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女生问题、超图以及一个50年数学难题的解决

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1850年,英格兰国教会神父柯克曼在闲暇时间提出一个数学问题:“学校有15名女生,每天3人一组出去散步。要保证每周的7天内,任何两人都有一次同组的经历,但也只能有一次同组经历。请问如何办到?”,这就是柯克曼女生问题。

 

 

在现代数学家看来,这类问题最好的办法把他们看成超图——一堆三个节点或更多的节点组成的集合。15个女生就是节点,三人同组就看成这三个节点用三条线段(图论术语会说三条边)连接成的三角形。

 

 

 

柯克曼女生问题实际上就是问,有没有一种三角形的排列,把这些女生节点连接起来,并且,这些三角形还不能共边。共边意味着两个女生被同组安排了两次。题设要求的安排意味着女生们每周都能相聚一次,而每一天都是和新朋友一起散步。

 

 

柯克曼提出这个问题之后,近200年来,无数相关问题吸引和困扰着数学家。1973年,传奇数学家埃尔德什提出了一个类似的问题。他问能不能构造一个超图,这个超图拥有如下两个看似矛盾的性质。性质一,任意两个节点都恰好被一个三角形包含,就和之前的女生一样。性质一要求了三角形要非常的密。性质二要求三角形要以某种精确的方式铺得足够广(具体的说,就是任意拿出几个三角形,三角形占用的结点数要比三角形本身的数量至少多出三个)。”这有点矛盾,这些物体的布局你既要求局部上稀疏,又要求整体上稠密。“加州理工学院的数学家康隆(David Conlon)如是说道。,

 

 

2022年 1 月,四位数学家通过一份长达 50 的论文,证明了只要节点足够多,总是可以构造这样的超图。伯明翰大学的数学家罗(Allan Lo) 说:“ 为了得到这个结果,他们用的办法的技术性程度令人惊叹。” 康隆也说:“这是一个非常优秀的成果。”

 

 

 

研究团队建立了一个满足埃尔德什苛刻要求的系统方法,该系统方法从一个随机选择的三角形的开始,极其小心地设计以后续过程以满足他们的要求。“证明里那些复杂困难的分支情况的数量是非常惊人的。”康隆说。

 

 

 

他们的证明策略是从一个三角形开始,细致的构造这个超图。举个例子,你可以试想一下我们提到的15个女生,然后两两相连做线段。

 

 

我们需要从这些线段上描出我们需要的、满足条件的一堆三角形:第一,任意两个三角形不共边。(满足这样条件的系统叫做施泰纳三元系)第二,让每个三角形的子集占用足够多的节点。

 

 

 

数学家们对此有个通俗的类比。

 

 

现在假设我们不是在描三角形,而是在用乐高积木建造房屋。你建造的前几个房子非常宏伟、坚固和精致。你建好这些后,就把它们放在旁边备用。数学家把它们称为”吸收器“。

 

 

现在,用剩下的乐高积木继续随意的建造房屋。当剩下的乐高积木越来越少的时候,你会发现一些散落的积木,和一些搭建不完善的房屋。这个时候,你可以从吸收器上抽出几个积木块,用在不完善的建筑上。因为吸收器非常的坚固,抽出一些积木不会导致严重的后果。

 

 

施泰纳三元系中,你的构造的房屋就是吸收器。吸收器在这里就是精心挑选的线段(边)。如果发现无法把剩余的三元组搭建成满足条件的三角形时,可以使用吸收器中的线段进行调整。当你做完这些调整后,吸收器本身也融入到了各个三角形之中。

 

 

吸收器的办法有时会遇到阻碍。但是数学家们修补了这个问题,他们找到了一种新办法绕过这些阻碍。比如,有一种叫做迭代吸收器的,它将线段划分成嵌套集合序列,于是每个吸收器都是会为下一级迭代服务。

 

 

 

”十多年来,进步巨大,“康隆说。”这已经是某种艺术形式,如果看成艺术,他们展示了一个非常高级的艺术。“

 

 

即便有了迭代吸收器,埃尔德什问题也依旧很难。”这就是问题没有得到解决的原因“,论文其中一个作者索尼(Mehtaab Sawhney)说。

 

 

 

比如,在迭代吸收的其他应用中,一旦你完成了一个集合的构建——无论是三角形、泰纳三元系,还是其他结构——你可以认为事情告一段落并扔在一边。然而,埃尔德什的条件要求让这四位数学家不能这样做。有问题的三角形很容易触及多个吸收器的节点。

 

 

“一个你在500 步前选择的三角形,你需要以某种方式记住,并知道如何处理它,”索尼说。

 

 

这四个人最终发现,如果他们选择的三角形足够精细,他们就可以绕过每一个小问题。“最好的办法是考虑每个由 100 个三角形组成的子集,并保证以正确的可能性挑选三角形,”索尼说。

 

 

论文的作者们乐观地认为,他们的这个方法可以推广到别的问题。他们已经将他们的方法应用于一个关于拉丁方的问题——一个简化版的数独问题。

 

 

除此之外,还有几个问题最终可能被吸收器方法解决。“组合学中,尤其是在组合设计论中,随机过程是一个非常强大的工具。” 其中一个也是关于拉丁方的问题叫做Ryser-Brualdi-Stein 猜想,自 1960 年代以来一直没有解决。

 

 

 

智利大学的数学建模中心的副主任斯坦恩(Maya Stein)说,虽然吸收器方法可能需要进一步发展才能解决这个问题,但自 30 年前方法建立以来,它已经走过了漫长的道路。“看到这些方法是如何进步和丰富起来,真是人生一大幸事。”

 

 

 

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15个数论难题,解决任意一个都能让你称为顶级大佬

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下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中,符号x^y 表示x的y次方。

 

 

 

1、哥德巴赫猜想猜想:每个不小于6的偶数,都可表示为两个奇质数之和。

 

2、考兰兹猜想,也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n,如果n是偶数,则将其除以2,如果是奇数,就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去,会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说,无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1......这样的循环。

 

3、勒让德猜想:任意两个相邻完全平方数之间,都存在至少一个质数。即,对任意正整数n,存在质数p,满足n^2 < p < (n+1)^2

 

4、孪生质数猜想:存在无限多个质数p,使得p+2也是质数。

 

5、梅森质数猜想:形如 2^n - 1 的正整数中,有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出,已经经过380多年了。

 

6、n^2+1猜想:存在无穷多个自然数n,使得n^2+1 是质数。

 

7、费马数猜想:数列F(n) = 2^(2^n)+1 ,n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n = 0,1,2,3,4时,费马数F(n)是质数;1732年欧拉发现F(5)是合数. 此后没有再发现其它费马数是质数.。

 

8、奇完美数猜想:是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指,它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。

 

9、完美长方体猜想:是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c,使得 a^2+b^2 , a^2+c^2, b^2+c^2, a^2+b^2+c^2 这四个数的平方根都是整数。

 

10、黎曼假设:该问题提出于1859年,即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题.

 

11、欧拉常数是有理数还是无理数?其中的定义是 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n 在n→∞时的极限。

 

12、对于黎曼ζ函数,当k为正奇数时,ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明,k为正偶数时,ζ(k)是关于π的有理系数多项式,所以是超越数。

 

13、埃尔德倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集,A中所有数的倒数和发散,那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况,这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。

 

14、n≥5时,拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1) = 1 , R(2,2) = 2 , R(3,3) = 6, R(4,4) = 18 , n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5) 是43到48这6个数中的其中一个,也无法把它验证出来。

 

15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n , 如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和,而且n还是满足这个条件的最小的,我们就说g(m)=n。比如四平方和定理:每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和,相当于说g(2)=4。对于正整数m,n , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和,而且n还是满足这个条件的最小的,我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是 g(2) = 4 ,  g(3) = 9 , g(4)=19 ,  g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4,  G(4) = 16,还没有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m) = 2^m + [(3/2)^m] - 2 , 这里方括号表示取整。

 

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化圆为方:数学家从没停止研究,只是不是原来的样子

本文编译自量子杂志网站

原文作者:Steve Nadis

编译作者:Math001

 

 

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大约公元前450年,安那克萨哥拉斯终于有了静下来思考的时间。这位哲学家兼数学家的古希腊人声称太阳不是神,而是和罗奔尼撒半岛一样大的炽热岩石。安那克萨哥拉斯因此被打入大牢。作为信奉“理性统治世界”的哲学家代表,他在狱中着手思考解决一个数学问题。这就是著名的化圆为方问题:用圆规和无刻度的尺子作一个和已知圆一样大的正方形。

 

安那克萨哥拉斯的本来的那个问题其实在1882年就解决了。德国数学家林德曼用一套经典方法证明了尺规作图化圆为方是不可能的。他证明了圆周率π是超越数。但是尺规作图是不可能做出超越数的线段长度的,所以证明了问题的不可能性。

 

问题并没有因此终结,意外的是,数学家们还在这个问题上工作着。1925年数学家塔尔斯基唤醒了这个问题,他修改了原始问题的规则:如果把圆分成完全相同的有限多块,这些小块是否能重新拼成一个面积相同的圆呢?这样的问题有个统一的名字,叫做等体分解。

 

 

 

 

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换句话说,如果两个物体可以分解成大小和形状完全同部分,那么这两个物体就是同等体分解的。更精确的说,如果两个物体能分解成有限多个部分,每个部分完全一致,那么就说这两个物体就是同等体分解的。

 

 

 

1964年的一篇论文让塔尔斯基版本的化圆为方问题有了第一次实质性的进展。论文的结论是,用剪刀是无法完成化圆为方的等体分解。着意为着,如果要解决这个问题,可能需要把圆分解成更复杂的分型:一种可能布满小洞或者无限锯齿的形状。

 

 

1990年,数学家拉茨科维奇(Miklós Laczkovich)响亮的从正面解决了塔尔斯基的问题:塔尔斯基的化圆为方问题是成立的。

 

 

 

拉茨科维奇证明的是,用一种复杂和非常规的图形对圆进行分解,用不超过10的50次方个小块进行移动(连旋转都不用),这些小块就能重新拼成正方形。

 

 

但是拉茨科维奇不直接操作几何图形而得到这个结果的。实际上,他把原本的几何问题转化成了图论问题。用两个顶点集合,一个集合对应圆,一个几何对应正方形,然后之间建立两个顶点集合之间的一一对应关系,从而完成的证明。

 

有数学家认为,拉茨科维奇的结果让人“瞠目结舌”,拉茨科维奇的向大家展示了如何“把一个圆的掰成直的”。

 

 

拉茨科维奇的证明还有一个瑕疵。这个证明是存在性证明,在数学界被称为“非构造性证明”。他证明了事情可以办到,但没有给出分解的具体办法来说明如何办到。更让人不爽的是,分解的小块是“不可测的”,这意味着这些小块的面积不存在。

 

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几十年后的2016年,格拉博斯基(Łukasz Grabowski), 玛斯(Andras Máthé) 以及皮胡尔科(Oleg Pikhurko)共同撰写的论文让这个问题又有了重大进展。和拉茨科维奇的论文不同,证明几乎是构造性的,就是说分解的每一个小块都有明确的描述。但还是有一个瑕疵:把圆分解成的小块并没有填充满正方形的全部,还有很小很小的一部分没有填充。这没有填充的部分面积是零,数学家称为“零测度集”。

 

尽管还是没做到完全覆盖,但也是这个问题的重大进步——除了一个零测度集合,我们按塔尔斯基的规则成功的用构造性的方法化圆为方。

 

 

一年后,加州大学的马克斯( Andrew Marks)和多伦多大学的安格(Spencer Unger)在这个问题上有取得重大进展,他们第一次用完全构造性的方法证明了塔尔斯基版本的化圆为方——而且是完整的拼成,没有任何多余部分。论文完整描述了如果把圆分成小块,然后重新拼成一个等体积的正方形,不再有多余的零测度集合。

 

 

这一次分成的小块更多,需要大约10的200次方块,每一个小块的结构依然很复杂。论文作者认为,这是一个缺陷,因为这些小块要站在数学家的立场才能理解,很难用形象的方式展示出来。

 

 

这就留下了改进的空间,用更少数量的小块,或者更简单的形状的小块。数学家并没有停止探索,他们已经用计算机做了一个实验,据说22块就可以,但目前还没有给出这个的证明。

 

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2022软科世界一流学科数学排名发布:萨克雷世界第一,北大中国第一

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2022年7月19日,2022年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面,前十的院校较去年毫无变化,甚至前五的座次都没有改变。来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一,美国的普林斯顿大学排名第二,法国的索邦大学排名第三。第四到十名分别为:剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、纽约大学(美国)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中,法国两所、英国两所、美国仅有一所。前十中美国占据其中五所,法国、英国分别占据两所,瑞士一所。


亚洲方面,有五所亚洲高校排名前50,并有5所高校并列在51-75名的位次。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第一,总名次是第17,日本的京都大学排名第二,总排名25名。中国内地的北京大学排名亚洲第三,总排名第42。第四、第五分别是以色列的特拉维夫大学和日本的东京大学,总排名分别是第43、第49。剩余亚洲前10的院校为,中国医药大学(中国台湾)、复旦大学(中国内地)、阿卜杜勒阿齐兹国王大学(沙特)、新加坡国立大学(新加坡)、清华大学(中国内地)。值得注意的是,来自中国台湾的中国医药大学,中国台湾的高校少见得在数学学科如此高的排名.另外,中国香港的高校继续在前10中消失。


中国高校有97所大学进入榜单,数量上较于去年下降4所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第42名。三所学校并列第二,分别是中国医药大学(中国台湾)、复旦大学、清华大学,他们位列51-75名次区间,中山大学、中国科学技术大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学六强。而中国香港排名最高的是香港城市大学、香港中文大学、香港科技大学,排名是151-200。最后,哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

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创造历史!中国队全队满分获第一!2022国际数学奥林匹克成绩公布

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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2022国际数学奥林匹克竞赛成绩刚刚公布,中国队以全队满分的成绩获得总分第一,参加比赛的6个人全部获得满分42分,全队获得可能的最高分数252分。韩国和美国分列第二三名,成绩分别是208分和207分,传统强队俄罗斯队没有参加。第四到十名为:越南、罗马尼亚、德国、伊朗(并列第8)、日本(并列第8)、以色列(并列第10)、泰国(并列第10)。

 

从1994年美国队参加国际数学奥林匹克竞赛之后,总分第一的队伍中,全队均获得个人满分的情况在之前国际数学奥林匹克竞赛历史上28年再未出现过,中国队创造了历史。(这里排除参加人数不满额的全队满分)

 

 

本次竞赛,共有10人获得个人满分。

 

 

另外,中国台湾获得总分第14名,中国香港获得总分第19名,中国澳门获得总分第49名。

 

从奖牌来看,中国队参赛的6个队员全部获得金牌。韩国3金3银,美国四金一银一铜。

 

 

有104多个国家参加此次竞赛。从国家数量规模来讲,国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动,其实为促进各国教育文化交流,选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。

 

最后,祝贺中国队以创造历史的成绩夺冠!

 

附本届竞赛题目(官方版)

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维娅佐夫斯卡:问我为什么8维空间特别?不知道,我也迷!

 

本文编译自+Plus网站

原文作者:Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者:Math001

 

 

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维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次,只颁发给40岁以下的数学家,被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主,她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。

 

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从桔子开始

 

 

运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形,即使不考虑,把桔子考虑成最简单的球形,也会有问题。无论你怎么装箱,都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题:我们如何排布这些球状水果,能让水果尽量多的装到箱子里?比如怎么样装桔子,可以让桔子占箱子里的空间比率最大?

 

 

"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体,"维娅佐夫斯卡说,"同时简化一下问题,球体是刚性的不能被挤压,另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"

 

 

 

如果盒子很小,那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大,形状的影响可以忽略不计,答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然,存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比,虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率,也称为球体堆积常数。

 

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再来一个更简单的例子,让我们降低一个维度:我们不是将球体排布到3维空间中,而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中,最佳排布是蜂窝状排布,”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形,六边形整齐地组合在一起,彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘,您确实会出现间隙,我们能证明这的确是最密集的排布“这样,我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为

 

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"三维空间的情形被称为开普勒猜想,已经400多年没有解决了,"维娅佐夫斯卡说,"三维空间里我们不止一个最佳堆积,我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过,就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图,我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为

 

   

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1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文,加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式,因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据,所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的,他们使用了计算机形式逻辑参与验证。  

 

 

高纬度的球体堆积

 

不用计算机,只用几页纸,维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明,即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处,但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候,传输过程有干扰的情况下,也能理解传过来的信息。

 

为了把控更高的维度,我们要从二维转向三维,我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户,那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示,线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系,这些方程可以帮到你。

 

 

在高维空间中,也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样,你可以给出高维空间中距离和体积的概念,然后定义包括高维球之类的各种形状,这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了,但是用代数方法可以处理它们。所以,你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。

 

回到2维和3维的情形,我们来看看如何从2维的情况推广到3维:先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层,从2维角度看,这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层,第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积,所以人们会想当然的认为,这种推广方式会自然的推广到高维情形。

 

 

哎呀,但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看,呈指数级下降趋势。

 

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寻找上界

 

我们寻找的数是某种意义的最大值,比如说堆积密度的最大值。但是,往往没那么好的运气说找到就找到,这时候我们就要退而求其次,去找一个上界:一个数,那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。

 

不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法,可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度,所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图,包含4到28维的情况,绿色是下界,蓝色是上界。

 

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这里值得注意的是8维和24维,它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的,那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它:因为存在某种非常不爽的可能性,球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说:"对于信仰数学之美的人来说,这应该不可能,但信仰不是证明。"

 

 

缝合缝隙

 

维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上,缝合了8维空间上的缝隙。随后,又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下,完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状,只考虑球心,那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标,我们用点与点的距离统计来描述这个配置:产生的最小距离有哪些,它们占比多少?

 

 

这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情,"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空,计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状,只记录每两个恒星之间的距离。实际上,这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离,又有一定数量的恒星保持那种距离,还有一定数量的恒星保持再一种距离,那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"

 

用类似的思想,科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制,这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制,你需要找一个性质非常特别的函数,这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数,这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。

 

为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数,维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界,这个上界必须是不多不少的那种,就是说,它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为,这个函数肯定存在,但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空,"科恩在文章中提到。

 

这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西:用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。

 

维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是:

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就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.

