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中国数学家张伟获得克雷数学研究奖

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根据克雷数学研究所官网消息。中国数学家,麻省理工学院教授张伟因其在算术几何、自守形式的算术方向的开创性贡献获得2019年度克雷数学研究奖。这是中国数学家首次获得该奖项。

张伟,2000至2004年就读于北京大学数学科学学院并获理学学士学位,2009年获得哥伦比亚大学博士学位。现任麻省理工学院数学系教授。在此之前,曾获2010年SASTRA 拉马努金奖、2013年斯隆研究奖、2017年西蒙斯奖,并受邀于2018年在巴西里约热内卢举办的国际数学家大会上作邀请报告。

此次奖项由克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)颁发。克雷数学研究所是非盈利私营机构,总部在美国麻萨诸塞州剑桥市。机构的目的在于促进和传播数学知识。它给予有潜质的数学家各种奖项和资助。而一年一度的克雷数学研究奖已经成为数学界的重要奖项。

 

 

克雷数学研究所最为人熟知是它在2000年5月24日公布的七大奖难题,俗称千禧年问题。这七道问题被研究所认为是重要的经典问题,包括黎曼猜想、P/NP问题、庞加莱猜想等数学界最关注的问题。解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金。目前仅有庞加莱猜想被解决。

 

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数据科学家会成为未来新的的大祭司吗?

 

原文作者:Conrad Wolfram,软件技术专家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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我们的民主制度今天面临着巨大的挑战。选举的成败取决于大众相信什么。一小撮精英,通过他们所独享的信息来操控我们的思想,而大多数民众则被排除在外。

 

我所谈论的是现代数据科学,以及更加普遍的计算技术在我们的社会中的压倒一切的影响。只有一撮人,学习过如何将计算思维直接应用于信息处理、论证和做必要的决策。这其中包括了关于政府、投票的事情。

 


当然,这种精英控制以前就已经发生过,事实上,这种事情在最近几个世纪才被消除。这一变化有一个关键的推动因素:阅读教育的普及。


过去,很少有人能够直接获得知识。他们必须依靠宗教领袖、贵族和其他少数人来掌握大部分信息,并根据这些少数人的意愿进行传播。他们自己没办法证实信息是否正确。


实际上,这剥夺了他们的权利——几乎无法证实任何向他们提出的问题——即使理论上他们对政治具有发言权。


这与今天的数据科学有着惊人的相似之处。由于不知道如何质疑数据科学背后的计算结果,无法通过数据科学进行推理,也无法提取信息自己验证,大多数人实际上被剥夺了对其治理做出决策的权利。


这不是一个政党或意识形态的专利。但它的普遍性正在对我们的社会造成越来越大的裂痕,因为人们对实际上控制大多数人生活的数据科学几乎没有共同的认识。计算精英在控制我们的命运方面的能力是强大的,就像几个世纪前文化精英一样。


当然,并不是所有的精英都是恶意的,事实远非如此。但情况要危险得多,因为如此多的权力实际上集中在如此少的人手里,而不诚实的人有能力滥用它。

 


在最近的政治中,我们已经遭遇了一个源于计算的银行业危机和一个由数据科学引发的信任危机。现在几乎没有人相信专家,因为对于大多数人来说,没有教育基础来区分好的和坏的计算论点。预测有着计算和量化的力量加持,却失去了逻辑或现实的基础。人们已经被一些想要通过限制别人的权力来巩固权力的精英所玩弄。

 

如果没有紧急的、重大的干预, 我们最终可能会进入一个新启蒙运动的前夕, 在这个时代, 由于决策和相关思维的关键知识——计算思维——不对称,欺骗能够战胜逻辑思维。每个人都可以获得大量的数据和计算设备, 但只有少数人知道如何从其使用中获得权力。


当普通人的理解能力已经无法支撑对少数人决策权力的约束时, 人们迟早会被误导——越来越严重地被误导。社会缺乏对计算的理解, 可能已经造成了严重的国家安全问题。


我们应该采取什么干预措施?普及计算思维教育。涵盖现代数据科学的教育——不仅包括其计算,还包括原因和相关性、风险和未来预期、如何对数据持怀疑态度、如何计算推理——集中整合的不是过去的现代纸笔技术,而是现在的计算机技术。


陷入前电脑时代的数学教育,除少数精英已经把它发展到一个更高的水平外,离实现这一目标还有很长一段路要走。然而, 它是当今唯一的在学校内能学到计算科目。


长期以来,我一直主张对核心课程进行这样的改变。直到最近我才意识到它的紧迫性。这种紧迫性不仅是为了改善工作、生活富裕, 也是为了保障民众的权益、为了社会凝聚力、为了国家安全。

 

 

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原文作者:Wolfram,计算机科学家,数据科学家。

翻译作者,聂海波,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米、蘇溯

 

 

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终极公理的追求——寻找遗失的真理

 

原文作者:Marianne Freiberger,+Plus网站编辑。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:小米

 

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之所以有那么多人喜欢数学是因为数学给出的答案是确定的。要么真,要么假,真相就像是从基础本源的地方推理出来的。
 
 
 
但事实却是这样的:一直以来,数学其实在一个本不牢固的哲学基础上发展。上世纪30年代,以库尔德·哥德尔为首的一批逻辑学家向大家清楚地展示了数学判定真理的能力是有局限的。他们工作显示,人们完全可以建立很多不同的数学体系。对于一个确定的语句,它们在这些体系里可能是真,可能是假。这取决于对体系的前提预设的偏好。这让数学更像一个游戏,出于我们的需要,我们可以自行选择规则。——再见吧!完美的柏拉图真理观:数学真理是永恒的、独立的。
 
 
但是,也许还有挽救柏拉图主义的余地。在2010年国际数学家大会期间,我们(Plus)采访了数学家武丁(Hugh Woodin)——尽管可能存在大量不同的“数学宇宙”,但这位数学家依然相信人们能选出大家都认为的“最对的那个”。
 
 
数——空集开始
 
武丁是做集合论的,这是数学中非常基础的领域。数学中,集合指一堆事物聚合——至于是些什么事物并不重要。他们可以是一堆数、符号、三角形,抑或我们还可以把这些数、符号、三角形混合起来组成新的集合。我们经常用花括号来表示集合,比如,如果一个集合包含1、2、3三个数,我们就用{1, 2, 3}表示。集合中的对象叫做元素。有一点很重要,一个集合可以是另外一个集合的元素。举个例子,如果你把你购物车购买所有商品的类别看成一个集合,那么你买的一袋橘子就是其中一个元素,而一袋橘子是一堆东西,故本身也是一个集合。
 
 
集合就是一堆事物的聚合。你也许会意外,这个完全无害的集合概念是数学中最本源的基础概念,但结果显示似乎所有的数学对象都能用集合语言描述出来。
 
 
比如自然是0, 1, 2, ... .如果你遇到一个外星人只知道集合,却没有数的概念。你可以一步一步的按如下步骤定义自然数。
 
 
 
0 就是空集。一个没有任何元素的集合。
 
 
 
1就是{0}, 一个只有元素0的集合。(0我们在上一步已经定义好了)
 
 
2 定义成{0, 1}, 一个集合,它的元素是之前定义好的两个对象。
 
 
3 定义成{0, 1, 2}
 
 
以此类推。
 
 
一般的,自然是n定义成集合{0, 1, 2, ..., n-1},一个包含之前所有定义对象的新集合。
 
 
这种分层式的定义可以很容易地给这些自然数排序,就是说,一个数字我们往后加个一的结果:就是简单地进入下一层级定义的数。自然数和“加一”两个概念就能给出所有算术的定义——因为加法和乘法可以通过不断重复的加一来实现,而减法和除法分别是加法和乘法的逆运算。因此,我们可以只用集合的概念,从空集开始一步一步的建立出自然数的算术体系。而这样的操作表明,所有其他的数学对象,似乎同样都可以从集合构造出来。
 
 
通往无穷之路
 
 
 
也许,集合给予人们最重要的东西就是关于无穷的性质。19世纪末,数学家乔治·康托注意到不需要数数就有办法判断两个集合的元素个数是否相等。你所需要做的事情就是把X中每一个元素和都找一个Y中的元素做匹配,并保证X中没有元素匹配相同Y中的元素。如何你能做到X和Y中都没有剩下没匹配的元素,我们就说两个集合数量一致。或者按数学家的说法:两个集合有相同基数。
 
 
现在,我们取两个无穷集合作例子。N为所有自然数组成的集合,E是所有偶数组成的集合。我们可以做如下匹配(译者注:为了消除误解,添了一个0):
 
 
 
N 0 1 2 3 n
E 0 2 4 6 2n
 
 
 
所以,尽管两个集合都有无穷多元素,其中一个还包含另外一个,我们依然能说这两个集合有相同基数。
 
 
但是,康托同样证明了在自然数和实数之间找不到这样的匹配。实数比自然数“多”,因为无论你怎么找实数与自然数匹配,总有实数会剩下。
 
 
 
这说明存在两种不同的无穷,其中一个无穷大于另外一个无穷。前者,自然数的无穷叫做可数无穷。后者,实数无穷叫做连续统。有个问题是是否有一种无穷“夹在”这个两个无穷之间——这是一个相当复杂的问题,待会儿回来再说。
 
 
康托没止步于这两种无穷,实际上他对所有的无穷都分了层级( hierarchy),一层一层地,高层的无穷大于低层的无穷。他把这种分出大小的无穷叫做基数,甚至他还设计了基数间做算术的办法。每个基数能衡量有确定性质的无穷集合的元素的多少。
 
从康托的工作开始,数学家开始扩充“无穷陈列馆”中的展品——加入大基数这样怪物。关于无穷的结构呈现出的美妙让数学家们无法抗拒。“有一点最吸引人:我们有不同的办法来描述大基数的层级,”武丁说道,“但是,无论用什么办法,这些大基数都止步于相同的层级。”有更深入的定理表明,一种办法给出的关于无穷的概念的确能被其他的办法描述。这某种程度上说明,关于无穷的层级的相关问题的确是集合论的核心基础内容。
 
 
形式化数学
 
 
从某种程度来说,由于领略到集合的抽象的能力,20世纪初的数学家们都认为他们十分接近一个古老的梦想:把所有数学都建立在一个无懈可击的逻辑基础之上,而且这个基础能被证明没有内在矛盾。这看上去似乎有点奇怪,因为数学本身就是一套最严谨的规则。但是,事实上数学里充满大量的隐藏假设和大量的信仰。就拿我们刚刚的自然数的定义来说,我们就非常隐蔽地假设了,空集是存在的。
 
 
康托意识到实数比自然数多。这只是对无穷层级研究的开始。
 
 
为了精确研究数学中类似的灰色地带,就需要把数学建成为一个形式系统。我们需要事先承认一系列清晰明确且无需证明的命题——我们把这样的命题叫做公理。你还需要明确哪些是合法的推理规则,诸如“如果x=y且y=z,那么x=z”这样。于是,如果一个命题从公理开始可以用合法的推理规则推导出来,那么你就只能认为这个命题是真命题。
 
 
 
集合论看上去就能给这样的形式系统提供完美的工具。貌似所有的数学对象都能被集合语言定义出来,而且集合的概念也足以从相对简单精确的集合公理派生出来。有数学家就适时地做了这样的工作。策梅洛和弗兰克尔把数学建立在八条公理之上,就是数学界熟知的ZF公理。这些公理包含“空集存在”,以及一些看上去非常直观的命题,比如“两个集合相等,当且仅当,两个集合有相同的元素”。现在,最常用的公理除了ZF公理之外,还要加一条更为神秘的公理——选择公理。它们一起组成了ZFC公理。
 
 
 
不完备的数学
 
 
公理化的梦想在上世纪三十年代被无情的击碎了,而完成这一击的就是数学界哥德尔证明的两个数学结果。这就是著名的哥德尔不完备定理:任何一个有能力表述自然数算术的形式系统中,总存在命题在该体系下既不能被证明的为真命题,也不能被证明为假命题。哥德尔再给策梅洛的信中写道:“每个形式系统中,都存在一个在这个系统中可以表述,但从这个系统中的公理出发无法判定真假的命题。”
 
 
于是,ZFC中无法判定真假的命题是什么样的?刚刚我们就遇见一个了。因为康托的提点,我们知道连续统基数比自然数大。那么,命题“两者之间没有别的基数”就成为一个著名猜想,叫做“连续统假设”。现在我们知道,在ZFC公理下,连续统假设是不可证的。它既不真也不假,ZFC无法对这个命题的真假做出判定。
 
 
这太让人意外了,我们曾天真的认为连续统假设应该有个确定的答案。或者说ZFC还不足够强大,需要在ZFC里加入更多的公理?我们甚至可以把连续统假设本身就看成公理——换句话说是不加证明地就把它看成一个真命题。
 
 
但这样做也有问题。首先,哥德尔的结果表明,无论新的系统你加什么样的公理,依旧有无法判定真假的问题。再者,ZFC无法判定的命题还有很多很多,把这些公理都加进去不仅会在系统里产生矛盾,还是一种自欺欺人的表现。
 
 
好了,那么这对数学真理的探索到底意味着什么?“有人提出这样的观点——其实有人已经持有这样观点了——集合论中无处不在的不可判定问题说明,集合论的结论已经超越人类的所有感知,于是这些结果没有任何意义。 那仅仅是受限于人类生理结构产生的结论,”武丁说到,“我觉得那不对,但也很难说。除非我们发现了新的外星文明,看到了他们的数学和我们的数学是否一致。”
 
 
遗失的公理
 
 
不过还有一条不用去寻找外星人的折中道路。现在被接受的集合论公理本身就是人类发明的东西。人们之所以选择这些作为公理,是因为我们“觉得”它们是自然的,它们反映出关于集合以及无穷的概念和我们的直觉一致。也许,存在这个一个公理(或者一系列公理),能用更直观的方式将这样的直觉补充的更加完备。尽管我们加入了这些公理后,仍然有不可判定问题的存在,但是,也许之前那些在集合论中大量的不可判定问题就可以迎刃而解。“有人可能会说,这就是在玩游戏。你只是为了解决你的问题而去选择把公理加进去。”武丁说,“但也不尽然。最本源的直觉会限制集合论公理的选择。如果你发现一个问题的答案是那些公理的推论的时候,那么这件事情就不仅仅是游戏了。就是说,ZFC公理系统没有能完全反映我们的直觉。”
 
 
回到20世纪30年代,哥德尔本人就加入过这样额外的公理,叫做构造性公理。加入构造性公理的ZFC公理系统能解决包括连续统假设问题在内的一系列不可判定问题。准确地说,哥德尔设计了一种集合类,它满足ZFC体系以及一条额外的性质,后者能把这些不可判定问题变得可判定的。构造性公理保证了哥德尔构造性宇宙中的集合就是世界上所有的集合:带来麻烦的集合是不存在的。
 
 
遗失的公理是什么?
 
 
可惜,哥德尔宇宙种不包含康托设计的大部分关于无穷集合的层级。和连续统假设一样,在原始的ZFC集合论中,大基数的存在性是不可判定的。但是,一但你在ZFC中加入了构造性公理,那么这些不可判定性就消失了:你能证明,这些大基数中的大部分都不存在。很多集合论学家不能接受这个结论:一个公理使得大量的基础基数分层都消失似乎把限制得过头了。林林总总的各种理由下,哥德尔宇宙以及构造性公理的方案被否决。
 
 
但是事情并没有结束。不知从何时开始,武丁和他的同事们开始了对哥德尔宇宙的系统化修正,让修正后的哥德尔宇宙能容纳越来越大的无穷集合。这些工作引领着武丁去构建一个哥德尔集合宇宙的终极形态的概念。这个终极形态能容纳下所有已知的大基数——也许这就是人们遗失的终极公理。武丁心仪的公理能推导出一种非常大基数的存在性,这个基数叫做武丁基数。
 
 
 
 
武丁之所以乐观地认为他走在正确道路上,缘于他们之前的工作的成功。曾几何时,困扰数学家的一些特定领域的核心问题,其实在ZFC下是不可判定的。现在知道,如果所有的集合都满足“射影决定性”的性质,那么这些问题就能解决,但是先验地没人知道为什么所有集合会满足这个性质。表面上看,射影决定性和无穷层级没有什么关系,但是武丁以及他的同事们的工作表明了两者之间的联系。如果你准备接受一条能容纳下武丁基数的公理,那么射影决定性就会顺理成章的成为一条定理。他们同样能证明,如果服从一些通常的结构性的限制,他们给出的公理是能给出射影决定性的唯一公理。
 
 
 
这种看似没有关联的概念之间的却又有深刻的联系,这让用武丁的方法寻找遗失的终极公理增加了更多的可信度。“如果所有这些只是一个人为的制造物,那么我们没有任何理由去期盼这种形式的成果。我们在以我们的基本直觉为基础来寻找公理,目前也没有任何证据让人能相信这个找寻的工作一定能成功。有点像找寻独角兽。我们自认为我们知道独角兽长什么样,但并不意味者我们就能找到独角兽。”如果你的确找到了独角兽,那么你一定正在做一些正确的事情。
 
 
但是,这个工作并不能保证一定能成功。武丁的终极公理能否走通还依赖于一些没有解决问题,这些问题依旧需要有人来给出答案。“现在非常不确定。”武丁承认。“但现在有一系列的猜想在最近两年提出来,如何这些猜想是对的,那么会让集合宇宙的概念趋向统一。如果达成,将解决连续统假设[视其为真]以及其他不可解问题。我认为,现在整个学科处于一个关键的十字路口。”
 
 
 
 
在2010年世界数学家大会上,武丁作出了一个大胆而又富有争议的预言:他寻找的公理将是“一个公认的经得起考验的描述无穷的原理”。但是,他也表示,如果有新的证据诞生,他也并不排除改变自己的想法。就在几年前,他还斩钉截铁的说,根据他当时的工作结果,他笃信连续统假设应该视为假命题。现在,他改变了看法。
 
 
但是武丁能知道到底何时他的公理能正式生效吗?“这不可能说清。有可能就明年,有可能在100年后。我个人只能说,虽然一些猜想看似非常难,但在未来一两年内我们能在上面取得大量进展。现实如此:没人知道一个数学猜想是在明天解决,还是在一千年后解决。”
 
 

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神秘数字6174

 

原文作者:西山豊,大阪经济大学教授。

翻译作者,Dr.夏洛克,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:333

 

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6174是一个相当神秘的数字。乍一看,可能不那么明显。但是正如我们即将看到的,任何一个会做减法运算的人都能发现使得6174如此特别的秘密。

 

 

卡普雷卡运算

 

1949年来自印度的数学家卡普雷卡(D.R.Kaprekar)引入了一个今天被称为卡普雷卡运算的步骤。首先选一个各位数字不全相同四位数(也就是除了1111,2222,。。。)。然后重排各位上的数字得到这些数字能组成的最大与最小数。最后,从最大的数中减去最小的数得到一个新的数,接下来对每一个新的数重复以上运算。

 

 

这是一个简单的运算,但是卡普雷卡得出一个惊人的结果。让我们试一下,以数字2005开始,也就是去年年份的各位数。用这个数的各位数字我们得到最大数是5200,最小数是0025或者25(如果有一个或者一个以上的数字是0,把他们放在最小数的左边)。减法如下:

 

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

当我们得到6174时,运算开始重复,每次都得出6174.我们称6174是这个运算的一个核。那么6174是卡普雷卡运算的一个核,但是这是不是想得到6174那样特殊呢?也就是说不止这个运算只有6174一个核心,溯流而上它还有另一个惊喜。让我们用一个不同的数再试一下,比如说1789.

 

9871 - 1789 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

 

我们又得到了6174!

 

当我们用2005开始时,7步得到了6174,然而对于1789用了3步。实际上,所有各位不全相同的的四位数你都能得到6174.太牛了,不是吗?卡普雷卡运算如此简单但是揭示出一个如此有趣的结果。当我们思考所有四位数都能得到这个神秘数字6174的原因时,这会变得更加引人遐思。

 

只有6174吗?

 

任意一个四位数通过降序排列各位数字都能得到一个最大数,通过升序排列得到最小数字。那么对于四个数字a,b,c,d,其中

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

同时a,b,c,d不全相同,最大数是abcd最小数是dcba。

 

对这个问题的每一列用标准的减法运算就能算出卡普雷卡运算的结果:

得出如下关系:

D = 10 + d - a (a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b ( b > c - 1)

B = b - 1 - c ( b > c)

A = a - d

 

 

这些数字中a>b>c>d.

 

如果结果数字可以用原始的四个数a,b,c和d写出,卡普雷卡运算就会重复。那么通过考虑所有可能的组合{a,b,c,d}并检验它们是否满足上述关系,就能找到Kaprekar运算的核。对a,b,c和d的4!=24种组合的每一个组合给出一个含有四个未知数与四个等式的方程组,那么我们应该能从这个方程组中解出a,b,c,d。 

 

结果,这些组合中只有一个组合有整数解且满足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0。这个组合是 ABCD = bdac,此时相应的方程组的解为 a=7, b=6, c=4 and d=1。也就是 ABCD= 6174。 整数 {a,b,c,d}  中某些数相同时没有使等式同时成立的有效解。因此,6174是唯一一个不会被卡普雷卡运算改变的数——我们的神秘数字是唯一的。

 

对于三位数会出现相同的现象。比如把Kaprekar运算应用在三位数753上,产生如下结果:

753 - 357 = 396
963 - 369 = 594
954 - 459 = 495
954 - 459 = 495

数字495是三位数运算(卡普雷卡运算)的唯一核,也就是用这个运算时所有的三位数都会得到495.为什么你不自己检验一下呢?

 

得到6174要几步?

 

从我朋友那里第一次听说6174是在1975年,当时我印象很深刻。当时我认为很容易证明为什么这种现象会出现,但是事实上我没能找到原因。我曾用电脑检验是否所有的四位数在有限步运算内都能得到核6174。这个大约50行的visualbasic程序检验了从1000到9999各位不全相等的所有8891个四位数。

 

下面的表格显示了结果:每一个各位不全相等的四位数在卡普雷卡运算下都得到了6174,而且都在7步之内。如果使用卡普雷卡运算7次之后没有得到6174,那么你就在你的计算中犯了错误,要重新试一下。

 

Iteration

Frequency

0

1

1

356

2

519

3

2124

4

1124

5

1379

6

1508

7

1980

 

 

 

怎样得到6174?

 

当研究卡普雷卡运算时,我的电脑程序检验了所有的8991个数,但是在Malcolm Lines的文章中说只需要检查所有可能四位数中的30个就足够了。

 

让我们计算过程中的第一个减法。最大数是1000a+100b+10c+d 最小数是 1000d+100c+10b+a。那么减法是:

 

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)
= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)
= 999(a-d) + 90(b-c)

 

 

 (a-d) 的可能值是从1到9, (b-c) 的可能值是从0到9.通过遍历所有可能,我们能看到运算过程中第一个减法运算的所有可能结果。这些结果显示在表格1中。

 

表1:Kaprekar运算的第一个减法后产生的数

 

我们只对各位数不全相等且a ≥ b ≥ c ≥ d的数有兴趣,因此我们只需要考虑那些 (a-d) ≥ (b-c)的数即可。那么我们就可以忽略表1中的灰色区域,这个区域包含(a-d) < (b-c)的数。现在我们把表中数的各位数字降序排列,得到第二个减法运算的最大数:

 

 

表2:第二个减法备用的最大数

 

我们可以忽略表2中的重复数字(灰色区域),于是仅剩余30个数字进行接下来的处理。下图展示了这些数字变成6174的路线。

 

这30个数如何变成6174的

 

在这个图你能看到所有的四位数都在最多7步之后得到6174.即便如此我依然认为它很神奇。我猜发现这个数的卡普雷卡要么是极其聪明要么是有很多时间思考这个运算。

 

 

2位数,5位数6位和更多位的数……

 

 

我们已经看到四位数和三位数都得到唯一核,那么其他数呢?结果答案不那么印象深刻。让我们试一下一个2位整数,比如说28:

82 - 28 = 54
54 - 45 =   9
90 - 09 = 81
81 - 18 = 63
63 - 36 = 27
72 - 27 = 45
54 - 45 =   9

 

不难验证所有的两位数都将得到9→81→63→27→45→9的循环。不像三位数和四位数,2位数没有唯一核。

 

那么5位数呢?5位数会有一个像6174和495那样的核吗?为了回答这个问题,我们需要使用一个像之前的过程:检验 {a,b,c,d,e} 的120个组合ABCD满足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

abcde - edcba = ABCDE.

 

 

万幸计算机已经完成了计算,而且众所周知5位数没有卡普雷卡运算核。但是所有的5位数确实都得到如下三个循环之一:

 

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

 

正如Malcolm Lines在他的文章中指出的那样,检验6位或更多位数会发生什么会很费时间,而且这项工作会变得相当无聊!为了使你免于这种命运,下表展示了2位数到10位数的核。图表显示卡普雷卡运算只能把所有3位和4位数变成唯一核。

Digits

Kernel

2

None

3

495

4

6174

5

None

6

549945, 631764

7

None

8

63317664, 97508421

9

554999445, 864197532

10

  6333176664, 9753086421, 9975084201

 

 

 

 

漂亮吧,那它有那么特殊吗?

 

 

我们都看到在卡普雷卡运算下所有的三位数都得到495所有的四位数都得到6174.但是我没能解释为什么这样的数能得到唯一核。这是一个偶然现象还是发生这些的原因有更深的数学原理?(原理)就像结果一样既漂亮又神奇,这可能只是一个巧合。

 

让我们听一下看一个日本人山本幸雄的漂亮谜题。

 

如果你把两个5位数相乘能得到123456789.你能猜到这两个5位数吗?

 

 

这是一个非常漂亮的谜题,那么你可能认为它背后应该藏着一个很大的数学理论。但是实际上它的美只是一个偶然,也有其他相似但是不那么漂亮的例子。比如:

 

 

 

看到幸雄的谜题,你可能就跃跃欲试想要解出它,因为它是如此美丽,但是如果我给你第二个谜题你可能就一点都不感兴趣。我认为卡普雷卡问题就像幸雄的数字谜题一样。我们被他们吸引都是因为它们是如此美丽。因为它们如此美丽我们觉得它们有更多的内容,事实上他们的美丽很可能是偶然的。过去这样的误解也导致了数学和科学的进步。

 

 

只知道卡普雷卡运算下所有的四位数都得到6174但是不知道原因够吗?至今为止,没有人能说所有的3位和4位数得到一个唯一核是一个偶然现象。这种属性看起来这么惊人使得我们期待着它背后隐藏着数论定理。如果我们能回答这个问题,我们可能发现这只是一个美丽的误会,但是我们希望不是。

 

 

参考书目:

 

Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, "The Magic Numbers of Doctor Matrix", Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993) 

 

 

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脑洞:一种靠水的力量解方程的装置

 

原文作者:Mark Levi,宾夕法尼亚州立大学数学教授。

翻译作者,daydgi,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Math001

 

 

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我想描绘一个流体静力学“计算器”,用它可以解出任意阶多项式方程的正实数根。来做一个思想实验,我们从一片不计重量的泡沫板上剪出如图1的形状。其中第n个图形代表着当它被浸入水中的深度为x时,体积为x的n次方,在这里假设所有的薄片厚度都是1。在图2中可以看到我们的“计算器”由一根上面标着“原点0”的轻质杆(重量不计)组成。代表每一个单项式的泡沫板可以被固定在杆的任意位置;不同的是,常数项x0=1用一个可以滑到任意位置的单位重量小滑块代替。


    举个例子,我们来解下面的方程(1):


ax³−bx²+cx−d=0,   


其中系数a,b,c,d皆大于0。这里的系数和它前面的符号共同决定了每个单项式泡沫板在杆上的位置,如图2。因为常数项小滑块不受浮力而受重力,所以它遵循相反的规则:d前面是负号,所以把它放在0的右边。

 

    准备好了“计算器”,我们水平地拿着杆子,慢慢浸入水中,直到用手保持杆的平衡所感受到的力矩变为0为止,也就是说,直到我们的“天平”可以自己平衡为止。这时的深度x就是方程(1)的一个根。


为了理解这个方法是怎么有效运作的,注意多项式ax³−bx²+cx−d=0,  就是所有作用在杆上的合力矩(如图3)。因此当一个特定的深度x使力矩为0时,也就意味着x是满足方程(1)的一个根。


当然,以上的方法适合任意阶的多项式,不足的是这个方法只能得到方程的正实数根。

 

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2019国际数学奥林匹克,中国时隔五年重获第一,美国并列

 

 

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据国际数学奥林匹克官方网站消息。在英国巴斯举办的第60届国际数学奥林匹克竞赛刚刚公布成绩,中国队以227分,六位参赛者全部获得金牌的成绩获得团体总分第一,这是继2014年后,时隔五年,中国重获第一。

最强对手美国队也以同样的227分,六位选手全部金牌的成绩获得团体总分的并列第一。这是美国队在过去五届比赛中获得的第四个总分第一。 国际数学奥林匹克竞赛是世界上最大规模的中学生国际交流活动,每年举办一届,有100多个国家参与此活动。成绩上,中国队曾经是此项赛事的霸主。2014年后,美国队实力增强,成绩提升。中国队虽然仍然是前三的强队,但更多的扮演冲击者的角色。获得此成绩,十分不易。

最后,祝贺中国队,祝贺中国队的队员。

人生漫漫长路,imo金牌也许只是一个新的起点。

 

 

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你看见蝴蝶翅膀上的数学公式了吗?

