关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，胡根瑞，阜阳师范学院数学与统计学院 

相信很多人都看过《鲁豫有约》吧？《鲁豫有约》是一档访谈节目，节目每期邀请明星或草根达人来做客，畅谈他们的生活与工作，并着重对一些社会民生类、话题类进行主题性的专题策划。

令人感到惊奇的是，8月28日和8月29日晚8：30在旅游卫视播出的《鲁豫有约》都与数学有关。起初，我是在百度贴吧的数学竞赛吧里看到这个消息的。当时有点不敢相信，但心里已经在默默地期待了。

8月28日播出的是《数学家的文艺人生·丘成桐》（凤凰卫视为9月2日播出——哆嗒数学网注）。初中时我就知道丘成桐，因为数学课本上说他是第一位获得菲尔兹奖的华人数学家。节目播出时，我实在抑制不住自己激动的心情。

豫问：数学大师的人生答卷

“假如中学生只能够学习三门课程，你会为他们选择什么？”

“我会选择数学、语言。这后面的比较困难一点。这是要看每一个学生自己的爱好了。我想假如是我，我会选择物理。可是我其实很爱好历史，所以我会自己看历史。可是会选择念数学。”

“我明白您的选择。您认为数学跟语言是基础的知识，每个人都要学习。除此之外根据自己的兴趣和特长，或者物理，或者历史、化学等，选择一个。”

“您觉得数学对人们最大的意义是什么？就用一句话来解释就好。”

“数学可以用我们最普通讲法，是提供真、善、美，三个很简单的字。”

“数学给您带来最大的快乐是什么？”

“它的美丽，同时它的真实，让我觉得（有）难以想象的奇迹，让我一辈子都花时间在这上面。”

“学好数学需要具备的几个素质是什么？如果用几个词来概括的话。”

“最重要的是有兴趣，同时坚持，眼界要宽广。”

鲁豫还给丘老出了一道“数学题”，丘老答不出来，我也答不出来。听台下一位小朋友说出答案后，我也是醉了。想知道这究竟是一道怎样的题目吗？那就观看这期节目吧！

节目中，丘老向鲁豫通俗地解释了什么是五维空间，展示了他的最新科研成果——三维照相机，分享了他的人生经历。翻开《丘成桐诗文集》，一首《蝶恋花》就让我们充分感受到一位数学家的文艺情怀。

丘老在中学二年级学习平面几何时，就对数学有浓厚兴趣。他觉得这是很伟大的一件事情，用这么简单的公理能够推导出这么漂亮的事情。节目中，丘老反复强调兴趣的重要性，我也很认同这一点。关于奥数，丘老认为，奥数在课余的时候去练，你提起这兴趣，还是有一定意义的。他还指出，奥数的内容是很狭窄的一个方向，需要练的数学比奥数能够提供的要多得多。真正好的念数学的学者，是为了兴趣来念的，不是为了分数来念的。

节目最后，丘老向大家推荐了《数理人文》丛书和《数学与人文》丛书。我在大学图书馆里看过《数学与人文》丛书中的几本，收获颇多。虽然书中有些内容我现在还看不太懂，但这会更加勾起我对数学的兴趣，促使我在数学的道路上更加奋勇前进。

8月29日播出的是《揭秘奥数国家队》（（凤凰卫视为9月1日播出——哆嗒数学网注）。本期节目又会有怎样的精彩呢？

第56届国际数学奥林匹克竞赛于2015年7月4日至16日在泰国清迈举行。来自104个国家及地区的577名选手参加了这次比赛。每个国家代表队派出6名参赛者，用9个小时来解决6个问题。据称，本次考试是由1959年开始举办的奥赛历史上最难的一张试卷。在104支参赛队中，有74支队伍得了0分。

中国队在这次比赛中获得了团体第二名的好成绩，然而，中国选手的出色表现并没有在国内得到一致的好评。

你眼中的奥数是什么？难题？偏题？怪题？有人说：奥数属于5％的学生，但是有95％的学生“被奥数”。节目一开始，国家队队员俞辰捷就明确指出：“我们所从事的数学奥林匹克不是你们理解的奥数，不是有些人可能觉得仅仅是供我们升学、加分的一个工具。”

豫问：奥数国家队队员大拷问

“天赋、努力、兴趣，你觉得哪些是你获得奥数金牌的一个关键？”
“天赋跟努力是前期比较需要的，当然我认为兴趣是包含在天赋里面的。在最后的话，运气是比较重要的。”

“和没有学过奥数但是高考数学成绩得满分的人相比，你觉得你们俩谁更厉害？”
“如果是单单比数学，当然我更厉害。但是如果面对那些高考状元，我觉得他们更厉害。”

“奥数对于你来说更像是什么？A、武器，B、游戏，C、作业？”
“游戏。”

“社会上对于奥数最大的误解，你认为是什么？”
“一，把奥数和小学奥数的混谈。二，把奥数和加分的挂钩。我认为是这两点。”

“对所有奥数班的学生、家长说一句话，你会说什么？”
“如果有兴趣就去做，没有兴趣就不要去做了。”

“你的梦想是什么，和数学有关吗？”
“说起来有点傻，我觉得我没有什么很远大的梦想。此时此刻的梦想就是，好好读书，天天向上。”

节目中，国家队副领队李秋生老师的话打动了我。李老师大学毕业时放弃了做金融，赚大钱的机会，心甘情愿地回到他的母校人大副中，当了一名中学教师。真希望像这样热心教育的人能够更多一些。看到这6位与我年纪相仿的少年，与我有着共同的兴趣——数学，我倍感亲切。兴趣，兴趣，兴趣，重要的事情说三遍。

“我相信故事的力量，我相信温暖的价值，我愿意倾听不一样的人生。说出你的故事。”难得电视上有关于数学的节目，《鲁豫有约》连约两天数学，真的让我心潮澎湃。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

1945年8月15日，日本宣布无条件投降。同年9月2日，在包括中国在内的9个受降国代表注视下，日本在投降书上签字。当时的国民政府于次日（9月3日）下令举国庆祝，放假1天。2014年2月27日，十二届全国人大常委会第七次会议经表决通过，将9月3日确定为中国人民抗日战争胜利纪念日。这次中国对日本法西斯的胜利，是中国近代以来反侵略历史上的第一次全面胜利，不过，我们也付出了惨重的代价——3500万（有可能更多）的人员伤亡。

当时，日本的总人口数也不过7000万，为何日本军国主义者能给中国带来如此灾难，原因还是在于科学、技术与军事的领先。而本文，只和大家一起回顾一下数学学科被日本反超的历史，从中领略一斑。

把时间追朔到古代，从隋唐时代开始，日本就开始向中国大量地学习，其中就包括对数学的学习。《九章算术》、《周髀算经》这些代表古代中国数学辉煌成就的著作，都被日本人带回他们的国家，深入研读。另外，被认为“国粹”的算盘和珠算技术也在后来飘扬过海，进入日本，成为日本人学习的对象。那个时候，数学在日本叫做“和算”，而那个时候日本的数学在泱泱中国面前，就像数学老师面前的小学生一样。

到了明末清初，中国开始大量引进西方数学，1607年，利玛窦和徐光启出版了中文版的欧几里得《几何原本》前6卷。不久后，这个这一译著也传到日本，标志着西方数学开始对远东地区产生重大影响。到了清朝末年的1857年，数学家李善兰和英国人伟烈亚力出版了《几何原本》中译本的后9卷，不久后也被传往日本。同时，李善兰和伟烈亚力还分别在1853年和1859年出版翻译版的《代数学》及《代微积拾级》， 用于西方代数学和微积分学的传播，这两部著作也很快传入日本。那个时候，日本数学还处于和算时期，而《代微积拾级》还是当时日本和算家们能读到的最好的微积分读本。可以说，到19世纪60年代前后，中国的数学的总体水平还是在日本之上的。

然而，数学实力的强弱关系也就是在这个时期发生逆转。

1867年，同文馆设立天文算学管，李善兰担任数学教习。但天文算学管从设立之初，到设立之后一直饱受非议，关于它的存废，一直处于论战之中。甚至有大学士提出：“古今未闻有恃术数（即算学）而能起衰振弱者也。”中国的数学研究，在李善兰去世后，更是无人问津了。

1868年日本明治维新，不久后的1872年日本天皇颁布敕令“废止和算，专习洋算”，下令学校不再教授来自中国的传统古学“和算”，一律改为“西方数学”。

在“中学为体，西学为用”的方针下，晚清政府推出的措施反映出了对表面上的“坚船利炮”的痴迷。在一些工业、制造业的措施上，中日差别不大。但对于包括数学在内的基础学的投入上，基本都晚于日本三、四十年。

1965年，日本横须贺造船所动工。1965年，中国江南制造局成立。

1872年，新桥至横滨铺设铁路。1876年，上海至吴淞铺设铁路。

1879年，千住制绒所成立。1880年，兰州机器制呢局开工。

1887年，东京电灯株式会社成立。1893年，上海电力公司成立。

再来看看和数学相关的基础科学的情况。

1877年，日本东京数学会成立。1935年，中国数学会成立。

1877年，东京大学理学部成立。1903年，京师大学堂格致科（即理科）成立。

1879年，日本学士院成立。1928年，北平研究院成立。

1894年，甲午战争中国战败之后，中国的数学实力已经完全被日本超越。正如张奠宙先生在《20世纪数学经纬》中提到的那样，“短短三四十年间，中日数学实力完全逆转。抚今追昔，令人感慨万千。”

现在我们已经进入21世纪，日本已经成为了公认的数学强国之一。而中国的数学实力在过去100年间，虽取得长足进步，但仍然不及我们的近邻日本。代表数学最高荣誉的菲尔兹奖，中国至今无人获得，而日本已经有小平邦彦、广平中佑、森重文三位数学家获得过如此殊荣。

最后，用李克强总理在一次座谈会的讲话，来为本文结尾：“我们要搞原始创新，就必须更加重视基础研究，没有扎实的基础研究，就不可能有原始创新。国际数学界的最高奖项菲尔兹奖，中国至今没有一人获得。现在IT业发展迅猛，源代码靠什么?靠数学!我们造大飞机，但发动机还要买国外的，为什么?数学基础不行。……，所以，大学要从百年大计着眼，确实要有一批人坐得住冷板凳的人。”

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，基斯·德夫林，斯坦福大学教授 ，原文《What Is Algebra》。
翻译，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。

我们常常听人说小孩子在中学阶段掌握代数是如何如何重要，但是代数到底是什么，她又是否真如人们声称的那样重要？为什么这么多人觉得代数很难学？ 

要回答这些问题可比回答一道常见的代数习题要容易些，令人吃惊的是，几乎没有人能给出满意的答案。 

首先，代数并不是“字母的算术”(Aria: 其实译者在中学就是这么认为的)。在最基本的层面上，算术和代数是思考数的问题的两种不同的方式。(我必须强调这篇文章中我注重的是学校里学习的算术和代数，数学家通常用这两个术语来表示某些更一般的概念。)

让我们从算术说起。她本来指的是用加减乘除四则运算来计算各种数值问题，是数学中最古老的部分，起源于大约一万年前的苏美尔(大概就是今天的伊拉克)。苏美尔社会已经达到了用钱衡量财富和进行商品交易的阶段。其他的货币象征最终让路给了黏土片上抽象的划刻(现在我们认为这是最早的数字)。时光流逝，这些符号逐渐获得了她们自身的意义：数。换句话说，数字起初是以钱的形式产生的，算术则是一种货币贸易的方式。(Aria: 今天的状况其实也差不多是吧...)

需要注意的是，数数使数字和算术的使用提前了数万年。骨头上的刻痕证明人们至少在三万五千年前就开始数数了(大多是数家人、动物、季节、财产等)，人类学家认为他们刻下的就是今天称为"数据记录"的东西。但是这些古人没有数字，也没有任何证据说明他们有任何算术。这些刻痕自身只是记录，它们直接代表着这个世界上的事物，而不是抽象的数。 

此外，算术并不必像学校里教的那样，用符号的操作来完成。现代的方法经历数个世纪才发展起来，在公元千年前半年在印度出现，在后半年被阿拉伯语系的商人所接受和采用，直到13世纪才传入欧洲(因此这种算术现在的名字是“印度-阿拉伯算术”)。在采用这种以符号为基础的印度-阿拉伯算术之前，商人们用一种非常复杂的手指计数或者计数板(板上画有线，线上有可以移动的小珠子；Aria: 听起来跟算盘有点像)来进行运算。算术书上描述了如何用文字进行计算，直到15世纪，符号操作开始成为主流。 

虽然许多人觉得算术难学，但我们大多掌握了这项技能，或者在足够的练习下至少没有挂科。我们之所以能够学会她，是因为算术大厦的基础材料——数字，在我们的周围很自然地出现：当我们数东西、测量、买东西、做小制作、打电话、去银行、查看垒球赛的比分等等。数也许抽象些——你从没看见过、感受过、听到过、闻到过数字“3”——但是数字和我们生活的世界里真实的事物紧密地联系着。 

至于代数，你的思维必须进一步脱离我们的日常生活。在代数中你学着去打交道的"x"们和”y”们表示的是数字，不过这是一种广义的“数”而不是具体的数。人的大脑并不会自然而然地适应这种程度的抽象，要做到如此，需要相当一些努力和训练。 

你必须认识到，代数是一种思维方式，并且和算术的思维方式不同。那些带着x和y的公式和等式，仅仅是在纸上体现这种思维的表示。她们表示着代数，这并不比用一纸音符表示音乐来的高明。不需要符号就可以做代数，好比你不必熟练地读谱也可以演奏乐器。 

事实上，商人和其他有需要的人，在符号形式被推广的16世纪前，已经使用代数长达3000年(这种早期的代数被称为rhetorical algebra"文辞代数"，区别于今天通用的符号代数)。这里有几个帮助你理解算术和(学校里学习的)代数的区别的方法： 

♢ 首先，代数涉及逻辑的思维而不是数值的 
♢ 在算术中，你“使用”数的计算来思考；在代数中你用“关于”数的逻辑来思考 
♢ 算术包括数的定量推理；代数包括数的定性推理 
♢ 在算术中，你用已知的数来计算另一个数；在代数中，你引入了未知数并且用逻辑来确定她的值 

上述的区别应该能让你更清楚地认识到，代数不是用一个或者更多的字母表示已知或者未知的数来做算术。 

比如用一元二次方程求根公式来计算一元二次方程的根，这不是代数，这是算术。 

相反地，首先推导出一元二次方程求根公式却是代数。用标准的配方法和因式分解而不是公式来解二次方程也是代数。 

当学生开始学习代数，他们无可避免地用算术的思维来解决问题。考虑到他们曾经为学习算术付出的苦辛，这很自然，并且他们一开始他们遇到的代数题也是相当简单的(这是对老师而言的)，这种方法也的确管用。 

事实上，一个学生的算术思维越强，在代数中他可以用算术走得更远。例如，许多学生可以用简单的算术解二次方程方程: x²=2x+15，完全不用代数。 

奇怪的是，或者仅仅是看起来如此，那些更优秀的学生认为代数更难学，因为对于代数学习来说，除了最基本的题例，学生必须要放弃算术思维，然后才可能开始用代数来思考。 

值得花这些精力去掌握代数思维吗？当然了——我相信在你历经艰辛地掌握了多数学校代数课本上的知识后，你会得出这个结论的。当今世界，大多数人的确有必要掌握代数思维。比如，如果你想要在像微软的办公软件EXCEL这样的电子表格里编写一个宏来计算格子里的项目，你需要代数思维。仅仅这个例子就能清楚地说明为什么代数而不是算术，现在是学校数学教学的一个目标。在一张电子表格里，你不用做算术，计算机自己会做，而且比人算得更好更快。使用者真正需要做的是，首先创建一个电子表格——计算机并不会帮你做这件事。 

