膨胀的,所有我们能够探测到的能量都在运动,所以它们总是有大于0的值。

 

当我们将 0 值赋予现实生活中的某个物体时,它就不再存在。一个质量为 0 的物体具有 0 能量,即它是没有能量的。它不会与光量子产生相互作用,因为它没有内禀属性 —— 没有运动,没有与光的相互作用,没有正、负电荷,甚至没有电中性 …… 换句话说,它本身并不存在。

 

1-1=0 是为了对不存在的物体进行数值上的测量而提出的一种显然的概念。如果某物不存在,并且我们无法测量有多少该物不存在,则我们认为该物的值为 0。关于物质的事实是,无论我们说我们没有多少量的某物,实际上总还是有一些的 —— 或者按数学上的说法,某物的量大于0。

 

评论三


0,无限,以及其他

 

关于上一位参与者努力寻找的无限和 0 之间的联系我非常赞同。这两个符号有一个共同的特点,它们都被用来指代某一数量,但其实并不是这样。只要我们不允许那必然的和故意刁难人的矛盾烦扰和取笑我们,就像它们对康托尔(Cantor)做的那样,这其实并不一定就是个棘手的难题。

 

正如,匿名者不是名字、无家可归不是地址、无国籍是不算是国籍,0 和无限也不能算是一种数量。有时候我们可能需要把上述这些词记下来,要求别人提供这些条目的信息。我们简单地否定了这些请求赖以存在的假设,因此也就否定了按原样回答它们的可能性。类似地,对于“你收入多少?”的回答“ 0 ”,对于“我要干多久?”或者“有什么限制?”的回答“无限期(没有限制)”,这样的回答并不是给予定量化的回答,而是一种含有拒绝意味的回答。

 

在该网站的其他讨论“自然法则”这一概念的地方,我认为这一表述本身也包含了故意引发的矛盾。即使是诙谐幽默的矛盾修饰法也不会因为它的字面意义而使我们感到疑惑,因为它其实暗含着相反的含义,或者说它表面所指代的事物的不存在性 —— 这大概是一条法则。

 

文中,乔治 ・埃利斯说,“如果一个物理学论证或其他的证明依赖于这种悖论式的论据(比如希尔伯特的旅馆),那它就是一个错误的论证,并且应该被别的更合理的论证取代。”我建议(去寻找)悖论出现的第一个地方。

 

评论四


奇点、无限密度、无限高的温度??

 

我不是物理学家,更像是一个神秘主义者和化学家,当我听到有人把奇点描述为具有无限高的温度和密度的物体时,我想,这怎么可能。或许他们只是指超过我们人类有限经验的特别高的温度和密度。此外,或许是不相关的东西,我听说如果一个人沿着一条直线在宇宙中前进,他最后会回到起点。如果这是真的,那么当一个奇点爆炸的时候,一开始所有的能量都沿直线发射出去。这是不是意味着总有一天,宇宙中所有的物质都会返回万物起源的奇点?然后是这一过程的无限循环。

 

评论五


有用的怪物

 

“对数学家而言,无限只是简单的一个没有限制的数。但对物理学家而言,无限却是非常可怕的怪物。”加来道雄教授(那个有个长长的银色头发的人)在由黑洞的张量方程导出无限的时候说道。当距黑洞中心的距离为 0 时,无限就会出现。“它意味着引力在黑洞中心是无限大的。在这里时间停止,空间失去了意义。它意味着我们关于物理宇宙的一切认识都崩塌了。在现实世界中是不存在这样的无限的。所以在爱因斯坦理论的公式中存在一个根本性的瑕疵。”(来自 BBC 纪录片 “Who’s afraid of a big black hole”, Horizon, YouTube)

 

无限的不可能性解释了相对论的中心命题,并使其成为可能 —— 不可能给一个有质量的物体加速,使得它的速度达到光速。所以,它也算是一个有点用的怪物啦。

 

丹尼尔・法桥(Daniele Faccio)正打算在赫瑞瓦特大学大学他的实验室中建造一个迷你黑洞。这个地方是所有前沿物理学的藏身之处。(来自“Strip the cosmos: Black Holes”,YouTube)

 

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两位概率论顶级专家获得2020阿贝尔奖

本文主要内容转自阿贝尔奖官方网站。

 

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根据阿贝尔奖官方网站公布消息,2020年度阿贝尔奖颁给以色列希伯来大学的希勒尔·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg)和美国耶鲁大学的格雷戈里·马古利斯(Gregory Margulis),以表彰他们在群论、数论和组合数学中开创性地使用概率与动力学方法。

 

 

弗斯滕伯格介绍

 

当希勒尔·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg) 发表其早期的一篇论文时,有传言说他并非一个人,而是一群数学家的化名。该论文涵盖的思想覆盖诸多领域,真的不可能是一个人的成果吗?

虽然这件事可能是杜撰的,但它说明了在弗斯滕伯格整个学术生涯中存在的一个事实:弗斯滕伯格拥有不同领域深厚的技术知识,并且在这些知识之间建立了深刻而令人惊讶的联系。尤其是,他在遍历理论领域做出了重要贡献,该理论在数论、几何学、组合论、群论和概率论中都有非常广泛的应用。

弗斯滕伯格1935 年出生于柏林。他来自一个犹太家庭。二战爆发的前几个月,他们设法离开德国,逃往美国。弗斯滕伯格的父亲死于途中,他则由母亲和姐姐抚养长大,后来他们生活在纽约的一个东正教社区。当 弗斯滕伯格看到老师在解释著名理论时陷入困境时,他开始对数学产生了浓厚的兴趣.这位学生喜欢自己寻找证据。“有时候坏老师会教出好学生!”他说。他高中和大学就读于叶史瓦大学,并于 1955 年获得学士学位和理科硕士学位。大学期间他就已经发表论文。《关于一种不定式的说明》(Note on one type of indeterminate form )(1953) 和《关于素数的无穷性》(On the infinitude of primes)(1955) 均发表于《美国数学月刊》上,后者为欧几里德的著名定理提供了拓扑证明,即有无限多个素数。

后来弗斯滕伯格前往普林斯顿大学攻读博士学位,他的导师是博赫纳( Salomon Bochner)。他于 1958 年获得博士学位,其论文为《预报理论》(Prediction Theory)。当这篇论文于 1960 年发表时,一位评论家曾说:“这是一篇一流的、高度原创的论文,论述了一个非常难的主题。”

分别在普林斯顿大学和麻省理工学院担任了一年讲师后,他于 1961 年在明尼苏达大学获得第一份助理教授的工作。在 1963 年开始发表的一系列文章中,他凭借《半单李群的泊松公式》(A Poisson Formula for SemiSimple Lie Groups) 继续确立了作为独创性思考者的地位。他的研究表明,随机游走在一个群上的行为与该群的结构有着复杂的关系(现称弗斯滕伯格边界(Furstenberg Boundary)的来源),这对格及李群的研究产生了巨大影响。他被提升为明尼苏达大学的正教授,但在 1965 年,他离开美国前往耶路撒冷的希伯莱大学,一直待在那里直到 2003 年退休。在其 1967 年的论文《遍历理论中的不交性、极小集以及丢番图近似中的一个问题》(Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation) 中,弗斯滕伯格介绍了“不交性”的概念,这是遍历性系统中的一个概念,类似于整数的共素性。事实证明,该概念已应用于数论、分形学、信号处理和电气工程等领域。在其 1977 年的论文《对角线测量的遍历行为和关于算术级数的塞迈雷迪定理》(Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions) 中,弗斯滕伯格使用遍历理论中的方法证明了安德烈·塞迈雷迪(Andre Szemerédi, 2012 年阿贝尔奖获得者)的著名结论,该结论指出,具有正上密度的整数的任何子集均包含任意大的算术级数。弗斯滕伯格的证明比塞迈雷迪更具概念性,并完全改变了这一领域。它的见解也变得富有成效,成为很多重要研究成果的依据,例如格林(Ben Green)和陶哲轩证明了素数的序列包括
任意大的算术级数。

弗斯滕伯格决定在以色列度过自己几乎所有的职业生涯,这使该国成为数学,尤其是遍历理论的世界中心。在 1975-1976 学年,他与本杰明·韦斯(Benjamin Weiss)一起在以色列高等研究院进行了为期一年的遍历理论研究,该研究被认为已改变了这一领域。在其众多荣誉之中,弗斯滕伯格还获得了以色列奖(被视为以色列最高荣誉)和沃尔夫数学奖。他还是以色列科学院和美国文理科学院的成员。

弗斯滕伯格于 1958 年与专攻艺术和文化的杂志作家罗谢尔(Rochelle)结婚。他们有五位子女,十六位孙辈,以及越来越多的曾孙辈。

 

 

马古利斯介绍

 


在辉煌的数学生涯中,格雷戈里·马古利斯(Gregory Margulis) 提出了很多颇具影响力的想法,解决了长期悬而未决的问题,并发现了不同数学领域之间的深层联系。他的标志性方法是以出奇和新颖的方式应用遍历理论,从而创造出一个全新的研究领域。

他 1946 年出生于莫斯科,16 岁时因赢得国际数学奥林匹克竞赛银牌而获得了国际认可。他就读于莫斯科国立大学,1970 年在雅科夫·西奈(Yakov Sinai 2014 年阿贝尔奖获得者)的指导下获得博士学位。他的论文提出了一个非常新颖的想法:他创立了一种测量方法(现称为鲍文-马古利斯测量法),使他能够发现双曲空间几何的新特性。他的方法后来启发了很多新的问题和热门研究领域。

年仅 32 岁的 马古利斯凭借其对李群格子的研究,尤其是算术和超刚性定理,赢得了 1978 年的菲尔兹奖。该算术定理指出,秩大于 2 的任一半单李群的不可约格均是算术的,而超刚性定理指出,该格子的表示可扩张成周围李群的表示。超刚性定理证明了遍历理论新的应用,建立了强有力的新方法,在很多领域都颇具影响力。

1978 年雅克·蒂茨(Jacques Tits, 2008 年阿贝尔奖获得者)谈及马古利斯时表示:“毫不夸张地说,他屡次解决了在当时看起来似乎完全无解的问题,让专家们为之一惊。”然而,由于苏联当局拒绝为他提供签证去参加在芬兰赫尔辛基举行的颁奖典礼,马古利斯因此未能拿到菲尔兹奖。1979 年,当苏联学者拥有更多的人身自由时,他才获准出国旅行。20 世纪 80 年代期间,他访问了瑞士、法国和美国的多个研究机构,并于 1991 年定居耶鲁大学,此后便一直待在那里。

在其职业生涯早期,马古利斯曾因犹太人出身遭到歧视。尽管他是该国最杰出的年轻数学家之一,却无法在莫斯科大学找到工作。相反,他在不太知名的信息传播问题研究所工作。然而,与该研究所同事们的接触让他有了一个举世瞩目的发现。他从同事那里了解到一种被称为“扩展图”的连通网络。马古利斯在数日之内便使用表示论(一个抽象的、看似无关的领域)中的概念创立了扩展图的第一个众所周知的例子。他的发现是史无前例的,而且广泛应用在计算机科学领域。

1978 年,当 马古利斯公开现在称之为正规子群定理(关于李群中的格子)时,他再次展现了自己以出人意料的方式证明定理的技巧。他的证据一方面是一种非常原始的顺从群理论的组合,另一方面是表示论中的卡什但性质 (T)。

1984 年,他采用遍历理论中的方法证明了奥本海姆猜想,这是一个于 1929 年首次提出的数论思想。比结果更重要的是以这种方式运用遍历理论的整个想法,而这创造了一个新的领域,现称同质动力学。最近三位菲尔兹奖获得者林登施特劳斯(Lindenstrauss)、米尔扎哈妮、 (Mirzakhani)以及文卡特什(Venkatesh)的研究成果均基于Margulis 的早期思想。

Margulis 的研究成果不仅丰富,而且涉及多个领域。2008 年,《纯数学与应用数学季刊》(Pure and Applied Mathematics Quarterly)刊登了一篇文章,列举了 马古利斯的主要成果,篇幅超过 50 页。

2001 年,马古利斯当选为美国国家科学院院士。他还是罗巴切夫斯基奖和沃尔夫奖获得者。

马古利斯与其夫人 赖莎(Raisa)育有一子,并有一个孙女。

 

 

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这个女人是计算机时代开创者之一

本文作者,Harriet Hall,女性杂志编辑。

翻译作者,流水,哆嗒数学网翻译组成员​

翻译作者,Math001

 

 

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纵观人类历史,很多人都有这样的成见:那些开创新局面和改变世界的大英雄、大思想家、大科学家都不可能是女人。


他们说,当男人们在文学、艺术、科学里披荆斩棘,踏浪前行,甚至颠覆旧有观念的时候,女人们只是在家里洗衣做饭,相夫教子。即便大环境如此严重的忽视、贬低和抹杀女性的贡献和工作,但是女人之中有人还是打破了这种固有偏见,让人们不得不承认她们所做到的一切。

 

从2009年开始,每年十月份的第二个星期二叫作阿达纪念日,为了纪念那些在科学、技术、工程和数学(STEM)方面由突出贡献的女性。尤其是纪念这位世界上第一位计算机程序员——阿达·洛芙莱斯。

 


STEM是男性主导的领域,女性所占的比例很低,仅仅只有23%。但是,当一位科学界的领军人物说,“物理学是男人的发明和创造”(physics was invented and built by men)。他显然忽略了居里夫人、莉泽·迈特纳和吴健雄的在物理学中的贡献。


阿达的家庭环境以及她开明的父母让阿达有机会学习到在那个时代只有男性才能接触的课程。这让她能做到其他女人做不到的事情。她利用这个优势做出了许多超越时代的工作。这些工作直到100年后才被完全世人理解。


尽管阿达在生前从未被完全认可,但她的工作为现代计算机的发展铺平了道路,人们因此称她为“数字女王”。


阿达的父亲是著名浪漫主义诗人拜伦,在那个时代禁止女孩子学习数学和科学,但是母亲的坚持下,她接受了这方面的教育。17岁时,她遇到了机械计算器的发明者巴贝奇,巴贝奇后来成为了她的导师。


她在翻译巴贝奇关于计算器方面的文章时,在巴贝奇的基础上又做了进一步的研究。她认为巴贝奇的计算器有可以将音乐、图片和文字转换成数字形式。她的笔记在1843年发表,其中的一些理论过于超前,一个世纪后这些理论才被人们发现阿达其实实现了世界上第一个计算机算法。所以,她被公认为是世界上第一个计算机程序员。


天妒英才,阿达于1852年去世,年仅36岁,死后,她被追授过很多荣誉。1980年,美国国防部以她的名字命名了一种计算机语言——Ada语言。而现在,在每年10月都会在阿达纪念日那天缅怀她。

 

 

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无穷大的符号像双扭线,它们有关系吗?

作者,Geek学院,哆嗒数学网群友

原文链接:https://chaoli.club/index.php/4843

 

 

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相信大家对双扭线的形状都不会感到陌生,今天我们就来聊聊它的方方面面。

 

一、作为数学对象的双纽线


双纽线 或者说lemniscate ,词源是拉丁语“lemniscus ”,古希腊语λημνῐ́σκος(lēmnískos),即指缎带。确切地说,双纽线在数学中指代着多种不同缎带般的8字形曲线,但一般特指伯努利双纽线 (Lemniscate of Bernoulli )。它不仅是所有双纽线中最为人们熟知的,同时数学上也是内涵最丰富的几何对象之一。
直角坐标系下,半径为a的伯努利双纽线是由下述四次多项式方程

 (x²+y²)²=a²(x²-y²)

给出的隐函数的图像,例如

 


就是半径为1的双纽线,这里的半径指的是中心到最远端点的距离。
由定义可知双纽线是某个(二元)四次多项式在平面上的零点,所以双纽线是一条四次平面曲线(quartic plane curve ),从而也是一条代数曲线。对定义稍加分析不难发现,就像圆一样,不同半径的双纽线都是彼此相似的,换句话说双纽线的形状是唯一的。应用一元二次方程的知识,容易通过计算发现半径为1的双纽线高为√2/4。


二、伯努利双纽线的诞生


双纽线的英文单词“lemniscate”最早于1694年被雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli ,1654-1705)用来描述他所发现的双纽线,他为了解决莱布尼兹的等时曲线问题,想找到一条和某(工程力学相关的)超越曲线有相同弧长函数的代数曲线提出了这条曲线。1694年9月《教师学报》(Acta Eruditorum )发表了雅各布的这项研究。下图是1695年12月雅各布发表的研究中的配图,描绘了伯努利双纽线与等时曲线的关系:

 


巧合的是,雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利 (Johann Bernoulli ,1667-1748)为了解决莱布尼兹的等时曲线问题也独立发现了伯努利双纽线,然而1694年10月《教师学报》(同一份期刊)上才发表了他的结果,仅仅晚了一个月。毫无疑问,争执解答等时问题的优先权成了兄弟间的无数纷争之一。


值得一提的是,早在1680年著名天文学家卡西尼 (Cassini ,1625-1712)提出过一族曲线即卡西尼卵形线 (Cassini oval )试图来描述地球与太阳相对运动轨迹(虽然卡西尼对土星研究有着巨大贡献,但这一点他完全是迷信了)。伯努利双纽线便是卡西尼卵形线的特例,但毕竟出发动机不同,卡西尼从未注意过它,所以数学史上将伯努利双纽线的发现归功于伯努利们是完全合适的。


有一些资料指出,伯努利双纽线的诞生是对椭圆定义的简单推广,也就是到两定点之积为定值的曲线。虽然这个定义正确并且自然,但这是完全不符合史实的。这种曲线就是卡西尼卵形线,然而不论是伯努利双纽线还是卡西尼卵形线,上述史料告诉我们历史上都有着更强有力的动机让人们提出它。现实数学中,几乎每个重要概念提出的动机都是只有考察数学史才可能得知的强有力的动机,数学中几乎没有任何一个重要概念的提出动机仅仅是由于形式上简单自然的,因为这不足以让人有必要去发展它。


三、作为符号的双纽线


毫无疑问,每个人看到伯努利双纽线以后都会想到无穷大,很让人怀疑是不是规定过无穷大的记号就得长成伯努利双纽线的样子,然而并没有过这种规定。


1655年,数学家沃利斯 (Wallis ,1616-1703)在其著作中用符号“∞ ”作为无穷大的记号 :


失望的是,他完全没有说明任何理由。有一种推测是它长得像罗马数字里的1000,即“CIƆ”,因为有时会用它表示“许多”的概念,还有一种推测是认为和最后一个希腊字母“ω”长得像。


虽然据其形状可以称之为双纽线,但此时和伯努利双纽线绝对没有任何关系,因为这是它被发现前39年的事情,此后两者之间也依旧没有直接关联。简而言之,表示无穷大用的双纽线就只是一条长得好看点的双纽线而已。双纽线作为符号,在社会文化中也逐渐频繁出现,现在几乎是无处不在了。它不仅用来表示无穷大,也逐渐承载了越来越多的含义,这些含义往往与各种神秘概念相关。


可以相信的是,在Wallis之前,双纽线并不会作为符号承担任何含义。所有以双纽线作为符号的事情,必定是Wallis之后的了。

 

 

 

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数学物理、理论物理传奇巨擘弗里曼·戴森去世

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根据美国国家地理杂志网站消息。著名物理学家、数学家和作家,普林斯顿高等研究院教授弗里曼·戴森(Freeman Dyson)于2020年2月28日去世,享年96岁。

 

 

戴森是在学术界的经历堪称传奇。他没有博士学位,但仍然有最顶级的研究成果,是没有博士学位任职顶级学术职位最著名的例子之一。

 

戴森在1956年发表的论文《自旋波》堪称物理学史上的重量级论文之一,也奠定了他在量子电动力学中的地位。

 

戴森提出的假想模型“戴森球”——一个是把太阳或恒星包围尽可能利用其光能的构想,成为众多科幻作品的素材。

 

戴森还热衷于写作,撰写过很多著名的普及作品。比如:《宇宙波澜》、《全方位的无限》、《想像的未来》等等。其公众作品中,对比不同风格数学家的演讲稿《飞鸟与青蛙》也脍炙人口。

 

以下是《飞鸟与青蛙》节选

 

有些数学家是鸟,其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空,俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。青蛙生活在天空下的泥地里,只看到周围生长的花儿。他们乐于探索特定问题的细节,一次只解决一个问题。我碰巧是一只青蛙,但我的许多最好朋友都是鸟。

 

这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙。数学丰富又美丽,因为鸟赋予它辽阔壮观的远景,青蛙则澄清了它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术,也是重要的科学,因为它将普遍的概念与深邃的结构融合在一起。如果声称鸟比青蛙更好,因为它们看得更遥远,或者青蛙比鸟更好,因为它们更加深刻,那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻,我们需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。

 

 

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乘法表和加法表派生的数学难题的一个进展

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“和-积”问题的最新进展引起了一个著名的数学结论,它揭示了有限数系的威力。

在一片空旷的地方做侧空翻是一回事,但在一个类似浴缸狭窄的地方做却是另一回事。同样,从某一个角度来说,这正体现了过去二十年多年数论中最重要的结果之一的精神。

 

我写过关于“和-积”问题的东西。它要求取任意数集,然后把它们排列在一个表格中,使得每个交叉格中的数字等于对应格中数的和或者积。

 


“和-积”问题猜不同的和或者积的个数的数量级大致是N²(N表示构造网格所使用数字的个数)

 

“和-积”问题可以使用任何实数集生成网格,你也可以将此问题限制为特定的比实数更小的数字系统。这些自我包含的数字系统被称为“有限域”。

 

在数学中,“域”是指你能在其中进行加减乘除四则运算的任何数字系统。全体实数形成了一个域。你对任何两个实数进行四则运算得到的结果是一个实数。或者,换一种方式说,实数的算术运算不会产生非实数。

 

整数不能形成一个域。确实,你对任意两个实数进行加减乘能得到第三个实数,但是3除以2你将得到3/2,而3/2不是一个整数。

 

“有限”域是一个由有限个数字组成的数字系统。有不同类型的有限域,但最简单的有限域被称为“模”算术或者“钟表”算术。在模算术种,当你到达最后一个数字时候,你又回到了开始,就像沿着一个钟表面数数一样。例如,如果你下午七点去参加一个聚会,六个小时后回来,那么你将在上午1点回来。用专业语言说就是,7+6=1(mod12)

 

 

实际上,钟表上的12个数字并不形成一个域,这是数论中最为关键性的一个结论:模数字系统能形成一个域只有当元素个数为素数。如果模数字系统元素个数不是素数,例如钟表12个数字,那么你将遇到两个非零数乘积为零的奇怪的情形。例如, 6 × 4 = 24,在基底为12的模数系中24即为0。这也将导致除法运算也会被破坏。但是如果模数字系统元素个数是一个素数,那么两个非零数乘积就永远不会是零。

 

在数学中,有限域已经得到很多重要的结果。作为自成体系的算术世界,它们包含着丰富的结构,这使得数学家能够利用它们去解决任何相关的问题,从质数到多项式方程解的模式。

 

2003年,布尔冈(Bourgain),卡茨(Katz)和陶哲轩成为一批在有限域上的“和-积”问题取得进展的数学家。他们证明加法表和乘法表中使用的不同数字的总和只比生成表格使用的数字的个数在数量级上略略大一点点。这个结果在数量级判定上的估计但是意义却很重大。

 

 

布尔冈, 卡茨和 陶哲轩证明了加法和乘法之间一个里程碑式的联系。


卡茨说:“这是我们能得到的一个很小的结果,但是它确实原创结果”,卡茨目前在加州理工学院工作。

 

这篇论文的作者们是一个强大的队伍:卡茨是一个业内饱受盛赞的数论专家,布尔冈和陶哲轩被列为同时代顶级数学家。布尔冈在64岁时死于癌症,他是为这个证明提供了大量支持。几年前,他解决了一个不同种类的“和-积”问题。当他转向“和-积”问题有限域版本时,他对获得证明有着非常清晰的思路,但是他请来卡茨和陶哲轩来帮助解释他试图使用的方法的所有细节。

卡茨说:“基本上可以说,布尔冈知道如何做,他请我们帮忙因为他想写一些关于他的方法的应用。”

 

自从2003年以来,其他数学家在他们三人的基础上改进了关于不同数字和或者积个数的结果,得到了甚至比他们三人得到的更大的数字。数学家也把他们证明的技术应用到数学其他方面,包括研究膨胀图形和多项式与素数相关的问题。

 

 

对于“和-积”问题,有限域(你能握在手上)比起实数域也许更合适。但事实上,在有限域情形下,这个问题更深刻,也给其他数学家更多的暗示。

 

原因是因为有限域上的“和-积”现象成立比起实数域上更加困难。问题的原来形成机制推断,任何数字集合将产生比该集合元素个数更多的和与积。当考虑实数集合时,由于它有无限多,也许这一推断不是一个惊讶的结论。但是这对有限域成立,因为有限域很少有空间移动?这就像在浴缸成功完成侧空翻。

卡茨说:“实数是无限集,有无限多的空间可以生长。但是在一个有限域,只有有限的空间成长,所以从生长的可能性意义来讲,它其实是一种更强的结论”

 

 

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你写数学文章用Word还是LaTeX?

