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“特征向量新公式”不能改变数学,但也许能改变你的解题方法

 

 

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不得不说最近关于“陶哲轩的线性代数新公式”成为数学圈内最热的话题,从开始的惊诧到后面八卦娱乐,让不少人充满了欢乐。我们哆嗒数学网也发了文章,说明论文中的所谓的“新公式”并非首发。在这篇文章之前,这个公式已经不止一次出现在其他论文或者教材中了。其中目前发现最早有记载这个公式的论文在四十多年前的1968年。

 

 

 

这里我们希望每一个关心这件事情的人不要嘲笑当局者的任何一方,毕竟数学学科树大根深,谁也不知道从哪个犄角旮旯里出现了一个大家都不熟知的“沉睡”了许久的简单结果

。就算菲尔兹奖得主陶哲轩,也不例外,不是是什么零零碎碎的知识,他都能迅速通过肉脑搜索出来。他出现这个乌龙,一点也不奇怪。

 

喧嚣过后,我们哆嗒数学网的小编们突然想到,这个公式本身是真的,不是吗?再进一步思考发现,难得有菲尔兹得主发表的文章,其中的数学内容能让一个普通的大学生有可能看得懂、理解的了,说不定还能欣赏、评鉴……

 

——而且这还是网上热点,绝佳的一个聊聊线性代数的机会不是吗?

 

好了,我相信大多数关心这个新闻的人都还不知道这个公式具体是啥,因为数学家们使用的符号会让让人吓得退避三舍,不敢再深究。这篇文章将把正在读这篇文章的人看成非数学系的理工科考研党(或者相应水平),用一个简单的例子来解读这个公式到底在说啥。

 

首先,你都是考研党了,一定会复习线性代数这门课程的内容。知道矩阵、特征值、特征向量概念。陶哲轩的这个公式就是针对埃尔米特矩阵求特征值的公式。什么不知道什么是埃尔米特矩阵?不慌,这个类型的矩阵可能不是每一个学习线性代数的同学都会学,但是另外一个概念一定会学:实对称矩阵——矩阵里每个变量都是实数,且其转置等于本身的方阵。实对称阵是一种特殊埃尔米特矩阵,作为考研党的你,就把这个公式结果认为是针对是对称阵的,这样不会影响你品味这个公式。

 

好了,你理解了,这是一个可以对实对称阵求特征向量的公式。无论你大学老师还是你的考研辅导班的名师都会告诉你求方阵A特征向量的流程:

 

第一步:计算行列式|λI-A|=0的根,这个行列式的结果是个n阶多项式,会得到n个特征值,这里可能有重根。

 

第二步: 对刚才每个特征值λ,解线性方程组(λI-A)X=0,找到每个方程的线性无关的的解,得到的解就是特征值λ对应的特征向量。

 

这里,帮你回忆一下用到的知识点,第一步你要会求行列式、大多时候你还要分解因式来求解方程的跟。第二步,你要用到解线性方程组,有可能用到高斯消元法。

 

陶哲轩的那个新公式告诉你,哪怕你很菜,直到你上考场之前,都没掌握解线性方程组的方法,你一样也有可能解出特征向量,而且用到的知识点全部都在第一步当中——你只要会求特征根就行。

 

——少记忆一个知识点,这样讲是不是很吸引人?

 

这个公式会在第二步回拆成下面几个分步做:

 

新第二步第一分步:删掉A第1行第1列的元素,得到子矩阵,删掉A第2行第2列的元素,得到子矩阵,……,删掉A第n行第n列的元素,得到新矩阵。最后得到n个子矩阵。

 

新第二步第二分步:每个子矩阵计算特征值。这样每个子矩阵有n-1个特征值,这样的特征值有n组。

 

新第二步第三分步:通过以上不同地方计算得到的特征值,直接计算每个特征向量的分量值的绝对值。在通过线性无关的关心决定去掉绝对值的选取的符号。

 

 

陶哲轩的公式在原文里是这样的,很吓人。

 

 

 

于是,我们针对三阶实对称方阵来把他简化成下图这样。

 

 

 

我们做一道具体的题目,就算下面这道,怎么样,是不是很像你们的课后习题或者期末考试题?

 

 

 

这道题很容易算出x,y的值。最后就算找一个正交矩阵做对角化的问题。那个要找的矩阵P就算单位化的特征向量拼成一个矩阵而已。

 

特征值是,2,1,-1 ,也就是:

 

 

 

按传统做法,回去解下面的三个线性方程组,分别得到特征向量。最后得到P。

 

 

 

新公式的办法,会先分列子矩阵,分别计算特征值。

 

 

 

然后套公式解出每个分量的绝对值。

 

 

 

你会发现,有两个特征向量的每个分量绝对值是完全一样的,因为特征向量需要线性无关,于是很容易决定正负号的选择。另外哪个是特征值1对应的特征向量,哪个是特征值-1的特征向量还要做乘法试一试。

 

这样同样能得到P的结果:

 

 

 

当然,我们曾经试图使用这个方法想办法解决四阶方阵的问题,一般计算量会更大,并不实用。

 

好了,不知道你在考试中这样做会不会得分,不过的确没有解过任何线性方程组,答案也是对的。

 

总之,祝你好运!

 

 

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陶哲轩的线性代数的“新”公式并没颠覆任何东西

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这两天一篇标题为《3个搞物理的颠覆了数学常识,数学天才陶哲轩:我开始压根不相信》。文章内容大致是说,一群搞物理的人请教陶哲轩一个看上去非常简单的公式,请教陶哲轩。陶哲轩发现这个公式是对的,但是教科书居然没出现过。然后文章感叹,这将颠覆线性代数的教科书。

这个公式真没在教材出现过吗?

也有人翻到的中文教材,介绍的公式形式上和这个一样,不管陶哲轩的条件是对埃尔米特矩阵,这里上三对角矩阵。不过,我们哆嗒数学网的网友,用书中的证明过程,做一些非本质修改,据称能证明埃尔米特矩阵的情况。


还有网友翻出了1968年的发表在《线性代数及其应用》(Linear Algebra and its Applications)上的文章,在第一卷, 211-243。其中介绍了这个公式。

而这篇文章应用的《量子杂志》原文,也在11月14日有个更新:大意是说有篇没有正式发表的2014年手稿也介绍了这个公式,陶哲轩承认这个事情。

现在很多当事人也出来说话了。

 

首先是论文作者之一张西宁,他发朋友圈公开用中文辟谣。这个公式非原创!

然后,陶哲轩在自己博客辟谣,自己发现了之前这个公式的很多等价版本。这个公式非原创!

 

现在,恳请大家现在开始帮忙辟谣。这个公式非原创!

 

数学是经常诞生神奇的地方,但这个公式不是!

 

 

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为什么在等公交车时,要等的车总还没有来?

作者:小米,哆嗒数学网群友。

 

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概率是数学里刻画随机性的一个有力工具。借助概率模型,我们可以严格地讨论像“将一枚硬币随机抛起,得到正面或反面的概率为多少”这类随机现象。

 

很多时候,概率可以用数学公式准确地表述我们一些直观的感觉。例如,对于“今天是阴天,所以更有可能下雨”这个论断,我们就可以借助概率中相关性的概念来理解。

 

但是有的时候,如果仅从直观上对“随机性”进行理解而不经过严格的数学推理,却可能导出一些错误的结论。例如有名的“伯特兰悖论”:考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选圆上的弦,则此弦的长度比三角形的边较长的概率为多少?伯特兰提出了三种“随机”选取弦的方法,却导出了不一样的结论。

 

“伯特兰悖论”说明,在用概率处理问题时,我们需要明确随机性是如何产生的。这个过程的严格化是由柯尔莫格洛夫的概率论公理化解决的。并不是所有的“随机性”都能够在数学上站得住脚。例如,在1到10之间随机(等概率地)选取一个整数是可以做到的,而从全体自然数中随机(等概率地)选取一个整数则是不可能的。

 

今天我们要讨论的问题也是一个乍看上去与直觉相悖的例子。假设有一路公交,每班车发车间隔有50%的机率是10分钟,有50%的机率是20分钟。现在你到家楼下的车站坐车,又假设每分钟有一名乘客到达车站等车,那请问当你上车时,乘客排队的平均队伍长度是多少?

 

直觉上答案应该是(10+20)/2=15。理由如下:由于乘客到达的速率恒定,所以上车时队伍的长度与你坐上的车的发车间隔成正比;由于发车间隔有50%的概率是20分钟(对应队伍长度20人),有50%的概率是10分钟(对应的队伍长度为10人),所以平均下来应该是20和10的平均数,即15人。

这个论证有没有问题呢?我们把问题适当抽象一下,也许可以看出一点端倪。假设发车间隔以50%的概率为a,50%的概率为b,那么按照前面的论证,平均队伍长度应该是(a+b)/2。但是,我们可以考虑一种极端情况,就是a很小而b很大的情况。比如假设a是1秒钟,b是1小时。这样,我们可以把相隔一秒钟的两辆车几乎认为是“同时”到达的。那么我们就面对着如下的情况:很多辆车可能一起到站,但是下一次有车隔1个小时。在这种情况下,因为我们很难刚好碰上有车到站的时刻,队伍的长度其实会是1个小时的队伍,也就是b。

 

那么为什么直觉带来了错误的答案呢?原因是我们混淆了“平均发车间隔”与“平均等车时间”这两回事。虽然它们都是一个随机的时间长度,但是里面的随机性是不一样的!

 
 

一班车的时刻表可以用下面这张图来刻画。我们把数轴分割成一些首尾相接的区间。区间有两种:一种是较长的蓝色区间,代表发车间隔为b;一种是较短的红色区间,代表发车间隔为a。区间的端点代表着公交车到站的时刻。

 

那么两种随机性分别是指什么呢?当我们说“发车间隔随机地选取a或b的时候”,随机地用两种长度的区间来分割数轴,也就是说,当我们选取一段很长很长的时间来观察的时候,里面出现的红区间和蓝区间的数目各占约50%。而当我们讨论“平均等车时间”的时候,我们是在数轴上任取一点,考察它是落在红区间上还是落在蓝区间上。

 

但是,因为蓝区间比红区间要长,所以即使红区间和蓝区间的数目“大致相等“,我们”随机“选取一个点还是更可能落在蓝区间中。这导致了在计算”平均等车时间“的时候,红区间与蓝区间出现的概率改变了!

 

更具体地说,在这个例子中,因为红区间长为a,蓝区间长为b,所以在它们的数目为1:1的情况下,占据的时间长度大概为a:b。因此在计算“平均等车时间“的时候,红区间出现的概率为a/(a+b),而蓝区间出现的概率为b/(a+b)。所以最后的平均等车时间为


 

当然,这里我们计算的“平均等车时间“其实是队伍里排队最久的人所等待的时间(在我们的设定下这就是队伍的总长度)。如果我们只是随机地到达车站,那么可以想象平均来说,我们将会排在队伍的中间,因此我们的真实等待时间其实只有上面计算结果的一半。

 

上面的论证过程也有一些不够严格的地方。其中之一就是如何定义“随机“在数轴上选取一个点。为了解决这个问题我们需要转换思维。我们把班车到达的时刻看作是一个实数上随机的点集,满足相邻的两点之间的距离随机地为a或b,并且还具有某种时间上的“均质性”,数学上也叫“平稳性”。这时,我们也不需要去抽取数轴上任意一个点,而只需要固定一个点,例如原点,考察原点所在区间的长度。由于时间上的均质性,任意固定点都是一样的。从一个平稳的点过程出发,在一个固定点去观测会得到特别的统计结构,这就是帕姆—辛钦(Palm—Khinchin)理论。简单地应用在我们的等车例子中,假设发车间隔的分布具有密度函数ρ(x),那么原点所在区间的长度具有密度函数正比于xρ(x)。这里的因子x表明长度越长的区间越有可能被我们观测到。

 

这个例子也说明了,观测结果有时候会影响观测过程,比如在这里,较长的发车区间增加了我们观测到它的概率。这和“幸存者偏差“的产生有着同样的逻辑。当我们很久等不上车,这并不是因为我们自己特别倒霉,而是从理论上,人就更可能花更长时间等车。也许呢,生活中的不顺也并没有我们想象的那么多。

 

 

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用最不专业的语言来介绍一下专业的p进数

 

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我不是搞数论的,但我一直对p进数(p-adic numbers)有一种遥远的迷恋。我有一张关于一些我想要写一写展示在我的博客上的“简洁数学主题”的清单,p进数就在那张清单上,因此我很高兴在2008年11月的那一期的《大学数学杂志》(College Mathematics Journal)上看见了由 Andrew Rich 撰写的,标题叫做《左撇子数》的一篇有关p进数的有趣的文章。

 

 

通常的p进数的构造方法对非专业人士来说相当复杂,这里仅仅是简单地介绍它的思想。

 

 

我们从有理数开始有理数集是能够被写成分数的数的集合。有理数的例子有4,13,2.1,22/7,0.333333…有理数中有很多的“洞”,填补这些“洞”的方法也有若干种。

 

从有理数走到实数——我们用通常的填补这些“洞”的思想方法创造出了实数的集合。举例来说,我们想让有理数列3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159…收敛,于是我们创造了一个叫π的新数来当做这个数列的极限点。要想理解这件事我们需要明确什么叫“逼近”,按朴素的通常理解,如果两个数数位上的数码向右数时有很长一段是一致的,那么这两个数就是“逼近”的。

 

 

如何从有理数到p进数我们用类似的技巧来构造p进数,不同之处在于我们选择了一个新的关于“逼近”的定义。(当我们讨论p进数时,p是某个特殊的数,通常是素数,且数的数码为0,…,p-1。)现在如果两个数数位上的数码向左数时有很长一段是相同的,那么我们称这两个数是“逼近”的。于是10进数0.03,0.53,6.53,96.53,196.53,1196.53,21196.53…变得越来越靠近某个数。

 

 

通常的实数,在小数点左边只有有限位数,而在小数点右边可能有无限位数。然而,如我们所见,p进数总是可以被写成小数点右边有有有限位数,而小数点左边可能有无限多位数码的形式(这也是为什么Rich称它们为“左撇子数”)。举个例子,33.333333…不是一个10进数,但是…333333.33是。特别地,上一段落给出的数列收敛到某个10进数…21196.53。这里我们给出这种构造的一些比较酷炫的结论。

 

 

1.加法。我们可以对两个p进数相加。这里有个10进数的例子——正常相加,向左进位。(注意到加法是从右向左进行的,所以无限位p进数的加法比无限位实数的加法要容易很多。)

 

 

 

2.乘法。像加法一样,两个p进数的乘法也是可行的,而且实施起来也比实数容易很多。

 

 

 

3.减法。p进数里没必要为负数标记一个负号(-)。比如说,作为一个10进数,我们可以把-16写成…999984。要想证明这一点,我们只需要观察到16+(…999984)=0:

 

 

类似地,我们可以证明每个p进数都有这样一个“正相反数”,于是我们往往会把减法转化成加法来做。

 

 

4.p进有理数。每个p进有理数都可以被写成小数点右边有有限多位数码的形式。例如,我们一般会认为1/3等于0.3333…,但是在10进数中我们会把它写成…666667。要证明这一点,我们只需要观察到(…666667)*3=1:

 

此外,Rich在文章中给了证明,一个p进数是有理数当且仅当它的小数点左边的数位上的数码向左无限循环(这与实数的情形形成一种漂亮的对称,在实数中一个数是有理数当且仅当它的小数点右边的数位上的数码向右无限循环。)

 

 

5.除法。除法会怎么样呢?Rich在文章中说明,把两个10进数相除通常可行,但不总是可以。麻烦之处在于可能有两个非零的10进数x和y满足xy=0。细节可以参见那篇文章。然而我们要重点指出,如果p是素数,那么这种情况不会发生。当p时素数时,每个非零的p进数都有一个倒数,这时我们就可以对两个这样的数做除法。

 

 

6.关系这是关于p进数的最后一个奇怪的事实。众所周知如果x和y是两个不相等的实数,于是要么x<y成立,要么y<x成立。但是,在p进数中没有这样的线性序关系。

 

 

7.  来点高级数学概念——数学上有更多方式来描述这些结论。如果p是素数,那么p进数形成了一个包含有理数的完备度量空间(它是有理数的完备化),且是一个域。(注意到因为除法的问题,当p不是素数时,p进数不再是域,仅仅是一个环)

 

要想了解更多细节,例子和证明,可以参见Andrew Rich的好文章“左撇子数”。

https://www.maa.org/publications/periodicals/college-mathematics-journal/college-mathematics-journal-november-2008

 

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软科公布2019中国最好学科数学排名

 

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”日前公布了公布了“2019中国最好学科排名”,包括96个一级学科,其中也包括了数学学科排名。
 


中国最好学科排名的指标体系由高端人才、科研项目、成果获奖、学术论文、人才培养5个指标类别组成,对应10余个指标维度,包括30余项测量指标。按排名官网说法,所有指标均为客观指标。如何你有兴趣,可以去该排名的官网查看。

 


 
数学排名公布了134所的学校。第一名是北京大学,山东大学和中山大学分列第二、三名。第四到十名分别是中国科学技术大学、复旦大学、清华大学、西安交通大学大学、浙江大学、南开大学、武汉大学。中科院大学没列入榜单。前10名的中,有9个同样是去年的前10名,唯一例外是南开大学,从2018年的第11名升至2019年的第9名。而2018年第7名的四川大学,在2019年的排名中跌到第15名。
 
 
 
以下是详细榜单,我们对任何排名的意见都是——你可以有任何意见!

 

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R语言令人意外的能做到这10件事

 

本文原文来自SimplyStatistics网站

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:风无名

 

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过去的几周里,我和来自计算机方面的同行进行了一些交流,他们对R语言颇有微词。当中的很多人都将怒火集中于R语言在统计分析上显而易见的局限性。

 

 

 

的确,R语言在CRAN,Bioconductor、Neuroconductor、ROpenSci以及其他好的包管理网站都有很多非常棒的软件包。当我进行交流的时候,我意识到R语言已经从只能做数据分析的语言成长为一种多用途中介性语言。但是,在数据分析之外,R语言的功能则所知甚少。所以,这篇文章介绍了一些非常奇妙的R语言特点,它们可能广为人知,也可能鲜有所闻。这里基于Kara一篇《R语言可以做的简单事情》推文,我列举了十项R语言可以做但你又可能不知道的事情。

 

 

 

1.  你可以通过R markdown程序写出可以再次编辑的Word和Powerpoint文档

 

只需要在YAML中修改一行代码,rmarkdown包就可以为你生成可以再次编辑的Word和Powerpoint文档。

 

 

2. 你可以只用几行代码构建和部署交互式网络应用

 

只需要几行代码,你就可以用R语言来创建一个交互式网络应用。例如,使用flexdashboard包,添加36行代码,你就能生成一个可以研究你的BMI和NHANES样本之间关系的交互式控制面板。

 

 

 

3. 你可以只添加一行R代码便可实现网站应用托管

 

在R语言中建立网站应用的另一件很酷的事情。通过使用rsconnect包,只需要额外添加一两行代码就可以将你的网页应用编译运行,接着你就可以把它们放在网站上。你可以把它发布到你自己的服务器上,甚至更简单的,放到类似于shinyapps.io的云服务器上。

 

 

4. 你可以通过dplyr/dbplyr包来获取数据

 

通过使用dbplyr包,你能够很轻松地连接任何一个(本地或者远程)数据库。这允许R用户独立的从几乎所有的公共数据库里面提取数据。你也可以使用特定的包,例如bigquery包可以直接连接BigQuery,或者其他高性能数据库。

 

 

 

5. 你可以在本地或多个不同数据仓库上的数据上使用相同的 dplyr 语句

 

一旦你学会基本的dplyr数据转化规则,你就可以应用相同的代码对你本地的数据和数据库和数据仓库里的数据进行分析。及使面对各种各样的数据库和编程语言,dplyr包都为开发者提供了简单又统一的数据处理方式。

 

 

 

6. 你可以用keras和Tensorflow来拟合深度学习模型

 

Keras包允许你直接通过R来拟合之前训练过的和重新拟合的深度学习模型。你也可以使用Tensorflow来做这两件相同的事情。

 

 

 

7. 你可以用R语言构建API,并为API提供各类服务

 

通过plumbr包,你可以将R函数转换成可集合到下游软件的web API中。如果你有RStudio Connect软件,你也可以像发布网络应用一样非常方便地发布你的程序。

 

 

 

8. 你可以通过R语言游戏交互界面

 

你不仅能够部署网站应用,还可以用R语言把它们变成很棒的游戏。Nessy包可以让你创建NES游戏的外观的Shiny 程序并且像部署其他Shiny一样部署它们。

 

 

9. 你可以用Spark clusters直接从R中分析数据

 

想要在巨大的数据集中用机器学习模型对大量、杂乱的数据进行拟合?现在,你可以使用R语言中的sparklyr包来达到你的目的。你可以在你的本地电脑上或者在巨大无比的Spark集群上使用。

 

 

 

10. 你可以用R语言开发一个学习R语言的互动式教学工具

 

swirl包是一个在R里面的能够为R构建交互式教程的R包。这不是一份完整的R语言包使用教程。你也可以连接上AWS Polly服务后写出一个文字转语音的软件,或者编译出Shiny应用。这些程序可以让你的程序执行语音指令,或者编译出能够让你结合深度学习和加速度测量术数据来施展哈利波特魔法咒语的应用。这里需要强调的是,R语言已经在数据分析领域之外有了自己的一席之地(尽管R语言仍然在数据分析上非常有用),能够熟练地运用R语言会让你在其他领域有所建树,创造出实用并有意思的程序。

 

 

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朗兰兹纲领在一步一步成为数学的大统一理论?

原文作者:Kevin Hartnett,量子杂志资深记者。

翻译作者,e^iπ+1=0,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:风无名

 

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一代代研究者努力实现他提出的朗兰兹纲领,以期创造一个大一统的数学理论。

 

 

罗伯特·朗兰兹,作为20世纪提出最富有原创性数学观点的数学家之一,在2018年的某个早晨,在挪威的庆典上,被授予年阿贝尔奖。这个奖项好比是科学界的诺贝尔奖,是数学界最高荣誉之一。

 

时年81岁高龄的朗兰兹,普林斯顿大学高等研究院的退休教授,也是“朗兰兹纲领”的创造者。这个纲领发掘了现代数学的两根支柱之间深刻的联系:一是数论,主要研究数中的算术关系;另一则是分析,是微积分的高等形式。这两者间建立起的关系有着广泛而深远的意义,帮助数学家回答关于素数性质的世纪难题。

 

 

在1967年,朗兰兹30岁的时候,在一封寄给著名数学家安德烈·韦伊的一封信中,第一次清楚提出他关于纲领的想法。安德烈打开了一封17页的长信,读到朗兰兹谦虚的说辞:“如果你愿意将其当作一份纯粹的推测,我将非常感激。如果不是的话,我相信你会直接将它丢入手边的垃圾桶。”

 

 

 

自此,一代代的数学家采取了他的想法并将其拓展。朗兰兹纲领横跨了众多数学领域,以致于常它被人看作是寻求大一统数学理论的工作。

 

 

 “我认为从现有的数学历史发展来看,这无疑是革命性的事件”,多伦多大学的数学家、朗兰兹曾经的学生詹姆斯·亚瑟说道。

 

 

 

数学家一直对在素数中寻找模式很感兴趣,素数即那些只能被1和自身所整除的数。素数就像是数论的原子,并以此为基本单元建立了算术体系。他们有无数多个,并且它们在所有整数中好像是随机地分布。为了发现素数的分布规律(这是著名的黎曼猜想的主题),将其与其他的数学分支联系在一起是必要的。这样看来,素数就像是密码,只有使用了合适的钥匙才能读懂其中吸引人的内容。

 

 

 

“他们看上去像是随机的偶然事件,当他们和别的数学分支联系起来的时候,则显示出一种极其复杂的结构。”亚瑟说道。

 

 

其中一个有关素数结构的问题是,什么素数可以被表示为两个完全平方数的和,初始的几个例子包括:

 

 

修改译文:

5等于2²+1²,

13等于3²+2²,以及,

29等于5²+2²。

 

 

在17世纪,数论学家发现所有可以被表示为两个平方数之和的素数都有如下性质:当他们除以4则余数为1。这个结论开始揭示素数隐藏的规律。而在18世纪晚期,高斯推广了这一令人惊讶的关系,阐述了将特定的素数(那些可以表示为两平方数和的素数)与特定的性质(当他们除以4则余数为1)联系起来的互反律。

 

 

 

在朗兰兹的信件中,他极大地拓展了高斯所发现的互反律。高斯的工作应用于二次方程(二次互反律),就是最高次数不高于2次的方程。朗兰兹认为素数被编码在更高维的方程中(比如三次方程和四次方程),而这则与调和分析这个遥远的数学领域有着千丝万缕的关系,这是一个诞生于微积分的数学分支,并经常用来解决物理问题。

 

 

 

 

举个例子,十九世纪的科学家惊讶地发现当他们通过棱镜观察星光,他们没有得到连续的光谱。相对应的,光谱在不同的地方被黑色谱带打断,而这些现在被称作吸收带,也就是光在那里消失的意思。最终科学家认识到消失的光已经被星球中的元素所吸收了。而这个发现成为其他星球与我们星球是由相同物质组成的坚实证据。

 

 

 

同时,光谱带成为数学家感兴趣的对象。那些消失的波长提供了一个序列——消失的光的频率。数学家可以通过分析来研究这些数,或者可以选择攻克全新的方程——这些问题在物理学上被提出,灵感却来自分析和几何。基于那些新的方程,他们可以研究一个平行于吸收光谱的观念。

 

 

 

朗兰兹纲领将多项式方程的素数解与在分析与几何中研究的微分方程的谱联系起来。它断言这两者之间存在互反律。而应用这个结论得到的结果是,我们可以获知哪些数会出现在相应的谱中。

 

 

 

这两个集合的数不能直接比较,他们都需要从不同的数学对象翻译过来。具体来说,伽罗华表示(一个基于素数的工具)可以通过自守形式将这些数学对象配对。这些自守形式就包括了相关的谱。

 

 

在朗兰兹纲领上工作的当代数学家们,正在试图证明这个关系以及相关的猜想。同时,他们利用朗兰兹式建立联系的方法去解决那些其它方法看起来无法解决的问题。最值得庆贺的结果应该是安德鲁怀尔斯在1995年的关于费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分地依赖于朗兰兹数十年前预测的在数论和分析上的关系的类型。

 

 

朗兰兹纲领这些年已经被相当广泛地推广了。而当你把所有创造出来的复杂原理(它们被创造出来是为了实现朗兰兹的远见)都推开去,你发现,这整个的宏大的事业,仍旧是由一些最基本的数学的关切所驱动的。

 

 

 

“理解那些出现在方程中的素数的性质,等同于在算术世界中完成一个基本分类”,亚瑟说道。

 

 

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原来多项式可以用来玩涂色游戏!

多项式不仅是课本上抽象的练习题。它们还有助于在一些令人意想不到的地方揭示数学结构。

 

 

 

2015年,诗人数学家June Huh帮助解决了一个50年前的问题。这个问题是关于一个叫做“拟阵”(matroids)的复杂的数学对象,它是由点、线和图片的组合而成。同时它也是一个关于多项式的问题——那些数学课上常见的可以把变量求不同幂次再求和的表达式。

 

有时你可能在学校里遇到多项式的合并、分解和简化的问题。例如,你也许记得x²  + 2xy + y²  = (x + y)² 。这是一个简洁的代数技巧,但是它到底有什么用处?多项式擅长于揭示隐藏结构,这个事实在Huh的证明中有着重要的作用。下面让我们用一个简单的例子来说明如何实现这一点。

 

假设这里有一个游戏要求将两组玩家安排在一张方桌上。为了防止他们作弊,需要避免同队的玩家坐在相邻的座位上。那么一共有多少种不同的安排方法?

 

游戏一开始,我们将玩家分为红色和蓝色两种。如图所示,假设先将一个红色玩家安排在图的上面的位置。

 

 

上面的位置左右各有一个相邻的座位,因此,为了满足我们的要求,这两个座位必须都安排给蓝色玩家。

 

 

图的底部还剩下了一个和两个蓝色玩家相邻的位置,所以必须有一个红色的玩家坐在那里。

 

 

因为没有一个玩家坐在他队友的旁边,我们的限定的条件满足了。

 

我们也可以在游戏一开始的时候将一个蓝色玩家安排在上面。和上文相类似的推理可以得到下面的安排。

 

同样,没有一个玩家坐在他的队友的旁边。我们的约束条件满足了,所以这是另一种可能的安排方法。事实上,这个游戏只有两种可能的排座结果。一旦我们选定了上面位置的颜色,剩下座位的颜色也都决定好了。

 

有一种方法能让我们不用画出所有不同的座位图就可以知道只有两种安排座位的方法。让我们从上面开始:对那个座位我们有两种选择,红色或者蓝色。当我们做出这个选择的时候,它左边和右边的位置都只有一种选择(另一种颜色)。然后,对最下面的座位来说,也是只有一个选择:我们开始游戏的时候选择的颜色。通过运用“基本计算原理”,我们知道所有可能性的个数是每一种选择可能性数的乘积。这就得到了2 × 1 × 1 × 1 = 2一共两个座位,就像我们用图像的确定出来的一样。

 

现在,我们加入用其他颜色表示第三支队伍。想象现在有红色,蓝色和黄色三种玩家。如果相邻的座位不能安排同样颜色的玩家,那么有多少种不同的安排方式?画出所有的可能性可能会需要很多的图像,所以让我们改用计算参数试试。

 

现在上面的位置有三种颜色可以选择。做出选择之后,我们就可以为左右两个位置选择剩下两个颜色中的任意一个。

 

那么方桌下方的座位会发生什么?人们很容易说最后一个位置只有一种选择,因为它左右都有相邻的座位。但你有没有发现其中的问题?

