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或10年来数学界最大新闻:ABC猜想论文将发表?!

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这可能是10年来数学界最大的新闻:根据朝日新闻的报道,望月新一关于ABC猜想的证明,有可能发表,并予以确认。现在论文还在做最后的同行评议,如果没有问题,发表时间可能是明年1月份。

 

 

ABC猜想是数论领域最重要的猜想之一,于1985年提出。2012年8月,日本京都大学教授望月新一在其个人网站上贴出了该猜想的证明。该证明初版500多页,几经修正后达到600多页。由于望月新一的采用方法极其独到、创新性极强,文章又非常长,一时间数学界竟无人能理解其证明。当时有数学家认为,要理解望月新一的证明,可能需要数十年时间。

 

 

数论中,有很多著名问题都是ABC猜想的推论。比如我们列举的下面三个,曾经是数学界的神级问题,但在ABC猜想面前,就是简单的特例了:

 

莫德尔猜想: 该猜想于1984年被法尔廷斯证明。法尔廷斯因此获得1986年的菲尔兹奖。该奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”,是数学研究的最高荣誉。

 

费马大定理:该猜想于1995年被英国数学界怀尔斯证明,轰动全球。初版证明300多页,精简后也有100多页。如果利用ABC猜想,将极大简化费马大定理证明。

 

比尔猜想:该猜想由比尔本人提出,并通过美国数学会悬赏100万美元求解。难度极高,用比尔猜想,你可以不超过5句话证明费马大定理。

 

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如果数轴有两个原点会怎么样?

 

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你即将搬家,所以你得在子事先没有过目的情况下租一个新的公寓。你网上也找了,电话也打了,终于相中了一个看上去不错的房子。但你到了你的新家的时候,总觉得有的地方…昏暗无比。实际上,房间所有地方都黑漆漆的,因为根本没电。你重新去翻看房屋出租的广告,的确,广告没有任何地方强调了房间就通电的,但你不会考虑你需要将这件事情当成一个问题去询问房东。

 

对于很多数学家来讲,豪斯多夫性质就像一个房间就应该通电一样自然。当然,你能构造一个不是豪斯多夫的空间,但你研究问题的时候,多少会认为,一个正在思考的空间是豪斯多夫的。在一个不是豪斯多夫的空间里做拓扑问题,那种感觉和在一个乌漆嘛黑的房间里乱撞没有区别。豪斯多夫性质是以德国数学家费利克斯·豪斯多夫的名字命名的。豪斯多夫性质描述的是数学空间中关于分离性的众多性质中的一个:空间中的点,它们之间的的分离程度到底有多大?一个拓扑空间是豪斯多夫的意思是,任意两个空间中不同的点,都能把它们分别放入两个不相交的开集里面。开集是拓扑空间中最基本最普遍的概念,你可以看看我们之前的文章,来了解一下为什么开集如此重要。

 

为了进一步了解豪斯多夫性质的重要性,我们来思考一些常见的空间,比如说实数轴。实数轴中的开集就是那些开区间(编者注:以及开区间并起来得到的并集),比如(0,1)。两个数轴上的点,无论他们距离有多近,他们之间总有一个距离区隔,所以我们能找到两个足够小的开区间,这两个开区间各自包含了一个点,并且这两个区间没有重叠的部分。
 

 

其他常见的空间——诸如二维欧氏平面、三维欧氏空间——同样具有这个性质。我们似乎有点难以想象一个空间没有这样的性质。这里我们来引出一个有两个原点的数轴——最简单的没有豪斯多夫性质的空间之一。

 

 

为了作出一个有两个原点的数轴,我们从作普通的两个数轴开始做工作。我们标记好两个普通数轴上的点,上面那条数轴的点为(x,0),下面那条上的点为(x,1)。现在,我们说我们把除了x=0以外的所有的(x,0),(x,1)这样的点都看成相同的点。而且我们设定,新的空间继承之前那两条普通数轴的通常拓扑,就是说,新空间的开集还是由那些开区间组成。

 

你可能无法接受我们把那样的两个点看成相同点的设置,但是思考拓扑问题的时候我们必须设定一些类似这样的规则。就像乔治·奥威尔的小说《一九八四》中设定“我们和东亚国的战争永无完结”(We have always been at war with Eastasia)一样,(1,0)和(1,1)在我们的设定中就是相同的点。

 


你能明白有两个原点的数轴不是豪斯多夫的原因吗?毫无疑问,定义中“除了x=0”引起了我们的注意。在上面的那条数轴中,每个包含(0,1)点的开区间,都和下面数轴中包含(0,1)的开区间有重叠的部分,这是因为两条普通数轴中,几乎所有的点都是相同的点。


虽然,我在本文中画了一些图形,但是仍然难以用准确的图形展示有两个原点的数轴。实际上,我们能在数学上证明我们不可能画出有两个原点的数轴,这也是豪斯多夫性质之所以重要的原因之一。一个没有豪斯多夫性质的空间是很难直观的展示的。但是一个空间如果满足豪斯多夫性质,那么我们就可以以某种适宜的方式将它纳入到某个欧氏空间,或者维数再高一些的空间中讨论。两个原点的数轴不能嵌入到任何一个欧氏空间来展示它的本质。于是,我们退而求其次,我们在纸上或者电脑屏幕上作图的时候,会省略掉一些点和线,希望读者能大致能理解。

 

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那些年我们青涩的青春,也可以由数学书写!

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这是一套有日本数学会强力推荐数学科普书。原版在日本销售破40万。这回在人民邮电出版社放出《数学女孩3:哥德尔不安完备定理》中文版之际,我们再次推荐这套书的《数学女孩1》、《数学女孩2:费马大定理》、《数学女孩3:哥德尔不安完备定理》三本中文版合集套装。

 

《数学女孩1》: 讲述了很多数列和级数的知识!

 

《数学女孩2:费马大定理》:讲述了很多初等数论以及群环域等抽象代数的知识

 

《数学女孩3:哥德尔不完备定理》:讲述了很多数理逻辑、集合论、经典分析学的知识。

 

 

 

这是一个用数学串联所有线索的青春故事书。男主角人见人爱,虽然不是最强,但也聪明上进。三位女主角性格各异,在男主角的带领下,攻克一个又一个的数学问题。我们来看看书中的人物,如果你经常看日系漫画能领略其中风格。注意,我们这回推荐的是全文字的原版,而这里配图用的是它的漫画版本,注意区别。(漫画版本省略了很多数学部分,暂不推荐) 

 

主要人物

 

“我”: 

 

 

本作品的男主角,《数学女孩1》里面是高中一年级,后慢慢升入高二、高三,在家中是位独生子。非常喜欢数学,不满足与课本和课堂上学到的东西,经常找很多高深的数学课外读物和问题研究。在学校偶然认识了数学水平非常高的米尔嘉同学,开始男孩女孩之间关于数学的切磋历程。另外,经常在指导数学=学学习有困难的学妹泰朵拉,后来就当起了泰朵拉的私人家教,在图书馆、咖啡厅等地方非常耐心的解决数学问题。有时候会不经意的注意到身边女性的情感。也经常在家里教表妹尤里数学。

 

 

米尔嘉

 

 

女主角之一,男主角的同班同学,十分会弹钢琴。和其他人一样都是数学的爱好者。数学水平在男主角之上,男主角也经常找米尔嘉请教或者讨论数学。高中阶段已经能熟练的使用一些诸如群论、数论高等数学解决问题,方法简练却又不失严谨。人的外在表现比较高冷,但也时常表现出柔弱的一面。米尔嘉经常和男主角、泰朵拉、尤里一起讨论数学问题,高中毕业前收到美国大学的邀请出国留学。

 

 

泰朵拉

 

 

比男主角小一届的学妹,在初中时和男主角同校并且对他有好感,后来又念了同一所高中。数学较弱,遇到排山倒海般的算式或是学校老师解释不清楚的观念时会受不了。受到了男主角的指导而学会一有问题时就要积极发问,确认自己懂了,整理好思绪后才会继续前进。个性有点天然呆。在男主角指导下,数学进入了全年级前10%。

 

 

 

尤里

 

 

男主角的表妹,在家中是独生女,小男主角三岁,会称呼男主角为“哥哥”。由于自家和男主角的家相当的近,便经常到他家中作客,喜欢在男主角的房间看书,常出题给男主角。把自己自认为“猫女”,会在撒娇时发出“喵”的声音当作语末助词。

 

 

其他人物

 

盈盈

 

 

非常擅长钢琴,经常和米尔嘉一起练习钢琴。在书中戏份不多,没怎么进入主角们的数学世界。

 

 

村木老师

 

 

一位古怪的数学老师,喜欢男主角和米尔嘉。常出一些和课程内容无关,但是很有趣、且值得探讨的题目,也就是“研究课题”,并习惯写在卡片上给主角们带回去思考。不会硬性要求要回答,但是主角们还是习惯会提交报告给老师。

 

 

都宫

 

 

擅长运动,数学成绩全年级第一,但是并没有实际参与主角们的讨论、活动。前期,偶尔出现。

 

 

瑞谷老师

 

 

图书室的女性管理员,时间一到就会宣布闭校、放学时间到了。

 

 

“我”的妈妈

 

很喜欢尤里来家里作客,每次到来,都会用上好的料理招待。和所有的日系妈妈一样,每当气氛尴尬的时候,她就会出来说:“喝杯茶吃点东西再聊吧!”

 

 

 

当然,最后的结局往往都是——大圆满!下面是《数学女孩3》的结局。

 

 

 

 

 

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环面:我们和数学家都喜欢的甜甜圈

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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数学总是将可定向亏格比作一种甜点,即拓扑例子里最美味的那种。


 
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啊,这个简单的环面是拓扑学家们最初的朋友,它也展示了理论与实践的差距。环面有很多特性而且在数学的各个领域都会出现。第一,他有一种拓扑的特性。拓扑学并不关心你看它的具体形状像什么,它只关心大体上的特征。具体来讲,它关心物体在没被撕裂或粘合的情况下,那不论是被拉伸还是被压缩都不改变的方面。在拓扑世界中,环面是一种带着一个洞的二维空间,或者说是一个曲面。(更高大上说来,它是一个亏格为一的可定向曲面。)急于将他们自己与更吸引人的烘焙学科联系在一起的拓扑学家们将环面描述为甜甜圈,虽然在某种无聊的精确角度来看,它其实仅仅是甜甜圈表层的糖浆涂层。(甜甜圈的面包胚是一种叫做实心环面的三维空间。)
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我们经常以一个被完美充起的甜甜圈来代表环面,但是拓扑学家们偏向于以一种更抽象的方式来描绘它。在下面这张图片中,我们将它画成带着几个标记的长方形,这些标记叫做特征点。

 


  
图中上面带“A”的箭头所对应的边和下面带“A”的箭头所对应的边将会被粘合在一起,左面带“B”的箭头所对应的边和右面带“B”的箭头所对应的边将会被粘合在一起。

正如在经典游戏小行星(Asteroids)中,当你从长方形上方的边走出长方形时,你会在下方的边上再次出现;当你穿过长方形的右边时,你会在左边重新现身。这幅图尽管不如甜甜圈那么令人垂涎,但仍然向我们展示了环面所有的重要拓扑性质。


这幅平面的长方形图片也良好承担了通向另一个环面生命的责任:作为几何物体的生命。不同于拓扑学,几何学确实关注实际的形状与距离。一个“环肥”的环面和一个“燕瘦”的环面尽管在拓扑概念上相同,但就几何概念而言,是不一样的。

几何学家们之所以关注这张环面的长方形表示,是因为本质上这是一个平坦的有限平面,就像一个无限平面。如果你曾不愉快地意识到格陵兰岛其实只有非洲大陆面积的7%,而不是和非洲面积一样大,你潜意识里就已经明白了一个事实:球面不可能被保持距离的展到平面上。这是因为球面曲率为正的,而平面是平的(注:曲率为0)。同样存在一种负曲率的曲面,他们也不可能被毫不扭曲地扯平。这个长方形图片展示了“环面是平的”这个事实。那么,这可就太好了,因为这样的话,它就能成为一个三维空间中实实在在存在平坦曲面,从而我们能直接观察到它;而不只是把它画在纸上然后还需要运用我们的想象力去想象。我们可以试着通过操作那些长方形上的被标记的那些边来这么做。我们从一个长方形开始。

 


 
第一次粘合把一张平坦的白纸变成了一个圆柱体。

 

 

第二次粘合将圆柱两端连在了一起。
 

 

实际上操作起来还是有些困难的。得到这个环面并不像计划那么顺利。这是一个理论与现实的不和谐碰撞。

 


 

当它们进入现实世界,当一个数学对象进入现实世界后,一般来讲,它很难再保持完美。我们没法画出一个严格意义圆,而且那个我们用来画图的曲面,也并非一个严格意义下的二维对象。但专心致志与优质圆规可以让我们画出与我们目标足够接近的圆。然而,环面,那可就是个噩梦了。

 

所以,我们到底能不能把环面放进三维空间中而不改变任何距离?
  

我们当然能!但是这没有你所希望的那么容易。

一个选项是,我们放弃那个完美平滑的曲面。在平面上,那个长方形没有任何折痕,但如果我们搞出一些来,我们就有处下手了。这么干的方法有很多。几年前我就做了一个。
 

数学3D打印的大魔法师Henry Segerman有一个脊被接合在一起的优秀例子。

 

 

要是我还不满足呢?要是我想把这些不和谐不雅观的折痕除掉呢?嗯,我们也能这么干!不过这就有点复杂了。在2012年,Vincent Borelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus, Boris Thibert, 以及Damien Rohmer发表了第一批没有任何尖角的三维空间平坦环面的图片。他们写道:“这些图片展露了一个令人意想不到的对象,处于分形和普通曲面的中间:一个平滑的分形。”换句话说,他们将分形的无限特质与一个平滑过程结合到了一起,从而避免了尖角的出现。
 


最后,这个“平坦的”环面看起来一点也不平坦,但它成功体现了它的字面意思。所有的距离都与他们还在那个平面上的长方形时完全一样。(若想进一步了解这种平滑分形的环面,请参见https://www.youtube.com/watch?v=5qu3WETuf6c)

环面还有很多其他变体:在拓扑学中,它是乘积空间中的最初例子之一,也是在运用 Seifert-van Kampen定理的第一次有用尝试。在动力学中,它是学生们最初碰到并能在其上“打台球”的平移曲面之一。在我所研究的领域,Teichmüller 理论,这是少有的几个简单到你真正可以理解并进行计算其Teichmuller空间的空间之一。一般来说,环面看上去就是那种每当遇到了新观点时,值得用千百种定理来描述的例子。带着感恩节季的精神,就让我们花点时间来感谢环面,因为它是让我们无论在二维几何还是拓扑学中都可以染指的好例子。(毕竟,数学总是比一个可定向亏格为一的甜点要好。)

 

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别人家的数学奖:红毯、巨星、网红还有学术一个都没少!

 

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2018“科学突破奖”颁奖典礼2017年12月3日在位于旧金山的美国国家航空航天局(NASA)阿姆斯研究中心揭晓,旨在表彰生命科学、基础物理及数学领域最杰出的成就的研究人员单项奖金为300万美元,此次共颁发2200万美元奖金,从奖金来看的确为科学界第一巨奖。

本次数学奖由来自美国犹他大学的克里斯多夫·哈康(Christopher Hacon)和来自美国加州大学圣地亚哥分校的詹姆斯·麦克南(James McKernan),一起获奖,分享300万美元奖金。另外,还有4位数学家获得3个数学新视野奖。中国数学家,恽之玮和张伟分享了其中一个奖项,该项奖金10万美元。值得一提的是,两位中国数学家都毕业于北京大学——北大的数学简直太厉害了。

“科学突破奖”有着“科技界的奥斯卡奖”之称。之所以有这个称谓除了高额的足以吸引任何媒体眼球的奖金意外,还有一个原因便是它的颁奖典礼星光璀璨,聚集了科学、技术、娱乐等各界明星——之所以这样颁奖,我们能从该奖项赞助人之一的尤里·米纳尔的话中,探知一二:“我小时候,占领各个版面头条的都是科学家,而现在情况全变了。我认为,这些改变世界的科学家们,完全有理由被世人知晓”。

以前,我们只是报道一下获奖情况,很少有人介绍颁奖典礼的具体过程。这回,我们随小编一道,以2018颁奖盛典为模板,让大家来看看,这个“科技界的奥斯卡奖”的颁奖盛典。

当然,我们哆嗒数学网作为一个身在中国的数学普及公众号,会更多的聚焦盛典的中国元素和数学内容。

先说说这个奖项的资助人。资助人可都是互联网和科技界的大咖,除了刚刚说的尤里·米纳尔,还有谷歌的联合创始人谢尔盖·布林、脸书创始人的扎克伯格、23andMe联合创始人安妮·沃西基。当然,还有中国人都知道的阿里巴巴的马云。以及刚刚不久前加入成为赞助人的,另外一个大家耳熟能详的中国互联网巨神腾讯公司创始人马化腾。

既然是奥斯卡奖,当然不会缺少走红毯的环节啦。让所有杰出的科学家享受巨星般的待遇是这个盛典的目的之一。下面就是恽之玮和张伟出现在红毯上的照片。

 

典礼开始前,会有一个比较热血的开场白,这几年这个念白似乎一直没变过:

“今晚在美国硅谷一号机库和航空航天局阿姆斯研究中心现场。科学界、技术界和好莱坞最璀璨的明星们齐聚一堂。他们将把超过2500万美元的奖金颁发给在生命科学、数学以及物理学领域的有杰出成就的人士。——这就是“科学突破奖”,他们是改变世界的科学家!”

念白完毕,LOGO登场。


当然,每一次颁奖典礼都会有一个主持人,这一次的主持人是,很多人眼中的“上帝”——摩根·弗里曼。

 

 

在台下,我们也发现了曾在中国红极一时的超级“网红”——“奶茶妹妹”章泽天。现在她是京东创始人刘强东的夫人。

 

当然,任何庆典都不会缺少音乐。这回的音乐表演是由超级巨星大提琴手兼演员欧阳娜娜(大会背景旁白就是这样介绍的)和多次获得格莱美奖提名的嘻哈说唱超级巨星歌手维兹·卡利法共同演出。大提琴和说唱的结合也蛮有特色的。

伴奏中,还有中国鼓。


表演结束后,主持人弗里曼再次感谢了欧阳娜娜,并向来宾们强调,2000年出生的欧阳娜娜只有17岁。这引来全场的欢迎,欧阳娜娜也起身向周围表达谢意。

 


庆典上,主持人弗里曼从生命科学家和其他人们一直在和各种疾病做斗争,引出了两段悲伤的故事。其中一段是关于数学家米尔扎哈尼的。这位当今唯一一位获得过菲尔兹奖的女性今年因为乳腺癌去世,享年40岁。而庆典中展示的米尔扎哈尼2014年从时任韩国总统,同样是女性的朴槿惠手中接过菲尔兹奖的照片,让人唏嘘不已,感慨世事无常。

 

2018“科学突破奖”的数学奖的颁奖嘉宾有两位。一位是曾经红遍全美的NFL橄榄球球员、麻省理工数学博士约翰·尤索,另外一位是DeepMind创始人戴密斯·哈萨比斯。DeepMind公司制作出的围棋人工智能软件AlphaGo,打败了人类最强棋手的。

颁奖之前当然是获奖者的VCR,视频大概1分50秒,视频中哈康称自己是一个“Slave Driver”,好吧,这是一个俚语,我们强行翻译成了“大恶人”。

两位获奖人领奖。获奖感言是由哈康一个人说的。他表达了希望更多的研究人员进入他们所在领域的意思。他还强调他们会乐于和所有进入该领域的人分享最深刻的研究成果。


最后全体获奖人员上台,大结局。

 

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莫比乌斯带:在拓扑中有着最丰富的故事

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,金星光,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,mathyrl。

 

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遇见莫比乌斯带——拓扑世界中最具有“讲故事”潜力的拓扑结构。

 

 

如果你和数学家戴在一起或者去参加数学拓展项目,你很有可能会遇到莫比乌斯带。它在数学世界中是一个很特别的存在,原因在于它很容易被制作,娱乐性很强并且隐藏着一些令人吃惊的数学秘密。

 

你可以在自己舒适的家里,仅仅用一条纸带或者意大利面团就可以做一个莫比乌斯带。将纸带(或面团拉成条状后)一端固定,另一端旋转半周后,将两端粘到一起就可以得到一个莫比乌斯带。它看起来很像一个圆柱体,但还是有些不一样的。如果碰巧你是一个编织手的话,或许能够制作一个可以穿戴的莫比乌斯带。

 

 

我们通常使用莫比乌斯带来说明拓扑学中的可定向性。可定向性是你所熟知的但却很难被定义概念之一。我不记得有多少次我盯着我的教科书里对于“定向”的定义:“一个对于局部定向的连续选择。”我觉得这个解释毫无用处。为什么这个词的定义中还会包含这个词。

 

还有一个更直观的方式去理解可定向性,至少对于一个在三维空间中的二维的物体来说,空间是可定向的。如果你可以选择“向里”和“向外”或者“向上”和“向下”,来定义二维空间表面每一点的方向,并且这个方向具有一致性。你该不会用“从上到下”来定义一个相同点的方向吧?

 

或许弄清楚莫比乌斯带最直观的方式是将一个球体、一个圆柱体和一个莫比乌斯带一起把玩。如果你拿着一个球体,在北极点处你可以宣称此点方向“向外”,指向为竖直向上。当你在球面上移动该点时,“向外”的方向仍然指向球体外部。相比之下,试着在莫比乌斯带上任意选择具有“向上”或者“向下”的点。当你沿着莫比乌斯带滑动时,最终回到最开始所选择的点,方向已经由“向上”变成“向下”了。尽管你用一张具有正反面的普通纸制作成莫比乌斯带,但此时已经失去了正反面。你可以通过直线移动,从纸的正面到背面,而不是把纸翻转过来。

 

在莫比乌斯带中蕴含着很多数学中的奇妙现象。一个经典的做法是将莫比乌斯带沿中间剪断,看看你能得到些什么。如果将莫比乌斯带沿三等分线剪开呢?如果你将莫比乌斯带再多旋转几个半周、结果又会怎么样呢?比起在博客上阅读,不如自己在家里验证会更有意思。

 

我最近才了解到到的有关莫比乌斯带的特性是六色定理。你可能听说过四色定理:任何一张地图都可以用四种不同的颜色将其涂满,并且相邻的国家颜色不同。这个定理并没有它所陈述的那样正确。我们需要指定这张地图是在球面或平面上。准确来讲,不同的表面上有不同的地图颜色定理,而对于莫比乌斯带,它是六色地图定理。

 

要使这个定理得到验证,首先要记住莫比乌斯带是像任何好的数学对象一样,是一个理想化的存在,它并不存在于我们混乱的现实世界中。它是二维的,不是像真实的纸张那样是三维的,因为不存在任何的厚度将它前后面分开。为了将这一观点形象化,你可以用一张透明的纸制作一个莫比乌斯带。这样,当你绘制你的地图时,你就不能在任何一点上把纸的两侧染成不同的颜色(莫比乌斯带是二维的)。如果你在一张纸上绘制地图,然后再把它折成一个莫比乌斯带,那么平面上的四色定理将会起作用。

 

 

在这里我有一张需要用六种颜色涂满的莫比乌斯带的图片。在你的电脑屏幕上可能很难看出来,最好的方式是自己在家里制作一个吧,而不是听我在这里讲!

 

莫比乌斯带也同样吸引着艺术家。你可以制作或者购买印有莫比乌斯带图案的围巾、吊坠和戒指,你甚至可以演奏有关莫比乌斯带的音乐。它讲故事的潜力也是很强大的:你沿着某个东西转了一圈,回到起始的地方但迷失了方向。向上变成向下,向里变成向外。或许以莫比乌斯带作为故事的创作背景,最赞的就是Vi Hart创作的感人故事啦, Wind 和 Mr. Ug,两个“似乎”永远不可能相见的朋友。

 

(https://www.wimp.com/mobius-story-wind-and-mr-ug/ 这是这个故事的链接视频,没有字幕但很容易听懂。整个创作是在一个莫比乌斯带上完成的,先是讲了 Wind and Mr. Ug的故事,后来是Wind 与她的a little pet dog的故事,但后来发生了地震,至于这个故事的结局还需要大家自己去制作一个莫比乌斯带去探寻哈~)

 

 

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无限耳环

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

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拓扑学所关注的是压缩和拉伸,而不是距离。然而无限耳环展示了拓扑学和几何学之间微妙的关系。


拓扑学有时被称为是戴上啤酒眼之后看到的几何或者是没戴眼镜看到的几何。几何学研究各种形状:它们是如何位于空间中的,它们是如何与自己以及彼此之间相互作用的。做几何通常需要用某种方式来测量距离。而另一方面,在拓扑学中,你可以毫无顾忌地拉伸或压缩;所以,在一个拓扑空间中,任意两点之间的精确距离不是本质问题。然而有时候不经意间,几何就会出现。一个数学对象的几何性质会影响其拓扑性质。

 

无限耳环,有时也被称为夏威夷耳环,是我在拓扑中最喜欢的例子之一,因为它展示了几何学和拓扑学之间精妙的关系。

 

为了构造无限耳环,你可以从一个二维欧氏平面开始:先添加一个以(1,0)为圆心,1为半径的圆;再添加一个以(1/2,0) 为圆心,1/2为半径的圆;再添加一个以(1/3,0) 为圆心,1/3为半径的圆。继续这样做下去:无限耳环由所有以(1/n,0) 为圆心,1/n为半径的圆构成,其中n取遍所有正整数。

 

 

最终,你会得到一堆嵌套着的圆,并且它们恰好只有一个公共点(0,0)。当然事情并未到此结束。思考一下无限耳环它不是什么,这是很有教益的。例如,它不同于过同一个公共点的无穷可数多个相同大小的圆组合起来(我们称之为由可数多个圆构成的楔或花束)。这一事实可能会令人惊讶,因为毕竟,我们可以用不同的压缩比例来压缩那些圆,然后再把压缩后的那些圆压到同一平面内;或者也可以从另一个方向进行转换:通过吹胀无限耳环中的那些小圆至相同大小。尽管这些转换都很平淡无奇,但这两个空间并不完全是拓扑等价的。

 

圆本身也是一个拓扑空间,当我们谈论无限个圆时,我们并不要求它们位于任何特定的空间中。然而无限耳环却位于一个平面内,这就影响到了它的拓扑性质。我们无法将由可数多个相同大小的圆构成的花束形状放入一个平面内,因为这些圆将以我们不希望的方式产生重叠。


证明两个空间在拓扑意义下相同是很困难的,但只要有一个拓扑性质不同就能证明它们是不同的。证明无限耳环不同于由可数多个圆构成的花束的最简单的方法是:放大某些特殊的点的周围,然后看看你能得到什么。如果两个空间是拓扑等价的,那么当你在两者对应的点附件同时放大时,你会看到拓扑等价的东西。这两个空间最特殊的点就是所有的圆的公共点,即楔点。如果我们看一看这个点周围的一个小区域,我们就会发现我们想要找的差异。

 

在圆构成的花束中,楔点的一个小邻域由每个圆上一点的小邻域构成。它就像一把意大利面条。(“很多”根意大利面条。)


无限耳环上的点(0,0)周围的一个小的圆邻域是欧氏平面的一个小圆。它具有某个有限的半径,且该半径大于耳环内的某些圆的半径。事实上,它比其中的无数多个圆的半径都大。所以该小圆包含了耳环内无穷多个圆。也用面食来做比喻的话,它就是有限多根条状的面以及无限多根(很小的)圈状的面。

 

 

无限耳环和由圆构成的花束之间的区别还可以以其它复杂而宜人的方式表现出来,但我想我会把它们留待以后。现在,我打算再考虑另一个异于无限耳环的空间,而这个空间也是位于一个平面内的。

 

如果我们是向外构造圆,而不是向内,即它们具有整数半径1, 2, 3,等等(也许我们应该称它为更大的无限耳环)。我们得到了另一个与无限耳环完全不同的空间。有几个拓扑性质可以区分这两个空间。最容易看到的是:无限耳环是有界的而更大的无限耳环不是。


这两个无限耳环之间的另一个区别是:其中一个空间是闭的,而另一个不是。平面上的闭集有几个等价的定义。其中之一是:任何与集合中的点非常接近的点都在该集合中。更大的无限耳环不包含y轴上除(0,0)外的其它点,然而随着耳环中的圆越来越大,它们看起来越来越像一条直线,所以它们越来越接近y轴。当我们取遍整个空间的无限个圆时,y轴上的每个点都非常接近更大的无限耳环上的点,但它们每一个都不在更大的无限耳环上。


另一方面,较小的无限耳环就不存在这个问题。半径为1的圆是所有圆中最大的,所以该圆限制了y轴与所有圆接近的程度。


我花了一段时间来接受这样一个事实:无限耳环与圆构成的花束以及更大的无限耳环真的是如此不同,一个空间的几何性质真的可以对拓扑性质产生这样的影响。我想,在学习拓扑的人中,不是仅有我感觉自己只是在相信别人说过的话,却没有办法把它们真正内化。但在那种时候,我会用约翰·冯·诺依曼的一句话来安慰自己:“没人能理解数学,你只能是熟中生巧而已。”

 

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它是一条连续的线却能填满空间

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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铺满空间的曲线,一张在空间维度中具有跨越维数的谜图,他有着惊人的现实应用。

 

 

停下来看看这个独特的现象吧。想看一条能铺满空间的曲线的图像?看吧,就在下面!

