作者：N_a_O_H_ ， 哆嗒数学网群友， 常年活跃于数学贴吧。

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和朋友们聚餐吃饭，他们总会把最后验证账单的活交给我。我说我算不出来，还是按计算器吧。于是伴随着目瞪口呆，他们会惊诧地问我：“你不是数学系的吗？”

在诸多情况想，包括在研究中，这类体力活般的运算都交给了计算工具，比如说计算机。计算机，顾名思义，最初是人们发明出来代替人们进行计算工作的机器。随着编程语言被应用于计算机，人们可以精确定义给予计算机的指令，并且能以比人工计算快得多的速度得出结果，精确程度亦是令人信服。

人们利用计算机处理一个庞杂的计算任务时，依赖的是一种叫做循环结构的东西。这种结构把本身复杂的运算转化为一步一步的，每一步都依赖一个离散变量的小型计算，只需设定好想要的步数，就能令计算机按照这规定的步数进行一次次的机械的简单运算。就像织布机和流水线一样，这种简单机械的工作交给计算机是再适合不过的了，计算机运算的效率与准确程度都远高于人类。随着人们对数学的深入了解，指数函数，三角函数以及对数函数这些超越函数都可以通过这种循环结构计算了，而这些运算是初期的编程语言没有规定的。

泰勒公式是计算这些函数的一种方法，把上述函数转化为一个多项式，这些多项式每一项的系数也是有特定的规律的。这样，每一项的指数与系数都有规律可循，那么用循环结构执行就成为了可能。按照这种思路，就连定积分的计算也可以交给计算机了。

看上去很厉害，没错吧？

请仔细留意我上面的措辞。我说，计算机用泰勒公式去运算那一系列超越函数的函数值，这听起来似乎没有半点问题。然而泰勒公式是用一个多项式近似表示函数某点周围的性态，注意是近似！泰勒公式只是个有限项的多项式，只要你愿意你可以写出它的任意多项，但是它始终是有限项的。真正恒等于那些超越函数的是它们的泰勒级数，泰勒级数是一个无穷和。你用泰勒公式无论怎么精确，都只是泰勒级数的一个部分和，也就是其中有限项的和，其结果永远与精确值相差一些。

简单来说，得到上诉精确值或者近似值的方法，就是本文说的“数值计算”（这里打个引号，避免和真正专业的数值计算这个分支误会）。

计算机也可以计算定积分的数值，我们可以完全按照定积分定义相仿的思想来计算——取曲线下一列纵向的细长矩形面积之和来逼近曲线下的精确面积。这样的方法下，计算机无论如何努力，都只能把曲线下的面积化为有限个矩形之和，其结果自然与精确的结果有所偏差。当然，我们可以改进这些计算方法，比如把矩形改成梯形，或者利用根高级的理论简化步骤，但是我们得到的还是有限次计算得到的精确值或者近似值。

有人说，计算机进行了那么多次运算，其得出的结果的误差已经非常小了，以至于人们随时都能把它扔掉。不要着急，我完全没有要责难计算机计算能力的意思。我说了这么多，只是想说上述计算并没触及到数学的一个基础核心概念：无穷。

无穷这东西，其实并不像它们在实平面中那样离我们那么遥远，而是一直在我们身边。小学二年级引入了除法的概念，老师一再强调0永远不能作为除数。那时我想勤于思考的孩子都想过，那么0做除数会是什么后果呢，比如说1除以0？抱着好奇心他们把这个算式输进了计算器，得到的却是一个冷漠的Syntax Error，于是只好就此作罢。到了后来，随着知识的不断积累，学生们意识到了任何0之外的数除以0，得到的是无穷大，因为你无论有多少个0，它们的和就一定是0，所以结果只好是无穷大了。这种想法倒无可非议，只是流于想象，并不十分不严谨罢了。于是，“n/0”这类形式的无穷，大概就是我们最早能够接触到的了。

感谢数学家柯西和魏尔斯特拉斯，我们终于有了一种严谨的方式定义，证明和计算极限。那么我们回到上面的例子，我们还是来研究1/x在x=0处的极限。这次先让计算机来做。直接输入1/0会让电脑爆炸，所以我们只能通过一系列尽可能接近于1的数字来研究结果，1/0.1=10,1/0.01=100, 1/0.0001=10000, 1/0.00000001=100000000...千万不要以为这一系列结果告诉你很多东西，尤其是不能错误地就这几个结果，我们就臆断，x越接近于0，1/x越大，而这恰好是许多对数学不了解的人所犯的错误。数学中，对于有限的极限有这样一个性质：某处的极限存在（或者都趋于无穷），当且仅当每一个收敛到这点的数列，都收敛到一个相同值（或者都趋于无穷）。因此，为了用计算机证明这种极限，我们必须证明任意一个这样的数列都趋于正无穷，这将意味着我们必须验证无穷多个数列的结果，而且，就算我们能够验证无穷个序列的结果，那么对于这每个序列都有x趋于0时，y不断增大，注意我们能得出的只是不断增大这个事实，至于有多大呢？计算机暴力验证的办法，就行不通了。
 

来看另一方面，人们可以用极限的严格定义来证明，1/x在0处的值为无穷。容易验证对于任意给定的正整数N，存在0附近的某个点x，使得|1/x|>N。数学分析的知识告诉我们，1/x的绝对值可以比任何一个正整数都大，自然就是无穷大了。

从这里，我想引出这篇文章我真正想说的。我们数学系做数学的方式是用理性推理去证明数学问题的，这些数学命题很可能涉及无穷的概念。我们大多数人不会去纠结一个复杂的加减乘除运算式子，如何快速心算得到结果。比如，上面的命题“1/x在x=0处的极限为无穷”这一命题就是一个例子。暴力计算的思路很难验证一个涉及无穷的数学性命题，绝大多数情况下都只能验证有限个情况下命题的真伪性，而无法从本质上证明或证伪它。

下面我想再举另一个例子，这是我这周的C++课作业内容。作业要求编一个程序，来算采矿和淘金两种方法的收益，已知两种方法中，各有一定的概率获得一定数量的收入。要求设定一些随机变量，然后把程序跑1000000次，求平均数。这个作业的目的再明显不过了，无非是要验证数学实验的结果符合某个期望。作业中（具体的作业内容我不再叙述了）按照数学推理计算能得到数学期望的理论结果，采矿的期望收益为75美元，淘金为68美元。而用程序跑出来的结果，始终与这两个结果相差一些。诚然，如果你用程序模拟的结果最终成两个分别以75和68为中心的正态分布，或者能验证这个程序计算的次数越多（多于1000000次），结果越接近于75和68，那么自然是有说服力的。然而，尽管做出一个很大的样本，也不能从数学理论上认定，他们的数学期望就是75和68。如果要认定，两种情况都要求无限次的运算。而我们能通过有限次运算得出的，从某种意义上来讲是苍白无力的，看上去很接近75和68的结果根本不足以说明数学期望的存在性——无论他们怎么接近目标值。反过来说，倒是因为有了理论上数学期望的存在，多次运算后的结果一致地逼近某个数值，这样的一个结果才是可能的。我们熟知的投针实验和抛硬币实验都是一个道理。


这揭示了一个事实：在一些人认为很厉害的“数值计算”，在我们做数学的时候只是一个验证的工具，很多时候也许能给我们一些启发，但是大多时候一个数学理论突破的瓶颈跟计算机的这种计算没有半毛钱关系。甚至，我可以说严重一点，正如伟大哲学家康德也指出的，这些算式都是一个个经验性的命题，永远不会有真正的普遍性，从而没有指导意义。

这些“数值计算”够做到的，只是穷举和有限的运算，总而言之能做到的东西有限，不足以归纳证明带有任意性的命题，也就是本身蕴含着无穷的那些。实际上，计算机要做到真正的数学推理，需要换一种办法。这也是数学家们研究的一个领域，叫做机器证明。它的思路，已经不是“数值计算”去得到一些近似值，这个不是本文想讨论的范围。

在文章的最后，我想描述一下，有限在无限面前是多么渺小。

现在的计算机，如果要他完成一个需要2的500次方步骤才能完成计算，那简直是不可能完成的任务。但在，无穷面前，他可能只是一个很平常有限数，很多时候都可以忽略不计。比如，前面验证极限的时候，这个数字都出不了场呢！

说到底，这些“数值计算”可以覆盖的数学中的领域，标题上还高估了呢。所以，我是数学系的，但是是不会帮你们验证账单的。

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原文作者：Bruce Ferrington，数学普及作家。

译文作者：Humphrey Liu，哆嗒数学网翻译组成员，中学教师。

校对：Donkeycn

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致歉

今年三月，我出版了对一些杰出科学家的采访，咨询他们关于数学教育的经验和在他们的科学领域中是如何使用数学的。那时，我收到了传奇的计算机科学家、数学家高德纳教授的邮件回复，这封邮件却被我忽视而没有打开。

今天我收到高德纳一封礼貌的邮件，他想知道他之前的回复出了什么问题，为什么我没有告知他参加“科学中的数学”项目。当我检查我的收件箱时，发现那封邮件从三月以来一直在收件箱躺着（编者注：作者的这篇文章是同年的11月写的），而我没有打开和阅读它。

我感到深深地内疚，为自己的疏忽对高德纳教授致以公开的道歉。我也回复了他的邮件并致以真诚的歉意.

请阅读以下高德纳教授对我所问的十个问题而提供的慷慨回复.高德纳教授是斯坦福大学名誉退休教授，“算法分析之父”，若干计算机程序系统的创造者，字型设计系统Metafont的创造者，也是《计算机程序设计艺术》一书的作者——此书是计算机程序员的圣经。

以下为高德纳教授今年三月回复我的邮件的注记，他热心的评论让我感到更加惭愧错过打开他的邮件。

布鲁斯，你好

十个问题的回答如下！

对于学习来说，一个最重要的方面是如何问好的问题。你肯定把这一条学得很棒。

最美好的祝愿

高德纳

1、 描述你念书的时候数学课是怎样的？

我们这代人（在美国威斯康辛州）在二年级学乘法表，五年级学分数，九年级学代数，十年级学平面几何，十一年级学复杂算术，十二年级学立体几何。我提出的很多数学问题老师们都无法回答，所以我的大部分时间只能用于思考其他学科（英文，拉丁文，物理，化学，生物，音乐）的问题。但在我家，父亲有一台机械式加法乘法计算器，我很喜欢玩它。我花了数百小时用于画形如sqrt(x+a) – sqrt(x+b) (sqrt表示开方运算，其中a,b可以取不同的值)的函数图像，由于使用了不同颜色的铅笔，所以我可以将不同的图像画在同一张纸上。”）

2、 你在学校学的数学对你以后的生活有用吗？

绝对有用。我在数学课上学的东西没有一个不在反复使用的。例如，几何课不仅教我如何严格的证明，也为我创造字型设计系统Metafont语言提供了想法。很多字体是用这种语言设计的，这些字体正被全世界数以百万计的人使用。

3、 你心算需要有多优异才能在头脑中做计算？

我很欣慰我能记住乘法表直到12×12。不过我觉得记住更多（比如直到99×99）将浪费时间。仅仅当问题相当容易或者问题中含有符号而不仅仅是数字的时候，心算是非常重要的。当我做研究的时候，我通常开始时会使用很多草稿纸进行部分计算。而我边游泳边思考这个问题时，最终获得了灵感，然后通常就解决了能解决它。

4、 数学教导我们可以把两个事物放一起而创造一个新事物，这在你做的事情中重要吗？

复杂的结构是由简单的结构用简单的方式结合的。我认为计算机科学家能比数学家更好的明白这点，因为我们学会了如何在一台机器中表示多种数据。

5 、 数学是关于发现模式的。你在研究中需要寻找模式或者模式的反例吗？

是的，我觉得数学事实上是模式的科学。我日常处理的模式是一些事物之间的规律，而不是数字之间的规律。不过数值模式也非常重要：例如

1=1²,1+3=2²,1+3+5=3²,1+3+5+7=4² ,等等.

1³=1²,1³+2³=(1+2)², 1³+2³+3³=(1+2+3)²,等等.

6、 数学也教导我们平衡和相等，这种观念在你的研究中有用吗？

在前面提到的字型设计系统Metafont语言中，我们通过用某些关键的点应满足的方程所画的直线来表示字母A的形状。“左干从基线开始，距离边框左边沿半个单位，直到大写字高，左干的斜率等于右干斜率的相反数。”

[参考: 《计算机现代字体》，第369页。]                      

7、 数学帮助我们表示数量和数值测量，你工作中做这些吗？

实际上我描绘希腊字母π的程序，有两个地方使用了数字3.14159. [《计算机现代字体》，第159页。]

8、 估测足够精细吗或者你需要精确测量事物吗？

计算机科学家必须特别仔细，因为小的错误很容易被放大，并导致灾难性后果。
 

9、 你怎样使用统计来分析你的结果？

我工作很多都涉及比较不同的计算方法，以此确定哪一个最快。基本的统计，比如关于运行时间的最大值，平均值，中位数，以及方差在分析中是关键的。更大胆的说，在今天已知的大多数计算方法中，随机数和概率的概念是绝对本质性的因素。
 

10、 你还有其他的关于在你的工作中如何使用数学的领悟吗？

例如，当我刷牙时，我需要覆盖八个区域，分别为左和右，上和下，内和外。最有效的方式是沿着哈密顿路或者格雷码。

左上外侧

右上外侧

右上内侧

左上内侧

左下内侧

右下内侧

右下外侧

左下外侧

高德纳教授，非常感谢你回答这些问题，感谢你参与“科学中的数学”项目。你带给我很多思考，也希望能带给其他许多人思考，甚至在牙齿健康方面你也给了很好的建议。

再次为我在三月份项目早期没有包含你的观点而致歉。

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从初中开始，我们就开始接触三角函数了。初中的时候，三角函数是在直角三角形中定义的。直角三角形中一个锐角的对边比上斜边就是这个角的正弦值，而余弦值被定义为这个角的邻边与斜边的比值。

初中的定义，使得我们对三角函数的研究停留在锐角的范围内。到了高中，我们利用单位圆和有向线段把三角函数的定义域扩大到了可以取到任意实数。于是，三角函数成了实数R到实数R的函数。

然而，如果你真较真儿的看看以上中学阶段的两种定义的话，你会发现以上两种定义方式都离不开“画图”，而看图说话的方式依赖人的感觉——视觉，这不是一种数学意义上的严谨方式。再深入一点，单位圆和有向线段定义三角函数的方式，需要把角的大小对应成为实数，而对应实数的方式，要么用到某个扇形的面积，要么会用到圆上某段弧的弧长。然而，你在圆上截取的这部分扇形的面积，或者那段弧的弧长分别存在的理由是什么呢？奥，你会说我画出来了，看吧，它就是占了一块地方，或者就是一截长度——我相信是对的，但是这样的理由依然是感觉的，而非数学逻辑的。

如果，按数学严谨的逻辑应该怎么做呢。我们可以完全依照公理与逻辑从自然数理论（可以用ZFC或者皮亚诺公理导出自然数的相关理论），发展出有理数理论，再而发展处实数理论。理由实数的完备性的公理，发展处极限理论、微积分理论，再而级数和微分方程理论。这些基础，都可以只依赖于公理体系和形式逻辑，而不依赖与感觉。于是本文就用这些理论来定义三角函数，已经推倒三角函数的性质。——本文将用无穷级数定义三角函数。利用无穷级数或微分方程也是到目前为止，严谨的定义三角函数的最佳方案。

定义三角函数的核心也就是定义正弦和余弦函数，下面我们会围绕这个来展开讨论。

我们用级数来定义下面两个函数：

我们后面证明的公式，很多可以利用级数之间的四则运算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之类)，但是我们哆嗒君并不打算这样做，下面所有的关键推导，我们都尽量避开一些艰深的级数间运算的技巧，虽然那很直接（比如证明存在使得sinx小于0的x的时候，可以直接估计计算sin5,sin6之类），但是，对一些普通人来讲，那过于麻烦了。

1、    π的定义

上面两个级数对任意实数x都是收敛的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。

另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性，即是说：

根据无穷级数的相关理论上面的两个级数都是连续，可微，且求导导数的时候还可以使用逐项求导的方法。

于是我们得到

于是有，

说明sin² x + cos² x 是常数，代入x = 0，得到

利用上面的式子，我们还能得到关于两个函数的上下界的不等式。

注意到sin x 连续可导，导函数在零点为cos0 = 1 > 0,说明sinx 在0 点的某个右邻域内单调递增，从而在某个区间(0,δ)上，sin x > 0。(*)

我们估计一下来说明sinx存在大于零的零点。这只需要说明sinx有取得负值的点。显然，sinx，cosx在任何区间上都不恒为常数，于是我们假设sinx > 0恒成立，这时cosx是单调递减的，用下面两部分文字来推出矛盾。

若cos x 非负恒成立，则有sinx单调递增，于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

若存在y使得cos y小于零，那么当x≥y时，cos x < 0，说明在这个区间上sin x单调递减。

于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

于是，存在y，使得siny < 0，也就是说存在x > 0，使得sinx = 0。

于是我们把下面的实数定义为π。

因为sinx的连续性和(*)的结论，上面的下确界inf符号其实可以换成最小值min，即有π > 0 ，sinπ = 0 。

2、 和角公式和诱导公式

这一部分的内容需要用到常微分方程的相关理论。

注意到，sinx与cosx 都满足下面这个二阶常系数线性方程：

因为sinx和cosx是线性无关的。于是上面方程的解一定有形式：

而对应任意实数y，sin(x+y)也满足上述方程。所以

代入x = 0，x = -y 得到

同理可得，

于是我们得到了和角公式。

令x = y = π/2 , 得到

注意到由π的定义可得sin(π/2) > 0，可以得到 cos(π/2) = 0, 从而利用sin²x+cos²x=1这个式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的单调性（由π的定义这个区间上cosx 的导数-sinx 非正），得cosπ=-1。

于是反复使用以上公式，我们得到诱导公式，

于是我们知道2π是sinx 和 cos x 的一个正周期，实际上它还是最小的正周期。比如用sinx来说，2π不是最小的正周期，那么存在正数T < 2π还是sinx的正周期，下面三种情况都会得到矛盾。

  若T < π ， 则 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。

  若T = π ， 则 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1  。

  若π < T < 2π ， 则 0 < T-π< π ， 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。

于是，正弦和余弦函数关于周期的性质我们也得到了。

反复利用和角公式，我们得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。

利用这些公式，我们得到常用的一些特殊锐角的值，

3、 反函数

我们已经知道，-sinx 在[0,π]内是非正的，且只有孤立的x = 0，π两个点上取得零值。这说明,cosx 在[0,π]上是式单调递减的，于是在这个区间上有反函数，记为arccos x。

而sin x = cos(π/2 - x) ，利用复合函数的性质，得到sin x 在[-π/2, π/2]上单调递增。于是sin x 在这个区间上有反函数，记为arcsin x 。

特别的，我们有arcsin 1 = π/2 ， arcsin (1/2) = π/6， arcsin 0 = 0。

利用反函数的求导法则,对y=arcsin x求导，得到，

同理有

好了，我们已经把正弦和余弦函数的中学中常用的性质推了个遍，那他和圆有什么关系呢？

4、 圆的周长和面积公式

我们知道，圆的周长和面积都是由解析式x²+y²=r²(r > 0)，所围成图形决定的。而对于这样图形的面积和曲线长，我们利用积分（依赖于极限）有严谨的定义。

对于面积，由于对称性，我们计算下面这个定积分的4倍。

而对于后面的积分，令其为I，我们有

得到I = πr²/4 , 那么它的4倍就是半径为r的圆的面积,πr²。

对于连续可导的函数y = f(x) ，在区间(a,b)上的那一断曲线长为： 

于是由于对称性，圆的周长就是下面这个定积分积分的4倍。

于是4倍就得到半径为r的圆周长2πr。

我们通过上面的积分计算，建立起了圆的两个重要几何性质与之前定义的π的联系。最后我们要看看，π的值到底是多少。

5、 π的值是多少

  微积分中，我们知道，下面的公式（|x| < 1，规定(-1)!!= 0!! = 1）：

得到：

两边积分有，

代入x=1/2 有

这个级数的收敛速度还不错，要计算到3.14…..的精度只需要计算4项，计算到3.1415926......的精度只需要10项，耐心一些用手算都可以出结果。它比一般高数书给出的用arctanx的展开式计算π/4的速度快了不少，而后者，就算计算到500项也得不到3.14......的近似值。

学数学一定追求严谨到极致？

有句话说得好，数学的严谨就像衣服，太紧了不行，太松了不好。如果用这种最严谨（目前）的方式来作为起点学习三角函数，这种丧失全部直观的方式其实并不符合人们认识新事物的规律。另外，由于理解这种方式，需要对实数理论、微积分相当熟悉，而后者要到大学才开始接触，会拖后三角函数的学习进程。毕竟大部分人使用三角函数，都是使用其函数性质而非它的逻辑底层，完全没必要把这部分知识放在那么后面。

但是，如果我们追求一个理论的逻辑上的完美，在有一定数学功底之后，来回味一下从实数的基本理论来建立三角函数（或者其他初等函数）的过程，借此品尝一下数学的“极致严谨”小甜点也是一件很有趣的事情。

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原文作者：Alex Bellos，巴西数学科普作家。

译文作者：xyz，哆嗒数学网翻译组成员，就读于华东师范大学

校对：小米

赌博有其罪恶之处，却有助于塑造现代社会。本文中，数学家亚当•库哈尔斯基讲解了赌博和纸牌游戏启发科学领域中许多原始想法的方式。

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1.掷骰子游戏和新科学的诞生

十六世纪时，运气是无法被量化的。如果有人在一局摇骰子游戏中摇出两次6点，人们认为这是运气使然。吉罗拉莫•卡尔达诺，一个一生好赌的意大利籍物理学家，却并不这么想。他决定用数学方法处理赌博游戏，并写了赌徒手册，里面描述了如何驾驭概率事件的“样本空间”。例如，两个骰子有36种放置方式，但只有一种是两个6点。

这就是概率论的起源。这意味着我们可以量化一件事的可能性，并精确算出我们有多幸运——或者多不幸。多亏他的新方法，卡尔达诺在赌博中挣到了很大一笔钱，同时，数学也有了一个新的研究领域。

2.点数分配问题

假设你和一位朋友玩掷硬币游戏，并且第一个赢六次的人得到£100。如果游戏在你5-3领先时结束，你们该怎么分这一笔钱？1654年，法国贵族安托瓦尼•贡博就上述的“点数分配问题”向数学家费马和帕斯卡寻求帮助。

为了处理这个问题，费马和帕斯卡发明了名为“期望”的概念。这个新概念指的是：如果游戏被不断重复进行，每一方平均获胜次数的比例。现如今，这个概念是经济和金融的重要部分：通过计算一项投资的期望，我们可以算出该投资对每一派的价值是多少。

在掷硬币游戏中，你的朋友（3-5落后）需要连续掷对三次才能获胜。这件事发生的机会是1/8，而你平均在8局游戏中会赢得其余7次。因此，这笔钱应该以7：1的比率分配，也就是£87.50对£12.50。

3.轮盘赌和统计学

19世纪90年代，摩纳哥报会经常刊登蒙特卡罗赌场的轮盘旋转结果。在当时，这正是卡尔•皮尔逊想要的。他对随机事件极感兴趣，并需要数据去证明他的方法。不幸的是，轮盘不像他期待的那样随机。“就算蒙特卡罗轮盘从很远很远的地质时期就开始转动，”皮尔逊在研究数据后说道，“我们都不指望报纸上这两周的轮盘结果会出现——哪怕一次！”

皮尔逊的方法，经过轮盘分析的打磨，已成为科学的重要组成部分。从药物试验到欧洲核子研究所的实验，实验员计算完全靠运气获取结果的几率，并依此检验理论。这使他们能够确定是否有足够的证据支持他们的假设，或者这些结果是否只是巧合。至于皮尔逊持续关注的轮盘数据，下述解释更接近真相——懒惰的摩纳哥报记者并没有记录轮盘结果，而是捏造了数据。

4.圣彼得堡彩票问题

假设我们进行如下游戏，我反复掷硬币，直到正面第一次出现。如果正面在第一次掷就出现了，我给你£2。如果正面在第二次掷时出现，我给你£4。如果是第三次才出现，我给你£8，依此类推，每多一次，金额翻倍。那么，你愿意付我多少钱来玩这个游戏？
    
由于其期望值（也就是当这个游戏被进行很多次后，其平均支出）极其巨大，这个名为圣彼得堡彩票问题的游戏使18世纪的数学家感到困惑。然而，很少有人愿意花一笔钱钱来玩这个游戏。1738年，数学家丹尼尔•伯努利通过引入“效用”的概念解释了这个困惑。一个人的钱越少，他就越不愿意在赌博中冒大风险赚大钱。效用现在是经济学领域的核心概念，实际上也支撑着整个保险行业。我们大多数人宁愿进行小的定期投资以规避潜在的巨大风险，即使我们总体上会收获更多。

5.轮盘赌和混沌理论

1908年，数学家庞加莱出版了《科学与方法》，他在该书中思考我们做出预测的能力。他指出像轮盘赌这种游戏的随机性在于球的初始速度的差异——这种速度很难准确测量——并对球的落点有很大影响。20世纪下半叶，这种“对初始条件敏感的依赖性”成为“混沌理论”的基础概念之一。其目的是研究对于物理与生物系统可预测性的极限。

当混沌理论成为一个科学领域时，其与轮盘赌的联系依然存在。20世纪70年代，混沌理论的开拓者的其中一部分是像多因•法默和罗伯特•肖的物理学家——他们把电脑偷偷地带到赌场中，以测算轮盘赌中球的速度——并用这些数据成功预测了结果。

6.纸牌游戏和模拟的力量

计算机在概率学中有重要地位。20世纪40年代，计算机有了重大发展，这要归功于一位名为斯坦尼斯拉夫•乌拉姆的数学家。与许多同行不同，他不喜欢进行冗长的计算。他曾经打坎菲尔德牌戏——一种源于赌场的单人纸牌游戏——并思考以怎样一种方式才能赢得游戏。这位数学家意识到与其尝试并计算所有可能性，还不如多进行几次游戏并观察结果。

1947年，乌拉姆和他的同事约翰•冯•诺依曼应用了一项新技术用以研究位于新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室中的核连锁反应，并给它起了代号“蒙特卡罗方法”。通过使用计算机重复模拟，他们可以解决那些对于传统数学来说过于复杂的问题。自那时起，蒙特卡罗方法成为了从计算机图形到疾病疫情分析等众多行业的重要组成部分。

7.扑克牌和博弈论

约翰•冯•诺依曼在很多事情有辉煌成就，却并不擅长扑克牌游戏。为了研究什么样的策略更有效，他决定用数学方法分析游戏。尽管如何处理卡牌是一个概率问题，单纯解决这些问题并不足以获胜：他还需要预测他的对手的行动。

冯•诺依曼对于扑克牌和百家乐这样的游戏的分析引导他进入了“博弈论”的领域，也就是研究不同玩家的策略和决策的数学领域。约翰•纳什在冯•诺依曼的基础上进行研究，他的故事被翻拍成了电影《美丽心灵》。自那时起，博弈论逐步进入经济学，人工智能，甚至是进化生物学。也许由赌博引发的想法渗透进了如此多的领域并不会让人过于惊讶。正如冯•诺依曼所言，“真实生活中充满了虚张生势”。

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原文作者：John Baez

译文作者：Donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学。

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一个三次曲面是一个由3次多项式方程所定义的曲面。一个结点型曲面是一个仅有的奇点都是普通二重点的曲面：也就是说，它的奇点看起来就像是3维空间中按下面方程所定义的锥面的锥顶。

x² + y² = z²

凯莱三次结点型曲面（参见上面由 Abdelaziz Nait Merzouk 给出的图），是拥有最多（即4个）可能的普通二重点的三次曲面。事实上，每一个拥有4个普通二重点的三次曲面都与它是同构的。

凯莱三次结点型曲面可由如下方程定义：

wxy + wxz + wyz + xyz = 0

该方程定义了一个复维数为2的C⁴的子集S。需要注意的是，如果(w , x , y , z)∈C⁴是该方程的解，那么它的任何倍数(cw , cx , cy , cz)也是。因此我们可以射影化S，将任何一个解与它的任何倍数视为是相同的。于是我们得到了复射影空间CP³中的代数簇X。该簇具有复维数2，所以它被称为一个复曲面。为了获得一个普通的实2维曲面，我们将它与CP³中的一个RP³的拷贝作交集。

现在让我们着眼于RP³，相应地我们将得到很多普通3维空间R³的拷贝。上面的图片显示了凯莱三次结点型曲面在其中一个拷贝中的部分图像。

凯莱三次结点型曲面的简单二重点出现在w，x，y，z中有三个坐标为零的地方。超平面w + x+ y + z = 1决定了CP³中的一个C³ 的拷贝；并且如果把所有四个坐标都限制为实数时，将给出一个R³ 的拷贝，同时这些二重点恰好构成一个正四面体的四个顶点。此外，凯莱三次结点型曲面的对称群是S₄，即正四面体的对称群。

谜题1. 凯莱三次结点型曲面上有9条直线。其中6条包含了上述四面体的棱。那么另外3条呢？

下文讨论了凯莱三次结点型曲面的一些有趣性质：

·Bruce Hunt, Nice modular varieties, Experimental Mathematics 9 (2000), 613–622.