 

使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2,球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里,就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积,比E8格要复杂,得到24维空间的球体堆积常数是

 

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迷之维度

 

到底是什么让8维和24维如此特别?"每个人都问我这个问题——我也不知道,这是个迷,"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中,那些点能被精妙的配置,使得我们能精确的计算出来,但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因,我真不知道。"

 

但是已经够了,就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来,无论谁用何种方法解决其他维度的情况,都能为这个人带来极高的荣誉。

 

 

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原文作者:Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者:Math001

 

 

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维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次,只颁发给40岁以下的数学家,被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主,她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。

 

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从桔子开始

 

 

运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形,即使不考虑,把桔子考虑成最简单的球形,也会有问题。无论你怎么装箱,都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题:我们如何排布这些球状水果,能让水果尽量多的装到箱子里?比如怎么样装桔子,可以让桔子占箱子里的空间比率最大?

 

 

"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体,"维娅佐夫斯卡说,"同时简化一下问题,球体是刚性的不能被挤压,另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"

 

 

 

如果盒子很小,那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大,形状的影响可以忽略不计,答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然,存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比,虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率,也称为球体堆积常数。

 

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再来一个更简单的例子,让我们降低一个维度:我们不是将球体排布到3维空间中,而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中,最佳排布是蜂窝状排布,”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形,六边形整齐地组合在一起,彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘,您确实会出现间隙,我们能证明这的确是最密集的排布“这样,我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为

 

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"三维空间的情形被称为开普勒猜想,已经400多年没有解决了,"维娅佐夫斯卡说,"三维空间里我们不止一个最佳堆积,我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过,就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图,我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为

 

   

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1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文,加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式,因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据,所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的,他们使用了计算机形式逻辑参与验证。  

 

 

高纬度的球体堆积

 

不用计算机,只用几页纸,维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明,即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处,但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候,传输过程有干扰的情况下,也能理解传过来的信息。

 

为了把控更高的维度,我们要从二维转向三维,我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户,那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示,线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系,这些方程可以帮到你。

 

 

在高维空间中,也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样,你可以给出高维空间中距离和体积的概念,然后定义包括高维球之类的各种形状,这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了,但是用代数方法可以处理它们。所以,你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。

 

回到2维和3维的情形,我们来看看如何从2维的情况推广到3维:先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层,从2维角度看,这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层,第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积,所以人们会想当然的认为,这种推广方式会自然的推广到高维情形。

 

 

哎呀,但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看,呈指数级下降趋势。

 

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寻找上界

 

我们寻找的数是某种意义的最大值,比如说堆积密度的最大值。但是,往往没那么好的运气说找到就找到,这时候我们就要退而求其次,去找一个上界:一个数,那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。

 

不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法,可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度,所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图,包含4到28维的情况,绿色是下界,蓝色是上界。

 

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这里值得注意的是8维和24维,它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的,那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它:因为存在某种非常不爽的可能性,球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说:"对于信仰数学之美的人来说,这应该不可能,但信仰不是证明。"

 

 

缝合缝隙

 

维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上,缝合了8维空间上的缝隙。随后,又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下,完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状,只考虑球心,那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标,我们用点与点的距离统计来描述这个配置:产生的最小距离有哪些,它们占比多少?

 

 

这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情,"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空,计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状,只记录每两个恒星之间的距离。实际上,这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离,又有一定数量的恒星保持那种距离,还有一定数量的恒星保持再一种距离,那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"

 

用类似的思想,科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制,这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制,你需要找一个性质非常特别的函数,这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数,这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。

 

为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数,维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界,这个上界必须是不多不少的那种,就是说,它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为,这个函数肯定存在,但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空,"科恩在文章中提到。

 

这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西:用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。

 

维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是:

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就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.

 

使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2,球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里,就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积,比E8格要复杂,得到24维空间的球体堆积常数是

 

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迷之维度

 

到底是什么让8维和24维如此特别?"每个人都问我这个问题——我也不知道,这是个迷,"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中,那些点能被精妙的配置,使得我们能精确的计算出来,但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因,我真不知道。"

 

但是已经够了,就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来,无论谁用何种方法解决其他维度的情况,都能为这个人带来极高的荣誉。

 

 

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梅纳德:我得了菲尔兹奖?太玄幻了!

本文编译自+Plus网站

原文作者:Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者:Math001

 

 

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梅纳德(James Maynard)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次,只颁发给40岁以下的数学家,被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

梅纳德是数论的顶级专家,这次得奖几乎是众望所归的。

 

 

数论、质数

 

 

"数论在我心目中的地位是独特的,甚至在我正式学习它之前就已经如此,"梅纳德说。数论,研究整数性质以及研究整数之间相互结合产生新数的学科。数论就是梅纳德的一个学术性的游乐场,这是让梅纳德从孩提时代就流连忘返的地方。

 

 

处于数论中心位置的东西就是质数,只能被1和其本身整除的正整数。因为不能再因数分解,质数经常被人们描述成数论的原子。每个其他正整数都能被这样的原子"做"出来,任何正整数都能写成一些质数的乘积。比如24 = 2 × 2 × 2 × 3,再比如110 = 2 × 5 × 11。

 

其他的质数,也能用类似的办法写成这样质数乘积的形式。

 

 

 

孪生质数猜想

 

梅纳德一个最重要的贡献就是关于孪生质数猜想的。几千年前 ,我们就已经知道质数有无穷多个,但是这些质数排布在数轴上的时候,却没有非常明显的规律。"通常情况下,你顺着数轴的方向看,质数之间的间隔会越来越大,"梅纳德说,"但是孪生质数猜想说,就算从大面上质数的间隔越来越大,也有极少数的质数会互相挨着非常接近。理解质数间隔是理解质数分布最基本的问题。"

 

 

除了2,左右质数都是奇数,所以质数之间最近的间隔就是2了(只看大于2的质数)。刚开始,很容易找到一些间隔最小的质数,它们被称为孪生质数:3和5、5和7、11和13都间隔2。但随着数的增大,这种质数在数轴上越来越难找到。数学家们都相信,能找到无穷多的孪生质数,这就是孪生质数猜想。

 

孪生质数猜想是数论中最著名的猜想之一,它表述简单,但一直没被证明,几百年来一直让数学家着迷。经过数百年的探索,在2013年取得了一个重大突破。张益唐证明了有无穷多对质数,它们的间隔小于7000万。"对数学家来说,这是一个巨大的突破。这是人类第一证明了质数具有一个有限的间隔",梅纳德说,"尽管7000万比2大很多很多,但7000万比无穷大小多了。"

 

 

张益唐的突破和筛法有关系。筛法是在证明过程中,筛掉不需要整数的办法。最初等的例子是埃拉托色尼筛法,他能筛掉所有不是质数的数。从2开始,在数轴上去掉所有2右边所有2的倍数。这样2的右边,最小没被去掉的整数就是3,再把3右边所有3的倍数去掉。这样3右边没去掉的整数是5,这样重复操作下去。桑达拉姆筛法也能筛掉不是质数的那些数,但它基于一种算术级数(就是等差数列)来做筛选。

 

 

"筛法是数论研究中,将已理解的信息转换为你试图知道的信息的有利工具,"梅纳德说,"如果你知道关于算术级数的一些具体技术手段,那么你就可以用它转换一些关于质数最近间隔的信息。"筛法初看下很简单,但很多时候,要用一些很强的数学结论才能让它发挥作用。张益唐的成果的强大在于,可以通过控制输入的方式来让筛法得到想要的信息。

 

 

梅纳德的方法却不同:"不是对筛法去改进输入而是改进筛法本身,这个方法在将一种类型的信息转换为另一种类型的信息方面变得更加有效,这意味着我们只需更弱的输入来获得关于素数间隔的结果。"通过这种新方法,将间隔从 7000 万大幅减少到只有 600。在与更多的数学家进行了一系列合作之后,我们现在已经知道存在无穷对质数,它们之间的间隔只有不超过246。

 

即使取得如此巨大的进展,孪生质数猜想的证明仍然难如登天。工作仍在继续,通常这需要全新的方法去证明。在新方法的研究中,梅纳德证明了一个有趣的结果,给定任何一个10进制正整数,存在无穷多个质数,它的十进制表示不包含给定的正整数(包含是字符串意义的包含,比如1231,312都包含12,但不包含39)。在这个阶段很难知道孪生质数猜想何时会被完全证明,但梅纳德依然乐观的表示:“我们离证明孪生素数猜想还有差一个关键思想,但也许我们只差关键思想。”

 

 

要么全都是要么全都不是

 

 

数论中有大量长期存在的猜想以及悬而未决的问题。证明孪生质数猜想可能还有一段很长的路要走,但最近梅纳德与他的同事库库洛普洛斯(Dimitris Koukoulopoulos) 证明了另一个重要猜想。

 

1941年提出的达芬-谢弗(Duffin-Schaeffer)猜想,它是一个关于有理数逼近无理数能力的一个猜想。实数是由有理数和无理数组成的。有理数能写成两个整数p和q的商p/q,而无理数是写不成这样形式的那些实数。最著名的就是圆周率π,它等于3.1415926...是一个不能写成整数之商的无理数。我们只能用有理数去逼近它。比如,我们只用保留两位小数的3.14来作为π的近似值,那么对应的分数就算314/100。但用的两个数都有点大,实际上22/7是一个更精确的逼近。

 

"就是说22/7可以算是更有效捕捉π的算术信息的近似值,"梅纳德说。理解实数的有效逼近(也称为丢番图逼近)以及这些逼近的分布可以为数论学者提供非常重要的信息。达芬-谢弗猜想使得有效逼近在什么情况下存在或者不存在的判断变得简单。

 

 

如果你试图让你的近似值具有一定的精确性。而且这个近似值会随着分母q的变化而得到一个p/q。达芬-谢弗猜想说,通过简单的计算可以告诉您,在"几乎"意义下,要么对所有数都有指定类型的有效逼近,要么没有。

 

 

 

"达芬-谢弗猜想说,要么是那种除了极少数的例外都能做有效逼近,要么根本做不到有效逼近。"梅纳德说,"而且猜想告诉你了一个简单步骤来让你知道能做还是不能做。"

 

 

这初看下似乎没那什么用,但它为数学家提供了一个强大的工具。“有很多数学命题,数学家希望它任何情况下都是对的,但事实证明有一些令人讨厌的反例,”梅纳德说。“但如果这些反例情况相当罕见,那么结果就是这些反例并不那么重要。”

 

 

玄幻

 

梅纳德的工作被描述为“非常巧妙,经常在当前技术看似无法解决的重要问题上取得令人惊讶的突破。” 尽管他硕果累累,获得菲尔兹奖仍然令他惊异。“当坐在办公桌前拨弄数学玩具的时候,我不觉得自己在数学上获得了巨大的荣誉!”

 

虽然获得菲尔兹奖这个数学界最高的奖项之一是一项巨大的荣誉,但梅纳德依然觉得这个奖项令人敬畏,而且有点玄幻。“可以这样说,我脑海中浮现的数学史上的传奇数学家们都是令人敬畏的。当我还是个孩子的时候,这些数学家都是我仰望的人。”他说。"我也得奖了,这太玄幻了!"

 

 

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许埈珥:数学是人性的镜子

本文编译自+Plus网站

原文作者:Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者:Math001

 

 

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许埈珥是2022年菲尔兹奖的得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次,只颁发给40岁以下的数学家,被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

许埈珥的故事在数学界一定会是一段经典的传奇

 

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这位数学家太非同寻常

 

 

能成为顶级数学家的人,在他们小时候一般都被视为“神童”。很早就表露出天赋,在学校里夺得所有的数学竞赛的奖牌,并按照命中注定的伏线走向通往伟大的道路。

 

 

许埈珥是完全的另类。小学时成绩就不好,高中时觉得上学无聊,书不念了去写诗。他最终选择了做数学,不是因为这个学科,而是因为一个人。就当他即将从首尔大学的物理及天文专业毕业的时候,他了解到著名数学家广中平佑在他学校开着一门课。“我对数学一无所知,但我看过广中平佑自传。这人非常有趣,所以我就选这门课了”

 

 

课程是对广中平佑所作工作的即时反馈,讲述了他最近产生的对数学的思考洞见。"这是我第一次见把数学当职业的真人",许埈珥说,"我第一次把数学当作人类活动而接触这个学科"。这种人类活动带来的愉悦让许埈珥深陷其中,如痴如醉。

 

 

肉眼可见的数数

 

 

许埈珥说他做的数学非常直观。因为数学训练不多,职业生涯的初期他只关注如他所说的“肉眼可见”的对象。“现代数学的很多领域都研究得非常深入了,你光理解领域内的核心问题都要好几年时间,”许埈珥说,“这就像天文学,你要做出成绩,需要先入手一个百万美元的望远镜。”

 

组合数学就不太一样:组合数学是数数的艺术,数的东西总能数得出来。因为那些东西都是有限多个,而且还是离散的。组合数学中最典型的问题是,一种扑克牌的牌型有多少种。“所有的东西都是实实在在的,你甚至可以触摸到它们”,许埈珥说,“组合数学就算我肉眼能看到的那部分数学。”

 

 

如果数数被认为是数学的基柱之一——人们小时候做的第一类数学活动,从生物角度看,我们人类在诞生之初就做在做这样的事情——那么还有一个基柱必须是几何。“几何对所有人来说都是相同的,”许埈珥说。“我们是视觉动物,视觉是我们的主要感官。我们通过视觉产生的几何而不是通过声音、味道或气味来了解我们周围的世界。”

 

虽然您可以在不遇到概念困难的情况下进行大量计数,但几何图形更具欺骗性。一个多节土豆的形状是我们一看到它就会立即得到的东西,但是当我们没有图片来描述它时,我们很快就被难住了。“几何很难形式化,”Huh 说。“它包含大量信息,尤其是当您将其与我们的语言和逻辑的复杂性进行比较时。”

 

虽然你可以在不基于任何高深数学概念的情况下进行数数,但几何上的计数会有很多误导。比如我们很容易看清一个长有很多疙瘩的土豆,但当我们没有一个合适的图形描述它的时候,我们就会犯难。"几何很难被形式化",许埈珥说,"尤其和我们的语言和逻辑对比的时候,你会发现几何包含的信息实在太多了。"

 

然而,当你使用方程的时候,奇迹发生了。比如方程y=x精确定义了一条平面上的直线。对直线上每个点匹配一个坐标(x,y),然后这些把满足方程的所有坐标标记出来即可。

 

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同样的方法,你可以回忆你中学学过的方程y=x²,这是一条抛物线。

 

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类似的,不同的方程能描绘出不同的形状。这就和那种不规则的土豆不同,我们就可以用代数工具来研究几何了。数学中这是一个专门领域,叫做代数几何。

 

“在代数几何中,为了精确表述一个几何空间,你要做的就是写下一个方程,甚至这个方程都不是很复杂,比如多项式方程。” 许埈珥说,“你可以把它写在你的小本本上,然后看看——这是你可以看得见摸得着的东西。这是我职业生涯初期中唯一能动手做的东西。这就是为什么代数几何也吸引了我。

 

 

 

唯一的最小值

 

 

 

 

许埈珥获得菲尔兹奖的数学成果是非常艰深的理论,涉及代数簇和霍奇理论。但当让许埈珥说出一个他自己引以为傲的成果时,他说的是一种用一些简单信息暗含深刻结果的一些数学方法。这个方法建立了连续和离散的桥梁,就算不从数学考虑也很有意思。

 

为了描述这个方法,我们还是从之前的抛物线y=x²开始。

 

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这个抛物线有个重要性质,就是在蓝色的点处取得唯一的最小值。

   

抛物线只有一个最小值的原因是,它不会向上凸出。这与下面显示的曲线y=x^4 + 2x² - x/2形成对比,该曲线在底部有一个向上的凸起,会产生两个局部的最小值(极小值)。

 

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换种说法,我们说抛物线的上方区域是(下)凸的,但第二条曲线不是。标准说法是,一个区域是凸的是指,其内部任何两个点连接的线段仍然在其内部。那么抛物线就是凸函数。而第二个函数是非凸函数。

 

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当一个函数涉及多个变量的时候,也有凸的概念。如果是两个变量,就对应只有一个山谷的概念,而不是复杂的山脉。如果是更高的维度,图像无法画了,但依然可以定义凸的概念。

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求最优解

 

 

凸函数是非常重要的,因为我们在日常生活中都多多少少会遇到求最小值的问题。比如,你造车,你会想办法降低车的油耗。这个油耗就和一些变量相关,比如车的重量和空气阻力。如果有人给你了用这些变量描述的油耗函数,你就要去找这个函数的最小值。而这个函数可能是包含很多变量的复杂函数,那么找到这个最小值就非常困难。

 

 

但是,如果这个函数是凸函数,那么问题就容易得多,因为凸函数的极小值是唯一的(所以这个极小值就是最小值)。你甚至可以用一种“凭感觉”的手段来寻找这个最小值:就算你不看图像,你也能感受到走那边是往下走的,向那个方向走一小段,然后继续“凭感觉”探路。对于更多变量的函数无法画图像的时候,这个手段依然奏效。

 

 

但对于非凸函数,这种“凭感觉”的方法就会误导你:你得到的可能是众多极小值中的一个,你无法确定它是某个局部的低点,还是全局的最小值。

 

 

建立联系

 

对于优化问题,数学中的凸分析是个无价之宝。但问题是,凸分析针对的函数是连续函数。如果不是身处连续的曲线上,而是在一个和别的岛屿分离的小岛上,那你周围就没有信息让你“凭感觉”探路了。

 

 

"但是,我们身处世界是越来越数字化的,也就是离散化的",许埈珥说,“我们会经常对某些离散情形做最优化,为此你需要一种不同的技术手段。”尽管搞优化的学者们已经开发了一个框架来处理离散问题,但这两个领域直到最近还没有明确地联系起来。"尽管连续情形和离散情形两者问题类似,但还没找到直接的连续,"许埈珥说。

 

 

许埈珥在他和同事们所做的就是通过巧妙的观点转变找到这样的联系。上面的方程y=x²描述了一条连续的曲线,但它本身是由有限数量的离散信息定义的——这就是我们很容易将它写在小本本上的原因。我们只需要知道变量 x 和 y 的幂的次数,这些它们系数是多少,以及等号的位置。因此,这个方程可以视为离散对象。