 

 

如果左右两边位置颜色不同,那下面的位置确实只有一种选择。例如,左边是蓝色的,右边是红色的,那么底下的就必须是黄色的。但是左右的颜色相同又会怎么样?在这种情况下,底下颜色的选择会有两种。最后的选择取决于一开始的选择,这就让我们的计算变得复杂起来。

 

因此我们必须考虑两种相互独立的情况:左边和右边颜色相同的时候和左边和右边颜色不相同的时候。

 

如果左边和右边的颜色相同,那么每条边颜色的可能性就如下图所示:

 

 

首先,上面的颜色有三种选择。然后,对于右边的颜色还剩了两种选择。因为我们假设左边和右边颜色是一样的,所以左边的颜色只有一种可能:和右边的颜色相同。最后,因为左边和右边颜色相同,底下的颜色可以是剩下的两种颜色中的任意一种。这样我们就有  3 × 2 × 1 × 2 = 12种可能的结果。

 

现在让我们考虑一下左边和右边颜色不同时的可能性:

 

 

同样,上面有三种选择右边有两种选择。左边仍然只有一种选择,但是这次的原因和第一次的不同: 它既不能和相邻的上面颜色相同,又得符合假设和右边颜色不同。而因为左边和右边的颜色不同,下面的颜色只有一种选择(和上面一样的颜色)。这种情况有3 × 2 × 1 × 1 = 6种可能的结果。

 

因为这两种情况包含了所有的可能,我们只需要把它们加起来得到总共有12 + 6 = 18种可能的结果。

 

增加了一种颜色让我们的问题变得复杂,但是我们的努力会得到回报。我们现在可以用这种方法解决4,5或者任意q种不同颜色时的问题。

 

无论在多少种颜色中进行选择,我们都要考虑两种情况:左边和右边颜色相同,左边和右边颜色不同。假设我们需要在q种不同的颜色种进行选择。下面的图像表示的是当左右颜色相同时每条边不同的选择数量:

 

 

一开始,上面的座位有q种颜色可以选择,右面的座位有q-1种颜色可以选择。因为我们假设左边和右边颜色相同,所以左边只有一种选择。这样,下面可以选择q-1种颜色,即除了左右的那种颜色之外的任何颜色。根据基本算数原理我们一共得到了q × (q – 1) × 1 × (q – 1) = q(q – 1)²种可能的结果。 

 

如果左右颜色不同,我们可以像这样列举可能的结果:

 

 

同样,上面的座位有q种颜色可以选择,右边的座位有q种颜色可以选择。现在,左边的颜色不能和右边的颜色相同,所以我们有q-2种选择。底下座位可以是除了左右两种不同颜色之外的任意颜色,同样也是有q-2种不同的颜色。这样我们一共有q × (q – 1) × (q – 2) × (q – 2) = q(q – 1)(q – 2)²种可能的结果。因为这两种情况包括了所有的可能性,我们像前面一样把它们加在一起得到最后可能结果的总数:q(q – 1)²q(q – 1)(q – 2)²

 

这个表达式看起来好像和“我们能有多少种不同的方式让不同的队坐在方桌上,同时不让两个队友坐在一起”这个问题毫无关系。但是这个多项式表达了关于这个问题的好多信息。它不单告诉了我们具体的数字结果,还表现出隐藏在这道题之下的一些结构。

 

这个特别的多项式被称为“染色多项式”(chromatic polynomial),因为它回答了下述问题:你有多少种不同的方法能够给网格(或图)的方格或者节点上色使其与相邻的方格或节点颜色不同。

 

我们的问题最初是关于给队伍在一张桌子上安排座位,但是我们可以很容易地把它转化成一个关于给图像上节点上色的问题。我们不再想象人们围着桌子坐,我们将人们比作节点,如果他们坐在一起就用一条线把他们连接起来。

 

 

 

 

现在,图像中的每一个节点的颜色可以被看成方桌周围的一个座位,而“邻座”在图上变成了“有一条线段将它们连接起来” 。

 

 

既然我们已经将我们的问题用一个图表示出来,那么让我们回到它的染色不等式。以下我们将成它为P(q)。

P(q) = q(q – 1)² + q(q – 1)(q – 2)²

 

这个多项式的好处是它能够回答我们所有可能的图像上色问题。

 

例如:为了得到有三个颜色的题的答案,我们让q=3,从而得到:

P(3) = 3(3 – 1)²+ 3(3 – 1)(3 – 2)²= 3 × 2² + 3 × 2 × 1² = 12 + 6 = 18

 

这个恰恰是在我们上面的三个队伍的情况下找到的答案。而当我们让q=2时:

P(2) = 2(2 – 1)² + 2(2 – 1)(2 – 2)² = 2 × 1²+ 2 × 1 × 0² = 2 + 0 = 2

看起来是不是很熟悉?这是我们一开始两个不同队伍的情况下时的答案。我们只需要给q代入适当的值就能够得到有四个,五个甚至是十个不同队伍情况下的答案:P(4) = 84, P(5) = 260 and P(10) = 6,570。色多项式通过归纳我们的算数方法,已经捕捉到了这个问题的一些基础结构。

 

我们可以通过对多项式P(q)做一些基本的代数运算揭露更多的结构

P(q) = q(q – 1)² + q(q – 1)(q – 2)²:

=q(q−1)(q−1)+q(q−1)(q−2)²

=q(q−1)((q−1)+(q−2)²)

=q(q−1)(q−1+q²−4q+4)

=q(q−1)(q²−3q+3) 

 

这里我们已经把q(q – 1)从和中的每一个部分提取了出来然后合并同类项,把多项式变成用乘积表示出来的“因子形式”。在因子形式中,一个多项式可以通过它的“根”来告诉我们结构。

 

一个多项式的跟指的是使得多项式为0的去值。并且一个多项式的因子形式使得求根变得容易:因为多项式是以因式乘积的形式存在的,任何让其中一个因子为零都会让整个乘积变为零,因此多项式也是0。

 

例如,我们的多项式P(q) = q(– 1)(q² – 3q + 3)有一个因子(q – 1)。如果我们让q=1,这个因式就变成了0,从而将整个式子变成了0。就是P(1) = 1(1 – 1)(12 – 3 × 1 + 3) = 1 × 0 × 1 = 0. Similarly, P(0) = 0 × (–1) × 3 = 0。所以q=1和q=0就是我们多项式的两个根。(你也许在考虑(q2 – 3q + 3)的问题。因为没有一个实数能让这个因式变为0,所以它没有给我们的色多项式提供任何实根。)

 

这些代数根在我们的图像中是有意义的。如果我们只能选择一种颜色,那么每一个节点都会是相同的颜色。那么由于相邻的两个节点不能是相同的颜色,我们无法给这个图像上色。但是这就是q = 1是这个色多项式的根的含义。如果P(1) = 0,那么就没有办法能在给图像上色的同时保证相邻的节点颜色不同。如果我们有0种颜色供我们选择: P(0) = 0,结果也是同样的。染色多项式的根告诉了我们图的结构。

 

当我们开始看其他图像的时候,从代数的角度看这个结构的能力就变得更加重要了。让我们来看看下面的三角图像。

 

 

 

用q种颜色给上面的图像上色有多少种方法可以使任何相邻的两个节点颜色不同?

 

通常,前两个节点有分别有q和q-1种选择。因为剩下的节点是和前两个都相邻的,所以它的颜色必须和前两个的颜色都不相同,就只剩下了q-2种选择。所以这个三角图像对应的色多项式就是:P(q) = q(q – 1)(q – 2)。

 

在它的因式形式中,这个色多项式告诉了我们一些有趣的事情:q=2是一个根。而且如果P(2) = 0,我们无法用两种颜色给这个图像上色的同时保证相邻的两个节点颜色不同。

 

那么,想象一下沿着这个三角形的循环走,你每走到一个节点,就给它涂上颜色。因为你只有两种颜色可以选择,那你只能每走到一个节点就变换一种颜色:如果第一个是红色,那么第二个就必须是蓝色,这也代表着第三个必须是红色。但是第一个和第三个是相邻的,所以它们不能都是红色的。正如多项式预测的一样,两种颜色是不够的。

 

使用这种方法交替论证,你可以推导出一个有力的结论:任何有奇数个节点的循环的色多项式都必须有2作为一个根。这是因为如果你在一个有奇数个节点的循环中交替使用两种颜色,你就会给第一个和最后一个涂上一样的颜色。但是因为它是一个循环,第一个和最后一个是相邻的。这就是不可能满足条件的了。

 

例如,我们可以用各种技巧确定一个有五个节点的循环所对应的色多项式为P(q) = q5 – 5q4 + 10q3 – 10q2 + 4q。但当我们把它变换为因式形式的时候,它就变成了P(q) = q(– 1)(– 2)(q2 – 2q + 2)。就像我们猜测的那样,我们看见q = 2是一个根也就是P(2) = 0。值得注意的是,一旦我们建立起了图像和对应的多项式之间的联系,我们就会发现:多项式可以告诉我们图的结构,图也可以告诉我们它们所对应的多项式的结构。

 

正是对结构的研究让June Huh证明了Read在40年前关于染色多项式的猜想。这个猜想是说当我们按顺序列出一个色多项式的系数并且忽略它们的符号的时候,就满足了一个特殊情况:也就是,任何一个系数的平方都必然大于等于与它相邻的两个系数的乘积。例如:在有五个节点的循环所对应的色多项式中,P(q)  = q^5 -5q^4 +10q³- 10q² +4q我们可以发现52 ≥ 1 × 10, 102 ≥ 5 × 10以及 102 ≥ 10 × 4。这说明并不是每一个多项式都是一个色多项式:染色多项式通过和图像的连接有着更深的结构。更重要的是,这些多项式和其他领域直接的关系让Huh和他的合作者在证明了Read的猜想几年后解决了一个更加广泛的开放性问题——罗塔猜想(Rota)。

 

大家都知道多项式没啥了不起的:不过就是用符号来抽象表示的一些运算而已。但是多项式以及多项式的特征——它们的根,它们的系数,它们各种各样的形式——能够帮助我们在令人惊奇的地方揭示结构,建立了我们日常生活和代数之间的联系。

 

 

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为什么自然数是0、1、2、3……这些,能不能有别的?

原文作者:Eliezer Yudkowsky,AI专家。

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

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解答者:

 噢!你好!又回来啦?

 

好奇宝宝:

是的,我又有新问题了。之前你说你不得不使用二阶逻辑来定义自然数。不过,我非常确信我听说过叫做“一阶皮亚诺算术”的东西,据说它定义了自然数。从名字上说,它不应该含有任何“二阶”公理。坦白地说,我觉得我对这个二阶的东西还是一点感觉都没有。

 

解答者:

好吧,让我们通过考察如下的模型来开始:

 

 

这个模型拥有那三个我们希望对于标准自然数都满足的性质“每一个数都有一个后继”, ”如果两个数拥有一样的后继,则相等”,”0是那个唯一的不是其它数的后继的数。”。在这个模型中,所有这些陈述都是真的,所以从那个意义上,它的确和自然数差不多

 

显然这个模型不是我们正在寻找的自然数,因为它拥有多余的一些神秘的数,像C, 2*。像C那样的东西甚至是一个圈,我当然不希望任何自然数会这样。而且,还存在双向无穷的不能收拢到任何其它的东西的一条链。

 

是的,这就是一阶逻辑与二阶逻辑的区别:在一阶逻辑中,我们可以去除那些ABC——做一个陈述句,它可以排除掉任何拥有像那样的圈的模型。但是我们不能去除掉下面的无穷的链。在二阶逻辑中,我们可以去掉多那个多余的链。

 

 

好奇宝宝:

你能解释一下你刚刚说的吗,虽然眼下我还不知道二阶逻辑是什么。

 

解答者:

再等我一下。首先,细想下面这个检验“二性质”的公式:

x + 2 = x * 2

 

好奇宝宝:

换句话说,当x等于2的时候,这个公式是真的,其它任何地方它是假的,所以它单独挑选出2 ?

 

解答者:

正是。下面这个是一个检查奇数的公式:

∃y: x=(2*y)+1

好奇宝宝:

嗯,OK.这个公式在说,“存在一个y,使得x等于2乘以y加上1”。当x是1的时候,那是真的,因为0是一个数,而且1=(2*0) + 1.当x是9的时候,那是真的,因为存在一个数4,使得(2*4)+1...正确地。只要x取奇数那个公式就是真的,而且只对x取奇数时是真的。

 

解答者:

非常正确。现在假定我们有一个办法来检查在一个模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式。然后,我可以改造一下这个公式,得到它的否定形式,即“任何像这样的对象都不允许存在“,增加它,使它与“每一个数都有一个后继“这些一起作为自然数的公理。

 

好奇宝宝:

嗯,我可以通过表述¬∃x:(x=A)来去除ABC-圈吗?

 

解答者:

嗯,只有你已经首先告诉了我A是什么才可以那么说,而且在一个去除了所有带有圈的模型的逻辑中,你不能指定某个特定的不存在的对象。

 

好奇宝宝

这样啊。OK...所以那些去除后继的圈的思路是...嗯。在0,1,2,3这些数中,0不是任何数的后继。如果我有一组次从1开始的数,比如{1,2,3 ...}, 在这个组中,1不是任何数的后继。在A,B,C,数A是数C的后继,数C是数B的后继,数B是数A的后继,如果我说”不存在数的组G,使得对于G中的任何数x,它是G中另外一个数y的后继。“

 

解答者:

啊!非常聪明。不过,你刚才就在使用二阶逻辑,因为你谈论了实体的组或类,一阶逻辑仅仅谈论单个的实体。假定我们有一个谈论小猫以及他们是否是讨人厌的逻辑。这是一个恰好含有三个不同的都是讨人厌的小猫的论域的模型:

 

 

 

好奇宝宝:

嗯,哪些“属性”(图中的“propery”)是什么?

 

解答者:

它们是小猫的所有可能的类。它们被称为属性,因为小猫的每一个类都对应了那类小猫具有的、其他类小猫不具有的属性。比如右上角的那个只含有灰色小猫的类,就对应了一个在灰色小猫为真而在其它地方为假的某个陈述,也对应了一个只有灰色小猫具有、其它小猫不具有的属性。事实上,从现在开始我们认为一个“属性”仅仅说了一个“类”

 

好奇宝宝:

好,我理解了“小猫的类”这个概念了。

 

解答者:

在一阶逻辑中,我们可以谈论单个的猫,它与其它单个猫的关系,符合某个特殊关系的猫是否存在。在二阶逻辑中,我们可以谈论猫的类,以及某些类是否存在。所以,在一阶逻辑中,我能说,“存在一只不讨人厌的猫”或者“对于任意一只猫,它都是不讨人厌的”或者“对于任意一只猫,存在另外一只猫它喜欢第一只猫”。不过,需要二阶逻辑才形成关于“猫的类”的叙述句,比如“不存在一个猫的类,使得该类中的每一个猫都被该类中的另一只猫所喜欢”

 

好奇宝宝:

我懂了。所以,当我想说你不能拥有任何数的组,使得这个组中的任一个数都是这个组中的其它某个数的后继...

 

解答者:

……你对数的类是否存在进行了量化描述,这意味着你在使用二阶逻辑。不过,就这个情形来说,仅使用一阶逻辑来去除ABC-圈,也是容易地可能的。考察这个公式:

 

x=SSSx

 

好奇宝宝:

x 加3与它自己相等?

 

解答者:

对的。这是一个一阶公式,因为它没有谈论类。在0,1,2,3...这个公式是假的,不过在A,B,C它是真的。

 

 

好奇宝宝:

图中的那个加号“+”是什么意思?

 

解答者:

嗯,我试图使用加号“+”来说“这公式是真的”,类似的,  假定“¬”的意思是那个公式是假的。一个普通的想法是,我们现在有一个公式来检查3-圈,把它们与像0,1,2这样的标准数区分开来。

 

 

好奇宝宝:

我明白了。所以,通过添加¬∃x:x=SSSx作为一条新的公理,所有含有A,B,C或者任何其它的非标准数的3-圈的模型,我们就可以都去除了。

 

解答者:

是的。

 

好奇宝宝:

不过,这样向自然数的基础理论添加一条公理,好像过于随意。我的意思是,我从来没有看到过这样描述自然数的尝试:把“没有一个数等于它自己加3”作为一个基本的前提。看起来它应该是一条定理,而不是公理。

 

解答者:

那是因为它是通过引入一个更加一般的的规则来引入的。具体来说,一阶算术有一个无穷公理模式——一个无穷但是可计算的公理模式。这个模式的每一条公理说了,对于一个一阶公式Φ(x):

 

1. 如果Φ在0是真的,即Φ(0)

 

2. 只要Φ在一个数时为真,则在这个数的后继也为真,即∀x: Φ(x)→Φ(Sx)

 

3. 那么,Φ在所有数都是真的:  ∀n: Φ(n),即

 

(Φ(0) ∧ (∀x: Φ(x) → Φ(Sx))) → (∀n: Φ(n))

 

 

换句话说,对于每一个公式,它在0时真的,它在每一个使它为真的下一个数都是真的,那么它在任何一个数都是真的。这就是一阶算术的归纳模式。作为一个特例,我们有这个归纳公理:

 

(0≠SSS0 ∧ (∀x: (x≠SSSx) → (Sx≠SSSSx)) → (∀n: n≠SSSn)

 

好奇宝宝:

不过那并没有说对于所有的n, n≠n+3。它给出了一些前提条件,然后根据这些前提能可以得出最后那个结论,但是我并不知道那些前提条件在哪里。

 

解答者:

啊,然而,使用算术的其它公理,我们证明那些前提条件,从而证明了这个结论。公式(SSSx=x)在0是假的,因为0不是任何数的后继,包括SS0。类似地,考虑公式SSSSx=Sx,我们可以整理为S(SSSx)=S(x)。如果两个数有相同的后继则它们是相等的,于是SSSx=x。根据逆否命题等价的逻辑规则:如果在Sx的真实性证明了在x的真实性,那么,在x为假就证明了在Sx为假。于是那个公式在0是假的,当它是假的时候它的后继也取值为假,于是根据一阶算术的归纳公理模式它必然处处为假。所以,一阶算术可以去掉像这样的模型:

 

 

好奇宝宝:

...嗯,我认为我明白了。如果这个模型遵守了我们已经指定了的其它公理(它们没有去处掉这个模型),比如“零不是任何数的后继”、“拥有同样后继的两个数相等”——那么我们可以证明公式x≠SSSx 在0是真的,可以证明那个公式如果在x是真的那么在x+1也是真的。所以,一旦我们更进一步地添加公理x≠SSSx在0是真的,以及如果x≠SSSx在y是真的则在Sy也是真的,那么x≠SSSx在所有的x都是真的...

 

解答者:

我们已经得到了这些前提条件了,所以我们得到了那个结论 ∀x: x≠SSSx,从而去除了所有的3-圈。对于任意的N,类似地逻辑可以去处N-圈。”

 

 

好奇宝宝:

所以,我们去处了所有的非标准自然数、只留下了标准自然数?

 

 

解答者:

不。因为还存在与-2*, -1*, 0*, 1* 这个无穷链相关的问题。

 

 

好奇宝宝:

这里有一个想法可以用来去除掉带有无穷链的模型。链中的所有非标准自然数都大于标准自然数,对吧?比如,如果w是一个非标准自然数,那么w>3, w>4,等等?

 

解答者:

我们可以归纳地证明没有一个数小于0,并且w不等于0、1、2、3、……,所以我必须同意那一点。

 

好奇宝宝:

OK.我们也能够证明:如果x>y,那么x+z > y+z.所以如果我们有一个非标准数w并且讨论w+w, 那么w+w一定大于w+3, w+4等等。

 

 

所以w+w不能是哪个无穷链的任何部分,然后相加两个数应该产生第三个数。

 

解答者:

事实上,那就证明了,如果存在一个无穷链,那就必然存在两个无穷链。换句话说,图片里面最原始的那个模型,仅仅它自己是不能作为一阶算术的模型的。那个链蕴含着其它的元素,展示了这一点不意味着证明了那个链不存在。类似地,由于所有的数为奇数或者偶数,我们一定可以找到一个v使得v+v = w 或者v + v + 1 = w。于是v必然是另一个非标准链的一部分,这个非标准链在那个含有w的标准链的前面。

 

好奇宝宝:

不过,那就要求有无穷多个无穷非标准数的链,这些非标准数都大于任何标准数。也许我们可以扩展这个逻辑,最终获得一个矛盾,从而一开始就去除无穷链 —— 比如,我们可以证明任何完备的非标准数的类必定大于它自己?

 

解答者:

想法很好,不过,并不可行。你将得到这样的结论:如果一个非标准数存在,它必定是一个双向无穷的链的一部分,这个链看起来像是负整数与正整数的有序拷贝。如果一个无穷链存在,那么存在对应于所有有理数的无穷多个链。所以呢,可以作为一阶算术的非标准模型的某个东西,必定至少含有标准数,紧接着一个有理数的拷贝(每一个有理数都被一个整数所代替)。然后,加法、乘法在这个设定中都走得通——我们不能证明它可能比我们已经说过的更大。”

 

好奇宝宝:

OK, 那么我们如何才能去除掉无穷多个无穷链的非标准自然数、仅仅保留开始的标准自然数呢?它们将违反什么样的陈述句——什么类型的公理才可以排除掉多余的数呢?

 

解答者:

为此,我们必须使用二阶逻辑。

 

好奇宝宝:

坦白地说,我不是100%地清楚它们的区别。

 

解答者:

OK...早先你给我一个可以检测出奇数的公式。

 

好奇宝宝:

是的。∃y: x=(2*y)+1,在x=1,x=9等等地方为真,不过在x=0为假。

解答者:

当你依据数的类来思考的时候,那就存在一些能够被公式所定义的类。例如,奇数 {1, 3, 5, 7, 9, ...}的类可以被这个带有自由变元x的公式所定义: ∃y: x=(2*y)+1。不过呢,你也可以试着去仅仅就类论类地讨论{1, 3, 5, 7, 9, ...}这个数集,是否存在一个定义了它的公式。

 

好奇宝宝:

等一下,如果你不能定义一个说明了某些东西是否是这个集合的元素的公式,你怎么能谈论一个一个集合呢?我的意思是,从理性主义者的视角来看,那样貌似感觉不爽。

 

解答者:

嗯...还记得先前关于小猫的谈话吗?

 

 

假定你像这样谈说,‘存在一个小猫的类,使得任何一只小猫只喜欢这个类中的其它小猫’。给我一个装满小猫的屋子,我可以计数出所有可能的类,对于每一个类检查你的陈述,这样就可以看到是否真的存在一个像那样说的类。所以那个陈述句是有意义的——它是可以被否定或者检查的,它限制了实在的状态。不过你并没有给我一个局部的公式以便我抓起一只小猫就能判断它是否在这个神秘的类之中。我必须遍历所有的小猫的类来寻找满足你的陈述句的类,只有到那时,我才能判断任何具体的单只小猫是否在那个类中。不过那个陈述句仍然有可错性,虽然使用数学的术语,它是非直谓的([译注1])——以下情况我们才能那样称呼它:当你构造了一个你只能通过考察很多可能的类来核实的陈述句,并没有从一个特殊的、你告诉了我如何构造的类来开始。

 

好奇宝宝:

啊... 嗯。如果是在有无穷只小猫的世界里,你不能在有限时间内遍历所有可能的类呢?

 

解答者:

如果你说,‘存在一个小猫的类,它们都互相喜欢’,我可以展示出来一个拥有三只小猫的彼此喜欢的类,于是就证明了那个陈述句是正确的。如果你说‘存在一个类,它有四只小猫,它们互相喜欢但不喜欢别的猫’,在已经知道小猫的其它特性的情况下,我也许可以提供一个构造性的证明来证明你的陈述是错的;每次,你给我四只猫,我可以找到第五只猫,它被你的四只猫的一只所喜欢,从而否定了你的努力。不过,这就把我们带到了关于数学的非常深入的部分了,我们暂时不去讲它。重点是即使是无穷的世界里,仍然存在二阶的陈述让你在有限时间内证明或证否。一旦你承认那些特殊的二阶陈述句是在有意义地说明一些东西,好吧,也许,你会承认一般的二阶陈述句也是有意义的。

 

好奇宝宝:

……对我来说那听起来有点怪怪的,也许不久以后我们会遇到麻烦。

 

解答者:

你不是唯一一个纠结这个的“数学家”。

 

好奇宝宝:

不过让我们回到自然数吧。你说我们可以使用二阶逻辑来去除任何的无穷链。

 

解答者:

是的。在二阶逻辑中,我们可以在一条陈述句中,直接对所有可能的类进行量化,而不必使用所有公式上的无穷的公理模式:

 

∀P: P(0) ∧ (∀x: P(x) → P(Sx)) → (∀n: P(n))

 

 

这里的P是任何一个类的陈述,它在每一个数要么真要么假。数的任何一个类,都对应了一个陈述,对于类里面的数它为真,对于类外面的数它为假。

 

 

好奇宝宝:

OK...那是如何去除掉无穷链的呢?

 

解答者:

因为,从理论上说,无论是否存在一个一阶公式能把它们挑选出来,仍然存在一个包含、且仅包含了标准数{0, 1, 2, ...}的类。如果你把类当作一个陈述P,那么P在0是真的——那就是说,0是标准数中。如果200是一个标准数则201也是等等;如果P在x是真的,也在x+1是真的。另一方面,如果你把‘仅在在标准数’这个类当作一个陈述,它在 -2*, -1*,  0*等等都是假的——那些数不在这个理论上的类中。所以‘如果它在0*为真则它在1*为真’就是为真了,因为在0*它不为真。于是我们以下图来终结:

 

 

所以这个二阶公理……

 

∀P: P0 ∧ (∀x: Px → P(Sx)) → (∀n: Pn)

 

 

……一下子就去除掉了任何不链接的链、有限圈,即任何非标准数。

 

 

 

好奇宝宝:

不过那条公理的准确意思是?我的意思是,暂时放弃短语‘标准自然数’,假定我对那些没有任何的理解,仅仅给我解释一下那条公理事实上说了什么。

 

解答者:

它表达了这个意思:正在讨论的模型——符合这个公理的模型——让形成这样的类是不可能的:在后继这个操作之下是封闭,包含了0但是不包含每一个东西。在这个论域中的类不可能是这样的:0在这个类中,这个类中的每一个东西的后继也在这个类中,然而它并不含有每一个东西。所以,你不能含有一个不连通的无穷的链——(如果存在的话)那将至少存在一个类,它含有了0以及所有的后继——后裔,然而并不包含那个链;而且我们有一个有启发性的新公理述说了那个不可能的。

 

好奇宝宝:

也许你能够使用一个更加直观的方式来说明?好比说,如果这就是我所信仰的关于这个宇宙的事情,那么,什么是我可以期望得到的呢?

 

解答者:

如果这就是你所信仰的你生在其中的数学模型...那么你相信了,不管是你还是其他对手,抑或是一个超级智能体,或者上帝,都不能对对象以这种方式来说‘是’或‘非’:当你给他们0,他们说‘是’;当你给他们任何他们说‘是’的对象,他们也对这个对象的后继说‘是’;然后,存在某个对象,他们说‘非’。你相信这绝不能发生,无论以什么方式。宇宙中的对象被后继安装的这种方式,从不允许那种事情发生。

 

好奇宝宝:

啊。如果他们对42说‘非’,我将回退并且询问41,然后是40,然后当我到了0,我将会发现他们对0说‘非’或者‘他们对41说了非,然而对40说了是’。如果我相信带有无穷公理模式的一阶逻辑,我能够期望得到什么呢?