特别地，他解释了它是如何作为一个球的商的紧化以及某特定的阿贝尔4-流形的模空间。

谜题2. 证明：通过变量代换，凯莱三次结点型曲面也可以由如下方程定义。

w³ + x³ + y³ + z³ = (w+x+y+z)³

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前不久在美国，共和党总统候选人唐纳德·特朗普和民主党候选人希拉里·克林顿在电视上进行了唇枪舌战的电视辩论，“美国大选”这一话题有成了一些圈子谈论的热点话题。

我们哆嗒君之前发布过著名数学家陶哲轩发表在自己博客上说特朗普不适合当总统​的博文译稿。我们今天的话题还是关于他们俩的。

我们的朋友圈这两天挖出特朗普对于这件事对陶哲轩的反击，特朗普在发布推文道：“陶哲轩声称，我川普不适合做美国总统，但骗子希拉里没问题。而真像是，陶哲轩那小子只针对我是因为他是一个失败的分析学家，他连挂谷宗一猜想（Kakeya Conjecture）都证明不出来。悲哀！”

这一点倒是符合特朗普一项说话大大咧咧的作风。而提到挂谷宗一猜想，陶哲轩的确有不少博文提到它。陶哲轩多次强调这还是一个没有解决的问题，现在只有部分结果。

当然，我们不知道特朗普是否真的了解这个猜想的难度。不过，路过的我们，可以看看热闹，当一回吃瓜群众。

当然陶哲轩不是唯一一个揶揄特朗普的学术界大神，著名物理学家霍金也表示，自己无法用已知的物理理论解释特朗普为什么如此的受人欢迎，还说，特朗普是一个善于煽动庸众的政治家。

当然，一些美国人对霍金的说法不以为然，一位美国大叔在Facebook上评论道：霍金这样的大牛竟然不懂这个道理？一直以来人们都受够了玩弄政治的政治家，特朗普可能不是最好的反建制派候选人，但他作出了尝试，这已经是我们最好的选择了。他不是妄想家，不觉得自己是统治阶级，他就是想让美国变得更好。而且他是不会被收买的。建制派的民主党人和共和党人，有些东西没法说。

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原文作者：Rachel Feltman，华盛顿邮报记者。

译文作者：小泽，哆嗒数学网翻译组成员，就读于早稻田大学。

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我有很多让自己泄气的经历，对微积分II的学习就是其中之一。我努力学习这门课程，但它还是让我得到了有史以来的最低分。现在回想起来，我不是“不擅长数学”——我只是无法很熟练的记忆公式和定理，这与我用普通话表演戏剧或者写一篇通用电气(GE)工厂的终身环保费用的评论中的表现并不一样。而它和我在麻利地完成化学课程的实验部分时被化学考试呛住是同一件事情：对我来说记住那些东西是既困难又无聊的，可是这对数学学习来说似乎不太好。

当我一周两次地走向极度拥挤的微积分II教室并经过天体物理学系的公告板时，我能感觉到一种内脏搅在一起的恶心感。我知道我在基本的数学学习上做得不够好更别提研究宇宙中的恒星。除非是我能通过考试，并且比周围许多人花在课程辅导上的时间更少，作弊也更少，要是这样，我就能扎紧我的马尾辫并全心全意投入几年的物理和数学课程的学习中。我曾经如此渴望过。

【性别差异：研究发现，女性在需要努力工作的领域受欢迎，然而“天才”的领域还是在男性主导下。】

根据星期三的PLOS ONE上发表的研究，微积分可能实际上是女性在通向STEM道路上一个常见的流失原因。性别差异在缩小但是没有完全消失——根据美国劳动力统计局的数据，女性构成了国家总劳动人口的47%，但是女性在其中，只占到化学家和材料学家总数的39%，环境学家和地球学家总数的28%，化学工程师的16%以及土木工程师总数的12%。许多研究员在寻找女性教育中可能因为性别偏差而被过度消极对待的问题点。新的研究表明大学里的微积分I课程可能是一个主要转折点。

作为领头研究员的科罗拉多州立大学数学系助理教授的Jess Ellis说她没有打算去研究性别差异：她的工作被国家科学基金会资助并受美国数学协会的帮助指导。她的工作致力于在整体上了解微积分教学在全美的总体情况。

【即使他们看到了证据，男性（在网上）也不相信性别歧视会在科学研究领域里是一个问题。】

在微积分I考试的前后，全国范围内有14000名学生接受了调查（在分析中只包括了5000人提供的足够完整的数据，但是那依然使得这个研究是此类研究中涉及范围最广的）。他们被要求回答关于对STEM学位的兴趣和追求STEM学位的意向，同样还包括了他们的考试成绩，经历和背景的一些问题。

Ellis想知道那些本计划坚持学习微积分II的学生是否真的在学完微积分I后继续学习，并且想看看她是否可以在那些学生的经历中找到可以解释原因的某种模式。

“分析数据时我们意识到不同的性别似乎是一个主要的差异并决定深入调查。”Ellis告诉华盛顿邮报。

男性和女性学生回答了关于他们抛弃微积分的决定，其结果相当一致--除了一个明显的例外：

不超过五分之一的选择不继续课程的学生因为分数太低无法继续学习（无论性别）。但是在选择STEM专业的学生中，认同“我不认为我在微积分I的理解足以好到让我继续学习微积分II”这一观点的女性的数量是男性的两倍多。

“作为老师这很令人伤心，但也在意料之中。”Ellis说到，“我曾经教过很多在数学上有很强思维的女性学生，但是她们对自己的信心却和她们的能力不相匹配。”

【新的研究表明，大脑实际上并没有“男性”和“女性”之分。】

当然，有人可能会争论说女性是正确的，也许她们真的无法像男性那样把微积分理解得很好。但是男性和女性在数学上的表现的差别更可能是在文化上的而不是大脑上：研究发现男性和女性几乎都潜意识里假设男性在数学上表现更好，而且这个偏见甚至可以影响小学老师给年轻男生和女生的数学作业打分的方式。研究发现，和男生同样的作业，那些被老师打了低分的女生，她们长大之后在数学方面做得更糟，然而男孩变得更加自信。

最近的研究发现如果女生父母是来自性别比较平等的国家的话，她们在数学上的表现更有可能赶上男生。一些研究员甚至暗示我们国家的STEM隔阂可能是特权和性别定式化混合的结果：“我们的国家能够很大程度上能支持公民的个体奋斗，使得孩子们可以找到使他们幸福和成功的工作。但是课堂里有这么多的无意识的偏见，也难怪许多女生认为她们成功的最好机会只在科学领域之外。

Ellis和她的同事希望她们的新数据能够鼓励各个阶段的老师，尤其是那些教微积分I的老师，让女性通往STEM的路上不再因为上面的原因而流失。她们也在深入挖掘那些来自少数族裔，低社会经济地位和拥有第一代移民背景的学生的动向的数据。

但是让女性学习微积分II并不能解决所有科学领域里的性别问题。流失的原因很多，不一而足。

【科学研究的性别歧视：同龄的编辑告诉女性研究者她们的研究需要一个男性作者。】

“有许多工作研究在STEM生涯的不同阶段的男性和女性的经历，并表明随着时间推移的不同经历。在学院人员设置方面，这些经历可能和手稿的审查，终身职位和升职决定还有休假奖励有关。我没有意识到这其中任何一个直接地影响我的工作，但是我意识到这本身就是一种可能性。”Ellis说。

还有一个老生常谈，在STEM领域工作的女性，不论是学生还是教授更有可能面临性骚扰。这个问题在今天越来越突出，要让学术界像欢迎男性一样欢迎女性的加入，依然有很多工作要去做。

即使“性别歧视不好并应该被抛弃”这句陈述对你没什么用，但还是有很多原因去强调这个事情。下一个十年，估计STEM领域能够高速发展，几百万本应该进入STEM领域的工作人员却没有成为这些领域的毕业生。白宫发起倡议安排这些更多的STEM工作人员走上学术道路，而且针对性别平等的工作将会使人才储备扩大很多。
 

 “作为一个团体，我们需要正视研究已经展现的东西，以及研究在字面以外蕴含的东西，STEM领域里工作力人口总数和可能对这个领域做出贡献的人口总数不相称，并且我们可能会因为在STEM领域中有了更多样化的视角而获益。”Ellis说。

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原文作者：陶哲轩，加州大学洛杉矶分校数学教授，2006年菲尔兹奖得主。

译文作者：念琦，哆嗒数学网翻译组成员，就读于东北师大附中。

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注：以下是对我做了一些评分工作之后产生的新想法和有关计算的记录。这个类型的问题可能已经在某些文献中被研究过了；我很乐意了解任何相关的资料。

假设一次考试中有N道判断对错题，每道题的答案是随机的，即答案是“对”和“错”的概率相等，并且不同的问题之间没有关联。假设参加考试的学生必须用“对”或“错”回答每一道题（不允许跳过任何一道题）。

那么我们很容易知道如何评分：只要数一数每个同学正确回答了多少道题（也就是每道题回答正确得一分，回答错误不得分），并将这个数字k作为考试成绩即可。

更普遍的情况是，我们将每道回答正确的题的得分记为A，每道回答错误的题的得分记为B（通常是一个负数），那么总分将是 Ak+B(N-k)。只要A＞B，这种评分方案就相当于对前一种直接把k作为总分的模式进行了改变比例的变换，并且同样可以达到评价学生和鼓励学生尽可能多地正确回答问题的目的。

然而事实上，学生很可能不能绝对确定每个问题的答案。

我们可以采取一个概率模型，即对于一个给定的学生S和一个给定的问题n，学生S认为问题n的答案为“对”的概率是p(S,n)，而答案为“错”的概率是1-p(S,n)，其中0≤p(S,n)≤1，p(S,n)可以被看作一个衡量学生S对这个问题的答案的自信程度的量（若p(S,n)趋近于1，则S对于答案是“对”有信心，反之若p(S,n)趋近于0，则S对于答案是“错”有信心）；为了简化问题我们假定在这个概率模型中，每个问题的答案都是相互独立的随机量。

考虑这个模型，并且假设学生S希望最大化自己的得分，我们很容易发现S回答问题的最优策略是当p(S,n)＞1/2时回答“对”，当p(S,n)＜1/2时回答“错”。（如果p(S,n)=1/2，S可以任意选择答案。）

 [注意：这里的“自信程度”不是统计学中的术语“置信度”，而是一个描述主观概率的非正式用语。]

就现状来说这样还不错，但是对于评估学生究竟掌握知识到何种程度的目的，它只提供了一些有限的信息，尤其是我们不能直接看到学生对每道题的自信程度p(S,n)。

举例来说，假设S在10道题中回答正确了7道，那是因为他或她确实知道这七道题的答案，还是因为他或她对这十道题作出了合理推测，使得最终的正确率略高于随机猜测的正确率而达到70％呢？看起来如果学生只被允许回答“对”和“错”，我们没有办法辨别这两种情况。

但如果学生可以给出概率性的答案呢？也就是说，对于给定的问题n，学生不是只能回答“对”或“错”，而是可以给出一个如“答案是‘对’的可能性为60％”（因此答案是“错”的可能性为40％）的回答。这样的回答使我们更加了解学生掌握知识的程度；更重要的是，理论上我们将可以确切地知道学生对每道题的自信程度p(S,n)。

但是现在，如何评分变得难以确定了。假设100％确信正确答案的回答得一分，60％确信正确答案的回答应该得多少分？60％确信错误答案（等同于40％确信正确答案）又应该得多少分？

数学上，我们可以选择评分函数f:[0,1]→R，当学生对正确答案给出的可能性为p时，得分为f(p)。例如，如果学生认为“对”的可能性为60％（因此“错”的可能性为40％），在这个评分方案下，如果正确答案是“对”，学生的得分为f(0.6)，如果正确答案是“错”，得分为f(0.4)。我们的问题是：在这种情况下最合适的函数f是什么？

直观地，我们认为f应该单调递增——对于正确答案有较高自信的学生应该得到比对正确答案自信较低学生更高的分数。另一方面，后一种学生也应该得到一部分分数。一种想法是采用线性的函数f(p)=p，即对正确答案给出60％自信的学生将得到0.6分。但这是最好的选择吗？

为了使这个问题在数学上更明确，我们需要一个客观的标准来评价评分方案。这里可以采用的一种标准是是否避免了不正当奖励。

如果一个评分方案设计得不好，学生最终可能会夸大或故意少说自己对答案的自信程度，以此提高自己的（期望）成绩：对于一个学生，一道题的最优回答q(S,n)可能与其主观的自信程度p(S,n)不同。因此我们可以设计一个总能使得q(S,n)=p(S,n)的评分方案，从而激励学生真实地写下他或她对此题的自信程度。

这是对评分函数f的一个明确约束。如果学生S认为问题n的答案为“对”的可能性为p(S,n)，答案为“错”的可能性为1-p(S,n)，而作答时回答答案是“对”的可能性为q(S,n)（因此“错”的可能性为1-q(S,n)），学生对这道题得分的期望为

为了使这个期望最大化（假设函数f可导：在一个部分给分的评分方案中这是一个合理的假设），学生会执行对独立变量q(S,n)求导并使结果为零的策略，得到

为了避免不正当奖励，期望的最大值应在q(S,n)=p(S,n)时取到，因此我们有

对于所有0≤p(S,n)≤1成立。这要求函数p→pf'(p)为一常量。（严格地说，应是要求函数p→f'(p)关于p=1/2对称；但是如果将问题推广到不止两个选项的多选题的情况，对于只与正确选项的自信程度有关的评分方案，同样的分析将得出pf'(p)必为一与p无关的常量的结论；这个计算留给感兴趣的读者完成。）

也就是说，f(p)应为Alogp+B的形式，其中A,B为常数；根据单调性，A为正数。如果我们规定f(1/2)=0（即“对”和“错”的自信程度各占50％时不得分）以及f(1)=1，我们就得到了评分方案

因此，如果一个学生认为答案是“对”的可能性为p，答案是“错”的可能性为1-p，如果正确答案是“对”，他或她将得到

的分数，如果正确答案是“错”，他或她将得到

的分数。下表中的值可用于说明这种评分方案：

我们注意到对于错误答案自信程度很高时惩罚会很严重；尤其是，学生会避免回答对某个答案有100％的自信，除非他或她真的绝对确信自己的答案。

在这个评分方案下，若学生S对每个问题n的回答是答案为“对”的可能性为p(S,n)，答案为“错”的可能性为1-p(S,n)，则总分为

这个分数也可以被写作

其中，

是给定正确答案的情况下学生S的主观概率模型（即学生S的答案）的似然函数。因此这里的评分系统还有一种对数似然函数的解释。它激励学生使自己的主观概率的正确可能性最大化，这与统计学中的标准做法（最大似然法）一致。

根据贝叶斯概率的观点，学生的分数可以被看作对学生的主观概率模型为正确（接近正确答案）的后验概率比先验概率高出多少的（对数尺度下的）量度。

我们可以用上述的评分方案评估对二元事件的预测，例如对于即将到来的只有两名候选人的选举，就可以在事后看看各预测者的预言起了多大作用。

这样做会遇到的一个困难是很多预测都不会给出一个明确的概率，而如果对任何并非完全确定的预测给出了默认100%的主观概率，只要其中任意一个预测错误，就必然产生-∞的得分。

但是如果预测者拒绝给出明确的概率，或许我们可以设计一个默认的主观概率p，并且（选择一些合适的该预测者做出的预测作为“训练样本”）找到使该预测者得分最高的p值。这个值作为默认概率可以被用于该预测者此后做出的任何预测。

以上的评分方案很容易推广到多选题的情况。但是我遇到的一个困难是如何处理不确定性，也就是学生甚至无法给出一道题的答案为“对”或“错”的可能性的情况。

这时，允许学生空题（也就是回答“我不知道”）是很自然的；更加高级的选项是允许学生以一个自信程度的区间作答（例如“我认为答案为‘对’的可能性在50%到70%之间”）。

但是对此我还没有一个很好的评分方案；一旦学生的主观概率模型中出现不确定性，由于“不确定的不确定概率”，最大化学生分数的期望的问题就会是不适定的，因此之前使用的判断是否避免了不正当奖励的标准也不再适用了。

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原文作者：Kevin Knudson，佛罗里达大学数学系教授。

译文作者：Y. W.，哆嗒数学网翻译组成员,就读于北京四中。

校对：donkeycn

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我们都玩过连线游戏。一张图上有一组标好号的点，我们从数字1开始一个个连线段，一直连到最后就能看到一个图案。
 

上面这个连线游戏的图案是太阳。

 
这简单的连一个小孩儿都能做，更别说一个数学家了。

因为我们的点是有顺序的，而且我们知道要按顺序连点，所以我们可以玩这个游戏。但是，在实际生活中，我们经常遇到没有标号的点。那怎么连点才能连出一个有意义的图片呢？

我们可能不想把离的太远的点连到一起，比如我们不太可能想到把上图中在整张纸的两侧的1和13连到一起。那么到这里就需要一个标准了，到底怎样算远？怎样算近？这里可以参考沃罗诺伊图。

给定平面上的一些点，平面被划分为相应的区域（每个平面上给定的点对应于一个区域），使得每个区域中任意一点距对应的给定点比距其它任何给定的点都近，每一个区域被称为一个沃罗诺伊胞腔，这样就得到了沃罗诺伊图。下面是一个例子（一张平面上有八个点的沃罗诺伊图）：
 

画一张沃罗诺伊图并不难：首先作出任意两点的垂直平分线， 这些垂直平分线形成了沃罗诺伊胞腔的边界。举个例子，在上面的分割中，中间的红色胞腔包含了距离中央的给定点距离比距离其他给定点近的点。虽然这个红色胞腔是一个有界的区域，但是其他的胞腔可以是无界的（比如右上角紫色的胞腔 ）

当我们完成了这一步，就可以开始德劳内三角剖分了。德劳内三角剖分就是按照一个特定的规则连点。形式上，德劳内三角剖分是沃罗诺伊图的对偶图。但是如果你不知道上面这句话的意思，也没关系，因为这个过程很容易描述，只要对应点的沃罗诺伊单元胞腔有一公共边，我们就把它们用一条边连接起来。这保证了我们只连接“近”的点，而非 分别位于给定点集两侧的2个点。

那么，我们刚刚连出太阳的图会变成什么样子呢？来看看下面的沃罗诺伊图（给定点集的沃罗诺伊胞腔）。

好像和数字没有什么关系……不过没关系，现在来看看在沃罗诺伊图上建立的德劳内三角剖分（黑线为德劳内边）

现在我们可以看到一个暗藏的太阳了。但是，我们不仅连上了相邻的点，还意外连上了几个在圈 上的点。总的来说还是不错的，而且这个方法也很简单。 虽然这样，还是有一些问题的。这个方法可以在更高维的空间中运用，但计算会变得繁琐。 给定d维空间中的n个点，对应的沃罗诺伊图具有n^(d/2)(n的d/2次方) 个点。也就是说，如果d比2大很多的时候，要得到相应的沃罗诺伊图，将会不胜其烦。

沃罗诺伊图有一段广为流传的历史，包括在解决1854年伦敦霍乱爆发事件中著名的应用。医师约翰•斯诺通过不同的井分割城市，从而排查致病的水源。德劳内三角剖分还应用在在国土建模和其他曲面的可视化中。随着新计算技术的到来， 寻找能更好应用德劳内三角剖分（“应用德劳内三角剖分”改为“得到沃罗诺伊图”）的算法已经变得非常重要。

麦克•波斯多克使用机场的位置作为给定点划分的美国地图，我个人最喜欢的沃罗诺伊图。

詹森•戴维斯制作了一张世界机场沃罗诺伊图。这张沃罗诺伊图可以让你旋转地球表面。（传送门：https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/）建议你看看这个，挺好玩的。

现在你知道数学家是怎么连线的了，这可不仅仅是一个小孩玩的游戏哦。

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原文作者：JAG BHALLA，科普作家。

译文作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

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科学的“菜谱”中有一道新的热门食材。可以让科学变得更加美味，而数学方程却无法实现。在关键的转变过程中，需要更好的语言来实现。

1，    科学通常用数学关系来组织数据。然而Joscha Bach等物理学家们，正在刷新关于自然界“由数学写就”的观点，重新描绘宇宙为“非数学的，而是计算性的”。

2，“计算不同于数学”，数学大多是不可计算的（＝不可解）。然而物质总是在计算（它总是知道该做什么）

3，对于Bach来说，物理学是关于“找到一个能够重现的算法”的数据。他称之为计算主义（computationalism），然而“算法形态主义（algomorphism）”更好地强调了算法的结构。

4，就像菜谱那样，算法有详细操作指令和操作步骤。除了Bach的可计算性的愿望之外，算法可以更好地表达顺序和条件的关键特性。

5，受过训练的物理学家们所热爱的代数方程语言（Algebraic Equation Language ，AEL）有着致命的局限性（经典案例“三体问题”）。

6，AEL的语法暗藏着更深层次的逻辑影响。X+Y＝Y+X，但是“车在马之前”≠ “马在车之前”。顺序通常有重大影响（在实际生活中，即使不在代数方程语言语法里）。

7，一些人寻求只有代数方程语言的世界。Sabine Hossenfelder曾发出挑战：是否有任何人能够“写下任何……允许……自由意志的方程”。也许AEL不能描绘所需的场景？

8，Freeman Dyson说过“将物理学以外的其他科学归约到物理学并不可行”。将活细胞看作只是“一堆原子的组合”并不是最合适的。

9，构成你身体的那一堆原子执行着令人吃惊的复杂过程，组织策划着数万亿计的组成原子（＝大量有序的，完全算法的，非代数的）。

10，生物学也需要算法逻辑，因为现实生活不可避免地涉及到选择（例如选择避开什么以免被吃掉）。算法提供了一种自然适用于描述选择的语言。而AEL 难以表达诸如“如果有捕食者就马上逃跑，否则就吃青草”这样的规则。

11，自然选择本身就是一个元算法。同样，经济学（～生产力选择）也是算法的（不幸的是建模者主要用AEL来描写它）。

12，宇宙中的行为富含算法。物理学已经描绘了大部分适用于AEL的场景。但是现实生活的经验模式里展现了更丰富的逻辑。

13，选择是关键（正如选择正确的语言），即使是无生命的系统——例如计算机——也体现出选择逻辑。

14，婴儿，需要强大的因果关系探测器来区分两种模式类型－－物质的东西（＝非选择）和有生命的东西（＝展现“偶然性模式”）

15，如果一个系统能够用像电荷工作方式的“选择商（choosing quotient）”CQ来描述，将会怎样呢？带电的东西（净电荷>0）与不带电的东西所做的事情不一样。也许CQ>0的系统用能量做出的反应不同于CQ＝0的系统。

16，因果性本身可以看作是允许算法可计算的状态之间的转移。

17，AEL 不能有效地描绘所有的经验模式。而算法提供了一个更丰富的调色板。

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图片来源于Julia Suits，纽约漫画家，《The Extraordinary Catalog of Peculiar Inventions》一书的作者

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原文作者：Marc A. Murison，美国海军天文台，华盛顿特区。

译文作者：

radium，哆嗒数学网翻译组成员,就读数学专业

donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员,​华东师范大学数学博士

校对：小米

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摘要

我们呈现了一个开普勒方程的数值解法。这个方法实用又快捷，同时对CPU的运行时间进行了优化。 

关键词： 天体力学    二体问题       开普勒方程

1、    引言

开普勒方程联系了线性流逝的时间与非线性的两个天体m1和m2相对于它们的质心做开普勒运动时的相对角位置。即：
               

       (1)

其中E是偏近点角，e是轨道离心率（或轨道偏心率），M (t) = n (t − τ )是平近点角，n是该二体运动的平均角速度，τ是行星经过近日点(注：此时可认为是行星绕恒星运动，近日点即行星与恒星距离最短处)的时刻，a是椭圆轨道的半长轴，a与n满足n²=G(m1+m2)/a³。参见下图。
 

我们将在这里概述如何推导一个开普勒方程的数值解法。理想情况下，一个方法是否实用，应该看它是否同时具备以下两种特质：（1）计算E的CPU时间是否最小化（2）程序的复杂度是否最小化。这两个需求往往是互相制约的，但幸运的是我们可以找到一个折中的方法来解决这个矛盾。一个更详细和完整的方法会在另一篇文章中讨论，这里我们主要强调实用性。

开普勒方程是超越方程，故它的解只能通过迭代法得到。因此，任何一个数值设计的过程都有两个任务。第一个任务是设计迭代循环中的逼近算法；这个逼近算法需要重复直到结果达到令人满意的精度。一般说来迭代公式所用的阶数越高，迭代所需的次数就越少。然而，更高阶的迭代公式将使得公式的表达式变得十分复杂，这将极大地耗费CPU的运行时间。因此，无论我们选择何种算法，一个适当（通常是比较低）的阶数会使得CPU的时间耗费最短。第二个任务是选择一个迭代循环的初始值，初始值选的越精确，循环将收敛的越快。选择初始值的方法不需要和迭代方法一样，哪怕极其相近。类似于迭代算法，对于一个给定的确定初值的算法，将有一个理想的阶数能够最大限度地减少CPU的时间耗费。

接下来我们将给出一个特别简单的确定初值的方法，在那之后会给出一个快速迭代法。而第五部分，我们列举的其他研究成果表明，这里总结出的对于每种方法的阶数的选法都是理想的。紧接着是一个使用这些方法的快速和傻瓜式的程序。幸运的是，你将吃惊地发现它十分简单，而且很容易移植到各种数值计算语言。

2、    初值法

由于我们必须用迭代法求解开普勒方程，我们给循环迭代的初始值越精确，效果就越理想，至少在迭代表达式的复杂性变得令人反感之前应该是如此。我们有开普勒方程

              （2）

在离心率为0的这个极限情况下，我们有E = M；这是最简单的初始值近似。因此方程（2）暗示了如下改进此近似的简单迭代公式：

                 （3）

其中初始条件E0 = M。我们可以对迭代递归表达式（3）进行反复迭代，直到得到我们希望达到的E的任意高的阶数。例如三阶近似公式：

   （4）

公式（4）对应的计算时间最优化的三阶伪代码如下： 

KeplerStart3 := proc(e,M) 
local t33, t35, t34; 
t34 := eˆ2;
t35 := e*t34; 
t33 := cos(M); 
return M+(-1/2*t35+e+(t34+3/2*t33*t35)*t33)*sin(M); 
end proc;

3、    迭代法

因为（1）是超越方程，无论是数值求解还是解析求解，我们都必须使用迭代法。所以当给定一个具有一定误差E的时候，我们必须找到一个迭代公式，使其返回一个误差更小的近似值。同时它也必须是收敛的。基于这种情况，我们按如下方式改写方程（1）：

               （5）

式(5)中，f(x)= 0的解是x = E 。设ε=x-E是用x近似E时所引起的误差。将f(x)在x = E处进行泰勒展开，我们得到

 （假设 ε 充分小）

只考虑式(6)到ε的1阶项，求解可得

        （7）

我们可以把这个作为一阶迭代公式的核心部分。假设我们一开始的猜测是x = x_0，那么x_1 = x_0 + ε比x0更接近于E。我们得到如下一阶迭代程序：

   （8）

其中初始值x0的取值将在后面讨论。由(8) 我们可以得到一个单步一阶迭代方法来估计E_{n_1}=E_n – ε_n 。式(8)对应的伪代码程序是

eps1 := proc(e,M,x) 
return (x-e*sin(x)-M)/(1-e*cos(x));
end proc;

现在把ε的二阶项考虑进去，方程（6）的霍纳形式是

 （9）

在方程（9）中令f (x − ε) = 0，整理得到如下形式：

     （10）

我们可以通过分析方程（8）来创建一个二阶迭代形式：

    （11）

我们还可以创建一个两步迭代过程，具体过程如下：首先计算方程（8）给出的ε_n ，然后计算方程（11）给出的ε_{n-1}。我们也可以直接跳过中间步骤，直接把方程(7)给出的ε_n代入方程（11），得到单步迭代为

 （12）

关于方程（12）的一个优化后的伪代码为

eps2 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3;
 t1 := -1+e*cos(x); 
t2 := e*sin(x); 
t3 := -x+t2+M; 
return t3/(1/2*t3*t2/t1+t1); 
end proc;

关于函数f(E) = f(x − ε)的三阶近似的霍纳形式为

   （13）

令方程(13)为0，解出“最外层”ε，放在右边，我们有方程：

  （14）     

（在方程（14）中我们或许可以用方程（12）代替ε_n使其变为二步迭代方法，或在方程（11）中用方程（8）代替ε_n变为三步迭代方法。又或者，我们可以在（14）中直接用（12）代替ε_n，从而得到一个单步三阶方法，后者优化后的伪代码为

eps3 := proc(e,M,x) 
local t1, t2, t3, t4, t5, t6; 
t1 := cos(x);
t2 := -1+e*t1; 
t3 := sin(x);
t4 := e*t3; 
t5 := -x+t4+M; 
t6 := t5/(1/2*t5*t4/t2+t2); 
return t5/((1/2*t3 - 1/6*t1*t6)*e*t6+t2);
end proc;

我们可以继续利用这种方式到更高阶的形式。

4、    真近点角与偏近点角之间的互相推导

如果有人需要使用真近点角θ 而不是偏近点角E，我们可以参考前面的图对它们进行转换。由图可知，位置向量的大小可以写为：

  （15）

观察图1，我们有

  （16）

从方程（16）我们可以推导出

 和  （17）

从方程（17）用θ反解出E，我们得到

 和    （18）

因此，在必要的情况下，我们可以使用迭代程序去求解我们开普勒方程中的E，然后使用方程（17）解出θ。

5、    总结：一个有用的数值方法
 

（作为初始值精度 (Nstart)和迭代阶数(Niter)的二元函数，等高线表示在每一个(Niter, Nstart) 点上求解160000个开普勒方程花费的CPU总时间。这160000个方程的e和M从{ R×R:e∈(0,1),M∈(0,π)}的一个等间隔400×400网格域中选取。从上图看，每个方法的三阶算法都接近最优）

广泛的数值测试（参见图2）表明，三阶迭代，不论是对于初值法，还是迭代法，对比以前用的方法，在节省时间上更优。

这是一个在数值上利用优化后的三阶迭代和初始值方法求解开普勒方程的程序。

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作者：陈刘，哆嗒数学网群友，就读于西华大学。

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在这个安静的夜晚，刚看了一篇关于哥廷根应用力学学派思想发展的综述论文，思索再三，终于敲打起键盘，写我喜欢的应用力学。应用力学的思想精髓是什么？应用力学研究什么？应用力学的发展历史是怎样的？有哪些著名的力学大师？我国的力学发展情况？我会就我个人的看法，一一回答。总之，仅代表我个人的看法，望能激起你对应用力学的兴趣。
 

应用力学，我个人认为是沟通自然科学与工程科学的桥梁，从生活实践中提取，归纳理论，进而形成规律，然后运用于生活，这便是其思想精髓。自然科学侧重探索自然的奥秘，工程科学侧重运用理论解决生活实践中的实际问题。理论在与实践结合的过程中，力学扮演了重要的角色，处于核心地位。

那么，应用力学的研究内容主要有哪些了？我举具体的例子说明这个问题：

力学就其历史上经典的门类，可以粗略的分为固体力学，流体力学（现在还有物理力学，生物力学等等）。在二十世纪以前，弹性理论，流体力学是理论物理的一部分。在后来的发展过程中，弹性理论主要运用于分析材料的力学性能，形成一门经典的学科，也就是固体力学。现在，我们大学开设的工科力学基础课程就包括，材料力学，弹性力学，结构力学，还有建筑系的建筑力学，可以说都是固体力学的一部分。固体力学就完成了力学在工程实践中的应用，但同时和物理保持着深刻的联系。流体力学在当时也是理论物理的一部分，至今在某种程度上也可以说是理论物理的一部分。流体力学的分支学科包括：空气动力学，多相流体力学，燃烧学，湍流与流动稳定性等等。可以这样说，流体力学既是基础科学又是应用科学。

空气动力学主要应用于航空航天领域，解决飞行器飞行过程中的具体问题，包括：激波，边界层减阻，音障突破等。多相流体力学主要研究汽液固三相物质之间的相互作用。简单的例子就是，气泡在液体中的生成和溃灭现象；以及海洋中，海水与固体建筑物，船只等的相互耦合作用。燃烧学的应用非常广，比如在发动机领域，燃烧室的燃烧现象是一个涉及面广且困难的问题。燃烧现象涉及到复杂的热化学反应，复杂的湍流运动，还有各种未知的环境影响，综合来说，燃烧学是一个与流体力学结合紧密的学科，了解燃烧现象，对很多基础学科都有本质上的进步。湍流与流动稳定性领域，主要研究流体如何从层流状态过渡到湍流状态，以及流体在湍流状态后的一切动力学特征。这是一个非常困难的领域，世界各国都有很多科学家致力于湍流的研究。从哥廷根大学的应用力学研究所开始，普朗特曾致力于湍流的研究，提出了著名的“混合长度理论”；普朗特的学生，冯•卡门也曾孜孜不倦的研究湍流，写下了著名论文《湍流的力学相似原理》。这些领域的应用，都说明了流体力学既是一门重要的应用学科，同时又是一门重要的物理科学，从而也论证了，为什么力学是联系自然科学和工程科学的桥梁。

应用力学的发展历史是怎样的了？我才疏学浅，仅就我所了解的范围斗胆谈论这个问题，恳请有识之士批评指正我，并改正，补充和完善相应的内容。
在哥廷根应用力学研究所建立以前，我所知道的力学大师有泊松，欧拉，达朗贝尔，阿佩尔，拉格朗日，拉普拉斯。我们能发现，其实我所列举的力学大师更准确的说，应该称为数学家。没错，我曾在费米的传记中看到一段话，在当时的意大利，力学都是由数学系的老师授课的，也就是说，力学是作为数学系的一部分，这个现象在当时很多国家都是类似的。
      

      

在哥廷根应用力学研究所建立以后，力学作为一门独立的学科逐渐开始从数学，物理中分化出来。在二十世纪初叶，哥廷根是世界的数学中心，有着深厚的数学底蕴。高斯，黎曼，希尔伯特，克莱因都是鼎鼎有名的数学大师。同时，在哥廷根大学还有一个传统，就是既要在纯粹数学领域深入研究下去，另外还要把数学应用于生活，以及其他科学领域。从高斯起，哥廷根大学就坚持着这个传统。所以，我们会发现，高斯既是一位数学家，又是一位在物理学领域颇有建树的物理学家。
      

在希尔伯特和克莱因作为哥廷根数学领袖的时候（二十世纪初），希尔伯特更侧重纯粹数学的研究，但也支持相关的物理学研究（曾支持波恩建立物质结构研究所，海森堡曾在这里学习）。与此同时，克莱因较侧重应用数学的研究，建立了哥廷根应用力学研究所，邀请著名科学家普朗特带领应用力学研究所。两位数学大师在各自的信仰下，使数学在各个方面蓬勃的发展。

应用力学研究所成立以后，力学进一步蓬勃的发展。当时的哥廷根，力学主要在固体力学和流体力学方面得到了充足的进步。后来应用力学研究所又继续分为流体力学研究所，由普朗特主持；以及空气动力学研究所，由贝茨任主任。此后，应用力学研究所有着许多成果：托儿明研究了非定常边界层的稳定性；尼姑拉兹在管道的阻力方面做了一系列的开创性实验；贝茨研究了翼型阻力；阿克莱特研究了超声速流相似律和吸气边界层等等。

应用力学研究所培养了一个时代的力学大师，冯•卡门，铁摩辛柯都在应用力学研究所学习过。学成的冯•卡门更是培养了一个时代的力学家。我们国家的钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生都师从于冯•卡门。

总之，从哥廷根应用力学研究所建立开始，力学作为真正的科学开始在自然科学和工程科学间建立起沟通的桥梁。
有哪些著名的力学大师了？

当然，我所列举的力学的大师，可能存在我个人的偏爱。

普朗特，当之无愧的力学大师，开创了哥廷根应用力学研究的先锋，并使工程科学的思想开始生根，发芽。

泰勒尔，英国著名的流体力学家，湍流统计学派的代表。

冯•卡门，继续把哥廷根应用力学的工程科学思想发扬光大，把空气动力学应用于航空航天，取得了相当大的成就，著名的卡门涡街应该是人人皆知。并培养了钱学森，钱伟长，郭永怀等我们国家一个时代的科学家。

巴彻勒，英国著名的流体力学家，师从泰勒尔，在局地均匀各向同性湍流中取得了很大的成就，同时开创了悬浮流体力学的研究，也是剑桥大学应用数学与理论物理系的创始系主任。我曾看过我国著名物理学家温景嵩老师对巴彻勒老师的回忆，深深感动于巴彻勒老师的品质。我对我自己的要求是，一定会去剑桥大学，去看看巴彻勒老师工作过的地方，巴彻勒老师也是我前进的目标。

科尔莫果洛夫，前苏联著名的数学家，力学家。提出的湍流“负5/3律”，至今都是，湍流领域的重要成果。

铁摩辛柯，著名工程力学家，被誉为“现代工程力学之父”。

周培源，我们国家著名物理学家，力学家，在湍流统计领域取得了巨大成就，对我国的力学事业做出了巨大贡献。
      

还有很多力学大师。我个人认为，前辈们的品质，纯真好奇心的求知，值得我们用心学习。

我国的力学发展情况是怎样的？我国力学学科的发展，我认为有两个平行的方面。

第一个方面是周培源教授带领下的湍流研究，使我国的湍流研究在国际上有一定地位。第二个方面是钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生在二十世纪五十年代回国后所做的贡献。钱学森先生，郭永怀先生创建了中科院力学研究所。中科院力学研究所为我国的火箭发动机，风洞研究做出了巨大贡献。今年，我国发射了首颗微重力研究卫星，力学所是主要负责研究所。随后，钱学森先生还在中科大成立了近代力学系。钱伟长先生在上海建立了应用数学和力学研究所，进一步发扬工程科学思想，把数学理论应用于生活实践。

