ABC猜想依然没有被证明

原文作者,Frank Calegari,芝加哥大学代数数论教授。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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五年前,Cathy O’Neil举出了一个有理有据的例子来说明(在五年前那个时间点上)为什么望月新一的声明(仍然)不应该视作ABC猜想的一个正式的证明。关于那篇帖子中讨论的数学的社会效应我这里不再做任何补充了,这里我只想向大家报告一下,在专业的数论学家眼里,现在是个什么情况。具体情况是什么?答案是,这简直是一场彻底的灾难。

 

 

这篇文章不讨论关于望月新一证明对与错的认识论上的哲学意义。举个极端的例子,如果望月新一把它的证明用古希腊线形文字刻在石板上,然后丢到马里亚纳海沟里,那么大家可能几乎不会怀疑,追问那证明是否存在过是一件毫不重要的事情。虽然说法极端,而现实情况和刚刚我的这个描述没太大差别。

我从某专家处(不便公开)得知,每一次望月新一的论文分析,结果报告都是让人不安的相似:大量声明的“显然的”结论,而这些结论依赖于巨量的未经验证过的理论。望月新一基于如下观点辩解:格罗滕迪克学派的数学产出也是遵循着相似的模式,而事实证明,这些产出已经成为现代数学的基石。这个典故大概是这样的:

笔者听过这样的故事:有一天,格罗滕迪克说,弄开核桃壳有两个办法。一个办法是,把核桃壳用坚果钳子使劲一口气夹烂。另外一个办法是,把它浸入有很多很多水的水缸里,泡啊,泡啊,使劲的泡啊,然后它自己就泡开了。格罗滕迪克的数学属于后者。

话虽如此,但拿望月新一和格罗滕迪克做对比并不好。是的,格罗滕迪克在20世纪60年代以革命性的方式“完全彻底”的重构了数学。但是,从法国高等研究所(IHES)生产的思想迅速传遍了世界,在巴黎大学、普林斯顿大学、莫斯科大学、哈佛大学、麻省理工学院、波恩大学,以及荷兰的一些大学等等,它们的讨论班已经展开了讨论。本质上,格罗滕迪克学派20世纪60年代的成功并不是用IHES产出的定理来衡量的,而是它产生的思想完全改变了这个学科(以及相关学科)里的每一个人思考代数几何的方式。

 


这不是对某人个人癖好的吐槽,也不是抱怨某些人不按“体制”的规则出牌。佩雷尔曼也拒绝按照学术圈的通常做法发论文,而是把他的论文简单直接地贴在arXiV上,就撒手离开了(补充:虽然佩雷尔曼从来没有正式提交论文,但他随后开办了巡回讲座,让其他专家接受自己)。但最终的结果是,在数学里,思想是永远的胜利者。人们可以读到佩雷尔曼的论文,能在文章中感知到他所有的思想(五年内,大量专家补充了原始证明里略过的完整细节,并陆续发表)。通常情况是,如果数学领域里有突破性发现,当其他数学家能利用这个新的思想证明其他领域的定理的时候,这个标志性的事件会引起学术成果爆炸式的增长。而且,通常这些事件并不能被理论的原创者预先感觉到。但这样的事情,并没有在ABC猜想的证明上发生。这样的现实下也就难怪人们对该证明如此强烈的质疑了。

 


事实是,现在这些论文似乎要被PRIMS(这是望月新一自己当主编的杂志,这事本身不是什么大问题,但依然有碍观瞻)接收了。被这样的杂志接收,并不能成为人们接受证明的理由,该证明的现有处境依然没有改变。如果说审稿程序有什么意义的话,那么它的意义就在于使人在一定程度上相信文章的正确性。(虽然有时候发表的文章也会有一些错误,但这些错误一般很快就能被比较专业的读者修正,或者有时候会发一个勘误表,当然也有很稀少的文章被撤回的现象)。也就是说,它迫使作者用清晰的文字,写出标准范式的语言,让专业人士能读懂文章(所以,除了其他特别的原因,审稿人不需要花费像作者需花费的那样多时间来审论文)。而在这件事情上,上面的功能就完全失效了,质疑会同时来自两个方面,审稿人对文章质量的评定,以及PRIMS编辑委员会对论文会以这样不可接受的,被广泛认为不透明方式发表的放任。那么,我们会进入一个荒唐可笑情形——ABC这个命题在京都是定理,但在其他地方都是猜想。(补充:一位日本读者向我指出,报纸并没有确定地说论文已经被接收,用的是“按计划论文会被PRIMS接收”诸如此类的措辞。这也不会改变本文的实质内容,这里还有论文不会以现有方式被接收的可能性,如果那样的话,我收回对PRIMS编辑委员会的批评。)