 

 

解答者:

在那种情况,你相信不存在像那样起作用的灵巧规定的、紧凑描述的规则。不过如果你相信那个二阶版本,你相信,没有人可能像那样行动,即使他们是在随机地回答问题,或者把这个宇宙叉开一个分支来在不同的宇宙中以不同方式来回答等等。顺便注记一下,如果我们有一个有限的论域[译注2],也就是说,我们去掉了那个每一个数都有一个后继的规则,作为替代假定256是唯一没有后继的数——那么我们就可以在有限时间之内来验证这条公理了。

 

好奇宝宝:

我明白了。是否存在一个方法使用一阶逻辑去除掉无穷链呢?我将发现那更容易处理一点,即使它刚开始看起来更复杂。

 

解答者:

恐怕是没有的。一种我喜欢看待的方式是:从局部看模型如何这样的约束,一阶逻辑能够做到,然而只有二阶逻辑才能谈论链、类、作为一个整体的模型这些的性质。任何一个数是否具有后继是一个局部性质——模型从一个数的视角去看是怎样的,这样的问题。一个数加三是否等于它自己,是一个这样的问题:你能够从任何一个数它自己的位置去评估。一个数是否是偶数,这个问题你可以通过寻找唯一的一个数x使得x+x等于那个数来回答。但是,当你试图说仅存在唯一的链它从0开始,借助于连通、链的想法,你在试图描述非局部的性质,这需要指定一个关于可能的类的逻辑。

 

好奇宝宝:

嗯。不过如果所有的局部性质都是一样的,为什么要担心整体性质呢?在一阶逻辑中,任何‘局部’公式它在0以及所有‘自然的’后继都是是真的,在所有的不连通的链它将必须为真... 对吗?亦或我弄错了什么?0-链之外的所有链——所有‘非标准数’——将像‘自然’数一样拥有同样的性质,对吗?

 

 

解答者:

恐怕不是的。算术的一阶公理不能成功地确定一个图灵机会停止——是否存在一个时刻使得一个图灵机停止。在标准数中,从我们的视角说某个图灵机‘真的不’停机——它在第0个时钟滴答不停机,在第1个时钟滴答不停机,在第2个时钟滴答不停机,以及0-链上的所有标准后继。在整数的非标准模型——拥有其它无穷链的模型——在一个非标准链中也许存在一个位置,图灵机走到那里就停止了,而且永远停止在哪里。

 

 

在这个新的模型——与一阶公理完全兼容,并且不能被它们去除掉——‘对于任一个数t这个图灵机是运行的,在t+1它仍然运行’不是真的。虽然我们可以把我们的注意力限制在‘自然’数上,我们可以发现这个图灵机在0,1,2以及0-链的后继每一个时刻都是运行的。

 

好奇宝宝:

OK... 我不是清楚那样做会有什么后果?

 

 

解答者:

它意味着很多事实上在标准时间上从来不停机的图灵机,仅仅使用一阶推理,是不能证明不停机的,因为它们的不停机性事实上是不能从一阶公理推论出的。逻辑是关于那些从前提导出的结论的,还记得吗?这意味着你将不能证明——不应该证明——这个图灵机停止,只使用一阶逻辑的话。

 

 

好奇宝宝:

怎么证明不成立呢?我的意思是,那些证明在哪里走不通呢?

 

解答者:

你将无法得到归纳中的第二步,‘对于任一个时刻t图灵机正在运行,在t+1时刻它仍将运行’。存在带有非标准数t的非标准模型否定了这个前提条件——在一个非标准时间 图灵机从运行状态停止了。我们可以把注意力仅限制在标准数的话,我们会发现那个图灵机在0,1,2等等在运行。

好奇宝宝:

不过如果一个图灵机事实上真的停止了,那就存在某个它停止的时刻,比如在第97步。

 

解答者:

是的。不过97存在于算术的所有的非标准模型,所以我们可以在一阶逻辑中证明其存在性。0是一个数,每一个数有一个后继,数不循环等等,那将存在97。每一个非标准模型至少含有标准数。所以当一个图灵机确实停机的时候,你可以在一阶算术中证明它停机——它推导出自那些前提。那正是你所期待的,假定你可以观察那个图灵机97步的话。当某图灵机事实上停机的时候你应该可以证明它停止而不需要担心无限的未来时间!当它在标准数中事实上不停机的时候——由于‘非标准停机时间’的存在,它就变成了一个问题。于是,图灵机永远运行这个结论也许事实上不能从一阶算术推导出来,因为你可以遵从一阶算术的所有的前提,然而仍有在非标准模型中的某个位置图灵机会停机。

 

好奇宝宝:

所以二阶算数比一阶算术更加强大,就哪些可以从前提推导出来来说?

 

解答者:

能够谈论较少可能的模型这个能力必然得出那一点。正像已经写到的,“关于某个苹果是真的事情对于另一个苹果不一定是真的;所以,关于单个苹果可说的东西多于关于这个世界上所有的苹果可以说的东西。”如果你能够把你的论域限制到一个更狭窄的模型的类上,那就存在更多的可以必然推导出的事实,因为你谈论的模型越大,关于它们都真的事实越少。另外二阶算数比一阶算术证明了更多的定理,它也确实是真的——比如,它能够证明一个能计算古德斯坦序列的图灵机总是到达0并停机,赫拉克勒斯总是赢得九头蛇游戏。不过呢,如果这样就一般地来说二阶逻辑是否事实上比一阶逻辑更加强大,会遇到一点争议。

 

 

好奇宝宝:

好吧。毕竟,仅仅因为没有人曾经发明一个一阶公式来去除掉所有的非标准数,并不意味着它永远不可能。未来一些聪明的数学家也许可以找到一个方式使得,对于任一个数x,使用加法、乘法、关于其它单个的数是否存在这些来对它仅作局部的事情,这个方法可以告诉我们那个数是在0-链上,亦或在某个双向无穷的链上。它将简单得就像:

(a=b*c) 

 

解答者:

不。那不会发生。

 

好奇宝宝:

不过,也许,你能否找到一些完全不同的创新的方式,只用一阶公理得到全部都是标准自然数的模型。

 

解答者:

不可能。

 

好奇宝宝:

嗯...你是如何准确地知道那一点的?我的意思是,当你参加一个比赛,作为比赛选手的一条原则就是当某事看起来不可能的时候,你不要放弃。我不能明白如何使用一阶公式来检查无穷的链。不过,先前我不能认为你可以去除有限圈,一旦你讲解了,它就显得非常简单。毕竟,关于‘不可能’这个词存在两种不同的用法,一种直接用已有知识表明了某事不能实现,也就是说那怕你是一个超级智能体,也不可能找一种做法来达成这个目标。这种情况,你需要利用已知知识给出一个确定、完整的结果,从而你可以否定每一个可能的成功途径。还有另外一种,‘不可能’一词更加通常的用法:你思考了五秒钟没有发现实现它的方法,然后就说”不可能“。一般在对知识了解有限,那个问题又看起来有些神秘主义倾向会这样。

 

解答者:

是的。使用一阶公式来去除掉双向无穷链,是第一种类型的不可能。我们知道它永远不可能实现。

 

好奇宝宝:

嗯,我知道。好吧,你有什么观点,如何说明你的观点?能用你明确的知识正面回答为什么‘不可能’吗?别用这种神秘兮兮的方式强行灌输?

 

解答者:

下一次,下一次我们再来好好讲讲。

 

译者注:

 

[1]非直谓的(impredicative)

[2]原文universe既可以翻译为宇宙,也可以在某些情况下翻译为“论域”。有些情况下,难以抉择,或者本身就是双关。请读者自己记住这一点。

 

 

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玩疯了!这回是人类发现了把3写成3个整数立方和的第3种写法!

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这段时间,有一堆数论男孩玩的很疯。他们在疯狂的把一堆整数拆成3个整数的立方和。

我们知道,9n±4型的整数是不可能写成3个整数立方和的。但是除了这些整数,其他的整数是否能写成三个整数的立方和还没有研究出一个理论上的统一结果。于是人们就开始一个一个的试,看看能不能找到什么规律。

今年,这样的问题突然在社交圈热闹了起来。

先是3月,有人第一次把33写成3个整数的立方和,33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³。使得人们在100以内的没有写成整数三立方和的仅有42了(9n±4型的整数除外)。

然后9月,100以内最后一个42也被解决了,于是100以内立方和全部收集完成。42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

 

——于是有人说,这说明宇宙的终极奥义不是42。

于是,下个目标,就是收集1000以内的。实际上,1000以内的剩下没解决的并不多,9月初还剩下114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906,921, 和975。几天前906解决:906 = (−74924259395610397)³ + 72054089679353378³ + 35961979615356503³ 。

为了收集可能的更多规律,很多人开始研究同一个数,不同写法之间的联系。对于同一个数,他的写法是唯一的、有限多种还是无限多种成为一些数学家的兴趣点。

1953年,数论大师,大名鼎鼎的莫德尔在他的论文《关于方程x²+y²+z²+2xyz=n的整数解》(ON THE INTEGER SOLUTIONS OF THE EQUATION x²+y²+z²+2xyz=n)中讨论了一个问题。他说他自己对x³+y³+z³=3这个方程了解甚少,除了知道1³ + 1³ + 1³ = 3和4³ + 4³ + (-5)³ =3这两组解。他提到他觉得那篇找到这个方程的第三组解都是非常困难的。

于是有人试图去找这个方程的第三组解。66年过去了,还真找到了。果然数字大的惊人:3 = 569936821221962380720³+(-569936821113563493509)³+(-472715493453327032)³ 。

找到的办法当然还是用椭圆曲线的相关知识缩小范围,再用集群网络计算机计算。这回算了7个多小时。著名数学普及节目Numberphile做了这个结果的一个专题。

之所以在朋友圈,这样的问题那么火,是因为难得有那种既有难度,大家又看的懂,还能玩的起来的问题。而且每个人都可以试试。甚至可以当成小学奥数题发给自己班里的数学学霸整蛊他们。

总之,能在朋友圈玩数学,还是比较高端的玩法。我们哆嗒数学网的小编至少认为比传播无脑鸡汤文好多了……

 

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刘若川获得首届“科学探索奖”,系唯一基础数学学者

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腾讯科技讯 9月20日消息,经过四个多月的评审,2019年“科学探索奖”获奖名单今日正式向社会公布。50位获奖人经过层层选拔,最终从千余名申报人中脱颖而出,每位获奖人将在未来5年获得由腾讯基金会资助的300万元人民币奖金。

“科学探索奖”设有数学物理奖,此次有5位学者获得此奖。来自北京大学的刘若川是这五位学者中,唯一一位以数学为主要研究方向的学者。

刘若川于1999年至2004年在北京大学数学科学学院学习,获学士、硕士学位,2008年获美国麻省理工学院博士学位,2012年回到北大,在北京国际数学研究中心任职。刘若川的主要研究领域是算术几何与代数数论,他在p进霍奇理论、p进自守形式与p进朗兰兹纲领等方向取得了一系列重要成果,特别是与人合作在几何相对p进霍奇理论方面做了奠基性的工作。

“科学探索奖”探索奖的发起人包括众多学科大牛,其中包括著名数学家张益唐。

按“科学探索奖”规定,该奖只授予45岁以下全职在中国大陆工作的学者。“科学探索奖”管理委员会表示,希望“科学探索奖”能成为青年科技工作者潜心探索未知世界的精神激励,吸引更多青年人投入到基础科学和前沿技术的研究之中。 腾讯基金会将长期运营“科学探索奖”,今后每年“科学探索奖”将评出50位获奖人。

有人认为,民间资本对基础学科加大投入是件好事。一方面,机制比传统体制灵活,资源配置更加有效率。另一方面,有利于这些高升学科在普通大众的普及。

据悉,2019年“科学探索奖”颁奖典礼将于11月2日在北京举行。

附全部获奖名单:

 

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陶哲轩发布部分解决3x+1猜想的结果,引发讨论

 

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9月8日和9月10日,著名华人数学家,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改),引发数学社交圈的讨论。

 

 

考兰兹猜想,俗称3x+1,说的是这样一个猜想:

 

对于一个初始的正整数,如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1。这样将得到一个新的数字,再把这个新到的数做之前重复的操作——如果它是偶数我们就把它除以2,如果是奇数就把这个数乘以3再加上1,然后又继续得到一个数。这样的操作一直重复下去,我得到一串正整数的数列。3x+1说,无论最早的初始正整数是多少,这一串数列最终都会进入4,2,1,4,2,1,....这样的循环。

 

比如,我们用10作为初始正整数:

 

因为10是偶数,所以除以2,得到5。

 

因为5是奇数,所以乘以3加上1,得到16。

 

因为16是偶数,所以除以2,得到8。

 

因为8是偶数,所以除以2,得到4。

 

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

 

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

 

因为1是奇数,所以乘以3加上1,得到4。

 

因为4是偶数,所以除以2,得到2。

 

因为2是偶数,所以除以2,得到1。

 

……

 

我们可以把3x+1猜想的表述改变一下,设初始正整数是n,上述操作得到的数列中一定有个最小值S(n)。那么3x+1猜想就是说S(n)=1。

 

于是,很多数学家开始研究S(n)的性质,比如去寻找S(n)可能的上界f(n),即S(n)≤f(n)。

 

1976年,Terras证明了,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n。

 

1979年,Allouche证明了,对任意a>0.869,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a(x^a表示x的a次方,下同)。

 

1994年,Korec证明了,对任意a>ln3/ln4≈0.7924,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下),有S(n)<n^a。

 

这一次,陶哲轩发表的结果是对上述一些成果的改进,他试图证明,只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列,那么几乎对所有的正整数n(在对数密度意义下).有S(n)<f(n)。

 

陶哲轩还特别指出,这个结论中的f(n)可以是增长非常慢的的数列,比如f(n) = lnlnlnln(n)。

 

陶哲轩的文章引起了社交圈的讨论,比如著名的网红橄榄球球员数学家Urschel转发了陶哲轩的博文,并感慨自己虽然同样是做数学的却做不到这种深度。

 

在众多讨论中,一位来自美国新泽西州立罗格斯大学数论教授Kontorovich唱起了“反调”。他的观点是,应该想办法去证明3x+1猜想是错的。

 

注意到,就算按这个思路把右边的f(n)改进成了f(n)=2也不能说3x+1被证明了。因为结论有“几乎”的表述,比如自然密度意义下,几乎所有的正整数都是合数,但谁都知道素数(质数)有无穷多个。陶哲轩自己也在博客评论区发言说,把“几乎所有”变成“所有”似乎还有巨大的鸿沟要跨越。

 

按Kontorovich的想法,这些“几乎”不存在的反例可能真正存在。并引用了自己之前的一些研究结论,以及Conway对3x+1猜想推广的一些结论来佐证自己的直觉。

 

Kontorovich说多年来他一直试图通过构造一些“奇怪”性质初始值来推翻3x+1猜想,未果。并呼吁包括博学者计划(PolyMath)在内的数学组织来一起找反例。英国数学家,同样是菲尔兹奖得主的高尔斯也参与了Kontorovich教授的讨论。

 

 

由于陶哲轩的论文题目和论文结论都多次用到“几乎”(almost)字样,于是网上出现了“陶哲轩几乎证明了考兰兹猜想”为标题的文章。高尔斯认为如果这样表述陶哲轩的结果,就是假新闻。

 

 

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9月8日和9月10日,著名华人数学家,菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改),引发数学社交圈的讨论。

 

当年随法国总统访华的怪蜀黍数学家现在这么样了?答:竞选巴黎市长!

 

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还记得2018年随着法国总统马克龙访华的这位怪叔叔吗?他穿着诡异,胸前总是扎着大大的领结,领口总是别着一个夸张的蜘蛛胸针。别人都轻装上阵,他去了哪里都背着满满的背包,感觉不是来做“国家级”的访问,倒向是来自由行旅游的。

 

 

这人是谁?说来,此人在数学界可大名鼎鼎!他的名字叫维拉尼,2010年菲尔兹奖得主。——大家知道诺贝尔奖没有设立数学奖,而菲尔兹奖在数学界有着“数学诺贝尔奖”的别称。菲尔兹奖只颁给40岁以下的数学家,而且还是四年颁发一次。从这个意义来讲,得菲尔兹奖比得到一年一度的诺贝尔奖的难度要大得多。

 

 

由于穿着时尚夸张,同时喜欢参加各自社会活动。维拉尼在数学界有着“数学界的Lady Gaga”的别称。在街上的回头率也极高,他那种复古打扮让不少人回头。

 

 

维拉尼在2017年当选议员后,正式从政,后来成为总统马克龙“前进运动”团队的一员随马克龙访华。很多人也许好奇,一两年过去了,这位数学怪咖现在在做什么?

 

 

答案是:维拉尼前不久宣布,他要竞选巴黎市市长!

 

 

不过这回马克龙对维拉尼的决定可能要郁闷一阵子了。因为马克龙个人希望自己的最亲密盟友,前政府发言人本杰明·格里沃代表自己的“前进运动”阵营参选法国首都的市长。

 

有民调显示维拉尼和格里沃的支持度相差无几,几乎是齐头并进。如果两人只有一人参选,那么将获有巨大优势。但如果两人都参加市长的角逐,那么这个优势将被分割。而如果真是两人同时参选,将对现任市长社会党人安娜·伊达尔戈寻求连任有利。

 

维拉尼说:“巴黎有很多复杂的问题需要解决,而这些问题我们可以一起通过发挥自身的优势来解决。”维拉尼说,“再从政之前我一直在和各种复杂的问题做斗争。”他最后还说,他将成为首位“真正的环保主义市长”。——现任市长就是因为交通拥堵和空气污染问题被巴黎市民诟病,而支持率降低。

 

“前进运动”的一些大佬认为,维拉尼的政治抱负注定要失败,甚至有人提醒:“作为数学家应该把这个算清楚:分裂意味着失败,团结就是胜利。”

 

不过,维拉尼团队正在非常谨慎的处理这些问题,尽量不让竞选行为变成对马克龙总统权威的挑战。“维拉尼已经告诉总统马克龙和总理菲利普,可能的选情更替并不是对他们的故意冒犯。”一位来自维拉尼身边的消息人士说。

 

 

值得一提的是,法国知名数学家从政似乎本身不算什么新鲜事。大家熟悉的法国大数学家拉格朗日、拉普拉斯就是拿破仑时代的官员。另外,著名数学家,因“潘维勒超越函数论”而闻名的数学教授保罗·潘勒韦甚至在第一次世界大战关键时刻和1925年金融危机时两次出任法国总理。

 

 

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老师你上课也太囧了吧:教师节盘点一下数学家课堂囧事

 

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每个人都有自己的数学老师,在数学课堂上一定发生过不是让人啼笑皆非的囧事。今天教师节,和大家一起分享一下这些数学家讲课的囧事,开开心心的和老师们一起过节。

 

 

牛顿(Newton)最伟大的数学家、物理学家之一。他的贡献不再赘述。

当时在剑桥,牛顿讲课是出了名的烂,大家都听不懂他讲的东西。之所以听不懂还不全因为他课程的难度,而是因为他口齿不太清晰。

牛顿的课经常只有稀稀拉拉的一两个或者两三个人在下面听——有人觉得就算面对空空的讲堂,他也能将课授完。

 

林德曼(Lindemann),就是证明了圆周率π是超越数的数学家。

林德曼的课堂上的大部分时间,台下的听众都听不清他说的什么,偶尔有时候听清了,也是一些艰深难懂的内容。

有一次林德曼上课,所有有人都听清且听懂了林德曼的话,还和台下的人产生了互动交流——所有人都告诉他:“老师,你讲错了!”

 

 

哥德尔(Gödel),伟大的数学家、逻辑学家、哲学家。以"哥德尔不完备定理"闻名于世。

哥德尔长期在普林斯顿高等研究院工作。他性格孤僻,不喜欢与人交流,单偏偏和爱因斯坦关系不错。

一次,哥德尔被安排到普林斯顿高等研究院的法恩楼(Fine Hall)演讲。所有听众大家都记住了这次演讲——不是演讲内容,而是演讲风格。哥德尔居然全程面向黑板而背对观众——你没看错,是全程!

于是,所有人都记住了哥德尔的背影。

 

 

美国数学家莱夫谢茨(Lefschetz)是代数拓扑领域的大牛,据说他讲课非常跳跃,以至于几乎很难有人懂他在讲什么。

他讲课的风格大概是这样的:

“一个黎曼曲面一定是个豪斯多夫空间……”

“——你们都知道什么是豪斯多夫空间吧?……”

“——它也是紧的……”

“——我想,他还是一个流形……”

“——流形,嗯,你们都懂……”

“——所以我要讲的是一个复杂的定理——黎曼-洛赫定理。”

 

 

兰道(Landau)是数论和函数论方面的专家,他还讲过傅里叶分析相关的课。

兰道是德国人,讲英文的时候有严重的德式口音。有一次讲到吉布斯现象的时候,他声音洪亮的说:“这个现象是英国Jail的数学家Jibbs发现的。”

这时候,下面有人提醒兰道老师:

“第一,这位数学家是美国的而不是英国的。”

“第二,他叫Gibbs,而不是Jibbs。”

“第三——这一点一定要说清楚——他是在Yale(耶鲁)而不是Jail(监狱)。”

 

 

闵可夫斯基(Minkowski)是擅长数论、代数以及数学物理的顶级大神。

一次他上课,向学生们自负的宣称:“四色猜想之所以还没证明,是因为只有一些三流的数学家在做破解它的工作。下面我就来证明它!”于是闵可夫斯基拿起粉笔在黑板上奋笔疾书,但一直到下课都没证明出来。

于是他的课一直这样的状态,一连几周过去了……

一个一个阴霾的早上,闵可夫斯基走进教室,突然一道霹雳闪过,雷声隆隆。

闵可夫斯基严肃的说:“上天被我的骄傲激怒了,我的证明是不对......”

——这就是装X遭雷劈,四色定理版。

 

 

库默尔(Kummer)是德国的顶级数论专家。他在研究费马大定理的时候,创立了理想数理论——这个理论甚至比费马大定理本身还重要。

然而,作为一个顶级数论大家,他在上课的时候竟然忘了九九乘法表……

一次上课,他需要在黑白上计算7×9……

“七乘以九,啊,七乘以九,……到底等于多少?”

“老师!”,一个学生举手回答道,“等于61。”

“老师不对!”,另外一个学生提出异议,“应该是67。”

“好了,好了”,库默尔说到,“肯定不可能两个都对,但那不重要了!——现在我们知道,两个里有一个是对的。”

 

 

 

古尔萨(Goursat)是法国著名的分析学家,复变函数里有柯西-古尔萨定理:解析函数在简单闭曲线上积分是零。

古尔萨对人很热情,但是讲课确实不咋地。他上课总是讲几十年前陈旧的东西,而且照本宣科,连说话的语气都不变。有一位波兰的学生,来到法国巴黎学数学,很不幸地选了古尔萨的课,感觉很不好。

由于和自己预期差距太大,这位学生感到自己精神受到巨大打击。想到自己大老远的跑到梦想的数学圣地巴黎来学数学,却只是听着这样的课程,这位学生竟然大哭起来……

这位学生叫做曼德博(Mandelbrot),著名的分形曼德博集合就是他的名字,后来他创立了分形几何学,人称”分形之父“。

 

 

武丁(Woodin)是美国院士,是当今集合论方向的领军人物,曾经在国际数学家大会上发表一小时演讲。

一次上课,他讲到一个东西需要一个引理,他说那个引理是显然的,因为A、B、C的条件。

“教授,A、B、C条件推不出那个引理,我能找到反例”,听课者举手说道。

“那这里还有D条件,有了D条件就可以了吧!”武丁教授说。

“依然不行!仍然又反例!”另外一个听众说。

“让我想想”,武丁说,“再让我想想……”

“——啊,我想起来了,这个引理本来是我留给大家的课后作业的!”

 

 

彭联刚是四川大学数学学院代数方向的教授。这个故事在川大广为流传,甚至还上过当地报纸《华西都市报》。

一次彭教授上课,突然有学生举手提出一个问题,大概是说如果修改一下某个问题的证明顺序,能让解决过程更简洁之类。

彭教授一听,严肃的收起了表情,说:“哦,还可以这样?让我想想。”

于是彭教授站在黑板面前紧锁眉头,开始思考。教室一片寂静……

五分钟过去了……

彭教授抬起头来,敲了敲黑板,说:“嗯,真的可以这样!让我再想想,再想想……”

又五分钟过去了……

下课铃响。

 

 

 

看见了吧,当数学老师多么不容易。如果你们身边有好老师,好好珍惜吧,要把数学教好实在太难了。

 

祝每一位老师节日快乐!

 

 

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2020科学突破数学奖:埃斯金获奖,朱歆文获得新视野奖

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根据科学突破奖官网消息。被誉为“科学界的奥斯卡奖”的2020科学突破奖获奖者揭晓,其中数学方面由芝加哥大学的阿莱克斯·埃斯金(Alex Eskin)教授获得,将获得300万美元的奖金。

埃斯金教授与已故的伊朗裔女数学家、菲尔兹奖得主米尔扎哈妮合作,在阿贝尔微分的模空间的动力学和几何方面做出了革命性发现,包括证明了所谓的“魔杖定理(magic wand theorem)”。

另外,美国加州理工学院的朱歆文教授因其“在算术代数几何中做出重要工作”获得新视野数学奖,奖金10万美元。

朱歆文是北大数学科学学院2000级本科生,这是北大本科体系培养的数学家连续三年获得此奖项。在今年早些时候,朱歆文教授还获得有着“华人菲尔兹奖”的2019年度ICCM数学奖(前晨兴数学奖)。

科学突破奖为世界上奖金最高的学术奖项。值得注意的是早期此奖的赞助者有阿里巴巴创始人马云(Jack Ma),而现在赞助名单中没了马云的踪影,而有了中国另外一位中国互联网巨头,腾讯公司创始人马化腾(Ma Huateng)。现在官网公布的赞助者是:由谷歌公司联合创始人谢尔盖·布林,Facebook创立者普莉希拉·陈、扎克伯格夫妇、腾讯创始人马化腾、俄罗斯互联网巨头茱莉亚·米纳尔、尤里·米尔纳夫妇与23andMe公司联合创始人安妮·沃西基。

此奖项共设立生命科学、基础物理、数学三大奖项。每个获奖席位300万美元奖金。另外,还为物理和数学的“学术新人”设立了科学突破新视野奖,每个获奖席位10万美金。按官网介绍,2020年的科学突破奖会有2160万美元的奖金发出。

 

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刚刚,42也被人类写成了三个整数的立方和!

 

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还记得哆嗒小编发布的文章吗《人类第一次将33写成了3个整数的立方和》,描述了33被写成三个整数立方和的过程以及三立方和的问题背景。当时提到,100以内还没有写成3个整数立方和的数只有42了。——当然,严谨的说9n±4的这些自然数除外,因为它们不可能写成这样的等式。


而昨天有人在了麻省理工学院数学系的网页上贴上了一个等式,网页同样很简单,但没给出结果:

(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3


等于多少自己算?——他居然等于——等于42!


在推特上,菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。


于是下面这句话成为定理:


除了9n±4型自然数外,所有100以内的自然数都能写成三个整数的立方和。


据悉发现此等式的数学家是来自布里斯托大小的Andrew Booker和来自麻省理工学院的Andrew Sutherland 。


如果有人要问,此结果有什么用?数学家们负责发现数学规律,有没有用之类的问题不是数学家必须回答的——但是搞这个本身很好玩不是吗?


这意味着,最小的没被写成三个整数立方和的自然数为114。


附上100以内三立方和的非零解全表(多种写法选取其中一个)


1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4不可能
5不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13不可能
14不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22不可能
23不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31不可能
32不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40不可能
41不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49不可能
50不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58不可能
59不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67不可能
68不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76不可能
77不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85不可能
86不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94不可能
95不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³

 

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不用加减乘除如何描述实数?

 

本文编译自 @downwardsLST 的推特账号

编译作者,Math001

 

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有很多定义实数的办法,他们之中很多都是等价的。但是,如果我想放弃所有的代数结构,只是使用序结构来定义,会怎么样呢?(就是说只考虑大小关系,不考虑加减乘除之类的运算)。首先,我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大小。

 

 

自然数就是那样的集合,而且每个自然数都有一个后继。但是,我们想让自然没有端点,于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了,这样整数就诞生了。但是,这样的集合有太多的缝隙,每两个连续的整数间都有缝隙。

 

 

我们需要填补这些缝隙,于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是,我们这样要求,要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素:这个性质叫做(序)稠密性。

 

 

看吧:有理数就是稠密的。但是,有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要求“完备性”:每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质,填补那些洞的数叫做无理数。

 

 

但是,我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”,所以还需要加入条件:如果有一串开区间两两不交,那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的:以上的这些性质是不是就能刻画实数?

 

 

这就是“苏斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说:如果一个有序集合满足之前说的所有条件,那么他是否和实数(通常意义的实数)是同构的(这里指序同构)。

你也许已经猜到了:苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。

 

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中国数学家张伟获得克雷数学研究奖

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根据克雷数学研究所官网消息。中国数学家,麻省理工学院教授张伟因其在算术几何、自守形式的算术方向的开创性贡献获得2019年度克雷数学研究奖。这是中国数学家首次获得该奖项。

张伟,2000至2004年就读于北京大学数学科学学院并获理学学士学位,2009年获得哥伦比亚大学博士学位。现任麻省理工学院数学系教授。在此之前,曾获2010年SASTRA 拉马努金奖、2013年斯隆研究奖、2017年西蒙斯奖,并受邀于2018年在巴西里约热内卢举办的国际数学家大会上作邀请报告。

此次奖项由克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)颁发。克雷数学研究所是非盈利私营机构,总部在美国麻萨诸塞州剑桥市。机构的目的在于促进和传播数学知识。它给予有潜质的数学家各种奖项和资助。而一年一度的克雷数学研究奖已经成为数学界的重要奖项。

 

 

克雷数学研究所最为人熟知是它在2000年5月24日公布的七大奖难题,俗称千禧年问题。这七道问题被研究所认为是重要的经典问题,包括黎曼猜想、P/NP问题、庞加莱猜想等数学界最关注的问题。解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金。目前仅有庞加莱猜想被解决。

 

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数据科学家会成为未来新的的大祭司吗?