简单的叙述，也就到此为止了，这些都是我平时看的点滴，肯定有叙述不当或错误的地方，望亲爱的读者能批评指正，更希望能激起你对力学的兴趣。我了，也得踏踏实实努力，继续在力学考研的道路上前进啦，共勉。

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原文作者：AVERY CARR，原文载于科学美国人网站。

译文作者：e^iπ+1=0，哆嗒数学网翻译组成员,就读于上海科技大学

校对：333

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——所有人都以为最伟大的数学家都是男人。不，你们都错了！

数学的历史，包括从对空间形状的深刻揭示，到可由想象与逻辑到达的最大程度的探索，似乎一直被男性数学家主导着。像高斯，欧拉，黎曼，庞家莱，埃尔德什，或者更近一些的数学家怀尔斯，陶哲轩，佩雷尔曼，张益唐，他们所有人都与最美丽的数学发现相关，并且全部为男性。
  
E.T. 贝尔于1937年所撰《数学精英》（Men of Mathematics）一书，就是一个例子说明这个“事实”是如何在公共意识中被加固强化的。即使在今天，男性数学家主导数学领域也不是什么秘密。但是这不能让我们忽视女性在数学上做出的革命性成就。有很多著名的女数学家值得我们感谢，感谢她们在诸如现代计算领域中，对揭示几何空间的问题上，对抽象代数的基石的构筑上，引导决策论的主要进步以及在数论和天体力学等领域中取得的成就，这使得人们在如密码学，计算机科学和物理等应用领域作出重要的突破。

像朱丽叶•罗宾逊在希尔伯特第十问题（数论问题）上的进展，埃米•诺特在抽象代数和物理领域获得的成果，以及阿达•洛夫莱斯在计算机科学领域里做出的天才成就，这三个著名的例子充分证明了女性数学家的贡献是非常重要的。

茱莉亚•罗宾逊(1919-1985)

在二十世纪之初，著名的德国数学家大卫•希尔伯特发表了二十三个吸引人，但却让绝大多数天才数学家也大伤脑筋的问题。其中第十问题描述为是否存在一般的算法可以判定所有的丢番图方程（整系数多项式方程）的可解性。设想，存在一个机器对于任意一个丢番图方程可以判别这个方程是否可解。数学家们常常通过简单而广泛的观察来处理大自然中无穷无尽又超乎解决能力范围的谜题。这个特殊的问题引起了伯克利数学家茱莉亚•罗宾逊的兴趣。经过了几十年的研究，罗宾逊与她的同事包括马丁•戴维斯与希拉里•普特南合作，最终给出了一种情况，否定回答了希尔伯特第十问题。

在1970年，一位年轻的俄罗斯数学家尤里•马季亚谢维奇利用罗宾逊，戴维斯和普特南提供的思路解决了该问题。由于其在数论方面杰出的贡献，罗宾逊成为了杰出的数学家，那是一个最重要的数学问题之一，罗宾逊为它的解决铺平了道路。在美国数学协会的一篇文章，“茱莉亚•罗宾逊自传”中，她的妹妹和传记作家康斯坦斯•里德写到“通常情况下，她永远不会刻意去收集自己的故事。但就她而言，她在数学上所做的一切工作都是重要的。”

艾米•诺特(1882-1935)

在抽象代数中浸润一段时间，会接触到一个经常出现的名字，那就是艾米•诺特。她的工作涉及的领域从物理到近世代数，使得诺特成为数学历史上最重要的人物之一。她1913年在变分法上的工作，诞生了诺特定理，被认为是最重要的数学定理之一，并且这个定理奠定了现代物理学的基础。 关于理想与交换环的诺特定理，形成了所有研究者对更高级的代数研究的基础。

她的工作的就像指引的灯塔，影响着那些想要更抽象地理解这个物质世界的人们。数学家与物理学家很欣赏她里程碑式的贡献，而这些贡献使得他们能够更深刻地理解各自的领域。在1935年，爱因斯坦写了一封信给《纽约时报》，“在所有现有数学家中，诺特是到目前为止，女性高等教育中培养的最伟大，最有创造力的数学天才。”

阿达•洛夫莱斯(1815-1852)

在1842年，剑桥数学教授查尔斯•巴贝奇在都灵大学做了一场关于他的解析机器（第一台计算机）的设想的讲座。此后，数学家路易吉•蒙博将讲座笔记转录为法语。年轻的女伯爵阿达•洛夫莱斯被查尔斯•惠斯通（巴贝奇的一位朋友）委托把蒙博的笔记翻译成英语。由于其在记录时富有远见的记法，她被公认为世界上第一位程序员。这份笔记在1843年被发表，洛夫莱斯在G部分增加了她个人的笔记，其中列出了一份计算伯努利数的算法。实际上，她利用了巴贝奇的理论机器，将它变成了可计算的现实。埃达•洛夫莱斯为那些想要探索计算奥秘的人提供了一条路，并持续地影响着科技的发展。

尽管她们的贡献意义深远，这三位女性数学家的发现却经常被男性数学家的贡献所遮蔽。据2015年联合国的估计，在世界上男人与女人的数量基本相同（101.8位男性对100位女性）。由此我们受到启发，工作在数学领域的女性应该和这一领域的男性有大致相同的数量。

我们之所以没能看到这一点，有个很重要的原因，是由于我们错误地认识了女性数学家的历史贡献。考虑到现代社会中科学技术的重要地位，我们认为促进和鼓励更多的女性进入数学领域，在一个文明社会里，是大势所趋的。

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有的时候，讲的人并不严谨，但听的人懂了。罗胖讲的东西很多都有这样的情况，从专业角度来讲，槽点很多，但是，你要说他完全错误，也不能这样说。

从学术角度来讲，这些演讲也许是失败的，学术是严谨的，容不得半点儿似是而非；但从知识普及角度来讲，我认为却是成功的。没有这些讲解，没有这些瑕疵，你也不会站出来指出他的错误是不？因为你的指出，正确的知识也得到了传递是不？

互联网内容有了评论的功能后，就有了神奇的化学反应。往往发表的主体内容，只是诱发读者、观众在评论区再创造的一个引子。主体内容和评论一起化学反应后的产物，才是最精彩的作品，不是吗？

所以，我会用网上流行的一句话来阐述我转发罗胖在罗辑思维182期上转述贝叶斯定理的目的——“我是来看评论的！”

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本文绝大部分内容载于IBM的量子网站上，http://www.research.ibm.com/quantum/expertise.html。

译文作者：冬眠的小老鼠，哆嗒数学网翻译组成员，互联网游戏行业从业者。

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1. 【1935】 EPR悖论

阿尔伯特•爱因斯坦，鲍里斯•波多尔斯基，和 纳森•罗森 提出对量子体系完备性的质疑。
 

2. 【1964】 贝尔不等式

约翰•贝尔认为，量子机器将有着与现实中的定理(比如经典物理学)有着完全不同的观测效应，后来，这些观点得到了很多来自不同团队的实验验证，这其中值得关注的实验包括：斯图尔特•弗里德曼和约翰•克劳泽在1972年的工作，阿兰•阿斯佩及其合作者在1981年至1982年的重要工作，还有最近的“loophole-free”实验(分别由3个不同的团队在2015年完成)。
 

3. 【1970】 量子信息学诞生

当查理•贝内特还是哈佛大学一名学生的时候，在一次和斯蒂芬•威斯纳的谈话中首次提到“量子信息学”，并建议使用量子纠缠态来实现通信，而在之后的1992年，斯蒂芬和查理使其发展成为了量子通信的编码基础，但是在早期的版本中，他们错误的认为接收方可以单一的接收到一个量子比特位，但不能同时接收到两个，而实际上，通过对纠缠态的测量，可以同时接收到两个量子比特位。
 

4. 【1970】 量子货币

斯蒂芬•威斯纳首次发现利用不确定性原理的量子位可以作为一种不可能被伪造的货币，而这种货币受到的是自然定律的约束和保护，而不确定性原理则成为其中的工具而不是障碍。

5. 【1981】 MIT联合IBM第一次举办量子物理计算大会

在这次会议期间，诺贝尔物理学奖获得者理查德•费曼对科学家们正在研发的量子计算机提出了物理学上的质疑，而同时，科学家们则在努力的克服相应的挑战。

6. 【1982】 首次发现量子拓扑序

崔琦，霍斯特•施特默，亚瑟•戈萨德发现了分数量子霍尔效应，而他们的发现获得了1998年诺贝尔物理学奖。这个重要的发现显示，在超低温环境下，量子物质会形成与宏观状态下性质完全不同的高度纠缠态，但对观察者而言似乎完全没有区别----一种量子拓扑序属性。

 
7. 【1984】 量子密码(IBM)

查理•贝内特和吉尔斯•布拉萨德提出了一种基于自然定律的加密算法（量子力学），而不是依靠一种数学理论基础的密码实现。

8. 【1993】 量子隐形传输

查理•贝内特和合作者们提出量子信息可以从一个地方传输到另外一个地方，而仅仅使用到量子纠缠态的原理和一个经典通信信道。量子隐形传输编码已经成为了一种重要的基本操作而广泛的应用在量子算法和量子纠错协议中。
 

9. 【1994】 秀尔分解算法

皮特•秀尔提出一种能将合数分解成素数的高效的量子算法，大整数的素数分解是一个传统计算机中的困难问题，秀尔算法第一次展示出量子计算机在处理这类问题的具有更大优势，并且带动了很多在该领域上理论与实验的研究。

10. 【1995】 量子纠错

在1995年到1996年，一个漂亮的关于量子纠错的定理出现在了世界上的好几个地方，包括IBM，这个定理说，虽然我们无法复制量子信息，但是我们可以使用一个较小的冗余信息来对量子信息进行纠错，量子纠错理论让制备量子计算机的实现更具有了可能性。

11. 【1996】 DiVincenzo量子计算机标准 

大卫•迪文森佐提出了在物理学上要实现量子计算机的必须的5条判据，这如今已经成为了量子计算机的迪文森佐标准，并已经影响到了很多构建在量子计算机上的实验程序。该标准包括：（1）定义良好的可扩展量子位阵列；（2）初始化量子位到简单的基准态，比如|000…>；（3）通用的量子门；（4）长的退相干时间，必须比门操作的时间长很多；（5）单量子比特测量。

 
12. 【1997】 量子拓扑码

量子拓扑码是一种可以被嵌入到二维网格量子位的量子纠错码，可以让所有的奇偶校验操作都得以在本地进行。第一种拓扑码，是阿列克谢•基塔耶夫在1997年提出的表面码，这种表面码被认为是实现可扩展性的容错量子计算机中最有前途的拓扑码。

13. 【2001】 量子算法分解15

秀尔算法第一次在量子计算机上实现，尽管是一个非常小的整数，3x5=15。这个系统使用了核自旋量子位，和MRI类似，它被称为NMR量子计算机。

14. 【2004】 量子电路

罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了QED电路，其中的超导量子位是一种位于微波腔中的强相干光子。这是一个突破性的进展，他展示了如何在一个芯片上让原子发生干涉。耶鲁大学领导的这项工作开启了很多新的可能的方向，而其中的量子电路耦合方案也成为了耦合标准，宣读量子比特的系统也开始形成规模。

 
15. 【2007】 超导量子位

罗伯特•薛尔考普夫和他的合作者在耶鲁大学发明了超导量子位传输，这是一种被设计成具有高灵敏降噪（噪音是一种长时间相干的主要障碍）的超导量子位，现在它已经被很多超导量子系统所采用，包括IBM。
 

16. 【2012】 量子位相干时间提升

多个量子信息传输的重要参数得到了提升，而其中的量子退相干时间，也就是量子位保持量子态的时间，已经延长至100微秒。

17. 【2015】 展示[[2,0,2]]量子编程
IBM团队实验了一个几乎是最小的量子代码，使用到了一个量子稳态，它可以用来检测到两种类型的量子错误：比特位翻转和相位翻转。

18. 【2016】 IBM在云计算平台上接入量子计算

IBM的科学家建立了一个用户可以通过云计算系统访问到其建立的量子计算机系统的平台，这个名为“IBM量子体验”的量子云计算平台，允许用户在IBM的量子处理器上运行算法，探索可能与量子计算有关的实验。

19. 【2016】 量子卫星

2016年8月16日1时40分，中国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。

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原文作者，Borwein，纽卡斯尔大学数学教授，以及，Bailey，加州大学戴维斯分校研究员。

译文作者：333，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中南大学数学专业。

电脑在帮助数学家解决问题时是很有用的工具，同时，它们也能够自己发现并证明一些数学定理。

或许由电脑做出的第一个重要结果要算是40多年前关于四色定理的证明，这个定理声称任何一张地图（有着确定的、合理的条件）只要用四种不同颜色就够了。

这个定理在1976年首先被电脑证明，尽管不久后就被发现有漏洞。而一个完全正确的证明直到1995年才被最终完成。

在2003年，匹兹堡大学的托马斯?海尔斯发表了一篇关于开普勒猜想的基于计算机的证明，这个猜想是说，与超市堆放橘子的方法类似，这也是摆放相同维数球体的最节省空间的方法。

尽管海尔斯在2003年发表了这一证明，许多数学家对此却并不满意。因为这个证明是伴随着2G字节的计算机输出(需要耗费大量的时间)，并且某些计算无法保证完全正确。

作为回应，在2014年海尔斯发表了一个已被计算机验证过的正式证明。

新手上路

沿着这条线的最新进展是最近《自然》上的一篇关于所谓的“布尔毕达哥拉斯三元数问题”计算机证明的声明。

这个断言是说，从1到7824的任何整数能够被染成红色或蓝色，使得满足a2+b2=c2（由毕达哥拉斯定理，a，b，c正好是直角三角形的三条边）的三个整数a,b,c不全是同一种颜色；而对于从1到7825的整数，不存在满足条件的染色。

即使是对于比较小的整数也很难找到一个满足上述条件的染色方法。举个例子，如果5是红色的，那么12和13中至少得有一个是蓝色，因为；3和4中也必须至少有一个是蓝色，因为。每一种选择都将导致对于其他数产生不同的约束条件。

研究表明，给1到7825的整数进行染色，其所有可能的方法总数是一个天文数字——超过10的2300次方（1后面跟着2300个0）。这个数字比可观测到的宇宙中的基本粒子数10的85次方还要来得巨大的多！
 

不过通过利用各种各样的对称性和数论性质，研究人员能够把这个数字显著地减小到“仅仅”一万亿。德克萨斯州立大学有着800个处理器的超级计算机Stampede为了检查这一万亿种情形足足运行了两天。

尽管这一结果无法被直接应用，但是解决这样一个困难染色问题的能力势必会对密码学和安全领域产生一定影响。

在德州的这次计算，据估计执行了大约10的19次方次算术操作，却仍然不能称得上是最大型的计算。2013年对π²数字的计算，两名IBM的研究人员做了两倍于此的计算量。

梅森素数互联网大搜索（GIMPS），是一个寻找最大已知素数的全球性计算机互联网络，每秒可执行450万亿次计算，每六个小时就超过德州那次计算的数目。

在计算机输出中，德克萨斯的计算机在数学计算方面却是超人一筹——令人难以置信的200兆兆字节，换句话说2字节或者平均到地球上每个人30000字节。

谁能检查这种尺度的输出结果？幸运的是，这个布尔毕达哥拉斯三元数问题的解法能够被一个小得多的程序检查。

这跟用计算机分解一个很大的数c为两个较小因子a和b，使得c=a×b很相似。通常寻找这两个因子a和b是极其困难的，但是一旦找到，把它们乘起来以确认结果就是很容易的事了。

数学家过时了吗？

所以，这些发展和进步意味着什么？是否数学研究者们很快就要沦落为国际象棋大师、Jeopardy节目、售货员、出租车司机、货车司机、放射科医师等等这些被快速发展的科技所威胁而面临淘汰的职业之列？

不完全是。数学家，就像许多其他领域的专业人士，已经很大程度上接受计算机作为一种新的数学研究工具，由此发展来的所谓的实验数学，已经产生了深远影响。

那么实验数学究竟是什么呢？它被很好地定义为使用计算机作为“实验室”的一种研究方式。跟物理学家、化学家、生物学家或者工程师做实验一样，举个例子，它可以用来获得洞察力和直觉，检验和否证猜想，以及确认一些已经被传统方法证明了的结果。

在某种意义上，数学研究的实验方法并没有什么根本上的新意。在公元前三世纪，伟大的希腊数学家阿基米德写道：

“当我们做过先期的质询与调查，就会更容易地给出一个证明。这种[实验]方法使我们对问题有一些初步的认识，这比一无所知地直接寻找答案要好得多。”

据说伽利略曾写道：

“一旦真理被发现后就会很容易理解；关键之处是发现它们。”

卡尔?弗雷德里希?高斯，19世纪的数学家和物理学家，频繁地使用计算来激发他那些卓越的发现。他曾写道：

“我已经得到了结果，但我还不知道如何证明它。”

基于计算机的实验数学当然有它的科技优势。每一年，计算机的硬件就按照摩尔定律在不断更新，越发先进。数学计算软件包例如Maple, Mathematica, Sage以及其他的此类软件也变得越来越强大。

实际上，这些系统已经强大到几乎足以解决本科阶段任何方程、微分、积分或者其他的本科数学阶段的任务。

所以，尽管基于人脑的传统证明仍是基本的，计算机在帮助数学家发现新定理、指明正式证明的道路方面也是功不可没的。

更重要的是，我们认为在很多情况下，计算的结果要比人工的证明更令人信服。毕竟人工证明会被小错误、疏忽和对前人也许并不正确的结果的依赖所干扰。

安德鲁·怀尔斯关于费马大定理的初始证明被发现是有瑕疵的，这个错误之后被修正了。

顺着这条线，最近亚历山大·伊和近藤贸计算出了π的12.1万亿位数。为了算出这个结果，他们首先计算出了稍微超过10万亿的十六进制下的数字，然后他们用另外一个不同的算法计算了在接近尾部的一段十六进制下的数字，以检查之前的结果是否正确。比较后发现，它们吻合得非常完美。

所以到底哪个更可信呢？一个几百页篇幅的人工证明的定理，而且只有少数其他的数学家读过并证实那些细节之处，还是伊-近藤的结果？让我们接受这一点，计算机的计算结果在很多情形下比证明更可靠。

数学家将来的命运如何？

各种迹象都表明在可预见的未来，数学研究者们将会和计算机互利共存，继续他们的工作。确实，随着这种共存关系和计算机技术的成熟，数学家们将会更愿意把证明的某些部分扔给计算机去做。

这个问题在2014年六月的科学突破奖（数学）的授奖典礼演说上被五位获奖者所讨论。澳大利亚裔美国数学家陶哲轩在这些方面表示赞同。

毫无疑问，计算机会越来越强大，但是我期望数学家们能够继续与计算机一起工作。所以别急着扔掉你的代数课本，你任然是需要它的！

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作者，读，某杂志社编辑。

上述是出自英国游戏专家亨利•杜德尼的研究成果，1903年，杜德尼发现可以把等边三角形分成四部分，经重新拼合后变成正方形。

这个设计我很早就知道，但从未对其有过关注，直至近年，有新闻报道，提到这一游戏被英国建筑师“相中”，他们获得设计灵感，建造了一种奇妙的房子，可随着季节的不同而呈现不同的稳定结构，以适应不同的气候环境（http://tech.ifeng.com/discovery/detail_2012_12/10/20012762_0.shtml）。

巧合的是，设计师们似乎十分喜欢杜德尼的这一发现，他们对此做了很多精心地尝试与应用。

如设计师David Ben-Grünberg和Daniel Woolfson精心设计的“百变茶几”，就是充分利用了杜德尼三角形多变的造型（http://www.333cn.com/industrial/sjxs/138462.html）。

2015北京国际设计周的混凝土灯具作品展上，有件展品为“杜德尼”灯，也是类似的创意（http://www.verydesigner.cn/article/25424）。

最近，看到微信群里大家也在传“杜德尼三角形”的神妙，不禁想加深一下大家对这一现象的认知。

这种变换的游戏，神奇但不玄妙，数学可以引导我们正确看待这一问题，从而让每个人都成为“神奇的设计师”！

其实，我们看到这一特例，就不禁想问：这是巧合吗？这是唯一的特例吗？

那么，我想说，这不是巧合，也不是特例，而是经过精心计算得到的结果。

换句话说，并不一定需要正三角形，面对一个“长相普通”，甚至“歪瓜裂枣”的三角形，我们仍有可能将之变形成为一个“端正、大方、得体”的正方形，当然，方法还是类似于“杜德尼三角形”的变形，我们不妨称此方法为“简单四分”。

数学的演算比较复杂，为了保证大部分人不头晕，我们就直接上结论了：

（一）拿到任意一个△ABC，我们先判断其是否可“简单四分”，请按以下顺序操作：

1）度量高h与底边l，确保高与底边之比介于2/5≤t（=h/l）≤2之间（不妨设底边左右端点分别为B，C，其对应高为AK）；若不存在，则△ABC不可“简单四分”；

 
2）计算X（=2t-t2）（[0,1]），k ([-1,2])的值，其中k使得向量KC正好是向量BC的k倍；

3）判断是否满足如下的结论：

i 当0≤X＜1/4时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤sqrt(x)或1-sqrt(x)≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”；(sqrt表示开根号，下同)

ii 当1/4≤X≤1时，若 满足sqrt(x)-1≤k≤2-sqrt(x)，则三角形可“简单四分”，

i、 ii皆不满足，则△ABC不可“简单四分”。（注：“简单四分”只是代表一种方法，并不一定分成四块，有些临界情况只需要分成三块）

三思而后行，这一判断可能花费你较多的时间，因为三角形有三条边，如果你选择的三角形比较“糟糕”的话，那你所花的时间可能就是别人的数倍。当然，如果你自认为自己是行动派，而不是预言派，直接操作也是可以的。

好了的话，那我们就可以开始行动了！

当然，还请仔细筛查，我们下面要做的事，类似于让“丑小鸭变成白天鹅”，万一选到“冒牌货”，那就不妙了——可能你白忙活半天，也没法让戏法变成功。

（二） 对于判断通过的△ABC，我们可按照如下顺序画出四块，使其拼成一个正方形：

还是先要回到杜德尼的方法上去。我们发现，杜德尼充分发挥了中点作为旋转对称中心的特点。

如图，其中，DE作为中位线，与底边BC平行，即DE∥NK，又有DE=NK，显然，四边形DNKE为平行四边形（一开始我直观还以为是个矩形，其实不是）。
 

这个平行四边形是杜德尼“正三角形四分”的一个关键，它很特殊，而且有固定的作法，以任意△ABC为例：

（1）对于符合判断条件的底边BC以及底边上的高h，求出△ABC的面积S=a2（a＞0）；

（2） 取AB，AC的中点D，E，连结DE；

（3） 以E为圆心(也可以D为圆心，后续操作方式类似)，a为半径画弧，与直线BC交于点N（当有两个交点时，只能取左交点；若无交点，则操作无法完成），连结DN；

（4）过点E作DN的平行线交底边BC于点K（如果不存在，则操作无法完成），则四边形DNKE就是我们所要作的平行四边形。

显然，从这个特殊的平行四边形的作法，善于思考的人已经知道我们之前为什么要对三角形进行判断了。

第（3）（4）步的作法是有限制的， 这个平行四边形若无法作出来，那我们就无法按照杜德尼的“简单四分”的方法，对一个三角形进行裁剪拼合。

虽然任意△ABC不一定行，但是经过了前面的筛选后，被我们“选中”的△ABC绝对能行！

 
恭喜你，当你画出这个“平行四边形”的四个顶点D，N，K，E时，再连结EN，作DQ⊥EN于点Q，KP⊥EN于点P，（这里的操作同样体现在了判断的标准中）即可得到你想要的“四分”三角形，将它裁剪后，就能变成一个正方形。

如上所示，我们只谈操作的话，还是不繁的，所以只是行动派的话，也是可以完成的。不过他们属于后知后觉的那种人，不到最后一刻，完全不知道这一三角形是否可以“简单四分”为正方形。

这样一来，相信你作为一个“神奇”的三角形裁剪设计师，还是愿意先花点时间做个“预言”，然后再选择操作，不是吗？ 

神奇源于数学，而数学的思考可以帮助我们揭示这种神奇。
 

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作者，南梦玲，绳索技术协会理事。

数学在生活中不可或缺，这也许是老生常谈了。数学嘛，买菜总是要用到的，加价减减而已。也许很多文章介绍过数学的伟大用处，但实际上也过于脱离生活了，数学用于制造电子设备？管他呢，我自己能用就好了。数学能用于金融？对于玩不起钱的我来说，还是算下工资多少年能买房更切实际。能发射火箭去上天？上去的又不是我。你们别整这些高大上的东西，数学对于常人还真是加加减减仅此而已了。

果真如此吗？

我们先来看一个例子，请看下面这两位想要降低其成本的车主。

 
小明（小明终于长大了）原来的车每升汽油能跑12公里，现在他换了一辆更省油的车，每升能跑14公里。

小丽爱护环境，她把原来每升汽油跑30公里（好节约的耗油！）的车换成了每升汽油跑40公里的车。

假设这两个车主一年的行程是相同的。换了车之后，谁省油的数量更多？这问题太简单了吧，加加减减而已，小明每升提高了2公里，等于是提高了六分之一，而小丽每升多跑了10公里，提高了三分之一！肯定是小丽更加省油！这是一个小学知识就能解决的问题，大部分人直觉口算都是这么认为的。好，现在我们再来算下，假设两人都跑了10000公里，小明就从833升减少到了714升，共省了119升，而小丽从333升降到了250升，只省了83升油，实际上小明更省油！

    好吧，小编我并不是想要来证明大家小学没毕业，而是想要告诉大家，做广告的最高境界就是，明明说的都是实话，却依然让观众的直觉产生偏见，从而去购买产品。我们每天都会看到各种信息，并且会对这些信息有一个主观的理解，其实我们的主观理解未必有多正确，生活中充满了偏见。这个问题之所以产生直觉错误，是因为描述的人采用了每升汽油行驶的公里数的框架。为了防止此类问题的出现，我们应该采用每公里耗油多少升的框架来描述。错误直觉很容易误导政策制定者和买车的人。以上描述的现象，心理学家查德•拉里克（Richard Larrick）和杰克•索尔（Jack Soll）研究过，他们2008年在《科学》杂志中发表了的《每加仑汽油所跑英里数的错觉》中有详细讲解。
    
    我们再来看一个例子，2014年一项研究对中国2856个县的肾癌发病率进行了调查，调查显示2014年该病发病率最低的县差不多位于西部和西部人口稀少的乡村，对此你有何看法？

    人们很容易就做出推断，认为肾癌发病率低主要是由于乡村的生活方式很健康——“没有空气污染和水污染，食品没有添加剂，保证新鲜。”这一点完全说得通。我们依赖直觉得出这一结论，并且看似很有道理，但实际上果真如此吗？如果把描述改为发病率最高的县位于西部和西部人口稀少的乡村，相信人们可以毫不费力的做出推断：“乡村生活贫困，人们无知、医疗条件差、不注重卫生、嗜烟等。”虽然这两个理由都看似很有道理，但一个地方不可能在同一时间发病率又高又低。
 
    之所以会出现这种情况的原因，是因为我们的直觉存在偏见。问题的关键在于乡村地区人口稀少，仅此而已。稍微学过概率的人，都可以很快的反应过来：“样本数量越少，极端事件连续发生的概率就越大。”举个例子，我们仍1个 骰子，连续扔3次全是6的概率远远大于连续扔30次全是6的概率。在没有大数定律支持的情况下，一切仅仅是运气罢了。不信的话你可以尝试去计算这个题目：在一个装有两种颜色的箱子中有超多的红球和黑球，其中红球黑球一样多（这相当于在说，癌症比例为50%），小明每次拿4个球而小丽每次拿7个球，那么分别去计算两个人拿出来的全是同一种颜色的球的概率（发病率100%或发病率0%），可以发现小明的概率大概是小丽的8倍（12.5%与1.56%）。这就是真相，某县人数少，因此更容易出现极端事件，而恰好赶上了数据调查，人们就容易得出错误的结论。统计学家霍华德•维纳（Howard Wainer）曾经做过一个实验，来解释类似的现象。

            
    “现在勒布朗连投几个都进了，手热的发烫！队友应该尽量把球都传给他多打！”这是我们看篮球的时候，经常听到解说说的话，也是我们要说的第三个例子。篮球运动员有时候会有投篮手风很顺的现象，如果一个运动员连续进了三四个球，那么人们就会不由自主做出判断：这个球员现在正处于手热状态，得分率暂时增加。两队队员都持这种判断——队员也更爱将球传给打得手热的人，对方球队则会加强对这个球员的防守。然而真实情况是，通过统计学研究表明，根本没有投篮手热这一回事，之所以会有这样的错觉，是因为人们太快做出了评判。再更多次观察之后你就会发现，球员的得分率将会回归他的正常水平，也就是回归平均值。统计学告诉了人们事实，却没多少人相信这个事实。做这项研究的是阿莫斯•特沃斯基（Amos Tversky）、汤姆•季洛维奇（Tom Gilovich）和罗伯特•瓦隆（Robert Vallone）。

 
    我们的思维经常会对事物产生偏见，直觉也会欺骗我们，而人们往往却不肯承认自己思想的错误。这些事例里边蕴含着最基本的数学原理，并没有什么高大上的理论，不需要微积分，也不用研究群环域，只要简单应用高中以下的数学知识，就可以避免我们做出错误的判断。

    接下来我们再看第四个例子，如果你在北京地铁上看到一个人正在读知识专业性比较强的报纸，那么他学历更有可能是博士还是根本没读过大学？我们的直觉会告诉我们，应该选第一项，但实际上这样选择并不明智。因为在地铁上面是博士的人的基础比例远小于没有本科文凭的人的基础比例（1.3%和35%）。

 
这里我们来看一个贝叶斯定理应用的经典例题：

一辆出租车肇事逃逸，这座城市有两家出租车公司，其中一家公司的车全是绿色的，另一家全是蓝色的。

你知道这座城市85%的出租车是绿色的，15%是蓝色的。

一位目击证人辨认出那辆肇事出租车是蓝色的。当晚，警察在出事地点对证人的证词进行了测试，得出结论是：目击者在当时能够正确辨别出这两种颜色的概率是80%，错误的概率是20%。

这场事故的出租车是蓝色而不是绿色的概率是多少？根据贝叶斯定理，目击证人得出正确答案的概率为41%。

当人们面对这样的问题的时候，往往会忽略基础比率，只考虑目击者因素，因此大部分人会认为是80%。

在这里，我们需要用贝叶斯定理来约束我们的直觉，才更有可能得到正确的答案。生活中我们的直觉往往忽略事件的基础比率，所以我们会产生偏见与错误。

现在，你还敢说数学仅仅是加加减减，和生活无关吗？这四个事例，都是我们生活中常见的事情，但我们很容易就被我们的直觉所欺骗，对其产生偏见。数学可以给我们的生活我们的判断带来指导性建议，直觉往往欺骗自我，善用数学思维，而不是仅仅依赖直觉，能够让我们减少偏见。

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作者，江苏省徐州市第二十四中学   罗伟

瑞士数学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界做出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，写了886本书籍和论文，其中有分析、代数、数论、几何、物理、天文学、弹道学、航海学、建筑学等，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

欧拉公式e^(iπ) + 1 = 0中（ a^b 表示a的b次方，下同），有五个数，0,1，e，π，i， 其中0,1是有理数，e是自然对数的底，π是圆周率，i 是 -1的一个平方根，体现了数学的一种奇异美。i、e是欧拉创造的，π是欧拉推广的，欧拉把这五个重要的符号用公式统一起来了，可看做数学这颗大树中各个分支的代表，0和1代表算数，i代表代数，π代表几何学，e代表分析学。有朋友要问，欧拉是数学家，怎么和射雕英雄传牵扯在一起呢，我们看过电视剧的都知道，剧中有东邪、西毒、南帝、北丐、中神通五位武林高手，他们也许和数学也有某种联系呢？不信，你听我说说。

 
一、    东邪----黄药师  

 
首先，这五大高手和五行有关，作者金庸在名字中都有暗示。“东为木”：黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”，其实不然。金庸使用的是繁体字，“药”字的正确写法是“藥”，一根巨木，赫然在下。

正中带有七分邪，邪中带有三分正”的人物，是“桃花岛”的岛主，亦是桃花岛派武学创始人。“桃花影落飞神剑，碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照，造诣非凡，已臻化境，为金庸小说中武功绝顶的高手之一。

黄药师上通天文，下通地理，五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画，甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓，无一不精。

    e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。其近似数约为e = 2.71828182845904523536……，目前为止，已知小数点后约20亿位，也知道是无限不循环小数。

