根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2024国际数学奥林匹克竞赛成绩已经公布，中国队以五枚金牌一枚银牌、总分190分的成绩获得总分第二。而同样是五枚金牌一枚银牌的美国队，以192分的总分力压中国队获得总分第一，中国队因此未能获得六连冠。获得第三名是韩国队，总分168分。
第四到十名为：印度、白俄罗斯、新加坡(并列第六)、英国(并列第六)、匈牙利、土耳其(并列第九)、波兰(并列第九)。
另外：中国台北11名、中国香港第18名、中国澳门第79名。
传统强队俄罗斯的选手继续以个人名义参加本次竞赛，于是没有官方的队伍排名。他们的总成绩达到185分，可排进前三。
值得一提的是本次竞赛仅有一人获得了满分(absolute winner)，他是中国队的史皓嘉。
有108多个国家和地区共609位选手参加了此次竞赛。从国家数量和人数规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。
最后，祝贺中国队！
刚开始的打乱顺序是障眼法，不影响最后存在一组的配对成功，只影响具体哪两张最终配对。
撕开两半后，按顺序叠放，这个时候牌面的顺序是ABCDA'B'C'D'。这里X和X'配对。
如果用P(X)表示X从左到右的位置的话，用数学表达就是P(X) = P(X') mod 4.
注意这里名字字数不重要，无论怎么轮换到最后，上面那个公式不会改变。(这两句看不懂可以不看，主要理解后面能首位配对就行)
这个时候面上三张插到中间，目的是保证第一张后和最后一张是配对的，也是那个公式得出的推论。
注意，插中间，插中间，插中间。重要的事情发三遍。不能放最后。
这里刘谦说了一句随便怎么插都行，意味着这三张你随便打乱往中间放都行。
这时候，魔术的结果已经确定，就是当前队列的第一张和最后一张。
下一步就把第一张收藏。手里还省七张，配对张在最后一张。
然后按南方人北方人拿张数往中间插，这一步无所谓。因为配对张在最后一张，不影响。
就是说这一步你不做也行。
下一步，你可能扔掉1张或者2张，让你还剩5张或者6张。不过配对张依然在最后。
这里和男女没关系，你是男的也可以扔两张，女的扔一张也行。
刘谦说每个人混乱的方式不一样，——不，每个人的最后一张都是你想要的。
下一步，按“见证奇迹的时刻”字数轮换，这里含什么不重要，重要的是这是7个字。
你愿意的话“龙年我要发大财”也行。
如果是剩下5张牌，这次轮换后，轮换张会在第3张。
如果是剩下6张牌，这次轮换后，轮换张会在第5张。
后面就是删除规则，有点像约瑟夫问题，有兴趣的可以搜索相关知识。
如果5张， 排列是ABXCD，X是配对牌。那么她删除的规则就是：
第一次：AXCD
第二次：AXD
第三次：XD
第四次：X，成功
如果6张， 排列是ABCDXE，X是配对牌。那么删除的规则就是：
第一次：ACDXE
第二次：ACXE
第三次：ACX
第四次：AX
第五次：X，成功
所以，小尼哥应该插错了，或者扔错了。中间插中间的时候一定要中间.
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原文作者：Anna Kramer，《量子》杂志特约撰稿人
翻译作者： Math001，哆嗒数学网群友
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许多人是在中学时期完成了自己的第一次数学证明。这是古希腊数学家欧几里得证明的命题：质数有无穷多个。仅需几行文字，只用到整数和乘法这些简单概念。
证明是这样的。假设质数是有限多个，那么把它们都乘起来再加个1，会得到新的一个整数。这个数将引发一个矛盾。这个矛盾说明了质数只能是无限多个。
之后的数学家有一个迷之爱好：不断用不同方法给出这个命题的不同证明。
为什么要这么做呢？其中一个原因，就是好玩儿。另外还有更为重要原因，“我认为娱乐数学和严肃数学之间的界限非常小，” 马里兰大学计算机科学教授威廉·加萨奇（William Gasarch）说。今年早些时候他在网上发布了一个新证明。
加萨奇的证明只是一系列新证明中的最近案例。在2018年，黑山大学的罗梅奥·梅斯特罗维奇（Romeo Meštrović）编制了一份包含近200个“质数无穷多个”的数学史综述。事实上，在解析数论领域，数学家连续变量来研究整数。这样的历史大约起源于1737年，数学巨匠莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）利用无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …发散，再次证明存在无穷多个质数。
奥地利格拉茨科技大学的数学家克里斯蒂安·埃尔肖尔茨（Christian Elsholtz）最近也发表了一个新证明。他表示，与数学家将简单引理组合成复杂定理，最终获得结论的过程相反。他把这个流程反了过来。“我使用费马大定理，这其实一个非常难证明的定理。然后我用它得出一个非常简单推论。”这样的反向工作或许可以揭示数学的不同领域之间的隐藏联系，他说。
人们似乎互相杠上了，都想搞出一些“荒诞的高级”证明。蒙特利尔大学数学家安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说道，他也提供了两个新证明。“它必须好玩。做一些技术上炫技的事情并非重点。你之所以想“显摆”，只能是因为它有趣。”
格兰维尔表示，这种友好的比拼实际上有一个严肃的目的。数学家的工作不仅仅是解决抛来的具体数学问题。“数学的创造过程不是仅仅机械式的接受问题，然后机械式地解决它。数学是人们基于已知成果，创造技术和发展思想的方式。”
正如加萨奇所说：“所有的论文，它们从给出质数是无穷全新证明思路开始的，然后过渡到了严肃的数学。你今天看到的还只是质数，明天你就在研究平方密度了。”
加萨奇的证明基于这样一个事实：如果你用有限种的颜色给自然数染色，那么总会存在一对相同颜色的数字，他们加起来之和也被染了相同颜色。这是伊萨伊·舒尔（Issai Schur）于1916年证明的定理。加萨奇利用舒尔定理，证明了如果质数是有限的，那么将存在一个完全立方数（就是形如某个整数三次方的自然数）等于另外两个完全立方数的和。然而，早在1770年，欧拉已经证明不存在这样的三个立方数。这是费马大定理的n = 3情况，该定理假设对于n>2时，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。基于这种矛盾，加萨奇推断出质数必然是无穷多个。
格兰维尔在2017年的一个证明中使用了费马的另外一个定理。格兰维尔先引用了巴特尔·伦德特·范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden）于1927年提出的一个定理，该定理表明，如果你用有限种颜色给整数染色，那么存在任意长度的同色等差数列。与加萨奇类似，格兰维尔从一个假设开始，即质数是有限的。然后，他使用范德瓦尔登定理找到了一列公差为4、颜色相同的完全平方数。但费马已经证明这样的序列不存在。矛盾！由于如果质数是有限的，这样的序列是存在的，但它却不能存在，因此质数必然无穷多个。格兰维尔的证明是最近第二个利用范德瓦尔登定理的证明，莱文特·阿尔波格（Levent Alpöge）在2015年的一篇论文中也使用了这个定理，他发表了这篇论文的时候还是本科生，现在是哈佛大学的博士后。
格兰维尔特别喜欢埃尔肖尔茨的一篇论文，该论文同样运用了费马大定理以及反证法，即先假设质数只有有限个。与加萨奇一样，埃尔肖尔茨也融入了舒尔定理，尽管方式略有不同。埃尔肖尔茨还提供了另外证明，使用了克劳斯·罗斯（Klaus Roth）于1953年提出的一个定理，该定理表明，密度足够大整数子集必须包含一组长度为3的等差数列。
通过这些方面的工作，一些更深刻甚至实际的数学问题有望得到解答。例如，如果在一个只有有限个质数的环境中，基于大数质因数分解难度的公钥加密体系，是否将变得非常容易破解。埃尔肖尔茨想知道证明质数是无穷多是否与证明破解这种加密体系的难度之间存在某种联系。埃尔肖尔茨表示：“现在看貌似有一些弱关联，如果能看到更深层次的联系拿奖很有趣。”
格兰维尔说，最璀璨的数学往往可以从不同领域和学科的奇异结合中发展出来，并且往往是是在数学家花费多年时间思考较低层次但有趣的问题之后诞生的。他痴迷于把那些看似相距甚远的学科应用于数论学科。在最近的一次论文中，格兰维尔点赞了希莱尔·弗尔斯滕伯格（Hillel Furstenberg）于1955年提出的一种证明方法，该方法使用了点集拓扑学。像阿尔波格一样，弗尔斯滕伯格在他的证明发表时仍然是本科生。他之后取得了卓越的成就，在数学各个分支中取得了优异的成绩。
格兰维尔反问自己，对质数无穷多个的新证明的痴迷，“只是出于好奇，还是在下一盘长远的大棋？”他自问自答道，“我不能告诉你！”
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最近，有一个新闻，大概是说一些机构的研究人员合作，通过“苏格拉底式”严格推理，成功让GPT-4得出了P≠NP的结论！