 

作者,Radium,哆嗒数学网群友

 

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数学中最有诗意的定理莫过于蝴蝶效应了。美国气象学家洛伦兹1963年在一篇论文中分析了这个效应。最常见的阐述是“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并产生微弱的气流,而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起一个连锁反应,最终导致其他系统的极大变化。他称混沌学。用MATLAB绘制洛伦兹模型的状态方程如下图:

 

 

MATLAB代码:
f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));
%如果欲观察相空间轨迹走行最好的方法是采用comet3()函数绘制动画式的轨迹,即将最后一条语句改为comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

可以发现图像是混沌的,而且十分像一只张开双翅的蝴蝶。因此笔者以蝴蝶为素材,从代数,分析,几何以及概率中各挑选了一个公式作为代表融合起来设计。话不多说,直接上图:

 


Cauchy-Schwarz不等式


令x,y是两个向量,则

当且仅当x,y线性相关时,等式成立。


柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。该不等式有多种形式。


Crofton定理:


令D是平面上有界凸区域。D的两条切线通过D外每点P(x,y)。令t_1与t_2是线段长,此线段由P与切点确定,令A是各线段间的角,被看作(x,y)的函数,则


Stolz定理:


令{x_n}与{y_n}是两个实数数列,{y_n}时严格正的,递增的,无界的。若

则极限

 

F=normcdf(x,μ,σ)

MATLAB语言,F为x各点处的正态分布的分布函数值

 

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切好蛋糕,然后吃掉它

 

原文作者,Marianne Freiberger,转自Plus网站

翻译作者,小鹤e,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:Radium

 

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两位计算机科学家采用一种新方法把蛋糕分给任意数量的人,而不引起任何人的嫉妒,因而在切蛋糕理论上取得了突破。这个结果不仅仅与生日派对有关:无论是土地资源、播出时间还是石油资源,蛋糕可以代表任何连续的研究对象。从离婚诉讼到政治冲突,切蛋糕理论的灵感来自于各种各样的问题。


当只有两个人分蛋糕时,问题就很简单了。让第一个人切蛋糕,第二个人选择他想要的那块。第一个人会确保他切的蛋糕中的两个部分他都很满意。根据喜好和蛋糕上的东西,第一个人可能会把蛋糕切成两等份,或者切成一块小一块大,但小的那块有草莓。无论第二个人选择哪一块,第一个人都不会嫉妒。第二个人可能不喜欢切蛋糕的方式,但是,因为他或她先挑,所以也不会嫉妒第一个人的那块。一般来说,如果没有人嫉妒其他人的蛋糕,那么该分法就称为无嫉妒分法。

 

 

这种针对两个人的分法早已为人所知,但直到20世纪60年代,数学家约翰·塞尔弗里奇(John L. Selfridge)才发明了一种适用于三人最优而高效的方法(后来约翰·康韦(John H. Conway)也独立发现)。1995年,史蒂文·布拉姆斯(Steven J. Brams)和艾伦·泰勒(Alan D. Taylor)提出了一种突破性的方法,适用于任何人,但有一个缺点。即使只有四个人吃蛋糕,公平划分所需的切割步骤也可能是任意大的。为了找到划分方法主刀人需要问吃蛋糕的人一些问题——这与划分方法完成所需的时间有关——可能是任意大的。这个界限究竟有多大取决于参与者的偏好(如果你幸运的话,它们可能很小),但关键是你不能从一开始就限制算法运行的时间和需要进行多少次划分。这尤其令人失望,因为数学家们确认,对于吃蛋糕的n个人来说,只需要切n-1刀就有一个无嫉妒分法。问题只是在于找到那个分法。


一种变动是允许移动刀:主刀人将刀(或几把刀)在蛋糕上移动,当吃蛋糕的人认为应该切蛋糕时大喊“停”。至少对于四个吃蛋糕的人来说,这使得切蛋糕的步骤减少到五步。但是吃蛋糕的人要做无数次决定。对于刀在轴上移动的每个点,他们需要决定是否喊停。由于我们真正想要的是一个可以在计算机上运行的离散分步算法,这种移动刀的方法并不完全令人满意。


由哈里斯·阿齐兹(Haris Aziz)和西蒙·麦肯齐(Simon MacKenzie)设计的这种新方法是离散的,它规定了切蛋糕的数量,以及主刀人需要向吃蛋糕的人提出的问题的数量。无界限方法的合作者Brams对这个结果很满意:“我相信Azizz - Mackenzie算法是一个重要的理论结果,肯定有所突破,而我们之前用泰勒得到的结果——通过限定算法所需的步长(或切割步骤)——证明了它是有限的,但我们无法确定它的上限。”

这就意味着像蛋糕一样的冲突可以在一瞬间解决了吗?不完全是——阿齐兹和麦肯齐的结果纯粹是理论上的兴趣。当涉及到n个吃蛋糕的人时,你需要问的问题的数量界限如下一个数:


不管吃蛋糕的人喜欢什么,问题个数超过这个数字后,你都不需要继续问下去。但这仍然导致了难以想象的过大的界限:即使对于n=2,标准计算器也会崩溃。布拉姆斯说:“无论是否使用移动刀,要缩小这种界限都是一个挑战。”“然而,我不认为这样的数字会让这些算法有任何实用价值。”

 

还有一个问题。Aziz 和MacKenzie的方法保证了没有人会嫉妒别人的蛋糕。但这并不能保证每个人都满意。可能存在另一种蛋糕的划分,它让一个或多个吃蛋糕的人更满意,而且不会让任何人变得更嫉妒他人——用数学表达就是,无嫉妒法通常不是帕累托最优的。吃蛋糕的人可能会抱怨:他们可能不会嫉妒别人的蛋糕,但如果知道自己可以在其他划分方法中获得的更多,他们可能也会很不高兴。同时满足无嫉妒和帕累托最优往往是不可能的。因此,尽管理论家们在努力降低算法的界限,但现实中的实践者们需要认真思考,在特定的冲突中,哪种划分是最好的:无嫉妒、帕累托最优,还是其他一些标准。

 


如何把蛋糕分给三个人,使得三个人都不会嫉妒别人。


假设我们的三个人分别被称为A、B和C,我们不分性别地把每个人称为“他”。首先,C把蛋糕切成它认为有相同价值的三块。然后A和B各自挑选。如果他们选择两个不同的部分,这个过程就完成了。

假设A和B想要相同的一块蛋糕。在这种情况下,B会对它认为最有价值的蛋糕进行一些修剪,以匹配B认为第二有价值的那部分蛋糕。把切下来的余料放在一边,让A先挑。接下来,B选择他的那块,但有一个条件,如果A没有选择被修剪的那块,那么B必须选择它。最后,C选择。现在A不嫉妒了,因为它第一个选择。B不嫉妒,因为它的第一个选择是同等价值的:无论A选择什么,都有一个同等价值的部分留给B。C也不嫉妒,因为从C的角度来看,唯一降低了价值的部分,是被修减了的那块,但它会被A或B拿走,而最初的三个部分对它来说是同等价值的。

这样就剩下余料那部分了。假设在前一轮中被裁掉的蛋糕被A选中。让B把余料分成它认为有同样价值的三块。让A第一个选,C第二个选,B最后选。A不嫉妒,因为它先选。如果C嫉妒,那么它一定是嫉妒A,因为C在第一轮中是满意的,第二轮时,它选在B之前,所以它也不嫉妒B。那么C嫉妒A吗?在第一轮中,A选择了被修剪掉的那块蛋糕,也就是说,A在第一轮中选择了对C来说没有其他两块那么大的蛋糕。我们用V表示在C眼中最初3块蛋糕的价值。我们把W记为C眼中余料的价值。现在对C来说总价值是V加上W;而C眼中分配给A的价值是V-W加上部分W显然,V-W加上部分W的总是小于V,也就是说,C认为,A分配给A自己的价值小于C分配给它的价值,因此C不嫉妒A。


如果是B在第一轮中选择了被修剪的那块呢?在这种情况下,只需交换上一段中A和B的角色。

 

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无穷“极简”说

 

原文作者,Adhemar Bultheel

翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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牛津大学“极简入门”系列读物涉及了从会计学到“犹太复国主义”等等广泛大量的话题。这本《无穷》是其中最小的小册子之一(真正的袖珍书:174×111 mm).无穷这个概念,主要是在数学中具有重要性与实用性,不过它也拥有哲学的甚至宗教的一面。在这个“极简入门”所允许的情况下,斯图尔特(Stewart,本书作者)尽力做到内容广泛,在讨论中加入了大量的历史知识。对于仅有143页的小书来书,谈论的东西实在是太多了。虽然有大量的重叠之处,与马库斯·杜· 索托伊(Marcus Du Sautoy)的《如何对无穷进行计数》和尤金妮娅· 陈(Eugenia Chen)的《超越无穷》相比,斯图尔特的处理更加广泛。后二者更着重在数学专业性。

 

 

无穷即无穷大,曾经长久地作为一个模糊的东西,在哲学基础上进行讨论。古希腊人就实无穷与潜无穷的分别进行了争论。这个潜无穷即某个超越了所有的自然数的东西,通过“枚举”,它是永远不能被达到的。就“可公度性”(那时主要作为达到数学的几何途径)这个概念来说,它们与无穷小是不同的。无穷小超越了有限长度的任何可能小的分割。它们基本的公共的度量是有限的,这导致之诺提出了“之诺悖论”。十八世纪,牛顿与莱布尼兹引入了“无穷小量”克服了无穷小的这个难处。无穷小量表示了某种接近0但又不是0的东西。因为无穷小量不是0,在计算中,其它量可以除以无穷小量。不过,适宜得到结果的时候,无穷小量又被假定为0.那不是很严格的数学。直到十九世纪末,康托尔就无穷大的本质,给予了更深刻的洞见。通过这些历史,斯图尔特解释了无穷这个概念在多个领域怎样发挥了作用。这些领域对于我们今天如何理解无穷这个概念,都有巨大的贡献。

 

 

 

在第一章,斯图尔特提出了一些涉及到无穷的谜题或者悖论。这样,他阐释了仅仅说“无穷是什么超越所有数的东西”是不够的。无穷大需要更加严格的定义,无穷小也是如此。这些背后隐藏了无理数的过程就是例子:当台阶越来越细的时候,楼梯就越来越趋近正方形的对角线(译者注:这里的意思是用类似于楼梯的折线来近似正方形的对角线);当边数越来越多的时候,正多边形就趋近于圆。这些以一个合适的方式展示了那个0×∞ 型求值的问题。希尔伯特旅馆,阐释了无穷大需要一个更加严格的定义。斯图尔特也给了其它的一些例子。为引起读者的思考,最先提出了这些谜题与悖论。就所有这些让人迷惑的叙述,斯图尔特的解释后面都会给出。

 

第二章解释了:在更高等的数学中,无穷并没有被隐藏起来,而是被嵌入到了基础微积分中。x>1的曲线1/x绕x轴旋转就得到了加百列号角这个图形。它有一个让人吃惊的特性:虽然表面积是无限的,不过其体积却是有限的。当然,无穷也隐藏在“0.9999...等于1”这里,这个事实让很多本科生感到震惊。就像在其它的很多章节一样,斯图尔特很注重历史:戴德金定义实数所用的分割本质上是无穷的对象;朗伯(Lambert)证明了π的无理性;在公元前600年的耆那教中,人们把很大的数语无穷区分开,等等。

 

第三章更加深入得探究无穷的历史。传统上,空间与时间是被假定为无穷的。不过,当考察无穷小的时候,情况就不一样了。人们在处理无穷小事物的时候拥有巨大的困难。之诺悖论这个例子解释了:无穷多个非0的数的和,可以是有限的。从古希腊开始,实无穷与潜无穷就被区分开了,这个讨论在哲学家之间延续了几百年。一些神学家甚至声称:上帝是“无穷”仅存的拟人化存在。

 

 

下一个章节讨论了无穷小,以及它如何触发了微积分的发展。无穷小量这个原初的历史概念,现在被极限这个概念代替了。1960年代当亚伯拉罕· 罗宾逊提出了非标准分析的时候,无穷小量这个概念又复活了。

 

 

在几何学中,无穷就是视野所在。它引导了文艺复兴中透视的发展。这在第六章有详细的讨论,解释了为什么一艘船接近地平线的时候越来越小,以及这如何导致了无穷远处的点与线的概念。欧式平面可以建模为“边界表示为无穷远”这样的圆盘。更具体地,无穷远的线让制作使用透视的绘画变得容易。最终这个讨论以这些想法而结束:射影几何,通过使用立体投影获得的平面与球面的双向映射,无穷远处的点在球面上与北极相对应。

 

 

无穷在数学中是一个有用的概念,不过,它如何出现在物理世界中呢?那是下一章所涉及的。在物理学中,无穷经常导致很糟糕的奇点。斯图尔特讨论了三个例子。彩虹现象的分析是一个光学例子。根据射线光学,如果光从某个特殊的角入射的话,彩虹的强度将会是无穷大。这个奇点使得光必须重新考虑为一种波。在牛顿的引力理论中,当两个质点间的距离变为0,它们的势为无穷大,这就出现了奇点。1988年,夏志宏通过解一个五体问题,引人注目的获得了含有奇点的非物理的解。黑洞是广义相对论中的奇点,在宇宙论中,大爆炸显然是一个奇点。斯图尔特在这里也解释了,当宇宙论学家以曲率为一个参数来确定我们的宇宙是否有限的时候,为什么他们是错误的。

 

最后一章讨论了这些问题:康托尔是如何得到“实数是不可数的”的证明的,这如何导致了集合论与超穷数,以及这如何引起了数学基础的的修正。数学家或者任何对这类数学背景文献有一点了解的人,都对这个故事很清楚了。不过,在这里,斯图尔特,再次追随了“谁做了什么,以及为什么导致最终的结果”这个历史演化过程。这里有大量的信息,由于展示得很紧凑,对于一般的读者来说,阅读过程并不总是轻松的。每一章都有一些参考文献,这对那些想要考查更多细节的读者也许是有益的。有一些精心阐述的方面,是远远超过解释无穷的(比如,彩虹的角度的计算,透视的几何学),不过这些话题,它们自己本身也是有趣的,并且它们在其它的处理无穷的地方是不会发现的。如果你仅感兴趣于无穷的严格的数学概念,上面提到的杜· 索托伊或者陈的处理也许是更纯粹的替代品。不过,在这个小册子中,即使是有经验的读者也有更多的场合学到一些新东西。虽然不重要,不过“那是我不知道的有趣的东西”这种一闪而过的体验,也将使得这本书值得阅读。

 

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2019软科世界一流学科数学排名:普林斯顿世界第一、北大中国第一

2019年软科世界一流学科排名,也就是俗称的上海交大版世界大学排名,日前公布一流学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 


数学学科排名方面,前十名的高校全部来自美英法三个国家。其中美国5席、英国3席、法国2席。而第一名依然是毫无悬念的普林斯顿大学。这第一到第十分别是:普林斯顿大学(美国)、索邦大学(法国)、纽约大学(美国)、斯坦福大学(美国)、巴黎第十一大学(法国)、牛津大学(英国)、麻省理工学院(美国)、剑桥大学(英国)、加州大学洛杉矶分校(美国)、华威大学(英国)。

 


数学榜单前十中的九个都出现再去年的数学排名前十中。唯一的不同是英国的华威大学顶替掉了加州大学伯克利分校进入前十。自2014年华威大学的马丁·海尔获得菲尔兹奖后,数学排名稳步上升,已经位居前十。另外,传言中,伯克利的优秀数学教授逐年流失,这几年数学排名也缓慢下降。说明,教师学术成果在此排名中占有非常重要作用。

还有一个值得一提的是。法国之前一直苦于一些名校排名太低,导致知名度逐年下降的现实,于是启动“卓越大学计划 ”,决定合并学校,提升排名。这回索邦大学排名第二,和这个计划不无关系。这个大学是2018年1月由巴黎第六大学和巴黎第四大学合并后组成。

 

亚洲方面各大高校的排名普遍下跌。日本的京都大学排名第一,总排名20名。以色列的耶路撒冷希伯来大学排名第二,总排名第21。沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学排名第三,总排名第31。来自中国的北京大学排名第四,总排名第44。下面的亚洲前十因为并列原因,其实有15所高校。

 

 


 中国高校有84所大学进入榜单,数量上较于去年上涨10所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名第44名。是唯一一个进入前50名的中国高校。而复旦、清华、中科大位列51-75名次区间。哆嗒数学网下面再次为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

 

我的Emacs+Linux成长心路

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也许与很多人一样,我的第一篇数学文章是用Word加Mathtype公式编辑器打出来的(当然,现在Word已经自带公式编辑器了,Mathtype也可以作为插件在Word中使用。)那大概是一篇高中时写的圆锥曲线心得。数学编辑器的使用是一个思维转换的过程:在手写公式中相差无几的字符,在编辑器中可能会扮演不同的角色,或是下标,或是上标,或是分母,或是分子……你的大脑必须去努力适应这个新的过程。当数学公式最后像积木一样一件件被拼凑出来,呈现在电脑屏幕上时,那种云开见日的成就感还是很美妙的。其实现在回想起来也知道,整个排版文章的过程一定是繁琐且枯燥的。只是,如果你内心中深信一件事有着 “崇高的目的 “,那你多半会对相伴的苦工夫视而不见,反而会认为每一滴汗水都是值得的;这像极了锻炼身体时,即使再苦再累,你也因为相信它的益处而保持心情愉悦。

 

这种想法一直保持到了我本科初学LaTeX的时候。剧本是类似的,只不过是MathType换成了LaTeX;不同之处是后者看起来更高级、更专业。经过短时间WinEdit的使用后,我投入了Linux下 “编辑器之神 “Vim的怀抱。其实我知道Vim下也有不少写LaTeX的好工具,但对我而言它只是一个带语法高亮的文本编辑器。我沉浸在一种苦行僧似的LaTeX编辑体验并乐在其中:没有任何输入辅助,全部命令全靠记忆手打(也利益于Vim高效的输入模式)。好几个月的实践至少带来一个好处,就是肉眼排错的能力大大提高了。这段经历也让我朝着极简主义的方向使用LaTeX进行排版。毕竟每周30+小时的高强度上机编程+撰写报告,如何高效地把数据和图表转化成清晰的PDF文档才是最重要的事,花哨的技巧倒是其次了。

直到有一天我在网上偶然读到叶卢庆的一篇博文:Emacs+LaTeX 帮你写数学文章,读完之后仿佛一扇新世界的大门突然开启。有时候想象力是很重要的。一件事如果超出你的经历之外,在你没见过之前你可能永远都不能想象。这篇博文就是激发想象力的那颗火种。虽然久仰Emacs“神之编辑器”的大名,却从没见过Emacs在编辑LaTeX中能发挥怎样的威力,也就无法打开被禁锢的想象力。余下的事情对于爱折腾的我来说已经是轻车熟路了:从网上找来各路教程开始,慢慢就把所有LaTeX和编程工作都转移到Emacs下来完成了。从苦行僧的方式走来,转到Emacs的第一感觉就是写文档的自动化程度变高了,同时界面本身的可扩展性极强。

 

第二次信念的飞跃是在研究生期间。当时自己还是传统地使用纸笔,却经常上课时见到前排一个师兄用LaTeX敲笔记。直到有一天我突然也问自己,能否在Emacs上做到呢?其实最初的尝试是很不顺利的。主要是自信心的问题。在多数情况下,如果教授在黑板上写一大串长公式,用LaTeX打下来肯定是会慢一些的。慢一些,并不多,最后并不影响总体记笔记的速度,因为没有教授会从头到尾板书写不停,总会有停下来解释的时候。而记录下说话的内容,打字却是比纸笔快得多。事实上,熟练之后,对黑板上的长公式直接盲打就行,基本教授写完也差不多打完了,然后就可以伸个懒腰,看着编译好的公式听着教授讲解,不时在公式旁打进自己的一些思考,不亦乐哉!

 

但迈出第一步是困难的。开始时总是浅尝辄止:一旦第一个公式跟不上就动了放弃的念头,把笔记本电脑又收了回去,掏出纸笔;不一会儿又不甘心再试,反反复复。终于有一次,下定决心死磕到底,坚决不合上电脑,最后慢慢就适应了用LaTeX记笔记的节奏。是的,我很怀念钢笔尖划过纸面,灵巧地写下一个个数学符号的感觉。但是,看着自己几年下来在笔记文件中积累的2万多行LaTeX代码,各种内容有条不紊地放在一起,所拥有的便利性也是纸质笔记无法比拟的。别的不说,一个记忆深处的数学名词,也就是一条搜索指令;甚至,得益于Emacs内一个简单自动补全功能,在记笔记时要是遇到一个记过的复杂的专有名词或人名,也只需要几个首字母就能快速打出来。相比之下,早年的数学笔记,只是静静躺在某个角落,作为曾经某段岁月的见证;内心深处却不愿意承认,随着时间推移,也许它们越来越难有用武之地了。

 

Emacs也许不是最好的LaTeX编辑器,但肯定能算上最好之一。我曾向身边的不少朋友安利过Emacs编辑LaTeX的强大。在这个过程中,我意识到大多数人并没有意识到数学公式的编辑其实可以是一件很轻松简单的事情。在正如前面所说,人有时候是被想象力限制了;只有亲眼见了,才能激发更多潜能。我做这个视频教程的初衷,就是希望能够抛砖引玉,带领大家看到一种把写LaTeX变成自然而然的可能性,从而去触发无限的可能性。

现在,我将我的这段成长学习经历录制成为视频,与大家分享。有时候,分享和交流是再一次成长的机会呢。

视频教程简介:


第一部分:分6节,介绍LaTeX的基础知识及Emacs的安装和简单操作。适用于初学者。


第二部分:尽量保持章节/技巧之间的独立性。将介绍Emacs中几个编辑LaTeX的重要模式/插件及常见使用技巧,包括AucTeX, cdLaTeX, RefTeX, preview-LaTeX, outline模式等。还将介绍自定义快捷输入方式的设置方法。适用于想用Emacs提高LaTeX编写速度与准确性的观众。


目录:


1LaTeX基础知识 
1.1LaTeX初体验 
1.2中文支持 
1.3数学符号输入
1.4LaTeX文档结构 
1.5交叉引用 
1.6列表与图表环境 
2Emacs编写LaTeX技巧 
2.1区域选择及操作 
2.2cdLaTeX简介
2.3RefTeX之交叉引用
2.4cdLaTeX自定义配置
2.5自定义定理环境 
2.6所见即所得之Preview-latex 
2.7Outline Mode简介 
2.8PDF预览正向和逆向搜索 
2.9TeX-fold代码折叠 
2.10参考文献、多文件和排错

 

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我冲击牛津数学专业的经历

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作者,海和雪人,哆嗒数学网群友

 

经历过中国高中的孩子,可能多少会对高考数学的难度心有余悸。那么,大家可能会疑问,国际高中的数学课程和考试模式是怎样的呢?会不会也让莘莘学子感到压力山大呢?下面,我将以一个亲历者的角度,为大家介绍一下在国际高中学数学、考数学的经历和感受。

 

本人入读的英国体系高中总共有四年,学校开设的课程,前两年是比较基础的IGCSE,后两年是相对较难的A-level。在A-level阶段,学生选3-4门科目,并深入学习未来的专业。

 

A-level课程根据不同的考试局细分成多种。其中,我参加的考试恰好是只针对海外考生的剑桥大学国际考试委员会(Cambridge International Examinations,简称CIE)。既然只针对海外考生,可想而知,其理科课程相对其他考试局更难一些,尤其是进阶数学,更是许多国际学生眼中的“魔鬼课程”。

一般来说,学生会在A-level的第一年,也就是AS阶段考一次试,第二年,也就是A2阶段考完剩下的一半,两年的成绩取平均数作为A-level成绩。(近期的改革后,考试时间会有变动,学校可以选择不再一年一考,而是在A2结束后考两年的内容。)然而,因为中国学生的数学基础,许多中国的国际学校采取了超前的数学学习模式:IGCSE第一年学习基础的IGCSE数学,IGCSE第二年学习AS内容,而AS年级结束就已经完成了A-level的数学课程。在A2一年里,数学专业和一些理工科比较优秀的学生会学习一年课程——进阶数学,也就是让我们又爱又怕的“高数”。

 

总体来说,IGCSE的数学比较简单,类似于初二水平。不过小伙伴们不要被这个简单的开始所迷惑——按照英国教育理念,四年来的数学课程会越来越难,而对精准度的要求也是只增不降。CIE考试成绩分为几个等级,其中最高等级为A*,往后分为A、B、C、D、E、U等。IGCSE数学要想得A*,需要答对近90%的题目,对于认真学习的同学来说,得A*并不困难。然而A-level数学的A*分数线一般都在90%上下,这就需要学生掌握所有内容,并大量练题以保证准确度。而进阶数学的分数线,根据题目的难易程度,定在90%-97.5%之间。
下面,我将为大家讲述一下学习高数的体验。高数最基础的内容之一是数学归纳法,最常考的题目就是证明一个含n的式子是某个整数的整数倍。这种问题用公式就可以解决,然而,考官心血来潮可能会出一些n次求导一个带有n的指数函数或对数函数式子,求证对于所有的n,结果都会以某种特定形式展现。虽然说作为前面几道考题,不会让考生绞尽脑汁也做不出来,然而要快速做出证明还是需要一定数学功底的。

 

我的同学们经常说,如果每套卷子里总有一道烧脑的题,那么十有八九是复数或递推公式(reduction formula)。即使在大量练题的情况下,一道没有见过的题也有可能让小伙伴无从下笔。这个时候,找到思路的过程,考验的不仅是对知识和题的熟练程度,也是发散性思维和联想能力。

 

以往的考试分为两个卷,第一卷就是上面介绍的纯数部分,第二卷是力学与统计。从我们这届往后,高数会分为四张卷,两张纯数,一张力学,一张统计。力学题注重机械原理的运用,选择解题角度的能力和列式子的能力,通常在力与力矩的分解这一部分会考一些这样的难题,需要大量练题,寻找规律。至于统计部分,我们认为是最简单的,考验对统计学原理的运用和计算的精确度。

 