有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名，欧拉定义如下：

它的另外一个定义是

 e也为超越数（不为有理系数多项式的根的数）。东邪性情孤僻，行动怪异，身形飘忽，有如鬼魅，算是性格怪异，行动为常人所不解，在常人看来是无理的，漠视“传统礼教”，然却最敬重忠臣孝子个性行事潇洒。又看做超越常人的。e书写流畅洒脱，似弹指神通，又如开创桃花岛一片美景，e^x不论对它微分几次，结果都还是e^x，正如黄药师对他妻子的真情，难怪数学系学生会e用比喻坚定不移的爱情！e又如电脑上网浏览器，我们点击它，可查询古往今来各门学问，都易如反掌。还有一些，你们掌握吗？

e的近似解：培格推导出计算欧拉常数e的公式e≈3-sqrt(5/63)（sqrt表示开根号）。 

印度数学家拉马努金的变形公式：

二、西毒-----欧阳锋 

 
西毒欧阳锋——“西为金”：“锋”赖“金”利。作为音乐家的欧阳锋，常备乐器不是吉他，而是铁筝。仍是“金”制。“西，色白”：长居白驼山，他本人、侄儿、部属皆作白衣装。

作为射雕时代中的头号反派人物，只想武功天下第一，使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等，因逆练郭靖乱改的九阴真经，第二次华山论剑中夺得天下第一。却被黄蓉用计逼疯，跟自己的影子打斗，接着离开华山，后来与洪七公在华山比武，洪七公之功由正转逆，欧阳锋则反由逆转正，两人内力顿时合而为一，水乳交融，一人是在寒冷澈骨时，因对方内力传来而如沐春风，另一人是在全身炙热时，接受对方内力而顿感清凉，两人当下融为一幅“太极之图”。就在时刻，洪七公一跃而起，抱住欧阳锋，说“咱俩殊途同归，最后变成哥俩好”。欧阳锋刹时回光返照，心中一片澄明，与洪七公相拥大笑，两人在笑声中同时辞世。

我们对 要熟悉一些，祖冲之计算出小数点前六位：π= 355/113 = 3.141592 ……，1000年后，西方才把π的值改进。π 是第十六个希腊字母的小写，希腊在西方，π表示圆的周长与直径的比值，也等于圆形之面积与半径平方之比，1736年， 欧拉也开始用π表示圆周率。1974年，人们第一次用计算机来计算π，在运算70小时后，算出小数点后2037位，如今，已算出小数点后万亿位。

π也是无理数和超越数，欧阳锋也算行为怪异，年轻与嫂子私通生下欧阳克，但却只让其叫他叔叔，在《神雕侠侣》中收杨过为儿子，但与东邪比，作恶多端，恩将仇报。一般人不理解。逆练九阴真经；仗着自己的绝世天资与前半生对武学的深厚基底，将所有经脉颠倒移位，练成一种新的厉害武功，越练越怪，越怪越强。因而在第二次华山论剑中夺得天下第一。算是超越完成任务，但疯癫不如常人。π如蛤蟆功，又如灵蛇拳法：手臂犹似忽然没了骨头，如变了一根软鞭，打出后能在空中任意拐弯  。最后和洪七公决斗，恢复神智。两人同归于尽，也算是圆满。

我们可以定义π为满足sin(x) = 0的最小正实数

这里的正弦函数定义为幂级数

1844年，德国达瑟用不到两个月的时间把π计算到小数点后200位，因超常的计算能力被高斯推荐在汉堡科学院工作。据说，达瑟的计算公式是

1655年，英国数学家约翰•瓦里斯得到一个π的公式：

法国数学家维达发现π的公式：

1998年《π》（又译名《死亡密码》）显示了数学人的痴迷。
逆练九阴真经，打通全身静脉的后果，功力大增：

 
如果东邪西毒合作，会是什么样的情形呢？

拉马努金公式展现无穷级数与连续分数之间的惊人关系，级数和连续分数都可以用π、e表示出来。

下面一个美得让人惊讶的方程，不仅包括π、e，还包括无理数、阶乘和无穷极限。

三、南帝----段智兴
  

                                           
南帝,真名段智兴，天龙八部中主角段誉的孙子，大理国的皇帝（如图一），后因故出家，法号一灯（如图二），出自《法华经》：以一灯传诸灯，终至万灯皆明。“南为火”：一灯大师之“灯”待“火”点燃。其秘技为“一阳指”，而太阳是最大的一个火球。“南，色赤”：“灯”与“阳”皆作赤红色。

第一次华山论剑，东邪西毒南帝北丐中神通 五个人大战七天七夜，全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一， 武林奇书九阴真经被王重阳夺得，其目的是避免天下武林大乱。为防自己死后无人能阻欧阳锋，而在第一次华山论剑的第二年来到大理，用先天功交换了段智兴的一阳指。却不料和王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染，并诞下私生子。不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上飘”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子，瑛姑因而向段智兴求医。而段智兴本欲施救，待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”；知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通，因而醋意大发。加上他即将要参加华山论剑，而救人将消耗大量功力，犹豫之间，未救而致其死亡。后因心怀愧疚，万念俱灰之下段智兴出家为僧，法号“一灯”。

后来黄蓉身受重伤来到一灯大师住处寻求救治，一灯为黄蓉疗伤，因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤，后瑛姑来此寻仇。郭靖假扮一灯挡住一刀后，瑛姑才觉悔意。后一灯出现，瑛姑则羞愧而远去。随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分，也借助《九阴真经》所载的疗养法门，终得复原功力。

i是-1的一个平方根，在初中阶段，我们知道-1没有实平方根，随着数系的扩大，到高中阶段，由于需要，就产生了i，为虚数单位，且i²=-1，这样数系就由实数扩大到了复数。i看上去就像一盏灯，也像一灯的绝技一阳指，根据五行相克的理论，一阳指最能破解欧阳锋的蛤蟆功，但也不是很容易，要出其不备才有奇效，这才有王重阳装死棺材中重创欧阳锋使其几十年不敢踏中原半步的后话， i名为虚数，如一阳指能治病救人，但要耗费巨大的内力，也如段智兴的心理状态，因愧疚心里不踏实，后又能不断帮助别人。i也像数字1，但没有联通，说明比北丐洪七公看似差一点，但终究有无法跨越的距离。

南帝与西毒的合作可得到πi，其中π是无理数、实数、超越数，i是虚数、复数、代数数，πi是复数、复超越数。

由i拓展也可得到四元数。四元数是一个包含复平面在内的四维空间。可以表示成以下形式：Q = a + bi + cj + dk ，其中i，j，k都是三个互相垂直方向上的单位向量（与虚数i一样），他们都和实轴垂直，两个四元数相加或相乘，可以看成是关于i，j，k的多项式，按照下面的规律产生如下结果：

I² = j² = k² = -1

ij = -ji = k  jk = -kj = i  ki = -ik =j 

       
四、北丐----洪七公

 
北丐洪七公 “北为水”：七公姓“洪”，果见洪水汤汤,“北，色黑”.书中不曾描写七公衣服颜色。但他作为丐帮老头子，估计不管衣服原色为何，上身之后，必将改造成唯一色调：总是黑。（从图看，有点不对，毕竟是天下第一帮丐帮帮主吗，也要注意点形象。）
洪七公为丐帮帮主，为人正义且机智，生性贪吃，曾经因贪吃误事，自断其右手食指，故也称"九指神丐"，无论黑白两道都十分敬重他。在桃花岛，洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功，岛主吹箫，欧阳弹筝，老七公没得钱买乐器，只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状，实为艰苦朴素、廉洁自律之典范。洪七公和蔼正义，具有一切正派人物所应具有的优点，一直率领丐帮抗击金兵。其独门武学为"打狗棒法"及"降龙十八掌"。

洪七公一生最大的敌人为"西毒"欧阳锋，曾被其暗算多次，几乎丧命。晚年与欧阳锋于华山比武，两人打了四日，总之是打得神困力倦，几欲虚脱，斗过棍棒，休息了一下，两人接著又比拼内力，结果竟战到天下两个均已奄奄一息。两人隔天又开始比起了纸上谈兵，比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法，杨过演给欧阳锋看，欧阳锋再思考破解的杖法，两人拆解了三天，到第三日欧阳锋已破解打狗棒法的前三十五路，而打狗棒法的第三十六路天下无狗，这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白，似乎老了十多岁，这才将之破解。后比试内功，耗尽功夫，欧阳锋恢复记忆，两人大笑，互相拥抱而逝。

数字1给洪七公，数字1和0是自然数、有理数、实数，看上去很自然，是实实在在存在的，天下第一就是这个1字，首先，丐帮为天下第一大帮，对外用降龙十八掌抗击金兵，对内用打狗棒除暴安良、劫富济贫，洪七公为人善良，就是面对老毒物遇到危险差点被火烧，也冒着生命危险去救他，满满的正能量。

数学上，你知道1有什么特殊的用处吗？

三角函数的变换很多都离不开1。

南帝和北丐同为首领，1和i在一起，组成了更广阔的一片新天地，那就是任何复数都可以由二者表示出来。

z=a•1 + b•i，其中a、b为实数

 
虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。

东邪、西毒和北丐在一起
 

五、中神通----王重阳

 
中神通王重阳——‘中央为土”：原名“王喆”，这姓名两个字皆具“土”形。 “中央，色黄”：王重阳既为道教大师，而道士用黄冠束发，因此又被称作“黄冠”。

王重阳少年时曾大举义旗，与金兵对敌，但因不遗余力，动用数千人力，历时数年建成“活死人墓”，在其中暗藏器甲粮草，作为起事之根本。由于将士伤亡殆尽，王重阳愤而出家，自称“活死人”，后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳，二人，化敌为友，携手同闯江湖。

林朝英对王重阳甚有情意，欲以身相许，但王重阳以国事为重，不谈私情， 两人本已化敌为友，后来却又因爱成仇，约在终南山上比武决胜，斗了几千招，始终难分胜败。

最终林朝英和王重阳打赌，石头上刻字，胜过王重阳，逼使他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择。但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住，自己另在古墓不远处盖了全真观，出家为道士，那就是重阳宫。而后道书读得多了，大彻大悟，乃苦心潜修，功成丹圆后，前往山东布教，建立全真道，先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子，后世称“全真七真人”。

王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世，想起她一生对自己情痴，悲痛万分，于是悄悄从密道进墓，见到两间石室顶上她的遗刻的玉女心经，招招克敌全真武功，后精研这玉女心经的破法，终未成功。

后来武林奇书“九阴真经”出现在江湖中，引起各路武林人士争夺。华山论剑，力压四强，天下第一，王重阳因此夺得九阴真经。他决意不练经中功夫，但为好奇心所驱使，禁不住翻阅一遍。一经过目，思索上十余日，即已全盘豁然领悟，后回到活死人墓，在最隐秘刻下九阴真经的要旨，并一一指出破除玉女心经之法。

王重阳旧疾复发，为了在身死之后留下一个克制西毒欧阳锋之人，求段智兴传他一阳指，以先天功作为交换，后来王重阳假装病死，以一阳指破掉了欧阳锋的蛤蟆功，使得欧阳锋退回西域。王重阳也在此之后逝去。

王重阳和洪七公都有义举，曾抗击金兵，以国家为重，所以在五大常数中只有0和1供选择，才有切实意义，王重阳的武功第一，缘于研究玉女心经，夺得九阴真经后，自己禁不住翻阅，有违当初华山论剑不研习九阴真经功夫之嫌，虽然没传授全真七子相关功夫。然世界还算相对公平的，黄药师、洪七公、一灯大师都练过九阴真经或运用之疗伤来恢复功力，欧阳锋也逆练九阴真经，武功达到新高。在射雕英雄传中，王重阳已经故去，对他的描写只是残存在部分人的回忆中，所以用0来表示以为最佳。

在数学中，你知道0有什么妙用吗？

学生们曾被教授0的任意次幂都是0，但是很多时候认为0的0次幂是未定义的（部分数学书把0的0次幂也规定成1，比如陶哲轩的实分析——编者注）。如果你要画出x^y的示意图的话，你会看到在点（0,0）是不连续的。关于0的0次方的应该是多少的讨论已经很久了，这个争论曾风行整个19世纪。

中神通与北丐的组合：

任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，这就相当于人们纪念中神通这一天下第一武林高手。

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由0、1符号串组成的代码。其运算模式正是二进制。0、1是基本算符。非常简单方便，易于用电子方式实现。

还有一个式子，你理解吗？

问世间是否此山最高

或者另有高处比天高

在世间自有山比此山更高

欧拉不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如果数学家也能来一次华山论剑，相信欧拉也是绝顶高手之一。

参考文献：数学之恋 克利福德•A•皮科夫 注  马东玺 译 湖南科学技术出版社

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原文作者：Jill Howard。

译文作者：我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。

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就像其他有趣的图形一样，圆形在我们周围随处可见。但你会经常注意到他们吗？古往今来圆形一直让人醉心其中，让我们一起来看看一些历史上著名而神秘的圆形。

圆形的设计理念在全世界的古代文明和近代文明的文物中所发现。人类在史前4000年前就建造了巨石阵，也许你曾听说过最有名的巨石阵位于英格兰威尔特郡。该遗址极具宗教气息，并且也有人认为其依照天文观测构筑而成，太阳将会在夏至日（一年中白天最长的一天）升起时的方向与其中一块石柱的指示方向相一致。欲知巨石阵的更多信息请浏览网站English Heritage.

在古希腊文化中，圆被认为是完美的形状。你能想到为什么吗？例如，一个圆有多少条对称轴？对希腊人来说，圆圈是神圣的对称和平衡的象征。希腊数学家们着迷于圆的几何形状，数个世纪以来都在探索它们的性质。 

至今仍吸引着人们的一种圆圈是麦田怪圈。虽然近来他们一直是阴谋论和恶作剧恶搞的对象，但从古代就已经有了相关报道。没有人真的知道这些复杂的模式是如何形成的。欲知麦田怪圈的更多信息请浏览网站http://en.wikipedia.org/wiki/Crop_circle  

对于圆来讲存在着很多未解之谜。其中一个希腊人未曾解决并且从未有人能够解决的问题，是被称为“化圆为方”的问题。即只用尺规作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。你不能简单地测量或计算圆的面积,而只能采用几何作图的方式。几个世纪以来人们一直试图解决这个问题，但在1882年它被证明在数学上是不可能的。为此，那些继续不断尝试解决它的人被认为是在白日做梦，而“化圆为方者”也成为那些做事荒谬不切实际之人的代名词。欲知更多关于化圆为方的问题请浏览网站http://mathforum.org/isaac/problems/pi3.html

另一个著名的圆形之谜是博罗米恩环。这三个环互锁而彼此无法分开，但是如果你拿走一个圆环的另外两个也会随之分开。这个圆环的历史可在http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/查阅。这个古老的，视觉上令人费解的问题令艺术家以及数学家着迷。这个概念不局限于圆环。不同的形状如三角形和矩形也同样适用。该作品的例子如下所示：

 

 时至今日圆仍然有着重要的象征意义——它们经常被用来象征和谐与统一。例如，观察一下奥林匹克标志。它有不同颜色的五环套接而成，代表了世界五大洲在良性竞争的精神下团结在一起。

 
现在看看你的周围，能看到有多少圆。也许你从未停下来去思考他们，但圆是无处不在的，他们真是美丽动人。也许你想尝试制作圆的模式和图片，或者在此网站上的许多圆的问题中一展身手。首先，看一下Borromean Mind Boggler 或者Overlapping Circles .

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原文作者：Ben Orlin ， 英国数学教师。 

译文作者：小饕，哆嗒数学网群友。就读于邯郸市第一中学，中学生。

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你想把我卷入一阵热血沸腾的盛怒之中吗？这儿有以下几个选择：

烧毁一个废弃的书店；

赞助商立法禁止在甜品中添加花生酱；

不假思索地告诉我你觉得黑猩猩宝宝不太可爱。

再或者，简单干脆些，就直接对我说出这句出自伟大数学家哈代的语录：

热血啊……

沸腾啊……

啊！热血沸腾啊……
 

我尽力了，但我就是做不到去痛恨哈代。他创作了完美的教科书，把数学之美当做毕生的信仰，还完成了许多其他的功绩。

但是我可以厌恶这个观点，这个有毒的文化基因，这些在我看来是我们对数学潜在的固有成见：产生新的数学观点的信念一直是对人们的最高召唤，而沉湎于陈旧的思想只能是无趣的唠叨，也只适合那些我们称作老师的顽固而堕落的傻瓜。

这并不是哈代发明的观点，他只是把它讲了出来。

所以，在此我代表那些被称作老师的顽固而堕落的傻瓜，希望能够发起一场保卫解释之艺术的运动。

1、 解释转化知识

我的第一个证人嘛，下面有请……欧几里德！

这么说吧，欧几里德并不是第一个进攻几何学的希腊学者，而且远远不是。在他初涉这个领域之前，好几个世纪的杰出的数学家们早已名留青史。那么，是什么让他成为数学证明的鼻祖而名扬四海呢？又为什么传统学校的几何学通常都叫做“欧几里德几何学”？为什么我在他去世后的2500年又提出他的名字？

这是因为他写了一本书，《几何原本》。

这是因为他强化了自己的思想观点。

这是因为他做出了解释。

在欧几里得之前，几何学零散地排列着，正如同收藏的珠宝散落在沙滩上。观点存在。证明也存在。但它们之间少有组织、结构和条理性。

欧几里得把几何学统一成了一个清晰、逻辑的系统。他罗列出基本的假设（称为公理），然后把每个几何定理都追溯回这些公理，不论它们看起来多么互不相干或者繁琐复杂。他的工作把支零破碎的数学整合成了一个单个的连贯的有机整体。

欧几里得改变了数学，不是通过创造新的主张，而是通过阐述已有观点之间的联系。

也就是说：通过解释。

二流的大脑也挺不错的，是吧？

2.解释改变世界

 
欧几里得并不是唯一一个通过数学解释来改变世界的。比萨的列昂纳多（也就是人们熟知的其死后的昵称斐波那契）带领现代数字体系登上了新大陆。

在列昂纳多之前，欧洲也算是受够了罗马数字：计算起来低效、缓慢又繁琐。但在阿尔及尔的一家造船厂里，小列昂纳多学到了一套更好的系统。这些数字——1，2,3,4,5,6,7,8,9，还有这个奇怪的0-都诞生于印度，并在阿拉伯半岛得以完善，而现在通过列昂纳多传播到了欧洲。它们很快在商人阶级中流行起来。然后终于，倾扫了整个世界。

列昂纳多向整个大陆重新诠释了算法。在此期间，他将历史推向了现代，实现了数字语言的全球化。
二流智商们再得一分。

3、解释衡量理解程度

 
艾伯特·爱因斯坦——很明显又一个他们口中的傻瓜——曾说过：“如果你不能把它简单地解释出来，就说明你还没能很好地理解。”但其实我们并不需要利用爱因斯坦来解释这儿的智慧。

每一个上学的孩子都知道向朋友们解释一些东西可以帮助你自己更好地掌握它。

每一位导师（从小学的到大学的）都能体会到教授知识可以帮助自己将那些松散的片段整合到自己的理解中去。

而每一位研究人员也都见证过将自己的观点写下或说出能够使它们更加纯粹和清晰-就像蒸发掉多余的水而使调料更顺滑，更浓醇。
可见解释不仅对他人有好处，也对解释者本身有好处。

4、解释营造交流圈

哈代是一个骄傲的，有着卓越贡献的数学研究团队成员。所以我认为他如此盲目和坚决地把“学术研究”和“交流圈”分开也是挺令人费解的。

如今，研究数学就是要发展新的观点。这对集体智慧的书库做着不断地补充。这显然是一件很酷的事。

但是当你传授这新的观点，或者写作易懂的书籍—也就是说，当你解释的时候——你也是在做一些很酷的事儿。
你在组织和安排这座图书馆。

 
如果我们都采用了哈代提出的说法，我们就只能是将一大堆从未读过的新书堆砌到书架上。没有人会去编辑或巩固整理这些知识。没有人会去组织整合前人的努力。也没有人会在图书馆中去引进新的学者。

哈代的这点建议实是自我打击。它在构建一个只有研究而没有交流的学术研究圈子。

它创建了一个有书无人读的图书馆。 

那么我们应该感到高兴，因为哈代看到了他自己过去的坏主意——尽管他对这种事很不情愿，但他的确写了一些像《一个数学家的辩白》这样的书以及其它一些容易理解的文章。

5、未解释的知识从世间消失
 

也许你会觉得我夸大了数学对于解释的反感。当然，这样的支持研究而反教学、反与教学有关的全部的也不见得全都那样普遍和那么严重的危害，是吧？

这样一来，我推出最后一件展品：ABC猜想。

ABC猜想于1985年首次提出，是数学界尚未证明的伟大猜想之一。它是一个与数论有关的有力说法，如果它正确，定将产生许多深刻的间接影响。

然后，就在2012年的8月，它被证明了。

嗯……或许被证明了吧。

我们不能确定。

这位掌握着证明全过程的数学家名叫望月新一。他花了几十年的时间去发展自己的理论，那包括了500页难以理解的信息，充满了各种符号和文字，还有新颖的概念模式。这项成就太具创新性以至于——不幸的是——还没有人有能力去检查和验证。

他在解决问题方面的个人成就被几个典型的解释错误所隐没了。他的证明就在那儿，没有解释，没有改变，就如同蛇颈里没有消化的大餐。

我们最好找些二流的大脑来帮忙吧。

对吧，哈代？
 

当然，我的控诉不是针对哈代的。

我的控诉甚至不针对研究中片面的精英主义。（想要把学术研究带头人的自我重视和智商优势的自我感觉从他们那里清除，就如同想要从摇滚乐中清除性别差异。这几乎不可能实现，而且就算实现，结果也未必如你所愿。）

我的控诉是针对你应当关注观点本身而痛恨分享观点这样扭曲的信念。

我的控诉是针对把学术研究从持续支持和解释的生态系统中分离出来这样的做法，那完全是搬起石头砸自己的脚！

我的控诉是针对那些认为解释是次要艺术的人。

而最重要的是，我的控诉是针对那些不觉得黑猩猩宝宝可爱的人。

我是说，快来看，伙伴们。睁大你们的眼睛！

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原文作者， SIOBHAN ROBERTS , 科学新闻工作者。

译文作者，斜风细雨，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。

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12年前加利福尼亚理工学院的数学家、工程师，罗伯特·麦克利斯获得了得香农奖。在芝加哥一个国际论坛上，他发表获奖感言时，他介绍了香农其人。香农于2001年去逝。

麦克利斯设想几千年以后，第166卷银河百科全书（艾萨克·阿西莫夫第一个构想）将包含以下传记：

克劳德·香农：公元1916年生于地球（第三太阳行星）。被认为是信息时代之父，他于公元1948年提出了信道容量的公式。经过数学家和工程师的数十年努力，所设计的可靠通信系统，其数据速率达到香农极限的百分之一。

某些时候，在百科全书中的较为简单直白的词条与其含义并不相符。信道容量这一平淡的词是指：在给定媒体中，在不丢失完整性的情况下，可在其中传输数据的最大速率。香农极限是可知的，与电话线到光缆的差别不同（传输速率提高了很多），香农极限更像绝对零度和光速一样，在现实世界中是极难达到的。但是香农的巨大突破并不仅仅是提出了一种计算这一极限的方法。首先，也是最重要的，他提出了将信息进行量化的概念。1948年在其传奇论文“通信中的数学理论”中，香农提出了应用“比特”(离散的“0”和“1”)对数据进行测量，香农将发明这个词的荣誉归功于约翰·图基，当时在贝尔实验室工作的他将二进制数（binary digit）缩写为比特（bit）。

《信息》的作者詹姆斯·格雷克在投稿前告诉我：“将香农与爱因斯坦进行对比更有意义。爱因斯坦贡献突出，地位显赫。但我们并没生活在相对论时代，而是生活在信息时代。正是香农，在我们所拥有的电子设备中，在我们注视的每一个计算机屏幕上，以及所有数字通信的方法中都留下了他的印迹。他是这样一个人：他改变了世界，而且在更改以后，旧世界已经被人们彻底遗忘。”格雷克说：“那个旧世界将信息看作是模糊的不重要的，只是图书馆中信息架上的某些陈列。而香农的新世界中，强调信息，信息是随处可见的。”麻省理工的电子工程师/副教授大卫·福尔内说“他重新建造了一个全新的世界，从宙斯的额头开始”。“比特”马上就轰动了，科学家尝试用比特测量鸟的叫声、人类的语言和神经脉冲。（1956年香农写了一篇名为《时尚》的文章反对这一现象）

虽然香农主要工作在模拟技术，还是有人提议他为数字时代之父。他的启蒙思路不只来源于他1948年的文章，同时还包含他十年前发表的硕士论文。这一论文将乔治·布尔19世纪的布尔代数（基于由二进制“0”“1”代表的“真”“假”值变量）与电子电路中的中继与交换结合起来。计算机科学家及历史浑家荷曼·哥斯廷将这一论文称之为：“目前所写出的最重要的硕士论文之一。”并认为“论文从艺术到科学上改变了电路的设计。”贝尔实验退休数学家尼尔·斯洛那也赞同这一观点，他是香农论文集的编辑，同时也是“整数序列在线百科全书（OEIS）”的发起人。斯洛那说：“当然，香农的工作属于通信理论，没有他我们现在可能是在等我们的电报。”他说“但是对于电路设计来说，似乎是香农的极大爱好，他喜欢小机器，他也喜欢焊接。”

例如，香农曾经建造了一台可以用罗马数字进行算术运算的计算机，并命名为THROBAC I。（Thrifty Roman-Numeral Backward-Looking Computer后向简洁罗马数字计算机），他还建造了火焰喷射喇叭和火箭驱动飞盘。他建造了自动下棋机器人，可在对手行棋后给出奇妙的评论。在后来人工智能先驱马文·闵斯基的启发下，他设计了一个被称为“终结机器”的机器人。当你把开关拨到“开”，盒子打开并伸出一个机械手，它把开关拨回到“关”，然后机械手缩回到盒子里去。在马萨诸塞州温彻斯特香农的家中（香农称为“熵宅”）堆满了他的小发明，他的车库中存放了至少30辆奇特的独轮车，一个没有脚蹬的独轮车，一个是方形的轮胎的独轮车，一个特为两个人骑的独轮车。他所考虑的问题有：任何人都可以骑的最小的独轮车是什么样的？“他已经建造了几个非常小的独轮车” 伯克里大学的退休数学教师，同时也是香农最后一篇论文的合作者埃尔温·伯利坎普告诉我，香农是伯利坎普论文答辩委员会成员，他向伯利坎普请教怎么玩四个球。“他说自己的手太小，确实如此，他的手确实比其他人的小一些，所以他在开始的时候，很难握住四个球。” 伯利坎普说。他后来掌握了这一技能，并进一步用他的杂技表来进行测量。“他是现实的黑客”数字哲学家安布尔·凯斯说。

1960年，如同那顽皮盒子里的那支手一样，香农退休了。他不再参与他所创建的那个领域时的任何活动，写作也很少。他仍然在焊接，那些时间他本可在追求那些周围科学家正在追求的更大荣誉。1973年，在以色列的阿什凯隆召开的信息论国际研讨会上，国际电子电器工程师学会命名了香农奖，并把这一奖项授于香农本人。香农正在遭受严重的神经疾病，他打起精神做了一个精彩的演讲作为回报，很快又回到原来的状态。1985年，在英国布莱顿的国际研讨会上，香农奖授于南加利福尼亚大学的所罗门·格罗姆。后来，格罗姆从回忆他前天的一个恶梦开始了他的演讲：他梦见将要进行自己的演讲，而在前排的除了香农之外的专家应当起身。但是，就在格罗姆本人的前边，就是香农本人。他的又一次出现（包括在宴会上的小插曲）成了这次研讨会的一个话题，但他根本没有到会。

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在香港举办的2016年第57届国际数学奥林匹克(IMO)各个队伍成绩日前揭晓。和上届一样，美国、韩国、中国成为前三名。美国队以214分，全队金牌的成绩蝉联第一，而韩国和中国的位次发生变化，韩国队以207分的成绩升至第二，中国队204分降至第三。中韩两队同样是4金2银。从总分名次来看，这是中国队1999年开始，连续18届参加该项赛事，第一次跌出前两名。而美国队经过这次蝉联第一之后，成为历史上第四支蝉联第一的队伍。另外三只队伍分别是，匈牙利、前苏联和中国队。 

东道主中国香港队总分161,3金2银1铜，取得第九名，这是香港队参加此项赛事以来的历史最好成绩。中国台湾队也有不错发挥，总分175,3金3银，取得第五的佳绩。中国澳门的成绩是108分，1金1银，39名。

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作者：陶哲轩，著名数学家，2006年菲尔兹奖得主。

译者：浪荡游侠，哆嗒数学网翻译组成员。

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在博弈论中，有如下两个概念：

共有知识：每个人都知道的信息。

共同知识：不但是每个人都知道的信息，而且每个人都知道别人也知道该信息。[而且每个人都知道别人也知道其他人知道该信息]

此二者，差之毫厘，谬以千里。

安徒生童话里《皇帝的新衣》就是一个经典的例子。皇帝没穿衣服是“共有知识”，但不是“共同知识”。在小孩戳破之前，每个人都知道皇帝是裸着的，然而他们不知道别人看见的也是一个裸体的皇帝。因此，他们不愿承认自己属于看不见皇帝新衣的笨人。这个荒唐的骗局也是因此才持续了好一段时间。

现实中，美国总统的竞选上也上演了这么一出闹剧。我们提出如下命题：

命题1： 共和党候选人唐纳德·川普是无法成为一个合格的美利坚合众国的总统。

该命题对很大一部分美国民众来讲是“共同知识”。 即便很多川普的支持者也在私下里怀疑这个命题是否为真。当然，他们是绝不会当众说出来的。 两党诸多精英也在某种程度上印证了这个命题，比如2012年的总统候选人米特·罗尼发表演讲称川普是一个“骗子”。今年的总统候选人希拉里·克林顿也在演讲中提到了川普有多不靠谱。

然而，即便命题1从某种意义上已经成为了“共有知识”，但是它离“共同知识”还差得远：一个人也许私下里认为川普不是一个靠谱的美国总统，但他们认为川普成为总统是合理的，因为他们周围的人、媒体和政客似乎都这么想。

我想现在是时候将这个骗局结束了：川普不适合当总统。所有人都知道这个事，但需要更多的人大声说出来！

注： 我预期会有很多回复说希拉里·克林顿也不适合当美国总统。个人来讲，我觉得这种说法是不对的，起码希拉里比川普靠谱多了。但不管怎么说，这种言论并没有从逻辑上证明川普可以胜任美国总统。 本文所关注的是命题1的正确性，因此，我将删除所有本质是“希拉里也一样”的言论。然而，美国选举制度中确实存在着一些根本的缺陷，尤其是“多数制”（即“胜者全取”）的制度。在这种制度下，一旦候选人定下来，投票人只能在两个多数党的候选人之间进行选择。不然他们就只能弃权，或者象征性地投个反对票。在一个候选人明显不适合当总统时，这种制度的缺陷便会明显地体现出来，就像现在一样。我觉得有必要讨论一下是否应该对美国的选举制度进行改革。从我个人来讲我很倾向用我的祖国澳大利亚所用的“排序复选制”（参见注解[1]）。这种制度下对第三方的投票是真正有用的，而不像现在制度下只具有形式上的意义。关于选举制度的回复，我将认为是切题的。当然这些都是后话了，在这次美国大选之前是不可能对选举制度做任何修改了。

译者注：

[1]. 排序复选制：在候选人超过两名的情况下，选民在选票上按喜好排列其支持的候选者。计票时，首先依照选票上的第一选择来计算候选人的得票，得票最少的候选人将被淘汰，然后将其得票依第二选择重新分配给其他候选人，按票数再排序后，再将最少票的候选者排除，并将其选票分配给余下的候选人，如此类推，直至有候选人取得过半数选票为止。

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2016 年第 57 届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）今日(7月6日)在香港举办，按国际数学奥林匹克香港委员会主席岑嘉评的说法，这是香港回归后首次大型国际活动。

去年在泰国清迈举办的国际数学奥林匹克比赛中，由于中国队的团体总分输给美国队屈居第二，引起了一次关于奥数的社会大讨论。这回中国队能重新夺回第一吗？

实际上，中国队一直是这项比赛的“巨无霸”。从1999年开始，中国队连续17年在这项赛事中，非冠即亚。毫无疑问，中国队还是这次比赛的夺冠的最大热门。

然而，中国选手在IMO上的出色表现，并没有让奥数在国内得到一致的好评。在反对奥数的各界人士中，不乏数学大家，曾经的菲尔兹奖得主丘成桐曾这样评价到：“奥林匹克数学竞赛的组织者是一个帮助中学生的国际组织，他们都不是一流的数学家，所做的也只是引起学生对数学的兴趣，对发展整个数学没有起到什么作用。在数学界看来，‘奥数’就像是报纸上的娱乐版，看过之后也就扔到垃圾筒里了，根本不可能拿到课堂上去讲的。……，出‘奥数’题目的很少是一流的数学家，他们出题很偏，在研究数学的人看来，学生解决非一流数学家出的很偏的问题，并没什么了不起的。”

 
但大数学家之中，也有不少支持者，比如同样是华裔，同样是曾经的菲尔兹奖得主的陶哲轩。陶哲轩教授甚至是IMO基金会赞助者，他本人先后三次参加IMO，分别获得铜牌、银牌、金牌，至今保持着最年青获得IMO金牌的记录（那年陶哲轩12岁）。
 

“我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”，陶哲轩教授说，“和其它任何学校的运动会一样，在IMO有一群有着差不多能力与爱好的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生，因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学精英改变一生的事件。因此，我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”
 

事实上，近几届获得数学界最高荣誉菲尔兹奖的人中，很多人都是IMO的奖牌获得者。也许IMO对他们数学兴趣的培养，起到过至关重要的作用——这个对兴趣培养的作用，无论是丘成桐还是陶哲轩都是同意的。
 