这句话的表述就很“艺术”，让人很容易理解成为: 研究人员通过Chatgpt-4的帮助，让它进行某种模式的推理，在事实上得到P≠NP的结论。这样P vs NP这个数学界和理论计算机界的著名问题以被否定形式的解决。
然而，他们的论文更多的可能是那句话的字面意思： 我们把问题和某些人的之前论文中做过的东西的输入Chatgpt，然后Chatgpt说，你是对的。——然后，事实上证明是否真成功证明，我不负责。
或者，我把这个故事添油加醋说一个故事性更强的版本：
两位数学研究背景不是很深的学者 ，数月前在预印本(arXiv)网站上写了一篇解决P vs NP的文章，无人理会。这在数学界很常见，每天都有人声明解决数学的某些大问题，但发表的论文一堆低级错误。这两位学者在最近又参与写了一篇文章，把自己做的东西问Chatgpt对不对。Chatgpt说，你对，你都对！于是，这回事件上了热搜。
按说，如果是一个疑似成功的证明，在很多地方早就炸了。但是似乎数学界的相关讨论区似乎没有任何波澜。我们在一家专注AI研发的公司网站(Hugging Face)的论文讨论区，我们找到了一些关于这篇文章的评论。评论大致有这几种意见：
1、 直接在具体的技术性细节上提出质疑：论文中引用其他文献的一些结论本身可能是错误的(论文中引用了本论文作者之前的文章中的结论)。那些引用的结论，没有在复杂性理论层面解决问题的障碍。
2、 利用之前经验的质疑：一般一篇大问题的解决文章，都会引出很多很厉害的子结论，但这篇文章没有。
3、 利用数学界的反映佐证：要是有希望是要给正确的证明，数学界早就欢呼雀跃了，然后并没有。
这些质疑的人中，还有人实名的。即是说，实名反对。
目前，克雷研究所的千禧年问题的P vs NP的主页，该问题还是“未解决”状态。
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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2023国际数学奥林匹克竞赛成绩已经公布，中国队以全队金牌、总分240分的成绩获得总分第一。中国对已经连续五年获得该项赛事的第一名！
美国和韩国分列第二三名，成绩分别是222分和215分。第四到十名为：罗马尼亚、加拿大、日本、越南、土耳其、印度、中国台北。
另外：中国香港第24名、中国澳门第48名。
本次竞赛，共有5人获得个人满分。
有112多个国家和地区共618位选手参加了此次竞赛。从国家数量和人数规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。
最后，祝贺中国队夺得五连冠！
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下面是一些常用数学符号，可以用于不支持LaTeX的使用环境，比如微信、QQ的聊天，微博发文等。大家可以存起来后，有需要的时候回来复制。
注意一些平台可能显示不正常，微信测试都正常显示的。
常量
∅ ∞ ⦰ א ℶ
½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ ⅐ ⅛ ⅑ ⅒
⅔ ¾ ⅖ ⅗ ⅘ ⅚ ⅜ ⅝
运算
+ - × · ÷ / ± ∓
√ ∛ ∜ ㏒ ㏑ ⋕
∑ ∏ ∐
∂ ∆ ∇
∩ ∪ ⋂ ⋃ ⊓ ⊔ ⋀ ⋁
∫ ∬ ∭∮ ∯∰∲∳
⊕ ⊖⮾⊙
关系
= ≠ ≈ ≉≡ ≢∼∽ ≋≌ ≔ ≂ ≃ ≄∝ ≅ ≆≐≝≜
< > ≮ ≯ ≤ ≥ ≦ ≧ ≨≩≰≱≺≻⊀⊁≼≽≪ ≫
⊂⊃ ⊄⊅⊆ ⊇ ⊈⊉⊊⊋ ⊏⊐⊑⊒⋤⋥⋢⋣
⊲ ⊳ ⊴ ⊵ ⋪ ⋫
∈ ∉ ∊ ⋶ ∋ ∌ ∍ ⋽
⊢⊬ ⊣ ⊦⊧⊨⊭⊩⊮⊪⊫⊯
逻辑
∀ ∃ ∄ ¬ ∴ ∵ ∁ ∧ ∨
几何
△ ▱ ◯ ◻ ▭ ◊
∠ ⊥ ∥ ∦ ∡
单位
% ‰ ‱
㎚ ㎛ ㎜ ㎝ ㎞ ㎟ ㎠ ㎡ ㎢ ㎣ ㎤㎥ ㏄ ㎧ ㎮ ㎨ ㎯ ㎐ ㎑ ㎒ ㎎ ㎏ ㎼ ㎾ ㎩ ㎪ ㎱ ㎲ ㎳ ㎭ ㏖
括号
[ ] { } ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⟦ ⟧ ⦑ ⦒
箭头
← ↑ → ↓ ↔ ↕ ↖ ↗ ↘ ↙ ⟵ ⟶ ⟷ ⟸ ⟹ ⟺ ⟻ ⟼ ⟽ ⟾ ↚ ↛ ↤ ↥ ↦ ↧ ↨ ↼ ↽ ↾ ⇀ ⇁ ⇂ ⇃ ⇄ ⇅ ⇆ ⇇ ⇈ ⇉ ⇊ ⇋ ⇌ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇍ ⇎ ⇏ ⇔ ⇕ ⇖ ⇗ ⇘ ⇙ ⇤ ⇥ ⇵ ⇶ ⇷ ⇸ ⇹ ⇺ ⇻ ⇼
上下标
x⁰ x¹ x² x³ x⁴ x⁵ x⁶ x⁷ x⁸ x⁹ x⁺ x⁻ x⁼ x⁽ x⁾ xⁿ
x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₊ x₋ x₌ x₍ x₎ xₙ
xₐ xₑ xₒ xₓ xₔ xₕ xₖ xₗ xₘ xₙ xₚ xₛ xₜ
x′ x″ x‴
书写修饰
* ⋇ ⋄ ⋆ ∎ ▯ ■ ⋮ ⋯ ⋰ ⋱
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳㉑㉒㉓㉔㉕㉖㉗㉘㉙㉚㉛㉜㉝㉞㉟㊱㊲㊳㊴㊵㊶㊷㊸㊹㊺㊻㊼㊽㊾㊿
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱ ⅲ ⅳⅴⅵ ⅶ ⅷ ⅸⅹⅺ ⅻ
英文字母
A 𝐀 𝐴 𝑨 𝖠 𝗔 𝘈 𝘼 𝒜 𝓐 𝔄 𝕬 𝙰 𝔸
B 𝐁 𝐵 𝑩 𝖡 𝗕 𝘉 𝘽 ℬ 𝓑 𝔅 𝕭 𝙱 𝔹
C 𝐂 𝐶 𝑪 𝖢 𝗖 𝘊 𝘾 𝒞 𝓒 ℭ 𝕮 𝙲 ℂ
D 𝐃 𝐷 𝑫 𝖣 𝗗 𝘋 𝘿 𝒟 𝓓 𝔇 𝕯 𝙳 𝔻
E 𝐄 𝐸 𝑬 𝖤 𝗘 𝘌 𝙀 ℰ 𝓔 𝔈 𝕰 𝙴 𝔼
F 𝐅 𝐹 𝑭 𝖥 𝗙 𝘍 𝙁 ℱ 𝓕 𝔉 𝕱 𝙵 𝔽
G 𝐆 𝐺 𝑮 𝖦 𝗚 𝘎 𝙂 𝒢 𝓖 𝔊 𝕲 𝙶 𝔾
H 𝐇 𝐻 𝑯 𝖧 𝗛 𝘏 𝙃 ℋ 𝓗 ℌ 𝕳 𝙷 ℍ
I 𝐈 𝐼 𝑰 𝖨 𝗜 𝘐 𝙄 ℐ 𝓘 ℑ 𝕴 𝙸 𝕀
J 𝐉 𝐽 𝑱 𝖩 𝗝 𝘑 𝙅 𝒥 𝓙 𝔍 𝕵 𝙹 𝕁
K 𝐊 𝐾 𝑲 𝖪 𝗞 𝘒 𝙆 𝒦 𝓚 𝔎 𝕶 𝙺 𝕂
L 𝐋 𝐿 𝑳 𝖫 𝗟 𝘓 𝙇 ℒ 𝓛 𝔏 𝕷 𝙻 𝕃
M 𝐌 𝑀 𝑴 𝖬 𝗠 𝘔 𝙈 ℳ 𝓜 𝔐 𝕸 𝙼 𝕄
N 𝐍 𝑁 𝑵 𝖭 𝗡 𝘕 𝙉 𝒩 𝓝 𝔑 𝕹 𝙽 ℕ
O 𝐎 𝑂 𝑶 𝖮 𝗢 𝘖 𝙊 𝒪 𝓞 𝔒 𝕺 𝙾 𝕆
P 𝐏 𝑃 𝑷 𝖯 𝗣 𝘗 𝙋 𝒫 𝓟 𝔓 𝕻 𝙿 ℙ
Q 𝐐 𝑄 𝑸 𝖰 𝗤 𝘘 𝙌 𝒬 𝓠 𝔔 𝕼 𝚀 ℚ
R 𝐑 𝑅 𝑹 𝖱 𝗥 𝘙 𝙍 ℛ 𝓡 ℜ 𝕽 𝚁 ℝ
S 𝐒 𝑆 𝑺 𝖲 𝗦 𝘚 𝙎 𝒮 𝓢 𝔖 𝕾 𝚂 𝕊
T 𝐓 𝑇 𝑻 𝖳 𝗧 𝘛 𝙏 𝒯 𝓣 𝔗 𝕿 𝚃 𝕋
U 𝐔 𝑈 𝑼 𝖴 𝗨 𝘜 𝙐 𝒰 𝓤 𝔘 𝖀 𝚄 𝕌
V 𝐕 𝑉 𝑽 𝖵 𝗩 𝘝 𝙑 𝒱 𝓥 𝔙 𝖁 𝚅 𝕍
W 𝐖 𝑊 𝑾 𝖶 𝗪 𝘞 𝙒 𝒲 𝓦 𝔚 𝖂 𝚆 𝕎
X 𝐗 𝑋 𝑿 𝖷 𝗫 𝘟 𝙓 𝒳 𝓧 𝔛 𝖃 𝚇 𝕏
Y 𝐘 𝑌 𝒀 𝖸 𝗬 𝘠 𝙔 𝒴 𝓨 𝔜 𝖄 𝚈 𝕐
Z 𝐙 𝑍 𝒁 𝖹 𝗭 𝘡 𝙕 𝒵 𝓩 ℨ 𝖅 𝚉 ℤ
a 𝐚 𝑎 𝒂 𝖺 𝗮 𝘢 𝙖 𝒶 𝓪 𝔞 𝖆 𝚊 𝕒
b 𝐛 𝑏 𝒃 𝖻 𝗯 𝘣 𝙗 𝒷 𝓫 𝔟 𝖇 𝚋 𝕓
c 𝐜 𝑐 𝒄 𝖼 𝗰 𝘤 𝙘 𝒸 𝓬 𝔠 𝖈 𝚌 𝕔
d 𝐝 𝑑 𝒅 𝖽 𝗱 𝘥 𝙙 𝒹 𝓭 𝔡 𝖉 𝚍 𝕕
e 𝐞 𝑒 𝒆 𝖾 𝗲 𝘦 𝙚 ℯ 𝓮 𝔢 𝖊 𝚎 𝕖
f 𝐟 𝑓 𝒇 𝖿 𝗳 𝘧 𝙛 𝒻 𝓯 𝔣 𝖋 𝚏 𝕗
g 𝐠 𝑔 𝒈 𝗀 𝗴 𝘨 𝙜 ℊ 𝓰 𝔤 𝖌 𝚐 𝕘
h 𝐡 ℎ 𝒉 𝗁 𝗵 𝘩 𝙝 𝒽 𝓱 𝔥 𝖍 𝚑 𝕙
i 𝐢 𝑖 𝒊 𝗂 𝗶 𝘪 𝙞 𝒾 𝓲 𝔦 𝖎 𝚒 𝕚
j 𝐣 𝑗 𝒋 𝗃 𝗷 𝘫 𝙟 𝒿 𝓳 𝔧 𝖏 𝚓 𝕛
k 𝐤 𝑘 𝒌 𝗄 𝗸 𝘬 𝙠 𝓀 𝓴 𝔨 𝖐 𝚔 𝕜
l 𝐥 𝑙 𝒍 𝗅 𝗹 𝘭 𝙡 𝓁 𝓵 𝔩 𝖑 𝚕 𝕝
m 𝐦 𝑚 𝒎 𝗆 𝗺 𝘮 𝙢 𝓂 𝓶 𝔪 𝖒 𝚖 𝕞
n 𝐧 𝑛 𝒏 𝗇 𝗻 𝘯 𝙣 𝓃 𝓷 𝔫 𝖓 𝚗 𝕟
o 𝐨 𝑜 𝒐 𝗈 𝗼 𝘰 𝙤 ℴ 𝓸 𝔬 𝖔 𝚘 𝕠
p 𝐩 𝑝 𝒑 𝗉 𝗽 𝘱 𝙥 𝓅 𝓹 𝔭 𝖕 𝚙 𝕡
q 𝐪 𝑞 𝒒 𝗊 𝗾 𝘲 𝙦 𝓆 𝓺 𝔮 𝖖 𝚚 𝕢
r 𝐫 𝑟 𝒓 𝗋 𝗿 𝘳 𝙧 𝓇 𝓻 𝔯 𝖗 𝚛 𝕣
s 𝐬 𝑠 𝒔 𝗌 𝘀 𝘴 𝙨 𝓈 𝓼 𝔰 𝖘 𝚜 𝕤
t 𝐭 𝑡 𝒕 𝗍 𝘁 𝘵 𝙩 𝓉 𝓽 𝔱 𝖙 𝚝 𝕥
u 𝐮 𝑢 𝒖 𝗎 𝘂 𝘶 𝙪 𝓊 𝓾 𝔲 𝖚 𝚞 𝕦
v 𝐯 𝑣 𝒗 𝗏 𝘃 𝘷 𝙫 𝓋 𝓿 𝔳 𝖛 𝚟 𝕧
w 𝐰 𝑤 𝒘 𝗐 𝘄 𝘸 𝙬 𝓌 𝔀 𝔴 𝖜 𝚠 𝕨
x 𝐱 𝑥 𝒙 𝗑 𝘅 𝘹 𝙭 𝓍 𝔁 𝔵 𝖝 𝚡 𝕩
y 𝐲 𝑦 𝒚 𝗒 𝘆 𝘺 𝙮 𝓎 𝔂 𝔶 𝖞 𝚢 𝕪
z 𝐳 𝑧 𝒛 𝗓 𝘇 𝘻 𝙯 𝓏 𝔃 𝔷 𝖟 𝚣 𝕫
希腊字母
Α 𝚨 𝛢 𝜜 𝝖 𝞐
Β 𝚩 𝛣 𝜝 𝝗 𝞑
Γ 𝚪 𝛤 𝜞 𝝘 𝞒
Δ 𝚫 𝛥 𝜟 𝝙 𝞓
Ε 𝚬 𝛦 𝜠 𝝚 𝞔
Ζ 𝚭 𝛧 𝜡 𝝛 𝞕
Η 𝚮 𝛨 𝜢 𝝜 𝞖
Θ 𝚯 𝛩 𝜣 𝝝 𝞗
Ι 𝚰 𝛪 𝜤 𝝞 𝞘
Κ 𝚱 𝛫 𝜥 𝝟 𝞙
Λ 𝚲 𝛬 𝜦 𝝠 𝞚
Μ 𝚳 𝛭 𝜧 𝝡 𝞛
Ν 𝚴 𝛮 𝜨 𝝢 𝞜
Ξ 𝚵 𝛯 𝜩 𝝣 𝞝
Ο 𝚶 𝛰 𝜪 𝝤 𝞞