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各路厂商一直在试图开发文字处理软件中支持LaTeX排版语言的公式编辑器。下面描述了如何入手做这件事。

 


使用LaTeX还是Word?对于物理学家和数学家们,答案是显然的。但是对于其他领域的科学家们,LaTeX的优点还未被充分认识到。


LaTeX作为一个用于创建和精确排版科学手稿件的开源软件系统,它的工作方式更像是编写代码而不是写作。自1985年问世以来,它一直流行于数学、物理和计算机科学等学科。


支持者之所以青睐LaTeX,是因为它提供的对文档排版的完全控制,或者说它代表了对一些商业软件开发者尤其是微软的一种叛逆。另外的人则认为LaTeX过于复杂,虽然用它可以最大限度完成自己的排版需求。2014年的一个研究(M. Knauff & J. Nejasmic PLoS ONE 9, e115069; 2014)让来自不同领域的科学家评测微软Word和LaTeX。根据数据科学公司Altmetric(Altmetric由Holtzbrinck出版集团旗下的Digital Science公司所有,Holtzbrinck出版集团在Nature出版社的Springer Nature拥有股份)的数据,这篇文章成为下一年线上讨论最多的十大文章之一。而这篇文章已经被浏览超过240,000次。


然而在过去几年中,这些编辑工具的界限已经模糊了。在2017年,微软使在Word中已经可以直接使用LaTeX的语法编写公式,而且在2018,微软放弃了Word内置的公式编辑器。其他一些文本编辑器也开始支持LaTeX的语法,允许新用户在其中随心使用LaTeX。


“对于我来说,当我想要精确排版时我会选择LaTeX,当‘差不多就行’时以及我的合作伙伴都用Word时,我就用Word”费城的宾夕法尼亚大学的生物信息学家Casey Greene如是说。


编写公式代码


不像Word,LibreOffice以及Open Office这些“所见即所得”的文本编辑器,用LaTeX写文档就像是编写代码。普通文本被放进花括号中,描述文本格式的命令放在括号前面(例如,斜体字用命令\textit{text},黑体字用命令\textbf{text}),而表格是一块一块生成的。这些源代码随后被编译成简洁流畅的PDF便于阅读。


公式编写被认为是LaTeX最擅长的方面(参见《在LaTeX中编写方程》)。这种语言拥有大量的快捷方式来展示数学符号。(2017年版的《LaTeX综合符号列表》The Comprehensive LaTeX Symbol List包含约14,000个符号)加拿大伦敦西部大学的心理学家John Paul Minda说:“我开始使用LaTeX的原因之一是我能够轻松编排出漂亮的公式。”


用LaTeX中编写方程

在LaTeX中生成爱因斯坦著名的方程E = mc^2就跟直接手写一样简单。

 

唯一的不同是“倒V符”(^),它表明其后的数字是个上标。但是为了在LaTeX中恰当地展现方程,你需要把方程内容包在一个指令中。方括号和反斜线(\[E = mc^2\])能让方程在它所在行居中显示,而如果用美元符号来包含方程($E = mc^2$),那么方程会被置于文本中,而不会单独成行。

 

LaTeX文档通常在顶部包含命令来明确文档的长度和宽度(例如A4纸大小)以及格式。为了让数学命令生效,使用者必须事先声明使用的哪些数学包。TeX综合档案网有超过5,000个工具包,能让LaTeX用户使用各种各样的文字,从作家J. R. R. Tolkien(译者注,代表作品有《霍比特人》、《魔戒》)脑袋里的精灵文字到蒙古文字,以及模仿报纸的排版风格。

 

对于更加复杂的方程,用户需要学习他们想要使用的命令的句法规则。例如,分数可以通过输入\frac{numerator}{denominator}来创建,\int_{a}^{b}表示区间[a,b]上的积分。这样,函数x2 + (1/2π)x在区间[0,100]上的积分可以写成\int_{0}^{100} x^2 + \frac{1}{2\pi}x dx。基于浏览器的编辑器Overleaf在go.nature.com/2eh1daz上提供了LaTeX方程编写的概述。

 

不得不说,2014年的一个比较LaTeX和Word两种编辑器的研究表明,LaTeX仅仅在公式编辑上的表现好于Word。另外文章作者还注意到,尽管LaTeX用户“频繁说明他们有偏好的编辑器”,但如果处理文本和表格,Word被证明更为快速且用户更少犯错。


甚至一些LaTeX批评者例如伦敦国王学院的一位计算社会科学家Daniel Allington也得承认LaTeX编辑方程比其他工具更优秀。这位学者曾在他的博客上痛骂那些被他称为“LaTeX迷恋狂”的人。

 

但是Allington同时也指出,如今科学家可以在使用LaTeX的方程句法规则的同时而不必抛弃“所见即所得”的编辑器。例如,Allington使用了一款叫做MathJax的线上工具。他往一个网页表格中插入了几行LaTeX代码——不必进行任何安装——然后MathJax就在一个网页中生成了对应的方程。

 

Word用户也可以直接用LaTeX语法进行编写,然后点击将其转换成排版好的公式。微软声称Word支持“大多数”LaTeX表达式,然而它的网站列出了不支持的20个关键词(例如角度符号\degree)。

 

对于谷歌文档用户,Auto-LaTeX附加组件可以将LaTeX公式转成嵌入图片。波士顿东北大学的海洋环境科学家Katie Lotterhos说,这些组合工具对她来说尤其有帮助因为她的大多数合作者不知道如何使用LaTeX。她补充道,有个缺点是,这种组合工具把公式以图片的方式插入文档“便于同行审议但对于排版人员来说并不常见”。

 

类似的,LibreOffice作为Word的免费替代品,它的用户可以用一个叫做TeXMaths的扩展工具编写公式,它能将LaTeX语法转换成一个PNG或者SVG格式的图片。

 

掌握LaTeX

 

希望进一步了解LaTeX的用户可以安装一个LaTeX软件包,例如在Windows平台运行的MikTeX,在Mac OS运行的MacTeX以及适用于Linux系统的TeX Live。这些软件都是免费下载和使用的,而且包括了将LaTeX“源码”编译成PDF的工具。虽然一个微软发言人声称他们确实为一些机构的研究人员提供了免费的线上Word版本,但是Word还是向每位使用更多Office软件套装的用户收取了每月8.25美元的费用。


这些LaTeX软件包为在LaTeX中编写整个PDF文档敞开了大门。Philip Judge作为一位LaTeX的支持者以及位于科罗拉多州博尔德的High Altitude天文台的一名天文学家,认为这样能让研究人员“真正控制”文档的外观。而对于英国牛津大学的进化人类学家Laura Fortunato来说,正是因为文字处理器的“不可靠”促使她在博士期间学习使用LaTeX,这种“不可靠”体现在当“你认为你编辑没有出错时”,这些文字处理器却可能会出现“随机的”错误。


但有时候用LaTeX编辑会让人感觉繁琐。“对我来说LaTeX主要的缺点是我必须不断地编译文本来查看文档是什么样子的,然后如果编译出错我就得花时间来追踪错误。”同样是牛津大学的钻石生长研究员Shannon Nicley这样说。


Nicley的解决方法是使用基于浏览器的编辑器Overleaf,它可以实现多人协作编辑科学文档(Overleaf也是属于Digital Science的产品)。Overleaf能够在显示文章源码的同时在旁边显示实时PDF,这意味着使用者可以迅速看到他们对源码的修改如何转为完成的文档。个人用户可以免费使用Overleaf,但如果想要使用更多功能就要每月支付14美元,例如协同办公以及实时同步到代码分享网站GitHub。


那么我们值得精通LaTeX吗?这取决于研究者:是否频繁使用公式,是否需要精细控制PDF,是否有时间去学习一门新语言。


LaTeX基本的文档编写相对直接。然而制作表格却并非如此。不像Word,LaTeX表格不能直接画出来放到页面上,必须一维一维地编程序。在2014年的调查中,即使是LaTeX专家,比起使用Word的新手,在30分钟的测试时间中用 LaTeX生成表格犯了更多的错误,编辑的文本也更少。Nicley说:“在LaTeX中生成表格让人望而生畏,即使你之前已经做了很多遍。对我来说更快的制作表格的方式是打开一个新的Excel表格,然后把表格的基本内容打出来,再直接复制粘贴到Word,这样我能很方便地调整表格的外观和内容。”


LaTeX并不是唯一的编程式的文档排版工具。Allington经常使用Markdown,他认为它比LaTeX更加“轻量级”,因为排版命令更加直接清晰。威斯康星大学麦迪逊分校的计算生物学家Anthony Gitter说,Markdown“几乎没有技术性的句法规则可供文档编辑参与者快速上手”。这是Gitter和他的同事包括宾夕法尼亚的Greene使用Markdown撰写生物和医药方面的深度学习公开评论的原因之一。Gitter警告说,文档编辑参与者的修改会让代码无法编译成PDF,这种事情在LaTeX的合作编辑中更加可能发生。


莫斯科物理技术协会的研究员Dmitry Fedyanin说,部分杂志和会议不接受Markdown格式的文档。


《自然》制片总编辑Simon Gribbin举例说,《自然》杂志更喜欢用Word写的递交的文章,因为杂志的排版系统要求这种格式。然而依然有大约十分之一被接受的文章是LaTeX格式的;Simon说这些文章在被发给技术编辑之前会被转成Word格式。


但由于《自然物理学》杂志包含了很多广泛使用LaTeX的学科,这些杂志编辑对文档格式的要求更加灵活。杂志主编Andrea Taroni解释说:“LaTeX正是物理学家们追求的编辑器,如果想让他们改用其他编辑器,无异于试图将一群乱跑的猫赶到一块。”

 

 

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看看这位大神在三百多年前如何宅在家里学习微积分的

本文作者,Viktor Blasjo,乌德勒支大学数学教授。

翻译作者,misakaNet,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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克里斯蒂安·惠更斯是牛顿和莱布尼茨之前那一代最伟大的数学家。他曾作为科学院的重要成员待在在巴黎,并在那里度过了他一生中的最重要的时光,陪他在这的朋友们。那时莱布尼茨最想做的事无外乎加入这些令人尊敬的绅士们。莱布尼茨仰慕伟大的惠更斯以至于模仿他的一切,模仿他身为数学家的样貌甚至是他的假发。


由于当时时局动荡,加之法国政治环境恶化,外国人都被驱逐出境。莱布尼茨被迫回国,惠更斯也回到了他在荷兰的家族豪宅。而学院的人也都被诋毁为反动的平庸之辈。

但惠更斯并没有去过退休生活。尽管惠更斯年老体衰, 可他并没有放弃在数学学习研究领域与时俱进。而这意味着他要学习他以前的学生莱布尼茨所研究出的微积分新理论。人们常说“青出于蓝而胜于蓝”,说的是学生有可能成为老师,这里更有趣的是,老师有一天也会变成学生。

 

 

这件事的起因是。通过观察那些年来惠更斯和莱布尼茨的通信记录,我们可以看出,惠更斯学习的实践。我们也可以看到微积分的发明者莱布尼茨是怎样教授微积分的,以及在数学领域获得最高成就的人如何学习它。我们还可以看到科学院的前科学研究主任想在在微积分的前沿领域占有一席之地,也得脚踏实地地拿起纸笔。这份通讯记录是历史上独一无二的微积分起源的概览。


惠更斯的表现并不是一个循规蹈矩的学生。他是并不是只会抄公式、问作业。数学证明的细节并不是最大吸引他的地方。他最想知道这些新知识有什么用。他希望新的数学成果有更大的用武之地,不是为了单单的从逻辑上看起来正确,而是在更广泛的范围内成就有对人类有价值的事业。

因此,在掌握了求导之后,他怀疑二阶求导是否只是流于形式,还是真的对某些东西有用。他写信给莱布尼茨:

“我仍然对ddx(二阶求导)一无所知,我想知道你有没有遇到哪些必须要用到它的问题,这些才能给我学习它的动力。”

惠更斯的想要莱布尼兹告诉他:我为什么要学习二阶导数。引入它不是为了机械化的套公式,也不是为了证明而证明,抑或为了人为生造一些题目。不,绝不是那样。随便哪个数学家都可以编造出数不清的这种数学题目。一个新的数学理论一定不是靠解决它自己本身的问题来体现他的价值,而是靠着解决其他实实在在的问题来体现自己的价值。

莱布尼茨看懂了惠更斯的问题后,回复道:

“至于ddx(二阶求导),我经常要用到它。ddx之于dx,就好像外力之于物体,离心趋势之于转动速度。伯努利将其用于计算风帆形状的曲线,而我把它们用于计算行星运动。”

我们关心二阶导数不是因为其让我们再做一次求导运算的符号意义,我们关心二阶导数是因为它是数学上解决大量重要问题的好方法。你想要理解风把帆吹弯的机制吗?你想要描述行星怎么绕着太阳转吗?如果你想,那你也会想要理解二阶导数。

 

 

这并非在说惠更斯对纯数学和应用数学的偏好。举例来说,惠更斯在撰写关于研究钟摆问题的著作时,从具体情况中获得灵感,从而建立了一个彻底的数学模型来抽象且详尽地描述渐屈线和渐开线。他给出了一份一般证明,例如,任何代数曲线的渐屈线都是代数的。这些理论值得最顽固的纯粹主义数学家为之骄傲。

 

对于学习数学来说,最重要的不是应用而是动机。我们不会因为拒绝承认抽象数学的价值而放弃研究自然科学。我们研究自然科学因为她一再证明她自己有着出色的数学品味。而这是那些不能解决任何有价值问题,只能纠结技术上细枝末节的伪问题的平庸的数学家所远远不及的。惠更斯说道:

 

“我常常会认为,这些大自然展示给我们的曲线,以及大自然她自己描绘的曲线,可以说都具有十分显著的特性。就比如我们平时随处可见的圆。抛物线可以用来描述水的流动。椭圆和双曲线,恰好就是日晷的指针投射下来的影子扫过的轨迹,这也是我们在生活中随处可见的。轮子滚动一周轮子上固定的钉子可以描绘出摆线的轨迹。最后是悬链线,它在几个世纪前就走进了人们的视野却从未有人注意到它。在我看来,这几种曲线的价值,人们在自然世界中发现并主动研究出来的,而不是人们为了应用微积分而单独发明出来的。”

 

莱布尼茨肯定道:“你说的对,先生,不能纯粹为了消遣而研究曲线。”

 

如果现代的微积分书仅仅依靠同样的规则。翻阅任何一本标准的微积分课本章节最后的习题部分,你会发现大量的题目都“只是为了把微积分用在它们身上”而存在。——实际上这正是惠更斯所想要谴责的。当微积分的发明者和最优秀的学生都一致认同我们编写课本的方式过于愚蠢的时候,或许我们应该停下来反思一下。

 

当看到惠更斯对指数表达式表明了相似的观点时,现在的学生可能会对他更加同情:

 

“我必须承认,我无法理解把诸如未知数放在指数位置这种操作和自然之间的对应,除非你能指出它们有什么值得一提的用处,否则我是不会考虑把它们引入几何学的。”


莱布尼茨向他展示了那些表达式怎么解决具体的问题的,但惠更斯仍不以为然:“我看不出这些表达式对于那有什么帮助,因为我已经知道这个曲线很久了。”再说一次,先告诉我你的技术手段可以做什么,否则我就没有理由去研究它。如果我可以用其他方法做到同样的事情那你依然不能说服我。

 

我希望我们能有更多的小惠更斯在我们今日的的微积分课堂上。并且我深感忧虑是我们的填鸭式教育让不少学生原理微积分学习,其中不乏可能成为像惠更斯这样的大师的人。而后者甚至认为学习这样的数学实在是在浪费时间。

 

 

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微型小说:显然

本文作者,安迁

 

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那学期我选了门代数课。老师是个六十多岁的女教授,此数学分支的权威,瘦瘦的脸庞,眼里充满了数学的严格和确定,令我肃然起敬。

一开始听课的同学到也不少。可是随着日子增加,教室里的人数迅速地单调递减,最后只剩下连我在内的六个学生。面积不大的教室里,我们仍能够坐得很离散。我猜想所有难一些的数学课都是如此吧。

 

 

她总是一手拿粉笔,一手执板刷,在上课开始到下课结束的两个小时里,除了当中休息的十五分钟,不停地从左到右再从左到右一黑板一黑板地写和擦。当然,有时她会补充地讲一些没有写到黑板上的内容,比如“于是我们有”、“那么我们得到”、“这就是说”等等;另一些时候她还会停下来,拿板刷敲敲黑板的某个地方,提示说:“根据刚才两黑板前写在这个位置的那个引理,我们有”,然后继续往下写和擦。

我们坐在底下,顽强地把黑板上的内容忠实复制到笔记本上,精确到老师的每一个手误和涂改。当然,一个好学生是一个会提问题的学生。我们时不时地也要提出“这是5还是s”、“那是0还是o”,或者“刚才已经有引理4.34了,这个是不是应该叫引理4.35”诸如此类的问题,老师都耐心地一一给出正确的回复。

一般说来,只有上课开始的五分钟,我的思路才能跟住老师的讲述。随后的时间,则只能努力拷贝黑板上的内容,内心绝望地等待着下课,而脸上则装出莫测高深的思考模样。当老师的目光扫过我时,还要作出终于觉悟了的样子点点头。我很羡慕那些及早抽身退步的同学。现在开学时日已多,再另选课跟上相当困难,。更何况老太太对我的脸也已如她对有限阿贝尔群般地了解,不去上课在数学系走廊里碰见就会很尴尬。

可是有一天,我居然能跟住老师的讲课十几分钟!心中正畅快无比。就在此时,只听老师说道:“于是显而易见,我们有——”接着在黑板上出现了一串我无论如何不能明白的公式。我的脑袋同往常一样膨胀起来,可是这次我不希望这么快又掉回到那绝望的境地。

我听见我说道:“对不起,请问……”

老师把头扭过来,慈祥地等着我问“这是9还是g”。我觉得脸上凉凉热热,不知四种颜色是否足够描绘出我的面孔。我知道我要提一个很“愚蠢”的问题了。

“请问……为什么这是显而易见的?”

老师愣了一下,眼中现出以前我从没有看见过的疑惑之光,回过头去注视黑板。在接下去的几分钟里,她站在那里轻轻地嘀咕着什么,不断拿黑板刷在黑板各处指指点点,又不时看看自己的脚尖。我偷眼瞧了瞧同学们,他们好象没有嘲笑我提这么个蠢问题的意思,一个个都在各自忙着活动手腕。

我的心平静了一些。

突然,我看见老师把脸又转了回来,深邃的眼光射向天花板,仿佛要看破后面藏着防火石棉。慢慢地她的眼光落下来停在我的脸上,我看见那里已经恢复了平时的严格和确定。然后我听见了一生中听到过的最严密的回答:

“这显然是显而易见的!”

 

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2015年阿贝尔奖得主路易斯·尼伦伯格逝世

 

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根据意大利MaddMaths!网站消息。著名数学家,世界级的数学泰斗,2015年阿贝尔奖得主,路易斯·尼伦贝格于近日逝世,享年94岁。发布此消息的MaddMaths!组织(按该网站声明,感叹号是组织名字不可分割的一部分)是由意大利应用与工业数学学会(SIMAI)、意大利数学联盟(UMI),意大利运筹学研究协会(AIRO)、意大利逻辑及其应用协会(AILA)共同承办的数学普及机构。

在线性和非线性微分偏方程及其在复分析和几何中的应用方面,尼伦伯格做出了奠基性的贡献。尤其在偏微分方程方面,尼伦伯格的工作被描述为“为解决流体力学中NS方程解的存在性和光滑性问题所做的最好的工作” 。NS方程问题是著名的千禧年问题,是偏微分方程研究领域最核心的问题之一。

 


尼伦伯格对中国数学界非常友好,曾多次访问北大,对推动北大数学学院的对外合作和交流作出了重要贡献。2016年,尼伦伯格受聘北京大学,成为北京大学的荣誉教授。

 

“有两种数学家。一种是发展理论的数学家,一种主要是解决问题的数学家。我属于后者。”——路易斯·尼伦伯格

 

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简易数学模型揭示:自己不被感染,就是对整个社会的巨大贡献

 

本文作者,Patrick Honner,中学数学教师。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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编者按:这篇文章尽量用最简单的数理分析揭示了诸如谣言、流行病的传播机制。文章后半部分关于疫苗接种的分析,不代表我们哆嗒数学网小编对现实场景的具体建议和暗示。但是,我们可以从这些分析中总结一点:做好自己,保证自己不被感染,就能为社会做出巨大贡献——无论是针对谣言,还是疾病。

 

我们假设你听到了一个添油加醋的谣言,你没忍住告诉了别人。好在大家都不喜欢当八婆,都只告诉一个人,然后就不再和其他人再提起这件事。这就没什么大不了的,是吧?毕竟,如果每个人都遵照这个传播规则——只告诉一个人,然后闭嘴——那么这个留言不会传播得太快太远。假设每天有1个人听到这件事,30天后,也只有31个人知道它,这31个人当中,还包括你自己。

 

但是,如果每个人给两个人说这件事呢,事情会怎么样呢?那会变得相当的恐怖!如果每天,每个人向2个之前不知道的人传播谣言,那么30天后,超过全球四分之一的人会知道它(2 ^31 -1 = 2,147,483,647 的人,2^31表示2的31次方)。我们不过就是把之前的告诉一个人变成告诉两个人而已,为什么这一个小小的变化会导致结果巨大的改变?答案就在两者增长方式的变化率上。

 

第一个场景中,听到谣言的人数是以相同数量新增的,都和昨天一样。今天新增多少,明天新增多少,后天新增多少,统统一样。就是说,每天新增的流言知晓人数是固定不变的常数。在我们给的例子中,这个常数等于1 。

 

但是,如果听到流言的新增人数都两倍于昨天,那么新增人数就是指数增长:第一天2个人听到流言。第二天,就会新增4个流言知晓新增人数,第三天就8个,一直持续。到第30天的时候,就有2^30(2的30次方)的人第一次听到流言。

 

为什么两个场景的产生的结果有如此之大的差异?这个和线性函数与指数函数的性质有关。线性函数的增长率是一个常数,比如第一个场景里,每天新增的流言知晓人数。线性函数,增长是缓慢而稳定的。在相同时间内,增长的数量是恒定的。指数函数是另外一种增长模式,它是按照某种比例成倍增长:2个人知道了流言,然后告诉4个人、8个人、16个人……,和线性函数的增长不一样,指数函数的增长是不断加速的增长——增长量本身还在持续增长。

 

这就是造成一个30天后,一个结果是31,另一个结果是20亿,如此巨大差别的原因。就是说,当你听到谣言时,你扩散给一个人还是两个人,就有如此之大的差别。

 


这里有个简易的数学模型,来揭示那些具有复制传播特征现象的本质,他能解释的东西远远不止谣言传播那么狭窄。当然,和所有的简易模型一样,为了简化,暂不考虑一些复杂的因素——比如传播概率和传播载体总量——但这个模型依然能解释清楚类似疾病、谣言是如何越传越多,越传越大的。

 

疾病的传染和谣言的传播有很大的相似之处:从某个人发起,然后传播到另外的人。两者当然有区别,但是这个建议的数学模型是适合这两种不同情况的。在刚刚关于谣言的简单示例中,我们看到了看似很小的谣言传播速度差异如何造成最终人数数量差异。在传染病方面也是如此,疾病能传染给一个人与能传染给两个人之间的差异,可能就是一些普通传染病与流行病之间的差异。

 

每一种传染病都在某个范围内传播,其传播速度取决于疾病的生物特性、环境因素、社会因素。流行病学家试图总结所有这些因素对感染的“基本再生数”(basic reproduction number)的影响。这是每个感染者预期传播给新的感染者的平均数量,用R0表示。在上面我们的谣言传播的两个不同例子中,基本再生数分别是R0 = 1(每个人只将谣言传播给一个人)和R0 = 2(每个人将谣言传播给两个人); “传染期”是一天。

 

下面是一些常见疾病的基本再生数(数据引自美国CDC和NIH)。


麻疹:     12≤R0≤18
天花:     5≤R0≤7
腮腺炎:   4≤R0≤7
1918流感: 2≤R0≤3
(哆嗒数学网小编注:1918年流感让超过千万人失去生命)

 

注意,所有的基本再生数都是大于1 。这就是这些疾病为什么那么危险的原因:由于每个感染者平均感染的人数都超过1,因此感染这种疾病的人数将成为指数增长。这可能对我们人类造成毁灭性影响。那么,这个已知被基本再生数标定指数增长的是否可以被降低成线性线增长?我们是否有办法把R0降低成为1呢?

 

接种疫苗就产生了这种效果。接种疫苗后,一个人会产生对该疾病的抵抗力,但成功率不尽相同。但为简单起见,我们将假定疫苗接种可完全抵抗该疾病。疫苗接种不仅直接使接种疫苗的个体受益,也间接使其他广大人群受益。如果传播范围内有很多人接种了某种疾病的疫苗,这种疾病的传播速度将不会很快。

 

实际上,广泛的疫苗接种可以帮助减少疾病的有效再生数。而且,如果有足够多的人接种疫苗,那么有有效再生数实际上可以降到1,从而确保该疾病只会以线性速度传播。那么,需要多少人进行疫苗接种才能使疾病的有效再生数减少到1呢?


我们来看看基本再生数揭示的真正含义。考虑一种流感的R0=2,就是说,一个感染者平均会传染2个新的感染者。这个R0=2这个数字,其实告诉了我们很多信息:传播难易程度、感染周期、一定时期内感染者的接触人数。通过理解这个数字,我们能容易理解疫苗接种是如何降低流行病爆发风险的。

 

我们假设有个人感染了一种流感病毒,而这个人会接触10个人,并假设这个传染病的的R0等于2。我们可以画个图,被感染者用绿色表示,而连线的方向指向每一个他接触的人。

 

 

每一个接触者都是有一定几率被传染上的,但由于我们假设R0=2,也就是假设平均意义上说,有2个人会染上这个病。

 

再简单的说,我们认为每个人有20%的可能性患病。

现在,我们再假设10个人中有2个人接种了该流感的疫苗。所以,我们再简化一下,认为接种后的人是完全免疫者,就是说这些人不可能患得此病。但剩下的8个人仍然有20%的可能性感染,就是说,平均意义上看有,10个人中有0.2×8 =1.6个人会被感染。

 

所以,如果每个人的10个接触者中有2人接种了疫苗,被感染的人在平均意义上只会传染1.6个人。接种疫苗有效使得该病的基本再生数从2降到了1.6。那么我们进一步怎么做,可以让增长方式不再是指数增长呢?

 

再来,我们假设初期的感染者在传染期内都接触10个人,每个没有接种疫苗的人有20%的几率感染病毒。现在,假设10个人中有V个人接种了疫苗。我们可以计算,平均意义上,10-V个人中有20%的人会被感染,也就是0.2×(10-V)的人会被感染。为了使得增长变为线性的而不是指数的,那么平均感染人数需要是1。因此,我们需要解方程:0.2×(10-V)=1。

 

用一点点代数知识解得V=5。所以,我们来看如果10接触者中,有5个人接种了疫苗会发生什么。我们把接种疫苗的人涂成蓝色。

 
被接种者实际上在图中被剔除了,因为按假设他们不会被病毒侵染。
 
 
现在剩下的5个人依然有20%的可能性感染,所以平均有1个人感染了病毒。这就是说,原来患者接触的10个人,最后只有1个人被传染。所以,由于10个人中有5个人接种了疫苗,我们有效的把R0降低成为了1。
 
 
这个过程可以推广成对任意基本再生数R0的计算。我们假设每个感染者在传染期内接触N个人,我们可以计算,平均上者N个人中有R0/N比例人会被传染。但是,如果N个人中有V个人接种了疫苗,那么下面的式子就表示平均有多少人会被一个人传染:
 
                                                                               (N-V)R0/N
 
 
我们让这个式子等于1,可以解出V/N的值:
 
                                                                    (N-V)R0/N = 1
 

V/N表示,总体人口中,有多少比例的人接种了疫苗。我再整理一下式子,抽象的解出V/N:


                                                                     V/N = 1 – 1/R0

就是说,如果总体中有1-1/R0比例的人口接种了疫苗,那么平均意义上,每个人只能传染1个人。因此,1-1/R0奇迹般的让传染病的扩散增长方式变成了线性,而不再是指数。

 

在这种疫苗接种水平下——总体中有1-1/R0比例人接种疫苗——整个总群都获得对某种疾病的免疫能力:不止是接种疫苗的免疫个体可以免于疾病,而且整个种群中疾病传染速度也免于指数增长。这个现象就叫做“群体免疫”(herd immunity)。接种率需要达到多少,就能得到群体免疫效果的那个比例,叫做“群体免疫阈值”(herd immunity threshold, HIT)。


下面是通过简易模型计算的群体免疫阈值。


麻疹:     R0=12,HIT = 1 - 1/12 = 91.7%
天花:     R0=5,HIT = 1 - 1/5 = 80%
腮腺炎:   R0=4,HIT = 1 - 1/4 = 75%
1918流感: R0=2,HIT = 1 - 1/2 = 50%

 

显然,接种疫苗对抗疾病的意义并不单单是对每一个个体有好处,同样对整个社会有大大的好处。当免疫个体达到零界点数量,疾病的传播率会维持一个足够低的水平,从而让整个种群避免灾难性后果。接种疫苗让疾病的传播方式本来可能是下图左边的方式变成右边的方式,当很多潜在的传染路径像图中右边的方式被斩断,那么传染速度就会被降低,从而降低流行病大爆发的可能性。

 


一个关于群体免疫的重要特征是, 那怕没有接种疫苗的个体也从中获益。因为传染病被降低了更广泛传播的可能性,每个的感染概率都降低了——没有接种疫苗的人也是如此。这一点,对那些在医学上不适合接种疫苗的人特别重要,比如婴儿、老人以及其他体弱者。虽然,我们的假设是疫苗100%有效,但达成种群免疫的效果并不需要疫苗100%有效:就算不能100%有效,疫苗仍然能降低每个感染者传染人数的平均数量,从而降低传染病的有效再生数。(这里接种疫苗只是避免被感染的手段之一,这几段其实在数学上说明了个体不被感染其实也是对整个社会的贡献。——哆嗒数学网小编注)。


我们看到了线性增长和指数增长的夸张差别。当传染病开始流行,那就是关乎生死的大事情。这里用数学描述的对个人的避免感染和对社会的达到群体免疫都是非常重要的点。你可以讲给周围的人听。


——最好,两个都讲!

 

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没有开瓶器,如果用一本书打开红酒瓶?