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原文作者：Max Nisen，Quartz网站记者。

译文作者：我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中国矿业大学。

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今年早些时候，数学家斯伊恩•图尔特出版了一本十分优秀而专业的书籍，书名为《探索未知：改变世界的17个公式》。该书审视了有史以来最为关键的公式，并从人类背景而非技术背景下进行了解读。

我们询问斯图尔特教授为什么决定写这本书：

“公式可以非常枯燥，也可以非常复杂，但主要是因为它们通常是在一个枯燥且复杂的方式下呈现的，和学校的数学老师相比我更具优势：我不会试图教你如何做运算。你可以欣赏公式的美丽和重要性，而不需要懂得如何计算... 本书主要目的在于定位公式所处的文化和人文背景，并揭开它们隐藏在背后影响历史进程的面纱。公式是我们文化的重要组成部分。隐藏在公式背后的故事--发现/发明了它们的人以及他们所生活的时代——都是引人入胜的。”

这与受到金融危机影响的那些人尤为相关。

布莱克•斯科尔斯期权定价模型，是位于第17位的一个衍生品定价方程，可以有助于阐释该问题。

摘自同斯图尔特教授的电邮交流：

“从数学角度来看,它实际上是一个相当简单的方程。真正带来麻烦的是数学系统建模的复杂性。你不需要成为一个内行去搞懂将数百亿美元借给别人并且指望归还的那些人，他们的想法是多么的幼稚可笑…”

人们对待一个理论公式过于严肃认真，滥用其假设，用其为错误的决策辩解，花费上万亿美元搭建纸牌屋（译者注：用纸牌砌成的房子，形容脆弱，不堪一击），这使得危机不可避免:

“我认为一旦金融工具在巨额交易条件下，情况会变得太过复杂以至于危机是无可避免的，没人能完全理解它们的价值和所带来的风险。当市场用真实的货币交易真实的商品时，过度交易只能到达实际存在的上限。当交易变成虚拟商品（金融衍生品）兑换虚拟货币（杠杆作用）时，由于没有客观世界的限制，市场就会变为脱离现实的幻境。”

现在我们来看看这17个公式:

勾股定理

含义：直角三角形的斜边的平方等于它的两条直角边的平方和。

历史：尽管归功于毕达哥拉斯，但是尚未确定他是第一个证明该公式的人。第一个明显的证据来自于欧几里德，也许巴比伦人比毕达哥拉斯早1000年就知道这个概念。

重要性：该公式是众多几何学的核心，将其与代数相联系，并且是三角学的基础。该公式对于精确的测绘、制图、导航是不可或缺的。

现代应用: 三角原理用于确定全球定位系统导航（GPS）的相对位置。

对数及其恒等式

含义：对数可以化乘为加。

历史：最初的概念是由苏格兰梅奇斯顿的地主约翰•纳皮尔在大量使用乘法运算时发现的，使得那些令人难以置信的繁琐和费时的计算会变得更容易和快捷。后来由亨利•布里格斯使其变得更加易于计算和使用。

重要性：对数是革命性的，它使得工程师和天文学家的计算更快更准确。随着计算机的问世，该公式似乎不再那么重要，但是对于科学家来说它仍然是不可或缺的。

现代应用: 对数可以有助于我们理解放射性衰变。

微积分基本定理

含义：可以计算出瞬时速率的变化

历史：微积分，正如我们所知在17世纪晚期由艾萨克•牛顿和戈特弗里德•莱布尼茨所发现。有关发现权的剽窃和先后有着长时间的争论。这也许永远无法解决。现在我们使用的逻辑和部分符号来自于上面两个人。

重要性：摘自斯图尔特的书，“对比任何其他的数学技术，它创造了现代世界”。微积分是我们理解如何测量线、面、体的关键。它是许多自然法则的基础，也是微分方程的来源。

现代应用:任何一个需要得出最优解的数学问题。医学、经济学和计算机科学的必备知识。

牛顿万有引力定律

含义：计算两个物体之间的引力。

历史：艾萨克•牛顿在翰尼斯•开普勒早期工作的帮助下得到了该定律。 他还使用甚至剽窃了罗伯特•胡克的工作。

重要性：微积分技术一直用于描述世界是如何运行的。时至今日我们仍然将它用于卫星和探测器的轨道设计。即使后来被爱因斯坦的相对论所取代，但它对于阐述物体之间如何相互作用仍然是至关重要的。

价值: 我们有太空发射任务时，该方程是用来寻找最佳的引力“管道”或路径，使它们可以尽可能地节约燃料。同时它也使得卫星电视成为可能。

复数

含义：虚数的平方为负值。

历史：虚数最初是由著名的赌徒/数学家吉罗拉莫•卡尔达诺提出，后由拉斐罗•邦别利和约翰•沃利斯进行了拓展。他们一直作为一种奇特而重要的数学基本问题存在，直到威廉•哈密顿阐述了这个定义。

重要性：摘自斯图尔特的书，“...如果没有该公式，很多现代科技，从电灯到数码相机不可能被发明出来。”虚数可以用于复分析，它可以让工程师们在平面上解决实际的问题。

现代应用: 广泛应用于电器工程和复变函数理论。

多面体欧拉公式

含义：描述了一个空间的的形状或结构，与度量方式无关。

历史：笛卡尔首次表述了顶点、棱、面三者之间的数量关系，随后的定义、证明和发表是莱昂哈德•欧拉在1750年完成的。

重要性：地形测量学发展的基础，它可以延伸到任何连续表面的几何形状。也是工程师和生物学家的一个重要工具。

现代应用: 拓扑学可以用于解释DNA的行为和功能。

正态分布

含义：定义了标准正态分布

历史：早期研究是由布莱斯•帕斯卡开始的，但是其分布的逐步形成是由伯努利完成的。我们目前的钟形曲线来自比利时数学家阿道夫•凯特勒。

重要性：该公式是现代统计学的基础。没有该公式，科学和社会科学不会以现在的形式出现。

现代应用: 用于在临床试验中确定药物相对于负面影响是否足够有效。

波动方程

含义：描述波的行为的微分方程，最初始于对振动小提琴弦的行为的研究。

历史：18世纪数学家丹尼尔•伯努利和让•达朗贝尔首次阐述了该公式，尽管他们是以略微不同的方式提出。

重要性：由波的行为推广到声音的传递方式,地震如何发生,以及海洋的行为。

现代应用: 石油公司引爆炸药，然后可以从随后的声波中读取数据来预测地质构造。

傅里叶变换

含义：描述时间作为频率的函数模式。

历史：约瑟夫•傅里叶发现了这一方程，该方程是从他著名的热流方程和前面描述的波动方程中扩展而来。

重要性：该方程可以将复杂的模式分离、清理和分析，对于许多类型的信号分析是至关重要的。

现代应用: 用于将信息图像压缩为JPEG格式，以及发现分子的结构。

纳维尔－斯托克斯方程

含义：等式左边反映的是流体微元的加速度，等式右边反映的是施加在上面的力。

历史：莱昂哈德•欧拉首次对流体的运动进行了模拟，法国工程师路易斯•克劳德•纳维叶和爱尔兰数学家斯乔治•托克斯构建了我们现在仍在使用的模型。

重要性：一旦计算机强大到足以解决这个方程，便可以开辟了一个复杂的和非常有用的物理领域。这对于设计更符合空气动力学的车辆是非常有用的。

现代应用:此外，该方程有助于推动现代客机的发展。

麦克斯韦方程组

含义：映射出电场和磁场之间的关系。

历史：迈克尔•法拉第对电磁之间的联系做了开创性的研究,詹姆斯•克拉克•麦克斯韦将其转化为方程,从根本上改变物理学。

重要性：有助于预测和帮助理解电磁波，同时也有助于许多现代技术的实现。

现代应用: 雷达、电视和现代通信。

热力学第二定律

含义：能量和热量随时间的推移而消散。

历史：萨迪•卡诺首次提出自然界是不可逆的。数学家路德维希•玻尔兹曼拓展了该定律，威廉•汤姆森正式表述了该定律。

重要性：它对于我们通过熵的概念来理解能量和宇宙是必不可少的。它有助于我们认识到热能提取工作的限制，并有助于发明更好的蒸汽机。

现代应用: 证明物质是由原子构成时，起到了一定的作用。

爱因斯坦相对论

含义：能量等于质量乘以光速的平方。

历史：很少有人知道（非物理学家）爱因斯坦的方程起源于由阿尔伯特•迈克尔逊和爱德华•莫雷实验，该实验证明了按牛顿的方式改变参照系条件下，光并没有发生移动。随后爱因斯坦在他的著名论文中就狭义相对论和广义相对论（1915）和广义相对论（1905）进行了深入的研究。

重要性：也许它是历史上最著名的方程式。彻底改变了我们对物质和现实的看法。

现代应用:有助于核武器的发明，如果全球定位系统没有考虑它的话，你的位置会偏离上千码。

薛定谔方程

含义：建立物质的波模型而不是粒子模型。

历史：1924年路易•维克多•德布罗意发现物质的双重性质。我们所见的方程是1927年埃尔温•薛定谔推导的，构建工作是由沃纳•海森堡那样的物理学家完成的。

重要性：彻底改变了物理学在微观尺度的观点。粒子以概率的方式出现，具有不确定的观点是革命性的。

现代应用: 对半导体和晶体管的使用是至关重要的，因此大多数现代计算机技术也依赖于它。

香农信息论

含义：通过概率及其符号估计一段代码的信息量。

历史：二战后的几年里由贝尔实验室的工程师克劳德•香农发现。

重要性： 摘自斯图尔特的书，“这是信息时代迎来的方程。” 通过阻止工程师们寻找过于高效的代码，它建立了从光盘到数字通信的界限。

现代应用: 用于很多容错检测的编码。你们这几天上网了吗？

逻辑斯蒂增长模型

含义：在有限资源的条件下估计种群隔代的数量变化。

历史：1975年罗伯特•梅可能是第一个指出该模型人口增长可能产生混沌的人。数学家弗拉基米尔•阿诺德和斯蒂芬•斯梅尔的重要工作使人们认识到混沌是微分方程产生的结果。

重要性：有助于混沌理论的发展，该理论完全改变了我们对自然系统工作方式的理解。

现代应用: 用于模拟地震和预测天气。

布莱克—斯科尔斯期权定价模型

含义：对衍生品的定价是基于无风险假设,并且当不存在套利机会时它的价格是正确的。

历史：费舍尔•布莱克和迈伦•斯科尔斯建立了模型，罗伯特•莫顿进行了拓展，后面两个人获得了1997年诺贝尔经济学奖。

重要性：有助于建立现在上万亿美元的衍生品交易市场。有人认为不当的使用公式(及其推论)导致了金融危机。特别是方程的几个假设不适用在现实金融市场。

现代应用: 在金融危机之后，仍有更多的拓展模型用来对大多数衍生品进行定价。

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原文作者，James Propp，马萨诸塞大学数学教授。

译文作者：333，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中南大学数学专业。

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这个故事正如数学科普作家西蒙·辛格在一个“数字狂”(Numberphile)视频中所说：这个十七世纪的法国数学家，皮埃尔·德·费马，坐在他的私人图书馆中正读着一本书。他激动地写下了他的一个新发现，就在书的角落里——一个我们如今称为费马大定理，或简写为FLT的断言——但他紧接着写道，书的边角地方太小以至于写不下他的证明。在他还没能跟任何人交流这个问题的细节之前，“他就暴毙而亡了。”

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关于这个版本的费马大定理故事，我有两个疑问，并且它似乎在暗示是主人公的死亡才导致这个重要的数学秘密被久久尘封。首先，我们看过太多遍“秘密在临死前始终说不出口”的电影片段了；这很做作可笑，不是吗？第二，并没有证据表明费马死前写过那样一段话。我们无法回到过去确定他所使用过的墨水，因为在他的注释被人转录之后原书就不见了，但是从费马的信件中我们能够得知，他读这本书是在职业生涯早期，大约1630年代。大多数学者认为这个传奇的注释写于他死亡之前二十年。所以辛格在他的视频2分15秒开始杜撰了一个过于戏剧性的故事。他仍然确信费马是带着一个没有向任何人揭示的他所声称的证明归于尘土的。

多亏了现代数学家安德鲁·怀尔斯，我们才能够知道费马的声称是正确的，他也因为在费马大定理上的著名工作而在不久前获得了阿贝尔奖。但是，费马真的有那个绝妙的证明吗？这正是我今天想要探讨的。当我们讨论这个费马没有揭示的最著名的证明时，我将要告诉你费马确实创造了一个证明方法——一个可以美妙地解决其它的与此类似形式数论问题的方法。

这本使得费马很丢面子的书是他私人抄本的《丢番图算术》。而吸引了费马注意力的那一页上讨论的问题是：将一个平方数分解为两个平方数的和。（5²=4²+3²，20²=16²+12²，再不然分数也行，4² = (16/5)² + (12/5)²，因为丢番图对分数和整数都同样满意。）

费马在书的边上写道：“然而，你却不可能将一个立方数写成两个立方数之和，也不能将一个四次幂数写成两个四次幂数之和，或者更一般的，任何一个高于二次幂的数都不能写成两个和它同次幂的数之和。我已经发现了一个绝妙的证明，但是这里太窄了，我写不下了。”用现代的记号表示即：若n是一个大于2的正整数，则方程x^n + y^n = z^n (x^n 表示x的n次方)没有非零的有理数解（你或许会想为什么我会说“有理数”而不是“整数”？仔细想一想）。费马的儿子在费马1665年去世之后整理出版了父亲的手稿和笔记，才使得这个断言公之于众。

费马是认真的吗？

考虑到费马在今人中的名声很大一部分源自于这个声称，一些人想知道是否有可能他故意误导后世的人们以博得死后的荣耀——他明知这是个困难无比的问题，但在心里察觉到，若他声称有一个办法，那他死后就会像一个无与伦比的圣人那般著名。他的所谓的证明会是纯粹的虚张声势吗？

这是个有意思的观点，但这并不符合我们了解的费马和他那个时代的人。像费马大定理这样的问题并不能激起费马时期那些顶尖的数学家太多的兴趣。微积分正在欧洲文化的子宫里孕育，那些导致了微积分被发明出来的问题才是人们的兴趣所在。费马在解析几何、计算领域、光学、最优化上的创造性工作——正是这些让他享有巨大的声誉。

相反，费马在试图让人们相信诸如他的大定理之类的问题有很大价值时遇到了重重困难。他用以构造“佩尔-费马方程”解的步骤确实引起了一些人的兴趣，比如约翰·沃利斯，但是沃利斯觉得费马否定性的结果索然无味。布莱斯·帕斯卡，他很赞赏费马在概率论上先驱性的工作，然而对费马在数论上的工作却是不屑一顾。

如果我活在费马的时代，我会很同情费马努力所做的工作，但是恐怕我很可能会站在那些怀疑者的一边。我能想象我自己会说：“数学难道不该是解出方程，而不是证明它们无解吗？如果试图找出所有数字解导致我们要去考虑那些压根就没有解的方程，那么从一开始，试图寻找它们的解不就是个错误吗？难道这不是告诉我们费马在问一些错误的问题吗？”

费马敦促他的同时代人在解方程时加入有理性和整数性的要求，并没有其他原因，纯粹是为了使方程更具挑战性。在实数范围内容易解出的方程，在加上诸如有理解或整数解等附加条件后会变得极端困难而精妙。后代人开始视这种精妙为一件好事；这些问题很难但仍然可解的事实表明了这些问题值得研究。随后世纪里最伟大的数学家们，比如莱昂哈德·欧拉、卡尔·弗雷德里希·高斯，对费马的工作非常感兴趣，甚至对他遗留下来未完成的工作更加有兴趣；他们的认可使得费马关于整数谜团的杂乱口袋变成了数学中一个叫数论的分支，并赋予了这个领域自己的合理性和无尚荣耀。应当说明高斯对费马大定理并不感冒，他曾明确指出（在对n=3的情形找到一个证明后）在数论中可以很轻易地提出许多这样很困难的问题。

到十九世纪早期，数学家们已经解决了费马所有的猜想——除了这一个，这也致使这个遗留的问题被冠以“费马大定理”的名号。（不妨告诉你，费马“倒数第二大定理”是被柯西在1813年证明了。）费马声称他关于费马大定理的证明是“绝妙的”给人类知识的鸿沟增添了额外的凄美。

让我们返回十七世纪，费马问题的巨大困难使得很多数学家认为他们应该把心血努力转移到别的地方。正如费马的同代人克里斯蒂安·惠更斯写道，“有别的更好的东西等着我们去做。”所以，要是费马想用不诚实的断言来使人们佩服，那他就不该打费马大定理的主意。

你仍可以刻薄的怀疑，费马的缄默就是他根本没有那个证明的证据。不过你得知道，对于费马而言，对一个命题不给出证明是一件寻常的事，并不是什么例外。他没有发表任何关于数的工作，但他通过和其他数学家的通信来是自己满意。（不错，费马是一个“业余的数学家”，不过话说回来，谁不是呢？）他就像在和他的通信者玩一个奇妙的游戏，他提出一个问题并且暗示如果对方无法解决他就会揭示答案。所以，很有可能费马确有一个关于他的“大定理”的证明，但是在别人绞尽脑汁徒劳无功之前他不愿揭秘，这样就更能显示他自己的聪明。

总之，我从未见过任何可信的证据表明费马在书页边角写下的评注是在误导后人。我认为费马是真的找到了一个论据并且他觉得是一个有效的证明。那绝不是安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒的手段，他们的手段包含了太多的数学新概念（像是“椭圆曲线”）和历代数学研究者的杰出成果，这些都是在费马死后才被发展出来的。数学史专家们认为费马一定拥有一个他自己确信无疑的证明。

如果我们想要理解当费马说他证明了某个数论中的问题时他是什么意思，我们需要了解他用了何种方法。幸运的是，这一点费马能够亲自告诉我们，因为在他一生中，他确实给出了这么一个数论问题的详细证明过程。他使用了一种方法，他认为是他对数论这门学科最重要的贡献：在1657年给皮埃尔·德·卡尔加维的一封信中，费马称其为“无穷递降法”。

无穷递降法

很容易给出一个后项比前项大的无穷正整数序列：如素数序列、完全数序列或者1，2，3，4……但你能想出一个后项比前项小的无穷正整数序列吗？只要稍微想想你就会回答“不可能”。比如，取第一项是一百万，那么第二项至多是999999，第三项至多是999998，一直下去；在一百万项之后（不会更多），这个序列就会发现自己被逼到了角落里，这是因为每一项都要求是正整数。如果第一项不是一百万，是个更大的数，比如十亿，那么这个序列仍然会到达终点，尽管要很多很多项之后。这就是说，不存在无限长的正整数递减序列；无论首项多么大，一个正整数的递减序列迟早都会终结。这个似乎不起眼的费马原理却有着意义深远的结果。

举个例子，让我们把费马的方法运用到这个方程：xy + y² = x² ，我们来证明它没有正整数解。费马会用纯代数的形式来陈述他的证明，而我将采用几何的途径，来使证明的逻辑更清晰。要提醒的是，费马从未将他的无穷递降法用在这样简单的方程上，他发明这个方法是为了敲开更硬的坚果，例如方程x^4 + y^4 = z²,在他给卡尔加维的信中明确的展示了这个方法。

为了开始我们对方程 的分析，首先把“x”用“a”代替，把“y”用“b”代替，这样方程就变成了ab + b² = a²；然后将它变形为(a+b)/a = a/b;接下来将这个方程表示为几何形式，我们可以画一个a×(a+b)的矩形，它里面包含了一个a×a的正方形和一个a×b的矩形，如下图所示。

方程(a+b)/a = a/b表明大矩形相似于小矩形：即将大矩形旋转90度，再把它按比例缩小就得到了小矩形。因此，这个大矩形就是古希腊人所说的“黄金矩形”：它包含了一个正方形和其自身的缩小版。同样，这个小矩形也相似于大矩形，它也是个黄金矩形；正如下图所示。所以，这个小矩形也可以分解为一个正方形和一个更小的矩形；这个更小的矩形还能分解成一个正方形和一个更更小的矩形……可以将这个过程一直无限进行下去。

当你第一次看这张图可能会有点眩晕，但这在数学上不成问题。如果从一个黄金矩形开始，你可以画越来越小的正方形和越来越小的黄金矩形，直到你实在没耐心了（或者找不到更尖细的铅笔了）。但是，假如你不是从一个黄金矩形开始会怎么样呢？要是你想徒手画一个黄金矩形，怎么画呢？甚至如果你要求你的黄金矩形每边都是整数个单位长，这又会如何呢？

这样的话，你就陷入了麻烦之中，而费马的无穷递降原理会告诉我们为什么。但是首先，我们需要对图一做一个似乎很天真的观察：如果大矩形的边是整数，那么小矩形的边也是整数（代数语言：若a+b和a是整数，则a和b是整数。这是因为我们可以将b写为(a+b)-a,这是两个整数的差。）为了看出这将导出什么，来看接下去的下面那张图中的小黄金矩形。如果最大的是整数边，那么小的也是，更小的也是，一直下去都是。这样，我们就得到了一个无穷递减的整边矩形序列。看出问题了吗？拿出每个矩形的短边，我们可以得到一个无穷多项递减的正整数序列——但是这是不可能的，这由无穷递降原理可知。所以，不存在一个整数边长的黄金矩形。

间接证明

我们刚刚所展示的证明就是一个间接证明：为了说明某个命题在数学上是不成立的，我们只要说明它的成立会与自身产生矛盾或与已知的产生矛盾即可。举个例子，为了证明不存在整数边长的黄金矩形，我们证明了要是这样的矩形存在就会导致存在无穷递降正整数序列，而这一点与无穷递降原理矛盾。

如果这是你第一次领略非直接证明，你也许会感到有些不安——这仿佛在骗人！如果你这么觉得（有这种感觉很正常），那我告诉你这是一种和我们现实世界并不十分相称的推理方式，在这种推理方式下，事物的性质是受到怀疑的，这样你或许会感觉好一些。这也许就是为什么你的大脑会对这种方法有所警惕。但是在数学中我们处理的是经过精确定义的抽象概念，而不是凭经验的观察所得，因此运用矛盾来证明是一种合理的推理方式。在构建可数数这一数学论据时，我们被允许作出没有无穷递减的可数数序列这一假定——不是因为我们在实际生活中没有遇到这样的序列，而是当我们说可数数时它就已经暗含了这一性质。

如果你认为要是没有间接证明数学会发展的更好，这就有一个问题值得深思：那你还能用什么办法去证明某个东西是不存在的呢？通过遍寻它可能存在的地方然后发现哪儿都没有它？当这样的地方是无限多个时，这种办法就不管用了！

间接证明的一个好处是，在你紧接着的推理过程中提供了非常广阔的目的地：你只要到达其中任意一个矛盾的地方，那就完成了证明。可以把推理的过程想象成地理位置依赖于知识状态的导航过程。如果你试图证明“若命题P，则命题Q”，那么你就会从P出发尝试建立一条通往Q的路线；也许只有惟一一条路线，找到它可能要很高明的技巧。但是，如果你试着去证明命题P和命题Q的否定放在一起可以产生一个矛盾，不管是什么样的矛盾都行，都可以使你到达原来的目的地。你可以马上就试试从一些前提假设作一些随机的结论，再看看它们把你带到了何处！所以这种证明方法经常能给你提供比直接证明更大的前进空间。

如果你喜欢上面那个没有整数边长的黄金矩形的证明，你可以用同样的方法试着证明，不存在五条边和五条对角线都是整数的正五边形。

费马知道什么？他什么时候知道的？

费马有找到了一个正确的证明的可能性，但是这一点随着时间流逝变得越发不可信。因为那些掌握着费马所知道的所有数学工具的业余数学家们，足够聪明也花了足够多的时间在数学上，都没能找到费马大定理的一个初等证明。要是真有那么一个简单的证明，会时至今日还没被发现吗？

大多数历史学家倾向于费马犯了个错误这一观点。（这可能不是他唯一的错误；参看参考列表中的文章“费马的错误”。）这一假设会更可信如果历史学家们能够重现关于费马大定理的那些似是而非的费马式的错误证明。其中之一是费马之后两个世纪，数学家拉梅的那个错误证明；尽管它包含着一些费马那个时代所没有的想法（如将复数引入数论），不过费马很可能有一些基于直觉的、怪异的方法去处理数，而不使用我们今天的方法，比如精巧的三角学方法。所以费马可能有一个天才的方法比拉梅早两个世纪犯了那个错误。

即使没有拉梅的那个例子，我们也能够看出费马是在试图解决一个极其容易犯错的问题。证明一个东西不存在几乎总是要用到间接证明，当你构建了一个间接证明，找出任意一个矛盾就行了。这就使得很容易构建出一个虚假的间接证明：仅仅犯了一个代数错误，就推出了一个矛盾，而这个矛盾却并不能由你最开始的前提假设推出，它仅仅只是起源于你推理中的一个小错误。

大多数对费马的证明抱有兴趣的数学家都得出了和我相同的结论，这也是我在文章标题的选择中所暗示的。这个词组“深夜小狗神秘事件”来自于《福尔摩斯》里的故事《银斑马》，在这个故事里，福尔摩斯向苏格兰警察厅的侦探格雷戈里解释了他的推理。

格雷戈里：“你还有其他东西想引起我的注意吗？”

福尔摩斯：“ 这只狗在晚上的奇怪举动。”

格雷戈里：“这只狗夜里什么都没做。”

福尔摩斯：“那才是一件奇怪的事。”

对于我们而言这个奇怪的事是，在他所有的信件中，包括他1659年最后一封给卡尔加维的信（在这封信中他在总结了他一生在数论中的所做的工作），费马也没有提到他证明了费马大定理。他的确证明了x^4 + y^4 = z²没有正整数解，由此可以推出n=4时的费马大定理成立。费马也声称用他的无穷递降法他也证明了x³ + y³ = z³没有正整数解。但是对于方程x^n + y^n = z^n,当n大于4的时候，他沉默了。是否有可能在他原以为自己证明了费马大定理后，突然意识到实际上他并没有？而他也忘记了在那一页书上重新作个声明，或者他根本就不记得自己写过那段评注？

我们永远也不可能知道真相了，但是除非直到有更多的证据，那似乎是这个数学谜团貌似最真实的答案了。

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近日，艾瑞深中国校友会网大学研究团队发布了2016中国大学本科专业排行榜。其中数学与应用数学专业的星级排名也同期发布。星级排名的最高星级为7星(★★★★★★★)。榜单公布了三个星级的排名，分别是7星级(★★★★★★★)、6星级(★★★★★★)、5星级(★★★★★)。共有17所高校的数学专业进入榜单。

最高星级有4所大学，他们并列排在第1名——北京大学、复旦大学、南开大学、中国科学院大学，办学层次都被评定为世界知名高水平专业。而其余13所大学分别评定为6星级和5星级，办学层次分别为中国顶尖专、世界知名专业、中国一流专业。

最后附上星级排名的详细图表，注意排名中大量并列的情况，哆嗒数学网的小编提醒你，这是中国校友会网排名的特色。

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卡洛尔在数学上是绝对的无名小辈，所以对那些数学大家的“嘲讽”是用非常隐晦的“吐槽”进行的。原著中有个著名桥段，就是疯帽子的茶会。本部电影中演绎了原著中这个茶会的主要情节。不同的是，爱丽丝因为还在时空旅行而没参加茶会。茶会里本来有三个人，疯帽子、三月兔、睡鼠。

后来“时间”闯入。茶会开始前，因为“时间”感到疯帽子愚弄了他——其实看上去是真的愚弄了他——于是愤然离席。离席前，把时间永远定格在了茶会开始前1分钟。这样，疯帽子永远只能循环往复从座位站起又坐下，三月鼠永远只能重复他倒咖啡放糖的动作，而睡鼠就像复读机一样反复念到“鬼才相信他说的！”。

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据邵逸夫奖官网(shawprize.org)6月1日消息。2016年度邵逸夫奖得主揭晓，六位科学家获颁奖项。今年为第十三届颁发，颁奖典礼定于2016年9月27日(星期二)于香港举行。

数学科学奖方面，2016年度邵逸夫数学科学奖颁予英国牛津大学教授奈杰尔·希钦 (Nigel J Hitchin)，以表彰他对几何学、表示论和理论物理学作出极重要贡献。他引入了基本而优美的概念和技术，影响深远。

  几何学是数学的核心。它与数学的其他部份有着密切的联系，包括与研究对称有关的表示论、微分方程、数论，近年更与理论高能物理有所关连。邵逸夫数学奖的官方新闻稿中介绍，希钦是我们近代最有影响力的几何学家之一。他的研究工作，为几何学及其相关的科目带来深远的影响。他多次发现几何学中优美又自然的特点，这些特点至为关键，激发了很多其他领域的研究工作。

   有趣的是，希钦教授却与大家熟知的其他著名的数学大奖无缘。曾有数学家表示，“邵逸夫数学奖有点好玩，似乎专门给得不到其他大奖的，往好处想不是锦上添花，往不好的想是做补充”。这确实多少符合邵逸夫数学奖的部分风格，但也不尽然，我们哆嗒数学网的小编可以帮你回顾一下，就近几年一些菲尔兹奖得主也获得过此奖，比如孔采维奇(2012)、法尔廷斯(2015)。

附录：“邵逸夫奖”简介

“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立，以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果，和该成果对人类生活产生深远影响的科学家，原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

“邵逸夫奖”是国际性奖项，由邵逸夫奖基金会管理及执行。邵逸夫先生亦为邵逸夫慈善信托基金和邵氏基金会的创办人，这两个慈善组织主要发展教育科研、推广医疗福利及推动文化艺术。

“邵逸夫奖”有三个奖项，分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次，2015年前每项奖金一百万美元，从2016年开始每项奖金增加至一百二十万美元。

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原文作者，Ana Swanson,Wonblog记者，原文发表于华盛顿邮报的网站上。

译文作者：小王子，哆嗒数学网翻译组成员。

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出于各种各样的原因，人们怯于对伴侣许下承诺。原因之一就是，他们无法预料未来会不会有更好的在等着他。早早地确定关系，意味着你放弃了将来会遇见更完美恋人的可能。倘若拖着不表态，那么所有美好的都将错失。人们即便不想与初恋结婚也不想拖得太久。

    
 这个选择对于有完美主义倾向的人而言更是两难。事实上已经有一个简单的数学规律可以指导你走出困境，它能计算出你要寻找多久的伴侣才会决定安定下来。

 这个数学问题有很多为人们所熟知的名字——“秘书问题”，“挑剔的求婚者问题”，“苏丹的嫁妆问题”，“见好就收问题（止步问题）”。问题的答案虽然已经由几个数学家得出了，可是直到1960年，在数学爱好者Martin Gardner将答案发表在《科学美国人》后才被普及。

 这是一个你需要从一定数量的选项中做出选择的场景。假设你一生中会遇见11个可以认真约会并且决定安定下来的潜在伴侣。碰巧地，你在同一个时间遇见了他们，那么你将毫无疑虑地选出你的最佳伴侣。遗憾的是这样选择终身伴侣的方式明显是不现实的。

其中之一的问题就是追求者出现的顺序是随机的，而你又无法判断现在的追求者与将来会遇见的追求者相比谁更好。现在的同伴是否只是过客？还是说他或她已经是你的真爱了？还有一个问题是，一般情况下，被你拒绝过的追求者与你之间的关系很难再回到过去了。

那么，到底该如何寻找你的另一半呢？可以说，这就是一种赌博。并且和大多数的赌博游戏一样，它有一个非常吸引人的头奖，而且你可以知道并提高自己获得头奖——最佳伴侣的机会。确实存在这样一个可以增加你的胜算的奇妙答案。

这个奇妙的数字是百分之三十七。要想以最高的机会挑选到最佳求婚者，你应该考虑并拒绝你一生中前37%的追求者。（如果你对数学感兴趣，你就会知道0.368或者说36.8%来源于1/ e。）事实上，你只要遵循一个简单的规则：如果遇到了比任何一位前任都优秀的，那就选择他。

要想将这个规则运用到现实生活中，你必须得知道你一生中会有多少位可能拥有或希望拥有的追求者——而这是不可能明确知道的；你还必须判断出谁有资格作为备胎，谁又只是一时冲动。而这些问题的答案都不是清晰的，所以你只能去估计。在这里，我们假设你在你的人生历程中将有11位真诚的求婚者。

如果在11个追求者中随机选择，你选出最佳伴侣的概率约为9%。但如果你使用了上述的方法，挑选出最佳伴侣的概率将明显增加到37%。这虽然不是一个肯定的概率，但远胜于随机选择。

数学家汉娜·弗里曾在2014年TED上迷人的谈话中揭露过，这个策略不能保证百分百成功的，而是有风险的。比如说，你所遇见的是下面的插图中描绘的情景，你的初恋就是你最完美的另一半，按照规则，你无论如何都会拒绝他。而当你继续和其他人约会时，再没有能比你的初恋更好的人出现了，可以预料到，你会拒绝所有的追求者，决定和你的猫相依为命。（当然，也不排除有人会更喜欢让猫来当男朋友或女朋友的可能性）。

下一幅插图表现的情景或许会更现实一些：当你在你的情感世界里先遇见的是一连串不靠谱的前任。按照规则，即使你下一位约会的对象只比你的前任们好那么一点点，你也还是会嫁给他。但是他任然不是一个好的对象，而实际上未来还有更好的。