和其他同学不一样的是,本人考试最大的障碍是马虎。虽说考试让带一个强大的科学计算器用于解决一些复杂的式子,但对于神经大条的我来说,列式和整理式子的过程十分糟心,正负号弄混,忘记乘某个系数都有可能让我在算一道复杂的积分题目时得不到正确的最终结果。对于其他同学来说,最大的障碍可能是少数几道即使经过勤奋刻苦地练习,也不一定能找得到思路的题。当然,在练题的过程中,我也常常遇到障碍,每次在考试几个月前遇到不会的或做得慢的题目,都会感叹压力山大,长夜漫漫。这个时候,我们通常会找类型题练一练手,自己找一找手感,积攒一些经验,也减少一些应对考试的焦虑。也许练题时找到的思路在考场上就能用到呢。

 

考前焦虑恐怕是很多考生都会经历的。一般来说,想要考进英国G5(英国排名前五的大学)或华威大学的数学系,高数成绩必须上A*,也就意味着需要朝着满分努力。其他专一些理工科专业,一般来说只要上A就可以,除非是牛津剑桥这样傲娇的大佬学校。


当然,想要考入世界顶尖大学,只有A-level的成绩是不够的。国际教育与应试教育不同在于,国际教育重视的不仅是学生的做题技巧和考试成绩,更重视思维和潜力。申请英国大学需要递交一个PS:personal statement,即个人陈述,其中绝大部分内容都与自己的专业相关,少部分展示专业学习以外的个人综合能力。学生通常会详细讲述自己对这个专业的热爱,相关竞赛、阅读、研究以及实习的收获。顶尖大学还会有自己的入学考试,比A-level考试难很多,牛津、剑桥和伦敦帝国理工学院部分专业还设有面试。所以,在学习自己专业,研究、实习过程中,浑水摸鱼是不可取的。

 

对于一个“整数学的”,考数学系的过程更是艰辛。对于早早确定未来方向的学生来说,第一年课程还很简单的时候,正是课外学习的好时机。那一年,我开始像曾经向往的那样,把数学当做自己热爱的东西去学习。从读《什么是数学》,到研究分形几何参加“科学展”,想象力一点点打开。之后,我又读了《数学女孩》和小平邦彦的《微积分入门I》,读的时候总是很困难,甚至半个小时也理解不了一页。读的时候遇到一些感兴趣的问题会深入研究,有时通过几天的思考,能得出自己没有见过的“研究成果”,然而更多时候并没有,只是把读到的内容理解得更深了一点。 

 

关于附加考试,在我看来,数学的MAT考试可以说是把英国教育理念发挥到一定程度了:规律较少,不易套路。作为一些顶尖大学数学系的筛选考试,MAT比CIE考试难一些,答对80%以上的题都是大佬。MAT的题,有难有易,由浅入深,考验的更多是对一个数学问题的思考,而不太偏重答题技巧。因此,想要应对这种灵活的考试,还是需要真正理解数学。当然大量练题也是必须的,在这四年里,我为了准备包括MAT在内的考试和竞赛,练习了许多难题,包括中国高考题。除了MAT之外,剑桥大学、华威大学和UCL采用的入学考试STEP也很有意(ya)思(li),而且难度极高。好在,STEP虽难,但是如同CIE高数考试,可以通过刷题来提高成绩。

牛津面试可以说是我的最后一道难关,也是让我与牛津数学系失之交臂的一关。毕竟面试的题目是为筛选学霸准备的,而且需要考生克服紧张,边思考边交流。我失败的那一场,是考完两场面试之后的加试,教授模拟大学课堂,给我讲了一个全新的知识点。我思考速度缓慢,因为最终没有独立理解这个内容而被刷下去。

 

以上是在英国体系的国际学校里学习数学和参加考试的个人体验,可能不太全面,可能不太准确,如果说我有什么想告诉大家的,那就是,爱数学是一种幸运吧。不管是在中国高中,还是在国际学校,不管是在一个普通学府还是985、211,都是如此。毕竟,热爱,就如同希望,是这个年代如同钻石一般宝贵的东西。

 

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曾经最基础的高考题目,却让99%的考生马失前蹄

 

原文作者,李迈新,《挑战极限思维:勾股定理的365种证明》作者

 

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每年的高考试卷,最受全社会关注的自然是语文的作文题,一个好的作文题目或者题材,会引起全社会的关注和,有的甚至可以影响好几年,当真是"余音绕梁,三日不绝"。

 

相比之下,数学题目就没那么容易让人记住了,比如在下就是95年参加高考的,那年的题目别说数学,就是语文作文是啥,现在也想不起来了。

不过凡事都没有绝对的,有些数学题目,不仅会让当年的考生终身不忘,还会让后来者胆战心惊,而且老师还会在课堂上敲黑板,画重点,防止重蹈覆辙。

下面要说的这道高考真题,历史已经比较久远(1979年的高考数学试卷第四大题),但是影响绝对空前,它是当年考生心中永远的痛,让人终身难忘.因为这道题的得分率不到1%,也就是全国99%的考生都被这道题坑了一下。

下面是这道题的真容,1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题:

 

叙述并证明勾股定理。

 

是的,你没看错,就是这道题让无数考生竞折腰,原因么,就象萨苏原文(http://blog.sina.com.cn/s/blog_476745f6010003pz.html)说的“对高考的学生来说,这实在太简单了,就是因为太简单了,根本没有几个学生还记得这东西怎么证。勾股定理么,简直象地球是圆的那么自然么。但是。。。证明?这东西还要证明么?!”

 

那么,为啥要出这么一道的简单的送分题(实际上是送命题)呢?

 

潘成彪先生出这道题,当然不是因为希望出的简单,而是他认为中学教育不能只注意题海和数学竞赛,而且应该在基础方面让学生打得更扎实一些,用现在的话来讲,就是不忘初心,放得始终。

 

以后的高考数学题里,影响能与之媲美的,印象里大概只有03年的江苏卷了,那一年据说有个胆大包天的文科生考前居然偷出了理科数学的试卷(你没看错,是文科生,然后偷的是理科生的试卷……),导致临场采用备用卷,于是那年江苏平均分68(卷面满分150)。

 

现在这道勾股定理的高考题之所以让人难忘,事后看来有这么几个原因:

 

(1)出题人潘成彪先生虽然是著名数学家,但是当时时有保密制度,出题人的姓名是不对外公开的,所以很多考生快30年后还不知道自己的仇人是谁,自然就更加好奇,自然就难忘了。想比之下,江苏的那届学子还是幸运的,至少还知道出题人是葛军,人送外号葛大爷。(不了解这位大神的请自行百度)

(2)如果真是题目出的特别变态,比如超纲或者用到了很难想到的技巧(也就是题目出的比较活),那考生也只能承认自己智商不够,认赌服输,不大会找出题人的麻烦.但是这道题目显然并不难,只需要初中的几何知识,更确切的讲,就是初中几何课本的原题.换了你,在高考时遇到这么一个题目,明知自己学过,但是就是想不起来答案,那肯定是窝火+闹心自然就难忘了。

 

凡事一有开头,就必然有后来的仿效者。这种直接让考生证明教材中重要定理的头一开,第2年(1980年)的数学出题者便照方抓药,就出了一道,1980年理科四题:


写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。

 

大概是考虑到老这么搞还是容易被猜题,再者教材里的重要定理就那么些,高考又不允许出重复题目,考一个就少一个,于是80年之后基本上没有这么干的了,直到30年后的四川为了向前人致敬,于是来了一道,四川2010 第9大题:

 

证明两角和的余弦公式 并由此推导出证明两角和的正弦公式。

 

不过在四川之前,2009的考研命题人或许是受到了某种启发,也玩了一次仿古,于是那年的数学1(也包括数学2和数学3)就有了下面的题目,2009年全国硕士研究生入学考试数学一试题:

 

证明拉格朗日中值定理。


最后,给两个勾股定理的经典证法

 

证法一:把两个边长为a和b的正方形进行拼接,然后分割成4个直角三角形加一个小正方形,然后再把他们拼接成一个边长为c的大正方形.立得a²+b²=c² 。


第2个证法,利用等底等高的平行四边形面积相等,可以得到。

 

 

 

蛋蛋的表面积

原文作者,John D. Cook博士

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:math001

 

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我们之前的文章中,介绍了鸡蛋的一个拟合公式,讲解了公式中各个变量对鸡蛋形状和鸡蛋两端曲率的影响。

在那之后的文章中则介绍了鸡蛋的体积计算。而篇文章,我们将介绍鸡蛋的表面积计算。

 

如果你将f(x)在[c,d]之间的图像绕x轴旋转,那么这个立体图形的表面积为:



对于鸡蛋的拟合函数而言,这个积分是没有初等表达式的。(至少我没有找到初等表达式,就算用Mathematica也无能为力。)但是我们可以通过计算得到数值解。

 

下面给出的是Mathematica的代码。

f[x_, a_, b_, k_] := b Sqrt[(1 - x^2/a^2) / (1 + x k)]
area[a_, b_, k_] := 
    2 Pi* NIntegrate[ 
    f[x, a, b, k] Sqrt[1 + D[f[x, a, b, k], x]^2], 
    {x, -a, a}
]

 

现在我们进行更为详尽的考察,我们来验证一个观点,如果鸡蛋是球状的,我们会得到球的表面积。


输入area[3, 3, 0]则返回113.097,N[36 Pi]同样返回113.097,这是一个非常好的开始。


现在我们将k作为自变量,表面积作为因变量,做出一个函数图像。

Plot[area[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}]

y轴的数值从85.9开始,因此这个图像夸大了k的作用。因此,我们将y轴的值从0开始,用以修正k的影响。

Plot[g[4, 2, k], {k, -0.2, 0.2}, PlotRange -> {0, 100}]


对于体积而言,鸡蛋与椭球之间大约差了一个参数为k的二次函数项。

 

 

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2019年度邵逸夫数学奖名单公布

 

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根据邵逸夫奖基金官方网站消息,2019年邵逸夫奖已于2019年5月21日 (星期二) 北京时间下午3时正(GMT 07:00) 公布。

数学奖由法国数学家米歇尔.塔拉格兰 (Michel Talagrand)获得,以表彰他研究集中不等式、随机过程的上确界和自旋玻璃的严谨结果。

 

 

塔拉格兰是概率论的顶级专家,曾再1998年的国际数学家大会上受邀发表1小时演讲。

邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立,以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果,和该成果对人类生活产生深远影响的科学家,原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

 


 
“邵逸夫奖”有三个奖项,分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次,每项奖金一百二十万美元。

“邵逸夫奖”被不少人誉为“东方诺贝尔奖”。

 

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数学模型:科学家们用数学语言刻画社会冲突

原文来源于罗巴切夫斯基大学

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对:donkeycn

 

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2018年6月29日 于,罗巴切夫斯基大学
 
(图注:在没有外部干扰的情况下社会系统发生冲突的相轨线)
 
 
洛巴乔夫斯基大学国际关系和世界历史研究所副教授亚历山大·佩图霍夫领导的一个研究团队,在非线性动力学的基础下对社会冲突模型进行了优化。
 
 
对于数学建模而言,社会和政治进程的一个重要特征是它们无法被严格定义。它们通常受到一点微小的改变和波动的影响。通常,社会进程被看作布朗粒子。粒子轨迹中的一点微小的改变和波动可以解释为其他粒子的混沌运动。在社会进程中,波动可以视为是个体自由意志作用的表现,以及一些外部环境带来的随机影响。
 
 
在物理中,这些过程通常用朗之万随机扩散方程( Langevin's stochastic diffusion equation)来描述,这一方程也已经被用于模拟一些特定的社会进程。
 
 
基于这一方程建立的模型有以下优点:
 
1、如同前面提到的一样,该模型允许人们考虑个体自由意志作用下的的影响与系统外部环境产生的影响。
 
2、社会系统的行为可以从整体和个体两方面来计算。
 
3、在这个模型中,可以根据不同的初始条件识别社会系统运转的一些特定的稳定模式。
 
4、扩散方程作为数学工具,完全可以通过数值模拟进行验证。
 
这个模型基于这样的想法:社会中的个体通过一个通信场(communication field)来实现互动。这个由社会中的每一个体所产生的场就用来模拟个体间信息的交流。
 
但是,可以想到,这样的社会很难归因于经典物理拓扑空间中的对象。
 
(图注:在外部干扰的情况下社会系统发生冲突时的相轨线)
 
佩图霍夫(Dr. Petukhov)博士认为,从个体之间信息传递的角度来看,社会空间将经典的空间坐标与一些附加的具体特征结合了起来。这一点可以通过以下事实来解释:在现代信息世界中,我们没必要非得靠近一个对象才能向他传递信息。
 
亚历山大·佩图霍夫指出:“因此,社会是一个多维的、群居以及物理性的空间。它反映了一个人用他的通信场“接触”另一个人的能力,即影响那个人、他的参数和在特定空间中移动的能力。”
 
因此,在这个空间中,个体相对于其他个体的位置刻画了他们之间的关系水平和参与信息交换的能力。
 
 
在这个模型中,当两个个体的位置靠得很近时意味着它们之间有规律的信息交换,这样便可以建立相应的社会联系。
 
 
在这样的背景下,如果个体或群体之间信息传递的变化导致了距离上的急剧增加。(即社会距离Δx = xi—xj,这里x表示社会和物理空间中的坐标,i,j=1,…,N,其中N 为个体或者群体的数量”)那么,它们之间可以认为是一种冲突。
 
 
因此,在假设中,个体可看作是布朗粒子并以一定的半径范围对其他个体产生影响。这样的通信场可以用扩散方程来表示。
 
 
基于上述方法,洛巴乔夫斯基大学研究人员研发的模型,揭示了以下特征模式和对初始和边界条件的依赖性:
 
1、考虑外部的影响和控制的条件下,例如出现社会冲突并且加剧的背景下,建立了特定的边界条件,这样的条件是由社会系统参数决定的。
 
2、建立了一个有关社会系统稳定性的特有区域。在这个由相轨线确定的区域中,所研究的对象之间保持了相对较小的社会距离。这就是群体积极互动,并保持连续信息交换的特点。同时,还可以观察到该区域是怎么变化的,这取决于冲突管理函数的影响。
 
3、通过引入的控制函数的参数确定并联系这些边界状态,可以反映当代特定种族-社会冲突的模式。因此,该模型可以作为预测不断变化的冲突和得出冲突解决方案的工具。
 
这也证明了在这些研究过程中,一个分布式多元认知系统从一个稳定状态到不稳定的状态受阈值的影响。
 
 
根据亚历山大·佩图霍夫的说法,洛巴乔夫斯基大学的研究人员进行的相关实验已经揭示了控制这种系统所需的具体参数:它们决定了系统从稳定状态到不稳定状态的转变,这使得完全通过控制这些参数去创造或阻止社会冲突成为可能。
 
 
亚历山大·佩图霍夫说:“通过继续研究这个方法,我们将能够在其基础上创造一个足够有效的预测社会冲突的工具。”
 
 
 

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获得数学最高奖菲尔兹奖是一种怎样的体验?

 

原文作者,马丁·海尔等众多Quora用户。

翻译作者,我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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也许你再知乎看到太多类似的提问——“XXXX是一种怎样的体验?”。再国外著名的问答网站Quora上,也经常有相同格式的问答但这回的数学逼格似乎有点高,这回问的是:

获得菲尔兹奖是一种怎样的体验?

众所周知,菲尔兹奖是数学界的最高奖项之一。貌似这个问题也应该让一位真正获得过菲尔兹奖的数学家来回答。但是,似乎要让这种世界上最尖端人才来到这个网站来回答这个问题似乎是一种奢望。

 

一位叫做利夫·杰拉姆的历史学家也持有相同意见,他回答道:

能获的菲尔兹奖的人数并不多,而且他们的名字和电子邮件地址都很容易获知,那为什么没有人给他们其中的一个写信呢?

我只是一个低调的历史学家,但我的概率直觉告诉我,在现在不到40位(纯粹猜测)活着的的菲尔兹奖得主中,在无人帮助情况下回答这个问题的几率相当低……

我猜他们的答案应该会有一些感情抒发或标准感言,“感觉很棒”,“我感到微不足道”,“这真的是一个团队努力的成果。”大多数“感觉如何”的问题(实际上大多数问题)需要相对固定的答案。

 

杜扬·萨奥对这个回答这样评论道:

哈哈,我不太确定格里戈里·佩雷尔曼会不会有同样的反应。

他拒领菲尔兹奖章,说他的的成果能被接受是对他最大的奖励,不需要什么菲尔兹了。

而且最牛逼的是他拒绝领奖的原因是他觉得给他颁奖的那些的委员还不够资格。

利夫·杰拉姆:膜拜!
夏肖克·雷:他还拒绝了千禧奖。

 

另外一位评论者路易斯·科恩对这个回答也有评论:

我想知道跟其他学术研究相比,数学研究总体上是否更缺乏合作性。

利夫·杰拉姆:我对此深表怀疑。历史学家们几乎从来没有认真合作过——他们声称与人合作是为了获得经费,但实际上他们通常只是独自一人在档案馆里工作。欧洲资助机构有时坚持要求要有更多的合作者,但结果非常糟糕。

 

然而事情的反转在于,菲尔兹奖得主真的来回答了。

 

马丁·海尔,2014年因为在随机偏微分方程的贡献获得了菲尔兹奖。他回答道:

由于我很幸运地获得了诺贝尔奖,所以被邀请来答题。当然了,感觉这东西因人而异,我也只能说说我的感受...这很显然啊(感觉人生达到了高潮,你还想我说啥?),但同时也给我带来责任感和忧虑感。因为无论你是不是喜欢,当记者评论任何有关数学的话题时最后都会来找你。这时候无论你个人怎么说,最终都会变成代表整个数学界的观点……

乔·菲利奥对这个回答这样评论道:

打断一下:其实整个数学界都不喜欢获奖之后的这个代表权。

马丁·海勒:;-)

 

另一位评论者,若泽·乌里奥拉:

讲真的菲尔兹奖章可能是唯一一个在公众中享有盛誉的数学奖(实际上和诺贝尔奖同样级别的应该是阿贝尔奖,只是没太有人听说过而已),我没记错的话主要原因是跟60年代斯梅尔的政治事件有关……

当时数学家们决定(并发信给一些重要的人说明这一点)将菲尔兹奖这个最负盛名的奖项颁给他,以便帮助他摆脱当时遇到的一些麻烦。

 

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我的爱豆是数学家小平邦彦

 

作者,候尚庶博士, 哆嗒数学网群友 

 

 

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哆嗒小编按:此文作者是小平邦彦的超级大粉丝。长期在各个渠道逢人就推荐小平邦彦的数学著作。终于,他们的事情被出版小平邦彦中文版著作的图灵新知知道,并且授予了他图灵优秀读者的荣誉,算是对他的鼓励吧。

这篇文章有非常明显爱豆情节,请读者理解。另外,文章中提到的阅读细节,对需要买这本书的人可能会有帮助。

 

 

2008年年末的时候,我在长沙定王台的湖南图书城瞎转悠,看见两个小同学在数学专柜那里,我路过一看,她们在拿着一本不太厚的书在翻阅,书名是《微积分入门I》,作者是一个从未听说过的数学家,叫小平邦彦。等她们走后,我拿起书翻了翻,封底上写着这位数学家卓越的事迹,于是我怀着不屑一顾的心情,最终还是自己买了一本,因为我当时根本不相信,一本号称入门的微积分教材,这个老头写出来的能换出啥子花样。

 

很快,我为我自己的无知尝到了苦头。第一章的第一节,类似于讲故事,当时我根本没有品读出多少有用的知识出来,然后到了第8面的定理1.1,证明两个实数,α与β,这两个实数的大小关系,大于,小于,等于有且只有一种是成立的,我一看,这不废话吗?这有啥子好说的?而且,他的那种证法,和要证的命题,看似毫无瓜葛。这老头在搞啥?但是好在当时我闲来无事,又有一股子倔驴脾气,我和这个题目杠上了,拿在手里慢慢想,慢慢琢磨。最终,我通过对他的那个证法展开的结果,发现他在书中想告诉我的是,如果大于小于等于三个都不成立,这是不可能的。那么,这和要证明只有一个成立,又有什么关系呢?无奈中,我有一次无意中掰着手指头玩,突然间脑袋灵光一闪,找到了解决问题的钥匙:大于小于等于,类似于食指,中指,无名指,成立我们可以视为伸直,不成立我们视为弯曲,那么我们假设伸直与弯曲之间没有中间状态,三个手指头,就可以演示出四种情况:三个手指头都弯曲,伸直一个,伸直两个,伸直三个。这四种状态有且只有一种是成立的,没有两种同时成立的情况,也不可能都不成立,更无另外第五种情况,书中论证了三个手指头都弯曲的情况,那么以此为指针,根据前一面的实数的定义,和上文中,实数大小的定义,剩下的两种同事成立,三种同时成立的情况,很容易证伪,最终留下一种可行的情况,那就是有且只有一种情况是成立的。

 

当我想明白这一步的时候,突如醍醐灌顶,原来这本书的布局如此精妙。后来慢慢的往前读,我才发现,这个书很多地方写得很简略,但是该给的指针都给出了。作者督促读者在学习中要反复阅读课文,反复思考道理,而此书布局最令人惊叹的地方,就是一个简单直接的道理:你不把前面的书看明白,不把道理想明白,我让你后面的根本根本看不懂!所以,小平邦彦大师写的不仅仅是一本数学书,他同时把数学的教学法,学生该掌握的学习法都包容在这本书里,真正以知识和正确的学习方法去浇灌读者,而不是停留在教会做题之上,这对于现在这个浮躁的数学学习范围,以应试为目的的数学学习动力,无异于一股能沉降浑浊的清流,而且最重要的是,不从知识和方法的根本上去学习数学,只看习题和分数,那是无源之水无本之木,不可能走得很远的。小平邦彦大师的书中,文字清晰而精炼,很多东西写一半留一半,初看上去冰冷而晦涩,有点严肃,但是深入进去才知道,里面浸透着作者满满的温情与期盼,在严格的思考训练的过程中,我们可以感受到作者那种特有的,以睿智为途径表达给读者们的慈爱。

 

 

曾经,有言论拿辛钦的《数学分析八讲》与小平邦彦的《微积分入门》打比,辛钦的行文中,对数学知识的讲述极尽详实,对初学者很友好,确矣。这就好比,我们要过一条河,辛钦先对地质水文气象做了大量的功课,盐后在河上建立起了一座相当坚固的大桥,再把所有的资料都交给读者。这条河哪里水深多少,哪里流速多少,最近这些年的水文情况如何,哪里有旋涡,甚至哪里有落水鬼,都写得清清楚楚,他根据这些数据,建起了一座大桥,这座桥限速多少,承重多少,哪里风速多少,也都告知得清清楚楚,剩下的只要你走过去了。但是小平邦彦的书,风格则完全不同,他只给出你几样最简单的工具,还有一个资料库,你若是想建桥,可以,里面有图纸;你若是想造船,也可以,里面也有图纸。并且,最重要的是,他会在资料库中留给你一个保命的救生圈,找到这个救生圈,就至少不会溺死。剩下的,就靠你自己去摸索实践了。

 

 

 

在实践中学到的知识,那是很有收获感的,并且,你会发现,他给你的那几样最基本的工具,那简直太好用了。所以,我个人认为,如果有一处风景区,电视台花大价钱拍了一部记录片,详细的记录了里面的风景和特色,播放出来之后,给人们的收获,其实是不如自己拿着一块罗盘,一张地图去实地勘测一遍来得充实的。而小平邦彦交给我们的,就是这块罗盘和这张地图。文字上的精炼,与思想上的深厚与丰富,这样看似矛盾的特性在小平邦彦的书中并行不悖的体现出来,其实并不矛盾。因为精炼的是他的写法,深厚的是他的学识,深远的是他的眼光,充实的是读者的头脑,升华的是读者的灵魂,提升的是读者的数学素养。

 

 

也有人用菲赫金哥尔茨的《微积分教程》,还有柯朗的《微积分和数学分析引论》与小平邦彦的书相比,前两部书,有很大的相似性,都是由大家所写,而且都很注重数学在物理中的应用,菲赫金哥尔茨是实分析列宁格勒学派的创始人,而柯朗本身就是一位数学物理大家。小平邦彦的书中,偏向于纯理论,没有一句话讲的是实际应用。作为站在人类智慧与文明的顶峰的那群人中的一个,小平邦彦应该深知,知识学明白了,能产生多大的战斗力,他已经无意教我们如何去运用知识了,他想教会我们的,应该是如何获取知识,知识都能自己获取了,应用这些知识的范围,应该是天高海阔的。从我搜集到的信息来看,1935年小平邦彦到东京大学学习数学,38年开始又在东京大学学习了三年的物理,那他真不懂物理吗?未必!

 

日本向来有大师级的数学家来写中小学教材的传统,小平邦彦自然也在其中。教材,就是要绝大多数学生都能看懂,而且能学到知识的课堂用书,所以,教材的口径应该是最宽的,是可以让最多的人受益的,这就需要一个自己经历过从“不懂”,到“懂”的明白人来写。从小平邦彦的故事从得知,这位可敬的数学家在中学的时候,学习范德瓦尔登的《代数学》,学不明白,就只能抄书,后来在日本战败时的一片焦土中出道,他青少年时受过的苦,还有对数学的努力执著,足以让人感到心酸。他把他对数学精深的理解,写成了能让大多数人学懂的知识,凝铸在了他的著作之中。

 

前一段时间,我和一位武汉大学学金融,却爱好数学的小兄弟聊天,他在微信中说到,小平邦彦的这本书里面,宝藏不计其数,他不敢想象里面还有多少好东西,很多别的书要用大学,甚至靠近研究生的知识才能论证的知识,这本书用高一高二的知识就能解决,而且严谨而流畅,这本书的口径宽度和思想深度惊人。

 

比如,隐函数,隐映射,证明好直接。史济怀曾说,隐函数隐映射是初学微积分最难的,有些是用多复变知识给重新证一遍,史济怀对科大的学生说:你们读的懂就读,读不懂不做要求。但是这本书里的证明如此直接而正式而简明,借助多元积分闭区域的知识,这是人能想到的?多元泰勒还能这样用,隐函数定理就像是熟透了自动掉下来的,把严格的理论,用这样简明而严谨的方法表达,我就算读遍所有的书,都想不到这样来处理。多元偏导存在且二阶偏导连续推出交换次序二阶偏导相等再推出Young定理,再往下加上限制 推出Schwarz定理,一以贯之。

 

能够在一本高一学生就能看懂的书中,贯穿微积分,实分析,泛函分析,如此深刻的思想,地球上恐怕只有小平邦彦能做到。

 

这本书我也曾多次拿给初中毕业的学生,作为初升高的辅助教材来讲解,对于书中那些相当精彩的处理方法,有一个学生一脸崇敬的问我,老师,小平邦彦他自己是怎么想到的啊?这个问题其实我根本无法回答,我只能调出小平邦彦自己曾经说过的一段话:“对我来说,没有比数学书更难念的了。数百页的书从头到尾念完至难。因为知道‘数学’读懂了,也就成为最简单不过的事而已。所以只念定理,努力想了解它。证明就自己想。而在一般情形之下是想不透的,只好看书上的证明。但是读一两次也不觉得懂,便把证明写在笔记上看看。这回注意到证明有不中意的地方,就想有没有别的证明法?这样子好不容易读完一章时前面的部份已经忘了。没法子,又从头复习。这回倒在意起整本书章节的排列方式来。”我只能告诉我的学生,他是通过努力思考而获得的,但是,事实真的是如此吗?