不管你的电子表格是用来计算体育比赛的比分、追踪你的财务、运营公司或者俱乐部、或者计算你魔兽世界（暴雪公司出品的网络游戏，曾经拥有最多的玩家，在中国由网易代理）里角色的最佳装备，你都需要代数地思考如何建立你想要的东西。这意味着你必须使用广义的数而不是具体的数。 

当然，代数的需求并不能让学习代数变得简单——即使我认为比起火车出站和游泳池的放水问题(我们这代人做的题)，电子表格对于今天的学生来说是更有意义和一个不错的应用。在如今这样一国生计依靠科技领先的世界之中，让我们的学生拥有世界所要求的思维是非常重要的。学会使用计算机正是这些技能中的一个。然而使用计算机来计算要求使用者的代数思维。 

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

在一般人眼里，数学家们似乎都很呆，他们“应该”成天拿着演草纸和笔，独自在房间某个角落对着电脑，计算和演化着各种数字、算式、符号和代码，然后冷不丁地来一句：我做出来了！

这样“不食烟火”的生活，很容易把“数学家”和“注孤生”两个本来毫不相干的两个词语联系起来。

然而，数学家Hannah Fry却不这样认为，她坚持数学厉害的人在寻找真爱方面也一定也是高手，因为用数学思维很容易分析出如何找到自己的Mr. Right的策略。

为什么要用数学？这里的一个例子，也许能说明利用一个靠谱的办法规划自己寻求另一半的行为是多么重要。Peter的家住在伦敦，他想找到高智商，高颜值的另一半，那么情况大致是这样的：

Peter附近住了多少女人？——伦敦，400万。

和Peter在适合的年龄范围内的有多少？——20%，还有80万。

单身的还剩多少？——50%，还有40万。

大学毕业的有多少？——26%，还有10400人。

其中，我能看上眼的有多少？5%，5200人。

能看Peter上眼的？5%，260人。

和Peter能相处不错的？10%，26人。

是的最后就剩下26个人 。

实际上无论是帅哥找妹子，还是靓女找男神，无论是通过线下社交圈的交往，还是线上的婚恋、约会网站上的约会，无论是恋爱中的相处，还是老夫老妻的日常生活。数学都能帮助你规划出一个最佳策略，让你在通往幸福的道路上更容易一点。

Hannah Fry给出三点秘诀也许对正在电脑或手机前的你有所帮助，而这些都是经过数学验证或者证明的：

一、 如何赢得线上交友的机会：在线上交友网站上，你的魅力程度无法预测你受欢迎的程度，事实上，让人们觉得你丑可能获得优势。

二、如何选择完美伴侣结婚：37%原则和次优选择原则，会让人在20多岁的末期找到最好的。这不能保证100%成功，但已经找不到更好的办法了。

三、如何避免离婚：不要忽略矛盾，不要让一些琐碎的问题堆积成大问题。数学博弈论的方程中的消极阈值能够解释这一点。

不过，这一切的讨论都限于理论。要找到自己满意的对象依旧不是件容易的事。你还是得自己亲自去做应该做的事情。今天是七夕节，本应当是你对心仪对象做点什么的日子，而你却还在把弄着电脑或者手机看我这篇无聊文章。——这样的机会不把握，你真得注孤生了——赶紧出门约会吧。

等等，出门之前，我最后告诉你让你看此文的目的——正如Hannah Fry在视频结尾说的那样： 我希望你们中的一部分人，能够了解一些关于爱的数学，能够让你爱数学稍微多一点。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

上海交通大学日前公布的2015年世界大学学术排名，前三名还是由美国学校占据。它们是哈佛大学、斯坦福大学、麻省理工学院。以这个榜单来看，美国在当今世界学术中心的地位不可动摇。

数学学科排名方面，美国院校依旧表现强势，占据前十名中的五个席位，并包揽前四。而英国和法国分别占据两席。第一到第四分别是：普林斯顿大学、斯坦福大学、哈佛大学、加州大学伯克利分校。另外一所美国名校加州大学洛杉矶分校位列第八。英国的牛津大学和剑桥大学分获第七和第九，法国的巴黎第六大学和巴黎第十一大学分获第五和第十。 前十中的唯一一个非美英法大学的席位被沙特阿拉伯的阿卜杜勒阿齐兹国王大学占据，位次是第六。

中国高校有42所大学进入榜单。在中国的高校的排名中，排名第一的是香港城市大学，世界排名第22名。第二名是兰州大学，世界排名第37名。兰州大学成为内地排名最高的大学，甚至超过了北大、复旦等传统的数学强校。中国排名第三的是香港中文大学，世界排名第39名。

哆嗒数学网下面再为你奉上所有中国高校的排名。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》

翻译，小米，哆嗒数学网翻译组成员。

很多时候，人们认为数学公式只是为了记忆来应付考试的。但有些时候，数学公式的价值却远超于此——它们本身就是艺术品，为纯粹的享受而生。今天我就收集了以此为目的的10个最惊人、眩目和疯狂的数学公式。这些方程应该能向任何人说明，数学不仅仅只是公式的记忆。

1. 欧拉恒等式

这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。

一个更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。

2. 欧拉乘积公式

等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发现的。它联系了出现在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与出现在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。

欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。

3. 高斯积分

函数e^(-x²)本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负 无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。

由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。

4. 连续统的基数

上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N > N。

一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。

5. 阶乘函数的解析延拓

阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……

同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。

6. 勾股定理

勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三边的联系，其中a和b是直角边长，而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形联系了起来。

7. 斐波那契数列的通项

这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和），却很少人知道有一个公式能够计算出任意某一项斐波那契数：这就是上面我们给出的公式，公式里面F(n)代表第n个斐波那契数。也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要去计算前99个，而只需要把100代入公式。

值得注意的是，即便在计算过程中出现了许多根号和除法，最后的答案总是一个精确的正整数。

8. 巴塞尔问题

这个公式告诉我们，如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加，你将会得到\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程（欧拉乘积公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我们可以说ζ(2)的值是π²/6。

9. 调和级数

这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些不断变小的数（最终趋向0）加起来，最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方，和却是一个有限的值（答案是π²/6）。如果仔细观察调和级数，你会发现它正是ζ(1)。

10. 素数计数公式的显式表达

这个方程的重要性体现在：

素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素数的出现没有显然的规律：对于一串连续正整数，有时候你会找到许多素数，有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。

很长时间以来，数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给定数素数个数的显式表达。

以下是各个符号的意义：

π(x): 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。

μ(n): 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0， -1或1。

Li(x):  对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从0到x的积分。

ρ:  黎曼ζ函数的任意非平凡零点。

令人吃惊的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数！这说明，给定一个实数，我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明，素数的分布存在某些规律，只是我们现在还不能理解罢了。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，小米，哆嗒数学网群友。

1827年，英国植物学家布朗观察了水中悬浮花粉的运动轨迹，他发现，尽管每一时刻花粉的运动杂乱无章，但是却遵循如下的统计规律：在时间T内，花粉运动的平均位移正比于sqrt(T)( sqrt(T)表示T的算术平方根，下同——哆嗒数学网注)。这就是布朗运动的来历。爱因斯坦在1905年发表的关于布朗运动的论文中，利用分子动力学分析布朗运动，提出花粉的运动是水分子无规律撞击的结果。这是第一次对布朗运动的数学解释。但布朗运动的故事并未就此结束。1923年，美国数学家维纳第一次给出布朗运动作为随机过程的数学构造，从此布朗运动成为了概率论中严格化的数学对象。因此，布朗运动在概率论中也称为“维纳过程”。

那究竟什么是布朗运动呢？我们还是想像着花粉的运动。首先，既然花粉的运动是水分子撞击的结果，那么任一时刻之前和之后，花粉的运动应该遵循相同的规律，而且彼此是独立的。其次，花粉运动的规律应该具有尺度不变性。花粉在时间T内平均位移正比于sqrt(T)，无论T是1秒钟、1分钟还是1小时，都是一样的，而且sqrt(T)前面的常数也应该与T无关。更进一步，当我们通过正确的时间空间尺度去看观察布朗运动时，观察到的物理规律应该完全一样。例如在10倍的放大镜下，视野中花粉移动1厘米用了1秒钟；那当我们去掉放大镜后（相当于把长度缩小了10倍），同样观察到1厘米的移动就需要100秒钟（相当于钟拨慢了100倍）。这个100：10符合T：sqrt(T)的关系，因而是正确的尺度变换。另一个例子是我们把（1维）的布朗运动轨道画在坐标系中，横轴是时间，纵轴是空间。假设我们把时间轴放大4倍，而把空间轴放大2倍时，看到的轨道应该是一样的（符合相同的规律）。聪明的读者可能看出来了，和雪花、海岸线一样，布朗运动的轨道也是分形。

接下来我们要谈谈随机微积分了。随机微积分的最重要的对象就是布朗运动。记得在高等数学的第二型曲线积分中，我们会遇到形如F(t)ds(t)的积分微元，这里s(t)可以是空间中一个粒子运动的轨迹，F(t)是t时刻施加在粒子上的力，那么整个积分就是某段时间内粒子被做的功。高等数学里面我们学习了如何把微元F(t)ds(t)写成F(t)*s'(t)dt的形式，从而问题转化成为了第一型曲线积分。如果我们的粒子像花粉一样做布朗运动，那么微元就应该写作F(t)dB(t)（注：B(t)表示布朗运动--B是布朗的首字母）。我们能不能定义布朗运动的微分B'(t)呢？最短的答案是：不能。因为我们知道，布朗运动在时间T内的位移是sqrt(T)，在微元的情况下就是dt的时间微元里面运动了sqrt(dt)。但是微分（我们这里是速度）的定义是空间微元除以时间微元，我们得到了1/sqrt(dt)，这是一个无穷大量！所以高等数学中通过微分来转化问题的方法在这里失败了。

有没有其它方法呢？布朗运动的导数虽然没有意义，但是并不代表积分也没有意义。历史上随机积分都好几种不同的定义方式，我们接下来要介绍概率论中应用最广的一种，也就是日本数学家伊藤清首先发展起来的伊藤积分。对时刻[a,b]内的布朗运动，我们可以把[a,b]分成很多个小区间a=t(0)<t(1)<...<t(n)=b，在每一个小区间[t(k),t(k+1)]上认为布朗运动是直线，受力F也是恒力F(t(k))。如果是普通的积分，这一步就是定积分的黎曼和逼近。因为布朗运动不可导，所以对每一条轨道而言，当我们把小区间越分越细时，黎曼和并不存在一个极限。但是，我们并没有充分利用布朗运动的随机性。对于小区间的每一个分划，因为轨道是随机的，所以黎曼和也是一个随机数，用概率论的语言来说就是随机变量。每一条轨道上，随机变量因为轨道的不可微性而不存在极限，在概率论的框架下，这只能说明不存在“几乎处处”的极限。但这只是概率论中最强的一种极限形式。对于随机变量而言，除了几乎处处收敛，还有依概率收敛、Lp收敛、依分布收敛等等，这些概念相信接触过初等概率论中大数定律、中心极限定理的读者都不会陌生。在更弱的收敛意义下，那些黎曼和确实存在极限（当然极限也是一个随机变量，因为布朗运动本来就是随机的）。既然积分能够被定义，而积分和微分又是相反的运算，所以微分在某种意义下也可以说是存在的，这也就是为什么在文献中布朗运动也是可以被“求导”的，而“随机微积分”也就名副其实了。

值得注意的是，伊藤积分和普通微分满足不同的运算规则。像我们熟知的莱布尼茨法则、牛顿-莱布尼茨公式都需要做额外的修改才能在伊藤积分中成立，这些规则可以泛称为“伊藤公式”。伊藤积分还满足概率论中的鞅性质，而鞅又是概率论中一个很好的研究对象。另一方面，注意到我们定义黎曼和时取左端点F(t(k))而非任意点吗？这可是很有讲究的。取左端点、右端点抑或是中点对应3种不同的随机积分，它们满足的运算法则也不相同，其中也只有伊藤积分满足鞅性质。例如，取中点对应的Stratonovich积分是通过光滑化布朗运动再作逼近得到的，它不满足鞅性质，却与普通微积分满足相同的牛顿-莱布尼茨公式，因此深受物理学家们的喜爱。

看到最后，有的读者可能要问，为什么要费那么大力气去定义关于布朗运动的随机积分呢？其实随机微积分的运用十分广泛。例如股票市场中一支股票的升降可以看作某种布朗运动，而持股人的决策--什么时候卖出或买入多少--就和前面例子中的力F充当着相当的作用。随机积分的结果恰好就是一段时间能持股人在给定决策下的收益！知道了这一点，对金融数学中频繁用到随机积分也就不会奇怪了。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，浪荡游侠，哆嗒数学网群友。

在上一章中，我们提到统计学中有一些经典模式，这些模式或多或少有一定的道理，而且能很大程度上简化模型。当你无从入手时，这些模式也许会给你一些启发，或者起码能给你一个出发点。

1、平稳性假设(smooth)

物理学中瞎逼求导的坏习惯百年来屹立不倒。很多东西在数学上我们无法确定它是否可导，但我们总愿意给出光滑性假设或平稳性假设(反正英文中都是smoothness)。这个直觉沿用到了统计学中。我们希望信号非常光滑，比如音乐的音调不会突然变化，无噪点图上颜色的变化近乎平稳，人的习惯不会突然变化，视频的图像具有连续性。从这些例子来看，这个假设还是有一定道理的，起码与我们的经验感觉相符。

下面说说统计学中的噪声。统计学中的噪声一般都是白噪声或布朗运动这些七里拐弯，乱七八糟的东西，它们简直是平稳性的天敌。这样，信号与噪声就有了区别，我们有了足够底气来分离它们。

在平稳性假设下的统计可以用两个字概括——平滑。其实数学里有专门的一个分支来研究平滑，就是调和分析。所以在平稳性假设下，调和分析就可以大展身手了。很多统计方法实际上就是移用调和分析的工具，比如用Fourier变换将无限维变为可数维是调和分析中的技巧，再如非参估计里的kernel就是调和分析中的approximate identity。我知道到了这里我已经显得神神叨叨，那么这一节就这么结束吧，我们讨论下一个经典模式。

2、稀疏性假设(sparse) 与 同质性原则(homogeneity)

在高维统计问题中，要估计某个量，我们往往要考虑成千上万个因素。但这些因素中很多都是没用的。比如要估计一个人的智商，给你今天降水量多少显然起不到什么作用，我们要找到像 看不看韩剧，转发没转发过锦鲤这样的关键性因素。如果一个因素提供的信息很少而掺进大量噪声，估计的质量反而要下降。所以我们有稀疏性假设：对一个事件产生重大影响的只有很少几个因素，影响小的因素我们索性将其置为0。