有很多方法可以证明这个策略是会出错的。但与任何其他的方案相比，不论你想考虑的对象是10位追求者还是100位追求者，它依然是你最值得期待的指导你获得真爱的方法。

这个策略是如何起到作用的呢？一旦你决定在茫茫人海中认真地寻找一位候选人的时候，它的作用就会突显出来。你既想和足够多的人约会以掌握选择权，又不想选择太久而增加错过理想情人的风险。于是，你就需要借助这样一个可以权衡是太早还是太迟安定下来的风险的准则。

这个逻辑在越小的例子里可以越清晰地解释清楚。不妨设在你的一生中你只有一位求婚者。如果你选择了那个人，那么你就永远地赢得了这场赌注，他或她就是你一生的陪伴。

如果你有两个追求者，那么现在就是有一个平分秋色的机会可以挑选到最好的追求者。这种情况下，你是用我们的策略——在选择一位候选人前考虑过另一位候选人还是用其他的方法都不重要。因为无论你用什么方法，你选到真爱的概率都是50%。

但是当追求者变多的时候，你就将注意到秘诀到底是如何帮你获得真爱的。下面的图比较了从三位追求者中随机选择到真爱的成功率。每位求婚者被置于自己的方框中，并根据他们的品质排了序（一表示是最优，三表示是最差）。如果你按照策略中指导的那样做选择，你会发现，在一群追求者中获得真爱的机会显著地增加：

图中：如果不论什么情况都选第一位追求者，你选到真爱的次数是2次（2/6）；
如果不论什么情况都选第二位追求者，你选到真爱的次数是2次（2/6）；
如果不论什么情况都选第三位追求者，你选到真爱的次数是2次（2/6）；
但是如果你考虑并拒绝了第一位追求者，在之后的追求者中选择比之前好的那位，你选到真爱的次数是3次（3/6）

 数学家们在不断重复上述过程时发现一个有趣的规律：当“追求者”趋向无穷大时，在求得真爱之前，你需要考虑和拒绝的追求者的最佳数量是收敛于一个特殊的数字——37%的。

 在数学领域中解释这个策略是如何起到作用的，又是另一个通俗易懂的数学知识，这与神奇的自然常数e有关。e是唯一一个可以在统计学中描述在只有成功和失败两个结果的统计试验中成功的机率的数字。（可以在二项分布中起独有作用的数字？）

长话短说，凭这个策略，不论你所评估的对象是追求者，还是其他重要的东西，公寓，房子，或是卫生间，你在未知序列中都有最大可能选到最合适的对象。

其他变形问题

还有一些问题的变形，根据不同的变动，结果也将稍作变化。

在上述的场景中，你的理想就是是最大限度地提高你在一群追求者中找到真爱的机会——如果你找到了真爱，你就是赢家；如果你选择的是其他任何一个人那你就是失败者。但在现实中，更多的是像数学家Matt Parker笔下的那样的情形，“如果得到的比最好的不差多少，这只会给你带来微不足道的不悦。”你并不一定要求最好的，即使选择了次好或第三好的，你也依然很满足，那么孤独终身对你而言依然遥远。

如果你的理想就是找一个很好的相伴者，而不是最好的那一位，那么这个策略也要随之改变了。在这种情况下，不妨设你一生中会遇见n个求婚者，那么，在决定接受任何人之前，你将考虑并拒绝的求婚者是根号n个。正如上面的公式，过了这个准点，错过理想伴侣的赔率就将超过早早就获得真爱的赔率。就像在上述11个追求者的模型中，30%就是那个错过理想伴侣的风险超过早早获得真爱的准点。因此，你只需考虑并拒绝一生中前30%的追求者，而不必再遵循之前的数据37%了。

总而言之，这个方法意味着你会更早地选好伴侣安定下来。并且你有很高的机率和非常好的人相伴终身，同时还降低了孤独终身的概率。根据帕克说法，在10个人之间做选择，使用这个方法你将获得的基本上是你有75%概率满意的人。在100个人的选择中，你将选到的基本上就是你有90%概率满意的人了，这已经比大多数人希望的要好多了。

1984，一位名叫Minoru Sakaguchi的日本数学家进一步升级了对这个问题的处理，因为她发现坚强独立的男性和女性会更有魅力。在sakaguchi的模型中，有这样一些人，他们虽然想找到他们的真爱，但他们更愿意过独身生活。在这种情况下，人们直到考虑了约60.7%的候选人才会寻找可以确定关系的人。你注意到，一旦人们不再在意自己是否会孤独终老，他们将很乐意考察更多的候选人，收集更多有关他们的信息，自然而然地也会有更大的机会选择最最棒的那位。

虽然说这些模型都是理论上的，但它们也支持了一些交往方面的传统观点。首先，想要选择一个人安定下来他给我们无法拒绝的理由去认真交往。如果没有约会的经历，你就没有足够的认知在约会这潭深水中理性地做出选择。最普遍的情况就是你会认为你遇见的第一或第二段情感就是你的真爱，当然也不排除例外。

其次，你什么时候安定下来和你的要求也是有关的。如果你想找一个非常好的对象来减少你最终孤独的机会，经过审查和拒绝在你一生中可能拥有的前30%的追求者之后，你就该早早地安定下来了。

但如果你确定自己的目标就是从追求者中找到最好的，那你不妨等待久一些，审查和拒绝了追求者总数的37%后再确定关系。如果你想找到你的完美配偶，并且你也不介意孤独终身，那你可以再耐心些，在考虑和拒绝60.7%的追求者后再开始寻找你的伴侣来结束单身，这些方程既让那些担心会错失真爱的人安心，也指导了那些因为不知道他们将来会失去什么而怯于对同伴许下承诺的人。这道数学题恰巧指导了你不必为了不错过真爱而大海捞针。

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原文作者：Jorge Almeida,任教于葡萄牙的里斯本大学，教授遗传学。

译文作者：donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学数学博士。

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中国刚刚取消了独生子女政策。如何更好地从一个例子来探究人口增长过程中的数学。你可能会对下面的研究结果感到惊讶。

一胎只有一个孩子

不像我们的犬科朋友，它们经常一窝可以有好几只小狗，而我们人类通常一胎只有一个孩子。与可以相对自由地决定何时生孩子相比，我们可能会面临这样一个问题：“如果我们已经有了孩子，那么考虑到已有孩子的数量以及孩子们的特征，我们是否应该再要个孩子？”例如，一个恰有2个孩子（都是男孩）的家庭可能会面临这样的困境：一方面，3个孩子可能会太多了，但另一方面，如果能有1个女孩的话，可能会给家庭带来额外的快乐。当然，第3个孩子依然可能还是男孩，如果真是这样的话，那么这个家庭将面临更深的困境。在考虑了所有可能性之后，具有某项特征（此处为性别是女性）的孩子数的数学期望，可能并不会太大（可能只有3或者4）。

图1：人和狗有不同的养育模式。

但是，究竟要靠什么来决定是否继续生育孩子，是依据之前孩子的性别，还是需要考虑因此可能会带来的对人口增长的影响？这个疑问导致了如下的人口问题。

统治者R的需求

人们往往从不考虑解决该问题的过程中对数学家的需求，从而养成了仅靠自己就做决定的糟糕习惯。为了消除这种不便，我们稍微简化一下问题，想象在一个由还不算太差的统治者（注：“Ruler”，简称R）所统治的国家，R有权决定每个女性可以生多少个孩子。然后在某时刻R发现，本国的人口太多了（显然R不属于多余的那些），于是R决定要通过限制女性生孩子的数量来限制人口增长。R知道这样一种措施不会受欢迎，尤其是因为在这个国家，人们更看重男孩（不像上面那段中的那个家庭），并且如果一个家庭只有女孩的话会感到不开心。因此，R希望能确保所有的女性都能得到一个有男性后代的公平的机会。

负责数学问题的部长M的法令

为了达到R的要求，该国负责数学问题的部长（注：“Minister for Mathematical Problems”，简称MMP或M）提出了一个简单的法令：每个女性都可以如她自己所愿地生尽量多的孩子，直到她有了一个男孩为止。显然，因为不能强迫女性去生孩子，所以她们可能没有孩子，也可能在生了任何数量的女孩后，不管出于什么原因，她们决定不再生了。例如，一个女性可以有十个孩子，如果恰巧是先有九个女孩然后有一个男孩或十个全是女孩。但是，不像那个有男孩的母亲，那个有十个女孩的母亲可以自由选择是否生第十一个孩子。

R被M给出的建议弄困惑了，特别是在看到执行这一法令所产生的结果的图解（见下图）之后。看上去，这条规则确实给了所有女性生男孩的公平的机会，但它怎么可能能够抑制人口增长？毕竟，规则的第一部分说，女性可以有尽可能多的孩子，只要她们想要。在下面的卡通图片中有很多的粉色（注：代表女孩）和很少的蓝色（注：代表男孩）。那么，这个规则会不会导致女孩多于男孩吗？以下M将解释为什么不会的原因。

图2.根据M的规则（这里仅考虑不超过四个孩子）：可能出现的孩子的组合（每一列是一个可能的组合）（译者注：此处还少一种可能：仅有一个孩子且为女孩；每一列中从上往下的顺序即孩子出生的先后顺序）。

M的解释

如果女性生女孩的概率小于或等于生男孩的概率，那么在孩子们最初的比例中女性将最多只占一半。如果每个女性生育孩子的平均数小于2，那么人口不会持续增长，这是因为给定一代人，不是其中的每个人都能被替代（译者注：这里牵涉到“replacement rate/人口替换率”这一概念。粗糙地说，可以认为人口替换率就是每个女性平均生小孩的个数。先考虑每个家庭：夫妇（这一代）共2人，他们的孩子（下一代）的平均数小于2，然后把所有家庭的情况加起来，就能得出：下一代的人数少于这一代，这也就是上文中“人口不会持续增长”的具体原因）。事实上，生男孩的概率要比生女孩的概率略高（男女孩出生比率约为51：49），因此，即使每个女性平均生育2个孩子，还是会低于人口替换率。（译者注：在下一代中女性的数量会少于这一代中女性的数量，从而导致再下一代的人数减少。）不管怎样，M会把男女孩出生比定为50:50。

图3.抛硬币，50:50的机会生男孩或女孩。

如果该规则意味着女性更容易生出女孩而不是男孩，那么这将给女孩的性别均衡提供支持。然而事实并非如此：根据该规则，对于每个打算继续生下一个孩子的女性，下一个孩子是女孩或男孩的机会依然是均等的，即，都是1/2。于是，对于M而言，很显然女孩并没有变得比男孩更多。每个女性的平均男孩数与女孩数是相等的。（虽然M忽略了某些女性可能会选择流产女胎）。

因为没有一个女性能有超过一个的男孩，所以平均每个女性的男孩数目不能超过一个，同样地，平均每个女性的女孩数目也不能超过一个，给出这样的规则对于性别均衡是没有影响的。所以，平均每个女性的孩子数目最多是2。但是这就最大限度地要求所有的女性成为母亲，并且使每个母亲都有可能需要持续地生无限多个孩子，直到有男孩出生。由于以上条件没有一个可以在实际中发生，所以每个女性的孩子数的平均数目将永远达不到2，因此，人口将不会增长。

然而，R并不相信这种解释并且要求M给出证明。于是，M开始计算：在规则允许的前提下，每个母亲的平均孩子数的最大可能值，请始终记住下面这点：这个值将永远大于实际上的每个母亲的平均孩子数，因为不是所有的女性都会有孩子。此时多胞胎将被忽略，因为这本身就已经是罕见的事件，如果还需要考虑性别并且出现了多于1个男孩的情况那就是更罕见的事件了。

概率

我们记p(1),p(2),……,p(n)依次为一个母亲在其一生中总共有1个，2个，……，n个女孩的概率，g_i为一个母亲已有i个女孩且还想继续生另一个孩子的概率。则(1-g_i)为一个母亲已有i个女孩且不再想继续生孩子的概率。则

类似地，

一般地，一个女性一生中恰有n个女孩的概率p(n)是

上式等号右边第一项对应于有n个女孩后决定不再生的女性，第二项对应于有n个女孩后又生了一个男孩的女性。

整理上式，得

现在让我们转到男孩数上，记q(n)为一个女性有n个男孩的概率。因为女性一旦有了男孩，就不能在生孩子了，所以,对于所有的n>1,有q(n)=0。作为对比，q(1)，可由无限多项组成：

其中第n项是

性别均衡

每个女性有的男孩数的均值（期望）是

（注：上式原文有误，这里作了订正。  ）

其实只需要q(1)这一项，因为所有其它的q(n)都等于0。所以我们有

女孩数d的均值是

稍微想一下，你可以得到

所以，d=s，所以女孩不会多于男孩。

孩子数的均值

我们不知道一个母亲已有给定数量个女孩且还想继续生另一个孩子的概率，换句话说--我们不知道那些g_i的值。然而，我们还是可以按如下方式算出每个母亲孩子数均值的一个上界：第一，任何一个母亲的孩子数都不超过某个数m（例如，为了保险起见，在正常情况下，一个女性不可能有超过100个孩子）。这意味着，g_m = 0。于是现在上式成为如下形式

这个平均值依赖于那些g_i的值，当然，当它达到其最大可能值时，所有的g_i(i＜m)都等于1，即：无论母亲已有多少个的女孩，总是决定是继续要孩子。（这显然是不现实的，但有助于得到均值的最大可能值。）假设现在就是这种情况，于是

它们的和是

所以，每个母亲孩子数的均值最多为

设m>1，我们会发现每个母亲孩子数的均值将永远小于2。而且因为不是所有的女性都会成为母亲，所以每个母亲孩子数的均值甚至会小于c。

现在R相信了，通过禁止已有一个男孩的母亲继续生育，M的规则将限制人口的增长，而且给予每个女性一个能够生男孩的公平合法的机会，同时也并不影响性别均衡。然而，事实上，这个规则只适用于短期使用而无法世代沿袭。因为如果一直沿用该规则，会使人口越来越少。

中国

图4.中国的出生率和死亡率。独生子女政策并没有影响所有人口。专家们不确定该政策在多大程度上降低了生育率。图片来源：phoenix7777，CC BY-SA 4。

M的规则看上去可以人为地设计成一个和人们的生活无关的数学问题。但事实上，这个规则是中国部分地区采用的一项政策的延伸部分。直到最近，官方的政策禁止大多数女性生育超过一个孩子，这是一个用来抑制人口增长的严厉措施。然而，许多女性被允许生育2个孩子，如果第1个孩子是女孩，这相当于是一个带有非常小的上界的M的规则的版本（相当于在M的数学推导中，令m=2，这将导致c≤1.5）。在一个众多家庭都偏好男孩的国家里，这给了那些只有一个女孩的母亲又一次生男孩的机会，同时又没有直接改变自然的性别比例，并且使每个女性平均孩子数的均值在所有人口中的贡献小于2。M的规则讲的是，即使所有只有女孩的母亲拥有无穷多次（而不是仅仅只有一次）生男孩的机会，这样人口仍然达不到所需的人口替换率，原因很简单，因为即使女性自己愿意不断生育，但实际上也不可能无限地生育下去。

中国家庭现在已经允许生育2个孩子，而且不论第一个孩子的性别。因为不是所有的女性都会有孩子，也不是所有已有第一个孩子的女性愿意有第二个孩子，所以每个女性的孩子数均值将仍然小于2，所以按照M的规则，也就低于人口替换率。

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等你下次点外卖的时候就能用这个技能在你朋友面前炫耀了：全新而充满异国情调的切披萨方式。

大多数人切披萨都是从正中间直接切，但是要是披萨当中部分有一个食材配料呢？这是很多人宁愿避免切到的，不过这时一旁的人可能已经迫不及待地想用脆皮蘸酱开吃了。

数学家之前已经想出了一种切披萨的方式——正式说法是“单面圆盘平铺”（monohedral disc tiling）——这种方法能够让你切出12块完全一样的披萨，其中的六块组成一个从中心延伸出的星形图案，另外的六块分割了边上剩下的脆皮部分。具体要怎么做呢？首先你要切三道穿过披萨中心的弧线，然后把切出的小块每个一分为二，如下图所示。

现在，英国利物浦大学的乔尔·哈德利和斯蒂芬·沃斯利推广了这个技术，创造了更多的切法。这两个人证明了利用任意有着奇数条边的“曲边披萨块”，如5边、7边等（即下面的阴影部分），能够创造出相似的的平铺方式，接着只要像之前那样把它们等分为二就可以了。“从数学上来说，这种操作可以无限进行下去。”哈德利说道，尽管你可能会发现对于超过9条边的披萨块，再要实施上述步骤已经不切实际了。

哈德利和沃斯利甚至更进一步，通过在边角上切出楔形，创造出怪异的、带尖角的披萨块，这些披萨块仍然组成一个圆（下面这张图展示了5边披萨块的这种情形）。哈德利说：“这真是令人惊奇。”

正如许多数学结果一样，它的用处并不会立刻显现。另外一个披萨定理也是如此，它表明了当一个披萨被随意的、不经过中心的切割后会发生什么变化。

“我不知道我们的成果除了用来切披萨外还会有什么用处。”哈德利说，他已经实际尝试过用这种方法去切披萨（如下图）。但这个结果“在数学上很有趣，并且你能由此制作一些漂亮的照片。”

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原文作者：Melissa Hogenboom，此文原载于BBC地球频道的网站上。

译文作者：我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中国矿业大学。

我们邀请了一组数学家和物理学家，询问他们最喜欢的公式。

现在你也可以选出你觉得最好的那个。

数理方程蕴含着诸多美妙之处，他们代表了宇宙万物的真理。

需要多年的学习才能理解这些深奥的公式，其中很多公式过于复杂以至于很难用普通的语言来表述，但这并影响我们欣赏他们的美妙之处。

英国广播公司地球频道（BBC Earth）邀请了物理学家和数学家，询问他们认为最美丽的公式。他们的回答范围包含了从反物质的解释到亚原子粒子行为的预测。

请浏览下面的12个公式，为你最喜欢的方程投上一票。

（1）狄拉克方程

 (一个方程汇集了现代物理学的两大基石：量子力学和相对论)

 “它的美在于优雅和简洁”，英国吉尔福德萨里大学的吉姆•艾尔-卡利里（Jim Al-Khalili）说：“这个方程的强大之处在于它在20世纪物理学史上的意义和作用。”

该方程是在20世纪20年代末由物理学家狄拉克发现，迄今仍极具影响力。

它汇集了两个最重要的科学思想：描述微观物体特性的量子力学和描述高速运动物体特性的爱因斯坦狭义相对论。这样一来，狄拉克方程便可以描述诸如电子这样的粒子在接近光速时的特性。

卡利里说:“它是量子场论的第一步，可以给出粒子物理学的标准模型以及希格斯玻色子。” 

英国伦敦大学学院的物理学家乔恩•巴特沃斯（Jon Butterworth）也选择了狄拉克方程。

 “我喜爱狄拉克方程，因为它将优雅的数学与的影响力巨大的物理结合起来，”巴特沃斯说，“保罗•狄拉克决心要找出一个适合于电子运动的相对论性量子方程。他不但做到了而且影响更为深远，因为任何人都可以有梦想。”

也许最重要的是，狄拉克方程预言了反物质（所有已知粒子的镜像）的存在。随后反物质在现实世界中被发现。

“对于一个方程而言很不错”，巴特沃斯说到。

（2）黎曼公式

 (伯恩哈德•黎曼的公式解开了素数的秘密)

“素数就像是数字的原子”，马库斯•杜•索托伊说：“他们是世界上最基本和最重要的数字。但令人惊讶的是，尽管研究了2000多年，我们仍然不能彻底理解他们。”

素数是只能被1和它本身整除的数。例如3是一个素数而8不是，因为8可以被2和4整除。

数学家伯恩哈德•黎曼在1859年发表了这个公式。它允许你计算出在给定范围内素数的个数。例如黎曼公式表明，在1和100之间有25个素数。

黎曼公式表明素数是由一种叫做ζ函数控制的，“乍一看与素数无关”，杜•索托伊说到。

“对我来说这个方程具备了一个优秀数学的重要特征：它讲述了一个故事”，他说:“从方程描述素数的一侧转换到零点控制的另一侧，就像发现了一个连接两部分数学世界的秘密通道，没有人会认为彼此有任何关系。

这个方程意味着素数存在着更深层次的规律。“数学家现在正花时间尝试理解似乎是这些零点最为核心的规律”，杜•索托伊说到。

素数具有重大的现实意义，因为大多数加密算法依赖于他们。“当今互联网所有的密码利用素数来保证信息传输的安全”，杜•索托伊说：“解开素数的奥秘就等于解开了所有密码的奥秘。”

（3）圆周率π

（π是宇宙中最重要的数字之一）

“我对我的学生说如果这个公式不能完全震撼到他们，只能说明他们根本就没有灵魂”，英国巴斯大学的克利斯•巴德(Chris Budd)说。

许多读者都听说过这个著名的公式。它只是描述了一个圆的周长是如何随着直径的变化而变化的。两者的比值是一个数称为π。它是大约3.14，但不精确：π是一个无理数，意味着其小数是永远不循环的。

“π是一个非常重要的数字，”巴德说。”我们在计算诸如GPS等对计算精度要求相当高的现代技术时必然会使用它…它可以用来描述世界的几何形状。

（4）欧拉-拉格朗日方程

(除此之外，该方程可以描述一个火箭围绕黑洞运行的轨迹)

这个方程可以用于分析从肥皂泡的形状到火箭在黑洞周围的轨迹的所有问题。

“它不仅仅是一个方程，实际上是一个可以产生无限多种可能的物理定律”，伦敦大学学院的安德鲁•波岑(Andrew Pontzen)说。

尽管其应用广泛，但方程却“看似简短”，波岑说：“在一个单一的框架内，所有的经典物理表达和理解方式，都有助于揭示看似不同的现象之间的深层联系。”

（5）杨-巴克斯特方程

( 该方程阐述了数学中的纽结理论)

“杨-巴克斯特方程是一个简单的方程，简单到可以用一个两岁小孩画出的画来阐释”。英国爱丁堡赫瑞瓦特大学的罗伯特•韦斯顿(Robert Weston)说到。

就像欧拉-拉格朗日方程那样，虽然看似简单但是对数学和物理的许多领域有着深远的影响。其中包括浅水波的特性，亚原子粒子间的相互作用，纽结理论和弦理论。“你可以想象它是蜘蛛网的中心，”韦斯顿说，“在链路上你可以找到许多主题，而它则发挥着基础性作用。”

该方程表面上看起来和这些主题毫无联系，而这也正是吸引韦斯顿的地方。

“每天我都很惊讶，有时候甚至很困惑，具体的物理体系会被过去50年发展起来的一些非常抽象的数学结构所恰当的描述，而且我感到惊讶的是人们已经完全做到了这一点。”

（6）欧拉公式

(欧拉被人称为“数学界的莫扎特”，其最著名的方程将所有最重要的数字联系在一起。)

“大多数现代数学和物理学起源于莱昂哈德•欧拉的工作，”英国开放大学的罗宾•威尔逊说，他是“最多产的数学家”和“数学的莫扎特”。但是他的成就,“许多所谓受过教育的人从来没有听说过他。”

他最著名的公式是欧拉恒等式，被称作是可以连接所有数学常数的公式。

该公式将数学中最重要的五个数字组合在一起：

他们是：

●1 – 其他数字的基础
●0 – 虚无的概念
●π – 定义圆的数字
●e – 指数增长的底数
●i – 虚构出的-1的平方根

数字都有许多实际应用，包括通讯、导航、能源、制造、金融、气象、医学。但这不是全部。欧拉公式也包含三个最基本的数学运算：加法，乘法和乘方。

“欧拉公式令人不可思议，因为它看起来简单但是内涵极为丰富。这个公式更吸引我的地方在于，它以一种非常简洁的方式将一些复杂并且看起来不相关的概念结合在一起”，英国索尔福德大学的大卫•珀西（David Percy）说到，他不能在欧拉公式和贝叶斯公式之间做出一个选择。

（7）贝叶斯公式

（这个公式可以让你计算出事件发生的概率）

这个方程由托马斯•贝叶斯牧师在18世纪首次提出。它可以计算事件B发生的情况下事件A发生的概率。

它被用于许多用途，包括检测故障，监视，军事国防，搜索和救援行动，医疗检查，甚至是垃圾邮件过滤器。

“它的美是因为它基于理性思考和决策，而不是因为任何内在的美感”，英国索尔福德大学大卫•珀西说，他不能够在贝叶斯公式和欧拉公式做出一个选择。

（8）波动方程

（从振动的弦到无线电波和海啸，该方程描述了波的特性）

“波动方程的美体现在几个方面，”英国华威大学的伊恩•斯图尔特说：“它具有数学的简单和优雅。它解集的区间十分有趣，并且具备优秀的数学特性。”

波动方程描述了波的传播。它适用于所有种类的波，从水波到声音和振动，甚至是光波和无线电波。

它具有非凡的历史，斯图尔特说：“它始于一个简单的振动小提琴弦的模型，并发展成用于研究各种各样的现象，从地震到石油勘探，甚至是船只的安全。它和音乐结合起来可以解释我们的耳朵听到声音，为什么有些声音组合听起来很和谐而另外一些听起来不和谐。”

“这是数学原理在某一领域拓展的典型案例，或由于自身利益在其他领域有重要的应用”，斯图尔特说：“它的美来自这些属性的组合：优雅，惊艳，深度，实用。”

（9）爱因斯坦引力场方程

（这个方程描述了黑洞如何扭曲周围的空间，它有助于解释宇宙是如何演化的）

阿尔伯特•爱因斯坦于1915年首次提出了他的广义相对论，并在次年将其发表。它表示为一个方程，但实际上是10个方程的汇总。上面的视频解释了这一切。

该方程完全改变了我们对宇宙的本质和演化的理解，澳大利亚墨尔本大学凯蒂•麦克(Katie Mack)说: “这个新的观点是基于时空的概念，即真实世界的基本结构是可塑的。”

广义相对论提供了一种新的构想去解释引力，不是巨大的物体对其他物体施加拉力，而是扭曲了他们周围的时间和空间。

物理学家约翰•惠勒简洁地总结:“时空告诉物质如何运动；物质告诉时空如何扭曲。”

爱因斯坦的方程可以告诉我们的宇宙如何随着时间的推移而改变，并且描绘了宇宙最早期的情形。这并不奇怪，因为这正是许多科学家所喜欢的。

麦克说：“在方程所提供的视角下，我们可以获知宇宙在最基本的层面上是如何运行的。” 

英国牛津大学佩德罗•费雷拉也对爱因斯坦的方程有所偏爱。

“非常认真的写在纸上，简单而又紧凑，略微有些难以辨认”， 费雷拉说，“但却是信息的宝库”。

自从爱因斯坦首次提出以来，方程一直被用于预测黑洞和引力波的存在，并推断出宇宙正在膨胀。费雷拉说：“我认为这就是为什么我认为他们美丽的，因为它们含有太多的丰富性和复杂性，因为他们看起来如此深邃又如此真实。” 

（10）逻辑斯蒂映射

（逻辑斯蒂映射看起来简单，但它可以产生令人难以置信的复杂和混乱的结果）

逻辑斯蒂映射是混沌理论的经典例子之一。

 “一句话来概括：无边的复杂源于简单的规则。” 英国伦敦城市大学的奥拉拉•卡斯特罗•奥瓦拉多(Olalla Castro Alvaredo)说到。

该方程可以用来模拟很多自然过程，例如可以模拟动物种群数量是如何随着时间的推移而增长和衰减的。

种群数量和r值的大小很敏感，如果r值介于0和1之间种群将会灭绝，如果介于1和3之间种群数量将接近一个固定值，而r值大于3.56995种群量数将会不可预测。

这些行为被数学家描述为“混沌”，他们不是我们本来期望的结果，但它们都来自于一个非常简单的数学公式。

奥瓦拉多说：“当我们惊叹于自然界的多样性和复杂性，从宇宙到微尘，我们应该铭记的是在基本层面上所有的一切都具有一些共通的简单特性。” 

（11）一个“简单”的等差数列

（等差数列创建了一个简单的模式，即数字永远增加一个相同常数）

等差数列是一个简单的数字序列，每次增加相同的常数。例如6， 8， 10， 12， 14， 16是一个等差数列，公差为2。很多事情我们觉得美丽是因为他们非常对称，减少我们了解他们的必要工作。英国伦敦国王学院的本杰明•多扬（Benjamin Doyon）说: “也许我们的大脑更乐于去做少量的必要工作，同时创造一种积极的美感。”

这种“算法约简”的概念渗透到所有的科学。 “我认为任何算法的约简都是美丽的。”多扬说，“当你减少必要的步骤时，你就真正的理解发生了什么。” 

（12）汉密尔顿四元数方程

（该方程由于被爱尔兰数学家威廉•汉密尔顿刻在石桥上所被人熟知，它描述了如何计算复数，包括负数的平方根。）

威廉•汉密尔顿发现的这个方程，是一个不起眼的数学分支叫做四元数代数的核心。上面的视频阐述了它的含义。

“这个故事说的是汉密尔顿在都柏林散步的时候发现了这个方程，并炫耀地把它刻在了桥上。”英国巴斯大学的克里斯•巴德说到。

当今四元数代数是计算机图形业的核心，用于描述屏幕上对象的方向。

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五一劳动节前一天的4月30日。几乎所有的数学粉丝们都在纪念数学王子高斯的诞辰，大概都遗忘另外一位数学界的大神级人物——4月30日同样是他的诞辰——信息论之父香浓。

但是谷歌公司这回再一次用谷歌徽标唤回了大家的记忆，用谷歌徽标纪念了他。

1948年，香浓的跨时代论文神作《通信的一个数学理论》问世，文章中香浓用离散的比特数字0和1来衡量信息的大小，并提出信息熵的概念。这绝对信息论诞生最重要的里程碑之一。

从某种意义来讲，香浓开创了一个时代——就是当今的信息时代！

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原文作者：Meena Boppana，撰写此文时是哈佛大学大三学生。

译文作者：白公分，哆嗒数学网翻译组成员，就读于中国农业大学。

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这是Meena Boppana的发的来宾博文，Meena Boppana是哈佛大学的大三学生，而且是哈佛本科生数学协会(HUMA)的前主席。Meena热衷于传达在数学上的性别差异，并且与其他人共同参与发起了哈佛数学调查项目和数学男女容和组织(Gender Inclusivity in Math , GIIM)。

2012年，我怀着对数学的热爱踏进了哈佛的大门。4岁时，我就在我的男女平等主义者的数学家父亲的鼓励下开始思考数学，我甚至在高中做了一次TEDx演讲来表明我对这门学科的热爱。我确信我的能力和兴趣足以使我去学数学专业。

这就是为什么，三年后，我要思考这样一个事，几乎我所有有着深厚数学背景（比如数学竞赛的明星）的女性朋友都决定不学数学专业（我选择了计算机科学）。这一年，最有激情的新入学的数学55a班没有女生，只有两名主修数学的女生毕业。另外，哈佛数学系几乎没有一个女性终身教职。

所以，我决定做一些统计分析，并且与其他人共同指导一个关于哈佛本科生数学的调查。Nancy Hopkins和MIT的其他女性科学家先驱们的工作鼓舞了我，她们量化了学术机构里的性别不公—甚至是办公室的面积，这确实引发了一些改变。在所有主要学习数学（包括相关的理工学科）的哈佛学生中，我们得到了1/3的回复率，总计150人做完了调查。

我们调查分析的主要发现是哈佛数学系女性的稀少远不是由高中到大学的衔接问题造成的。所以，来到哈佛的女生的数学知识较少所以不修数学专业的说法很片面。在哈佛学习的几年里，女生的数学是不断掉队的，无论是论文还是深造率，都远低于同样条件的男生。

这是文化问题。我们的调查显示，很多女性愿意加入哈佛数学系，但是不能如愿，性别差异导致很多女性觉得不舒服，很多女性在数学系的公共场所感到不舒服。

讨论性别差异这一简单的行为已经引发了一个大讨论。我以前一直认为没人关心性别差异，因为没有人谈论性别差异。但是这次对哈佛数学系150人的大致男女均等、师生均等的调查过后，我意识到我的同学们无论男女都更多的感到无能为力而不是无动于衷。

这种情况很糟糕，但也不是无药可救。与一个大一男生一起，我发现了一个叫做数学男女容和组织(Gender Inclusivity in Math , GIIM)的哈佛学生团体。这个俱乐部有增加数学女性社区，包括宴会、进修、女性系列演讲，和传达数学系的性别差异、跟踪调查趋势和数学上的性别差异的讨论的的双重目标。

团结男性支持者是我们俱乐部的核心任务，我们收到的来自男性学生和教职工的支持力度让我们对改变保持乐观。

归根结底，是我对数学的热爱使我做出这些行动。数学太过美丽和重要（或者说更多的是考虑到人种和基础知识的不公平）以至于失去了50%潜在的爱好者。

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原文作者：Chris K. Caldwell，田纳西大学马丁分校教授。

译文作者：豆浆，哆嗒数学网翻译组成员，互联网行业数据分析师。

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素数的最新记录：2^74207281 – 1(x^y 表示x的y次方)，它有22338618位数，由Cooper, Woltman, Kurowski, Blosser 和GIMPS 在2016年1月7日发现的。

1. g(n)的介绍以及定义

一个很常见的问题：连续素数的间隔可以有多大？在我们回答这个问题之前，让我们先来谨慎地明确间隔的定义（有两个不同的常见定义）。对于每一个素数p，使g(p)等于p和大于p第一个素数之间的合数数量。因此，设第n个素数为p_{n} (p_{n}表示字母p的下标是n)，我们有：

p_{n+1} = p_{n} + g(p_{n}) + 1

.