 

我时常无端的猜想,小平邦彦应该来自于天顶星某个具有高度智慧的种群,甚至是超越我们这个宇宙时空之外的智慧种群,遥望到了我们这个世界学不好数学的人有多愚钝,于是来到我们这个世界,将他所知道的教给我们。为了让愚钝的世人能理解他的知识,他在前期不得不封印了他的知识与智慧,把自己变得愚钝,然后理解世人的愚钝之后,再把他的知识以愚钝的世人能理解的形式表述出来。

 

于是,我在上一篇文章中写到,“······所以,你不要认为你基础不好,也不要认为你数学思维能力不强,因为我们世人(一般的普通人)的数学基础和能力的差别,在以数学之神的形式而存在的小平邦彦大师的眼里,那就像我们看一只蚂蚁的体长是6.3毫米还是6.25毫米的差别一样,这个差别其实并无实质上的意义,而小平邦彦大师由此就为我们提供了一个适应口径最宽的学习数学的方法,那就是他在晚年,把他毕生所学倾注在一本高中生就可以看懂的解析教材上,我们只要按照正确的方法努力去读,就能读懂,而读懂之后,就会知道怎么去应用,别人能够想到的,你也能想到,甚至很多别人想不到的,你都能想到。”

 

 

从这个角度上来说,他与基督耶稣一样伟大,与特蕾莎奶奶同等圣洁。只不过,小平邦彦生性木讷,低调,谦虚,极不喜欢出风头,他太伟大了,伟大到根本不愿意去宣传自己,或者应该说是不屑。他一生都在默默的为了数学知识和数学教学而燃烧自己,就这样一位伟大的数学家,世人,尤其是数学圈外人知道他的却是真不多。直到1997年,这位可敬的数学家离世时,依然保持着低调的风格。他的葬礼没有宗教仪式, 灵柩上放着日本天皇送的花, 旁边环绕着花簇。 在他最喜爱的肖邦的乐曲中参加葬礼的数百人各自献上了一朵白色康乃馨给逝者。他完成了自己的使命,回归到天顶星去了,但是,他留下的精神财富,依然闪耀在人间,照亮着人类文明发展的道路。

 

在人类文明史中,有许多卓越的数学家,如牛顿,莱布尼茨,欧拉,高斯,庞加莱,柯尔莫哥洛夫······但是,他们大多高高在上,他们的理论对一般人来说,同样也是高高在上,揉一揉已经仰望得发酸的脖子和已经被光芒晃得发花的眼睛,我们同样也需要一位能直接来到我们身边的数学家,把他的知识以我们能够看懂的形式教会我们。童话中,在彩虹的尽头,有一座精巧的城堡,城堡里面住着一位善良而睿智的老魔法师,当人们历尽千辛万苦找到他的时候,就会慷慨的拿出他配制的魔药给来访者,吃了这种魔药的人,就能获得智慧。

 

但是我总觉得,这位慈祥的老魔法师长着和小平邦彦一样的面容,却又有着邻居家老爷爷的和蔼可亲,他不忍心人们把精力耗费在找到他的路上,他来到人间,把他的智慧魔药的做法详尽的写出来给大家看,具体的配方和工艺就在小平邦彦的书中。

 

种种伟大的贡献,小平邦彦已经做到了,而我只是想说到,告诉别人有这样的一本书。于是,我辛辛苦苦,呕心沥血的推广小平邦彦的《微积分入门》,从2009年年初到2019年年初,已经整整十年了,这十年中,很多人听了我的言论之后观望,这些言论也被人当成我别有用心而刻意忽略,也遇到过浅尝辄止的人,听了我的推荐之后,试着读了读,但是放弃了深入钻研的机会。这些我都不顾,终于,在上文中提到的那个武大的小兄弟不堪我的蛊惑,认真的去研读了这本书,在惊叹中给出了对这本书极高的评价,而且人民邮电出版社图灵公司也再版了这本书的修订版。编辑武晓宇多次和我交流,不耻下问,征求我的意见;市场部的李洁女士向领导申请,为我颁发了图灵公司第一例“优秀读者”的荣誉证书,在此,我深表感谢,也诚惶诚恐,因为我自认为还是德不配位的。但是我会继续把这本书品读下去,也会继续把这本书推广下去。

 

 

越战时期,代数几何教皇格罗腾迪克在越南的森林里为越南的数学工作者开讲座,这不是作秀;日本二战战败后,被遣返的侨民即使是在码头等待轮船时,依然架起黑板为孩子们上课,这也不是作秀。

 

 

开篇时提到的,长沙定王台湖南图书城,在十几年前,二楼几百平方米的卖场里面,有三分之一是高等教育的教材,目测足有上百个书柜。到现在,只在三楼的一个犄角旮旯里卖高等教育的教材了,就一个书柜,里面教材不足百本,还有些无关痛痒的科普读物;岳麓山下大学城里的新华书店,曾经有四层楼的卖场,后来变成一层楼,楼上变了旅店和网吧,再后来左边两个门面租给了考研机构做办公室,卖场只有剩下的三个门面,最近听说为了修地铁,那栋房子都拆了。八九十年代,中小学的教室墙壁上时常贴着一些很有意义也很有艺术性的宣传画,我记得有一张是在晴朗的月夜下,学生捧着书,拿着笔,在凝望着夜空思考,背景是火箭直上九霄,卫星遨游天宇,显微镜在探求细微的物质结构;还有一张是一位头发花白,带着厚厚的眼镜的老科学家,在耐心的指导拿着仪器做实验的学生。那些孩子,在我幼时的理解中,他们都会是将来的科学家,建设国家的栋梁之才,推动人类文明进步的主力军。那么,他们会不会来?他们会来吗?他们不会来吗?我想,他们还是会来的,毕竟,小平邦彦已经在这个世界来过,并且留下了他的思想。

 

庭有枇杷树,吾妻死之年所手植也,今已亭亭如盖矣。

——《项脊轩志》  明·归有光

 

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来来来,一起来做数学时钟

 

原文作者,Antonella Perucca ,本文原载于+plus magazine网站。

翻译作者,donkeycn,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

 


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在钟面上,你可以找到数字1到12——但是稍微改变一下,你能用别的方式表示这些数字吗?

 

答案是肯定的.例如,你可以利用和、积、幂把表示为2+2、2×2、2².如果你喜欢这个数,你也可以用“取上整函数”(不小于该数的最接近的整数)把表示为 ⌈π⌉ .显然存在无穷多种方式来表示,而哪种是最好的,取决于个人喜好.一般来说,你可以用自己最喜欢的方式来表示1到12,从而制作出专属于自己的数学时钟.

 

如果你想寻找一些独特的东西,你可以使用e、π、i(虚数单位)通过欧拉恒等式来表示:

 

 

 

或者,如果你喜欢巴塞尔问题,可以把表示为所有正整数与π的乘积的平方的倒数和的倒数(译者注:原文有误,少了最后的取倒数):

 

 

作为一个更具体的例子,你可以从数字1到9中任选一个,然后仅用选定的这一个数字(可以重复使用)和数学符号来表示钟面上所需的所有数字(下面的图中提供了一些示例).


更一般地,对于任何给定的一个实数(可以重复使用),只需要配上适当的数学符号,就可以表示从1到12的所有整数了.原因是:我们总可以找到一个合适的表达式来表示1.具体来说:对于任意一个不大于1的正数,只需用取上整函数(即向上取整数)即可;对于任意一个大于1的正数,我们可以把1表示为把x的x次方根向下取整,可以用如下的对数恒等式来检验:

 


最后,对于负数,可以通过取绝对值变成正数;对于0,可以使用0! = 1.

 

市面上有许多数学时钟,钟面上有着各种各样的表达式.偶尔,你会发现钟面上会有某个数列的前12项,而不是1到12.例如,你可能会碰到前12个斐波那契数:

1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

同样地,你也可以使用字母A到L.

 

另一种选择是:写下某个方程,使得所要表示的数是该方程的唯一解,例如,把5表示为:

x² + 7 = 10x -18

 

还有一些数学时钟,钟面上的方程有不止一个解,但恰有一个解在1到12的整数中.一般地,有时数学时钟上是有数学错误的(例如,3并不恰好等于)!

 

尽管如此,在与数字们相处的过程中,你可以做任何事情来获取乐趣.因此,我们提议你来制作专属于你自己的数学时钟,当然如果你需要一些灵感的话,这里有一些例子.

 

数学时钟主题

 

在下面的那些图中,你可以找到各种各样的数学时钟,包括1到12的各种不同的表示法.你可以从中选出一个打印出来,并用它作为钟面(例如,你买一个定制钟面的钟),或者你可以简单地将选定的数字的表达式直接放置在钟面上或周围.你也可以买一些可以直接在钟面上写字的钟,这样你就可以在闲暇的时候更改你的数学时钟.

 

这里是一些例子:


数字1到9的钟

 

从十进制数字1到9中任意选定一个,然后用只含有选定的那个数字以及算术运算的简短的表达式来表示整数1到12.这里我们使用的是基本的算术运算,以及幂和平方根运算.


这里是一个数字7的钟的例子.下面给出1、2、3、4、5、6、8和9的表达式(注意,对于数字5、6和7,我们只使用了基本的算术运算).

 

 

数字1、2、3主题

 

只可以按照数字1、2、3的次序且每个数字恰好只用一次可以表示整数1到12.这里我们使用基本的算术运算,以及幂、平方根、阶乘运算(正整数n的阶乘,记为n!,定义为从1到n的所有正整数的乘积)和取下整函数 ⌊⌋ (这个函数将一个实数对应到不大于它的最接近的整数).

 

 

π钟

 

只使用、基本的算术运算、取下整/取上整函数 ⌈⌉/⌊⌋(这两个函数分别将一个实数对应到不大于/不小于它的最接近的整数)可以表示整数1到12.

 

 

e钟

 

只使用e、基本算术运算、取幂、取平方根、以及取下整/取上整函数可以表示整数1到12.


二进制钟


在这里,我们把1到12写成二进制的形式,即只使用数字0和1.

 

素数钟

 

在这里,我们只写出1到12中的素数.

 

 

 

 


中文数字词钟

 


在这里,我们用中文数字表示数字1到12:您可能注意到数字11、12是如何分别由对应于10的中文数字与对应于1、2的中文数字组成的.

 


玛雅数字钟


在这里,我们使用玛雅数字表示数字1到12:一点代表数字1,一横代表数字5.


π钟、e钟、数字1到9的钟以及数字123钟都是由作者开发的(对于123主题,我们从数学时钟中获得了一些灵感).

 


更多的例子...

 

 

 

 

 

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混沌与秩序:拉姆齐定理告诉了我们什么?

 

作者,张明智


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电影《美丽心灵》中有一段非常浪漫的场景:纳什和艾丽西亚站在喷泉边,仰望星空, 艾丽西亚说自己曾数星星数到了 4348 颗,纳什笑着回复,咱俩真是一对怪胎。接着,纳什 让艾丽西亚选一个形状,动物随便什么都可以。艾丽西亚想了想说,雨伞。纳什走到艾丽 西亚背后,拿起她的手,在星空中用星星连出一个雨伞的形状。艾丽西亚芳心瞬间被俘获, 于是央求:再来一次,再来一次嘛!来画个章鱼

 

 

姑且不论纳什是否做过这么浪漫的事,也不论纳什是否有这样的本领;假如是真的, 我们想问的是,纳什为什么自信可以用星星连出任意的形状呢?答案或许藏在一个数学理 论中,这就是组合数学中的 拉姆齐理论(Ramsey Theory)

 

拉姆齐理论的核心可以概括成:完全的无序是不可能的。更具体的,Ramsey 理论中 典型的问题是:为了保证在某个集合(或系统)中有某种性质(或结构)一定出现,这个 集合的元素个数应该达到多少?从最初的拉姆齐定理到后来发展出的众多拉姆齐型定理都表明:一个集合只要元素数量达到某个临界值后,一定会出现我们预先定义好的某种 性质或结构。纳什之所以自信可以画出任意的形状,是因为星星的数量非常巨大,因此可 以保证一定会出现想要的形状。除此之外,我们熟悉的鸽笼原理也是拉姆齐理论的一个例子。

 

 

鸽笼原理传统的理解是,n + 1 只鸽子飞进 个鸽笼,一定会有一个鸽笼里面至少有两只鸽子。如果遵循 Ramsey 理论的思想,我们可以把鸽笼原理换一种方式理解:给定 个鸽笼,如果想要鸽子“同笼”一定发生,那我们至少需要多少只鸽子?答案是 n + 1

 

再换一套语言来理解鸽笼原理。假设有 n 种颜色用来给鸽子上色,如果要保证一定出现“同色”鸽子,问至少需要多少只鸽子?答案还是 n+1

 

再换一套语言。假设有 A,B 两 个集合,其中集合B中有n个元素(即势为n)。现在从集合 A 向集合 作映射 f,如果要保证一定会出现 f(a) = f(b),问集合A元素个数至少是多少?答案还是 n + 1。 

 

 

从这个角度看,鸽笼原理,以至拉姆齐理论其实是在探讨这样的问题:如何从不确定性中抽取出确定性,或者说如何从混沌(Chaos)中找到秩序(Order)。不确定性是说鸽子飞进鸽笼鸽子的染色方案看成映射因为不同的映射构成一个随机事件的空间,有些随机事件满足我们想要的性质,有些则不能;另一方面,如果我们扩张这个空间,则想要的确定性就一定会出现。这个转变一定会有一个临界状态和临界值,就像水结冰对应的临界状态是冰水混合,对应的临界值是 0°一样。在鸽笼原理中,因为我们想要的性质比较简单,这个临界状态正好是鸽子占满鸽笼且均匀分布在鸽笼中,因此对应的临界值是 n(限制条件的线性函数),这也是为什么看起来鸽笼原理好像是带余除法的应用。 

 

首先看一个代数的例子。我们 1 依次开始往后写正整数,假设我们有红黑两种颜色的笔,在每个整数写好的整数上涂上红色或者黑色。如果想要一定会出现一个长度是3同色的等差数列,问至少要写到几?答案是 9。显然,这里的临 界值是 8。临界状态有很多,我们呈现其中一种,如下(下面的2457涂上红色,部分平台不显示颜色,请自行脑补)

):

 

12345678

 

对于这个临界状态,如果再添加一个 9,我们来看一下是否一定会出现长度为3同色等差数列。

 

首先假如 9 是用红笔写的,那么在123456789 中,57构成了一个长度为3的等差数列,从而满足要求;如果 9 是用黑笔写的,那么数列就变成了 123456789其中 36构成一个长度为3的等差数列,也满足要求。

 

这个结论是 Van der Waerden 定理的一个特例,这里我们只是用一种临界状态说明了 下结论,定理完整的证明远为复杂。不过从这个例子可以看出,我们依旧想从巨大的混沌中找到秩序,而且我们是一定能找到的,只要这个系统足够大。

 

再看一个几何的例子。假设欧式空间的平面上散布着一些点,满足任何三个点都不共线。在任意两点之间连线段,如果想要最终的图形一定会包含一个凸n边形,至少需要多少个点?我们不妨从最简单的情形开始考虑。n = 3 时,显然只要 个点就一定会出现三 角形;n = 4 时,相应的临界值是4,也就是说至少需要5个点才能保证一定会出现凸4边形;n = 5 时,相应的临界值是 8。下面两个图分别是 n = 4 和 n = 5 的临界状态:

 

 

 

对于一般的 nErdos−Szekeres猜想说:至少需要 2^(n−1) + 1 个点(任意三点不共线),才能保证最终的构型一定会出现凸 边形(x^y表示xy次方)。这个猜想至今未解决,最新的进展是 Andrew Suk 于 2016 年发在《美国数学会杂志》的文章,他证明了至少需要 2^(n+o(n)) 个点

 

最后再回到鸽笼原理。根据鸽笼原理我们知道,367 个人里面一定会有两个人生日是同一天,所以同日生这种秩序/确定性所对应的临界值是 366。所谓确定性就是说这个事件的发生概率是 1,如果我们把这种确定性的要求稍微降低下,改成同日生的概率 是 99.9%,也就是说只要有两个人他们同日生的概率达到 99.9% 就可以,那这个时候对应的临界值是多少呢?答案非常出乎意料,不是 365364……,而是 69,也就是说 70 个人 里面有两个人同日生的概率是 99.9%。更多细节,欢迎查询生日悖论。 

 

 

所以如果从概率的角度看鸽笼原理,可以更精细地看到这种不确定性到确定性的转化过程。事实上,概率方法作为组合数学中非常前沿的一类方法,应用非常广泛,包括很多拉姆齐理论的具体结论都可以用概率方法来证明。

 

 

 

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这真的是素数的公式!

 

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愚人节期间,我们哆嗒和往年一样,发了一篇愚人节的整蛊文章《素数公式发现,所有数学之谜即将揭开》,没想到大家和我们一起玩的很嗨,真是一个欢乐的愚人节。

 

文章中我们写出了下面这样一个公式,并说它是第n个素数p(n)的表达式:

文章还专门解释了方括号[x]是取整函数,p!表示阶乘,并规定0! = 1。

 

欢乐归欢乐,因为愚人节的关系很少有人注意到我们贴出的公式本身是不是对的。

 

在这里,我们哆嗒数学网的小编负责人的说,如果只从等式两端是否相等的角度来说,这绝对是如假包换、童叟无欺、“珍珠”都没这么真的素数公式。整篇文章,也许就这个公式是靠谱的。

 

这个公式其实写进了不少数学科普书,要解释它也很容易。

 

说来奇怪,按照一般人的标准课程,我们大多数人对数学中数论知识的学习都集中在小学。到了初中、高中除了一些竞赛需求,几乎不怎么学习数论了。到了大学,也只有部分专业的同学才学习初等数论。

 

初等数论中,有很多有趣的知识,和数数差不多,也就是我们解释这个公式的重点。

 

公式有两个“连加号”Σ,也就是我们要解释的重点。

 

数素数的π(x)函数

 

给定一个整数x,我们把不超过x的素数的个数表示为π(x)这个函数。比如不超过6的素数有2、3、5三个,那么π(6) = 3 。 不超过11的素数有2、3、5、7、11这5个素数,于是π(11) = 5。

 

这样,很容易看出,如果是第n个素数p(n),π(p(n))  =  n, 而且x < p(n) 时候π(x) < n(即π(x) ≤ n), x ≥ p(n)的时候π(x) ≥ n 。

 

这个时候π(x) 还只是数数游戏的,我们需要表示成一种只有加减乘除的东西。

 

 

利用威尔逊定理把π(x)函数表示出来

 

学过初等数论的同学们都知道一个叫做威尔逊定理的命题:

 

p是素数或1,当且仅当 (p-1)!+1是p的倍数。不止如此,当p是合数的时候(p-1)!还是p的倍数。

 

有了这个,我们可以分析分母了那个连加号了。

 

我们先看分母上连加号的内部:

这里,k=1的时候,上面的式子值是1。

 

根据威尔逊定理,当k是合数的时候,[(k-1)!/k]是整数,所以方括号可以去掉。上面式子的值其实是[1/k]。对于正整数,值是0。

 

当k是素数的时候,(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k,所以对右边的方括号做一些简单变换,可以得到整个式子是值是1。

 

所以当连加号的k从1跑遍j的时候,实际上是一堆1和一堆0的加总。k是素数或1的时候是1,合数的时候是0。这些1加起来正好是不超过j的素数的个数加上1,即1+π(j) 。


伯特兰-切比雪夫定理、π(x)和素数公式

我们已经把开头的式子改写了成下面的样子了:


看看连加号内部根号下的部分,


这是一个关于j的递减的式子,关键点在j = p(n) 这一处。当j ≥  p(n)的时候π(j) ≥ n,分子小于了分母,取整后就是零了。

 

相反,当j  <  p(n) 的时候π(j) <  n就是说π(j) ≤  n-1,这样分母不会比n大,取整后是一个不小于1但不超过n的整数。

 

好了,我们都知道n的开n次根号是不小于1且严格小于2的。利用这个我们能得到下面的结论:

 

当j  <  p(n)的时候整个连加号内部的式子(下图式子)的值都是1,j ≥  p(n)的时候都是0。

所以当连加号的j从1开始一直的时候,实际上是连续的几个1相加,然后到p(n)开始都是0相加。正好跑了p(n) - 1个1。

 

至于为什么跑到的终点是2的n次方,这是因为

 

伯特兰-切比雪夫定理:对所有正整数n,n和2n之间必有素数。

 

利用这个定理,你能归纳出,第n个素数p(n)不会超过2的n次方。


于是素数公式出炉。

 

愚人节的文章还给出另外一个公式,其实是换汤不换药啦。


一点心得

 

好了,对于这个公式你们想说什么呢?复杂度太高?因为他里面有阶乘有指数!矫揉造作?这个和一个一个数有什么区别?

 

理由也许都对!这些理由或许就是即便看上去把素数写成了一个“简单公式”,也对和素数有关问题的解决没有任何帮助的原因。

 

但它的确是一个正确的公式,也许可以看成“正确的废话”素数公式版吧。

 

不过,读者中有第一次见这个公式的小伙伴,是不是也感到一些有趣呢——你们可以拿去继续骗人呐!

 

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十个用于数学的编程语言

原文作者,MathBlog Team 

翻译作者,Serena,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,浪荡游侠。

 

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作为一位在计算机编程和数学两大领域都十分感兴趣的研究员,我希望借这篇文章和大家一起分享在数学研究当中,十大我最喜欢的编程语言。

我这么做是为了给其他研究者提供更多的选择,并提供更多建立模型的方法。

这些语言的介绍直接来源于他们各自的官方网站简介或维基百科,在字里行间当中,把个人的看法穿插其中

 

1. WOLFRAM LANGUAGE 

  

 

Wolfram语言MathematicaWolfram Programming Cloud使用的编程语言。

是由Wolfram Research公司开发的一种综合性多模态编程语言主要用于符号计算、函数式编程和规则型编程。在上述领域中,它自身设计使得它可以得到最大程度的广泛使用。

这种语言有许多使用场景并且时常是非常专业化的

 

我的看法

这是一种下降泛函、规则型的编程语言,他在处理符号计算上非常有优势尽管如此,我觉得和Go语言比较起来,Wolframe的使用并不简洁

它真正的价值在于它庞大的多领域标准库(特别是数学应用),这几乎比世界上任何其他编程语言都领先很多年。看过他们的演示程序以后这门语言的魅力会让你神魂颠倒

 

2. MATLAB / GNU OCTAVE

MATLAB(矩阵实验室)是由MathWorks公司出品的一门多模态数值计算运行环境被认为是第四代编程语言。它可以进行矩阵运算、画出函数和数据图像、实现算法、创建用户界面、提供接口以便和其他编程语言的程序(包括C, C++, Java, FortranPython进行交互

 

我的看法

它在数值计算方面处于霸主的地位其开源版本——GNU Octave也是如此

 

3. R

R编程语言为统计计算和图像处理提供了软件环境,这个软件 the R Foundation for Statistical Computing提供技术支持

R语言主要使用者是统计学家和数据开发者广泛用于统计软件开发和数据挖掘分析

数据挖掘开发者的调查和学术文献数据库调查发现近几年来,R语言受到了越来越多的关注

 

4. COQ / GALLINA

Coq是一交互式定理证明软件。它允许使用数学符号和命题的形式进行逻辑演绎对推演验证猜想的推理过程进行模式化处理,帮助人们找到比较合情合理的证明方法。然后,通过规范的格式说明中进行严格证明,最后建立起一个认证程序。

Coq在构建算子的衍生物——归纳构建算子理论的基础上运行程序

如果我们要把它当做是一种编程语言的话Coq实现了一种依赖类型的函数式编程语言;作为逻辑系统,它实现了高阶类型理论。

Coq提供了一种名为Gallina范式语言。用Gallina编写的程序具有弱规范化性质——让程序最终运行结束,不会陷入死循环

 

5. PROLOG

Prolog是一种与人工智能和计算语言学相结合的通用逻辑编程语言

Prolog扎根于一阶逻辑一种形式逻辑)。与其他编程语言不同之处在于Prolog定义式语言

Prolog的程序逻辑用关系描述,用事实和规则表示。它的运行方式进行查询的这些关系的内在联系来决定的

 

6. HASKELL

Haskell是一种标准化,通用纯函数式编程语言有非限定性语义和强静态类型Haskell的特色是拥有一个类型推断和延后计算的类型系统。

 

我的看法

对于使用非函数式编程的程序员来说,它是最难的语言之一.为了能熟练使用这门语言,程序员的学习曲线会非常陡。这同时也是非常值得的。因为它的无任何其他影响。正因为它有纯函数属性,所以它十分适合用来对数学问题进行分析并建立模型。而对于那些从事范畴理论和编程语言研究的人来说,它有极强的吸引力

 

7. IDRIS

Idris是一种拥有依赖类型的通用纯函数式编程语言。它的类型系统与Agda的类似。

它支持交互式定理策略证明可以与Cop媲美定理证明开始之前,我们就可以将重点放在通用编程上。

Idris的其他目标是充分性能,它的副作用也容易得到控制,并且他还支持在特别针对于嵌入式领域中应用语言的实现

 

我的看法

作为一种研究型语言,它结合了HaskellCoq特性很有意思

 

8. JULIA

 

Julia一种用于技术计算的高水平、高性能的动态编程语言,对于其他技术计算环境的用户来说它的语法让初学者很容易上手

它提供了复杂的编译器、分布式并行处理数值精度一个可扩展的数学函数库。Julia的基础函数库大多数由官方维护人员编写,同时,它也集成了一些CFORTRAN开源成熟性能良好库来处理线性代数、随机数产生和字符串处理等问题。

 

我的看法

它是一种非常有前景的科学计算和数据科学语言。由于Jupyter项目,Julia也可以用于分享代码,并和他人一起协作完成项目

 

9. PYTHON

 

Python是一种广泛使用的高级、通用、解释动态编程语言

它的设计理念是要强调代码的可读性,变量系统是弱类型的,这样的特性让程序员用比CJava等语言更少的代码行来实现自身需求

该语言提供了一种旨在实现各种规模程序中都能清晰展示程序架构的方法

Python支持多种编程范式,包括面向对象、命令式和函数式编程或过程式的风格。它具有动态类型系统和自动内存管理功能,并有一个庞大而详尽的标准库。

 

我的看法

从数学和科学的角度来看,Python之所以有趣,是因为有大量的相关库可供这种流行的编程语言使用(例如, numpy, scipy, scikit-learn, Sage)

得益于这个丰富的生态系统,你能轻松地学到一门对科学计算来说非常友好语言。并且由于它很受欢迎,例子(Jupyter notebooks中的示例代码)随处可见

 

10. J

J是一种非常简洁的数组编程语言它最适合数学和统计编程,尤其是对矩阵执行操作的时候。它还被用于极限编程和网络性能分析。

与最初的FP/FL语言一样,J通过其默认编程特性支持过程式(与函数式编程不同)编程方式

 

 

我的看法

APLK一样,J是一种令人费解的语言。它的语言很简洁,很难读,但却强大得难以置信。如果您有兴趣采用新的方法来处理数据操作和分析的话,那么J值得一试。

这是一个快速排序的实现,让您了解我们正在处理的问题。

quicksort=: (($:@(<#[) , (=#[) , $:@(>#[)) ({~ ?@#)) ^: (1<#)

写得比较豪放。

 

上面的十种语言就是我眼中认为在数学领域中值得一试的语言。当然,如果您有更好的选择,欢迎留言表达你的个人见解

 

 

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素数公式发现,所有数学之谜即将揭开

 

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哆嗒数学网小骗今天从世界数学中心大联盟获悉。数学家们在1770年的一篇古代论文中发现,早在几百年年前,就有人发现并公布了素数的公式,但被人忽略了。

 

 

发现这个公式的数学家叫做威尔逊,他起初发现发现一个著名的关于素数的定理。

威尔逊定理:p是素数或1,当且仅当 (p-1)!+1是p的倍数。这里(p-1)!表示阶乘,即(p-1)! = 1·2·3……(p-1),并规定0!=1 。

后来人们在威尔逊的一个手稿中发现,威尔逊利用这个写出第n个素数p(n)的公式。这个公式只需要加减乘除和开方运算,以及中学生都学习过的取整函数[x],表示不大于x最小整数,对于正数而言就是x的整数部分,比如[3.1] = 3。

另外如果引入三角函数,公式还可以写成如下形式,依然非常简单。

数学家几千年来一直对素数的相关猜想着迷,前赴后继有很多数学家都在这些关于素数的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想都是关于素数规律的猜想。数学家们一直苦于没有找到一个素数公式,导致这些猜想依旧是世界难题,至今没有解决。

已知素数的相关成果还是当今密码学的基础。先行互联网的所有密码都和素数的规律有关系。素数公式的发现,将使这些密码变得毫无作用,可以预见不久的将来和密码账号有关的所有系统——比如银行账户、邮箱账号、游戏账号等——都将陷于极大的风险之中。

现在素数公式已经被数学界知晓,这意味着所有的这些素数的猜想将变得非常容易解决,地球上已经没有值得人类去思考的猜想了。哆嗒数学网的小骗了解到,因为这个事件,世界数学中心大联盟获悉将向升级为宇宙数学中心大联盟,向太阳系、银河系乃至全宇宙征集有价值的数学问题。


今天是4月1日,我们哆嗒数学网的小骗们为你报道了如此重大进展。数学有如此进展,大家都很开心。如果你感到开心,你就拍拍手。如果你感到不适你就先忍着。

 

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英式幽默:连英国的鸭子都邀请你参加国际数学奥林匹克

 

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国际数学奥林匹克竞赛简称IMO,是一项围绕数学竞赛的国际青少年交流活动。每年有超过100个国家派队伍参加此项活动。如果用参赛国家数量为标准,可以说IMO是世界上规模最大的年度国际交流活动之一。

每年国际数学奥林匹克竞赛都会更换比赛地,赛事主办方也会录制竞赛的宣传视频。宣传视频除了介绍赛事本身,也会利用这个机会宣传当地风物。所以有时候,这些宣传视频会被人认为是旅游广告。2019年将在英国巴斯举办此项活动,主场设在英国巴斯大学。主办方也录制视频,颇具英式幽默。

 

视频开始是黑白画面,开始介绍英国。

两位主角反对,这根本不是英国的现状啊。在一番吐槽后,正片开始!