 

 

啊,你一定会认为我是个逗比吧!一条可以铺满空间的曲线就好像说:一条线可以乱画,然后弯折便能铺满一个2维的区域,在这个例子中便是一个正方形。(同样地3维,4维空间的曲线也是如此,一条线可以铺满你所给的空间!)


铺满空间的曲线在他们的完整形态上并没有什么特别的特征。你可以从黑色实心正方形中学到什么?相反地,就像其他的分形,我们通常可以认为铺满空间的曲线可以是一个有限步的构造的无限版本。

 

有多种利用迭代来构造铺满空间的曲线的方法,这里是其中一种的动画版本(其实是希尔伯特曲线)。

 

 

在每一步,线中的每一段都被一个四段的折线所替换。这个过程中的每一条曲线都不能铺满整个空间,然而如果我们想象一下,这个过程要是可以一直持续下去,那么最终我们得到的那个无限版本就可以铺满整个空间了。


铺满空间的曲线挑战了我对维度的直觉。一条铺满空间的曲线就是一条直线的像,这一普通的一维对象,却可以铺满整个平面,这一普通的二维对象。这感觉就像是一个规规矩矩的函数,就不应该把一个一维的东西“映成”一个二维的东西一维便是一维,二维就是二维,两者毫不相干。不过还好,它只存在于无穷的情况,只是仍然有些让人不安。

(如果你正在学拓扑学课程,你可能会非常紧张。线和平面是拓扑上是不等价的,但是一条铺满空间的曲线却是一个连续的函数,他将线“映成”平面。这是怎么回事呢?难道,数学根基的错误被我们发现了?)


很难想象这种如此抽象化的弯曲程度近乎无限的线会在现实世界中有什么联系。但是事实上,充满空间的曲线让一维空间“映成”二维甚至多维空间的方法在数据处理中有许多现实应用。在这个非常奇妙的视频中,Grant Sanderson解释了一种能充满空间的曲线,希尔伯特曲线,是如何帮助我们寻找到一种最优的途径将一个图像的二维可视化数据转为一维声音数据。(B站传送门:https://www.bilibili.com/video/av4201747/index_2.html#page=1)


如果你想在自己的电脑里实现,这里有许多方法生成你自己铺满的空间曲线。如果你想投机取巧的话,只需要涂满一些方块。如果你对如何实现使用迭代方法来构造铺满空间的曲线,你可以遵循Vi Hart的方法来画龙形曲线,而Andrea Hawksley(她的灵感来源于Kyle Calderhead)将帮助你编织一条属于你自己的以希尔伯特曲线为图案的毛毯。

 


对于我而言,我在一本以数学为主题的绘本《Patterns of the Universe》中寻找到了属于我自己的铺满空间的曲线的奥妙。在他们的书里,有两页画了铺满空间的曲线。一条是在封面上显示出来的,而另一张则在下面,是用线将点连起来的图形。


在这个星期的前半部分,我一直驳斥着一些人对数学教育的错误观点,而此时给一条舞动的蛇上上色就能使我的心归于平静。

 

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拓扑学家的正弦曲线

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,sanshi。

 

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在拓扑空间中,拓扑学家的正弦曲线的经典在于它连通但非道路连通,即你可以看到他的终点线,但你不能从这里跑到那里。

 

 

分析和拓扑的学生初看这个集合有四个基本的性质:开区间、闭区间、紧的以及连通性。在前面的这些性质中似乎连通性是最简单的。


连通这个词语的解释很好理解,但在数学中要严格地定义却出奇的困难。拓扑学家的正弦曲线就是众多例子中的一个,这个例子可以明确的说明连通的含义。

 

在通常词典里,我们通常认为连通是两个物体之间的性质:A和B如果以某种方式重叠或者你可以从A连到B那么我们说A和B是连通的。在数学里面连通性是一个集合的性质。那么我们如何让自然语言的思想数学化并应用它?一个似乎很理所当然的定义是,如果你可以从集合中的一点到集合中的任意一点那么我们称之为连通。但是如果是联排公寓又如何呢?

 

在联排公寓中,你可以从一个房间到同一单元的另一个房间,但如果你不离开联排公寓你就不能从一个单元到另一个单元。那么联排公寓楼连通么?我想应该是连通的。所以这不是连通的正确定义。能够在集合中从任意一点到另一点是一个非常有用的数学性质,但是这个性质太强了。数学家称这样的空间为道路连通,稍后我们会仔细讲讲它。


连通性是一个很微妙的东西,我们再次尝试着定义如下:一个集合X是连通的,如果你不能粘贴一子集在某个非空子集A中,而剩余的部分在非空子集B中,以至于A、B不相交。这里有一个小问题:这样的定义可能会完全失效,因为这会让太多的空间分裂。我们可以将所有实数集分裂成这样的集合:大于等于0,小于0。它们不相交,因此以我们的定义实数轴是不连通的。很明显通常的实数轴因该是连通的但是这样的定义让它不连通了,所以,这就错了。

 

问题在哪里呢?我们将分界点包含在一个集合中而没在另一个集合中。如果我们让两个集合同时包含分界点,集合将会相交;如果两个集合都不包含分界点,集合将不会相交,但是这两个集合也就不能覆盖实轴上所有的点。“正确”的答案是从两个区间中排除端点。 区间不包含它的端点我们称为开的。所以我们说集合X是连通的,如果你不能做到粘贴某一子集在非空开子集A中,而剩余的部分在非空开子集B中,且A、B不相交。

 

这个定义不仅仅在一维集合中成立;我们也可以在更高维定义开集。基本上,一个集合是开集如果这个集合中没有任何一个点位于边界上,或者等价的定义,如果集合中每一个点都存在完全包含在集合中的一个小邻域那么这个集合为开集。

 

下面是拓扑学家的正弦曲线的一部分,注意到图形的左边部分实际上并没变成实心的。这只是由于用有限的常识去理解无限的结果。图像由Morn the Gorn提供,维基共享资源。

 

这个空间是函数 f(x)=sin(1/x)在(0,1]区间加点(0,0)的图像。我们可以看见随着x接近0,1/x越来越大,所以sin(1/x)在-1到1之间剧烈震荡。拓扑学家的正弦曲线是数学系学生看到的第一个例子,它连通但非道路连通。你可以看见他的终点线,但你不能从这儿到那儿去。

 

为什么连通?让我们尝试着将它分到两个不相交的开集。其中的一个集合包含点(0,0)因为是开集,它也包含以(0,0)为中心的领域内。无论多么小的领域内它都将包含一些x正半轴的点和在y轴上的0点。也就是说着它将包含一些f(x)的图像。这就意味着如果我们想要分裂空间我们不得不将函数f(x)的图像的一部分分到一个集合,而剩下的部分分到另一个集合。但是这儿没有办法分裂这个图像,是连续的曲线,就像实轴一样是连通的。


那为何拓扑学家的正弦曲线不是道路连通的呢?假设你正尝试着从 f(x)图像上的一点到(0,0)点,你将会一直走,走到永远。你会真的真的很接近它,但总会有一条无限长的路还在你面前。


一个密切相关的空间是封闭的拓扑学家的正弦曲线。一个封闭的空间包含所有边界点,边界点意味着可以任意接近集合里面的点。随着曲线f(x)震荡,所有在y轴上-1到1之间的点越来越接近曲线上的点,所以为了使拓扑学家的正弦曲线成为闭集,我们也在y轴上划分一个-1到1的线段,作为边界。这样不会破坏其他的拓扑性质——它依然连通但非道路连通——但是现在也封闭了。有些人喜欢玩这样玩儿。


如果你之前学过拓扑学,你可能看到过一条称做紧致性的拓扑学性质的定义:一个集合是紧致的,如果每一个开覆盖都有有限子覆盖。拓扑学家的正弦曲线不是紧致的,但是封闭的拓扑学家的正弦曲线却是。本着挫败数学教科书的精神,我将为读者留下一个思考题:找出拓扑学家的正弦曲线的一个开覆盖但是没有有限子覆盖,然后指出为什么这例子在封闭的拓扑学家正弦曲线中不成立。在一个闭,不可数,无处稠密的[0,1]区间的子集之后写下你的答案,然后送到康托广场,Log2(3)邮箱

 

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醉鬼能回家,但喝醉的鸟儿可能永远回不了家!

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作者,小米,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

 

A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.  —— Kakutani

醉鬼总能找到回家的路;但是喝醉了的鸟儿可能永远回不了家。 —— 角谷静夫

 

今天我们要谈的是一个概率论中的重要结论:Z^d上的随机游走当d≥3时是非常返的,而当d=1,2时是常返的。

 

Z^d在这里表示由d 维欧氏空间中全体整点(即坐标全为整数的点)构成的集合。想象有一只青蛙以秒为时间单位在Z^d上做随机游走,那么它将按如下规则运动:在初始时刻(记为第0秒),青蛙位于原点;在每一秒钟,青蛙都会等概率地跳到某一个与它上一秒所在位置相邻的整点。由于Z^d上的每个整点都有2d个邻居,因此这个概率也就是1/(2d)(见下图)。

我们这里介绍的随机游走看似一个简单的数学模型,其实它的应用十分广泛。最常见的例子有物理学中布朗运动,金融市场中股票价格波动等等。

 

那么我们的问题就是,既然青蛙一开始位于原点,那是否总存在一个(随机)时刻T,使得第T秒时青蛙又回到原点呢?如果是,那么我们就称这样随机游走是“常返”的,否则就称是“非常返”的。

 

 

事实上,我们总可以假设存在一个介于0和1之间的实数p,它就是青蛙回到原点的概率。仔细想想,其实p的存在性本身也是不平凡的,因为我们知道古典概率论中,事件的概率只涉及到有限个变量,而这里回到原点的行为却与青蛙在无穷时间内的行为有关。当然,在公理化概率论中,通过建立起合适的概率空间,我们可以说明这样的p是存在的。这样,我们通过引入p,判断常返性就转化为判断p是否等于1的问题了,因为“总能回到原点”用概率论的语言来说就是“以概率1回到原点”。

 

下面我们来看随机游走另一个有趣的性质:马氏性。我们注意到,对于任意给定的时刻,比如第100秒,第100秒后的青蛙的位置只取决于第100秒时青蛙的位置,而前100秒的时间里,青蛙如何跳到这一位置方式无关。这就是所谓的“马氏性”,即给定现在,未来和过去独立。随机游走还具有“强马氏性”。所谓“强马氏性”,是指可以把前述的“第100秒”换成任意“只取决于历史的随机时间”(这样的时间又叫停时)。比如我们定义T成为青蛙第一次回到原点的时刻,那么T就是一个停时,并且关于T的强马氏性可以这么理解为:在随机时间T之后发生的事情,与在随机时间T之间发生的事情无关,因为我们知道在第T秒,青蛙又回到原点了,所以在时间T后开始的随机游走与一开始从原点出发的随机游走将遵循同样的规律。

 

如果要解释什么叫“只取决于历史”,不妨看一个买卖股票的例子。比如说你今天想卖出一只股票,你当然希望可以在一天当中最高价的时候卖。但很遗憾,除了碰运气,这是不可能做到的,因为除非一天已经结束了,没人能知道股价什么时候位于最高点。相反,如果你的策略是,“如果股票价格位于过去12个小时内的最高点就卖出股票”,那这就是一个可行的策略。后面这个策略中的交易时间就是一个“只取决于历史”的随机时间,也就是停时,而前者“一天当中的最高价”则不是停时。

 

如果你没看懂上面一大串关于马氏链和停时的描述,没关系,你一定也可以直观地理解以下结论。如果从原点出发的青蛙以概率p会回到原点,那么青蛙一定会以概率p^2(p^n表示p的n次方,下文相同)回到原点两次,这是因为,青蛙回到原点两次=青蛙回到原点1次+青蛙从原点出发再回到原点1次。由强马氏性,拆分后的第二个事件的(条件)概率也是p;因此,青蛙回到原点两次的概率就是p^2。同理,青蛙会以概率p^3回到原点3次,以概率p^4回到原点4次,等等。如果我们把青蛙回到原点的总次数记为N,那么上面的计算表明P(N≥k) = p^k,也就是说N是一个服从几何分布的随机变量。当p=1时,上述论证依然成立,只不过我们得到的N是一个取值恒为+∞的随机变量。

 

于是,根据几何分布的期望公式,我们得到了N的期望为EN = 1/(1-p);同样地,当p=1时,该式理解为EN=+∞。因此,EN是有限还是无穷,就刻画了随机游走是否常返。

 

我们还可以从另一个角度来计算EN。令X(n)为第n秒青蛙所在的位置,而an是取值0和1的随机变量,其中a(n)=1当且仅当X(n)=0,即a(n)=1当且仅当第n秒青蛙位于原点。根据定义我们得到N是全体a(n)的和,也就是N=a(1) + a(2) +…+ a(n) +… 这是显然的,因为整个数列(a(n))中有多少个1,就代表青蛙返回了多少次原点。

 

当我们对以上无穷和式取期望,并根据期望的线性性,交换无穷求和与求期望的顺序(这里能够换序是因为涉及的项an都是非负的,因此满足换序的条件),我们得到


EN = E(a(1) + a(2) +…+ a(n) +…) = E a(1)  + E a(2) +...+E a(n) +...


等等,E a(n)  是什么呢?根据定义,E a(n) = P(X(n)= 0),正是第n秒青蛙恰好位于原点的概率!计算这个概率就是一个组合问题了,而判断常返性则变成了一个判断无穷级数敛散性的问题。

 

记A(n)= E a(n) = P(X(n)= 0)。下面我们的目标就是对A(n)进行估计,并由此判断无穷级数∑A(n)是否收敛。

 

在一维(d=1)时,如何计算An呢?注意到每一秒钟青蛙必须向左跳或者向后跳。因此在第n秒回到原点的必要条件就是n为偶数。而当n为偶数时,青蛙必须恰好有n/2的时间向左跳,有n/2的时间向右跳,才能在第n秒回到原点。我们知道每秒钟青蛙向左和向右的概率都是1/2,那么利用组合数公式,我们就得到


 
对于阶乘,斯特林公式给出了渐近公式:m! ∼(m/e)^n·sqrt(2πn) (sqrt表示开二次根号,下同)。代入A(n)的表达式,我们得到A(n)∼1/n·sqrt(2/π)这个渐近关系当然只限于n为偶数)。微积分中熟知的结论是p级数∑1/n^p收敛当且仅当p>1,否则发散。于是我们得到∑A(n)在d=1时发散,也就是说一维随机游走是常返的。

如果我们在高维时采用类似的方法,就能得到A(n) ∼ c· n^(-d/2),其中c是与d有关的一个常数。同样再借助p级数的知识,就能得到当且仅当d/2 > 1时,也就是d ≥3时,随机游走不常返;相反,d=1,2时,随机游走常返。

为了避免复杂的组合数估计,我们也可以从另一个简单的事实中看出A(n)的阶就是n^(-d/2)。如果我们令y(n)=X(n)-X(n-1)为第n秒时青蛙的位移,容易看出所有y(n)都是独立同分布的随机单位向量。由中心极限定理,Z(n) :=X(n)/sqrt(n) = (y(1) + y(2) + … y(n))/sqrt(n)将趋向于一个d维正态分布Z。那X(n)=0意味着什么呢?由于X(n)只能取整点,那么X(n)= 0表明Z(n)的取值大约位于原点附近一个边长为的1/sqrt(n)小正方体中。根据中心极限定理,Z(n)的取值落于这个小正方体中的概率与Z是差不多的,而对于后者,这样的概率恰恰就约等于小正方体的体积,(1/sqrt(n))^d(注意到是d维空间),乘以原点处Z的密度函数大小,一个非零的常数。这样我们就很容易得到了A(n) ∼ c· n^(-d/2)这个结论。

如果要把这个随机游走的小结论用于生活中,我们也许会为再也不用担心认不得路而感到欣慰,因为二维随机游走是常返的,就算是不认识路随便乱走,也总能到达任何想去的地方!当然这句话既对也错;对的地方在于,由常返性,确实总存在一个时间T,在平面上随机游走的你也能走到任意想去的地方;错的地方在于,更进一步的理论表明,这个随机时间T是一个期望为无穷的随机变量,也就是从平均的意义上说,你永远也到不了目的地!

 

 

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原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家

 

胖康托集:由它可构造不可积的有界导函数

 

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,e^iπ+1=0,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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上回我们写了一篇关于康托集的文章,它是一个将小与大统一起来的有趣的数学空间。

 

说小是因为它的长度只有零,但是说大是因为它本身是个不可数的集合。

 

一旦一个数学家着手处理一个数学对象,直觉上第一步便是试着摆弄它,然后看看会发生什么。这使我们得到了胖康托集(编者注:Fat Cantor Set 正规教材上译为类康托集,但是本文要显示他比康托集“肥硕”于是就这样翻译了)。


当有人提起康托集时,他们指的是标准三分康托集,也就是我之前提到的那个康托集。

这个集合的构造是通过将区间[0,1]中间三分之一的部分移除,只留下区间[0,1/3] 和 [2/3,1]。

然后将剩下的每个区间再去掉各自的中间三分之一,这样的操作一直重复下去。

令人惊奇的是,这样的操作使得这个区间还有一些东西留下,却没有长度。

而被移除的区间长度总和是1,而这就是原来区间的长度。

 

 

第一个能想到的符合逻辑的操作就是将康托集移除三分之一这个比例换成其他的比例。

如果我们只移除每个区间中间的四分之一会产生什么样的结果呢?

我们同样从区间[0,1]开始操作。


第一步,我们只留下区间[0,3/8] 和 [5/8,1]。

然后我们继续移除每个区间中间四分之一的区间(移除的区间长度变为3/32)。

你可能会认为会有更多的东西被留下,因为我们每步移除了更短的区间,但这个想法是不对的。

如果你将所有移除的区间长度都加在一起,我们仍旧得到1。

这个康托集实际上并没有比我们之前那个集合更有趣。

当然我们也没有变得更不幸运。

如果我们保证每次移除区间所用的比例都是一样的,那我们总能得到移除的区间长度总和为1。

当然有很多方法区别那些移除中间三分之一,四分之一,或者任何一个比例的康托集,但是现在我们准备试着对康托集做很不一样的操作。

第二件我们可以做的事情是改变每次移除区间时所用的比例。

我们将再次从区间[0,1]中移除中间四分之一的区间,这样我们留下区间[0,3/8]和[5/8,1]。

但是到了第二步,我们将从每个剩余的区间中移除它中间一个长为十六分之一的区间。

这时候,情况已经发生了些许变化。


之前的时候,我们从每个剩余区间移除了长为三十二分之三的区间,这比起十六分之一稍微长上一些。

在新的构造中,我们将不断改变每一步里剩余区间需要去除的区间长度。

 

 

在第一步中,我们移除了初始区间的四分之一。

在第二步中,我们从每个剩余区间移除长为十六分之一的区间,相较于初始区间,共移除了八分之一。

在第三步中,我们每个剩余区间移除了长为六十四分之一的区间,相较于初始区间,共移除了十六分之一。


我们可以继续这样的操作,到了第n步的时候,我们将移除整段区间1/2n+1的长度。


如果这个步骤无限地做下去,我们总共移除的长度将会是1/4+1/8+1/16+…,而它的和则是1/2。

这时候我们的确得到了一些新的东西!

这个结构被称作史密斯-沃尔泰拉-康托集合,或者是胖康托集。

康托集的一维测度是0,这是因为我们移除的区间长度和等于一开始的区间长度,但是胖康托集还留下了一些东西——从整个[0,1]区间里留下整整一半。

那这些是从哪里来的呢?

根据构造过程,胖康托集不包含任何区间。

每当我们看到一个区间,我们都要移除这个区间中的一部分。

某种程度上,有一些长度是被留下了,但不是以我们熟悉的方式留下的。

如果我们试图用手去抓,只能抓到一把灰尘。

康托集挑战了我对小与大的直觉认识。

胖康托集更将我的直觉完全吹散了。

一个没有任何微小片段的一维物体究竟是怎样获得一定长度的?

当然,这样说其实不完全公平。

在区间[0,1]上的所有无理数组成的集合,它的一维测度为1,长到居然与整个区间一样,但是这个听上去并没有那么的违反直觉。

无理数无处不在。

所以,你在数轴上随便一扫,都能扫到无理数。

在数学上,我们把这种情况叫做区间上稠密,或者在所有实数构成的集合中,无论怎么样选择一个子区间,无论有多小,都会包含着无理数。 

是否稠密这一问题使得胖康托集变得更奇怪。

胖康托集在[0,1]区间上不是稠密的,而且他们甚至在任何更小的区间上都不是稠密的。

无论你的区间取得多么小,你都能找到一个完整的区间,其中任何一点都不在胖康托集中。

我们将这种情况叫做无处稠密(nowhere dense)。

这样胖康托集的长度是1/2就没什么稀奇的地方了。

事实上,调整每一步需要移除的区间长度,我们可以得到一个按照我们想要的任意长度的康托集。

我们不能得到一个长度为1的胖康托集,但是我们可以得到一个长度趋近于1的胖康托集。

无论我们将胖康托集塑造的多大,他们都不会占满任何一个区间,并且会无处稠密。

那我们可以在哪里看到他们呢?

我第一次遇到康托集的地方就是康托函数,这我提到过了。

康托函数,或者说是魔鬼的楼梯,向我们展示了联系了微分与积分的微积分基本定理的局限性。

事实上胖康托集也能做到这一点。

特别地,意大利数学家沃尔泰拉 (Volterra ,1860-1940)利用胖康托集构造了一个可微函数但是导函数不可积。

 

 

 

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既“大”又“小”的康托尔集

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,金星光,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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康托尔集很庞大,但它当中几乎不含有任何“内容物”。

 

上个月,我写了关于π-Base网站的一些文章,这个网站与《拓扑学中的反例》这本书起着相似的作用。碰巧这学期我教授拓扑学这门课程,因此去回顾这些有价值的反例是件有趣的事情。作为博客上的一个新系列,我将会写一些看似怪异但不乏趣味性的数学空间的文章。我们就以康托尔集开始吧,这个有用的空间一直活跃在全世界的数学领域中。

 

通常有两种主要的方式来思考和理解康托尔集,我们先以第一种比较有趣的思考方式开始吧。我们先画出一条从0到1的线段,并且包含端点,因此我们得到闭区间[0,1]。现在我们将这个区间三等分,去掉中间的开区间(1/3,2/3),然后我们就会得到[0,1/3]和[2/3,1]这两个闭区间。接着我们分别从中间去掉[0,1/3]和[2/3,1]这两个区间中间的1/3,我们就会得到[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]和[8/9,1]这四个区间。如果我们按照以上的方式继续做下去的话,我们就会得到康托尔集。


可能稍微令人惊奇的是,当你继续上述的所有步骤之后,几乎没有什么东西剩下。但是如果你进一步的思考,你将会发现0 , 1/3 , 2/3 , 1以及子区间的端点并没有被去掉。更令人惊讶的是,不仅仅是这些端点,还有非常多其他点, 因为端点数量只有可数个,但是整个康托尔集却是个不可数的集合。想要弄清楚原因,就让我们以另一方式来重新思考康托尔集吧。 

 

第二种描述康托尔集的方式虽然有些枯燥但会更加精确。我们通常以十进制来书写数字,但除了这种书写方法以外我们还可以以三进制来书写数字,这就意味着我们只需要数字0、1和2就可以了(十进制书写的1到10如果以三进制来书写就会写成1、2、10、11、12、20、21、22、100、101)。康托尔集是闭区间从0到1的数字中,那些在三进制中仅用0和2书写的数字的集合。例如,0是包含于康托尔集中的,至于1可以被写成0.22222....(就像0.9999...=1那样)。

 

用三进制的方式来思考康托尔集特别自然地符合康托尔集的构造。将闭区间[0,1]中的所有数字用三进制转换。当你去掉区间(1/3,2/3),你就同时在去掉这个集合中三进制小数中第一个小数位为1的点。当你去掉剩下区间的1/3,你就同时在去掉三进制小数中第二位小数为1的点,以此类推。但我们确实要对端点值小心。早期的时候,我们注意到数字1可以被写成1或0.2222...类似地1/3可以被写成0.1或者0.0222222...。任何用三进制书写的数字如果以1收尾都可以用2的无限循环来代替,康托尔集是三进制中仅用0和2表示的数的集合,但这并不意味着这个集合中的所有数字一定要按照这种方式来书写,因此我们允许1、1/3以及诸如此类的数字成为这个集合中的一部分。

 

康托尔集并不仅仅是一个可以纹在身上的炫酷的事物,它也拥有许多很好的性质出现在早期的拓扑学和分析学的课堂上,你也可以用它来测试一些拓扑学和分析学中的一些新的定义。它将“大”和“小”的特性有趣的结合到一起。我在前文提到康托尔集是个不可数集。在去年夏天我写过一些有关不可数集合的文章。可数集的定义依赖于集合中的元素可列,即使我们不能写下整数集所有的元素,但是我们能够想出一种方法去列出它们,知道每个整数将会出现在数列中的哪个具体的位置上,因此整数集是可数的。令人吃惊的是,一些看似很大的集合依然是可数的。最令我吃惊的要数有理数集啦,有理数集理应要比整数集“大”,但准确来说,有理数集与整数集具有相同的元素个数。

 

实数集是不可数集。这意味着任何我们想要列出这个集合所有元素的方法都将以失败告终。康托尔的对角化论证,完美的证明了这一点,这是我最喜欢的数学证明。同样的方法可以证明康托尔集是不可数的,事实上它与实数集的元素个数相同。

 

这就是康托尔集开始成为反例开始的地方。它是不可数的,但它也没有包含任何“内容物”。它的长度是零。一种方法去注意到这一点是在于你每一步都去掉剩下某个区间长度的1/3.第一步,你去掉闭区间[0,1]这个区间长度的1/3,第二步你又去掉剩下区间长度的1/3,总共去掉了2/9.你去掉的长度总和是1/3 + 1/3 × 2/3 + 1/3 × 4/9 + 1/3×8/27 + …很容易的计算出这个几何级数的和为1。而这个区间的长度为1,我们去掉1个单位长度,最后却得到了多达整个实数数量的康托尔集。

 

如果你想要了解更多有关康托尔集的知识,π-Base列出了很多它的拓扑性质:它是紧致,完全分离,拓扑完备,非无核集(无核集定义:非空闭子集必有孤立点——编者注)。Cut-the-knot math有更丰富的有关康托尔集的知识,Robert Vallin(上述图片中有康托尔集纹身的人) 写了一本有关康托集的书。祝大家阅读愉快!