即,g(p_{n})是p_{n}和p_{n+1}之间的间隔的大小。

由素数定理我们知道小于n的素数大约有n/ln(n)个，所以ln(n)是小于n的素数之间的平均间隔。然而，这些间隔会有怎样的宽度范围呢？下面我们将会讨论这个问题的几个方面。

2. lim inf g(n) = 1(?) 和 lim sup g(n) = 2

首先要注意的是孪生素数就是使得g(p) = 1的p, p+2，所以从孪生素数猜想我们就有这个猜想：有无穷多个p，使得g(p) = 1（或者等价于lim inf g(n) = 1）。

第二个需要注意的是g(p)可以任意大。不妨令n为大于1的任意整数，考虑下面这个连续的整数列：

n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, ..., n!+n

注意到2可以整除第一个数，3可以整除第二个数，以此类推，n可以整除第n-1个数，证明了这个数列的所有数都是合数。所以如果p是小于n!+2的最大素数，那我们就得到g(p) > n-1。显然，应该还有产生相同间隔的更小的数。例如，素数42842283925351与它后一个素数之间有777个合数。——这是间隔为777的最小的素数，并且它远小于778！+2（一个有1914位数的数）。（也可以使用更小的数，不大于n的连续素数乘积：n#，而不是使用n!）.

最后一段，我们已经证明 lim sup g(n) = ∞，然而因为平均间隔是关于ln(n)，所以我们期望得更多。Westzynthius在1931年证明了：lim sup g(n)/ln(p_{n}) = ∞ 。

意味着对于每一个B>0，都有无穷多个素数p满足g(p) > B log p。在我们讲述更多之前，我们应该来看看数据上的证据。

3. 记录素数间隔的表格及图形

在下列表格里，我们列出了最大间隔在381以内的情况。这些是首先出现的至少是这个长度的间隔。例如，在素数277900416100927之后有一个879个合数的间隔（才出现下一个素数）。这是首先出现的这个长度的间隔，但还不是一个最大的间隔，因为素数218209405436543之后紧接着有905个合数。

首次出现的间隔

对每一个非负整数g，令p(g)是最小的由至少g个合数跟着的素数。这个表告诉我们p(148) = p(149) = ... = p(153) = 4652353。

根据上述值，我们在下边画出lnp(g)与g的图像。可能你开始明白为什么Shanks在1964会猜想：ln p(g)  ~  sqrt(g) (sqrt表示开根号)

而且Weintraub在1991年估计：ln p(g)  ~  sqrt(1.165746g)。

4. g(p)的界

给定p，可能g(p)就会有一个上限。通过素数定理我们就能证明，对于任意实数e>0，存在某个整数n，使得总存在一个素数p满足：m < p < (1+e)m(对任意m > n)

这证明了，对于所有的p > max( n,1+1/e )，有g(p) < ep。或者更简洁地说，对于n > k，有g(p_{n}) < ep_{n}。)这里有几个关于e,k的具体数对：

对于n > 9, 有 g(p_{n}) < (1/5) p_{n} (Nagura 1952)

对于n >118, 有 g(p_{n}) < (1/13) p_{n} (Rohrbach & Weis 1964 )

对于n >2010760, 有 g(p_{n}) < (1/16597) p_{n} (Schoenfeld 1976 )

1937年，Ingham在Hoheisel的开创性工作的基础上加工，从而证明了：p^(5/8 + eps)的某个常数倍是g(p)的上界（对于任意eps > 0）。许多人已经对5/8进行改进，我所知道的最新的记录是0.535，由R. Baker 和 G. Harman完成（但肯定的是，在现在这已经被改进了）。

.

5. g(p)/ln p , g(p)/(ln p)²又如何呢？

再次，素数定理证明g(p)/ln p的均值是1，但我们怎么认识g(p)/ln p这个数列呢？Ricci证明这个集合的极限点集具有正的勒贝格测度，但迄今为止被证明的极限点只有无穷（上述提到的点）。

对于lim inf g(p)/ln(p)的各种上界已经被发现，包括0.248（当然，孪生素数猜想和素数K元组猜想都要求下限为0）。在一个相关的猜想，Cramer猜想：

lim sup g(p)/(ln p)² = 1

Granbille修改了Cramer猜想，揭示了它低估了间间隔的大小，Granbille猜测，对于任意一个小于欧拉常数的常数c：有无穷多个p，使得g(p) ≥ 2e^{-c}ln²p。这里的常数c类似于Merten定理的常数M。

这个猜想可以被证明吗？还不行，但是Cramer表示，如果黎曼猜想被证实了，那么我们就可以得到一个比较弱的结果：

g(p)<k ln p sqrt(p)。

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根据中新社2016年4月16日消息,中共中央政治局常委、国务院总理李克强15日到清华大学和北京大学就教育改革发展和实施创新驱动发展战略进行考察。

李克强总理是上午考察的是清华大学，而下午来到北京大学继续进行考察。其间，李克强总理造访了北京大学的数学科学学院。

数学科学学院建国以来共培养出30余名两院院士。李克强来到这里，详细了解基础数学研究进展和后续人才情况，听到这几年报考数学专业的学生明显增加，李克强欣慰地说，数学是自然科学皇冠上的明珠。中国与世界发达国家在科学技术上存在差距，很大程度上是基础研究特别是基础数学存在“短板”。希望把基础数学研究放在重要位置，有一批人能够静下心来甘于坐“冷板凳”，把板凳坐热。要建立对基础研究长效支持机制，让教学和科研人员拥有合理稳定的收入保障和受人尊敬的社会地位。

李总理在公开场合下对基础数学表示关心与支持已经不是第一次了，2015年1月27日，国务院总理李克强在北京中南海主持召开座谈会，复旦大学校长许宁生就被问道：“复旦大学这几年报考纯数学的人数是多了还是少了?”其间也是提到了很多高新科技领域中国之所以落后是因为数学的落后，代表世界数学最高水平的菲尔兹奖中国至今也没能获得。

当时，这条消息已经足以让哆嗒数学网的粉丝讨论一段时间了——总理居然知道菲尔兹奖这个奖项，真是让人感到意外的事情。李总理又一次公开的力挺数学，而且还是基础数学，各位高端的数学粉丝们，加油吧，咱家强哥看好你哦！

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这是芝加哥大学数学系Hirschfeldt一篇文章的引言部分，原文的全文地址是http://math.uchicago.edu/~drh/Papers/Papers/rm.pdf。该文全文是非常专业学术文章，但这篇这篇文章的引言写的非常有趣，实际上可以作为可计算理论和反推数学的一个科普级别的介绍。

原文作者：Hirschfeldt，芝加哥大学数学系。

译文作者：Math001，哆嗒数学网网主。

文章校对：小米，就读于纽约大学柯朗数学研究所。

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每个数学家都知道如果 2 + 2 = 5 ， 那么罗素就是教皇。据说罗素曾经在一个讲座上用下面的方式证明上述结论：如果2 + 2 = 5，那么，在等式两边同时减去3，得到 1 = 2。 因为教皇和罗素是两个人，于是他们是同一个人。当然，按经典逻辑学的观点，我们根本不需要这样的一个证明，因为一个永假式的前提可以推出任何一个命题。 从逆否命题的角度看，如果结论永远都是真命题，那么任何前提假设都能推导出它。但是，假如我们真的认真地对待一个需要证明的命题，比如说，如果四色定理成立那么质数就有无限多个，那么你们之中谁又能回答如下问题：证明上述命题的时候，在哪些地方会“真正用到”四色定理？这类问题看起来又难又没意义，但是数学老师总会把类似的基础练习布置给你。“用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理证明[0,1]闭区间上的连续实函数是一致连续的。”就是这样一道数学分析中的经典习题。另一个类似的问题是“哥德尔第一不完备定理的蔡廷信息理论版本是否能证明出哥德尔第二不完备定理”，这则是Kritchman和Raz最近一篇有趣的论文。

还有一类常见的问题，要求你不能使用一些特定的数学方法来证明一些数学命题，比如，不使用算数基本定理证明根号2是无理数，或者，用初等方法证明质数定理。我们也听到数学老师以及同学会谈及类似这样的事情：“定理A和定理B是等价的。”、“定理D并不能直接推导出定理C”或者“用引理E证明定理F非常方便，但定理E并不是必要的。”。这些东西往往能成为理解某个数学领域的关键。

还有一些东西能帮助我们把不同领域的数学联系起来。比如我们来思考一下下面的一系列定理：[0,1]闭区间上的连续函数上确界存在定理、常微分方程局部解的存在定理、哥德尔完备定理、可数交换环的素理想存在定理、布劳威尔不动点定理。这些不同的定理证明过程可能是相似的，本质核心都是围绕紧性在讨论问题，同时，也可以把他们看成基本组合思想在不同数学分支中的反映，都用一个叫做弱柯尼希引理的东西来解释——这个我们在后面的部分会详细讨论。我们会在4.4章节把这个问题严格化。

本文里，我们将讨论两种紧密联系的数学方法:可计算数学与反推数学。通过它们我们可以在各个可证明的命题之间，给出关于“蕴含”和“不蕴含”概念的严格精确的数学意义。 我们会将目光集中在一些组合原理上，它们易于陈述和理解，但从这些观点来看却展示出错综复杂而又美丽迷人的一面。这篇文章并非关于这个领域的一些研究成果的综述，而是一系列该领域思想和方法的介绍。文章更多的会依照我自己的兴趣（尤其是可计算理论和反推数学的组合分析以及拉姆齐二染色定理相关的模型论原理）来写，但是我还是希望尽可能的吸引和刺激一些新人进入这个领域；特别地，虽然反推数学的逆推过程和数学基础密切联系，但我并不想对这个方面的事情说太多。

虽然我会在2.1章节简要回顾一些可计算理论的基本结论，但我还是假设读者已经知道一些数理逻辑的背景，尤其是可计算理论的基础知识。否则，这篇文章需要写的东西会包含得太多。文章中间会散布一些习题，解答这些习题也是阅读这篇文章不可或缺的工作。文章中还会提到一些没有解决的公开问题，我们鼓励读者去挑战他们。没人知道一个睿智的思想什么时候会闪现并攻克一个长期没有解决的问题。

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作者， SAMUEL ARBESMAN ，此文原载于WIRED网站。

翻译，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学数学博士。

众所周知地，我们的直觉并不总是完美的。在日常生活中相当多的方面，可以预见的是我们理性的力量是不够强大的。当我们遇到稍微深奥一点的事情时，我们又能做什么呢？我们使用我们的理性——我们的能力来做推断和预测，最终却依然可能会失败，原因很简单：因为事情往往太复杂了。这种情况似乎体现在我最近在 Quora（译者注：一个问答SNS网站）上碰到的一个问题：有哪些猜想是因为一些“非常大的数字”的反例，从而导致它被证明是错误的？

从本质上讲，提问者感兴趣的是如下情况：有哪些数学猜想刚被提出来时看上去是对的，但是推翻它反例却远远超出人类本身的计算能力，只能用先进的应用程序来证明它是错误的。

这样的情况有很多。一个比较著名的例子是波利亚猜想。这个猜想说的是：给定一个正整数N（译者注：N≥2），所有不超过N的正整数中，有偶数个素因子（译者注：素因子数按重数计算，1的素因子数定义为0，）的数不超过有奇数个素因子的数。直到当你检验906150257这个数之前，这看起来都是对的。但是我们的感觉错了。

另一个例子来自欧拉猜想：

十七世纪瑞士数学家莱昂哈德-欧拉声称如下方程就像费马大定理中的方程一样没有正整数解：

二百年来，没有人能证明欧拉猜想，但另一方面，也没有人能找出一个反例来否定它。首先是人工搜索，然后是多年的计算机筛选都未能找到一个解。没有找到反例是这个猜想成立的强有力的证据。然而在1988年，哈佛大学的 Noam Elkies 发现以下这个解：

尽管二百年来都没有找到反例，但最终欧拉猜想被证明是错的。事实上，Noam Elkies 证明了这个方程有无穷多个解。

正如 Singh 所注的（译者注：此处指 Simon Singh 及其所著的《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》）：“这里的教训是，你不能通过只对前一百万个数字来证明一个猜想对所有的数都成立。”

这些实例是迷人的。他们表明，再大的数字也不是无穷大，故而并不能成为证明。我们人类的大脑是强大的，但我们必须更多地与机器的合作，以帮助我们突破我们直觉的束缚。

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原文作者：Eddie Krassenstein 

译文作者：小饕，哆嗒数学网群友。

毋庸置疑，学生时代的我实在对数学不感兴趣。我实在是不想看到那些各种绕来绕去的数字。尽管各个年级的数学课我从来没有不及格过，但我还是得承认，毕业的那一刻起我就从来不会想念数学这个学科。话又说回来，并不是所有人都有同样的感受。数学对于其他人来讲可以是那样迷人，尤其是关系到几何形状中分形的时候。

总的来说，分形就是由有着相同统计特性的部分组成的曲线或几何形状。它们存在于人造的构型和物体中，同时也神秘地存在于大自然中。对于Jérémie Brunet来说，分形一直都是那样令人陶醉。

“八十年代当我十几岁的时候，分形就深深地吸引了我。”Brunet告诉3DPrint.com，“父亲很久以前给了我一本名为《分形之美》的书，我至今还珍藏着它。我曾经在旧电脑上编程构建分形，也徒手画过。大概是五年前吧，onfractalforums.com网站上的一个协作项目中出现了新一代的3D分形，于是我又无法自拔。”

那天，Brunet偶然发现了 Shapeways 。很快，他不得不“赋予这些古灵精怪的数学对象以实体”的事实就显而易见了。

“我希望能打破分形艺术的局限性，而3D打印技术就是能够达到这个目标的一项完美的科技，”Brunet解释道，“对我来说，它们很好地诠释了自然之美妙，宇宙中精细的准则以及简单规则和基本元素之下衍生出的复杂性。如今，受限于分形界定中过多的细节要求，制造3D打印分形仍旧面临了许多困难。但我依然热衷于坚持不懈地打破和延伸3D分形的界定范围。”

目前，Brunet大约有一百多个价格不同的分形在Shapeways shop出售，有的不到10美元，还有的要几百美元。从大件的塑料打印产品到金银铜制成的小件珠宝，应有尽有。Brunet对Shapeways十分信任，没有选择基于FFF的台式打印机上打印它的设计，仅仅是因为这些机器不能给予他所需要的复杂细节。

“我希望能够尽可能地尝试并自由搭配各种颜色和材料，”Brunet告诉我们，“我坚信有一天，可以买到既便宜又有很高分辨率的金属台式3D打印机，到那个时候我很可能会投资。”

对于单个分形的设计，他们需要大量的辛勤工作和时间。工作流程十分复杂，包括从Mandelbulb3D（一个免费的分形生成软件）的立体像素堆输出。在一个叫做“行进方块”算法的过程中，这些东西组成了一个三角网状结构，之后在Meshlab中进行后期加工和完善。最近Brunet开始使用另外一个名叫 Incendia EX的软件包，这个软件提供了一个特殊的功能：直接输出STL文件。

Brunet还告诉我们，在Shapeways上销售了不少分形的同时，他花了比挣来的还要多的钱去购买分形。他希望在今年或明年能够打破这个局面，即使一天也罢。无论如何，3D打印分形为他带来了不少关注。

 “最近，我做的雕塑之一在 德克萨斯西南大学的Brown Symposium 上展出。它作为一个名为《What Things May Come》的3D打印艺术展的一部分。即使这只是一个爱好，我的下一个大规模的计划是参与一个重量级的3D打印分形寺院的建造，为的是内华达州的燃烧人节，最好是在2017年。敬请期待！”

即使我不像Brunet那样对数学感兴趣，我的确十分欣赏这些由他创造出的设计。我可能最后会给自己买几个他做的不可思议的分形。你觉得Brunet的分形怎么样呢？你自己购买过它们吗？在3DPB.com网站中的3D Printed Fractals forum讨论讨论吧。还有，一定要看看Brunet的YouTube channel和以下的精彩图片。

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原文作者：Dan Rockmore

译文作者：e^iπ+1=0，哆嗒数学网群友,就读于上海科技大学。

我参观了两个在曼哈顿西区展出的展览，展览将数学和视觉艺术很好的结合起来。一个是在惠特尼美术馆展出的弗兰克•斯特拉回顾展，另一个是在南希霍夫曼画廊展出的一个画展。如果你喜欢艺术与数学的结合（正是艺术教我们如何从“STEM（科学、技术、工程、数学）教育”转变为“STEAM（科学、技术、工程、艺术、数学）教育”！），而且若你有些精力漫步于数学艺术中，那我推荐你可以去纽约现代艺术博物馆游览。

在我看来，纽约现代艺术博物馆经常将与数学相关联的展品放在一起，其中有一些很显然，但有些则不容易看出。这一次的展览中，两种类型的展品都有所展示。对于前者来说，可以看一看无尽之屋(Endless House)这个优美的小型展览，其中展示了很多建筑模型，其中一些房屋的设计灵感来源于甚至取名于一些基本的数学对象，如环面（如普林斯顿•斯科特•科恩的《环面屋》(Torus House)）和莫比乌斯带（鲍斯/范•伯克的莫比乌斯的房子）

事实上，几何学的灵感和美感（除了明显的在工程上与数学的联系）对建筑的影响有很长的一段历史，早在古希腊时期，就已经将经典的几何形状如正方形和圆形应用到他们的结构中去了。无尽之屋这样的展品明显表明这样的影响还在延续。

谈及展览的名字，无论环面还是莫比乌斯带，其实都是有限实体也可以创造无限的例子。圆环可以说是数学家的结婚戒指，而且被许多人认为是无尽之爱的最好的典范。而莫比乌斯带从另一方面来说，是一枚扭曲的婚礼戒指。更精确地说，取一条纸带，先拉直，再半扭曲，最后将两个相反的终端相接，并且从连接的一端开始使之成为一圈。如果你是一只蚂蚁，那当你回到连接点的边界，将会完全颠倒过来。继续走直到你再一次回到出发点，你又会颠倒，重新回原来的状态——也许这是一个关于婚姻的隐喻。假如你是一只沿着中线爬行的蚂蚁,最终会发现你处于颠倒的状态。无论方向是保持不变还是反转，在有限的空间里都会给出无限的感觉，而这无疑是建筑上和数学上的期望。

几何主题也在其他两个正在展出的优美展览中延续——但是这些作品中数学并不是很显而易见，虽然在很多情况下这更加迷人：在纽约现代艺术博物馆的二楼你可以发现一个简洁但富有思想的展品，这是来自于杰克逊•波洛克的作品，以及在角落里一个一鸣惊人的雕塑作品，来自于巴勃罗•毕加索。现在我将试着阐述当我行走于这些展品间，通过数学的眼光我看到了些什么。

波洛克因其“滴色绘画”而被众人知晓，它是通过将颜料抛洒到放在工作室地面上的画布上完成的。波洛克会在画布上舞动，同时巧妙地指挥刷子上的油料，犹如芭蕾舞舞蹈一般，所以他被认为是最初的“滴色派画家”。他认为作品最好的状态是自身意图和意外惊喜的奇妙杂糅（即使在移动中，他仍旧对画作有艺术名家般的控制），画布上记录着他的行动和创想。

在波洛克很多的作品中都可以看出“随机”——这是一些无法辨识的图形——但事实上，在数学小小的帮助下，波洛克作品中的很多随机程度都是可以被量化的。在1995年，物理学家理查德泰勒发现可以用数学上的分形集合来研究波洛克的工作。一幅“分形的图像”可以被描摹为它可以惊奇地出现在自身每一个比例的图像中，当我们越来越细致的观察它，它永远不会被完全“填满”，而不能被填充的原因是其所具有的某些规律性质。也就是说，如果你使用一台显微镜去观察分形图像，即使你提高它的放大能力，也不可能看到一个点，而是看到难以名状的一团图像。当然，在图像上会有很多的洞。此外，无论你怎么看，从物镜看到的区域总是和总体保持一致性。你可以计算这个图像的维度。鉴于直线是一维图形，被填满的区域是二维图形，波洛克作品的维度看上去像是介于这两者之间。这就是说处于分形维度。数学家曼德布罗特发明了“分形”这一概念去描绘这些结构，并且在各种不同的自然（甚至经济）现象——从海岸线到山脉，从树叶到花椰菜茎。当被问及他的工作过程时，波洛克因其他说“我是自然的”而著名。从数学的角度上来说他是非常正确的。

有趣的是，泰勒是从他的艺术作品中获得了这个灵感：那还是他学习艺术时在一年的休假中所做的最终作品的一部分。泰勒建构了精巧的装置使得利用风来完成他的画作。他注意到自己所创作的画作和波洛克的滴水画作有一定的相似度，此外，他知道风的运动（湍流）可以产生分形现象（想想从烟囱里飘出的炊烟被风吹成涡流的形状）。泰勒的作品想来饱受争议——特别是将他的画用作认证波洛克的画（他曾经有一段时期是波洛克-克拉斯纳基金会的顾问）—— 但分形的计算和其数学联系非常吸引人去探索。

现在在纽约现代美术博物馆的大作应当是毕加索雕塑展览。众所周知，毕加索通常被认为是“立体主义”的创始人，这是一项二十世纪初发起的艺术运动，倾向于用直觉解构物体的表现，它通常是在单幅作品中堆叠融合各种视图。通过这种方式将三维模型直观地转为多个二维视图的重构。在上一次的展览中我们认识到毕加索“可以灵活运用多角度的观点”。立体主义因此成为一个立体视觉的艺术探索，它通过将左右视网膜上独立的二维图像进行整合从而来产生三维体验。《女人头像》（巴黎，1909），毕加索早期最有名的雕塑，被认为是他的立体主义大作，体现了二维堆叠的想法。从为这次展览所写标签文字中可以知道，破裂面和翻光面构成了雕塑的表面，这也标志着这是一个媒介上对立体主义的一种探索。

通常来说，立体主义的历史呈现为塞尚平面画作的自然进化。但这里又有另一个有趣的故事，有人注意到数学和物理学上同时期的发展，发生在相对论这一跨世纪的发现，其中大量使用了四维思想，为理解世界打开走出了一条新的路。在《爱因斯坦、毕加索：宇宙、时间、和动人心魄之美》一书中，科学史家亚瑟•米勒认为在毕加索的智慧结晶中相对论的发现还有很多值得深究之处，这是围绕思考四维的神秘与复杂的普遍思潮的一部分。

米勒在Espirit Jouffret的关于四维几何的通俗读物（《初论四维几何》1903年）与艺术建立了有趣的联系（通过莫里斯•潘塞，是一个保险推销员，也是毕加索认识的熟人）。在书中他通过多重的二维投影和三维投影来阐释四维物体，而不是用一堆平面视图来表现三维实体。Jouffret的直观解释，比如以下这张图，用以解释超立方体，从我的角度来看，这暗示了很多早期立体派作品Jouffret不是唯一一位为大众创作关于四维的书。在英吉利海峡的另一端，艾特温•阿博特，其著名的数学书籍《二维国》用不同的方式拟人化了四维。《二维国》部分是数学普及读物，部分是社会评论与讽刺作品（包括对几何元素卡通般的拟人化，从高傲的多边形到谦卑的点）。它阐释的方法是通过类比在二维平面生活的人类的视觉体验，将三维的读者投放到四维空间中。这些二维国的生物生活得犹如悬浮在最细的纸张里。就其本身而言，他们没有办法感知上下或者离开纸张，而我们也仅仅只是能想象离开我们所存在的空间。二维国里的生物可以被认作是封闭的，被嵌在纸张里。然而，作为二维国外的观察者——当我们观察纸张时——事实上我们能看到这些生物的内部！类似的，一个存在在四维空间的人同样也可以“识透”三维实体。

从这个角度上，让我们现在再回到毕加索展。在展览的二号房间我们发现了毕加索另一幅最为著名的作品，《吉他》（1914）这—不是对乐器的简单复制，更确切的说是同时展示吉他的内部和外部。也暗示假如这吉他存在于四维时空，或许有人会拥有这种吉他。

几何学这门学科，脱胎于人类想要理解周遭世界的渴望。我偏向于认为艺术至少有一部分是出于同样的动机。这个月在纽约艺术博物馆，可以来看看数学和艺术是如何以令人惊讶的和美丽的方式走到一起。若你真的有机会来这里欣赏艺术，且持有一份开放的心态，当你行走其中，比如沿着莫比乌斯带旅行，离开时你会发现自己正在思考数学。

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原文：Mohammed Kaabar

译文：我是崔小白、小王子，两位均是哆嗒数学网群友。

作者简介：Mohammed Kaabar 拥有华盛顿州立大学获得的理论数学的理学学士学位，现今是就读于华盛顿州立大学应用数学专业的研究生。早前曾在华盛顿州立大学的数学学习中心（MLC）当过数学助教。

      我想与大家分享一下我在华盛顿州立大学第一年做数学研究生的经历，同时对数学专业研究生应当做的事情给出一些建议。2015年春季，是我做应用数学博士研究生的第一个学期。在这学期里，我写了微分方程和线性代数2本数学教材，举办了3次应用数学的研讨会，同时被邀请成为技术程序委员会（TPC）的成员，并成为许多应用数学，物理学，电子工程和计算机工程专业的国际会议和期刊特邀审稿人。这些会议上大部分将接受的论文发表在主流的同行评审的出版公司，如斯普林格（Springer）和IEEE Xplore数据库。因此，我强烈建议作为一名数学系的研究生，应当完成下面列示的内容：

■加入数学和相关领域的专业组织：

     当我刚成为研究生的时候，我加入了工业和应用数学协会（SIAM）。成为学生会员是一件很容易的事情，因为在一些大学里研究生可以成为免费会员。还有几个数学协会和社团，如美国数学学会（AMS）和美国数学协会（MAA），会给他们的学生会员打折。

■建立一个专业的网站：

     如果您刚考上研究生，我建议您创建一个专业的网站，其中包括您的研究兴趣，履历，工作经历和正在教的课程。拥有自己的专业网站的优势是，很多人会通过网站上的电子邮件与您联系，邀请您作为数学和应用科学的期刊和会议的技术程序委员会（TPC）成员，审稿，编辑，数学小组成员。如果您要授课，在您的专业网站添加这样一个部分是很好的主意，其中包含您的课堂笔记，解决您的课堂作业和测验，以及考试的学习指导。

■教一门您喜欢的课程：

     如果在您的部门获得了助教的职位，我相信大多数大学都会给您这样一个教授自己喜欢的课程的机会。所以，我建议您选择教授自己更感兴趣的课程。因为您在教授自己喜欢的课程时，您的学生将更有可能欣赏您的教学方式。

■加入研究小组：

     如果您是数学系的新研究生，建议您联系一下您的系主任、班主任、辅导员、研究生主席，向他们咨询可以加入的研究小组，以便您可以参加小组的研究刊物和研讨会。

■参加相关的课外学术活动：

     当即将开启研究生涯的时候，您将会面对工作和学习的压力。那么如何来缓解这些压力呢？答案很简单；许多大学和学院有学生社团和俱乐部，比如研究生会和同专业引导小组。拿我来说，当我在华盛顿州立大学（WSU）和沙迦美国大学（AUS）读书的时候，我积极地参加了同专业引导小组，同时我还参加了像国际电子科技大赛这样的竞赛。

     总之，上面提到的五点，我想用一个作为同专业引导的伟大成果的例子来总结一下。有一天，当我正沿着沙迦美国大学的走廊里散步时，我看到一个学生不知道在干什么，而且也不知道去哪里、该做些什么。那个学生就像是一个在沙漠中误入歧途的人，因为不能决定他的方向而感到困惑。我走过去问他想要做什么。他告诉我这是他在沙迦美国大学的第一天，他不知道该从何入手。我告诉他说一切都会好起来的。然后他轻松地叹了口气，感觉就像我们在沙漠里的朋友被飞机从泥潭带到了蓝天。大一新生就像一艘行驶在波涛汹涌的大海中的小船，不知会被大浪冲到何处。想象一下，当他突然发现有人将他带到安全的海岸时会有什么感觉呢。我帮他完成了整个注册过程。从那以后，那个学生成了我的好友。也许您还惦记着我们那个在沙漠里的可怜朋友吗？放心，他已经被直升飞机救起。所以我致力于加强相互间关系，建立一个高度合作的社区。在做同专业引导的过程中，我经常和周围的学生交谈，了解他们的问题并提供必要帮助。这只是告诉您一个成功的研究生如何积极影响其他同学的小例子。最后，我建议您至少遵循我上面提到的五件事情，这将使您成为一个成功的研究生。

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2016年3月21日，高等教育数据专业调查机构QS发布了年度QS世界大学学科排名(QS World University Rankings by Subject)。在本次调查评估了42个学科，哆嗒数学网的小编现在向你奉上数学学科排名。

和所有以往的数学排名一样，英国和美国的几乎垄断榜单的前10位。第一名为英国大名鼎鼎的剑桥大学，而美国的哈佛大学、麻省理工学院分列第二、第三名。接下来，美国的斯坦福大学与英国的牛津大学排在并列第四的位置。第六到十名分别是，加州大学伯克利分校（美国）、苏黎世联邦理工学院（瑞士）、普林斯顿大学（美国）、加州大学洛杉矶分校（美国）、纽约大学（美国）。

由于有并列第十的情况，亚洲的前十名中有11所学校。占据第一的是新加坡国立大学。而中国的大学占据了其中6个席位。第二到第十分别是日本东京大学、香港中文大学、北京大学、日本京都大学、香港城市大学、新加坡南洋理工大学、清华大学、香港大学、韩国国立首尔大学（并列第十）、香港科技大学（并列第十）。

在中国的大学方面，香港中文大学排名第一，而在内地的大学中排在第一的是北京大学。共有27所中国内地大学、6所香港大学、6所台湾大学进入榜单。

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作者， David Wees ，数学教师。

翻译，斜风细雨，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。

为什么在数学课上学生需要相互讨论？最近有人问了我这一问题，我就此尝试给出一个非教条式的回答（例如，因为它重要所以重要）

在教室里学生间相互讨论数学，这些学生的思路价值可以表现出来，而不是被忽略或边缘化。这让学生在学习中可以得到转化。这也让学生学习如何从他们理解世界的现有方式中发展以得到新的思路。

支持学生相互讨论意味着数学可以是一种认识和存在的方式，而不仅仅是现有知识的一个实体（虽然作为一组工具的数学的价值经过长期的发展不能被边缘化），作为学生在理解什么是数学以及数学的价值时，他们更愿意把自己看作是数学家的一员，而不是一个与些无关的局外人。他们可以把自己看作是数学社团的一员。

为了能够彻底理解我们所学习的一门语言，我们必须使用它才行，要么写作或交谈，要么倾听其他使用相同语言的人。所以，从实践的观点来看，学生需要通过相互交谈来发展他们对语言的使用（数学语言或其他语言），而不是学生按序发言，由教师指定学生一个一个地来讲，最有效的方式是他们一同来讲，相互交谈。

我们知道我们的思想，当学生构想出思路并将其与其他同学交流，他们必须思考这些思路，这意味着他们在构造记忆。不论学生做什么这都会出现，焦点集中在学生所交谈的思想上，而不会是具体的活动（即完成一个任务）。

最后，学生相互交谈并书写同时也对他们的教师提供了更多有关学生思维方式的信息，这也使得教师更容易按照学生实际的思路来安排分组讨论并规划相关活动。如果不知道学生怎么学习如何思考，很难规划课程来构建他们的知识。当学生相互交谈时，他们的教师不仅可以收集并评估学生理解了什么，还可以知道学生是如何理解这些东西的。

这和“让学生自己独立安静地解决数学问题”的观点并不矛盾。当学生需要共同讨论一个问题的时候，最好让他们自己独自思考一段时间。还有，出于种种理由，一些学生会和其他同学有交流障碍，所以在某些情况下，让学生共同参与讨论比让学生挑战解决数学问题本身，得到的收益更多。

你对学生应该在数学课上相互讨论有什么新观点吗？

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　　根据2016年3月15日，挪威阿贝尔数学奖官网消息。2016年阿贝尔数学奖授予英国数学家安德鲁·怀尔斯爵士。奖金为600万挪威克朗，约合75万欧元。颁奖典礼将于2016年5月24日，在挪威首都奥斯陆举行。

　　挪威科学与文学院在颁奖词中说，怀尔斯独辟蹊径，通过证明半稳定椭圆曲线是模曲线，给出了费马最后定理的精妙证明，并开辟了一个的数论新纪元。

　　”For his stunning proof of Fermat’s Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory. “

　　费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。 它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 a^n + b^n = c^n （a^n表示a的n次方）没有正整数解。 被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

　　但是在1998年，数学家大会召开的时候，怀尔斯已经超过了能获得菲尔兹奖的年龄条件40岁，于是与这个被称为数学诺贝尔奖的菲尔兹奖无缘。而1998年国际数学家大会的给予了怀尔斯一个特别荣誉，一个特殊制作的菲尔兹奖银质奖章。

　　最后，我们还是祝贺怀尔斯爵士！

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　　作者，Math001 ，哆嗒数学网网主。

　　这几天，李世石和Google AlphaGo的人机大战成为了最热门的话题。最终，AlphaGo在5番大战中以4：1战胜了人类代表李世石九段，电脑第一次在围棋这个古老游戏上战胜人脑，这绝对是谷歌在人工智能业界，乃至全球科技界树立的新的里程碑。