Π 𝚷 𝛱 𝜫 𝝥 𝞟
Ρ 𝚸 𝛲 𝜬 𝝦 𝞠
ϴ 𝚹 𝛳 𝜭 𝝧 𝞡
Σ 𝚺 𝛴 𝜮 𝝨 𝞢
Τ 𝚻 𝛵 𝜯 𝝩 𝞣
Υ 𝚼 𝛶 𝜰 𝝪 𝞤
Φ 𝚽 𝛷 𝜱 𝝫 𝞥
Χ 𝚾 𝛸 𝜲 𝝬 𝞦
Ψ 𝚿 𝛹 𝜳 𝝭 𝞧
Ω 𝛀 𝛺 𝜴 𝝮 𝞨
∇ 𝛁 𝛻 𝜵 𝝯 𝞩
α 𝛂 𝛼 𝜶 𝝰 𝞪
β 𝛃 𝛽 𝜷 𝝱 𝞫
γ 𝛄 𝛾 𝜸 𝝲 𝞬
δ 𝛅 𝛿 𝜹 𝝳 𝞭
ε 𝛆 𝜀 𝜺 𝝴 𝞮
ζ 𝛇 𝜁 𝜻 𝝵 𝞯
η 𝛈 𝜂 𝜼 𝝶 𝞰
θ 𝛉 𝜃 𝜽 𝝷 𝞱
ι 𝛊 𝜄 𝜾 𝝸 𝞲
κ 𝛋 𝜅 𝜿 𝝹 𝞳
λ 𝛌 𝜆 𝝀 𝝺 𝞴
μ 𝛍 𝜇 𝝁 𝝻 𝞵
ν 𝛎 𝜈 𝝂 𝝼 𝞶
ξ 𝛏 𝜉 𝝃 𝝽 𝞷
ο 𝛐 𝜊 𝝄 𝝾 𝞸
π 𝛑 𝜋 𝝅 𝝿 𝞹
ρ 𝛒 𝜌 𝝆 𝞀 𝞺
ς 𝛓 𝜍 𝝇 𝞁 𝞻
σ 𝛔 𝜎 𝝈 𝞂 𝞼
τ 𝛕 𝜏 𝝉 𝞃 𝞽
υ 𝛖 𝜐 𝝊 𝞄 𝞾
φ 𝛗 𝜑 𝝋 𝞅 𝞿
χ 𝛘 𝜒 𝝌 𝞆 𝟀
ψ 𝛙 𝜓 𝝍 𝞇 𝟁
ω 𝛚 𝜔 𝝎 𝞈 𝟂
∂ 𝛛 𝜕 𝝏 𝞉 𝟃
ϵ 𝛜 𝜖 𝝐 𝞊 𝟄
ϑ 𝛝 𝜗 𝝑 𝞋 𝟅
ϰ 𝛞 𝜘 𝝒 𝞌 𝟆
ϕ 𝛟 𝜙 𝝓 𝞍 𝟇
ϱ 𝛠 𝜚 𝝔 𝞎 𝟈
ϖ 𝛡 𝜛 𝝕 𝞏 𝟉
阿拉伯数字
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝟘 𝟙 𝟚 𝟛 𝟜 𝟝 𝟞 𝟟 𝟠 𝟡
𝟢 𝟣 𝟤 𝟥 𝟦 𝟧 𝟨 𝟩 𝟪 𝟫
𝟶 𝟷 𝟸 𝟹 𝟺 𝟻 𝟼 𝟽 𝟾 𝟿
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最近，菲尔兹奖得主在他的一篇旧博文的评论区对张益唐关于朗道-西格尔猜想的论文进行了评论。大概意思是，论文还没被确认是正确的，因为文章已经发现的各种问题，其中一些问题还是阻碍验证的过程。陶哲轩也把这些问题给张益唐说了，希望把这些问题解释一下。但是，大家也别急别催，应该耐心地等待张益唐教授的完整详细版。
本文借着这个热点事件，从数学史的角度来讲讲，当一个数学家宣布一个数学大问题被自己证明后，有哪些可能的走向。因为这些历史故事都非常精彩，读者们可以通过我们哆嗒数学网提供的线索，搜搜故事的完整版。张益唐教授的这篇论文，大致也就是这几种可能吧。
1、 论文是正确的，并且很快通过同行专家审稿验证的流程，被学界承认。
经典案例：张益唐关于弱孪生质数猜想的证明
这是吃瓜群众最愿意看到的走向。其实最难发生，但确实发生过。最近的最经典例子就是张益唐的那篇成名作了。
这篇文章交稿的时候，文章条例清楚，引用清晰，证明被形容拥有“文艺复兴之美”。尽管论文内容深邃繁复，但思路清晰明了。另外，论文中也没原创太多的新概念。这些都为审稿人的快速阅读创造了条件。这篇文章最后发到数学最顶级的期刊《数学年刊》上，按以往经验，这种级别的论文怎么也要审稿一两年。而张益唐的这篇文章不到一个月，整个审稿验证流程就完成了。
2、 论文是本质上正确的，经过漫长的审稿，几经漏洞修补，但最终确认是正确的。
经典案例：怀尔斯对费马大定理的证明
这是数学界内重大问题的常态。越是重大问题，审稿越是小心。庞大复杂的数学证明，也时常会有各种不易发现逻辑漏洞，好在有办法修补漏洞保证了正确性。
怀尔斯对费马大定理的证明大致走了这个剧本。1993年6月，怀尔斯英国剑桥大学的一系列讲座中，宣布证明了费马大定理。这个学术讲座同时展示了证明的提纲和一些重要细节。这个宣布让媒体和数学界都非常兴奋，大家奔走相告。但是数学界对于数学成果的承认不会因为媒体的声浪大小而改变。论文进入漫长的审阅验证流程。其间不断的修补小问题。但是其中有一个“小问题”最为严重，怀尔斯在另外一位数论大佬理查德·泰勒的帮助下，修补它用了一年多时间。好在结局是圆满的，1994年10月重新提交的论文修补完所有的问题，发表在1995年的数学年刊上。
3、 论文是正确的，但是业内专家都没看懂，不承认他是正确的，然后作者努力给他们讲懂。
经典案例：维拉尼关于波兹曼方程的相关论文
数学论文有没有其他同行专家都没看懂，然后产生误判的情况。菲尔兹奖得主维拉尼的自传中就描述过这样的情况。
维拉尼是波兹曼方程研究的顶级专家，他写了一本自传《一个定理的诞生》。这本书描述了他获得菲尔兹奖的过程。他提到，他获得菲尔兹奖那篇核心成果的论文中有一个关键步骤，由于审稿专家没有看懂而被多次拒稿。他非常无奈，因为这个步骤他已经解释了无数遍了，但还是有人不懂。而维拉尼采取的办法是，继续在各个地方开关于论文的讨论班，耐心解释证明细节。同时，在书写中又做了一些必要的优化。最终，论文被同行们承认。
4、 论文是正确的，但超越了时代，业内专家都看不懂。多年后被承认是正确的。
经典案例：伽罗瓦对五次方程无根式解的证明
这里还有一种情况，就是论文内容过于创新，超越了时代。那么这样的成果就只能等待时间来承认它了。
伽罗瓦对五次方程无根式解的证明大致属于这种情况。1828年，17岁的伽罗瓦将关于五次代数方程的论文交给了法国科学院。当时的大牛泊松看了论文后，批语“完全无法理解”，然后退稿。柯西瞄了一眼论文，没有发现论文的价值，后来把论文遗失了。——另外有种说法是，论文是被柯西故意扔掉的。而到了18年后的1846年，刘维尔在他创办的《纯数学和应用数学》杂志上首次发表了伽罗瓦的部分文章。而1870年约当出版的《论置换群与代数方程》一书用更有条理的方式全面介绍了伽罗瓦理论，伽罗瓦的贡献才被学界真正接受。
5、 论文业内专家说论文错，作者坚持自己对，但不解释，然后长期扯皮。
经典案例：望月新一ABC猜想的例子
神仙打架这个在数学界也是会发生的，而且是打群架。
2012日本京都大学教授望月新一发表了关于ABC猜想的论文，这篇论文几经修改后到达600多页。论文创造了一个全新的理论体系来证明ABC猜想。但是望月新一对自己的这个庞大体系不太愿意过多的主动宣讲解释。菲尔兹奖得主陶哲轩发表看法，说如果那么大的一个体系只能解决ABC这一个猜想是很诡异的事情。同样是菲尔兹奖得主的舒尔茨，甚至写了一篇文章直接说论文有错。但望月新一的支持者反驳了这些说法。进一步，京都大学要接受甚至发表望月新一的论文。有位数论界的大佬撰文讽刺道：“这是数学界的奇景。ABC只有在京都是定理，在地球的其他地方依旧是猜想。”
6、 论文是错误的，很快被发现错误，证明失败。
经典案例：布卢姆声明证明P≠NP
论文被发现错误，并被具体的指出，这是发生几率最高的事情。
2017年德国波恩大学的计算机科学家布卢姆传了一份38页长的论文，声称证明了P≠NP。但不久后业内专家发表看法，说论文中的关键步骤有着核心错误。布卢姆承认错误，收回论文。实际上，多年来有很多人声明解决了P vs NP 问题，但都被发现证明过程有误。这个问题依旧是开放问题。
7、 论文的错误过于离谱或者论文细节太缺失，业内专家都不削于发表看法。
经典案例：阿蒂亚声明证明黎曼猜想
这种情况经常见于一些没有专业训练所谓“民科”的证明宣布，但实际上也有业界大佬干这种事情。最近的例子就是阿蒂亚宣布对黎曼猜想的证明。
2018年，菲尔兹奖得主宣布证明了黎曼猜想，并在一个讲座中公布了一个5页纸的证明。由于证明细节大量缺失，而且在本来不长的论文还写了很多与数学证明的技术无关的物理思想，所以数学界没有把这个证明宣布当成一次严肃的学术发布。出于对老数学家的尊重，也没有人公开发表看法。即便过去获得过菲尔兹奖，如果论文的东西没有具体的技术性内容，学界同样对它没有兴趣。
8、 论文被业内专家承认是对的，得到学界认可。但多年后发现错误，然后重新开放问题。
经典案例：肯普对四色猜想的(错误)证明
有没有可能，包括证明发布者在内的所有的专家都错了。这尽管非常罕见，也是有可能的。
1879年英国数学家肯普发表了对四色猜想的证明。这个证明甚至得到《自然》杂志的确认。在经过同行评议后，数学界的专家们一致认为，四色猜想已经被完全解决。但11年后的1890年，英国数学家希伍德发现了肯普论文中的严重错误，并发表文章指出。于是四色猜想在被学界认为已经解决的十多年后，又变成未解决的问题。直到1976年，人们用计算机验证的方式证明了四色猜想，但计算机验证的证明算不算通过评议流程，还是一个争议话题。无论如何，肯普的四色猜想的证明成为数学史上最著名的错误证明之一是板上钉钉了。
总结一下，一篇数学大问题的论文要获得快速通过需要：
1、 论文的核心过程和核心结论本质上是正确的。
2、 论文的书写条理清晰、文字易读。
3、 面对提问积极解释和回应。
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最近，菲尔兹奖得主陶哲轩分别在他的个人博客和数学问答网站MathOverflow上发表了关于朗道-西格尔猜想的论文进行的评论。两个评论都不是正式发表的文章，而是在一些不太起眼的评论区夹缝中，写下的简短文字。
在自己的评论区，陶哲轩这样写道：