本文作者,Mark Levi,宾夕法尼亚大学数学教授。

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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在我读大学期间的某个晚上,我和数学专业的同学们聚在一起开派对。我们带了一些酒,但很快意识到公寓里没有开瓶器。当然,我们可以直接把瓶塞塞到瓶子里去,但一个更有经验的朋友给我们展示了一个更好的方法。他从书架上拿出一卷列宁全集(从前苏联收集来的),把这本书靠在墙上,水平放置酒瓶,让酒瓶的底部沿水平方向撞向书(见图1)。令人惊讶的是,瓶塞会随着一次次地反复撞击而慢慢地移向瓶外,直至我们可以用手把它拔出来。

 

我确信,这是又一次,该书所产生的积极的、正向的作用。

 

 

现在,让我们的从科学角度来分析这个事情。人们自然会怀疑是什么把瓶塞推出来的。我最初猜测是聚能射流造成的。当一个人释放一个竖直放置在桌面上方几厘米处的装有水的试管,就会产生这样的射流;当试管撞击桌子时,就会有一股水流喷射出来并触及天花板。聚能射孔弹也是利用同样的现象来刺穿装甲。这种射流的速度可以达到10千米/秒以上。我最初以为是由类似的原因所生成的射流撞到了瓶塞并把它推出去,但后来我意识到这个解释是错误的。一个更可能的机制,如图所示。

 

 

 

整个过程,由如下三个阶段组成:

 

1. 当瓶子刚开始向右运动(加速度方向也向右)时,瓶内的酒相对于瓶子有向左的加速度;因此瓶内的空气聚集在瓶内右端。

 

 

2. 瓶子撞击书时,酒由于惯性还在继续运动,于是在瓶塞右侧附近形成一个真空泡,同时压缩右侧的空气。

 

3. 被压缩后的空气反作用于酒,将酒弹回,从而导致真空泡崩塌,但不可压缩的酒不可能瞬间停止,从而像钢锤一样撞击瓶塞。

 

因此瓶塞是由内向外被锤击的!换言之,它起到减震器的作用,通过微微移动来吸收冲击。类似的空化效应也会损坏船用螺旋桨;快速移动的螺旋桨产生的真空泡会崩塌并产生液压冲击,螺旋桨表面也可能会起到减震器的作用,通过使其表面产生凹陷来吸收冲击。

 

我们可以用尽量少的信息来估计瓶塞伸出的距离。在最后的分析中,手传递给酒的动能等于:让瓶塞移动距离x(稍后给出)的能量,再加上某些其他形式的能量E(如:晃荡波的能量):

 

mv²/2 = Fx + E

 

这里,v是瓶子撞击书之前瞬间的速度,m是酒的质量,F是撞动瓶塞所需的力。忽略右端最后一项,我们得到

 x = mv²/(2F)

因为有些能量作为E被浪费了,所以这是瓶塞移动距离的一个上限。设酒的质量为m = 0.5 kg,撞击速度为v=2m/s,撞动瓶塞所需的力为F=100N(约20磅物体所产生的重力),我们最终得到

x = 1cm。

 

以上三个阶段的最终结果相当于:用质量为m = 5 kg的锤子,从内部以v = 2/s的速度锤击瓶塞,当然还需忽略其他形式的能量E。

 

 

如果不是瓶塞吸收了酒的冲击力,瓶颈处很可能会碎。我并没有用严格密封的瓶子来证实这一点,比如那些用啤酒瓶盖密封的瓶子。同时,如果你不带上保护手和眼睛的装备,我也不建议有人这样做。

 

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罗博深:我的二次方程“新公式”发的是历史版

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好吧,这两天又有一个数学公式刷屏朋友圈了。这回刷屏的是美国奥数队的功勋教练罗博深。按中国的某些媒体报道,这位多次带领美国队再国际数学奥林匹克竞赛中战胜中国队的老师发现了一个二次方程几千年未有之新公式,然后媒体说这将让全世界教科书发生改变。


事情真的是这样吗?我们需要回顾一下事情的来龙去脉。

如果有个二次方程是这样 x² -10x +21 = 0 ,你会怎么求解呢。

解出这个方程一般有两种办法,一是十字相乘法。你要去玩一个猜数字游戏,正好凑出符合因式分解条件的数字,从而解出方程。实际上,你要猜出两个数,它们之和是10,之积是21。

第二个方法,就是套公式,这个大家都知道了,就用下面的公式,直接解出来。

罗教练的方法说,我有一个办法,对于这个问题既不用猜,而且计算量比这给传统方法小的多。

第一步,算出两个数的平均数,这里是5
第二步,这两个数与平均数的距离设为u,于是两数之积是(5-u)(5+u) = 25-u² = 21
第三步,于是u = ±2,两个数分别是5+2=7, 5-2=3

——根本不用猜!

进一步,罗老师说,对其他二次方程形如x² + Bx + C = 0,用这个方法可以得到如下公式。使用这个公式的计算量大多会小很多,所以向所有人推荐。

罗博深老师把这个发现写成论文挂在arXiv上,还拍了介绍视频。但很多人没注意到的事情是,这篇论文发在是历史与概要板块(History and Overview),而不是数学板块。这一点,在罗博深的回复中也指明了:

另外,罗老师还提到,写这个的目的是为了让二次函数的初学者,更容易接受相关内容。

罗老师在视频中也表示这个公式的核心思想还是几千年和几百年前的东西。但是,罗老师认为没人把这些思想整合成这样简单的公式是让人意外的。

在罗博深的推特上,有不少数学老师支持这个公式,并表示会把他用在教学中,甚至还有一些数学教授认为这是一个有趣的发现。

但是,也有不少人提醒罗老师。就公式的最后形式而言,至少在德国、法国、瑞典这些国家的一些学校,已经教授一个叫pq公式的方法多年了,甚至为了让学生们记住这个公式,还编了歌。而这个公式和这里公式的区别只是把B、C换成了p、q而已——如果你用谷歌搜索pq-formula能搜出很多关于它的东西。

 

 

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PISA数学测试2018:中国四省市第一,华人霸榜前五!

 

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12月3日,经济合作与发展组织(OECD)公布了2018年国际学生评估项目(简称PISA测试)测试结果。在全部79个参测国家和地区对15岁学生的抽样测试中,我国以北京、上海、江苏、浙江四省市作为一个整体在阅读、数学、科学全部三项科目中,均获得第一。

 

 

在哆嗒数学网最关注的数学科目中,前10名分别是:

1、 中国京沪苏浙  平均分591,标准差80
2、 新加坡  平均分569,标准差109
3、 中国澳门  平均分558,标准差81
4、 中国香港  平均分551,标准差94
5、 中国台北  平均分531,标准差100
6、 日本 平均分527,标准差86
7、 韩国 平均分526,标准差100
8、 爱沙尼亚 平均分523,标准差82
9、 荷兰 平均分519,标准差93
10、 波兰 平均分516,标准差90

其中前4名到达了数学等级四——PISA数学等级中最高为六级。中国各地区几乎霸榜前五。

在研究级别的主要数学强国在这个测试中的排名是: 美国第37名、英国第18名、法国第25、德国第20名、俄罗斯第30名、日本第6名。

PISA参与成员主要是OECD成员国家和地区,每三年进行一次,根据测评年份命名。经过近20年的发展,PISA参与国家和地区由2000年的43个扩大到2018年的79个,包括美国、加拿大、澳大利亚、绝大部分欧洲国家,日本、韩国、泰国等部分亚洲国家,巴西、阿根廷等部分南美洲国家等。PISA已经成为世界上规模较大、具有广泛国际影响的基础教育第三方评价项目。

 

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35届中国数学奥林匹克,这回夺冠的是一位小姐姐

 

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11月30日上午,第35届中国数学奥林匹克竞赛(俗称CMO)闭幕式暨颁奖典礼隆重举行。这次典礼上,正式公布了本次赛事的获奖名单。

本届比赛共有138人获得金牌,金牌分数线为54分;另外,有162人获得银牌,103人获得铜牌。团体成绩方面,团体第一是江苏队。

其中,非常值得一提的是:本届赛事的第一名是一位女生——来自江苏南师附中的严彬玮同学!并且,她还是以满分成绩夺冠的!

在数学竞赛圈中,很多老师凭着记忆断定,这是CMO历史上第一位“女状元”,严彬玮同学极大可能创造了历史。(哆嗒数学网的小编们没来得及查证,暂时无法确定这个信息。)

网上有人整理了严彬玮的竞赛参与史:

2016年10月 全国高中数学联赛江苏赛区三等奖

2017年5月 南师附中特长生考试第二名

2017年6月 2017年南京市中考第11名

2017年9月 全国高中数学联赛江苏赛区一等奖

2017年10月 参加北大金秋营

2018年8月 第17届女子奥林匹克竞赛金牌

2018年10月 江苏省高中数学联赛第二名,入选省队

2018年11月 第34高中数学冬令营银牌

2019年6月 参加美国ARML数学国际团体赛国际组团体第一,个人第二

2019年7月 2018年东南赛高二组金牌,并列第一

2019年8月 北大数学夏令营一等奖

2019年8月 第18届女子奥林匹克竞赛第一(并列) 

2019年11月 第35届全国数学奥林匹克竞赛一等奖

从获奖履历可以看出,这位小姐姐在数学竞赛成绩上是一路进步,经历了一路打怪,从白银到最强王者的升级历程。

很多研究表明,在数学学习的天赋上,并没有性别差异。之所以后来产生男性占有绝对优势,更多是社会固有偏见的结果。在女生的学习学习生涯中,各方面都会给女生有形或者无形的压力,让她们去做“女生应该做的事情”,使得很多女性“不得不”放弃各种进一步深造的机会。这其实是一种损失。

最后,祝贺获奖者,祝贺严彬玮。

 

 

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一个正切函数的疑似中学生习题,我猜你一定做不出来

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三角函数的相关知识们再中小学的时候就接触了。实际上,再高中我们对三角函数的初等性质研究得非常深入,有人也许会产生一种感觉,关于三角函数的一切问题都是中学习题级别的难度。

 

实际上,有很多看上去非常简单和初等的关于三角函数的问题会非常难,甚至至今还属于全人类都没解决那种问题。比如今天介绍的一个关于正切函数tan问题。

提问:是不是有无限多个自然数n满足不等式tan(n) > n

 

实际上,如果你经常做关于自然数和三角函数结合的问题,你会感觉到,很多时候不是再研究问题本身,而是在研究圆周率π的性质。这个问题也不会例外,对这个不等式的研究说不定能让我们对这个神奇的无理数有更深刻的理解呢?

 

如果我们编程算一下,发现满足tan(n) > n的自然数似乎非常非常的稀少。我们哆嗒数学网的小编用Python简单暴力循环计算了一下,在100亿以内满足这个不等式只有6个数,它们是:1 , 260515 , 37362253 , 122925461 , 534483448 , 3083975227 ,这些数看上去间隔越来越大。

 

 

import math

 

for n in range(1,10000000000):

if(math.tan(n)>n):

print(n,"   ",math.tan(n))

 

 

 

实际上,著名数列搜集网站OEIS上列出了满足这个不等式的16个数(数列编号A249836),它们是:

 

1

260515

37362253

122925461

534483448

3083975227

902209779836

74357078147863

214112296674652

642336890023956

18190586279576483

248319196091979065

1108341089274117551

118554299812338354516058

1428599129020608582548671

4285797387061825747646013

 

关于这个不等式的研究,我们能找到的最新的成果是2014年Bellamy,Lagarias,Lazebnik三人和写的4页纸的文章 ( 见http://www.math.udel.edu/~lazebnik/papers/tan_n.pdf)。在文章里,它们证明了满足不等式|tan(n)| > n 以及 tan(n) > n/4的自然数有无穷多个。这篇文章不难,用到的定理也不算太深,相当数量的大二以上的本科生应该能理解文章的方法。实际上这些人在1999年在《美国数学月刊》上也发表过关于这个问题的部分结果。这个杂志对发表内容的层次要求不高,是愿意发表一些相对简单的数学成果的。

 

现在的情况是,要解决这个问题,似乎要去找到一个n/π的小数部分和1/2的某种“性质良好”的逼近,比如60515/π = 82924.49999917..., 37362253/π= 11892774.4999999915 等等。另外,从大部分人对π的小数展开某种“随机性”直觉来猜想,不仅问题本身满足tan(n) > n 的自然数n应该有无穷多个,甚至对任意自然数k,满足足tan(n) > kn的自然数n也应该有无穷多个。

 

这样的问题不是太深刻,比较简单(至少目前涉及的深度来看),而且普通人只要学过高中都看的懂。真的非常适合普通的数学爱好者来做一做,如果有什么进展,那可是全人类第一次完成的“创举”(哈哈……哈),到时候可是你得瑟的机会。

 

推荐给大家,欢迎参与解答。

 

 

 

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“特征向量新公式”不能改变数学,但也许能改变你的解题方法

 

 

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不得不说最近关于“陶哲轩的线性代数新公式”成为数学圈内最热的话题,从开始的惊诧到后面八卦娱乐,让不少人充满了欢乐。我们哆嗒数学网也发了文章,说明论文中的所谓的“新公式”并非首发。在这篇文章之前,这个公式已经不止一次出现在其他论文或者教材中了。其中目前发现最早有记载这个公式的论文在四十多年前的1968年。

 

 

 

这里我们希望每一个关心这件事情的人不要嘲笑当局者的任何一方,毕竟数学学科树大根深,谁也不知道从哪个犄角旮旯里出现了一个大家都不熟知的“沉睡”了许久的简单结果

。就算菲尔兹奖得主陶哲轩,也不例外,不是是什么零零碎碎的知识,他都能迅速通过肉脑搜索出来。他出现这个乌龙,一点也不奇怪。

 

喧嚣过后,我们哆嗒数学网的小编们突然想到,这个公式本身是真的,不是吗?再进一步思考发现,难得有菲尔兹得主发表的文章,其中的数学内容能让一个普通的大学生有可能看得懂、理解的了,说不定还能欣赏、评鉴……

 

——而且这还是网上热点,绝佳的一个聊聊线性代数的机会不是吗?

 

好了,我相信大多数关心这个新闻的人都还不知道这个公式具体是啥,因为数学家们使用的符号会让让人吓得退避三舍,不敢再深究。这篇文章将把正在读这篇文章的人看成非数学系的理工科考研党(或者相应水平),用一个简单的例子来解读这个公式到底在说啥。

 

首先,你都是考研党了,一定会复习线性代数这门课程的内容。知道矩阵、特征值、特征向量概念。陶哲轩的这个公式就是针对埃尔米特矩阵求特征值的公式。什么不知道什么是埃尔米特矩阵?不慌,这个类型的矩阵可能不是每一个学习线性代数的同学都会学,但是另外一个概念一定会学:实对称矩阵——矩阵里每个变量都是实数,且其转置等于本身的方阵。实对称阵是一种特殊埃尔米特矩阵,作为考研党的你,就把这个公式结果认为是针对是对称阵的,这样不会影响你品味这个公式。

 

好了,你理解了,这是一个可以对实对称阵求特征向量的公式。无论你大学老师还是你的考研辅导班的名师都会告诉你求方阵A特征向量的流程:

 

第一步:计算行列式|λI-A|=0的根,这个行列式的结果是个n阶多项式,会得到n个特征值,这里可能有重根。

 

第二步: 对刚才每个特征值λ,解线性方程组(λI-A)X=0,找到每个方程的线性无关的的解,得到的解就是特征值λ对应的特征向量。

 

这里,帮你回忆一下用到的知识点,第一步你要会求行列式、大多时候你还要分解因式来求解方程的跟。第二步,你要用到解线性方程组,有可能用到高斯消元法。

 

陶哲轩的那个新公式告诉你,哪怕你很菜,直到你上考场之前,都没掌握解线性方程组的方法,你一样也有可能解出特征向量,而且用到的知识点全部都在第一步当中——你只要会求特征根就行。

 

——少记忆一个知识点,这样讲是不是很吸引人?

 

这个公式会在第二步回拆成下面几个分步做:

 

新第二步第一分步:删掉A第1行第1列的元素,得到子矩阵,删掉A第2行第2列的元素,得到子矩阵,……,删掉A第n行第n列的元素,得到新矩阵。最后得到n个子矩阵。

 

新第二步第二分步:每个子矩阵计算特征值。这样每个子矩阵有n-1个特征值,这样的特征值有n组。

 

新第二步第三分步:通过以上不同地方计算得到的特征值,直接计算每个特征向量的分量值的绝对值。在通过线性无关的关心决定去掉绝对值的选取的符号。

 

 

陶哲轩的公式在原文里是这样的,很吓人。

 

 

 

于是,我们针对三阶实对称方阵来把他简化成下图这样。

 

 

 

我们做一道具体的题目,就算下面这道,怎么样,是不是很像你们的课后习题或者期末考试题?

 

 

 

这道题很容易算出x,y的值。最后就算找一个正交矩阵做对角化的问题。那个要找的矩阵P就算单位化的特征向量拼成一个矩阵而已。

 

特征值是,2,1,-1 ,也就是:

 

 

 

按传统做法,回去解下面的三个线性方程组,分别得到特征向量。最后得到P。

 

 

 

新公式的办法,会先分列子矩阵,分别计算特征值。

 

 

 

然后套公式解出每个分量的绝对值。

 

 

 

你会发现,有两个特征向量的每个分量绝对值是完全一样的,因为特征向量需要线性无关,于是很容易决定正负号的选择。另外哪个是特征值1对应的特征向量,哪个是特征值-1的特征向量还要做乘法试一试。

 

这样同样能得到P的结果:

 

 

 

当然,我们曾经试图使用这个方法想办法解决四阶方阵的问题,一般计算量会更大,并不实用。

 

好了,不知道你在考试中这样做会不会得分,不过的确没有解过任何线性方程组,答案也是对的。

 

总之,祝你好运!

 

 

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陶哲轩的线性代数的“新”公式并没颠覆任何东西

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这两天一篇标题为《3个搞物理的颠覆了数学常识,数学天才陶哲轩:我开始压根不相信》。文章内容大致是说,一群搞物理的人请教陶哲轩一个看上去非常简单的公式,请教陶哲轩。陶哲轩发现这个公式是对的,但是教科书居然没出现过。然后文章感叹,这将颠覆线性代数的教科书。

这个公式真没在教材出现过吗?

也有人翻到的中文教材,介绍的公式形式上和这个一样,不管陶哲轩的条件是对埃尔米特矩阵,这里上三对角矩阵。不过,我们哆嗒数学网的网友,用书中的证明过程,做一些非本质修改,据称能证明埃尔米特矩阵的情况。


还有网友翻出了1968年的发表在《线性代数及其应用》(Linear Algebra and its Applications)上的文章,在第一卷, 211-243。其中介绍了这个公式。

而这篇文章应用的《量子杂志》原文,也在11月14日有个更新:大意是说有篇没有正式发表的2014年手稿也介绍了这个公式,陶哲轩承认这个事情。

现在很多当事人也出来说话了。

 

首先是论文作者之一张西宁,他发朋友圈公开用中文辟谣。这个公式非原创!

然后,陶哲轩在自己博客辟谣,自己发现了之前这个公式的很多等价版本。这个公式非原创!

 

现在,恳请大家现在开始帮忙辟谣。这个公式非原创!

 

数学是经常诞生神奇的地方,但这个公式不是!

 

 

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为什么在等公交车时,要等的车总还没有来?

作者:小米,哆嗒数学网群友。

 

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概率是数学里刻画随机性的一个有力工具。借助概率模型,我们可以严格地讨论像“将一枚硬币随机抛起,得到正面或反面的概率为多少”这类随机现象。

 

很多时候,概率可以用数学公式准确地表述我们一些直观的感觉。例如,对于“今天是阴天,所以更有可能下雨”这个论断,我们就可以借助概率中相关性的概念来理解。

 

但是有的时候,如果仅从直观上对“随机性”进行理解而不经过严格的数学推理,却可能导出一些错误的结论。例如有名的“伯特兰悖论”:考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选圆上的弦,则此弦的长度比三角形的边较长的概率为多少?伯特兰提出了三种“随机”选取弦的方法,却导出了不一样的结论。

 

“伯特兰悖论”说明,在用概率处理问题时,我们需要明确随机性是如何产生的。这个过程的严格化是由柯尔莫格洛夫的概率论公理化解决的。并不是所有的“随机性”都能够在数学上站得住脚。例如,在1到10之间随机(等概率地)选取一个整数是可以做到的,而从全体自然数中随机(等概率地)选取一个整数则是不可能的。

 

今天我们要讨论的问题也是一个乍看上去与直觉相悖的例子。假设有一路公交,每班车发车间隔有50%的机率是10分钟,有50%的机率是20分钟。现在你到家楼下的车站坐车,又假设每分钟有一名乘客到达车站等车,那请问当你上车时,乘客排队的平均队伍长度是多少?

 

直觉上答案应该是(10+20)/2=15。理由如下:由于乘客到达的速率恒定,所以上车时队伍的长度与你坐上的车的发车间隔成正比;由于发车间隔有50%的概率是20分钟(对应队伍长度20人),有50%的概率是10分钟(对应的队伍长度为10人),所以平均下来应该是20和10的平均数,即15人。

这个论证有没有问题呢?我们把问题适当抽象一下,也许可以看出一点端倪。假设发车间隔以50%的概率为a,50%的概率为b,那么按照前面的论证,平均队伍长度应该是(a+b)/2。但是,我们可以考虑一种极端情况,就是a很小而b很大的情况。比如假设a是1秒钟,b是1小时。这样,我们可以把相隔一秒钟的两辆车几乎认为是“同时”到达的。那么我们就面对着如下的情况:很多辆车可能一起到站,但是下一次有车隔1个小时。在这种情况下,因为我们很难刚好碰上有车到站的时刻,队伍的长度其实会是1个小时的队伍,也就是b。

 

那么为什么直觉带来了错误的答案呢?原因是我们混淆了“平均发车间隔”与“平均等车时间”这两回事。虽然它们都是一个随机的时间长度,但是里面的随机性是不一样的!

 
 

一班车的时刻表可以用下面这张图来刻画。我们把数轴分割成一些首尾相接的区间。区间有两种:一种是较长的蓝色区间,代表发车间隔为b;一种是较短的红色区间,代表发车间隔为a。区间的端点代表着公交车到站的时刻。

 

那么两种随机性分别是指什么呢?当我们说“发车间隔随机地选取a或b的时候”,随机地用两种长度的区间来分割数轴,也就是说,当我们选取一段很长很长的时间来观察的时候,里面出现的红区间和蓝区间的数目各占约50%。而当我们讨论“平均等车时间”的时候,我们是在数轴上任取一点,考察它是落在红区间上还是落在蓝区间上。

 

但是,因为蓝区间比红区间要长,所以即使红区间和蓝区间的数目“大致相等“,我们”随机“选取一个点还是更可能落在蓝区间中。这导致了在计算”平均等车时间“的时候,红区间与蓝区间出现的概率改变了!

 

更具体地说,在这个例子中,因为红区间长为a,蓝区间长为b,所以在它们的数目为1:1的情况下,占据的时间长度大概为a:b。因此在计算“平均等车时间“的时候,红区间出现的概率为a/(a+b),而蓝区间出现的概率为b/(a+b)。所以最后的平均等车时间为


 

当然,这里我们计算的“平均等车时间“其实是队伍里排队最久的人所等待的时间(在我们的设定下这就是队伍的总长度)。如果我们只是随机地到达车站,那么可以想象平均来说,我们将会排在队伍的中间,因此我们的真实等待时间其实只有上面计算结果的一半。

 

上面的论证过程也有一些不够严格的地方。其中之一就是如何定义“随机“在数轴上选取一个点。为了解决这个问题我们需要转换思维。我们把班车到达的时刻看作是一个实数上随机的点集,满足相邻的两点之间的距离随机地为a或b,并且还具有某种时间上的“均质性”,数学上也叫“平稳性”。这时,我们也不需要去抽取数轴上任意一个点,而只需要固定一个点,例如原点,考察原点所在区间的长度。由于时间上的均质性,任意固定点都是一样的。从一个平稳的点过程出发,在一个固定点去观测会得到特别的统计结构,这就是帕姆—辛钦(Palm—Khinchin)理论。简单地应用在我们的等车例子中,假设发车间隔的分布具有密度函数ρ(x),那么原点所在区间的长度具有密度函数正比于xρ(x)。这里的因子x表明长度越长的区间越有可能被我们观测到。

 

这个例子也说明了,观测结果有时候会影响观测过程,比如在这里,较长的发车区间增加了我们观测到它的概率。这和“幸存者偏差“的产生有着同样的逻辑。当我们很久等不上车,这并不是因为我们自己特别倒霉,而是从理论上,人就更可能花更长时间等车。也许呢,生活中的不顺也并没有我们想象的那么多。

 

 

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用最不专业的语言来介绍一下专业的p进数

 

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我不是搞数论的,但我一直对p进数(p-adic numbers)有一种遥远的迷恋。我有一张关于一些我想要写一写展示在我的博客上的“简洁数学主题”的清单,p进数就在那张清单上,因此我很高兴在2008年11月的那一期的《大学数学杂志》(College Mathematics Journal)上看见了由 Andrew Rich 撰写的,标题叫做《左撇子数》的一篇有关p进数的有趣的文章。

 

 

通常的p进数的构造方法对非专业人士来说相当复杂,这里仅仅是简单地介绍它的思想。

 

 

我们从有理数开始有理数集是能够被写成分数的数的集合。有理数的例子有4,13,2.1,22/7,0.333333…有理数中有很多的“洞”,填补这些“洞”的方法也有若干种。

 

从有理数走到实数——我们用通常的填补这些“洞”的思想方法创造出了实数的集合。举例来说,我们想让有理数列3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159…收敛,于是我们创造了一个叫π的新数来当做这个数列的极限点。要想理解这件事我们需要明确什么叫“逼近”,按朴素的通常理解,如果两个数数位上的数码向右数时有很长一段是一致的,那么这两个数就是“逼近”的。

 

 

如何从有理数到p进数我们用类似的技巧来构造p进数,不同之处在于我们选择了一个新的关于“逼近”的定义。(当我们讨论p进数时,p是某个特殊的数,通常是素数,且数的数码为0,…,p-1。)现在如果两个数数位上的数码向左数时有很长一段是相同的,那么我们称这两个数是“逼近”的。于是10进数0.03,0.53,6.53,96.53,196.53,1196.53,21196.53…变得越来越靠近某个数。

 

 

通常的实数,在小数点左边只有有限位数,而在小数点右边可能有无限位数。然而,如我们所见,p进数总是可以被写成小数点右边有有有限位数,而小数点左边可能有无限多位数码的形式(这也是为什么Rich称它们为“左撇子数”)。举个例子,33.333333…不是一个10进数,但是…333333.33是。特别地,上一段落给出的数列收敛到某个10进数…21196.53。这里我们给出这种构造的一些比较酷炫的结论。

 

 

1.加法。我们可以对两个p进数相加。这里有个10进数的例子——正常相加,向左进位。(注意到加法是从右向左进行的,所以无限位p进数的加法比无限位实数的加法要容易很多。)

 

 

 

2.乘法。像加法一样,两个p进数的乘法也是可行的,而且实施起来也比实数容易很多。

 

 

 

3.减法。p进数里没必要为负数标记一个负号(-)。比如说,作为一个10进数,我们可以把-16写成…999984。要想证明这一点,我们只需要观察到16+(…999984)=0:

 

 

类似地,我们可以证明每个p进数都有这样一个“正相反数”,于是我们往往会把减法转化成加法来做。

 

 

4.p进有理数。每个p进有理数都可以被写成小数点右边有有限多位数码的形式。例如,我们一般会认为1/3等于0.3333…,但是在10进数中我们会把它写成…666667。要证明这一点,我们只需要观察到(…666667)*3=1:

 

此外,Rich在文章中给了证明,一个p进数是有理数当且仅当它的小数点左边的数位上的数码向左无限循环(这与实数的情形形成一种漂亮的对称,在实数中一个数是有理数当且仅当它的小数点右边的数位上的数码向右无限循环。)

 

 

5.除法。除法会怎么样呢?Rich在文章中说明,把两个10进数相除通常可行,但不总是可以。麻烦之处在于可能有两个非零的10进数x和y满足xy=0。细节可以参见那篇文章。然而我们要重点指出,如果p是素数,那么这种情况不会发生。当p时素数时,每个非零的p进数都有一个倒数,这时我们就可以对两个这样的数做除法。

 

 

6.关系这是关于p进数的最后一个奇怪的事实。众所周知如果x和y是两个不相等的实数,于是要么x<y成立,要么y<x成立。但是,在p进数中没有这样的线性序关系。

 

 

7.  来点高级数学概念——数学上有更多方式来描述这些结论。如果p是素数,那么p进数形成了一个包含有理数的完备度量空间(它是有理数的完备化),且是一个域。(注意到因为除法的问题,当p不是素数时,p进数不再是域,仅仅是一个环)

 

要想了解更多细节,例子和证明,可以参见Andrew Rich的好文章“左撇子数”。

https://www.maa.org/publications/periodicals/college-mathematics-journal/college-mathematics-journal-november-2008

 

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软科公布2019中国最好学科数学排名

 

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”日前公布了公布了“2019中国最好学科排名”,包括96个一级学科,其中也包括了数学学科排名。
 


中国最好学科排名的指标体系由高端人才、科研项目、成果获奖、学术论文、人才培养5个指标类别组成,对应10余个指标维度,包括30余项测量指标。按排名官网说法,所有指标均为客观指标。如何你有兴趣,可以去该排名的官网查看。

 


 
数学排名公布了134所的学校。第一名是北京大学,山东大学和中山大学分列第二、三名。第四到十名分别是中国科学技术大学、复旦大学、清华大学、西安交通大学大学、浙江大学、南开大学、武汉大学。中科院大学没列入榜单。前10名的中,有9个同样是去年的前10名,唯一例外是南开大学,从2018年的第11名升至2019年的第9名。而2018年第7名的四川大学,在2019年的排名中跌到第15名。
 
 
 
以下是详细榜单,我们对任何排名的意见都是——你可以有任何意见!