但是我们如何将这些“重要因素”筛选出来呢？人工选择是工科干的事，况且有时看似无关的因素实际却很重要。统计归根结底是一门关乎数据的科学，我们希望由数据来告诉我们哪些是重要因素。在数学中，也有一门近来兴起的分支来研究稀疏性问题，称作“压缩感知”，代表方法是L1惩罚，当然也有很多其他的方法(group lasso, SCAD)。它的好处是可以自动筛选重要的变量。

构建模型时也可能遇到这样一种情况，在诸多变量中几个变量都起作用，但是它们起的作用都相同，这就是所谓的"同质性(homogeneity)"。这种情况用压缩感知的方法同样可以解决，不过之前要做一些技术性处理。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

今天，数学已经渗透到每个人生活的各个方面，可以说已经无处不在。虽然你网上支付的时候不会想到密码学中的数论，坐飞机时候也不会想到空气动力学的微分方程，但数学就在那里默默的发挥着作用。

军事科学也不例外，无论是尖端武器设计还是战斗指挥决策，数学已经渗透军事领域的各个层面。甚至，数学对战争的作用可能是决定性的。有人曾经用这样话来突出数学在未来战争的作用：一战是“化学战”，二战是“物理战”，如果未来再次发生世界大战，那一定是“数学战”。

下面五个人，在数学界他们已经大名鼎鼎，虽然他们也许从来没真正在军中服过役，但却发挥着优秀军人的作用。为保卫家园、维护和平做出过不可磨灭的贡献。

阿基米德：“数学之神”一己之力击退罗马军队

阿基米德在数学上有着“数学之神”称谓。有一次罗马军队来犯，他连夜研发了起重机和投石车，从而击退罗马军队。当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎；他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡是靠近城墙的敌人，都会被投石车投出石块砸中。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人”。

图灵：计算机科学之父破译密码，扭转盟军的大西洋战场战局

图灵有在军队服役过，他可以说是真正的军人。二战期间，作为主要参与者和贡献者之一，在破译纳粹德国通讯密码的工作上成就杰出，并成功破译了德军U-潜艇密码，为扭转二战盟军的大西洋战场战局立下汗马功劳。另外，他还协助破译德军著名的密码系统“恩格玛”，帮助盟军取得了二战的胜利。2015年奥斯卡最佳改编剧本奖《模仿游戏》就是讲述图灵的这段故事。

冯·诺依曼：原子弹、氢弹和计算机

1943年，冯·诺依曼以顾问身份参与研制原子弹的“曼哈顿计划”。他主导完成了在原子弹爆炸设计中的关键计算。由他团队完成的EDVAC方案，是计算机设计的一座里程碑，这个方案使得原子弹的研制工作顺利完成。他还参与了原子弹的投弹目标地点的决策。二战结束后，冯·诺依曼研制出来当时最快的计算机，帮助美军完成了氢弹研制的计算工作。

维纳：因火力控制项目成为控制论之父

二战期间，维纳接受了一项与火力控制系统有关的工作，由此建立了预测理论并将其应用于防空火力控制系统的预测装置。希特勒的空军优势给同盟军造成很大的困难，英国面对德国的空袭，要求美国帮助增加地面防空力量。维纳认为：潜水艇和轰炸机的战斗是两个我们应用数学帮助制服的主要威胁。而维纳的数学家生涯也因为这段军方项目的经历产生了质变，促使他的跨时代的论文《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》在1948年横空出世，使得维纳进入伟大数学家行列。

柯尔莫哥洛夫：重新制定苏联军队轰炸计算系统为斯大林的解忧

柯尔莫哥洛夫在数学上是绝对的名声显赫，他几乎与维纳在相同的时间研究火力控制，只是服务的对象变成了苏联军队。当时，苏联的空军力量就德军被彻底毁坏。斯大林试图将民航机改造为轰炸机来重建空军。但民航机速度太慢，无法预测和控制打击目标所需要的时间。柯尔莫哥洛夫等苏联数学家重新制定苏联军队的所有轰炸计算系统，消除了斯大林的烦恼。此外，他还在战争期间发展了平稳随机过程的理论。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，浪荡游侠，哆嗒数学网群友。

前面对基础统计学的讨论比较简单，看官可能已经昏昏欲睡了，那么现在就来点有难度的。尽管在我看来“大数据时代”与“互联网时代”是两个不相同的概念，但是大数据并非炒作。所谓的大数据并不仅仅是数据量的增多，更是体现在数据的维数增大，数据的复杂度增高。所谓的统计不再是求个均值，而是利用一切数据的关联，从微弱的信号中提取信息。

1、大数据与统计模型

大数据是还海量信息与噪声的混杂。噪声与信息本是同根生，只不过信息具有一定的模式。信息的模式至关重要。当金子混在沙子里时，你可以将其分离，但沙子混在沙子里，就不可能分离了。模式便是区别沙子和金子的试金石，它决定着信息与噪声能否分离，用何种方式分离，能分离到什么程度。这种模式往往是从信息的物理规律推出，或者脑洞大开猜出。一些常见的模式我们将在下一节中进行总结。但是不论如何，你必须要对这种模式有信仰。比如你认为股市好和星座运势有关，从数学上来讲，这并没有什么问题，这也是为什么统计学用到如此之多的数学方法，却永远成为不了一门严谨的科学。

在很多问题中，我们希望从相关数据得到某方面的信息。在数学上，最理想的就是求条件期望（可以证明条件期望在最小均方误差原则下总是最优的）。但是条件期望在绝大多数情况下并不能求得，因为我们不知道这些数据内部的机制到底是什么样的。我们只能猜测这些机制具有什么特性。可如果我们猜得太多就和主观臆断没有什么区别了。所以我们往往退而求其次，假定一些可能模式，然后统计推断出一个大致结果。

2、机器学习的启发

对于大数据的绝大多数问题，如商品推荐、金融预测、基因定位、信号处理，我们所面临的维数都是巨大的，而且数据的形式记为复杂，事实上，我们是在一个极大的向量空间乃至函数空间寻找一个真值。在如此大的空间内，即使大如大数据的数据量也显得捉襟见肘。这时聪明人会选择“尽力”而非“尽善尽美”。

为了阐述下面的统计哲学，我们先来看一下误差的构成：

总误差=模型内部误差+模型逼近现实误差

对于模型内部误差，往往可以通过数学的方法精确分析并优化，但是模型能从多大程度上逼近现实就难说了。所谓的模型就是我们不知道现实而“猜”出来的，我们不但无法减小其误差，甚至量化分析也做不到。对于线性回归，就是人们干脆放弃治疗，索性不去管逼近误差。可不得不说傻人有傻福，这个方法在多数情况下还挺管用。然而有一点是可以肯定的，模型越复杂越能更好地逼近现实。可是，如果我们构造一个非常非常复杂的模型，那么需要估计的参数空间又变得非常大。对于数据量一定的情况下，我们不能盲目地扩张模型，如果消耗数据的幅度大于模型逼近现实的幅度，这个扩张就是失败的。

我们要找到恰如其分的模式来构建模型，使模型既能很好地逼近现实又不至于令参数空间过于庞大。这句话说起来容易做起来可就难了。机器学习为我们提供了一条新思路。计算机界的高富帅基佬们可不关心理论性质，他们处理这类问题一般将模型放得很复杂，然后通过极富启发式的方法来进行估计。他们的出发点并非假设，而是根据主观经验直接构造算法。这类算法有一定的适用空间，他们不知道空间具体是什么，但是经验使得他们对这些空间的某些性质有了模糊的把握，所以这类方法往往能在现实中取得较好的效果。于是在借鉴他们算法的同时，也需要一批统计学者来给他们擦屁股，将算法适用空间中隐藏的模式明确出来。

3、估计的界限——知止不殆

从大数据中提取信息的基础是我们相信数据中或多或少含有某类信息，尽管不多，但当我们把它们聚集起来时，还是足以给我们一定的启发。这么想其实是非常有道理的，毕竟狗屎里也有少量的金原子。但是如果你想要从狗屎里炼金，那么只能说你too young, too simple, sometimes naive.

数据中含有的信息量是有限的。我曾见过很多人利用过往的金融数据企图准确预测下一天的价格。他们或摆弄不同模型，或尝试不同算法，偶尔能蒙中一两次，但最终一败涂地。诚然，如果你告诉我所有信息，大致公司财务，小至每个投资者的心情，准确预测股市不是不可能。但是仅仅利用过往交易数据，那么预测准确度至多只能达到差强人意的地步。人们的交易习惯是含有一定规律的，这是人性使然，但是第二天价格的大多数信息绝不包含在过往数据中。金融定价中多采取“鞅”模型，在该模型下不可能通过建立在过往数据上的策略赚钱(Martingale Representation Theorem)。鞅模型取得巨大成功本身就说明过往数据中并不含有很多信息。当然，通过高频交易还是能使得这些微量信息起到一些作用。

言归正传，在我们进行统计推断时，我们要清楚统计推断的界限。当无法改进结果时，我们就不必浪费精力在上面了。在统计学内部也有一整套框架来刻画这个界限，最著名的属Minimax理论(统计决策)和复杂度理论(machine learning)。老子云，知止不殆，当达到山的顶峰时，再爬就是往下了。正如某位大牛经常说的一样：不是我的方法不好，是这个问题太难。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

中国队在泰国清迈以极微弱的劣势输给美国，没想到会有那么多人讨论。遥想去年，哆嗒数学网的小编报道中国队获得冠军的时候，得到的最多的回复是：“他们是做题的机器。”

于是，中国夺冠是应试教育的失败，丢冠是数学教育的失败。无论怎么样，奥数都会被评价为失败者——这是怎么了？

本文整理了几个关于外国人夺得国际奥林匹克竞赛冠军后的反映，来和大家一起看看，一起思考奥数是什么，或者说奥数应该是什么？我们是不是让“奥数”它背负了本来不应该它来背负的东西？

这次，击败中国的是美国，美国白宫(美国总统官邸)在其官方推特(相当于官方微博)发表推文祝贺美国队自1994年，21年来，第一次获得第一。

欧美一些媒体和网站纷纷撰文，以“破天荒”、“爆冷”、“奇迹”来形容这次美国夺冠。在这些文章之中，笔者找到的在《华盛顿邮报》网站上的这篇文章，最为热血，是这样描述的：

“1980年，美国冰球队制造一个巨大的冷门，这是冬奥会历史上最大的冷门之一。美国队以4比3的比分战胜了巨无霸苏联队，扫清了夺冠的障碍，并最终获得金牌。这场比赛史称‘冰上奇迹’。”

“35年后的今天，美国队又制造了一个惊世骇俗的冷门。”

“这次胜利来自一堆数字而不是冰鞋，带来这次胜利的也不是满负装备的冰上战士，而是一群十几岁的少年。”

这篇文章还援引美国奥数对主教练对这次奥数第一得评价：“这关乎着国家的荣誉！我们之所以如此兴奋，是因为过去5年多来我们一直获得第二或者第三，要获得第一简直太难了。我们的对手中国队是冠军的常客，他们有四倍于我们的人口。人口上我们不占优势。”——当然，我们哆嗒数学网的小编队“奥数人口优势论”并不完全认同。

提到人口，不得不提到世界上的另外一个人口大国——印度。虽然印度这回比赛只获得37名，但美国队里有两个印度血统的队员也引起了一些印度网站的关注。IndiaWest网站以《印度裔美国人带领美国队夺得21年来第一个国际奥数冠军》为标题介绍了美国队夺冠的消息。看来，印度人也在想方设法的在奥数上找给自己长脸的机会。

我们再把时间转到2012年。这一年，我们中国队同样没有得到这次国际奥数竞赛的第一，输的对手是韩国。

2014年，韩国首尔举办了国际数学界最高规格的会议——国际数学家大会。这次会议朴槿惠总统也到访参加。大会举办者录制了一个数学家大会的宣传视频，除了介绍数学以及数学家大会的历史外，也介绍了近年来的韩国数学成果，其中专门把2012年国际奥数夺冠的事件做了进去。下面视频的1分50秒的截图为证。

总之，既然是比赛，就会有输赢。即使第二名，全世界也只有一只队伍比他们更好，这本当是应该祝贺的事情。祝福这些队员们。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

为了照顾到广大浑浑噩噩的群众，在这节之前，首先要声明一下，所谓的估计量都是随机变量，你每生成一次数据，用同样方法得到的估计量可能截然不同。我们无法控制数据的生成，但是能找到一个很屌的方法，使我们的估计量在多数情况下尽量准确。

在学习数理统计时，我们都会学到评判估计量的三大原则：无偏性，有效性，一致性。水平比较高的老师也会讲到第四个原则：最小均方误差原则。我们在统计推断时默认这些原则，它们是人为规定的，而非某种公理性或定理性的东西。我们不禁要问，为什么要如此规定这些原则？比如，一个统计量为什么要无偏呢？是因为它长得帅吗？您别说，对于最后一个问题可能还就是因为它长得帅。实际上，这些原则都是从好的统计量中总结出来的，比如用几个观测的均值来估计其期望，均值具有无偏性，有效性，一致性，于是这些原则就总结出来了。下面我们对这些原则一个一个地讨论。

1、无偏性 is a piece of shit

所谓的无偏估计量就是它的期望恰好等于原参数。无偏估计量的优越性是非常直观的，在大数定律的保证下，它能以较快的速度收敛到原参数。如果让你列举什么是一个好的估计量，估计你第一个想到的就是无偏性。而且无偏性在数学上有一些非常优美的性质，比如很多情况下你可以找到一个最好的无偏估计量(一致最小方差无偏估计)。然而，这并不妨碍它是一坨shit。

你想想无偏性到底是什么呢？期望等于原参数有什么用呢？用一个N(θ,100)的无偏随机变量X来估计θ，如果θ=0，你估计出来的很可能是5，或者8，这样的估计量你敢相信么？

如果一个无偏估计量概率集中在真值周围，那么这个无偏估计量是可靠的。可惜无偏估计量在很多情况下并不符合这条性质。事实上，在高维统计中，无偏估计量是不可接受的(inadmissable)，因为你总能找到一个比无偏估计量更靠谱的有偏估计量，在各个方面都要胜无偏估计量一筹。所以，无偏估计量可能仅仅是长得比较帅而已。在这个看脸的世界，有时长得帅就够了。

2、有效性——渣男的评判标准

一个估计量如果分布得太分散，那么这个估计量一定是个花心大萝卜。比如你生成一组数据 估计量是1，另一组数据 估计量是100,。这样的估计量绝非居家好估计量。我们希望它的概率尽量集中，这就是有效性。光有有效性是不够的，比如你就拿0做估计量，稳定得不行，但是离真实估计量十万八千里，也不靠谱。但是作为一个评判标准，有效性还是够格的，如果一个估计量都不具有有效性，不论他说多么爱你，都不要相信他。

3、一致性——众里寻他千百度，只要钱多，参数却在，灯火阑珊处

一致性指的是当你样本趋于无穷时，你的估计量依概率趋于真实参数。也就是说，只要你的样本够多，一致估计量总能给你一个靠谱的参数。在有限样本时，这个评判标准仍然存在一定局限。然而统计学上，它仍不失为一条重要的评判标准。如果多采集样本都不管用，那只能看脸了。

4、最小均方误差原则——最靠谱的准则

一个估计量的均方误差可以表示为：$E(\hat{\theta}-\theta)^2$。在最小均方误差准则下，我们选估计量要使其均方误差尽可能小（似乎是句废话）。

为什么说这条准则是最靠谱的呢？首先，如果均方误差小，这个估计量一定比较靠谱，即以很大的概率在真实参数旁边。而且该准则跟样本数量无关，不管样本多少，估计量都会有一个均方误差，只要均方误差够小，这个估计量都靠谱。