 

原文作者:Conrad Wolfram,软件技术专家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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我们的民主制度今天面临着巨大的挑战。选举的成败取决于大众相信什么。一小撮精英,通过他们所独享的信息来操控我们的思想,而大多数民众则被排除在外。

 

我所谈论的是现代数据科学,以及更加普遍的计算技术在我们的社会中的压倒一切的影响。只有一撮人,学习过如何将计算思维直接应用于信息处理、论证和做必要的决策。这其中包括了关于政府、投票的事情。

 


当然,这种精英控制以前就已经发生过,事实上,这种事情在最近几个世纪才被消除。这一变化有一个关键的推动因素:阅读教育的普及。


过去,很少有人能够直接获得知识。他们必须依靠宗教领袖、贵族和其他少数人来掌握大部分信息,并根据这些少数人的意愿进行传播。他们自己没办法证实信息是否正确。


实际上,这剥夺了他们的权利——几乎无法证实任何向他们提出的问题——即使理论上他们对政治具有发言权。


这与今天的数据科学有着惊人的相似之处。由于不知道如何质疑数据科学背后的计算结果,无法通过数据科学进行推理,也无法提取信息自己验证,大多数人实际上被剥夺了对其治理做出决策的权利。


这不是一个政党或意识形态的专利。但它的普遍性正在对我们的社会造成越来越大的裂痕,因为人们对实际上控制大多数人生活的数据科学几乎没有共同的认识。计算精英在控制我们的命运方面的能力是强大的,就像几个世纪前文化精英一样。


当然,并不是所有的精英都是恶意的,事实远非如此。但情况要危险得多,因为如此多的权力实际上集中在如此少的人手里,而不诚实的人有能力滥用它。

 


在最近的政治中,我们已经遭遇了一个源于计算的银行业危机和一个由数据科学引发的信任危机。现在几乎没有人相信专家,因为对于大多数人来说,没有教育基础来区分好的和坏的计算论点。预测有着计算和量化的力量加持,却失去了逻辑或现实的基础。人们已经被一些想要通过限制别人的权力来巩固权力的精英所玩弄。

 

如果没有紧急的、重大的干预, 我们最终可能会进入一个新启蒙运动的前夕, 在这个时代, 由于决策和相关思维的关键知识——计算思维——不对称,欺骗能够战胜逻辑思维。每个人都可以获得大量的数据和计算设备, 但只有少数人知道如何从其使用中获得权力。


当普通人的理解能力已经无法支撑对少数人决策权力的约束时, 人们迟早会被误导——越来越严重地被误导。社会缺乏对计算的理解, 可能已经造成了严重的国家安全问题。


我们应该采取什么干预措施?普及计算思维教育。涵盖现代数据科学的教育——不仅包括其计算,还包括原因和相关性、风险和未来预期、如何对数据持怀疑态度、如何计算推理——集中整合的不是过去的现代纸笔技术,而是现在的计算机技术。


陷入前电脑时代的数学教育,除少数精英已经把它发展到一个更高的水平外,离实现这一目标还有很长一段路要走。然而, 它是当今唯一的在学校内能学到计算科目。


长期以来,我一直主张对核心课程进行这样的改变。直到最近我才意识到它的紧迫性。这种紧迫性不仅是为了改善工作、生活富裕, 也是为了保障民众的权益、为了社会凝聚力、为了国家安全。

 

 

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原文作者:Wolfram,计算机科学家,数据科学家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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终极公理的追求——寻找遗失的真理

 

原文作者:Marianne Freiberger,+Plus网站编辑。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米

 

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之所以有那么多人喜欢数学是因为数学给出的答案是确定的。要么真,要么假,真相就像是从基础本源的地方推理出来的。
 
 
 
但事实却是这样的:一直以来,数学其实在一个本不牢固的哲学基础上发展。上世纪30年代,以库尔德·哥德尔为首的一批逻辑学家向大家清楚地展示了数学判定真理的能力是有局限的。他们工作显示,人们完全可以建立很多不同的数学体系。对于一个确定的语句,它们在这些体系里可能是真,可能是假。这取决于对体系的前提预设的偏好。这让数学更像一个游戏,出于我们的需要,我们可以自行选择规则。——再见吧!完美的柏拉图真理观:数学真理是永恒的、独立的。
 
 
但是,也许还有挽救柏拉图主义的余地。在2010年国际数学家大会期间,我们(Plus)采访了数学家武丁(Hugh Woodin)——尽管可能存在大量不同的“数学宇宙”,但这位数学家依然相信人们能选出大家都认为的“最对的那个”。
 
 
数——空集开始
 
武丁是做集合论的,这是数学中非常基础的领域。数学中,集合指一堆事物聚合——至于是些什么事物并不重要。他们可以是一堆数、符号、三角形,抑或我们还可以把这些数、符号、三角形混合起来组成新的集合。我们经常用花括号来表示集合,比如,如果一个集合包含1、2、3三个数,我们就用{1, 2, 3}表示。集合中的对象叫做元素。有一点很重要,一个集合可以是另外一个集合的元素。举个例子,如果你把你购物车购买所有商品的类别看成一个集合,那么你买的一袋橘子就是其中一个元素,而一袋橘子是一堆东西,故本身也是一个集合。
 
 
集合就是一堆事物的聚合。你也许会意外,这个完全无害的集合概念是数学中最本源的基础概念,但结果显示似乎所有的数学对象都能用集合语言描述出来。
 
 
比如自然是0, 1, 2, ... .如果你遇到一个外星人只知道集合,却没有数的概念。你可以一步一步的按如下步骤定义自然数。
 
 
 
0 就是空集。一个没有任何元素的集合。
 
 
 
1就是{0}, 一个只有元素0的集合。(0我们在上一步已经定义好了)
 
 
2 定义成{0, 1}, 一个集合,它的元素是之前定义好的两个对象。
 
 
3 定义成{0, 1, 2}
 
 
以此类推。
 
 
一般的,自然是n定义成集合{0, 1, 2, ..., n-1},一个包含之前所有定义对象的新集合。
 
 
这种分层式的定义可以很容易地给这些自然数排序,就是说,一个数字我们往后加个一的结果:就是简单地进入下一层级定义的数。自然数和“加一”两个概念就能给出所有算术的定义——因为加法和乘法可以通过不断重复的加一来实现,而减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。因此,我们可以只用集合的概念,从空集开始一步一步的建立出自然数的算术体系。而这样的操作表明,所有其他的数学对象,似乎同样都可以从集合构造出来。
 
 
通往无穷之路
 
 
 
也许,集合给予人们最重要的东西就是关于无穷的性质。19世纪末,数学家乔治·康托注意到不需要数数就有办法判断两个集合的元素个数是否相等。你所需要做的事情就是把X中每一个元素和都找一个Y中的元素做匹配,并保证X中没有元素匹配相同Y中的元素。如何你能做到X和Y中都没有剩下没匹配的元素,我们就说两个集合数量一致。或者按数学家的说法:两个集合有相同基数。
 
 
现在,我们取两个无穷集合作例子。N为所有自然数组成的集合,E是所有偶数组成的集合。我们可以做如下匹配(译者注:为了消除误解,添了一个0):
 
 
 
N 0 1 2 3 n
E 0 2 4 6 2n
 
 
 
所以,尽管两个集合都有无穷多元素,其中一个还包含另外一个,我们依然能说这两个集合有相同基数。
 
 
但是,康托同样证明了在自然数和实数之间找不到这样的匹配。实数比自然数“多”,因为无论你怎么找实数与自然数匹配,总有实数会剩下。
 
 
 
这说明存在两种不同的无穷,其中一个无穷大于另外一个无穷。前者,自然数的无穷叫做可数无穷。后者,实数无穷叫做连续统。有个问题是是否有一种无穷“夹在”这个两个无穷之间——这是一个相当复杂的问题,待会儿回来再说。
 
 
康托没止步于这两种无穷,实际上他对所有的无穷都分了层级( hierarchy),一层一层地,高层的无穷大于低层的无穷。他把这种分出大小的无穷叫做基数,甚至他还设计了基数间做算术的办法。每个基数能衡量有确定性质的无穷集合的元素的多少。
 
从康托的工作开始,数学家开始扩充“无穷陈列馆”中的展品——加入大基数这样怪物。关于无穷的结构呈现出的美妙让数学家们无法抗拒。“有一点最吸引人:我们有不同的办法来描述大基数的层级,”武丁说道,“但是,无论用什么办法,这些大基数都止步于相同的层级。”有更深入的定理表明,一种办法给出的关于无穷的概念的确能被其他的办法描述。这某种程度上说明,关于无穷的层级的相关问题的确是集合论的核心基础内容。
 
 
形式化数学
 
 
从某种程度来说,由于领略到集合的抽象的能力,20世纪初的数学家们都认为他们十分接近一个古老的梦想:把所有数学都建立在一个无懈可击的逻辑基础之上,而且这个基础能被证明没有内在矛盾。这看上去似乎有点奇怪,因为数学本身就是一套最严谨的规则。但是,事实上数学里充满大量的隐藏假设和大量的信仰。就拿我们刚刚的自然数的定义来说,我们就非常隐蔽地假设了,空集是存在的。
 
 
康托意识到实数比自然数多。这只是对无穷层级研究的开始。
 
 
为了精确研究数学中类似的灰色地带,就需要把数学建成为一个形式系统。我们需要事先承认一系列清晰明确且无需证明的命题——我们把这样的命题叫做公理。你还需要明确哪些是合法的推理规则,诸如“如果x=y且y=z,那么x=z”这样。于是,如果一个命题从公理开始可以用合法的推理规则推导出来,那么你就只能认为这个命题是真命题。
 
 
 
集合论看上去就能给这样的形式系统提供完美的工具。貌似所有的数学对象都能被集合语言定义出来,而且集合的概念也足以从相对简单精确的集合公理派生出来。有数学家就适时地做了这样的工作。策梅洛和弗兰克尔把数学建立在八条公理之上,就是数学界熟知的ZF公理。这些公理包含“空集存在”,以及一些看上去非常直观的命题,比如“两个集合相等,当且仅当,两个集合有相同的元素”。现在,最常用的公理除了ZF公理之外,还要加一条更为神秘的公理——选择公理。它们一起组成了ZFC公理。
 
 
 
不完备的数学
 
 
公理化的梦想在上世纪三十年代被无情的击碎了,而完成这一击的就是数学界哥德尔证明的两个数学结果。这就是著名的哥德尔不完备定理:任何一个有能力表述自然数算术的形式系统中,总存在命题在该体系下既不能被证明的为真命题,也不能被证明为假命题。哥德尔再给策梅洛的信中写道:“每个形式系统中,都存在一个在这个系统中可以表述,但从这个系统中的公理出发无法判定真假的命题。”
 
 
于是,ZFC中无法判定真假的命题是什么样的?刚刚我们就遇见一个了。因为康托的提点,我们知道连续统基数比自然数大。那么,命题“两者之间没有别的基数”就成为一个著名猜想,叫做“连续统假设”。现在我们知道,在ZFC公理下,连续统假设是不可证的。它既不真也不假,ZFC无法对这个命题的真假做出判定。
 
 
这太让人意外了,我们曾天真的认为连续统假设应该有个确定的答案。或者说ZFC还不足够强大,需要在ZFC里加入更多的公理?我们甚至可以把连续统假设本身就看成公理——换句话说是不加证明地就把它看成一个真命题。
 
 
但这样做也有问题。首先,哥德尔的结果表明,无论新的系统你加什么样的公理,依旧有无法判定真假的问题。再者,ZFC无法判定的命题还有很多很多,把这些公理都加进去不仅会在系统里产生矛盾,还是一种自欺欺人的表现。
 
 
好了,那么这对数学真理的探索到底意味着什么?“有人提出这样的观点——其实有人已经持有这样观点了——集合论中无处不在的不可判定问题说明,集合论的结论已经超越人类的所有感知,于是这些结果没有任何意义。 那仅仅是受限于人类生理结构产生的结论,”武丁说到,“我觉得那不对,但也很难说。除非我们发现了新的外星文明,看到了他们的数学和我们的数学是否一致。”
 
 
遗失的公理
 
 
不过还有一条不用去寻找外星人的折中道路。现在被接受的集合论公理本身就是人类发明的东西。人们之所以选择这些作为公理,是因为我们“觉得”它们是自然的,它们反映出关于集合以及无穷的概念和我们的直觉一致。也许,存在这个一个公理(或者一系列公理),能用更直观的方式将这样的直觉补充的更加完备。尽管我们加入了这些公理后,仍然有不可判定问题的存在,但是,也许之前那些在集合论中大量的不可判定问题就可以迎刃而解。“有人可能会说,这就是在玩游戏。你只是为了解决你的问题而去选择把公理加进去。”武丁说,“但也不尽然。最本源的直觉会限制集合论公理的选择。如果你发现一个问题的答案是那些公理的推论的时候,那么这件事情就不仅仅是游戏了。就是说,ZFC公理系统没有能完全反映我们的直觉。”
 
 
回到20世纪30年代,哥德尔本人就加入过这样额外的公理,叫做构造性公理。加入构造性公理的ZFC公理系统能解决包括连续统假设问题在内的一系列不可判定问题。准确地说,哥德尔设计了一种集合类,它满足ZFC体系以及一条额外的性质,后者能把这些不可判定问题变得可判定的。构造性公理保证了哥德尔构造性宇宙中的集合就是世界上所有的集合:带来麻烦的集合是不存在的。
 
 
遗失的公理是什么?
 
 
可惜,哥德尔宇宙种不包含康托设计的大部分关于无穷集合的层级。和连续统假设一样,在原始的ZFC集合论中,大基数的存在性是不可判定的。但是,一但你在ZFC中加入了构造性公理,那么这些不可判定性就消失了:你能证明,这些大基数中的大部分都不存在。很多集合论学家不能接受这个结论:一个公理使得大量的基础基数分层都消失似乎把限制得过头了。林林总总的各种理由下,哥德尔宇宙以及构造性公理的方案被否决。
 
 
但是事情并没有结束。不知从何时开始,武丁和他的同事们开始了对哥德尔宇宙的系统化修正,让修正后的哥德尔宇宙能容纳越来越大的无穷集合。这些工作引领着武丁去构建一个哥德尔集合宇宙的终极形态的概念。这个终极形态能容纳下所有已知的大基数——也许这就是人们遗失的终极公理。武丁心仪的公理能推导出一种非常大基数的存在性,这个基数叫做武丁基数。
 
 
 
 
武丁之所以乐观地认为他走在正确道路上,缘于他们之前的工作的成功。曾几何时,困扰数学家的一些特定领域的核心问题,其实在ZFC下是不可判定的。现在知道,如果所有的集合都满足“射影决定性”的性质,那么这些问题就能解决,但是先验地没人知道为什么所有集合会满足这个性质。表面上看,射影决定性和无穷层级没有什么关系,但是武丁以及他的同事们的工作表明了两者之间的联系。如果你准备接受一条能容纳下武丁基数的公理,那么射影决定性就会顺理成章的成为一条定理。他们同样能证明,如果服从一些通常的结构性的限制,他们给出的公理是能给出射影决定性的唯一公理。
 
 
 
这种看似没有关联的概念之间的却又有深刻的联系,这让用武丁的方法寻找遗失的终极公理增加了更多的可信度。“如果所有这些只是一个人为的制造物,那么我们没有任何理由去期盼这种形式的成果。我们在以我们的基本直觉为基础来寻找公理,目前也没有任何证据让人能相信这个找寻的工作一定能成功。有点像找寻独角兽。我们自认为我们知道独角兽长什么样,但并不意味者我们就能找到独角兽。”如果你的确找到了独角兽,那么你一定正在做一些正确的事情。
 
 
但是,这个工作并不能保证一定能成功。武丁的终极公理能否走通还依赖于一些没有解决问题,这些问题依旧需要有人来给出答案。“现在非常不确定。”武丁承认。“但现在有一系列的猜想在最近两年提出来,如何这些猜想是对的,那么会让集合宇宙的概念趋向统一。如果达成,将解决连续统假设[视其为真]以及其他不可解问题。我认为,现在整个学科处于一个关键的十字路口。”
 
 
 
 
在2010年世界数学家大会上,武丁作出了一个大胆而又富有争议的预言:他寻找的公理将是“一个公认的经得起考验的描述无穷的原理”。但是,他也表示,如果有新的证据诞生,他也并不排除改变自己的想法。就在几年前,他还斩钉截铁的说,根据他当时的工作结果,他笃信连续统假设应该视为假命题。现在,他改变了看法。
 
 
但是武丁能知道到底何时他的公理能正式生效吗?“这不可能说清。有可能就明年,有可能在100年后。我个人只能说,虽然一些猜想看似非常难,但在未来一两年内我们能在上面取得大量进展。现实如此:没人知道一个数学猜想是在明天解决,还是在一千年后解决。”
 
 

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神秘数字6174

 

原文作者:西山豊,大阪经济大学教授。

翻译作者,Dr.夏洛克,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:333

 

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6174是一个相当神秘的数字。乍一看,可能不那么明显。但是正如我们即将看到的,任何一个会做减法运算的人都能发现使得6174如此特别的秘密。

 

 

卡普雷卡运算

 

1949年来自印度的数学家卡普雷卡(D.R.Kaprekar)引入了一个今天被称为卡普雷卡运算的步骤。首先选一个各位数字不全相同四位数(也就是除了1111,2222,。。。)。然后重排各位上的数字得到这些数字能组成的最大与最小数。最后,从最大的数中减去最小的数得到一个新的数,接下来对每一个新的数重复以上运算。

 

 

这是一个简单的运算,但是卡普雷卡得出一个惊人的结果。让我们试一下,以数字2005开始,也就是去年年份的各位数。用这个数的各位数字我们得到最大数是5200,最小数是0025或者25(如果有一个或者一个以上的数字是0,把他们放在最小数的左边)。减法如下:

 

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

当我们得到6174时,运算开始重复,每次都得出6174.我们称6174是这个运算的一个核。那么6174是卡普雷卡运算的一个核,但是这是不是想得到6174那样特殊呢?也就是说不止这个运算只有6174一个核心,溯流而上它还有另一个惊喜。让我们用一个不同的数再试一下,比如说1789.

 

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

 

我们又得到了6174!

 

当我们用2005开始时,7步得到了6174,然而对于1789用了3步。实际上,所有各位不全相同的的四位数你都能得到6174.太牛了,不是吗?卡普雷卡运算如此简单但是揭示出一个如此有趣的结果。当我们思考所有四位数都能得到这个神秘数字6174的原因时,这会变得更加引人遐思。

 

只有6174吗?

 

任意一个四位数通过降序排列各位数字都能得到一个最大数,通过升序排列得到最小数字。那么对于四个数字a,b,c,d,其中

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

同时a,b,c,d不全相同,最大数是abcd最小数是dcba。

 

对这个问题的每一列用标准的减法运算就能算出卡普雷卡运算的结果:

得出如下关系:

D = 10 + d - a (a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b ( b > c - 1)

B = b - 1 - c ( b > c)

A = a - d

 

 

这些数字中a>b>c>d.

 

如果结果数字可以用原始的四个数a,b,c和d写出,卡普雷卡运算就会重复。那么通过考虑所有可能的组合{a,b,c,d}并检验它们是否满足上述关系,就能找到Kaprekar运算的核。对a,b,c和d的4!=24种组合的每一个组合给出一个含有四个未知数与四个等式的方程组,那么我们应该能从这个方程组中解出a,b,c,d。 

 

结果,这些组合中只有一个组合有整数解且满足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0。这个组合是 ABCD = bdac,此时相应的方程组的解为 a=7, b=6, c=4 and d=1。也就是 ABCD= 6174。 整数 {a,b,c,d}  中某些数相同时没有使等式同时成立的有效解。因此,6174是唯一一个不会被卡普雷卡运算改变的数——我们的神秘数字是唯一的。

 

对于三位数会出现相同的现象。比如把Kaprekar运算应用在三位数753上,产生如下结果:

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

数字495是三位数运算(卡普雷卡运算)的唯一核,也就是用这个运算时所有的三位数都会得到495.为什么你不自己检验一下呢?

 

得到6174要几步?

 

从我朋友那里第一次听说6174是在1975年,当时我印象很深刻。当时我认为很容易证明为什么这种现象会出现,但是事实上我没能找到原因。我曾用电脑检验是否所有的四位数在有限步运算内都能得到核6174。这个大约50行的visualbasic程序检验了从1000到9999各位不全相等的所有8891个四位数。

 

下面的表格显示了结果:每一个各位不全相等的四位数在卡普雷卡运算下都得到了6174,而且都在7步之内。如果使用卡普雷卡运算7次之后没有得到6174,那么你就在你的计算中犯了错误,要重新试一下。

 

Iteration

Frequency

0

1

1

356

2

519

3

2124

4

1124

5

1379

6

1508

7

1980

 

 

 

怎样得到6174?

 

当研究卡普雷卡运算时,我的电脑程序检验了所有的8991个数,但是在Malcolm Lines的文章中说只需要检查所有可能四位数中的30个就足够了。

 

让我们计算过程中的第一个减法。最大数是1000a+100b+10c+d 最小数是 1000d+100c+10b+a。那么减法是:

 

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c)

 

 

 (a-d) 的可能值是从1到9, (b-c) 的可能值是从0到9.通过遍历所有可能,我们能看到运算过程中第一个减法运算的所有可能结果。这些结果显示在表格1中。

 

表1:Kaprekar运算的第一个减法后产生的数

 

我们只对各位数不全相等且a ≥ b ≥ c ≥ d的数有兴趣,因此我们只需要考虑那些 (a-d) ≥ (b-c)的数即可。那么我们就可以忽略表1中的灰色区域,这个区域包含(a-d) < (b-c)的数。现在我们把表中数的各位数字降序排列,得到第二个减法运算的最大数:

 

 

表2:第二个减法备用的最大数

 

我们可以忽略表2中的重复数字(灰色区域),于是仅剩余30个数字进行接下来的处理。下图展示了这些数字变成6174的路线。

 

这30个数如何变成6174的

 

在这个图你能看到所有的四位数都在最多7步之后得到6174.即便如此我依然认为它很神奇。我猜发现这个数的卡普雷卡要么是极其聪明要么是有很多时间思考这个运算。

 

 

2位数,5位数6位和更多位的数……

 

 

我们已经看到四位数和三位数都得到唯一核,那么其他数呢?结果答案不那么印象深刻。让我们试一下一个2位整数,比如说28:

82 - 28 = 54
54 - 45 =   9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 =   9

 

不难验证所有的两位数都将得到9→81→63→27→45→9的循环。不像三位数和四位数,2位数没有唯一核。

 

那么5位数呢?5位数会有一个像6174和495那样的核吗?为了回答这个问题,我们需要使用一个像之前的过程:检验 {a,b,c,d,e} 的120个组合ABCD满足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

abcde - edcba = ABCDE.

 

 

万幸计算机已经完成了计算,而且众所周知5位数没有卡普雷卡运算核。但是所有的5位数确实都得到如下三个循环之一:

 

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

 

正如Malcolm Lines在他的文章中指出的那样,检验6位或更多位数会发生什么会很费时间,而且这项工作会变得相当无聊!为了使你免于这种命运,下表展示了2位数到10位数的核。图表显示卡普雷卡运算只能把所有3位和4位数变成唯一核。

Digits

Kernel

2

None

3

495

4

6174

5

None

6

549945, 631764

7

None

8

63317664, 97508421

9

554999445, 864197532

10

  6333176664, 9753086421, 9975084201

 

 

 

 

漂亮吧,那它有那么特殊吗?

 

 

我们都看到在卡普雷卡运算下所有的三位数都得到495所有的四位数都得到6174.但是我没能解释为什么这样的数能得到唯一核。这是一个偶然现象还是发生这些的原因有更深的数学原理?(原理)就像结果一样既漂亮又神奇,这可能只是一个巧合。

 

让我们听一下看一个日本人山本幸雄的漂亮谜题。

 

如果你把两个5位数相乘能得到123456789.你能猜到这两个5位数吗?

 

 

这是一个非常漂亮的谜题,那么你可能认为它背后应该藏着一个很大的数学理论。但是实际上它的美只是一个偶然,也有其他相似但是不那么漂亮的例子。比如:

 

 

 

看到幸雄的谜题,你可能就跃跃欲试想要解出它,因为它是如此美丽,但是如果我给你第二个谜题你可能就一点都不感兴趣。我认为卡普雷卡问题就像幸雄的数字谜题一样。我们被他们吸引都是因为它们是如此美丽。因为它们如此美丽我们觉得它们有更多的内容,事实上他们的美丽很可能是偶然的。过去这样的误解也导致了数学和科学的进步。

 

 

只知道卡普雷卡运算下所有的四位数都得到6174但是不知道原因够吗?至今为止,没有人能说所有的3位和4位数得到一个唯一核是一个偶然现象。这种属性看起来这么惊人使得我们期待着它背后隐藏着数论定理。如果我们能回答这个问题,我们可能发现这只是一个美丽的误会,但是我们希望不是。

 

 

参考书目:

 

Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993) 

 

 

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脑洞:一种靠水的力量解方程的装置

 

原文作者:Mark Levi,宾夕法尼亚州立大学数学教授。

翻译作者,daydgi,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

 

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我想描绘一个流体静力学“计算器”,用它可以解出任意阶多项式方程的正实数根。来做一个思想实验,我们从一片不计重量的泡沫板上剪出如图1的形状。其中第n个图形代表着当它被浸入水中的深度为x时,体积为x的n次方,在这里假设所有的薄片厚度都是1。在图2中可以看到我们的“计算器”由一根上面标着“原点0”的轻质杆(重量不计)组成。代表每一个单项式的泡沫板可以被固定在杆的任意位置;不同的是,常数项x0=1用一个可以滑到任意位置的单位重量小滑块代替。


    举个例子,我们来解下面的方程(1):


ax³−bx²+cx−d=0,   


其中系数a,b,c,d皆大于0。这里的系数和它前面的符号共同决定了每个单项式泡沫板在杆上的位置,如图2。因为常数项小滑块不受浮力而受重力,所以它遵循相反的规则:d前面是负号,所以把它放在0的右边。

 

    准备好了“计算器”,我们水平地拿着杆子,慢慢浸入水中,直到用手保持杆的平衡所感受到的力矩变为0为止,也就是说,直到我们的“天平”可以自己平衡为止。这时的深度x就是方程(1)的一个根。


为了理解这个方法是怎么有效运作的,注意多项式ax³−bx²+cx−d=0,  就是所有作用在杆上的合力矩(如图3)。因此当一个特定的深度x使力矩为0时,也就意味着x是满足方程(1)的一个根。


当然,以上的方法适合任意阶的多项式,不足的是这个方法只能得到方程的正实数根。

 

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2019国际数学奥林匹克,中国时隔五年重获第一,美国并列

 

 

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据国际数学奥林匹克官方网站消息。在英国巴斯举办的第60届国际数学奥林匹克竞赛刚刚公布成绩,中国队以227分,六位参赛者全部获得金牌的成绩获得团体总分第一,这是继2014年后,时隔五年,中国重获第一。

最强对手美国队也以同样的227分,六位选手全部金牌的成绩获得团体总分的并列第一。这是美国队在过去五届比赛中获得的第四个总分第一。 国际数学奥林匹克竞赛是世界上最大规模的中学生国际交流活动,每年举办一届,有100多个国家参与此活动。成绩上,中国队曾经是此项赛事的霸主。2014年后,美国队实力增强,成绩提升。中国队虽然仍然是前三的强队,但更多的扮演冲击者的角色。获得此成绩,十分不易。

最后,祝贺中国队,祝贺中国队的队员。

人生漫漫长路,imo金牌也许只是一个新的起点。

 

 

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你看见蝴蝶翅膀上的数学公式了吗?