视频介绍了英国的著名的人物莎士比亚、达尔文、怀尔斯等——图中贝克汉姆的出现是一个搞笑梗。

然后,介绍世界文化遗产城市巴斯,以及主办地巴斯大学。

最后,不同人用不同语言欢迎大家来参加2019国际数学奥林匹克。

还有不同的语言欢迎你!有英语、法语、汉语、日语、俄语、德语、西语——最后还有鸭子语!

总之,算是一个颇具特色的国际数学奥林匹克宣传视频。

完全视频如下(6分钟)

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乌伦贝克成为首位阿贝尔奖女性得主

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根据阿贝尔奖官网消息。数学家凯伦·乌伦贝克(Karen Uhlenbeck)获得2019年阿贝尔数学奖,以表彰她在“几何偏微分方程、规范理论和可积系统的开创性贡献,以及她在分析、几何和数学物理领域的工作上的深远影响 。”乌伦贝克也成为第一位获得这个殊荣的女数学家。

 


规范理论(Gauge theory)是众多现代物理的理论基础,我们熟知的粒子物理、相对论、弦理论这些最前沿的的物理研究,规范理论都是不可或缺的工具。


英国萨里大学的教授阿尔卡利里在乌伦贝克的获奖工作介绍中说到,“基本力的大统一理论是物理学中的圣杯,她在数学中做出的重大贡献,给出很多有意义的办法,让我们能沿着这条路走下去”。

 

变分法研究的是,一个量的微小变化能如何帮助我们找到另一个量的极大值或极小值。乌伦贝克在变分法中也有杰出贡献,她最具影响力、也是她最引以为豪的成果之一,是发现了一种被称为“泡泡”的现象,这是她与合作者乔纳森·萨克斯共同完成的一项开创性工作的一部分。萨克斯和乌伦贝克研究的是“极小曲面”,它背后的数学理论涉及到肥皂膜是如何让自己形成能将能量最小化的形状。但这一理论总是会因为出现那些能无限集中能量的点而遭到破坏。乌伦贝克的洞见是,将这些点进行“放大”,她发现,实际上发生的是从曲面上会分离出一个新的泡泡。


乌伦贝克在1990年成为第二个在国际数学家大会做1小时报告的女数学家。而在他之前做1小时报告的女数学家,还要追述到1932年的埃米·诺特,乌伦贝克打破了近60年的记录。

阿贝尔奖在2003年首次颁发,仿照诺贝尔奖体系颁发,以弥补诺贝尔没有数学奖的遗憾。之前有很多数学家获得过此项奖励,公众熟知的有证明费马大定理的怀尔斯以及获得过诺贝尔经济学奖、奥斯卡获奖影片《美丽心灵》原型纳什。2019年阿贝尔奖奖金为600万挪威克朗,约合70万美元。

 

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人类第一次将33写成了3个整数的立方和

作者,数学西瓜,哆嗒数学网群友。

校对,Math001

 

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公元2019年3月的一天,一位叫Tim Browning(与Timothy Browning是同一人)的数学家再其个人主页上更新了一个网页,网页上的内容非常简单,没有任何多余的东西:
 
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
 
 
上面的算式是将自然数33用整数的立方和表示了出来。但是,可能出乎你预料的是,这是人类第一次知道,世间还存在着这样一个等式,第一次——我们第一次把33用这种方式写了出来!
 
为什么我们对这样一个等式如此着迷,让我们一起看下去。
 
 
 
建造房子式的“堆垒数论”
 
 
我们知道我们茅草堆垒出来能建造茅屋、砖石堆垒起来能建造砖房、钢筋混凝土堆垒起来能建造高楼大厦。
 
现在许多高楼大厦都是钢筋混凝土建筑的,但是是不是所有的高楼大厦都可以由钢筋混凝土来建筑呢?
 
这其实就是“堆垒数论”的思想。我们用简单的语言表达这个堆垒数论考虑的问题,如果考虑A、B两个整数的子集。如果A中的数都能被B中的某几个数相加得到,我们就说A能被B堆垒出来。大多时候,我们还要限制使用B中数字个数的数量。这时候,所使用的B中的数叫做堆垒项。
 
举几个例子:
 
如果A是所有不小于6的偶数集合,B是素数集合,并限制只能用2个B中的数。那么问题就是著名的哥德巴赫猜想。
 
如果A是自然数集合,B所有完全平方数集合,并限制只能用2个B中的数。自然数的能不能写成两个数平方和问题。
 
如果A是自然数集合,B所有完全平方数集合,并限制只能用3个B中的数。自然数能不能写成三个数平方和问题。
 
以此类推……
 
有时候,我们还可以反过来研究,比如,如果所有自然数都能被B中的数加出来,那么多少个数之内一定能办到?
 
我们用233来举例子把:
 
 
下面这些正整数方程是否有解呢:
 
233 = x² + y²
 
233 = x² + y² + z² 
 
233 = x² + y² + z² + w²
 
233 = x² + y² + z² + u² + v²
 
以上方程中的所有未知数地位是一样的,我们把那种通过交换顺序能变得一样的解看成相同的解可以得到:
 
第一个方程,有一组解:
 
233 = 8² + 13²
 
第二个方程,有两组解:
 
233 = 1² + 6² + 14²
 
第三个方程,有三组解:
 
233 = 2² + 6² + 7² +12²
233 = 3² + 4² + 8² +12²
233 = 4² + 6² + 9² +10²
 
第四个方程,有一组解
 
233 = 2² + 4² + 7² +8² +10²
 
 
在第三个方程的正整数解中,我们可以看出可以出现一样的元素12;
 
关于第四个方程有一则小故事,根据迪克逊的《数论史》(History of the Theory of Numbers)记载。1867年,史密斯(H. J. S. Smith)开始推广表为5个,7个平方数的结果。一位不为人知的委员会成员曾向巴黎科学院建议举办1882年的数学科学大奖(grand prix des science mathématiques)赛题目为“表为5个平方数的方法数”。实际上1881年春天就发布了公告悬赏这个问题,后来才将其作为赛题。史密斯和闵可夫斯基(H. Minkowski)(值得注意的是,闵可夫斯基当时才18岁)都获得了该大赛的全额奖金。他们俩都发展了n元二次型理论来求出表为5个平方数的方法数。
 
 
 
迷人的平方和
 
 
上面第一个方程为费马双平方和定理(Fermat's two-square theorem)的一个特例。费马还是“一如既往地”只写命题不给证明,这个命题也一样。这个命题最早被欧拉证明的。费马的这一命题即给出了所有4n+1型的素数都可以唯一地分解为两个平方数之和(至于如何求其唯一表示可以参看西尔弗曼的《数论概论》第26章)。那么其他数呢?
 
有下面一个定理:
 
一个大于1的整数可以写成两个平方整数之和,当且仅当的它的标准素数分解中不包含4n+3型素数或者4n+3型素数是偶次。
 
比如637 = 7²·13有两个素因子7与13,而是4n+1型,而7模4n+3,但素数7的次数为偶数2,故637 可以表示为两个平方数之和。实际上,637 = 14²+21²。
 
关于平方,我们还有勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem):
 
整数可以写成三个整数的平方和(即允许堆垒项为零),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其中,4^a表示4的a次方,a与b都取自然数)
 
值得注意的是这里用的是“三个整数的平方和”与双平方和情形的描述有所不同。
 
勒让德的这一定理可以写为等价形式:
 
整数可以写成少于四个平方数之和(默认平方数从1开始),当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。(其中,4^a表示4的a次方,a与b都取自然数)
 
对于平方数且时,有拉格朗日四平方和定理(Lagrange's four-square theorem)
 
每一个自然数可以写成四个整数的平方和(即允许堆垒项为零)。
 
我们不应该去纠结于当需要表示的数比较小时(比如取5、6,堆垒项总有零出现),四个整数中会出现零。我们应该看到当需要表示的数为很大很大的整数时,都可以由四个平方数来表示,就像再厉害的野马(大整数)都可以被这位驯马师(拉格朗日四平方和定理)驯服,这便就是此定理的重要意义。
 
 
华林问题
 
什么是华林问题呢?
 
1770年,英国当时的领袖数学家华林(Waring)(别因为音译名将其当作华人)在其《代数沉思录》(Meditationes Algebraicae)第二版中提到一句话:
 
每一个正整数可以写成4个整数的平方和(即允许堆垒项为零);可以写成9个正整数的立方和,可以写成19个整数的四次方和,如此等等。
 
当然这句话的一部分就是拉格朗日的定理,第二部分是华林通过大量数值试验得出的猜想,第三部分也是他得出的猜想。
 
对于每一个给定的正整数k,存在一个最小的正整数g(k),使得每一个自然数都可以写成不超过g(k)个整数的k次方和。
 
其中求g(k)的问题便是华林问题。经过上面关于平方数的介绍,我们知道了g(2) = 4。
 
1909年,德国数学家韦伊费列治(Wieferich)证明了g(3) = 9;后发现漏洞,于1912年由生于英国的美国数学家肯普纳(Kempner)补正;
 
1940年,印度数学家皮莱(Pillai)证明了g(6) = 73;
 
1964年,我国数学家陈景润证明了g(5) = 37;
 
1986年,三位数学巴拉苏布拉玛尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)证明了g(4)=19;
 
 
再回来,整数立方和还有42
 
好了,回到我们最初的问题:自然数的整数立方和表示。在k=3时的华林问题中,我们知道每一个正整数都可以为不超过9个正整数的立方和;
 
如果将前面华林问题的堆垒项只允许用加法的条件放开,我们允许用减法,是什么情况呢?——这个问题其实就是简易华林问题——不要因为其命名为“简易华林问题”就觉得其比“华林问题”简单。
 
而将正整数表示成三个整数立方和的问题,就是堆垒项限制为3的简易问题。现在这个问题依然是没有解决的问题。
 
我们用v(k)表示满足相应条件最小的正整数,即对应于华林问题中的g(k).
 
1932年,V. Vesely证明了v(k)存在。
 
接着赖特(E. M. Wright)于1934年得到一个粗糙的估计:(此估计不等式的证明可以参看陈景润写的《初等数论Ⅲ》132页的内容)
 
v(k)≤2^(k+1) + k!/2
 
不久,赖特又对其改进,符号比较专业就不详述了。
 
再后来赖特还得到了v(k)≤2^(k+1) +4k,并研究了具体值。
 
 
1936年,莫德尔(Mordell)证明了除极少一部分数不能确定外,大部分整都适合v(3) = 4.
 
我国数学家柯召曾列出一张表,将100以内的数分解为4个立方数之和,表中几乎每一个数均可分解为x³+y³+2z³的形式,仅有两个例外
 
76 = 10³+7³+4³-11³,
99 = 5³+3³-1³
 
柯召教授这样做的目的或许是为了说明v(3)=4是正确的,但是这仅仅只能作为一些数值试验。
 
2003年,科学出版社出版了中文版的《数论中未解决的问题(第二版)》。其作者是为盖伊(1916年9月30日~)现在已经102岁高龄了。
 
在《数论中未解决的问题(第二版)》的第D章(该书编写了A~F章节)的D5问题中,提到除了形如9n±4数尚且不知道结论,对于所有其他的数都证明了是4个整数的立方和。
 
了解同余的小伙伴们,可以做下计算,任何整数的立方在mod 9 的情况下只有-1,0,1三种可能。所以 x³ + y³ + z³ 在mod 9 的情况下,只有0,±1,±2,±3这7种可能,而±4是不可能的。
 
所以形如9n±4数一定不能表示为三个整数的立方和。由此我们也可以知道v(3)>3,也就是说所有自然数不能仅由三个整数的立方和表示。但是退而求其次,哪些数可以由三个立方数表示呢?数学家们希望有像“费马双平方和定理”、“勒让德三平方和定理”这样的定理来引导人们,但是目前为止还没有。
 
接下来我们要步入主题了!
 
所有不为9n±4型的数都是三个整数的立方和吗?盖伊书中写道:1992年,他对所有小于1000的数用计算机搜索后发现,除了下面(标红部分截止2019年3月都还没有被解决)表中的数以外,对于其他小于1000的数都找到了这样的表示。
 
 
 
 
在1993年5月25日的一封电子邮件中,Andrew Bremner告诉盖伊有:
 
75 = 435203083³+(-435203231)³+4381159³
 
Conn和Vaserstein发现了
 
84 =  41639611³+(-41531726)³+(-8241191)³
 
后来人们找到了(上表标黄部分)
 
30=(-283059965)³+(-2218888517)³+2220422932³
52=60702901317³+23961292454³+(-61922712865)³
110=109938919³+16540290030³+(-16540291649)³
195=(-2238006277)³+(-5087472163)³+5227922915³
290=426417007³+2070897315³+(-2076906362)³
435=4460467³+(-4078175)³+(-2755337)³
444=3460795³+14820289³+(-14882930)³
452=(-2267462975)³+(-3041790413)³+3414300774³
462=1933609³+(-1832411)³+(-1024946)³
478=(-1368722)³+(-13434503)³+13439237³
 
2007年,Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有找到解的剩下:
 
33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975
 
2016年,Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有找到解的就剩:
33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
 
最近,由Booker Andrew提交了一篇论文"Cracking the problem with 33",论文中找到33这个文章开头的结果,由Browning公之于众。我们可以看到每个元素都是10的16次方的数量级,要读出来应该快读到亿亿位了!
 
另外在数学节目Numberphile中,Timothy Browning做了一期名为“The Uncracked Problem with 33”的问题介绍,可惜目前没有中文字幕。可以从论文"Cracking the problem with 33"的摘要与论文标题看出Andrew Booker写这篇论文正是源于该视频。
 
也就是说到目前为止,100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了!
 

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如何合理的摆放煎饼

 

原文作者,Jehu Peters,高中数学教师。

翻译作者,巴特,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,333。

 

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无论你是否相信,我觉得你一直以来用平底锅做煎饼的方式都是错误的。现在请注意了,我要谈谈该怎么样在你的平底锅中合理摆放每一张饼。首先可以把你的锅想象成一个大圆,每一张煎饼是一个放在锅里面的小圆,假设每张煎饼是一样大的,我们怎样安排才可以锅的空间尽可能物尽其用呢?

    显然,把煎饼铺满整个锅是很简单的情况。这样的一张煎饼将会铺满锅中的全部面积。如下图所示:

 


    但是或许你并不想吃这么大的煎饼(在我家叫做可丽饼)。那么如果考虑每锅两到三张饼的情况呢?那么在锅中如何摆放它们才能使每张饼尽可能的大一些呢?


    对于两张饼的情形,应该这样做:

    这并没有很好的利用空间。平时你可能从来没有过一锅做两张煎饼(除非你的面粉用完了),因为这很明显在顶部和底部浪费了很大的空间。这口锅都在求求你再加一张煎饼吧。所以你可能会放三张煎饼,然后摆放成这个样子:

 


    经过一番仔细的计算会发现一锅两张煎饼的情况只利用了50%的面积。而一锅三张煎饼利用了64.6%的面积。这确实是一个很大的进步,可能这也许就是没人一锅做两张煎饼的原因吧。但是如果我们一锅做更多的煎饼呢?
    一锅做四张煎饼的最优摆放是这样的。

 


    这样利用了整个锅面积的68.6%。如果你不是出于从数学角度对这个问题感兴趣的话,应该不会尝试一锅做更多煎饼的情况了。多做的第四张饼只将空间的利用率提高了4%,这张饼多的一点都不划算。

    然而,一锅四张煎饼是非常有意思的情形,因为这样利用的面积居然比一锅五张饼还要大!

    如上图所述的一锅五张煎饼的情况只利用了68.5%的面积!而六张饼的情况还要糟糕一点。


    实际上六张饼只覆盖了66.7%的面积,因为锅中间有一大块空间空了出来了,这是一种很糟糕的选择。但是当我们实验到幸运数字7的时候覆盖的面积有了大幅度的增长:

    上图中,有77.7%的面积被覆盖了。所以如果你想用锅做小煎饼的话,一锅七张是很不错的选择。但是我认为到这里这个问题作为煎饼问题已经没什么意义了,因为每张饼也太小了吧!


    如果你还想继续的话,也可以在锅里放61张一样大的煎饼覆盖81.3%的面积。看起来还是很好看的:


    只不过这时候你的一张煎饼更像是一个斑点。


    总而言之,一锅四张煎饼要比一锅三张煎饼更好。虽然直觉告诉你一锅三张煎饼要比一锅两张煎饼好,但是恐怕你之前并没有继续往下试试看。所以好好练习一下一锅烙四张煎饼的技术吧。如果你需要一次做一大批比如六十张煎饼的时候,一锅四张煎饼的方法会比一锅三张煎饼要少做了五锅呢。你看,数学就这么帮你节省了几分钟的时间。不用谢!

 

更新:


    我的一位在瑞典读者告诉我,在他们的国家,他们有时候会做一种很小的但很好吃的饼,他们称之为瑞典薄煎饼,你知道他们用一锅几张饼的方法吗?


    我想之前我不应该那么快就断言一锅七张饼这种方法做的饼太小了而没有实际用途。真是非常有趣的文化联系!

 

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世界太可怕!有人说微积分原理是错的

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有朋友在群里发了网易新闻的一个连接,问我数学界是不是又发生大事了?我定睛一看,果然大事。

 

 

原来我微积分的基础理论被颠覆了,并被另外一个中国人重建了。连接中提到丁小平是这样的介绍的:

我国数学家丁小平在微积分研究领域取得的成果值得关注。2018年8月,《中国科学报》分两期刊载了长文《由“数学大国”向“数学强国”迈进始于重视数学》,该文对丁小平所做的工作进行了报道。首先,丁小平以铁一般的证据系统地论证了现行微积分原理的错误;其次,指出人类长期以来建立不起来不含错误的微积分原理的原因,并重建数学的新数-形模型;最后,重建微积分原理。

我的第一反应不必理会,不就又是一位“民科”利用自媒体发声吗,网上多的是这种人啊。但后来,觉得不对了,不到一会儿,跟帖回复的数量就500+了。天呀撸,我最喜欢的柯洁夺得三星杯冠军,才300+的跟帖,国际数学家大会开幕的新闻,跟帖都是个位数。个人觉得,事情有点大了。

 

 

谨慎起见,我们要顺着文章的脉络梳理一番,找到《由“数学大国”向“数学强国”迈进始于重视数学》这篇文章。这篇文章分上、下两部分,分两次发表在《中国科学报》上,并同时刊发在科学网上(2018年8月13日、27日)。标题看上去没问题,看完上部分,似乎问题不大,说了数学的重要,用陆家羲的例子来说明中国数学要强调需要重视人才。但到下部分,画风突变,现在我们来截取一部分内容:

 

2011年10月11日,丁小平先生在《科技创新导报》发表了《关于现行微积分原理的再思考》。文章发表后引起了媒体关注,人民网等媒体以《杨振宁预言今成现实:中国惊现诺贝尔级数学成果》进行了报道。......,越是获得肯定,丁小平先生越是谨慎,他就自己研究的问题与微积分研究领域的院士进行了细致讨论,以期避免研究上可能出现的失误。

2015年12月,丁小平先生在《前沿科学》上发表了《浅谈现行微积分原理的错误》;......,2016年12月、2017年9月,《前沿科学》又陆续发表了丁小平先生的《略论作为微积分原理完善的实变函数》与《微分之讲授》两篇论文。文章指出了实变函数理论中的根本性错误,以及在普及新数—形模型之前应如何正确讲解微积分原理的思路。

 

 

继续查找《浅谈现行微积分原理的错误》这篇文章,果然,果然。套路都一样,拿着对微积分理论的一(故)知(意)半(曲)解,来了一次典型的“民科式”的傲慢批判。有兴趣的搜索标题可得。

 

 

然而,各个媒体已经转载开了。

看不下去了……

看不下去不仅因为这些“民科”论文,还因为为他写文章的背书各个教授们——如假包换的教授们啊。

我们看不下去,还因为这些中招的媒体:人民网、中国科学报、科教新报、中国日报……——在人们心目中证照齐全的严肃媒体啊。

 

——太可怕了,太可怕了!

 

好在这回网友们体现的素质比以上的那些高多了,他们的回复大致都是这个调调:、

 

——希望还在!

 

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2019年QS世界大学数学学科排名公布

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近日,QS官网公布了其2019年世界大学排名,同时公布了5个学科大类,48个学科小类的学科排名,我们哆嗒数学网依然只是关注数学学科的排名。

 

哆嗒君温馨提示:任何排名根据其排名方法都不能直接对应成学科实力,都有争议。不过我们队关于排名的讨论都持开放态度。

 

 

 

数学学科排名方面,美国院校依然霸榜,占据前十名中的七个席位。另外英国占据两席,最后一个席位被瑞士的一所学校占据。第一到第十分别是:麻省理工学院(美国)、哈佛大学大学(美国)、斯坦福大学(美国)、普林斯顿大学(美国)、剑桥大学(英国)、牛津大学(英国)、加州大学伯克利(美国)、苏黎世联邦理工学院(瑞士)、加州大学洛杉矶分校(美国)、纽约大学(美国)。

 

亚洲方面的前十排名中,来自中国的高校占据了其中6个,其中3个来自内地,3个来自香港。来自新加坡的新加坡国立大学排名第一,总排名13名。北京大学和日本的东京大学排名并列亚洲第二,总排名并列20名。第三到第十的高校分别为:清华大学(中国内地,25名)、香港中文大学(中国香港,28名)、京都大学(日本,并列36名)、香港科技大学(中国香港,并列36名)、上海交通大学(中国内地,42名)、香港大学(中国香港,并列45名)、首尔国立大学(韩国,并列47名)。

 


中国高校共有40所大学进入榜单。其中内地高校28所,香港高校和台湾高校各6所。在中国的高校的排名中,排名第一的是北京大学,世界排名并列第20名。清华大学和香港中文大学分列第二和第三位。哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

 

 

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奥数不应该受如此打压

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本文原载于2019年2月27日《环球时报》上,原文标题《奥数不能功利也不能不给力》。由于篇幅受限,《环球时报》上刊出的内容有所删改,现将全文完整版发出。

 

第11届罗马尼亚数学大师赛(RMM)于25日于闭幕。美国代表队获得三块金牌,俄罗斯代表队获得两块金牌。而参加本次比赛的六位中国选手中最好成绩为15名,并获得了银牌。而中国队的团体成绩为第六位。

 

罗马尼亚数学大师赛被认为是中学生数学奥林匹克竞赛中难度最高的一项赛事,也是我国以国家队名义组队参赛的 3 项中学生数学国际赛事(IMO、RMO、RMM)之一。我国自第二届开始组队参加,由每年数学冬令营(CMO ) 中团体第一、第二的省份组队参赛,今年由上海组织队员参赛。

 

而据笔者了解,这次美国在RMM中派出的是二队上游选手,其他国家派出的选手大多是一线选手。中国本次是由上海的学习组织参赛。相当于中国队用省队于别人的国家队比拼,自然有些劣势。而且中国历年参加RMM的成绩都不是很突出。2016年的成绩更差,仅有1枚银牌,排名12位。

 

这算是的小众比赛,本来只有圈内的人关注。而且还有更差的2106年垫底,2016年也没这样引起如此大的关注。怎么会有这么热烈的讨论呢?笔者认为,之所以此次RMM的成绩在国内引起很大关注,很长程度上也是因为中国代表队已经连续4年没有拿到号称“数学世界杯”的国际中学生数学奥林匹克竞赛(IMO)冠军,自1985年首次参赛以来,中国从未经历如此长时间的冠军空窗期。再加上这四年当中,有三年的IMO冠军由美国获得,此次RMM又是美国压过了中国。在近来中美科技竞争的大背景下,这自然刺激了国人的神经。

 

过去30年,中国之所以能够在奥数竞赛上披荆斩棘、所向披靡,一个很大的秘诀是采用国家集训队这种方式,依靠一套完善的选拔体制选出数学技能较好的学生集训,提前准备比赛,让学生在比赛中能够有较好发挥。和很多人认知不同的是,美国在2000年之后也是IMO的传统强队,在比赛中经常能进前三,但始终无法撼动中国的霸主地位,所以普通大众没有关注他们。后来,他们吸取了中国的经验,强化集训队,聘请中国教练去辅导,甚至吸引国内比较优秀的学生去美国上高中。2015年,美国在IMO上刷新20多年未得总分第一的空白,外界当时以为是偶然,这几年来看,美国的实力的确已经整体变强了。

 

 

 

客观地说,只要IMO成绩没有掉出前三,中国队依然是奥数强队。个别奥数竞赛不能得到冠军,天也塌不下来。但笔者真正担心的是某些人对奥数学习赶尽杀绝的林林总总的手段,可能误导社会大众,导致包括数学在内的基础学科人才培养热度的降低。

 

奥数对教育的负面影响,各方面的论述不少。在曾经的加分与保送的诱惑下,很多学生学奥数可能不是因为真正对数学感兴趣,而是把奥数当做名校敲门砖,不少曾在奥数比赛上取得好成绩的学生,后来并没有走上学术路,而是走上了华尔街,让学奥数丧失了其初衷。

 

 

一种观点认为,奥数与一个国家的数学水平没有必然联系。而据笔者观察,以数学界的最高奖四年一届菲尔兹奖为例,近20年几乎每届都有一两位获奖者有IMO获奖经历,呈现正相关关系。很多对数学感兴趣的人,会以奥数为试金石,选择数学作为自己的终身职业。2006年菲尔兹奖得主陶哲轩就在公开场合表示对IMO的支持,他认为IMO的竞赛一方面给了青少年切磋数学的机会,另一方面也能促进交流。

 

现在国内的奥数成绩之所以没有没有体现在菲尔兹奖上,很大程度与中国数学整体底子较薄有关,毕竟诺贝尔的自然科学科方面的奖我们也才得了一个。这些都说明在基础学科方面,之前我们差的很远,现在仍然在追赶。然而,要成为数学或者科学强国,我们还需要积累,依然在路上。

 

 

一个好的现象是,从最近几年的趋势看,已经有越来越多奥数高手留在数学界。比如,奥数届内的巨星级人物“韦神”韦东奕、“恽神”恽之玮等。就是说,这些人会以学术上的成就为自己的毕生追求,这是中国社会整体向前发展的结果。

 

数学是自然科学之母,数学的发展与培养不仅在学科内部影响巨大,任何一项科技的运用和实践都与数学有关。现在,但凡时髦点科技词汇,诸如人工智能、大数据、5G通讯、无人驾驶……,背后都有一套高深的数学支持其运转。

 

国家建设初期,整体国力较弱,大学和社会中需要的是能马上转化并应用的成果,基础学科没有应用学科受到的重视大,这可以理解。而到了当下这个阶段,当所有可以引进和转化的资源慢慢转化殆尽的时候,薄弱的基础科学就可能成为创新的瓶颈。中国要发展,就必须培养一批甘坐基础科学冷板凳的人,而奥数就应当成为培养孩子对基础科学兴趣的阵地。

 

对“减负”和奥数的关系,社会上以往有很多讨论,但并没有讨论出一个很好的结果。而我们应该看到的是:首先,奥数之所以在过去呈现出一些功利性,是因为很多家庭有通过某种竞争关系实现阶层流动的需求,而普通学习和竞赛等途径对他们来说性价比最高。的确随着社会分层的加剧,形成了有钱人接受辅导班培训,没钱人学不到就吃亏的现实,甚至一些“天价辅导班”的出现影响了这种教育公平,但奥数本身不应背这种“破坏公平”的“黑锅”,也背不起。

 

另外,网上有人拿着个别题目抨击奥数摧残下一代。但这些题目很多都不是奥数题目,甚至根本不是数学题目,而是脑筋急转弯题目。它们被一些不良商人或者水平低劣的老师编进了奥数教材,这个“锅”也不应该奥数来背。相反,我们更应该普及数学,提高大众数学素养来帮助大众以及部分教师识别这种“伪奥数”。而奥数中有很多有趣味的问题,执行这种功能反而非常合适。

 

我们再来看,实际上取消了奥数加分以后,很多学生依然在学奥数,奥数的热度并没有实质上降低多少。这是因为奥数中的确有很多实实在在的数学技能,能够学到很多在课堂中学不到的东西。这些技能就会反映在学校学习当中。实际上高考中难度高一点的题目,或者高校自主招生中的题目,就有奥数的影子。况且学校也不傻,奥数比较好的学生,学习能力一般也比较突出,这也是学校愿意选择奥数好的学生的原因。所以,只要人类社会对数学的需求在,只要选拔制度在,对奥数之类的课堂外的数学学习需求就永远在。

 

以往学奥数有很强功利性,这种功利性应该被挤掉。我们应该考虑的是如调整、改良奥数,让奥数健康发展。但调整和改良并不意味着,从“全民奥数”那个极端,走向全民把奥数当“洪水猛兽”这个极端。

 

国际顶尖的奥数比赛一来是国际交流活动,二来也是顶尖人才切磋试金的机会,是选拔培养优秀人才的途径。现在有些地方将传统奥数竞赛叫停或整改。过去从小学直到高中的一整套比赛体制慢慢被瓦解,只保留几个最核心的赛事。这样“一刀切”,对数学人才的培养并不是好事。

 

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热议!中国奥数无缘罗马尼亚大师赛金牌

 

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昨天晚上,我们哆嗒小编发了一条消息,内容如下:

刚刚的2019年罗马尼亚大师赛(RMM)惨败,该赛事被称为中学生数学奥林匹克竞赛中难度最高的一项赛事,也是我国以国家队名义组队参赛的 3 项中学生数学国际赛事IMO、RMO、RMM之一。这一次中国居然下滑到第六,一块金牌都没有得到!美国队五个人当中有三枚金牌,差距已经明显拉开!