 

 

基于这个观点许埈珥和布兰登(Petter Brändén)研究出了一种适用于洛伦兹多项式的深层理论。对于洛伦兹多项式,两种凸性的角度——一种从连续角度一种从离散角度——通过多项式的两种不同视图自然地联系在一起:一方面作为连续对象,另一方面作为离散对象。

 

 

“找到这种形式联系非常令人满意。”许埈珥说,“对我们来说,更让人欣喜的是,一旦有了这样的联系,你可以用一种非常自然和简单的方法去解决那些被认为技术性很强且非常难的问题。”

 

 

数学是人性的镜子

 

 

如果有人能把数学中看似不相关的领域联系起来的时候,数学学科往往能产生巨大的进展。不过,从某种意义上说,许埈珥认为我们不应该对这些联系感到惊讶。“这并不奇怪,因为数学领域的细分,或者说人的感觉的细分——组合的、几何的和分析的——只是我们作为一种生物及其感觉器官数百万年变迁的结果。如果我们是一种不同的生物,拥有不同的感觉器官和不同的环境,我们也许会发展出完全不同的数学领域。”

 

如果数学领域的界限的产生如此偶然,那么数学中一些最深奥的问题跨越这些界限也就不足为奇了。从这个意义上说,我们开发的数学是我们人性的一面镜子。“它展示着,我们是谁,我们如何思考。”

 

 

 

 

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度米尼尔-柯平:数学研究是强社交活动

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原文作者:Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas

编译作者:Math001

 

 

 

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度米尼尔-柯平(Hugo Duminil-Copin)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次,只颁发给40岁以下的数学家,被誉为数学界的最高荣誉之一。

 

 

相变和普适性

 

米尼尔-柯平因为在统计物理中对相变的数学理论的工作而受到数学界的认可。在日常生活中,我们经常看见相变发生:比如低于零度的时候水会结冰。相变是一个复杂的系统,就拿水分子来说,在一些特定的临界温度附近,分子行为会发生非常剧烈变化。

 

“作为数学家,我们做的事情是通过对这些物理现象建立数学模型,去理解相变是怎么发生的”,米尼尔-柯平说到。比如规则晶格模型通过对分子排布的描述来理解这些现象。实际上液态水分子的位置并没有那么规整,在现实中,他们不会像晶格描述的那样排布在空间中。但为了对这种系统进行研究,通常会简化认为分子按这种非常规整的方式排布。

 

虽然这个假设不完全符合事实,但米尼尔-柯平说用这种方式研究的系统却可以解释现实中发生的现象。"这就和一个深刻的理论有关系了,叫做普适性(universality)。我试图用数学的方式去理解它"

 

普适性就像一种梦幻的场景:一些情况下,数学模型中的琐碎细节并不影响全局行为。原因是如果一个系统涉及多个不同的随机过程,那么底层机制的一些细节就和全局无关了,比如水分子的运动。在水结冰的过程中,无论你把水分子的排布看成怎么样晶格排列,你研究的相变的性质都是相同的。

 

 

"这让数学家和物理学家都安心,因为很多系统都具有相同的行为表现。那么你只需要选择最简单的情况来研究,就是那种规整的规则晶格。"从数学上来说,您可以从这种更为简单的问题描述中得到更多信息。数学模型不一定就是物理现实,但由于普遍性,你的结果都是相同的,和初始假设用精确的物理描述结果是一样的。

 

 

漂亮的问题

 

统计物理中有很多问题受到米尼尔-柯平青睐:很多是看似简单但需要新数学方法来攻克的问题。一个例子是他在做博士后时做的第一个猜想。

 

 

“想象一下,你现在在一个蜂窝面前,”米尼尔-柯平说,蜂箱的形成了平面上的六边形平铺,蜂箱壁的挡板和挡板转角标记成为六边形(蜂窝格子)的点和边。你选择一个点作为起点,然后在六边形的边界上行走,但有一点,你不能回到任何之前走过的地方,边和点都不行。这个规则叫做自规避行走。

 

 

 

现在的问题是,有多少种自规避行走的走法?就如他所说,规则非常简单,小孩子都能玩。如果让你走一步,那么有三种走法,如果让你走两步,就有6种走法,如果让你走三步,就有12种走法。如果走的步数越多,情况就会越来越复杂。而且为了不走重复路线,你去数这些走法的数量就越来越困难。“你很快就会发现到你无法准确计算出走法的数量,这是一个很难把控的数。”下图是走5、6、7步时候的走法示意。

 

 

1980年统计物理学家尼恩胡斯(Bernard Nienhuis)给出了一个惊人的猜想,他说这个数不仅能把控,而且有一个对数量级的精确限制。他猜想,如果走n步,那么自规避行走数量的增长速度是(√(2+√2))^n(先根号2,再加上2,然后整体再开根号,再n次方)。

 

 

“我发觉有一个答案真是太棒了,这是一个非常酷的数字!”米尼尔-柯平说。“我在硕士课上第一次了解到这个猜想。这很有趣,因为当时看起来这个猜想似乎没有希望被证明。” 但是通过使用看似不相关的数学领域的工作,的确完成了它。“这是在我们的领域的问题的一个典型例子,你会受到许多其他数学和物理领域的启发。它让你处于许多领域的交汇点,这是我非常喜欢的事情。

 

 

这个问题不止数学家关心。上世纪40年代,保罗·弗洛里(Paul Flory, 1974诺贝尔化学奖得主)和奥尔(W.J.C. Orr)引入了自规避行走来研究长链分子(聚合物),以及去理解聚合物的行为。“这与物理关系密切,例如如果试图理解 DNA 分子的行为。这些聚合物会自规避行走,原因是显然:它们是分子组成的一个长序列,不会在同一个地方重合。”

 

 

米尼尔-柯平认为菲尔兹奖是对他所在领域的所有工作人员以及他们共同研究的工作的认可。当 ICM 宣布奖项时,他迫不及待地想与他的同事分享这一认可。“数学研究是一项社交性极强的活动,互动交流比普通人想象的要多得多,”他说。“有一些数学家是孤勇者的形象,但就我而言,这不是我的数学环境以及做数学的方式。如果没有与其他人的这种互动,我的就不可能有这成绩。” 

 

 

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26岁博士破解埃尔德什本原集猜想

 

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根据牛津大小数学研究所官网消息。牛津大学数学博士李奇曼(Jared Duker Lichtman)证明了埃尔德什众多数论猜想的其中一个——埃尔德什本原集猜想。

专业数学的成果往往很难被普通大众理解,而这个猜想却不一样,问题本身是中学生能明白问题说什么的。借着这个机会,我们来介绍一下。

首先,一个正整数集合A如果里面任意两个元素都都没有一个是另外一个的倍数的情况发生,那么我们说这个这个集合叫做本原集。

比如如果A是所有质数组成的集合,那么A是本原集。

如果A是正好是有2两个质因数的那些正整数组成的结合,那么A是本原集。

对于任意正整数k,如果A是正好有k个质因数的那些正整数组成的集合,那么A是本原集。

对于一个正整数,如果它所有非本身的因数之和等于其本身,这个数叫做完美数(比如6非本身的因数有1,2,3,这三个数加起来正好是6,所以6是一个完美数。另外28也是完美数)。如果A是所有完美数组成的集合,那么A是本原集。(证明留作习题,难度是初中级别的)

如果A是本原集,我把A中的每一个数n都取出来,计算一下对应的 n·ln(n)的倒数,再把所有的这些倒数加起来,这样会得到一个计算结果(详细的符号见下图),我们把这个数记作f(A) 。

1935年,埃尔德什本人证明了f(A)有一个统一的常数上界。

1988年埃尔德什猜想,当A取所有质数的时候,能得到最小的上界。就是说,下面的不等式成立。

李奇曼今年26岁,他35岁的导师梅纳德(Maynard)也是数论界大名鼎鼎的人物。他导师看到这个证明后先是惊了一下,然后小小的酸了一下:“这运气也太好了吧”。当然梅纳德的同等或超过这个成果的重量级成果很多……

 

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我当然认为数学是文化产物!但并不是说可以为数学问题任意设置答案

​本文作者:基斯·德夫林,斯坦福大学数学教授

编译作者:Math001

 

哆嗒数学网小编按:本文依据中国的社交媒体的语境,做了些许修改,不影响总体意思。

 

 

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你也许经常在社交媒体上看到类似如下的观点:

 

 

因为西方帝国主义或殖民主义的思想,产生了2 + 2 = 4 的这种思想文化产物。而我们只能以这种方式去思考这个问题。

 

 

 

就问题本身,这其实是教育专家和中小学老师们经常讨论的教育问题之一。但是, 很多时候社交媒体中的讨论是失控的。大多情况下,他们根本不知道问题是什么(或者说知道的人微乎其微)。而大部分人都没就事论事,都在谩骂或者攻击自己画的靶子。

 

 

 

网络中的讨论总是迅速爆发,然后又慢慢沉寂。但这个讨论让我不得不思考它本身带来的问题,讨论点不是网上最集中的“中小学是应该否在数学教育内支持多元化”的问题,而是讨论我从事的大学数学。所以,考虑到观看我文章的读者群,我来提出这样一个问题:

 

 

 

如何看待 2 + 2 = 4 是一种文化产物这句话?

 

 

 

我们稍后会回来讨论这个问题。但是,我们先用社交媒体上的争吵的例子来设置场景。

 

 

社交媒体上的疯狂讨论

 

 

通过向那些不言自明的知识询问“你怎么知道的”来提出质疑,在各个学科都屡见不鲜,——即使是我们通常认为理所当然的最基础的想法。讨论通常用简单的例子来说明,其中一些还会用图像和谚语来反复解释。2 + 2 = 4 也是同样类型的问题。

 

 

 

例如早在 20 世纪初,怀特海和罗素就撰写了一部研究数学逻辑基础的三卷本巨著《数学原理》。其中他们使用了更简单的恒等式 1 + 1 = 2作为一个说明性的例子,用 350 多页的篇幅,从书中的第一性原理开始,通过逻辑演绎来证明它是真的。

 

 

 

他们的目的不是检验这个命题在现实生活意义下是否正确。这显然是正确。他们是为了确定数学的逻辑正确性。因为罗素展示过一些看似显然的数学事实最后导致了逻辑矛盾的例子,所以他们有了做这项工作的动机。他们证明了 1 + 1 = 2 这种基本的等式可以形式化的证明,以及如何证明。

 

 

 

怀特海和罗素是幸运的,因为1910 年还没有网络社交媒体,这两位学者完全在剑桥大学的象牙塔世界中开展工作,因此没有引来过多的嘲讽。但是对于在纯粹学术世界(甚至可以说是与世隔绝的世界)之外的人来说,使用如此简单的例子来讨论学术问题,无异于在斗牛场上向公牛抖动红布—— 于是,在讨论 2 + 2 = 4 这个恒等式的网络讨论中,引来了许多“公牛”——尽管这绝不是社交媒体第一次因为它不理解的事情而失去集体意识。(奥威尔在他的反乌托邦未来主义小说《一九八四》描写过2 + 2 = 4 这一场景,这可能使这块“破红布”在当前的网络氛围中显得更加鲜红。)

 

 

 

网络大军对于 2 + 2 = 4 的讨论中,真正忽略的关键词其实是“思想”。

 

 

 

在这个特定的背景下,这个词带来了巨大的冲击。之前讨论的基本问题是(正在讨论同样是):数学的本质是什么,谁来制定数学的规则,谁来决定哪些人可以参与,什么是正确或好的数学,数学在社会中扮演何种角色,我们到底在谈论谁的社会? 

 

 

 

2 + 2 = 4 之所以常常被这样的讨论,是因为在任何人类的文化圈,无论按计数还是算术的角度来说,它的结果都等于4,没有任何异议。在所有的文化圈内,都认为是对的。实际上,历代思想家和作者们一直在使用这样的语句来说明什么是“显然的事实”。从 16 世纪开始,经常将其与 2 + 2 = 5 的这样的“显然的错误”来与其对比。

 

 

 

觉得它没有异议原因是,如果你在现实生活中数数,2个2个合起来就是4个。现在我们不得不用这个简单可笑、毫无争议、普遍认同的例子来讨论做数学研究的潜在深层次问题。现实总是这样充满戏剧性。

 

 

 

在网络讨论中真正涉及的问题之前,让我们还是回到问题本身。2 + 2 = 4是否是一种文化产物?我再次强调,为清楚起见,我们讨论的问题不是去纠结如果你左手拿2个东西,右手拿2个东西,然后你总共拿了4个东西这样的问题。网络大军中的有些人过多在这样层次的问题上纠缠,只能显露他们的无知——甚至缺乏基本的常识。但是,社交媒体上这样的人非常多。

 

 

数学是一种文化产物吗

 

 

所以,你同意 2 + 2 = 4这个命题是一种文化产物吗?

 

 

 

从我本人的经验来看,具有博士学历以上的数学专家们会强烈反对2 + 2 = 4是文化产物的说法。在这样文化氛围中,2 + 2 = 4一个普遍的事实,无论是从理论上讲,还是从经验上讲。我长大成人后一直处于这样的文化中,我也绝对的这样看待 2 + 2 = 4 的。

 

 

为什么会这样?或者说, 这种经验主义的想法从何而来?

 

 

是的,任何从事数学研究的人最终都会有一种强烈的感觉,那就是做数学是一个发现的过程 —— 发现 关于抽象领域的永恒真理。

 

 

为什么呢?通过回顾人类大脑的进化以及其运行机制,我们来寻找答案。有在抽象领域发现知识的感觉是充分沉浸在数学思考中的必然结果。毕竟,无论我们思考的是眼睛看到的东西还是其他感官体验到的东西,我们对现实的感知都会归结为人的神经活动。因此,人类创造的抽象世界也不可避免地有现实世界的投射。我们的创造活动和其他活动的区别只是:一个是由大脑思考引发的神经活动模式,一个是由感官输入引发的神经活动模式。这个层面讲,模式是相似的,也就会有相似的“真实”的感觉。

 

[题外话:我每每在公开讲座种被问道“数学是发明还是发现的时候”,我总会回答“既是发明,又是发现”,这就是原因]

 

 

但无论这种感受如何而来,那种在永恒的“柏拉图领域”中发现真理的过程的感觉会诱使你认为一切都是经验的。 

 

 

我的一生都被这种文化包围,我能理解这个。但关键是,这是某种文化圈内部的观点。它多大程度上经得起我们进一步的推敲。

 

 

 

对于2 + 2 = 4, 如果我寻求的某种绝对的确定答案,我当然可以回归到我的生活经验。如果我左手有两个东西,而右手也有两个,那我总共有四个。对此我绝无异议。刚开始的时候,学者们的讨论也没在这里纠结。在我看来,网络大军种有人说这也是问题的关键,并给出其它答案,纯粹是为了享受打嘴仗的过程。但我看来,这是一种哗众取宠。(从最坏的角度来说)

 

 

但,让我们更进一步。

 

 

 

我很小的时候就学会2 + 2 = 4了。然后,到了高中,我接触到了新知识 0.999… = 1 . 这个没有办法用具体的实体办法来验证正确性了。但是我能用简单的逻辑论证来让我相信这个结果。

 

 

 

但这只是因为我接受了这样一种思想,即你可以通过基于一组初始假设(“公理”)的逻辑推理得出正确答案。后来,随着年龄见长和知识量的扩充,我才明白了一个道理:公理作为事实被承认,只是因为老一辈的数学家认为它应该是真理,并把它们设置成为了公理。(毋庸置疑,他们设置公理的时候有着充分的理由——至少,在把数学看成为某种目的服务的工具的这种数学文化中是合理的,比如,把数学看成对太阳系和其他物理系统的提供准确预测、数值描述的工具。) 

 

 

然而,尽管我知道事情的真相是这样的,但我仍然将 0.999… = 1 视为与 2 + 2 = 4 具有相同地位的经验事实(对于抽象的数学柏拉图领域来说)。换句话说,我相信它。

 

 

另一方面,我绝不相信下面的等式:

 

1 + 2 + 3 + 4 +  5 + … = –1/12

 

 

我知道那个逻辑链条,“0.999… = 1”不过是逻辑链条上的一环。这样的推理不可逆转的得到了这个反直觉的结论。(所以之前不应该是“另一方面”,而应该是同一理由)

 

 

这一个逻辑链条散发着诱人的理性,在逻辑上是形式推理的正确,我只需要一堆初始要件就可以做出解释,从而得到整个数学大礼包。这些要件是一些初看起来非常简单,又能具体抽象描述的经验事实的文化产物。诸如我的左手拿两个东西,右手拿两个,我总共拿了四个东西。 

 

 

[题外话:需要说明一点,关于将现实世界的情况具体化为抽象方程。我需要强调一下,在本文中,我不关注语言本身的问题,无论是自然语言还是数学的符号语言。当然,这些也是文化产物,语言的结构会影响做数学过程,但本文聚焦在语言构建后指向的数学。]

 

 

 

当我们得到数学大礼包后,如果你坚决不允许逻辑链条在中途断裂的话,你会发现自己将面对一些高度反直觉的等式,尤其是当我们不得不处理无穷带来的问题的时候,比如0.999... 。如果回避这样的问题,绝大多数数学教授都会失业。(嗯?)所以,我也和所有数学家一样,被限制在这个大礼包之中。

 

 

 

在数学大礼包里的真理中,一些能在日常生活中验证(2 + 2 = 4) 。一些符合人们的直觉,并和现实世界中大量的观测结果相符 (0.999… = 1)。还有一些,专业的数学家(也只能是他们)会给一些美妙的解释,让你超脱对现实世界的第一感觉去理解它 (1 + 2 + 3 + … = –1/12)。

 

 

这个数学大礼包是一种文化产物。难道还能不是?我觉得,很多关于“所有数学都是文化产物”这样问题的讨论,都没有搞清数学“真理的普遍性”的提法本身就是基于某种文化的思想。

 

 

 

我们数学家认为数学与文化无关的原因是:我们处于认为它无关的文化之中。在数学家之外更广泛的范围,我也怀疑在工业化的现代社会的大多数人都认为数学是“文化中立”的学科。

 

 

我需要补充一点,数学并非是一幅“西方文化”图景。它根植于任何依托工程技术发展壮大的文明,最远可以追溯到一万年前苏美人开始有计数历史的年代。

 

 

顺便说一句,原始讨论中对帝国主义和殖民主义的提及显然促成了某种煽动效应。从表面上看(就像我第一眼看到的那样),论点基于算术是西方社会的发明,但事实并非如此。

 

 

 

实际上,计数和算术远远早于西方社会的成型。很多文化都认为它推动了数学的进步。这里说这个是先澄清一个事实,因为对科学技术的高度依赖,西方社会才将数学置于中心舞台,让它成为除了母语外唯一的必修的中小学课程。

 

 

数学是谁的文化?