 

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R语言令人意外的能做到这10件事

 

本文原文来自SimplyStatistics网站

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:风无名

 

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过去的几周里,我和来自计算机方面的同行进行了一些交流,他们对R语言颇有微词。当中的很多人都将怒火集中于R语言在统计分析上显而易见的局限性。

 

 

 

的确,R语言在CRAN,Bioconductor、Neuroconductor、ROpenSci以及其他好的包管理网站都有很多非常棒的软件包。当我进行交流的时候,我意识到R语言已经从只能做数据分析的语言成长为一种多用途中介性语言。但是,在数据分析之外,R语言的功能则所知甚少。所以,这篇文章介绍了一些非常奇妙的R语言特点,它们可能广为人知,也可能鲜有所闻。这里基于Kara一篇《R语言可以做的简单事情》推文,我列举了十项R语言可以做但你又可能不知道的事情。

 

 

 

1.  你可以通过R markdown程序写出可以再次编辑的Word和Powerpoint文档

 

只需要在YAML中修改一行代码,rmarkdown包就可以为你生成可以再次编辑的Word和Powerpoint文档。

 

 

2. 你可以只用几行代码构建和部署交互式网络应用

 

只需要几行代码,你就可以用R语言来创建一个交互式网络应用。例如,使用flexdashboard包,添加36行代码,你就能生成一个可以研究你的BMI和NHANES样本之间关系的交互式控制面板。

 

 

 

3. 你可以只添加一行R代码便可实现网站应用托管

 

在R语言中建立网站应用的另一件很酷的事情。通过使用rsconnect包,只需要额外添加一两行代码就可以将你的网页应用编译运行,接着你就可以把它们放在网站上。你可以把它发布到你自己的服务器上,甚至更简单的,放到类似于shinyapps.io的云服务器上。

 

 

4. 你可以通过dplyr/dbplyr包来获取数据

 

通过使用dbplyr包,你能够很轻松地连接任何一个(本地或者远程)数据库。这允许R用户独立的从几乎所有的公共数据库里面提取数据。你也可以使用特定的包,例如bigquery包可以直接连接BigQuery,或者其他高性能数据库。

 

 

 

5. 你可以在本地或多个不同数据仓库上的数据上使用相同的 dplyr 语句

 

一旦你学会基本的dplyr数据转化规则,你就可以应用相同的代码对你本地的数据和数据库和数据仓库里的数据进行分析。及使面对各种各样的数据库和编程语言,dplyr包都为开发者提供了简单又统一的数据处理方式。

 

 

 

6. 你可以用keras和Tensorflow来拟合深度学习模型

 

Keras包允许你直接通过R来拟合之前训练过的和重新拟合的深度学习模型。你也可以使用Tensorflow来做这两件相同的事情。

 

 

 

7. 你可以用R语言构建API,并为API提供各类服务

 

通过plumbr包,你可以将R函数转换成可集合到下游软件的web API中。如果你有RStudio Connect软件,你也可以像发布网络应用一样非常方便地发布你的程序。

 

 

 

8. 你可以通过R语言游戏交互界面

 

你不仅能够部署网站应用,还可以用R语言把它们变成很棒的游戏。Nessy包可以让你创建NES游戏的外观的Shiny 程序并且像部署其他Shiny一样部署它们。

 

 

9. 你可以用Spark clusters直接从R中分析数据

 

想要在巨大的数据集中用机器学习模型对大量、杂乱的数据进行拟合?现在,你可以使用R语言中的sparklyr包来达到你的目的。你可以在你的本地电脑上或者在巨大无比的Spark集群上使用。

 

 

 

10. 你可以用R语言开发一个学习R语言的互动式教学工具

 

swirl包是一个在R里面的能够为R构建交互式教程的R包。这不是一份完整的R语言包使用教程。你也可以连接上AWS Polly服务后写出一个文字转语音的软件,或者编译出Shiny应用。这些程序可以让你的程序执行语音指令,或者编译出能够让你结合深度学习和加速度测量术数据来施展哈利波特魔法咒语的应用。这里需要强调的是,R语言已经在数据分析领域之外有了自己的一席之地(尽管R语言仍然在数据分析上非常有用),能够熟练地运用R语言会让你在其他领域有所建树,创造出实用并有意思的程序。

 

 

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朗兰兹纲领在一步一步成为数学的大统一理论?

原文作者:Kevin Hartnett,量子杂志资深记者。

翻译作者,e^iπ+1=0,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:风无名

 

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一代代研究者努力实现他提出的朗兰兹纲领,以期创造一个大一统的数学理论。

 

 

罗伯特·朗兰兹,作为20世纪提出最富有原创性数学观点的数学家之一,在2018年的某个早晨,在挪威的庆典上,被授予年阿贝尔奖。这个奖项好比是科学界的诺贝尔奖,是数学界最高荣誉之一。

 

时年81岁高龄的朗兰兹,普林斯顿大学高等研究院的退休教授,也是“朗兰兹纲领”的创造者。这个纲领发掘了现代数学的两根支柱之间深刻的联系:一是数论,主要研究数中的算术关系;另一则是分析,是微积分的高等形式。这两者间建立起的关系有着广泛而深远的意义,帮助数学家回答关于素数性质的世纪难题。

 

 

在1967年,朗兰兹30岁的时候,在一封寄给著名数学家安德烈·韦伊的一封信中,第一次清楚提出他关于纲领的想法。安德烈打开了一封17页的长信,读到朗兰兹谦虚的说辞:“如果你愿意将其当作一份纯粹的推测,我将非常感激。如果不是的话,我相信你会直接将它丢入手边的垃圾桶。”

 

 

 

自此,一代代的数学家采取了他的想法并将其拓展。朗兰兹纲领横跨了众多数学领域,以致于常它被人看作是寻求大一统数学理论的工作。

 

 

 “我认为从现有的数学历史发展来看,这无疑是革命性的事件”,多伦多大学的数学家、朗兰兹曾经的学生詹姆斯·亚瑟说道。

 

 

 

数学家一直对在素数中寻找模式很感兴趣,素数即那些只能被1和自身所整除的数。素数就像是数论的原子,并以此为基本单元建立了算术体系。他们有无数多个,并且它们在所有整数中好像是随机地分布。为了发现素数的分布规律(这是著名的黎曼猜想的主题),将其与其他的数学分支联系在一起是必要的。这样看来,素数就像是密码,只有使用了合适的钥匙才能读懂其中吸引人的内容。

 

 

 

“他们看上去像是随机的偶然事件,当他们和别的数学分支联系起来的时候,则显示出一种极其复杂的结构。”亚瑟说道。

 

 

其中一个有关素数结构的问题是,什么素数可以被表示为两个完全平方数的和,初始的几个例子包括:

 

 

修改译文:

5等于2²+1²,

13等于3²+2²,以及,

29等于5²+2²。

 

 

在17世纪,数论学家发现所有可以被表示为两个平方数之和的素数都有如下性质:当他们除以4则余数为1。这个结论开始揭示素数隐藏的规律。而在18世纪晚期,高斯推广了这一令人惊讶的关系,阐述了将特定的素数(那些可以表示为两平方数和的素数)与特定的性质(当他们除以4则余数为1)联系起来的互反律。

 

 

 

在朗兰兹的信件中,他极大地拓展了高斯所发现的互反律。高斯的工作应用于二次方程(二次互反律),就是最高次数不高于2次的方程。朗兰兹认为素数被编码在更高维的方程中(比如三次方程和四次方程),而这则与调和分析这个遥远的数学领域有着千丝万缕的关系,这是一个诞生于微积分的数学分支,并经常用来解决物理问题。

 

 

 

 

举个例子,十九世纪的科学家惊讶地发现当他们通过棱镜观察星光,他们没有得到连续的光谱。相对应的,光谱在不同的地方被黑色谱带打断,而这些现在被称作吸收带,也就是光在那里消失的意思。最终科学家认识到消失的光已经被星球中的元素所吸收了。而这个发现成为其他星球与我们星球是由相同物质组成的坚实证据。

 

 

 

同时,光谱带成为数学家感兴趣的对象。那些消失的波长提供了一个序列——消失的光的频率。数学家可以通过分析来研究这些数,或者可以选择攻克全新的方程——这些问题在物理学上被提出,灵感却来自分析和几何。基于那些新的方程,他们可以研究一个平行于吸收光谱的观念。

 

 

 

朗兰兹纲领将多项式方程的素数解与在分析与几何中研究的微分方程的谱联系起来。它断言这两者之间存在互反律。而应用这个结论得到的结果是,我们可以获知哪些数会出现在相应的谱中。

 

 

 

这两个集合的数不能直接比较,他们都需要从不同的数学对象翻译过来。具体来说,伽罗华表示(一个基于素数的工具)可以通过自守形式将这些数学对象配对。这些自守形式就包括了相关的谱。

 

 

在朗兰兹纲领上工作的当代数学家们,正在试图证明这个关系以及相关的猜想。同时,他们利用朗兰兹式建立联系的方法去解决那些其它方法看起来无法解决的问题。最值得庆贺的结果应该是安德鲁怀尔斯在1995年的关于费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分地依赖于朗兰兹数十年前预测的在数论和分析上的关系的类型。

 

 

朗兰兹纲领这些年已经被相当广泛地推广了。而当你把所有创造出来的复杂原理(它们被创造出来是为了实现朗兰兹的远见)都推开去,你发现,这整个的宏大的事业,仍旧是由一些最基本的数学的关切所驱动的。

 

 

 

“理解那些出现在方程中的素数的性质,等同于在算术世界中完成一个基本分类”,亚瑟说道。

 

 

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原来多项式可以用来玩涂色游戏!

多项式不仅是课本上抽象的练习题。它们还有助于在一些令人意想不到的地方揭示数学结构。

 

 

 

2015年,诗人数学家June Huh帮助解决了一个50年前的问题。这个问题是关于一个叫做“拟阵”(matroids)的复杂的数学对象,它是由点、线和图片的组合而成。同时它也是一个关于多项式的问题——那些数学课上常见的可以把变量求不同幂次再求和的表达式。

 

有时你可能在学校里遇到多项式的合并、分解和简化的问题。例如,你也许记得x²  + 2xy + y²  = (x + y)² 。这是一个简洁的代数技巧,但是它到底有什么用处?多项式擅长于揭示隐藏结构,这个事实在Huh的证明中有着重要的作用。下面让我们用一个简单的例子来说明如何实现这一点。

 

假设这里有一个游戏要求将两组玩家安排在一张方桌上。为了防止他们作弊,需要避免同队的玩家坐在相邻的座位上。那么一共有多少种不同的安排方法?

 

游戏一开始,我们将玩家分为红色和蓝色两种。如图所示,假设先将一个红色玩家安排在图的上面的位置。

 

 

上面的位置左右各有一个相邻的座位,因此,为了满足我们的要求,这两个座位必须都安排给蓝色玩家。

 

 

图的底部还剩下了一个和两个蓝色玩家相邻的位置,所以必须有一个红色的玩家坐在那里。

 

 

因为没有一个玩家坐在他队友的旁边,我们的限定的条件满足了。

 

我们也可以在游戏一开始的时候将一个蓝色玩家安排在上面。和上文相类似的推理可以得到下面的安排。

 

同样,没有一个玩家坐在他的队友的旁边。我们的约束条件满足了,所以这是另一种可能的安排方法。事实上,这个游戏只有两种可能的排座结果。一旦我们选定了上面位置的颜色,剩下座位的颜色也都决定好了。

 

有一种方法能让我们不用画出所有不同的座位图就可以知道只有两种安排座位的方法。让我们从上面开始:对那个座位我们有两种选择,红色或者蓝色。当我们做出这个选择的时候,它左边和右边的位置都只有一种选择(另一种颜色)。然后,对最下面的座位来说,也是只有一个选择:我们开始游戏的时候选择的颜色。通过运用“基本计算原理”,我们知道所有可能性的个数是每一种选择可能性数的乘积。这就得到了2 × 1 × 1 × 1 = 2一共两个座位,就像我们用图像的确定出来的一样。

 

现在,我们加入用其他颜色表示第三支队伍。想象现在有红色,蓝色和黄色三种玩家。如果相邻的座位不能安排同样颜色的玩家,那么有多少种不同的安排方式?画出所有的可能性可能会需要很多的图像,所以让我们改用计算参数试试。

 

现在上面的位置有三种颜色可以选择。做出选择之后,我们就可以为左右两个位置选择剩下两个颜色中的任意一个。

 

那么方桌下方的座位会发生什么?人们很容易说最后一个位置只有一种选择,因为它左右都有相邻的座位。但你有没有发现其中的问题?

 

 

如果左右两边位置颜色不同,那下面的位置确实只有一种选择。例如,左边是蓝色的,右边是红色的,那么底下的就必须是黄色的。但是左右的颜色相同又会怎么样?在这种情况下,底下颜色的选择会有两种。最后的选择取决于一开始的选择,这就让我们的计算变得复杂起来。

 

因此我们必须考虑两种相互独立的情况:左边和右边颜色相同的时候和左边和右边颜色不相同的时候。

 

如果左边和右边的颜色相同,那么每条边颜色的可能性就如下图所示:

 

 

首先,上面的颜色有三种选择。然后,对于右边的颜色还剩了两种选择。因为我们假设左边和右边颜色是一样的,所以左边的颜色只有一种可能:和右边的颜色相同。最后,因为左边和右边颜色相同,底下的颜色可以是剩下的两种颜色中的任意一种。这样我们就有  3 × 2 × 1 × 2 = 12种可能的结果。

 

现在让我们考虑一下左边和右边颜色不同时的可能性:

 

 

同样,上面有三种选择右边有两种选择。左边仍然只有一种选择,但是这次的原因和第一次的不同: 它既不能和相邻的上面颜色相同,又得符合假设和右边颜色不同。而因为左边和右边的颜色不同,下面的颜色只有一种选择(和上面一样的颜色)。这种情况有3 × 2 × 1 × 1 = 6种可能的结果。

 

因为这两种情况包含了所有的可能,我们只需要把它们加起来得到总共有12 + 6 = 18种可能的结果。

 

增加了一种颜色让我们的问题变得复杂,但是我们的努力会得到回报。我们现在可以用这种方法解决4,5或者任意q种不同颜色时的问题。

 

无论在多少种颜色中进行选择,我们都要考虑两种情况:左边和右边颜色相同,左边和右边颜色不同。假设我们需要在q种不同的颜色种进行选择。下面的图像表示的是当左右颜色相同时每条边不同的选择数量:

 

 

一开始,上面的座位有q种颜色可以选择,右面的座位有q-1种颜色可以选择。因为我们假设左边和右边颜色相同,所以左边只有一种选择。这样,下面可以选择q-1种颜色,即除了左右的那种颜色之外的任何颜色。根据基本算数原理我们一共得到了q × (q – 1) × 1 × (q – 1) = q(q – 1)²种可能的结果。 

 

如果左右颜色不同,我们可以像这样列举可能的结果:

 

 

同样,上面的座位有q种颜色可以选择,右边的座位有q种颜色可以选择。现在,左边的颜色不能和右边的颜色相同,所以我们有q-2种选择。底下座位可以是除了左右两种不同颜色之外的任意颜色,同样也是有q-2种不同的颜色。这样我们一共有q × (q – 1) × (q – 2) × (q – 2) = q(q – 1)(q – 2)²种可能的结果。因为这两种情况包括了所有的可能性,我们像前面一样把它们加在一起得到最后可能结果的总数:q(q – 1)²q(q – 1)(q – 2)²

 

这个表达式看起来好像和“我们能有多少种不同的方式让不同的队坐在方桌上,同时不让两个队友坐在一起”这个问题毫无关系。但是这个多项式表达了关于这个问题的好多信息。它不单告诉了我们具体的数字结果,还表现出隐藏在这道题之下的一些结构。

 

这个特别的多项式被称为“染色多项式”(chromatic polynomial),因为它回答了下述问题:你有多少种不同的方法能够给网格(或图)的方格或者节点上色使其与相邻的方格或节点颜色不同。

 

我们的问题最初是关于给队伍在一张桌子上安排座位,但是我们可以很容易地把它转化成一个关于给图像上节点上色的问题。我们不再想象人们围着桌子坐,我们将人们比作节点,如果他们坐在一起就用一条线把他们连接起来。

 

 

 

 

现在,图像中的每一个节点的颜色可以被看成方桌周围的一个座位,而“邻座”在图上变成了“有一条线段将它们连接起来” 。

 

 

既然我们已经将我们的问题用一个图表示出来,那么让我们回到它的染色不等式。以下我们将成它为P(q)。

P(q) = q(q – 1)² + q(q – 1)(q – 2)²

 

这个多项式的好处是它能够回答我们所有可能的图像上色问题。

 

例如:为了得到有三个颜色的题的答案,我们让q=3,从而得到:

P(3) = 3(3 – 1)²+ 3(3 – 1)(3 – 2)²= 3 × 2² + 3 × 2 × 1² = 12 + 6 = 18

 

这个恰恰是在我们上面的三个队伍的情况下找到的答案。而当我们让q=2时:

P(2) = 2(2 – 1)² + 2(2 – 1)(2 – 2)² = 2 × 1²+ 2 × 1 × 0² = 2 + 0 = 2

看起来是不是很熟悉?这是我们一开始两个不同队伍的情况下时的答案。我们只需要给q代入适当的值就能够得到有四个,五个甚至是十个不同队伍情况下的答案:P(4) = 84, P(5) = 260 and P(10) = 6,570。色多项式通过归纳我们的算数方法,已经捕捉到了这个问题的一些基础结构。

 

我们可以通过对多项式P(q)做一些基本的代数运算揭露更多的结构

P(q) = q(q – 1)² + q(q – 1)(q – 2)²:

=q(q−1)(q−1)+q(q−1)(q−2)²

=q(q−1)((q−1)+(q−2)²)

=q(q−1)(q−1+q²−4q+4)

=q(q−1)(q²−3q+3) 

 

这里我们已经把q(q – 1)从和中的每一个部分提取了出来然后合并同类项,把多项式变成用乘积表示出来的“因子形式”。在因子形式中,一个多项式可以通过它的“根”来告诉我们结构。

 

一个多项式的跟指的是使得多项式为0的去值。并且一个多项式的因子形式使得求根变得容易:因为多项式是以因式乘积的形式存在的,任何让其中一个因子为零都会让整个乘积变为零,因此多项式也是0。

 

例如,我们的多项式P(q) = q(– 1)(q² – 3q + 3)有一个因子(q – 1)。如果我们让q=1,这个因式就变成了0,从而将整个式子变成了0。就是P(1) = 1(1 – 1)(12 – 3 × 1 + 3) = 1 × 0 × 1 = 0. Similarly, P(0) = 0 × (–1) × 3 = 0。所以q=1和q=0就是我们多项式的两个根。(你也许在考虑(q2 – 3q + 3)的问题。因为没有一个实数能让这个因式变为0,所以它没有给我们的色多项式提供任何实根。)

 

这些代数根在我们的图像中是有意义的。如果我们只能选择一种颜色,那么每一个节点都会是相同的颜色。那么由于相邻的两个节点不能是相同的颜色,我们无法给这个图像上色。但是这就是q = 1是这个色多项式的根的含义。如果P(1) = 0,那么就没有办法能在给图像上色的同时保证相邻的节点颜色不同。如果我们有0种颜色供我们选择: P(0) = 0,结果也是同样的。染色多项式的根告诉了我们图的结构。

 

当我们开始看其他图像的时候,从代数的角度看这个结构的能力就变得更加重要了。让我们来看看下面的三角图像。

 

 

 

用q种颜色给上面的图像上色有多少种方法可以使任何相邻的两个节点颜色不同?

 

通常,前两个节点有分别有q和q-1种选择。因为剩下的节点是和前两个都相邻的,所以它的颜色必须和前两个的颜色都不相同,就只剩下了q-2种选择。所以这个三角图像对应的色多项式就是:P(q) = q(q – 1)(q – 2)。

 

在它的因式形式中,这个色多项式告诉了我们一些有趣的事情:q=2是一个根。而且如果P(2) = 0,我们无法用两种颜色给这个图像上色的同时保证相邻的两个节点颜色不同。

 

那么,想象一下沿着这个三角形的循环走,你每走到一个节点,就给它涂上颜色。因为你只有两种颜色可以选择,那你只能每走到一个节点就变换一种颜色:如果第一个是红色,那么第二个就必须是蓝色,这也代表着第三个必须是红色。但是第一个和第三个是相邻的,所以它们不能都是红色的。正如多项式预测的一样,两种颜色是不够的。

 

使用这种方法交替论证,你可以推导出一个有力的结论:任何有奇数个节点的循环的色多项式都必须有2作为一个根。这是因为如果你在一个有奇数个节点的循环中交替使用两种颜色,你就会给第一个和最后一个涂上一样的颜色。但是因为它是一个循环,第一个和最后一个是相邻的。这就是不可能满足条件的了。

 

例如,我们可以用各种技巧确定一个有五个节点的循环所对应的色多项式为P(q) = q5 – 5q4 + 10q3 – 10q2 + 4q。但当我们把它变换为因式形式的时候,它就变成了P(q) = q(– 1)(– 2)(q2 – 2q + 2)。就像我们猜测的那样,我们看见q = 2是一个根也就是P(2) = 0。值得注意的是,一旦我们建立起了图像和对应的多项式之间的联系,我们就会发现:多项式可以告诉我们图的结构,图也可以告诉我们它们所对应的多项式的结构。

 

正是对结构的研究让June Huh证明了Read在40年前关于染色多项式的猜想。这个猜想是说当我们按顺序列出一个色多项式的系数并且忽略它们的符号的时候,就满足了一个特殊情况:也就是,任何一个系数的平方都必然大于等于与它相邻的两个系数的乘积。例如:在有五个节点的循环所对应的色多项式中,P(q)  = q^5 -5q^4 +10q³- 10q² +4q我们可以发现52 ≥ 1 × 10, 102 ≥ 5 × 10以及 102 ≥ 10 × 4。这说明并不是每一个多项式都是一个色多项式:染色多项式通过和图像的连接有着更深的结构。更重要的是,这些多项式和其他领域直接的关系让Huh和他的合作者在证明了Read的猜想几年后解决了一个更加广泛的开放性问题——罗塔猜想(Rota)。

 

大家都知道多项式没啥了不起的:不过就是用符号来抽象表示的一些运算而已。但是多项式以及多项式的特征——它们的根,它们的系数,它们各种各样的形式——能够帮助我们在令人惊奇的地方揭示结构,建立了我们日常生活和代数之间的联系。

 

 

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为什么自然数是0、1、2、3……这些,能不能有别的?

原文作者:Eliezer Yudkowsky,AI专家。

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

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解答者:

 噢!你好!又回来啦?

 

好奇宝宝:

是的,我又有新问题了。之前你说你不得不使用二阶逻辑来定义自然数。不过,我非常确信我听说过叫做“一阶皮亚诺算术”的东西,据说它定义了自然数。从名字上说,它不应该含有任何“二阶”公理。坦白地说,我觉得我对这个二阶的东西还是一点感觉都没有。

 

解答者:

好吧,让我们通过考察如下的模型来开始:

 

 

这个模型拥有那三个我们希望对于标准自然数都满足的性质“每一个数都有一个后继”, ”如果两个数拥有一样的后继,则相等”,”0是那个唯一的不是其它数的后继的数。”。在这个模型中,所有这些陈述都是真的,所以从那个意义上,它的确和自然数差不多

 

显然这个模型不是我们正在寻找的自然数,因为它拥有多余的一些神秘的数,像C, 2*。像C那样的东西甚至是一个圈,我当然不希望任何自然数会这样。而且,还存在双向无穷的不能收拢到任何其它的东西的一条链。

 

是的,这就是一阶逻辑与二阶逻辑的区别:在一阶逻辑中,我们可以去除那些ABC——做一个陈述句,它可以排除掉任何拥有像那样的圈的模型。但是我们不能去除掉下面的无穷的链。在二阶逻辑中,我们可以去掉多那个多余的链。

 

 

好奇宝宝:

你能解释一下你刚刚说的吗,虽然眼下我还不知道二阶逻辑是什么。

 

解答者:

再等我一下。首先,细想下面这个检验“二性质”的公式:

x + 2 = x * 2

 

好奇宝宝:

换句话说,当x等于2的时候,这个公式是真的,其它任何地方它是假的,所以它单独挑选出2 ?

 

解答者:

正是。下面这个是一个检查奇数的公式:

∃y: x=(2*y)+1

好奇宝宝:

嗯,OK.这个公式在说,“存在一个y,使得x等于2乘以y加上1”。当x是1的时候,那是真的,因为0是一个数,而且1=(2*0) + 1.当x是9的时候,那是真的,因为存在一个数4,使得(2*4)+1...正确地。只要x取奇数那个公式就是真的,而且只对x取奇数时是真的。

 

解答者:

非常正确。现在假定我们有一个办法来检查在一个模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式。然后,我可以改造一下这个公式,得到它的否定形式,即“任何像这样的对象都不允许存在“,增加它,使它与“每一个数都有一个后继“这些一起作为自然数的公理。

 

好奇宝宝:

嗯,我可以通过表述¬∃x:(x=A)来去除ABC-圈吗?

 

解答者:

嗯,只有你已经首先告诉了我A是什么才可以那么说,而且在一个去除了所有带有圈的模型的逻辑中,你不能指定某个特定的不存在的对象。

 

好奇宝宝

这样啊。OK...所以那些去除后继的圈的思路是...嗯。在0,1,2,3这些数中,0不是任何数的后继。如果我有一组次从1开始的数,比如{1,2,3 ...}, 在这个组中,1不是任何数的后继。在A,B,C,数A是数C的后继,数C是数B的后继,数B是数A的后继,如果我说”不存在数的组G,使得对于G中的任何数x,它是G中另外一个数y的后继。“

 

解答者:

啊!非常聪明。不过,你刚才就在使用二阶逻辑,因为你谈论了实体的组或类,一阶逻辑仅仅谈论单个的实体。假定我们有一个谈论小猫以及他们是否是讨人厌的逻辑。这是一个恰好含有三个不同的都是讨人厌的小猫的论域的模型:

 

 

 

好奇宝宝:

嗯,哪些“属性”(图中的“propery”)是什么?