 

作者,Radium,哆嗒数学网群友

 

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数学中最有诗意的定理莫过于蝴蝶效应了。美国气象学家洛伦兹1963年在一篇论文中分析了这个效应。最常见的阐述是“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并产生微弱的气流,而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起一个连锁反应,最终导致其他系统的极大变化。他称混沌学。用MATLAB绘制洛伦兹模型的状态方程如下图:

 

 

MATLAB代码:
f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
%如果欲观察相空间轨迹走行最好的方法是采用comet3()函数绘制动画式的轨迹,即将最后一条语句改为comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

可以发现图像是混沌的,而且十分像一只张开双翅的蝴蝶。因此笔者以蝴蝶为素材,从代数,分析,几何以及概率中各挑选了一个公式作为代表融合起来设计。话不多说,直接上图:

 


Cauchy-Schwarz不等式


令x,y是两个向量,则

当且仅当x,y线性相关时,等式成立。


柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。该不等式有多种形式。


Crofton定理:


令D是平面上有界凸区域。D的两条切线通过D外每点P(x,y)。令t_1与t_2是线段长,此线段由P与切点确定,令A是各线段间的角,被看作(x,y)的函数,则


Stolz定理:


令{x_n}与{y_n}是两个实数数列,{y_n}时严格正的,递增的,无界的。若

则极限

 

F=normcdf(x,μ,σ)

MATLAB语言,F为x各点处的正态分布的分布函数值

 

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切好蛋糕,然后吃掉它

 

原文作者,Marianne Freiberger,转自Plus网站

翻译作者,小鹤e,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Radium

 

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两位计算机科学家采用一种新方法把蛋糕分给任意数量的人,而不引起任何人的嫉妒,因而在切蛋糕理论上取得了突破。这个结果不仅仅与生日派对有关:无论是土地资源、播出时间还是石油资源,蛋糕可以代表任何连续的研究对象。从离婚诉讼到政治冲突,切蛋糕理论的灵感来自于各种各样的问题。


当只有两个人分蛋糕时,问题就很简单了。让第一个人切蛋糕,第二个人选择他想要的那块。第一个人会确保他切的蛋糕中的两个部分他都很满意。根据喜好和蛋糕上的东西,第一个人可能会把蛋糕切成两等份,或者切成一块小一块大,但小的那块有草莓。无论第二个人选择哪一块,第一个人都不会嫉妒。第二个人可能不喜欢切蛋糕的方式,但是,因为他或她先挑,所以也不会嫉妒第一个人的那块。一般来说,如果没有人嫉妒其他人的蛋糕,那么该分法就称为无嫉妒分法。

 

 

这种针对两个人的分法早已为人所知,但直到20世纪60年代,数学家约翰·塞尔弗里奇(John L. Selfridge)才发明了一种适用于三人最优而高效的方法(后来约翰·康韦(John H. Conway)也独立发现)。1995年,史蒂文·布拉姆斯(Steven J. Brams)和艾伦·泰勒(Alan D. Taylor)提出了一种突破性的方法,适用于任何人,但有一个缺点。即使只有四个人吃蛋糕,公平划分所需的切割步骤也可能是任意大的。为了找到划分方法主刀人需要问吃蛋糕的人一些问题——这与划分方法完成所需的时间有关——可能是任意大的。这个界限究竟有多大取决于参与者的偏好(如果你幸运的话,它们可能很小),但关键是你不能从一开始就限制算法运行的时间和需要进行多少次划分。这尤其令人失望,因为数学家们确认,对于吃蛋糕的n个人来说,只需要切n-1刀就有一个无嫉妒分法。问题只是在于找到那个分法。


一种变动是允许移动刀:主刀人将刀(或几把刀)在蛋糕上移动,当吃蛋糕的人认为应该切蛋糕时大喊“停”。至少对于四个吃蛋糕的人来说,这使得切蛋糕的步骤减少到五步。但是吃蛋糕的人要做无数次决定。对于刀在轴上移动的每个点,他们需要决定是否喊停。由于我们真正想要的是一个可以在计算机上运行的离散分步算法,这种移动刀的方法并不完全令人满意。


由哈里斯·阿齐兹(Haris Aziz)和西蒙·麦肯齐(Simon MacKenzie)设计的这种新方法是离散的,它规定了切蛋糕的数量,以及主刀人需要向吃蛋糕的人提出的问题的数量。无界限方法的合作者Brams对这个结果很满意:“我相信Azizz - Mackenzie算法是一个重要的理论结果,肯定有所突破,而我们之前用泰勒得到的结果——通过限定算法所需的步长(或切割步骤)——证明了它是有限的,但我们无法确定它的上限。”

这就意味着像蛋糕一样的冲突可以在一瞬间解决了吗?不完全是——阿齐兹和麦肯齐的结果纯粹是理论上的兴趣。当涉及到n个吃蛋糕的人时,你需要问的问题的数量界限如下一个数:


不管吃蛋糕的人喜欢什么,问题个数超过这个数字后,你都不需要继续问下去。但这仍然导致了难以想象的过大的界限:即使对于n=2,标准计算器也会崩溃。布拉姆斯说:“无论是否使用移动刀,要缩小这种界限都是一个挑战。”“然而,我不认为这样的数字会让这些算法有任何实用价值。”

 

还有一个问题。Aziz 和MacKenzie的方法保证了没有人会嫉妒别人的蛋糕。但这并不能保证每个人都满意。可能存在另一种蛋糕的划分,它让一个或多个吃蛋糕的人更满意,而且不会让任何人变得更嫉妒他人——用数学表达就是,无嫉妒法通常不是帕累托最优的。吃蛋糕的人可能会抱怨:他们可能不会嫉妒别人的蛋糕,但如果知道自己可以在其他划分方法中获得的更多,他们可能也会很不高兴。同时满足无嫉妒和帕累托最优往往是不可能的。因此,尽管理论家们在努力降低算法的界限,但现实中的实践者们需要认真思考,在特定的冲突中,哪种划分是最好的:无嫉妒、帕累托最优,还是其他一些标准。

 


如何把蛋糕分给三个人,使得三个人都不会嫉妒别人。


假设我们的三个人分别被称为A、B和C,我们不分性别地把每个人称为“他”。首先,C把蛋糕切成它认为有相同价值的三块。然后A和B各自挑选。如果他们选择两个不同的部分,这个过程就完成了。

假设A和B想要相同的一块蛋糕。在这种情况下,B会对它认为最有价值的蛋糕进行一些修剪,以匹配B认为第二有价值的那部分蛋糕。把切下来的余料放在一边,让A先挑。接下来,B选择他的那块,但有一个条件,如果A没有选择被修剪的那块,那么B必须选择它。最后,C选择。现在A不嫉妒了,因为它第一个选择。B不嫉妒,因为它的第一个选择是同等价值的:无论A选择什么,都有一个同等价值的部分留给B。C也不嫉妒,因为从C的角度来看,唯一降低了价值的部分,是被修减了的那块,但它会被A或B拿走,而最初的三个部分对它来说是同等价值的。

这样就剩下余料那部分了。假设在前一轮中被裁掉的蛋糕被A选中。让B把余料分成它认为有同样价值的三块。让A第一个选,C第二个选,B最后选。A不嫉妒,因为它先选。如果C嫉妒,那么它一定是嫉妒A,因为C在第一轮中是满意的,第二轮时,它选在B之前,所以它也不嫉妒B。那么C嫉妒A吗?在第一轮中,A选择了被修剪掉的那块蛋糕,也就是说,A在第一轮中选择了对C来说没有其他两块那么大的蛋糕。我们用V表示在C眼中最初3块蛋糕的价值。我们把W记为C眼中余料的价值。现在对C来说总价值是V加上W;而C眼中分配给A的价值是V-W加上部分W显然,V-W加上部分W的总是小于V,也就是说,C认为,A分配给A自己的价值小于C分配给它的价值,因此C不嫉妒A。


如果是B在第一轮中选择了被修剪的那块呢?在这种情况下,只需交换上一段中A和B的角色。

 

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无穷“极简”说

 

原文作者,Adhemar Bultheel

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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牛津大学“极简入门”系列读物涉及了从会计学到“犹太复国主义”等等广泛大量的话题。这本《无穷》是其中最小的小册子之一(真正的袖珍书:174×111 mm).无穷这个概念,主要是在数学中具有重要性与实用性,不过它也拥有哲学的甚至宗教的一面。在这个“极简入门”所允许的情况下,斯图尔特(Stewart,本书作者)尽力做到内容广泛,在讨论中加入了大量的历史知识。对于仅有143页的小书来书,谈论的东西实在是太多了。虽然有大量的重叠之处,与马库斯·杜· 索托伊(Marcus Du Sautoy)的《如何对无穷进行计数》和尤金妮娅· 陈(Eugenia Chen)的《超越无穷》相比,斯图尔特的处理更加广泛。后二者更着重在数学专业性。

 

 

无穷即无穷大,曾经长久地作为一个模糊的东西,在哲学基础上进行讨论。古希腊人就实无穷与潜无穷的分别进行了争论。这个潜无穷即某个超越了所有的自然数的东西,通过“枚举”,它是永远不能被达到的。就“可公度性”(那时主要作为达到数学的几何途径)这个概念来说,它们与无穷小是不同的。无穷小超越了有限长度的任何可能小的分割。它们基本的公共的度量是有限的,这导致之诺提出了“之诺悖论”。十八世纪,牛顿与莱布尼兹引入了“无穷小量”克服了无穷小的这个难处。无穷小量表示了某种接近0但又不是0的东西。因为无穷小量不是0,在计算中,其它量可以除以无穷小量。不过,适宜得到结果的时候,无穷小量又被假定为0.那不是很严格的数学。直到十九世纪末,康托尔就无穷大的本质,给予了更深刻的洞见。通过这些历史,斯图尔特解释了无穷这个概念在多个领域怎样发挥了作用。这些领域对于我们今天如何理解无穷这个概念,都有巨大的贡献。

 

 

 

在第一章,斯图尔特提出了一些涉及到无穷的谜题或者悖论。这样,他阐释了仅仅说“无穷是什么超越所有数的东西”是不够的。无穷大需要更加严格的定义,无穷小也是如此。这些背后隐藏了无理数的过程就是例子:当台阶越来越细的时候,楼梯就越来越趋近正方形的对角线(译者注:这里的意思是用类似于楼梯的折线来近似正方形的对角线);当边数越来越多的时候,正多边形就趋近于圆。这些以一个合适的方式展示了那个0×∞ 型求值的问题。希尔伯特旅馆,阐释了无穷大需要一个更加严格的定义。斯图尔特也给了其它的一些例子。为引起读者的思考,最先提出了这些谜题与悖论。就所有这些让人迷惑的叙述,斯图尔特的解释后面都会给出。

 

第二章解释了:在更高等的数学中,无穷并没有被隐藏起来,而是被嵌入到了基础微积分中。x>1的曲线1/x绕x轴旋转就得到了加百列号角这个图形。它有一个让人吃惊的特性:虽然表面积是无限的,不过其体积却是有限的。当然,无穷也隐藏在“0.9999...等于1”这里,这个事实让很多本科生感到震惊。就像在其它的很多章节一样,斯图尔特很注重历史:戴德金定义实数所用的分割本质上是无穷的对象;朗伯(Lambert)证明了π的无理性;在公元前600年的耆那教中,人们把很大的数语无穷区分开,等等。

 

第三章更加深入得探究无穷的历史。传统上,空间与时间是被假定为无穷的。不过,当考察无穷小的时候,情况就不一样了。人们在处理无穷小事物的时候拥有巨大的困难。之诺悖论这个例子解释了:无穷多个非0的数的和,可以是有限的。从古希腊开始,实无穷与潜无穷就被区分开了,这个讨论在哲学家之间延续了几百年。一些神学家甚至声称:上帝是“无穷”仅存的拟人化存在。

 

 

下一个章节讨论了无穷小,以及它如何触发了微积分的发展。无穷小量这个原初的历史概念,现在被极限这个概念代替了。1960年代当亚伯拉罕· 罗宾逊提出了非标准分析的时候,无穷小量这个概念又复活了。

 

 

在几何学中,无穷就是视野所在。它引导了文艺复兴中透视的发展。这在第六章有详细的讨论,解释了为什么一艘船接近地平线的时候越来越小,以及这如何导致了无穷远处的点与线的概念。欧式平面可以建模为“边界表示为无穷远”这样的圆盘。更具体地,无穷远的线让制作使用透视的绘画变得容易。最终这个讨论以这些想法而结束:射影几何,通过使用立体投影获得的平面与球面的双向映射,无穷远处的点在球面上与北极相对应。

 

 

无穷在数学中是一个有用的概念,不过,它如何出现在物理世界中呢?那是下一章所涉及的。在物理学中,无穷经常导致很糟糕的奇点。斯图尔特讨论了三个例子。彩虹现象的分析是一个光学例子。根据射线光学,如果光从某个特殊的角入射的话,彩虹的强度将会是无穷大。这个奇点使得光必须重新考虑为一种波。在牛顿的引力理论中,当两个质点间的距离变为0,它们的势为无穷大,这就出现了奇点。1988年,夏志宏通过解一个五体问题,引人注目的获得了含有奇点的非物理的解。黑洞是广义相对论中的奇点,在宇宙论中,大爆炸显然是一个奇点。斯图尔特在这里也解释了,当宇宙论学家以曲率为一个参数来确定我们的宇宙是否有限的时候,为什么他们是错误的。

 

最后一章讨论了这些问题:康托尔是如何得到“实数是不可数的”的证明的,这如何导致了集合论与超穷数,以及这如何引起了数学基础的的修正。数学家或者任何对这类数学背景文献有一点了解的人,都对这个故事很清楚了。不过,在这里,斯图尔特,再次追随了“谁做了什么,以及为什么导致最终的结果”这个历史演化过程。这里有大量的信息,由于展示得很紧凑,对于一般的读者来说,阅读过程并不总是轻松的。每一章都有一些参考文献,这对那些想要考查更多细节的读者也许是有益的。有一些精心阐述的方面,是远远超过解释无穷的(比如,彩虹的角度的计算,透视的几何学),不过这些话题,它们自己本身也是有趣的,并且它们在其它的处理无穷的地方是不会发现的。如果你仅感兴趣于无穷的严格的数学概念,上面提到的杜· 索托伊或者陈的处理也许是更纯粹的替代品。不过,在这个小册子中,即使是有经验的读者也有更多的场合学到一些新东西。虽然不重要,不过“那是我不知道的有趣的东西”这种一闪而过的体验,也将使得这本书值得阅读。

 

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2019软科世界一流学科数学排名:普林斯顿世界第一、北大中国第一

2019年软科世界一流学科排名,也就是俗称的上海交大版世界大学排名,日前公布一流学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 


数学学科排名方面,前十名的高校全部来自美英法三个国家。其中美国5席、英国3席、法国2席。而第一名依然是毫无悬念的普林斯顿大学。这第一到第十分别是:普林斯顿大学(美国)、索邦大学(法国)、纽约大学(美国)、斯坦福大学(美国)、巴黎第十一大学(法国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、剑桥大学(英国)、加州大学洛杉矶分校(美国)、华威大学(英国)。

 


数学榜单前十中的九个都出现再去年的数学排名前十中。唯一的不同是英国的华威大学顶替掉了加州大学伯克利分校进入前十。自2014年华威大学的马丁·海尔获得菲尔兹奖后,数学排名稳步上升,已经位居前十。另外,传言中,伯克利的优秀数学教授逐年流失,这几年数学排名也缓慢下降。说明,教师学术成果在此排名中占有非常重要作用。

还有一个值得一提的是。法国之前一直苦于一些名校排名太低,导致知名度逐年下降的现实,于是启动“卓越大学计划 ”,决定合并学校,提升排名。这回索邦大学排名第二,和这个计划不无关系。这个大学是2018年1月由巴黎第六大学和巴黎第四大学合并后组成。

 

亚洲方面各大高校的排名普遍下跌。日本的京都大学排名第一,总排名20名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第21。沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学排名第三,总排名第31。来自中国的北京大学排名第四,总排名第44。下面的亚洲前十因为并列原因,其实有15所高校。

 

 


 中国高校有84所大学进入榜单,数量上较于去年上涨10所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第44名。是唯一一个进入前50名的中国高校。而复旦、清华、中科大位列51-75名次区间。哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

 

我的Emacs+Linux成长心路

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也许与很多人一样,我的第一篇数学文章是用Word加Mathtype公式编辑器打出来的(当然,现在Word已经自带公式编辑器了,Mathtype也可以作为插件在Word中使用。)那大概是一篇高中时写的圆锥曲线心得。数学编辑器的使用是一个思维转换的过程:在手写公式中相差无几的字符,在编辑器中可能会扮演不同的角色,或是下标,或是上标,或是分母,或是分子……你的大脑必须去努力适应这个新的过程。当数学公式最后像积木一样一件件被拼凑出来,呈现在电脑屏幕上时,那种云开见日的成就感还是很美妙的。其实现在回想起来也知道,整个排版文章的过程一定是繁琐且枯燥的。只是,如果你内心中深信一件事有着 “崇高的目的 “,那你多半会对相伴的苦工夫视而不见,反而会认为每一滴汗水都是值得的;这像极了锻炼身体时,即使再苦再累,你也因为相信它的益处而保持心情愉悦。

 

这种想法一直保持到了我本科初学LaTeX的时候。剧本是类似的,只不过是MathType换成了LaTeX;不同之处是后者看起来更高级、更专业。经过短时间WinEdit的使用后,我投入了Linux下 “编辑器之神 “Vim的怀抱。其实我知道Vim下也有不少写LaTeX的好工具,但对我而言它只是一个带语法高亮的文本编辑器。我沉浸在一种苦行僧似的LaTeX编辑体验并乐在其中:没有任何输入辅助,全部命令全靠记忆手打(也利益于Vim高效的输入模式)。好几个月的实践至少带来一个好处,就是肉眼排错的能力大大提高了。这段经历也让我朝着极简主义的方向使用LaTeX进行排版。毕竟每周30+小时的高强度上机编程+撰写报告,如何高效地把数据和图表转化成清晰的PDF文档才是最重要的事,花哨的技巧倒是其次了。

直到有一天我在网上偶然读到叶卢庆的一篇博文:Emacs+LaTeX 帮你写数学文章,读完之后仿佛一扇新世界的大门突然开启。有时候想象力是很重要的。一件事如果超出你的经历之外,在你没见过之前你可能永远都不能想象。这篇博文就是激发想象力的那颗火种。虽然久仰Emacs“神之编辑器”的大名,却从没见过Emacs在编辑LaTeX中能发挥怎样的威力,也就无法打开被禁锢的想象力。余下的事情对于爱折腾的我来说已经是轻车熟路了:从网上找来各路教程开始,慢慢就把所有LaTeX和编程工作都转移到Emacs下来完成了。从苦行僧的方式走来,转到Emacs的第一感觉就是写文档的自动化程度变高了,同时界面本身的可扩展性极强。

 

第二次信念的飞跃是在研究生期间。当时自己还是传统地使用纸笔,却经常上课时见到前排一个师兄用LaTeX敲笔记。直到有一天我突然也问自己,能否在Emacs上做到呢?其实最初的尝试是很不顺利的。主要是自信心的问题。在多数情况下,如果教授在黑板上写一大串长公式,用LaTeX打下来肯定是会慢一些的。慢一些,并不多,最后并不影响总体记笔记的速度,因为没有教授会从头到尾板书写不停,总会有停下来解释的时候。而记录下说话的内容,打字却是比纸笔快得多。事实上,熟练之后,对黑板上的长公式直接盲打就行,基本教授写完也差不多打完了,然后就可以伸个懒腰,看着编译好的公式听着教授讲解,不时在公式旁打进自己的一些思考,不亦乐哉!

 

但迈出第一步是困难的。开始时总是浅尝辄止:一旦第一个公式跟不上就动了放弃的念头,把笔记本电脑又收了回去,掏出纸笔;不一会儿又不甘心再试,反反复复。终于有一次,下定决心死磕到底,坚决不合上电脑,最后慢慢就适应了用LaTeX记笔记的节奏。是的,我很怀念钢笔尖划过纸面,灵巧地写下一个个数学符号的感觉。但是,看着自己几年下来在笔记文件中积累的2万多行LaTeX代码,各种内容有条不紊地放在一起,所拥有的便利性也是纸质笔记无法比拟的。别的不说,一个记忆深处的数学名词,也就是一条搜索指令;甚至,得益于Emacs内一个简单自动补全功能,在记笔记时要是遇到一个记过的复杂的专有名词或人名,也只需要几个首字母就能快速打出来。相比之下,早年的数学笔记,只是静静躺在某个角落,作为曾经某段岁月的见证;内心深处却不愿意承认,随着时间推移,也许它们越来越难有用武之地了。

 

Emacs也许不是最好的LaTeX编辑器,但肯定能算上最好之一。我曾向身边的不少朋友安利过Emacs编辑LaTeX的强大。在这个过程中,我意识到大多数人并没有意识到数学公式的编辑其实可以是一件很轻松简单的事情。在正如前面所说,人有时候是被想象力限制了;只有亲眼见了,才能激发更多潜能。我做这个视频教程的初衷,就是希望能够抛砖引玉,带领大家看到一种把写LaTeX变成自然而然的可能性,从而去触发无限的可能性。

现在,我将我的这段成长学习经历录制成为视频,与大家分享。有时候,分享和交流是再一次成长的机会呢。

视频教程简介:


第一部分:分6节,介绍LaTeX的基础知识及Emacs的安装和简单操作。适用于初学者。


第二部分:尽量保持章节/技巧之间的独立性。将介绍Emacs中几个编辑LaTeX的重要模式/插件及常见使用技巧,包括AucTeX, cdLaTeX, RefTeX, preview-LaTeX, outline模式等。还将介绍自定义快捷输入方式的设置方法。适用于想用Emacs提高LaTeX编写速度与准确性的观众。


目录:


1LaTeX基础知识 
1.1LaTeX初体验 
1.2中文支持 
1.3数学符号输入
1.4LaTeX文档结构 
1.5交叉引用 
1.6列表与图表环境 
2Emacs编写LaTeX技巧 
2.1区域选择及操作 
2.2cdLaTeX简介
2.3RefTeX之交叉引用
2.4cdLaTeX自定义配置
2.5自定义定理环境 
2.6所见即所得之Preview-latex 
2.7Outline Mode简介 
2.8PDF预览正向和逆向搜索 
2.9TeX-fold代码折叠 
2.10参考文献、多文件和排错

 

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我冲击牛津数学专业的经历

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作者,海和雪人,哆嗒数学网群友

 

经历过中国高中的孩子,可能多少会对高考数学的难度心有余悸。那么,大家可能会疑问,国际高中的数学课程和考试模式是怎样的呢?会不会也让莘莘学子感到压力山大呢?下面,我将以一个亲历者的角度,为大家介绍一下在国际高中学数学、考数学的经历和感受。

 

本人入读的英国体系高中总共有四年,学校开设的课程,前两年是比较基础的IGCSE,后两年是相对较难的A-level。在A-level阶段,学生选3-4门科目,并深入学习未来的专业。

 

A-level课程根据不同的考试局细分成多种。其中,我参加的考试恰好是只针对海外考生的剑桥大学国际考试委员会(Cambridge International Examinations,简称CIE)。既然只针对海外考生,可想而知,其理科课程相对其他考试局更难一些,尤其是进阶数学,更是许多国际学生眼中的“魔鬼课程”。

一般来说,学生会在A-level的第一年,也就是AS阶段考一次试,第二年,也就是A2阶段考完剩下的一半,两年的成绩取平均数作为A-level成绩。(近期的改革后,考试时间会有变动,学校可以选择不再一年一考,而是在A2结束后考两年的内容。)然而,因为中国学生的数学基础,许多中国的国际学校采取了超前的数学学习模式:IGCSE第一年学习基础的IGCSE数学,IGCSE第二年学习AS内容,而AS年级结束就已经完成了A-level的数学课程。在A2一年里,数学专业和一些理工科比较优秀的学生会学习一年课程——进阶数学,也就是让我们又爱又怕的“高数”。

 

总体来说,IGCSE的数学比较简单,类似于初二水平。不过小伙伴们不要被这个简单的开始所迷惑——按照英国教育理念,四年来的数学课程会越来越难,而对精准度的要求也是只增不降。CIE考试成绩分为几个等级,其中最高等级为A*,往后分为A、B、C、D、E、U等。IGCSE数学要想得A*,需要答对近90%的题目,对于认真学习的同学来说,得A*并不困难。然而A-level数学的A*分数线一般都在90%上下,这就需要学生掌握所有内容,并大量练题以保证准确度。而进阶数学的分数线,根据题目的难易程度,定在90%-97.5%之间。
下面,我将为大家讲述一下学习高数的体验。高数最基础的内容之一是数学归纳法,最常考的题目就是证明一个含n的式子是某个整数的整数倍。这种问题用公式就可以解决,然而,考官心血来潮可能会出一些n次求导一个带有n的指数函数或对数函数式子,求证对于所有的n,结果都会以某种特定形式展现。虽然说作为前面几道考题,不会让考生绞尽脑汁也做不出来,然而要快速做出证明还是需要一定数学功底的。

 

我的同学们经常说,如果每套卷子里总有一道烧脑的题,那么十有八九是复数或递推公式(reduction formula)。即使在大量练题的情况下,一道没有见过的题也有可能让小伙伴无从下笔。这个时候,找到思路的过程,考验的不仅是对知识和题的熟练程度,也是发散性思维和联想能力。

 

以往的考试分为两个卷,第一卷就是上面介绍的纯数部分,第二卷是力学与统计。从我们这届往后,高数会分为四张卷,两张纯数,一张力学,一张统计。力学题注重机械原理的运用,选择解题角度的能力和列式子的能力,通常在力与力矩的分解这一部分会考一些这样的难题,需要大量练题,寻找规律。至于统计部分,我们认为是最简单的,考验对统计学原理的运用和计算的精确度。

 

和其他同学不一样的是,本人考试最大的障碍是马虎。虽说考试让带一个强大的科学计算器用于解决一些复杂的式子,但对于神经大条的我来说,列式和整理式子的过程十分糟心,正负号弄混,忘记乘某个系数都有可能让我在算一道复杂的积分题目时得不到正确的最终结果。对于其他同学来说,最大的障碍可能是少数几道即使经过勤奋刻苦地练习,也不一定能找得到思路的题。当然,在练题的过程中,我也常常遇到障碍,每次在考试几个月前遇到不会的或做得慢的题目,都会感叹压力山大,长夜漫漫。这个时候,我们通常会找类型题练一练手,自己找一找手感,积攒一些经验,也减少一些应对考试的焦虑。也许练题时找到的思路在考场上就能用到呢。

 

考前焦虑恐怕是很多考生都会经历的。一般来说,想要考进英国G5(英国排名前五的大学)或华威大学的数学系,高数成绩必须上A*,也就意味着需要朝着满分努力。其他专一些理工科专业,一般来说只要上A就可以,除非是牛津剑桥这样傲娇的大佬学校。


当然,想要考入世界顶尖大学,只有A-level的成绩是不够的。国际教育与应试教育不同在于,国际教育重视的不仅是学生的做题技巧和考试成绩,更重视思维和潜力。申请英国大学需要递交一个PS:personal statement,即个人陈述,其中绝大部分内容都与自己的专业相关,少部分展示专业学习以外的个人综合能力。学生通常会详细讲述自己对这个专业的热爱,相关竞赛、阅读、研究以及实习的收获。顶尖大学还会有自己的入学考试,比A-level考试难很多,牛津、剑桥和伦敦帝国理工学院部分专业还设有面试。所以,在学习自己专业,研究、实习过程中,浑水摸鱼是不可取的。

 

对于一个“整数学的”,考数学系的过程更是艰辛。对于早早确定未来方向的学生来说,第一年课程还很简单的时候,正是课外学习的好时机。那一年,我开始像曾经向往的那样,把数学当做自己热爱的东西去学习。从读《什么是数学》,到研究分形几何参加“科学展”,想象力一点点打开。之后,我又读了《数学女孩》和小平邦彦的《微积分入门I》,读的时候总是很困难,甚至半个小时也理解不了一页。读的时候遇到一些感兴趣的问题会深入研究,有时通过几天的思考,能得出自己没有见过的“研究成果”,然而更多时候并没有,只是把读到的内容理解得更深了一点。 

 

关于附加考试,在我看来,数学的MAT考试可以说是把英国教育理念发挥到一定程度了:规律较少,不易套路。作为一些顶尖大学数学系的筛选考试,MAT比CIE考试难一些,答对80%以上的题都是大佬。MAT的题,有难有易,由浅入深,考验的更多是对一个数学问题的思考,而不太偏重答题技巧。因此,想要应对这种灵活的考试,还是需要真正理解数学。当然大量练题也是必须的,在这四年里,我为了准备包括MAT在内的考试和竞赛,练习了许多难题,包括中国高考题。除了MAT之外,剑桥大学、华威大学和UCL采用的入学考试STEP也很有意(ya)思(li),而且难度极高。好在,STEP虽难,但是如同CIE高数考试,可以通过刷题来提高成绩。

牛津面试可以说是我的最后一道难关,也是让我与牛津数学系失之交臂的一关。毕竟面试的题目是为筛选学霸准备的,而且需要考生克服紧张,边思考边交流。我失败的那一场,是考完两场面试之后的加试,教授模拟大学课堂,给我讲了一个全新的知识点。我思考速度缓慢,因为最终没有独立理解这个内容而被刷下去。

 

以上是在英国体系的国际学校里学习数学和参加考试的个人体验,可能不太全面,可能不太准确,如果说我有什么想告诉大家的,那就是,爱数学是一种幸运吧。不管是在中国高中,还是在国际学校,不管是在一个普通学府还是985、211,都是如此。毕竟,热爱,就如同希望,是这个年代如同钻石一般宝贵的东西。

 

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曾经最基础的高考题目,却让99%的考生马失前蹄

 

原文作者,李迈新,《挑战极限思维:勾股定理的365种证明》作者

 

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每年的高考试卷,最受全社会关注的自然是语文的作文题,一个好的作文题目或者题材,会引起全社会的关注和,有的甚至可以影响好几年,当真是"余音绕梁,三日不绝"。

 

相比之下,数学题目就没那么容易让人记住了,比如在下就是95年参加高考的,那年的题目别说数学,就是语文作文是啥,现在也想不起来了。

不过凡事都没有绝对的,有些数学题目,不仅会让当年的考生终身不忘,还会让后来者胆战心惊,而且老师还会在课堂上敲黑板,画重点,防止重蹈覆辙。

下面要说的这道高考真题,历史已经比较久远(1979年的高考数学试卷第四大题),但是影响绝对空前,它是当年考生心中永远的痛,让人终身难忘.因为这道题的得分率不到1%,也就是全国99%的考生都被这道题坑了一下。

下面是这道题的真容,1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题:

 

叙述并证明勾股定理。

 

是的,你没看错,就是这道题让无数考生竞折腰,原因么,就象萨苏原文(http://blog.sina.com.cn/s/blog_476745f6010003pz.html)说的“对高考的学生来说,这实在太简单了,就是因为太简单了,根本没有几个学生还记得这东西怎么证。勾股定理么,简直象地球是圆的那么自然么。但是。。。证明?这东西还要证明么?!”