 

 

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USNEWS公布全球最佳大学数学排名

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美国有多个机构对大学进行排名,其中最有影响力的就是由《美国新闻和世界报导》在每年下半年公布排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。2017年10月26日,2018年USNEWS全球最佳大学排名已经公布。在最佳大学名单上,前四名和上一次没有变化,哈佛大学、麻省理工学院、斯坦福大学、加州大学伯克利分校四所美国大学分列前四。

 

 我们哆嗒数学网的小编最关心的还是数学学科的排名。共有200所大学列入数学排名的榜单。这一次排名第一不再是来自美国的高校,而是来自法国的巴黎第六大学。斯坦福大学和普林斯顿大学分列二、三名。由于第10名并列,所以有11所大学进入前10名,第四到第十分别为:麻省理工学院、加州大学伯克利分校、牛津大学、纽约大学、哈佛大学、剑桥大学、苏黎世联邦理工学院(并列第十)、芝加哥大学(并列第十)。

 


亚洲共有48所大学进入排名,其中来自中国的高校占据28个席位。前10名中,中国占据6席(内地5席,香港1席),伊朗、韩国、日本、新加坡各占一席。亚洲第一的是北京大学,第二名是来自伊朗的伊斯兰自由大学,第三名复旦大学。
 

 
而中国榜单方面,前三名是北京大学、复旦大学、香港中文大学。第四到十名分别为:南开大学(并列第四)、上海交通大学(并列第四)、北京师范大学、香港理工大学、清华大学、香港城市大学。

 

 

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图说行列式:几张图让你明白行列式的性质

 

作者,【陌生,爱),哆嗒数学网群友,就读于湖北理工学院。

 

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今天小编想给大家讲一下行列式,诸位看到行列式是不是觉得特别亲切,大一的时候学习行列式有没有很痛苦啊?——反正当年小编学习这个是及其痛苦的——也许我比较笨吧,:)。

 

是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式定义?一般的教材对行列式的定义大概两种吧,逆序定义和展开式定义,无论哪种定义方法,都让我当你感觉莫名其妙,一直要到很后面学习了线性方程组,建立了方程与行列式的联系,才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下,学习行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。

 

今天小编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义,从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式,并用几何方法来介绍行列式的基本性质。

 

那我们现在开始来说说行列式吧!首先来看简单的二阶行列式:


 


如上图,平行四边形OACB的面积为:

 

 

毫不意外的(取m = l = 1),我们用这种方式来记忆和角公式:

 

 

因此二阶行列式的值,可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积。那么三阶行列式表示什么含义呢?n阶行列式又代表什么含义呢?类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积。当然n阶行列式就由n个n维向量组成,其结果为n维平行多面体的体积。

下面的文字我们将来解释行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式性质的几何解释,这里我们取二阶或者三阶行列式进行说明。

 

性质1:行列互换行列式不变(转置)。

 

数学语言表述为:

 

 

几何解释:很显然平行四边形两条邻边互换,它的面积依然不变。


这说明行列式的行和列等价,也就是说凡是对行成立的性质,对列也成立。

 

 

性质2:以一常数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。

 

数学表述为:

 



对于二阶行列式,我们看上图就很直观,我们将其中一个向量变成原来的k倍,面积也跟着变成了原来的k倍。

类似的三阶行列式有,平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。

 

性质3:如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式对应的行一样。

 

数学表述为:

 


如图所示,图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面体的体积之和,也就是说一个行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的和。

 

 

 

性质4:如果行列式两行成比例那么行列式为零。

 

数学表述为:

 


先考了特殊情形,当k取1时,也就是说行列式有两列或者两行元素相等时,它所对应的空间平行六面体的两条邻边重合,相应的就是将平行六面体压成高度为零的二维平行四边形,其体积为零,即行列式为零。当k不等于1时,相对应这组向量里面有共线的向量,即由n维降低到n-1维,对应的度量体积为零。

 

 

性质5:把一行的倍数加到另一行,行列式不变。

 

数学表述为:

 


这条性质表述为,以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变。故对应行列式的值不变。

 

性质6:对换行列式两行的位置行列式取反号。数学表述为:

 


因为向量具有方向性,如果我们把符合右手定则的向量积定义为正值的话,则它的反向定义为负值。当det(A)为负值时它就确定了原像的一个反射。

 

 

其实一个行列式的几何意义是有向线段(一阶行列式)或有向面积(二阶行列式)或有向体积(高阶行列式)。行列式是由各自坐标轴上的有向线段所围起来的有向体积的和。这就累加要注意方向,同向相加,反向相减。

 

相信读者应该理解了行列式的几何意义了吧,是不是对行列式有了更新的认识啊?其实小编一直的觉得很多数学量或者数学概念,都可以找出它所对应的直观意义,这样我们的数学学习就不会那么抽象那么难理解了,反而会很有意思。

 

最后希望大家能喜欢数学,反正小编就很喜欢数学——数学虐我千百遍,我却待它如初恋——不管你信不信,反正我自己都不信,啊哈哈哈哈~~~。

 

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软科2017中国最好学科数学排名公布

 

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还记得之前提到的上海交大的世界大学学术排名吗?现在这个排名更名为软科世界大学学术排名了。2017年10月12日,该机构公布了“中国最好学科排名”,包括91个一级学科,其中也包括了数学排名。

这次排名的排名依据包括“高端人才”、“科研项目”、“成果获奖”、“学术论文”、“人才培养”五个大指标。每个大指标又有几个小指标,如何你有兴趣,可以去该排名的官网查看(http://zuihaodaxue.com/BCSR/best_chinese_subjects_rankings_methodology_2017.html)。

数学排名公布了前120名的学校,共123所学校进入榜单。第一名是北京大学,复旦大学和山东大学分列第二、三名。第四到十名分别是中国科学技术大学、清华大学、中山大学、四川大学、浙江大学、西安交通大学、上海交通大学。

 

以下是详细榜单,我们多任何排名的意见都是——你有意见可以提!

 

 

 

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大家好,给大家介绍一下,这些是@获得诺贝尔奖的数学家

 

 

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诺贝尔奖没有设立数学奖,每年诺贝尔奖颁奖的时候似乎都没有数学家什么事情。数学作为一个人类学术的大学科,诺贝尔奖作为最受关注的学术奖项,没有数学奖怎么看似乎都不太合适。

诺贝尔奖由六个大奖项,分别是物理奖、化学奖、医学奖、文学奖、和平奖、经济学奖。数学家在诺贝尔奖里一直没闲着,几乎每一个奖都闪现过数学家的身影。


1、 物理学奖


代表数学家:马克斯·波恩,1954年,因“在量子力学领域的基础研究,特别是他对波函数的统计解释”获奖。

虽然一般被认为波恩是位物理学家,但是wiki上也吧数学家的头衔给了他。波恩在哥廷根大学攻读博士的时候,跟着当时最牛三位数学家——希尔伯特、闵可夫斯基、克莱因——学习过数学。后来拿的学位也是数学博士学位。而波恩的物理学研究,其实用到的非常艰深的数学方法,留下来的一些东西,其实现在数学家也在研究。

 

2、 化学奖


代表数学家:约翰·波普,1985年,因“发展了量子化学中的计算方法”获奖。


虽然波普一般被认为是理论化学家,但波普自认为自己首先是个数学家,然后才是化学家。实际上,波普博士拿的是数学学位,毕业后,还在剑桥大学数学系当过一段时间讲师,自己的化学研究也用到非常高级的数学方法。所以,波普拥有数学家头衔也不算过分。但是,波普的化学同行们却不这么认为,他们坚定的人波普是一个绝对的化学家,然后数学家的身份嘛——他们得考虑一下。

 

3、 经济学奖


代表数学家: 约翰·纳什,1994年,因“在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献,对博弈论和经济学产生了重大影响”获奖。


纳什绝对是一个伟大的数学家,然后顺便拿了个诺贝尔经济学奖。得诺贝尔奖的博弈论,虽然在经济领域应用较多,但也被认为是数学的一个分支。另外,纳什在他27岁时的一个微分几何的成果,也被认为是数学最高奖菲尔兹奖级别的成果。凭借微分几何的贡献,纳什在2015年获得过数学三大奖之一的阿贝尔奖。故事的结局是悲剧的,在纳什领完阿贝尔奖回国后,死于回家路上的车祸。

 

 

如果说物理、化学算是数理化不分家,而经济领域本身和数据打交道比较多,数学家拿奖还算可以理解的话,下面的奖就慢慢的让你感到数学的神奇了。

 

4、 生理学或医学奖


代表数学家:阿兰·柯马克,1979年,因“创立计算机X射线断层成像(CT)的数学理论”获奖。

 


1979年的诺贝尔医学奖的授奖发言中说到:“今年诺贝尔医学及生理奖的两位获奖者都不是医学专家,然而他们在医学领域掀起了一场革命…… 他们所发明的计算机辅助X射线成像技术,使医学如同进入了太空时代。”柯马克的主业是物理,然后在与一家医院的合作项目中,将其遇到的问题转化为了一个数学问题,并写成了论文。论文中完全没提到CT什么的。后来,人们开始研究CT的工作原理,发现几十年前柯马克的这篇论文已经建立起了数学的理论框架。

 

但数学家们的表演还没有结束.......

 

5、 文学奖


代表数学家: 帕特兰·罗素,1950年,因“表彰他所写的捍卫人道主义理想和思想自由的多种多样意义重大的作品”获奖。

 


用“不想拿文学奖的数学家不是好的哲学家”这句话来描述罗素是再好不过了。罗素与怀特海合著的《数学原理》是第一部试图形式化所有数学的专著。而他提出的“罗素悖论”引发了数学界对数学理论底层更加深刻的讨论。罗素还是上个世纪最重要的哲学家之一,和另外几位哲学大咖一起创立了分析哲学。另外,他的一部《婚姻与道德》帮他获得了诺贝尔文学奖。

 

 

6、 和平奖


代表数学家:莱纳斯·鲍林,1962年,因“反对核弹在地面测试的行动”获奖。

经管鲍林的化学研究用到了很多数学分析工具,但他是绝对的化学家。把鲍林列为数学家似乎有些牵强,但是小编在查阅鲍林获得过的奖项的时候,发现他在1957年获得过费马数学奖章(Pierre Fermat Medal in Mathematics)。注意,这是一个比1989年才开始颁发的费马奖(Fermat Prize)更久远的奖项,按wiki上的说法,鲍林的获奖是“300年内仅有6次颁奖中的一次”。于是,列为数学家应该也不为过吧。鲍林先在1954年得了诺贝尔化学奖,然后在1962年获得诺贝尔和平奖。

 

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教育部公布“双一流”数学学科建设名单

 

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根据中华人民共和国教育部官网消息,教育部、财政部、国家发展改革委联合发布了《教育部 财政部 国家发展改革委关于公布世界一流大学和一流学科建设高校及建设学科名单的通知》,该通知附件中公布了世界一流大学和一流学科(简称“双一流”)建设高校及建设学科名单。

 

 

“双一流”建设学科名单中,数学作为建设学科的学校一共有14所,均没有添加“自定”标示。按文件中的说法,说明所有以数学学科为“双一流”建设学科的学校均为“根据‘双一流’建设专家委员会确定的标准而认定的学科”。(注,有“自定”标示的学科为“‘双一流’建设专家委员会建议由高校自主确定的学科”)

 

这14所以数学学科为“双一流”建设学科的学校是(以学校编码为序):北京大学、清华大学、北京师范大学、首都师范大学、南开大学、吉林大学、东北师范大学、复旦大学、上海交通大学、中国科学技术大学、山东大学、中南大学、中山大学、四川大学。

 

 

我们哆嗒数学网的小编注意到,一般人们认为的数学强校没有出现在这14所大学的名单中,比如浙江大学、南京大学、武汉大学、华东师范大学等。

 

同时,也应该注意到进入“双一流”的名单不意味着这些学校的学科已经成为“一流”。是否成为“世界一流”取决于未来该学校的建设和努力。

 

 

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一些数学和英语都需要懂才能get到点的冷笑话

 

 

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下面的笑话可能会引起部分读者的不适,不喜勿入。


先来几个复变函数的笑话。


你好,您拨打的电话号码是imaginary的,请将您手机旋转90度再拨。

 

如果J表示一个笑话,那么P+iJ就是一个非常非常冷的complex笑话。

——你没觉得好笑,是因为笑话J在imaginary part .

 

π和i是一对恋人,π总对i说:“你现实点吧!”,i总是回应:“你怎么就不讲道理!”


为什么数学家都把他家的狗取名叫柯西?
——因为它们总会在每个pole周围留下residue.

 

再来几个是关于log(对数?木头?)的故事,注意国外一些书中的log和中文教科书的ln是一个意思。

1/carbin 求不定积分是什么?

log carbin !

——不,你忘了加一个常数C!

 

一位数学家落水了,会怎么呼救?

他会说: log log log log log... 

 

这才是真正的Jordan标准型,其他的都是冒牌货!

 

是的,没有什么比2n+1更odd了。


为什么数学家会把万圣节和圣诞节搞混?
因为 OCT 31 = DEC 25.


你是说polar bear?就是经过坐标变换会变成直角的熊?

 

“Thare are five mistukes im this centence——真的,还是假的?”

 

一根绳子看见了一位漂亮的小姐姐,上前搭讪。
“嗨,美女我们能加个微信吗?”
“滚!”
绳子觉得是自己的颜值问题,于是认真打扮了一番。他将自己打了一个结,并且磨破绳子的一端。
绳子又找到那位小姐姐。
“你好!......”
“怎么又是你,又来干嘛!”
“不不不,I’m a frayed knot! (I’m afraid not!)...”

 

耶稣为担我们的sin而死,那么有人会为了我们的cos和tan而死吗?

 

好吧!最后大家算算体积,就是你喜欢的Pizza!

 

当然,很好吃!

 

 

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来看看那些实在长得像课后习题的世界难题

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数学世界里有很多著名的难题,比如歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想作为一个世界难题之所以著名,是因为问题本身太容易表达了,表达出来后,一个小学生都能看懂。如果,把这个样的问题放在教材课后的习题部分,不知道能坑掉多少脑细胞。

然而,数学就是这么神奇,一些数学问题的表述非常简单,简单得就像课后的习题一样。但要解决他们非常困难。就像他们故意伪装成课后习题似的。下面的10个问题大概就是这样的问题。他们的表述非常简单,普通大二的理工科学生都能看懂,但至今无人能解决。

 

第十名  数一数,素数和合数到底有多少的问题

习题伪装指数:

 

如果学过初等数论,我们由素数定理可以简单的认为素数在自然数中的密度为零。那么我乱扔一个其他形式的一堆自然数,其中素数的密度也是零吗?

 

问题:形如2^n+5的自然数几乎都是合数。( 2^n表示2的n次方,几乎的意思是指密度为1 )

 

好吧,看懂这个似乎要至少学过初等数论。但是不是所有理工科的朋友都学过这门课。但这个问题真的很难,至今不知道怎么解决。

 

第九名  看上去是线性代数中找几组基的问题

习题伪装指数:

 

线性代数相信大多数理工科的朋友都会学习。我相信,对线性空间这个名词并不陌生。对于n维线性空间,任意n个线性无关的向量都能组成该空间的一个基。现在,我们有B1,B2,...,Bi,...,Bn这n个向量组(wiki上要求两两不交,其实不要求也可以),每个向量组有n个向量,这些向量组都构成n维线性空间的一个基。于是这里,有n×n个向量。现在,把这个n×n个向量排成一个n×n矩阵,矩阵的第i行的n个元素,正好是Bi中的n个元素(这一行的顺序无所谓)。

 

问题:对任意给定的n个基,有没有一种排列办法,满足上述条件,而且矩阵中的每一列的n个向量都构成线性空间的一个基。

 

这个叫做罗塔基猜想,由罗塔在1989年提出。这其实是一个披着线性代数外衣的组合问题。这里只是提到它的线性代数版本,还有别的版本,比如流形版本。

 

 

第八名  一个忧伤故事引发的数学难题

习题伪装指数:★☆

 

一个忧伤的故事,有n个人(n>1)在半径为1千米的圆形跑道上匀速的跑圈,没有人静止不动(即速度大于0)。他们出发点相同,行走的方向相同,但没有任何两个人速度是相同的(就是说,n个人的速度两两不同)。跑道上的人感情很脆弱,当一个人和其他每个人的距离都大于等于1/n千米的时候,这个人会觉得自己很孤独。

 

问题:请证明对任意n,跑道上的人每一个人,都有孤独的时候!

 

这叫做孤独的跑者问题。这个问题非常难,目前的情况是,有人证明了n≤7的时候,命题成立。另外,陶哲轩证明了,对任意的n,只需要验证有限多种情况就可以判定命题是否成立。但就仅n=8的时候,那个分类的带来的计算量,已经不是地球上的计算机能处理的了。

 

第七名  集合求并集,找元素的“小问题”

习题伪装指数:★★

 

关于集合的知识,我们在高中就学了不少了。一个集合也可以是另外一个集合的元素,比如集合{{2,3,4},{1,4,6,9},{1,2,3,4,6,9}},{2,3,4}就是它的一个元素。一个由集合为元素组成的集合我们称为集族。如果一个集族里面任意两个元素并起来,还是这个集族里的元素,我们就说这个集族对并集运算封闭(因为集族里的元素都是集合,于是可以做并集运算)。

 

问题:一个有限的集族,集族的每个元素也都是有限集合。如果它对并集运算封闭,且不是{∅},那么是否一定有个元素,这个元素属于集族里至少一半的集合。比如,前面举的集合例子,它是一个3个集合组成的集族,而元素2是第一个和第三个集合的元素,超过3的一半。

 

此问题由彼得·弗兰克尔在1979年提出,叫做并集封闭集族猜想。快40年了,没人解决。目前的情况是,人们解决了集合数量不超过46个的集族的情况,以及集族中最少元素不超过两个的情况,这些时候答案都是肯定的。

 

第六名   一个求极限的问题,判定出来的极限值是什么

习题伪装指数:★★☆


我们的很多读者一定做过这样的习题,就是证明 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n - ln(n) 在n→∞的时候,极限是存在的。用的办法是单调有界原理。我们把这个极限用符号γ表示,称作欧拉常数。

 

问题:判断欧拉常数γ是有理数还是无理数。

 

我们知道他的近似值,0.57721566490153... ,2003年有人用从对它的连分数研究中得到结果是:如果欧拉常数是有理数,那么它的分母将超过10的242080次方。但是依然离判断出结果很远。

 

第五名  貌似小学生都“知道”的有理数无理数问题

习题伪装指数:★★★

 

自然对数底e,圆周率π都是我们在中学里最常见的无理数。上了大学学习了高等数学或者数学分析后,我们有能力证明他们是无理数这件事情当然可能需要一些课外阅读)。但是我们对这两个数做四则运算后的结果,是有理数还是无理数却并不知道。

 

问题:判断e+π和eπ是有理数还是无理数。

 

这个问题似乎没看到希望。不过,你可以用韦达定理和e、π是超越数的事实,轻易的判断e+π和eπ不可能都是有理数。

 


第四名   好“简单”的级数敛散性判断“作业题”

习题伪装指数:★★★☆

 

我们在高等数学里学了很多种级数敛散性的方法。给一个看上去形式简单的级数,判断它收敛怎么看都是课后习题级别难度的问题。那么我们看看下面一个级数。

 

 

问题:上面的级数是否收敛?

 

这个问题其实是一个和π有关的数论问题。实际上很多看上去带sin的极限问题都是伪装成高等数学的超越数论问题,都和π有关系。

 

第三名   关于正整数乘乘除除的游戏

习题伪装指数:★★★★

 

我们来做一个游戏。给你一个正整数,如果它是偶数,我们把它除以2得到一个新的自然数,如果新的自然数还是偶数,继续除以2。这样一直除到他是奇数为止。对于这个奇数,我们把它乘以3再加上1,这样又得到一个偶数。我们再继续前面的操作——只要是偶数就除以2,奇数就乘以3加上1。这样一直操作下去,我们会得到一个无穷长度的正整数序列。

 

问题: 对任意给定的初始正整数,按上面操作的得到序列最终会归于4,2,1,4,2,1,4,2,1,... 的循环?

 

这叫做考拉兹猜想,也叫3n+1猜想。有人把这个问题作出了推广,有了这个猜想的推广版本。已经证明推广版本的猜想是一个算法不可判定问题——简单的说,不可能用计算机程序来证明推广版本的猜想。

 

第二名   把分数拆成分数单位的“小学奥数”题目

习题伪装指数:★★★★☆

 

我们小学就学习分数了。记得小学的奥数题目里,经常干一件事情,就是把一个分数拆成几个分数单位的和。下面的问题也和这个有关系。

 

问题:问题:对任意大于1的正整数n, 关于x,y,z的方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z , 是否都有正整数解?即4/n都能正好拆成三个分数单位的和。 

 

这个问题叫做埃尔德什-施特劳斯猜想,1948年提出,已经快70年了。注意到 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20 = 1/2 + 1/5 + 1/10,有两种写法。于是有人转而研究满足方程解的个数的规律(注意,如果有个n对应的解的个数是0,就否定了这个猜想)。2013年的结果是,解的个数相对于n的增长速度是不超过关于ln(n)的多项式级别的。

 

第一名 “非常简单”的不等式,但结果令人意外

习题伪装指数:★★★★★

 

诉说这个问题前,我们来看看这样两个函数。对于一个正整数n,我们把它所有的约数加起来,得到的正整数记为σ(n)。比如24的约数为1,2,3,4,6,8,12,24,那么σ(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60。 同样是正整数n,我们把不大于它的所有正整数的倒数加起来,记为H(n), 就是说H(n)=1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n . 比如H(3)= 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 。 通过σ(n)和H(n)我们构建如下的不等式:

 

 

问题:对所有正整数n,是否都有上面的不等式成立。

 

如果我告诉你这个不等式问题是很多数学家心目中在整个数学界最重要的猜想,你信吗?2002年,一位数学家证明了此不等式与大名鼎鼎的黎曼猜想等价。也就是说,证明了这个不等式,也就证明了黎曼猜想。而黎曼猜想在数学界的地位,大家自行百度吧,至今还有人悬赏100万美元征解。黎曼猜想的原始版本,需要有复变函数的学习背景才能看懂,但这个版本,估计中学生都能看懂了。

 

 

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数学家利用虚拟现实技术(VR)让人们体验非欧几何

 

 

原文作者:Rebecca Hills-Duty。 

译文作者:Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员,就读于布里斯托大学。

 

 

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俄克拉荷马州立大学和佐治亚理工学院的数学家们正在尝试为生活带来一个不同的世界:通过创造一个虚拟现实空间来探索那些我们所熟知的规则无法实现的“另类几何学”

 

在我们平时所学的一般几何学中, 两条平行线永远以相同的距离延续,从来不可能靠近或者远离对方。然而在非欧几里得几何中,同样的平行线最终会相交,或者改变方向渐渐远离。

 

 

佐治亚理工学院的Eilsabetta Matsumato与俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman日前正在研究一个叫做“双曲VR”的项目,该项目旨在共同努力来向大众科普双曲几何学——一种两条平行线可以渐渐发散的非欧空间。Elisabetta Matsumato说:“你当然可以想象出这种现象,但是你很难切身感知它,直到你真正体验到了这种情况。”

 

在现在已经创造出的双曲世界中,使用者们除了四处走动以外,并没有太多可做的事。但是该团队正在计划在虚拟现实世界中创造双曲房屋以及街道,甚至建造一个非欧几里得版本的篮球。

 

 

在非欧空间中做体育运动并非一个新生事物,先前已经有一位伊利诺伊大学芝加哥分校的拓扑学家David Dumas在学生的帮助下制造了一个虚拟现实(VR) 壁球游戏。在此游戏中,在撞向不同的方向后球可以返回起始点。

Dumas说:“解决如何使用虚拟现实(VR) 作为一种研究工具现在才刚刚起步。”运用数学原理的可视化一直帮助良多,比如使用分形的视觉实现使人更好地理解潜在的数学世界。

 

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原文作者:Rebecca Hills-Duty。 

译文作者:Jessie仪,哆嗒数学网翻译组成员,就读于布里斯托大学。

下雨没伞:跑还是不跑?

 

原文作者:Atheeta Ching,伦敦大学学院数理生态学博士。 

译文作者:radium,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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编者按: 有一个故事,说下雨天,大家都拼命的在雨中跑。有一个人却慢慢的走,别人问他为何不跑,他说,你没看见前面也在下雨吗,跑有用吗?很多人都是把这人当笑话来看的,但是这篇文章告诉你,问题没那么简单!

 

 

很多事情都影响着我们的生活,其中一件事便是天气,特别是下雨天未带伞(或者我们懒于将伞从包里拿出来)时的窘迫。凭直觉就知道似乎奔跑就是最好的选择,或者至少我们走快一点,就可以少淋一些雨。但是这也意味着雨点会以更快的频率从正面打在我们身上。


 
所以,如何才能让雨点在我们衣服上画的地图的面积少一点呢?这个问题实际上在过去的几十年里被众多的专家或爱好者们讨论过,无论是数学杂志还是像《流言终结者》这样的科普电视节目(事实上他们关于这个问题做了两期节目,第二期是对它的更正)。

 

让我们从最简单的模型开始,想象雨点匀速竖直落下。在图中,你就是那个灰色的长方形(因为下雨让你的心情不好,灰色可以表达这点心情)。

 

 

同时我们也要假设雨点均匀降落,其次第二个假设是假设雨点只从人的头上落下,而不考虑打在身上的情况。在这种情况下,无论雨点下落的速度有多快,你最好的选择便是“跑”。跑的越快你在雨中所淋到的雨越少。
 

好了,现在我们考虑,如果雨点因为风的缘故以一个角度降落在你身上又会如何呢?对于这个问题我们将会介绍一些真正的数学。和前面一样,我们将假设雨速度为定值Vr均匀下落。

 

雨域是这个问题的一个很重要的概念。这个区域包含了所有将会淋到你身上的雨点的初始位置。假设你以s的速度运动,因此在二维图上你的速度可以表示为向量Vu=(s,0),这使得你在雨中花费的时间为1/s。

 

在你身上取一个点P,在雨域取一点Q,在t时刻后在这一点上的雨点会淋到你身上。然后我们就可以得出出雨点会在Q + Vr·t这一点上淋在你身上。而你的原始位置P可以表示成为 P=Q + Vr·t − Vt·t。从而对于每一个你暴露在外可以淋到雨的位置P,对任意时间t∈[0,1/s],点P+(Vr−Vt)·t在雨域内. 

 

 

完整的下雨的区域由这些斜线勾勒出来了。每一条斜线的长度为 ||Vr−Vt||/s。这样就十分清晰了:如果雨以一定的角度下落,你应该跑的越快越好,缩短雨域的水平长度(下雨区域内的“宽”是定值,而和人的身高成比例)。

 

要是雨从你背后方来,又会怎样呢?这样一来,事情变得有一点复杂。雨点速度的分解为Vr=(V1,V2),因为雨点有向前方的速度,因此 V1>0。于是一些不同事情将会发生(假设雨以一定的速度均匀下落)。之前我们提到,你以速度s移动。如果s>V1你就不会被你背后的雨淋到,但是你的头部和你身体的正前方会被淋到。

 

如果 s=V1,也就是说,你的速度和雨在你前进方向的速度一样,那么仅仅只有你的头部会被淋到雨。最后,如果s<V1显然你的背部和头部会被淋到雨,但是你的身体的正面会保持干燥。令Af为你身体正面或背面的暴露在雨中的面积,而At为你头部暴露在雨中的面积。

 

在我们之前的二维案例中,这些只是表示你所代表的长方形的高度和宽度。雨点淋湿的这些部分的总量分别正比于Rf =|V1−s|·Af  以及 Rt=|V2|·At。
 

上述中在雨中的时间为1/s,被雨淋湿的函数为R,正比于:


R1(s) = [(V1 - s)·Af + |V2|·At]/s 若 s≤V1


R2(s) = [(s- V1)·Af + |V2|·At]/s 若 s>V1

 

其中比例的乘子是雨的密度。注意这个函数可以被应用到之前的例子。即雨点向后方下落,V1<0。我们发现我们总会有R=R2,因此让R最小化的方法便是尽可能地增加s。

 

雨点向前落下的例子中我们有V1>0. 让C = -V1·Af + |V2|·At 然后注意到R是连续的R1是一个关于s的减函数,而R2的变化依赖于C的正负。


如果C>0,R2也是关于s的减函数,要取R的最小值,那么s应该增加到最大值。


如果C=0,R2是一个常值。我们可以通过取任意的s≥V1来最小化R

 

如果 C<0,R2是一个关于s的增函数,那么我们仅仅只能通过让s=V1来最小化R。例如:你精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。

 

C依赖于你的体格和在雨中的速度。如果雨向前方的速度很小,那么你最佳的选择任然是尽可能快的跑。但是,如果雨向前的速度很大,使得C<0,那么你最好精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。同时也意味着雨点会打湿你的头部,但这些都是理论上讲的情况。

 

关于这个问题还有很多复杂的模型,考虑不同的形状(不是正方形的情况下)或者突然来阵一阵大风,都会影响最终的结论。最后,我们将以Matthew Wright(很遗憾不是之前Chalkdust的成员)写的五行打油诗来结束。


固执的青春


暴露在雨中的执拗


若雨从背后拥抱


我我便与雨同行


但若迎风而行


最华丽的步调


便是与雨赛跑

 

 

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地震数学建模与预测

 

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2011年3月11号日本发生9.0大地震发生,这次大地震震中位于日本的一个港口,它也让整个世界包括很多地震专家们感到震惊。它猛力地提醒着我们对断层以及它们突发的和灾难性的行为是多么的无知。如何找到断层清晰准确的几何描述并测绘出周围区域存在的拉紧形变区,这依然是一个悬而未决具有挑战性的问题。如果我们能克服这个挑战,我们就能进行地震活动的模拟仿真,进而更好的评估它对指定区域所带来的的风险。

 

 

我的合作者是约内斯库(他在巴黎大学),根据切向位错原理,我们已经开发出了一套行之有效的方法来定位和描述活跃的断层。这套方法是基于如下的假设:只有表面观察结果可以获取并且无牵引的情况可以应用于该表面。


我们也根据GPS的观察结果探索了探测慢滑移事件(比如无声地震或者地震成核阶段)的可能性。我们的研究依赖于对于已观察到的表面位移的渐进估计。这种估计在导出我们称之为矩重建方法的过程中被首次使用。之后它也用于寻找地表面移场必要的条件。这些条件就导致了以下两个参数的引入:活化因子和置信指标。根据表面观察结果,这两个参数可以用有效的方法计算出来。它们表明了一个标准変位场的产生是否是归因于活跃的断层。


结合最小二乘最小化和矩方法,我们之后发展了一个综合的断层轮廓重建技术。我们仔细研究者我们的重建工作是如何受到观测仪器敏感性和地表观测点坐标方格的步长的影响得。计算这样坐标方格最大的允许步长是为了应用于不同的断层深度和方向。最后我们得到了基于虚拟数据的数值重建法。

 


对于这种准静态断层滑动问题的正逆性的数学分析现在已经完备了。我们当前在应用这种理论来记录在太平洋海岸的墨西哥附近的大型区域测量的移位数据。这的确是一项很有挑战性的工作,因为我们不得不应对有噪声且有错误的数据,有时用那种花费极高的仪器一个月才解决几毫米的位移测量,这样只能得到极其稀疏的数据。在墨西哥沉没地区,一个可靠的活跃断层的重建只有通过各种数学模型的结合才能实现,这些数学模型要合理地反映压力,地壳移位以及待恢复参数的指定物理界限。幸亏有两个世纪的观察调查工作,地球物理学家们可以知道这些界限。


所以有没有那么一天地球物理学家能够预测地震事件呢?不幸的是,地震预测可能永远不会像天气预测那样靠谱。最多可能有一天我们能更好地评估一下一个地区在接下来100年内会发生地震的可能性。那就是说,知晓断层和给定区域应力剖面的精确几何形状可能会对于我们预测地震事件的强度和震波形式有所帮助。

 

 

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纪念一位靠出逻辑题目找到老婆的数学家

原文作者:RICHARD SANDOMIR,纽约时报记者。 

译文作者:mathyrl,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:donkeycn

 

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雷蒙德·斯穆里安(Raymond Smullyan),他的快乐,敏捷的头脑使他成为一个音乐家,魔术师,数学家,最妙的是,他还是一个创作谜题的逻辑学家(哆嗒小编注:实际上他的头衔里还有哲学家和道教学家),2017年2月6日(星期一)在纽约州哈德逊市去世,享年97岁。

 

他的亲人黛博拉·斯穆里安(Deborah Smullyan)确认了他的死讯。

 

 

斯穆里安教授是一名正儿八经的数学家,他的出版物和博士学位证明了这一点。但他最伟大的遗产可能是他设计的极其烧脑的逻辑谜题,它们或呈现在许多书籍中,或者只是出现在休闲的谈话中。

 

 

有时他们是一次性的,有时他们被嵌入更长的叙述中来解释数学概念,例如布尔逻辑,就像2015年他在《乔治·B的魔法花园和其他逻辑谜题》(The Magic Garden of George B and Other Logic Puzzles)中所做的那样;或者回溯分析,1981年他在《阿拉伯骑士的象棋奥秘》(he Chess Mysteries of the Arabian Knights)中进行了探讨。

 

 

他也是一个有趣的人。斯穆里安教授有着长长的白头发和胡子,长得像《指环王》系列电影中伊恩·麦凯伦(Ian McKellen)饰演的法师甘道夫(Gandalf)。他身材瘦长,讨厌健身,酷爱牛排和鸡蛋。他研究东方宗教。他讲老套的笑话,对身边的人表演近距离魔术。直到90多岁他仍带着激情和才华弹钢琴。 (尽管他年轻时因肌腱炎而脱离音乐事业。)

 

 

他对他自己的哲学、谚语情有独钟,例如,“我为什么要担心死亡?这不可能在我活着的时候发生!“

 

 

纽约城市大学研究生中心(Graduate Center of the City University of New York)的数学、哲学与计算机科学退休教授梅尔文·费廷(Melvin Fitting)回忆了斯穆里安教授的风采,在20世纪60年代,斯穆里安教授在叶史瓦大学(Yeshiva University)是费廷的老师,而费廷当时正在攻读博士学位。

 

教授在一次采访中说道:“他会微笑着期待他将要展示的许多美丽的东西。”

 

 

几十年来,斯穆里安教授似乎不停地创作的谜题,从中看到数学之美,并将其视为传播数学福音的工具。在他1982年的书《‘女士还是老虎?’以及其他逻辑谜题》(The Lady or the Tiger? And Other Logic Puzzles)中,他写道,如果希腊数学家将其作为一本谜题书,欧几里德的《几何原本》将会获得更大的普及。

 

 

他写道:“问题:给定一个等腰三角形,对应的两个角是否必然相等?为什么相等或者为什么不相等?”