那么为什么这样的情况持续了那么长的时间?我想我能提出三点基本理由。第一,数学家通常是非常小心翼翼的(说个笑话——苏格兰的绵羊至少有一面看上去是黑色的)。因为数学家们不能指出望月新一证明的实质性错误,所以他们非常不愿意去声明这个证明有问题。于是,他们倾向于对任何一个关于错误的声明用极端谨慎(足够合理的谨慎)的态度。我们成长为数学家的历程中,如果听不懂别人的证明过程,通常会自我觉得很丢脸。第二,无论何时,数学家一旦做出一个特别的声明,大家开始的反应都会去看这位数学家之前的工作。这里,望月新一曾经在重要领域做出过成果,而且被很多认识他的人认为是一位智商很高的数学家。的确,一些默默无闻的人(比如最近的张益唐就是一个例子)声明自己证明了某个重要的结果,他的文章也会被认真对待,但是,如果类似不知名的人以望月新一的方式放出一个1000页的论文,他立马会被拒掉。最后一个理由,对比前两点,一些人愿意看到论文被公开,以及听到一切都很好的消息,而质疑者们也没有为理解望月新一的宇宙际几何的基础而做够功课。我没兴趣去揣测人们为什么这样做。但是,这种至少需要几百小时才能入门的理论要么是彻头彻尾的垃圾,要么是超越现有所有既有知识的体系。那么,不仅在数学上,而且在所有科学里都是前无古人的。

 

 

那么,事情会怎么发展?这里有很多种可能。一种可能是某位专家深度检查了论文,并能抽出论文的核心思想,然后对论文主干进行简化修改,让它更容易读懂。这是论文放出后梦想中的剧情发展,但一天一天地(一年一年地),这个可能性变得越来越小。但可能性仍然存在。与之相反的可能是,某位专家找到了一个严重的错误,用否定的方式来了结这个事情。第三种可能是,这个状态一直持续下去:没有“恩赐的一击”(编者注:人奄奄一息时给的最后一下,让其免于痛苦)来杀死证明,但是同时江湖上仍然在流传没人能领会论文中心思想的传说。(我想说论文是否被某个杂志接收和此毫无关系;这不是证明人们读过论文并认为论文没有问题的适当方式,必须有人能解释论文。)这种情况下,数学界会一直这样摇摆反复下去,可能会持续一年、十年或者一百年。直到有人最终证明了ABC猜想,然后回过头来对比,来看看那种证明的思想究竟是否真的一直在那里(大结局)。

 


陶哲轩在本文评论区的回复:

 

 

感谢博主的文章。我没有足够的专业知识去对望月新一的论文做一个直接的评价,但是对于你文章中提到张益唐及佩雷尔曼的工作却更加熟悉。它们之间一个显著的区别在于张益唐与佩雷尔曼的工作里有着较短的“方法验证”,即用他们的方法能很快得到相应领域里一些很有意思的不平凡的结论(或是发展出一些已有不平凡结论的新证明)。这些事情发生在论文发表之后,而不是之前。

在佩雷尔曼的工作中,第五页就已经给出了Ricci流的一个全新解释:它将Ricci流看成了梯度流,而这是一个看起来非常有前途的方法。在第七页,他就用该解释建立了一个关于Ricci流的非常精彩的定理。虽然这个定理离最后证明庞加莱猜想还有千里之遥,但是它本身就是一个新奇且有趣的结果。这也是为什么这个领域的专家迅速认定这篇文章中有很多“好东西”。

在张益唐54页的论文中,有很多对专家来说是标准性的内容(特别地,这篇文章沿袭了解析数论界的传统,将所有要用到的引理放在了文章的开头)。但是仅仅6页的引理陈列之后,张益唐就从中做出了不平凡的观测:只要能改进Bombieri-Vinogradov定理对光滑模的估计,我们就能证明素数间距离有限。(其实这个观测也被Motohashi和Pintz独立地导出,但其形式却无法被得心应手地运用在张益唐后面30多页的证明中)。这并不是张益唐论文中最深奥的部分,但是它却将原问题化为了一个看起来更容易处理的问题。与无数试图攻克像黎曼猜想等大问题的论文相比,它没有将原问题不断转化为看起来更复杂的问题(只有奇迹发生,才能将这些复杂的问题转化回一个简单的问题。)

从我了解的信息来看,对于望月新一所用的方法,最短的“方法验证”就是300多页ABC猜想的证明。如果能有一个更短的 “方法验证”(比如少于100页)就可以帮助人们消除对于这篇论文的怀疑。 如果说一个300多页的独立体系只能用来证明ABC猜想,且这个体系里不能衍生出任何证明其它结论的子方法,这将是一件非常邪门的事情。

 

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