根据mean-variance分解：均方误差=偏差+分散度

也就是说最小均方误差事实上是无偏性与有效性的结合，最小无偏估计量的概率分布既集中，而且集中在真值周围。

均方误差事实上是一种距离(统计决策上称为“损失”)，是参数空间内真值与估计量之间的欧式距离。于是我们要问，我们是否可以将欧式距离扩展至一般的距离？答案当然是可以的，对一般距离的探究构成了统计决策理论的基础。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

第56届国际数学奥林匹克(IMO)于2015年7月4日至16日在泰国清迈举行，来自104个国家及地区的577名选手参加了这次比赛。美国队以185分获得团体总分第一，中国队以181的得团体总分屈居第二名，第三名是韩国队，161分。美国队同时也得到了美国白宫官微发表的祝贺。

值得注意的是，美国队上一次获得IMO冠军还在21年前，21年来美国队其实获得过6次亚军，但每次都因为有更强对手而和冠军失之交臂。其中，中国扮演这样的对手5次。而近10年来，这是中国队第三次让冠军旁落，还有两次是2012年和2007年，对手分别是韩国和俄罗斯。

不管怎么样，第二名也是非常优秀的成绩，向中国队表示祝贺。

另外，上届的第三名中华台北队本届滑落至18名。而中国香港和中国澳门分获得28名和35名。而个人方面，代表加拿大参赛的华裔选手宋卓群(音译)获得大会唯一一个个人满分，并获得金牌。通过这枚金牌，宋卓群以5枚金牌的成绩，成为历史上获得IMO金牌最多的选手。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者，浪荡游侠，哆嗒数学网群友。

E.T.Jaynes所著的《概率论沉思录》自出版以来广受好评。然而这本厚达700余页的书所讲述的确并非概率论，而是统计。它的英文名字实际是”Probability Theory, The Logic of Science”，翻译过来就是“概率论——科学的逻辑”。严格来讲，统计的是不严谨的，很多东西我们无法根据公理推出，但是它符合我们的常识，就像物理基本定律一样。从某种角度讲，统计更类似于一种信仰。下面我们看看这种“信仰”是如何产生的。

假设我约你赌钱，规则是投均匀硬币，正面你赢100块钱，反面我赢100块钱。投了100次，100次全是反面，那么此时你已经倾家荡产了。比起接下来几年泡面度日，你更可能质疑我是否在“出老千”。这时要做的就是假设检验：再投100次，如果还是全是反面，那么就说明我在“出老千”。然而，均匀硬币出现这种情况可不可能呢？是可能的，只不过概率很小。你可能就是个喝水都塞牙的倒霉蛋。但是在现实中，我们所能想出的最好的方法也不过如此了。所以古典统计的逻辑简单来说就是“相信自己不是一个倒霉蛋”。

曾经哆嗒数学网上有这样一个问题，大意如下：

已知随机变量X_i , i=1,2,...,10服从形式为N(μ,10)的正态分布，要对是否有μ=0进行假设检验。

通常的步骤是，我们算出X_i均值X，它服从N(μ,1)。该均值只有5%的概率落在[-2,2]外。所以，如果这个均值落在了[-2,2]，那么我们接受μ=0，如果它落在[-2,2]外面，我们坚信自己不会这么倒霉，所以我们认为μ≠0。

那个问题是，均值落在[-0.01,0.01]之内的概率也很小，为什么不选则落在[-0.01,0.01]时拒绝μ=0呢？其实他这么说在逻辑上没有错误，然而并没有什么卵用，因为我们不关心它是否在[-0.01,0.01]。假如我们还是在赌博，当然我们希望进行的是一场公平的赌博。我们扔一个同分布的Χ₀出来，然后我付给你Χ₀万元。如果均值是[-0.01,0.01]并没有什么问题，但是如果均值落在[-2,2]外，我们就得好好谈谈了。

这里注明一下，选什么区间也不是绝对的，要根据问题而定。有时候还就得选[-0.01,0.01]作为拒绝域。

总结：与概率论不同，统计强烈依赖于你相信什么 与 关心什么。从这一点上讲，统计与信仰没什么不同。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

第1题 我们称平面上一个有限点集$\mathcal{S}$是平衡的，如果对$\mathcal{S}$中任意两个不同的点$A,B$，都存在$\mathcal{S}$中一点$C$ ，满足$AC=BC$。我们称$\mathcal{S}$是无中心的，如果对$\mathcal{S}$中任意三个不同的点$A,B,C$，都不存在$\mathcal{S}$中一点$P$ ，满足$PA=PB=PC$。
(a)证明：对每个整数$n\ge3$，均存在一个由$n$个点构成的平衡点集。
(b)确定所有的整数$n\ge3$，使得存在一个由$n$个点构成的平衡且无中心的点集。



第2题 确定所有三元正整数组$(a,b,c)$，使得
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ab-c~,~bc-a~,~ca-b $
中每个数都是$2$的方幂。
($2$的方幂是指形如$2^n$的整数，其中$n$是一个非负整数。)



第3题 在锐角三角形$ABC$中，$AB>AC$，设$\Gamma$是它的外接圆，$H$是它的垂心，$F$是由顶点$A$所引高的垂足，$M$是边$BC$的中点。$Q$是$\Gamma$上一点，使得$\angle HQA=90^\circ$，$K$是$\Gamma$上一点，使得$\angle HKQ=90^\circ$。已知点$A,B,C,K,Q$互不相同，且按此顺序排列在$\Gamma$上。
证明：三角形$KQH$的外接圆和三角形$FKM$的外接圆相切。

第4题 在三角形$ABC$中，$\Omega$是其外接圆，$O$是其外心。以$A$为圆心的一个圆$\Gamma$与线段$BC$交于两点$D$和$E$，使得点$B,D,E,C$互不相同，并且按此顺序排列在直线$BC$上。设$F$和$G$是$\Gamma$和$\Omega$的两个交点，并且使得点$A,F,B,C,G$按此顺序排列在$\Omega$上。设$K$是三角形$BDF$的外接圆和线段$AB$的另一个交点。设$L$是三角形$CGE$外接圆和线段$CA$的另一个交点。
假设直线$FK$和$GL$不相同，且相交于点$X$。证明：$X$在直线$AO$上。



第5题 设$\mathbb{R}$是全体实数的集合。求所有的函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,满足对任意实数$x,y$，都有
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$



第6题 整数序列$a_1,a_2,\cdots$满足下列条件：
(i) 对每个整数$j\ge1$，有$1\le a_j\le2015$；
(ii) 对任意整数$1\le k< \ell$，有$k+a_k\not=\ell+a_\ell$。
证明：存在两个正整数$b$和$N$,使得
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left|\sum\limits_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2$
对所有满足$n>m\ge N$的整数$m$和$n$均成立。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者：浪荡游侠，哆嗒数学网群友 。

在很多教材中，概率论与数理统计都是写在一起的。这是为了快速让读者进入概率统计的世界。然而对于真正有志于概率统计研究的人来说，这是一种非常不负责任的做法。二者截然不同的逻辑使得很多初学者将概率论中的概念与统计学中的概念搞混。

1、概率论——没有真正不确定性

我们很多人认为概率论是研究不确定性的科学，但事实上概率论中没有真正的不确定性。研究不确定性是统计学做的事情。就拿我们所熟知的随机变量X来说，很多初学者认为X是一个可以取很多值的数，取有些数的概率高，有些数的概率低。这么理解对不对呢？在统计上是可以的，但在概率论里就有失偏颇了。

在概率论中，随机变量X其实是一个映射，一个事件空间Ω到R上的映射，也就是说它实际上是一个函数。如果把它写全就是X(ω),ω∈Ω。你会觉得f(x)有不确定性吗？为什么我们会感觉随机变量有不确定性呢？因为它有一个分布。这个分布实际上是继承了原事件空间上的概率。到目前为止，我们已经将随机变量的“不确定性”归结为事件空间上的“不确定性”。我们继续来看事件空间上的不确定性是怎么一回事。

比如我们投硬币，一般认为正面概率为0.5，背面概率为0.5。我们投2次硬币，便有4种可能情况：{正，正}、{正、反}、{反，正}、{反，反}。我们不知道哪种情况会发生，所以我们认为这个事件有不确定性。然而，在概率论中，我们不考虑哪种情况会发生，我们想的是，4个事件已经在那里了，只不过每个事件自带0.25的“概率测度”。就像打dota时有很多英雄，每个英雄带有不同属性一样，你会认为有不确定性吗？

2、统计学——逆概率的应用

如果说概率论没有任何不确定性，那么在统计学中你则永远无法知道真相。

还是举投掷硬币的例子，你投了100次，发现硬币100次全是反面，于是你估计反面概率100%，但是也许反面概率只有99.999%或者99.998%呢？也许你就是个倒霉蛋，反面概率只有1%，但偏偏这100次都让你碰上了。

如果你仅仅拥有数据，你永远无法无法确切地知道事情的真相。如果说概率论给了你一个没有不确定性的框架让你产生数据，那么统计就是让你拿着这些数据去反推框架。从本质推现象与从现象推本质，二者的难度截然不同，就像放屁容易，但放出的屁再收回去就难了。统计学做的就是（此处省略6字）。

总结：概率论与统计学是两门截然不同的科学。前者属于数学，没有任何不确定性，而后者是所有不确定性科学的基础。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

2015年第56届国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）于今日(7月4日)在泰国清迈召开。和近几年大会的规模一样，有来自全球5块大陆，100多个国家的选手参加。而从1999年开始，已经连续16年非冠即亚的中国队毫无疑问是其中的夺冠的最大热门。

然而，中国选手在IMO上的出色表现，并没有让奥数在国内得到一致的好评。在反对奥数的各界人士中，不乏数学大家，曾经的菲尔兹奖得主丘成桐曾这样评价到：“奥林匹克数学竞赛的组织者是一个帮助中学生的国际组织，他们都不是一流的数学家，所做的也只是引起学生对数学的兴趣，对发展整个数学没有起到什么作用。在数学界看来，‘奥数’就像是报纸上的娱乐版，看过之后也就扔到垃圾筒里了，根本不可能拿到课堂上去讲的。……，出‘奥数’题目的很少是一流的数学家，他们出题很偏，在研究数学的人看来，学生解决非一流数学家出的很偏的问题，并没什么了不起的。”

但大数学家之中，也有不少支持者，比如同样是华裔，同样是曾经的菲尔兹奖得主的陶哲轩。陶哲轩教授甚至是IMO基金会赞助者，他本人先后三次参加IMO，分别获得铜牌、银牌、金牌，至今保持着最年青获得IMO金牌的记录（那年陶哲轩12岁）。

“我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”，陶哲轩教授说，“和其它任何学校的运动会一样，在IMO有一群有着差不多能力与爱好的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生，因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学家改变一生的事件。因此，我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”

事实上，近几届获得数学界最高荣誉菲尔兹奖的人中，很多人都是IMO的奖牌获得者。也许IMO对他们数学兴趣的培养，起到过至关重要的作用——这个对兴趣培养的作用，无论是丘成桐还是陶哲轩都是同意的。

附2015国际数学奥林匹克竞赛宣传视频

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

广州日报讯 （记者黄蓉芳）“中国孩子学数学，不是因为兴趣，而是因为高考，所以，最终难以学好。”昨日，著名华人数学家、哈佛大学终身教授丘成桐参加全国首家互联网社区医院成立仪式时接受本报记者独家采访时表示，学好微积分，在生活中随处可用。“学点微积分，炒股可以炒得更好。”可惜，因为中国高考不考微积分，所以中学不教微积分，他认为“这是个错误”。

数学对医疗很有用

“数学跟医疗当然有关系！”昨天，当记者问及丘成桐为什么要来参加一个互联网社区医院的成立仪式，他很肯定地说，数学对互联网、对医疗都很有用。他解释之所以来参加，是想看看他领衔的团队，能否将开发大数据数学模型运用在医疗健康领域。

“得同样一种病的人成千上万，但各个人的情况都各不相同。如果能够运用大数据分析，将‘这个人’跟‘那个人’的病情比较一下，可能会知道‘这个人’吃错药了。”他说，未来，健康大数据模型将颠覆传统医学的思路，依托海量存储和计算能力，实现精确“打击”，为老百姓量身定做私人诊疗方案，从而达到健康管理和预防疾病的目的。

中学不教微积分是个错误

丘成桐认为，现在很多人对数学的认识存有误区，以为数学只是用来考试的，考完试后，数学就没有用了。其实，数学在生活中的作用无处不在。“学习数学，对提高一个人的思维、逻辑推理能力都很有好处。”

“尤其是微积分，很多人认为，大学毕业以后，除了从事相关职业的人，工作和生活中根本用不上。”丘成桐说，事实上，恰恰相反，微积分在普通的工作和生活中用处非常大。“微积分不仅可以运用在统计、工程、管理等各个方面，对于老百姓理财，也是大有裨益的。比如炒股，学点微积分，可以炒得更好。”

丘成桐说，国外大学对微积分的学习十分重视。“比如哈佛大学经济学院、管理学院、医学院等学院的招生，就一定要求学生学过微积分。”

“中国孩子的所有学习，都是以高考为指挥棒的。”丘成桐不无遗憾地说，因为高考不考微积分，所以，中学就不会教微积分，因为没用。可是，微积分恰恰是最有用的。“所以我要说，中国的中学不教微积分，这其实是个错误。”

不为考试而学才能学好

“我认为，要让孩子学好数学，最好别考试。当孩子不用为考试而学数学时，才有可能学好数学。”他说，孩子一旦为了考试而学数学，就不会有真正的乐趣和兴趣。“因此，高考即使要考数学，也应该针对对数学真正感兴趣的孩子进行考核和选拔。”

中国的学生为什么可以在各种数学竞赛中得高分，却在数学研究中难以出成果，因而缺少真正的数学家？他认为，最主要的原因就是，中国孩子只是为了高考考个高分、考个好大学、毕业后赚大钱而学习数学，这样不可能成为数学家。“一定要引起孩子的兴趣。”

丘成桐感叹，中国的小学生和初中生太辛苦、太紧张，他们所有的学习都是以考试为主，因而过早地失去了对学习的兴趣。“大家都有个误解，认为美国的高中生数学不好，或者不考数学。”他说，事实是，美国的好学校也要考数学，但他们不注重初中和小学的考试，到了高中才注重考试。正因为如此，孩子学数学的兴趣得到了保护。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者系来自Varsity Tutors的Erica Cirino。哆嗒数学网翻译。 

问起任何一个大学生哪门课程对他来说最有挑战性，他一定会说：“数学”。

从代数到微积分再到三角学，数学已经被誉为最具挑战性的大学课程之一。这是因为大学数学的问题往往是复杂的——他们要求学生执行多步操作才能得出正确的答案。大学数学是需要很大的努力去记住和了解如何使用方程，而不这样做几乎你总是得不到好的成绩。