 

 

应该说,这条微博的措辞还是可能欠妥的,这里澄清一下。

第一,单论成绩本身,说惨败和下滑有点过于严厉。因为这不是中国代表对参加此项赛事的最差成绩。2016年,中国代表队参加此项赛事,同样没有金牌,最好成绩仅一枚银牌,团体成绩第12名。这回中国队4枚银牌,总成绩第6,不算最差。

第二,有人说中国派6人,美国5人,美国让一人,中国的总分依然落后。这个是不对的,RMM总分计算规则比较“奇怪”:首先参赛选手编号1-6,然后在编号1-5里取成绩最好的前三计入团体成绩。这回,中国对前三名都是35分,但是有一位选手的编号是6所以不计入总成绩,而把第四好的31分计入,总分101分。美国队总分117分。

第三,还是有人认为是惨败,原因是以往中国队都是派某个省队参加RMM,参赛选手水准参差不齐。这回虽然也是省队——上海队,但是上海一直是中国顶端奥数最强的地区之一,这回派的选手至少5个是国家队成员,堪称历次最强阵容,但成绩不理想。

但消息发出后,引发的讨论很有意思,大概分为几类:

1、 认为现在推行的快乐教育造成教育水平降低。
2、 认为是好事, 不能为几十个精英让几亿人陪着玩。
3、 认为学数学应该是兴趣,金牌不要太看重。
4、 认为无所谓,没见奥数好的工作后为国家贡献多少。

亲爱的哆嗒数学网的读者们,你们怎么看呢?

 

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证明所有的代数数构成一个数域的优雅初等证明

$p(t)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}+t^m$

 

$q(t)=b_0+b_1x+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+t^n$

 

其中每个$a_i,b_i$是有理数,$a,b$分别是$p(x),q(x)$的根。

 

如何证明$a+b,ab,a-b,b/a$(分母始终不为零)是某个有理系数多项式方程的根?

 

就$a+b,ab$比较麻烦。

 

提纲:

1、 抽象代数证明

因为 $Q(a,b)$是有限扩张,所以是代数扩张,所以$a+b,ab$都在这个扩域内,所以是代数数。

缺点:对大部分人来讲,抽象代数的概念过于高端。而且是存在性证明。没法指出$a+b,ab$是哪个方程的根。

 

2、 一般高等代数数的初等证明

设$\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_m$和$\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_n$是分别是$p(t),q(t)$全部根。于是合在一起是$p(t)q(t)$的全部根。

于是$r(x) = \prod\limits_{i}^m\prod\limits_{j}^n(x-\alpha_i-\beta_j)$。 把$r(x)$看成$\alpha_i,\beta_j$的对称多项式,所以展开后每个$x^k$次方的系数也是对称多项式。把这些对称多项式用初等对称多项式表示,韦达定理对照$p(t)q(t)$的系数。而$a+b$为$r(x)$中的一个根。

$ab$把$-\alpha_i-\beta_j$换成$\alpha_i\beta_j$同理。

 

缺点:过于暴力。如果要找具体的方程,过程似乎不太优雅。

 

方法3 推荐的优雅做法。

设$A,B$的特征多项式相应为$p(t),q(t)$。比如用相伴矩阵

$A = \left(\begin{matrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots&0&-a_{1}\\0&1&\dots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-a_{{n-1}}\end{matrix}\right)$

 

定义运算$\otimes$,对于矩阵$C=(c_{ij})_{m\times n}$,$D=(d_{ij})_{p\times q}$

$C\otimes D = \left(\begin{matrix}c_{11}D&c_{12}D&\dots &c_{1n}D\\c_{21}D&c_{22}D&\dots&c_{2n}D\\\vdots &\vdots &\ddots  &\vdots \\c_{n1}D&c_{n2}D&\dots &c_{nn}D&\end{matrix}\right)$

 

就是把矩阵按$C$中数字倍数放大$D$然后拍成一个更大的$mp\times nq$矩阵。这实际上是张量积,可以不强调这一点,看成一个矩阵拼图游戏。

 

那么可以证明$A\otimes B$的特征值有$ab$,$I_m\otimes A + B\otimes I_n$的特征值有$a+b$

 

业余数学家发现最小万有覆盖

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,Math001,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

 

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菲利普·吉布斯并不是一位专业的数学家。因此每当他希望深入探究一个问题时,他便会去找那些即便是一个业余的数学家也能有所作为的题目。他的发现非常具有挑战性,甚至可以让那些思维最严谨的人为之疯狂。吉布斯在今年年初完成的一篇论文里,对一个将面积的测量精确到原子尺度的百年难题取得了重大突破。


法国数学家亨利·勒贝格在1914年寄给好友朱利叶斯帕尔的信中首次提出这一问题。信中提到:能够完全覆盖大量其他形状(它们的直径都是1个单位长度)且面积最小的图形是什么?


在那以后的一个世纪里,勒贝格的“万有覆盖”问题便诱发出一波思潮:自从它被提出后,对于这个问题的探究呈现出令人惊讶的进步。吉布斯的改善相比之下更为可观,尽管我们仍需仔细研究才能发现。


想象一下:在你的地板上放上一打大小形状各不相同的剪纸,现在你被要求设计出另一个大小刚好,并且能够完全覆盖那些剪纸的一个形状。通过叠加和旋转这些形状,你完全可以凭感觉找到你的解决方法。但是当你找到了这个“通用”的覆盖,你如何知道他就是最小的那个呢?你可以想象出:一整天都面对着你构造出的形状,在这里或那里发现一点可以修剪的地方。

 

这就是勒贝格“万有覆盖空间”问题的灵魂所在,它所考虑是其内部任何两点相距都不会超过一个单位长度的形状。单位圆是最明显符合这一条件的;当然也有许多其他符合条件的形状,对于初学者来说,可以举出:等边三角形、正五边形、正六边形以及由三段弧所组成的曲边三角形(勒洛三角形)等例子。这种形状的多样性使得我们很难找到它们的最小覆盖空间。

 

 

收到勒贝格的来信后不久,帕尔意识到正六边形是一个万有覆盖(边长为1/sqrt(3),其中sqrt表示开根号)。之后他又做了一些改进,他发现当他从六边形上切下两个不连续的角所得到的形状面积更小,但仍是一个万有覆盖。


“取一个新的六边形,把它放在原来的六边形上面,将新的六边形旋转30°,这样你就能切下两个角;这就是帕尔的方案。”吉布斯说道。


在接下来的80年里,另外两位数学家在帕尔的万有覆盖上做了进一步改进:1936年罗兰·斯普拉格去掉了某个角附近的一部分;1992年汉森从右下角和左下角去掉了两个小的微乎其微的部分。汉森的面积节约方案示意图可以让我们知道它节约了哪部分,但是这难免会让我们对其节省的面积大小产生误会:他所截去的部分是0.00000000004单位面积大小。

 

.
“你不可能真的把这些碎片画出来,因为他们都是原子大小的。”约翰·贝兹,一位来自加州大学河滨分校的数学家这样说道。


2013年,贝兹在他颇受欢迎的数学博客上写了一篇关于勒贝格万有覆盖问题的文章,并在文中把这个晦涩难懂的问题表述地使人通俗易懂。他承认自己被这个问题所深深吸引,就像人们饶有兴趣地看着昆虫在水里扑腾一样。


“我对这个问题的兴趣甚至有些病态,”贝兹写到。“我不知道这个问题为何重要,我也看不出它与其他那些美妙的数学有任何联系。只是,可能和你一开始所想的相比,它似乎难得令人惊讶。我很佩服探究这一问题的人,就像我很钦佩那些决定滑雪横穿南极洲的人。”


菲利普·吉布斯从没滑雪穿越南极洲,但他读过贝兹的博客。当他看到勒贝格万有覆盖问题的帖子时,他想:“那正是我苦苦搜寻的东西。”


原子剪刀


小时候吉布斯就梦想着成为一名科学家。他在剑桥大学获得数学学士学位,并在格拉斯哥大学荣获理论物理学博士学位。然而在此后不久他便失去了学术研究的热情,转而成为了一名软件工程师。他曾从事船舶设计系统、飞机控制系统以及金融系统等,直到2006年退休。


吉布斯仍保留着对学术问题的兴趣,但作为一名非专业研究人员,他能做的屈指可数。“作为一名独立科研人员,我很难跟上当今科学发展的进度,”他说道。“但如果你找到了合适的问题,那么你就可以进行一些探究,并得出一些有用的结论。”


勒贝格的万有覆盖问题正是这样的问题,它从未引起数学家的太多关注,所以吉布斯觉得他可以在这个问题上有所作为。他也意识到可以运用自己的编程基础来增加自己的优势。“我经常寻找那些可以运用计算机来进行数学实验的问题,”他这样说道。


2004年,吉布斯对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟,模拟的结果表明了他也许能在之前的最小覆盖面基础上再去掉顶角附近的一些区域。随后他将这个想法展开,并证明了新的覆盖对所有可能的直径为一的形状都适用。吉布斯把他的证明寄给贝兹,后者则与他的一名本科生卡琳·巴格达萨恩一起帮助吉布斯将他的论证进一步修改成更正式的数学形式。


他们三人于2015年2月将他们的论文发表在网上。文中,他们把最小万有覆盖面从0.8441377减少到0.8441153单位面积。尽管减少的部分只有0.0000224单位面积,但这却几乎是汉森在1992年减少的面积的100万倍!


吉布斯确信他可以做得更好。在十月份发布在网上的一篇论文中,他又从原有的覆盖面上剪掉了相对较大的一部分,从而把整体面积减小到0.84409359单位。

他的策略是将所有直径为1的形状移到他早些年发现的万有覆盖的某一角,然后把对角部分剩下的任何区域都去掉;然而从节省面积测量的角度来说,却是非常精确的。吉布斯所运用的技术都源于欧式几何,但为了让每个高中都能看懂,他需要确保每一步都十分精确。

“从数学角度来说,这只是高中几何难度,但是它几乎让人为之疯狂。”贝兹这样写到。


如今,吉布斯仍保有“发现最小万有覆盖”的殊荣,但是他的位置并不牢固,他相信任然有更小的万有覆盖以待我们发现。对贝兹来说,他则希望吉布斯所带来的对勒贝格这一问题的新关注能够激发其他数学家的兴趣,从而进一步完善并丰富现代数学技术。


“解决这个问题可能会涉及到非常不同的想法,”贝兹说道。“尽管我不知道这些想法具体是哪些。”

 

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盘点娱乐圈和数学有关的装X失败

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最近某演员的“学历门”事件火了。这位演员晒出其博士后录用函后,广大硕士、博士网友门没有查到该演员的相关论文。于是,所有人都开始质疑其学历的含金量以及获得学位的程序是否公正的问题。

平心而论,这位演员在各个影视作品的表现还算小有所成,有没有这个博士学位根本不会影响他在娱乐圈内的发展。自己发个博士学历的微博无非就是吹吹牛X,得瑟得瑟,满足一下自己被捧为学霸的快感而已——这种事情很多人做过吧。但他忘了,这些做学术的博士们其实是非常较真儿的人,他们用学术上的严谨态度和求证方法把这位演员搞得狼狈不堪。

其实,娱乐圈内用“学习好”标榜一些东西是屡见不鲜的。其中,因为数学学科难度大,学科知名度高,所以用数学来装X获得的更多的“膜拜式”关注,于是不少艺人、节目就利用数学来装X了。但俗话说,没有金刚钻,不揽瓷器活。这些利用数学装X的活动,也有玩脱靶的时候——装X未成,吐槽遍地。

 

以下便是哆嗒数学网小编为你整理的五个著名的数学装X失败事件!

 

No.5 《奔跑吧,兄弟》:关晓彤因会解二元一次方程被封学霸。

《奔跑吧,兄弟》是一款竞技真人秀节目。参加节目的明星们会被要求解出一些谜题通关。其中有不少是数学题。第一季,因为“0”是不是自然数的问题,而引发讨论。不过情有可原,因为只是不同时期的规定而已。

而第六季,因为关晓彤解出一道简单二元一次方程,而被其他人用膜拜的眼光看着,字幕还不断暗示关晓彤的数学有多好,第二天“学霸关晓彤”还上了热搜。这个的吐槽显然超过了上一个……

哆嗒君点评:这个事情关晓彤本人也许有点无辜,毕竟这个“学霸”不是她自己封的。就公开的资料显示,关晓彤的数学高考能上130+,应该说能到这个分数的人,数学水平已经超过绝大多数普通人了。槽点在于,因为解出每个初中生都会的题目,就被其他人捧为学霸,——本来是想秀某人有多好,却变成了秀其他一大票人是有多缺智……


No.4 电影《少年班》:用占卜算卦解出数学题目。

 

《少年班》是一部青春片。这部由孙红雷、周冬雨参演的电影在豆瓣的评分在5+左右,应该说是一个不好评分。

电影中有个剧情是,主角们需要现场在黑板上解出一道题目,才能有资格参加一项国际大学生的数学竞赛。而所有主角都在题目卡住了,参加竞赛的前景突然暗淡了下来。仔细辨认题目,题目差不多是要证明卡莱曼不等式,的确是有竞赛考过,这个X装的不错。

但是,解决这个问题的过程是:其中一位主角拿出他的“文王金钱卜”,在教室里算了一卦,根据卦中指示解出了题目,少年班的主角们瞬间翻盘!

哆嗒君点评:可以理解编导组设置这个剧情的初衷。一些高智商人总有一些让人无法理解觉得神奇的行为方式。但无论科学还是数学世界里,这种迷信的神神叨叨的东西干扰工作是最被人反感的——最后没人觉得这个人神奇,剧情过于无厘头。


No.3 《非诚勿扰》:证明了哥德巴赫猜想

 

《非诚勿扰》是国内最著名的相亲节目了,节目引发的大讨论不少。

 

有一期,有一位36岁的男嘉宾自称从七岁开始迷恋数学,自认为是一个数学奇才,并且声称证明了哥德巴赫猜想。而自己最大的愿望是当一名数学老师,这样能把数学的优雅和美丽传播给下一代。节目组说无法判断男嘉宾证明的对错,呼吁专业人士或机构帮助其核验。

 

哆嗒君点评:失败点主要在于如果经常了解数学新闻,这为男嘉宾的路数是典型“民科”路数,却没有人指出——之前没有论文成果,一上来就说解决大问题。在现场还没人挑明这一点,反而在讨论“兴趣能不能成为工作”的问题。难以想象,如果这位男嘉宾成为数学老师,将传播什么样的数学给下一代。

 

No.2 电视剧《历史转折中的邓小平》:穿越的数学教材

 

《历史转折中的邓小平》是一部主旋律电视剧,讲述邓小平1976年至1984年的事迹。电视剧的第九集是讲教材改革的,里面出现的小Bug让人忍俊不禁。

 

剧情是说当时中国教材严重落后,需要重新编写。这时,需要从国外采购一批外国教材做参考。于是,就出现了下面的场景——主角拿着一本英国作者马修斯的《向量微积分》,感慨外国教育的先进。——等等,这本由斯普林格出版社的教材是其“斯普林格大学本科数学系列”中的一本,是怎么也是2000年左右出版的,难道穿越了?

 

这还不是最过分的,后面还有一个剧情。剧中一角色拿着黄澄澄的GTM的数学书(仔细辨认,可以辨认出是GTM73,《代数》(Algebra)),硬要说这本书是英国高中生物教材。

哆嗒君点评:把历史剧拍成穿越剧就罢了,可以忍。你把研究生的数学的GTM教材硬说成高中生的生物教材,你让那些还在数学专业里摸爬滚打的同学们情何以堪?


No.1 靳东:看了一些诺贝尔 数学奖得主写的小文章

应该说靳东还是有很多成功的影视作品。2017年,红的发烫电视剧《我的前半生》的主角贺涵的扮演者正是靳东。如果好好拍戏,在演艺圈内也是一位非常优秀的演员。

但是,靳东总喜欢标榜他有多喜欢读书,而且是读有文化、有内涵、有难度的书。在一次接受采访的时候,靳东如是说道:“因为要扮演外科教授,所以要了解很多比如肋骨和切口的位置,神经系统如何工作之类的学术问题,而牵涉的数学知识就会去翻阅‘诺贝尔数学奖’得主的小文章。”

这下,好玩了。无论你是了解诺贝尔奖,还是了解数学的各大奖项,都应该知道——诺贝尔奖里没有设置数学奖。数学的最高奖项也应该是菲尔兹奖、阿贝尔奖、沃尔夫奖之类。靳东的这一番发言,引发各路知识圈内的网友吐槽。于是有媒体评价到,靳东的“精英人设”就此崩塌。

 

哆嗒君点评:就用某网友的一句话——咱别装了行吗?

 

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计算蛋蛋的体积

原文作者:John D Cook

翻译作者,独行者,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,333。

 

 

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之前的一篇文章,我们已经知道如何用方程来拟合鸡蛋的形状。在平面上,我们有下列公式(1)

         

这篇文章的主要内容是为了求出鸡蛋的体积。通过将函数绕x轴旋转,我们可以由此求出体积。并且,我们还会把它和椭球的体积进行比较。


首先,将函数f(x)在区间[c, d]上的图像绕x轴旋转一周,于是我们便得到体积公式(2)

             

即使被积函数是关于函数f的平方,我们也能轻松地用积分求出来。因为在这个例子当中,如果我们将曲线的方程显式地表示为y关于x的函数时,函数表达式中会有开平方,从而消去了式子的中的平方运算符。因此,我们的体积可以求得(3)

接下来,我们将鸡蛋的体积和椭球进行比较。为了更容易看出两者之间的差异,我们现在将式子中反双曲正切函数用幂级数展开(4)。

   

那么,体积的表达式便如下所示(5)

 

 

 

我们会注意到,如果a=b=r,k=0,那么式子便会简化成一个球。该球半径为r,体积为4πr³。如果a、b不一定相等,但是如果k=0,那么,便是椭球的体积4πab²/3。

定律一:k对体积影响甚微。在上述级数中,k只出现在2次及更高次的项中。这表明在一阶近似时,鸡蛋的体积(假定形状遵循我们所给的公式,注意到|k|很小)便约等于一个拥有相同长轴和短轴的椭球的体积。另外,我们也注意到k只出现在偶次幂的项中。这一点与我们之前的直观判断一致。在前文中,我们认为改变k的符号仅仅表示将鸡蛋翻个身,并不会改变鸡蛋的体积。


定律二:如果展开到2次项,鸡蛋的体积和椭球的体积之间相差了一个k的二次函数。为了将一个椭圆变成一个鸡蛋的形状,你需要将一端变得平整,而另一端则要变得更尖。但同时还要保持长度和宽度不变,那么你还再要增加体积。你要在平整的一端增加出来的体积会比尖的一端失去的要多一些。

 


之后的文章将会讲解如何求鸡蛋的表面积。

 

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1956年春节大联欢:华罗庚看上去很帅气啊

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1956年,中央新闻纪录电影制片厂推出了一部纪录电影《春节大联欢》,这个可是现在“春晚”的前身。各界著名人士:老舍、巴金、周立波、杜鹏程、孙谦、陈其通、袁雪芬、梅兰芳、侯宝林、钱学森、华罗庚、郭沫若、荣毅仁、乐松生、郭兰英、张瑞芳、白杨、赵丹等参加了大联欢。

 

那个时候不是直播,实际上《春节大联欢》是一部记录电影,是录播。按现在的眼光,录播的晚会都被”剧透“得一干二净,应该没什么看头了。但你要知道,在那个年代你就算找遍十条街都找不到一台电视机,更别说什么利用移动app、网络新闻获知信息了。没有电视机,大部分都是通过社区、工厂、村委会等组织的电影观看活动看到的这部《春节大联欢》。所谓看电影,也不是现在那样,2d、3d影院随便挑,美美拿着爆米花和可乐,享受着最好的视听设备带来的娱乐体验。——而是,组织者找个平坦的露天坝子扯一块大幕布,用最简陋的电影机器关注投影上幕布。观众自带小板凳,端上一盅茶水,提前到场。先来后到,自选位置。所以,有的地方,这种电影又叫”坝坝电影“。大部分人,都是过完年,在坝坝电影看这部春节大联欢的。

 

 

我们是数学网不是?当然关注数学家。在这部剪辑过的90秒的视频里。钱学森被介绍时,介绍的头衔还是大家熟知的”空气动力学家“,实际上,鲜为人知的是,钱学森有着数学博士的学位,还写过一本《工程控制论》,控制论一般认为是应用数学的分支之一,所以说钱学森是应用数学家也不为过。

 

 

在郭沫若出场时,隆重介绍了华罗庚。华罗庚那个时候其实已经46岁了,但是在影片里看着非常年轻帅气。和网上看到的那位白发苍苍的慈祥老人完全是两种感觉。也许,用帅气的形象宣传华先生,能为数学招揽更多的粉丝呢。

 

 

视频中,无论什么人出场,介绍的头衔都非常简单。郭沫若也就称呼一句”先生“,巴金的头衔就是一位”老作家“,钱学森介绍的时候,就说他是”1955年回祖国怀抱的专家“。现在一些搞营销的,还不知做了什么,就一堆宇宙级头衔蹦出来,这些介绍不知道比他们朴素了多少倍。

 

在网上能搜索到这个《春节大联欢》的完整版,时常1个多小时。

 

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菲尔兹得主,分析领域最顶级专家Bourgain逝世

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根据比利时媒体12月29日释放的消息,比利时著名数学家让·布尔甘(Jean Bourgain)因病医治无效,于2018年12月22日在比利时某医院逝世,享年64岁。

 

 

布尔甘教授曾被认为是在世的分析领域最顶级的专家之一(有部分人认为,之一两字去掉也无妨)。很多其他顶级分析学家的成果,从某种程度看,就是布尔甘教授成果的推广或者延续。1994年,因研究巴拿赫空间、调和分析和遍历理论的成果"而获得菲尔兹奖。2000年,他用学界看起来神乎其技的手段将挂谷问题( Kakeya problem)与算术组合学建立起关系。布尔甘教授长期活跃在数学学术最前沿的研究战线,年逾六十仍然能发表不少顶级数学成果,并发表于数学领域的四大刊物上。

 

 

另外,布尔甘教授还获得过2010年邵逸夫数学奖、2012年克拉福德奖、2017年科学突破数学奖。

 

 

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北京大学2019数学专业数学分析试题及参考答案

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在绝大多数数学专业人士的眼里,北京大学数学系是国内最好的数学系。作为学生,也有很多人把考上北大作为目标。考研结束,我们在这里提供一下北大数学分析考研的题目和答案,为专业内有考北大打算的人们探探路。
 
另外,北大数学分析考试题目是典型的数学专业的考试。对于非专业的人们可以感受一下,同是微积分的内容,数学专业数学分析,和其他理工科的高等数学在思考方式上的不同。
 
 
这里说明一下,解答中所有关于积分换序都满足数学分析框架下换序的条件,但解答中没完全指明,考试的时候这种也许是得失分点,请读者自行把握书写尺度。
 
第二题,我们比网上流传的题目多了一个条件x(n)<y(n),如果没有这个条件令x(n)=y(n)=a,题目会变得非常平凡。
 
一些题目,比如第九题泊松积分的计算、十题一个经典积分的计算,如果利用复变的办法也许更简洁容易。但是,由于是数学分析的考试,我们尽量在数学分析的框架下完成,尽量避开超出框架的办法。但是第九题的泰勒展开,我们没能避开,希望读者能提供更好的办法。
 
很多题目来自徐森林、周民强、谢惠民的数学分析习题册的原型或者变形,这说明刷题对通过考试还是有帮助的。另外不同习题册对相同的题目也许有不同的办法,有兴趣的可以分别参阅比较。
 
题目解答由哆嗒数学网QQ群友贡献,在这里表示感谢,特别感谢小米和Mike Yu的贡献。我们的群号128709478 。
 
 
 
 
 

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美国数学会:2018十二大数学热门事件

 

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每年年底,美国数学会一如既往的在其网站上贴出过去一年的媒体热门事件。当然,这些事件是否热门,是从美国人视角看的。我们来看看,都有哪些吧。

 

以下内容改编至美国数学会的官网。

 

2018菲尔兹奖颁布

 

2018年,被人们视为数学最高荣誉的菲尔兹奖发布,四位数学界的顶级专家获得次殊荣,他们是:

 

贝尔卡, 英国剑桥大学。

费加里, 瑞士苏黎世联邦理工学院

舒尔茨, 德国波恩大学

文特卡什, 美国纽约大学

 

 

本届大会出现一个花絮,贝尔卡的菲尔兹奖牌在获奖后几分钟之内被盗,大会紧急重制了一个奖牌,并重新颁奖。贝尔卡自嘲道:“我是唯一一个两次获得菲尔兹奖牌的数学家。”

 

数学与选区划分

 

格里蝾螈(Gerrymandering)指专对特定某方利益设计并划分后的选区的手段。今年美国的中期选举引发了关于格里蝾螈的数学讨论。

 

甲壳虫乐队的歌是谁写的

 

喜欢摇滚的粉丝没有不知道甲壳虫的。甲壳虫乐队这地球上最成功的摇滚乐队之一。在某个夜晚,来自达尔豪斯大学的数学家詹森·布朗、哈佛大学的统计学家杰克·格里克曼前哈佛大学统计专业学生瑞安·宋,几位数学师生一起拆解了1963年到1966年甲壳虫乐队写的70多首歌——而且是用五种不同办法拆解。他们利用算法算出了,乐队成员约翰·列侬、保罗·麦卡特尼写出某些歌的概率。

 

新的三维形状扭曲棱柱

 

发表在《自然通讯》(Nature Communications)上的一篇研究显示,科学家发现了一个此前在几何学中或尚未被定义过的三维形状,扭曲棱柱(scutoid)。利用此形状,可解释大自然如何有效地将细胞包装成三维结构。此消息被各个科技媒体广泛报道。

 

谷歌庆祝高斯的诞辰

 

传奇数学家高斯上了谷歌搜索引擎的首页,这回是为了纪念他241周年诞辰。记住是4月30日!

