神奇的分数维
编者按：如果你第一次看到豪斯多夫维度的严谨定义，你一定多少有点晕吧，过程是：
对于度量空间X， S为X的一个子集，d为非负实数
1、 先定义S的d维豪斯多夫容量（d-dimensional Hausdorff content ）
2、 然后定义S的豪斯多夫维度为使得S的d维豪斯多夫容量为零的那些d的下确界，即：
但当你用这样定义去验证一个简单集合（比如康托集）的豪斯多夫维度的时候，过程是比较复杂的。但你细细评味，你会发现，证明过程貌似就是在做收缩，放大之类事情，也是本文介绍的豪斯多夫维度最初始的思想。有的时候，数学的难度就是这样产生的：一个简单的思想，教科书只能用最严谨的方式告诉你，这时候用的表述已经看不到最早的想法，于是你必然开始用最复杂的字面意义去理解它。如果，这个时候有个知道背景的人提醒你，那能少走多少弯路呀。
作者： 金星光，就读于重庆师范大学数学与应用数学专业。
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看过《哈利波特》的人想必对于9又3/4站台并不陌生，这是通往霍格沃兹魔法学院的入口。当年哈利、赫敏与罗恩推着装满魔法物品的小推车冲进墙内的场景到现在都还令我记忆犹新。9又3/4站台为我们揭示了一个魔法世界中的一个分数维的车站，那么在数学世界中是否存在着维数为分数的事物呢？今天我们就来探究一下神奇的分数维。
众所周知我们生活在一个三维的空间中，我们需要三个数值就能唯一的确定我们在空间中所处的位置：经度、纬度和高度。在这里我们对维数的定义借用了拓扑中对于维数的定义：空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。显然这种拓扑方法定义的维数当然只能是整数，那么对于分数维我们就不能采用拓扑中对于维数的定义了。接下来我们就要从另一角度重新定义维数。
首先我们要先要了解一个概念叫做图形的自相似性，即一个图形本身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的；一个矩形可以看成是由4个与自己相似、面积为原矩形面积的1/4的小矩形组成；一个立方体则可以看成是由8个体积为原立方体体积的1/8的小立方体组成；利用自相似性，维数就可以这样简单而直观的理解：首先将图形按照M:1的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由N个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d=ln(N)/ln(M) 。（注：这个数也叫做豪斯多夫维数Hausdorff dimension）。我们可以用这个办法轻易的计算立方体的维数为3，当将正方体按照2:1的比例缩小，可以得到8个小正方体，即M=2，N=8，则d=ln(8)/ln(2)=3。
其实对于非整数维的几何图形，早在1890年，就已经被意大利数学家皮亚诺（G.Peano）提出。当时他构造出一种奇怪的曲线，被称作“皮亚诺曲线”。
具体的构造方式见下图。
按照这种方法最后所逼近的极限曲线，应该能够通过正方形内的所有的点，充满这个正方形，即曲线有面积。这个结论令当时的数学家惶恐。在皮亚诺之后，科学家对于这种几何的研究形成一个新的几何分支叫做“分形几何”。
另一个在数学中比较著名的分数维的图形是科赫曲线(Koch snowflake）。它的产生可以采用如下方法：在一段直线中间，以边长的1/3为边的等边三角形的两边来代替直线中间的1/3，得到图形(a)，对(a)的每条线段重复以上做法又得到图形(b)，对(b)的每段线段又重复得到图形(c)，而对(c)的每段线段又重复就得到了图形(d)，如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。
我们采用上述计算维数的办法来计算科赫曲线的维数。
首先将科赫曲线的尺寸缩小至原来的1/3，然后用4个这样的小科赫曲线便能构成与原来一模一样的科赫曲线。即此时：M=3，N=4, 即d = ln(4)/ln(3) = 1.2618……
很明显我们可以看出科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数或分数。
分数维的出现滋生出数学中“分形几何”这门学科的发展，为我们打开了一个新世界的大门，它的神奇之处在于弥补了我们的未知、颠覆了我们的已知。数学的发展始于观察、形于思考、终于证明。每次新事物的出现看似是对于已有数学框架的撼动，其实本质上是一种进步与发展，来弥补这个美好的数学世界。而数学以其自身的魅力吸引着每一位热爱他、追随他的人，在远方智慧深处闪耀着永恒的星光。
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