当一些大学生能够真正理解数学概念时，其他一些数学厌恶者常犯一些简单的错误导致他们作业和成绩失分。

知道如何防止这些错误是确保你不成为这些人的最好方式。现在，让我们来看一下学习大学数学的四个最常见的错误以及如何避免它们：

1、 做完数学题不仔细检查

你的数学教授可能假设你已经在高中时期养成复查作业的习惯。因此，他可能不强调要求你在大学时还这样做。然而，学习任何领域任何水平的数学，检查是必不可少的。

重温你的解题步骤并不仅仅在检查作业。为了审核一个数学问题，可以采用另一种方法解题。如果能得到相同的答案，那么结果应该是正确的。为什么？简单地说，用两种不同计算方法得出同一个错误答案一般是不可能的。

2、书写混乱易混淆

谈及数学不可避免整洁问题。首先，潦草的字迹可以令你在解决一个数学问题时得出一个错误的答案。假如你不花时间写清楚，有些看起来相像的数字如“2”和“7”，还有一些运算符号和变量如“+”、“T”“容易混淆起来。一些教授在无法读懂你的作业时，甚至会扣分或者否定你。（也许2和z的例子更好，2和7之间如果能混淆，那得有多潦草？——哆嗒数学网注）

为了解决数学问题，小心地避免潦草的字迹，你可以使用铅笔，而不是钢笔。这样，你就不会有任何使你的理解发生障碍的笔误。还有一种确保你不混淆相似的数学字母或数字的方法就是使用明显易于区分的表达方式。例如，加法符号“+”和变量符号“T”可以采用独特的写法使得它不太可能互相混淆以避免错误。

3、思维定势

一些大学生总是在看到家庭作业或考试中一个特定类型的数学问题时使用同一类型的方法来解决它。但这并非总有效。事实上，你的教授也许希望你能用另一种不同于你的习惯的解题方法来解答它。

假设你知道你需要使用哪种解题方法会结束你的失分，请花时间全方面地理解你在作业和考试中遇到的每一个问题。

4、 需要帮助的时候羞于提问

师者，传道授业解惑也。另外教授也会支持大学生学术成长。尽管如此，许多大学生在数学中挣扎时并不敢畅所欲言。

这是一个巨大的错误。不提问题可能造成你在短期内的学习混乱，比如你很难理解一个特定的论题，从长远来看，它可以让你的研究明显落后。如果你不懂一个论题，一定要问你的教授问题——无论是课前，课上还是课后，甚至通过电子邮件都可以提问。你的教授会很乐意伸手帮助你。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

近日，爱拼网(iPin.com)发布2015年度《大学薪酬排行榜》，同时公开课各学校各专业的大数据统计的薪酬数据。

在数学与应用数学专业方面，毕业五年薪酬（月薪）最高的是复旦大学，达到15379元。列第二、第三名的分别为中国农业大学和中央财经大学，月薪分别达到12500元和12499元。而榜单的前14名都超过了万元大关。

值得注意的是，传统的数学学术强校不一定是该专业毕业生的收入强校，实际上决定毕业生收入还有学校的社会影响力以及就业地点，于是北上广等经济发达的城市毕业生的收入普遍会被拔高。

不得不提的是，由于各方面原因，一些即便开设了此专业的名校也没在网站上公布出数据。网站给出的主要原因有“政策原因”、“样本太少”及“样本不足”。比如南京航空航天大学、东北大学、国防科技大学等，都没有进入榜单，这不得不说是一个遗憾。

附录：没有进入榜单的211(985)大学名单。

东北大学（985）

西北农林科技大学（985）

中央民族大学（985）

国防科技大学（985）

北京工业大学

北京化工大学

北京中医药大学

大连海事大学

华中农业大学

海南大学

四川农业大学

青海大学

对外经济贸易大学

中国政法大学

天津医科大学

第二军医大学 

南京航空航天大学

北京外国语大学

北京体育大学

华北电力大学

东北农业大学

上海外国语大学

南京农业大学

中南财经政法大学

第四军医大学

北京交通大学

中央音乐学院

中国药科大学

武汉理工大学

长安大学

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

本文摘抄自《数学犹聊天》。作者系美国数学科普作家基斯·德夫林(Keith Devlin)，译者是谈祥柏与谈欣。

一系列智力属性缔造了我们搞数学的能力。随着我们的叙述向前展开，我们将逐一察看每一个属性（他们相互之间并非完全独立）。尤其是，我们将反躬自问：我们的祖先是在何时及怎样获得这些能力的，它们又怎样结合起来，造就了数学能力。我们也许还想搞清楚：之所以没有本事去搞数学，是否由于缺少了某种能力，或是问题出在没有把各种能力有效地组合起来，又或是出自什么其他原因。现在，就让我略微说一下这些能力中最重要的几种。

数的意识

人类与其他几种生物拥有数量的意识。我们能够立即认识到一个物体、两个物体与三个物体的集合之间的差异。我们还能认识到，三个物体的集合要比两个物去的集合有着更多的成员。这种意识不是我们学来的，而是生来就有的。

数值能力

数的意识，即区别与比较较小的数的能力，是不需要作为抽象实体的数的概念，也不需要计数的能力。不过，数与计数是学来的东西。(尽管也存在着一些证据表明计数是一种本能。)经过相当的努力之后，可以教会黑猩猩与类人猿一直计数到10左右。但就我们所知，只有人类能把数的序列无限延伸，并对任意大的集合进行计数。

算法能力

所谓算法，就是一系列指定步骤，用以达到一个特定目标，它是数学家采用的类似于蛋糕烘烤法的数学方法。做算术就需要学习对数进行各式各样的操作。数学的其他分支则要求人们把算法应用到其他各种实体上。例如，求解一个二次方程就需要执行一种代数算法。

上述三种属性提供了让我们能够进行算术运算的大部分要素。但一些擅长算术的人也会经常利用其他一些附加属性。例如，小时候学习个九九乘法表时，我感到非常困难(我是整个班级里排在最后几名的“差生”之一) ，但我后来意识到只需要背出一半，然后此事就变得容易了。倘若我知道7×9 =63，那么我就能应用逻辑规则得到9×7的结果。在做乘法时，先后顺序是不重要的，9×7与7×9的结果完全一样。至今 我在计算9×7时仍是先把它倒转成为7×9，然后唤醒我的记忆，得出结果7×9 =63。

以下的一些属性都将或多或少地影响到一个人的(相对于算术能力来说的)数学能力。

抽象能力

我认为，在处理抽象概念方面的能力局限是搞数学的最大障碍。然而，正如我将要指出的那样，人脑在获取（人人都具备的）语言能力的同时获取了这种能力。因此，大多数人在数学上有困难的原因并不是他们不拥有这种能力，而是他们没有本事把他应用数学中的抽象概念。要想解释清楚情况为什么会演变成这样，是一项有趣的挑战。

因果意识

像其他几种生物一样，人类似乎很早就拥有了这种意识。它对生存的益处是十分明显的。

构建与遵循事实/事件因果链的能力

除了一生的最初几年之外，构建与遵循相当长的因果链看来是人类独有的能力。正如我将要解释的，我们的祖先在掌握语言能力之时，就获取了这种能力。数学家对定理的证明，其实就是事实因果链的高度抽象的形式。

逻辑推理能力

这是一种构建与遵循一步一步的逻辑论据的能力。它同上面那种能力密切关联，也是数学的重要基础。

关系推理能力

数学中有很大一部分是关于各种(抽象)对象之间关系的。我认为，对各种数学对象之间数学关系的推理，实质上无异于对各种现实对象之间现实关系的推理，以及对人与人之间人际关系的推理。由于我们中间的绝大多数人每天都在从事这种推理活动，这就再次产生了一个问题：为什么有如此众多的人认为对数学对象的推理有那么难？

空间推理能力

空间推理能力对许多生物的生存至关重要。这种能力奠定了几何学的基础，它也可以应用到表面上看来同空间无关的一些领域的推理中。实际上，高等数学中的许多重要发现源自数学家发现了一种新奇的用空间方式看待问题的思路。(1994年对费马大定理的证明采用的基本上就是这种方式。)

以上这些心智能力结合起来，就形成了能让我们研究数学的综合素养。而我们对数学能力源头的探寻，可以在很大程度上简化为对上述各种能力起源的探寻。探寻主干便是人类的进化。上面列举的每种能力都需要耗用大脑的能量。（有的还需要付出其他代价。）因此，其对生存带来的益处必然大大超越所付出的代价。在某些情况下，诸如空间推理或因果意识所带来的益处是十分显著的。而在其他情况下，则需要我们进行更深的挖掘。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

导读语：这是我哆嗒数学网的读者的投稿，我们小编觉得这篇文章梗太多，有的梗还挺深。当我们注解玩所有梗后，不禁会心一笑。应作者要求，匿名发布。同时欢迎广大看官投稿。投稿联系QQ群：128709478 。

蓝淋的《浣熊帮帮忙》中有这样一个经典桥段，每当可爱的女主睡不着时，男神就拿起一本国家地理杂志进行催眠，百试百灵！然而我却一直觉得，也许一本数学家的著作更能胜任。

不信？一个小学生日记里简单词句“小明洗了手”足以让你睡意大增。数学学霸会这样说：存在一个x<0,使得这x在自然的映射x→小明(x)之下的像属于脏手组成的集合，并且还存在一个y，x<y≤0，使得y在上面得到映射之下的像属于前一句中定义的集合的补集。”[1]

相信这么一串读下来一般的小女孩基本上已经昏昏欲睡了吧。无怪乎歌德感叹：“数学家犹如法国人：无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全然不同的东西。”

很不幸，有时候数学学霸们会遇到这样的情况：可爱的小女孩被你这么一串读下来的结果不但是瞌睡连天，之后再也不和学霸玩耍。于是，心塞绝望的学霸感到无所依靠，定下了自杀的日子，决定在午夜之时，告别这个世界。由于他的效率比较高，在午夜之前，他就搞定遗言杂事，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被库默尔解释柯西等前人做费马大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。他竟然发现了库默尔的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。于是可爱的学霸傲娇不止，小女孩什么的哪有费马大定理可爱！谁证明了费马定理果断以身相许啊！[2]

不过，要是让萌妹子知道了你这个想法，可能会反过来“傲娇不止”，给个什么哥德巴赫猜想之类的，看你拿什么证明定理，到什么时候才有以身相许的机会！[3]

某年某月某日，阳光正好，春风和煦。小女孩吃着萌哒哒的小零食，把周围的人逗笑得魂都在飘的时候，问了学霸一个问题：“‘派’是什么? ”作为数学学霸必然果断秒答：“ π是圆周长与直径的比.。”妹子瞟了一眼，转头又睡。痛定思痛，学霸决定自己不足，基友来助，果断问基友中的各类学霸！工程专业学霸基友说：“ π大约是22/7。”计算机专业学霸基友说:“ 双精度下π是 3.141592653589”。然而还是老姐说得有道理，“这些死心眼的数学脑瓜, ‘派’是一种好吃的甜点，麦当劳有售！”默默给小女孩买苹果派去了。

不过，不知道数学学霸之间为什么能懂！两个数学学霸去餐厅吃饭，于是问题来了，吃什么主食，米饭还是面条？谁知他们居然不知道“面条”是什么。喜爱数学的服务员向他们比划了半天也没让他们搞懂。最后终于忍不住说了：“米饭是零维的，面条是一维的！”于是秒懂！[4]

阳春白雪，曲高和寡，数学是一门孤独的学问。数学学霸是一群可爱的逗比，他们会在葬礼上兴致勃勃地演讲黎曼猜想的证明[5]，或者吵一个问题一个小时不欢而散第二天互相同意对方继续吵这个相同问题[6]。

卡佩尔说：“所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界，一座冰宫。但他们还生活在普通世界里，事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清。数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则成了婴儿。 ”

最后补充一下，第一个例子中数学家弗拉基米尔·阿诺尔德还说道“要想读当代数学家们的著述，几乎是不可能的。而17世纪的数学家们的那些著述最清晰而且实际上也更现代。顺便说一说，依我看，从惠更斯和牛顿到黎曼和庞加莱这二百年的间隔，是数学的仅仅充斥着计算的荒芜时代。 ”所以说，数学家的阳春白雪可不能把一些仅仅是数学的语言分析算进去哦~

[1] 著名数学家，2001年沃尔夫数学奖得主弗拉基米尔·阿诺尔德在回答记者关于“数学都读什么”的问题时，说过类似的话。

[2] 这个大概是在说沃尔夫斯凯尔奖的来历。

[3] 哥德巴赫猜想，简称“1+1”。至今没有解决的数论问题，被誉为“数学皇冠上的明珠”。

[4] 据说李尚志教授在于两位俄罗斯数学教授吃饭的时候，发生过类似的故事。

[5] 希尔伯特在他学生的葬礼上的一个故事，他甚至在致悼词时说出了：“考虑一个单变量的复变函数……”

[6] 勒贝格和蒙泰尔曾经讨论一个问题吵得不可开交，但第二天又都同意了对方的观点，于是又吵。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

本文整理至微信公众号 闰土社交，有些许修改，鸣谢！

一年一度的高考又将拉开了大幕，近千万学生十几年的汗水将在这三天接受最终的检验。数学的难度往往决定最后高考的分数线的高低。而三个月后，他们又将开始高等数学的学习。会躺在大学宿舍的床上跟室友扯山海经，偶尔聊起其他省份高考情况，略显青涩的脸上会开始微微抽搐，他们紧攥着拳头大喊：“德玛西亚！——坑爹呢，这是！”

下面就来看看各省难度在《英雄联盟》里是什么模式——人在塔在。

地狱模式：江苏

江苏以令人发指的高考模式著称。两年读完三年课程，剩下一年还得玩命。三年平均每天睡眠时间不足六小时，学生把自己当牲口看待，最变态的是江苏的老师把学生当超人看待。全省2所985名校、12所211名校把高考分数线提到越来越高，全国统考时12次录取分数线第一。

         
另外，江苏高考界还有一位传奇——Legendary！：葛军，江湖人称“葛大爷”，“数学帝”，2003年江苏高考数学卷出题人，一战成，“秒杀”30万江苏考生，全省平均分43分（满分150分），2010年葛大爷重出江湖，再次“虐杀”52万江苏考生，该卷也被成为史上最难高考卷。考试后，两篇名为《2010，江苏数学帝葛军，一个人秒杀江苏52万考生》和《数学帝葛军，你做人太数学了》的帖子在猫扑论坛和商都社区迅速走红。

噩梦模式：浙江，湖北，湖南

 
这三地全国统考时都以高考难著称分别获得9次，9次，6次录取分数线第一（1978-1998江浙两湖相加全国统考时分数线第一占了四分之三），但论丧心病狂度和江苏相比略逊一筹，除去江苏不谈，浙江的才子院士，湖北的黄冈密卷，湖南的奥数堪称无省可及…

困难模式：安徽，河南，山东，四川，广东，江西，山西，河北
    

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！ 对他们来说题目有两种：会做的，题目出错的。他们拿到考卷，被扣分了，找到老师，老师马上改正参考答案，他们面对一道难题，说，虽然我不会做，但算出正确答案还是没有问题的。他们考试做出了一道难题，好像什么都没发生过，他们从来不刷题，偶尔翻翻书就足够拿满分了，他们平时一般不轻易露面，他们一般不说话，他们的成绩分两种：满分的、被老师故意找茬扣了一两分的 ，他们答题从不套格式，但他随手写的解答会被别人用作标准格式，他们只背基本公式，其它公式自己推导。