 

 

 

如我所述, 2 + 2 = 4 的讨论引发了对专业数学在文化中扮演的角色的思考。中小学数学教育也是这次讨论的一部分。所以也引来了不同背景的学生的参与。

 

 

 

中小学教育工作者传授学科知识的目的与高等教育不同。中小学教育试图将下一代带入他们成长的文化中,并使他们熟悉社会并在社会的各个方面传承文化。在这些传授的文化中,包括一些“学术学科”,数学学科(或者说数学学科的一部分)也是其中之一。

 

 

 

在这种背景下,大家关于文化在数学教育中的作用进行了半个世纪的研究,并撰写了很多文章。下面的判断也许是错的,就是我怀疑许多大学数学教育者对这些文献并不熟悉,就算有熟悉的也是极少数。我也只是在职业生涯中期才逐渐知道这些。大概在2000年左右,我当时在数学科学教育委员会任职,与美国中小学数学教育专家中的领军人物一起探讨这些问题。

 

 

 

在我查阅过著作的学者中,我发现最有帮助的一位(结合我作为职业数学家的观点)是 Alan J. Bishop。为了快速(所以就强推了)介绍他的思想,我推荐他 1988 年的论文《Mathematics Education in Its Cultural Context》发表在 1988年5月第I卷的《Educational Studies in Mathematics》。这篇文章的篇幅只有12页。

 

 

Bishop 特别解释了他所说的“数学是人类文化的产物”的具体含义,同时阐述了它横跨所有的现代文化成为一种普适性的知识体系的过程。

 

 

他发现现代人类社会中,人们都会进行以下活动:

 

计数、定位、测量、设计、玩耍以及解释

 

 

 

他提到,“数学作为一种文化性知识,产生于人们持续、有意识的方式参与这六种普遍活动”

 

 

他继续详细阐述了这个观点。我会让你和我本人一样,自我思考一下,在你看完那六项活动后,你的脑海中已经勾勒出这六项活动如何产生数学的一些典型场景。这与我在《数学犹聊天:人人都有数学基因》一书中阐述的因数学思维能力的进化从而获得的理性重构的解释没有区别。

 

 

所以请务必看看 Bishop 的观点。(如果你在大学里,您应该可以通过所在学校访问资源,从而免费获得文章)在我看来,他的许多教育观点与中小学教育更相关一些,但我觉得他们的问题可以提升到专业数学界——如果我们各自的领域看成整个大的数学界的一部分。

 

 

 

[题外话:当然,不是所有的数学家都持有相同观点,而且社会更多需要专注于其学科具体细节的数学家和科学家。我年轻的时候就是这样的数学家。如果你也是这样,我会很惊讶这篇文章你居然读到了这里。反正我年轻的时候,就不可能看到现在。]

 

 

我在下面列出了我初步阅读 Bishop 的文章时向自己思考过的问题。

 

 

你的意见是什么? 

 

 

 

人们对数学持有不同的文化观吗?

 

这里文化的含义是什么?它是谁的文化?

 

 

这些观点是否随着时间而改变?在历史长河里或在我们有限的一生中,是否有过关于什么是“可接受的”或“好的”数学的争论?(记住下面这些历史争论和变迁:贝克莱主教的无穷小魔鬼、负数和虚数存在性讨论、乔治·康托尔的无限集理论及其算术、怀特海和罗素花了大约 350 页1 + 1 = 2的证明、不同公理体系集合论在实分析和代数等“坚实”学科中产生的矛盾结果、非标准分析以及近来流行的实验数学。) 

 

 

如果您是一名在学术界以外从事数学相关工作的人,与大学数学中的学到的数学相比,对于优先级判定、优劣方案判定、可接受方案判定,你是否经历过与大学内容不同方法和理念。

 

 

在您的学校里,物理系、生物系和统计系是否认可数学系为他们开设的核心课程,或者说应该如何在开设课程上与他们达成一致? 

 

 

驱动数学研究的目标是什么,找寻数学真理还是别的什么?公理的设置和定理的证明只是达成目标的中间过程? 

 

 

谁来决定什么人能进入数学学术界?

 

 

谁来决定用于数学研究的科研经费的分配?

 

 

关于数学伦理的工作应该数学家来做还是别的人来做?

 

 

我还能提出更多类似的问题。但我希望你明白我想表达的重点:如果你相信存在一种我们称之为“数学”的纯粹知识体系或纯粹思维方式,那你在相信一种神话。 

 

 

 

当然,在某些数学文化中,数学看起来都很纯粹且定义明确。在纯数学的各个分支以及物理学家和工程师所做的数学尤其如此。但是,这很大程度取决于数学在对应领域扮演的角色!所以,如果你在那种文化中,这一切似乎都没有争议。在更模糊的生物学和统计学世界中,就没那么清晰了。如果数学应用于当今社会学和政治学的许多重要领域时,情况会更混乱。

 

 

[题外话:最后一点我有亲身经历。首先,1987 年把我英国的研究带到斯坦福,试图用数学来发展信息和通信理论,以理解新兴信息技术的作用。研究其在生产生活中发挥的作用,并指导新信息技术的开发和使用。后来,在斯坦福大学继续研究,尝试将数学用于 IT 和建筑行业,然后用于美国国防部各个分支机构的项目。那些项目都超级混乱。我们参与其中的所有人都没有对我们正在使用或研究的数学有任何具体的讨论。在许多情况下,称其为数学的唯一理由是它使用数学符号,并且是研究数学的数学家做出来的!虽然我们确实在学术会议上发表过演讲,偶尔也会在同行评审的期刊上发表论文,但成功与否很大程度上取决于我们的工作对我们经费提供者是否有用。]

 

 

但这就是问题所在。我们可以合理地提出这些问题(并且在某些情况问题还不简单),这些问题能提出来就表明数学是文化的产物。即使是看似纯粹和定义明确的东西,这种确定感只有在你深度置于产生它的文化里时,才会存在。

 

 

当然,你也许不同意我的看法。我懂了,这肯定表明我们遵循着不同的数学文化。

 

 

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有趣的搬空银行游戏:一个巧妙的展示不变量思想的好案例

 

本文编译自Alex Bellos于2019年10月7日发表于英国《卫报》网站的文章

编译:Math001

 

 

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今天,我们来玩一个游戏。玩这个游戏需要一个无限行无限列的表格,以及三枚硬币。三枚硬币放在表格的左上角。就像下面图中表示的那样。


游戏只有一种操作。你可以拿掉任何一枚硬币,但是需要马上在这枚硬币的右边和下边的格子里补上两枚硬币。比如,如果你拿掉了上方第二个硬币,你需要按下图中的方式,马上补上两枚。


再补充一个规则吧。只有一枚硬币右边和下边的格子全都是空格子的时候,你可以拿掉硬币,并补上两枚。哪怕有一个格子不是空的,这枚硬币都不能拿掉。你就只能拿别的按规则可以拿掉的硬币。

 

我们把左上方2×2的格子圈出来,把它叫做银行,如下图红框部分。


你会直观地感受到,整个游戏过程中,硬币逐渐增多,总体是向右下方流动的。

 

我们的问题是,你有什么策略,可以让银行中的硬币全部流出银行。就是说左上2×2的格子中,不再有任何一枚硬币。或者,你会觉得总会有硬币留在银行中,但你需要清晰精准地说明这一点。

 

这个问题其实有点难的, 你可以做做实验,多想一会儿。待会儿我们解谜的时候,你会感受到数学的神奇。(在一串长空格后,我们开始解密)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解密开始:

 

在具体说明这个问题之前,你可能做了很多次实验了。是不是开始怀疑,如果严格按照游戏规则,是不可能把银行清空的。

 

对的!如果你有这个想法,那恭喜你,这就是这个问题的正确答案。那么,剩下的事情就是严谨地证明你的猜想。

 

证明的方法也许不唯一,这里讲述一个本人认为非常巧妙的一个办法。

 

我们的证明过程会去设计一个不变量,利用这个不变量来说明按照游戏规则,我们无法搬空银行。不变量是一个数学概念,简单的说,它表达的是无论局面如何变化,那些在万变之中永远不变的东西。不变量的思想几乎贯穿数学这门学科的所有分支,甚至有观点认为,数学本身就是研究各种不变量的学科。

 

为了说明问题,我们做一些准备工作。我们用如下的方式给每个格子标记一个数。

 

 

标记的规则是这样的:

 

第一排,从左边第一个开始分别标记1,1/2,1/4,...,总之右边的那个数是之前数的一半。

 

第二排,从左边第一个开始分别标记1/2,1/4,1/8,...,就是起始的数是上一排的一半,但总是保证右边的那个数是之前数的一半。

 

第三排,继续1/4,1/8,1/16,...

 

以此类推……

 

表格标记完后,你会发现,你任意取一个格子和它右边以及下边相邻格子标记的数都是这个格子的一半。

 

准备工作完毕,我们来设计我们的不变量了。

 

首先,我们来看看,所有格子的数加起来会等于多少。这里有无穷个数求和,我们的策略是先求出每一行的和,再把这些和加起来。

 

第一行就是,1 + 1/2 + 1/4 + ... ,结果是2 ;

 

第二行,1/2 + 1/4 + 1/8 + ... , 结果是 1 ;

 

第三行,1/4 + 1/8 + 1/16... , 结果是 1/2 ;

 

……

 

最后再来 2 + 1 + 1/2 + ... , 加起来等于4 。

 

就是说所有数字加起来的和是4。

 

我们再来看看规则。每次操作,我们都会把原本的硬币去掉,并在右侧和下侧添加上两枚新的硬币。虽然,表格中的硬币会增加一个,但是替换上的硬币覆盖格子中标记数的总和之前那枚硬币覆盖标记数是相等的。这意味着,无论多少此操作,所有硬币覆盖格子中标记数的总和不变。

 

那么,按照初始的三个硬币摆放的位置。三枚硬币覆盖的标记数之和是1 + 1/2 + 1/2 = 2。银行中,标记数之和是2 + 1/4 = 9 . 要把所有硬币在银行内清空,意味着银行内没有硬币,所有硬币都在银行外。根据之前的分析,就是说要达到一种状态,银行外硬币覆盖的标记数之和保持初始的2不变。但是,银行外标记数之和为 4 - 9/4 = 7/4 ,比2小。

 

所以不能清空银行。 

 

另外,实际上通过之前的讨论,你可以证明:哪怕把硬币完全清理出初始的三个位置,都是不可能的。因为,剩余的标记数之和是2,需要无限个硬币才能达到。而有限次操作,最多生成有限枚货币。

 

 

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苦行说:我的数学专业学习之旅

作者,MathRoc,哆嗒数学网群友

 

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求学是苦行之旅,需要去征服一座又一座崇山峻岭。幸运的是我征服了第一段矮坡,在此我想分享自己的学习历程。“学说”一题极为宏大,学浅才疏使我力有不逮,故此写下这篇不甚成熟的“苦行说”,望大家多指点。

 

诗人林珊在《山行》中写道:“我还是去得晚了一些‖满山的黄叶已经落尽了‖只有风,从山顶袭来‖枯草里的星辰是什么时候撒下的‖瓦楞上的残雪是什么时候落下的‖香山寺的钟声也无法给予我‖想要的答案”。或许这正是我本科四年的学习生活的真实写照。

 

当我初踏入大学校园时,草平雨新路无尘,一切都是可爱的模样。但入学后我发现自己与数学系的学生之间有很大的差距。他们或是在高中便已学完大一、大二的内容,或是在竞赛中取得了很好的成绩,少数则在初中时便学习了大学内容,一言以蔽之,有深厚的数学基础和非凡的学习能力。当时的我想迅速追赶,但竭尽所能也难以望其项背,从此便进入了漫长的迷茫期。

 

起初未接触数学系的同学,自然不知道需要在何阶段读何书,我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰,我仍在坚持,去教室的路上、吃饭时、睡前,无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决,也曾四本书并进,正文能懂但对题目畏葸不,就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃,一个月内如此往续,应有10本以上,比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来,所选的书是最难的那一批,所做的皆为无用功。

 

经此一役,我向很厉害的学弟请教,他指出我应该先读大一内容——数分、高代,并分别推荐了史济怀、李炯生(号称亚洲最难)的教材。诚然,对已有基础或学习能力强的人来说,它们是非常不错的入门教材。但对当时基千疮百孔的我而言,这无疑是一剂虎狼猛药。

 

我再次被习题拦在了门外,但也开始主动寻找“没学明白”的症结所在。我发现,对教材难度预设太高,我应该选择更合适的书。自此,踏上了寻找适合自己的书籍的漫长历程。

 

迷茫时期持续了近两年,为此付出的代价也是不小的。此间我为转数学系辗转奔波过,比如咨询教务处老师、给校长信箱写信以期有一次转专业考核的机会。转专业政策是只看原专业的排名,或有省级以上的竞赛证书等的证明,因此所有努力是徒劳的。在朋友的劝慰下我走出了这段晦暗的时期,继续踏上那条前路似无光的寻书之旅。奇迹的是,我此后竟未被生活击倒过。

 

在大二、大三时专业基础课愈来愈多,留给自学的时间也日渐递减。我选择将更多的精力投入到自学中,自然而然挂了好几科。然而,与此同时我走出了迷茫期和寻书之旅,并确定了当时喜欢的方向——概率论。我用了几个月的时间初学了一些书籍,如王梓坤《概率论基础及其应用》、Durrett的概率论、JunShao的数理统计和Ross的随机过程。

 

后来在阅读了潘承洞先生的《阶的估计基础》后,我发现更喜欢的是一直在被偏废的渐近分析。我是足够幸运的,因为我能比一些朋友更早知道自己的兴趣爱好;我也应该省思,因为这一过程耗费了本应绽放的青春。

 

大三下、大四上开始为考研准备,但择校成为了最大的问题。我的兴趣尚算广泛,准确来说很偏(渐近分析、特殊函数、解析数论),含解析数论方向的学校大多考研难度大,而含前两者的学校几乎没有,所以备选的学校很少。在一番衡量后我选择解析数论方向,正当满心欢喜地备考时,专业课来了。在大一到大三上,我们都在学习专业基础课,大三下开始才学习真正的专业课。这对我来说,无疑是极大的考验。

 

当我全部通过以后,迷茫期的代价姗姗来迟——机械制图与机械设计是对我而言最难的两门课,它们需要重修,此时距考研初试只有一月余。经过一番思想斗争,我决定放弃考研,并竭我所能通过它们,最终如愿以偿。

 

如果用一个词概括大学生活,我选择“俯拾仰”,即一举一动都有收获。在社团活动中,我负责心理协会的公众号运营与青年报的评论撰写,这些活动让我明白了什么是“因热爱而坚持”;在网络平台上,我学会了写博客和运营自己的数学公众号,我从中体会到了什么是“因坚持而热爱”。我的大学生活是云层下的光,指引着我走向成熟,我将永志不忘这四年时光。

 

等毕业后,也就是去年,我全身心地投入考研,现在已被志愿高校拟录取。不太恰当地说,“细思皆幸矣,下此便翛然”。当然,不取“老”之意。

 

学习历程皆陈于此,接下来我想聊聊网络数学竞赛。

 

第一次接触它是在参加Xionger网络数学竞赛(下称:熊赛),值得一提的是熊赛自其诞生就广受关注与好评,但唯一的败笔是近几年的分数和最终排名未能公布。我参加的是第二届,当时高手如云,题目值得玩味,而后一届题目数量翻倍,加之熊哥平时很忙、供题人集不全,赛后题目便改不完了。我只参加了一届赛,此后没有参加网络竞赛与各种线下竞赛。但我举办过两届团子杯网络数学竞赛,也为熊赛和八一杯数学竞赛供过题。当然,Binger杯数学竞赛也没落下,但是举办者处于半退网状态,第二届也便没举办起来。

 

在我看来,网络数学竞赛应是一场盛筵,智者得以提升,慧者得以洞悉,而平庸者如我得以开阔眼界、培养文献检索能力以及与更多人交流。

 

谈谈我的经验吧!起初我在各种习题书中寻找偏难怪的题目,但转念一想,网络竞赛不是要选拔人才,也不是真正的竞赛,而是出题人与答题者互相学习交流的一次绝佳的机会。于是我转向寻找趣味性、普适性的问题。为熊赛和八一杯提供的是难题,自然无人答出,此后我多次反思,决定降低难度、仍保持普适趣味性但架构纸老虎——能用简单知识解决的难题,这一次又给八一杯献上两题,后来发现每题都有人给出正确解答,甚至给出了新解法。

 

我在大二时开始运营数学公众号。起初用AxMath来编写公式再生成图片上传平台,但这样会使排版很乱。接下来我学用LaTeX,将编译出的文件截图再上传,这一阶段收获颇丰。后来我发现之前的文章美观与简陋并存,一狠心便注销了公众号,然后重新注册,用mdnice网页的粘贴功能开始了美观之旅。

 

我编写过《阶的估计基础》习题解答,此过程可谓“大胆假设,小心求证”。想我所想,但也向诸多朋友、学长请教,以保证解答的严谨性。

 

网络上数学的小圈子里常称彼此为“数学人”。那么,究竟怎样才算一个合格的“数学人”呢?在我看来,这与“数学”和“人”密不可分。我们不仅仅需要“数学品位”和“数学钻研”,更需要向人请教和适当的人际交往。

 

 

请允许我讲一些关于学习的粗浅的见解:

 

  1. 不忘初心 或许忘掉了不少曾学过的理化生知识,但我时刻不敢忘初心。我是一个愚笨的人,没有数学天赋,对数学是喜欢但谈不上热爱。且听我言,一位好朋友的室友本科在北大医学系读书,后来拿到了医、数双学位,目前是基础数学的在读硕士。与他相比,我面前的高山只算缓坡。每个人的路应由自己走,学习也应是自己的事。论他人是如何渡过困厄的,就个人而言,走出迷茫和困厄的最好的办法便是不忘初心。

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2. 保持热情 我也曾懈怠,但这只会使我胸无点墨。以我为例,我的热情之火被屡次碰壁的经历所磨灭,由是学习效率低下,只能用比别人更多的时间来弥补学习上的亏空,这也让曾经的我信心大减。即使面临窘境,也请务必保持热情,请相信我的诗中写的“我的肩上落有闪着青光的萤火,它能带来满天的星光,映衬着天上的云雨声、海上的风涛声”。

 

3. 广交诤友 我很幸运地交到了一群诤友,但为此也很惭愧,因为他们给予了太多的帮助而我帮不上他们。在我失落时,他们会安慰我;在我不知道如何进一步学习时,他们给予中肯而详尽的建议。人生之途漫漫,一定孤独,但有了诤友,未来不会再黯淡,至少它能开出苦涩的花,不是吗?