 

那么,为啥要出这么一道的简单的送分题(实际上是送命题)呢?

 

潘成彪先生出这道题,当然不是因为希望出的简单,而是他认为中学教育不能只注意题海和数学竞赛,而且应该在基础方面让学生打得更扎实一些,用现在的话来讲,就是不忘初心,放得始终。

 

以后的高考数学题里,影响能与之媲美的,印象里大概只有03年的江苏卷了,那一年据说有个胆大包天的文科生考前居然偷出了理科数学的试卷(你没看错,是文科生,然后偷的是理科生的试卷……),导致临场采用备用卷,于是那年江苏平均分68(卷面满分150)。

 

现在这道勾股定理的高考题之所以让人难忘,事后看来有这么几个原因:

 

(1)出题人潘成彪先生虽然是著名数学家,但是当时时有保密制度,出题人的姓名是不对外公开的,所以很多考生快30年后还不知道自己的仇人是谁,自然就更加好奇,自然就难忘了。想比之下,江苏的那届学子还是幸运的,至少还知道出题人是葛军,人送外号葛大爷。(不了解这位大神的请自行百度)

(2)如果真是题目出的特别变态,比如超纲或者用到了很难想到的技巧(也就是题目出的比较活),那考生也只能承认自己智商不够,认赌服输,不大会找出题人的麻烦.但是这道题目显然并不难,只需要初中的几何知识,更确切的讲,就是初中几何课本的原题.换了你,在高考时遇到这么一个题目,明知自己学过,但是就是想不起来答案,那肯定是窝火+闹心自然就难忘了。

 

凡事一有开头,就必然有后来的仿效者。这种直接让考生证明教材中重要定理的头一开,第2年(1980年)的数学出题者便照方抓药,就出了一道,1980年理科四题:


写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。

 

大概是考虑到老这么搞还是容易被猜题,再者教材里的重要定理就那么些,高考又不允许出重复题目,考一个就少一个,于是80年之后基本上没有这么干的了,直到30年后的四川为了向前人致敬,于是来了一道,四川2010 第9大题:

 

证明两角和的余弦公式 并由此推导出证明两角和的正弦公式。

 

不过在四川之前,2009的考研命题人或许是受到了某种启发,也玩了一次仿古,于是那年的数学1(也包括数学2和数学3)就有了下面的题目,2009年全国硕士研究生入学考试数学一试题:

 

证明拉格朗日中值定理。


最后,给两个勾股定理的经典证法

 

证法一:把两个边长为a和b的正方形进行拼接,然后分割成4个直角三角形加一个小正方形,然后再把他们拼接成一个边长为c的大正方形.立得a²+b²=c² 。


第2个证法,利用等底等高的平行四边形面积相等,可以得到。

 

 

 

蛋蛋的表面积

原文作者,John D. Cook博士

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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我们之前的文章中,介绍了鸡蛋的一个拟合公式,讲解了公式中各个变量对鸡蛋形状和鸡蛋两端曲率的影响。

在那之后的文章中则介绍了鸡蛋的体积计算。而篇文章,我们将介绍鸡蛋的表面积计算。

 

如果你将f(x)在[c,d]之间的图像绕x轴旋转,那么这个立体图形的表面积为:



对于鸡蛋的拟合函数而言,这个积分是没有初等表达式的。(至少我没有找到初等表达式,就算用Mathematica也无能为力。)但是我们可以通过计算得到数值解。

 

下面给出的是Mathematica的代码。

f[x_, a_, b_, k_] := b Sqrt[(1 - x^2/a^2) / (1 + x k)]
area[a_, b_, k_] := 
    2 Pi* NIntegrate[ 
    f[x, a, b, k] Sqrt[1 + D[f[x, a, b, k], x]^2], 
    {x, -a, a}
]

 

现在我们进行更为详尽的考察,我们来验证一个观点,如果鸡蛋是球状的,我们会得到球的表面积。


输入area[3, 3, 0]则返回113.097,N[36 Pi]同样返回113.097,这是一个非常好的开始。


现在我们将k作为自变量,表面积作为因变量,做出一个函数图像。

Plot[area[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}]

y轴的数值从85.9开始,因此这个图像夸大了k的作用。因此,我们将y轴的值从0开始,用以修正k的影响。

Plot[g[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}, PlotRange -> {0, 100}]


对于体积而言,鸡蛋与椭球之间大约差了一个参数为k的二次函数项。

 

 

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2019年度邵逸夫数学奖名单公布

 

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根据邵逸夫奖基金官方网站消息,2019年邵逸夫奖已于2019年5月21日 (星期二) 北京时间下午3时正(GMT 07:00) 公布。

数学奖由法国数学家米歇尔.塔拉格兰 (Michel Talagrand)获得,以表彰他研究集中不等式、随机过程的上确界和自旋玻璃的严谨结果。

 

 

塔拉格兰是概率论的顶级专家,曾再1998年的国际数学家大会上受邀发表1小时演讲。

邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

 


 
“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,每项奖金一百二十万美元。

“邵逸夫奖”被不少人誉为“东方诺贝尔奖”。

 

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数学模型:科学家们用数学语言刻画社会冲突

原文来源于罗巴切夫斯基大学

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:donkeycn

 

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2018年6月29日 于,罗巴切夫斯基大学
 
(图注:在没有外部干扰的情况下社会系统发生冲突的相轨线)
 
 
洛巴乔夫斯基大学国际关系和世界历史研究所副教授亚历山大·佩图霍夫领导的一个研究团队,在非线性动力学的基础下对社会冲突模型进行了优化。
 
 
对于数学建模而言,社会和政治进程的一个重要特征是它们无法被严格定义。它们通常受到一点微小的改变和波动的影响。通常,社会进程被看作布朗粒子。粒子轨迹中的一点微小的改变和波动可以解释为其他粒子的混沌运动。在社会进程中,波动可以视为是个体自由意志作用的表现,以及一些外部环境带来的随机影响。
 
 
在物理中,这些过程通常用朗之万随机扩散方程( Langevin's stochastic diffusion equation)来描述,这一方程也已经被用于模拟一些特定的社会进程。
 
 
基于这一方程建立的模型有以下优点:
 
1、如同前面提到的一样,该模型允许人们考虑个体自由意志作用下的的影响与系统外部环境产生的影响。
 
2、社会系统的行为可以从整体和个体两方面来计算。
 
3、在这个模型中,可以根据不同的初始条件识别社会系统运转的一些特定的稳定模式。
 
4、扩散方程作为数学工具,完全可以通过数值模拟进行验证。
 
这个模型基于这样的想法:社会中的个体通过一个通信场(communication field)来实现互动。这个由社会中的每一个体所产生的场就用来模拟个体间信息的交流。
 
但是,可以想到,这样的社会很难归因于经典物理拓扑空间中的对象。
 
(图注:在外部干扰的情况下社会系统发生冲突时的相轨线)
 
佩图霍夫(Dr. Petukhov)博士认为,从个体之间信息传递的角度来看,社会空间将经典的空间坐标与一些附加的具体特征结合了起来。这一点可以通过以下事实来解释:在现代信息世界中,我们没必要非得靠近一个对象才能向他传递信息。
 
亚历山大·佩图霍夫指出:“因此,社会是一个多维的、群居以及物理性的空间。它反映了一个人用他的通信场“接触”另一个人的能力,即影响那个人、他的参数和在特定空间中移动的能力。”
 
因此,在这个空间中,个体相对于其他个体的位置刻画了他们之间的关系水平和参与信息交换的能力。
 
 
在这个模型中,当两个个体的位置靠得很近时意味着它们之间有规律的信息交换,这样便可以建立相应的社会联系。
 
 
在这样的背景下,如果个体或群体之间信息传递的变化导致了距离上的急剧增加。(即社会距离Δx = xi—xj,这里x表示社会和物理空间中的坐标,i,j=1,…,N,其中N 为个体或者群体的数量”)那么,它们之间可以认为是一种冲突。
 
 
因此,在假设中,个体可看作是布朗粒子并以一定的半径范围对其他个体产生影响。这样的通信场可以用扩散方程来表示。
 
 
基于上述方法,洛巴乔夫斯基大学研究人员研发的模型,揭示了以下特征模式和对初始和边界条件的依赖性:
 
1、考虑外部的影响和控制的条件下,例如出现社会冲突并且加剧的背景下,建立了特定的边界条件,这样的条件是由社会系统参数决定的。
 
2、建立了一个有关社会系统稳定性的特有区域。在这个由相轨线确定的区域中,所研究的对象之间保持了相对较小的社会距离。这就是群体积极互动,并保持连续信息交换的特点。同时,还可以观察到该区域是怎么变化的,这取决于冲突管理函数的影响。
 
3、通过引入的控制函数的参数确定并联系这些边界状态,可以反映当代特定种族-社会冲突的模式。因此,该模型可以作为预测不断变化的冲突和得出冲突解决方案的工具。
 
这也证明了在这些研究过程中,一个分布式多元认知系统从一个稳定状态到不稳定的状态受阈值的影响。
 
 
根据亚历山大·佩图霍夫的说法,洛巴乔夫斯基大学的研究人员进行的相关实验已经揭示了控制这种系统所需的具体参数:它们决定了系统从稳定状态到不稳定状态的转变,这使得完全通过控制这些参数去创造或阻止社会冲突成为可能。
 
 
亚历山大·佩图霍夫说:“通过继续研究这个方法,我们将能够在其基础上创造一个足够有效的预测社会冲突的工具。”
 
 
 

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获得数学最高奖菲尔兹奖是一种怎样的体验?

 

原文作者,马丁·海尔等众多Quora用户。

翻译作者,我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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也许你再知乎看到太多类似的提问——“XXXX是一种怎样的体验?”。再国外著名的问答网站Quora上,也经常有相同格式的问答但这回的数学逼格似乎有点高,这回问的是:

获得菲尔兹奖是一种怎样的体验?

众所周知,菲尔兹奖是数学界的最高奖项之一。貌似这个问题也应该让一位真正获得过菲尔兹奖的数学家来回答。但是,似乎要让这种世界上最尖端人才来到这个网站来回答这个问题似乎是一种奢望。

 

一位叫做利夫·杰拉姆的历史学家也持有相同意见,他回答道:

能获的菲尔兹奖的人数并不多,而且他们的名字和电子邮件地址都很容易获知,那为什么没有人给他们其中的一个写信呢?

我只是一个低调的历史学家,但我的概率直觉告诉我,在现在不到40位(纯粹猜测)活着的的菲尔兹奖得主中,在无人帮助情况下回答这个问题的几率相当低……

我猜他们的答案应该会有一些感情抒发或标准感言,“感觉很棒”,“我感到微不足道”,“这真的是一个团队努力的成果。”大多数“感觉如何”的问题(实际上大多数问题)需要相对固定的答案。

 

杜扬·萨奥对这个回答这样评论道:

哈哈,我不太确定格里戈里·佩雷尔曼会不会有同样的反应。

他拒领菲尔兹奖章,说他的的成果能被接受是对他最大的奖励,不需要什么菲尔兹了。

而且最牛逼的是他拒绝领奖的原因是他觉得给他颁奖的那些的委员还不够资格。

利夫·杰拉姆:膜拜!
夏肖克·雷:他还拒绝了千禧奖。

 

另外一位评论者路易斯·科恩对这个回答也有评论:

我想知道跟其他学术研究相比,数学研究总体上是否更缺乏合作性。

利夫·杰拉姆:我对此深表怀疑。历史学家们几乎从来没有认真合作过——他们声称与人合作是为了获得经费,但实际上他们通常只是独自一人在档案馆里工作。欧洲资助机构有时坚持要求要有更多的合作者,但结果非常糟糕。

 

然而事情的反转在于,菲尔兹奖得主真的来回答了。

 

马丁·海尔,2014年因为在随机偏微分方程的贡献获得了菲尔兹奖。他回答道:

由于我很幸运地获得了诺贝尔奖,所以被邀请来答题。当然了,感觉这东西因人而异,我也只能说说我的感受...这很显然啊(感觉人生达到了高潮,你还想我说啥?),但同时也给我带来责任感和忧虑感。因为无论你是不是喜欢,当记者评论任何有关数学的话题时最后都会来找你。这时候无论你个人怎么说,最终都会变成代表整个数学界的观点……

乔·菲利奥对这个回答这样评论道:

打断一下:其实整个数学界都不喜欢获奖之后的这个代表权。

马丁·海勒:;-)

 

另一位评论者,若泽·乌里奥拉:

讲真的菲尔兹奖章可能是唯一一个在公众中享有盛誉的数学奖(实际上和诺贝尔奖同样级别的应该是阿贝尔奖,只是没太有人听说过而已),我没记错的话主要原因是跟60年代斯梅尔的政治事件有关……

当时数学家们决定(并发信给一些重要的人说明这一点)将菲尔兹奖这个最负盛名的奖项颁给他,以便帮助他摆脱当时遇到的一些麻烦。

 

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我的爱豆是数学家小平邦彦

 

作者,候尚庶博士, 哆嗒数学网群友 

 

 

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哆嗒小编按:此文作者是小平邦彦的超级大粉丝。长期在各个渠道逢人就推荐小平邦彦的数学著作。终于,他们的事情被出版小平邦彦中文版著作的图灵新知知道,并且授予了他图灵优秀读者的荣誉,算是对他的鼓励吧。

这篇文章有非常明显爱豆情节,请读者理解。另外,文章中提到的阅读细节,对需要买这本书的人可能会有帮助。

 

 

2008年年末的时候,我在长沙定王台的湖南图书城瞎转悠,看见两个小同学在数学专柜那里,我路过一看,她们在拿着一本不太厚的书在翻阅,书名是《微积分入门I》,作者是一个从未听说过的数学家,叫小平邦彦。等她们走后,我拿起书翻了翻,封底上写着这位数学家卓越的事迹,于是我怀着不屑一顾的心情,最终还是自己买了一本,因为我当时根本不相信,一本号称入门的微积分教材,这个老头写出来的能换出啥子花样。

 

很快,我为我自己的无知尝到了苦头。第一章的第一节,类似于讲故事,当时我根本没有品读出多少有用的知识出来,然后到了第8面的定理1.1,证明两个实数,α与β,这两个实数的大小关系,大于,小于,等于有且只有一种是成立的,我一看,这不废话吗?这有啥子好说的?而且,他的那种证法,和要证的命题,看似毫无瓜葛。这老头在搞啥?但是好在当时我闲来无事,又有一股子倔驴脾气,我和这个题目杠上了,拿在手里慢慢想,慢慢琢磨。最终,我通过对他的那个证法展开的结果,发现他在书中想告诉我的是,如果大于小于等于三个都不成立,这是不可能的。那么,这和要证明只有一个成立,又有什么关系呢?无奈中,我有一次无意中掰着手指头玩,突然间脑袋灵光一闪,找到了解决问题的钥匙:大于小于等于,类似于食指,中指,无名指,成立我们可以视为伸直,不成立我们视为弯曲,那么我们假设伸直与弯曲之间没有中间状态,三个手指头,就可以演示出四种情况:三个手指头都弯曲,伸直一个,伸直两个,伸直三个。这四种状态有且只有一种是成立的,没有两种同时成立的情况,也不可能都不成立,更无另外第五种情况,书中论证了三个手指头都弯曲的情况,那么以此为指针,根据前一面的实数的定义,和上文中,实数大小的定义,剩下的两种同事成立,三种同时成立的情况,很容易证伪,最终留下一种可行的情况,那就是有且只有一种情况是成立的。

 

当我想明白这一步的时候,突如醍醐灌顶,原来这本书的布局如此精妙。后来慢慢的往前读,我才发现,这个书很多地方写得很简略,但是该给的指针都给出了。作者督促读者在学习中要反复阅读课文,反复思考道理,而此书布局最令人惊叹的地方,就是一个简单直接的道理:你不把前面的书看明白,不把道理想明白,我让你后面的根本根本看不懂!所以,小平邦彦大师写的不仅仅是一本数学书,他同时把数学的教学法,学生该掌握的学习法都包容在这本书里,真正以知识和正确的学习方法去浇灌读者,而不是停留在教会做题之上,这对于现在这个浮躁的数学学习范围,以应试为目的的数学学习动力,无异于一股能沉降浑浊的清流,而且最重要的是,不从知识和方法的根本上去学习数学,只看习题和分数,那是无源之水无本之木,不可能走得很远的。小平邦彦大师的书中,文字清晰而精炼,很多东西写一半留一半,初看上去冰冷而晦涩,有点严肃,但是深入进去才知道,里面浸透着作者满满的温情与期盼,在严格的思考训练的过程中,我们可以感受到作者那种特有的,以睿智为途径表达给读者们的慈爱。

 

 

曾经,有言论拿辛钦的《数学分析八讲》与小平邦彦的《微积分入门》打比,辛钦的行文中,对数学知识的讲述极尽详实,对初学者很友好,确矣。这就好比,我们要过一条河,辛钦先对地质水文气象做了大量的功课,盐后在河上建立起了一座相当坚固的大桥,再把所有的资料都交给读者。这条河哪里水深多少,哪里流速多少,最近这些年的水文情况如何,哪里有旋涡,甚至哪里有落水鬼,都写得清清楚楚,他根据这些数据,建起了一座大桥,这座桥限速多少,承重多少,哪里风速多少,也都告知得清清楚楚,剩下的只要你走过去了。但是小平邦彦的书,风格则完全不同,他只给出你几样最简单的工具,还有一个资料库,你若是想建桥,可以,里面有图纸;你若是想造船,也可以,里面也有图纸。并且,最重要的是,他会在资料库中留给你一个保命的救生圈,找到这个救生圈,就至少不会溺死。剩下的,就靠你自己去摸索实践了。

 

 

 

在实践中学到的知识,那是很有收获感的,并且,你会发现,他给你的那几样最基本的工具,那简直太好用了。所以,我个人认为,如果有一处风景区,电视台花大价钱拍了一部记录片,详细的记录了里面的风景和特色,播放出来之后,给人们的收获,其实是不如自己拿着一块罗盘,一张地图去实地勘测一遍来得充实的。而小平邦彦交给我们的,就是这块罗盘和这张地图。文字上的精炼,与思想上的深厚与丰富,这样看似矛盾的特性在小平邦彦的书中并行不悖的体现出来,其实并不矛盾。因为精炼的是他的写法,深厚的是他的学识,深远的是他的眼光,充实的是读者的头脑,升华的是读者的灵魂,提升的是读者的数学素养。

 

 

也有人用菲赫金哥尔茨的《微积分教程》,还有柯朗的《微积分和数学分析引论》与小平邦彦的书相比,前两部书,有很大的相似性,都是由大家所写,而且都很注重数学在物理中的应用,菲赫金哥尔茨是实分析列宁格勒学派的创始人,而柯朗本身就是一位数学物理大家。小平邦彦的书中,偏向于纯理论,没有一句话讲的是实际应用。作为站在人类智慧与文明的顶峰的那群人中的一个,小平邦彦应该深知,知识学明白了,能产生多大的战斗力,他已经无意教我们如何去运用知识了,他想教会我们的,应该是如何获取知识,知识都能自己获取了,应用这些知识的范围,应该是天高海阔的。从我搜集到的信息来看,1935年小平邦彦到东京大学学习数学,38年开始又在东京大学学习了三年的物理,那他真不懂物理吗?未必!

 

日本向来有大师级的数学家来写中小学教材的传统,小平邦彦自然也在其中。教材,就是要绝大多数学生都能看懂,而且能学到知识的课堂用书,所以,教材的口径应该是最宽的,是可以让最多的人受益的,这就需要一个自己经历过从“不懂”,到“懂”的明白人来写。从小平邦彦的故事从得知,这位可敬的数学家在中学的时候,学习范德瓦尔登的《代数学》,学不明白,就只能抄书,后来在日本战败时的一片焦土中出道,他青少年时受过的苦,还有对数学的努力执著,足以让人感到心酸。他把他对数学精深的理解,写成了能让大多数人学懂的知识,凝铸在了他的著作之中。

 

前一段时间,我和一位武汉大学学金融,却爱好数学的小兄弟聊天,他在微信中说到,小平邦彦的这本书里面,宝藏不计其数,他不敢想象里面还有多少好东西,很多别的书要用大学,甚至靠近研究生的知识才能论证的知识,这本书用高一高二的知识就能解决,而且严谨而流畅,这本书的口径宽度和思想深度惊人。

 

比如,隐函数,隐映射,证明好直接。史济怀曾说,隐函数隐映射是初学微积分最难的,有些是用多复变知识给重新证一遍,史济怀对科大的学生说:你们读的懂就读,读不懂不做要求。但是这本书里的证明如此直接而正式而简明,借助多元积分闭区域的知识,这是人能想到的?多元泰勒还能这样用,隐函数定理就像是熟透了自动掉下来的,把严格的理论,用这样简明而严谨的方法表达,我就算读遍所有的书,都想不到这样来处理。多元偏导存在且二阶偏导连续推出交换次序二阶偏导相等再推出Young定理,再往下加上限制 推出Schwarz定理,一以贯之。

 

能够在一本高一学生就能看懂的书中,贯穿微积分,实分析,泛函分析,如此深刻的思想,地球上恐怕只有小平邦彦能做到。

 

这本书我也曾多次拿给初中毕业的学生,作为初升高的辅助教材来讲解,对于书中那些相当精彩的处理方法,有一个学生一脸崇敬的问我,老师,小平邦彦他自己是怎么想到的啊?这个问题其实我根本无法回答,我只能调出小平邦彦自己曾经说过的一段话:“对我来说,没有比数学书更难念的了。数百页的书从头到尾念完至难。因为知道‘数学’读懂了,也就成为最简单不过的事而已。所以只念定理,努力想了解它。证明就自己想。而在一般情形之下是想不透的,只好看书上的证明。但是读一两次也不觉得懂,便把证明写在笔记上看看。这回注意到证明有不中意的地方,就想有没有别的证明法?这样子好不容易读完一章时前面的部份已经忘了。没法子,又从头复习。这回倒在意起整本书章节的排列方式来。”我只能告诉我的学生,他是通过努力思考而获得的,但是,事实真的是如此吗?

 

我时常无端的猜想,小平邦彦应该来自于天顶星某个具有高度智慧的种群,甚至是超越我们这个宇宙时空之外的智慧种群,遥望到了我们这个世界学不好数学的人有多愚钝,于是来到我们这个世界,将他所知道的教给我们。为了让愚钝的世人能理解他的知识,他在前期不得不封印了他的知识与智慧,把自己变得愚钝,然后理解世人的愚钝之后,再把他的知识以愚钝的世人能理解的形式表述出来。

 

于是,我在上一篇文章中写到,“······所以,你不要认为你基础不好,也不要认为你数学思维能力不强,因为我们世人(一般的普通人)的数学基础和能力的差别,在以数学之神的形式而存在的小平邦彦大师的眼里,那就像我们看一只蚂蚁的体长是6.3毫米还是6.25毫米的差别一样,这个差别其实并无实质上的意义,而小平邦彦大师由此就为我们提供了一个适应口径最宽的学习数学的方法,那就是他在晚年,把他毕生所学倾注在一本高中生就可以看懂的解析教材上,我们只要按照正确的方法努力去读,就能读懂,而读懂之后,就会知道怎么去应用,别人能够想到的,你也能想到,甚至很多别人想不到的,你都能想到。”

 

 

从这个角度上来说,他与基督耶稣一样伟大,与特蕾莎奶奶同等圣洁。只不过,小平邦彦生性木讷,低调,谦虚,极不喜欢出风头,他太伟大了,伟大到根本不愿意去宣传自己,或者应该说是不屑。他一生都在默默的为了数学知识和数学教学而燃烧自己,就这样一位伟大的数学家,世人,尤其是数学圈外人知道他的却是真不多。直到1997年,这位可敬的数学家离世时,依然保持着低调的风格。他的葬礼没有宗教仪式, 灵柩上放着日本天皇送的花, 旁边环绕着花簇。 在他最喜爱的肖邦的乐曲中参加葬礼的数百人各自献上了一朵白色康乃馨给逝者。他完成了自己的使命,回归到天顶星去了,但是,他留下的精神财富,依然闪耀在人间,照亮着人类文明发展的道路。

 

在人类文明史中,有许多卓越的数学家,如牛顿,莱布尼茨,欧拉,高斯,庞加莱,柯尔莫哥洛夫······但是,他们大多高高在上,他们的理论对一般人来说,同样也是高高在上,揉一揉已经仰望得发酸的脖子和已经被光芒晃得发花的眼睛,我们同样也需要一位能直接来到我们身边的数学家,把他的知识以我们能够看懂的形式教会我们。童话中,在彩虹的尽头,有一座精巧的城堡,城堡里面住着一位善良而睿智的老魔法师,当人们历尽千辛万苦找到他的时候,就会慷慨的拿出他配制的魔药给来访者,吃了这种魔药的人,就能获得智慧。

 

但是我总觉得,这位慈祥的老魔法师长着和小平邦彦一样的面容,却又有着邻居家老爷爷的和蔼可亲,他不忍心人们把精力耗费在找到他的路上,他来到人间,把他的智慧魔药的做法详尽的写出来给大家看,具体的配方和工艺就在小平邦彦的书中。

 

种种伟大的贡献,小平邦彦已经做到了,而我只是想说到,告诉别人有这样的一本书。于是,我辛辛苦苦,呕心沥血的推广小平邦彦的《微积分入门》,从2009年年初到2019年年初,已经整整十年了,这十年中,很多人听了我的言论之后观望,这些言论也被人当成我别有用心而刻意忽略,也遇到过浅尝辄止的人,听了我的推荐之后,试着读了读,但是放弃了深入钻研的机会。这些我都不顾,终于,在上文中提到的那个武大的小兄弟不堪我的蛊惑,认真的去研读了这本书,在惊叹中给出了对这本书极高的评价,而且人民邮电出版社图灵公司也再版了这本书的修订版。编辑武晓宇多次和我交流,不耻下问,征求我的意见;市场部的李洁女士向领导申请,为我颁发了图灵公司第一例“优秀读者”的荣誉证书,在此,我深表感谢,也诚惶诚恐,因为我自认为还是德不配位的。但是我会继续把这本书品读下去,也会继续把这本书推广下去。

 

 

越战时期,代数几何教皇格罗腾迪克在越南的森林里为越南的数学工作者开讲座,这不是作秀;日本二战战败后,被遣返的侨民即使是在码头等待轮船时,依然架起黑板为孩子们上课,这也不是作秀。

 

 

开篇时提到的,长沙定王台湖南图书城,在十几年前,二楼几百平方米的卖场里面,有三分之一是高等教育的教材,目测足有上百个书柜。到现在,只在三楼的一个犄角旮旯里卖高等教育的教材了,就一个书柜,里面教材不足百本,还有些无关痛痒的科普读物;岳麓山下大学城里的新华书店,曾经有四层楼的卖场,后来变成一层楼,楼上变了旅店和网吧,再后来左边两个门面租给了考研机构做办公室,卖场只有剩下的三个门面,最近听说为了修地铁,那栋房子都拆了。八九十年代,中小学的教室墙壁上时常贴着一些很有意义也很有艺术性的宣传画,我记得有一张是在晴朗的月夜下,学生捧着书,拿着笔,在凝望着夜空思考,背景是火箭直上九霄,卫星遨游天宇,显微镜在探求细微的物质结构;还有一张是一位头发花白,带着厚厚的眼镜的老科学家,在耐心的指导拿着仪器做实验的学生。那些孩子,在我幼时的理解中,他们都会是将来的科学家,建设国家的栋梁之才,推动人类文明进步的主力军。那么,他们会不会来?他们会来吗?他们不会来吗?我想,他们还是会来的,毕竟,小平邦彦已经在这个世界来过,并且留下了他的思想。

 

庭有枇杷树,吾妻死之年所手植也,今已亭亭如盖矣。

——《项脊轩志》  明·归有光

 

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来来来,一起来做数学时钟

 

原文作者,Antonella Perucca ,本文原载于+plus magazine网站。

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

 


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在钟面上,你可以找到数字1到12——但是稍微改变一下,你能用别的方式表示这些数字吗?