 

解答者:

它们是小猫的所有可能的类。它们被称为属性,因为小猫的每一个类都对应了那类小猫具有的、其他类小猫不具有的属性。比如右上角的那个只含有灰色小猫的类,就对应了一个在灰色小猫为真而在其它地方为假的某个陈述,也对应了一个只有灰色小猫具有、其它小猫不具有的属性。事实上,从现在开始我们认为一个“属性”仅仅说了一个“类”

 

好奇宝宝:

好,我理解了“小猫的类”这个概念了。

 

解答者:

在一阶逻辑中,我们可以谈论单个的猫,它与其它单个猫的关系,符合某个特殊关系的猫是否存在。在二阶逻辑中,我们可以谈论猫的类,以及某些类是否存在。所以,在一阶逻辑中,我能说,“存在一只不讨人厌的猫”或者“对于任意一只猫,它都是不讨人厌的”或者“对于任意一只猫,存在另外一只猫它喜欢第一只猫”。不过,需要二阶逻辑才形成关于“猫的类”的叙述句,比如“不存在一个猫的类,使得该类中的每一个猫都被该类中的另一只猫所喜欢”

 

好奇宝宝:

我懂了。所以,当我想说你不能拥有任何数的组,使得这个组中的任一个数都是这个组中的其它某个数的后继...

 

解答者:

……你对数的类是否存在进行了量化描述,这意味着你在使用二阶逻辑。不过,就这个情形来说,仅使用一阶逻辑来去除ABC-圈,也是容易地可能的。考察这个公式:

 

x=SSSx

 

好奇宝宝:

x 加3与它自己相等?

 

解答者:

对的。这是一个一阶公式,因为它没有谈论类。在0,1,2,3...这个公式是假的,不过在A,B,C它是真的。

 

 

好奇宝宝:

图中的那个加号“+”是什么意思?

 

解答者:

嗯,我试图使用加号“+”来说“这公式是真的”,类似的,  假定“¬”的意思是那个公式是假的。一个普通的想法是,我们现在有一个公式来检查3-圈,把它们与像0,1,2这样的标准数区分开来。

 

 

好奇宝宝:

我明白了。所以,通过添加¬∃x:x=SSSx作为一条新的公理,所有含有A,B,C或者任何其它的非标准数的3-圈的模型,我们就可以都去除了。

 

解答者:

是的。

 

好奇宝宝:

不过,这样向自然数的基础理论添加一条公理,好像过于随意。我的意思是,我从来没有看到过这样描述自然数的尝试:把“没有一个数等于它自己加3”作为一个基本的前提。看起来它应该是一条定理,而不是公理。

 

解答者:

那是因为它是通过引入一个更加一般的的规则来引入的。具体来说,一阶算术有一个无穷公理模式——一个无穷但是可计算的公理模式。这个模式的每一条公理说了,对于一个一阶公式Φ(x):

 

1. 如果Φ在0是真的,即Φ(0)

 

2. 只要Φ在一个数时为真,则在这个数的后继也为真,即∀x: Φ(x)→Φ(Sx)

 

3. 那么,Φ在所有数都是真的:  ∀n: Φ(n),即

 

(Φ(0) ∧ (∀x: Φ(x) → Φ(Sx))) → (∀n: Φ(n))

 

 

换句话说,对于每一个公式,它在0时真的,它在每一个使它为真的下一个数都是真的,那么它在任何一个数都是真的。这就是一阶算术的归纳模式。作为一个特例,我们有这个归纳公理:

 

(0≠SSS0 ∧ (∀x: (x≠SSSx) → (Sx≠SSSSx)) → (∀n: n≠SSSn)

 

好奇宝宝:

不过那并没有说对于所有的n, n≠n+3。它给出了一些前提条件,然后根据这些前提能可以得出最后那个结论,但是我并不知道那些前提条件在哪里。

 

解答者:

啊,然而,使用算术的其它公理,我们证明那些前提条件,从而证明了这个结论。公式(SSSx=x)在0是假的,因为0不是任何数的后继,包括SS0。类似地,考虑公式SSSSx=Sx,我们可以整理为S(SSSx)=S(x)。如果两个数有相同的后继则它们是相等的,于是SSSx=x。根据逆否命题等价的逻辑规则:如果在Sx的真实性证明了在x的真实性,那么,在x为假就证明了在Sx为假。于是那个公式在0是假的,当它是假的时候它的后继也取值为假,于是根据一阶算术的归纳公理模式它必然处处为假。所以,一阶算术可以去掉像这样的模型:

 

 

好奇宝宝:

...嗯,我认为我明白了。如果这个模型遵守了我们已经指定了的其它公理(它们没有去处掉这个模型),比如“零不是任何数的后继”、“拥有同样后继的两个数相等”——那么我们可以证明公式x≠SSSx 在0是真的,可以证明那个公式如果在x是真的那么在x+1也是真的。所以,一旦我们更进一步地添加公理x≠SSSx在0是真的,以及如果x≠SSSx在y是真的则在Sy也是真的,那么x≠SSSx在所有的x都是真的...

 

解答者:

我们已经得到了这些前提条件了,所以我们得到了那个结论 ∀x: x≠SSSx,从而去除了所有的3-圈。对于任意的N,类似地逻辑可以去处N-圈。”

 

 

好奇宝宝:

所以,我们去处了所有的非标准自然数、只留下了标准自然数?

 

 

解答者:

不。因为还存在与-2*, -1*, 0*, 1* 这个无穷链相关的问题。

 

 

好奇宝宝:

这里有一个想法可以用来去除掉带有无穷链的模型。链中的所有非标准自然数都大于标准自然数,对吧?比如,如果w是一个非标准自然数,那么w>3, w>4,等等?

 

解答者:

我们可以归纳地证明没有一个数小于0,并且w不等于0、1、2、3、……,所以我必须同意那一点。

 

好奇宝宝:

OK.我们也能够证明:如果x>y,那么x+z > y+z.所以如果我们有一个非标准数w并且讨论w+w, 那么w+w一定大于w+3, w+4等等。

 

 

所以w+w不能是哪个无穷链的任何部分,然后相加两个数应该产生第三个数。

 

解答者:

事实上,那就证明了,如果存在一个无穷链,那就必然存在两个无穷链。换句话说,图片里面最原始的那个模型,仅仅它自己是不能作为一阶算术的模型的。那个链蕴含着其它的元素,展示了这一点不意味着证明了那个链不存在。类似地,由于所有的数为奇数或者偶数,我们一定可以找到一个v使得v+v = w 或者v + v + 1 = w。于是v必然是另一个非标准链的一部分,这个非标准链在那个含有w的标准链的前面。

 

好奇宝宝:

不过,那就要求有无穷多个无穷非标准数的链,这些非标准数都大于任何标准数。也许我们可以扩展这个逻辑,最终获得一个矛盾,从而一开始就去除无穷链 —— 比如,我们可以证明任何完备的非标准数的类必定大于它自己?

 

解答者:

想法很好,不过,并不可行。你将得到这样的结论:如果一个非标准数存在,它必定是一个双向无穷的链的一部分,这个链看起来像是负整数与正整数的有序拷贝。如果一个无穷链存在,那么存在对应于所有有理数的无穷多个链。所以呢,可以作为一阶算术的非标准模型的某个东西,必定至少含有标准数,紧接着一个有理数的拷贝(每一个有理数都被一个整数所代替)。然后,加法、乘法在这个设定中都走得通——我们不能证明它可能比我们已经说过的更大。”

 

好奇宝宝:

OK, 那么我们如何才能去除掉无穷多个无穷链的非标准自然数、仅仅保留开始的标准自然数呢?它们将违反什么样的陈述句——什么类型的公理才可以排除掉多余的数呢?

 

解答者:

为此,我们必须使用二阶逻辑。

 

好奇宝宝:

坦白地说,我不是100%地清楚它们的区别。

 

解答者:

OK...早先你给我一个可以检测出奇数的公式。

 

好奇宝宝:

是的。∃y: x=(2*y)+1,在x=1,x=9等等地方为真,不过在x=0为假。

解答者:

当你依据数的类来思考的时候,那就存在一些能够被公式所定义的类。例如,奇数 {1, 3, 5, 7, 9, ...}的类可以被这个带有自由变元x的公式所定义: ∃y: x=(2*y)+1。不过呢,你也可以试着去仅仅就类论类地讨论{1, 3, 5, 7, 9, ...}这个数集,是否存在一个定义了它的公式。

 

好奇宝宝:

等一下,如果你不能定义一个说明了某些东西是否是这个集合的元素的公式,你怎么能谈论一个一个集合呢?我的意思是,从理性主义者的视角来看,那样貌似感觉不爽。

 

解答者:

嗯...还记得先前关于小猫的谈话吗?

 

 

假定你像这样谈说,‘存在一个小猫的类,使得任何一只小猫只喜欢这个类中的其它小猫’。给我一个装满小猫的屋子,我可以计数出所有可能的类,对于每一个类检查你的陈述,这样就可以看到是否真的存在一个像那样说的类。所以那个陈述句是有意义的——它是可以被否定或者检查的,它限制了实在的状态。不过你并没有给我一个局部的公式以便我抓起一只小猫就能判断它是否在这个神秘的类之中。我必须遍历所有的小猫的类来寻找满足你的陈述句的类,只有到那时,我才能判断任何具体的单只小猫是否在那个类中。不过那个陈述句仍然有可错性,虽然使用数学的术语,它是非直谓的([译注1])——以下情况我们才能那样称呼它:当你构造了一个你只能通过考察很多可能的类来核实的陈述句,并没有从一个特殊的、你告诉了我如何构造的类来开始。

 

好奇宝宝:

啊... 嗯。如果是在有无穷只小猫的世界里,你不能在有限时间内遍历所有可能的类呢?

 

解答者:

如果你说,‘存在一个小猫的类,它们都互相喜欢’,我可以展示出来一个拥有三只小猫的彼此喜欢的类,于是就证明了那个陈述句是正确的。如果你说‘存在一个类,它有四只小猫,它们互相喜欢但不喜欢别的猫’,在已经知道小猫的其它特性的情况下,我也许可以提供一个构造性的证明来证明你的陈述是错的;每次,你给我四只猫,我可以找到第五只猫,它被你的四只猫的一只所喜欢,从而否定了你的努力。不过,这就把我们带到了关于数学的非常深入的部分了,我们暂时不去讲它。重点是即使是无穷的世界里,仍然存在二阶的陈述让你在有限时间内证明或证否。一旦你承认那些特殊的二阶陈述句是在有意义地说明一些东西,好吧,也许,你会承认一般的二阶陈述句也是有意义的。

 

好奇宝宝:

……对我来说那听起来有点怪怪的,也许不久以后我们会遇到麻烦。

 

解答者:

你不是唯一一个纠结这个的“数学家”。

 

好奇宝宝:

不过让我们回到自然数吧。你说我们可以使用二阶逻辑来去除任何的无穷链。

 

解答者:

是的。在二阶逻辑中,我们可以在一条陈述句中,直接对所有可能的类进行量化,而不必使用所有公式上的无穷的公理模式:

 

∀P: P(0) ∧ (∀x: P(x) → P(Sx)) → (∀n: P(n))

 

 

这里的P是任何一个类的陈述,它在每一个数要么真要么假。数的任何一个类,都对应了一个陈述,对于类里面的数它为真,对于类外面的数它为假。

 

 

好奇宝宝:

OK...那是如何去除掉无穷链的呢?

 

解答者:

因为,从理论上说,无论是否存在一个一阶公式能把它们挑选出来,仍然存在一个包含、且仅包含了标准数{0, 1, 2, ...}的类。如果你把类当作一个陈述P,那么P在0是真的——那就是说,0是标准数中。如果200是一个标准数则201也是等等;如果P在x是真的,也在x+1是真的。另一方面,如果你把‘仅在在标准数’这个类当作一个陈述,它在 -2*, -1*,  0*等等都是假的——那些数不在这个理论上的类中。所以‘如果它在0*为真则它在1*为真’就是为真了,因为在0*它不为真。于是我们以下图来终结:

 

 

所以这个二阶公理……

 

∀P: P0 ∧ (∀x: Px → P(Sx)) → (∀n: Pn)

 

 

……一下子就去除掉了任何不链接的链、有限圈,即任何非标准数。

 

 

 

好奇宝宝:

不过那条公理的准确意思是?我的意思是,暂时放弃短语‘标准自然数’,假定我对那些没有任何的理解,仅仅给我解释一下那条公理事实上说了什么。

 

解答者:

它表达了这个意思:正在讨论的模型——符合这个公理的模型——让形成这样的类是不可能的:在后继这个操作之下是封闭,包含了0但是不包含每一个东西。在这个论域中的类不可能是这样的:0在这个类中,这个类中的每一个东西的后继也在这个类中,然而它并不含有每一个东西。所以,你不能含有一个不连通的无穷的链——(如果存在的话)那将至少存在一个类,它含有了0以及所有的后继——后裔,然而并不包含那个链;而且我们有一个有启发性的新公理述说了那个不可能的。

 

好奇宝宝:

也许你能够使用一个更加直观的方式来说明?好比说,如果这就是我所信仰的关于这个宇宙的事情,那么,什么是我可以期望得到的呢?

 

解答者:

如果这就是你所信仰的你生在其中的数学模型...那么你相信了,不管是你还是其他对手,抑或是一个超级智能体,或者上帝,都不能对对象以这种方式来说‘是’或‘非’:当你给他们0,他们说‘是’;当你给他们任何他们说‘是’的对象,他们也对这个对象的后继说‘是’;然后,存在某个对象,他们说‘非’。你相信这绝不能发生,无论以什么方式。宇宙中的对象被后继安装的这种方式,从不允许那种事情发生。

 

好奇宝宝:

啊。如果他们对42说‘非’,我将回退并且询问41,然后是40,然后当我到了0,我将会发现他们对0说‘非’或者‘他们对41说了非,然而对40说了是’。如果我相信带有无穷公理模式的一阶逻辑,我能够期望得到什么呢?

 

 

解答者:

在那种情况,你相信不存在像那样起作用的灵巧规定的、紧凑描述的规则。不过如果你相信那个二阶版本,你相信,没有人可能像那样行动,即使他们是在随机地回答问题,或者把这个宇宙叉开一个分支来在不同的宇宙中以不同方式来回答等等。顺便注记一下,如果我们有一个有限的论域[译注2],也就是说,我们去掉了那个每一个数都有一个后继的规则,作为替代假定256是唯一没有后继的数——那么我们就可以在有限时间之内来验证这条公理了。

 

好奇宝宝:

我明白了。是否存在一个方法使用一阶逻辑去除掉无穷链呢?我将发现那更容易处理一点,即使它刚开始看起来更复杂。

 

解答者:

恐怕是没有的。一种我喜欢看待的方式是:从局部看模型如何这样的约束,一阶逻辑能够做到,然而只有二阶逻辑才能谈论链、类、作为一个整体的模型这些的性质。任何一个数是否具有后继是一个局部性质——模型从一个数的视角去看是怎样的,这样的问题。一个数加三是否等于它自己,是一个这样的问题:你能够从任何一个数它自己的位置去评估。一个数是否是偶数,这个问题你可以通过寻找唯一的一个数x使得x+x等于那个数来回答。但是,当你试图说仅存在唯一的链它从0开始,借助于连通、链的想法,你在试图描述非局部的性质,这需要指定一个关于可能的类的逻辑。

 

好奇宝宝:

嗯。不过如果所有的局部性质都是一样的,为什么要担心整体性质呢?在一阶逻辑中,任何‘局部’公式它在0以及所有‘自然的’后继都是是真的,在所有的不连通的链它将必须为真... 对吗?亦或我弄错了什么?0-链之外的所有链——所有‘非标准数’——将像‘自然’数一样拥有同样的性质,对吗?

 

 

解答者:

恐怕不是的。算术的一阶公理不能成功地确定一个图灵机会停止——是否存在一个时刻使得一个图灵机停止。在标准数中,从我们的视角说某个图灵机‘真的不’停机——它在第0个时钟滴答不停机,在第1个时钟滴答不停机,在第2个时钟滴答不停机,以及0-链上的所有标准后继。在整数的非标准模型——拥有其它无穷链的模型——在一个非标准链中也许存在一个位置,图灵机走到那里就停止了,而且永远停止在哪里。

 

 

在这个新的模型——与一阶公理完全兼容,并且不能被它们去除掉——‘对于任一个数t这个图灵机是运行的,在t+1它仍然运行’不是真的。虽然我们可以把我们的注意力限制在‘自然’数上,我们可以发现这个图灵机在0,1,2以及0-链的后继每一个时刻都是运行的。

 

好奇宝宝:

OK... 我不是清楚那样做会有什么后果?

 

 

解答者:

它意味着很多事实上在标准时间上从来不停机的图灵机,仅仅使用一阶推理,是不能证明不停机的,因为它们的不停机性事实上是不能从一阶公理推论出的。逻辑是关于那些从前提导出的结论的,还记得吗?这意味着你将不能证明——不应该证明——这个图灵机停止,只使用一阶逻辑的话。

 

 

好奇宝宝:

怎么证明不成立呢?我的意思是,那些证明在哪里走不通呢?

 

解答者:

你将无法得到归纳中的第二步,‘对于任一个时刻t图灵机正在运行,在t+1时刻它仍将运行’。存在带有非标准数t的非标准模型否定了这个前提条件——在一个非标准时间 图灵机从运行状态停止了。我们可以把注意力仅限制在标准数的话,我们会发现那个图灵机在0,1,2等等在运行。

好奇宝宝:

不过如果一个图灵机事实上真的停止了,那就存在某个它停止的时刻,比如在第97步。

 

解答者:

是的。不过97存在于算术的所有的非标准模型,所以我们可以在一阶逻辑中证明其存在性。0是一个数,每一个数有一个后继,数不循环等等,那将存在97。每一个非标准模型至少含有标准数。所以当一个图灵机确实停机的时候,你可以在一阶算术中证明它停机——它推导出自那些前提。那正是你所期待的,假定你可以观察那个图灵机97步的话。当某图灵机事实上停机的时候你应该可以证明它停止而不需要担心无限的未来时间!当它在标准数中事实上不停机的时候——由于‘非标准停机时间’的存在,它就变成了一个问题。于是,图灵机永远运行这个结论也许事实上不能从一阶算术推导出来,因为你可以遵从一阶算术的所有的前提,然而仍有在非标准模型中的某个位置图灵机会停机。

 

好奇宝宝:

所以二阶算数比一阶算术更加强大,就哪些可以从前提推导出来来说?

 

解答者:

能够谈论较少可能的模型这个能力必然得出那一点。正像已经写到的,“关于某个苹果是真的事情对于另一个苹果不一定是真的;所以,关于单个苹果可说的东西多于关于这个世界上所有的苹果可以说的东西。”如果你能够把你的论域限制到一个更狭窄的模型的类上,那就存在更多的可以必然推导出的事实,因为你谈论的模型越大,关于它们都真的事实越少。另外二阶算数比一阶算术证明了更多的定理,它也确实是真的——比如,它能够证明一个能计算古德斯坦序列的图灵机总是到达0并停机,赫拉克勒斯总是赢得九头蛇游戏。不过呢,如果这样就一般地来说二阶逻辑是否事实上比一阶逻辑更加强大,会遇到一点争议。

 

 

好奇宝宝:

好吧。毕竟,仅仅因为没有人曾经发明一个一阶公式来去除掉所有的非标准数,并不意味着它永远不可能。未来一些聪明的数学家也许可以找到一个方式使得,对于任一个数x,使用加法、乘法、关于其它单个的数是否存在这些来对它仅作局部的事情,这个方法可以告诉我们那个数是在0-链上,亦或在某个双向无穷的链上。它将简单得就像:

(a=b*c) 

 

解答者:

不。那不会发生。

 

好奇宝宝:

不过,也许,你能否找到一些完全不同的创新的方式,只用一阶公理得到全部都是标准自然数的模型。

 

解答者:

不可能。

 

好奇宝宝:

嗯...你是如何准确地知道那一点的?我的意思是,当你参加一个比赛,作为比赛选手的一条原则就是当某事看起来不可能的时候,你不要放弃。我不能明白如何使用一阶公式来检查无穷的链。不过,先前我不能认为你可以去除有限圈,一旦你讲解了,它就显得非常简单。毕竟,关于‘不可能’这个词存在两种不同的用法,一种直接用已有知识表明了某事不能实现,也就是说那怕你是一个超级智能体,也不可能找一种做法来达成这个目标。这种情况,你需要利用已知知识给出一个确定、完整的结果,从而你可以否定每一个可能的成功途径。还有另外一种,‘不可能’一词更加通常的用法:你思考了五秒钟没有发现实现它的方法,然后就说”不可能“。一般在对知识了解有限,那个问题又看起来有些神秘主义倾向会这样。

 

解答者:

是的。使用一阶公式来去除掉双向无穷链,是第一种类型的不可能。我们知道它永远不可能实现。

 

好奇宝宝:

嗯,我知道。好吧,你有什么观点,如何说明你的观点?能用你明确的知识正面回答为什么‘不可能’吗?别用这种神秘兮兮的方式强行灌输?

 

解答者:

下一次,下一次我们再来好好讲讲。

 

译者注:

 

[1]非直谓的(impredicative)

[2]原文universe既可以翻译为宇宙,也可以在某些情况下翻译为“论域”。有些情况下,难以抉择,或者本身就是双关。请读者自己记住这一点。

 

 

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玩疯了!这回是人类发现了把3写成3个整数立方和的第3种写法!

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这段时间,有一堆数论男孩玩的很疯。他们在疯狂的把一堆整数拆成3个整数的立方和。

我们知道,9n±4型的整数是不可能写成3个整数立方和的。但是除了这些整数,其他的整数是否能写成三个整数的立方和还没有研究出一个理论上的统一结果。于是人们就开始一个一个的试,看看能不能找到什么规律。

今年,这样的问题突然在社交圈热闹了起来。

先是3月,有人第一次把33写成3个整数的立方和,33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³。使得人们在100以内的没有写成整数三立方和的仅有42了(9n±4型的整数除外)。

然后9月,100以内最后一个42也被解决了,于是100以内立方和全部收集完成。42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

 

——于是有人说,这说明宇宙的终极奥义不是42。

于是,下个目标,就是收集1000以内的。实际上,1000以内的剩下没解决的并不多,9月初还剩下114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906,921, 和975。几天前906解决:906 = (−74924259395610397)³ + 72054089679353378³ + 35961979615356503³ 。

为了收集可能的更多规律,很多人开始研究同一个数,不同写法之间的联系。对于同一个数,他的写法是唯一的、有限多种还是无限多种成为一些数学家的兴趣点。

1953年,数论大师,大名鼎鼎的莫德尔在他的论文《关于方程x²+y²+z²+2xyz=n的整数解》(ON THE INTEGER SOLUTIONS OF THE EQUATION x²+y²+z²+2xyz=n)中讨论了一个问题。他说他自己对x³+y³+z³=3这个方程了解甚少,除了知道1³ + 1³ + 1³ = 3和4³ + 4³ + (-5)³ =3这两组解。他提到他觉得那篇找到这个方程的第三组解都是非常困难的。

于是有人试图去找这个方程的第三组解。66年过去了,还真找到了。果然数字大的惊人:3 = 569936821221962380720³+(-569936821113563493509)³+(-472715493453327032)³ 。

找到的办法当然还是用椭圆曲线的相关知识缩小范围,再用集群网络计算机计算。这回算了7个多小时。著名数学普及节目Numberphile做了这个结果的一个专题。

之所以在朋友圈,这样的问题那么火,是因为难得有那种既有难度,大家又看的懂,还能玩的起来的问题。而且每个人都可以试试。甚至可以当成小学奥数题发给自己班里的数学学霸整蛊他们。

总之,能在朋友圈玩数学,还是比较高端的玩法。我们哆嗒数学网的小编至少认为比传播无脑鸡汤文好多了……

 

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刘若川获得首届“科学探索奖”,系唯一基础数学学者

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腾讯科技讯 9月20日消息,经过四个多月的评审,2019年“科学探索奖”获奖名单今日正式向社会公布。50位获奖人经过层层选拔,最终从千余名申报人中脱颖而出,每位获奖人将在未来5年获得由腾讯基金会资助的300万元人民币奖金。

“科学探索奖”设有数学物理奖,此次有5位学者获得此奖。来自北京大学的刘若川是这五位学者中,唯一一位以数学为主要研究方向的学者。

刘若川于1999年至2004年在北京大学数学科学学院学习,获学士、硕士学位,2008年获美国麻省理工学院博士学位,2012年回到北大,在北京国际数学研究中心任职。刘若川的主要研究领域是算术几何与代数数论,他在p进霍奇理论、p进自守形式与p进朗兰兹纲领等方向取得了一系列重要成果,特别是与人合作在几何相对p进霍奇理论方面做了奠基性的工作。

“科学探索奖”探索奖的发起人包括众多学科大牛,其中包括著名数学家张益唐。

按“科学探索奖”规定,该奖只授予45岁以下全职在中国大陆工作的学者。“科学探索奖”管理委员会表示,希望“科学探索奖”能成为青年科技工作者潜心探索未知世界的精神激励,吸引更多青年人投入到基础科学和前沿技术的研究之中。 腾讯基金会将长期运营“科学探索奖”,今后每年“科学探索奖”将评出50位获奖人。

有人认为,民间资本对基础学科加大投入是件好事。一方面,机制比传统体制灵活,资源配置更加有效率。另一方面,有利于这些高升学科在普通大众的普及。

据悉,2019年“科学探索奖”颁奖典礼将于11月2日在北京举行。

附全部获奖名单:

 

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陶哲轩发布部分解决3x+1猜想的结果,引发讨论

 

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9月8日和9月10日,著名华人数学家,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改),引发数学社交圈的讨论。

 

 

考兰兹猜想,俗称3x+1,说的是这样一个猜想:

 

对于一个初始的正整数,如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1。这样将得到一个新的数字,再把这个新到的数做之前重复的操作——如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1,然后又继续得到一个数。这样的操作一直重复下去,我得到一串正整数的数列。3x+1说,无论最早的初始正整数是多少,这一串数列最终都会进入4,2,1,4,2,1,....这样的循环。

 

比如,我们用10作为初始正整数:

 

因为10是偶数,所以除以2,得到5。

 

因为5是奇数,所以乘以3加上1,得到16。

 

因为16是偶数,所以除以2,得到8。

 

因为8是偶数,所以除以2,得到4。

 

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

 

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

 

因为1是奇数,所以乘以3加上1,得到4。

 

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

 

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

 

……

 

我们可以把3x+1猜想的表述改变一下,设初始正整数是n,上述操作得到的数列中一定有个最小值S(n)。那么3x+1猜想就是说S(n)=1。

 

于是,很多数学家开始研究S(n)的性质,比如去寻找S(n)可能的上界f(n),即S(n)≤f(n)。

 

1976年,Terras证明了,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n。

 

1979年,Allouche证明了,对任意a>0.869,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a(x^a表示x的a次方,下同)。

 

1994年,Korec证明了,对任意a>ln3/ln4≈0.7924,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a。

 

这一次,陶哲轩发表的结果是对上述一些成果的改进,他试图证明,只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列,那么几乎对所有的正整数n(在对数密度意义下).有S(n)<f(n)。

 

陶哲轩还特别指出,这个结论中的f(n)可以是增长非常慢的的数列,比如f(n) = lnlnlnln(n)。

 

陶哲轩的文章引起了社交圈的讨论,比如著名的网红橄榄球球员数学家Urschel转发了陶哲轩的博文,并感慨自己虽然同样是做数学的却做不到这种深度。

 

在众多讨论中,一位来自美国新泽西州立罗格斯大学数论教授Kontorovich唱起了“反调”。他的观点是,应该想办法去证明3x+1猜想是错的。

 

注意到,就算按这个思路把右边的f(n)改进成了f(n)=2也不能说3x+1被证明了。因为结论有“几乎”的表述,比如自然密度意义下,几乎所有的正整数都是合数,但谁都知道素数(质数)有无穷多个。陶哲轩自己也在博客评论区发言说,把“几乎所有”变成“所有”似乎还有巨大的鸿沟要跨越。

 

按Kontorovich的想法,这些“几乎”不存在的反例可能真正存在。并引用了自己之前的一些研究结论,以及Conway对3x+1猜想推广的一些结论来佐证自己的直觉。

 

Kontorovich说多年来他一直试图通过构造一些“奇怪”性质初始值来推翻3x+1猜想,未果。并呼吁包括博学者计划(PolyMath)在内的数学组织来一起找反例。英国数学家,同样是菲尔兹奖得主的高尔斯也参与了Kontorovich教授的讨论。

 

 

由于陶哲轩的论文题目和论文结论都多次用到“几乎”(almost)字样,于是网上出现了“陶哲轩几乎证明了考兰兹猜想”为标题的文章。高尔斯认为如果这样表述陶哲轩的结果,就是假新闻。

 

 

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9月8日和9月10日,著名华人数学家,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改),引发数学社交圈的讨论。

 

当年随法国总统访华的怪蜀黍数学家现在这么样了?答:竞选巴黎市长!