 

4. 莫羡他人 准确地说,不要只羡慕他人的成功,不要总攀比。这些年我见到了很多不良的学习风气,比如“膜”“卖弱”,意即不论别人如何都去膜拜、不论如何都说自己水平很低;再如“如何评价”,意即如下的现象:常问如何评价某人才大二就这么厉害,每年都问如何评价期末考试题目这么难等等。这些既不利于学习,也不利于生活。学习是一条崎岖蜿蜒的山路,你既需要攀登,也需要抵制崖间的花香诱惑。

 

苦行之旅,应旷达随性。席慕蓉在《诗的旷野》里写道:“文字并非全部‖生活也不是 我们其实‖不需要逼迫自己‖去证明这一生的意义和价值‖在诗的旷野里‖不求依附 不去投靠‖如一匹离群的野马独自行走‖其实 也并非一无所有‖有游荡的云 有玩耍的风‖有潺潺而过的溪流‖诗 就是来自旷野的呼唤‖是生命摆脱了一切束缚之后的‖自由和圆满”。

 

苦行之旅,应常省思。我现在能独立地发现学习中暴露出的一些问题,比如自卑、易懈怠。我为自己开了一剂良方“悟学知心,斩棘披荆”,要不断地了解自己,要有迎难而上的决心。当我上下求索时,收获或许很少但成长很快,我有勇气也有信心

 

 

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可能是自俄罗斯方面关于国际数学家大会最后的声明

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前文提到,国际数学家大会的官网(icm2022.org)现在用其域名已经无法登录网站,而是跳转到国际数学联盟IMU的官网首页。而其官推在2022年2月11日之后就没有动态了,在IMU正式确定国际数学家大会完全线上举行后,ICM2022官推用图片形式发布了来自原俄罗斯举办方的四位教授的声明。这可能会是自俄罗斯方面关于国际数学家大会最后的声明。

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全文如下:

 

 

我们谴责疯狂、非正义以及威胁人类生存不可逆转的战争。虽然我们的损失和数百万乌克兰人民的损失和他们正在遭受的苦难无法相提并论,但我们也痛心的看到我们多年以来的全部梦想和全部努力毁于一旦。我们努力的目标和现在正在发生的可怕事件以及相应的责任渐行渐远。不过,环顾我们已经破碎的梦想,我们依然感到我们背负了一笔巨额的债务,在我们这代人的有生之年都无法偿还。

 

德米特里·贝利亚耶夫(牛津大学教授)

安德烈·奥昆科夫(莫斯科大学教授,2006年菲尔兹奖得主)

茱莉亚·佩夫佐娃(华盛顿大学教授)

斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫(圣彼得堡大学教授,2010年菲尔兹奖得主)

 

——编者注:各个教授的身份为小编补充

 

 

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原定俄罗斯举办的2022国际数学家大会改为全线上举行

 

 

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编者按:国际数学联盟(IMU)官网发布声明,原定俄罗斯举办的2022国际数学家大会改为全线上举行。截至发稿为止输入原ICM官网网址已经无法正常打开网页,而是跳转到IMU官网首页。本文是翻译IMU的官网发布的声明,该声明立场并不代表小编立场。我们和发言人立场一致——站在和平、正义的一边。

 

 

国际数学联盟(IMU)执行委员会决定如下:

 

1、 2022国际数学家大会(ICM)将完全线上举行,主会场不会设在俄罗斯,但议程按照圣彼得堡线下计划的时间表进行。

2、 参加线上举办的国际数学家大会免费。

3、 国际数学联盟全体大会(General Assembly , GA)将在俄罗斯之外的地方线下举办。

4、 联盟全体大会之后一天,在相同会场举行颁奖典礼, 颁发国际数学联盟2022年度的奖项。

5、 国际数学家大会和国际数学联盟全体大会的日期不变。

6、 我们将进一步补充关于这两个活动更多的实用信息。

 

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18届国际数学联盟全体大会决定把2022年国际数学家大会举办权授予俄罗斯圣彼得堡。为了大会的成功举办,俄罗斯的同事在抗击全球疫情的大背景下,为准备大会做出了令人钦佩的奉献。我们对这些工作表示衷心感谢。在此之前的7月份,在圣彼得堡已经举行了一次全体大会的会议。

 

 

国际数学家大会是聚集全世界数学家的会议,其地位不可或缺。它抛开政治和文化差异,讨论数学。国际数学联盟全体大会是国际数学联盟的最高会议。在这个会议上,每隔四年会做出包括换届选举和预算在内的重要决议。

 

 

但是,最近俄乌局势发生剧烈变化。俄罗斯的行动受到世界范围的谴责,已经不可能在俄罗斯举办线下活动。实际上,联合国秘书长在2022年2月23日就呼吁:“出于人道,不要让这场战争在欧洲爆发,这可能是本世纪初以来最严重的战争。”这一呼吁并没得到重视。

 

 

我们,国际数学家大会执行委员会,对局势进行了深入分析。我们强烈谴责俄罗斯的行动,并对乌克兰的同行和人民致以最深切的同情。

 

 

如此形势,国际数学联盟已经不可能按照惯例让国际数学家大会和国际数学联盟全体大会在俄罗斯线下举行。参照华沙国际数学家大会的先例,我们考虑过把国际数学家大会推迟一年的可能性。但是,一年后局势如何发展也不明朗,所以这个选项不可行。另外一个选项是完全取消国际数学家大会的举办。国际数学联盟认为这个选项过于激进,没有必要,也对数学界无益。当下,我们的最后选择的是按原来的时间表完全线上举办。报告人可以选择提交录播视频演讲,也可以选择线上直播演讲。我们理解时差会带来很多问题,但是大会议程紧凑,别无选择。不过,参加线上形式国际数学家大会是免费的。这需要大量的组织工作,我们将尽快提供更多细节。

 

就国际数学联盟全体大会而言,面对面的会议非常重要。然而,由于不能在圣彼得堡会面,我们的全体大会将在俄罗斯以外举办。

 

 

国际数学联盟执行委员会,2022年2月26日,于柏林

 

 

 

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俄乌局势对数学的影响:2022国际数学家大会还能按原计划举行吗?

 

 

 

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2022年国际数学界最大盛会必然是定于7月在俄罗斯举行的国际数学家大会(ICM),世界上最优秀的数学家届时汇聚一堂,参加这个四年一度的数学交流活动。另外,大会最重要的一个议程莫过于颁发菲尔兹奖的新得主,这个奖项被誉为数学界最高奖项之一。

 

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然而,俄罗斯和乌克兰两国局势的剧变,让这个大会的举办充满了变数。

 

 

 

 

美国数学会在其官网发表了如下声明:

 

美国数学学会(AMS)领导团队对当前的乌克兰局势及其对计划于俄罗斯圣彼得堡的2022年国际数学家大会 (ICM) 的影响感到担忧。国际交流活动对数学的健康发展至关重要。国际数学家大会也是支持和庆祝这些发展的不可替代的契机,但当前局势并不支持。美国数学会没有计划参加在圣彼得堡举行的会议。我们也敦促国际数学联盟不要在 2022 年 7 月在俄罗斯举办国际数学家大会。

 

AMS-NSF-Simons-ICM旅行资助项目(为参加国际数学家大会的师生提供交通补助的项目——哆嗒数学网编者注)已暂停。已经通过申请的人士将收到来自美国数学学会的进一步通知。

 

美国数学学会是一个由全球 30000 名个人和 570 家研究机构组成的专业协会,致力于推进数学研究和学术交流,并通过提供学术出版、学术会议、宣传活动、求职服务等方式联系全球数学界。

 

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欧洲数学会的官网,到发稿为止还没针对俄乌局势的声明。

 

伦敦数学会官网的声明是,“强烈建议国际数学联盟不要在2022年7月在俄罗斯举办国际数学家大会”。

 

主办方的ICM2022官网,目前没有受到俄乌局势影响。

 

国际数学家大会相关事宜的决定方国际数学联盟的官网依旧在醒目位置展示将在2022年7月举办国际数学家大会,但是加粗了一个注意事项,表述为:国际数学家大会按计划将于2022年7月6日至14日举行,如果局势发展需要,大会的部分内容将线上举办。

 

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愿世界和平!

 

 

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第二轮“双一流”建设数学学科名单

 

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根据教育部官网2月14日消息,《关于公布第二轮“双一流”建设高校及建设学科名单的通知》发布,我们哆嗒数学网小编最关心的是数学学科建设名单。

 

 

首先,公布的高校名单中,北京大学、清华大学两所高校并未列出具体的学科建设名单,而标注的是“自主确定建设学科并自行公布”。按教育部相关发言人解释,这是扩大高校建设自主权的举措,先行赋予北京大学、清华大学两校学科建设自主权。让两所高校编制完成建设自主权扩大整体方案后,自行公布建设学科。不过从两所学校的历史底蕴和近几年的对数学学科的投入来看,这两所高校把数学学科列入名单几乎板上钉钉。

如果把北京大学、清华大学计算在内,本轮名单共有15所高校的数学学科被列入“双一流”建设学科名单,比第一轮名单数量上增加1所。其中湘潭大学和南方科技大学是新被列入名单的高校。而首轮被列入名单的东北师范大学的数学学科被撤销。

下面是“双一流”建设数学学科的完全名单(以学校代码为序)

北京大学(自主确定建设学科并自行公布)
清华大学(自主确定建设学科并自行公布)
北京师范大学
首都师范大学
南开大学
吉林大学
复旦大学
上海交通大学
中国科学技术大学
山东大学
湘潭大学(新)
中南大学
中山大学
四川大学
南方科技大学(新)

给予公开警示(含撤销)的首轮建设学科名单:

东北师范大学:数学学科予以撤销,根据学科建设情况调整为“教育学”

 

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2022年沃尔夫数学奖得主公布

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根据沃尔夫奖官方网站消息,2022年沃尔夫数学奖获奖者发布,美籍罗马尼亚数学家,麻省理工学院教授乔治·卢斯蒂格(George Lusztig) ​​​获得该奖,表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。

卢斯蒂格教授是表示论和代数几何方面的顶级专家。他证明了表示论中许多中心问题与舒伯特簇的拓扑和几何相关联。表示以及相关的舒伯特簇结构是复杂的,卢斯蒂格找到了组合论的工具来刻划它们的拓扑和几何。利用这些工具,卢斯蒂格以及其它数学家推动了重要的发展,使人们改变了在该领域的思考方法,对表示和舒伯特簇的深层次的理解成为可能。

因为相关方面的研究,卢斯蒂格还获得过1985年柯尔代数奖,2008年斯蒂尔终身成就奖,2014邵逸夫数学奖。

沃尔夫数学奖被视为数学界最重要的三大奖项之一,大多数时候为每年颁发一次。2021年沃尔夫数学奖空缺,没有颁发。著名华人数学家陈省身、丘成桐分别在1983年和2010年获得该奖。

 

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复数在现实中刚被发现?

 

 

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这几天总有人cue我们哆嗒数学网的小编关于一则新闻的看法,这是中科大官网在其首页发布的一篇新闻稿,标题叫《中国科大首次实验排除实数形式的标准量子力学》,大意是说中科大的潘建伟、潘建伟、陆朝阳等人与国外研究机构合作,“排除以实数形式描述标准量子力学的可能性”。

 

看标题和主要内容,是中科大的又一个科研成果的报道,还是中规中矩。但是文章中的一句话,让人有点不明就里。文章原文写道:“证明了实数无法完整描述标准量子力学,确立了复数的客观实在性。”尤其后一句的“确立复数的客观实在性”。

 

 

 

确立“客观实在”是非常烧脑且困难的问题。哲学史上发生过这样的讨论,如何确立一个东西是客观实在呢?你得有一个标准吧,先给一个实在的定义吧。于是有人说,我要是能实实在在看见某件东西,那东西就是客观实在的。于是有人反驳,如果你闭上双眼,什么也看不见,这世界上就没有客观实在的东西吗。于是又有人说,我看不见,别人能看见也行,也算客观实在。于是,有人继续反驳,海洋深处有一条所有人没见过的鱼,在渔夫没打捞上来的时候,没人见过,那么这条鱼是被打捞上来的时候,才成为实在的吗?于是,他们又有了新的解决方案,把“上帝”请了出来,上帝他能看见的就是实在……

 

 

数学哲学中,也有一个很烧脑的问题。数学本身是宇宙中的客观的实在,还是说它只是人类大脑中的造物。或者说数学是发明还是发现。很多人如果没有深入思考过这个问题,会脱口而出,当然是发现,1、2、3……,三直线、角形、圆形都摆在那里,实实在在的,我们只是用我们的符号表述了它。但进一步想,真正直线存在吗?直线上的无穷多个点,真的是客观存在的吗?或者说,这种数学中关于无穷的表述,是一种关于实在的表述吗?《几何原本》中,那种无法分割,没有大小的点,人类真发现过?如此这般,数学到底是发明还是发现,你是不是开始动摇了。

 

 

还有一种关于这个问题更烧脑的引申:如果遥远一个行星上有一种智慧生物,但和人类不一样的是他们是类似“虫族”蜜蜂的生物群体。有蜂后、蜂王、工蜂之类的天然差别,他们分工不同,能有能力输出智力成果只有蜂王,其他工蜂提供蜂王思考的所需,然后集体产出智力成果。那么,这种生物研究出来的数学,和人类是否一样?——如果你之前认同的是数学是大脑的造物,那么这里不同结构大脑产生的数学,就可能是不同的。如果的确是一种对实在的发现,那么这里的两种数学应该相同。

 

上面的问题真不是在杠,的确是一些严肃的哲学或者数学哲学中的问题。因为问题复杂,一些数学哲学家甚至认为数学既是发明,也是发现,需要具体问题具体分析。

 

而得到问题答案不是最重要的。讨论哲学里的问题,大多时候,目标不是为了得到一个确信的答案,而在于思考和讲道理的过程,在这样的过程中能得到思考方式、证明方式才是真正重要的收获。人类历史中,从思考宇宙是什么开始,我们在讨论过程中知道了首先看清宇宙,要看清宇宙我们就要有看清的工具,于是有了望远镜,还有了各种宇宙探测器。

 

回到这里的主题。你现在知道要证明“确立复数的客观实在性”是多么困难的问题了吧。

 

我们的总结如下:

 

一、如果你坚持全部数学都是人脑中的造物,那么你无论怎么样的物理实验都无法确立它。

 

二、如果你认为数学是一种客观实在,需要用实验确立这种实在性。这种实验也许能提供一个视角。但是,在量子力学出现之前,复数已经出现在了其他学科中被冠以了各种物理意义。不能说,只有标准量子力学的实验结果才能确立它。

 

所以,我们认为,这个表述多少有点夸张了。

 

值得注意的是,有网友指出,这篇文章挂在预印本网站的初版是这样说的:

 

Our results disprove the real-number description of nature and establish the indispensable role of complex number in the quantum mechanics

我们的结果证了关于自然的实数描述,确立了复数在量子力学中不可或缺的作用。

 

之后修改成了:

Our results disprove the real-number formulation and establish the indispensable role of complex numbers in the standard quantum theory

我们的结果证了关于实数的公式,确立了复数在标准量子理论中不可或缺的作用。

 

 

无论如何,也没有哪一句,有中科大新闻稿中那句话那么夸张。

 

 

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数学家最重要的素质:让数学好玩

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2022年,世界国际数学家大会(ICM)将在俄罗斯的圣彼得堡召开。大会的组委会早些时候公布了本届大会的特邀报告人,并采访了其中来自俄罗斯的数学家。

 

叶夫根尼·费金(Evgeny Feigin), 物理和数学科学博士,俄罗斯高等经济学院数学系教授,同时也是俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院教授。本次大会受邀作45分钟报告。这个访谈有意思的在于,我们可以窥见俄罗斯基础数学人才的培养轨迹。

 

 

 

——你是如何进入数学领域的?

 

从8年级开始,我就在莫斯科第57中学数理班学习。我们有很多数学内容在学,各种门类,而且非常严肃。我的数学生涯从这个时候就开始了。进入大学的前一年,我上了一个数学数学夜校。一方面是处于兴趣,另一方面也是进入大学的学前准备。从某种意义来说,我真正的数学学术工作从那时开始。

 

 

当我从中学毕业后,我同时进入了莫斯科国立大学和莫斯科独立大学学习(独立大学这里提供五年制的学习,但不授予学士和硕士学位)。在校期间,我非常清楚第一年该做什么。我想学习更多的新东西,我要不断地给自己的学习加码。这几学期,独立大学让这些成为可能。强力的老师,有趣的课程,稍不注意成绩就会考不好,等等。我在那儿选了很多有难度的课程。可以说,独立大学可以看成一个入门学校,有一些学生只在独立大学一所学校学习,但这样的学生很少。总的来说,独立大学被看成是一种提供额外学习的学校。

 

 

我重这两所大学毕业后,我进入研究生的学习。答辩后,我得到了一份的德国科隆大学的博士后职位,在那边待了一年。

 

 

——同时学习两所大学的课程是不是会很难?