 

如何掰断一根干挂面条

 

你有没有思考过这样一个问题。你拿着一根干的挂面条的两端,慢慢的掰弯它,直到掰断。这个面条为什么总是断成两截、三截,很少恰好是两截的。科学家们利用数学发现了如何确保断成两截的办法,并写成论文,发在四大名刊之一的《美国科学院院报》上(PNAS, Proceedings of the National Academy of Sciences)。

 

 

最大的素数

 

人类已知的最大素数的记录在2018年1月被刷新,这个素数有2300多万位,比上一记录多了100多万位。

 

数学家维拉尼的政治家生活

 

维拉尼是2010年菲尔兹奖得主。2017年,这位顶级数学家当选法国议员,开始了其政治家的生涯。我们哆嗒数学网的小编提醒你,2018年1月,法国总统访华的时候,维拉尼就如影随形,其夸张的装束,抢了不少镜头。

 

聚焦数学学科中的女性

 

今年,人们对女性在数学这一门学科的表现更加关注。在今年2018年国际数学家大会召开前,举办了第一届世界数学女性会议(World Meeting for Women in Mathematics,简称(WM)²)。

 

另外,不断有当代以及历史上的女性数学家的故事见诸媒体,其中有卡瑟琳·约翰逊、诺特、阿涅西、勒芙蕾丝伯爵夫人等。

 

 

如何将沙发搬上楼

 

美国的一个情景喜剧系列表演了一个利用搬沙发引发的爆笑故事。于是,针对这个的讨论在网上开始了。搬沙发问题背后其实蕴藏着数学。每到毕业季,搬家旺季,是利用这科普数学的好机会!

 

数学继续助力前沿医学研究

 

用数学进行医学研究的现象已经越来越多。本年度,关于用数学对抗癌症,用数学解释疫苗的防病机制,用数学建模细菌相互作用等相关文章引起广泛讨论。

 

π和圆周率数学节

 

每年3月14日已经成为数学粉丝们的固定节日了。这一天,连必胜客、麦当劳都会在这一天开展专属活动庆祝π节。当然也受到了各个媒体的关注。

 

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阿里巴巴数学竞赛决赛圆满结局!看看出题人都怎么说!

 

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阿里巴巴全球数学竞赛已经结束,组委会要求题目的出题人对各自负责的题目进行了点评。很多点评非常精彩,哆嗒数学网与大家分享一下。当然,没有下面的张益唐教授的点评——张教授会出现在最后决赛选拔出的大师班里当导师。

 

温馨提示,点开图片看大图,清晰版本可缩放。

 

 

数论与代数方向命题人之一Mihăilescu教授的点评

原文是英文,哆嗒数学网Math001翻译,Donkeycn校对

 

1、 这些题目背后涉及了哪些经典的数学知识?试图考察考生哪些⽅⾯的能⼒?

 

如果来说我出的这几道题目,除了一道题目外全是数论题目。我之前没注意到,这份试题还包括代数。出题时,我遵循了以下这些标准。

 

第一,我意识到一道题目要成为好题目必须能激发答题者的思考,包括好的数感、思考方向以及通俗易懂的想法,不能仅仅只是基础的书本知识。由于这个原因,如果仅仅只是基于代数中的一些经典结构或者数论中的经典技巧,从而一眼就能看出解题方法的,我会尽量避免。

 

我同样注意到另外一件至关重要的事情,就是只有准确的审题和正确的解题思路并不意味着题目的解决。这和我们的现实生活一样,很多时候,没有思路想法,你什么都做不了。但极少时候,你拥有一个想法的同时问题就解决了。我们还必须正确和专业地完成一些技术性的具体操作:这些工作没有创新性,但需要你的专业性和专注力。比如,挑选了一道看上去像丢番图问题的题目,但如果答题者能很快看出背后蕴藏的数域,用一些基础概念甚至都不怎么计算就得到答案——这对于一个好问题的评判是一个减分项。

 

最后,这些标准必须符合足够竞赛性标准,就是说,预估一下思考解题思路时间,技术操作的时间,实际考试中大概至少最好的前20%的考生能很好地完成题目。除了个别难题外,其它题目一定不要太难,也不能计算量过大。平衡这些标准需要一些尝试——我没有受过出试题的培训,当然,我出的这些题目来自我的讲座。

 

 

回到我出的题目:其中一道题目需要知道p-分圆域的基本概念,这是数论基础课程中的关于数域的初等例子。需要利用一些熟练的计算以及一些好的思路来构造你想要的矛盾。另外一个题目需要知道更多数域概念和应用技巧,需要把代数数论的导引课程中的三个不同章节的知识串联起来来完成题目。第三个题目需要知道一些p进数分析的知识,这大概是我出的最难的题目。但总的来说,所有这些题目,优秀的本科生都应该能作出解答。如果一位本科生认真地上完基础课程,然后稍稍向课外扩展学习一部分,都应该能做出来。

 

 

2、 决赛的出题思路和其他类似的数学竞赛有什么不同?比如和普南特数学竞赛、国际大学生数学竞赛(IMC),丘成桐大学生数学竞赛等赛事有什么不同?

 

 

这个问题我回答不了,我就只是出了三道题目。其他的不了解,无法评价。

 

 

3、 阿里⼤师班希望从决赛中选拔出什么样的⼈才?

 

回答第一个问题的时候,我已经表达了——解决题目需要思路与具体操作相结合,在数学中那个两者都很重要,缺一不可。无论你做什么,你需要思路,也同样需要具体技术和熟练度来实现你的想法。在高级课程中当然会优先挑选这样的人才。

 

4、 每道题目你花多少时间来出题,出题的时候你怎么考虑的?这些题目和你日常研究有关系吗?你怎么想出这些题目的?

 

非常不一样。总体来说,讲真,题目创作我大致用了一周时间,寻找题目的解题思路,不断打磨题目,使他们成为一个合适的竞赛题目。然后,在某个晚上,我把答案写了出来。

 

 

是的,题目和我的日常研究多少有些关系。我对自己的要求是,这些题目不能是某些教材和论文上题目原题或变形,毫不夸张的说,这些题目是原创的,有些思路一些同事在讨论的时候还很惊奇,居然这样也行。关于科研是这样的,当你全情投入的时候,原本的问题会派生成大量的相关问题,这些问题的答案对你的工作没有直接用处,但对问题更好的理解很重要。考试的时候,当你思考到能解决试题的时候,这种行为就需要被打断了。必须记住,一个人必须能够在一个小时内完成解答——而且有三分之一到一半的时间是在得到思路。

 

 

5、 进入决赛名单中有六分之一的人是已经毕业参加⼯作并且不再学习数学的⼈,如何看待并评价这一现象?你有何想法?(他们能解答你出的问题吗?他们适合做这些题目吗?)

 

对于这个问题不想说太多——为什么这些考生要特殊看待?他们了解这个考试是什么水平的,他们是被数学吸引来的,否则他们不会来参加,所以这不是问题。我觉得他们不必是做数学科研的!这样说不定还有小优势.他们依旧得回去工作,只是这里有更好的机会。

 

6、 这些题目对我们的日常生活有用吗?或者对我们生活中做决策有帮助吗?(更宽泛的,你可以谈谈你想谈的。)

 

 

是的,这是一个老生常谈的问题:我们为什么做数学。一些数学家经常反问:“为什么我们需要音乐?”,这也是一个聪明的回答。最近的研究表明,音乐对健康有诸多好处。排开这些,除了兴趣爱好和带来愉悦,音乐还有别的用处吗?对于数学以及精确表述事物的能力,我们通过训练如何提问来培养人们精确表述问题的能力。这些能力在诸多场景下,都非常有价值。但不是直接的价值,就像心法,只是一种能力。

 

假设你现在在接受一位最优秀的滑雪教练的关于滑雪的身体素质训练(译者注:和组委会核对,原文sky是笔误,应该是ski)。你充满动力,而且很好的完成了训练任务。但是,你家离最近的滑雪场也有2000英里远,你既没有钱也没有时间去进行一次真正的滑雪。那么这些滑雪训练对于你的人生是有用的吗?因为可能无法验证,你无法知道答案。虽然,在某个合适的时机,这些训练会派上大用场——毕竟,是一位优秀的教练教的——但是,仅仅是训练和实际上场区别是很大的。人们会说,当你上场的时候,你的大脑和身体必须在实战环境中做反应,你需要把练习中得到的经验与技能与实战环境联系起来。这其实是另外一种能力,一些人能很轻松的把理论知识和模拟练习的要点和实际操作联系起来,能很快提升。而另一些人,即便在训练中很得心应手,进入实战的时候也不顺利。这的确是事实。我认为,之所以造成这样的结果,原因是一些人在练习时,太聚焦于练习本身,只学习了刚好能完成练习的最浅显的知识。而另外一部分人从来不忘初心,当他们做练习的时候,永远把自己的目的放在心中最重要的位置。做到后者的确更难,但是却能将知识与实践更好地结合。而前者那些人迟早会遇到阻碍,因为实际情况永远不会的和练习时模拟情况百分百的一致,当遇到和练习时不同的情形而需要调整技巧的时候,这些人就可能遇到无法逾越的障碍。如果一直牢记这种与现实的联系,才能在遇到特殊情况时,有效的运用自己之前学到的东西。

 

从这个意义来说,我认为,做练习对日常生活是大有用处的。

 

如果可以的话,我也有一个问题。询问一些题目出题过程的背景和目的是什么,我觉得对赛事本身的提高帮助不大啊。或者说,我这样问:我是不是误解或者曲解赛事的背景和目的?

 

数论与代数决赛题目:

几何与拓扑方向命题人之一朱晨畅教授的点评

 

1、 决赛试题的用通俗的语言体系来说,是一个什么样的水准,要用到什么阶段的数学知识;

决赛试题是需要大学一到四年级所修的专科数学知识的。然后需要有融会贯通,和较强的逻辑思维能力,以及一些创新的灵感。
 

2、 相比于初赛,选手答决赛阶段的题更需要用到什么样的能力和知识?

相比于初赛,选手答决赛阶段的题更需要一些近代的数学知识,例如群论,微分几何,拓扑,等等。这些都是近一两百年,甚至上个世纪develop的近代数学思想。
 

3、 这几道题目的含金量如何?能否具体解释下这些题目的含金量?命题组花了多长时间来出?

这些题目的含金量是相当高的,就几何拓扑这个方向而言,第一道题用到Hopf fibration, 三维球面的handle分解,以及三维球面与SO(3)的关系。第二道目也是用到拓扑里面相当经典的基础知识,像是Lefschetz duality, excision theorem, long exact sequence for relative homology, universal coefficients theorem。 将这样的经典几何或拓扑知识如此巧妙的结合起来,这两道题可谓处处是金点,但又特别自然。所以是两道又漂亮,又经典的好题。


整个出题的过程是,我们自己先分别出好题,原题往往是和我们自己的研究方向有关的。是我们在平时思考问题的一些积累。有的甚至还真的是我们平时研究的数学问题的一个小步骤呢。然后我们将原题送小组讨论,大家试着解对方的题,以考察难度系数。然后给对方一些建议或方向,怎么样提高或降低难度。而且实际上,我们是有更多的题目的,然后从中选出四道,也是横向和其他小组比较的结果。这前前后后,大概有一个月的时间。

4、网传聂子佩、王彬等大神来参与,他们具体牛在哪?有什么厉害之处?这次比赛大概吸引了多少这样的大神来参与?

我知道的还有国外的大神,比如说得到IMC特别一等奖,并之前三次参加IMO的一位欧洲选手(请保密,欧洲人对这种消息是很个人的看法的,如果要公开,我可以问问此人)。所以应该是高手云集吧。 打一个比方,这就好像是华山论剑,真正的高手是会忍不住去论一下的。据说习武之人,有一个比武/修行/传道的渐进过程。对数学感到强烈共鸣的人,也是一样。开始都有参赛解题的欲望,然后随之而来会有理论上的提升,以及之后的教书育人。不是所有IMO的金牌得主都会成为Fields奖获得者,但在Fields奖获得者中,很大比例的都曾经有不平凡的数学竞赛的经历。

以我个人在数学里的经历,每个人的灵性,直觉,反应的速度,解题的准确度,对问题的透视能力,都是不同的。那些大神们,比平常人这些能力会强,甚至强很多。这样的能力从参赛解题会很明确的反应出来,尤其是好的题目,漂亮的题目。这些能力,有一部分是天生的,然后个人的长期的努力和专注也是可以提高这些能力的。然后呢,解出一道题目的快感是很大的,然后横向的比较,或者在其他选手中讨论共同的题目的共鸣的快感也是很大的。这样的感觉甚至是超过文化和语言的。

以上也许就是这些大神牛的地方,也是为什么他们乐于参赛的原因吧。所以我觉得阿里的这个竞赛唤醒了,或者重新激发了这些对数学有共鸣的人。希望这样有天赋的同学们,可以进一步从竞赛到修行,有一个提升的过程。这也许就是阿里大师班的深刻用意了!

 

几何与拓扑方向命题人之一某教授的点评。

 

问题:

 

这⼏道题背后涉及了哪些经典的数学知识?实际考察的是数学领域哪⽅⾯的能⼒?

 

决赛的出题思路和初赛以及其他数学⽐赛的有什么不同?

 

(决赛)⼤师班希望选拔出什么样的⼈才?

 

出题前后花了多长时间?是否有把⾃⼰平时研究的数学问题放到题⽬中?

 

初赛的⼊围名单中有六分之⼀是已经毕业参加⼯作的⼈,如何看待并评价这⼀现象?

 

决赛这些题⽬有可能怎样去指导我们的⽣活或者⼯作决策?

 

回答:

 

第一道题⽤用到Hopf fibration, 三维球⾯面的handle分解,以及三维球⾯面与SO(3)的关系。

 

第二道⽬目也是⽤用到拓拓扑⾥里里⾯面相当经典的基础知识,像是Lefschetz

duality, excision theorem, long exact sequence for relative homology, universal coefficients

theorem。 将这样的经典⼏几何或拓拓扑知识巧妙的结合起来,这是两道⼜又漂亮,⼜又经典的好题。

 

第三题,我们可以⽤用常微分⽅方程的知识放到manifold上来做⼀一些计算,相当于是⼏几何分析的⼊入⻔门功底。当然,也可以⽤用到⾟辛⼏几何中的Louville’s Theorem ,  避开计算,直接得到结果。两种办法都是⾮常棒的。

 

第四题,看上去有⾮常浓厚的离散组合味道。后⾯还有⼀个⼩故事呢:出题委员会的⽼师刚刚出初版的时候啊,⼤家都很喜欢染⾊剖分的主意,觉得很新颖很漂亮很有数学竞赛的味道。开始给的答案需要⽤到relative simplicial approximation。于是⼤家就有了争论了。⼀部分⼈认为这个很⾃然,simplicial approximation⼤家都熟悉,那它relative的version应该可以想到也是对的,⾄少直觉上很快的。另⼀部分⼈认为是如果真的查⽂献呢,这个倒是⼀个冷门结

果,⼀般的拓扑书中倒是没有,⽽且考试也并⾮开卷,不能上⽹查⽂献。第⼀种情况更像是以做研究的⼼态去考察参赛者,⽽第⼆种考虑的确是更稳妥更周到⼀些。于是在⼤家的互相讨论互相解读中,慢慢修改,终于得到最后这⼀版,是可以⽤经典的拓扑知识逐步解决的。

 

整个出题的过程是,我们⾃⼰先分别出好题,原题往往是和我们⾃⼰的研究⽅向有关的。是我们在平时思考问题的⼀些积累。有的甚⾄还真的是我们平时研究的数学问题的⼀个⼩步骤呢。然后我们将原题送⼩组讨论,⼤家试着解对⽅的题,以考察难度系数。然后

给对⽅⼀些建议或⽅向,怎么样提⾼或降低难度。⽽且实际上,我们是有更多的题⽬的,然后从中选出四道,也是横向和其他⼩组⽐较的结果。这前前后后,⼤概有⼀个⽉的时间。整个合作的过程,我们感到还是很愉快的,同时也甚⾄进⼀步了解了⼩组成员的research。

 

最后,选出来的题⽬,考察了同学们的对经典⼏何拓扑知识的了解,以及融会贯通的能⼒。决赛的出题思路⽐起初赛,更加偏向于受过⼤学专业基础并有活跃创新意识的同学。这也是我们对⼤师班⼊选同学的期待吧。

 

当我们听说⼊围名单中有六分之⼀是已经毕业参加⼯作的朋友们,我们对此感到很⼗分感动的。想不到,有如此多的⼈们竟然对数学是如此热爱,即便是参加了于数学研究不直接相关的⼯作,仍然将这么多的时间和精⼒,投⼊数学。作为职业数学家,我们是知道只有⼀个⼈对数学有⼗分的热爱,才能够达到这份境界。因为这个基本上是与你的前途,提升,没什么直接关系的。决赛的题⽬呢,我们也于是希望做到,有⼤学知识就可以解出来,然后有⼀些相关的research经验的,可以看出其中的门道和含义来。

 

⾄于决赛的这些题⽬是怎么样有可能去指导我们的⽣活或⼯作决策吧,我们这个⼏何拓扑组的题⽬可能真的是没什么真的联系,可能第三题会帮助在现实⽣活中算⾯积的时候多⼀个思路,⽆论是在⼯程中还是物理⼒学中。但是我们敢肯定,能好好解出这些题⽬的⼊选者,⼀定有很强的逻辑思维能⼒,以及⼀定的灵性。这样的⼈才,⼀定不可多得!

 

几何与拓扑决赛题目:

 

应用与计算数学方向命题人之一董彬教授点评。

 

 

1、 决赛试题的用通俗的语言体系来说,是一个什么样的水准,要用到什么阶段的数学知识;

 

题目水平相当于美国top 20高校博士资格考的水平,需要用到高年级本科及低年级研究生课程的数学知识。

 

2、 相比于初赛,选手答决赛阶段的题更需要用到什么样的能力和知识?

 

决赛更多考验的是学生对数学知识的灵活掌握,弱化技巧,强调理解,对不同应用数学课程内容的融会贯通。

 

3、 这几道题目的含金量如何?能否具体解释下这些题目的含金量?命题组花了多长时间来出?(通俗的说,就是我们的题目出的好,好在哪里?)

 

前后我们经过近一周时间,思考和对试题进行讨论。我们的目标是考验学生是否能够跳出书本上的内容,会用所学到的数学知识来解释一些更偏应用的问题,真正体会数学的有用之处。这和目前所有同级别的数学竞赛都不一样。当然,这也给命题带来了很大难度和挑战。

 

4、 网传聂子佩、王彬等大神来参与,为什么我们能吸引到这些人参赛?

 

我想除了阿里巴巴的盛名以及高额的奖金,那就是试题的挑战吸引了众多大神来一决雌雄。

 

应用与计算数学决赛题目:

 

最后,附上分析与微分方程的题目。

 

分析与微分方程的决赛题目:

 

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2019几何最高奖维布伦奖:中科大校友师徒与菲尔兹得主共同获得

 

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根据美国数学会11月19日日官网消息。三年一度的美国数学会维布伦几何奖得主宣布。获奖者为,陈秀雄、西蒙·唐纳森、孙崧,表彰他们通过在2105年在《美国数学会杂志》发表的三篇系列论文“法诺流形上的卡勒-爱因斯坦度量”I、II、III,解决了一个在微分几何领域长期存在的猜想。
 
 
值得一提的是,陈秀雄、孙崧本科都就读于中国科技大学。而后者赴美深造时,其导师就是陈秀雄教授。这次师徒一起获奖可喜可贺。
 
 
另外,西蒙·唐纳森为1986年菲尔兹奖得主,为相关领域的最顶级专家之一。
 
 
维布伦几何奖是美国数学会的一个学术奖项,表彰在几何或拓扑领域有重大研究成果的学者。该奖现在每三年颁奖一次,奖金5万美元。在业内很多人眼中,这个奖项是几何和拓扑领域的最高奖项。实际上,这个奖和菲尔兹奖强烈关联,比如丘成桐、威廉·瑟斯顿、史蒂芬·斯梅尔等菲尔兹得主都获得过该奖。另外,中国数学家田刚在1996年也获得过此奖。
 
 

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数学的傍晚:原来数学就是黑魔法!

 

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《世界奇妙物语》是日本的一部涵盖诸多元素的电视巨作。1990年开始播出,到今天都快30年了。在日本,一直有一群狂热的粉丝在追这部巨制。

 

除了正剧,《世界奇妙物语》还会拍摄特别篇。今天介绍的就是《世界奇妙物语》2018秋季特别篇之四——数学的傍晚!让我们感受一下,岛国娱乐圈是如何“吹”数学的奇妙的。

 

开头。

女主凛子是一位女学霸。一天,她骑车走在放学的路上。

 

 

突然,道路旁边窜出来一群不良少年,拦住了她,问她是不是学习好!受到惊吓的凛子只好承认!

 

不良少年们,终于暴露了他们的目的。他们拦截凛子的目的居然是,想知道什么是——同心圆。

……

 

 

于是,凛子只好就范,向他们解释同心圆是什么……

 

 

原来,这群不良少年有一段悲伤的过往故事……

这群不良少年本来是学校里的小混混。他们抽烟、酗酒、打架。而穿白衣的隆君就是他们的带头大哥。

 

 

他们感情深厚,情同手足。当然,作为学渣的他们,自然无法毕业,一直处于留级中……

 

 

但是,不知道怎么的,大哥隆君死了……

 

 

在悲痛之余,一个偶然的事情,让他们重燃的希望,他们见到一本记录能让人起死回生方法的黑魔法书。

 

 

但是,他们发现,根本看不懂,因为书上全是——数学!

 

 

于是,不良少年们请来凛子帮他解释书中内容。发现凛子还是懂不少的。

 

 

 

凛子向学渣们解释了什么是内接在圆内的五芒星……

 

 

然后,发现书中记录的居然是“鸡兔(猪)同笼”问题。

 

 

还有,浓度计算问题。

 

植树问题也出现了!

 

 

凛子发现要读懂这本魔法书,还需要微积分的知识。

 

凛子说,这超出自己的学力范围,也搞不定这本书。

 

 

搞不定的理由竟然是——自己是——文!科!生!(我们哆嗒数学网的小编不知道这样黑文科生好不好……)

 

 

没关系,不能放弃!

于是凛子向学渣们提出建议:“我们一起来学习吧!”

 

 

很快,他们知道了鸡兔同笼的数学本质。

 

 

解决了浓度计算问题后,他们懂得了为什么不要酗酒。

 

 

三角函数的知识让他们学会了走近路。他们更加理性,也不再打架。

 

 

当然,美好的爱情也如期而至!

 

 

连表白都用的数学!

 

 

他们的恋爱非常甜蜜,偶尔也会透着忧伤……

 

 

到了秋天,本来学渣的他们居然理解了微积分!

 

 

数学的学习让他们的命运也开始改变,原本根本不可能毕业的他们,居然被老师建议考大学!

 

 

但是,他们的初心一直没有改变——复活隆君。

 

 

他们成功了,隆君复活!

 

 

但是,复活后的隆君发现,世界不一样了!

他原来的好哥们儿不在抽烟,不再赌博……

 

 

——数学的力量真是神奇呢!

 

全剧不长,13分钟左右。

 

数学改变了男生们的心智,

数学改变了男生们的命运,

数学帮他找回了曾经被无度挥霍的青春,

数学还能给他们美美的爱情。

 

当隆君复活,复活的其实不是隆君本人,

而是当年的自己!

数学的熏陶,让他们彻底脱胎换骨!

他们毅然决然的抛弃了当年的自己,

从废柴成为顶天立地的好男人……

 

我们还有一个感受是:

原来我们的数学老师

一直对我们隐藏着天大的秘密!

多少年来,他们一直在传授我们黑魔法。

却一个字也不说……

 

 

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数学家都喜欢解决最烧脑的问题?不!这位数学家不同!

原文作者,Kevin Hartnett,《量子》资深作者

翻译作者,whymath,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,333。

 

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背景

 

 

数学中大多数重要的发现要经过几十年或几个世纪的努力才能得到。如果你想要研究数学中最难的问题,就必须要掌握大量高专业性的知识,才能发表些新的看法。

 

数学家Richard Schwartz沉浸在他所发现的简单数学问题的奥秘中

 

而这些最难的问题没有引起理查德·施瓦茨(Richard Schwartz)的兴趣。他喜欢的那种可以今天读,明天着手解决的问题——简单的、有趣的、有些像游乐场游戏那种走一步看一步的问题。施瓦茨的这种性格在理论数学家中相当少见,他曾说:“我觉得自己对数学的态度是童真的”。

 

 

但这并不是说施瓦茨不是一个严肃和卓有成就的数学家。恰恰相反,他在近半个世纪来最重要的数学家之一——比尔·瑟斯顿(Bill Thurston)的指导下于普林斯顿大学获得了博士学位,现在他是布朗大学的终身教授,并在动力系统领域取得了他最重要的研究成果——研究迭代过程的长期表现,如一个台球在无摩擦桌面的跳动现象。2008年,他证明了每个内角都小于100度的三角形任意都包含至少一条台球路径——一个台球将在其上做周期性往返运动的路径(注: 想象在一个无摩擦的桌面击打一个台球,这样台球将不断碰到桌壁,然后反弹。假如过了几年再回来看,会发现什么?施瓦茨证明了这个台球将以行星绕太阳旋转般的方式在固定的轨道上做周期运动,而非不断产生新的路径)。

 

 

施瓦茨在其多数工作中都使用了计算机实验,可称得上是这方面的弄潮儿。正他说,计算机在好些方面对人类的数学思维形成了助力:计算机找到的模式给予了证明问题的启示,而这是很难单靠人脑想到的。

 

 

《量子》杂志对施瓦茨进行了访谈,访谈内容包括其本人对简单问题(他称之为“数学奇迹”)的喜好和他即将面世的关于无穷的儿童数学读物。以下是整理过的谈话内容。

 

 

您喜欢数学的什么?

 

 

我喜欢关于它的全部。当然了,我首要喜欢的是它有用。我喜欢它是流程化的这个事实,这让你总可以找到前进的方法。我喜欢它不像政治和宗教,在这些领域内的讨论多少年都不能改变对方的观点,而数学则可以探入到问题的最深处。

 

 

我还喜欢几何图形和数字,我对他们有着我所无法解释的原始的热爱。还有我也喜欢智力挑战,我喜欢解决问题,尤其是大家无法解决的那种——这有些像登山者的心理。最后,我还喜欢纯数学的美,就像有人喜欢艺术品一样。

 

 

您说您喜欢简单的问题,为什么?