 

答案是肯定的.例如,你可以利用和、积、幂把表示为2+2、2×2、2².如果你喜欢这个数,你也可以用“取上整函数”(不小于该数的最接近的整数)把表示为 ⌈π⌉ .显然存在无穷多种方式来表示,而哪种是最好的,取决于个人喜好.一般来说,你可以用自己最喜欢的方式来表示1到12,从而制作出专属于自己的数学时钟.

 

如果你想寻找一些独特的东西,你可以使用e、π、i(虚数单位)通过欧拉恒等式来表示:

 

 

 

或者,如果你喜欢巴塞尔问题,可以把表示为所有正整数与π的乘积的平方的倒数和的倒数(译者注:原文有误,少了最后的取倒数):

 

 

作为一个更具体的例子,你可以从数字1到9中任选一个,然后仅用选定的这一个数字(可以重复使用)和数学符号来表示钟面上所需的所有数字(下面的图中提供了一些示例).


更一般地,对于任何给定的一个实数(可以重复使用),只需要配上适当的数学符号,就可以表示从1到12的所有整数了.原因是:我们总可以找到一个合适的表达式来表示1.具体来说:对于任意一个不大于1的正数,只需用取上整函数(即向上取整数)即可;对于任意一个大于1的正数,我们可以把1表示为把x的x次方根向下取整,可以用如下的对数恒等式来检验:

 


最后,对于负数,可以通过取绝对值变成正数;对于0,可以使用0! = 1.

 

市面上有许多数学时钟,钟面上有着各种各样的表达式.偶尔,你会发现钟面上会有某个数列的前12项,而不是1到12.例如,你可能会碰到前12个斐波那契数:

1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

同样地,你也可以使用字母A到L.

 

另一种选择是:写下某个方程,使得所要表示的数是该方程的唯一解,例如,把5表示为:

x² + 7 = 10x -18

 

还有一些数学时钟,钟面上的方程有不止一个解,但恰有一个解在1到12的整数中.一般地,有时数学时钟上是有数学错误的(例如,3并不恰好等于)!

 

尽管如此,在与数字们相处的过程中,你可以做任何事情来获取乐趣.因此,我们提议你来制作专属于你自己的数学时钟,当然如果你需要一些灵感的话,这里有一些例子.

 

数学时钟主题

 

在下面的那些图中,你可以找到各种各样的数学时钟,包括1到12的各种不同的表示法.你可以从中选出一个打印出来,并用它作为钟面(例如,你买一个定制钟面的钟),或者你可以简单地将选定的数字的表达式直接放置在钟面上或周围.你也可以买一些可以直接在钟面上写字的钟,这样你就可以在闲暇的时候更改你的数学时钟.

 

这里是一些例子:


数字1到9的钟

 

从十进制数字1到9中任意选定一个,然后用只含有选定的那个数字以及算术运算的简短的表达式来表示整数1到12.这里我们使用的是基本的算术运算,以及幂和平方根运算.


这里是一个数字7的钟的例子.下面给出1、2、3、4、5、6、8和9的表达式(注意,对于数字5、6和7,我们只使用了基本的算术运算).

 

 

数字1、2、3主题

 

只可以按照数字1、2、3的次序且每个数字恰好只用一次可以表示整数1到12.这里我们使用基本的算术运算,以及幂、平方根、阶乘运算(正整数n的阶乘,记为n!,定义为从1到n的所有正整数的乘积)和取下整函数 ⌊⌋ (这个函数将一个实数对应到不大于它的最接近的整数).

 

 

π钟

 

只使用、基本的算术运算、取下整/取上整函数 ⌈⌉/⌊⌋(这两个函数分别将一个实数对应到不大于/不小于它的最接近的整数)可以表示整数1到12.

 

 

e钟

 

只使用e、基本算术运算、取幂、取平方根、以及取下整/取上整函数可以表示整数1到12.


二进制钟


在这里,我们把1到12写成二进制的形式,即只使用数字0和1.

 

素数钟

 

在这里,我们只写出1到12中的素数.

 

 

 

 


中文数字词钟

 


在这里,我们用中文数字表示数字1到12:您可能注意到数字11、12是如何分别由对应于10的中文数字与对应于1、2的中文数字组成的.

 


玛雅数字钟


在这里,我们使用玛雅数字表示数字1到12:一点代表数字1,一横代表数字5.


π钟、e钟、数字1到9的钟以及数字123钟都是由作者开发的(对于123主题,我们从数学时钟中获得了一些灵感).

 


更多的例子...

 

 

 

 

 

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混沌与秩序:拉姆齐定理告诉了我们什么?

 

作者,张明智


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电影《美丽心灵》中有一段非常浪漫的场景:纳什和艾丽西亚站在喷泉边,仰望星空, 艾丽西亚说自己曾数星星数到了 4348 颗,纳什笑着回复,咱俩真是一对怪胎。接着,纳什 让艾丽西亚选一个形状,动物随便什么都可以。艾丽西亚想了想说,雨伞。纳什走到艾丽 西亚背后,拿起她的手,在星空中用星星连出一个雨伞的形状。艾丽西亚芳心瞬间被俘获, 于是央求:再来一次,再来一次嘛!来画个章鱼

 

 

姑且不论纳什是否做过这么浪漫的事,也不论纳什是否有这样的本领;假如是真的, 我们想问的是,纳什为什么自信可以用星星连出任意的形状呢?答案或许藏在一个数学理 论中,这就是组合数学中的 拉姆齐理论(Ramsey Theory)

 

拉姆齐理论的核心可以概括成:完全的无序是不可能的。更具体的,Ramsey 理论中 典型的问题是:为了保证在某个集合(或系统)中有某种性质(或结构)一定出现,这个 集合的元素个数应该达到多少?从最初的拉姆齐定理到后来发展出的众多拉姆齐型定理都表明:一个集合只要元素数量达到某个临界值后,一定会出现我们预先定义好的某种 性质或结构。纳什之所以自信可以画出任意的形状,是因为星星的数量非常巨大,因此可 以保证一定会出现想要的形状。除此之外,我们熟悉的鸽笼原理也是拉姆齐理论的一个例子。

 

 

鸽笼原理传统的理解是,n + 1 只鸽子飞进 个鸽笼,一定会有一个鸽笼里面至少有两只鸽子。如果遵循 Ramsey 理论的思想,我们可以把鸽笼原理换一种方式理解:给定 个鸽笼,如果想要鸽子“同笼”一定发生,那我们至少需要多少只鸽子?答案是 n + 1

 

再换一套语言来理解鸽笼原理。假设有 n 种颜色用来给鸽子上色,如果要保证一定出现“同色”鸽子,问至少需要多少只鸽子?答案还是 n+1

 

再换一套语言。假设有 A,B 两 个集合,其中集合B中有n个元素(即势为n)。现在从集合 A 向集合 作映射 f,如果要保证一定会出现 f(a) = f(b),问集合A元素个数至少是多少?答案还是 n + 1。 

 

 

从这个角度看,鸽笼原理,以至拉姆齐理论其实是在探讨这样的问题:如何从不确定性中抽取出确定性,或者说如何从混沌(Chaos)中找到秩序(Order)。不确定性是说鸽子飞进鸽笼鸽子的染色方案看成映射因为不同的映射构成一个随机事件的空间,有些随机事件满足我们想要的性质,有些则不能;另一方面,如果我们扩张这个空间,则想要的确定性就一定会出现。这个转变一定会有一个临界状态和临界值,就像水结冰对应的临界状态是冰水混合,对应的临界值是 0°一样。在鸽笼原理中,因为我们想要的性质比较简单,这个临界状态正好是鸽子占满鸽笼且均匀分布在鸽笼中,因此对应的临界值是 n(限制条件的线性函数),这也是为什么看起来鸽笼原理好像是带余除法的应用。 

 

首先看一个代数的例子。我们 1 依次开始往后写正整数,假设我们有红黑两种颜色的笔,在每个整数写好的整数上涂上红色或者黑色。如果想要一定会出现一个长度是3同色的等差数列,问至少要写到几?答案是 9。显然,这里的临 界值是 8。临界状态有很多,我们呈现其中一种,如下(下面的2457涂上红色,部分平台不显示颜色,请自行脑补)

):

 

12345678

 

对于这个临界状态,如果再添加一个 9,我们来看一下是否一定会出现长度为3同色等差数列。

 

首先假如 9 是用红笔写的,那么在123456789 中,57构成了一个长度为3的等差数列,从而满足要求;如果 9 是用黑笔写的,那么数列就变成了 123456789其中 36构成一个长度为3的等差数列,也满足要求。

 

这个结论是 Van der Waerden 定理的一个特例,这里我们只是用一种临界状态说明了 下结论,定理完整的证明远为复杂。不过从这个例子可以看出,我们依旧想从巨大的混沌中找到秩序,而且我们是一定能找到的,只要这个系统足够大。

 

再看一个几何的例子。假设欧式空间的平面上散布着一些点,满足任何三个点都不共线。在任意两点之间连线段,如果想要最终的图形一定会包含一个凸n边形,至少需要多少个点?我们不妨从最简单的情形开始考虑。n = 3 时,显然只要 个点就一定会出现三 角形;n = 4 时,相应的临界值是4,也就是说至少需要5个点才能保证一定会出现凸4边形;n = 5 时,相应的临界值是 8。下面两个图分别是 n = 4 和 n = 5 的临界状态:

 

 

 

对于一般的 nErdos−Szekeres猜想说:至少需要 2^(n−1) + 1 个点(任意三点不共线),才能保证最终的构型一定会出现凸 边形(x^y表示xy次方)。这个猜想至今未解决,最新的进展是 Andrew Suk 于 2016 年发在《美国数学会杂志》的文章,他证明了至少需要 2^(n+o(n)) 个点

 

最后再回到鸽笼原理。根据鸽笼原理我们知道,367 个人里面一定会有两个人生日是同一天,所以同日生这种秩序/确定性所对应的临界值是 366。所谓确定性就是说这个事件的发生概率是 1,如果我们把这种确定性的要求稍微降低下,改成同日生的概率 是 99.9%,也就是说只要有两个人他们同日生的概率达到 99.9% 就可以,那这个时候对应的临界值是多少呢?答案非常出乎意料,不是 365364……,而是 69,也就是说 70 个人 里面有两个人同日生的概率是 99.9%。更多细节,欢迎查询生日悖论。 

 

 

所以如果从概率的角度看鸽笼原理,可以更精细地看到这种不确定性到确定性的转化过程。事实上,概率方法作为组合数学中非常前沿的一类方法,应用非常广泛,包括很多拉姆齐理论的具体结论都可以用概率方法来证明。

 

 

 

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这真的是素数的公式!

 

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愚人节期间,我们哆嗒和往年一样,发了一篇愚人节的整蛊文章《素数公式发现,所有数学之谜即将揭开》,没想到大家和我们一起玩的很嗨,真是一个欢乐的愚人节。

 

文章中我们写出了下面这样一个公式,并说它是第n个素数p(n)的表达式:

文章还专门解释了方括号[x]是取整函数,p!表示阶乘,并规定0! = 1。

 

欢乐归欢乐,因为愚人节的关系很少有人注意到我们贴出的公式本身是不是对的。

 

在这里,我们哆嗒数学网的小编负责人的说,如果只从等式两端是否相等的角度来说,这绝对是如假包换、童叟无欺、“珍珠”都没这么真的素数公式。整篇文章,也许就这个公式是靠谱的。

 

这个公式其实写进了不少数学科普书,要解释它也很容易。

 

说来奇怪,按照一般人的标准课程,我们大多数人对数学中数论知识的学习都集中在小学。到了初中、高中除了一些竞赛需求,几乎不怎么学习数论了。到了大学,也只有部分专业的同学才学习初等数论。

 

初等数论中,有很多有趣的知识,和数数差不多,也就是我们解释这个公式的重点。

 

公式有两个“连加号”Σ,也就是我们要解释的重点。

 

数素数的π(x)函数

 

给定一个整数x,我们把不超过x的素数的个数表示为π(x)这个函数。比如不超过6的素数有2、3、5三个,那么π(6) = 3 。 不超过11的素数有2、3、5、7、11这5个素数,于是π(11) = 5。

 

这样,很容易看出,如果是第n个素数p(n),π(p(n))  =  n, 而且x < p(n) 时候π(x) < n(即π(x) ≤ n), x ≥ p(n)的时候π(x) ≥ n 。

 

这个时候π(x) 还只是数数游戏的,我们需要表示成一种只有加减乘除的东西。

 

 

利用威尔逊定理把π(x)函数表示出来

 

学过初等数论的同学们都知道一个叫做威尔逊定理的命题:

 

p是素数或1,当且仅当 (p-1)!+1是p的倍数。不止如此,当p是合数的时候(p-1)!还是p的倍数。

 

有了这个,我们可以分析分母了那个连加号了。

 

我们先看分母上连加号的内部:

这里,k=1的时候,上面的式子值是1。

 

根据威尔逊定理,当k是合数的时候,[(k-1)!/k]是整数,所以方括号可以去掉。上面式子的值其实是[1/k]。对于正整数,值是0。

 

当k是素数的时候,(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k,所以对右边的方括号做一些简单变换,可以得到整个式子是值是1。

 

所以当连加号的k从1跑遍j的时候,实际上是一堆1和一堆0的加总。k是素数或1的时候是1,合数的时候是0。这些1加起来正好是不超过j的素数的个数加上1,即1+π(j) 。


伯特兰-切比雪夫定理、π(x)和素数公式

我们已经把开头的式子改写了成下面的样子了:


看看连加号内部根号下的部分,


这是一个关于j的递减的式子,关键点在j = p(n) 这一处。当j ≥  p(n)的时候π(j) ≥ n,分子小于了分母,取整后就是零了。

 

相反,当j  <  p(n) 的时候π(j) <  n就是说π(j) ≤  n-1,这样分母不会比n大,取整后是一个不小于1但不超过n的整数。

 

好了,我们都知道n的开n次根号是不小于1且严格小于2的。利用这个我们能得到下面的结论:

 

当j  <  p(n)的时候整个连加号内部的式子(下图式子)的值都是1,j ≥  p(n)的时候都是0。

所以当连加号的j从1开始一直的时候,实际上是连续的几个1相加,然后到p(n)开始都是0相加。正好跑了p(n) - 1个1。

 

至于为什么跑到的终点是2的n次方,这是因为

 

伯特兰-切比雪夫定理:对所有正整数n,n和2n之间必有素数。

 

利用这个定理,你能归纳出,第n个素数p(n)不会超过2的n次方。


于是素数公式出炉。

 

愚人节的文章还给出另外一个公式,其实是换汤不换药啦。


一点心得

 

好了,对于这个公式你们想说什么呢?复杂度太高?因为他里面有阶乘有指数!矫揉造作?这个和一个一个数有什么区别?

 

理由也许都对!这些理由或许就是即便看上去把素数写成了一个“简单公式”,也对和素数有关问题的解决没有任何帮助的原因。

 

但它的确是一个正确的公式,也许可以看成“正确的废话”素数公式版吧。

 

不过,读者中有第一次见这个公式的小伙伴,是不是也感到一些有趣呢——你们可以拿去继续骗人呐!

 

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十个用于数学的编程语言

原文作者,MathBlog Team 

翻译作者,Serena,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,浪荡游侠。

 

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作为一位在计算机编程和数学两大领域都十分感兴趣的研究员,我希望借这篇文章和大家一起分享在数学研究当中,十大我最喜欢的编程语言。

我这么做是为了给其他研究者提供更多的选择,并提供更多建立模型的方法。

这些语言的介绍直接来源于他们各自的官方网站简介或维基百科,在字里行间当中,把个人的看法穿插其中

 

1. WOLFRAM LANGUAGE 

  

 

Wolfram语言MathematicaWolfram Programming Cloud使用的编程语言。

是由Wolfram Research公司开发的一种综合性多模态编程语言主要用于符号计算、函数式编程和规则型编程。在上述领域中,它自身设计使得它可以得到最大程度的广泛使用。

这种语言有许多使用场景并且时常是非常专业化的

 

我的看法

这是一种下降泛函、规则型的编程语言,他在处理符号计算上非常有优势尽管如此,我觉得和Go语言比较起来,Wolframe的使用并不简洁

它真正的价值在于它庞大的多领域标准库(特别是数学应用),这几乎比世界上任何其他编程语言都领先很多年。看过他们的演示程序以后这门语言的魅力会让你神魂颠倒

 

2. MATLAB / GNU OCTAVE

MATLAB(矩阵实验室)是由MathWorks公司出品的一门多模态数值计算运行环境被认为是第四代编程语言。它可以进行矩阵运算、画出函数和数据图像、实现算法、创建用户界面、提供接口以便和其他编程语言的程序(包括C, C++, Java, FortranPython进行交互

 

我的看法

它在数值计算方面处于霸主的地位其开源版本——GNU Octave也是如此

 

3. R

R编程语言为统计计算和图像处理提供了软件环境,这个软件 the R Foundation for Statistical Computing提供技术支持

R语言主要使用者是统计学家和数据开发者广泛用于统计软件开发和数据挖掘分析

数据挖掘开发者的调查和学术文献数据库调查发现近几年来,R语言受到了越来越多的关注

 

4. COQ / GALLINA

Coq是一交互式定理证明软件。它允许使用数学符号和命题的形式进行逻辑演绎对推演验证猜想的推理过程进行模式化处理,帮助人们找到比较合情合理的证明方法。然后,通过规范的格式说明中进行严格证明,最后建立起一个认证程序。

Coq在构建算子的衍生物——归纳构建算子理论的基础上运行程序

如果我们要把它当做是一种编程语言的话Coq实现了一种依赖类型的函数式编程语言;作为逻辑系统,它实现了高阶类型理论。

Coq提供了一种名为Gallina范式语言。用Gallina编写的程序具有弱规范化性质——让程序最终运行结束,不会陷入死循环

 

5. PROLOG

Prolog是一种与人工智能和计算语言学相结合的通用逻辑编程语言

Prolog扎根于一阶逻辑一种形式逻辑)。与其他编程语言不同之处在于Prolog定义式语言

Prolog的程序逻辑用关系描述,用事实和规则表示。它的运行方式进行查询的这些关系的内在联系来决定的

 

6. HASKELL

Haskell是一种标准化,通用纯函数式编程语言有非限定性语义和强静态类型Haskell的特色是拥有一个类型推断和延后计算的类型系统。

 

我的看法

对于使用非函数式编程的程序员来说,它是最难的语言之一.为了能熟练使用这门语言,程序员的学习曲线会非常陡。这同时也是非常值得的。因为它的无任何其他影响。正因为它有纯函数属性,所以它十分适合用来对数学问题进行分析并建立模型。而对于那些从事范畴理论和编程语言研究的人来说,它有极强的吸引力

 

7. IDRIS

Idris是一种拥有依赖类型的通用纯函数式编程语言。它的类型系统与Agda的类似。

它支持交互式定理策略证明可以与Cop媲美定理证明开始之前,我们就可以将重点放在通用编程上。

Idris的其他目标是充分性能,它的副作用也容易得到控制,并且他还支持在特别针对于嵌入式领域中应用语言的实现

 

我的看法

作为一种研究型语言,它结合了HaskellCoq特性很有意思

 

8. JULIA

 

Julia一种用于技术计算的高水平、高性能的动态编程语言,对于其他技术计算环境的用户来说它的语法让初学者很容易上手

它提供了复杂的编译器、分布式并行处理数值精度一个可扩展的数学函数库。Julia的基础函数库大多数由官方维护人员编写,同时,它也集成了一些CFORTRAN开源成熟性能良好库来处理线性代数、随机数产生和字符串处理等问题。

 

我的看法

它是一种非常有前景的科学计算和数据科学语言。由于Jupyter项目,Julia也可以用于分享代码,并和他人一起协作完成项目

 

9. PYTHON

 

Python是一种广泛使用的高级、通用、解释动态编程语言

它的设计理念是要强调代码的可读性,变量系统是弱类型的,这样的特性让程序员用比CJava等语言更少的代码行来实现自身需求

该语言提供了一种旨在实现各种规模程序中都能清晰展示程序架构的方法

Python支持多种编程范式,包括面向对象、命令式和函数式编程或过程式的风格。它具有动态类型系统和自动内存管理功能,并有一个庞大而详尽的标准库。

 

我的看法

从数学和科学的角度来看,Python之所以有趣,是因为有大量的相关库可供这种流行的编程语言使用(例如, numpy, scipy, scikit-learn, Sage)

得益于这个丰富的生态系统,你能轻松地学到一门对科学计算来说非常友好语言。并且由于它很受欢迎,例子(Jupyter notebooks中的示例代码)随处可见

 

10. J

J是一种非常简洁的数组编程语言它最适合数学和统计编程,尤其是对矩阵执行操作的时候。它还被用于极限编程和网络性能分析。

与最初的FP/FL语言一样,J通过其默认编程特性支持过程式(与函数式编程不同)编程方式

 

 

我的看法

APLK一样,J是一种令人费解的语言。它的语言很简洁,很难读,但却强大得难以置信。如果您有兴趣采用新的方法来处理数据操作和分析的话,那么J值得一试。

这是一个快速排序的实现,让您了解我们正在处理的问题。

quicksort=: (($:@(<#[) , (=#[) , $:@(>#[)) ({~ ?@#)) ^: (1<#)

写得比较豪放。

 

上面的十种语言就是我眼中认为在数学领域中值得一试的语言。当然,如果您有更好的选择,欢迎留言表达你的个人见解

 

 

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素数公式发现,所有数学之谜即将揭开

 

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哆嗒数学网小骗今天从世界数学中心大联盟获悉。数学家们在1770年的一篇古代论文中发现,早在几百年年前,就有人发现并公布了素数的公式,但被人忽略了。

 

 

发现这个公式的数学家叫做威尔逊,他起初发现发现一个著名的关于素数的定理。

威尔逊定理:p是素数或1,当且仅当 (p-1)!+1是p的倍数。这里(p-1)!表示阶乘,即(p-1)! = 1·2·3……(p-1),并规定0!=1 。

后来人们在威尔逊的一个手稿中发现,威尔逊利用这个写出第n个素数p(n)的公式。这个公式只需要加减乘除和开方运算,以及中学生都学习过的取整函数[x],表示不大于x最小整数,对于正数而言就是x的整数部分,比如[3.1] = 3。

另外如果引入三角函数,公式还可以写成如下形式,依然非常简单。

数学家几千年来一直对素数的相关猜想着迷,前赴后继有很多数学家都在这些关于素数的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想都是关于素数规律的猜想。数学家们一直苦于没有找到一个素数公式,导致这些猜想依旧是世界难题,至今没有解决。

已知素数的相关成果还是当今密码学的基础。先行互联网的所有密码都和素数的规律有关系。素数公式的发现,将使这些密码变得毫无作用,可以预见不久的将来和密码账号有关的所有系统——比如银行账户、邮箱账号、游戏账号等——都将陷于极大的风险之中。

现在素数公式已经被数学界知晓,这意味着所有的这些素数的猜想将变得非常容易解决,地球上已经没有值得人类去思考的猜想了。哆嗒数学网的小骗了解到,因为这个事件,世界数学中心大联盟获悉将向升级为宇宙数学中心大联盟,向太阳系、银河系乃至全宇宙征集有价值的数学问题。


今天是4月1日,我们哆嗒数学网的小骗们为你报道了如此重大进展。数学有如此进展,大家都很开心。如果你感到开心,你就拍拍手。如果你感到不适你就先忍着。

 

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英式幽默:连英国的鸭子都邀请你参加国际数学奥林匹克

 

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国际数学奥林匹克竞赛简称IMO,是一项围绕数学竞赛的国际青少年交流活动。每年有超过100个国家派队伍参加此项活动。如果用参赛国家数量为标准,可以说IMO是世界上规模最大的年度国际交流活动之一。

每年国际数学奥林匹克竞赛都会更换比赛地,赛事主办方也会录制竞赛的宣传视频。宣传视频除了介绍赛事本身,也会利用这个机会宣传当地风物。所以有时候,这些宣传视频会被人认为是旅游广告。2019年将在英国巴斯举办此项活动,主场设在英国巴斯大学。主办方也录制视频,颇具英式幽默。

 

视频开始是黑白画面,开始介绍英国。

两位主角反对,这根本不是英国的现状啊。在一番吐槽后,正片开始!

视频介绍了英国的著名的人物莎士比亚、达尔文、怀尔斯等——图中贝克汉姆的出现是一个搞笑梗。

然后,介绍世界文化遗产城市巴斯,以及主办地巴斯大学。

最后,不同人用不同语言欢迎大家来参加2019国际数学奥林匹克。

还有不同的语言欢迎你!有英语、法语、汉语、日语、俄语、德语、西语——最后还有鸭子语!

总之,算是一个颇具特色的国际数学奥林匹克宣传视频。

完全视频如下(6分钟)

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乌伦贝克成为首位阿贝尔奖女性得主

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根据阿贝尔奖官网消息。数学家凯伦·乌伦贝克(Karen Uhlenbeck)获得2019年阿贝尔数学奖,以表彰她在“几何偏微分方程、规范理论和可积系统的开创性贡献,以及她在分析、几何和数学物理领域的工作上的深远影响 。”乌伦贝克也成为第一位获得这个殊荣的女数学家。

 


规范理论(Gauge theory)是众多现代物理的理论基础,我们熟知的粒子物理、相对论、弦理论这些最前沿的的物理研究,规范理论都是不可或缺的工具。


英国萨里大学的教授阿尔卡利里在乌伦贝克的获奖工作介绍中说到,“基本力的大统一理论是物理学中的圣杯,她在数学中做出的重大贡献,给出很多有意义的办法,让我们能沿着这条路走下去”。

 

变分法研究的是,一个量的微小变化能如何帮助我们找到另一个量的极大值或极小值。乌伦贝克在变分法中也有杰出贡献,她最具影响力、也是她最引以为豪的成果之一,是发现了一种被称为“泡泡”的现象,这是她与合作者乔纳森·萨克斯共同完成的一项开创性工作的一部分。萨克斯和乌伦贝克研究的是“极小曲面”,它背后的数学理论涉及到肥皂膜是如何让自己形成能将能量最小化的形状。但这一理论总是会因为出现那些能无限集中能量的点而遭到破坏。乌伦贝克的洞见是,将这些点进行“放大”,她发现,实际上发生的是从曲面上会分离出一个新的泡泡。


乌伦贝克在1990年成为第二个在国际数学家大会做1小时报告的女数学家。而在他之前做1小时报告的女数学家,还要追述到1932年的埃米·诺特,乌伦贝克打破了近60年的记录。

阿贝尔奖在2003年首次颁发,仿照诺贝尔奖体系颁发,以弥补诺贝尔没有数学奖的遗憾。之前有很多数学家获得过此项奖励,公众熟知的有证明费马大定理的怀尔斯以及获得过诺贝尔经济学奖、奥斯卡获奖影片《美丽心灵》原型纳什。2019年阿贝尔奖奖金为600万挪威克朗,约合70万美元。

 

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人类第一次将33写成了3个整数的立方和

作者,数学西瓜,哆嗒数学网群友。

校对,Math001

 

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公元2019年3月的一天,一位叫Tim Browning(与Timothy Browning是同一人)的数学家再其个人主页上更新了一个网页,网页上的内容非常简单,没有任何多余的东西:
 
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
 
 
上面的算式是将自然数33用整数的立方和表示了出来。但是,可能出乎你预料的是,这是人类第一次知道,世间还存在着这样一个等式,第一次——我们第一次把33用这种方式写了出来!
 
为什么我们对这样一个等式如此着迷,让我们一起看下去。
 
 
 
建造房子式的“堆垒数论”
 
 
我们知道我们茅草堆垒出来能建造茅屋、砖石堆垒起来能建造砖房、钢筋混凝土堆垒起来能建造高楼大厦。
 
现在许多高楼大厦都是钢筋混凝土建筑的,但是是不是所有的高楼大厦都可以由钢筋混凝土来建筑呢?
 
这其实就是“堆垒数论”的思想。我们用简单的语言表达这个堆垒数论考虑的问题,如果考虑A、B两个整数的子集。如果A中的数都能被B中的某几个数相加得到,我们就说A能被B堆垒出来。大多时候,我们还要限制使用B中数字个数的数量。这时候,所使用的B中的数叫做堆垒项。
 
举几个例子:
 
如果A是所有不小于6的偶数集合,B是素数集合,并限制只能用2个B中的数。那么问题就是著名的哥德巴赫猜想。
 
如果A是自然数集合,B所有完全平方数集合,并限制只能用2个B中的数。自然数的能不能写成两个数平方和问题。
 
如果A是自然数集合,B所有完全平方数集合,并限制只能用3个B中的数。自然数能不能写成三个数平方和问题。
 
以此类推……
 
有时候,我们还可以反过来研究,比如,如果所有自然数都能被B中的数加出来,那么多少个数之内一定能办到?
 