 

 

不太容易。独立大学的课都在晚上,莫大的课在白天。所以,我每天都一直在上课。无论是协调时间还是协调精力都有难度。但我有个优势,我在57中学到的知识,让我能学得更轻松一点。

 

独立大学不是一个常规的教育机构。这里没有全日制的培养,是专门的额外补充教育。这里的课程的老师都是非常强的数学家。一个不太为人知的情况是,高等经济学院的数学系是十多年前由有独立大学的骨干教授团队决定设立的。我这一代做数学的人很多都有独立大学的背景。

 

——作为一个数学家,你现在在做什么

 

简而言之,我在做可在代数几何、数学物理和组合学中的应用的表示论。宏观来说,表示论是一种通过变换来研究对象的方式。这些对象可能是几何图形、代数结构或者离散对象。通过观察内部结构,你可以描述你感兴趣的对象。我最喜欢的就是表示论有着大量应用。这再一次证实,数学不是被分割成独立的部分,而是一个大而统一的整体。表示论很好的说明了这一点,它很自然的出现在数学和物理的不同领域中。

 

 

——你怎么进入这个方向的?

 

从学生时代我就开始学表示论了,表示论的涉及的范围很广,你可以在学表示论的同时学习概率论、代数几何、量子场论、凸几何或组合学。

 

——你准备在国际数学家大会的做哪方面的报告?

 

在这次大会上,我将讲一下我在半单李代数的有限维表示的工作进展。简单的说,这种方法基于利用Poincaré-Birkhoff-Witt 定理对表示进行阿贝尔化的思想。在这种方法的框架下,有可能获得关于代数、几何和组合性质的经典对象的许多结果,以及发现与箭图和凸几何表示论数学分支的意想不到的联系。我就准备谈谈这些。

 

——对于国际数学家大会,你怎么看?

 

实际上,我从来没有去过国际数学家大会。这是一个盛大的活动,大量数学家从世界各地汇聚到此。当然,国际数学家大会是一个科学学术活动,但是它也带来了巨大的社会效应和和普及效应。国际数学家大会向世人展示了数学的浩瀚如烟。学者们一般在一起都是开小议题的学术会议,他们讨论某个方向框架下的狭窄议题。国际数学家大会在具体的学术交流上可能效率不高,但是国际数学家大会有巨大的社会影响力。

 

——你为什么会受邀成为国际数学家大会的报告人?是因为某项具体的工作吗?

 

国际数学家大会有一个专门的国际委员会负责报告人的邀请名单。数学是一门很艰深的科学,很难在短期内评估一位数学专家。确实有那种某个数学家通过一两个成果对某个领域带来巨变,但是这相当罕见。通常情况下,对数学成果的评估需要很多年时间。

 

 

 

——对一个数学家来说,最重要的素质是什么?

 

最重要的事情就是让数学变得有趣。数学家应该被新思想带来的快乐、研究中的美妙事物所驱动前进。数学科学应该是“燃”起来的,思考它的时候是非常好玩的。

 

2022年,世界国际数学家大会(ICM)将在俄罗斯的圣彼得堡召开。大会的组委会早些时候公布了本届大会的特邀报告人,并采访了其中来自俄罗斯的数学家。

 

叶夫根尼·费金(Evgeny Feigin), 物理和数学科学博士,俄罗斯高等经济学院数学系教授,同时也是俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院教授。本次大会受邀作45分钟报告。这个访谈有意思的在于,我们可以窥见俄罗斯基础数学人才的培养轨迹。

 

 

 

——你是如何进入数学领域的?

 

从8年级开始,我就在莫斯科第57中学数理班学习。我们有很多数学内容在学,各种门类,而且非常严肃。我的数学生涯从这个时候就开始了。进入大学的前一年,我上了一个数学数学夜校。一方面是处于兴趣,另一方面也是进入大学的学前准备。从某种意义来说,我真正的数学学术工作从那时开始。

 

 

当我从中学毕业后,我同时进入了莫斯科国立大学和莫斯科独立大学学习(独立大学这里提供五年制的学习,但不授予学士和硕士学位)。在校期间,我非常清楚第一年该做什么。我想学习更多的新东西,我要不断地给自己的学习加码。这几学期,独立大学让这些成为可能。强力的老师,有趣的课程,稍不注意成绩就会考不好,等等。我在那儿选了很多有难度的课程。可以说,独立大学可以看成一个入门学校,有一些学生只在独立大学一所学校学习,但这样的学生很少。总的来说,独立大学被看成是一种提供额外学习的学校。

 

 

我重这两所大学毕业后,我进入研究生的学习。答辩后,我得到了一份的德国科隆大学的博士后职位,在那边待了一年。

 

 

——同时学习两所大学的课程是不是会很难?

 

 

不太容易。独立大学的课都在晚上,莫大的课在白天。所以,我每天都一直在上课。无论是协调时间还是协调精力都有难度。但我有个优势,我在57中学到的知识,让我能学得更轻松一点。

 

独立大学不是一个常规的教育机构。这里没有全日制的培养,是专门的额外补充教育。这里的课程的老师都是非常强的数学家。一个不太为人知的情况是,高等经济学院的数学系是十多年前由有独立大学的骨干教授团队决定设立的。我这一代做数学的人很多都有独立大学的背景。

 

——作为一个数学家,你现在在做什么

 

简而言之,我在做可在代数几何、数学物理和组合学中的应用的表示论。宏观来说,表示论是一种通过变换来研究对象的方式。这些对象可能是几何图形、代数结构或者离散对象。通过观察内部结构,你可以描述你感兴趣的对象。我最喜欢的就是表示论有着大量应用。这再一次证实,数学不是被分割成独立的部分,而是一个大而统一的整体。表示论很好的说明了这一点,它很自然的出现在数学和物理的不同领域中。

 

 

——你怎么进入这个方向的?

 

从学生时代我就开始学表示论了,表示论的涉及的范围很广,你可以在学表示论的同时学习概率论、代数几何、量子场论、凸几何或组合学。

 

——你准备在国际数学家大会的做哪方面的报告?

 

在这次大会上,我将讲一下我在半单李代数的有限维表示的工作进展。简单的说,这种方法基于利用Poincaré-Birkhoff-Witt 定理对表示进行阿贝尔化的思想。在这种方法的框架下,有可能获得关于代数、几何和组合性质的经典对象的许多结果,以及发现与箭图和凸几何表示论数学分支的意想不到的联系。我就准备谈谈这些。

 

——对于国际数学家大会,你怎么看?

 

实际上,我从来没有去过国际数学家大会。这是一个盛大的活动,大量数学家从世界各地汇聚到此。当然,国际数学家大会是一个科学学术活动,但是它也带来了巨大的社会效应和和普及效应。国际数学家大会向世人展示了数学的浩瀚如烟。学者们一般在一起都是开小议题的学术会议,他们讨论某个方向框架下的狭窄议题。国际数学家大会在具体的学术交流上可能效率不高,但是国际数学家大会有巨大的社会影响力。

 

——你为什么会受邀成为国际数学家大会的报告人?是因为某项具体的工作吗?

 

国际数学家大会有一个专门的国际委员会负责报告人的邀请名单。数学是一门很艰深的科学,很难在短期内评估一位数学专家。确实有那种某个数学家通过一两个成果对某个领域带来巨变,但是这相当罕见。通常情况下,对数学成果的评估需要很多年时间。

 

 

 

——对一个数学家来说,最重要的素质是什么?

 

最重要的事情就是让数学变得有趣。数学家应该被新思想带来的快乐、研究中的美妙事物所驱动前进。数学科学应该是“燃”起来的,思考它的时候是非常好玩的。

 

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2022国际数学家大会启动志愿者招募

 

 

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​2021年12月,2022年国际数学家大会(ICM)组委会在其官方网站宣布,启动了该届大会志愿者的招募程序。招聘需求和流程都能在ICM官网找到。

 

2022年国际数学家大会定于2022年7月6日至14日在俄罗斯的圣彼得堡举办。新一届的菲尔兹奖届时也会在大会上公布。菲尔兹奖有着“数学届的诺贝尔奖”的称谓,被认为是数学领域的最高奖项之一(部分人认为“之一”两字可以去掉)。

 

志愿者被要求必须年满18周岁,并有熟练使用俄语和英语与人交流的能力。如果你能熟练使用其他语言,诸如中文、西班牙语、法语、德语等,这些语言能力能成为你的加分项。同时组委会也希望,申请人热爱数学,遵守志愿者计划规程,并有出色团队合作能力。

 

志愿者会被安排在本届数学家大会的各种活动的各个场馆,包括全体大会、相关文化活动和商业活动场馆。志愿者的主要工作是:参会者认证、机场及火车站的宾客接待、参会者的指引和问询支持、在新闻中心、会展中心等场所与协助记者。

 

 

每一个志愿者将接受相关培训,以及来自志愿者中心专家的必要指导。此外,组委会认为参与国际数学家大会是提高你专业技能和沟通技巧的绝佳途径。组委会还会为志愿者举办一个盛大的派对,另外每一位志愿者都会收到来自大会的个性化的感谢信。

 

 

 

 

组委会宣传成为ICM志愿者是一个独一无二的自我提升机会和个人经历,他们总结的成为的志愿者好处。

 

成为志愿者的好处:

 

能参加一个四年一度的世界上最重要的数学盛会

加入国际数学届

交到新朋友

英语的具体实践以及了解其他语言

这是一个可以得到就读大学认可的社会实践活动

提高专业技能、沟通技巧以及其他能力的提升

收到大会的礼品和专属纪念品

享受一次数学盛宴,难忘的经历

参加签名会

参加大会志愿者的散伙饭派对

 

 

志愿者大礼包括以下内容:

 

国际数学家大会专属志愿者服装

专业培训

免费住宿

免费餐食

免费交通

参与证书

健康保险

 

 

最后提示一下,这个活动的重要时间点:

 

申请截至日期:2022年3月1日

面试时间:2021年12月—— 2022年4月

功能区和班次安排:2022年4月

培训:2022年6月

证件和制服发放:2022年6月

服务时间:2022年7月

 

 

 

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这位世界级数学大师当初选择学数学的原因竟然是……

翻译,math001,哆嗒数学网翻译组成员

本文原载于ICM2022官网

 

           

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前苏联数学家的柯尔莫哥洛夫是现代概率论的创立者之一。另外,柯尔莫哥洛夫还对拓扑学、几何学、数理逻辑、经典力学、湍流理论、算法复杂性理论、信息论、函数论、三角级数理论、测度论、函数逼近论、集合论、微分方程理论、动力系统理论、泛函分析诸多领域有所涉猎。他的成果对现代数学产生了深远影响。

 

 

初入数学

 

1903年4月25日柯尔莫哥洛夫出生于坦波夫。他的父亲是一名农艺师,而他的母亲玛丽亚·柯尔莫哥洛娃却因难产而死。这位未来的数学家实际上是被他母亲的姐妹们带大的,其中薇拉·柯尔莫哥洛娃是他的法定收养人。姐妹们为当地的孩子经营了一所学校,学校还办了一本叫做《春燕》的杂志。孩子们在《春燕》上发表自己创作,有诗歌、绘画还有各种小故事。柯尔莫哥洛夫的第一个数学”成果”也在这个杂志上发表:他发现前几个奇数之和一定是完全平方数,比如1+3+5=3²。

 

 

1910年,柯尔莫哥洛夫和他的姨妈搬到莫斯科,以便柯尔莫哥洛夫能进入一所预科学校学习。他们选择了私立的雷普曼预科学校。这是一所拥有一流教师的教育机构,这个机构采用了一系列当时看来比较独特的教学方法(一些方法现在看来也很独特)。比如,男女不分班,老师不给学生打分数,如果学生对某学科有兴趣,学生可以跨班到高中班学习。

 

 

1920年,柯尔莫哥洛夫进入莫斯科大学数学系学习。起初,柯尔莫哥洛夫感兴趣的是俄国史,而且研究非常深入。他利用15、16世纪抄书吏留下的材料对下诺夫哥罗德的土地问题进行研究。前苏联历史界的领军人物亚宁这样回忆柯尔莫哥洛夫退出历史研究的原因:“柯尔莫哥洛夫多次说过他不再搞历史的情况。当他在讨论班上对他的研究作报告的时候,讨论班的主持人巴赫鲁申教授非常认可报告的成果,但是他说柯尔莫哥洛夫的结果并不完全可靠。因为,在历史学里,每个结论都需要多个证据的证明来确定。说到这,他总是说:‘我之所以决定投身科学领域,因为那里只需要一条证明就能得到最终结论。’”就这样,历史学界永远失去了一位学术天才,而数学界却多了一位巨星。

 

 

柯尔莫哥洛夫这样描述他进入数学研究的情况。“在决定进入严肃的科学领域之前,我当然要力争向最好的数学家学习。我非常幸运,我能和乌里松、亚历山大洛夫、斯特潘诺夫一起学数学,另外鲁津是我学习过程中最主要的的老师。”

 

 

在莫斯科大学学习期间,柯尔莫哥洛夫经历了严重的经济困难,但是数学方面的成功大大弥补了他生活上的不方便。奖学金不足以能完全应付日常开销。“我通过一年级考试的头一个月, 作为一个二年级的学生,我可以得到每月16千克面包和1千克黄油的配给。对于那个年代,这是一个丰盈的物质保障。我为自己置办了衣物,还自己亲手做了自己穿的木鞋。”

 

 

随着时间的推移,柯尔莫哥洛夫对数学越来越感兴趣。终于,柯尔莫哥洛夫得到了实分析学大师鲁津的注意。随后这位数学新秀成为鲁津的研究生。在整个1920年代,这位数学家都在这个领域一丝不苟的耕耘。

 

 

初露锋芒

 

 

1922年,柯尔莫哥洛夫因为构造了一个傅里叶级数处处不收敛的可积函数而闻名世界。每个可积函数可以表示为无限个正余弦曲线之和——即傅里叶级数。取出这个无限和的前面部分,并计算部分和可以得到一个序列,这个序列可以收敛于一个确定的数。19岁的大学生柯尔莫哥洛夫给出一个不成立的反例,震惊当时的数学界。

 

 

1924年,这位数学家开始研究概率论和大数定律。大数定律是描述大量重复实验结果表现的一个理论。他证明了大数定律的一个版本(柯尔莫哥洛夫强大数定律),独立同分布的随机变量变量适用于大数定律的充要条件是每个随机变量期望存在。柯尔莫哥洛夫是在和另外一位前苏联概率论顶级专家辛钦进行长期和卓有成效的合作后,得到这个成果的。

 

 

一般认为,柯尔莫哥洛夫对概率论方面有一项影响重大的工作,他给与了概率论以现代视角。他对概率论提出了一个公理化方案,这项方案至今被绝大多数领域内专家接受。

 

 

1925年,这位杰出的数学家发表论文《排中律》,这篇文章解决了两大数学哲学流派的争执:形式公理派和直觉主义派。柯尔莫哥洛夫证明了直觉主义中不能使用的(超限归纳中的)排中律并不一定破坏证明的构造性(排中律是说命题“A”和“非A”必有一件为真,没有第三个可能)。他能够证明,所有按照经典形式逻辑规则推导的公式,通过特别的转换,都可以化为直觉主义逻辑的可推导公式。

 

 

1931年,柯尔莫哥洛夫被推举为莫斯科大学教授,1935年到1939年期间,他担任该校数学力学研究所所长。1933年他提出了一种非参数检验的方法,这个方法今天称为柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验(K-S检验)。此方法可用于样本和参考概率分布的验证比对。

 

 

军事研究

 

 

二战期间,所有的研究都为军事服务,柯尔莫哥洛夫研究了炮火的最佳散布策略(人工散布)。战后,他重返了和平的研究。1930年代后期,柯尔莫哥洛夫一直对湍流问题感兴趣,他在1941、1942年和1962年的著作中对此进行了研究。他发展了“局部各向同性湍流”理论,这些研究有助于进一步描述湍流的结构。1946年,这位数学家在苏联科学院地球物理研究所建立了大气湍流实验室。 

 

1953年,柯尔莫哥洛夫提出“算法”的一种新定义。这个定义的特别之处是,问题本身和问题的解都以某种一维拓扑复形的形式表示,算法过程的每个阶段都是将一个复形处理成另一个复形(通过特定的规则)。

 

 

改革家

 

 

1960年代,苏联领导人决定对数学教育和教学体系改革,因为当时的数学课程教给学生的知识过于陈旧,最新的数学成果完全没有涉及。柯尔莫哥洛夫在这些改革中发挥了非常重要的作用。在他的领导下,新的课程和教材被开发出来,并陆续再版。

 

 

 

1976年,柯尔莫哥洛夫在莫斯科大学力学数学系建立了数理逻辑部。1980年,柯尔莫哥洛夫担任该部主任直到1987年逝世。纵观柯尔莫哥洛夫一生,他获得了大量奖项和荣誉,得到了广泛认可,这些认可远远超出了数学界。

 

 

 

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2021软科中国最好学科数学学科排名公布

 

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”10月25日公布了“2021中国最好学科排名”,包括96个一级学科,其中也包括了数学学科排名。

 

 

数学学科的排名对象是在该校保有数学学科学术型研究生学位授权点的所有高校。而排名公布的是数学学科排名前50%的高校,就是说如果不在榜单内意味着不在前50%。

 

 

中国最好学科排名的指标体系由人才培养、科研项目、成果获奖、学术论文、学术人才5个指标类别组成,下设17个指标维度,包括50余项测量指标。由于部分指标在不同学科门类的适用性和重要性存在差别,因此中国最好学科排名在不同学科采用差异化的指标体系。中国最好学科排名首先在各个指标维度的层面计算每所高校的得分,令该指标维度表现最好的高校为该维度的最高分(例如50、100、200),其它高校按其与最高值的比例得分,一所高校的总得分由各指标维度得分加和得出。

 

 

有138所高校进入数学排名,比去年增加4所。前10名的高校几乎没有变化,四川大学从12名上升3位到第9名,而东南大学被挤出前十。北京大学依然是第一名,复旦大学和清华大学分列第二、三名。第四到第十名分别是:山东大学、中山大学、浙江大学、中国科学技术大学、西安交通大学、四川大学、上海交通大学。

 

以下哆嗒数学网的小编奉上全部排名:

 

 

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USNEWS公布2022世界最佳大学数学排名

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每年下半年,《美国新闻和世界报导》都会公布年度大学排名,也就是常说的每年的USNEWS排名。近日,USNEWS公布了2022全球最佳大学排名已经公布。该排名还针对数学学科有分类排名,我们哆嗒数学网小编当然最关心数学排名啦。
 