目前，手稿基本的正确性还没有确认。论文中有许多笔误和技术问题(主要集中在第11和12节)，这些问题妨碍了对论文的验证的进行，我已把这些问题转发给张益唐，请他进一步说明。比如，第64、65、67页引用了不存在的方程(8.25)和(8.26)，第67页引用了(不存在的)方程(10.)，第98和99页引用了方程(15.)，第67和69页引用了“(4)和(4)”，第63页引用了“(5)和(5)”，以及109页引用了方程(A)和(14). 在第70页的引理12.3之前(以及在前述第109页对方程(A)的引用之前)似乎也完全缺失了一个引用，并且从第96页开始出现的函数 ϰ4 从未在论文中定义。因此，手稿中的一些步骤没有有效论据支撑。这些问题(以及一些更严重的问题)可能会得到修正，但修正需要一段时间(尤其要说的，我不会去催着他上传匆忙修改的文章，而是希望是仔细校对的版本)，因此建议大家耐心等待。
文章中，陶哲轩提到的错误大致就是这样的。
另外，在著名的数学学问答网站MathOverflow上，陶哲轩也有发表看法。他评论到：
我建议在对文章的正确性达成合理的共识之前(在益唐修正完已有的问题之后)，暂时不要对这个预印版文章进行公开的讨论。我理解大家对这个潜在的重大成果的欣喜之情，但是审阅验证（期待中的未来修改后的）文章，这个漫长和谨慎的过程是必须经历的步骤。过早地对预印本文章进行公开讨论实际上会打乱和干扰这一必要步骤的进行。个把月之后，我们再回来看看。
益唐的那个精心修改和校对过的文章的版本是这篇论文是否能更快速通过审阅验证流程的关键。对于这一点，我认为在私下把论文中的问题和疑问和益唐交流是更有效的方式，比在MathOverflow这样的公开论坛上交流更好。益唐在先前没有表现出太多在这种地方讨论的兴趣.
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张益唐11月8日《关于朗道-西格尔零点猜想》学术报告速记。
要点：
1、张益唐没有完全解决朗道-西格尔零点猜想本身，而是解决了一个更弱的一个命题。但这个更弱的问题也是一个突破。原本的表述“本质上”解决朗道-西格尔零点猜想就是在这个部分解决的意义下说的。
2、论文中给的指数2024都还可以改进，按张教授设想改进到几百应该没问题，但是离1的目标这个办法应该不太可能。
3、如果这个方法成立，按张益唐推测，这也许是解析数论的突破。之前都是想办法取构造zn（后文会讲是什么zn)，而这个办法是另外一种操作。
4、论文还没有完全定稿，有很多细节需要补充。尤其是一些计算细节。
一、问题介绍
对于迪利克雷L函数，
其中χ(n)是实本原狄里克雷特征函数，χ是希腊字母,读作kai。
那么，朗道-西格尔零点猜想可以表述为，
而张益唐教授这篇论文证明的是
这里，张教授补充。这其实是比黎曼猜想弱得多的猜想，但有媒体说论文有可能推翻黎曼猜想。对于这点，张教授回应是——我没那个本事，也不会有人信。
另外，证明过程还会用到一个很初等的恒等式：
问题拆解
对于一个有限长度的实数数列，
如何判断它们都是大于等于零的，或者说如何知道这里面有没有负数。这样的问题和我们数论问题有什么关系呢？
例1：
考虑质数的特征函数：
然后对于正整数N，定义长度为N-2的序列xn如下：
这个序列中要有小于零的数，只能是后两项都等于1 。就是说，xn为负的充要条件是N=n+(N-n)是两个质数的和。
那么N取遍所有偶数，如果能证明对所有偶数生成的这些序列中都有负数的话，那就证明了哥德巴赫猜想。
例2
设f(t)是[0,T]上的连续实函数。且有N个零点，t1,t2,...,tN 。这N个零点之间的间隔都大于c，即 t(n+1) > tn + c 。如果0<a<b<c, 且
那么就能找到要么同正要么同负的两个数，但是这个办法不总是好用。
那么，还可以找一个非负数列yn, 按如下操作判定是否有负数：
而塞尔伯格给了一个改进，我们直接找zn是某个数列yn的平方形式，就是说他改进的流程变成这样：
按张教授介绍，之前做弱孪生质数的办法就是这种。之前他们的估计始终有个ε跨不过去，我就用一种办法把它跨过去了，但用的zn基本上是之前他们做的zn。而后来梅纳德的办法是找了新的zn，就大大改进了结果。
回到西格尔零点
问题的办法还是要找个xn小于零，办法还是试图找到zn，然后让和式小于零。但非常难找到，我找到很多能接近零的，但始终跨不过0这个点。
新思路
张教授的新思路是用不同路径找到两组序列an+bn 和 cn+dn ，满足xn(an+bn)^2 和 xn(cn+dn)^2都和零非常接近。然后利用一通操作（比如柯西不等式）得到矛盾。
假设xn都是大于零的，那么利用之前的那个初等的等式得到：
这会导致矛盾。
自塞尔伯格以来，人们一直在考虑有没有不是平方形式的yn来做这些问题。但是一直没产生更好的办法。感觉zn平方的办法人们已经做到极致了，应该尝试新的办法。大家肯定想过，不过现在还是在zn平方里在做。如果这个办法奏效，张教授认为应该是一个突破，这个思路可以被用于解决数论中的其他问题。
后记
提问：你之前说的本质上解决是什么意思？
张教授：（如前文所诉）在这个部分解决的意义下把这个问题的进展做了推进。
提问：2024还能改进吗？
张教授：肯定可以，但自己没去算过，感觉上改进到几百应该问题不大。
提问：这个成果有还有什么应用？
张教授：在质数等差级数分布上能有很多很好的结果。另外，了解到解析数论和代数数论中的问题也和这个有关，但自己没做这方面研究，不了解具体细节。
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如果把接下来要讲的事情写成一个故事，故事主角——一个17岁的高中生——和他父亲的对话应该是这样的：
主角：爸爸，我要去解决一个数学难题，它将近30年没人解决了。
爸爸：啥？这个问题啊…… 孩子，听我说，数学会教你做人的……
主角：你们做不出来，不代表我做不出来！我还有机会，我会全力以赴的！
然后，在博览群书半个月后，这个难题被这个少年解决了……
这不是某个“民科”的自我臆想，也不是某个爽文小说里的场景，而是最近在数学界发生的真实新闻。
丹尼尔·拉尔森(Daniel Larsen)，在他17岁，还没有任何高等教育经历的时候，解决了一个27年没有解决的数论的世界难题——卡尔迈克数满足伯特兰假定。名词都看不懂？别急我们会介绍这个问题，高中级别数学水平的人，应该能看懂问题本身。
费马小定理、卡尔迈克数和伯兰特假定
对于正整数p和a，如果p和a互质，p还是质数且的话，那么 a^p - a (x^y表示x的y次方，下文同)一定是p的倍数，这就是费马小定理。但是反过来，哪怕对于所有和p互质的a，都满足 a^p - a是p的倍数这个条件，并不一定能得到p一定是质数，就是说p有可能是合数。那么这些合数就叫做卡尔迈克数。最小的卡尔迈克数的例子就是561。
这个原始定义要验证起来比较麻烦。1899年，数学家柯瑟尔特(Alwin Korselt)提出了一种判定卡迈克尔数的等价办法：一个合数n是否是卡尔迈克数，等价于n同时满足下面两个条件：
1、n的质因数分解中，每个质因数只出现1次。
2、对于n的每个质因数p， n - 1都是 p - 1 的倍数。
比如前面的561，它分解后是3×11×17。三个质因数只出现了1次。n - 1 是560 ， 对应的三个p - 1是 2、10、16 。560分别是这三个数的倍数， 所以561是卡尔麦克数。所以由这个办法，你可以很容易判定561, 1105, 1729, 2465这四个数是卡尔迈克数。
自561被发现是卡尔迈克数后，越来越多的卡尔迈克数被发现。人们问卡尔迈克数是否是无穷多个。这个问题却异常的难，到1994年才被阿尔福德(Red Alford)、格兰维尔(Andrew Granville)，波梅兰斯(Carl Pomerance)三位数学家解决，论文发表在数学界最顶级的期刊《数学年刊》上。三位数学家的论文其实证明了这样一个命题：当n足够大的时候，小于n的卡尔迈克数至少有n^(2/7)个。
但是，这篇论文没办法给出卡尔迈克数更细致的分布，作者们在论文中提问：是否有这样的命题成立：当n充分大的时候，n和2n之间都至少存在一个卡尔麦克数。——这就是伯兰特假定。名称来源于数论中一个著名的定理，伯兰特定理：对所有正整数n，n和2n之间都存在一个质数。
然后，丹尼尔·拉尔森在17岁读高中的时候解决了这个问题。
兴趣起点
丹尼尔·拉尔森对数论研究始于数年前的传奇事件。2013年，58岁张益唐发表了一篇惊人的论文，这篇论让人们对孪生质数猜想的研究推进一大步——张益唐证明了有无穷多对质数，它们之差不超过7000万。后来，数论大咖陶哲轩组织了一大票人一起合作优化张益唐的结果，又促使数论研究前进了一大步。其中，其佼佼者就是梅纳德，他用新方法对这个问题提供了更精妙的证明。传奇的故事，加上大牛们的参与，一时间这成为了整个数学界热点事件。
丹尼尔·拉尔森显然被这个热点事件影响到了。他决定去了解这方法的工作，尤其是优化后的梅纳德和陶哲轩的工作。但是，这些论文太难了，也非常复杂。数学论文总是这样，我要阐述一个定理，会引用很多之前的已经做好的结论。但是，当你翻开这些这些引用的参考文献的时候，你发现，这些参考文献又引用了更多的前置结论——然后不断引用，大量套娃。
一般人遇到这种事情，会选择放弃。但是丹尼尔·拉尔森选择了坚持。在不断追溯参考文献的过程中，丹尼尔·拉尔森找到一篇自己能看懂的关于卡尔迈克数的一系列论文，于是开始了这方面的研究。
当然，对于丹尼尔·拉尔森，他还有一个优势，就是他的数学教授父亲迈克尔·拉尔森。
爸爸：我原以为的结局不是这样的
当父亲迈克尔·拉尔森知道他的儿子试图解决这样的问题的时候，他显然不看好。作为职业数学家的迈克尔·拉尔森显然知道问题的水有多深。