一般模式：陕西，黑龙江，吉林，内蒙古，福建，重庆，贵州，甘肃，辽宁

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！ 对他们来说题目有两种：会做的，超纲的。他们拿到考卷，被扣分了，找了N久找不出错，又找来几个学霸一起为答案的正确性争得面红耳赤 他们面对一道难题，翻了翻书感觉超纲了，或者要求过高，果断放弃 他们考试做出了一道难题，会发一个状态，第一句话一定是：这题其实不难 他们一直在刷题，成套成套地做 他们经常和别的学霸约好一起去自习方便讨论问题 他们考完试喜欢说都不会肯定挂了。他们的成绩分两种：上90的、失误了离90还差一点的 他们答题只用自己的解题格式 他们努力背完所有要用到的公式 。

简单模式：北京，上海，天津，青海，新疆，西藏，海南，宁夏

来自以上地区考生到了大学！期末是酱紫的！对他们来说题目有三种：会的，看起来会的，不会的。他们拿到考卷，被扣分了，大骂老师太狠，但是没人理他们。面对一道难题，直接翻答案。他们考试做出了一道难题，巴不得召告天下 他们考前才刷题，只挑简单题做。他们经常在人人、贴吧或者知道上求助。他们考完试喜欢说好难啊求不挂。他们的成绩分两种：挂了的、差点就挂的，他们答题喜欢搜集各种解题格式，他们常常为公式太难背而烦恼。

好吧，高考和高中生活总会过去。对大多数人来讲，即便经历过黑色高三的洗礼，当上了大学，乃至大学毕业后踏入社会，对高中生活的回忆都是满满的甜蜜。高中时，不知道有没有妹纸对着高年级的大哥哥萌萌哒的说——内个，你有看见我的小熊吗？

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

上次说排队的序数宇宙的时候，我们队伍里报数的最后一个数字既可以表示末尾的队员所在的顺序，又可以表示队伍里队员的数量。而且我们说过，在有限个队员的队伍里，我们不用太纠结它们之间的区别，但在有无穷个队员的队伍里却有不同。上次我们“纠结”了顺序，今天，轮到“数量”了。

为什么这里要用“纠结”一词？那是因为，在数学里，关于无穷的数量的确是一件纠结的事情。比如，在一个只有有限个队员的队伍里，这时小明站进了队伍形成了新的队伍，如过之前队伍里有n个队员，那么新的队伍的人数就变成了n+1，人数增加了。如果，这是小明面对的是无限长的队伍，0、1、2、3、……，那么情况就不同了。这时小明站了进去，但是虽然队伍里多了一个之前没有的小明，但队伍的人数并没有增加。因为我们只需要把小明对应0，把0对应1，把1对应2，把2对应3，以此类推，于是我们找到一个办法把新旧两个队伍里的队员正好一个对上一个，不多也不少。于是这样说明，两个队伍的人数是一样多的。

在数学里，前面说的一个集合数量叫做“基数”。前面“小明进队”的例子其实说明，对于无穷的集合来讲，一个集合有可能和它的真子集一样多。数学里，还有一个叫做“选择公理”的公理，这个公理能保证所有的集合都是有一个基数的。如果我们把所有有限集合的的基数统合在一起，它能做成一个集合，叫做自然数集。但如果我们把所有无限集合的基数凑在一起，就太大了，大到超过集合的标准，成了宇宙。

我们可以用康托定理来证明所有基数不能形成一个集合。康托定理是说，一个集合的基数严格地小于这个集合幂集的基数。如果所有的基数能形成一个集合，那么这个集合的基数比每一个集合的基数都大。但是，它其实比它幂集的基数小。于是矛盾。

这里值得一提的，康托定理的证明过程所使用的方法叫做“对角线法”，这个在集合轮里是一个非常重要的方法。甚至有人说，当“对角线法”被发明的那一刻起，集合论就真正的诞生了。

康托还证明了自然数的基数比实数的基数少。那么有没有一个集合，比自然数多而比实数少？康托认为是没有这样的集合，他把这个猜想叫做连续统假设。康托耗费了几乎一生的精力都没有解决这个问题。然而，时候的结果说明，康托是不可能解决它。数学家们在20世纪60年代证明了，连续统假设是关于ZFC体系的独立命题——就是说它不可能被证明出来，甚至连否定这个命题的机会都没有。

于是，我能说康托是被坑了吗？

这一次就到这里把，下一次会是什么呢？

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

据邵逸夫奖官网(shawprize.org)6月1日消息。2015年度邵逸夫奖得主揭晓，五位科学家获颁奖项。今年为第十二届颁发，颁奖典礼定于9月24日(星期四)于香港举行。

数学科学奖方面，有两位数学家获奖，他们是德国马克斯普朗克数学研究所所长格尔德·法尔廷斯(Gerd Faltings)以及美国罗格斯大学数学系新泽西讲座教授亨里克·伊万尼克(Henryk Iwaniec)，以表彰他们对数论基本工具的推行及发展，让他们及其他人能够解决存在已久的经典问题。

格尔德·法尔廷斯，德国人。1983年，他29岁时，发表了他用代数几何方法对于莫德尔猜想的证明，引起了轰动。莫德尔猜想是数论领域的核心猜想，他的证明是的数论邻域另外一个著名猜想费马大猜想($x^n+y^n=z^n$，当$n\ge3$时没有正整数解)有了重大进展。莫德尔猜想能推出$n\ge4$时，满足方程$x^n+y^n=z^n$的互素正整数解至多有限多个。法尔廷斯因此猜想的证明获得1986年数学最高荣誉菲尔兹奖。

亨里克·伊万尼克，波兰人。1997年伊万尼克和另外一位数学家合作，证明了存在无穷多个形如$a^2+b^4$的素数。这种高度的结果在这之前被人为是遥不可及的：两人结合其他技术所使用的筛理论认为通常不能区分两个素数的乘积和其他素数。2002年伊万尼克获得美国数学会柯尔奖，该奖项被誉为数论界的最高奖项。

附录：“邵逸夫奖”简介

“邵逸夫奖”是按邵逸夫先生的意愿在2002年成立，以表彰在学术及科学研究或应用上在近期获得突破性的成果，和该成果对人类生活产生深远影响的科学家，原则是不论得奖者的种族、国籍、性别和宗教信仰。

“邵逸夫奖”是国际性奖项，由邵逸夫奖基金会管理及执行。邵逸夫先生亦为邵逸夫慈善信托基金和邵氏基金会的创办人，这两个慈善组织主要发展教育科研、推广医疗福利及推动文化艺术。
 
“邵逸夫奖”有三个奖项，分别为:天文学、生命科学与医学、数学科学。每年颁奖一次，每项奖金一百万美元。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

上过大学的同学，大概都参加过军训。每天出操整队，持续数周的时间。军训列队的时候，都会做一件事——报数。一列人员从数字1开始，依次递增的报出一个自然数，一直到队伍的末尾。而队伍的指挥官会默默的记下最后一个报出的数字。

今天我们说的宇宙就从这报数说起。每一位队员都被自己报出的数字标志了在队伍里的顺序，最后的一个报出的数字n，既表示最后一位队员是第几个，也能表示这个队伍有多少人。在一个有限长度的队伍里，在判定队伍长短的时候，我们可以不必纠结这两个意思的差别，但如果我们打开脑洞，考虑无限长的一列队伍就会有不同。

比如，队长小明面对一个无限长的队伍0、1、2、……，这个时候，他走进队伍会形成一个新的队伍。一个办法是站在队伍前面，变成——小明、0、1、2、……；另一个办法只站在队伍末尾，变成0、1、2、……、小明。两个的排序方式是不同的，因为后者有末尾的一个，而前者没有。然而两个队伍的人数都是一样的。在数学中，如果关注末尾的那个“数字”的顺序的性质，我们叫做“序数”，如果关注队伍中人数的绝对的多少，我们叫做“基数”。

其实，之前讲冯·诺依曼宇宙和哥德尔宇宙的时候，我们已经提到“序数”这个东西了。只是没解释过它到底是什么。按照数学的逻辑顺序，应该先有这个东西，才会有前面两篇文章中的操作。

队列训练中，我们还经常干一件事。比如教官会喊：“双数，向前一步走！”。然后所以报偶数的队员会形成一个新的子队列，或者用其他规则，取队列中的一部分形成其他的子队列。但无论怎么样去抽出子队列，我们都能在子队列中找出一个排位最靠前的一个人。在数学里，如果所有的子队列里，都能找到一个最前面的，这个队列叫做“良序”的。

我们很容易看出，之前小明的两种站队方法都是良序的。数学里还规定第二个队列比第一个队列长，因为第一个队列的排序和第二个队列前面部分一模一样。

如果我们把所有这样“良序”的排序办法聚集起来，他会形成一堆庞大的东西，同样大到不能是一个集合。因为如果是一个集合，那么这个集合也是良序的，而且是最大的良序集合。于是我在这个集合里强行加入一个更大的Max符号，于是形成了比最大还要大的排序办法。这是一个矛盾。

这个矛盾在公理化集合论成熟之前，就已经被集合论之父康托发现了。所以又叫康托悖论。这个悖论比罗素悖论的发现更早，也足以引发对集合论为基础的数学的“第三次数学危机”。但是，这个悖论的表述，在当年的数学圈里，还是算生僻的，所以关注的人不多，也没引发太多的波澜，直到罗素悖论的出现——毕竟，罗素悖论是不需要太多数学基础的人都能看懂的。

好吧，今天有到时间了。下一次，我们纠结本文前面提到的队伍数量——“基数”宇宙。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

就这样，一场车祸带走了纳什夫妇的生命——而5天前，他们还在奥斯陆的颁奖典礼上接受阿贝尔奖的殊荣。

当官方宣布纳什成为2015年阿贝尔奖得主的时候，纳什成为了第一位也是目前唯一一位同获得过诺贝尔奖和阿贝尔奖的学者。由于两个奖项的颁发国家瑞典和挪威同处于北欧的斯堪的纳维亚半岛，纳什还调侃着说：“我是一名光荣的斯堪的纳维亚人。”

一般的人们知道纳什更多是因为电影《美丽心灵》，这部电影在2002年奥斯卡金像奖的评选中独揽四项大奖，成为最大赢家。而这部电影的原型正是这位纳什——电影里，着重介绍他的博弈论方面的学术成就，以及几十年来与精神疾病的抗争。因为在博弈论上的开创性成果，纳什获得了1994年诺贝尔经济学奖。

的确，在现在，学过经济学的没有不知道博弈论的，学过博弈论的没有人不知道“纳什均衡”的。但是，我要说的是，即便“纳什均衡”在经济学里取得巨大成功，后来帮助纳什夺得了诺贝尔奖，但在数学圈子里——至少在一开始——并没把它当成一个重要的结果。现代博弈论的开山鼻祖冯·诺依曼甚至说它“不过是又一个不动点理论”。在数学界，纳什之所以被人敬佩，并不是他的“纳什均衡”，而是因为他在纯数学上的研究——纳什在微分几何和偏微分方程的数学成就同样光彩照人！

沃尔夫数学奖及阿贝尔奖双料得主格罗莫夫就这样说过：“依我看来，(纳什)在几何学中的成果比在经济学中的成果高出好几个数量级，后者根本没法比。这些成果带来的是思考问题的态度上的巨大转变。”

纳什第一个在纯数学的突破性成果是在他20岁刚出头的时候做出的——“一个关于流形和实代数簇的漂亮发现”。他的同行们认为，这是一个重要且深刻的结果。

1951年，纳什离开普林斯顿来到麻省理工。这里，纳什开始了关于“等距嵌入”研究。考虑黎曼流形是否能看成欧几里得空间的子空间。在数学里，前者非常抽象，而后者一般认为接近现实世界。最后，他用两个“纳什嵌入定理”解决问题。这些结果，被认为是上个世纪经典结论，提供了最深层次的数学直观。

同时，纳什嵌入定理的发现让纳什进入了另外一个数学分支的研究——偏微分方程。他利用纳什嵌入定理研究出一种办法，能够解出一类偏微分方程，而这类方程之前一直被认为不可能解出的。他所用的方法，被另外一位沃尔夫数学奖得主墨瑟完善后发表，定名“纳什-墨瑟定理”。

在这次与他分享阿贝尔奖的数学家尼伦伯格建议下，纳什开展了对椭圆偏微分方程的一个公开问题的研究。而这后来的成果也许是纳什最伟大的数学成就。仅数月时间，他就解决了这个问题，正常情况下，这个成就足以让纳什获得菲尔兹奖——数学界的最高荣誉，只给不超过40岁的数学家颁发。而在这之前，意大利人德·吉奥吉用另外一个方法也解决了这个问题，他们都互不知道对方的研究。于是属于各自的独立发现，这个结果定名为“德·吉奥吉-纳什定理”。

有人说，这次阿贝尔奖的颁发，是对纳什几十年前没能获得菲尔兹奖的“补偿”，纳什终于以数学家身份得以“正名”。然而，谁也没想到，这次挪威之旅却是他最后一次旅行。

每当不幸发生，我们总会去假设“如果”。如果纳什回国时，那传言中的“专车”准时到达而不用上出租车；如果纳什一上车就系好了安全带；甚至，如果纳什没有进行这次去斯堪的纳维亚半岛的旅行，也许就会是另外结果。

但是，一切的“如果”都没有了意义，人类不得不面对一个重大的损失。面对大师的离去，我们也只能最后说一句：

一路走好！天堂里没有车祸，没有精神疾病，只有美丽心灵……

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

好吧，真是巧，在我写这篇文章的时候正好肚子饿了，于是我的去搞点吃的。吃什么呢？嗯，我吃蒸饺。

有面粉和水，我和面做成饺子皮；另一方面，有白菜和猪肉，剁碎和成了馅儿。把饺子皮和馅儿包在一起有了饺子。再把饺子放在锅里开火蒸熟，就有了蒸饺。

整个过程，我们用我们一些基本的东西一步一步，做出了蒸饺。也就是说，只要你不嫌麻烦，我都可以这样从面粉、水、白菜、猪肉什么的开始，用符号和一些规则给你解释蒸饺是什么，而且，层层递进，条理清楚——这里用的符号叫做汉字，用的规则是汉语语法。

而我们今天要说的宇宙就是来自上面解释饺子的思想，叫做可构造宇宙。而用的符号是变量(比如x,y,z)、常量(比如0、1、π)、量词(比如∀、∃)、关系符号——(比如∈、=、>)、运算(比如+、-、×)、分割符号(比如各种括号、逗号)、函数符号(比如f,g,h)……，反正在严谨的数学里，会有相关的规定。而语法规则我们会用数学中不会产生歧义的语言，叫做形式语言。

这里举个例子，我们如果表述任意实数的平方，都是非负数，我们的形式语言会这样写——∀x∈R(x×x≥0)。

多说一句，如果有一堆东西是X，那么能从X中造出来的，我们记成Def(X)。比如粗略的讲，按上面的例子可以这样说，如果X={面粉、水}，Def(X)={饺子皮、包子皮、馄钝皮……}。

现在我们可以来构建我们的宇宙了。和之前我们讨论过的“万有”的冯·诺依曼宇宙一样(微信版回复#98可见这篇文章)，我们还是从空集开始，同样用“序数”做工具，一步一步的来。第0步做出空集∅，第1步做出Def(∅)={∅},第2步再做Def({∅})……这样一直做下去，当到了某个极限，再把之前切做过的所有东西统合起来，之后又继续往下做。当然这里，我直接给出了一些结果，这里不再解释原因，有兴趣的读者可以参阅相关的wiki和集合论的书籍。同样，如果你更习惯数学符号的表述，可参阅之后的一个图。