从全球的数学排名来看,排名前三名都被美国高校占据。第一是美国的麻省理工学院,第二斯坦福大学,第三名是普林斯顿大学,当然第三名有并列情况,同是第三名的还有法国的索邦大学。第五到第十名分别是、剑桥大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、哈佛大学(美国)、巴黎大学(法国)、牛津大学(英国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)。前10名的高校较去年没有变化,只是做了位次上的调整。

 

亚洲方面,占据这个区域前10名的有6所中国高校。第一名是中国内地的复旦大学。同样来自中国内地的北京大学和电子科技大学分列二、三名。第四到第十名分别是:沙特国王大学(沙特)、上海交通大学(中国内地)、东南大学(中国内地)、新加坡国立大学(新加坡)、阿米喀布尔理工大学(伊朗)、浙江师范大学(中国内地)、伊斯兰阿扎德大学(伊朗)
 

 
而中国榜单方面,共有52所中国高校进入数学学科的排名。其中内地高校46所、香港高校6所。台湾和澳门均无高校进入数学学科的榜单。前三名是复旦大学、北京大学、电子科技大学。第四到第十名分别是:上海交通大学、东南大学、浙江师范大学、中国科技大学、清华大学、南开大学、香港中文大学。去年排名中国第一的曲阜师范大学今年没有出现在榜单中。

以下奉上全部中国高校排名列表

 

 

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何旭华教授获得李理论谢瓦莱奖

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根据10月6日美国数学会(AMS)官网发布的消息。2022年美国数学会李理论谢瓦莱奖(Chevalley Prize in Lie Theory)授予香港中文大学数学系卓敏讲座教授何旭华,以表彰他在李理论至少三个方向上取得的重大进展,包括p进数群的赫克代数的余中心,仿射德利涅-卢斯蒂格簇,半单群的模表示论等方面的研究。

 

 

何旭华教授于1996年以30分的成绩获得第37届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌,这项赛事的满分为42分,当年金牌分数线为28分。之后,何进入北京大学数学科学学院学习,于2001年获学士学位。本科毕业于后赴美国麻省理工学院攻读博士学位,师从著名数学家师治·卢斯蒂格,2005年获博士学位。曾在香港科技大学、美国马里兰大学任教。现为香港中文大学数学系卓敏讲座教授。他的研究方向是算术几何,代数群和表示理论。曾获2013年晨兴数学奖、2020年科学探索奖,并曾受邀在2018年国际数学家大会上作45分钟报告。

 

 

李理论是基础数学领域最热门的方向之一,它不仅仅在数学内部有深入研究,同时该理论已经深深植入理论物理的研究框架中,甚至在诸如计算机视觉这种实用领域,都有所应用。

 

谢瓦莱奖于2014年由乔治·卢斯蒂格设立,以纪念布尔巴基学派创始成员、著名数学家谢瓦莱(Claude Chevalley,1909—1984)。该奖每两年颁发一次,授予李理论(包括李群和李代数)方向过去六年中的重大成果,获奖人须获得博士学位不满25年。

 

 

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我真被惊到了,当第一次我看到这个关于连续统假设命题和它的证明

 

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偶然在网上看到一个问题表述是这样的:

 

设S是一个由解析函数为元素构成的集合,对每个固定的复数z,集合{ f(z):  f ∈ S } 都是可数集。

 

问题是:S这个集合是否一定是可数集合。

 

为了消除大家所看书本的歧义,这里说明一下,本文的可数包括了有限和无穷可列的情况。

 

本以为这个问题是某本分析教材上的小练习,结果我翻阅了一些资料后发现,问题的答案很有趣,是让人吃惊的那种有趣。

 

这叫做Wetzel问题,你在Wiki上搜索Wetzel's problem能搜索到它的介绍。后来数学家埃尔德什解决了它。因为证明过程非常简短和漂亮,被收录到了《数学天书中的证明》一书中。

 

 

问题的答案是,你认为S一定可数,那么就是说你不承认连续统假设。反过来,如果你认为S不一定可数,那么你就承认了连续统假设。

 

也就是说,这个问题的YES等价于连续统假设不成立。

 

因为连续统假设在ZFC中不可判定,这意味着,这样的S是否可数,在数学界最广泛承认的公理体系ZFC中不可判定。

 

要证明这件事情,不需要用到过于高深的数学知识,只要对复变函数和集合论的一些基础知识就可以。这些知识包括:

 

1、知道无穷序数和基数的概念(因为显示希伯来字母א会有莫名其妙的问题,这里我们用aleph代替这个字母)。尤其知道可数基数aleph_0,最小的不可数基数aleph_1,以及实数基数c的概念和基本性质。

 

这里强调一下,网上一些人,甚至一些科普书籍中,都不假思索的把aleph_1当成实数的基数。这是不符合通常习惯的,aleph_1当成实数基数只有一种可能,就是连续统假设成立。而实数的基数一般用c表示。少数情况下,我也见过用不带下标的aleph表示。但如果要用aleph_1表示实数基数,一定要强调是承认了连续统假设,这时候c = aleph_1 。如果不承认就是 c > aleph_1。

 

2、知道复变里的解析延拓定理的内容。只需要知道,不要求清楚证明的细节。

 

3、知道选择公理以及它的变种良序原理。我们经常用良序原理来进行超限归纳。而且我们很多时候提到选择公理的时候,不区分用的是它的原始版本还是良序原理版本。     

 

我们开始我们的证明了,先看连续统假设不成立,即c > aleph_1情况。

 

这种情况比较简单。不妨假设S中函数的个数只有aleph_1个,如若不然,就取一个相同基数的子集。

 

对于S中不同的两个解析函数f,g , 做集合 S( f , g ) = { z: f(z) = g(z) },那么S( f ,g )是可数集合。这是因为,如果这个集合不可数,那么S( f ,g )在复平面上上必有聚点。那么根据解析延拓定理,f和g是相同的解析函数。

 

那么,把f, g 跑遍S中所有的不同函数对,∪S( f, g ) 这个并起来的集合就是aleph_1个可数集的并,所以只有aleph_1个元素。因为c > aleph_1,而复数有c个。这样必然有一个复数w不在∪S( f, g )里。这意味着,S中的函数在z = w处,取值都互不相同。就是说{ f(w) : f ∈S }的基数是aleph_1,不可数 。不能满足设定需要达到的条件。

 

再看续统假设成立,即c = aleph_1情况。

 

这里,我们就要使用超限归纳法了。我们要用这个办法构造出有个aleph_1个解析函数的集合,满足题设的条件。

 

我们取Q为实部和虚部都是有理数的复数组成的集合。这个集合是可数而且稠密的。

 

根据选择公理,我们用序数给所有复数一个编号,让第α个复数为z_α。因为复数只有aleph_1个,所有α只需要取遍可数序数就可以,因为可数序数的个数正好aleph_1。

 

这意味着对于一个复数z_α,下标比α小的复数只有可数多个。

 

我们试图构造“一列”解析函数f_α,其中下标α也跑遍所有可数序数。注意,这里“一列”标上的引号,表示它并不是通常意义的数列。这列函数满足对于这样的条件:如果β≥α,那么函数f_β(z_α) ∈ Q 。这样对于任意一个固定的复数z_α,所有的函数值被分成两部分,β≥α的部分,因为函数值都在Q中,这些值只能由可数多个。而β<α的部分,因为可数序数的性质,也只能产生可数个函数值。这样能保证这样的“一列”解析函数满足设定的条件。

 

 

我们开始用超限归纳法了。由于有很多细节要一一验证,所以我这里说主要思路。如果这篇文章在这里能超过3000的阅读,我也许可以做一个视频,验证更多的细节,毕竟如果东西没人看的,做出来也没什么意思。

 

说明一下,下面的所有希腊字幕的下标,都是可数序数。

 

初始值的f_0定义为零函数吧,并不太重要。

 

然后,假设对于所有的β<α中的f_β已经定义好,现在来定义f_α。因为α是可数序数,所以有可数个函数f_β,另外把下标小于α的复数z_β也提出来,也是可数个。

 

因为f_β和z_β分别都有可数个,所以我们分别重新排成函数列和数列。f_β重排成函数列g_n,z_β重排成数列w_n 。

 

然后,按如下模式,我们再递归的定义一列函数p_n ,过程如下

 

p_0(z) = s_0 , 其中 s_0∈ Q ,但s_0≠g_0(w_0) , 这很容易办到,因为Q中无限个元素。

 

p_(n+1)(z) = p_n(z) + a_n * (z - w_0)(z-w_2)...(z-w_n) 

 

这里需要适当的设定a_n 的值,让其满足a_n趋于零的速度足够快,保证p_n的内闭一致收敛性,另外p_n(w_n)也不能等于g_n(w_n)。这两点都可以利用在原点附近设定了一个关于n的一个合适无穷小来设定,因为每次添加都是添加了一个多项式,只要保证a_n这个因子能让系数足够小就可以了。于是,对于a_n我们还能有无穷多个选项备选,使之满足这两个条件。在这无穷多个备选项中,我们还需要再选精细一点,还要保证p_n(w_n) ∈ Q , 这个可以通过Q的稠密性,并解一个一元一次方程满足。

 

这样,p_n将一致收敛的于一个解析函数,这个函数就是要定义的f_α,注意这个时候f_α(w_n) = p_n(w_n) = p_(n+1)(w_n) = ... =  p_(n+k)(w_n) 。

 

而且,这个定义的f_α满足如果β≥α,那么函数f_β(z_α) ∈ Q (为什么?留作习题吧~~)。

 

于是完成全部证明。

 

 

 

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软科发布2021年世界一流学科数学排名

 

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2021年5月26日,2021年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面,来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一,美国的普林斯顿大学屈排名第二,法国的索邦大学排名第三。前三名与去年没有变化。第四到十名分别为:剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、斯坦福大学(美国)、麻省理工学院(美国)、纽约大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中,美国仅有一所,这个种情况在这个排名中,是及其罕见的。不过前十总体格局还是美国优势占据其中五所,法国、英国分别占据两所,瑞士一所。

亚洲方面,有五所亚洲高校排名前50,加上6个并列的51-75排名的6所,亚洲排名前十的有11所高校。日本的京都大学排名第一,总排名23名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第24。同样来自以色列的特拉维夫大学排名亚洲第三,总排名第37。来自中国的北京大学、复旦大学分列亚洲第四、第五,总排名分别是第41、第47。值得注意的是,前十名大学中,没有来自中国香港的大学,而去年还有两所.

 中国高校有101所大学进入榜单,数量上较于去年下降1所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第41名。第二名是复旦大学,世界排名第47名。清华大学、中国科学技术大学位列51-75名次区间,香港城市大学、上海交通、中山大学、武汉大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学八强。最后,哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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2021泰晤士中国数学学科评级:三分之一的A+还是集中于美国

 

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2021年5月11日,著名的大学排名机构泰晤士高等教育再次更新了2021中国评级。这个评级按照中国教育部的学科划分,以及类似的评级模式,对世界范围内的大学进行了一番“学科评级”。所以,在泰晤士排名的官方网站上,把这个评级命名为“中国学科评级”。

该评级把对应学科进行评级,分为A+, A,A-, B+, B, B-, C+, C, C-共9个等级。参评学校的评分的前11.11%会被评为A+,而下一个11.11%的分段获得A,以此类推。

评分因素参考五大指标,分别是:教学(学习环境),研究(发表量、收入和声誉),引用(研究影响力),国际视野(国际教师、学生和国际合著)和行业收入(知识转移)。

数学学科方面,我们哆嗒数学网的小编整理了该学科评级。共有100所中国高校进入榜单。值得注意的是,去年该机构把山东大学只被评为B,而今年山东大学评级是A-。

另外,从世界范围来看,数学学科共有122所大学被评为A+。其中美国共有42所大学被评为A+,遥遥领先于其他国家。接下来是中国的12所,内地7所,香港5所。排在第三的是英国的11所。

 

 

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70岁买鸡蛋大爷看英文高数书?不!你们还是低估了他!

 

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4月19日,武汉街头,一位卖鸡蛋的大爷火了。各路媒体都在转载这样一条地方新闻:一位70多岁卖鸡蛋的大爷面前,放着土鸡蛋、皮蛋、咸鸭蛋,但从不吆喝,时常专注地阅读纯英文版的《高等数学》《高等物理》和金庸武侠小说。据悉,这位大爷在1965年考入武汉某大学物理系,毕业之后先后在三所大学授课30多年。他自己说,无论是卖鸡蛋和看书,都是为了打发闲暇时间。

然而,尽管“高等数学”和“纯英文”吸引了足够多的眼球。但转发各路小编们还是低估了这位卖鸡蛋的大爷。视频中这位老师看的根本不是《高等数学》,而是看的一本物理学的专业教材。从拍摄到的目录来看,目录中的“布里渊区”、“费米面”、“维格纳-赛茨法”等,应该是固体物理的内容。

 

经过我们哆嗒数学网的群友的s取证。这位物理老师看的是由美国物理学家基泰尔(Charles Kittel)写著的《固体物理导论》,英文名字叫Introduction to Solid State Physics ,是物理专业的经典教材之一。下图目录中的内容一样,但排版不一样,应该是版本不同。

化学工业出版社也有这本书的翻译版本。这本书应该比一般的《高等数学》教材难得多,毕竟《高等数学》这门课只是理工科大学生在大学一年级上的入门课程。

 

当然,对于大爷具体看的什么书媒体们是不太关注的。大家关注更多的是老人的生活态度。古稀之年,即便买着鸡蛋,也不忘看着自己喜爱专业书籍。不为名利,不为出什么科研成果。获取知识本身,就能让人快乐,不是吗?

 

 

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他是个数学天才:谁能有这样的推荐信?

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网上流传着一封关于约翰·纳什当年去普林斯顿的推荐信。我们哆嗒数学网查证后,发现是真的。信件内容如下:
 
中文译文:
 
尊敬的莱夫舍茨教授:
这封信是向你推荐约翰·纳什先生到普林斯顿研究生院读博。
纳什先生今年19岁,6月即将从卡耐基技术学院毕业(编者注:卡耐基技术学院是卡耐基梅隆大学的前身)。他是个数学天才。
理查德·达芬 谨上
 
写这封信的理查德·达芬(Richard Duffin)在当时就是一位著名的物理学家。数学物理中有个DKP代数,他就是那个D。另外数论中,有个以他名字命名的关于丢番图逼近的猜想——达芬-谢弗猜想(Duffin–Schaeffer conjecture)——也非常有名。而后者刚在2019年被证明出来,成为定理。这个定理的证明过程在2020年被发到最顶级的数学杂志《数学年刊》(Annals of Mathematics)上。
 
有了这样学术大牛的推荐信,信的长短也不重要了。据说,达芬同时还向哈佛推荐了纳什,而且哈佛也接受了纳什入学申请。这时,普林斯顿数学学院的主席,也就是本文推荐信的接收者莱夫舍茨(Lefschetz)教授,果断向纳什提供了约翰·肯尼迪奖学金,让纳什感到自己在普林斯顿应该更受重视,于是选择普林斯顿。
 
 
两年后的1950年,纳什的博士论文《非合作博弈》出世。论文共28页,论文中提出的“纳什均衡”的概念以及相关研究,让他在1994年获得诺贝尔经济学奖。
 
 

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因为这部数学名著中文版的错误,我决定再科普一下这个知识

作者: Math001

 

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事情的起因是我们哆嗒数学网的一位网友拿着Hardy和Wright合著的《数论导引》中文版说,书中明确指出,数学家早在1930年前后,就证明了eπ是无理数。这个让我吃惊,因为就几天前,我所能查到的资料,都说明eπ是否是无理数的问题还是一个未知答案的问题。——2017年前后,有人在预印本网站上发文说证明了它是无理数,但是被各路数学家指出了这篇文章的低级错误。

《数论导引》是英国顶级数学家Hardy的名著,英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直译一般应该是《数论导引》。但是,为了销售上的考虑,图灵出版社翻译这本书的时候,将书名定成了《哈代数论》,当当有售,现在巨贵。如此名著中既然这样写了,我们就要认真考证一下,到底怎么回事。

第一反应是不是翻译成中文后,阴差阳错出现了搬运错误。上面中文版的截图是该书的第6版,于是我也找到英文版的第6版来对比。结果,不出我所料,英文版和中文版的内容果然对不上。出乎我意料的是,中英对照的差异——比我原想的大的多。

首先,英文版中列出了两行实数,分别列出了哪些是已经被证明了是无理数的数,哪些还没有被证明是无理数的数。两行数,每行4个数,共8个。而中文版中对应的两行数变成每行3个数,共6个。然而,数的个数还不是最大的差异。在已经被证明了是无理数的那一行中,中文版里列入了eπ,而英文版里并没有eπ,而是另外两个数。而还没有证明是无理数的那一行,英文版里本来有e+π,但是中文版里把这个数去掉了。

 

——遗憾的是,e+π以及eπ这两个数的是否是无理数,到目前为止,依旧是未解之谜,人类中没人知道。这些问题涉及数学里的一个研究分支,叫做超越数论。

 

超越数论里有个非常重要的猜想,叫做沙努尔猜想。如果这个猜想成立,那么很多数的无理性以及超越性都能得到证明,包括e+π和eπ。

 

在介绍这个猜想之前,首先要介绍一下在有理数数域上线性相(无)关和代数相(无)关的概念。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果不存在全为零的有理数q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 + q2·x2 + ... + qn·xn = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上线性相关,否则叫做在有理数域上线性无关。

 

对于n个复数x1, x2, ... , xn ,如果存在非零n元有理数系数多项式f满足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。 则称x1, x2, ... , xn在有理数域上代数相关,否则叫做有理数域上代数无关。

 

沙努尔猜想说:如果n个复数x1, x2, ... , xn在有理数域上线性无关,那么这2n个复数中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n个复数有理数域上代数无关。(其中e^x 表示e的x次方)

 

知道了沙努尔猜想,我们就可以在假设这个猜想成立的情况,证明e+π和eπ都时无理数(实际上能证明都是超越数)。

 

1和πi显然在理数域上线性无关,所以 1 、πi 、 e 、 -1这4个数中,能找到2个代数无关。(注意 e^πi = -1)

 