“他将会投入大量的时间和精力，结果是他可能什么也得不到。这对他的打击绝对是致命的。”这位父亲这样说。
但是，这位爸爸并没有阻止儿子的行动，因为他了解儿子。一旦确定要做什么事情，儿子会异常执着，谁也劝不回来。也许，这位父亲的心中还有另外的想法——让真正专业的数学问题赋予他一段失败的经历，或许也不错。按通俗戏谑地讲，就是让数学教他做人。
然而，故事的发展没有走通常的路径，儿子成功了。
问题真被解决了
数论可能是数学界“民科”最多的地方。这些人总数声称自己解决了什么重大的数论问题，但从他们写的文章来看，他们连最基本的基础知识都缺乏。几乎每一个数论的顶级专家，都描述过自己和这些“民科”交流的“ 实惨”经历。
当丹尼尔·拉尔森的论文完成后，也把论文发给了数论领域的一些顶级专家。让丹尼尔·拉尔森意外的事情是，其中很多专家认真地阅读了论文，并回复了他。其中就包括刚才提到的三人合作论文的作者之一的格兰维尔。2021年11月中的一天，格兰维尔打开一封电子邮件开始阅读一位17岁少年的文章。文章并不是那种通俗易懂的口水文，随着对内容阅读的不断加深，格兰维尔发现这篇文章很可能是对的。文章中的证明思想非常精彩。
最终，论文几经细节修改后，被确认是正确的。“这是一篇任何数学家都会引以为傲的论文。他是一位中学生‘小孩儿’写出来的。”格兰维尔评价道。
结局
现在丹尼尔·拉尔森在麻省理工学院上大学了。现在他没确定下一步去解决什么问题，他说他要做的是保持心态开放享受大学生活，并安安静静的上课。
但很多人已经在憧憬这位数学天才到了研究阶段的表现了。
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1850年，英格兰国教会神父柯克曼在闲暇时间提出一个数学问题：“学校有15名女生，每天3人一组出去散步。要保证每周的7天内，任何两人都有一次同组的经历，但也只能有一次同组经历。请问如何办到？”，这就是柯克曼女生问题。
在现代数学家看来，这类问题最好的办法把他们看成超图——一堆三个节点或更多的节点组成的集合。15个女生就是节点，三人同组就看成这三个节点用三条线段(图论术语会说三条边)连接成的三角形。
柯克曼女生问题实际上就是问，有没有一种三角形的排列，把这些女生节点连接起来，并且，这些三角形还不能共边。共边意味着两个女生被同组安排了两次。题设要求的安排意味着女生们每周都能相聚一次，而每一天都是和新朋友一起散步。
柯克曼提出这个问题之后，近200年来，无数相关问题吸引和困扰着数学家。1973年，传奇数学家埃尔德什提出了一个类似的问题。他问能不能构造一个超图，这个超图拥有如下两个看似矛盾的性质。性质一，任意两个节点都恰好被一个三角形包含，就和之前的女生一样。性质一要求了三角形要非常的密。性质二要求三角形要以某种精确的方式铺得足够广(具体的说，就是任意拿出几个三角形，三角形占用的结点数要比三角形本身的数量至少多出三个)。”这有点矛盾，这些物体的布局你既要求局部上稀疏，又要求整体上稠密。“加州理工学院的数学家康隆(David Conlon)如是说道。,
2022年 1 月，四位数学家通过一份长达 50 的论文，证明了只要节点足够多，总是可以构造这样的超图。伯明翰大学的数学家罗(Allan Lo) 说：“ 为了得到这个结果，他们用的办法的技术性程度令人惊叹。” 康隆也说：“这是一个非常优秀的成果。”
研究团队建立了一个满足埃尔德什苛刻要求的系统方法，该系统方法从一个随机选择的三角形的开始，极其小心地设计以后续过程以满足他们的要求。“证明里那些复杂困难的分支情况的数量是非常惊人的。”康隆说。
他们的证明策略是从一个三角形开始，细致的构造这个超图。举个例子，你可以试想一下我们提到的15个女生，然后两两相连做线段。
我们需要从这些线段上描出我们需要的、满足条件的一堆三角形：第一，任意两个三角形不共边。(满足这样条件的系统叫做施泰纳三元系)第二，让每个三角形的子集占用足够多的节点。
数学家们对此有个通俗的类比。
现在假设我们不是在描三角形，而是在用乐高积木建造房屋。你建造的前几个房子非常宏伟、坚固和精致。你建好这些后，就把它们放在旁边备用。数学家把它们称为”吸收器“。
现在，用剩下的乐高积木继续随意的建造房屋。当剩下的乐高积木越来越少的时候，你会发现一些散落的积木，和一些搭建不完善的房屋。这个时候，你可以从吸收器上抽出几个积木块，用在不完善的建筑上。因为吸收器非常的坚固，抽出一些积木不会导致严重的后果。
施泰纳三元系中，你的构造的房屋就是吸收器。吸收器在这里就是精心挑选的线段(边)。如果发现无法把剩余的三元组搭建成满足条件的三角形时，可以使用吸收器中的线段进行调整。当你做完这些调整后，吸收器本身也融入到了各个三角形之中。
吸收器的办法有时会遇到阻碍。但是数学家们修补了这个问题，他们找到了一种新办法绕过这些阻碍。比如，有一种叫做迭代吸收器的，它将线段划分成嵌套集合序列，于是每个吸收器都是会为下一级迭代服务。
”十多年来，进步巨大，“康隆说。”这已经是某种艺术形式，如果看成艺术，他们展示了一个非常高级的艺术。“
即便有了迭代吸收器，埃尔德什问题也依旧很难。”这就是问题没有得到解决的原因“，论文其中一个作者索尼(Mehtaab Sawhney)说。
比如，在迭代吸收的其他应用中，一旦你完成了一个集合的构建——无论是三角形、泰纳三元系，还是其他结构——你可以认为事情告一段落并扔在一边。然而，埃尔德什的条件要求让这四位数学家不能这样做。有问题的三角形很容易触及多个吸收器的节点。
“一个你在500 步前选择的三角形，你需要以某种方式记住，并知道如何处理它，”索尼说。
这四个人最终发现，如果他们选择的三角形足够精细，他们就可以绕过每一个小问题。“最好的办法是考虑每个由 100 个三角形组成的子集，并保证以正确的可能性挑选三角形，”索尼说。
论文的作者们乐观地认为，他们的这个方法可以推广到别的问题。他们已经将他们的方法应用于一个关于拉丁方的问题——一个简化版的数独问题。
除此之外，还有几个问题最终可能被吸收器方法解决。“组合学中，尤其是在组合设计论中，随机过程是一个非常强大的工具。” 其中一个也是关于拉丁方的问题叫做Ryser-Brualdi-Stein 猜想，自 1960 年代以来一直没有解决。
智利大学的数学建模中心的副主任斯坦恩(Maya Stein)说，虽然吸收器方法可能需要进一步发展才能解决这个问题，但自 30 年前方法建立以来，它已经走过了漫长的道路。“看到这些方法是如何进步和丰富起来，真是人生一大幸事。”
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下面的问题都是世界难题。如果你能解决其中任何一个都能在数学界斩获一个大奖。下文中，符号x^y 表示x的y次方。
1、哥德巴赫猜想猜想：每个不小于6的偶数，都可表示为两个奇质数之和。
2、考兰兹猜想，也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n，如果n是偶数，则将其除以2，如果是奇数，就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去，会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说，无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1......这样的循环。
3、勒让德猜想：任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n^2 < p < (n+1)^2
4、孪生质数猜想：存在无限多个质数p，使得p+2也是质数。
5、梅森质数猜想：形如 2^n - 1 的正整数中，有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出，已经经过380多年了。
6、n^2+1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1 是质数。
7、费马数猜想：数列F(n) = 2^(2^n)+1 ，n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n = 0,1,2,3,4时，费马数F(n)是质数；1732年欧拉发现F(5)是合数. 此后没有再发现其它费马数是质数.。
8、奇完美数猜想：是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指，它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。
9、完美长方体猜想：是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c，使得 a^2+b^2 , a^2+c^2, b^2+c^2, a^2+b^2+c^2 这四个数的平方根都是整数。
10、黎曼假设：该问题提出于1859年，即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况. 数论中有一些与之等价的命题.