 

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还记得2018年随着法国总统马克龙访华的这位怪叔叔吗?他穿着诡异,胸前总是扎着大大的领结,领口总是别着一个夸张的蜘蛛胸针。别人都轻装上阵,他去了哪里都背着满满的背包,感觉不是来做“国家级”的访问,倒向是来自由行旅游的。

 

 

这人是谁?说来,此人在数学界可大名鼎鼎!他的名字叫维拉尼,2010年菲尔兹奖得主。——大家知道诺贝尔奖没有设立数学奖,而菲尔兹奖在数学界有着“数学诺贝尔奖”的别称。菲尔兹奖只颁给40岁以下的数学家,而且还是四年颁发一次。从这个意义来讲,得菲尔兹奖比得到一年一度的诺贝尔奖的难度要大得多。

 

 

由于穿着时尚夸张,同时喜欢参加各自社会活动。维拉尼在数学界有着“数学界的Lady Gaga”的别称。在街上的回头率也极高,他那种复古打扮让不少人回头。

 

 

维拉尼在2017年当选议员后,正式从政,后来成为总统马克龙“前进运动”团队的一员随马克龙访华。很多人也许好奇,一两年过去了,这位数学怪咖现在在做什么?

 

 

答案是:维拉尼前不久宣布,他要竞选巴黎市市长!

 

 

不过这回马克龙对维拉尼的决定可能要郁闷一阵子了。因为马克龙个人希望自己的最亲密盟友,前政府发言人本杰明·格里沃代表自己的“前进运动”阵营参选法国首都的市长。

 

有民调显示维拉尼和格里沃的支持度相差无几,几乎是齐头并进。如果两人只有一人参选,那么将获有巨大优势。但如果两人都参加市长的角逐,那么这个优势将被分割。而如果真是两人同时参选,将对现任市长社会党人安娜·伊达尔戈寻求连任有利。

 

维拉尼说:“巴黎有很多复杂的问题需要解决,而这些问题我们可以一起通过发挥自身的优势来解决。”维拉尼说,“再从政之前我一直在和各种复杂的问题做斗争。”他最后还说,他将成为首位“真正的环保主义市长”。——现任市长就是因为交通拥堵和空气污染问题被巴黎市民诟病,而支持率降低。

 

“前进运动”的一些大佬认为,维拉尼的政治抱负注定要失败,甚至有人提醒:“作为数学家应该把这个算清楚:分裂意味着失败,团结就是胜利。”

 

不过,维拉尼团队正在非常谨慎的处理这些问题,尽量不让竞选行为变成对马克龙总统权威的挑战。“维拉尼已经告诉总统马克龙和总理菲利普,可能的选情更替并不是对他们的故意冒犯。”一位来自维拉尼身边的消息人士说。

 

 

值得一提的是,法国知名数学家从政似乎本身不算什么新鲜事。大家熟悉的法国大数学家拉格朗日、拉普拉斯就是拿破仑时代的官员。另外,著名数学家,因“潘维勒超越函数论”而闻名的数学教授保罗·潘勒韦甚至在第一次世界大战关键时刻和1925年金融危机时两次出任法国总理。

 

 

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老师你上课也太囧了吧:教师节盘点一下数学家课堂囧事

 

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每个人都有自己的数学老师,在数学课堂上一定发生过不是让人啼笑皆非的囧事。今天教师节,和大家一起分享一下这些数学家讲课的囧事,开开心心的和老师们一起过节。

 

 

牛顿(Newton)最伟大的数学家、物理学家之一。他的贡献不再赘述。

当时在剑桥,牛顿讲课是出了名的烂,大家都听不懂他讲的东西。之所以听不懂还不全因为他课程的难度,而是因为他口齿不太清晰。

牛顿的课经常只有稀稀拉拉的一两个或者两三个人在下面听——有人觉得就算面对空空的讲堂,他也能将课授完。

 

林德曼(Lindemann),就是证明了圆周率π是超越数的数学家。

林德曼的课堂上的大部分时间,台下的听众都听不清他说的什么,偶尔有时候听清了,也是一些艰深难懂的内容。

有一次林德曼上课,所有有人都听清且听懂了林德曼的话,还和台下的人产生了互动交流——所有人都告诉他:“老师,你讲错了!”

 

 

哥德尔(Gödel),伟大的数学家、逻辑学家、哲学家。以"哥德尔不完备定理"闻名于世。

哥德尔长期在普林斯顿高等研究院工作。他性格孤僻,不喜欢与人交流,单偏偏和爱因斯坦关系不错。

一次,哥德尔被安排到普林斯顿高等研究院的法恩楼(Fine Hall)演讲。所有听众大家都记住了这次演讲——不是演讲内容,而是演讲风格。哥德尔居然全程面向黑板而背对观众——你没看错,是全程!

于是,所有人都记住了哥德尔的背影。

 

 

美国数学家莱夫谢茨(Lefschetz)是代数拓扑领域的大牛,据说他讲课非常跳跃,以至于几乎很难有人懂他在讲什么。

他讲课的风格大概是这样的:

“一个黎曼曲面一定是个豪斯多夫空间……”

“——你们都知道什么是豪斯多夫空间吧?……”

“——它也是紧的……”

“——我想,他还是一个流形……”

“——流形,嗯,你们都懂……”

“——所以我要讲的是一个复杂的定理——黎曼-洛赫定理。”

 

 

兰道(Landau)是数论和函数论方面的专家,他还讲过傅里叶分析相关的课。

兰道是德国人,讲英文的时候有严重的德式口音。有一次讲到吉布斯现象的时候,他声音洪亮的说:“这个现象是英国Jail的数学家Jibbs发现的。”

这时候,下面有人提醒兰道老师:

“第一,这位数学家是美国的而不是英国的。”

“第二,他叫Gibbs,而不是Jibbs。”

“第三——这一点一定要说清楚——他是在Yale(耶鲁)而不是Jail(监狱)。”

 

 

闵可夫斯基(Minkowski)是擅长数论、代数以及数学物理的顶级大神。

一次他上课,向学生们自负的宣称:“四色猜想之所以还没证明,是因为只有一些三流的数学家在做破解它的工作。下面我就来证明它!”于是闵可夫斯基拿起粉笔在黑板上奋笔疾书,但一直到下课都没证明出来。

于是他的课一直这样的状态,一连几周过去了……

一个一个阴霾的早上,闵可夫斯基走进教室,突然一道霹雳闪过,雷声隆隆。

闵可夫斯基严肃的说:“上天被我的骄傲激怒了,我的证明是不对......”

——这就是装X遭雷劈,四色定理版。

 

 

库默尔(Kummer)是德国的顶级数论专家。他在研究费马大定理的时候,创立了理想数理论——这个理论甚至比费马大定理本身还重要。

然而,作为一个顶级数论大家,他在上课的时候竟然忘了九九乘法表……

一次上课,他需要在黑白上计算7×9……

“七乘以九,啊,七乘以九,……到底等于多少?”

“老师!”,一个学生举手回答道,“等于61。”

“老师不对!”,另外一个学生提出异议,“应该是67。”

“好了,好了”,库默尔说到,“肯定不可能两个都对,但那不重要了!——现在我们知道,两个里有一个是对的。”

 

 

 

古尔萨(Goursat)是法国著名的分析学家,复变函数里有柯西-古尔萨定理:解析函数在简单闭曲线上积分是零。

古尔萨对人很热情,但是讲课确实不咋地。他上课总是讲几十年前陈旧的东西,而且照本宣科,连说话的语气都不变。有一位波兰的学生,来到法国巴黎学数学,很不幸地选了古尔萨的课,感觉很不好。

由于和自己预期差距太大,这位学生感到自己精神受到巨大打击。想到自己大老远的跑到梦想的数学圣地巴黎来学数学,却只是听着这样的课程,这位学生竟然大哭起来……

这位学生叫做曼德博(Mandelbrot),著名的分形曼德博集合就是他的名字,后来他创立了分形几何学,人称”分形之父“。

 

 

武丁(Woodin)是美国院士,是当今集合论方向的领军人物,曾经在国际数学家大会上发表一小时演讲。

一次上课,他讲到一个东西需要一个引理,他说那个引理是显然的,因为A、B、C的条件。

“教授,A、B、C条件推不出那个引理,我能找到反例”,听课者举手说道。

“那这里还有D条件,有了D条件就可以了吧!”武丁教授说。

“依然不行!仍然又反例!”另外一个听众说。

“让我想想”,武丁说,“再让我想想……”

“——啊,我想起来了,这个引理本来是我留给大家的课后作业的!”

 

 

彭联刚是四川大学数学学院代数方向的教授。这个故事在川大广为流传,甚至还上过当地报纸《华西都市报》。

一次彭教授上课,突然有学生举手提出一个问题,大概是说如果修改一下某个问题的证明顺序,能让解决过程更简洁之类。

彭教授一听,严肃的收起了表情,说:“哦,还可以这样?让我想想。”

于是彭教授站在黑板面前紧锁眉头,开始思考。教室一片寂静……

五分钟过去了……

彭教授抬起头来,敲了敲黑板,说:“嗯,真的可以这样!让我再想想,再想想……”

又五分钟过去了……

下课铃响。

 

 

 

看见了吧,当数学老师多么不容易。如果你们身边有好老师,好好珍惜吧,要把数学教好实在太难了。

 

祝每一位老师节日快乐!

 

 

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2020科学突破数学奖:埃斯金获奖,朱歆文获得新视野奖

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根据科学突破奖官网消息。被誉为“科学界的奥斯卡奖”的2020科学突破奖获奖者揭晓,其中数学方面由芝加哥大学的阿莱克斯·埃斯金(Alex Eskin)教授获得,将获得300万美元的奖金。

埃斯金教授与已故的伊朗裔女数学家、菲尔兹奖得主米尔扎哈妮合作,在阿贝尔微分的模空间的动力学和几何方面做出了革命性发现,包括证明了所谓的“魔杖定理(magic wand theorem)”。

另外,美国加州理工学院的朱歆文教授因其“在算术代数几何中做出重要工作”获得新视野数学奖,奖金10万美元。

朱歆文是北大数学科学学院2000级本科生,这是北大本科体系培养的数学家连续三年获得此奖项。在今年早些时候,朱歆文教授还获得有着“华人菲尔兹奖”的2019年度ICCM数学奖(前晨兴数学奖)。

科学突破奖为世界上奖金最高的学术奖项。值得注意的是早期此奖的赞助者有阿里巴巴创始人马云(Jack Ma),而现在赞助名单中没了马云的踪影,而有了中国另外一位中国互联网巨头,腾讯公司创始人马化腾(Ma Huateng)。现在官网公布的赞助者是:由谷歌公司联合创始人谢尔盖·布林,Facebook创立者普莉希拉·陈、扎克伯格夫妇、腾讯创始人马化腾、俄罗斯互联网巨头茱莉亚·米纳尔、尤里·米尔纳夫妇与23andMe公司联合创始人安妮·沃西基。

此奖项共设立生命科学、基础物理、数学三大奖项。每个获奖席位300万美元奖金。另外,还为物理和数学的“学术新人”设立了科学突破新视野奖,每个获奖席位10万美金。按官网介绍,2020年的科学突破奖会有2160万美元的奖金发出。

 

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刚刚,42也被人类写成了三个整数的立方和!

 

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还记得哆嗒小编发布的文章吗《人类第一次将33写成了3个整数的立方和》,描述了33被写成三个整数立方和的过程以及三立方和的问题背景。当时提到,100以内还没有写成3个整数立方和的数只有42了。——当然,严谨的说9n±4的这些自然数除外,因为它们不可能写成这样的等式。


而昨天有人在了麻省理工学院数学系的网页上贴上了一个等式,网页同样很简单,但没给出结果:

(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3


等于多少自己算?——他居然等于——等于42!


在推特上,菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。


于是下面这句话成为定理:


除了9n±4型自然数外,所有100以内的自然数都能写成三个整数的立方和。


据悉发现此等式的数学家是来自布里斯托大小的Andrew Booker和来自麻省理工学院的Andrew Sutherland 。


如果有人要问,此结果有什么用?数学家们负责发现数学规律,有没有用之类的问题不是数学家必须回答的——但是搞这个本身很好玩不是吗?


这意味着,最小的没被写成三个整数立方和的自然数为114。


附上100以内三立方和的非零解全表(多种写法选取其中一个)


1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4不可能
5不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13不可能
14不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22不可能
23不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31不可能
32不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40不可能
41不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49不可能
50不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58不可能
59不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67不可能
68不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76不可能
77不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85不可能
86不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94不可能
95不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³

 

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不用加减乘除如何描述实数?

 

本文编译自 @downwardsLST 的推特账号

编译作者,Math001

 

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有很多定义实数的办法,他们之中很多都是等价的。但是,如果我想放弃所有的代数结构,只是使用序结构来定义,会怎么样呢?(就是说只考虑大小关系,不考虑加减乘除之类的运算)。首先,我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大小。

 

 

自然数就是那样的集合,而且每个自然数都有一个后继。但是,我们想让自然没有端点,于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了,这样整数就诞生了。但是,这样的集合有太多的缝隙,每两个连续的整数间都有缝隙。

 

 

我们需要填补这些缝隙,于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是,我们这样要求,要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素:这个性质叫做(序)稠密性。

 

 

看吧:有理数就是稠密的。但是,有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要求“完备性”:每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质,填补那些洞的数叫做无理数。

 

 

但是,我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”,所以还需要加入条件:如果有一串开区间两两不交,那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的:以上的这些性质是不是就能刻画实数?

 

 

这就是“苏斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说:如果一个有序集合满足之前说的所有条件,那么他是否和实数(通常意义的实数)是同构的(这里指序同构)。

你也许已经猜到了:苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。

 

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中国数学家张伟获得克雷数学研究奖

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根据克雷数学研究所官网消息。中国数学家,麻省理工学院教授张伟因其在算术几何、自守形式的算术方向的开创性贡献获得2019年度克雷数学研究奖。这是中国数学家首次获得该奖项。

张伟,2000至2004年就读于北京大学数学科学学院并获理学学士学位,2009年获得哥伦比亚大学博士学位。现任麻省理工学院数学系教授。在此之前,曾获2010年SASTRA 拉马努金奖、2013年斯隆研究奖、2017年西蒙斯奖,并受邀于2018年在巴西里约热内卢举办的国际数学家大会上作邀请报告。

此次奖项由克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)颁发。克雷数学研究所是非盈利私营机构,总部在美国麻萨诸塞州剑桥市。机构的目的在于促进和传播数学知识。它给予有潜质的数学家各种奖项和资助。而一年一度的克雷数学研究奖已经成为数学界的重要奖项。

 

 

克雷数学研究所最为人熟知是它在2000年5月24日公布的七大奖难题,俗称千禧年问题。这七道问题被研究所认为是重要的经典问题,包括黎曼猜想、P/NP问题、庞加莱猜想等数学界最关注的问题。解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金。目前仅有庞加莱猜想被解决。

 

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数据科学家会成为未来新的的大祭司吗?

 

原文作者:Conrad Wolfram,软件技术专家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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我们的民主制度今天面临着巨大的挑战。选举的成败取决于大众相信什么。一小撮精英,通过他们所独享的信息来操控我们的思想,而大多数民众则被排除在外。

 

我所谈论的是现代数据科学,以及更加普遍的计算技术在我们的社会中的压倒一切的影响。只有一撮人,学习过如何将计算思维直接应用于信息处理、论证和做必要的决策。这其中包括了关于政府、投票的事情。

 


当然,这种精英控制以前就已经发生过,事实上,这种事情在最近几个世纪才被消除。这一变化有一个关键的推动因素:阅读教育的普及。


过去,很少有人能够直接获得知识。他们必须依靠宗教领袖、贵族和其他少数人来掌握大部分信息,并根据这些少数人的意愿进行传播。他们自己没办法证实信息是否正确。


实际上,这剥夺了他们的权利——几乎无法证实任何向他们提出的问题——即使理论上他们对政治具有发言权。


这与今天的数据科学有着惊人的相似之处。由于不知道如何质疑数据科学背后的计算结果,无法通过数据科学进行推理,也无法提取信息自己验证,大多数人实际上被剥夺了对其治理做出决策的权利。


这不是一个政党或意识形态的专利。但它的普遍性正在对我们的社会造成越来越大的裂痕,因为人们对实际上控制大多数人生活的数据科学几乎没有共同的认识。计算精英在控制我们的命运方面的能力是强大的,就像几个世纪前文化精英一样。


当然,并不是所有的精英都是恶意的,事实远非如此。但情况要危险得多,因为如此多的权力实际上集中在如此少的人手里,而不诚实的人有能力滥用它。

 


在最近的政治中,我们已经遭遇了一个源于计算的银行业危机和一个由数据科学引发的信任危机。现在几乎没有人相信专家,因为对于大多数人来说,没有教育基础来区分好的和坏的计算论点。预测有着计算和量化的力量加持,却失去了逻辑或现实的基础。人们已经被一些想要通过限制别人的权力来巩固权力的精英所玩弄。

 

如果没有紧急的、重大的干预, 我们最终可能会进入一个新启蒙运动的前夕, 在这个时代, 由于决策和相关思维的关键知识——计算思维——不对称,欺骗能够战胜逻辑思维。每个人都可以获得大量的数据和计算设备, 但只有少数人知道如何从其使用中获得权力。


当普通人的理解能力已经无法支撑对少数人决策权力的约束时, 人们迟早会被误导——越来越严重地被误导。社会缺乏对计算的理解, 可能已经造成了严重的国家安全问题。


我们应该采取什么干预措施?普及计算思维教育。涵盖现代数据科学的教育——不仅包括其计算,还包括原因和相关性、风险和未来预期、如何对数据持怀疑态度、如何计算推理——集中整合的不是过去的现代纸笔技术,而是现在的计算机技术。


陷入前电脑时代的数学教育,除少数精英已经把它发展到一个更高的水平外,离实现这一目标还有很长一段路要走。然而, 它是当今唯一的在学校内能学到计算科目。


长期以来,我一直主张对核心课程进行这样的改变。直到最近我才意识到它的紧迫性。这种紧迫性不仅是为了改善工作、生活富裕, 也是为了保障民众的权益、为了社会凝聚力、为了国家安全。

 

 

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原文作者:Wolfram,计算机科学家,数据科学家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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终极公理的追求——寻找遗失的真理

 

原文作者:Marianne Freiberger,+Plus网站编辑。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米

 

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之所以有那么多人喜欢数学是因为数学给出的答案是确定的。要么真,要么假,真相就像是从基础本源的地方推理出来的。
 
 
 
但事实却是这样的:一直以来,数学其实在一个本不牢固的哲学基础上发展。上世纪30年代,以库尔德·哥德尔为首的一批逻辑学家向大家清楚地展示了数学判定真理的能力是有局限的。他们工作显示,人们完全可以建立很多不同的数学体系。对于一个确定的语句,它们在这些体系里可能是真,可能是假。这取决于对体系的前提预设的偏好。这让数学更像一个游戏,出于我们的需要,我们可以自行选择规则。——再见吧!完美的柏拉图真理观:数学真理是永恒的、独立的。
 
 
但是,也许还有挽救柏拉图主义的余地。在2010年国际数学家大会期间,我们(Plus)采访了数学家武丁(Hugh Woodin)——尽管可能存在大量不同的“数学宇宙”,但这位数学家依然相信人们能选出大家都认为的“最对的那个”。
 
 
数——空集开始
 
武丁是做集合论的,这是数学中非常基础的领域。数学中,集合指一堆事物聚合——至于是些什么事物并不重要。他们可以是一堆数、符号、三角形,抑或我们还可以把这些数、符号、三角形混合起来组成新的集合。我们经常用花括号来表示集合,比如,如果一个集合包含1、2、3三个数,我们就用{1, 2, 3}表示。集合中的对象叫做元素。有一点很重要,一个集合可以是另外一个集合的元素。举个例子,如果你把你购物车购买所有商品的类别看成一个集合,那么你买的一袋橘子就是其中一个元素,而一袋橘子是一堆东西,故本身也是一个集合。
 
 
集合就是一堆事物的聚合。你也许会意外,这个完全无害的集合概念是数学中最本源的基础概念,但结果显示似乎所有的数学对象都能用集合语言描述出来。
 
 
比如自然是0, 1, 2, ... .如果你遇到一个外星人只知道集合,却没有数的概念。你可以一步一步的按如下步骤定义自然数。
 
 
 
0 就是空集。一个没有任何元素的集合。
 
 
 
1就是{0}, 一个只有元素0的集合。(0我们在上一步已经定义好了)
 
 
2 定义成{0, 1}, 一个集合,它的元素是之前定义好的两个对象。
 
 
3 定义成{0, 1, 2}
 
 
以此类推。
 
 
一般的,自然是n定义成集合{0, 1, 2, ..., n-1},一个包含之前所有定义对象的新集合。
 
 
这种分层式的定义可以很容易地给这些自然数排序,就是说,一个数字我们往后加个一的结果:就是简单地进入下一层级定义的数。自然数和“加一”两个概念就能给出所有算术的定义——因为加法和乘法可以通过不断重复的加一来实现,而减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。因此,我们可以只用集合的概念,从空集开始一步一步的建立出自然数的算术体系。而这样的操作表明,所有其他的数学对象,似乎同样都可以从集合构造出来。
 
 
通往无穷之路
 
 
 
也许,集合给予人们最重要的东西就是关于无穷的性质。19世纪末,数学家乔治·康托注意到不需要数数就有办法判断两个集合的元素个数是否相等。你所需要做的事情就是把X中每一个元素和都找一个Y中的元素做匹配,并保证X中没有元素匹配相同Y中的元素。如何你能做到X和Y中都没有剩下没匹配的元素,我们就说两个集合数量一致。或者按数学家的说法:两个集合有相同基数。
 
 
现在,我们取两个无穷集合作例子。N为所有自然数组成的集合,E是所有偶数组成的集合。我们可以做如下匹配(译者注:为了消除误解,添了一个0):
 
 
 
N 0 1 2 3 n
E 0 2 4 6 2n
 
 
 
所以,尽管两个集合都有无穷多元素,其中一个还包含另外一个,我们依然能说这两个集合有相同基数。
 
 
但是,康托同样证明了在自然数和实数之间找不到这样的匹配。实数比自然数“多”,因为无论你怎么找实数与自然数匹配,总有实数会剩下。
 
 
 
这说明存在两种不同的无穷,其中一个无穷大于另外一个无穷。前者,自然数的无穷叫做可数无穷。后者,实数无穷叫做连续统。有个问题是是否有一种无穷“夹在”这个两个无穷之间——这是一个相当复杂的问题,待会儿回来再说。
 
 
康托没止步于这两种无穷,实际上他对所有的无穷都分了层级( hierarchy),一层一层地,高层的无穷大于低层的无穷。他把这种分出大小的无穷叫做基数,甚至他还设计了基数间做算术的办法。每个基数能衡量有确定性质的无穷集合的元素的多少。
 
从康托的工作开始,数学家开始扩充“无穷陈列馆”中的展品——加入大基数这样怪物。关于无穷的结构呈现出的美妙让数学家们无法抗拒。“有一点最吸引人:我们有不同的办法来描述大基数的层级,”武丁说道,“但是,无论用什么办法,这些大基数都止步于相同的层级。”有更深入的定理表明,一种办法给出的关于无穷的概念的确能被其他的办法描述。这某种程度上说明,关于无穷的层级的相关问题的确是集合论的核心基础内容。
 
 
形式化数学
 
 
从某种程度来说,由于领略到集合的抽象的能力,20世纪初的数学家们都认为他们十分接近一个古老的梦想:把所有数学都建立在一个无懈可击的逻辑基础之上,而且这个基础能被证明没有内在矛盾。这看上去似乎有点奇怪,因为数学本身就是一套最严谨的规则。但是,事实上数学里充满大量的隐藏假设和大量的信仰。就拿我们刚刚的自然数的定义来说,我们就非常隐蔽地假设了,空集是存在的。
 
 
康托意识到实数比自然数多。这只是对无穷层级研究的开始。
 
 
为了精确研究数学中类似的灰色地带,就需要把数学建成为一个形式系统。我们需要事先承认一系列清晰明确且无需证明的命题——我们把这样的命题叫做公理。你还需要明确哪些是合法的推理规则,诸如“如果x=y且y=z,那么x=z”这样。于是,如果一个命题从公理开始可以用合法的推理规则推导出来,那么你就只能认为这个命题是真命题。
 
 
 
集合论看上去就能给这样的形式系统提供完美的工具。貌似所有的数学对象都能被集合语言定义出来,而且集合的概念也足以从相对简单精确的集合公理派生出来。有数学家就适时地做了这样的工作。策梅洛和弗兰克尔把数学建立在八条公理之上,就是数学界熟知的ZF公理。这些公理包含“空集存在”,以及一些看上去非常直观的命题,比如“两个集合相等,当且仅当,两个集合有相同的元素”。现在,最常用的公理除了ZF公理之外,还要加一条更为神秘的公理——选择公理。它们一起组成了ZFC公理。
 
 
 
不完备的数学
 
 
公理化的梦想在上世纪三十年代被无情的击碎了,而完成这一击的就是数学界哥德尔证明的两个数学结果。这就是著名的哥德尔不完备定理:任何一个有能力表述自然数算术的形式系统中,总存在命题在该体系下既不能被证明的为真命题,也不能被证明为假命题。哥德尔再给策梅洛的信中写道:“每个形式系统中,都存在一个在这个系统中可以表述,但从这个系统中的公理出发无法判定真假的命题。”
 
 
于是,ZFC中无法判定真假的命题是什么样的?刚刚我们就遇见一个了。因为康托的提点,我们知道连续统基数比自然数大。那么,命题“两者之间没有别的基数”就成为一个著名猜想,叫做“连续统假设”。现在我们知道,在ZFC公理下,连续统假设是不可证的。它既不真也不假,ZFC无法对这个命题的真假做出判定。
 
 
这太让人意外了,我们曾天真的认为连续统假设应该有个确定的答案。或者说ZFC还不足够强大,需要在ZFC里加入更多的公理?我们甚至可以把连续统假设本身就看成公理——换句话说是不加证明地就把它看成一个真命题。
 
 
但这样做也有问题。首先,哥德尔的结果表明,无论新的系统你加什么样的公理,依旧有无法判定真假的问题。再者,ZFC无法判定的命题还有很多很多,把这些公理都加进去不仅会在系统里产生矛盾,还是一种自欺欺人的表现。
 
 
好了,那么这对数学真理的探索到底意味着什么?“有人提出这样的观点——其实有人已经持有这样观点了——集合论中无处不在的不可判定问题说明,集合论的结论已经超越人类的所有感知,于是这些结果没有任何意义。 那仅仅是受限于人类生理结构产生的结论,”武丁说到,“我觉得那不对,但也很难说。除非我们发现了新的外星文明,看到了他们的数学和我们的数学是否一致。”
 
 
遗失的公理
 
 
不过还有一条不用去寻找外星人的折中道路。现在被接受的集合论公理本身就是人类发明的东西。人们之所以选择这些作为公理,是因为我们“觉得”它们是自然的,它们反映出关于集合以及无穷的概念和我们的直觉一致。也许,存在这个一个公理(或者一系列公理),能用更直观的方式将这样的直觉补充的更加完备。尽管我们加入了这些公理后,仍然有不可判定问题的存在,但是,也许之前那些在集合论中大量的不可判定问题就可以迎刃而解。“有人可能会说,这就是在玩游戏。你只是为了解决你的问题而去选择把公理加进去。”武丁说,“但也不尽然。最本源的直觉会限制集合论公理的选择。如果你发现一个问题的答案是那些公理的推论的时候,那么这件事情就不仅仅是游戏了。就是说,ZFC公理系统没有能完全反映我们的直觉。”
 
 
回到20世纪30年代,哥德尔本人就加入过这样额外的公理,叫做构造性公理。加入构造性公理的ZFC公理系统能解决包括连续统假设问题在内的一系列不可判定问题。准确地说,哥德尔设计了一种集合类,它满足ZFC体系以及一条额外的性质,后者能把这些不可判定问题变得可判定的。构造性公理保证了哥德尔构造性宇宙中的集合就是世界上所有的集合:带来麻烦的集合是不存在的。
 
 
遗失的公理是什么?
 