如果令f(x,y)=(x-1)(x+1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 说明±1和所有复数都代数相关。所以只能πi 和 e代数无关。

 

πi 和 e代数无关能得到π和e代数无关。这一点,如果你有代数扩张方面的知识能迅速看出来。当然,这里为了保证这篇文章一定的友好度,我们也简单说明一下。

 

如若不然存在非零二元有理系数多项式f(x,y)满足f(e,π) = 0。 那么令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy),这是一个非零有理系数多项式。而g(e,πi) = 0 ,与πi 和 e代数无关矛盾。

 

那么e+π不可能是有理数。如若不然,e+π=q是有理数,则令f(x,y) = x+y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同样的方式,也可证明eπ不可能是有理数。

 

好了,我想科普的内容就是这个沙努尔而猜想。如果读者你能有幸解决他,得几个数学界的大奖是没问题的。甚至如果你没满40岁的话,冲击一下数学界的最高奖菲尔兹奖也是有机会的。

 

如果,你能证明eπ、e+π是无理数的话,拿个数学的博士学位应该没问题吧。

 

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智慧与美貌并存:三八节给你推荐一位美女数学家吧

 

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米歇尔·奥丁说出了我的心声:“尽管数学家几乎不知道索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的作品,但他们都看过她的肖像。”我曾经在索菲娅·科瓦列夫斯卡娅的纪念活动中,去帮助女孩子们,让她们对学数学产生兴趣。我知道科瓦列夫斯卡娅是一位开创性的女数学家,但是我对她的生活和工作的细节却是一无所知。


当我偶然发现奥丁的《纪念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》(Remembering Sofya Kovalevskaya)一书时(2008年以法语出版,2011年以英语出版),我决定是时候纠正这种状况了。这本书不是一本普通的数学家传记。正如奥丁在引言中所写,这本书不是一本历史书,它也不是一本数学书或者一本小说。这是一个不拘一格的、独特的作品,它不屑于一个简单的标签。当你读的时候把你的期望放在一边。用《Marcel the Shell》里一句智慧的话来说,“真的,你只要搭个便车就行了。”

 


1850年,科瓦列夫斯卡娅在莫斯科出生。1868年,她步入了一场交易性的婚姻,因此她离开了俄罗斯,最终跟随柏林大学著名的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯学习数学。因为柏林大学不招收女学生,所以卡尔·魏尔斯特拉斯私下里教她。1874年,她在缺席的情况下获得了哥廷根大学的博士学位。拿到学位后,几年内她没有找到工作,并且生下了女儿。最后,在米塔-列夫勒的努力帮助下,科瓦列夫斯卡娅在斯德哥尔摩找到了一份私人教师的工作(一个学术级别低于教授的职位)。1888年,她获得了一项殊荣,这使她有可能在斯德哥尔摩获得教授的永久职位。不幸的是,在那不久之后她就死了。她精通多种语言,无论是俄语、波兰语、法语、德语、英语还是瑞典语。除了数学事业外,她还会写小说和戏剧。

就算现在看来,她的职业生涯也很现代化,我被震撼了。奥丁写道:“毫无疑问,她是第一个以我们今天所理解方式从事大学学术职位的女性:她通过定理证明获得博士学位,然后她教授课程,关注政治,她深信着科学家应该肩负的责任,她到处旅行,她证明了更多的定理,她参加委员会会议(但没有太大的热情),她有一个女儿,她是国际期刊(Acta Mathematica)的编辑,她为妇女的权利而战,她参加并为科学会议做出贡献,她准备升职,她写了很多报告和推荐信,她远道而来与其他大学的同事见面”她非但没有因为是个女人而成为贱民,相反,她成为了数学界受人尊敬的一员。


科瓦列夫斯卡娅在广泛的分析领域研究了几个问题。她的博士论文包括三篇关于三个不同主题的论文,任何一篇都足以独立获得学位。它们涵盖了偏微分方程、阿贝尔函数和土星环的形状。她晚年最重要的工作是研究像陀螺一样的旋转(也就是说,在一个点保持固定的情况下的转动)。欧拉和拉格朗日解出了两种最简单的“陀螺”,科瓦列夫斯卡娅发现了另一种可以被分析的“陀螺”。正是这部作品为她赢得了1888年的勃丁奖。奥丁通过科瓦列夫斯卡娅的“陀螺”与科瓦列夫斯卡娅邂逅,并在涉及科瓦列夫斯卡娅关于这个问题的工作的章节中深入到了数学的核心细节。

 

尽管科瓦列夫斯卡娅取得了成功,但她确实遇到了困难,她的声誉也因此经历了起起伏伏。其中造成声誉受损的原因,有一些是因为在她死后,她的一篇论文被发现有一个致命的错误,这是一个不幸的情况,即使是有成就的,细心的研究人员偶尔也会遇到这种情况;有一些是由于人们对妇女的角色和行为的偏见。

 

在读这本书的时候,我碰巧重读了弗朗西斯·苏的《人类繁荣的数学》,这是他在一月份作为即将退休的美国数学协会主席发表的演讲。在演讲稿中,他引用哲学家西蒙娜·韦伊(数学家安德烈·韦伊的妹妹)的话“每一个人都在为了被不同地解读而发出无声的呼喊”并对此进行了反思。

 

奥丁的书不仅讲述了科瓦列夫斯卡娅与数学家过去和现在的关系,也用同样的篇幅讲述了她自己的生活和工作。奥丁列举了她所面临的一些侮辱,以及她的名誉仍然面临的问题—她为了能够学习数学、能有离开俄罗斯的自由而进入的“白人”婚姻,她的薪水问题,关于她是否真的能够独立于她的顾问卡尔·魏尔斯特拉斯的陆续而来的问题,关于她的外表的没完没了的评论—我无声地呼喊着希望科瓦列夫斯卡娅能够以不同的角度被解读。她不应该成为其他人对女性和数学家应该是什么的预测的画布。在第11章“我记得索菲娅,乔治、约斯塔、茱莉亚和所有其他人写的”中,这种感觉最为辛酸。在其中,奥丁收集了一些生前认识科瓦列夫斯卡娅的人和她死后通过名誉和谣言认识她的人所写的有关科瓦列夫斯卡娅的信件或其他文字。        

例如,奥丁的书中包括了摘录自卡尔·魏尔斯特拉斯的另一位学生卡尔·龙格的一封信:

星期六我们在她的公寓举行了一次非常有趣的聚会。聚会由科瓦列夫斯卡娅太太和四位年轻的数学家组成,我们像往常一样交谈。她大约30岁,面容娇嫩,她很体贴,还有点悲伤(距离弗拉基米尔(科瓦列夫斯卡娅的丈夫)自杀已经有两个月了),她微笑时相当迷人。对我来说,和一位女士谈论数学并能完全自由地畅谈是很奇怪的。她对这方面的问题很了解。我知道这一点,尤其是当她就着我的工作,提出了很有价值的问题的时候。在这之前,我曾想象过她可能是个鼻子尖锐,长相古板,戴着眼镜的人,但我惊奇地发现,科学教育竟能与如此完美的女性气质相提并论[原文如此]

正如奥丁费尽心力所观察到的,龙格对科瓦列夫斯卡娅是一位优秀的数学家和一位有魅力的女性的惊讶表明,“这种刻板印象可以存在于物种之前。”一次又一次地阅读回忆,我觉得科瓦列夫斯卡娅正被其他人的观念和信念所掩埋。

科瓦列夫斯卡娅和两位数学界的早期女性苏菲·姬曼、艾米·诺特一样,都是英年早逝。当她在热那亚和斯德哥尔摩之间旅行时感染肺炎时,年仅41岁。关于那个故事,奥丁写道:

在丹麦,又是一个寒冷的冬天,天空飘着雨雪。火车站台上有风,渡轮上也有风,风从一个地方呼呼地一路吹到另一个地方。在这种情况下,当然,当索菲娅到达斯德哥尔摩时,她病了。一开始病情并不明显,因为她在2月6日(星期五)教这学期的第一节课,然后她去参加了天文台的一个聚会,因为发烧,她提前离开了,之后,她还乘错了公共汽车,那时候的天气非常寒冷……之后,她变得更糟了,就上床睡觉了。周一,她看起来似乎好多了,她和米塔格·莱夫勒谈论了她对欧拉方程的看法……但是她的病已经转变成了肺炎,那时是在19世纪,比发现青霉素的时候早了40年……即使你是41岁的杰出科学家,即使你有很多科学、个人和文学方面的计划,你还是死在了肺炎的手上。正如索菲娅所说,正如她生病前写给朋友的信中所说,即使你很快乐,你也会死,就像那时的索菲娅一样,然后,就是索菲娅所做的那样,她最终死于肺炎。        

奥丁独特的表达使《怀念索菲娅·科瓦列夫斯卡娅》成为一本引人入胜的、感人的书。它不是传统传记的替代品,但对于任何有兴趣从另一个角度看待科瓦列夫斯卡娅的人来说,它是一本引人入胜的读物。

正如奥丁在书中指出,存在着许多不同版本的音译的科瓦列夫斯卡娃的名字,但他更喜欢拼写成“Sofya Kovalevskaya”。在这篇评论中,我大部分都是跟随奥丁的脚步,使用了“索菲娅·科瓦列夫斯卡娅”

 

 

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2021年QS世界大学数学学科排名公布

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近日,QS官网公布了其2021年世界大学排名,同时公布了世界大学学科排名,该学科排名涵盖51个不同学科门类,我们哆嗒数学网依旧只是关注数学学科的排名。

 
哆嗒君温馨提示:任何排名根据其排名方法都有不同的侧重点,都不能直接对应成学科实力。不过,我们队关于排名的讨论都持开放态度。
 

数学学科排名方面,美国院校依然霸榜,占据前十名中的六个席位。另外英国占据两席,瑞士占据一席。本次排名中,来自亚洲新加坡的新加坡国立大学挤进前十,排在第九位。第一到第十分别是:麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、哈佛大学大学(美国)、剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、加州大学伯克利分校(美国)、普林斯顿大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、新加坡国立大学(新加坡)、加州大学洛杉矶分校(美国)。

 

 

亚洲方面的前十排名中,来自中国的高校占据了其中6个,其中4个来自内地,2个来自香港。来除了总排名第9的新加坡国立大学排在亚洲第一外。其余第二到第十名分别为:清华大学(中国内地,18名)、北京大学(中国内地,19名)、东京大学(日本,并列24名)、南洋理工大学(新加坡,31名)、香港科技大学(中国香港,36名)、香港中文大学(中国香港,37名)、上海交通大学(中国内地,44名)、复旦大学大学(中国内地,并列45名)、京都大学(日本,并列45名)。

中国高校共有49所大学进入榜单。其中内地高校36所,香港高校和台湾高校各6所,澳门高校1所。在中国的高校的排名中,排名第一的是清华大学,世界排名第18名。北京大学和香港科技大学分列第二和第三位。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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随机性有时也能让数学更容易

 

作者:Kevin Hartnett,《量子》杂志记者

翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

作者:Kevin Hartnett,《量子》杂志记者

翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 


 

随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

 

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时差反应东西向不对称性的解释

作者: Thomas M. Antonsen等

翻译,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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时差反应是搭乘飞机旅行的人在跨越多个时区后常常出现的现象。经典症状包括头晕、恶心、在当地出现白天醒不了、晚上睡不着。用简单的话来说,人体内的时间调节机制一般会与当地的24小时昼夜周期相适应,这一般取决于外部自然条件(特别是日出日落)和社会条件。由于快速地跨越了多个时区,身体内的昼夜节律调节机制需要时间去与所在地的外部自然昼夜周期进行同步;这种重新同步机制的现象便是旅客们所表现的时差反应现象。由于节律器的重新同步是一种动态机制,这便促使人们从动态系统的角度进行数学建模,并尝试解释这一现象。

 

当身体产生许多信号来帮助调节身体的昼夜周期时,身体当中的一个部位似乎起着非常重要的作用:视交叉上核(the suprachiasmatic nucleus,SCN),这是人体大脑中一个非常狭小的部位。医学研究发现视交叉上核是由104个调节神经元组成的一个序列,所以我们也就可以有理由认为如果把这些神经元单独隔离开来,这些生命调节器的周期大致在一个平均值上,通常情况下其平均时间在24小时以上。当这些神经元组合在一起的时候,这些生命节律调节器便会进行相互协调,同时当其中一个神经元受到外界刺激后,他会通知其他神经元进行调节。就比如,太阳的升起和落下。这些结论是我们构建模型和预测分析的基础概念,同时也是其他研究者的基本思路。但是我们所构建的模型与之前的研究者有所不同,我们着眼于组合在一起的每一个的视交叉上核神经元的微观状态,并将忽略高维度微观结构,将我们的研究缩减到低维度的宏观结构以便进行观察。我们建立模型主要是为了解释相比于向西跨越相同数量时区,时差反应在向东跨越同样数量的时区后将会更加严重(例如,恢复时间更长)的现象,因为这是人们普遍的感受。特别的,我们分析视交叉上核的平均昼夜周期略大于24小时现象对于东西时差反应不对称现象的解释有多少可信度。

 


在决定去了解在N个神经视交叉上核集合中去分析跨时区旅行和时区重新同步之间的相互作用之初,我们使用了一个非常简单的模型来分析这些神经元的作用,这是考虑到了部分现实情况。藏本模型(Kuramoto model)是一个非常出名的模型,在这个模型中每一个神经视交叉上核的复杂动态变化都会被简化成一个简单的时间和相相关的演化方程θi(t),i表达的是在第i个视神经交叉上核的状态。其中i=1,2,3,……N. 而视神经交叉上核的相则会在时间上提前一点。根据下面的公式可以得出各个变量之间的关系:



其中,ωi是每个视神经交叉上核的自然频率。在模型中,ωi是通过分布函数g(ωi)取得的,我们取的是在24小时内的最大值ω。右边第二个加数描述的是每一个视神经交叉上核与其他神经元之间同步的概率,其耦合强度为K。第三个加数则表示的是与外部的联系,特别是太阳光的影响。它影响的强度为F,每个神经元都有一个相位δt + p,其中δ= 2πhr/(24s),他代表的是每日的频率,p相位依赖于时区。如果t是格林威治标准时间,p为正数,在格林威治东边,p的取值范围为0 < p <π;若在西边,则为-π< p < 0。


看上去这个等式十分简单,但是它仍然需要巨大的数据量,每一组等式所需要的数据大概在N-10^4的数量级上。因此为了能够进一步简化等式,我们在这里提出两种方法。第一步,我们取连续极限:N→∞,则SCN的状态取决于调节神经元的相位和频率随时间分布的函数,f(θ,ω,t)。当N>>1时,N→∞的极限才能有很好的近似。第二,我们使用通常所说的奥特——安东森假设(Ott-Antonsen ansatz),这个假设为解出分布函数f提供了非常好的方法。当简化系统转化为连续介质系统时,该假设为f(θ,ω,t)限定了函数表达式。更进一步地,注记[6]发现在一个条件较为宽松而且长时间的状态下,f会在一定概率下收敛到简化条件的解上。因此,我们捕捉每一个汇点和分叉点。在自然调节频率:


的洛伦兹分布情况下,SCN的宏观状态将由一个单一复数变量

 

来表示,我们由此得到如下公式:

 

 

其中复变量z的极角表示的是SCN的总体全局视神经上核相位。因此我们的假设将一个N维系统简化为这种单一,一致性的复数常微分方程,以使我们能够快速遍历每一个变量空间,并能对动态系统有更深刻的理解。


尽管假说仍然需要对等式1所表示的宏观状态行为进行研究,这种假说仍然旧展示了这种降低维度能力的作用,不仅仅对等式1有效,还对非常多的情况有作用。这些场景包括,在伦敦千禧桥上的人行横道上人致振动、约瑟夫森结电路、鸟鸣的模型建立和脉冲耦合神经元网络构建。这个模型还可加入更多额外的动态特征,例如某一个视神经上核对另一个的延时影响,不同网络拓扑、空间耦合和反馈控制模型的效果。


正如图像一所示,该模型是一个性质相异的动态空间,它拥有三个变量体系。我们认为一个正常人的昼夜节律是与外部24小时周期相协调的,在z相位空间中是有一个对应的固定点(在图1a和1b中的一个黑点)。图1c所示的状态是一个人的昼夜周期节律与外部24小时周期是不同步的。该图表明这个人的昼夜相位和外部刺激的相位变化曲线最终形成了一个封闭曲线,在z相位上组成一个周期性轨道。图1a和图1b的动态关系之间其实也有差别;通过鞍结分岔过程处理,除了对应的固定点,图1b还有两个另外的固定点,一个不稳定(显示成未闭合的圆)和一个鞍结(表示成一个交点)。鞍结的不稳定特性就形成了一个环,而且z相位可以通过两个相反的方向到达固定点。


为了能够分析健康人从时差反应中恢复过来的过程,我们假设旅行者是从他之前的时区(z相位是在固定的位置)来到目前的位置的。为了简化分析过程,我们同时假设旅行者的跨时区旅程非常快,因此建立这个方程的时候在公式一中p的变化会是不连续的。因此,在旅行的最后,状态变量z会迅速被[p(initial)-p(final)]旋转后的(|z|fixed)所代替。z相位地固定点回到他之前的固定点前边还是后边取决于旅行结束的位置。我们比较感兴趣的是恢复过程中存在的东向和西向的不对称性,和以及恢复到正常状态的时间。我们用一系列通用的变量代表了一个健康人的各项指标。图1a表示的便是变量集作用后生成的图像,这张图中只有一个固定点是稳定的。当外部刺激不存在时,视神经交叉上核神经元集合平均调整时间为24.5小时,和外部实验观察类似。这个计算结果也意外地表明自然状态下,正常人视神经交叉上核神经元调节周期为24小时,与实验结果有一个比较小的差距(约30分钟),这也就足以说明东西向时差反应的不对称性是比较明显的。


在动态系统应用的SIAM会议上(DS17),爱德华·奥特将会出席朱桢·摩斯尔名为“大型多个联动的昼夜调节器的应急行为”的讲座。该讲座将于今年五月在犹他州雪鸟市举行。他同时会组织并在“使用备用电脑来学习动态系统”的系列讲座上发表讲话,而米歇尔·吉瓦将会在“对称性、非对称性和网络同步”的系列讲座上发表演讲。