 

 

他的谜题几乎是他本身的一部分,他与后来成为的妻子布兰奇(Blanche de Grab)第一次约会的时候就提出了一个谜题。

 

 

他向她提出的命题,就像他所描述的那样,一定能得到她的吻。回想起这件事,他写道,这是一个“赢得一个吻的相当狡猾的方式,不是吗?”

 

哆嗒小编插播:这是一个在数学圈流传很广的美谈。斯穆里安第一次见到女神时,达成一个约定——斯穆里安说一句话,如果这句话是对的,女神要给斯穆里安一张女神的照片,如果是错的则不给照片。斯穆里安说的话是:“你既不会给我你的照片,也不会亲我一下”。于是斯穆里安成功的获得女神的一个吻。

 

 

詹姆斯·麦迪逊大学(James Madison University)的数学教授杰森·罗森豪斯(Jason Rosenhouse),他在2015年编辑了一本书,书中赞美斯穆里安先生,对于那些以前不了解数学的人,他的谜题可以清晰地揭示数学之美。

 

 

“就像哄小孩子吃蔬菜,” 罗森豪斯教授在接受电话采访时补充说:“雷蒙德用一串逻辑谜题作为工具来展现诸如哥德尔不完备定理。“

 

 

马丁·加德纳(Martin Gardner),一位著名的数学谜题作者,把斯穆里安教授与牛津大学逻辑学家查尔斯·道奇森(Charles Dodgson)相提并论,道奇森也是以笔名路易斯·卡罗(Lewis Carroll)而更广为人知的作家。斯穆里安教授在1982年的书《爱丽丝漫游谜题王国:一个给八十岁以下儿童的卡罗式的故事》(Alice in Puzzle-Land: A Carrollian Tale for Children Under Eighty)中向卡罗致敬。

 

 

在其中一章,斯穆里安教授写道:爱丽丝心中思忖这个蛋人(Humpty Dumpty)是多么的混乱,但又相当合乎逻辑。

 

 

“我想知道,”她说,“他怎么做到既混乱又合乎逻辑的?”

 

 

在斯穆里安先生曲折的人生道路上,似乎有过一些令人困惑的逻辑。

 

 

雷蒙德·梅里尔·斯穆里安于1919年5月25日在皇后区法洛克威(Far Rockaway,Queens)出生,他的父亲伊西多尔(Isidore)是一名商人;他的母亲露西娜·弗里曼(Rosina Freeman)是一位家庭主妇。

 

 

他的求学经历是到处游学和不拘一格的。他曾就读于俄勒冈州的太平洋大学(Pacific University)和里德学院(Reed College),然后自己研究数学和逻辑。他还学习魔术。他创作了一些国际象棋谜题,这些谜题更为关注已经走出的棋步而不是将要走的棋步。

 

 

他以艺名Five-Ace Merrill在夜总会表演魔术,比如芝加哥Pump Room夜总会,他在那里工作获取报酬。他继续攻读并取得芝加哥大学的数学学士学位和普林斯顿大学的博士学位。他分别在普林斯顿大学、叶史瓦大学、纽约市立大学莱曼学院和印第安纳大学任教。

 

 

他的教学理念有点令人困惑。“我的原则是教给学生尽可能多的东西,并尽可能少地要求他们”,他对2008年的《Mathematical People: Profiles and Interviews》一书的作者Donald Albers和Gerald Alexanderson如是说。

 

 

但是,他补充说,明显的宽容所造成的影响是许多学生在他的课程中比在任何其他课程更努力。

 

 

斯穆里安教授身后遗下了继子杰克·科蒂克(Jack Kotik)、六位继孙子女和16位继曾孙子女。他的妻子布兰奇,比利时出生的钢琴家和音乐教育家,2006年去世。他的第一次婚姻以离婚结束。

 

 

科蒂克先生回忆说,他和妻子在纽约Elka Park的斯穆里安的房子里,听了有关职业运动员高薪的广播报道。他的母亲布兰奇说,他们的薪水过多了。

 

 

斯穆里安教授说,拿这么高薪水是不公平的。

 

 

 

“我说,‘雷蒙德,你比大多数人更聪明,不是吗?’”科蒂克先生在接受电话采访时说。 “‘是的,’他说。所以我说,'我认为这是不公平的。我们应该把你的大脑分出一部分分发给可以使用它的人。’”

 

 

 

“他沉默了一分钟,最后他说,‘我无法给出任何理由,但我不会这样做。’”

 

 

谜题是斯穆里安先生的一个重要组成部分 —— 逻辑学家打招呼和考验他人的方式。

 

 

当他遇到他最近的编辑罗歇尔·克伦泽克(Rochelle Kronzek)时,他要求她解答一些问题。

 

 

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“一开始吓到我了,但我想出了创造性的答案,”世界科学出版社执行编辑克伦泽克女士在接受采访时说,“他不止一次地笑了,因为他喜欢我的思考方式。看到别人如何思考,他从中得到很大的乐趣。”

 

 

为什么R² = 0.99不一定是好消息?

 

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在经济、政治科学和心理学等社会科学领域中,人们普遍认为R = 0.7在线性回归的结果中是值得庆贺的。

 

 

R2 反映了因变量的全部变化能通过回归关系被自变量充分解释的比例,然而对于R = 0.7,这个比例大约是50%。

 

在物理学中,因变量和自变量需要更高的线性拟合度,所以在物理学期刊中,如果R2的值如果小于0.95则认为研究结果是十分不可靠的。

 

如果我们线性回归中的r2 =0.99说明总体结果良好,对吗?我们可以确定一定以及肯定,因为在因变量的变化中只有1%不能由自变量的变化来解释的。

 

其实那可不一定,可以用如下简单的例子来解释。

 

 

生物学的一个案例

支原体细菌有一个包含580076个核苷酸的基因组。在该基因组中,起始密码子ATG出现了9,020次,并且这些ATG密码子开始和结束的位置为214, 263, 355, 452, 467, 547, 568, 686, 734, 822, 831, 850, 930, 1023,  … , 579349, 579358, 579437, 579508, 579579, 579717, 579804, 579846, 579889, 579892, 579927, 579961, 580026, 580042。我们可能会问的一个问题是:这些ATG密码子的位置是否均匀分布在基因组上?

 

 

解决这个问题的一个非常简单的方法是,在1到580,076的范围内,产生9020个均匀分布的随机整数,并以这些随机整数为自变量绘制出ATG密码子位置的散点图。换句话说,通过线性回归,我们来看ATG位置的变化有多少是可以由均匀随机整数变量的变化来解释的。

 

(熟悉线性回归的读者可能会认为这并不是一个好主意,因为这里的自变量是服从均匀分布的,而不是正态分布——这是线性回归的基本假设之一。)

 

下面这幅图描绘的是ATG密码子的位置比照从小到大排列的9020个均匀分布随机整数的散点图:

 

 

数据点的位置––ATG比照有序的随机整数–是蓝色的线表示,而回归线由红色的线表示。

 

对于这个回归得到r2 = 0.9912,这表明ATG密码子位置的变化只有小于1%的比例不能由自变量,即这里的随机整数的变化所反映。

 

然而,这幅图还告诉了我们一些别的东西:数据点先是在回归线的上方,然后落到回归线以下,接着又回到了回归线上方。

 

更为仔细的观察

 

我们可以更清楚地了解数据点和回归线之间的差异–残差–通过观察残差图:

 

 

也许这只是一个从1到9020的特定随机选择的产物?

 

为了测试这个问题,我们可以多次重复我们的随机选择。当我们这样做的时候,发现这种模式仍然存在:在支原体基因组中,ATG密码子的位置和1至9020的有序随机整数之间存在很小但真实存在的差异。

 

基因组中的ATG密码子位置和随机位置是一个很小的但也可能很显著的差异。

 

作为一个生物学家,你不想深入研究一下吗?

 

得到的启示

警惕“高”的R2 值:仔细地观察回归中的残差图,并试图理解这个图背后的含义。

 

 

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开放存取式数学研究与论文创作

 

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作者:王浩,牛津大学教育学硕士,香港城市大学英语博士,现于香港浸会大学从事英语教学工作。

 

 

从牛顿在苹果树下被砸出灵感的传说可见,长期以来,科学研究都是以个体为单位的科学家以及由个体科学家所领导的团队所从事的工作。而近年来,互联网技术的兴起却有可能改变这一数百年所形成的传统,为科研合作提供新的范式与平台。笔者试图从一个英语写作老师和应用语言学研究者的视角,通过介绍数学家陶哲轩等人倡导的开放存取式(open access)数学研究项目Polymath,讨论互联网时代新型的科研合作模式在数学界的发展,并思考科学2.0与论文写作2.0在未来发展中面临的机遇与挑战。
 
 
1. 开放存取:数学家陶哲轩教授倡导和参与的数学科研新范式 
 
 
 
 
当代数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩教授在2009年当选美国人文与科学院院士的演讲上介绍了近年来数学研究界出现的一种新型合作模式Polymath。他在演讲中指出,互联网是古腾堡印刷术以来对人类科研与交流影响最大的技术。通过利用互联网建立一个开放的数学研究平台,数学家和对数学感兴趣的人士可以针对某个数学问题的研究共同努力,获得比个体数学家或研究团队更有效的科研成果。陶教授还指出,自己曾将撰写的这篇演讲稿放在博客上收集网友的评论,并根据意见作出修改,这也体现了他的知行合一。 
 
   
 
 
          最早提出这种互联网开放存取式数学研究模式的Tim Gowers教授在其博文《群体合作数学是否可能?》(Is massively collaborative mathematics possible?)指出,这种群体合作模式有以下三个优势:
 
1)很多时候解决问题是需要运气的,仅从概率的角度来看,更多人的参与也会提升好运气的机会;
 
2)通过交流互动集思广益能让具有不同知识和背景的合作者碰撞出火花与洞见;
 
3)有的人善于提出新的想法,有的人更专注于对想法具体实现,合作有利于参与者取长补短共同进步。 
 
 
2. 专门用途英语视角下的开放式数学论文写作与修改 
 
 
 
 
2016年应用语言学界著名的学术期刊《专门用途英语》(English for Specific Purposes) 发表了英国Sheffield Hallam University大学教育学院英语老师Lisa McGrath博士的论文《开放存取式写作:针对一篇纯数学研究论文的在线初稿写作与修改的研究》(Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics)。这是应用语言学界和专门用途英语研究领域第一篇关注开放存取式数学论文写作的论文。
 
McGrath博士通过收集和分析Polymath 8博客下的659条评论(共计57,105词),利用前人工作总结出的框架,对相关评论进行编码后分作6大类:
 
1)数学论证(mathematical argument):相关的编码包括检查或修改现有的数字内容;设置数学符号;编写定义、定理和论证;
 
2)元数学论证(meta-mathematical argument):相关编码包括调整或建议添加说明文字、例子或者对选取研究方法动机的解释;讨论引用文献;在导论中讨论研究的语境与框架
 
3)说明性结构(expositional structure):相关编码包括论文分节、图表和图形的排位;信息呈现流程的控制
 
4)命题式展开(propositional development)产出新的数学知识;报告和讨论新的结果
 
5)格式讨论(formal):调整或报告句子层面的问题(如数学代码或文本的笔误)
 
6)运营讨论(operational):组织调配工作与合作;处理技术相关问题;分配工作量;报告作出的修改;讨论与出版相关的问题;选择期刊;决定作者身份   
 
分类 出现次数
数学论证 158
元数学论证 81
说明性结构 35
命题式展开 75
格式讨论 177
运营讨论 120
646
 
 
McGrath博士对开放式论文写作与修改过程的研究所使用的框架对于需要用英语写作数学论文的朋友也有一定的启发。从上表可见,数学论文的作者不仅要在数学论证上动心思,还要在所谓元数学论证上下功夫,也就是要对自己的工作本身进行思考和讨论,不仅让读者知道自己做了什么和如何做的,还要让读者明白自己为什么这么做。与此同时,在数学论文写作的格式与运营方面,多些和导师、同学讨论获取他们的帮助也很重要。
 
 
 
 
 
 
正如McGrath博士在论文中所说,由于本研究的数据主要来源于博客中的讨论,并没有触及具体论文不同版本的修改或写论文前Polymath参与者就数学问题本身的讨论。因此,Polymath这种新型数学研究模式所涉及的内容和对数学研究者的启发远远不止这篇论文讨论的范围。然而,McGrath博士作为第一位关注Polymath的英语老师和研究者所展示出的宽广的研究视野和具开拓性的研究精神却值得我们学习。  
 
3. 从科学2.0到论文写作2.0 
 
McGrath博士的论文可以放在科学2.0和论文写作2.0这两个较大的语境下解读,或许能为广大的科学研究者和从事论文写作的作者、老师提供新的启发。
 
 
 
2008年马里兰大学计算机系Ben Shneiderman教授在顶级期刊Science上发表短文Science 2.0具有前瞻性的指出互联网技术在为新一代的科研范式的产生和发展提供机遇的同时也需要 “新一代科学Science 2.0来研究社会科技系统中的综合性跨学科问题” 。作者认为,科学1.0时代的英雄像伽利略、牛顿和爱因斯坦提供了关键的方程来描述重力、电、磁和光之间的关系。相反的,Science2.0的领袖们研究重点在信任、同理心、责任与隐私。作者预言,未来400年的伟大科学探险将在于界定、量度和预测上述这些变量从而加速科学发现、工程创新、电子商务和教育。由此可见,新型的科研范式和合作模式也为科学界提出了新的课题和新的挑战,甚至会带来一场新的科学革命。
新的科学革命对英语论文写作与修改也提出新的挑战和机遇。笔者作为一名英语写作老师,也曾协助不少的博士生、青年教师修改英语论文。因此在这里,我想思考一下互联网时代新型科研合作与交流对英语论文写作可能产生的影响。
 
长期以来,论文的写作、审稿都是一个相对封闭的过程。为了确保公平、公正,大多数期刊都采用了双盲的审稿模式,即作者和审稿人都是匿名的。然而,这种模式也带来了不少问题,其中最显著的一点是审稿周期太长。笔者2016年在Journal of Second Language Writing上发表的一篇关于论文修改的文章从2015年6月底初次投稿到10月底获得审稿人的首次意见再到2016年3月最终见刊,前后耗时长达9个月,据说还是比较幸运和顺利的。
 
然而,学界在审稿方面的改革尝试并不成功。顶级学术期刊Nature曾于2006年推出开放式同行评阅的实验。研究人员向1369篇通过Nature编辑初审的论文稿作者发出邀请参加这次实验,仅有71篇的作者同意参与实验,将论文稿放在网上接受开放式评议。
 
 
 
开放式审稿遭到冷遇或许说明科学界对于在工作方式上的革新并不热衷,而在论文写作方面,想推行这方面的改革就更困难了。除了像Polymath这种没有特定作者的项目可以实现互联网上的开放式写作与修改,绝大多数的作者仍然只能在小范围内获得导师或朋友的帮助。然而,我们不难想象在互联网时代协作式论文写作对于提升写作效率、改进论文稿质量的潜力。如果作者能将自己的论文稿放在网络上如同维基百科或者开源软件的代码那样供大家讨论和修改,整个论文创作和修改的过程都会发生根本性的改变。  
 
4. 结语   
 
科学的发展,和人类文明的进步一样,是在传统与创新这两种力量的博弈与平衡间进行的。一方面,科学家必须不断利用传统的资源和制度来工作;另一方面,创新又是科学不断发展和进步的动力源泉。本文所讨论的开放存取式的数学研究与论文创作模式是互联网时代研究工作方式上的创新,和历史上各种创新一样,都会遇到很大的阻力和困难。陶哲轩教授曾在一次演讲中提到,当他提交署名为Polymath的论文给加州大学洛杉矶分校数学系时,工作人员拒绝接收这份论文作为他的成果。对于享誉世界的陶哲轩教授,这当然不足挂齿。但是对于众多还在为职称而劳碌、为三餐而奔波的大学青年教师来说,Polymath这类的开放式协作模式在贡献认可机制上的缺陷却是致命的。 爱因斯坦早就说过:科学是很棒的工作,只要不靠它谋生(Science is a wonderful thing if one does not have to earn one's living at it.)。笔者相信,随着科技的发展、人类文明的进步,我们会在不久的将来摆脱生存所带来的焦虑和个人名利的束缚,摸索出一套更能发挥个人和集体合作潜能的科研工作与论文写作模式。 
 
 
参考文献
 
Greaves, S., Scott, J., Clarke, M., Miller, L., Hannay, T., Thomas, A., & Campbell, P. (2006). Nature’s trial of open peer review. Nature, 444(971), 10-1038. 
 
McGrath, L. (2016). Open-access writing: An investigation into the online drafting and revision of a research article in pure mathematics. English for Specific Purposes, 43, 25–36.  
 
Shneiderman, B. (2008). Science 2.0. Science, 319(5868), 1349–1350.  
 
 
 

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2017国际奥数竞赛结果:韩国第一,中国第二

 

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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网最新消息(http://www.imo-official.org/),在巴西举办2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛成绩揭晓。韩国队以170分的成绩获得团体第一,中国对159分夺得第二,越南155分获得第三。此前连续两年夺得第一,此次比赛志在三连冠的美国队,仅获得第四名。第五到第十名依次是,伊朗、日本、泰国、新加坡、中国台湾、英国、俄罗斯。

 

 

此次是韩国是第二次获得国际数学奥林匹克竞赛团体第一。2014年当韩国举办世界数学家大会(四年一届的数学界最高规格会议)时,第2012年韩国夺得的IMO团体第一被作为韩国当代的数学教育成绩被做入大会举办方的宣传视频。

 

 

此前,我们哆嗒数学网的小编介绍过此次比赛的一道题目(见这里)。从结果来看,这道和游戏有关的题目成为了此次比赛的最难的一道题目。来自111个国家的615名参赛选手,只有来自6个国家的7名选手有得分。其中,完全作对的只有来自俄罗斯和奥地利的两名选手。

 

近年来,国内在为“奥数”降温的同时,似乎部分舆论又在走向另外一个打压“奥数”的极端。相反,其他国家对“奥数”开始重视,比如美国的启动的集训模式,以及韩国的国家理科班模式。

 

尽管没有夺得第一名,第二名也是一个非常优异的成绩,我们向中国队表示祝贺!

 

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奥数竞赛题目:召唤师峡谷中的追杀

 

 

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柔弱可怜的兔子提莫与攻击力爆棚的猎手艾希在一个无阻挡物件、大小无限的召唤师峡谷相遇了。艾希以为见到了软柿子,一定要击杀提莫!

但他们交手时发现,它们的技能不知道被谁修改了,再也不是《英雄联盟》游戏中的那些了。

提莫有一个强力的被动隐身技能,让艾希在任何时候无法看到他。还有一个更加恐怖的免疫任何伤害的技能,施放后10亿秒内免疫一切伤害。另外,还有一个逃跑技能,冷却时间1秒,作用是跑向离自己当前位置1米的地方。

艾希也不是吃素的,她有个大杀招可以把周围100米范围内的任何猎物秒杀,而且可以任意时间使用。还有一个用来搜索猎物位置的技能,但是这个技能不能给出猎物的准确位置,可能与猎物的实际位置有不超过1米的误差,即是说她只能探测出猎物存在的一个圆形范围,冷却时间1秒。当然,她有个追击技能,作用是自己向自己想要的方向追出一米,冷却时间是1秒。

假设,游戏时间可以无限,提莫和艾希现在处于相同位置,那么艾希是否有办法一定能击杀提莫?

 

 

好吧,如果我告诉你,上面的游戏描述的是2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)第3题的内容,你会惊讶吗?

但事实上就是如此。当然,IMO比赛会用非常严谨的数学语言表达,原题表述如下:

 

 

不知道参赛的同学们在考场上会不会想到自己在娱乐游戏中的场景。

按往年的经验,IMO竞赛的第3题和第6题会是最难的两道题目。我们这里不提供答案,实际上现在答案已经能从网上搜到。从网上提供的答案来看,提莫10亿秒的免疫时间还是太长了,兔子提莫完全有机会逃脱。

于是我们排开竞赛的因素,想问几个更加有趣的问题:

1、 把免疫时间减少到多少秒时,艾希能有办法一定能击杀提莫?
2、 把艾希大招范围增加到多大时,艾希能有办法一定能击杀提莫?
3、 考虑艾希搜索技能的概率因素,怎么样设置提莫免疫时间和艾希大招范围,使得游戏的平衡的?

另外,我们总希望把一些数学题目变好玩,可以从身边的题目玩起呀!

 

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天妒英才:世界首位女性菲尔兹奖得主逝世

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伊朗天才数学家,世界首位女性菲尔兹奖得主,玛利亚姆·米尔扎哈妮,因乳腺癌医治无效,于当地时间7月15日在其所在医院去世,享年40岁。

 

“世上的一盏明灯就此熄灭了,我的心都碎了……她走得太快了,”美国宇航局的伊朗裔科学家,Firouz Naderi,在他的Instagram(注:国外著名图片社交平台)上的最新消息中写到。后来他发推补充到:天才?没错。当然她还是一位女儿,一位母亲以及一位妻子。


米尔扎哈妮从2013年起,已与癌症斗争了四年,最近因癌症已经扩散到骨髓而住院。


米尔扎哈妮1977年出生于伊朗德黑兰,儿时的梦想是成为一名作家。后来在其哥哥的激发下进入了数学学习。她为代数几何做出了开创性贡献,于2014年获得菲尔兹奖。


米尔扎哈妮于1994年和1995年两次获得国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌,于1999年获伊朗谢里夫理工大学数学学士学位并于2004年获哈佛大学数学博士学位。


在2004至2008年间,她是普林斯顿大学克雷数学研究所的研究员和助理教授。后来她在斯坦福大学担任教授。她获得的荣誉包括2009年因在纯数学领域研究中所做的贡献而获得的布卢门撒尔奖,以及2013年美国数学学会颁发的萨特数学奖。2013年获得萨特的获奖感言中,米尔扎哈妮隆重感谢的自己在伊朗接受教育的两所学校的老师——德黑兰Farzanegan女子高中(为女子天才设立的专门学校)以及谢里夫大学——称赞他们是“伟大的教师们”。

 


米尔扎哈妮是世界上获得被称为数学最高荣誉菲尔兹奖的第一位女性(也是目前唯一一位女性),也是第一个获得此奖伊朗人。当2014年米尔扎哈妮的获奖消息传回伊朗,伊朗舆论当时有截然相反的态度。当时伊朗总统哈桑·鲁哈尼在推文上发出了米尔扎哈尼没有带头巾的照片。回帖立刻分为两派,强硬派对此照片强烈抗议并拒绝对米尔扎哈尼获得的成就表示祝贺,而另外一派认为鲁哈尼此行为具有进步意义并点赞。伊朗国内还有人向国家施压,认为应该按照伊朗的伊斯兰刑法典处罚米尔扎哈妮。

 

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将咖啡转化成定理的男人

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数学家过生日你要给他送什么呢?嗯,如果是一个大生日,比如100大寿,你可以举办一个以他命名的会议为他庆生。前几天就发生了这样一件事:数学家们聚集到了匈牙利,庆祝保罗·埃尔德什(Paul Erdos)诞辰100周年。


会议期间,他们讨论了埃尔德什的工作和他留下的宝贵遗产。不论埃尔德什的数学能力还是他的工作风格都使他成为了一个传奇人物。下面让我们看看他是如何影响数学这一学科的:

 


他是一个“问题解决者”


一般来讲,数学家分两种:一种是“解决问题者(Problem Solver)”,一种是“理论建立者(Theory Developer)”。人们首先听说的通常是解决问题的那类数学家,他们常常出现在新闻中。但是关注度最高的数学研究往往是关于高深理论的。就像在物理里,不论是资金还是关注点,通常都和大一统理论相关。

 

埃尔德什对解决问题更感兴趣。处理“疑难杂症”是他的强项。他会去攻克数学中各个领域的难题,并且他不介意用什么工具去解决:比如他就很擅长用高中知识去解决一些艰深问题。 他用行动证明了数学中并不是所有东西都能被宏大理论所囊括。

 


他发表了很多论文


埃尔德什四处狩猎有意思的问题,这使它的足迹遍布了整个世界。他是数学界的牧羊人,不带支票,不带信用卡, 拎着装了半箱的手提箱走遍了世界。“财产就是累赘”——他如是说。


他经常会出现在同事的家中,以咖啡和苯丙胺(译者注:一种兴奋剂)为燃料轰击谜题。他不断旅行造就了他惊人的产出:埃尔德什一生发表了1525篇论文,历史上只有欧拉比他发表的论文多。


尽管数学常常是独行侠的天下,但埃尔德什却将它视为社交工具。最近兴起的polymath项目其实就是埃尔德什哲学的成功推广。
(译者注:Polymath项目由英国数学家蒂莫西·高尔斯[Timothy Gowers]发起。在该项目中,多个数学家协作交流,合力解决数学问题。目前为止,已有多个艰深并且重要的问题在polymath中被解决。)

 


他的人际圈很广


由于他大量合作并发表论文,埃尔德什最终有了500多个共同作者。他的数学家小伙伴们发明了“埃尔德什数”来衡量一个人与埃尔德什的“连接程度”。如果你与埃尔德什一起发表过论文,那么你的埃尔德什数是1。如果你没和埃尔德什发表过论文,但与一个和埃尔德什合作过的人发表过论文,那么你的埃尔德什数就是2,以此类推。这其实就是数学版的“贝肯六度空间理论”。(译者注:凯文·贝肯 [Kevin Bacon] 是美国著名演员。电影爱好者间曾流行找到任何一个演员到凯文·贝肯的最短路径。)


如果把你的贝肯数和埃尔德什数相加,得到的就是埃尔德什-贝肯数。比如费曼的埃尔德什-贝肯数是6,娜塔莉·波特曼(Natalie Portma)的埃尔德什-贝肯数是7。
 
 

 


埃尔德什除了有着复杂的合作网络,他还发明了一种生成随机网络的方法。以他和匈牙利数学家阿尔弗雷德·伦伊(Alfred Renyi)命名的埃尔德什-伦伊(Erdos-Renyi)模型是首个生成随机图的算法。该模型中,我们选定若干节点,然后以相同的概率在任意两点之间连线。由于它数学上的简洁性,埃尔德什-伦伊模型至今还被广泛应用在传染病模型以及金融系统稳定性研究中。

 

 

他喜欢素数


尽管埃尔德什喜欢探索数学的各个领域,他对素数尤其感兴趣。20世纪40年代末,埃尔德什开始研究素数定理。素数定理说的是假如你有一个非常大的数x,那么差不多存在x/log(x)个素数小于x。此前素数定理的证明冗长而繁琐。埃尔德什与挪威数学家阿特勒·塞尔伯格(Atle Selberg)找到了一个非常简洁的证明。然而即使是埃尔德什也并不总是能解决他感兴趣的问题。比如他曾苦苦思索孪生素数猜想,但他只证明了一个很弱的结论。事实上,直到最近张益唐的工作才使孪生素数猜想有了突破性的进展。

 

 

 

 

他为解决难题提供奖金


为了鼓励人们去解决难题,埃尔德什会为一些问题设立奖金。对于他认为比较简单的问题,他会设立10到25美元不等,对于他认为很难的问题,他则会设立上千美元作为奖金。一个数学家想通过这种方式挣钱并不简单,如果埃尔德什不喜欢某个证明,他还会克扣奖金。

 


他没有获得数学界的最高荣誉


一般认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖,但埃尔德什并没有获得过这个最高荣誉。塞尔伯格与埃尔德什发现素数定理的简洁证明后,他迅速就这个证明方法写了一篇论文。这也成为了塞尔伯格获菲尔茨奖一大助力。然而这并不是埃尔德什喜闻乐见的(译者注:塞尔伯格和埃尔德什曾就是否该联合发表素数定理的论文争得不可开交)。在与塞尔伯格的争吵过后,埃尔德什再一次提起了他的行囊,去寻找更多有意思的难题。沿着他的足迹我们可以发现一连串新奇的问题和方法。 伦伊曾经说过“一个数学家就是一台将咖啡转化为定理的机器”。在这一点上,没有人像埃尔德什做得这么好。

 

译者注:


1.一般外界认为数学界的最高荣誉是菲尔茨奖(Fields Medal),但由于菲尔茨奖仅颁给年龄小于40岁的数学家,它并非终身成就奖。与之相比,沃尔夫奖(Wolf prize)与阿贝尔奖(Abel prize)则更能说明问题。埃尔德什获得过沃尔夫奖。塞尔伯格则是菲尔茨奖、沃尔夫奖以及阿贝尔奖的大满贯得主。


2. 埃尔德什不仅在数学上造诣极高,他的生活方式也很令人感动。更多关于埃尔德什的故事请见:http://www.brunel.ac.uk/~csstzzw/Erdos.html


3. 埃尔德什与塞尔伯格对素数定理证明中两人各占多少功劳存在分歧,在发表论文时,两人就闹翻了。这段有意思的故事可以参考:Goldfeld, Dorian. "The elementary proof of the prime number theorem: An historical perspective." Number Theory. Springer New York, 2004. 179-192 (英文).