我们用233来举例子把:
 
 
下面这些正整数方程是否有解呢:
 
233 = x² + y²
 
233 = x² + y² + z² 
 
233 = x² + y² + z² + w²
 
233 = x² + y² + z² + u² + v²
 
以上方程中的所有未知数地位是一样的,我们把那种通过交换顺序能变得一样的解看成相同的解可以得到:
 
第一个方程,有一组解:
 
233 = 8² + 13²
 
第二个方程,有两组解:
 
233 = 1² + 6² + 14²
 
第三个方程,有三组解:
 
233 = 2² + 6² + 7² +12²
233 = 3² + 4² + 8² +12²
233 = 4² + 6² + 9² +10²
 
第四个方程,有一组解
 
233 = 2² + 4² + 7² +8² +10²
 
 
在第三个方程的正整数解中,我们可以看出可以出现一样的元素12;
 
关于第四个方程有一则小故事,根据迪克逊的《数论史》(History of the Theory of Numbers)记载。1867年,史密斯(H. J. S. Smith)开始推广表为5个,7个平方数的结果。一位不为人知的委员会成员曾向巴黎科学院建议举办1882年的数学科学大奖(grand prix des science mathématiques)赛题目为“表为5个平方数的方法数”。实际上1881年春天就发布了公告悬赏这个问题,后来才将其作为赛题。史密斯和闵可夫斯基(H. Minkowski)(值得注意的是,闵可夫斯基当时才18岁)都获得了该大赛的全额奖金。他们俩都发展了n元二次型理论来求出表为5个平方数的方法数。
 
 
 
迷人的平方和
 
 
上面第一个方程为费马双平方和定理(Fermat's two-square theorem)的一个特例。费马还是“一如既往地”只写命题不给证明,这个命题也一样。这个命题最早被欧拉证明的。费马的这一命题即给出了所有4n+1型的素数都可以唯一地分解为两个平方数之和(至于如何求其唯一表示可以参看西尔弗曼的《数论概论》第26章)。那么其他数呢?
 
有下面一个定理:
 
一个大于1的整数可以写成两个平方整数之和,当且仅当的它的标准素数分解中不包含4n+3型素数或者4n+3型素数是偶次。
 
比如637 = 7²·13有两个素因子7与13,而是4n+1型,而7模4n+3,但素数7的次数为偶数2,故637 可以表示为两个平方数之和。实际上,637 = 14²+21²。
 
关于平方,我们还有勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem):
 
整数可以写成三个整数的平方和(即允许堆垒项为零),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其中,4^a表示4的a次方,a与b都取自然数)
 
值得注意的是这里用的是“三个整数的平方和”与双平方和情形的描述有所不同。
 
勒让德的这一定理可以写为等价形式:
 
整数可以写成少于四个平方数之和(默认平方数从1开始),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其中,4^a表示4的a次方,a与b都取自然数)
 
对于平方数且时,有拉格朗日四平方和定理(Lagrange's four-square theorem)
 
每一个自然数可以写成四个整数的平方和(即允许堆垒项为零)。
 
我们不应该去纠结于当需要表示的数比较小时(比如取5、6,堆垒项总有零出现),四个整数中会出现零。我们应该看到当需要表示的数为很大很大的整数时,都可以由四个平方数来表示,就像再厉害的野马(大整数)都可以被这位驯马师(拉格朗日四平方和定理)驯服,这便就是此定理的重要意义。
 
 
华林问题
 
什么是华林问题呢?
 
1770年,英国当时的领袖数学家华林(Waring)(别因为音译名将其当作华人)在其《代数沉思录》(Meditationes Algebraicae)第二版中提到一句话:
 
每一个正整数可以写成4个整数的平方和(即允许堆垒项为零);可以写成9个正整数的立方和,可以写成19个整数的四次方和,如此等等。
 
当然这句话的一部分就是拉格朗日的定理,第二部分是华林通过大量数值试验得出的猜想,第三部分也是他得出的猜想。
 
对于每一个给定的正整数k,存在一个最小的正整数g(k),使得每一个自然数都可以写成不超过g(k)个整数的k次方和。
 
其中求g(k)的问题便是华林问题。经过上面关于平方数的介绍,我们知道了g(2) = 4。
 
1909年,德国数学家韦伊费列治(Wieferich)证明了g(3) = 9;后发现漏洞,于1912年由生于英国的美国数学家肯普纳(Kempner)补正;
 
1940年,印度数学家皮莱(Pillai)证明了g(6) = 73;
 
1964年,我国数学家陈景润证明了g(5) = 37;
 
1986年,三位数学巴拉苏布拉玛尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)证明了g(4)=19;
 
 
再回来,整数立方和还有42
 
好了,回到我们最初的问题:自然数的整数立方和表示。在k=3时的华林问题中,我们知道每一个正整数都可以为不超过9个正整数的立方和;
 
如果将前面华林问题的堆垒项只允许用加法的条件放开,我们允许用减法,是什么情况呢?——这个问题其实就是简易华林问题——不要因为其命名为“简易华林问题”就觉得其比“华林问题”简单。
 
而将正整数表示成三个整数立方和的问题,就是堆垒项限制为3的简易问题。现在这个问题依然是没有解决的问题。
 
我们用v(k)表示满足相应条件最小的正整数,即对应于华林问题中的g(k).
 
1932年,V. Vesely证明了v(k)存在。
 
接着赖特(E. M. Wright)于1934年得到一个粗糙的估计:(此估计不等式的证明可以参看陈景润写的《初等数论Ⅲ》132页的内容)
 
v(k)≤2^(k+1) + k!/2
 
不久,赖特又对其改进,符号比较专业就不详述了。
 
再后来赖特还得到了v(k)≤2^(k+1) +4k,并研究了具体值。
 
 
1936年,莫德尔(Mordell)证明了除极少一部分数不能确定外,大部分整都适合v(3) = 4.
 
我国数学家柯召曾列出一张表,将100以内的数分解为4个立方数之和,表中几乎每一个数均可分解为x³+y³+2z³的形式,仅有两个例外
 
76 = 10³+7³+4³-11³,
99 = 5³+3³-1³
 
柯召教授这样做的目的或许是为了说明v(3)=4是正确的,但是这仅仅只能作为一些数值试验。
 
2003年,科学出版社出版了中文版的《数论中未解决的问题(第二版)》。其作者是为盖伊(1916年9月30日~)现在已经102岁高龄了。
 
在《数论中未解决的问题(第二版)》的第D章(该书编写了A~F章节)的D5问题中,提到除了形如9n±4数尚且不知道结论,对于所有其他的数都证明了是4个整数的立方和。
 
了解同余的小伙伴们,可以做下计算,任何整数的立方在mod 9 的情况下只有-1,0,1三种可能。所以 x³ + y³ + z³ 在mod 9 的情况下,只有0,±1,±2,±3这7种可能,而±4是不可能的。
 
所以形如9n±4数一定不能表示为三个整数的立方和。由此我们也可以知道v(3)>3,也就是说所有自然数不能仅由三个整数的立方和表示。但是退而求其次,哪些数可以由三个立方数表示呢?数学家们希望有像“费马双平方和定理”、“勒让德三平方和定理”这样的定理来引导人们,但是目前为止还没有。
 
接下来我们要步入主题了!
 
所有不为9n±4型的数都是三个整数的立方和吗?盖伊书中写道:1992年,他对所有小于1000的数用计算机搜索后发现,除了下面(标红部分截止2019年3月都还没有被解决)表中的数以外,对于其他小于1000的数都找到了这样的表示。
 
 
 
 
在1993年5月25日的一封电子邮件中,Andrew Bremner告诉盖伊有:
 
75 = 435203083³+(-435203231)³+4381159³
 
Conn和Vaserstein发现了
 
84 =  41639611³+(-41531726)³+(-8241191)³
 
后来人们找到了(上表标黄部分)
 
30=(-283059965)³+(-2218888517)³+2220422932³
52=60702901317³+23961292454³+(-61922712865)³
110=109938919³+16540290030³+(-16540291649)³
195=(-2238006277)³+(-5087472163)³+5227922915³
290=426417007³+2070897315³+(-2076906362)³
435=4460467³+(-4078175)³+(-2755337)³
444=3460795³+14820289³+(-14882930)³
452=(-2267462975)³+(-3041790413)³+3414300774³
462=1933609³+(-1832411)³+(-1024946)³
478=(-1368722)³+(-13434503)³+13439237³
 
2007年,Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有找到解的剩下:
 
33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975
 
2016年,Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有找到解的就剩:
33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
 
最近,由Booker Andrew提交了一篇论文"Cracking the problem with 33",论文中找到33这个文章开头的结果,由Browning公之于众。我们可以看到每个元素都是10的16次方的数量级,要读出来应该快读到亿亿位了!
 
另外在数学节目Numberphile中,Timothy Browning做了一期名为“The Uncracked Problem with 33”的问题介绍,可惜目前没有中文字幕。可以从论文"Cracking the problem with 33"的摘要与论文标题看出Andrew Booker写这篇论文正是源于该视频。
 
也就是说到目前为止,100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了!
 

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如何合理的摆放煎饼

 

原文作者,Jehu Peters,高中数学教师。

翻译作者,巴特,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,333。

 

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无论你是否相信,我觉得你一直以来用平底锅做煎饼的方式都是错误的。现在请注意了,我要谈谈该怎么样在你的平底锅中合理摆放每一张饼。首先可以把你的锅想象成一个大圆,每一张煎饼是一个放在锅里面的小圆,假设每张煎饼是一样大的,我们怎样安排才可以锅的空间尽可能物尽其用呢?

    显然,把煎饼铺满整个锅是很简单的情况。这样的一张煎饼将会铺满锅中的全部面积。如下图所示:

 


    但是或许你并不想吃这么大的煎饼(在我家叫做可丽饼)。那么如果考虑每锅两到三张饼的情况呢?那么在锅中如何摆放它们才能使每张饼尽可能的大一些呢?


    对于两张饼的情形,应该这样做:

    这并没有很好的利用空间。平时你可能从来没有过一锅做两张煎饼(除非你的面粉用完了),因为这很明显在顶部和底部浪费了很大的空间。这口锅都在求求你再加一张煎饼吧。所以你可能会放三张煎饼,然后摆放成这个样子:

 


    经过一番仔细的计算会发现一锅两张煎饼的情况只利用了50%的面积。而一锅三张煎饼利用了64.6%的面积。这确实是一个很大的进步,可能这也许就是没人一锅做两张煎饼的原因吧。但是如果我们一锅做更多的煎饼呢?
    一锅做四张煎饼的最优摆放是这样的。

 


    这样利用了整个锅面积的68.6%。如果你不是出于从数学角度对这个问题感兴趣的话,应该不会尝试一锅做更多煎饼的情况了。多做的第四张饼只将空间的利用率提高了4%,这张饼多的一点都不划算。

    然而,一锅四张煎饼是非常有意思的情形,因为这样利用的面积居然比一锅五张饼还要大!

    如上图所述的一锅五张煎饼的情况只利用了68.5%的面积!而六张饼的情况还要糟糕一点。


    实际上六张饼只覆盖了66.7%的面积,因为锅中间有一大块空间空了出来了,这是一种很糟糕的选择。但是当我们实验到幸运数字7的时候覆盖的面积有了大幅度的增长:

    上图中,有77.7%的面积被覆盖了。所以如果你想用锅做小煎饼的话,一锅七张是很不错的选择。但是我认为到这里这个问题作为煎饼问题已经没什么意义了,因为每张饼也太小了吧!


    如果你还想继续的话,也可以在锅里放61张一样大的煎饼覆盖81.3%的面积。看起来还是很好看的:


    只不过这时候你的一张煎饼更像是一个斑点。


    总而言之,一锅四张煎饼要比一锅三张煎饼更好。虽然直觉告诉你一锅三张煎饼要比一锅两张煎饼好,但是恐怕你之前并没有继续往下试试看。所以好好练习一下一锅烙四张煎饼的技术吧。如果你需要一次做一大批比如六十张煎饼的时候,一锅四张煎饼的方法会比一锅三张煎饼要少做了五锅呢。你看,数学就这么帮你节省了几分钟的时间。不用谢!

 

更新:


    我的一位在瑞典读者告诉我,在他们的国家,他们有时候会做一种很小的但很好吃的饼,他们称之为瑞典薄煎饼,你知道他们用一锅几张饼的方法吗?


    我想之前我不应该那么快就断言一锅七张饼这种方法做的饼太小了而没有实际用途。真是非常有趣的文化联系!

 

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世界太可怕!有人说微积分原理是错的

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有朋友在群里发了网易新闻的一个连接,问我数学界是不是又发生大事了?我定睛一看,果然大事。

 

 

原来我微积分的基础理论被颠覆了,并被另外一个中国人重建了。连接中提到丁小平是这样的介绍的:

我国数学家丁小平在微积分研究领域取得的成果值得关注。2018年8月,《中国科学报》分两期刊载了长文《由“数学大国”向“数学强国”迈进始于重视数学》,该文对丁小平所做的工作进行了报道。首先,丁小平以铁一般的证据系统地论证了现行微积分原理的错误;其次,指出人类长期以来建立不起来不含错误的微积分原理的原因,并重建数学的新数-形模型;最后,重建微积分原理。

我的第一反应不必理会,不就又是一位“民科”利用自媒体发声吗,网上多的是这种人啊。但后来,觉得不对了,不到一会儿,跟帖回复的数量就500+了。天呀撸,我最喜欢的柯洁夺得三星杯冠军,才300+的跟帖,国际数学家大会开幕的新闻,跟帖都是个位数。个人觉得,事情有点大了。

 

 

谨慎起见,我们要顺着文章的脉络梳理一番,找到《由“数学大国”向“数学强国”迈进始于重视数学》这篇文章。这篇文章分上、下两部分,分两次发表在《中国科学报》上,并同时刊发在科学网上(2018年8月13日、27日)。标题看上去没问题,看完上部分,似乎问题不大,说了数学的重要,用陆家羲的例子来说明中国数学要强调需要重视人才。但到下部分,画风突变,现在我们来截取一部分内容:

 

2011年10月11日,丁小平先生在《科技创新导报》发表了《关于现行微积分原理的再思考》。文章发表后引起了媒体关注,人民网等媒体以《杨振宁预言今成现实:中国惊现诺贝尔级数学成果》进行了报道。......,越是获得肯定,丁小平先生越是谨慎,他就自己研究的问题与微积分研究领域的院士进行了细致讨论,以期避免研究上可能出现的失误。

2015年12月,丁小平先生在《前沿科学》上发表了《浅谈现行微积分原理的错误》;......,2016年12月、2017年9月,《前沿科学》又陆续发表了丁小平先生的《略论作为微积分原理完善的实变函数》与《微分之讲授》两篇论文。文章指出了实变函数理论中的根本性错误,以及在普及新数—形模型之前应如何正确讲解微积分原理的思路。

 

 

继续查找《浅谈现行微积分原理的错误》这篇文章,果然,果然。套路都一样,拿着对微积分理论的一(故)知(意)半(曲)解,来了一次典型的“民科式”的傲慢批判。有兴趣的搜索标题可得。

 

 

然而,各个媒体已经转载开了。

看不下去了……

看不下去不仅因为这些“民科”论文,还因为为他写文章的背书各个教授们——如假包换的教授们啊。

我们看不下去,还因为这些中招的媒体:人民网、中国科学报、科教新报、中国日报……——在人们心目中证照齐全的严肃媒体啊。

 

——太可怕了,太可怕了!

 

好在这回网友们体现的素质比以上的那些高多了,他们的回复大致都是这个调调:、

 

——希望还在!

 

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2019年QS世界大学数学学科排名公布

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近日,QS官网公布了其2019年世界大学排名,同时公布了5个学科大类,48个学科小类的学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 

哆嗒君温馨提示:任何排名根据其排名方法都不能直接对应成学科实力,都有争议。不过我们队关于排名的讨论都持开放态度。

 

 

 

数学学科排名方面,美国院校依然霸榜,占据前十名中的七个席位。另外英国占据两席,最后一个席位被瑞士的一所学校占据。第一到第十分别是:麻省理工学院(美国)、哈佛大学大学(美国)、斯坦福大学(美国)、普林斯顿大学(美国)、剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、加州大学伯克利(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、加州大学洛杉矶分校(美国)、纽约大学(美国)。

 

亚洲方面的前十排名中,来自中国的高校占据了其中6个,其中3个来自内地,3个来自香港。来自新加坡的新加坡国立大学排名第一,总排名13名。北京大学和日本的东京大学排名并列亚洲第二,总排名并列20名。第三到第十的高校分别为:清华大学(中国内地,25名)、香港中文大学(中国香港,28名)、京都大学(日本,并列36名)、香港科技大学(中国香港,并列36名)、上海交通大学(中国内地,42名)、香港大学(中国香港,并列45名)、首尔国立大学(韩国,并列47名)。

 


中国高校共有40所大学进入榜单。其中内地高校28所,香港高校和台湾高校各6所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名并列第20名。清华大学和香港中文大学分列第二和第三位。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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奥数不应该受如此打压

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本文原载于2019年2月27日《环球时报》上,原文标题《奥数不能功利也不能不给力》。由于篇幅受限,《环球时报》上刊出的内容有所删改,现将全文完整版发出。

 

第11届罗马尼亚数学大师赛(RMM)于25日于闭幕。美国代表队获得三块金牌,俄罗斯代表队获得两块金牌。而参加本次比赛的六位中国选手中最好成绩为15名,并获得了银牌。而中国队的团体成绩为第六位。

 

罗马尼亚数学大师赛被认为是中学生数学奥林匹克竞赛中难度最高的一项赛事,也是我国以国家队名义组队参赛的 3 项中学生数学国际赛事(IMO、RMO、RMM)之一。我国自第二届开始组队参加,由每年数学冬令营(CMO ) 中团体第一、第二的省份组队参赛,今年由上海组织队员参赛。

 

而据笔者了解,这次美国在RMM中派出的是二队上游选手,其他国家派出的选手大多是一线选手。中国本次是由上海的学习组织参赛。相当于中国队用省队于别人的国家队比拼,自然有些劣势。而且中国历年参加RMM的成绩都不是很突出。2016年的成绩更差,仅有1枚银牌,排名12位。

 

这算是的小众比赛,本来只有圈内的人关注。而且还有更差的2106年垫底,2016年也没这样引起如此大的关注。怎么会有这么热烈的讨论呢?笔者认为,之所以此次RMM的成绩在国内引起很大关注,很长程度上也是因为中国代表队已经连续4年没有拿到号称“数学世界杯”的国际中学生数学奥林匹克竞赛(IMO)冠军,自1985年首次参赛以来,中国从未经历如此长时间的冠军空窗期。再加上这四年当中,有三年的IMO冠军由美国获得,此次RMM又是美国压过了中国。在近来中美科技竞争的大背景下,这自然刺激了国人的神经。

 

过去30年,中国之所以能够在奥数竞赛上披荆斩棘、所向披靡,一个很大的秘诀是采用国家集训队这种方式,依靠一套完善的选拔体制选出数学技能较好的学生集训,提前准备比赛,让学生在比赛中能够有较好发挥。和很多人认知不同的是,美国在2000年之后也是IMO的传统强队,在比赛中经常能进前三,但始终无法撼动中国的霸主地位,所以普通大众没有关注他们。后来,他们吸取了中国的经验,强化集训队,聘请中国教练去辅导,甚至吸引国内比较优秀的学生去美国上高中。2015年,美国在IMO上刷新20多年未得总分第一的空白,外界当时以为是偶然,这几年来看,美国的实力的确已经整体变强了。

 

 

 

客观地说,只要IMO成绩没有掉出前三,中国队依然是奥数强队。个别奥数竞赛不能得到冠军,天也塌不下来。但笔者真正担心的是某些人对奥数学习赶尽杀绝的林林总总的手段,可能误导社会大众,导致包括数学在内的基础学科人才培养热度的降低。

 

奥数对教育的负面影响,各方面的论述不少。在曾经的加分与保送的诱惑下,很多学生学奥数可能不是因为真正对数学感兴趣,而是把奥数当做名校敲门砖,不少曾在奥数比赛上取得好成绩的学生,后来并没有走上学术路,而是走上了华尔街,让学奥数丧失了其初衷。

 

 

一种观点认为,奥数与一个国家的数学水平没有必然联系。而据笔者观察,以数学界的最高奖四年一届菲尔兹奖为例,近20年几乎每届都有一两位获奖者有IMO获奖经历,呈现正相关关系。很多对数学感兴趣的人,会以奥数为试金石,选择数学作为自己的终身职业。2006年菲尔兹奖得主陶哲轩就在公开场合表示对IMO的支持,他认为IMO的竞赛一方面给了青少年切磋数学的机会,另一方面也能促进交流。

 

现在国内的奥数成绩之所以没有没有体现在菲尔兹奖上,很大程度与中国数学整体底子较薄有关,毕竟诺贝尔的自然科学科方面的奖我们也才得了一个。这些都说明在基础学科方面,之前我们差的很远,现在仍然在追赶。然而,要成为数学或者科学强国,我们还需要积累,依然在路上。

 

 

一个好的现象是,从最近几年的趋势看,已经有越来越多奥数高手留在数学界。比如,奥数届内的巨星级人物“韦神”韦东奕、“恽神”恽之玮等。就是说,这些人会以学术上的成就为自己的毕生追求,这是中国社会整体向前发展的结果。

 

数学是自然科学之母,数学的发展与培养不仅在学科内部影响巨大,任何一项科技的运用和实践都与数学有关。现在,但凡时髦点科技词汇,诸如人工智能、大数据、5G通讯、无人驾驶……,背后都有一套高深的数学支持其运转。

 

国家建设初期,整体国力较弱,大学和社会中需要的是能马上转化并应用的成果,基础学科没有应用学科受到的重视大,这可以理解。而到了当下这个阶段,当所有可以引进和转化的资源慢慢转化殆尽的时候,薄弱的基础科学就可能成为创新的瓶颈。中国要发展,就必须培养一批甘坐基础科学冷板凳的人,而奥数就应当成为培养孩子对基础科学兴趣的阵地。

 

对“减负”和奥数的关系,社会上以往有很多讨论,但并没有讨论出一个很好的结果。而我们应该看到的是:首先,奥数之所以在过去呈现出一些功利性,是因为很多家庭有通过某种竞争关系实现阶层流动的需求,而普通学习和竞赛等途径对他们来说性价比最高。的确随着社会分层的加剧,形成了有钱人接受辅导班培训,没钱人学不到就吃亏的现实,甚至一些“天价辅导班”的出现影响了这种教育公平,但奥数本身不应背这种“破坏公平”的“黑锅”,也背不起。

 

另外,网上有人拿着个别题目抨击奥数摧残下一代。但这些题目很多都不是奥数题目,甚至根本不是数学题目,而是脑筋急转弯题目。它们被一些不良商人或者水平低劣的老师编进了奥数教材,这个“锅”也不应该奥数来背。相反,我们更应该普及数学,提高大众数学素养来帮助大众以及部分教师识别这种“伪奥数”。而奥数中有很多有趣味的问题,执行这种功能反而非常合适。

 

我们再来看,实际上取消了奥数加分以后,很多学生依然在学奥数,奥数的热度并没有实质上降低多少。这是因为奥数中的确有很多实实在在的数学技能,能够学到很多在课堂中学不到的东西。这些技能就会反映在学校学习当中。实际上高考中难度高一点的题目,或者高校自主招生中的题目,就有奥数的影子。况且学校也不傻,奥数比较好的学生,学习能力一般也比较突出,这也是学校愿意选择奥数好的学生的原因。所以,只要人类社会对数学的需求在,只要选拔制度在,对奥数之类的课堂外的数学学习需求就永远在。

 

以往学奥数有很强功利性,这种功利性应该被挤掉。我们应该考虑的是如调整、改良奥数,让奥数健康发展。但调整和改良并不意味着,从“全民奥数”那个极端,走向全民把奥数当“洪水猛兽”这个极端。

 

国际顶尖的奥数比赛一来是国际交流活动,二来也是顶尖人才切磋试金的机会,是选拔培养优秀人才的途径。现在有些地方将传统奥数竞赛叫停或整改。过去从小学直到高中的一整套比赛体制慢慢被瓦解,只保留几个最核心的赛事。这样“一刀切”,对数学人才的培养并不是好事。

 

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热议!中国奥数无缘罗马尼亚大师赛金牌

 

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昨天晚上,我们哆嗒小编发了一条消息,内容如下:

刚刚的2019年罗马尼亚大师赛(RMM)惨败,该赛事被称为中学生数学奥林匹克竞赛中难度最高的一项赛事,也是我国以国家队名义组队参赛的 3 项中学生数学国际赛事IMO、RMO、RMM之一。这一次中国居然下滑到第六,一块金牌都没有得到!美国队五个人当中有三枚金牌,差距已经明显拉开!

 

 

应该说,这条微博的措辞还是可能欠妥的,这里澄清一下。

第一,单论成绩本身,说惨败和下滑有点过于严厉。因为这不是中国代表对参加此项赛事的最差成绩。2016年,中国代表队参加此项赛事,同样没有金牌,最好成绩仅一枚银牌,团体成绩第12名。这回中国队4枚银牌,总成绩第6,不算最差。

第二,有人说中国派6人,美国5人,美国让一人,中国的总分依然落后。这个是不对的,RMM总分计算规则比较“奇怪”:首先参赛选手编号1-6,然后在编号1-5里取成绩最好的前三计入团体成绩。这回,中国对前三名都是35分,但是有一位选手的编号是6所以不计入总成绩,而把第四好的31分计入,总分101分。美国队总分117分。

第三,还是有人认为是惨败,原因是以往中国队都是派某个省队参加RMM,参赛选手水准参差不齐。这回虽然也是省队——上海队,但是上海一直是中国顶端奥数最强的地区之一,这回派的选手至少5个是国家队成员,堪称历次最强阵容,但成绩不理想。

但消息发出后,引发的讨论很有意思,大概分为几类:

1、 认为现在推行的快乐教育造成教育水平降低。
2、 认为是好事, 不能为几十个精英让几亿人陪着玩。
3、 认为学数学应该是兴趣,金牌不要太看重。
4、 认为无所谓,没见奥数好的工作后为国家贡献多少。

亲爱的哆嗒数学网的读者们,你们怎么看呢?

 

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证明所有的代数数构成一个数域的优雅初等证明

$p(t)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}+t^m$

 

$q(t)=b_0+b_1x+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+t^n$

 

其中每个$a_i,b_i$是有理数,$a,b$分别是$p(x),q(x)$的根。

 

如何证明$a+b,ab,a-b,b/a$(分母始终不为零)是某个有理系数多项式方程的根?

 

就$a+b,ab$比较麻烦。

 

提纲:

1、 抽象代数证明

因为 $Q(a,b)$是有限扩张,所以是代数扩张,所以$a+b,ab$都在这个扩域内,所以是代数数。

缺点:对大部分人来讲,抽象代数的概念过于高端。而且是存在性证明。没法指出$a+b,ab$是哪个方程的根。

 

2、 一般高等代数数的初等证明

设$\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_m$和$\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_n$是分别是$p(t),q(t)$全部根。于是合在一起是$p(t)q(t)$的全部根。

于是$r(x) = \prod\limits_{i}^m\prod\limits_{j}^n(x-\alpha_i-\beta_j)$。 把$r(x)$看成$\alpha_i,\beta_j$的对称多项式,所以展开后每个$x^k$次方的系数也是对称多项式。把这些对称多项式用初等对称多项式表示,韦达定理对照$p(t)q(t)$的系数。而$a+b$为$r(x)$中的一个根。

$ab$把$-\alpha_i-\beta_j$换成$\alpha_i\beta_j$同理。

 

缺点:过于暴力。如果要找具体的方程,过程似乎不太优雅。

 

方法3 推荐的优雅做法。

设$A,B$的特征多项式相应为$p(t),q(t)$。比如用相伴矩阵

$A = \left(\begin{matrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots&0&-a_{1}\\0&1&\dots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-a_{{n-1}}\end{matrix}\right)$

 

定义运算$\otimes$,对于矩阵$C=(c_{ij})_{m\times n}$,$D=(d_{ij})_{p\times q}$

$C\otimes D = \left(\begin{matrix}c_{11}D&c_{12}D&\dots &c_{1n}D\\c_{21}D&c_{22}D&\dots&c_{2n}D\\\vdots &\vdots &\ddots  &\vdots \\c_{n1}D&c_{n2}D&\dots &c_{nn}D&\end{matrix}\right)$

 

就是把矩阵按$C$中数字倍数放大$D$然后拍成一个更大的$mp\times nq$矩阵。这实际上是张量积,可以不强调这一点,看成一个矩阵拼图游戏。

 

那么可以证明$A\otimes B$的特征值有$ab$,$I_m\otimes A + B\otimes I_n$的特征值有$a+b$