　　为什么？让我们来回顾历史吧！1997年，在IBM“深蓝”战胜国际象棋世界冠军卡斯帕罗夫之后，《时代》杂志提出了一项新的挑战：“让计算机与人类下围棋吧，它获胜的机会很小。计算机要在围棋上战胜人类，还要再过一百年，甚至更长的时间”。然而，2016年，人类的科学家们就让电脑就做到了，还不到20年。

　　因为AlphaGo的读音，人们亲切的把它唤作“阿法狗”，昵称“狗狗”。“狗狗”的胜利一开始就有人不服气，在这些人中，最有代表性的一定是暂时为世界围棋第一人的柯洁（用暂时是因为柯洁说要谦虚）。

　　不过，我们哆嗒数学网最关心当然是和数学相关的花絮啦，这里我们从一些关键词出发，和大家盘点一二。

　　第一组关键词：复杂度、状态机、策略

　　如果你是撸啊撸（LOL）的玩家，那么你一定会困惑，开一把人机至于搞得那么高大上吗？是的，要知道围棋能开这把人机是多么的不易，因为要让电脑下的围棋水平和人类高手相当困难。困难的原因就在于围棋太复杂，以至于要处理围棋对弈的算法的复杂度极大，尤其是时间复杂度。

　　我们从围棋棋盘的状态来简单估计一下围棋的复杂程度。围棋的棋盘是横竖都是19条直线的网格构成，这个网格一共有19×19=361可以落子的交叉点。每个交叉点有黑子、白子以及空格三总可能，那么围棋的有的状态数就是3的361次方，即约1.7×10^173种状态(x^y表示x的y次方)。

　　然而，了解围棋规则的人知道，在一个合法状态的围棋棋盘上是不会有“无气”的子的。上述穷举状态中很多都是不合法的，而合法状态的数量是多少却一直是个难题，知道今年年初才被普林斯顿的研究人员计算出来，结果约为2.1×10^151，仅是前面一万亿亿分之一。虽然数量减少不少，但依旧很多——比科学家测算的全宇宙的粒子个数2.2×10^79还多得多。

　　我们下一盘棋，无非就是从开局到终局，这些状态相互切换的排列组合。切换是依据围棋规则，以及试图取胜的策略进行的。这些状态切换的过程形成一套庞大体系与机制，这个就是状态机。这个复杂状态机决定了围棋的复杂程度。

　　第二组关键词：算法、蒙特卡洛树搜索、神经网络算法、深度学习

　　计算机永远是通过算法来执行一件具体的事情的。“狗狗”的要和李世石对弈，也是如此。构建“狗狗”对弈算法的主要结构是两个，一个是蒙特卡洛树搜索，一个是神经网络算法。

　　每个围棋盘面都有一个“最优走法”，对应于对弈双方都采用完美不失误走法的情况下该盘面的最终结果。但是前面一件说过，因为状态机的复杂性的原因，这几乎是不可能完成的任务。于是退而求其次，既然无法得到最优走法，有没有可能加入随机因素对整个可能性空间进行某种采样，然后通过统计估值算概率的方法逼近这个最优走法呢？人们对这个问题的思考在2006年终于取得了突破性进展，提出了一种称为蒙特卡洛树搜索的动态评估方法。

　　而真正让“狗狗”变得强大的，是后面的神经网络算法，这个算法让“狗狗”有了自学习能力。“狗狗”下棋会利用两个网络，“价值网络”和“策略网络”。利用“价值网络”去计算局面，用“策略网络”去选择如何下子。“狗狗”不同于一般的超级计算机，它可以像人一样学习，通过自己和自己的对弈，分析棋谱，并不断进步。和之前对弈程序不同的是，“狗狗”不仅仅是单纯的计算，所以计算力是无法估量的。

　　蒙特卡洛树搜索、神经网络以及每天数以百万计的自我对弈，让“狗狗”有了自我“深度学习的能力”。

　　第三组关键词：人工智能、大数据、计算机科学家、数学家

　　我们前面提到过，“狗狗”因为神经网络算法而产生了能力上的质变。但实际上，神经网络在几十年前就有了，而直到最近几年他的强大才逐渐体现出来。这是因为他们需要大量的“训练”去发现策略中的被数学量化后的价值。对早期研究者来说，想要获得不错效果的最小量训练都远远超过计算能力和能提供的数据的大小。最近几年，“大数据”技术的兴起，使得大量“训练”成为可能。神经网络算法的价值就是通过“大数据”技术来高效训练，而重新凸显出来的。

　　这其实是一个新兴且高大上的领域——人工智能领域。但我们其实在很多地方已经在享受他们带来的便利了——打开外卖软件，它会把你最爱吃的菜摆在你面前，当你搜索打错字的时候，搜索引擎也会问你是不是想搜索的是另外一个东西。而这个领域里，两种职业的人最为活跃——计算机科学家和数学家。

　　2014年在韩国举办的数学家大会就有一个专题关于围棋讨论会。那个时候，最好的围棋软件也不是一般业余棋手的对手。数学家、计算机科学家、棋手们在大会期间各抒己见，纷纷发表对如何提高电脑下围棋水平的看法。

　　不久之后，百度公司宣布，他们旗下的科学家研发的Bingo系统利用一些能让系统自我学习的手段轻松战胜业余有段位的棋手（这里也为说百度公司不做这个研究的不实消息辟谣）。这其实是一个突破，虽然离战胜顶尖高手还很远。

　　包括中国、美国、英国、日本、韩国等国家的数学家、计算机科学家都在电脑下围棋的研究中付出过努力，科技是不断迭代中前行的，“狗狗”也不完全是突然蹦出来的。

　　第四组关键词：奖金、STEM、数学教育

　　本次比赛，谷歌公司提供了100万美元的奖金。如果李世石获胜，奖金将给予李世石本人。如果“狗狗”获胜，奖金将赠予联合国儿童基金以及与STEM教育和围棋有关的团体。

　　STEM，是科学，Science、技术，Technology、工程Engineer、数学，Mathematics，四个单词首字母拼在一起的缩写。现在“狗狗”赢了，也就是说这笔奖金有一部分将提供给数学教育，一些学数学或者教数学的人群将因此受益。这对数学学科的发展和数学人才的培养总是有好处的。可以理解谷歌这样做的用意。一方面，“狗狗”是因为这些人才的智慧才取得成功的；另一方面，这些学科的发展和人才的培养，会催生出更多新技术，那时候“狗狗”在今天所做的一切，就只是历史故事了。

　　所以，我们感谢谷歌公司，当然也要感谢李世石，感谢围棋这门古老的游戏。

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　　作者， Evelyn Lamb ，犹他大学数学助理教授。

　　翻译，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员，华东师范大学数学博士。

　　你如何才能知道你所处的星球看上去像什么？一种方法是发展太空计划，发送飞船，并从远处拍摄星球的照片。只有极少数的人带着相机离开过这个星球的表面在太空中看过它，然后他们告诉我们：我们的星球看起来像一个球体。但是如果他们是在说谎呢？而最近的一篇文章表明，如果一个全球性的阴谋需要由所有的空间机构，宇航员和行星科学家来共同维系，这将是非常困难的，因此我们不必认为他们在欺骗我们。

　　除了发展太空计划之外，有一个从数学上讲非常聪明，但不太可能进行实际操作的方法来算出我们所生活的星球的表面究竟是什么曲面：那就是使用欧拉示性数（这是众多以莱昂哈德·欧拉的名字命名的词条之一）。人类知道地球是球体远远早于太空计划，甚至哥伦布都知道地球是一个球体。因此，地球是球体这个结论不是因为太空计划而得出来的。

　　就像年龄一样，欧拉示性数只是一个数字。对于一个二维曲面如一个盒子，沙滩排球，或星球而言，它是该对象的顶点数减边数加面数，或者用公式表示：V-E+F。我们将从一个简单的例子开始，一个正方体。正方体有8个顶点，12条边，和6个面，所以最终可得8-12+6=2。

　　那如果是一个球体呢？在这里，没有现成的顶点和边。我们必须把它们画出来。一个方法是在地球仪上画出赤道和一些经线。或者，如果你身边没有地球仪，那就用个柚子，然后绑上橡皮筋。

　　因为我没有球形摄像机，所以如果你自己没有柚子，那么你就听我说吧，这些橡皮筋在相交处共产生了6个顶点，12条线段，以及8个三角形，因此它对应的欧拉示性数为6-12+8=2（这些数字看起来和正方体的那些很像。你知道这是为什么吗？）。

　　在你们准备实施这样的计算前，总会有因为需要做出选择而带来的不确定性。我们所面临的选择是在柚子上如何绑这些橡皮筋。不同的绑法会不会导致不同的计算结果？这一次我将使用四根橡皮筋。

　　现在它有10个顶点，21条边，以及13个面，我们再来算一下，10-21+13=2。

　　事实上，不论我们如何通过画线或者绑橡皮筋来分割球面，我们最终都会得到欧拉示性数为2这个结果。当然你可以不相信我的话。虽然一个严密的证明对你来说可能过于复杂，但是你可以很容易地通过自己的涂鸦来确信这点。随意画一个形状，在里面随意画一些顶点和边，然后再随意添加一个顶点和一些边，欧拉示性数有没有发生变化？擦去一条边，又会发生什么变化？

　　欧拉示性数是一个拓扑不变量，这意味着拉伸或挤压不会改变它，只撕裂或粘合可以。现在欧拉示性数，可以用来确定一个曲面的拓扑形状，但却不能用来确定它更精细的特征。例如，正方体，球体，四面体，以及其它像它们这样的封闭形状都有相同的欧拉示性数因为他们都是拓扑等价（注：“拓扑等价”用拓扑学术语来说，就是“同胚”）的。

　　如果你是一个对科学好奇的人，却没有机会进入太空去看地球，同时你又不想迷信于古代科学家或美国航空航天局的话，你可以利用欧拉示性数来确定地球的拓扑形状。你所需要的仅仅是几个朋友和一堆绳子。让他们每个人都站在地球的某处，每个人都拉住几根绳子的一端。现在你需要做的就是数数有多少个人（注：对应于顶点数），有多少根绳子（注：对应于边数），以及有多少个被那些绳子分割成的区域（注：对应于面数）。然后算一下欧拉示性数，V-E+F。

　　如果你得到的是2，那恭喜你。因为在拓扑意义下，欧拉示性数为2的曲面只有球面。

　　如果你得到的不是2，那么可能是你算错了。现在让我们假设你是在一个陌生的星球上，其拓扑形状还不知道。该星球的一些其它特征将有助于你确定它的表面究竟是何种曲面。

　　首先，它是有限的吗？或者，即使是沿着同一个方向走，也永远走不到底？如果它是无限的，你就无法把它分为有限个有限的部分，并因此无法计算欧拉示性数，如果是这种情况，那你是不幸的。因此我们将假设所有的情况都是有限的。

　　接着，我们来考虑可定向性。莫比乌斯带是最著名的不可定向曲面：如果你从它的边界附近的某个点出发，沿着边界一直走（注：始终不跨越边界），你最终会回到你出发的那一点，唯一的不同是：此时你在莫比乌斯带的另一边。如果你是在可定向曲面上，你知道它具有内外（注：也可能是“上下”或“左右”或类似地其它的）之分；这将导致当你回到出发点时，你永远不会出现上下颠倒的情况。不论你所在的星球是否是可定向的，都可以使用欧拉示性数来确定它的拓扑形状。

　　最后，我们来考虑边界。你觉得你可以从它的边缘（注：如果存在的话）走出去吗？如果可以的话，有多少彼此分开的这样的边缘？可能只有一个也可能有多个。也许你有理由相信它的形状像一个平环（注：对应于恰有2个分开的边缘）或字体变胖了的“8”（注：对应于恰有3个分开的边缘）。

　　可定向的情况下，欧拉示性数以及边界的分支数（注：“边界的分支数”为拓扑学术语，可认为即上节中“彼此分开的边缘数”）可以唯一确定你所在的星球表面是何种曲面。如果欧拉示性数是2，你可以确定你是在球面上。增加一个边缘将导致欧拉示性数减少1，所以如果欧拉示性数是1，你就是在有1个洞的球面上，同时它是与平面多边形拓扑等价的。如果欧拉示性数是0，你可能生活在一个环面，或一个平环上。

　　当你知道了你所处的星球看起来像何种拓扑形状之后，接下来你可以试图找出它的几何形状。如果欧拉示性数是2，你可以试着确定你是否生活在球体，正方体，足球，或其它一些奇怪的形状的表面上。在这里欧拉示性数就帮不了你了。我建议你从埃拉托斯特尼（Eratosthenes）以及其他古代天文学家那里吸取经验，用影子来研究地球在每一特殊的点处是如何弯曲的。爱萨恩·西格尔（Ethan Siegel）会告诉你关于这些的一切。

　　致谢：我第一次接触到“使用欧拉示性数来确定星球的拓扑形状”这个想法，是在我的朋友、犹他大学的数学家凯文·沃特曼（Kevin Wortman）的一次演讲中。B.o.B.以及Neil deGrasse Tyson激励我完成了本文的写作。

　　*为回应评论，我需要说明一下，你围起来的区域，中间不能有洞。也就是说，它们应该像盘子，而不是平环。用专业术语来说就是“单连通”。确保每个区域都是“单连通的”的一个方法是把曲面分割成一个个三角形（注：用专业术语来说就是“三角剖分”曲面）。

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作者，傅笛涛​，哆嗒数学网群友，金融行业从业人员。

“最美妲己”傅艺伟吸毒检测成阳性！几天前，这一消息火爆网络。

以吸引眼球为己任的部分媒体，立即进行了大篇幅报道。当然，最终以“妲己”认罪为结束。一个曾让万千粉丝喜爱的明星成为吸毒者，总是让人扼腕叹息的。

但是，我在这篇文章要说的是关于吸毒者检测的事情，顺便向大家介绍一下数学概率与统计中的贝叶斯法则。

这得从最初的新闻中说起。当时，现场并未发现毒品，媒体以“检测成阳性”为由，直接判定了“妲己”有罪！一定程度上，也向公众传达了一个有问题的概念：检测成阳性就等于吸毒。若有后来的知名人士也检测成阳性，估计此人吸毒的新闻，也立马同样会铺天盖地。

且慢！检测呈阳性等同于吸毒，这一等式真的成立吗？贝叶斯法则告诉你：等式不成立！

在所有的数学发现中，贝叶斯法则绝对能算是运用最多最广的一种之一。你如果喜欢看侦探小说，请务必了解这一“手术刀”法则。有些事情，我们知道了结果，但不知道过程和真相，就如同看见尸体，不知道谁是凶手，于是，就应该请“贝叶斯法则”先生上场帮忙。另外，还需要知道一个概率论中互斥事件概率法则：即某件事不发生的概率是100%减去这件事发生的概率。

好了，对于“妲己”吸毒的分析，足够了！

首先，我们用P(D)，代表“妲己”吸毒的概率，来看取值依据。根据司法部戒毒局梁然的数据：“截止2015年6月份，我国登记在册的吸毒人口已超300万”。因为很多吸毒者并不一定被登记了，我们不妨将此数据扩大到1000万。

其次，根据2015年1月20日，国家统计局网站公布的数据：“2014年末，中国大陆总人口达136782万人”，很明显，到了2016年2月，这一数据已经被超过了；而且，我们还没有预计“黑户口”。所以，“妲己”的P(D)值为0.007。这个值也叫吸毒的先验概率。

于是，根据互斥事件概率法则，P(N)即“妲己”不吸毒的概率值为0.993，也就是1-P(D)。

最后，我们用P(+|D)，表示在吸毒为真的前提下，药物的阳性检出率，很明显，这是一个标准的条件概率。

我们来看条件概率取值。查阅“毒品检测网”，我们发现，至少有三种情况，呈现吸毒而药物检测成阳性：一、和吸毒的人呆在一起也会使尿检成为阳性；二、大部分感冒药也会使尿检成为阳性；三、小部分食物也会导致毒品测试的结果为阳性。

因此，我们假设阳性检测准确性高达98%，取该值为0.98。那么，P(+|N)代表不吸毒者的阳性检出率，也就是出错检测的概率，再次有请互斥事件概率法则，该值即为0.02。

所以，现场未发现毒品的背景下，仅仅依据药物检测成阳性为前提，“妲己”吸毒这正确判定的概率是：

P(D|+)=P(+|D)P(D)/[P(+|D)P(D)+ P(+|N)P(N)]=0.98×0.007÷（0.98×0.007+0.02×0.993）=0.00686÷0.02672=25.67%

换句话说，“妲己”被冤枉的概率是74.33%。

这里，我们把“妲己”作为一个普通人考虑，不以“某一人群吸毒者多”为由，反对“理念先行”。更重要的是，如果一个普通人被检测成阳性，在这样的舆论环境下，也会立马被周围人视为当然的吸毒者！本文就是要破除这个误区。

那么，吸毒检测成阳性，现场又没有其它证据，如何判断是好？

很简单，在确保过程客观正义的前提下，再做一次吸毒检测！并保证第二次检测，与第一次检测相互独立。

由于第二次检测的正确率还是98%，所以，如果被检测者没有吸毒，那么阳性的概率是2%。关键之处在于，经过了第一次检测的过滤。第二次检测，“妲己”的P(D)值变成了0.2567。

P(D|+)=P(+|D)P(D)/[P(+|D)P(D)+ P (+|N)P(N)]=0.98×0.2567÷（0.98×0.2567+0.02×0.7433）=0.251566÷0.266432=94.42%

保证过程独立的第二次检测结果，如果再成阳性，“妲己”吸毒的概率，就高达94.42%了。

所以，在最初的新闻中，“妲己”吸毒的基本确认，还缺少了一步。贝叶斯法则的充分应用，才能尽可能不冤枉一个好人。部分媒体，也应在喧嚣之余，了解一下贝叶斯法则，多点理性思维，少点眼球思维。

最后，我们还是老生常谈的声明一句话：毒品这东西是万万碰不得的——珍爱生命，远离毒品！

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此文原载于http://centerofmathematics.blogspot.com/2015/12/famous-women-in-mathematics-and-science.html

译者，小米，哆嗒数学网翻译组成员，就读于纽约大学柯朗研究所。

时至今日，从事数学等理工学科职业的女性在数量上与男性仍相差甚远，但不可否认的是女性也能和男性在这些领域与男性一样成功：性别并能不决定一个人的智力、学习能力与潜力。我们希望下面这些优秀女性的故事能给读者以启发。

1. 希帕提娅（370，埃及，亚历山大城 —— 415，埃及，亚历山大城）

希帕提娅是希腊数学家、天文学家以及哲学家。她也通常被认为是史上第一位女数学家。希帕提娅的父亲席昂是一位数学教授；作为她的导师，他教给了希帕提娅许多科学与哲学方面的知识。约在400年时，希帕提娅成为了亚历山大城中柏拉图学派的领导者，讲授数学、科学以及新柏拉图学派的哲学。

遗憾的是，希帕提娅的许多著作在今天已经遗失，所以人们并不知道她对数学的确切贡献。人们只知道她的少数工作，例如对丢番图《算术》的评注。希帕提娅最后遭暴徒迫害杀死。我们应当记住：希帕提娅是一位受过极好教育、知识渊博的女性，并从不畏惧表达自己的观点。2009年，由其生平改编的西班牙电影《苍穹下的女神》，讲述了她波澜的一生。

2.沙特莱侯爵夫人（1706.12.17，法国，巴黎 —— 1749.9.10，法国，巴黎）

沙特萊侯爵夫人也许因她与伏尔泰的情事而出名，但许多人并不知道她在学术研究中的天分。沙特萊侯爵夫人成长在法国启蒙运动时期中的一个贵族家庭。当时的社会对像她一样的女子的期望是年经时早早结婚而不是学习知识。但沙特萊侯爵夫人说服她的父亲她需要在学术上深造，并因此获得了在当时非常良好的教育。加之她对学习的热情，沙特萊侯爵夫人在科学与数学上颇有造诣，并把它们作为终身的事业。

沙特萊侯爵夫人最著名的工作是艾萨克•牛顿的《自然哲学的数学原理》的法文翻译以及她在动能方而的研究。
她还著有《物理学教程》，讲述科学与哲学方面的最新思想；这本书原本是为她13岁儿子所写的教材。她还对哲学、神学、伦理学有所涉猎，例如她对《圣经》的分析，她对人类幸福的探讨以及她争取女性受教育权的文章。总的来说，沙特萊侯爵夫人是一位既能取得社会与家庭生活的平衡，又能持续不断地投入到科学研究与写作中的优秀女性。

3.玛丽亚•加埃塔纳•阿涅西（1718.3.16，意大利，米兰 —— 1799.1.9，意大利，米兰）

阿涅西出生于一个富有的知识分子家庭并在意大利长大。当时的社会有学识的女子都被男子们仰慕，并被允许参加科学与艺术活动。阿涅西小时候掌握多门语言，被称为神童；青少年时已经掌握了数学。在父亲定期组织的学术交流聚会上，年轻的阿涅西也时常会跟博学的权贵客人们辩论。

尽管阿涅西对数学做出了许多贡献并展现出巨大潜力，在父亲死后她开始投身于慈善事业。阿涅西的《分析讲义》一书包含了从代数到微积分的讨论；这本为她弟弟所写的书也被认为是第一本由女性所写的数学教科书。在此书中，还出现了由一种水手结而来、被误译为“阿涅西的女巫”的曲线（方程式为 x²y = a²(a-y) ），她的名字也因此被熟知。由于她的杰出工作，阿涅西被任命为博洛尼亚大学的数学与自然哲学系主任，但因为慈善事业的缘故她从未赴任。

4. 索菲•热尔曼（1776.4.1，法国，巴黎 —— 1831.6.27，法国，巴黎）

热尔曼出生在美国革命期间，她的童年也是在一个动荡的年代中度过：由于常常只能待在家中，她大量的时候都泡在父亲的图书馆中。正是在那里她读到了阿基米德在一个罗马士兵踩坏了他在地上画的图形后被其杀死的故事。热尔曼从此认为几何学是一个值得研究的学科，并决心学习数学；她随后在父亲的图书馆中读了大量的书籍。她的父母并不赞同她对数学的兴趣，并想方设法阻挠她，例如停掉她的暖气与照明；但热尔曼想尽一切办法反抗并坚持学习，这种情况持续到了她18岁那年，也是巴黎综合理工学院成立的时候。当时，女性并不被允许进入巴黎综合理工学院听课，但热尔曼想办法弄到了上课的讲义用以自学。最终，热尔曼向拉格朗日提交了一篇论文，用一个假名掩盖了她真实的身份。拉格朗日对她提交的论文印象深刻，并提出与写作的学生见面。他惊讶地发现作者竟然是一名女性。拉格朗日十分赞赏热尔曼的能力并成为了她的导师。拥有了一位男性导师为热尔曼打开了一扇继续学习和研究数学的大门。

热尔曼凭借她在振动弹性曲面上的工作赢得了法国科学院的奖项。这也让她跻身当时杰出数学家的圈子。热尔曼也在数论方向有所成就；她把费马大定理归结成两种情形，这在如今被称作索菲•热尔曼定理。在数论中以她的名字命名的结果还有索菲•热尔曼素数以及索菲•热尔曼等式。
  

5. 阿达•洛夫莱斯（1815.12.10，英国，伦敦 —— 1852.11.27，英国，马里波恩）

洛夫莱斯的父亲-英国诗人拜伦，在她还是孩子的时候就离开她们的母女二人。因此，从小洛夫莱斯的母亲就对她在科学、数学以及逻辑学方面进行培养，希望她不会变成像父亲一样。洛夫莱斯在这些学科上表现突出，并在数字和语言上颇有天分。年仅13岁的她就设计了一架飞行器。17岁时，洛夫莱斯认识了发明家与数学家查尔斯•巴贝奇，后者成为了她的导师以及终身的朋友。正是因为这段经历，洛夫莱斯才能在科学和数学领域中做出现为人所知的众多贡献。

洛夫莱斯是第一位女计算机程序员(实际上是第一位程序员)。她做出的贡献既体现在数学也体现在计算机理论上。她最著名的工作是翻译了查尔斯•巴贝奇关于计算机分析机的论文：这个一个由查尔斯•巴贝奇发明的、可以进行数学计算的机器。洛夫莱斯提出了创新性理论并进行了复杂的理论分析。今天，埃达•洛夫莱斯日正是为了纪念她对数学与计算机的贡献以及她作为一名在科技领域的女性先驱而设立。

6.弗罗伦斯•南丁格尔（1820.5.12，意大利，佛罗伦萨 —— 1910.8.13，英国，伦敦）

南丁格尔出生在一个上流社会的家庭，她的父母以城市的名字为他们的女儿命名。南丁格尔本可选择早早结婚并过上舒适的生活，但她却不顾家庭的反对，决心成为一名为人服务的护士。在克里米亚战争期间，她作为一名护士在俄国工作，并致力于改善医疗卫生环境，被士兵们称为“上帝派来的天使”。可惜的是，南丁格尔不久染上了克里米亚热，而在38岁时她已经难以下床。即便如此，在病床上南丁格尔仍然致力于医疗改革。直至去世，她都是公共卫生健康方面的权威。

南丁格尔因她的护士经历而为人知晓，很多人却不知道她同时也是统计学分析的先驱。在医院的时候，南丁格尔系统地收集并记录数据。她通过数据分析来改善医院的条件，并倡导卫生改革。南丁格尔还采用了许多可视化统计数据的方法，如饼图在当时就是一种相当新颖的呈现数据的方式。南丁格尔还发展出极座标图饼图，用于说明在她管理的野战医院内，病人死亡率在不同季节的变化。由于她在统计学方面做出的贡献，南丁格尔被选为英国皇家统计学会的第一个女成员，她后来也成为美国统计协会的名誉会员。

7.索菲娅•瓦西里耶夫娜•柯瓦列夫斯卡娅（1850.1.15，俄国，莫斯科 —— 1891.2.10，瑞典，斯德哥尔摩）

柯瓦列夫斯卡娅初次对数学感兴趣是源于小时候她叔叔有一次与她的谈话。当她14岁时，柯瓦列夫斯卡娅已经自学了三角函数并开始接触更加复杂的数学概念。当柯瓦列夫斯卡娅念完中学后她希望能继续进入大学深造，但莫斯科附近的多数大学不接受女子入学。为了继续学业，柯瓦列夫斯卡娅通过婚姻离开了俄国，来到了柏林的哥廷根大学学习。当时女性不被允许进入课堂，所以柯瓦列夫斯卡娅只能接受数学家卡尔•魏尔斯特拉斯的私人辅导。在学业结束的时候，柯瓦列夫斯卡娅向大学提交了3篇论文，一篇关于偏微分方程，一篇关于木星环状结构，还有一篇是关于椭圆积分。她的论文为她赢得了一个博士学位，而柯瓦列夫斯卡娅本人却没有在大学里上过一门课。柯瓦列夫斯卡娅随后成了斯德哥尔摩大学的一名数学讲师，在此期间发表了不少数学结果以及获得了许多荣誉。虽然在41岁她因肺炎去世，但柯瓦列夫斯卡娅在她其短暂的一生中对数学做出了许多重要贡献。

柯瓦列夫斯卡娅在关于偏微分方程的论文中提出了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理，给出一类偏微分方程解的存在条件。她的另一著名工作是关于刚体转动的论文，这为她赢得了法国科学院鲍廷奖。柯瓦列夫斯卡娅也是女权主义及其它一些政治主张的倡导者，同时也是一名小说家、剧作家。

8.埃米•诺特（1882.3.23，德国，巴伐利亚，埃朗根 —— 1935.4.14，美国，宾夕法尼亚，布林莫尔）

作为一名中产阶级女孩，诺特早年学习艺术，尤其是语言方面的课程。她曾经的理想是成为一名语言教师，并在毕业后拿到了教师资格证。但是，诺特放弃了教师生涯，转而学习数学并攻读博士学位。最终诺特从埃朗根大学获得了博士学位；她父亲正是这所大学的数学教授。1908年至1915年间，诺特在埃朗根数学研究所工作，在此期间她没有任何头衔和收入。在诺特的一生中这屡见不鲜：她的工作常常因为性别、政治或宗教原因而没有任何收入和认可。这一切直至诺特认识了大卫•希尔伯特和菲利克斯•克莱因才有所改变；即使大学里有许多人反对，他们仍坚持认为诺特可以成为哥廷根大学的一名讲师。最后，诺特成为了哥廷根大学的一名讲师，这是她第一份有工资的教职。不幸的是，希特勒和纳粹上台后，所有的犹太人被赶出大学，诺特也失去了她的工作。诺特随后移居美国，在布林莫尔大学教书直至去世。

在她的一生中，诺特对数学及科学做出了几项重要贡献。她最广为人知的工作是她几乎单枪匹马地发展了交换代数的理论，并强化了“理想”这个概念的应用；诺特也是第一个证明了三条环同态定理的数学家；她还证明了关于有有限理想升链的环的一系列定理，而正是为了纪念她，这样的环被命名为“诺特环”。诺特一生中发表了40余篇论文。诺特总能用自己对数学的热情去克服生活中的种种逆境。

9.玛丽•卡特莱特爵士（1900.12.17，英国，北安普敦郡 —— 1998.4.3，英国，剑桥）

年轻的卡特莱特原本对历史学感兴趣，后来因为她觉得数学不需要记忆大量的史实因此更容易，转而学习数学。

1919年，卡特菜特进入牛津大学圣休学院学习数学，是其专业当时的五名女学生之一。两年后，卡特莱特在她的数学中级水平测试中只得到二等，这极大地打击了她；她甚至考虑过重新修习历史。但卡特莱特最终决定坚持下来，并于1923年以一等生的成绩从剑桥毕业。随后她教了四年数学，直到1928年重新回到剑桥大学格顿学院，在那里她被授予耶罗研究基金奖并发表了一系列工作。卡特莱特一生都奉献给了数学研究和数学教育，她也担任过一些管理职务。1969年卡特莱特被英国女王授予女爵士头衔。

卡特莱特一生发表了超过100篇论文，涵盖了经典分析、微分方程、拓扑等许多方向。她同时也是英国皇家学会的第一名女性成员，伦敦数学学会的第一任女主席，以及第一位同时获得皇家学会西尔维斯特奖章与伦敦数学学会德摩根奖章的女性。她的获奖为女性获得这些荣誉开创了先河。

10.茱莉亚•罗宾逊（1919.12.8，美国，圣路易斯 —— 1985.6.30，美国，奥克兰）

罗宾逊从小在圣地亚哥长大，并就读于圣地亚哥州立大学。她的姐姐瑞德也因为写过几本关于数学和数学家的书而出名。罗宾逊最后转学至加州大学伯克利分校，并于1948年在那里获得了博士学位。毕业后罗宾逊的投入了研究工作，其中最著名的是她关于希尔伯特第十问题和博弈论的研究。1975年，罗宾逊成为伯克利的兼职教授。同年，罗宾逊成为了美国国家科学院的首名女数学家，但这只是她众多荣誉中的冰山一角。1982年她被选为美国科学学院第一位女主席，并于同一时期凭借对数学界的贡献获得了麦克阿瑟奖。

不幸的是，罗宾逊从孩童时期就被疾病缠身，最后这发展为慢性风湿热。她也因此而患上了白血病，并在65岁被夺走了生命。尽管如此，罗宾逊一生克服了种种困难并始终保持着对数学的热爱。

11.凯瑟琳•莫拉维兹（1923.5.5，加拿大，多伦多 —— 至今）

莫拉维兹的父亲是一位数学家，他从小就鼓励凯瑟琳培养自己在数学和科学方面的兴趣。莫拉维兹家的家庭密友，数学家西西利亚•克里格，也鼓励凯瑟琳学习数学。1945年莫拉维兹获得了多伦多大学的学士学位，1946年她获得了麻省理工学院的硕士学位。她随后在纽约大学找到了工作，并于1951年在那里获得了博士学位。不久后莫拉维兹成为了柯朗数学研究所的一名教授。她后来成为了柯朗研究所的所长，也是美国首位担任数学研究所所长的女性。

莫拉维兹早期的工作是研究超音速波与激波。随后她开始研究音波以及电波碰撞物体后的散射问题。莫拉维兹在的研究中得到了一系列关于非线性波方程弱解的重要结果。由于她对数学做出的杰出贡献，莫拉维兹在1998年成为首位获得美国国家科学数学奖章的女性，这是美国在科学领域的最高奖。莫拉维兹还获得过杰弗里－威廉姆斯奖，伯克霍夫奖及洛瑞•斯梯尔数学终身成就奖。

12. 玛丽安•米尔扎哈尼（1977.5，伊朗，德黑兰 —— 至今）

米尔扎哈尼在少年时期就表现出相当的天分，曾就读于伊朗国家天才儿童发展组织的建立的一所中学中。初中时期米尔扎哈尼的理想是成为一名作家，但高中时她决定投身于数学。米尔扎哈尼在数学上取得了优异的成绩。在1994年和1995年国际数学奥林匹克竞赛上。米尔哈扎尼获得金牌，并在1995年的比赛中获得满分。她随后就读于谢里夫理工大学，毕业后决定前往美国深造。米尔扎哈尼在哈佛大学获得了博士学位，同时也是克雷数学研究所的一名研究员。2008年至今，米尔扎哈尼在斯坦福大学担任教职。

米尔扎哈尼于2014年获得菲尔兹奖，是有史以来首位获奖女性。这是为了表彰她在”黎曼流形及其上模空间的动力学与几何学上做出的贡献”（国际数学联盟）。米尔扎哈尼还获得过许多其它荣誉，包括鲁思该萨特数学奖、布卢门撒尔奖等等。米尔扎哈尼在数学方面的工作以及她获得的荣誉，表示人们正逐渐接受女性在这个领域中取得成功。