 

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来自未来的围棋:假如围棋棋盘有无限大

 

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AlphaGo和世界排名第一的中国棋手柯洁的比赛结束了。不出所料,即便柯洁这样的围棋大师,也已经完全不是我们人类发明的围棋程序的对手。但是,熟悉人工智能的人都知道,无论人工智能有多么强大,他能做出能让现在的人们多么惊奇的事情,它的本质并不是黑魔法,而仅仅是数学。

数学里有一个分支叫做博弈论,英语叫做Game Theory,直译过来就是“游戏理论”的意思。围棋是一种游戏,这个游戏的很多理论也符合博弈论的一些经典结论。博弈论里有一种游戏叫做完全信息博弈,意思是无论是自己还是你的对手,和游戏有关的所有信息都是知道的。自己能走哪里,对手能走哪里,自己之前做过什么,对手之前做过什么,都是相互知晓,没有隐藏。相反,现在最火的电脑网络游戏之一的《英雄联盟》则不是完全信息博弈,因为迷雾的影响,你在某个时刻并不知道对手是在打野还是回城升级装备。

我们的故事现在开始。

用一种数学表示围棋

 

诗人歌德曾经调侃:数学家就像法国人一样,无论你说什么,他们都能把它翻译成自己语言,然后完全不是你刚才说的那样。我不知道这是在膜还是在黑,我保证读完这一小节后,有很多读者都会有这样的感觉。

当执黑先行,棋盘上有19×19=361个交叉点,加上Pass(即是说不走,让对方走),黑棋有362种下法可以选择,当黑棋下完第一步,那么因为之前黑棋下过的位置不能再下,白棋还剩360个位置可以行棋。当棋局进行到某个局面,考虑到按围棋规则不能落子的点,黑棋和白棋能下位置数量会有所不同,但可选择的下法有仅仅是有限个——不超过362个。

我们把每个局面下起手可以选择下法编号,0号下法是Pass,1号下法、2号下法、……n号下法。那么不嫌麻烦,我们下棋的时候,完全可以不用摆子,叫出下法编号就可以。

比如黑棋叫出1号下法,白棋叫出8号下法,然后黑棋再叫出下完1号、8号下法局面下的5号下法,再来给白棋叫出他的下法。实际上,这个时候,黑白双方已经不是在玩一个落子的游戏,而是在玩一个叫号的游戏,叫出的都是自然数。

黑方叫号:  1   5  8  9         11   12

白方叫号:   8  3   6  11         55   4

 

围棋会在有限步后终止游戏,判定胜负。终止的那一刻,我们记录下了一个序列,比如上面对局的序列就是<1,8,5,3,8,,12,4>,这是一个记录比赛进程的行棋序列,我们把这个序列一个符号x表示,特别的上面行棋序列的x(0)=1,x(1)=8,x(2)=5用它也可以来判定胜负。

 

按中国规则,黑棋要要还三又四分之三字给白棋。
我们制造一个集合 A = { x : x为行棋序列,x使得 黑棋子数-3.75 大于 白棋子数+3.75 }, 那么黑棋赢的表述就成了,行棋序列x∈A 。白棋赢的表述就是 x ∉ A 。

我们可以改变集合A,从而改变游戏的规则。比如比较温和的改动是改变还子个数,比如以前的围棋是不还子的。激进的改动是,如果行棋序列中使得围棋棋盘上首先出现五连珠的一方算赢,那么这游戏变成了一个可以吃子的五子棋,而不再是围棋。

但无论怎么改变集合A,有一点始终没变,游戏始终是一个完全信息的有限游戏(就是说每次能选择下法有限,游戏也会在有限步内终止)。


博弈论经典结论:完全信息的有限游戏,必有一方有必胜策略。意思是说,围棋在双方都有能力最强招的情况下,其实胜负已定。这种有一方有必胜策略的游戏,叫做决定的游戏

 


穿越到未来的围棋

 

好吧,如果一个职业棋手对我说,“你说胜负已定,你说是黑棋赢还是白棋赢?我们来下下?”,我只能报以微笑,并认输回应,虽然最强招在数学上被证明存在,存在性并不能保证我能知道它具体是什么。就算棋力远远超过人类AlphaGo现在他也不能保证他知晓这个其实已经存在最强招法。

然而,我们可以试想一下,到某个遥远的未来。人类的智能水平发展到一个让现在的看来人匪夷所思的高度。每个人都知道围棋的最强招法,于是围棋变得无趣,因为还没有落子我们就知道了结果。

未来的人不再满足只有361个交叉点,他们设计横竖都无穷个行列(确切的讲是可数无穷),以满足每一次轮到他落子的时候,自己可以有无穷个可以落子位置。他们也不再满足在有限步结束的游戏,而把游戏规定成需要无限的进行下去。

他们还是叫号地玩游戏。这样,黑棋第一步,在0号下法,1号下法,..., n号下法,…选择出一种下法落子,然后白棋在对应局面的,0号下法,1号下法,..., n号下法,… 中选择一种应对。

棋局的出牌会变成这样:

 

方叫号 1      3       6       81        4       

方叫号    3       6      33       45       99   

 

这样,行棋序列会变得无限长,成为<1,3,3,6,6,33,81,45,4,99,>

 

这是一个在有限步之内无法完成的游戏。在当前的现实中,是无法完成这个游戏的。但是在数学中,无限是一个可以达到完成的实体。也许智能高度发达在未来,我们能在大脑的意念中,玩耍这个游戏。

那么如何判定输赢呢?和前面一样,事先设定一个集合A,A由一些无限长的自然数序列组成,如果最后得双方的行棋序列x是A里的元素,则黑棋赢。否则,x ∉ A 白棋赢。


新的游戏,似乎只是把有限的情况改成无限。它仍然的完全信息的游戏。那么无论我们怎么改变A,是不是黑白双方,必有赢的策略呢。

现在,我可以告诉你,之前的都是铺垫,真正的内容才刚刚开始。

 

这是什么游戏?

 

这不是小编杜撰的游戏,数学家,尤其是集合论学家们早已经研究了很多。这个游戏带来的相关论题,却和公理体系和实数结构有关系。

为了标记方便,我们把前面无限游戏下选定集合A为胜负判定集合的游戏叫做Game(A)。

为了阐述和实数的联系我们先做一个铺垫。如果你有拓扑学的基础知识的话,会很容易看懂下面再说什么。

取集合NS = { x: x为自然数的无穷序列}

对于两个自然数的无穷序列:

x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈NS

y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈NS

定义距离d( x, y) 如下:

 

 

你还能验证距离函数d( x,y )在NS中还是一个完备的距离。而这个距离诱导的拓扑竟然和无理数同胚(你试试用连分数验证一下)——虽然我们知道无理数在通常的距离下,无理数并不是完备距离空间——而无理数在很多数学意义下,占有了实数的大多数。研究NS这个自然无穷序列的空间就和实数的研究联系起来了(实际上,集合论学家更关心的是Borel同构,实数和无理数是Borel同构的)。

实际上,如你可以想到的,集合论里,把一个自然数的无穷序列称为实数。实际上,集合论学家把他看成实数的一种形态。下面的部分,当我们说到实数的时候将不区分这样的具体形态。

是不是我们无论怎样改变集合A, Game(A)的黑棋和白棋中都有一方有必胜的策略呢?

在现行使用最多,也最被人接受的数学公理体系ZFC中,你是可以用选择公理构造一个集合,使得黑白双方都没有必胜策略。

有很多办法,从不同角度去构造这样的集合。但我们不会在这里去表述这种集合的构造细节。这里只是提示一下其中的一个办法:无论黑棋的策略或者白棋的策略,都只有连续统基数c那么多个,而实数的子集实在是比这个多得多。用这个实数,超限的归纳和用一些对角线方法,就能造出这样的集合。

有一个集合A,使得游戏Game(A)的对局双方都没有必胜策略。但是,只要有人愿意开一把,行棋的序列总能判定胜负——这样的游戏是不是变得好玩了呢。


一些人的吐槽:选择公理是真的吗?

 

“什么?居然有一个集合A,让Game(A)不能被确定,我完全不能接受!”好吧,熟悉选择公理的人一定会说,选择公理做出来的东西不具有构造性,那意味着样的集合是看不清也摸不着的。的确,有的人更愿意相信所有的Game(A)应该有一方有必胜的策略,有就是说,游戏是决定的,这就是决定性公理。

决定性公理(Axiom of Determinacy,简称AD):对所有NS中的子集,所有的Game(A)都是决定的。

按照一般的要求,一个命题要成为公理,它应该至少要和常用的策梅洛-弗兰克尔公理体系(ZF公理体系)不矛盾,集合论中叫做协调。但是,这里有个很奇怪的结论,因为AD能推出ZF体系是协调的,于是根据哥德尔的第二不完备定理,ZF + AD这个体系是否相对于ZF协调,不能被证明。

另外,虽然ZF+AD中对普遍的选择公理(即任意多的集合簇有选择函数)不成立了,但是它对选择公理的的否定没有完全彻底,对可数选择公理还是成立的——ZF+AD能将可数个集合有选择函数变成定理(Countable Choice)。

于是,实分析中一些常用的定理,在ZF+AD还是成立的(至少在实数范围内是成立的),比如

可数个可数实数子集的并还是可数的。

海涅归结原理:当x→a时,实函数f(x)→b,当且仅当,对任意序列x(n)→a,n→∞,f(x(n))→b。

贝尔纲定理:实数这个完备度量空间中,可数个稠密开集的交稠密。

历史上,波莱尔曾经旗帜鲜明地反对选择公理,但他认为可数的选择公理是可以的,并且可数选择公理就够了。也许决定性公理可以成为他的一个选项。

        实际上,决定性公理会牵涉到实数的一些底层性质。而这些联系,是通过设计一些新的游戏来展示的。

 


        新游戏一:关于第一纲集和贝尔性质

 

     如果一个集合的闭包没有内点,那么这样的集合被称为无处稠密集合。而第一纲集就是可数个无处稠密集合的并。

     一个集合如果它和某个波莱尔集的对称差是第一纲集,我们说具有贝尔性质。

     我们现在来看一个新的游戏。在之前的Game(A)中,黑白双方叫出的是一个数字,而这个新游戏中,黑白双方叫出是一串数字,一个有限长度的自然数序列。

黑方叫号: <0,3,5,6>   <2,1>    <8, 9,7,9,5,9>  <4,12,5,7,8,0> ...

白方叫号:     <0,5>   <2,1,34,5>        <9>     <4,12,5,7,8,0>  ...

 

  同样,我们把这些序列拼接起来,能得到一个无限长的自然数列,比如上面的拼接起来就是 <0,3,5,6,0,5,2,1,2,134,5,8, 9,7,9,5,9,9,4,12,5,7,8,0,4,12,5,7,8,0, ...>

 

我们还是设定一个集合A,规定得到的序列x∈A,黑方赢,否定白方赢。

这个游戏叫做Banach-Mazur游戏,在设定的集合A下,我们把它名字叫做Game1(A)。

如果你理解了前面的编号思想,你很容易想清楚,如果所有的Game(A)是决定的,那么所有的Game1(A)也是决定的。

你可以试试证明这样一个事情:Game1(A)中,白方有必胜策略,当且仅当,A是第一纲集。

于是,有人能利用上面的结果,得到:

如果决定性公理成立,则任何实数子集都具有贝尔性质。

因为,贝尔性质是一种拓扑性质,所有决定性公理其实能说明实数在拓扑性质上的一些确定性。

 


新游戏二: 完备集性质和连续统假设

 

如果一个实数子集是没有孤立点的闭集,我们说这个集合是完备集。如果一个实数子集是有限的或可数,再或包含一个完备集,那么我们说这个集合具有完备集性质。

我们新游戏二的规则发生重大改变。黑方能叫的号还是一串数字,不过数字只能在0和1中选择,而白方只能叫出一个数字,同样只能在0,1中选择。

黑方叫号: <0,1,1,0>   <0,1>   <0, 1,1,1,1,1>  <0,0,1,1,0,0>    ...

白方叫号:       0      0           1          0      ...

 

同样,我们把这些序列拼接起来,能得到一个无限长的0-1列,比如上面的拼接起来就是,<0,1,1,0,0,0,1,0,0, 1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,...>

这里,我们其实已经只是在0-1序列组成的空间里叫号了。

取集合TS = { x: x为0-1无穷序列},

x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈TS

y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈TS


这个TS空间里,如果我们按前面相同的方式定义距离

 

 

那么通过这个距离诱导得到的拓扑空间,和康托集同胚。

我们设定一个TS的子集A,规定得到的序列x∈A,黑方赢,否定白方赢。定名Game2(A)。

同样,用一些小技巧,我们可以知道,在决定性公理成立的情况下,所有的Game2(A)都是决定的。

关于这个游戏,有两个经典的结论。
Game2(A)中,白方有必胜策略,当且  仅当,A是可数或者有限集合。

Game2(A)中,黑方有必胜策略,当且仅当,A是包含一个完备集合。

于是,如果决定性公理成立,那么任何实数子集都有完备集性质。

如果,你对完备集合一些性质比较熟悉的话,会知道完备集合的是和实数集合等势的。于是,我们在决定性公理成立的情况下,得到一个比较弱的连续统假设成立:任何一个实数子集要么和实数等势,要么至多可数的势。

 


新游戏三:勒贝格测度与可测集合

 

这里,由于篇幅原因,我们不再具体介绍新游戏三了。新游戏三的大致思路就是,想办法把游戏移植到传统形态的实数上去,并把勒贝格测度结合起来。通过前面两个变种游戏,大家应该能相信,这样事情是能办到的了吧。

这里要说的重点是下面这个有意思结论。

如果决定性公理成立,所以实数子集都是勒贝格可测的。于是什么不可测的Vatali集,Banach分球怪论什么的,都不存在了。

 

结束

 

我们从一个传统的围棋游戏开始讲述,把围棋用数学转化成了一个大家只呼喊自然数的游戏,然后进一步让它“进化”成了一个无穷游戏。然后发现它居然能与实数的结构有着深刻的联系,难怪有集合论学家自嘲:

 

集合论学家就是一群不知道实数是什么的数学家。

 

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软科世界一流数学学科排名:普林斯顿世界第一、北大中国第一

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软科世界大学学术排名(ARWU)这个排名名字大家也许有些陌生。他实际上是以前的上海交大世界大学学术排名,始于2003年。2016年以前,每当这个排名公布,几乎所有的媒体都会指明这是上海交通大学发布的排名。但是,在2016年起,这个排名不再强调这个关系。


虽然是国内机构给予的排名,但是据说有一定分量。这里举两个例子台湾大学连续四年在这个排名下降,校方专门出面解释:“台大本身没有退步,只是其他学校进步太快。他们经费投入多!”。另外一个例子来自菲尔兹奖得主维拉尼的自传《一个定理的诞生》,自传中写道,作者去普林斯顿进行访问拜访了著名女数学家张圣容,向她询问是否因为普林斯顿大学的数学为在这个排名中保持第一而感到自豪——张圣容的回答就请大家在书中寻找吧。

同样,任何排名都会有争议。比如2015年的数学学科排名中,兰州大学中国内地第一,被广泛讨论。


2017年开始,学科排名单独发布。排名的计算按照论文总数(PUB)、论文标准化影响力(CNCI)、国际合作论文比例(IC)、顶尖期刊论文数(TOP)、教师获权威奖项数(AWARD)五大项指标评分后,加权综合得到的总评分由高到低排名。如果你真有兴趣,可参见http://www.zuihaodaxue.com/subject-ranking/ARWU-SUBJECT-Methodology-2017.html 。

 

数学学科方面,来自美英法三国的高校瓜分了前十的所有交椅。其中美国6所、英国和法国各2所。依照顺序依次是普林斯顿大学、纽约大学、巴黎第六大学、麻省理工学院、巴黎第十一大学、加州大学洛杉矶分校、剑桥大学、斯坦福大学、德克萨斯州大学奥斯汀分校、牛津大学。

 


在亚洲,因为并列的缘故,前10名中有12所高校。来自以色列的大学成为亚洲排名的主角(按地理划分,以色列的确属于亚洲国家),耶路撒冷希伯来大学以全球排名第11的成绩排在亚洲第一,第二是日本的东京大学,全球排名第20,第三是全球排名第28的沙特阿卜杜勒阿齐兹国王大学,中国最高的是北京大学,全球排名第36,亚洲第4。

 


中国共有73所高校进入榜单。然而仅有北大进入前50名,所以没有以并列的方式出现在排名里。全部排名如下:

 

 

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高考志愿填报:关于数学专业的三大误区

 

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高考结束了,大家马上会进入志愿填报。志愿填报中,专业选择是其中顶重要的一项,每年都有高考生因为对专业了解不足,填报了让自己后悔的专业,造成遗憾。说实话,我们哆嗒君这方面也帮不了什么忙,谨以此文,帮助大家少进点坑。

 

下面的三大误区,在数学专业内也许是常识,但是对于不了解的学生和家长来说,却可能是重要的信息。请帮哆嗒君转告给他们。


误区1  数学与应用数学专业离计算机很远

的确远,但是不如大多数人想象的那么远。这个专业虽然几乎所有的课程都是数学,但就专业而言数学与应用数学覆盖的范围很广。数学与应用数学,是联系数学与自然科学、工程技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学的重要桥梁。该专业在考研上有很大优势,一些非数学专业的研究生招生上,对数学专业有偏好。比如比较热门计算机、金融等专业的一些方向的教授更偏爱招收本科数学背景的学生,而非他们本专业的学生。而对于考试本身,对于考研要考数学的专业来说,数学统考是大多数人的噩梦,但不是数学专业学生的噩梦。另外,即便是大学毕业直接找工作,IT行业与金融行业这两个行业也是数学与应用数学专业就业的大户。

 

误区2  信息与计算科学专业离计算机很近

的确近,但是不如大多数人想象的那么近。大部分学校信息与计算科学专业开在数学学院或者理学院,它其实就是一门数学——计算数学,数学的一个分支。信息与计算科学是以信息领域为背景,将数学与信息、管理相结合的交叉学科,主要核心课程首先是数学专业的核心课程,然后才是该专业的特色课程,比如金融分析、软件设计方法等。信息与计算科学专业着眼于培养不仅数学功底扎实,而且掌握信息科学和计算科学的理论与方法的数学人才。这个专业在考研和就业有着前面数学与应用数学专业几乎相同的优势。IT行业与金融行业这两个行同样也是该专业就业的大户。


误区3  统计学专业是数学的分支

统计学专业要学很多数学,甚至数学可能会是一个人在该专业的学习瓶颈。我们从小学、中学开始,统计学的基础就是从数学课中习得的。但是统计学是一门和数学并列的独立学科,不是数学学科的分支。统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段,以达到推断所测对象的本质,甚至预测对象未来的一门综合性科学。从学位授予方面看,大部分统计学专业授予经济学学位,另外还有很多学校授予理学学位。这要看具体学校的设置,一般来说,如果统计学在经济学院下授予经济学学位,如果在数学学院或者理学院下授予理学学位。特别注意,部分学校,分别在经济学院和理学院都分别设有相同名称的统计学专业,但是授予的学位是不同的。

 

最后,我们哆嗒对高考志愿填报的建议是:无论你选择什么专业,无论理科、工科,甚至文科,无论你的专业培养方案中有没有数学课程,认真对待对数学的学习,你都会终生受益的。

 

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中国校友会网发布2017中国数学本科专业排名

 

近日,中国校友会网大学研究团队发布了2016中国大学本科专业排行榜。其中数学与应用数学专业的星级排名也同期发布。星级排名的最高星级为8星。榜单公布了5个星级的排名,分别是8星级、7星级、6星级、5星级、4星级。共有89所高校的数学与应用数学专业进入榜单。

 

数学与应用数学专业8星级大学共有三所大学,分别是北京大学(第1名)、复旦大学(并列第2名)、清华大学(并列第2名)。7星级大学也有三所大学,分别是中国科学技术大学(并列第4名)、南开大学(并列第4名)、山东大学(第6名)。另外6星级大学有6所,他们都并列第7名,分别为南京大学、浙江大学、四川大学、中南大学、陕西师范大学、北京师范大学。星级在6星级及以上的大学共有12所,他们包揽了数学与应用数学专业本科排名的前10名。

 

以下是89所大学的完全排名,注意,和往年排名一样,多校并列是校友会排名的特色。

 

谷歌:将语言翻译转化为向量空间中的数学问题


 

此文原载于麻省理工科技评论网站。

翻译作者:浪荡游侠,哆嗒数学网翻译组成员

 

 

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“语言翻译?简单,找到一个线性变换就行了。”——谷歌工程师

计算机科学正在颠覆着语言翻译。每个用过BabelFish或者谷歌翻译的人都知道它们能提供有用的翻译,尽管有时很蹩脚……

机器翻译的基本原理是:计算机对用两种语言表述的材料做词语比较,如果两个词有着相同的统计性质,我们便认为它们是等价的。其中一个很头疼的问题是初始的翻译依赖于语言学家所翻译的材料,而搞定这些材料是很费时费力的。

不过最近Tomas Mikolov所在的谷歌团队发明了一套不依赖于大量人工翻译的方法。它的机理是用数据挖掘为语言建模,然后比较两种语言模型之间的差别。他们说:“这种方法没有对语言做太多的假设。它的适用范围非常广,我们甚至可以用它来完善字典。”


Mikolov表示,他们假设每个语言形容的东西都是差不多的。比如每个语言都有一个对动物的总称,例如英文里“animal”是猫、狗、牛等动物的总称,还有他们在句中的用法也是差不多的,比如“猫是一种比狗小的动物 (Cat is an animal that is smaller than dog)”。数字也是一样,下图就是对数字在句中的用法所建立的模型(左:英语,右:西班牙语)。你看它们在英语和西班牙语里都是差不多的。

 

 

这个观察很重要。我们的新方法就是基于用词语之间的关系来表示整套语言系统。我们将所有可能的词语关系所构成的集合称作“语言空间”。你可以把它想象成一系列从一个词语指向另一个词语的向量。最近语言学家发现我们可以用数学的方法去研究这些向量,比如“国王-男性+女性”所得到的向量就和“女王”所表示的向量差不多。研究表明不同语言所对应的“语言空间”的结构其实是差不多的。翻译本质上就是一个“语言空间”到另一个“语言空间”的变换。

现在我们已经把语言翻译变成了一个数学问题。谷歌团队所要解决的就是把这个具体变换找出来。他们所采用的方法是先用少量语言学家所翻译的材料找到一个大致的映射。一旦这个大致的映射被勾勒出来,将它扩展到更大的语言空间上就非常简单了。Mikolov和他的同事们说:“这个方法很简单,但它非常有效:我们把英语与西班牙语之间的翻译精度提升到了90%”。值得一提的是这个方法还可以用来去改善字典,甚至去为字典纠错。比如谷歌团队就用这个方法在“英语-捷克语”字典中找到了很多错误。

最后Mikolov指出,这个方法仅仅对语言做了一些最基本的假设,所以它可以被用来鉴别暗语、方言等没什么关联的语言。事实上,尽管英语与西班牙语同属印欧语系,但是这个方法用在其它不同源的语言上效果也一样好,比如英语和越南语。Mikovol团队说:“这个方法的诞生是未来多语言交流的重要一步,但这仅仅是个开始。显然还有更多东西需要探索。”

 

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六一儿童节:看看这10个数学家的逆天童年

 

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什么人能过六一儿童节?不同人可能给出不同的答案。如果按我们中国相关法规的说法,未满14周岁的公民都会在当天放假一天。好吧,如果14岁是否还是“宝宝”的界限的话,那么本宝宝哆嗒君一起来和大家盘点10位数学家,他们的孩提时代都做了啥。

 

 

No. 10 祖冲之: 10岁豪言,不求升官发财,只求得知宇宙之奥秘

 

 

祖冲之是我国南北朝时期的数学家、天文学家。祖冲之的数学著作《缀术》记载了很多数学计算的方法,比如一些特殊的二次方程和三次方程根的计算。另外,祖冲之还将圆周率推算到了3.1415926到3.1415927之间,也是当时对圆周率计算精度最高的。

 

祖冲之的爷爷、爸爸都是当官的,祖冲之小时候被逼着学习四书五经就是必然的了。但是,小祖冲之并不擅长学习这些,经常因为无法背诵课文而被爸爸骂成蠢猪笨牛。最后还是祖冲之的爷爷出来说话:“算了算了,书念不好也许其他的能做好呢。别再难为孩子了。”

 

某个机会,祖冲之的爷爷发现祖冲之对天文学很感兴趣,于是给祖冲之找来很多关于天文学的书。看到小祖冲之读得津津有味,大家都很高兴。于是,祖孙三人就经常一起讨论天文知识。

 

10岁那年,家里带着祖冲之去天文学家何承天的家里。何承天见祖冲之对天文感兴趣,满心欢喜。爷爷见状,顺水推舟道:“你看你这么喜欢这孩子,就收了他当徒弟吧?”

 

何承天转过头来,对小祖冲之说道:“小盆友,研究天文历法非常苦逼呀,而且不能升官发财,你真愿意搞这个?”

 

10岁的祖冲之一本正经的正面回答:“升官发财算什么,我想知道的是宇宙的奥秘!”