11、欧拉常数是有理数还是无理数？其中的定义是 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n 在n→∞时的极限。
12、对于黎曼ζ函数，当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明，k为正偶数时，ζ(k)是关于π的有理系数多项式，所以是超越数。
13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集，A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况，这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。
14、n≥5时，拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1) = 1 ， R(2,2) = 2 ， R(3,3) = 6, R(4,4) = 18 , n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5) 是43到48这6个数中的其中一个，也无法把它验证出来。
15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n , 如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说g(m)=n。比如四平方和定理：每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和，相当于说g(2)=4。对于正整数m,n , 如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是 g(2) = 4 , g(3) = 9 , g(4)=19 , g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4, G(4) = 16，还没有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m) = 2^m + [(3/2)^m] - 2 ， 这里方括号表示取整。
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本文编译自量子杂志网站
原文作者：Steve Nadis
编译作者：Math001
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大约公元前450年，安那克萨哥拉斯终于有了静下来思考的时间。这位哲学家兼数学家的古希腊人声称太阳不是神，而是和罗奔尼撒半岛一样大的炽热岩石。安那克萨哥拉斯因此被打入大牢。作为信奉“理性统治世界”的哲学家代表，他在狱中着手思考解决一个数学问题。这就是著名的化圆为方问题：用圆规和无刻度的尺子作一个和已知圆一样大的正方形。
安那克萨哥拉斯的本来的那个问题其实在1882年就解决了。德国数学家林德曼用一套经典方法证明了尺规作图化圆为方是不可能的。他证明了圆周率π是超越数。但是尺规作图是不可能做出超越数的线段长度的，所以证明了问题的不可能性。
问题并没有因此终结，意外的是，数学家们还在这个问题上工作着。1925年数学家塔尔斯基唤醒了这个问题，他修改了原始问题的规则：如果把圆分成完全相同的有限多块，这些小块是否能重新拼成一个面积相同的圆呢？这样的问题有个统一的名字，叫做等体分解。
换句话说，如果两个物体可以分解成大小和形状完全同部分，那么这两个物体就是同等体分解的。更精确的说，如果两个物体能分解成有限多个部分，每个部分完全一致，那么就说这两个物体就是同等体分解的。
1964年的一篇论文让塔尔斯基版本的化圆为方问题有了第一次实质性的进展。论文的结论是，用剪刀是无法完成化圆为方的等体分解。着意为着，如果要解决这个问题，可能需要把圆分解成更复杂的分型：一种可能布满小洞或者无限锯齿的形状。
1990年，数学家拉茨科维奇(Miklós Laczkovich)响亮的从正面解决了塔尔斯基的问题：塔尔斯基的化圆为方问题是成立的。
拉茨科维奇证明的是，用一种复杂和非常规的图形对圆进行分解，用不超过10的50次方个小块进行移动(连旋转都不用)，这些小块就能重新拼成正方形。
但是拉茨科维奇不直接操作几何图形而得到这个结果的。实际上，他把原本的几何问题转化成了图论问题。用两个顶点集合，一个集合对应圆，一个几何对应正方形，然后之间建立两个顶点集合之间的一一对应关系，从而完成的证明。
有数学家认为，拉茨科维奇的结果让人“瞠目结舌”，拉茨科维奇的向大家展示了如何“把一个圆的掰成直的”。
拉茨科维奇的证明还有一个瑕疵。这个证明是存在性证明，在数学界被称为“非构造性证明”。他证明了事情可以办到，但没有给出分解的具体办法来说明如何办到。更让人不爽的是，分解的小块是“不可测的”，这意味着这些小块的面积不存在。
几十年后的2016年，格拉博斯基(Łukasz Grabowski), 玛斯(Andras Máthé) 以及皮胡尔科(Oleg Pikhurko)共同撰写的论文让这个问题又有了重大进展。和拉茨科维奇的论文不同，证明几乎是构造性的，就是说分解的每一个小块都有明确的描述。但还是有一个瑕疵：把圆分解成的小块并没有填充满正方形的全部，还有很小很小的一部分没有填充。这没有填充的部分面积是零，数学家称为“零测度集”。
尽管还是没做到完全覆盖，但也是这个问题的重大进步——除了一个零测度集合，我们按塔尔斯基的规则成功的用构造性的方法化圆为方。
一年后，加州大学的马克斯( Andrew Marks)和多伦多大学的安格(Spencer Unger)在这个问题上有取得重大进展，他们第一次用完全构造性的方法证明了塔尔斯基版本的化圆为方——而且是完整的拼成，没有任何多余部分。论文完整描述了如果把圆分成小块，然后重新拼成一个等体积的正方形，不再有多余的零测度集合。
这一次分成的小块更多，需要大约10的200次方块，每一个小块的结构依然很复杂。论文作者认为，这是一个缺陷，因为这些小块要站在数学家的立场才能理解，很难用形象的方式展示出来。
这就留下了改进的空间，用更少数量的小块，或者更简单的形状的小块。数学家并没有停止探索，他们已经用计算机做了一个实验，据说22块就可以，但目前还没有给出这个的证明。
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2022年7月19日，2022年度软科世界一流学科排名公布。数学学科排名方面，前十的院校较去年毫无变化，甚至前五的座次都没有改变。来自法国的巴黎萨克雷大学排名第一，美国的普林斯顿大学排名第二，法国的索邦大学排名第三。第四到十名分别为：剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、斯坦福大学(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、纽约大学(美国)、德克萨斯大学奥斯汀分校(美国)。前五名大学中，法国两所、英国两所、美国仅有一所。前十中美国占据其中五所，法国、英国分别占据两所，瑞士一所。
亚洲方面，有五所亚洲高校排名前50，并有5所高校并列在51-75名的位次。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第一，总名次是第17，日本的京都大学排名第二，总排名25名。中国内地的北京大学排名亚洲第三，总排名第42。第四、第五分别是以色列的特拉维夫大学和日本的东京大学，总排名分别是第43、第49。剩余亚洲前10的院校为，中国医药大学(中国台湾)、复旦大学(中国内地)、阿卜杜勒阿齐兹国王大学(沙特)、新加坡国立大学(新加坡)、清华大学(中国内地)。值得注意的是，来自中国台湾的中国医药大学，中国台湾的高校少见得在数学学科如此高的排名.另外，中国香港的高校继续在前10中消失。
中国高校有97所大学进入榜单，数量上较于去年下降4所。在中国的高校的排名中，排名第一的是北京大学，世界排名第42名。三所学校并列第二，分别是中国医药大学(中国台湾)、复旦大学、清华大学，他们位列51-75名次区间，中山大学、中国科学技术大学位列76-100名次区间。这些学校组成了中国的数学六强。而中国香港排名最高的是香港城市大学、香港中文大学、香港科技大学，排名是151-200。最后，哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。
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根据国际数学奥林匹克竞赛(IMO)官网消息。2022国际数学奥林匹克竞赛成绩刚刚公布，中国队以全队满分的成绩获得总分第一，参加比赛的6个人全部获得满分42分，全队获得可能的最高分数252分。韩国和美国分列第二三名，成绩分别是208分和207分，传统强队俄罗斯队没有参加。第四到十名为：越南、罗马尼亚、德国、伊朗(并列第8)、日本(并列第8)、以色列(并列第10)、泰国(并列第10)。
从1994年美国队参加国际数学奥林匹克竞赛之后，总分第一的队伍中，全队均获得个人满分的情况在之前国际数学奥林匹克竞赛历史上28年再未出现过，中国队创造了历史。(这里排除参加人数不满额的全队满分)
本次竞赛，共有10人获得个人满分。
另外，中国台湾获得总分第14名，中国香港获得总分第19名，中国澳门获得总分第49名。
从奖牌来看，中国队参赛的6个队员全部获得金牌。韩国3金3银，美国四金一银一铜。
有104多个国家参加此次竞赛。从国家数量规模来讲，国际数学奥林匹克竞赛已经成为世界上规模最大的年度国际交流活动之一。这样的活动，其实为促进各国教育文化交流，选拔顶尖人才起到了非常正面的作用。
最后，祝贺中国队以创造历史的成绩夺冠！
附本届竞赛题目（官方版)
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本文编译自+Plus网站
原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas
编译作者：Math001
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维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。
维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主，她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。
从桔子开始
运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形，即使不考虑变形，把桔子考虑成最简单的球形，也会有问题。无论你怎么装箱，都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题：我们如何排布这些球状水果，能让水果尽量多的装到箱子里？比如怎么样装桔子，可以让桔子占箱子里的空间比率最大？
"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体，"维娅佐夫斯卡说，"同时简化一下问题，球体是刚性的不能被挤压，另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"
如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大，形状的影响可以忽略不计，答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然，存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比，虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率，也称为球体堆积常数。
再来一个更简单的例子，让我们降低一个维度：我们不是将球体排布到3维空间中，而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中，最佳排布是蜂窝状排布，”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形，六边形整齐地组合在一起，彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘，您确实会出现间隙，我们能证明这的确是最密集的排布“这样，我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为
"三维空间的情形被称为开普勒猜想，已经400多年没有解决了，"维娅佐夫斯卡说，"三维空间里我们不止一个最佳堆积，我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过，就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图，我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为
1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文，加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式，因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据，所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的，他们使用了计算机形式逻辑参与验证。
高纬度的球体堆积
不用计算机，只用几页纸，维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明，即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处，但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候，传输过程有干扰的情况下，也能理解传过来的信息。
为了把控更高的维度，我们要从二维转向三维，我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户，那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示，线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系，这些方程可以帮到你。
在高维空间中，也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样，你可以给出高维空间中距离和体积的概念，然后定义包括高维球之类的各种形状，这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了，但是用代数方法可以处理它们。所以，你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。
回到2维和3维的情形，我们来看看如何从2维的情况推广到3维：先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层，从2维角度看，这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层，第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积，所以人们会想当然的认为，这种推广方式会自然的推广到高维情形。
哎呀，但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看，呈指数级下降趋势。
寻找上界
我们寻找的数是某种意义的最大值，比如说堆积密度的最大值。但是，往往没那么好的运气说找到就找到，这时候我们就要退而求其次，去找一个上界：一个数，那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。
不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法，可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度，所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图，包含4到28维的情况，绿色是下界，蓝色是上界。
这里值得注意的是8维和24维，它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的，那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它：因为存在某种非常不爽的可能性，球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说："对于信仰数学之美的人来说，这应该不可能，但信仰不是证明。"
缝合缝隙
维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上，缝合了8维空间上的缝隙。随后，又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下，完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状，只考虑球心，那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标，我们用点与点的距离统计来描述这个配置：产生的最小距离有哪些，它们占比多少？
这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情，"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空，计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状，只记录每两个恒星之间的距离。实际上，这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离，又有一定数量的恒星保持那种距离，还有一定数量的恒星保持再一种距离，那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"
用类似的思想，科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制，这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制，你需要找一个性质非常特别的函数，这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数，这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。
为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数，维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界，这个上界必须是不多不少的那种，就是说，它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为，这个函数肯定存在，但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空，"科恩在文章中提到。
这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西：用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。
维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是：
就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.