 
可惜,哥德尔宇宙种不包含康托设计的大部分关于无穷集合的层级。和连续统假设一样,在原始的ZFC集合论中,大基数的存在性是不可判定的。但是,一但你在ZFC中加入了构造性公理,那么这些不可判定性就消失了:你能证明,这些大基数中的大部分都不存在。很多集合论学家不能接受这个结论:一个公理使得大量的基础基数分层都消失似乎把限制得过头了。林林总总的各种理由下,哥德尔宇宙以及构造性公理的方案被否决。
 
 
但是事情并没有结束。不知从何时开始,武丁和他的同事们开始了对哥德尔宇宙的系统化修正,让修正后的哥德尔宇宙能容纳越来越大的无穷集合。这些工作引领着武丁去构建一个哥德尔集合宇宙的终极形态的概念。这个终极形态能容纳下所有已知的大基数——也许这就是人们遗失的终极公理。武丁心仪的公理能推导出一种非常大基数的存在性,这个基数叫做武丁基数。
 
 
 
 
武丁之所以乐观地认为他走在正确道路上,缘于他们之前的工作的成功。曾几何时,困扰数学家的一些特定领域的核心问题,其实在ZFC下是不可判定的。现在知道,如果所有的集合都满足“射影决定性”的性质,那么这些问题就能解决,但是先验地没人知道为什么所有集合会满足这个性质。表面上看,射影决定性和无穷层级没有什么关系,但是武丁以及他的同事们的工作表明了两者之间的联系。如果你准备接受一条能容纳下武丁基数的公理,那么射影决定性就会顺理成章的成为一条定理。他们同样能证明,如果服从一些通常的结构性的限制,他们给出的公理是能给出射影决定性的唯一公理。
 
 
 
这种看似没有关联的概念之间的却又有深刻的联系,这让用武丁的方法寻找遗失的终极公理增加了更多的可信度。“如果所有这些只是一个人为的制造物,那么我们没有任何理由去期盼这种形式的成果。我们在以我们的基本直觉为基础来寻找公理,目前也没有任何证据让人能相信这个找寻的工作一定能成功。有点像找寻独角兽。我们自认为我们知道独角兽长什么样,但并不意味者我们就能找到独角兽。”如果你的确找到了独角兽,那么你一定正在做一些正确的事情。
 
 
但是,这个工作并不能保证一定能成功。武丁的终极公理能否走通还依赖于一些没有解决问题,这些问题依旧需要有人来给出答案。“现在非常不确定。”武丁承认。“但现在有一系列的猜想在最近两年提出来,如何这些猜想是对的,那么会让集合宇宙的概念趋向统一。如果达成,将解决连续统假设[视其为真]以及其他不可解问题。我认为,现在整个学科处于一个关键的十字路口。”
 
 
 
 
在2010年世界数学家大会上,武丁作出了一个大胆而又富有争议的预言:他寻找的公理将是“一个公认的经得起考验的描述无穷的原理”。但是,他也表示,如果有新的证据诞生,他也并不排除改变自己的想法。就在几年前,他还斩钉截铁的说,根据他当时的工作结果,他笃信连续统假设应该视为假命题。现在,他改变了看法。
 
 
但是武丁能知道到底何时他的公理能正式生效吗?“这不可能说清。有可能就明年,有可能在100年后。我个人只能说,虽然一些猜想看似非常难,但在未来一两年内我们能在上面取得大量进展。现实如此:没人知道一个数学猜想是在明天解决,还是在一千年后解决。”
 
 

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神秘数字6174

 

原文作者:西山豊,大阪经济大学教授。

翻译作者,Dr.夏洛克,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:333

 

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6174是一个相当神秘的数字。乍一看,可能不那么明显。但是正如我们即将看到的,任何一个会做减法运算的人都能发现使得6174如此特别的秘密。

 

 

卡普雷卡运算

 

1949年来自印度的数学家卡普雷卡(D.R.Kaprekar)引入了一个今天被称为卡普雷卡运算的步骤。首先选一个各位数字不全相同四位数(也就是除了1111,2222,。。。)。然后重排各位上的数字得到这些数字能组成的最大与最小数。最后,从最大的数中减去最小的数得到一个新的数,接下来对每一个新的数重复以上运算。

 

 

这是一个简单的运算,但是卡普雷卡得出一个惊人的结果。让我们试一下,以数字2005开始,也就是去年年份的各位数。用这个数的各位数字我们得到最大数是5200,最小数是0025或者25(如果有一个或者一个以上的数字是0,把他们放在最小数的左边)。减法如下:

 

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

当我们得到6174时,运算开始重复,每次都得出6174.我们称6174是这个运算的一个核。那么6174是卡普雷卡运算的一个核,但是这是不是想得到6174那样特殊呢?也就是说不止这个运算只有6174一个核心,溯流而上它还有另一个惊喜。让我们用一个不同的数再试一下,比如说1789.

 

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

 

我们又得到了6174!

 

当我们用2005开始时,7步得到了6174,然而对于1789用了3步。实际上,所有各位不全相同的的四位数你都能得到6174.太牛了,不是吗?卡普雷卡运算如此简单但是揭示出一个如此有趣的结果。当我们思考所有四位数都能得到这个神秘数字6174的原因时,这会变得更加引人遐思。

 

只有6174吗?

 

任意一个四位数通过降序排列各位数字都能得到一个最大数,通过升序排列得到最小数字。那么对于四个数字a,b,c,d,其中

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

同时a,b,c,d不全相同,最大数是abcd最小数是dcba。

 

对这个问题的每一列用标准的减法运算就能算出卡普雷卡运算的结果:

得出如下关系:

D = 10 + d - a (a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b ( b > c - 1)

B = b - 1 - c ( b > c)

A = a - d

 

 

这些数字中a>b>c>d.

 

如果结果数字可以用原始的四个数a,b,c和d写出,卡普雷卡运算就会重复。那么通过考虑所有可能的组合{a,b,c,d}并检验它们是否满足上述关系,就能找到Kaprekar运算的核。对a,b,c和d的4!=24种组合的每一个组合给出一个含有四个未知数与四个等式的方程组,那么我们应该能从这个方程组中解出a,b,c,d。 

 

结果,这些组合中只有一个组合有整数解且满足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0。这个组合是 ABCD = bdac,此时相应的方程组的解为 a=7, b=6, c=4 and d=1。也就是 ABCD= 6174。 整数 {a,b,c,d}  中某些数相同时没有使等式同时成立的有效解。因此,6174是唯一一个不会被卡普雷卡运算改变的数——我们的神秘数字是唯一的。

 

对于三位数会出现相同的现象。比如把Kaprekar运算应用在三位数753上,产生如下结果:

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

数字495是三位数运算(卡普雷卡运算)的唯一核,也就是用这个运算时所有的三位数都会得到495.为什么你不自己检验一下呢?

 

得到6174要几步?

 

从我朋友那里第一次听说6174是在1975年,当时我印象很深刻。当时我认为很容易证明为什么这种现象会出现,但是事实上我没能找到原因。我曾用电脑检验是否所有的四位数在有限步运算内都能得到核6174。这个大约50行的visualbasic程序检验了从1000到9999各位不全相等的所有8891个四位数。

 

下面的表格显示了结果:每一个各位不全相等的四位数在卡普雷卡运算下都得到了6174,而且都在7步之内。如果使用卡普雷卡运算7次之后没有得到6174,那么你就在你的计算中犯了错误,要重新试一下。

 

Iteration

Frequency

0

1

1

356

2

519

3

2124

4

1124

5

1379

6

1508

7

1980

 

 

 

怎样得到6174?

 

当研究卡普雷卡运算时,我的电脑程序检验了所有的8991个数,但是在Malcolm Lines的文章中说只需要检查所有可能四位数中的30个就足够了。

 

让我们计算过程中的第一个减法。最大数是1000a+100b+10c+d 最小数是 1000d+100c+10b+a。那么减法是:

 

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c)

 

 

 (a-d) 的可能值是从1到9, (b-c) 的可能值是从0到9.通过遍历所有可能,我们能看到运算过程中第一个减法运算的所有可能结果。这些结果显示在表格1中。

 

表1:Kaprekar运算的第一个减法后产生的数

 

我们只对各位数不全相等且a ≥ b ≥ c ≥ d的数有兴趣,因此我们只需要考虑那些 (a-d) ≥ (b-c)的数即可。那么我们就可以忽略表1中的灰色区域,这个区域包含(a-d) < (b-c)的数。现在我们把表中数的各位数字降序排列,得到第二个减法运算的最大数:

 

 

表2:第二个减法备用的最大数

 

我们可以忽略表2中的重复数字(灰色区域),于是仅剩余30个数字进行接下来的处理。下图展示了这些数字变成6174的路线。

 

这30个数如何变成6174的

 

在这个图你能看到所有的四位数都在最多7步之后得到6174.即便如此我依然认为它很神奇。我猜发现这个数的卡普雷卡要么是极其聪明要么是有很多时间思考这个运算。

 

 

2位数,5位数6位和更多位的数……

 

 

我们已经看到四位数和三位数都得到唯一核,那么其他数呢?结果答案不那么印象深刻。让我们试一下一个2位整数,比如说28:

82 - 28 = 54
54 - 45 =   9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 =   9

 

不难验证所有的两位数都将得到9→81→63→27→45→9的循环。不像三位数和四位数,2位数没有唯一核。

 

那么5位数呢?5位数会有一个像6174和495那样的核吗?为了回答这个问题,我们需要使用一个像之前的过程:检验 {a,b,c,d,e} 的120个组合ABCD满足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

abcde - edcba = ABCDE.

 

 

万幸计算机已经完成了计算,而且众所周知5位数没有卡普雷卡运算核。但是所有的5位数确实都得到如下三个循环之一:

 

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

 

正如Malcolm Lines在他的文章中指出的那样,检验6位或更多位数会发生什么会很费时间,而且这项工作会变得相当无聊!为了使你免于这种命运,下表展示了2位数到10位数的核。图表显示卡普雷卡运算只能把所有3位和4位数变成唯一核。

Digits

Kernel

2

None

3

495

4

6174

5

None

6

549945, 631764

7

None

8

63317664, 97508421

9

554999445, 864197532

10

  6333176664, 9753086421, 9975084201

 

 

 

 

漂亮吧,那它有那么特殊吗?

 

 

我们都看到在卡普雷卡运算下所有的三位数都得到495所有的四位数都得到6174.但是我没能解释为什么这样的数能得到唯一核。这是一个偶然现象还是发生这些的原因有更深的数学原理?(原理)就像结果一样既漂亮又神奇,这可能只是一个巧合。

 

让我们听一下看一个日本人山本幸雄的漂亮谜题。

 

如果你把两个5位数相乘能得到123456789.你能猜到这两个5位数吗?

 

 

这是一个非常漂亮的谜题,那么你可能认为它背后应该藏着一个很大的数学理论。但是实际上它的美只是一个偶然,也有其他相似但是不那么漂亮的例子。比如:

 

 

 

看到幸雄的谜题,你可能就跃跃欲试想要解出它,因为它是如此美丽,但是如果我给你第二个谜题你可能就一点都不感兴趣。我认为卡普雷卡问题就像幸雄的数字谜题一样。我们被他们吸引都是因为它们是如此美丽。因为它们如此美丽我们觉得它们有更多的内容,事实上他们的美丽很可能是偶然的。过去这样的误解也导致了数学和科学的进步。

 

 

只知道卡普雷卡运算下所有的四位数都得到6174但是不知道原因够吗?至今为止,没有人能说所有的3位和4位数得到一个唯一核是一个偶然现象。这种属性看起来这么惊人使得我们期待着它背后隐藏着数论定理。如果我们能回答这个问题,我们可能发现这只是一个美丽的误会,但是我们希望不是。

 

 

参考书目:

 

Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993) 

 

 

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脑洞:一种靠水的力量解方程的装置

 

原文作者:Mark Levi,宾夕法尼亚州立大学数学教授。

翻译作者,daydgi,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

 

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我想描绘一个流体静力学“计算器”,用它可以解出任意阶多项式方程的正实数根。来做一个思想实验,我们从一片不计重量的泡沫板上剪出如图1的形状。其中第n个图形代表着当它被浸入水中的深度为x时,体积为x的n次方,在这里假设所有的薄片厚度都是1。在图2中可以看到我们的“计算器”由一根上面标着“原点0”的轻质杆(重量不计)组成。代表每一个单项式的泡沫板可以被固定在杆的任意位置;不同的是,常数项x0=1用一个可以滑到任意位置的单位重量小滑块代替。


    举个例子,我们来解下面的方程(1):


ax³−bx²+cx−d=0,   


其中系数a,b,c,d皆大于0。这里的系数和它前面的符号共同决定了每个单项式泡沫板在杆上的位置,如图2。因为常数项小滑块不受浮力而受重力,所以它遵循相反的规则:d前面是负号,所以把它放在0的右边。

 

    准备好了“计算器”,我们水平地拿着杆子,慢慢浸入水中,直到用手保持杆的平衡所感受到的力矩变为0为止,也就是说,直到我们的“天平”可以自己平衡为止。这时的深度x就是方程(1)的一个根。


为了理解这个方法是怎么有效运作的,注意多项式ax³−bx²+cx−d=0,  就是所有作用在杆上的合力矩(如图3)。因此当一个特定的深度x使力矩为0时,也就意味着x是满足方程(1)的一个根。


当然,以上的方法适合任意阶的多项式,不足的是这个方法只能得到方程的正实数根。

 

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2019国际数学奥林匹克,中国时隔五年重获第一,美国并列

 

 

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据国际数学奥林匹克官方网站消息。在英国巴斯举办的第60届国际数学奥林匹克竞赛刚刚公布成绩,中国队以227分,六位参赛者全部获得金牌的成绩获得团体总分第一,这是继2014年后,时隔五年,中国重获第一。

最强对手美国队也以同样的227分,六位选手全部金牌的成绩获得团体总分的并列第一。这是美国队在过去五届比赛中获得的第四个总分第一。 国际数学奥林匹克竞赛是世界上最大规模的中学生国际交流活动,每年举办一届,有100多个国家参与此活动。成绩上,中国队曾经是此项赛事的霸主。2014年后,美国队实力增强,成绩提升。中国队虽然仍然是前三的强队,但更多的扮演冲击者的角色。获得此成绩,十分不易。

最后,祝贺中国队,祝贺中国队的队员。

人生漫漫长路,imo金牌也许只是一个新的起点。

 

 

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你看见蝴蝶翅膀上的数学公式了吗?

 

作者,Radium,哆嗒数学网群友

 

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数学中最有诗意的定理莫过于蝴蝶效应了。美国气象学家洛伦兹1963年在一篇论文中分析了这个效应。最常见的阐述是“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并产生微弱的气流,而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起一个连锁反应,最终导致其他系统的极大变化。他称混沌学。用MATLAB绘制洛伦兹模型的状态方程如下图:

 

 

MATLAB代码:
f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
%如果欲观察相空间轨迹走行最好的方法是采用comet3()函数绘制动画式的轨迹,即将最后一条语句改为comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

可以发现图像是混沌的,而且十分像一只张开双翅的蝴蝶。因此笔者以蝴蝶为素材,从代数,分析,几何以及概率中各挑选了一个公式作为代表融合起来设计。话不多说,直接上图:

 


Cauchy-Schwarz不等式


令x,y是两个向量,则

当且仅当x,y线性相关时,等式成立。


柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。该不等式有多种形式。


Crofton定理:


令D是平面上有界凸区域。D的两条切线通过D外每点P(x,y)。令t_1与t_2是线段长,此线段由P与切点确定,令A是各线段间的角,被看作(x,y)的函数,则


Stolz定理:


令{x_n}与{y_n}是两个实数数列,{y_n}时严格正的,递增的,无界的。若

则极限

 

F=normcdf(x,μ,σ)

MATLAB语言,F为x各点处的正态分布的分布函数值

 

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切好蛋糕,然后吃掉它

 

原文作者,Marianne Freiberger,转自Plus网站

翻译作者,小鹤e,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Radium

 

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两位计算机科学家采用一种新方法把蛋糕分给任意数量的人,而不引起任何人的嫉妒,因而在切蛋糕理论上取得了突破。这个结果不仅仅与生日派对有关:无论是土地资源、播出时间还是石油资源,蛋糕可以代表任何连续的研究对象。从离婚诉讼到政治冲突,切蛋糕理论的灵感来自于各种各样的问题。


当只有两个人分蛋糕时,问题就很简单了。让第一个人切蛋糕,第二个人选择他想要的那块。第一个人会确保他切的蛋糕中的两个部分他都很满意。根据喜好和蛋糕上的东西,第一个人可能会把蛋糕切成两等份,或者切成一块小一块大,但小的那块有草莓。无论第二个人选择哪一块,第一个人都不会嫉妒。第二个人可能不喜欢切蛋糕的方式,但是,因为他或她先挑,所以也不会嫉妒第一个人的那块。一般来说,如果没有人嫉妒其他人的蛋糕,那么该分法就称为无嫉妒分法。

 

 

这种针对两个人的分法早已为人所知,但直到20世纪60年代,数学家约翰·塞尔弗里奇(John L. Selfridge)才发明了一种适用于三人最优而高效的方法(后来约翰·康韦(John H. Conway)也独立发现)。1995年,史蒂文·布拉姆斯(Steven J. Brams)和艾伦·泰勒(Alan D. Taylor)提出了一种突破性的方法,适用于任何人,但有一个缺点。即使只有四个人吃蛋糕,公平划分所需的切割步骤也可能是任意大的。为了找到划分方法主刀人需要问吃蛋糕的人一些问题——这与划分方法完成所需的时间有关——可能是任意大的。这个界限究竟有多大取决于参与者的偏好(如果你幸运的话,它们可能很小),但关键是你不能从一开始就限制算法运行的时间和需要进行多少次划分。这尤其令人失望,因为数学家们确认,对于吃蛋糕的n个人来说,只需要切n-1刀就有一个无嫉妒分法。问题只是在于找到那个分法。


一种变动是允许移动刀:主刀人将刀(或几把刀)在蛋糕上移动,当吃蛋糕的人认为应该切蛋糕时大喊“停”。至少对于四个吃蛋糕的人来说,这使得切蛋糕的步骤减少到五步。但是吃蛋糕的人要做无数次决定。对于刀在轴上移动的每个点,他们需要决定是否喊停。由于我们真正想要的是一个可以在计算机上运行的离散分步算法,这种移动刀的方法并不完全令人满意。


由哈里斯·阿齐兹(Haris Aziz)和西蒙·麦肯齐(Simon MacKenzie)设计的这种新方法是离散的,它规定了切蛋糕的数量,以及主刀人需要向吃蛋糕的人提出的问题的数量。无界限方法的合作者Brams对这个结果很满意:“我相信Azizz - Mackenzie算法是一个重要的理论结果,肯定有所突破,而我们之前用泰勒得到的结果——通过限定算法所需的步长(或切割步骤)——证明了它是有限的,但我们无法确定它的上限。”

这就意味着像蛋糕一样的冲突可以在一瞬间解决了吗?不完全是——阿齐兹和麦肯齐的结果纯粹是理论上的兴趣。当涉及到n个吃蛋糕的人时,你需要问的问题的数量界限如下一个数:


不管吃蛋糕的人喜欢什么,问题个数超过这个数字后,你都不需要继续问下去。但这仍然导致了难以想象的过大的界限:即使对于n=2,标准计算器也会崩溃。布拉姆斯说:“无论是否使用移动刀,要缩小这种界限都是一个挑战。”“然而,我不认为这样的数字会让这些算法有任何实用价值。”

 

还有一个问题。Aziz 和MacKenzie的方法保证了没有人会嫉妒别人的蛋糕。但这并不能保证每个人都满意。可能存在另一种蛋糕的划分,它让一个或多个吃蛋糕的人更满意,而且不会让任何人变得更嫉妒他人——用数学表达就是,无嫉妒法通常不是帕累托最优的。吃蛋糕的人可能会抱怨:他们可能不会嫉妒别人的蛋糕,但如果知道自己可以在其他划分方法中获得的更多,他们可能也会很不高兴。同时满足无嫉妒和帕累托最优往往是不可能的。因此,尽管理论家们在努力降低算法的界限,但现实中的实践者们需要认真思考,在特定的冲突中,哪种划分是最好的:无嫉妒、帕累托最优,还是其他一些标准。

 


如何把蛋糕分给三个人,使得三个人都不会嫉妒别人。


假设我们的三个人分别被称为A、B和C,我们不分性别地把每个人称为“他”。首先,C把蛋糕切成它认为有相同价值的三块。然后A和B各自挑选。如果他们选择两个不同的部分,这个过程就完成了。

假设A和B想要相同的一块蛋糕。在这种情况下,B会对它认为最有价值的蛋糕进行一些修剪,以匹配B认为第二有价值的那部分蛋糕。把切下来的余料放在一边,让A先挑。接下来,B选择他的那块,但有一个条件,如果A没有选择被修剪的那块,那么B必须选择它。最后,C选择。现在A不嫉妒了,因为它第一个选择。B不嫉妒,因为它的第一个选择是同等价值的:无论A选择什么,都有一个同等价值的部分留给B。C也不嫉妒,因为从C的角度来看,唯一降低了价值的部分,是被修减了的那块,但它会被A或B拿走,而最初的三个部分对它来说是同等价值的。

这样就剩下余料那部分了。假设在前一轮中被裁掉的蛋糕被A选中。让B把余料分成它认为有同样价值的三块。让A第一个选,C第二个选,B最后选。A不嫉妒,因为它先选。如果C嫉妒,那么它一定是嫉妒A,因为C在第一轮中是满意的,第二轮时,它选在B之前,所以它也不嫉妒B。那么C嫉妒A吗?在第一轮中,A选择了被修剪掉的那块蛋糕,也就是说,A在第一轮中选择了对C来说没有其他两块那么大的蛋糕。我们用V表示在C眼中最初3块蛋糕的价值。我们把W记为C眼中余料的价值。现在对C来说总价值是V加上W;而C眼中分配给A的价值是V-W加上部分W显然,V-W加上部分W的总是小于V,也就是说,C认为,A分配给A自己的价值小于C分配给它的价值,因此C不嫉妒A。


如果是B在第一轮中选择了被修剪的那块呢?在这种情况下,只需交换上一段中A和B的角色。

 

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无穷“极简”说

 

原文作者,Adhemar Bultheel

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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牛津大学“极简入门”系列读物涉及了从会计学到“犹太复国主义”等等广泛大量的话题。这本《无穷》是其中最小的小册子之一(真正的袖珍书:174×111 mm).无穷这个概念,主要是在数学中具有重要性与实用性,不过它也拥有哲学的甚至宗教的一面。在这个“极简入门”所允许的情况下,斯图尔特(Stewart,本书作者)尽力做到内容广泛,在讨论中加入了大量的历史知识。对于仅有143页的小书来书,谈论的东西实在是太多了。虽然有大量的重叠之处,与马库斯·杜· 索托伊(Marcus Du Sautoy)的《如何对无穷进行计数》和尤金妮娅· 陈(Eugenia Chen)的《超越无穷》相比,斯图尔特的处理更加广泛。后二者更着重在数学专业性。

 

 

无穷即无穷大,曾经长久地作为一个模糊的东西,在哲学基础上进行讨论。古希腊人就实无穷与潜无穷的分别进行了争论。这个潜无穷即某个超越了所有的自然数的东西,通过“枚举”,它是永远不能被达到的。就“可公度性”(那时主要作为达到数学的几何途径)这个概念来说,它们与无穷小是不同的。无穷小超越了有限长度的任何可能小的分割。它们基本的公共的度量是有限的,这导致之诺提出了“之诺悖论”。十八世纪,牛顿与莱布尼兹引入了“无穷小量”克服了无穷小的这个难处。无穷小量表示了某种接近0但又不是0的东西。因为无穷小量不是0,在计算中,其它量可以除以无穷小量。不过,适宜得到结果的时候,无穷小量又被假定为0.那不是很严格的数学。直到十九世纪末,康托尔就无穷大的本质,给予了更深刻的洞见。通过这些历史,斯图尔特解释了无穷这个概念在多个领域怎样发挥了作用。这些领域对于我们今天如何理解无穷这个概念,都有巨大的贡献。

 

 

 

在第一章,斯图尔特提出了一些涉及到无穷的谜题或者悖论。这样,他阐释了仅仅说“无穷是什么超越所有数的东西”是不够的。无穷大需要更加严格的定义,无穷小也是如此。这些背后隐藏了无理数的过程就是例子:当台阶越来越细的时候,楼梯就越来越趋近正方形的对角线(译者注:这里的意思是用类似于楼梯的折线来近似正方形的对角线);当边数越来越多的时候,正多边形就趋近于圆。这些以一个合适的方式展示了那个0×∞ 型求值的问题。希尔伯特旅馆,阐释了无穷大需要一个更加严格的定义。斯图尔特也给了其它的一些例子。为引起读者的思考,最先提出了这些谜题与悖论。就所有这些让人迷惑的叙述,斯图尔特的解释后面都会给出。

 

第二章解释了:在更高等的数学中,无穷并没有被隐藏起来,而是被嵌入到了基础微积分中。x>1的曲线1/x绕x轴旋转就得到了加百列号角这个图形。它有一个让人吃惊的特性:虽然表面积是无限的,不过其体积却是有限的。当然,无穷也隐藏在“0.9999...等于1”这里,这个事实让很多本科生感到震惊。就像在其它的很多章节一样,斯图尔特很注重历史:戴德金定义实数所用的分割本质上是无穷的对象;朗伯(Lambert)证明了π的无理性;在公元前600年的耆那教中,人们把很大的数语无穷区分开,等等。

 

第三章更加深入得探究无穷的历史。传统上,空间与时间是被假定为无穷的。不过,当考察无穷小的时候,情况就不一样了。人们在处理无穷小事物的时候拥有巨大的困难。之诺悖论这个例子解释了:无穷多个非0的数的和,可以是有限的。从古希腊开始,实无穷与潜无穷就被区分开了,这个讨论在哲学家之间延续了几百年。一些神学家甚至声称:上帝是“无穷”仅存的拟人化存在。

 

 

下一个章节讨论了无穷小,以及它如何触发了微积分的发展。无穷小量这个原初的历史概念,现在被极限这个概念代替了。1960年代当亚伯拉罕· 罗宾逊提出了非标准分析的时候,无穷小量这个概念又复活了。

 

 

在几何学中,无穷就是视野所在。它引导了文艺复兴中透视的发展。这在第六章有详细的讨论,解释了为什么一艘船接近地平线的时候越来越小,以及这如何导致了无穷远处的点与线的概念。欧式平面可以建模为“边界表示为无穷远”这样的圆盘。更具体地,无穷远的线让制作使用透视的绘画变得容易。最终这个讨论以这些想法而结束:射影几何,通过使用立体投影获得的平面与球面的双向映射,无穷远处的点在球面上与北极相对应。

 

 