 

传奇指数:★★★

逆天指数:★★★

 

No. 9 泊松:襁褓中就开始摇摆,于是成为研究摆的顶级专家

 

 

泊松是法国数学家。数学中留下了很多他的名字。泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流……

 

泊松的父亲是退役的军人。据说泊松小时候,泊松被母亲交给保姆看管。保姆觉得泊松体格太差,保姆忙不过来的时候,就把泊松放在一个摇篮式的布袋里,并将布袋挂在棚顶的钉子上。于是,在布袋里扑腾的泊松就被吊着他摆来摆去。保姆认为,这能锻炼身体。

 

泊松后来说,我在很小的时候就开始为研究摆准备了,嗯,就是那个时候。泊松对摆的研究情有独钟,一直到晚年都没有改变兴趣。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★

 

 

No. 8 柯西:拉格朗日对他爹说,数学可以先缓缓,因为他逆天是必然

 

 

柯西是法国数学家、物理学家、天文学家。我们从中学开始熟悉的柯西不等式就是他发现的。实际上,柯西在数学上有很多贡献,包括对极限理论的严格化工作。

 

柯西的父亲当过参议院秘书长,因为工作关系,他的父亲经常带着10岁左右的小柯西一起出入法国参议院。于是,小柯西有机会直接接触到同样是政府官员的顶级数学家拉普拉斯和拉格朗日。

 

两位数学家和柯西经常聊数学,柯西的数学天赋让他们非常赞赏,认为柯西以后必成大器。但是,拉格朗日觉得柯西身体单薄,怕过早接触数学会吃不消,于是建议他爹,17岁之前别让柯西碰数学,而只学文学——反正柯西未来数学都是逆天的存在,这样数学家还能多一位文学厉害的人物。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★☆

 

 

No. 7 张衡:从小就开始数星星 ,能数到1000+

 

 

张衡是中国东汉时期伟大的天数学家、文学家、发明家、地理学家、文学家。与司马相如、扬雄、班固并称汉赋四大家。数学著作有《算罔论》,但已经失传。而后面的《九章算术》中提到了张衡计算的圆周率为10的开方,约为3.16,这是中国第一个用理论计算圆周率的记录。

 

张衡出生于一个名门望族家庭,他的爷爷曾经用几千士兵战胜匈奴的上万骑兵,立下大功。还担当了平定四川的任务,平定四川后当过四川地区的一把手而没有任何腐败记录。所以张衡一直以爷爷为榜样。

 

那个时候,数学的发展和天文学密不可分。而幼年的张衡对天空中的星星非常感兴趣。课文《数星星的孩子》就是说的张衡的故事。从各方面来看,张衡数星星的事极有可能发生在他10岁之前,而张衡已经在那时已经能识数到1000以上(东汉呀,识数的人就没几个吧)。而且,望着天上漫天星斗,眼不花的从1数到1000以后,是一件极需要耐心的事情。作为一个小男孩子,是多么的不容易。

 

张衡后来还发展的浑天说理论,改进了浑天仪,使得对天体运行的测算更加精确。

 

传奇指数:★★★☆

逆天指数:★★★★

 

 

No. 6 图灵:3岁做实验,8岁写著作

 

 

图灵,英国数学家、逻辑学家,被称为计算机科学之父,人工智能之父。二战的时候,帮助盟军破译德国密码,为反法西斯的胜利提供了一臂之力。

 

图灵的爷爷虽然获得过剑桥大学的数学荣誉学位,但其实数学能力一般。应该说图灵的家里人对图灵在数学上的成长帮助不大。

 

图灵少年时就表现出独特的直觉创造能力和对数学的爱好。3岁的时候,图灵自己做了一次科学实验——把一个玩具木头人的胳膊、腿掰下来栽到花园里,试图种出更多的木头人。8岁时图灵开始尝试写一部科学著作,题目为《关于一种显微镜》。虽然书上有很多语言上的错误,但总体来说还是有模有样的作品。那个时候,当其他孩子踢球的时候,图灵却喜欢不上场,在场外计算皮球飞出界外的角度。

 

传奇指数:★★★★

逆天指数:★★★★

 

No. 5 高斯:老师说,这孩子太牛,我教不了

 

 

高斯是德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯是近代数学的奠基人之一,有“数学王子”之称。

 

高斯出生于一个普通家庭,他的爸爸做过包工头。母亲没有上过学,在嫁给高斯爸爸之前做女佣工作。

 

有一说是这样的,高斯对计算天生敏感,3岁帮爸爸看账本,并指出了账本上的错误……

 

大家可能知道的更多的故事是关于等差数列求和的。10岁那年,高斯的小学老师彪特耐尔让他班里的所有学生计算1 + 2 + 3… + 100的结果。小高斯很快的算出了正确的结果:用1和100组合成101,2和99组合成101,….这样能组合成50个101,得到5050。这是彪特耐尔没交过的办法。要知道那个年代,等差数列的求和是大学才学习的知识,而小高斯看上去有能力掌握这个数学技能。于是,下课后彪特耐尔向校长汇报:“对于高斯,我已经没什么可教的了。”

 

后来,彪特耐尔为了不埋没高斯的数学天赋,经常托人去大城市汉堡买更先进的数学书给高斯看,还让自己的助理对这个普通家庭的孩子多加照顾。

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★

 

 

No. 4 维纳:9岁上中学,12岁中学毕业

 

 

维纳是美国应用数学家,控制论的创始人,也是随机过程理论的先驱。

 

维纳6岁时,严重怀疑乘法交换律的正确性。他曾经画了一个矩形,然后旋转90度后,确定长和宽对调后,矩形的面积没变。要知道,对乘法交换律的考虑,也是现代代数学的开端之一。

 

维纳由于太过于聪明,被称为神童,以至于无法进入正常的学校学习。9岁作为有特殊才能的学生进入中学学习,12岁就从这个学校毕业了。

 

传奇指数:★★★★

逆天指数:★★★★☆

 

 

No. 3 帕斯卡:12岁自己推出欧几里德的几何定理,13岁发现“帕斯卡三角形”

 

 

帕斯卡,法国数学家、物理学家、哲学家、文学家。数学上发现了帕斯卡三角形,对概率论也有极大的贡献。提出著名的“帕斯卡赌局”,劝导人们应该相信上帝的存在。

 

帕斯卡出生于一个法国的贵族家庭。在帕斯卡8、9岁的时候,帕斯卡和他父亲一起来到巴黎。于是,小帕斯卡有了和但是最顶级数学家——诸如笛卡尔、梅森——接触的机会。虽然,帕斯卡小时候没有去接受正统的学校教育,而是在家里由他的父亲和其他亲戚叫他念书。帕斯卡的父亲也是一个数学家,但是家里人觉得学好拉丁文才是正统,于是父亲想方设法的让他少看数学,多学语言。

 

12岁那年,他父亲惊讶的发现,偷偷学习数学的帕斯卡几乎自己独立的发现了欧几里得的全部几何定理。于是决定,还是教授小帕斯卡数学吧。

 

13岁,帕斯卡发现了著名的帕斯卡三角形(中国叫杨辉三角)。

 

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★☆

 

 

No. 2 陶泽轩:8岁上中学,12岁IMO金牌

 

 

陶哲轩是澳大利亚的华裔数学家,2006年菲尔兹奖得主。兴趣广泛,对调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论等领域都要重要贡献,被誉为“数学界莫扎特”。

 

陶哲轩的爸爸妈妈都是在香港大学毕业的。母亲还是数学和物理专业的高材生。

 

陶哲轩实在太聪明了,很长时间找不到合适的学校。于是,陶哲轩的妈妈承担了在家里为小陶哲轩做启蒙教育的任务。

 

于是陶哲轩7岁自学微积分,8岁半上中学,10岁参加国际奥林匹克数学竞赛(IMO)并得到奖牌。第三次参加IMO时获得金牌,当时陶哲轩12岁。迄今为止,这依旧是IMO金牌得主的最年轻记录。

 

传奇指数:★★★★☆

逆天指数:★★★★★

 

 

No. 1 欧拉: 9岁自学《代数学》,13岁上大学

 

 

欧拉是最伟大的数学家之一,分析、代数、几何都要欧拉伟大的贡献。欧拉还是最多产的数学家之一,共写下了886本书籍和论文。

 

欧拉出生在一个牧师家庭。很小的时候,就利用“周长相等四边形正方形面积最大”帮助他的父亲改造羊圈。让老爹见识了欧拉的数学天赋。

 

9岁时,欧拉就在阅读德国数学家鲁道尔夫的《代数学》。这个书他学校的老师都不一定能看懂。他的数学老师数学家伯克哈特知道小欧拉看《代数学》后,直呼天才。

 

13岁,欧拉考进巴塞尔大学,当时举世轰动。

 

传奇指数:★★★★★

逆天指数:★★★★★

 

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在数学里是不会上当受骗的

 

原文作者:  Siobhan Roberts

认领人: mathyrl

校对人: 333

 

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对于Sylvia Serfaty而言,数学是关于真理和美,关于建立科学与人文之间联系的学问。

 

几年前,一位即将毕业的博士生向Sylvia Serfaty寻问了一些关于纯数学无用的存在主义问题。新近获得著名的庞加莱奖(Henri Poincaré Prize)的Serfaty,只是以诚实和令人愉快的方式说服了他。纽约大学柯朗数学科学研究所的研究员Thomas Leblé表示:“她非常热情,善解人意和有人情味。“她让我觉得数学即使有时似乎显得有些徒劳,至少它会很友好。智慧和人类的冒险是值得的。”对于Serfaty,数学是关于建立科学与人文之间联系的学问。但是,Leblé回忆说,Serfaty还强调,数学家必须在“编织自己的地毯”中找到满足感,并指出,首先需要耐心和孤独的工作。

 

 

Serfaty在巴黎出生和长大,读高中时首次被数学所吸引。最终,她倾向于物理问题,构建数学工具来预测物理系统应该发生什么。在20世纪90年代后期的博士研究中,她专注于金兹堡-朗道方程(Ginzburg-Landau equations),该方程描述了超导体及像旋风般旋转的涡旋。她所处理的问题是确定这些涡旋在何时、何地以及如何出现在静态(与时间无关)基态。在十多年的时间里,她与巴黎东区大学(University of Paris-Est)的Étienne Sandier一起解决了这个问题,并与之合著了《在磁性金兹堡-朗道模型中的涡旋》一书。

 

 

在1998年,Serfaty发现了一个非常吸引人的关于这些涡旋如何随时间演变的难题。她认定这就是她真正想要解决的问题。经过初步考虑,她被卡住,然后放弃了它,但是她不时地回到这个问题。多年来,她与合作者一起建立了一些工具,希望可以最终为期望的目标提供途径。经过了将近18年,在2015年,她终于想到了正确的视角,并找到了解决方案。

 

 

 “首先,从一个‘某些东西应该为真’的愿景开始,” Serfaty说,“我认为我们大脑中有‘软件’,可以这样说,让我们可以对一个命题的品质以及真实性给出一个判断。”

 

而且,她指出,“你不会被忽悠,也不会上当受骗。一个事情是否真实,有这个明确的概念作为依据。

 

 

2004年,28岁时,她因金兹堡-朗道模型的分析工作而获得了欧洲数学学会奖;接着是2012年的庞加莱奖。这位两个孩子的母亲,能演奏钢琴,热爱骑自行车,去年9月,她作为全职研究员回到了科朗研究所(Courant Institute),自2001年以来她一直在此担任过多个职务。在数学系的大约60名全职教职员工中只有五名女性,她是其中之一,她认为这个比例不可能在短期内获得平衡。

 

在1月份,《量子杂志》(Quanta Magazine)在科朗研究所与Serfaty交谈。以下是对话的编辑精简版本。

 

量子杂志:你在什么时候找到了数学?

 

SYLVIA SERFATY: 在高中时,有一个小插曲让我觉得数学会是我的菜:我们有一些作业是需要在家里解决的小问题,其中一个似乎很难。我一直在想啊想,徘徊着试图寻找解决方案。最后我想出了一个意料之外的解法 —— 比起问题要求更为普遍,使之更抽象。所以当老师给出解法的时候,我提出了我的解法,每个人都很惊讶,包括老师自己。

 

 

我很高兴我找到了一个创造性的解法。那时我还是一个少年,有点理想主义。我想要做出创造性的影响,搞研究似乎是一个美妙的职业。我知道我不是一个艺术家。我的爸爸是建筑师,在严格的意义上他是一个真正的艺术家。我总是把自己与这个形象进行比较:那个人有才能和天赋。这在建立自我认知,对自己所能做的和我想要实现的想法方面发挥了重要作用。

 

 

所以你不认为自己有天赋——应该不是一个天才吧。

我的确不是天才,而且我认为这些小天才和神童的形象对这个行业会造成危害。这些关于科学家的好莱坞电影也可能会起反作用。他们告诉孩子,有一些天才在那里做真正酷的东西,孩子们可能会想,“哦,这跟我没什么关系”。也许5%的职业符合这种刻板印象,但其余95%并不是这样的。你不必先成为那5%的人,才能去做有趣的数学。

 

 

对我来说,我的小小梦想需要足够的信心和信念。我的父母告诉我,“你可以做任何事情,你应该去追寻它” —— 我的母亲是老师,她总是告诉我,我在我的小伙伴们当中名列前茅,如果我不成功,谁会呢?我的第一位大学数学老师发挥了很大的作用,他真正相信我的潜力,然后当我做研究的时候,我的直觉证实我真的很喜欢数学 —— 我喜欢它的美丽,我喜欢它的挑战。

 

所以,如果你想成为一名数学家,你必须对挫败感应对自如吗

 

做研究就是这样。你会享受解决问题的乐趣如果你难以解决它。乐趣就在于与一个问题进行斗争。这与徒步旅行相似:你向山上爬,这很艰苦,你出了很多汗,但当一天结束时,奖励就是那美丽的景色。解决一个数学问题有点像这样,但是你并不总是知道路在哪里,以及到达山顶的距离。你必须能够接受挫折,失败,和自己的局限。当然,你必须要足够优秀;这是最低要求。但是,如果你有足够的能力,那么你培养它,并以它为基础,正如一位音乐家需要演奏音阶和练习才能达到顶级水平。

 

你如何解决问题?

 

在我开始攻读博士学位时,我获得了来自Tristan Rivière(我的导师Fabrice Béthuel以前的学生)的建议,他告诉我:人们往往认为数学研究是关于那些大想法的,但不是的,你必须从简单的、愚蠢的计算开始——再次像个学生那样,自己重头做这一切。我发现这是真的。很多好的研究实际上是从简单的东西、初等的事实、基本的砖块开始,你可以在这基础上建起一座大教堂。数学的进展来自于对你所遇到的问题的典型案例、最简单实例的理解。通常这是一些容易的计算;只是没有人想到应当用这种方式来看。

 

 

这个观点是你培养出来的,还是自然而然出现的?

 

这就是我所知道的。我告诉自己,总是有很多聪明的人已经思考这些问题,做出了非常漂亮和精致的理论,当然我也不能总是在这个方面和他们进行竞争。但让我试着从头开始重新考虑这个问题,以我自己的那一点基本的了解和知识,看看我能走到哪里。当然,我已经建立了足够的经验和直觉,我只是假装自己什么都不懂。最后,我认为很多数学家以这种方式进行,但也许他们不想承认,因为他们不想被看成头脑简单。老实说,这个职业有很多的自负。

 

 

自负对数学抱负是有还是阻碍?

 

我们进行数学研究,是因为我们喜欢这些问题,而且我们喜欢寻找解决方案,但我认为也许有一半是因为我们想要惊世骇俗。如果你在一个荒无人烟的孤岛上,没有人欣赏你漂亮的证明,你还会做数学吗?我们证明定理,是因为有听众来进行交流。大多数的动机还是,在下次会议上介绍你的工作,看看同事的想法。然后,人们对此表示赞赏,并提供积极的反馈意见,就带来了很大的满足感。然后你可能得奖,如果是这样,也许你会得到更多的奖,因为你已经得奖。你会在很好地期刊上发表论文,你会跟踪你发表的论文数量以及MathSciNet上有多少引用量,而且你不可避免地会习惯于将自己与你的朋友进行比较。你经常被你的同行评判。

 

 

这是一个促进科学家不断工作的系统。因为他们希望保持排名,所以这就推动了他们发表论文和努力工作。但这也带来了很多自负。在某些时候我认为这太多了。我们需要更加注重真正的科学进步,而不是外在的财富。我可以肯定这个方面对女性不是很友好。还有书呆子的刻板印象 —— 我不认为自己是一个书呆子。我不认同那种文化。我不认为是因为我是一个数学家就必须得成为一个书呆子。

 

 

更多的女性进入这个领域会有助于平衡这种印象吗?

 

对于这个领域的女性来说,我并不乐观。我不认为这是一个自然会解决的问题。过去20年的数字并没有很大的改善,有时甚至会下降。

 

问题是:你能说服男人,如果周围有更多的女性科学家,科学和数学真的会更好吗?我不确定他们能否被说服。会更好吗?为什么?会使他们的生活更好吗?会使数学更好吗?我倾向于认为会更好。

 

 

以什么方式?

拥有多样化的心态很好。两位不同的数学家以两种略微不同的方式思考,女性倾向于略有不同的思考。数学不是大家盯着一个问题然后试图解决这个问题。我们甚至不知道问题在哪里。有些人决定要在这里探索,有些人在那里探索。这就是为什么你需要有不同观点的人,想到不同的观点,找到不同的道路。

 

 

在你自己过去二十年的工作中,你专注于数学物理学的一个领域,但这导致了你进入多个不同的方向。

随着你的数学成熟度的逐渐加深,观察到冥冥之中一切是如何连接起来,这真的很美。有这么多东西彼此联结着,同时你也不断在自己的头脑中构建新的连接。等有了经验,你会发展出对你自己而言独一无二的观点 —— 当然也会有其他人从别的角度到达你所发现的这个地方。这是富有成效的,这就是你可以解决某些问题而比你更聪明的人不能解决的原因,因为他们缺少必要的视角。

 

你的方法意外地打开了其他领域的门 —— 这是怎么发生的呢?

我从一开始就有一个重要的问题是了解涡旋的模式。物理学家从实验中知道涡旋形成三角形晶格,称为Abrikosov晶格,因此问题是要找出它们形成这些模式的原因。我们还未能完整回答,但我们已经取得进展。 2012年我们发表的一篇文章,首次严谨地将结晶问题与金兹堡-朗道涡旋问题联系起来。事实证明,这个问题在数论和统计力学以及随机矩阵等其他数学领域也出现了。

 

我们证明的是,超导体中的涡旋表现为与所谓的库仑相互作用的粒子相似 —— 基本上,涡旋像电荷一样作用,并互相排斥。你可以将粒子看作互相不喜欢而被迫呆在同一个房间的人 —— 他们应该站在哪里,以尽量减少相互间的厌恶?

 

跨越到一个新的领域是否困难?

这是一个挑战,因为我不得不学习一个新领域的基础知识,在这个领域没人认识我。最开始会有一些对我们结果的怀疑。但是,作为新来者,我们可以发展一些新的观点,因为我们没有任何先入为主的观念 —— 无知在这种情况下是有帮助的。

 

一些数学家,他们的工作往往以一些自己明确知道该怎么做的问题入手,然后他们将问题变形推广,就像周边产品:你制作电影,然后你卖T恤,然后你卖的杯子。我认为一种可以区分优秀数学家的方法是,他们不断前进并开拓新的领域。

 

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520:向你心中的数学家表白吧!

分析学家:所有的判别法都无法检验我对你的感情,对你的爱永不收敛!

 

 

双曲几何学家: 直线有无数条平行线, 但你没有。无论我奔向哪里,都将与你相遇!

 

 

 

拓扑学家:无论生命历经何等沧桑,只需要通过一个微分同胚,你就能看见,我对你的心万年不变!

 

 

统计学家:与你一瞬间的偎依,就足以拒绝零假设!

 

图论学家: 我的心就是一个引出1000条弧的节点,每条弧都指向着你!

 

组合学家: 你问我爱你有多深?选择组合代表我的心!

 

概率论学家: 说“百万里挑一”完全不能表达你在我心中的地位,你是零概率事件!

 

运筹学家: 我终止所有搜索算法的运行,因我已经找到了全局最优解——就是你!

 

逻辑学家: 我对你的爱,不单单是必须的,更加是充分且必要的!

 

数论学家: 我和你之和一定是一个质数,因我我们一旦在一起,就永远不会再分解了!

 

 

惊!歌德巴赫、孪生素数猜想还可以这样玩

 

作者: Math001,哆嗒数学网网主

 

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这篇文章把约数、素数、孪生素数猜想、歌德巴赫猜想用一种“可视化”的办法,把它们“变”成了一个可以看见的填字涂色游戏。而这种转化为“变戏法”的过程所涉及的知识,只涉及初等数论的知识,如果有兴趣的读者不嫌麻烦,可以耐心地把其中的转化过程一一验证,如果没时间验证也没关系,可以暂且相信我们哆嗒数学网的小编,跳过一些繁琐的证明过程,一起领略另外一种“数形结合”的奇妙。

 

首先声明,我们的目的是把一些数论问题变得“好玩”、“好看”。即便把这些问题变成了小游戏,问题的难度可能依然没有得到任何程度的降低(有可能变得更难)。如果你觉得真的变好玩了,不妨让更多的人看到这些玩法并一起玩,这会是件非常有趣的事情。

 

 

  • 起航:做一张巨大的正整数表格

 

我们按下面的步骤,来做一张表格:

 

第1行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3、……

 

第2行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔1个空格。

 

第3行,还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔2个空格。

 

……

 

第i行,依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……,不过每两个数字之间要间隔i-1个空格。

 

……

 

理论上,这是一个有无穷行和无穷列且大部分地方都是空格的大表格(无穷矩阵),不过我们可以截取它的一部分来说明一些问题。

 

据说,几百年前的欧拉已经用过这样表格研究数学问题了。如果真是这样,欧拉真是一位十分有耐心的数学家。用“人肉”绘图的方式,哪怕只有几百行几百列,也是一件耗时耗力的工作。因为一会儿我们要在这个表格上做一种类似“跳格子”游戏的操作,我们把这个表就叫做“跳格子表”吧。不过现在有了计算机,我们可以轻易的做到这样的事情。下面是我们哆嗒君用Excel软件做的17行50列的表格(点击图片放大观看):

 

 

我们稍微地归纳一下这个表格的填字规律,第i行第j列,即位置( i , j )的“填字”N( i , j )将是

 

 

事实: 位置( i , j )的填字不是空格的充要条件是,j-1 是 i 的倍数,即i是j-1的约数。

 

 

  • 约数与质数“重定义”

 

我们知道,对于两个正整数来说,如果a是b的倍数,b就是a的约数。如果一个大于1正整数的约数只有1和它本身,我们就说这个数是素数,也叫质数。

 

然而,我们这里既然做了表格,目的就是要重新利用表格上语言来说,到底什么是约数。

 

观察下面表格的红色路径,它们都是从第1行的某个数字开始,向左下方一路斜着拉了条斜线拉到最左侧的那一列的1。比如我们图中的6, 11, 18。从6拉的路径里,除了空格,经过的数字有6,3,2,1,而从18开始的,经过的有18,9,6,3,2,1。 恩,你发现了吗,经过的数字,正好是起始数字的约数。于是,我们说,在这样的表格里,约数可以这样表述:

 

约数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”的路径中经过的数字。

 

 

对于观察到的这个结果,我们给出一个简单的证明。我们来看,从(1,n)出发所经过的格子( 1+i , n-i ) , i = 0,1,2,3,…,n-1。根据前面的事实1,N( 1+i , n-i ) 是一个数字,当且仅当 n-i-1 = n-(1+i) 是 1+i的倍数,就是说n是1+i的倍数。而当n是1+i的倍数时,格子中的数字是N( 1+i , n-i ) = 1 + (n-i-1)/(1+i) = n/(1+i) 。这个是一个正整数且是n的约数。而i从0到n-1遍历的时候,1+i遍历了n所有可能的约数,而且每个约数恰好出现一次。

 

有了这个结果,我们还可以“重新定义”素数:

 

素数的“跳格子”定义: 正整数n的约数就是“跳格子表”中,从第1行的n出发(即(1,n)位置出发),向左下行走到第1列的“1”路径中,除了路径的起点与终点,经过的全是空格。

 

上面图中的11便是其中的一个例子。

 

 

  • 孪生素数猜想的玩法

 

如果两个(奇)素数之差是2,我们就说这两个素数是一对孪生素数。比如3和5、11和13,、17和19等等。直到2016年9月,发现的已知的最大的一对孪生素数是下面两个数,展开后,这两个数都有388342位,这里一定是写不下了的。

 

 

孪生素数猜想是说,有无穷多对孪生素数。那么在我们的表格中会怎么表述这个猜想呢?

 

我们从第一排的某个数字出发(即(1,n)位置出发),如果往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,一路空格走到1,那么这个n以及n-2都是素数。下图中的13就是这个情况。

 

 

证明这个的思路,也和前面一样,是一些简单的倍数、约数验证。从(1,n)位置向右下斜走n-3格,踩中的位置为N(1+n-3,n+n-3) = N(n-2,2n-3) = 1 + (2n -3 -1)/(n-2) = 3 。就是说从任何(1,n)出发,n-3格的时候踩中3是必然的 。 另外,因为是一路空格踩过来,所以 i = 1,2,...,n-4的时候,N(1+i,n+i)都是空格,也就是说n+i-1= (n-2) + (1+i)不是1+i的倍数,即n-2不是1+i的倍数。就是说2,3,...,n-3,都不是n-2的约数,从而n-2是素数。而n本身是素数是从(1,n)出发的左下斜线路径决定的。

 

于是我们有了,孪生素数猜想的“跳格子”表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往右下一路斜走,踩过一路空格后,踩到3,而从左下一路斜走,踩过一路空格走到1。

 

 

  • 还没玩够,马跳模式下的孪生素数猜想猜想

 

你下过中国象棋、国际象棋吗?如果下过,就会知道象棋中马的走法。俗话说“马走日”,意思马会形状如“日”字的一个角跳到对角线上的另外一个角。当然如果你不知道象棋而知道围棋,那么围棋中“小飞”的走下法和“马走日”的走法差不多都是我要表达的意思。

 

马跳可以横着跳,也可以竖着跳。横着跳的相当于跳了一个平躺的“日”的对角线,而竖着跳就是一个站立“日”。

 

下面我直接给出两个结论,然后简单的验证了其中一个。另外一个读者可以自己验证,都是简单的约数验证。

 

2n-1是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往左下竖马跳,踩过一路空格,踩到1

 

2n-3是素数,当且仅当,从第一排的n位置出发,往右下竖马跳,踩过一路空格,踩到2。

 

当从(1,n)位置出发的时候,往左下竖马跳n-1步后踩到1是非常容易判定的。  由于一路踩过的都是空格,所以(1+2i, n-i )位置在1< i <n-1上都是空格,就是说n-i-1 不都不会是1+2i的倍数。因为1+2i是奇数,所以相当于是说 2(n - i - 1) = (2n-1)-(1+2i) 也不是1+2i的倍数,即2n-1不是不会是1+2i的倍数。这时1< 1+2i <2n-1 ,就是说奇数2n-1没有奇素因子。2n-1为素数。

 

2n-3的素数条件验证是相似的。

 

下图从10出发的两个方向的马跳,说明了19、17是一对孪生素数。

 

 

于是,我们有了第二种表述:

 

孪生素数猜想的“跳格子”第二表述: 存在无穷多个n,使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发,往左下一路马跳,踩过一路空格后,踩到1,而从往右下一路马跳,踩过一路空格后,踩到2。

 

 

  • 说好的歌德巴赫猜想呢?

 

这一部分,我们就会来实现这个猜想。玩之前我们会介绍一种“跳格子表”上的新走法——k级马跳,以及我们会换一个更大的棋盘来玩。

 

前面介绍的马跳的位置,其实是向横(竖)着移动一格,然后朝另外一个方向竖(横)着移动2格所得到的位置。如果我们把第二次的2格换成其他数字k,然后将这个新的走法称为k级马跳。

 

那么,前面的走法就成了k级马跳的特例。最早棋盘上的斜着走,就是1级马跳,而上一部分的默认马跳其实是2级马跳。

 

另外还有一种特殊情况,0级马跳,横着的0级马跳竖着直走,竖着的0级马跳是横着直走。

 

为了玩得开心,我们引入0和负数,把之前的表格向左边无限扩展,得到下面样子的表格。我们省略负号,把0和负数涂上绿色。这个表格是之前的升级版,我们叫做“跳格子表2”。

 

 

 

 

“跳格子表2”保留所有之前未升级版本表格的性质,比如N(i,j)的值,我们可以计算N(2,-1)=1+ (-1-1)/2 = 0, N(8,-63) = 1+ (-63-1)/8 = -7 , 以及 N(3, -6) = 空格。 因为-6-1 = -7 不是3的倍数。

 

现在我们的准备工作完毕,开始要说歌德巴赫猜想的玩法了。

 

歌德巴赫猜想是说,每个不小于6的偶数可以写成两个奇素数之和。

 

我们说一个不小于6的偶数2n,如果存在一个非负整数k,使得从第一行的n+1位置出发,向往右边一路横着进行k级马跳,踩过一路空格,最后踩到k+2,往左边一路进行k级马跳踩过一路空格,最后踩到2-k。 那么2n能写成两个素数的和。

 

我们来看看为什么。

 

从(1,n+1)往右横着k级马跳,跳n-k-1步踩到的点的值N(1+(n-k-1),n+1+k(n-k-1)) = N(n-k,1+(1+k)(n-k)) = 1 + (1+(1+k)(n-k)-1)/(n-k) = k+2 ,就是说n-k-1步后必然踩到k+2,  由于是一路空格踩过来,说明当1≤i≤n-k-2 的时候, 1+i都不是n-k的约数。即2,3,4,...,n-k-1 都不是n-k的约数。于是n-k是素数。

 

利用相同的办法可以验证,n+k也是素数。只需要验证向左边移动n+k-1步的情况。

 

相反,如果一个不小于6的偶数2n = p + q,其中p≤q是奇素数。那么我们令k = n-p = q-n。那么这个k对应的k级马跳就是符合游戏设定k级马跳。

 

那么这个时候,我们可以表述歌德巴赫猜想了。

 

歌德巴赫猜想的“跳格子2”表述: 对每个不小于4的正整数n,存在一个非负整数k,使得从“跳格子表2”中第一排的n位置出发,往右横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到k+2,而往左横着进行k级马跳,踩过一路空格后,踩到2-k。

 

下面的例子是对从16可写成两素数之和的验证。这个时候n=8,n+1 = 9, 所以从第一行的9开始跳,k的取值是3,所有最终右边跳到k+2=5,左边跳到2-k = -1 ,于是n+k = 8+3 = 11, n-k = 8-3 = 5, 16 = 11 + 5 ,16写成了5和11两个素数和。

 

注意,k=0 的特殊情况是这样的: 从n+1一直直线往下走,踩过一路空格踩到2。比如上面图从4出发向下走的黄色部分,说明了6满足哥德巴赫猜想。

 

 

 

 

  • 谁发现(发明)的这个游戏?