 

 

 

我觉得如果一个简单的问题还没有被解决,那么这个问题一定还有隐藏的深度,即存在人们所意想不到的事情阻碍了问题的解决。

 

 

其次,我还喜欢做计算机实验,因此我时常感到我有在这种问题上取得进展的机会。现代计算机是一个新的工具,而这些简单问题也可以被视为数据(模式)搜索的渠道。比如,我正打算在计算机上编程并做一些实验,来发现那些隐藏的模式,以前这些模式没有被人发现,就是因为没有人做过这样的实验。

 

第三,我所喜欢的简单问题不需要太深的背景知识,可能听起来有些傻气,我喜欢那种我恰好可以介入的那种问题。我还很有耐心,如果听说一些流行数学领域的猜想,我不会予以理会,我不喜欢花上六个月的时间读文章,然后才能达到着手解决问题的地步。我喜欢接地气的,可以立刻开始的那种问题。

 

 

什么是简单问题?举字?

 

 

我非常感兴趣的问题之一就是三角台球问题。它是这样说的:观察一个三角形内的台球,是否存在一条周期性的台球路径,使得台球在这条路径上一遍又一遍的重复其运动轨迹?对锐角三角形来说答案是已知的,但对钝角三角形来说则不然。问题是:对于任意三角形来说,都存在这样的周期性台球路径么?我在这个问题上做了一些努力,证明了若三角形的内角均小于100度,则该路径存在。

 

 

可以请您再举一个例子么?

 

另一个我曾下了一些功夫才解决的是外台球问题。假设你有一个平面上的凸形,椭圆,正方形或五边形都可以。然后你就从凸形外一点,嗯,也许我该画个图来说明。

 

 

 

从凸形外的某个起始点(第一个点)开始,做凸形的一条切线(与凸形仅有一个交点的线),然后在离切点距离等于切点至起始点距离的地方停下来,这是第二个点。重复这个过程,最后由这些移动的点形成类似星体轨道的图形。

 

核心的问题就是:是否存在这样的凸形和起始点使得动点可任意的远离凸形?动点的运行轨道是否是无界的?我证明了对于某些特定的凸形,比如风筝,这种具有双侧对称性的四边形,动点将远离凸形。

 

 

告诉我您是怎样在工作中使用计算机的,以及为什么您喜欢使用?

 

我首先要说的是,计算机是用来打草稿的利器。数学家,甚至伟大如高斯和欧拉,都曾致力于搜索实验证据。他们将在草稿纸上手算问题的特殊情况为自己提供关于结果的灵感。在某种意义上,你可以用电脑做很多类似的事,它让你搜索更多的关于可能的正确结果的实验证据。

 

朱利亚集可以显示为表示某个复杂函数行为的分形

 

计算机还是一种可视化的工具。它揭示了这样一件事:没有它的帮助你可能将无法得出正确的观点。一个真的要用到计算机的好例子是曼德布洛特集,不使用计算机,你当然可以徒手绘制出一系列的散点,而一旦使用计算机进行辅助,却能够揭示蕴含其中的丰富信息。没有大量的计算和绘图,曼德布洛特集,朱利亚集以及类似的事物将是不可能被看见的。

 

存在计算机解决不同本质的问题的方式么?

 

我只能说我个人认为,数学十分适用于高对称性的事物。从某种意义上说,数学几乎是奇迹。一个近期的大型的例子是玛丽娜·维娅佐夫斯卡(Maryna Viazovska)在八维空间给出的开普勒猜想(这个猜想就是球体最密堆积问题)的解。令人惊讶的是,开普勒猜想的解决在八维空间内要比在三维空间内容易得多。原因是这些神奇的球堆积在八维空间是极其、极其对称的,在八维空间内这样特殊的构造简直就是神迹,但若没有这些非同寻常的对称,从某种意义上说,问题就无从下手了。所以计算机在这里帮了大忙,因为它使你能够对所有的可能性进行遍历。

 

 

说数学被有组织的用于寻找那些最对称或最美丽的事物,可以请您详细谈谈么?

 

这就像是数学行经这个世界时,毫不犹豫地拾起了最闪耀最美丽的宝石。譬如对数函数、零函数、指数函数,几何中则是线和面,最近的流形学中则是曲率空间和概型一类的奇怪的东西——我不大能理解这些东西。数学就是用在这些典型事物上的。你可以说这才是数学家们应该做的——寻找更多的类似的典型,更多的宝石。但回过头来说,这可能是那种初看起来十分难的不起眼的宝石。

 

 

那么计算机可以帮助找到这些不起眼的宝石吗?

 

 

当然能了,那是我从外台球问题得到的经验。一开始,外台球在一个风筝形的平面上产生的运动看起来完全是噪声,而且很难理解,我不断尝试使用不同的方式来表示数据,最后我想到了画出更高维度的数据表示,突然,我的眼前就出现了这个美丽的模式。我敢说,没有计算机的帮助,我永远都猜不到这个答案。

 

 

计算机可以搜集大量的信息,可以将事物图形化,可以作为你的外部存储空间,因此它可以帮助你识别那些太渺远以至于无法识别出来的基础模式。计算机是一条捷径,你可以在太多的地方用到它了。某种程度上,你甚至不需要花脑子想问题,至少一开始不用,然而你同样将得到计算机的反馈,然后你再根据这些反馈调整实验。并且假如你成功了,一定将发现单靠自身所无法找到的新知识。

 

Schwartz家中书房的分形时钟

 

您写了好几本儿童数学读物,您写作这些书籍的动力是什么?

 

 

 

原因有两个。我孩子还小的时候,我想要教他们数学。一开始,我为我的女儿露西写了一本薄的关于素数的书,但后来我沉迷于这件事无法自拔,写成了一本叫做《快来数怪兽》的完整的书。我的孩子是我莫大的动力,因为我总想要向他们解释这些整洁的东西。另一个原因是我喜欢画画,我画的不算太好,但我就是喜欢计算机绘图。嗯,就是这样。

 

 

 

数学之外,我喜欢的有创造性的东西,它们是我日常研究之外的小憩,我喜欢拥有大量的观众。像大多数数学家,我致力于研究的问题——即使这些问题被解决并且构成了另一个未解决问题的解——不太可能有好几百人愿意了解。而知道自己的图画书被好几千人阅读则是一件很值得高兴的事。

 

 

 

在数学上我投入了大量的脑力工作,我想知道,如果我在一些问题上工作地十分努力,而得到的成果只有很少的人将会看到,那么生命的意义何在?也许,撰写这些儿童读物会是我知道自己的研究成果正以正确的方式发挥作用的机会。

 

 

你正在写一本新的儿童读物《无穷农场上的生活》,你打算向孩子们传达关于无穷的什么呢?

 

在孩提时代,我曾想了很多关于无穷的事——如果我有无穷长的胳膊会怎样,如果桌子是无穷的又会怎样。我认为孩子们会喜欢的,无穷是一个有趣的概念。

 

 

 

 

 

 

Schwartz的第四本上市书籍《无穷农场》中的示例页面

 

于无穷,有什么特别想要孩子们理解的东西吗?

 

 

 

第一件事就真的是对无穷的感觉了,无穷并不是一件东西。比如古典音乐,假如你从未听过古典音乐,你可能会想古典音乐就是音乐,但假如你有兴趣了解的话,你会知道音乐其实是巴洛克、古典、浪漫、现代——所有风格和乐器的组合。这个例子主要是为了让孩子们了解无穷的可能性,因为音乐是事物走向无穷的另一种方式。

 

 

 

还有另外一个实质性的部分,就是要让孩子们看到一些让人眼前一亮的真正激励他们的东西。孩子们在学校的学习通常枯燥无味,尤其在数学方面。知识通常没有被很好的传授,孩子们也经常被填鸭式地教育,那样的方式毫无生趣。所以我的想法是传达一些孩子们真正感兴趣的激励他们的东西。

 

 

从事数学工作的30年来,对数学的理解有过改变么?

 

我不知道,某种意义上来说,我对于数学的态度并没有改变多少。我对高端的流行的数学从不感冒,比如朗兰兹计划或范畴论,这一点我从未改变。我认为我对数学的态度是童真的。我记得我在母校的时候还曾这样想:好像身处某个游乐场,你看到有很多不同的游戏,比如向可乐瓶子扔环套住它之类的,你似乎只需要做些游戏就能拿到你的博士学位。我一直没有什么大的研究项目,我仍然痴迷于这些奇怪的简单问题。

 

 

也许现在我越来越熟知的一件事就是人类的知识充满了漏洞。关于数学,年轻无畏的你认为万事尽在掌握,而我却感觉所知不过沧海一粟。人们如首尾相衔的蚁群般不断前行,所经过的轨迹窄小得可怜,轨迹外的世界就是未知的世界,这就是我越来越强烈的明悟。

 

 

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他们为什么“逃离”数学专业?真相不像你想的那么简单!

原文作者,Doug Lederman,《高等教育内幕》杂志创办人

翻译作者,关小胖,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,Math001。

 

 

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尽管数学专业毕业生在就业市场上前景大好,然而新的美国联邦数据表明,相比于其他专业,数学专业学生放弃本专业的比例更大。他们是在做错误的抉择?
 
近三分之一的大学新生在选专业后的三年中会选择更改专业至少一次。周四发布的联邦数据显示,数学和自然科学专业出身的学生有更大的几率转至其他领域。
 
 
美国教育部国家教育统计中心的这篇简报基于对大一新生纵向研究。报告发现,截至2014年,在2011年12月入学的本科生中,有33% 已经至少换过一次专业;在副学士学位(associate degree)攻读者中,这一比例为28%。
而换过两次专业的学生占到了1/10。
 
STEM(科学、技术、工程和数学)教育的学生较非STEM学生有更大比例转专业(35% vs 29%)。而数学又是所有专业中该比例最大的:数学出身的学生中,有52%最终投身其他专业领域,而自然科学、教育、人文学科和工程与通识学分别以40%、37%、36%和32%位列其后。上述数据见诸如下图。
 
 
数学与其他领域的这种对比这意味着什么?另外,考虑到市场对数学专业和其他STEM领域的用人需求,学生大比率转专业是否会引发重大问题呢?
 
教育咨询委员会于去年发表的研究表明,有过专业变更的学生群体比未经专业更改的群体有更高的毕业率。委员会常务董事Ed Venit认为,有些高中生因为对高中数学游刃有余而爱上数学,而到了本科他们可能会发现数学的难度已经提升到了“不伸手就够不到”的高度。
 
Venit说教育咨询委员会的研究人员从发现了学生具有从数学这样的专业化的领域(也包括艺术和人文的“极端”领域,如美术)转向更加综合化的领域诸如商科和心理学的倾向。
 
考虑到用人单位亟需量化人才的现实,在学校推动下的学生兴趣的提升至关重要。这一改变应通过强化学生从事这些专业的意愿实现,而不应以破坏学科本身的严谨性为代价。Venit如是说到。
 
不论对于数学还是其他领域而言“人们都不希望严谨性受到稀释”,但对课程的重新规划和教学本质的改进仍然意义重大。诸多高校也应该努力为遭遇拦路虎的学生创造出理想的“出口”,如为那些缺乏成为护士或医生所需必备学术技能的学生提供指导,以助其顺利进入公共健康或其他医疗卫生行业。
 
美国数学协会行政董事Michael Pearson认为,一方面,数学已经俞发成为高等教育成功进程中的一面藩篱;另一方,教育者自身也在努力改善教学,提升教导活动的学科相关度。
 
但同时他也提醒人们,各个阶段数学教育课程的注册人数在过去五年中上升了近20%。而对于诸多数理技能强大的毕业生,他们自身的意兴盎然也在不断推动着数学的普及。与否定数学教育相比,Pearson更倾向于将这种大比例“逃离数学”行为归因为学生在大学得以接触在高中时期相对而言难以接触的新内容,比如工程学。
 
“我觉得,他们最后的抉择是要用他们的数理技能在新领域中开创一片天地”,Pearson如是说到。
 
 

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阿里全球数学竞赛决赛名单公布 马云:若中国数学能上去,将是人类进步

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哆嗒数学网小编从阿里巴巴数学竞赛组委会获悉。近日,全球数学比赛决赛入围名单公布,近4万人初赛参赛者中,有328名选手入围决赛。
 
大赛由阿里巴巴举办,比赛总奖金达100万元。据了解,有8人在初赛中夺得满分,入围名单中,国外选手占比29%,来自于11个国家和地区;所有入围选手中,年龄最小的仅13岁,年纪最大的年近五旬。

 
阿里巴巴CTO张建锋表示:举办全球数学比赛及系列活动,是为了让社会上更多人关注数学,看到基础科学尤其是数学的价值,吸引更多资源参与到数学科学的研究和人才培养中。
 
11国选手参赛 “重新找回当年的热情”
 
和此前众多数学竞赛面向的数学专业的学生不同,此次数学大赛呈现两大特质:全球化和全民化。
 
参赛选手共来自11个国家和地区,其中,美国普林斯顿大学和德国比勒菲尔德大学分别涌现了一名满分选手。
 
同时,还有不少非数学专业的爱好者也入选了决赛名单,他们占据了23%的比例。其中,年龄最小者仅13岁,最大的已经年近5旬。既有来自微软、谷歌等高科技公司的工程师,还有中学数学教师、风险分析师、数据分析师、投资人等职业,甚至普通的高中生。
 
已经从数学专业毕业10多年的谢景,现在是微软的一名工程师。“在解题的过程中,我重新遇到了那个年轻时对数学充满热情的自己”。
 
英雄出少年 13岁“小鬼”杀进决赛
 
杨子是河南商丘的一名高二学生,16岁的他第一次参加专业的数学竞赛。他痴迷数学,成绩一直稳步在130分左右,每次阅卷老师都会要求他做题时少想一点,想得简单一点,“这样能得高分”。杨子却常觉得学校的考试题“不够劲儿”。获知入围全球数学比赛的决赛圈后,他很兴奋,更坚定了以后往数学方向深造的决心。
 
本次全球数学竞赛组委会透露,比赛涌现了不少数学苗子,像杨子这样入围的高中生还有7位,他们对数学研究有着浓厚兴趣。上海一位13岁的高中生,初中时开始自学微积分,他的父母表示,孩子从数学中获得的快乐,远比玩游戏多得多。
 
值得一提的是,此次比赛还涌现了8位满分选手,6位来自中国。出题专家认为,在基础数学领域,无论从水平上还是热情上,中国的普通爱好者之间蕴藏了巨大的潜力。
 
说起举办全球数学比赛的初衷,马云表示,数学是众多科学的基础,中国如果在数学上上去了,将会是人类世界在数学上的进步。
 
 “阿里巴巴一直专注数学方面人才的培养和积累,如果阿里巴巴可以为数学做一点点事情,我会倍感骄傲。” 马云说。
 
 
据悉,阿里巴巴全球数学竞赛的决赛将在11月中下旬开战。比赛奖励设置如下:
 
金奖,4人,每人20000美元奖学金,以及冬季大师培训班门票。
 
银奖,6人,每人10000美元奖学金,以及冬季大师培训班门票。
 
铜奖,10人,每人5000美元奖学金,以及冬季大师培训班门票。
 
优秀奖,20人,冬季大师培训班门票。
 
 
以晨兴数学卓越成就奖获奖者张益唐为代表的国际知名数学家将坐镇决赛后的大师培训班,亲自为决赛获胜选手授课。
 
 

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软科2018中国最好学科数学排名公布

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前身为上海交大的世界大学学术排名的“软科世界大学学术排名”日前公布了公布了“2018中国最好学科排名”,包括93个一级学科,其中也包括了数学排名。
 
中国最好学科排名的指标体系由高端人才、科研项目、成果获奖、学术论文、人才培养5个指标类别组成,对应10余个指标维度,包括30余项测量指标。如何你有兴趣,可以去该排名的官网查看(http://www.zuihaodaxue.com/BCSR/best_chinese_subjects_rankings_methodology_2018.html)。
 
数学排名公布了131所的学校。第一名是北京大学,复旦大学和山东大学分列第二、三名。第四到十名分别是中国科学技术大学、中山大学、清华大学、四川大学、浙江大学、西安交通大学、武汉大学。中科院大学没列入榜单。
 
 
 
以下是详细榜单,我们多任何排名的意见都是——你有意见可以提!
 
 

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物理学家试图用物理挑战黎曼猜想

原文作者,Natalie Wolchover,量子杂志资深作者

翻译作者,柳北丁,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,小米。

 

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物理学家们正试图将素数的分布映射到某个特定量子系统的能级上。
 
 
以实数(水平轴)和虚数(垂直轴)作为参数的黎曼zeta函数的值。黑色区域是zeta函数返回零的地方——函数的“零点”。所谓的非平凡的零点落在沿着实数部分等于1/2的垂直线上。
 
素数是算术中不可再分解的基本单位,似乎在数轴上随意散布,从2,3,5,7,11,13,17开始,并且没有模式地无限延伸下去。但是在1859年,伟大的德国数学家波恩哈德·黎曼猜测素数的间隔能从其他数字推理出来,这些数字现在称为黎曼zeta函数的“非平凡零点”。
 
 
黎曼ζ函数的输入可以是复数——意思是这样的数“实”和“虚”两种分量——并产生其他数作为输出。对于某些特定复数值输入,该函数返回零作为输出;这些输入是ζ函数的“非平凡零点”。黎曼发现了一个公式,通过对这些零点序列进行求和来计算达到任何给定截断点的素数。该公式还给出了一种方法来测量素数在其典型间距附近的波动——与预期的素数相比,给定素数的大小有多大或多小。
 
 
然而,黎曼知道,只有当ζ函数的零点满足某个特性时,他的公式才是有效的:他们的实部都必须等于1/2。否则,公式没有意义。黎曼计算了ζ函数的前几个非平凡零点,并确认它们的实部等于1/2。该计算支持了他的猜想,即所有非平凡零点都具有此性质,并且因此所有素数的间隔都能从他的函数得到。但他指出,“毫无疑问,如果这个命题有一个严格证明是一件让人满足的事情。”
 
 
一个半世纪之后,证明黎曼假设仍然是纯数学中几乎最重要的未解决的问题,而对这个问题的解答将从克雷数学研究所获得一百万美元的千禧奖。相反,正如理论家恩里科·博比耶里在他对这个问题的描述中所写的那样,“黎曼假设如果是错的会对素数分布的认知造成巨大颠覆”。
 
 
在数学家们从各个角度试图解决黎曼假设的同时,这个问题也转移到了物理学。自20世纪40年代以来,ζ函数的零点与量子力学之间的联系开始变得有迹可循。例如,研究人员发现零点的间距与原子能级的光谱具有相同的统计模式。1999年,在大卫·希尔伯特和乔治·波利亚的早期猜想基础上,两位数学物理学家迈克尔·贝里和乔纳森·基廷推测存在一个量子系统(即一个位置和动量遵从海森堡不确定性原理的系统)的能级完全对应于黎曼ζ函数的非平凡零点。这些能级中的每一个En对应于Zn=1/2+iEn的零点,就是说其实部等于1/2,虚部由En乘以虚数i得到。
 
 
如果存在这样的量子系统,黎曼假设就成为一个直接的推论。原因是量子系统的能级总是实数(与虚数相反),因为能量是一种物理上可测量的量。而且由于这些En是实数,当它们在相应的Zn的公式中乘以i时,它们变成虚数。永远不会有En的虚部与i相乘,从而抵消它的虚数性质使它变成实的的情况,这样它分配到Zn的实部会将偏离1/2。由于能级始终是实的,ζ函数零点的实部总是1/2,黎曼假设也因而是正确的。
 
 
自1999年以来,物理学家一直在寻找这样一种量子系统,其能级对应于ζ函数的零点。在一篇3月30日发表于《物理评论快报》的论文中,圣路易斯华盛顿大学的卡尔·本德、伦敦布鲁内尔大学的多吉·布罗迪和西安大略大学的马库斯·穆勒提出了这样一个候选系统。但它非常得怪异,有外部专家说,现在还不知道是否会引导出一个对黎曼假设的证明。
 
 
通常,物理学家使用高度对称的数学矩阵来描述量子系统,其解或“特征值”对应于系统的能级。这些矩阵的对称性通常保证了虚数部分相抵消,而特征值是实的,这样的话这些矩阵对物理系统的描述才是有意义的。但是20年来,本德和布罗迪研究了量子系统的矩阵描述,这些描述放宽了通常的对称性要求,满足一个叫做宇称时间(parity-time,PT)对称性的弱条件。在2015年与穆勒进行交流之后,他们发现他们可以写出一个PT对称的矩阵,其特征值对应于黎曼ζ函数的非平凡零点。“这结果真是让我们大吃一惊,”布罗迪说。然而,因为矩阵只是PT对称的,而不是遵循通常更严格的对称性,所以不能保证特征值是实的——这个性质确保相应的零点具有等于1/2的实部。
 
 
他们讲清楚了为什么其矩阵的特征值可能是实的,以及为什么在这种情况下,黎曼假设很可能是正确的,但他们没能证明它。“遗漏的证明步骤是困难还是容易,目前我们无法推测,”布罗迪说,“需要进一步的工作来更好地判断这个证明的难度。”
 
专家们表示,这个新的想法很有趣,但关于作者们能否对其不寻常的量子系统的给出严格论证,还很难讲。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)表示:“我需要更多时间对他们的研究成果对证明黎曼假设的意义给出相关意见。”他还说,他希望更详细地探讨比较他们提出的量子系统与贝瑞(Berry )和基廷(Keating )以前提出的还没能引导出对黎曼假设证明的量子系统。
 
根据布尔加德的观点,如果物理学家真的有一天弄清楚了zeta函数零点的量子解释,那么这甚至可以比黎曼公式更精确地处理素数,因为矩阵特征值遵循非常好理解的统计分布。它还会有其他作用,贝瑞希望,能给出素数分布的量子系统可以作为一个简单的混沌模型,从而演示出与素数相关的混沌行为是如何从一个非混沌的量子系统中产生的。但我们还远没有到那一步。鉴于这么久以来都没有一个对黎曼假设的明确的证明,贝瑞敦促大家保持谨慎的态度,不要过度解读片面的进展。“这对黎曼假设的最新贡献完美体现了皮亚特·海恩(Piet Hein)的格言,”贝瑞说,“值得挑战的难题,必给你带来打击。”
 
 

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唱情歌前的调音?三角函数公式也许能帮你!

原文作者,Enrico Degiuli

翻译作者,溦之洸茫,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,donkeycn。

 

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有些时候,那些仅从理论角度看上去有意思的数学公式可以揭示与某些应用问题的意想不到的联系。
 
 
以三角学中“和差化积”公式为例
 
 
 
这个公式在解释“差拍”这个声学现象时会有直接的应用,让我们看看这到底是怎么一回事。
 
 
差拍
 
 
 
当你同时弹奏两个频率很接近的音时,合成出来的音听上去时有时无,好像某人在以一个固定的频率调大和调小音量,这种现象就叫做差拍。三角函数公式会帮助我们解释它。
 
 
弹奏的这两个音可以用具有频率ω_1,ω_2的两个三角函数表示(准确地说这两个是角频率,但简单起见,我在这里就把它们称为频率)。
 
 
 
 
作为一个非常好的近似, 我们可以认为声学现象是线性的。如此一来,同时弹奏两个音符产生的声音就等于这两个单音的叠加。
 
 
借助和差化积公式,我们可以将这个“声音”函数表示为
 
 
在最后的表达式中,我们定义了
 
 
 
如果这两个频率ω_1 ~ ω_2很接近,我们可以为认为ω(ω_1 , ω_2的平均值)和这两个频率也是很接近的。同时δ(ω_1 , ω_2的差值的一半)在与ω相比时是一个非常小的量。
 
 
当远远小于时,我们可以认为它是一个对音符sin(ωt)的周期性放缩,放缩倍数为A(t)=2cos(δt)
 
 
我们可以看出,A(t)扮演了一个周期性调节声音sin(ωt)的音量的角色。两个初始频率越接近,那么差拍频率δ就越慢(译者注:δ越小,周期就会越大)。
 
 
 
在下图中,你可以看到一个例子,上图是两个函数 f_1和f_2,下图是它们合成后的函数S。
 
 
下面是对应的声音。最初你可以听到单独的两个音,然后你会听到一起弹奏它们时的效果。
 
 
 
乐器校音
 
 
差拍现象可以用于为乐器校音,让我们看看这是怎么进行的。
 
 
假设你现在需要借助一个音叉来为吉他校音,如果吉他的弦被调到与音叉的音相近的地方时,同时弹响它们就会产生差拍。
 
 
 
通常地说,要通过提高或降低弦的张力来完美校音是很难的。通过反复试错则比较容易。
 
 
我们假设你试图提高弦的张力(也就是提高音的频率),你拨动了这根弦并敲击了音叉,于是听到差拍的频率增加了。这就说明提高弦的张力这法子是走反方向了。此时你应该慢慢减小弦的张力,直到差拍频率小到几乎不会引起注意。现在恭喜你,你的吉他弦与音叉产生的是同一个音(对于实际演奏而言,已经足够了)。
 
 
 
剩下的5根弦呢,过程是一样的,只不过你借助的不再是音叉而是你所调好的那根弦的其他音。(译者注:吉他不同弦上可能会有同一个音,以调好的弦上的音为基准,找它在另一弦同样的音,进而校准这根弦。)
 
 
 

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当然,你可以借助电脑程序为乐器调音。但假设你现在在海滩或者路边上演奏吉他,周围是你的一群粉丝,而你正好没有电脑、手机没电。你最好知道怎么用传统的方法校准吉他,要不然你会瞬间掉粉的!

2019科学突破奖:小拉福格获数学突破奖,许晨阳获数学新视野奖

根据科学突破奖官网消息,2019年度科学突破奖发布。其中数学奖由来自法国的文森特·拉福格获得。而来自中国的许晨阳获得了科学突破新视野数学奖。该奖官方网站描述许晨阳的所在单位有两个,麻省理工学院和北京国际数学研究中心。
 
颁奖盛典将于2018年11月4日举行。
 
 
文森特·拉福格的获奖理由是:对数学多个领域的奠基性贡献,尤其是对函数域情形的朗兰兹纲领的贡献。文森特·拉福格在中学生时代就在法国数学界小有名气。1990、1991年参加国际奥数竞赛,连续两年获得满分成绩。文森特·拉福格的哥哥洛朗·拉福格也是著名数学家,在2002年北京举办的国际数学家大会上,洛朗·拉福格获得菲尔兹奖。
 
 
而科学突破新视野数学奖颁给了多位数学家。我们最关注的获奖者是来自中国的许晨阳教授,许教授的获奖理由是:对极小模型纲领研究的重大进展以及对代数簇模的应用。我们注意到,在本次“数学新视野”奖的三个获奖席位中,许晨阳是唯一一位独占一个获奖席位的得主。1999年至2004年,许晨阳在北京大学数学科学学院学习,获学士和硕士学位。再联想到去年同是北大数学科学学院毕业的恽之玮、张伟也获得过该奖,这段时期北京大学数学专业的“人才井喷”并非虚言。
 
 
科学突破奖为世界上奖金最高的学术奖项,由Facebook创立者扎克伯格夫妇、俄罗斯互联网巨头米尔纳夫妇、中国阿里巴巴集团创始人马云夫妇、谷歌创立者之一布林与23andMe公司创立者沃西基夫妇共同创立。此奖项共设立生命科学、基础物理、数学三大奖项。每个获奖席位300万美元奖金。另外,还为物理和数学的“学术新人”设立了科学突破新视野奖,每个获奖席位60万美金。所谓获奖席位,是指在学术研究中,可能有多个人做出相同成果,如果超过一个人的研究者用因为相同的获奖理由得到奖金,那么这几位研究者平分该席位的奖金。本次颁奖为此奖项的第七次颁发。按官网介绍,会有2200万美元的奖金发出。