使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2，球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里，就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积，比E8格要复杂，得到24维空间的球体堆积常数是
迷之维度
到底是什么让8维和24维如此特别？"每个人都问我这个问题——我也不知道，这是个迷，"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中，那些点能被精妙的配置，使得我们能精确的计算出来，但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因，我真不知道。"
但是已经够了，就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来，无论谁用何种方法解决其他维度的情况，都能为这个人带来极高的荣誉。
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维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。
维娅佐夫斯卡是史上第二位女性菲尔兹奖得主，她获奖的成果和我们日常生活中经常见到的一些事物有关。
从桔子开始
运水果的确不是一件轻松的事情。不仅水果会经常被挤变形，即使不考虑变形，把桔子考虑成最简单的球形，也会有问题。无论你怎么装箱，都会留下缝隙。这就自然的会提出一个几何问题：我们如何排布这些球状水果，能让水果尽量多的装到箱子里？比如怎么样装桔子，可以让桔子占箱子里的空间比率最大？
"假设有个巨大的箱子以及数量巨多的球体，"维娅佐夫斯卡说，"同时简化一下问题，球体是刚性的不能被挤压，另外每个球都是相同大小。我们要尽可能多的在箱子里放置这些球。"
如果盒子很小，那么答案可能和盒子的形状有关。但如果盒子很大，形状的影响可以忽略不计，答案只取决于盒子的体积。“这在直观上很显然，存在一个最大的可以用等大小球体填充的体积比，虽然在数学上需要做一些工作才能证明这一点。” 球体堆积问题就是找到这个最高比率，也称为球体堆积常数。
再来一个更简单的例子，让我们降低一个维度：我们不是将球体排布到3维空间中，而是将圆盘排布到2维空间中。“在2维空间中，最佳排布是蜂窝状排布，”维娅佐夫斯卡解释说。通常的蜂窝每个单元都是六边形，六边形整齐地组合在一起，彼此之间没有空间。如果您以相同的模式排布圆盘，您确实会出现间隙，我们能证明这的确是最密集的排布“这样，我们就用这些同样大小的圆盘覆盖了 90%多一点的面积 。”实际上二维球体堆积常数的精确值为
"三维空间的情形被称为开普勒猜想，已经400多年没有解决了，"维娅佐夫斯卡说，"三维空间里我们不止一个最佳堆积，我们有很多比率相等的最佳堆积。"其中一种你在菜市场也见过，就算把桔子摆成金字塔的形状(见上图，我们用球代替桔子)。这种方式的堆积密度大约是74%。实际上三维球体堆积常数的精确值为
1998年有一位数学家给出了这种堆积是最佳堆积的证明。海尔斯(Thomas Hales)用250页的传统形式的数学论文，加上3GB的计算机代码和数据做计算试图证明它。这是富有争议的证明方式，因为没人能在有生之年去验证计算机产生的数据，所以海尔斯工作是否是完成了证明还没有最终确定。也有专家团队说有99%把握确认这套证明是对的，他们使用了计算机形式逻辑参与验证。
高纬度的球体堆积
不用计算机，只用几页纸，维娅佐夫斯卡给出了最牢靠的证明。这是在高维空间的球体堆积证明，即 8 维和 24 维空间。这样的工作似乎除了烧坏你的脑袋并没有什么别的用处，但事实并非如此。高维空间中的球体堆积在通讯技术中非常重要。它能确保我们通过互联网、卫星、电话传输信息的时候，传输过程有干扰的情况下，也能理解传过来的信息。
为了把控更高的维度，我们要从二维转向三维，我们把思绪再次回到中学阶段。如果你也是那种三维立体图形画图困难户，那你就要感谢代数的作用了。三维空间中的点由3个坐标值表示，线和平面等形状用相应的方程表示。如果你无法想象图形之间的关系，这些方程可以帮到你。
在高维空间中，也适用同样的原理。n维空间的点由n个坐标值表示。和2维以及3维空间一样，你可以给出高维空间中距离和体积的概念，然后定义包括高维球之类的各种形状，这些都是用方程来定义。虽然这些图形无法作图了，但是用代数方法可以处理它们。所以，你同样可以定义高维空间中球体堆积以及堆积密度的具体含义。
回到2维和3维的情形，我们来看看如何从2维的情况推广到3维：先用刚才2维上的蜂窝排布的方式把3维的球体在平面上铺一层，从2维角度看，这是最佳堆积。然后在这一层上铺第二层，第二层的球都铺在第一层的凹陷处。然后继续第三层、第四层……这样的确会产生一个最佳堆积，所以人们会想当然的认为，这种推广方式会自然的推广到高维情形。
哎呀，但事与愿违。知道其中一个维度的最佳堆积和对推算下一个维度的最佳堆积并没什么用。下图展示了4维到26维目前人们知道的最佳的堆积的下界。从图上看，呈指数级下降趋势。
寻找上界
我们寻找的数是某种意义的最大值，比如说堆积密度的最大值。但是，往往没那么好的运气说找到就找到，这时候我们就要退而求其次，去找一个上界：一个数，那个还没求出的堆积常数一定不超过这个数。
不同维度的堆积常数上界陆续被人们提出。2003年科恩(Henry Cohn)和艾尔基斯(Noam Elkies)研究出了一个非常有趣的求上界的办法，可以用于任何维度的计算。但这个办法有实际操作上的难度，所以两个人也只把这些上界算到32维的情况。结果就是下图，包含4到28维的情况，绿色是下界，蓝色是上界。
这里值得注意的是8维和24维，它们上界和下界几乎重合。如果真是重合的，那我们实际上就知道了对应维度的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯没能证明它：因为存在某种非常不爽的可能性，球体堆积常数介于上下界之间肉眼无法分辨的微小的缝隙中。科恩在《美国数学会通告》(Notices of the American Mathematical Society)发文说："对于信仰数学之美的人来说，这应该不可能，但信仰不是证明。"
缝合缝隙
维娅佐夫斯卡在科恩和艾尔基斯的工作基础上，缝合了8维空间上的缝隙。随后，又在科恩、库马尔(Abhinav Kumar)、米勒(Stephen D. Miller)、拉德申科(Danylo Radchenko)的帮助下，完成24维的工作。如果忽略球体本身这个形状，只考虑球心，那你就得到了点在空间中的配置。除了每个点的坐标，我们用点与点的距离统计来描述这个配置：产生的最小距离有哪些，它们占比多少？
这是物理学中经常用的办法。"天文学家经常干这种事情，"维娅佐夫斯卡说。"他们观测星空，计算恒星之间的距离。他们忽略空间的几何形状，只记录每两个恒星之间的距离。实际上，这些距离的统计数据一定会满足某种限制。如果你想让一定数量的恒星保持这种距离，又有一定数量的恒星保持那种距离，还有一定数量的恒星保持再一种距离，那么空间中可能不会出现这种恒星排布。"
用类似的思想，科恩和艾尔基斯证明了球体堆积的距离分布也需要满足特定的限制，这让他们得到了球体堆积常数的上界。要完全满足这种限制，你需要找一个性质非常特别的函数，这就是难点。科恩和艾尔基斯只能逼近这个函数，这就是他们只能从逼近层面得到上界的原因。
为了求出8维(以及之后的24维)的球体堆积常数，维娅佐夫斯卡就需要更进一步。它必须找到一个“神奇函数”。这个函数不仅仅是只能估计上界，这个上界必须是不多不少的那种，就是说，它正好等于8维空间中的球体堆积常数。科恩和艾尔基斯认为，这个函数肯定存在，但没办法求出来。"那个神奇函数似乎来自虚空，"科恩在文章中提到。
这就是维娅佐夫斯卡真正实现的东西：用了一个前人从没考虑过的“大胆构造”,它做出了一个满足条件的函数。
维娅佐夫斯卡证明了8维空间中球体堆积常数是：
就是说等体球体最多能填充25%左右的8维空间.