 

好的,我们把孪生素数猜想和歌德巴赫猜想都在一个有趣的表格上重新实现了。那么这个游戏是谁发明的呢。

 

发明这个游戏的人叫Cloitre,是一位法国的数学的业余爱好者。他把他的这个发现写成的论文,可以在http://www.les-mathematiques.net/articles/Chemins.pdf 看到。我们哆嗒君把他的玩法优化,并处理完几个小错误之后呈现给了大家。这个游戏不是他在数学上唯一的发现。Cloitre的很多发现并不逊色于在大学任教的数学专业人士,。比如2004年,他发现了ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + ... 的一个极其简单,但之前无人发现的公式,这个公式被收录在WolframMathWorld的词条中。

 

 

一些专业的数学教授也乐意和Cloitre合作,Cloitre也乐于在网上分享他的数学上点点滴滴。著名数列百科网站OEIS有Cloitre的4000多条贡献,一些数列中隐含的问题也激发了一些专业人士的研究兴趣。

 

所以,业余人士做的数学,也会被人叫好,也是会被人们承认的。这个时候,专业人士也不会叫你“民科”,当然——前提是你的研究是对的。   

 

 

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英国专家:中国数学教学体系能促进社会阶层流动

 

原文作者:Harry Low,BBC记者。

翻译作者:胡杨,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华南理工大学

校对:mathyrl

 
 

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中国上海在2009年和2012年参加了三年一度的针对15岁学生学术能力的国际学生评估项目测试(PISA测试),结果是上海学生的数学能力在国际上排名第一,德国,英国,美国,甚至连新加坡,日本都排在后面,这里的奥秘是怎样的呢?

 


上海小学教师的教课生涯和世界其他国家老师是不一样的,有一点就是,每一个老师专攻一定的科目,如果你教数学的老师那你就只教数学。


这些专业的教师需要连续5年接受专业的培训,这个培训针对固定年龄层的学生,在这5年中,教师可以更好的了解自己所从事的科目和学生的学习情况。


在取得教师资格后,小学教师一般每天上两节课,他们每天剩余的工作时间就是辅导那些需要额外学习帮助的同学以及和同事讨论教学方法。


“如果你把这些专业的老师和现在的英国小学教师比较的话,那些英国小学教师可能只接受过5天职前教师培训”,伦敦Ashburnha社区学校的校长BenMcMullen说到。


“他们可能会在培训生涯的第一年第二年接受后续的培训,通过在职培训和员工会议等等,但这样只接受几天教育培训的人和那些接受了特定科目训练5年的专业教师没有可比性”。


在中学也有相似的故事,老师花少量的时间和学生们在教室里上课,而更多的时间会花在课程计划制定和课程优化方案上。


还有其他的一些不同:上学时间更长,从早上7点到下午4、5点。班级人数也更多,课程时间也更短,每一课只有35分钟,每一课中间有15分钟的自由活动时间。


不会按照学生的能力把学生分成小组,每个学生都必须在老师讲解下一部分时搞明白刚才讲的东西。每年被教育部门派遣来到上海参观学习的英国教师McMullen说在学校早期的基础算数教育比英国的教的更慢。

 

“他们看到了我们的课程,被我们的教学内容吓到了”,他说。“他们直到四五年级才会教学生分数,因为他们觉得那时候学生已经熟练掌握乘法和除法,这本质上就是一个‘掌握学习’的教学模式:每次的教学内容少一点,取得逐步的小进步,通过不断的复习直到学生都明白掌握了,确保全班整体进步”。


中国大陆其他城市学生的数学水平可能和上海学生不同,2015年的国际学生评估项目测试显示,上海、北京、江苏、广东联合排名第五,落后于新加坡、日本、台湾和香港。


也有人提出上海前几年的测试结果被四分之一的城市学生影响。然而PISA测试项目组坚持说他们的结果说明上海农民工的孩子比西方国家专业人士的孩子要厉害。

这是此体系吸引人的一个关键点,它让贫穷的孩子认识到他们自己的潜力,增加社会阶层转变的社会流动性。但是伦敦大学学院的Henrietta Moore认为此体系也有不足之处。

 


她说:“这个的初衷是,努力就会带来回报,所以这么做的功利性就很强,由此来带来了孩子们创造力不足的问题,现在中国的数学老师们最热衷于找到解决此问题的办法,而解决这些问题需要社会空间和所处的环境综合作用。”


“我们英国实际上做得更好,他们也在尝试发展和向我们学习”。


另一个对这个体系的批判就是父母逼迫孩子学习。大约有80%的学生参加校外补课。


Moore说:“家长对教育兴趣带来的一个问题是家长变得争强好胜——家长之间的攀比他们的孩子还要明显,所以他们想让自己的孩子参加所有的这些课外辅导班”。


所以别的国家可以借鉴这套体系吗?


“我同意教学数学的老师们都需要深入了解数学概念的建构和对孩子们如何学习的深刻理解”,Anne Watson说,她是牛津大学的数学荣誉退休教师。“我也同意对每个学生拥有高期待值的想法”。


互联网公司老板Martha Lane-Fox也是这个体系的支持者。


“有两个吸引我的地方”,她说,“那种认为人人都有可能成为数学高手的观念比英国社会的观念要强烈,我也很喜欢对细节的关注,我对渐进学习法和让事物进行微小的进步的观念很感兴趣”。


“这套体系的基本面是正确的,当一想到人人都可以放飞数学天性,我就心潮澎湃。”


McMullen的小学已经向上海的学校借鉴了一些观点。


学生不按成绩分方向分开上课,学生们自由交流互动,课堂上有一种“不一样的氛围”。


McMullen说:“年轻的学生们在学校能够学到令人难以置信的扎实数学基础、熟练的计算技能和清晰的概念”。

对于老师来说,还有一个很大的好处,他说,就是不用再划那么多重点了。

 

 

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女神艾米的美妙数学

 

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连接了对称性和理论物理学的诺特定理,是我所了解过的最美丽和优雅的概念之一。然而最出乎我意料的是,诺特居然是一个名为艾米的女子。尽管我一向相信女性和男性一样,拥有做到任何事情的能力,但是,当我刚接触这件数学中的美妙艺术品的时候,我相信这无疑是由一位男数学家得到的;至于它的发现者实则是一位女性,则从来没有想到过。当然,那时我知道玛丽·居里,一位女科学家,她的盛名足以让她成为物理学圣殿中的传奇。但我,作为一个已经大二的学生,以前却从来没有在物理课上听说过诺特,或者是其他女性!这个认识让我擦亮了眼睛,明白了从前不知情的偏见,也让我想要了解更多。

 

 

诺特是一位真正的数学家,是建立抽象代数学的先驱者之一,她擅长以全新的方式处理问题。她在物理中的工作尤其引起了我的关注,即帮助一位可怜的物理学家弄清楚了他的理论中所需要的数学知识,而这只不过是她的成就中的冰山一角。作为其结果,诺特定理诞生了,专业地来说,就是上面的公式。该定理断言,对于一个物理(力学)体系的每一个连续的对称变换,都有一个与之相关联的守恒量与之对应。守恒定律是理论物理中的一个基本规律,它让我们可以决定一个现象在物理学中是否会发生。诺特定理把它和力学系统的对称性联结了起来,从而使得我们能够单单从拉格朗日量,一个关于系统能量的函数的性质中,决定哪些物理量是守恒的。很多守恒定律都众所周知,例如一个封闭系统的能量和动量守恒定律,但是诺特定理成功地消释了在近代物理学新理论中出现的那些守恒律(例如广义相对论)中的悖论。说这条定理是物理学中的一个“重要结果”,是有些轻描淡写了。

 

 

艾米成长于一个数学家辈出的家庭,但她的家人并没有注意到她的天赋,也不鼓励她追求她的数学梦想。当她开始被数学吸引时,她还在为成为一名语言教师接受训练。就在此时,她开始去埃尔朗根大学听课。作为一位女性,她不能够正式注册,所以她只能在课上旁听。几年之后,女性开始被正式允许去上课。但关于女性权利的公平政策,她一向没有赶上太多。有一段时间,当她通过博士毕业论文答辩后,她仅被允许以希尔伯特的名义去哥廷根大学教书。几年后,她总算找到了一份教职,尽管薪水微薄。她从来没有能够在德国成为一位全职教授,甚至凭借她的工作得到相应报酬。1933年,由于她的犹太人身份,她被德国法西斯赶出了哥廷根大学,之后她搬到了布林茅尔学院,一所美国的女子名校。在这所学院的日子总是伴随着困境,比如不能够授课研究生课程,找到一份终身教职,健康状况不容乐观,并且当时德国的政治情形也很糟糕。但是,她却从不同的角度看待事情,并称“最后的一年半是我整个生命中最快乐的,因为在布林茅尔和普林斯顿得到了认可,而从来没有在自己的国家得到过这些”。不幸的是,她不久之后就因为肿瘤切除手术的并发症去世了。

 

当浏览诺特的生平时,最让我感到震撼的是她的个性。她是一位传奇女性,一位声誉卓著的数学家。她非常规的生活方式引起了很多笑话,但她自己从来不以为意。她的容貌、着装和体重常常被人评论,她的声音也是如此,被认为是“大声而令人不快的”,因为不像其他女性传统意义上那样柔和和高雅。她非常关爱学生,经常和他们分享自己的观点,充满激情和热情地授课,甚至不论他们的政治立场(那时她有一个学生常常穿着一件纳粹冲锋队的褐色T恤去她家中上课)。她的学生们高度赞扬她,因为她让他们感到她是学生群体中的一份子,“好像她也是在第一次思考这些定理”。她将一种简洁化和去除不必要部分的原则应用于数学和生活。她穿着男士皮鞋和外套,在那时,她一个星期有六天在同一个餐馆的同一个时间档的同一时刻吃同一顿晚饭。据诺特的唯一一位美国研究生学生说,“她思考问题和工作的方式简直就是她生活方式的一个写照:那就是,甄别出一切不必要的东西,把它们推到一边,然后全身心地投入到现实工作中去”。

 

 

她同样得到了她的同事们的高度赞扬,也正是由于他们持续不断的努力她才得以找到教职,第一次是在哥廷根,后来则是在布林茅尔学院和普林斯顿高等研究院(尽管很不幸地,她原本可以在去世前加入后者)。赫尔曼·外尔,二战前哥廷根的一位教授,说他“对于在她身边从事一份比她待遇更好的教职感到羞愧。因为作为一位数学家,她在很多方面都胜过我”。在她对爱因斯坦的广义相对论做出重要贡献之后,爱因斯坦写信给希尔伯特说:“昨天我收到了诺特女士的一篇关于不变量的很有意思的论文。我对这种东西居然可以以这样一般的方式被理解感到印象深刻。哥廷根的老家伙应该向诺特女士讨教。她是真正理解这些东西的人”。他后来在为《纽约时报》准备的她的讣告中写道,“在当世健在的最具竞争力的数学家的评判中,诺特是自高等教育向女性开放以来最具有独创性的数学天才”。

 

不像她的男性同事们,诺特并没有在她的一生中得到过太多认可,却反而因为一些不重要的事情受到批判。身为历史学家的克里斯和曼说:“如果诺特是一个男子,她的容貌、举止、和教室里的行为,会被解读为健忘性的天才,此常见于世人对于男子的评价”。我发现诺特确实给人很多启迪。因为她的成就,都是在逆着人潮行走,怀着她对追寻数学的终生热情,经过艰辛的挣扎而取得的;因为她对学生和同事的驱动力和态度,对于批判的无视;因为她的——美妙数学。

 

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神奇的分数维

编者按:如果你第一次看到豪斯多夫维度的严谨定义,你一定多少有点晕吧,过程是:

对于度量空间X, S为X的一个子集,d为非负实数

1、 先定义S的d维豪斯多夫容量(d-dimensional Hausdorff content )

   

2、 然后定义S的豪斯多夫维度为使得S的d维豪斯多夫容量为零的那些d的下确界,即:

但当你用这样定义去验证一个简单集合(比如康托集)的豪斯多夫维度的时候,过程是比较复杂的。但你细细评味,你会发现,证明过程貌似就是在做收缩,放大之类事情,也是本文介绍的豪斯多夫维度最初始的思想。有的时候,数学的难度就是这样产生的:一个简单的思想,教科书只能用最严谨的方式告诉你,这时候用的表述已经看不到最早的想法,于是你必然开始用最复杂的字面意义去理解它。如果,这个时候有个知道背景的人提醒你,那能少走多少弯路呀。

 

作者: 金星光,就读于重庆师范大学数学与应用数学专业

 

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看过《哈利波特》的人想必对于9又3/4站台并不陌生,这是通往霍格沃兹魔法学院的入口。当年哈利、赫敏与罗恩推着装满魔法物品的小推车冲进墙内的场景到现在都还令我记忆犹新。9又3/4站台为我们揭示了一个魔法世界中的一个分数维的车站,那么在数学世界中是否存在着维数为分数的事物呢?今天我们就来探究一下神奇的分数维。

    

     众所周知我们生活在一个三维的空间中,我们需要三个数值就能唯一的确定我们在空间中所处的位置:经度、纬度和高度。在这里我们对维数的定义借用了拓扑中对于维数的定义:空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。显然这种拓扑方法定义的维数当然只能是整数,那么对于分数维我们就不能采用拓扑中对于维数的定义了。接下来我们就要从另一角度重新定义维数。

     首先我们要先要了解一个概念叫做图形的自相似性,即一个图形本身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的;一个矩形可以看成是由4个与自己相似、面积为原矩形面积的1/4的小矩形组成;一个立方体则可以看成是由8个体积为原立方体体积的1/8的小立方体组成;利用自相似性,维数就可以这样简单而直观的理解:首先将图形按照M:1的比例缩小,然后,如果原来的图形可以由N个缩小之后的图形拼成的话,这个图形的维数d=ln(N)/ln(M) 。(注:这个数也叫做豪斯多夫维数Hausdorff dimension)。我们可以用这个办法轻易的计算立方体的维数为3,当将正方体按照2:1的比例缩小,可以得到8个小正方体,即M=2,N=8,则d=ln(8)/ln(2)=3。

      其实对于非整数维的几何图形,早在1890年,就已经被意大利数学家皮亚诺(G.Peano)提出。当时他构造出一种奇怪的曲线,被称作“皮亚诺曲线”。

具体的构造方式见下图。

             

按照这种方法最后所逼近的极限曲线,应该能够通过正方形内的所有的点,充满这个正方形,即曲线有面积。这个结论令当时的数学家惶恐。在皮亚诺之后,科学家对于这种几何的研究形成一个新的几何分支叫做“分形几何”。

另一个在数学中比较著名的分数维的图形是科赫曲线(Koch snowflake)。它的产生可以采用如下方法:在一段直线中间,以边长的1/3为边的等边三角形的两边来代替直线中间的1/3,得到图形(a),对(a)的每条线段重复以上做法又得到图形(b),对(b)的每段线段又重复得到图形(c),而对(c)的每段线段又重复就得到了图形(d),如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。

 

    我们采用上述计算维数的办法来计算科赫曲线的维数。

首先将科赫曲线的尺寸缩小至原来的1/3,然后用4个这样的小科赫曲线便能构成与原来一模一样的科赫曲线。即此时:M=3,N=4, 即d = ln(4)/ln(3) = 1.2618……

很明显我们可以看出科赫曲线的维数不是一个整数,而是一个小数或分数。

    分数维的出现滋生出数学中“分形几何”这门学科的发展,为我们打开了一个新世界的大门,它的神奇之处在于弥补了我们的未知、颠覆了我们的已知。数学的发展始于观察、形于思考、终于证明。每次新事物的出现看似是对于已有数学框架的撼动,其实本质上是一种进步与发展,来弥补这个美好的数学世界。而数学以其自身的魅力吸引着每一位热爱他、追随他的人,在远方智慧深处闪耀着永恒的星光。

 

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从一到无穷大:对应与计数

 

作者: 桃夭灼灼

 

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一、伽利略的疑惑

    物理学家伽利略曾提出这么一个问题。我们知道任何一个偶数都可以写成2n(n为自然数)的形式,因此对于任何一个自然数n,都可以将它乘以数字2而得到一个偶数2n。此外,如果有两个不同的自然数n和m,按照上面的方式可以得到两个不同的偶数2n和2m,换句话说,不可能有两个不同的自然数对应着同一个偶数。现在的问题是,按照这个方式,可以将自然数和偶数作一对一的对应,同时表明自然数似乎和偶数是一样多的。但是直觉告诉我们,偶数只是自然数的一部分,或者仅占自然数的一半,因为还有另一半是奇数。

伽利略对于这个问题思考很久,但无法给出令人满意的结果。在此之后的两百年间,数学家对于涉及到无穷大的问题,总是以“比任何数都大”的方式处理。

 

二、康托的解答

    19世纪,数学家康托作出这么一个设想:如果我们承认自然数的确是和偶数一样多,那会带来什么样的影响?

    要承认这个事实,首先从有限多个事物开始说起。比如有五个苹果装在篮子里,有五本书放在书架上,我们的第一反应是它们的数量都是5,但我们忽略了一个过程,我们是用阿拉伯数字5来表达这个结论。可是,一旦停止使用任何一种计数方式(如阿拉伯数字,罗马数字等),我们的想法仍然认同它们一样多,因为可以给这五个苹果和五本书贴上不同的标签,比如用大写字母ABCDE表示五个苹果,用小写字母abcde表示五本书,然后让每一个大写字母与相应的小写字母对应,这样五个苹果和五本书是一样多的。

    此外,对于五个苹果和七本书,可以肯定它们是不一样多的。更进一步,只要所研究的问题中事物数量是某个自然数,类似于上面贴标签的方法,总能得出谁多谁少的结论。但是语言文字中使用的字母、符号总是有限(例如英语有26个字母,俄语有33个字母,日语有71个假名),而对于事物数量稍多一些的整体,却无能为力,因此数字起到了一个非常重要的作用,其中自然数的引入帮助我们自动完成了这么一个一对一的贴标签过程。

    接下来考虑这么一个事实。如果事先有100个人,旁边还有一堆书,但不知有多少,现在让每个人都拿一本书,最终正好拿完,并且没有一个人会拿走两本书,也没有一个人没有书,那么一定有100本书,自然不需要一本一本地去数。

如果实现的人数也不知道,当然我们还是不知道有多少本书,但仍然可以肯定,人数和书本的书目是一样多的,尽管我们对于其中的数量一无所知。这个事实表明:由人所构成的集体与由书本所构成的整体之间的个数相同。

    总之,只要所研究的问题中事物数量是有限,那么一定可以建立一个一对一的对应来确定谁多谁少,而无需知道有多少和是多少。这个结论给予我们一个启发:对于涉及到无穷多个事物的两个整体,能否用类似的方式来区别这两个整体所含有事物数量是否有差别?但是要注意,在无穷多个事物组成的整体中,已经不能用“数量”或“个数”的概念。

    康托对此给出了一个令人满意的结果。他认为凡是有无穷多个事物的一个整体,可以用“势”(“基数”)来描述这个整体中所含有事物的多少。当然,对于一个数量有限的整体,势就是它所含有事物的个数。其次,对于两个整体A和B,只要能在A和B之间建立起一个一对一对应,而不管A和B究竟有多少(即使有无穷多个),我们就认为他们有相同的势。例如,取A为全体自然数,而B是全体偶数,根据开始给出的对应方式,A和B有相同的势。这样自然就解决了伽利略提出的问题,但它打破了我们的常识性认识,即欧几里德在《几何原本》一开始就提出的规定:整体比部分多。

    对于集合中元素的“个数”,如果可以用一个具体的数字来表达,则称这个集合是有限集,反之,如果找不到一个具体的数字来表达“个数”,或者说集合中元素的“个数”比任何一个自然数都大,则称这个集合是无限集。对于有限集,在组合数学中有广泛研究。对于无限集,根据康托的思想,将无限集中元素的“个数”称为“势”。两个无限集A和B之间如果有一个一一映射(既是单射又是满射),则这两个集合有相同的势,称为对等的。

    对于全体偶数组成的集合,显然和全体自然数组成的集合有相同的势,当然还有很多集合与全体自然数组成的集合有相同的势,例如分数和自然数一样多,有理数和自然数一样多。为此,规定全体自然数组成的集合的势为“阿列夫零”。这个称呼来自于希伯莱字母“阿列夫”,其原因或许在于数学家康托是犹太人。如果一个无限集的势为阿列夫零,称为可数集,反之一个无限集的势不是阿列夫零,称为不可数集。除了阿列夫零以外,康托还为我们规定了阿列夫一、阿列夫二、阿列夫三……等无穷多种势,同时他得出了一个重要的结论:任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势。这就说明没有最大势。

此外,康托首先看到了一个自然而重要的问题:在阿列夫零和阿列夫一之间是否存在一个中间势?他并没有解决这个问题,但他相信没有这个中间势。这就是著名的康托连续统假设。这个假设现在终于被人们搞清楚了,它可以作为一条公理,并且与集合论中其它一些公理是独立的。

 

三、希尔伯特旅馆

    在1900年第二届国际数学家大会上,希尔伯特把康托的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首,他本人则提出了一个有趣的故事。

    有一个旅馆,我们称它为希尔伯特旅馆。第一天来了一位客人要求入住,但老板表示已经客满,不过老板想出了一个方法。首先,他让一号客房中的客人搬出,让外面等待的客人入住一号客房。然后让二号客房中客人搬出,让原先一号客房中的客人入住二号客房,再让三号客房中的客人搬出,让原先二号客房中的客人入住三号客房。依此方式,最终让每个客人都有自己的客房(包括新来的客人)。

    第二天,又来了一些游客,人数大约在100人左右,旅馆老板表示已经客满,不过聪明的老板又想出了一个方法。首先安排第一个游客入住,所作的安排与第一天入住的客人所作的安排一样。待第一个游客住下,又安排第二个游客入住,所作的安排与第一个游客所作的安排一样。最后,依次安排第三个、第四个游客直至最后一个游客入住。第三天,又有很多游客要求入住,人数无法确定,总是有无穷多人,老板表示已经客满,但他有方法可以让每个客人有自己的客房。

我们暂时不去关心老板最后的安排,这个故事被数学家们称为希尔伯特旅馆,借此他引出数学上的“可数无穷大”概念。与现代图论结合,又产生了网络枢纽无堵塞观点。

 

四、尾言

    自康托提出连续统假设以来,数学家一直致力于解决这个问题。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论,为了消除这些悖论,就开始对集合论进行公理化处理,并先后尝试建立了几个集合论公理系统。人们通常使用的是策梅洛和弗兰克尔建立的ZFC公理系统。进行公理化后,基本上都能消除悖论。1938年哥德尔证明了连续统假设和ZFC公理系统不矛盾,两者是协调的。1963年美国数学家科恩又证明了连续统假设和ZFC公理系统是彼此独立的,是不可能判定真假的。这样在ZFC公理系统中,连续统假设是不可能判定真假的,这是60年代集合论的最大进展之一。正如帕斯卡比喻的那样:人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟,我们总想要追求某种确定性,但却永远也抓不住,一不小心我们的整个基础就会分崩离析,而下面就是那无底深渊。在数学上,人永远只是探索者,没有“终结者”。

 

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作者: 桃夭灼灼

 

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一道美国大联盟杯决赛试题赏析

 

作者: 熊π,就读于北师大附属实验中学高二

 

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SPCS全称为Stanford Pre-Collegiate Studies,又名“斯坦福大学天才少年培养计划”。美国“数学大联盟杯赛” 与SPCS通力合作,专门针对具有杰出才华的中学生,精心设计适合他们成长的课程和题目,在中学阶段就积极介入对他们的培养,旨在为他们今后的成长打下坚实的基础。

2016年8月,一年一度的美国数学大联盟杯决赛(9-12年级)在斯坦福大学如期举行。从去年11月开始,经过初赛、复赛层层选拔,来自八个国家98名翩翩少年成为了幸运的参赛者。作为中国赛区的幸运儿之一,笔者在决赛中基本发挥水平,以第17名的成绩斩获一枚优秀奖(Certificate of Merit)。

决赛共10道题,本人做出了其中6道。有一道三角函数题最为可惜,有思路有方法应该会做可是临场没做出来,从考场一出来就做出来了。
超出了高一学生知识结构的有两道一元四次方程,笔者回国后查阅高等代数资料得到解决。最有意思的是一道涉及“二项展开式”的填空题,题目短小易懂,系数锋芒毕露。笔者临场简直像小狗啃榴莲——无从下口。

【题目】如果 ,那么 的值是多少?


【疑问一】等式右边会出现一次项二次项吗?


因为 ,所以常数项容易求,在等式两边令x=0,则有a_0 = 2^2016。但是右边会出现一次项二次项吗?笔者感觉x的最小指数应该是2015,貌似a_1, a_2, ……, a_2014应该为0。

岂止笔者有这样粗浅的认识!因为组委会始终没有提供参考答案,回国后笔者曾就此题向今年刚刚升入北大元培学院的高三学长请教,他参加过中国数学联赛,他的第一感觉跟笔者的竟然完全相同!

 


【疑问二】利用二项式定理能解决问题吗? 
  


  
这三种情况下对应的系数之和即为 ,所以

 

 


    对于电脑来说,写几行程序这点运算不算什么。但是考场上连普通计算器也不准携带,笔者水平有限,至此陷入了僵局……


【疑问三】怎么会出现-1/2,这么奇怪的系数?


 ,三个一组三个一组,每组中连续出现两个-1/2 ,太奇怪了。由【疑问一】、【疑问二】可知,用常规的实数0,1赋值不可能有这种效果出现。想想我们所见过的成千上万不计其数的数,实数也好虚数也罢,哪一个数的整数次幂会以3为周期,并且同时含有系数 ?


虚数单位i的整数次幂周期为4,显然不满足。


等等……别着急!试试1的三次虚根如何?对对对,肯定是它, ω!


笔者感觉肯定是它,久违啦,ω!


【解】 


 


 
   
这正是:初看小狗啃榴莲,系数锋芒毕露;再看二项展开式,运算言不堪苦。
众里寻他千百度,暮然回首虚数;九九归一成正果,醍醐灌顶开悟!

 

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一位小学生写给华罗庚的信

 

这是到目前为止我们哆嗒数学网收到的年龄最小的作者投稿——一名小学五年级的同学写的一篇书信体作文。这篇文章,内容切入点和一些用词稚气未脱,大概符合现在小学生的思考方式。但是,文章行文所用的手段还是比较老练,相信其指导老师费了不少心力帮助修改。我们哆嗒的每个读过此文的小编,都有非常喜欢。

哆嗒一直希望身边每个人都来普及数学、数学家、数学界的知识。你知道一分,就分享一分,知道十分,就传授十分,不必在意别人嘲笑你“半灌水响叮当”。只要对数学知识有足够尊重,投稿文章无论水平高低,内容深浅都可能是我们发布的内容。——这位王怡淋小同学做到了。

本来所有文章会有个一起投票的流程,对于这位小朋友,我们觉得把他放到一堆成年人里投票排位是一件残忍的事情。所以,未来投票列表里不会出现这篇文章,我们也准备了一份小礼品,直接寄给这位小作者(貌似是他老师代收)。

 

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致华罗庚的一封信

河北省保定市永华南路小学 王怡淋

 

敬爱的华罗庚大师:

     您好!我是五年级的一名小学生。数学课上,老师总是提起您的名字;语文课上,老师也总是给我们讲起您的事迹。我对您充满了好奇:为什么您的数学学得那么好?为什么初中毕业就能成长为伟大的数学家……读了您的传记,我才对您有了更深入的了解,更加敬佩您了!

    我敬佩您的自学能力和刻苦精神!虽然您从小就显出数学天赋,但因为家境贫寒,初中毕业不得不退学。在您应当接受教育的岁月,一个“穷”字剥夺了您的梦想!但是您并没有丢掉数学学习,依然边帮助家里干活边自学数学,顽强的自学到了十八岁!这得需要多大的毅力呀!

想想我们现在,生活条件优越,不愁吃不愁穿,想要什么有什么,我们还有什么资格不好好学习,珍惜我们现在的学习机会?我们应该在学习上刻苦努力,勤动脑,勤动手。课上跟紧老师,课下认真完成作业,珍惜并用好我们的美好学习时光!

我敬佩您对数学的痴迷与热爱!您在帮家里干活时,冬天在账台上看数学书,演算数学题,入了迷,竟然忘了接待顾客,被人称为“罗呆子”!进入清华,您就给自己五、六个小时的睡眠!想想自己对待学习和时间真是不应该!我一定向您学习,对学习要认真,尤其是听课、做题时注意力要集中,不能走思,不能干别的事;对待时间,要有计划有安排,要做很多有用的事!

我敬佩您的坚强品质!由于您得了一次重病,造成终身残疾,只能借助手杖走路。但您并没有被吓倒,您还幽默却很坚定地说:“我用健全的头脑,代替不健全的双腿!”这种精神,让您从一个初中毕业生成长为一代数学大师!您真的很了不起!我们四肢健全,身体健康,学习生活中遇到点儿困难算的了什么呢?我们应该笑着生活!

我更敬佩您的爱国精神!您这样一位大师,完全有条件留在美国,和家人一起享受优越的生活——住洋房,开汽车。可是您毅然放弃这些,在新中国诞生后,“为了国家民族”,回到了祖国的怀抱。用自己所学,为我国的现代化建设做出了突出的贡献。

华罗庚大师,您是我们学习的榜样!您如同一盏明灯,指引我们在知识的海洋尽情遨游;您如同一股清泉,滋润着我们健康快乐成长。我一定好好学习,勤奋努力,学习更多的知识,增长本领,用自己的力量为国家做出贡献!