无穷在数学中是一个有用的概念,不过,它如何出现在物理世界中呢?那是下一章所涉及的。在物理学中,无穷经常导致很糟糕的奇点。斯图尔特讨论了三个例子。彩虹现象的分析是一个光学例子。根据射线光学,如果光从某个特殊的角入射的话,彩虹的强度将会是无穷大。这个奇点使得光必须重新考虑为一种波。在牛顿的引力理论中,当两个质点间的距离变为0,它们的势为无穷大,这就出现了奇点。1988年,夏志宏通过解一个五体问题,引人注目的获得了含有奇点的非物理的解。黑洞是广义相对论中的奇点,在宇宙论中,大爆炸显然是一个奇点。斯图尔特在这里也解释了,当宇宙论学家以曲率为一个参数来确定我们的宇宙是否有限的时候,为什么他们是错误的。

 

最后一章讨论了这些问题:康托尔是如何得到“实数是不可数的”的证明的,这如何导致了集合论与超穷数,以及这如何引起了数学基础的的修正。数学家或者任何对这类数学背景文献有一点了解的人,都对这个故事很清楚了。不过,在这里,斯图尔特,再次追随了“谁做了什么,以及为什么导致最终的结果”这个历史演化过程。这里有大量的信息,由于展示得很紧凑,对于一般的读者来说,阅读过程并不总是轻松的。每一章都有一些参考文献,这对那些想要考查更多细节的读者也许是有益的。有一些精心阐述的方面,是远远超过解释无穷的(比如,彩虹的角度的计算,透视的几何学),不过这些话题,它们自己本身也是有趣的,并且它们在其它的处理无穷的地方是不会发现的。如果你仅感兴趣于无穷的严格的数学概念,上面提到的杜· 索托伊或者陈的处理也许是更纯粹的替代品。不过,在这个小册子中,即使是有经验的读者也有更多的场合学到一些新东西。虽然不重要,不过“那是我不知道的有趣的东西”这种一闪而过的体验,也将使得这本书值得阅读。

 

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2019软科世界一流学科数学排名:普林斯顿世界第一、北大中国第一

2019年软科世界一流学科排名,也就是俗称的上海交大版世界大学排名,日前公布一流学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 


数学学科排名方面,前十名的高校全部来自美英法三个国家。其中美国5席、英国3席、法国2席。而第一名依然是毫无悬念的普林斯顿大学。这第一到第十分别是:普林斯顿大学(美国)、索邦大学(法国)、纽约大学(美国)、斯坦福大学(美国)、巴黎第十一大学(法国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、剑桥大学(英国)、加州大学洛杉矶分校(美国)、华威大学(英国)。

 


数学榜单前十中的九个都出现再去年的数学排名前十中。唯一的不同是英国的华威大学顶替掉了加州大学伯克利分校进入前十。自2014年华威大学的马丁·海尔获得菲尔兹奖后,数学排名稳步上升,已经位居前十。另外,传言中,伯克利的优秀数学教授逐年流失,这几年数学排名也缓慢下降。说明,教师学术成果在此排名中占有非常重要作用。

还有一个值得一提的是。法国之前一直苦于一些名校排名太低,导致知名度逐年下降的现实,于是启动“卓越大学计划 ”,决定合并学校,提升排名。这回索邦大学排名第二,和这个计划不无关系。这个大学是2018年1月由巴黎第六大学和巴黎第四大学合并后组成。

 

亚洲方面各大高校的排名普遍下跌。日本的京都大学排名第一,总排名20名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第21。沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学排名第三,总排名第31。来自中国的北京大学排名第四,总排名第44。下面的亚洲前十因为并列原因,其实有15所高校。

 

 


 中国高校有84所大学进入榜单,数量上较于去年上涨10所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第44名。是唯一一个进入前50名的中国高校。而复旦、清华、中科大位列51-75名次区间。哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

 

我的Emacs+Linux成长心路

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也许与很多人一样,我的第一篇数学文章是用Word加Mathtype公式编辑器打出来的(当然,现在Word已经自带公式编辑器了,Mathtype也可以作为插件在Word中使用。)那大概是一篇高中时写的圆锥曲线心得。数学编辑器的使用是一个思维转换的过程:在手写公式中相差无几的字符,在编辑器中可能会扮演不同的角色,或是下标,或是上标,或是分母,或是分子……你的大脑必须去努力适应这个新的过程。当数学公式最后像积木一样一件件被拼凑出来,呈现在电脑屏幕上时,那种云开见日的成就感还是很美妙的。其实现在回想起来也知道,整个排版文章的过程一定是繁琐且枯燥的。只是,如果你内心中深信一件事有着 “崇高的目的 “,那你多半会对相伴的苦工夫视而不见,反而会认为每一滴汗水都是值得的;这像极了锻炼身体时,即使再苦再累,你也因为相信它的益处而保持心情愉悦。

 

这种想法一直保持到了我本科初学LaTeX的时候。剧本是类似的,只不过是MathType换成了LaTeX;不同之处是后者看起来更高级、更专业。经过短时间WinEdit的使用后,我投入了Linux下 “编辑器之神 “Vim的怀抱。其实我知道Vim下也有不少写LaTeX的好工具,但对我而言它只是一个带语法高亮的文本编辑器。我沉浸在一种苦行僧似的LaTeX编辑体验并乐在其中:没有任何输入辅助,全部命令全靠记忆手打(也利益于Vim高效的输入模式)。好几个月的实践至少带来一个好处,就是肉眼排错的能力大大提高了。这段经历也让我朝着极简主义的方向使用LaTeX进行排版。毕竟每周30+小时的高强度上机编程+撰写报告,如何高效地把数据和图表转化成清晰的PDF文档才是最重要的事,花哨的技巧倒是其次了。

直到有一天我在网上偶然读到叶卢庆的一篇博文:Emacs+LaTeX 帮你写数学文章,读完之后仿佛一扇新世界的大门突然开启。有时候想象力是很重要的。一件事如果超出你的经历之外,在你没见过之前你可能永远都不能想象。这篇博文就是激发想象力的那颗火种。虽然久仰Emacs“神之编辑器”的大名,却从没见过Emacs在编辑LaTeX中能发挥怎样的威力,也就无法打开被禁锢的想象力。余下的事情对于爱折腾的我来说已经是轻车熟路了:从网上找来各路教程开始,慢慢就把所有LaTeX和编程工作都转移到Emacs下来完成了。从苦行僧的方式走来,转到Emacs的第一感觉就是写文档的自动化程度变高了,同时界面本身的可扩展性极强。

 

第二次信念的飞跃是在研究生期间。当时自己还是传统地使用纸笔,却经常上课时见到前排一个师兄用LaTeX敲笔记。直到有一天我突然也问自己,能否在Emacs上做到呢?其实最初的尝试是很不顺利的。主要是自信心的问题。在多数情况下,如果教授在黑板上写一大串长公式,用LaTeX打下来肯定是会慢一些的。慢一些,并不多,最后并不影响总体记笔记的速度,因为没有教授会从头到尾板书写不停,总会有停下来解释的时候。而记录下说话的内容,打字却是比纸笔快得多。事实上,熟练之后,对黑板上的长公式直接盲打就行,基本教授写完也差不多打完了,然后就可以伸个懒腰,看着编译好的公式听着教授讲解,不时在公式旁打进自己的一些思考,不亦乐哉!

 

但迈出第一步是困难的。开始时总是浅尝辄止:一旦第一个公式跟不上就动了放弃的念头,把笔记本电脑又收了回去,掏出纸笔;不一会儿又不甘心再试,反反复复。终于有一次,下定决心死磕到底,坚决不合上电脑,最后慢慢就适应了用LaTeX记笔记的节奏。是的,我很怀念钢笔尖划过纸面,灵巧地写下一个个数学符号的感觉。但是,看着自己几年下来在笔记文件中积累的2万多行LaTeX代码,各种内容有条不紊地放在一起,所拥有的便利性也是纸质笔记无法比拟的。别的不说,一个记忆深处的数学名词,也就是一条搜索指令;甚至,得益于Emacs内一个简单自动补全功能,在记笔记时要是遇到一个记过的复杂的专有名词或人名,也只需要几个首字母就能快速打出来。相比之下,早年的数学笔记,只是静静躺在某个角落,作为曾经某段岁月的见证;内心深处却不愿意承认,随着时间推移,也许它们越来越难有用武之地了。

 

Emacs也许不是最好的LaTeX编辑器,但肯定能算上最好之一。我曾向身边的不少朋友安利过Emacs编辑LaTeX的强大。在这个过程中,我意识到大多数人并没有意识到数学公式的编辑其实可以是一件很轻松简单的事情。在正如前面所说,人有时候是被想象力限制了;只有亲眼见了,才能激发更多潜能。我做这个视频教程的初衷,就是希望能够抛砖引玉,带领大家看到一种把写LaTeX变成自然而然的可能性,从而去触发无限的可能性。

现在,我将我的这段成长学习经历录制成为视频,与大家分享。有时候,分享和交流是再一次成长的机会呢。

视频教程简介:


第一部分:分6节,介绍LaTeX的基础知识及Emacs的安装和简单操作。适用于初学者。


第二部分:尽量保持章节/技巧之间的独立性。将介绍Emacs中几个编辑LaTeX的重要模式/插件及常见使用技巧,包括AucTeX, cdLaTeX, RefTeX, preview-LaTeX, outline模式等。还将介绍自定义快捷输入方式的设置方法。适用于想用Emacs提高LaTeX编写速度与准确性的观众。


目录:


1LaTeX基础知识 
1.1LaTeX初体验 
1.2中文支持 
1.3数学符号输入
1.4LaTeX文档结构 
1.5交叉引用 
1.6列表与图表环境 
2Emacs编写LaTeX技巧 
2.1区域选择及操作 
2.2cdLaTeX简介
2.3RefTeX之交叉引用
2.4cdLaTeX自定义配置
2.5自定义定理环境 
2.6所见即所得之Preview-latex 
2.7Outline Mode简介 
2.8PDF预览正向和逆向搜索 
2.9TeX-fold代码折叠 
2.10参考文献、多文件和排错

 

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我冲击牛津数学专业的经历

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作者,海和雪人,哆嗒数学网群友

 

经历过中国高中的孩子,可能多少会对高考数学的难度心有余悸。那么,大家可能会疑问,国际高中的数学课程和考试模式是怎样的呢?会不会也让莘莘学子感到压力山大呢?下面,我将以一个亲历者的角度,为大家介绍一下在国际高中学数学、考数学的经历和感受。

 

本人入读的英国体系高中总共有四年,学校开设的课程,前两年是比较基础的IGCSE,后两年是相对较难的A-level。在A-level阶段,学生选3-4门科目,并深入学习未来的专业。

 

A-level课程根据不同的考试局细分成多种。其中,我参加的考试恰好是只针对海外考生的剑桥大学国际考试委员会(Cambridge International Examinations,简称CIE)。既然只针对海外考生,可想而知,其理科课程相对其他考试局更难一些,尤其是进阶数学,更是许多国际学生眼中的“魔鬼课程”。

一般来说,学生会在A-level的第一年,也就是AS阶段考一次试,第二年,也就是A2阶段考完剩下的一半,两年的成绩取平均数作为A-level成绩。(近期的改革后,考试时间会有变动,学校可以选择不再一年一考,而是在A2结束后考两年的内容。)然而,因为中国学生的数学基础,许多中国的国际学校采取了超前的数学学习模式:IGCSE第一年学习基础的IGCSE数学,IGCSE第二年学习AS内容,而AS年级结束就已经完成了A-level的数学课程。在A2一年里,数学专业和一些理工科比较优秀的学生会学习一年课程——进阶数学,也就是让我们又爱又怕的“高数”。

 

总体来说,IGCSE的数学比较简单,类似于初二水平。不过小伙伴们不要被这个简单的开始所迷惑——按照英国教育理念,四年来的数学课程会越来越难,而对精准度的要求也是只增不降。CIE考试成绩分为几个等级,其中最高等级为A*,往后分为A、B、C、D、E、U等。IGCSE数学要想得A*,需要答对近90%的题目,对于认真学习的同学来说,得A*并不困难。然而A-level数学的A*分数线一般都在90%上下,这就需要学生掌握所有内容,并大量练题以保证准确度。而进阶数学的分数线,根据题目的难易程度,定在90%-97.5%之间。
下面,我将为大家讲述一下学习高数的体验。高数最基础的内容之一是数学归纳法,最常考的题目就是证明一个含n的式子是某个整数的整数倍。这种问题用公式就可以解决,然而,考官心血来潮可能会出一些n次求导一个带有n的指数函数或对数函数式子,求证对于所有的n,结果都会以某种特定形式展现。虽然说作为前面几道考题,不会让考生绞尽脑汁也做不出来,然而要快速做出证明还是需要一定数学功底的。

 

我的同学们经常说,如果每套卷子里总有一道烧脑的题,那么十有八九是复数或递推公式(reduction formula)。即使在大量练题的情况下,一道没有见过的题也有可能让小伙伴无从下笔。这个时候,找到思路的过程,考验的不仅是对知识和题的熟练程度,也是发散性思维和联想能力。

 

以往的考试分为两个卷,第一卷就是上面介绍的纯数部分,第二卷是力学与统计。从我们这届往后,高数会分为四张卷,两张纯数,一张力学,一张统计。力学题注重机械原理的运用,选择解题角度的能力和列式子的能力,通常在力与力矩的分解这一部分会考一些这样的难题,需要大量练题,寻找规律。至于统计部分,我们认为是最简单的,考验对统计学原理的运用和计算的精确度。

 

和其他同学不一样的是,本人考试最大的障碍是马虎。虽说考试让带一个强大的科学计算器用于解决一些复杂的式子,但对于神经大条的我来说,列式和整理式子的过程十分糟心,正负号弄混,忘记乘某个系数都有可能让我在算一道复杂的积分题目时得不到正确的最终结果。对于其他同学来说,最大的障碍可能是少数几道即使经过勤奋刻苦地练习,也不一定能找得到思路的题。当然,在练题的过程中,我也常常遇到障碍,每次在考试几个月前遇到不会的或做得慢的题目,都会感叹压力山大,长夜漫漫。这个时候,我们通常会找类型题练一练手,自己找一找手感,积攒一些经验,也减少一些应对考试的焦虑。也许练题时找到的思路在考场上就能用到呢。

 

考前焦虑恐怕是很多考生都会经历的。一般来说,想要考进英国G5(英国排名前五的大学)或华威大学的数学系,高数成绩必须上A*,也就意味着需要朝着满分努力。其他专一些理工科专业,一般来说只要上A就可以,除非是牛津剑桥这样傲娇的大佬学校。


当然,想要考入世界顶尖大学,只有A-level的成绩是不够的。国际教育与应试教育不同在于,国际教育重视的不仅是学生的做题技巧和考试成绩,更重视思维和潜力。申请英国大学需要递交一个PS:personal statement,即个人陈述,其中绝大部分内容都与自己的专业相关,少部分展示专业学习以外的个人综合能力。学生通常会详细讲述自己对这个专业的热爱,相关竞赛、阅读、研究以及实习的收获。顶尖大学还会有自己的入学考试,比A-level考试难很多,牛津、剑桥和伦敦帝国理工学院部分专业还设有面试。所以,在学习自己专业,研究、实习过程中,浑水摸鱼是不可取的。

 

对于一个“整数学的”,考数学系的过程更是艰辛。对于早早确定未来方向的学生来说,第一年课程还很简单的时候,正是课外学习的好时机。那一年,我开始像曾经向往的那样,把数学当做自己热爱的东西去学习。从读《什么是数学》,到研究分形几何参加“科学展”,想象力一点点打开。之后,我又读了《数学女孩》和小平邦彦的《微积分入门I》,读的时候总是很困难,甚至半个小时也理解不了一页。读的时候遇到一些感兴趣的问题会深入研究,有时通过几天的思考,能得出自己没有见过的“研究成果”,然而更多时候并没有,只是把读到的内容理解得更深了一点。 

 

关于附加考试,在我看来,数学的MAT考试可以说是把英国教育理念发挥到一定程度了:规律较少,不易套路。作为一些顶尖大学数学系的筛选考试,MAT比CIE考试难一些,答对80%以上的题都是大佬。MAT的题,有难有易,由浅入深,考验的更多是对一个数学问题的思考,而不太偏重答题技巧。因此,想要应对这种灵活的考试,还是需要真正理解数学。当然大量练题也是必须的,在这四年里,我为了准备包括MAT在内的考试和竞赛,练习了许多难题,包括中国高考题。除了MAT之外,剑桥大学、华威大学和UCL采用的入学考试STEP也很有意(ya)思(li),而且难度极高。好在,STEP虽难,但是如同CIE高数考试,可以通过刷题来提高成绩。

牛津面试可以说是我的最后一道难关,也是让我与牛津数学系失之交臂的一关。毕竟面试的题目是为筛选学霸准备的,而且需要考生克服紧张,边思考边交流。我失败的那一场,是考完两场面试之后的加试,教授模拟大学课堂,给我讲了一个全新的知识点。我思考速度缓慢,因为最终没有独立理解这个内容而被刷下去。

 

以上是在英国体系的国际学校里学习数学和参加考试的个人体验,可能不太全面,可能不太准确,如果说我有什么想告诉大家的,那就是,爱数学是一种幸运吧。不管是在中国高中,还是在国际学校,不管是在一个普通学府还是985、211,都是如此。毕竟,热爱,就如同希望,是这个年代如同钻石一般宝贵的东西。

 

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曾经最基础的高考题目,却让99%的考生马失前蹄

 

原文作者,李迈新,《挑战极限思维:勾股定理的365种证明》作者

 

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每年的高考试卷,最受全社会关注的自然是语文的作文题,一个好的作文题目或者题材,会引起全社会的关注和,有的甚至可以影响好几年,当真是"余音绕梁,三日不绝"。

 

相比之下,数学题目就没那么容易让人记住了,比如在下就是95年参加高考的,那年的题目别说数学,就是语文作文是啥,现在也想不起来了。

不过凡事都没有绝对的,有些数学题目,不仅会让当年的考生终身不忘,还会让后来者胆战心惊,而且老师还会在课堂上敲黑板,画重点,防止重蹈覆辙。

下面要说的这道高考真题,历史已经比较久远(1979年的高考数学试卷第四大题),但是影响绝对空前,它是当年考生心中永远的痛,让人终身难忘.因为这道题的得分率不到1%,也就是全国99%的考生都被这道题坑了一下。

下面是这道题的真容,1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题:

 

叙述并证明勾股定理。

 

是的,你没看错,就是这道题让无数考生竞折腰,原因么,就象萨苏原文(http://blog.sina.com.cn/s/blog_476745f6010003pz.html)说的“对高考的学生来说,这实在太简单了,就是因为太简单了,根本没有几个学生还记得这东西怎么证。勾股定理么,简直象地球是圆的那么自然么。但是。。。证明?这东西还要证明么?!”

 

那么,为啥要出这么一道的简单的送分题(实际上是送命题)呢?

 

潘成彪先生出这道题,当然不是因为希望出的简单,而是他认为中学教育不能只注意题海和数学竞赛,而且应该在基础方面让学生打得更扎实一些,用现在的话来讲,就是不忘初心,放得始终。

 

以后的高考数学题里,影响能与之媲美的,印象里大概只有03年的江苏卷了,那一年据说有个胆大包天的文科生考前居然偷出了理科数学的试卷(你没看错,是文科生,然后偷的是理科生的试卷……),导致临场采用备用卷,于是那年江苏平均分68(卷面满分150)。

 

现在这道勾股定理的高考题之所以让人难忘,事后看来有这么几个原因:

 

(1)出题人潘成彪先生虽然是著名数学家,但是当时时有保密制度,出题人的姓名是不对外公开的,所以很多考生快30年后还不知道自己的仇人是谁,自然就更加好奇,自然就难忘了。想比之下,江苏的那届学子还是幸运的,至少还知道出题人是葛军,人送外号葛大爷。(不了解这位大神的请自行百度)

(2)如果真是题目出的特别变态,比如超纲或者用到了很难想到的技巧(也就是题目出的比较活),那考生也只能承认自己智商不够,认赌服输,不大会找出题人的麻烦.但是这道题目显然并不难,只需要初中的几何知识,更确切的讲,就是初中几何课本的原题.换了你,在高考时遇到这么一个题目,明知自己学过,但是就是想不起来答案,那肯定是窝火+闹心自然就难忘了。

 

凡事一有开头,就必然有后来的仿效者。这种直接让考生证明教材中重要定理的头一开,第2年(1980年)的数学出题者便照方抓药,就出了一道,1980年理科四题:


写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。

 

大概是考虑到老这么搞还是容易被猜题,再者教材里的重要定理就那么些,高考又不允许出重复题目,考一个就少一个,于是80年之后基本上没有这么干的了,直到30年后的四川为了向前人致敬,于是来了一道,四川2010 第9大题:

 

证明两角和的余弦公式 并由此推导出证明两角和的正弦公式。

 

不过在四川之前,2009的考研命题人或许是受到了某种启发,也玩了一次仿古,于是那年的数学1(也包括数学2和数学3)就有了下面的题目,2009年全国硕士研究生入学考试数学一试题:

 

证明拉格朗日中值定理。


最后,给两个勾股定理的经典证法

 

证法一:把两个边长为a和b的正方形进行拼接,然后分割成4个直角三角形加一个小正方形,然后再把他们拼接成一个边长为c的大正方形.立得a²+b²=c² 。


第2个证法,利用等底等高的平行四边形面积相等,可以得到。

 

 

 

蛋蛋的表面积

原文作者,John D. Cook博士

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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我们之前的文章中,介绍了鸡蛋的一个拟合公式,讲解了公式中各个变量对鸡蛋形状和鸡蛋两端曲率的影响。

在那之后的文章中则介绍了鸡蛋的体积计算。而篇文章,我们将介绍鸡蛋的表面积计算。

 

如果你将f(x)在[c,d]之间的图像绕x轴旋转,那么这个立体图形的表面积为:



对于鸡蛋的拟合函数而言,这个积分是没有初等表达式的。(至少我没有找到初等表达式,就算用Mathematica也无能为力。)但是我们可以通过计算得到数值解。

 

下面给出的是Mathematica的代码。

f[x_, a_, b_, k_] := b Sqrt[(1 - x^2/a^2) / (1 + x k)]
area[a_, b_, k_] := 
    2 Pi* NIntegrate[ 
    f[x, a, b, k] Sqrt[1 + D[f[x, a, b, k], x]^2], 
    {x, -a, a}
]

 

现在我们进行更为详尽的考察,我们来验证一个观点,如果鸡蛋是球状的,我们会得到球的表面积。


输入area[3, 3, 0]则返回113.097,N[36 Pi]同样返回113.097,这是一个非常好的开始。


现在我们将k作为自变量,表面积作为因变量,做出一个函数图像。

Plot[area[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}]

y轴的数值从85.9开始,因此这个图像夸大了k的作用。因此,我们将y轴的值从0开始,用以修正k的影响。

Plot[g[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}, PlotRange -> {0, 100}]


对于体积而言,鸡蛋与椭球之间大约差了一个参数为k的二次函数项。

 

 

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2019年度邵逸夫数学奖名单公布

 

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根据邵逸夫奖基金官方网站消息,2019年邵逸夫奖已于2019年5月21日 (星期二) 北京时间下午3时正(GMT 07:00) 公布。

数学奖由法国数学家米歇尔.塔拉格兰 (Michel Talagrand)获得,以表彰他研究集中不等式、随机过程的上确界和自旋玻璃的严谨结果。

 

 

塔拉格兰是概率论的顶级专家,曾再1998年的国际数学家大会上受邀发表1小时演讲。

邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

 


 
“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,每项奖金一百二十万美元。

“邵逸夫奖”被不少人誉为“东方诺贝尔奖”。

 

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数学模型:科学家们用数学语言刻画社会冲突

原文来源于罗巴切夫斯基大学

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:donkeycn

 

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2018年6月29日 于,罗巴切夫斯基大学
 
(图注:在没有外部干扰的情况下社会系统发生冲突的相轨线)
 
 
洛巴乔夫斯基大学国际关系和世界历史研究所副教授亚历山大·佩图霍夫领导的一个研究团队,在非线性动力学的基础下对社会冲突模型进行了优化。
 
 
对于数学建模而言,社会和政治进程的一个重要特征是它们无法被严格定义。它们通常受到一点微小的改变和波动的影响。通常,社会进程被看作布朗粒子。粒子轨迹中的一点微小的改变和波动可以解释为其他粒子的混沌运动。在社会进程中,波动可以视为是个体自由意志作用的表现,以及一些外部环境带来的随机影响。
 
 
在物理中,这些过程通常用朗之万随机扩散方程( Langevin's stochastic diffusion equation)来描述,这一方程也已经被用于模拟一些特定的社会进程。
 
 
基于这一方程建立的模型有以下优点:
 
1、如同前面提到的一样,该模型允许人们考虑个体自由意志作用下的的影响与系统外部环境产生的影响。
 
2、社会系统的行为可以从整体和个体两方面来计算。
 
3、在这个模型中,可以根据不同的初始条件识别社会系统运转的一些特定的稳定模式。
 
4、扩散方程作为数学工具,完全可以通过数值模拟进行验证。
 
这个模型基于这样的想法:社会中的个体通过一个通信场(communication field)来实现互动。这个由社会中的每一个体所产生的场就用来模拟个体间信息的交流。
 
但是,可以想到,这样的社会很难归因于经典物理拓扑空间中的对象。
 
(图注:在外部干扰的情况下社会系统发生冲突时的相轨线)
 
佩图霍夫(Dr. Petukhov)博士认为,从个体之间信息传递的角度来看,社会空间将经典的空间坐标与一些附加的具体特征结合了起来。这一点可以通过以下事实来解释:在现代信息世界中,我们没必要非得靠近一个对象才能向他传递信息。
 
亚历山大·佩图霍夫指出:“因此,社会是一个多维的、群居以及物理性的空间。它反映了一个人用他的通信场“接触”另一个人的能力,即影响那个人、他的参数和在特定空间中移动的能力。”
 
因此,在这个空间中,个体相对于其他个体的位置刻画了他们之间的关系水平和参与信息交换的能力。
 
 
在这个模型中,当两个个体的位置靠得很近时意味着它们之间有规律的信息交换,这样便可以建立相应的社会联系。
 
 
在这样的背景下,如果个体或群体之间信息传递的变化导致了距离上的急剧增加。(即社会距离Δx = xi—xj,这里x表示社会和物理空间中的坐标,i,j=1,…,N,其中N 为个体或者群体的数量”)那么,它们之间可以认为是一种冲突。
 
 
因此,在假设中,个体可看作是布朗粒子并以一定的半径范围对其他个体产生影响。这样的通信场可以用扩散方程来表示。
 
 
基于上述方法,洛巴乔夫斯基大学研究人员研发的模型,揭示了以下特征模式和对初始和边界条件的依赖性:
 
1、考虑外部的影响和控制的条件下,例如出现社会冲突并且加剧的背景下,建立了特定的边界条件,这样的条件是由社会系统参数决定的。
 
2、建立了一个有关社会系统稳定性的特有区域。在这个由相轨线确定的区域中,所研究的对象之间保持了相对较小的社会距离。这就是群体积极互动,并保持连续信息交换的特点。同时,还可以观察到该区域是怎么变化的,这取决于冲突管理函数的影响。
 
3、通过引入的控制函数的参数确定并联系这些边界状态,可以反映当代特定种族-社会冲突的模式。因此,该模型可以作为预测不断变化的冲突和得出冲突解决方案的工具。
 
这也证明了在这些研究过程中,一个分布式多元认知系统从一个稳定状态到不稳定的状态受阈值的影响。
 
 
根据亚历山大·佩图霍夫的说法,洛巴乔夫斯基大学的研究人员进行的相关实验已经揭示了控制这种系统所需的具体参数:它们决定了系统从稳定状态到不稳定状态的转变,这使得完全通过控制这些参数去创造或阻止社会冲突成为可能。
 
 
亚历山大·佩图霍夫说:“通过继续研究这个方法,我们将能够在其基础上创造一个足够有效的预测社会冲突的工具。”
 
 
 

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