好了，总算是做完了。做出的这堆东西也足够多，足够大，大到不能成为集合，成为了一种宇宙。这个宇宙，是同样大名鼎鼎证明了不完备性定理的哥德尔首先做出来的，所以又叫哥德尔宇宙，经常用字母L来表示。

问题来了，哥德尔宇宙到底有多大呢？和“万有”的冯·诺依曼宇宙V一样大吗？从直观上来讲，L似乎比V小得多。这个时候，数学里又一个奇迹发生了——当你觉得一切都显而易见的时候，数学用一连串推理告诉你，你之前的“三观”的错的，需要尽数毁掉！哥德尔证明了L是否与V一样大，竟然在我们常用的ZF公理体系下不可判定，就算加入选择公理的体系ZFC，V=L也与ZFC没有任何矛盾！

于是，V=L能够成为一条公理，叫做构造性公理。实际上如果我们承认ZF加入V=L这样的体系，选择公理其实是这个体系的一个定理，就是说，在这个体系下，选择公理能够被证明出来。而这个公理，还能把另外一个著名的猜想变成定理——连续统假设。注意这实际上是证明了连续统假设与常用的ZFC是没有矛盾的，而这个结果也是哥德尔证明的(之后，科恩证明了连续统假设的否定也和ZFC不矛盾，于是连续统假设与ZFC独立，因此科恩获得1966年菲尔兹奖)。

好了，哥德尔的构造性宇宙讲到这里。之前我们还讨论了“万有”的冯·诺依曼宇宙，两个宇宙都用到了“序数”做工具，而这个序数同样是一种宇宙，我们下次见。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

来自译言网，译者瑶草2015，原文作者Steve Barnes 

http://select.yeeyan.org/view/531059/454605

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

杜夏特勒侯爵夫人拥有超凡的头脑。她在数学和科学上的巨大成就是她非凡智慧的明证。她生活在18世纪的法国，生前已享有盛誉，但她的非凡才能却似乎被主流历史忽略了，因为她是个女人。

正如劳伦·甘德森2009年的戏剧《艾米丽——杜夏特勒侯爵夫人——今夜捍卫自己的生活》刻画的那样，杜夏特勒侯爵夫人有幸生于启蒙时代。她的父亲是布雷德伊·普勒伊利男爵，一个贵族男子，曾当过路易十四的秘书。她是个早慧的女孩儿，不仅怂恿他哥哥的几位家庭教师转而教导自己，还经常参加她父亲每周举办的思想家和科学家的聚会。10岁时，她已经跟从伯纳德•丰特奈尔[i]学习天文学，后者在法国科学院担任了40多年的秘书。到12岁的时候，她已经精通德语、希腊语、意大利语和拉丁语。

戏剧开幕了，杜夏特勒侯爵夫人以一种超自然的方式在舞台上复活（杜夏特勒侯爵夫人于1749年辞世，年仅42岁，那时距她生完自己的第四个孩子仅有一周），为自己作为数学家和物理学家的成就提出有力证据。她最重要的成就包括她从拉丁语到法语的翻译，以及她对艾萨克·牛顿《数学原理》一书的评注。在她的职业生涯中，她还研究了火的本质，预测了红外能的特质，撰写了一本物理学入门课本，解释了动能，开发了一种早期形式的金融衍生品，提出了自己关于《圣经》和幸福的思索。

正如冈德森描绘的那样，杜夏特勒侯爵夫人对生活的热情同她对知识的渴求一样强烈。未满18岁时，她就遵照父母的安排嫁给了一个地位不高的贵族男子，这位男子比她大十几岁。但他因参加战争长时间不在家，于是杜夏特勒侯爵夫人热烈地追求秘密恋情，还与作家伏尔泰有过一段长期的婚外恋。他们的恋情是一场史诗般的恋爱，智力的斗争与情欲的激情同样激烈。冈德森明确指出舞台布景的一侧要用粉笔草写杜夏特勒侯爵夫人的数学方程；对面的墙上是一块小黑板，分为“爱”与“哲学”两栏。杜夏特勒侯爵夫人在讲述自己的人生故事时，会不时合计两栏分别得到的分数。

杜夏特勒侯爵夫人是一个打破传统观念习俗的人，例如她突破了女性有限的生活选择。在剧中，她有时得到伏尔泰的支持，有时却要忍受他的折磨，尽管伏尔泰是欣赏和尊敬她的。他象征了杜夏特勒侯爵夫人在事业上受到的阻碍和在科学界获得认可的困难。他恭维她，“我认为那位女士是一个伟大的人”，在其它地方却又讽刺挖苦她，“那位伟人唯一的缺点就是她生为女人。”也许正是这种态度激励了杜夏特勒侯爵夫人为女性教育而奋争。

对女性教育的倡导，再加上杜夏特勒侯爵夫人与众不同的人生经历及冈德森的描绘，使克里斯汀·范·金何宛——马萨诸塞州皮茨菲尔德剧院的艺术指导——最终决定将杜夏特勒侯爵夫人作为他们剧团2013年秋季的作品。（该公司英文名字（Women’s Action Movement）的缩写为WAM，代表“妇女行动主义运动”。）该剧团是一个专业剧团，成立于2010年1月，致力于推广聚焦女性艺术家和女性故事的戏剧。

范·金何宛说“人们都听说过伏尔泰……但人们都不知道杜夏特勒侯爵夫人在物理界和数学界的巨大成就，这一事实太让人震惊了。”她还说“如果这位女士在那样一个时代能够取得这么多成就，那么我们更能取得多少成就啊——既然我们在现在这个世界上拥有了这么多东西。。”

WAM为这部作品筹集了三万美元，包括来自“大众人文”[ii]组织的一万美元。有了这笔钱的支持，WAM制作了一本研究杜夏特勒侯爵夫人的指南，还为学生进行了专场表演，使WAM所在地区五家机构的女孩和年轻女性拥有了观看这部戏剧的机会。她们还通过社交媒体活动和观前及观后讨论探索了戏剧主题。

在11月份的一场表演后，在一次和观众的电话对讲中，范·金何宛描述了她和演员班底与少女观众的一次交谈。那次交谈发生在早些时候的戏剧演出期。当她问道是否有女孩觉得像杜夏特勒侯爵夫人一样在追求数学和科学的过程中遇到了重大障碍时，她们都说没有。
四年前，这部戏剧在美国西海岸首次进行了公演，但令人吃惊的是像《杜夏特勒侯爵夫人》这样一部如此有魅力的戏剧竟然还没有在纽约上演。

范·金何宛向观看过戏剧的观众提出问题：“这提出了另一种形式的玻璃天花板问题[iii]，难道不是吗？”她还说“[冈德森]是一个杰出的剧作家——她在28岁的时候就写出了《杜夏特勒侯爵夫人》这部剧——但她经历了一个艰难的过程才使她的作品得以公演。这听起来不正像我们刚刚看过的戏剧吗？”

关于作者：
Steve Barnes 是纽约州奥尔巴尼市《时代联盟》的主笔、戏剧评论家和餐厅专栏作家。

译者注：
[i]伯纳德•丰特奈尔（Bernard le Bovier de Fontenelle，1657-1757）一位法国作家，1935年月球上的“丰特奈尔火山坑”即以他而命名。自1697年开始，他担任了42年的法国科学院常任秘书。

[ii]大众人文（Mass Humanities）在马萨诸塞州开展并支持开展用历史、文学、哲学和其他人文学科来提高和改善市民生活的项目。该组织成立于1974年，当时附属于马萨诸塞州国家人文基金会。现在是一个独立组织。

[iii]玻璃天花板（glass ceiling）指的是女性在职业晋升过程中由于观念或组织上存在的偏见而导致的障碍，使得本来够资格的人在组织里的晋升变得可望而不可及。

人名对照：

杜夏特勒侯爵夫人  Émilie du Châtelet

劳伦•甘德森  Lauren Gunderson

布雷德伊·普勒伊利  Louis Nicolas le Tonnelier de Breteuil

伯纳德•丰特奈尔  Bernard le Bovier de Fontenelle

克里斯汀•范•金何宛  Kristen van Ginhoven

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

把世间万物，统统的集合到一起我们叫做宇宙。所谓“万物”，包括了所有的东西，一些事实体的，比如我们喝水用的茶杯、使用的电脑、生活的地球以及地球所在太阳系，还有一些非实体的东西，比如个人的期望、母亲的爱、哲学家的思想等等。甚至，一些抽象的规律也被包含于我们所说的宇宙之中——温度变化的规律、天体运动的规律、数学的定理、人类活动的规律以及一些人们还没有发现的定律。

然而，在数学中，或者说更狭义的，在集合论中，“万物”不是一个集合，因为它太大了。在数学里，经常发生这样事情——我们描述一类东西，由于这类东西过于庞大，哪怕对它描述非常简单，这些东西也不能是一个集合，否则就会产生悖论。我们把这样的不是集合的对象叫做“真类”，因为它足够大，也把它称为“宇宙”。

数学里，讨论过很多著名的宇宙，它们很多引发过一些悖论。前面提到的“万有”宇宙也是其中一个，通常用字母V来表示它。很容易理解，V是数学里讨论过的最大的一个宇宙。然而，只是一个万有的性质还没法对它进行细致的研究。对一个复杂的东西，我们经常干的事就是把它“切割”成一块一块的，看看每一块是什么样子。

对V动刀的大神，其名字是如雷贯耳的——冯·诺依曼，所以V还有一个名字，叫做冯·诺依曼宇宙。大神用“序数”做刀具——第0块是空集，第1块是空集的幂集{∅}，第2块是第1块的幂集{∅, {∅}}，……，一直做下去，当到了某个极限，再把之前切好的块在聚拢起来，之后又继续切。如果你更喜欢看数学符号的表达，下图图里的表述也许适合你。

等等，你之前不是在切割“万有”的宇宙吗？我怎么只看到了一个从空集出发，不断取幂集和并集的构造过程。是的，的确是一个构造过程，但是，数学上可以证明，如此构造，任何集合都能在前面的构造过程中被“制造”出来。也就是说，这个构造和前面说的切割是一回事。数学里经常发生的神奇的事又发生了——有时候，我们明明在做两件看似完全不同的两件事，然后，数学用一连串推理告诉你，两件事其实没有区别，这样的事有个专有名词叫做等价。

啊哦，我开始不能接受了。按你所说，一切集合都能从空集作原料造出来？好吧，这太好了，请用空集造出俺村所有的鸡舍吧。空集里可是什么都没有，你得无中生有的造出来！

我只能说我做不到。实际上，但我们试图用数学来描述世界的时候，我们先做了一次“符号”的抽象对应。比如，我们处理苹果数目的时候，我把一堆苹果对应成阿拉伯数字符号“1”、“2”、“3”……，把两堆苹果合起来的操作对应成符号“+”，并把它叫做加法。然后，用定好的符号处理的规则推理出一个结果。最后把结果再对应回现实的操作。

遗憾的是，这种抽象与现实之间，有时能够很好的对应，有时却不能。还有有时候，数学里成立的做法，在现实中不一定能证实。比如，如果有人让我用空集造鸡舍，那么空集对应什么？对应成空盒子？这是“好”的对应吗？况且，数学里还有一件事也经常发生，我只能告诉你可以做到，但无法告诉你如何做到。数学里叫做存在性证明。

好了，我们这一次讲了包含所有的东西的冯·诺依曼宇宙，还讲了所有东西都是空集“造”的。那么，是不是所有东西都是能“造”的？下一次，我们讲哥德尔的可构造宇宙。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

不知道什么时候，网上突然流行一种叫“招生广告体”的各种文章。这些文章有个共同的特点是，它们会先讲述一段感人至深的故事，故事或是关于爱情，或是关于亲情，然后到高潮之处，突然话锋一转，进入招生广告模式，开始介绍某大学——XX大学是985或者211之类，然后就是该学校的一大堆介绍，比如下面的这些。

“这是二十万，离开我女儿”
“阿姨，我们是真心相爱的”
“四十万”
“阿姨，我不是为了钱，我觉得这个世界感情不能用金钱衡量的啊”
“六十万”
“阿姨，您这是逼我啊”
“一百万！我说最后一次，离开我女儿！”
我叹了口气，顿了三秒之后缓缓从口袋里掏出支票。 
“这是两千万，我要娶你女儿！”
阿姨惊讶地说不出话：“......”
过了一会阿姨缓缓问道：“你是什么背景...”
“阿姨，我毕业于XX大学。XX大学是是中国“985工程”和“211工程”重点建设的大学之一，首批入选“2011计划”、“珠峰计划”、“卓越计划”、“111计划”的高校之一，是国家32所副部级大学之一，教育部批准建研究生院的56所高校之一，研究生自主划线的34所名牌大学之一，“国家海外高层次人才创新创业基地” ”。

这些天，哆嗒数学网的一位小编在看美剧《犯罪心理》，发现这个美剧也进入了这个模式。这回打“招生广告”的是哈佛，从课程到就业都介绍了个遍，瞬间感到之前看到的“招生广告体”都弱爆了。

且看下面的视频，和文字实录——中英对照哦——不过小编认为，有些翻译不够数学。

加密术是一项高度专业化的技能，
Encryption's highly specialized skill set，

但其根本还是数学过程，
but it's fundamentally a mathematical process，

也就是人文过程，
which means it's a human process,

但有时候技术能透露你是在哪儿学到的。
but sometimes your technique can reveal where you learned it.

我知道他是在哪学到的。
I think I know where he learned how to do this。

哪儿？
Where?
.
哈佛。
Harvard. 

哈佛不是以先进的数学课程闻名的，
Which oddly enough isn't know for its advanced math program,

但有一门数学课程却特别有名。
but it is for one particular class,

如果你数学好，又能考入哈佛，
when you're good at math, you're good enough to get into Harvard,

就可以参加“15级数学”课程。
you take a math class called math 15.

如果比这更好，就可以参加“25级数学”，
When you're better than that, you take math 25，

如果是最最厉害的，就可以参加“55级数学”……
but when you're the best, the absolute best, you take math 55...

高等微积分和线性代数。
honors advanced calculus and linear algebra.

毕业生会立即被美国政府录用
Graduates are immediately employed by the U.S. government

因为他们太危险了，不能去别处工作。
because they're too dangerous to work anywhere else.

再说细一点，他们是被国安局录用。
More specifically, they're employed at the NSA.