此致

敬礼

                                                                    崇敬您的小学生:王怡淋

                                                                        2017年4月5日

 

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拆解一个极限的前世今生

 

作者: 季真俊,就读于华东师范大学。

 

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 在同学刚刚步入微积分时,相信有很多人都会在这一个极限上摸不着头脑:这是一个的“∞的0次方”形式的未定式,因此常规的四则运算都对其无济于事。


在华东师范编写的第四版数学分析上,给出了两边夹的做法:

 

 

可这个证明有些让人有点摸不着头脑,下面我们就来介绍这一个极限的由来:


引理1:

 

证:

 

 

,则可以得到以下结论:

 


引理2:


再令,则又可以得到以下结论:


引理3:

 


再来看我们一开始提出的那个问题:求,由引理3可直接得到


而且还可以得到这个极限的加强形式:

 

当然,有些了解stolz定理的同学也会说,这个极限完全不需要这么麻烦,取对数之后使用stolz定理,也可以直接得到答案。


不错,但是如果我们认真研究一下引理1和stolz定理的关系,则不难发现引理1的逆命题便是stolz定理的一个特殊情况,而在均存在的情况下,引理1及其逆命题是互相等价的。因此我们并不需要用上stolz这把“牛刀”去宰一只鸡,而仅仅使用其一个特殊情况就够了。


除此以外,也可以先对其取对数后利用归结原则将数列极限转化为函数极限以后洛必达求解。


下面我们考察这个极限的一个变型:
 

 


例:求,其中


方法一:



 
方法二:


以上两种方法虽然本质相同,但由于处理原式的技巧不同,其繁简度亦有很大差异,因此我们在思考问题时同样要注意:是否有更快的捷径?

 

 

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用数学技术修复艺术珍品

 

原文作者:多贝茜,女,国际数学联盟主席,被誉为小波分析奠基人之一。

翻译作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师

校对:donkeycn

 

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近期在北卡罗来纳州艺术博物馆(NCMA)展出的圣约翰事迹祭坛画,是14世纪Francescuccio Ghissi的作品。它共有九个场景组成:8副小图描绘了圣约翰传教时的场景,而中间大图描绘了圣约翰肋部被钉死在十字架上的场景。19世纪末该祭坛画被锯开,九块中的八块被卖给了不同的收藏家。而描绘一个较小的场景的最后一块却丢失了。


数学在该幅祭坛画近百年首次展出中功不可没。该项工作是我和我的几个同事参与的一个项目中的一部分。我们已经开发出新的数学技术, 不仅可以逆转老化的观察效果, 同时也可解决并消除善意但并不令人满意的保护工作的影响。这些技术也可以用于世界上其他艺术品的修复工作。

(下面便是复原后的Francescuccio Ghissi圣约翰祭坛画)


无独有偶,数学化图像分析多年来一直在使用,而且有形式多样。但另外一个关键事件是修复了另外一幅作品,解决了艺术史学家们几十年的争议。


15世纪休伯特•凡•艾克和扬•凡•艾克两兄弟共同创造了一件伟大的艺术巨作——根特祭坛画。该作品有12块木板组成,其中的八块由铰链链接。当画屏合上的时候,中间一层的最右边一块显示了圣母领报的场景;而在其背景中,放在支架上的是一本中世纪著作中翻开的一页。然而尚不清楚凡•艾克兄弟只是想画一本书还是想将书上的真实文本一起画上。如果是后者,那么艺术历史学家想辨识那些文本。


该幅画的部分问题在于其表面上有深浅不一的棕色细裂缝,非常类似于画上的字母,许多裂缝倾斜方向类似字母的笔画。这些裂缝阻碍了潜在的文本的阅读,甚至连破译手稿的专家也难以理解。


2010年,艺术品保护工作者展开了根特祭坛画的恢复工作。该项目的部分工作,就是对该作品进行高精度的摄影。这是破译画板上潜在文本的机会。艺术史家马克米兰•马滕斯询问我和我的同事能否采用高分辨率扫描及数学方法解决问题。 

 

我们的工作有两个步骤:找到一种方法来自动检测众多的裂缝,然后再进行修补(或消除)。后者是采用他人开发的先进的处理方法。但裂缝检测变成了一个难题。最后,我们不得不依赖于画板的X射线成像,选出明显的裂缝, 结合几种滤波方法,测出合适的数据。


裂缝修复后,尽管产生的潜在文本看起来和以前一样难辨认。但是不依赖古文书学家,他们辨认出了12组单词,明确表示凡艾克画了一个真实的文本。令艺术史学家欣喜的是,他们识别出这些是来自于托马斯•阿奎那在圣母领报节写的神学文本并在14世纪初在弗兰德斯由文士复抄下的。


在这个项目中获得的经验对于修复Ghissi的祭坛画是至关重要的。在展览准备的过程中,荷兰艺术家和艺术品修复专家夏洛特•卡斯珀接受委托画一幅丢失的画板的替代品。他和北卡罗莱纳州艺术博物馆馆长大卫•斯蒂尔一起设计了Ghissi风格的构图;场景的构思来自于《金色传奇》(Golden Legend),一本记载中世纪圣徒生活的畅销书,以及前面的七块小画板。


当更换面板准备好时,它生动地展示了崭新的祭坛画有多么明亮和闪闪发光。但人们还清楚地发现,卡斯珀的画板很难和其他相邻的八块画板在同一个画框中展示。原画板的年代比较老,色彩也不那么鲜艳,新画板的“光彩”会喧宾夺主。虽然原话板才是真正的祭坛画而在某种程度上讲新的画板并不是。


于是,数学分析有了用武之地。在研究了老画板以及新的画板之后,我们做了一个高分辨率的数字版的新画板,模仿650年的老化色素使得金色看起来更加陈旧而色彩更加柔和。我们还增加了一个可信的裂缝模式。总之,我们在无形中老化画板。老化版本的印制使得我们完成了圣约翰祭坛画。

 


同样的技术分析也可以应用在相反的方向:原来是将微调后的数字图像处理从新过渡到老,而现在我们也想把现有画板进行高分辨率成像并且将陈旧老化的颜色匹配成为“粉饰一新”的版本,由此复原14世纪的成果。为此我们仍然需要检测和修复裂缝,但重要的是我们已经学会了如何处理根特祭坛画。


在根特祭坛画裂缝移除的过程中,X射线成像起到了至关重要的作用。所以我们要求NCMA的管理员提供圣约翰祭坛画的X射线照片。在这些X射线照片中最显著的特征是一个恼人的重叠网格结构。这个后来发现是由于在19世纪和20世纪初一个相当标准的保护措施。为了减少翘曲,管理员计划在修复老欧洲绘画时将木板厚度降至1厘米或更少。为了达到这个效果,他们随后在后面支撑了硬木网或硬木支架。这个硬木网包括沿着木纹方向的固定组件和穿过固定部分垂直于木纹的滑动组件构成。


然而支架不能一直支撑。在极端的情况下,实木板所反应的应力约束会产生大的裂缝。专家被要求仔细清除原有的支架,取而代之的是一个具有较小刚性的支撑结构,这使得面板能够自然翘曲。然而这是一个非常棘手并且耗资巨大的过程。

 

令修复人员烦恼的是,支架的网格结构会隐藏在绘画和试图从X射线成像收集到的保护修复细节中。我们想知道数学分析和图像处理能否有助于移除这些真实影像时,我们的初步方案受到了热情的帮助, 数个不同博物馆的工作人员尝试提供各种数据以实现我们的想法。特别有用的是同一幅画在有支架和没有支架的情况下的X射线成像,对我们验证计算结果是至关重要的。Rujie (Rachel) Yin,
杜克大学数学系的研究生,负责了该项工作。


这个项目是我们面临的最大挑战。其中一个复杂的问题是即使在一块木头里,木纹也会有很大的变化。这使得当其他细粒度和细长的纹理存在时,难以可靠地识别木纹纹理——很可能修复人员要在图画的X射线成像中更好地揭示笔触模式的不同。只消除支架木纹的目的使得任务变得更加具有挑战性,因为被观测到的木纹一般都不是孤立的。支撑区域包含画板和支架的纹理,而无支撑区域只包含画板的纹理。(不幸的是,辨别这个木纹图案没有太多用处,因为画板的纹理将是不同的,而且只有几厘米。)


我们求助于机器学习算法区分那些有可能属于画板和其他有可能来自于支架的特征。当支架和画板的纹理显著不同时,我们开发的算法取得了良好的效果。不幸的是对于根特祭坛画,相同的木材——佛兰德橡树——同时用于画板和支架,算法在解析纹理的时候遇到了一些麻烦。此外该算法速度非常缓慢。


幸运的是,目标用户是地球上最有耐心的人: 艺术品修复人员在用棉签和蒸馏水清理绘画时通常连眼睛都不眨一下, 所以对他们来说,一个算法运行几个小时是完全可以接受的。Yin的概念验证代码已经被转变成一个更强大的版本,附带一个能够被艺术品修复人员使用的端口。该开源软件可以免费下载。

 


新展览中,新老版本的祭坛画都在大屏幕上展示,除了短纪录片展示图像处理以外,还(非常印象派地)解释了数学进行“复原”和“老化”的过程。


现在我们致力于其他问题。例如, 19世纪极少数情况下会遇到的一种画板,两面都有绘画,但没有分开,使两面可以同时展示,画板的x射线图像比可见光照片显示了所有的更为突出的典型细节——但缺点是该图像是两面画混合的结果。能否利用两个单面画的可见光照片的信息,将混合x射线图像分解为两个单面画的x射线图像吗?这也是一个具有挑战性的问题,我们已有了初步结果,但仍然希望做得更好。另外还有很多其他问题也亟待解决。


到目前为止,我们的艺术史家和艺术文物修复工作提供了有趣的数学问题,已经让我们远远地超出了现成工具的简单应用。尽管我们还没有建立新的数学理论,但我认为这只是一个时间问题,我愿意打赌它会发生在未来10年之内。而且我敢打赌,10年前我们的艺术界的合作者都不会预测数学会在他们自己的工作中如此有价值。


他们发现了我们一直都知道的事情——数学无处不在。

 

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无穷与直觉

 

原文作者:德夫林,斯坦福大学数学教授,英国数学科普作家。

翻译作者:Y.W.,哆嗒数学网翻译组成员,就读于北京四中

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格雷•安东尼克在纽约时报上好玩的专栏“数趣”刊登了伯克利数学家艾迪•弗兰克关于人类大脑在理解无穷上的难题的贡献。如果你还没有读这期报道,你应该去看看(http://wordplay.blogs.nytimes.com/2016/05/30/frenkel-cantor/?_r=0)。


无穷带来了不少反直觉的结果。举个经典的例子:希尔伯特的旅店。这里有无穷多个房间,每个房间都印上各自的自然数编号:房间1,房间2,房间3等等,直到所有自然数都被用到,有一个晚上,一位旅客来到宾馆前台,前台告诉他说宾馆的房间已经满了。“但是不要担心,先生,”前台服务生说,“我刚刚在大学上了一门数学课,所以我知道怎么帮你找个房间。给我一分钟,让我打几个电话。”过了一会儿,这位旅客得到了一个房间。服务生让每位客人搬到房间号为下一个整数的房间。所以房间1的客人搬到了房间2,房间2的客人搬到了房间3,以此类推。每个人都换了房间,谁也没有离开旅店,但是房间1为这位新客人腾空了。

 

我认为所有MAA Online(MAA为美国数学协会的缩写)的普通读者都熟悉这个著名的例子。但是我觉得大多数人都不能把这个例子上升到无穷的层面来理解。一会儿看到可数无穷(基数为א‎_0)和第一个不可数无穷(基数为א‎_1,小于等于实数的基数c)的时候,你们就会发现这比想象的还奇妙。


无穷带来的另一个让我目瞪口呆的结果和树有关。不是在森林里长的树,是在数学家使用的术语中提到的树。


一棵树就是一个偏序集 (T,<)。树中所有小于x的元素构成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是说这棵树有特定的生长方向(通常是图中的竖直向上方向),分支也都向上生长。通常来说,一棵树有一个独特的最小元素,这个元素被称为根。如果遇到了一棵没有根的树,你可以在不改变树的其他部分的结构的情况下手动加一个根。


由于每个树上的元素都位于它的前继构成的唯一良序集的顶端, 因此每个树上的元素在树中都有良好定义的高度: 即前继构成的集合的序数。对于每一个序数k,我们可以用T_k来表示树中所有高度为k的元素的集合。 T_k被称为T的第k层。T_0包含树的根,T_1是根的所有直接后继的集合,以此类推。


综上所述,树靠下的部分如图所示,(树中每一个“小黑点”就是一个节点):

 

 

(其实可以有所不同,每一层的元素数量没有限制,或者说每一个元素的后继元素的数量没有限制)


König引理是集合理论的经典例子。König引理指出,若T是一棵有着无穷个节点的树, 且对每个自然数n,T_n是有限的, 则T有一个无穷的分支, 即有一个无穷的线性序子集。


这很好容易证明。你可以用递归来定义一个分支{x_n: n为自然数}。令x_0为树的根。尽管树是无穷的,但T_1是有限的。 T_1中至少有一个节点元素的上面有无穷个元素比这个节点大。令x_1为T_1中这样的一个元素。由于x_1 的上面也有无穷个元素大于x_1,而在T_2中只有有限个后继元素, 所以T_2中至少有一个x_1的后继元素的上面有无穷个元素比x_1大。令x_2为T_2中一个这样的元素。同理,可定义T_3中的x_3,使其上面有无穷个元素,以此类推。这个简单的过程可以清楚地定义一个无穷分支{x_n: n为自然数}。

 

以上是König引理成立的理由。然后人们试图通过类比来证明如下命题:若你有一颗不可数的树(即基数至少是א‎_1的树)T,且对于每一个可数序数k,T_k是可数的,则T有一个不可数的分支,即满足如下条件的一个线性序子集:对于每一个可数序数k,该线性序子集与T_k的交不空。

 

但就这样下来, 然而事实显示上述命题不成立。 我们可以构造这样一棵不可数的树:对于每一个可数序数k,T_k都是可数的,然而这棵树却没有不可数的分支。这样的树被称为Aronszajn树。 这样的树最初被一个俄罗斯数学家构造出来。


下面是构造Aronszajn树的具体方法。 树的元素是严格递增的(有限或可数超限)有界有理数序列。 树中的序为序列的扩展(比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的扩展)。显然,这样的树不会有不可数的分支。 因为否则它的极限(更确切地说:集合论意义下的并集)将是一个不可数的严格递增的有理数序列,这与有理数构成可数集合的事实矛盾。


你可以通过对树的层来递归构造这样的树。 T_0由空节点构成。构造完T_k后, 你可以通过给T_k中的每个序列s加上任意一个可能的递增值来得到具有(k+1)的项严格递增的有理数序列,从而得到T_(k+1) 。也就是对于每一个T_k中的s和任一大于或等于s的上确界的有理数q附加到s,并将结果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可数个可数集合的并集,因此它自己也可数。


当范围仅限于自然数时,这样的常规递归就满足定义了,但当递归覆盖到可数序数时, 你需要处理极限序数,即那些不是任何更小序数的后继序数的序数。

 

为了实现这棵树关于极限层的定义,你需要构造一棵符合以下被称为Aronszajn性质的树:对每一对层T_k和T_m,其中k<m, 对T_k中的每个序列s及大于s的上确界的有理数q,存在T_m中的序列t,序列t扩展了s且序列t的上确界比q小。


由于我们把T_k中的每一个序列都扩展到所有可能扩展到的序列,所以刚才给出的从T_k出发得到T_(k+1)的定义满足上述特性。


现在假设m是一个极限序数,且我们已经对每一个k<m定义了T_k。对于满足k<m的T_k中的每个任意给定的元素s及每个大于s上确界的有理数q,根据整数的递归来定义一条通过树已构造部分的路(s_i : i为自然数),且使它的极限(作为有理数序列)的上确界为q。


首先,你要选择严格递增的有理数序列(q_i : i为自然数),且使q_0超过s的上确界,且极限为q。

 

你还要选择严格递增的比m小的序数序列(m_i : i为自然数),且极限为m, 且使s在树中位于m_0层的下面。

 

现在你可以用Aronszajn性质来构造序列(s_i : i为自然数)使s_i位于m_i层,且s_i的上确界比q_i小。

 

为每一组s和q 构造这样的一条路(s_i : i为自然数), 并令T_m(编者注:原文写的是T_k,应该是作者笔误)包含所有如此构造出来的有理数序列的极限。值得注意的是这样定义的T_m是可数的。

 

显然这样定义的构造满足Aronszajn性质,因此可以继续这样构造下去。

 

于是,我们完成了我们想要的构造。

 

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跑不完的龟兔赛跑

 

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兔子:如果比赛可以再来,我能在你的龟壳上打瞌睡吗?
乌龟:如果可以的话,我能定义起点就是终点吗?

 

 

这是一个古老而又经典的故事,我们知道,兔子在速度上有绝对的优势,因为大意轻敌,才输掉了这场赛跑。换句话说,如果兔子认真与乌龟比赛,乌龟必输无疑,可伶的乌龟难道就只能把胜利的希望寄托于兔子的粗心大意上吗?在既定的赛道下,兔子凭借速度上的优势,率先跑完整个赛道,根据比赛规则,谁先跑完这段赛道所对应的有限路程谁就取胜,结合现实中的田径比赛,这一点很容易理解。可要是我们把比赛环境从有终点扩展到没有终点,那还会是兔子赢吗?换句话说,我们可以定义这样一种形式的龟兔赛跑:兔子和乌龟同在一个没有终点的无限空间里面比赛跑步。

 

要分出胜负的前提是要制定一个比赛规则,在有限空间里面,谁先到达给定终点谁就是胜利者,兔子比乌龟先到终点等价于在既定的路程下(直线赛跑),当兔子到达终点的时候,乌龟总在兔子已跑完的路程中,所对应的一段路程里,全程来看,乌龟经过的路程包含于兔子经过的路程(如下图所示)。

 

 

在有限的空间里面比赛,既定的赛道下,兔子和乌龟都会产生一个有限长度的路程集合 S,根据兔子和乌龟所产生路程集合之间的包含关系,来定输赢。同样,依据路程集合之间的包含关系,我们可以把比赛的胜负判定从有限空间推广到在无限空间,假设兔子的速度大于乌龟且都保持匀速,比赛一开始,兔子就会和乌龟拉开差距,可是在这个没有尽头的比赛里面,兔子漫无目标地奔跑着,全然不顾乌龟的情况,对于乌龟来说,也很迷惘,于是它顺着兔子的脚印走,兔子跑过的路程,他也走过,兔子走出个 A 形,乌龟也会走出个 A 形,兔子走出个 B 形,乌龟也会走出个 B 形。我们每隔相同的一段时间 t 记录一次乌龟的轨迹 s,那么比赛一开始,经过时间 t 后我们记录为 s1 ,那么在下一段时间中所产 生的路程我们记录为 s2 ,这样我们会得到序列: s1 , s2 , s3 ,... ,对于超于乌龟的兔 子来说,兔子也具有这样一段序列,时间的无限性决定了存在无限个 t 时间段,也就会产生无数个si ,这样下来,我们得出一个结果:在无限空间里面,如果兔 子漫无目的的跑,乌龟紧跟其后,这样一来,乌龟就会根据兔子所留下的脚印建立与兔子路程元素一一对应的映射关系,兔子和乌龟就会产生同一个由无数个路程元素所构成的无穷路程集合 S,从这个角度来说,乌龟和兔子打平了(如下图所示)。

 

 

第一回合下来,得知与乌龟平起平坐的兔子心中很不服气,他发誓要在下一回合中以更快的速度来超越乌龟,不明真相的兔子依然漫无目的、四处寻找胜利的目标,聪明的乌龟,终于想出了战胜兔子的方法。比赛一开始,乌龟并没有紧跟兔子其后,而是另辟蹊径的乱走一通,经过 t 时间段后再重新回到了兔子的轨迹上来,沿着兔子的轨迹行走下去,这样一来,乌龟除了产生与兔子一样的路程集合 S,还多出了他自己走出的路程,而就因为这段路程,不管兔子再怎么使蛮劲也无法弥补,从这个角度来讲,乌龟取得了第二回合的胜利(如下图所示)。

 

 

兔子思来想去之后,终于知道了自己失败的原因,归根结底,智慧才是决定成败的关键,和前两个回合一样,兔子一马当先,乌龟心中暗自高兴,依然沿袭第二回合的战术,可没过多久乌龟就发现兔子正在一棵树下睡大觉,乌龟以为兔子又开始犯同样的错误了,索性撇下兔子不管,自己再次另辟蹊径,当乌龟从兔子留下的最后一个脚印出发,以一条直线往点 A 走去时,兔子突然从侧面杀过来,在 A 点兔子和乌龟相遇,乌龟懵了,他往兔子来的方向一看,再看了看自己走过的路径,和兔子所构成的路径正好围成一个三角形,由于两边之和大于第三边,这样看来,从兔子脚印消失的那段算起,兔子经过了比乌龟多的路程,况且还比最开始自己另辟蹊径所产生的路程加起来还多,这就意味着:从比赛开始到 A点龟兔相遇,兔子走过了比乌龟多的路程。这时乌龟才意识到自己上了兔子的当,那乌龟还能反败为胜吗?是依旧自己走还是回到兔子的轨迹上,此时的乌龟必须为自己做出个选择,如果都不选,那么乌龟就只能和兔子在 A 点处站着直到天长地久,这样下去,兔子赢,可是不管乌龟怎么选择,其结果都一样,只要乌龟稍作移动,哪怕是很小的一段(不妨将一小段近似的看作为一条直线),那么兔子凭借速度上的优势,始终能走出与乌龟围成三角形的途径,这样一来我们把每一次的相遇做一次记录,就构成了两个不同的无限路程集合,兔子所产生的无限路径集合中的每一个路程元素都大于乌龟所产生的。从这个角度上来讲,兔子取得了胜利(如下图所示)。

 

 

在这个三局两胜制的比赛中,照目前形势来看,第三局的比赛显得尤为重要,经过前两局比赛的洗礼,兔子和乌龟心中都以明了,乌龟:我不能打第一枪,如果我一跑,那么兔子必然会凭借速度优势把我各个击破。兔子:我不能松懈,我要时刻盯着这个老奸巨猾的乌龟,一有机会我就要超越他。乌龟和兔子:我不能一直和他僵持下去,要赢得比赛我一定要放手一搏!比赛开始后,兔子还是采取对乌龟各个击破的战术,乌龟无可奈何,不这道该怎么办才好。乌龟再次陷入迷惘之中,可是希望往往出现在绝望的时候,乌龟发现前方出现了一个很窄的通道,在这个通道里面行走,兔子只能勉强的挤进去,然而乌龟却能行走自如,兔子在整段狭窄的路径里,并没有超越乌龟,只是和乌龟走了一模一样的路程,这让乌龟心中重新燃起了希望,聪明的乌龟终于又一次找到了战胜兔子的方法:如果我总能在这个无限空间里面找到一段路径:只能容我这个狭小的身躯进去,兔子挤不进去。那么我一旦进去,兔子就不能对我实现超越了,当然兔子不会坐以待毙,因为我会一直在这个通道里面不停地走动产生路程,当我在狭窄的通道里够弥补之前兔子超越我的那段路程的同时,沉不住气的兔子必定也会不停的跑动,在地上产生脚印,有了他的脚印,出来后,我就一定能产生和他一样多的路程,然而兔子也会争分队秒的对乌龟实施超越。(如下图所示)

 

 

变是永恒的,不变是暂时的,在这个无限的空间里比赛,不存在绝对的胜利者,有的只是自身优劣的转换。

 

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我的折纸,我的数学,我的世界

 

作者: 悠然,香港折友会成员。

 

投稿可发至邮箱1178853280@qq.com,详情参见征稿说明(截止日期延期至4月28日)。

 

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看过《最强大脑》吗?有一期节目中鲍霣代表中国队与国际战队的PK项目就是折纸。说到折纸,您一定不陌生,小时候都玩过,小纸船、小青蛙、小衣服……可是,但可是,现在的折纸真的不一样了!一纸成型的各种高难作品呈出不穷,在日本、俄罗斯等国家都有大型比赛、专业杂志、年会等,折纸已经进入如麻省等高级学府作为一门学科进行教学,还被广泛应用到如纺织、建筑、医疗、航空、警务防弹等方方面面。


本人是在一个偶然的机会接触到现代纸艺,被老外的作品震惊到,原来纸还可以折得这么美,而且还是一张纸,大大超出我的想象!因为得不到资料,又很想拥有那样的作品,于是便利用自己已有的一些数学知识进行破解,终于自己折成了,非常有成就感!

 


 
发现自己也能玩现代折纸后,首先就是折些自己喜欢的东东,如魔方、数独、九宫图、俄罗斯方块、国际象棋、迷宫等。
 
 

 

 

折纸过程中,想到了能不能把数学中用到的一些递归、衍生、自相似的规律应用到折纸中呢?于是,就有了下面的这些作品:

 


 
数学解题讲究“举一反三”,不仅为了加深理解、扩展思路,也为了寻求最优算法。折纸也可以作到“举一反三”,你信吗?举几个例子:杨辉三角、谢尔宾斯三角形、二叉树。
 
 

 

 


 
圆、弧、曲线、点、直线等都是数学研究的对象。那么,基于此观点,有两个符号便忍不住要用折纸折出来,一个是“一生二、二生三、三生万物”的太极符号,一个是左旋和右旋有不同意义的“卍”。
 


数学上,立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。它是平面几何的补充。但当实际需要三维图形时,我们常常是用二维图形来表现的。折纸也能作到!
 

 


 
数学博大精深、学无止境,本人只涉猎了一小部分,将一些数学概念用折纸作品表现出来,以普及和扩展数学的相关知识:下面的作品有勾股定理、莫比乌斯带、不可能三角形、二次曲面、斐波那契曲线及矩形、彭罗斯楼梯及“π”符号。

 


 
最后,给大家奉献两个有意思的视觉作品。
 


 


The world is magic, if you don't think so, then find it or make it so. So does math and origami. Bless you, my friends!


【注:文中所用插图皆为作者本人亲手折制拍摄,部分为原创作品。】
                                            

 

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别想多了,数学就是无处不在的!

 

原文作者:Anna Haensch,任教于杜肯大学数学与计算机科学系。

翻译作者:飞狂腾达,哆嗒数学网翻译组成员,就读于华东师范大学

 

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上周,数学史学家Michael J. Barany 在《科学美国人》网站上发表博客题为“数学家在过渡吹捧‘数学是无处不在的’”(哆嗒数学网的翻译版见这里)。一上来我们可以讨论这篇文章的主要观点是否有价值,但首先我们可以忽略这一观点就像看待一个笔误一样。看上去Barany打算论证数学并不是无处不在,即使所有的媒体都怀着极大的热情在宣称和试图让你相信:“看看你的周围,数学隐藏在我们生活的方方面面”。

 

 

但这并不完全是Barany的主要观点,事实上它提到了超出标题的内容,并且步步递进才提到了Jordan Ellenberg,与此相反,似乎Barany正在努力塑造的是数学家并不是到处都有这一观点。他说在制定有关高等数学公众支持的政策决策时,应该考虑这一点。

 

Barany讨论了从巴比伦时代一直到二战后社会文化中数学的作用。他说,古人把数学当作“做生意的诀窍,而不是一个公众的课程”,并补充说:“几千年来,先进的数学仍然是优越阶层所关注的,无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。” Barany解释说,从历史上看,数学是精英的领域,这是一个力量的源泉,是只适用于最高的阶层的。数学家们栖息于上层领域,他们作为国家元首的顾问,营造出一种神秘感和不可触及的高度。

 

Barany认为,这种“他者性”和精英地位意味着数学不是提供给所有人,今天的数学仍旧如此。笔者我相当同意。这是一件有意思的事情——即便我还找不到准确的人口统计调查来支持这一点——先进的数学主要被有经济优势的人占据。但是,这里Barany的论证就失去了力量:这不是对任何课程的高级研究都是同样情形吗?能从继续读研究生已经是一件非常奢侈的事情,无论是研究数学,科学,语言,艺术,想无所事事地花4-6年领着微薄的薪水来思考这些东西,那是怎么样的“厚脸皮”才能做到。

 

一些历史学家,尤其是博主Thony Christie,对Barany构建的数学和社会的关系图提出质疑。Christie认为Barany夸大精英主义和数学家的“他者性”,指出数学在十七世纪科学革命发挥了巨大作用。这证实了笔者的猜想,那就是在过去的几个世纪里,数学与其他科学的成长和发展并没有什么不同。

 

在推特上的对话,Barany捍卫了自己的观点来应对数学传奇学者Steven Strogatz 给人们提的两个核心问题,(1)为什么公众支持先进的数学,和(2)为什么公众学习基本层面的数学?人们试图用“数学无处不在”来回答,Barney认为,“数学无处不在”并不是一个合适的答案。但笔者我反对Barney。

 

我认为数学无处不在,正是对回答陈词滥调的问题“我什么时候会用到这个?”的一剂良药。数学无处不在,正如任何事物无处不在。科学无处不在,艺术无处不在,语言无处不在,在某些情况下,无处不在就使足以让人们相信他们会用到这些学科。它无处不在,因此知道它将帮助你理解一切。所以我认为“数学无处不在”是激发公众学习基础层面数学的好方法。我想我们都能认同,学习基础层面的数学是一件很好很重要的事情。

 


因为帮助孩子养成良好习惯的最好方法就是树立一个积极的榜样,我认为政策制定者应该选择支持高等数学,就像他们支持任何先进的科学研究一样。因为尽管它有时候看起来似乎没什么用,但伟大的发现都是从基础研究中迸发出来的。

 

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