使用的填充方法叫做E8格球体填充。所用的球体半径都是1/√2，球心是全部格点(坐标都是整数的点)以及两个格点连线的中点(还要求格点端点的所有坐标值之和为偶数)。E8格和E8例外李群有关系。在8维空间里，就没办法图形展示了。24维空间用的是利奇格(Leech lattice)堆积，比E8格要复杂，得到24维空间的球体堆积常数是
迷之维度
到底是什么让8维和24维如此特别？"每个人都问我这个问题——我也不知道，这是个迷，"维娅佐夫斯卡说。"在这两种维度中，那些点能被精妙的配置，使得我们能精确的计算出来，但这样性质良好的配置其他维度都没有。你问我原因，我真不知道。"
但是已经够了，就8维和24维的证明已经足以让维娅佐夫斯卡获得数学界的至高荣誉了。未来，无论谁用何种方法解决其他维度的情况，都能为这个人带来极高的荣誉。
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原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas
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梅纳德(James Maynard)是2022年菲尔兹奖得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。
梅纳德是数论的顶级专家，这次得奖几乎是众望所归的。
数论、质数
"数论在我心目中的地位是独特的，甚至在我正式学习它之前就已经如此，"梅纳德说。数论，研究整数性质以及研究整数之间相互结合产生新数的学科。数论就是梅纳德的一个学术性的游乐场，这是让梅纳德从孩提时代就流连忘返的地方。
处于数论中心位置的东西就是质数，只能被1和其本身整除的正整数。因为不能再因数分解，质数经常被人们描述成数论的原子。每个其他正整数都能被这样的原子"做"出来，任何正整数都能写成一些质数的乘积。比如24 = 2 × 2 × 2 × 3，再比如110 = 2 × 5 × 11。
其他的质数，也能用类似的办法写成这样质数乘积的形式。
孪生质数猜想
梅纳德一个最重要的贡献就是关于孪生质数猜想的。几千年前 ，我们就已经知道质数有无穷多个，但是这些质数排布在数轴上的时候，却没有非常明显的规律。"通常情况下，你顺着数轴的方向看，质数之间的间隔会越来越大，"梅纳德说，"但是孪生质数猜想说，就算从大面上质数的间隔越来越大，也有极少数的质数会互相挨着非常接近。理解质数间隔是理解质数分布最基本的问题。"
除了2，左右质数都是奇数，所以质数之间最近的间隔就是2了(只看大于2的质数)。刚开始，很容易找到一些间隔最小的质数，它们被称为孪生质数：3和5、5和7、11和13都间隔2。但随着数的增大，这种质数在数轴上越来越难找到。数学家们都相信，能找到无穷多的孪生质数，这就是孪生质数猜想。
孪生质数猜想是数论中最著名的猜想之一，它表述简单，但一直没被证明，几百年来一直让数学家着迷。经过数百年的探索，在2013年取得了一个重大突破。张益唐证明了有无穷多对质数，它们的间隔小于7000万。"对数学家来说，这是一个巨大的突破。这是人类第一证明了质数具有一个有限的间隔"，梅纳德说，"尽管7000万比2大很多很多，但7000万比无穷大小多了。"
张益唐的突破和筛法有关系。筛法是在证明过程中，筛掉不需要整数的办法。最初等的例子是埃拉托色尼筛法，他能筛掉所有不是质数的数。从2开始，在数轴上去掉所有2右边所有2的倍数。这样2的右边，最小没被去掉的整数就是3，再把3右边所有3的倍数去掉。这样3右边没去掉的整数是5，这样重复操作下去。桑达拉姆筛法也能筛掉不是质数的那些数，但它基于一种算术级数(就是等差数列)来做筛选。
"筛法是数论研究中，将已理解的信息转换为你试图知道的信息的有利工具，"梅纳德说，"如果你知道关于算术级数的一些具体技术手段，那么你就可以用它转换一些关于质数最近间隔的信息。"筛法初看下很简单，但很多时候，要用一些很强的数学结论才能让它发挥作用。张益唐的成果的强大在于，可以通过控制输入的方式来让筛法得到想要的信息。
梅纳德的方法却不同："不是对筛法去改进输入而是改进筛法本身，这个方法在将一种类型的信息转换为另一种类型的信息方面变得更加有效，这意味着我们只需更弱的输入来获得关于素数间隔的结果。"通过这种新方法，将间隔从 7000 万大幅减少到只有 600。在与更多的数学家进行了一系列合作之后，我们现在已经知道存在无穷对质数，它们之间的间隔只有不超过246。
即使取得如此巨大的进展，孪生质数猜想的证明仍然难如登天。工作仍在继续，通常这需要全新的方法去证明。在新方法的研究中，梅纳德证明了一个有趣的结果，给定任何一个10进制正整数，存在无穷多个质数，它的十进制表示不包含给定的正整数(包含是字符串意义的包含，比如1231，312都包含12，但不包含39)。在这个阶段很难知道孪生质数猜想何时会被完全证明，但梅纳德依然乐观的表示：“我们离证明孪生素数猜想还有差一个关键思想，但也许我们只差关键思想。”
要么全都是要么全都不是
数论中有大量长期存在的猜想以及悬而未决的问题。证明孪生质数猜想可能还有一段很长的路要走，但最近梅纳德与他的同事库库洛普洛斯(Dimitris Koukoulopoulos) 证明了另一个重要猜想。
1941年提出的达芬-谢弗(Duffin-Schaeffer)猜想，它是一个关于有理数逼近无理数能力的一个猜想。实数是由有理数和无理数组成的。有理数能写成两个整数p和q的商p/q，而无理数是写不成这样形式的那些实数。最著名的就是圆周率π，它等于3.1415926...是一个不能写成整数之商的无理数。我们只能用有理数去逼近它。比如，我们只用保留两位小数的3.14来作为π的近似值，那么对应的分数就算314/100。但用的两个数都有点大，实际上22/7是一个更精确的逼近。
"就是说22/7可以算是更有效捕捉π的算术信息的近似值，"梅纳德说。理解实数的有效逼近(也称为丢番图逼近)以及这些逼近的分布可以为数论学者提供非常重要的信息。达芬-谢弗猜想使得有效逼近在什么情况下存在或者不存在的判断变得简单。
如果你试图让你的近似值具有一定的精确性。而且这个近似值会随着分母q的变化而得到一个p/q。达芬-谢弗猜想说，通过简单的计算可以告诉您，在"几乎"意义下，要么对所有数都有指定类型的有效逼近，要么没有。
"达芬-谢弗猜想说，要么是那种除了极少数的例外都能做有效逼近，要么根本做不到有效逼近。"梅纳德说，"而且猜想告诉你了一个简单步骤来让你知道能做还是不能做。"
这初看下似乎没那什么用，但它为数学家提供了一个强大的工具。“有很多数学命题，数学家希望它任何情况下都是对的，但事实证明有一些令人讨厌的反例，”梅纳德说。“但如果这些反例情况相当罕见，那么结果就是这些反例并不那么重要。”
玄幻
梅纳德的工作被描述为“非常巧妙，经常在当前技术看似无法解决的重要问题上取得令人惊讶的突破。” 尽管他硕果累累，获得菲尔兹奖仍然令他惊异。“当坐在办公桌前拨弄数学玩具的时候，我不觉得自己在数学上获得了巨大的荣誉！”
虽然获得菲尔兹奖这个数学界最高的奖项之一是一项巨大的荣誉，但梅纳德依然觉得这个奖项令人敬畏，而且有点玄幻。“可以这样说，我脑海中浮现的数学史上的传奇数学家们都是令人敬畏的。当我还是个孩子的时候，这些数学家都是我仰望的人。”他说。"我也得奖了，这太玄幻了！"
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本文编译自+Plus网站
原文作者：Marianne Freiberger 、 Rachel Thomas
编译作者：Math001
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许埈珥是2022年菲尔兹奖的得主之一。菲尔兹奖每四年颁发一次，只颁发给40岁以下的数学家，被誉为数学界的最高荣誉之一。
许埈珥的故事在数学界一定会是一段经典的传奇
这位数学家太非同寻常
能成为顶级数学家的人，在他们小时候一般都被视为“神童”。很早就表露出天赋，在学校里夺得所有的数学竞赛的奖牌，并按照命中注定的伏线走向通往伟大的道路。
许埈珥是完全的另类。小学时成绩就不好，高中时觉得上学无聊，书不念了去写诗。他最终选择了做数学，不是因为这个学科，而是因为一个人。就当他即将从首尔大学的物理及天文专业毕业的时候，他了解到著名数学家广中平佑在他学校开着一门课。“我对数学一无所知，但我看过广中平佑自传。这人非常有趣，所以我就选这门课了”
课程是对广中平佑所作工作的即时反馈，讲述了他最近产生的对数学的思考洞见。"这是我第一次见把数学当职业的真人"，许埈珥说，"我第一次把数学当作人类活动而接触这个学科"。这种人类活动带来的愉悦让许埈珥深陷其中，如痴如醉。
肉眼可见的数数
许埈珥说他做的数学非常直观。因为数学训练不多，职业生涯的初期他只关注如他所说的“肉眼可见”的对象。“现代数学的很多领域都研究得非常深入了，你光理解领域内的核心问题都要好几年时间，”许埈珥说，“这就像天文学，你要做出成绩，需要先入手一个百万美元的望远镜。”
组合数学就不太一样：组合数学是数数的艺术，数的东西总能数得出来。因为那些东西都是有限多个，而且还是离散的。组合数学中最典型的问题是，一种扑克牌的牌型有多少种。“所有的东西都是实实在在的，你甚至可以触摸到它们”，许埈珥说，“组合数学就算我肉眼能看到的那部分数学。”
如果数数被认为是数学的基柱之一——人们小时候做的第一类数学活动，从生物角度看，我们人类在诞生之初就做在做这样的事情——那么还有一个基柱必须是几何。“几何对所有人来说都是相同的，”许埈珥说。“我们是视觉动物，视觉是我们的主要感官。我们通过视觉产生的几何而不是通过声音、味道或气味来了解我们周围的世界。”
虽然您可以在不遇到概念困难的情况下进行大量计数，但几何图形更具欺骗性。一个多节土豆的形状是我们一看到它就会立即得到的东西，但是当我们没有图片来描述它时，我们很快就被难住了。“几何很难形式化，”Huh 说。“它包含大量信息，尤其是当您将其与我们的语言和逻辑的复杂性进行比较时。”
虽然你可以在不基于任何高深数学概念的情况下进行数数，但几何上的计数会有很多误导。比如我们很容易看清一个长有很多疙瘩的土豆，但当我们没有一个合适的图形描述它的时候，我们就会犯难。"几何很难被形式化"，许埈珥说，"尤其和我们的语言和逻辑对比的时候，你会发现几何包含的信息实在太多了。"
然而，当你使用方程的时候，奇迹发生了。比如方程y=x精确定义了一条平面上的直线。对直线上每个点匹配一个坐标(x,y)，然后这些把满足方程的所有坐标标记出来即可。
同样的方法，你可以回忆你中学学过的方程y=x²，这是一条抛物线。
类似的，不同的方程能描绘出不同的形状。这就和那种不规则的土豆不同，我们就可以用代数工具来研究几何了。数学中这是一个专门领域，叫做代数几何。
“在代数几何中，为了精确表述一个几何空间，你要做的就是写下一个方程，甚至这个方程都不是很复杂，比如多项式方程。” 许埈珥说，“你可以把它写在你的小本本上，然后看看——这是你可以看得见摸得着的东西。这是我职业生涯初期中唯一能动手做的东西。这就是为什么代数几何也吸引了我。
唯一的最小值
许埈珥获得菲尔兹奖的数学成果是非常艰深的理论，涉及代数簇和霍奇理论。但当让许埈珥说出一个他自己引以为傲的成果时，他说的是一种用一些简单信息暗含深刻结果的一些数学方法。这个方法建立了连续和离散的桥梁，就算不从数学考虑也很有意思。
为了描述这个方法，我们还是从之前的抛物线y=x²开始。