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

近日，高等教育数据专业调查机构QS发布了年度QS世界大学学科排名(QS World University Rankings by Subject)。在调查所评估的36个学科中，哆嗒数学网的小编们当然最关心数学学科排名啦。

和所有以往的排名一样，英国和美国的几乎垄断榜单的前10位。第一名为美国大名鼎鼎的哈佛大学，而英国的剑桥大学、牛津大学分列第二、第三名。接下来，美国的麻省理工大学、斯坦福大学、加州大学伯克利分校、普林斯顿大学、加州大学洛杉矶分校占据了4到8名的位置。第九名是前十中唯一非英美大学——瑞士的苏黎世联邦理工学院，第十名是美国的芝加哥大学。

亚洲的前十名中，占据第一的是新加坡国立大学。而中国的大学，占据了其中5个席位。第二到第十分别是日本东京大学、香港大学、香港城市大学、新加坡南洋理工大学、香港科技大学、日本京都大学、香港中文大学、北京大学、韩国国立首尔大学。

在中国的大学方面，香港大学排名第一，而在内地的大学中排在第一的是北京大学。共有29所中国内地大学、6所香港大学、6所台湾大学进入榜单。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

近日，中国数学会在其官网转发了10个数学相关的国家精品视频公开课。下面的所有课程都可以在“爱课程”(www.icourses.cn)网站上找到。“爱课程”网是教育部、财政部“十二五”期间启动实施的“高等学校本科教学质量与教学改革工程”支持建设的高等教育课程资源共享平台。

哆嗒数学网的小编想问，看了10大课程的介绍，你最想听的课是哪几门？

数学传奇

所属院校：浙江大学 主讲教师：蔡天新

课程推荐词：

虽说财富非富豪所创，数学王国却由数学家缔造。本课程通过讲述数学传奇人物故事，阐释其历史、发展以及与社会、人文的关系。主讲人既是数学教授，又是诗人、作家，游历了每位主人翁故乡，拍摄了珍贵照片。素材取自他的著作《难以企及的人物》、《数学与人类文明》、《数字与玫瑰》、《数之书》等，与大师交流提升了他的数学眼界和想象力，几乎每讲都引出一个新问题或猜想。在娓娓的讲述中，东西方的数学风景跨越时空，呈现在眼前。

数学大观

所属院校：北京航空航天大学 主讲教师：李尚志

课程推荐词：

踢足球的人是少数，欣赏足球的人却很多。本课程不是教少数人“踢数学”，而是帮助多数人(包括想要“踢数学”的人)欣赏数学。本课程不是用空洞的说教强迫“我们爱数学”，而是用生动的故事展示“数学爱我们”。数学的故事，远在天边，近在眼前。康定情歌高唱等比数列，宾馆台灯照耀圆锥曲线，峨眉山的佛光演示连续函数，哈尔滨的面条吃进一维空间。张三丰教太极剑，抽象指挥具体。独孤求败写教材，简单才是正宗。数学的故事永远讲不完，继续讲下去，要靠你和他（她）。

数学模型——现实世界的理性视角

所属院校：清华大学 主讲教师：谢金星，姜启源

课程推荐词：

人们生活在丰富多彩的现实世界里，既离不开感性的直觉，也需要理性的思维。作为沟通现实世界和数学科学之间的桥梁，数学建模对研究对象用数学的语言和符号给以描述、分析和求解，将得到的结果对该问题作出解释，并接受实际信息的检验。本课程从日常生活以及经济、人口、管理、政治等领域选取若干生动、简明的实例，着重从理性视角和数量关系的层面讲授建立和求解数学模型的全过程。

数学之旅

所属院校：上海交通大学 主讲教师：王维克

课程推荐词：

数学的重要特征是它的抽象性，这一特征令人生畏。但也正是数学的抽象性使得人们在纷繁复杂的世界中逐步懂得了宇宙深处伟大设计图的语言，使用理性思维达到超出人类感官所及的宇宙之根本。这一切正是数学的魅力所在，也是数学在人类历史上起着其他科学不可替代作用的重要原因。本课试图和学生一起从思想上重历前辈先哲们曾走过的路，做一次轻松的数学之旅。在这一旅途中我们不断揭示一些概念和数学思想形成的过程和历史，理解数学抽象的必要性和魅力，真实体会数学抽象所表现出的人类心智的荣耀，潜移默化地从中培养数学抽象的能力。

经济生活的数学魅力

所属院校：湖南大学 主讲教师：杨湘豫，彭国强，马传秀，王利平

课程推荐词：

你身处经济生活中能感受到数学的魅力吗？抓阄定夺规则公平吗？飞机有失事，人们是否就不选择搭乘飞机了呢？投资有风险，如何测量和评估风险？商家是怎样巧妙地将数学融于其价格及营销的策略制定中？什么是经济生活中的交互作用？本课程以案例赏析的形式呈现，旨在让大家：感受数学的神秘面纱笼罩着我们的经济生活，我们的衣、食、住、行都与数学密不可分；了解数学在经济生活中的价值和魅力，在热爱美好生活的同时一样热爱数学！

数学与经济

所属院校：武汉理工大学 主讲教师：彭斯俊，蔡新民，万源，陈晓江，朱华平

课程推荐词：

数学是科学无冕之王，经济贴近生活且影响巨大。一个抽象，一个具体，它们之间会有怎样的关系呢？我们选取七个经济热点问题，大到国民经济的可持续发展，小到普通百姓的理财消费，揭示其中所蕴含的数学原理，融科学性、应用性和趣味性于一体，向大众普及经济学中的定量分析方法。

走近科学女王——数学

所属院校：南昌大学 主讲教师：朱传喜，黄先玖，尹建东

课程推荐词：

高斯说：“数学是科学的女王”。数学同样是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠，是科学技术发展的桥梁，是人类解开愚昧、走向文明的使者。从古希腊开始，数学就和人对美的追求、对灵魂的解放联系在一起。同时，“数学具有广泛的应用性、严密的逻辑性、高度的抽象性和主客观表示的精确性”。当人们兴致勃勃地谈论着知识经济、信息技术、生物工程、网络工程等热门话题的时候，作为科学女王的数学，它的前世、今生、未来又是如何？这里主要向大家介绍科学女王的非凡人生；科学女王的美丽心灵；科学女王对中国的影响和期盼；科学女王与诺贝尔奖；科学女王的趣闻轶事；科学女王的未来展望。领略和欣赏科学女王的风采和魅力。中国非常重视数学，如今数学学科更深刻地改变着客观现实的面貌和人们对世界的认识，也已成为中国提高科技水平，增强综合国力和持续发展能力的重要战略。期盼中国成为新的数学大国和数学强国。

数学建模——从自然走向理性之路

所属院校：国防科学技术大学 主讲教师：吴孟达

课程推荐词：

数学建模——从自然走向理性之路课程共9讲，主要采取“案例教学”方法，围绕数学建模的若干经典案例开展教学工作，通过一个个具体建模案例的介绍，使学生体会与理解运用数学模型解决实际问题的思想与方法，尤其是贯穿于建模过程中的“定量化思考”的理性思维品质的熏陶与感悟。课程设置合理，课件制作精美，授课语言准确、精炼。

魔方和数学建模

所属院校：中国石油大学（华东） 主讲教师：李世春

课程推荐词：

魔方是美丽的，描述魔方的数学更是简单漂亮。迷人的魔方不但拥有美的外观，还具有丰富的文化内涵和巧妙的科学隐喻。三阶魔方的状态数达到10的19次方，面对如此天文数字，人们兵分两路：一路找到了眼花缭乱的复位方法，时间不超过10秒，他们不在乎究竟转动了多少次；一路从事着最困难的计算，认为魔方复位只需20步。这边三阶魔方还没有完全搞定，那边高阶魔方层出不穷。《魔方和数学建模》将展示描述魔方的数学模型，而且适用于各阶魔方。

数学分析选讲

所属院校：内蒙古大学 主讲教师：孙炯

课程推荐词：

本课程从模型实例、历史发展引出问题，在自然趣味中给出严密的数学逻辑描述，以直观生动方式讲述无穷、极限、微分、积分、级数等数学分析中的抽象概念，刻画现代数学的本质特征。该课程把讲授数学知识作为一个平台，重点讲述如何发现问题，提出问题，解决问题；展示了联想、化归、类比、合理猜测等数学研究的基本思想和方法，使观者感悟数学的发现与创新。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

美国职业规划和薪酬信息网站CareerCast评估了美国从业人数最多（根据劳工部的数据）的200个职业。调查人员使用了一种公式，把各职业的一系列因素纳入考量。CareerCast利用美国劳工统计局的数据再加上增长潜力来估算各职业的薪酬。其中前五名中“数学类”占据3席，前十名中，“数学类”占据4席。

以下是2015年“最佳”职业榜TOP 10，也就是评价最高的职业。注意得分低者排名靠前。

1、 精算师        
            
利用统计数据来判定事故、疾病、死亡的概率，以及盗窃和自然灾难造成的财产损失。    
                
总评分: 80.00            年收入: $94,209.00        

工作环境: 41.500        
从业压力: 16.300        
就业前景: 25.09    
                    

2、 听觉矫治专家    
                
通过测试听觉功能损失的范围、性质和程度来诊断和治疗听力问题。    
                
总评分: 88.00            年收入: $71,133.00        

工作环境: 45.000        
从业压力: 6.300        
就业前景: 33.33    
                    

3、 数学家            
        
在商业、教育或工业环境相关领域，应用数学理论和公式来进行指导或解决问题。 
                    
总评分: 92.00            年收入: $102,182.00        

工作环境: 42.900        
从业压力: 12.730        
就业前景: 22.82    
                    

4、     统计学家                
    
将实验和调查的数字结果进行列表、分析和解释。
                    
总评分: 96.00            年收入: $79,191.00        

工作环境: 41.900        
从业压力: 13.900        
就业前景: 25.91    
                    

5、     生物医学工程师        
            
以改善病人治疗的质量和效果为目的，分析和设计生物及医学问题的解决方案。                    
总评分: 117.00            年收入: $89,165.00        

工作环境: 44.900        
从业压力: 16.620        
就业前景: 26.65    
                    

6、    数据科学家                
    
综合应用信息技术、统计分析方法以及其他学科的知识来从数据中解释变化趋势。                    
总评分: 121.00            年收入: $124,149.00        

工作环境: 45.300        
从业压力: 13.500        
就业前景: 14.97    
                    

7、    牙科保健师    
                
为病人清洁牙齿，诊断像牙龈炎之类的口腔疾病，以及提供其它的预防性牙科护理。牙科保健师同时还向病人教授提升和保持口腔健康的方法。    
                
总评分: 125.00            年收入: $71,102.00        

工作环境: 47.200        
从业压力: 12.040        
就业前景: 31.02    
                    

8、    软件工程师            
        
研究、设计、开发和维护软件系统，以及针对医疗、科学和工业领域进行硬件开发。                    
总评分: 129.00            年收入: $93,113.00        

工作环境: 48.800        
从业压力: 12.530        
就业前景: 21.13    

                    
9、    职业理疗师                
    
为心理上、生理上、成长中和情感上受损的人士提供个性化的活动，帮助他们实现自力更生。                    
总评分: 134.00            年收入: $77,114.00        

工作环境: 47.800        
从业压力: 13.100        
就业前景: 29.14    

                    
10、    计算机系统分析师                    

为企业和科研机构策划及开发计算机系统。                
    
总评分: 135.00            年收入: $81,150.00        

工作环境: 44.100        
从业压力: 16.440        
就业前景: 23.50    

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

来源：新浪微博 @数学与艺术MaA， 哆嗒数学网加入批注

如果用一句话来为北京奥运会推广——“新北京，新奥运”；

如果用一句话来为NBA推广——“见证奇迹之地！(Where Amazing Happens!)”；

如果用一句话来为数学推广，你会怎么说？来看看各路大神的表演吧！

自然界的书是用数学的语言写成的。
——伽利略(意大利数学家、物理学家、天文学家，科学革命的先驱)

数学的本质在于它的自由。
——康托尔(德国数学家，集合论的创始人)

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
——华罗庚(中国著名数学家，中国解析数论创始人和开拓者，被誉为“中国现代数学之父”)

数学是研究抽象结构的理论。
——布尔巴基学派(欧洲数学学派，主张集合论的基础上用公理方法重新构造整个现代数学)

数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。
——笛卡尔(法国著名的哲学家、数学家、物理学家，有名言“我思故我在。”)

用一，从无，可生万物。
——莱布尼兹(德意志哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德，微积分发明人之一)

数学家们都试图在这一天发现素数序列的一些秩序，我们有理由相信这是一个谜，人类的心灵永远无法渗入。
——欧拉(瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一)

数学是科学之王。
——高斯(德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称。)

数学是符号加逻辑。
——罗素(英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，分析哲学的创立者之一)

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
——克莱因(德国著名数学家)

万物皆数。
——毕达哥拉斯(古希腊数学家、哲学家，将数字奉为神明崇拜)

几何无王者之道。
——欧几里德(古希腊数学家，被称为“几何之父”，数学巨著《几何原本》的作者)

迟序之数，非出神圣，有形可检，有数可推。
——祖冲之(中国古代数学家、天文学家，将圆周率第一次精确计算到小数点后第7位，发现球体体积计算公式)

可类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。
——刘徽(中国古典数学理论的奠基人之一，伟大数学著作《九章算术》作者)

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者Yann Pineill及Nicolas Lefaucheux，不要问小编为什么，作者就是把标题定为这样。虽然，我看到了化学、物理还有计算机科学。

 正确的看待数学应该是这样：它拥有的不单单是真理，还有一种极致的美——它没有绘画或音乐的浮华装饰，这种美极其冷峻，极其庄严！—— 伯特兰·罗素 

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, without the gorgeous trappings of painting or music."  —— Betrand Russell

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

从我们当小学生开始，老师就教导我们，要多思考，凡事都要问问为什么。数学老师尤其强调，死记硬背是学不好数学的，对学到的东西一定要搞清楚来龙去脉，这样才能举一反三，成为数学学霸。

但万事不能绝对，如果你真的是这样把一些问题打破砂锅璺到底话，可能你的数学老师也不会给你答案，他甚至会回答：“你别问了，你现在懂不了，考试也不会考的。”

下面的5个数学事实，是哆嗒数学网的小编整理的在中小学数学中认为“显然”的东西，有的东西“显然”到如果你有质疑就可能会被同学嘲笑，老师可能也会问，你上课到底有没有听讲？——不过，真的很显然吗？不明所以的我们较真试试？

Top 5：为什么导数大于零时，函数严格单调递增？

不明指数：★★★☆

知识回顾： 可导函数的导数大于零时，函数是单调递增的。这个每个在高中阶段学过导数的人都知道。不过一般中学书的“证明”都是看图说话：看吧，画图，导数大于零函数往上扬，于是严格的单调递增。

较真追问： 严格的单调递增不应该是对于任意x>y , 有f(x)>f(y) 吗？ 你画图画不出所有的函数图像呀？证明不能只画图吧？

何时解决： 大学一年级

解决课程： 高等数学、微积分或者数学分析

Top 4：为什么圆的面积公式是S=πr²

不明指数：★★★★

知识回顾： 小学就学了这个公式，小学课本的推导过程一般是这样的。不断把圆4等分、8等分、16等分、32等分……，然后按下图的方式拼成一个“近似平行四边形”，说这样一直下去，会越来越接近一个正真的平行四边形，底长为圆周长的一半πr，搞为半径r，于是圆的面积S=πr²。

较真追问： 为什么呀。无论你怎么接近，它还不是和平行四边形有差别！

何时解决： 大学一年级

解决课程： 高等数学、微积分或者数学分析

Top 3：为什么A ∉ A

不明指数：★★★★☆

知识回顾： 我们在高一开始接触集合。而且我们还能知道，一个集合的元素也可以是集合。比如{1}是一个集合，它是集合{ {1} , {2} }的一个元素。 就是说{1}∈{ {1} , {2} }。 

较真追问：那么对于一个集合A，它可以是A∈A吗？如果不能，理由是什么？ 

何时解决： 大学一年级或大学二年级

解决课程： 《公理化集合论》

Top 2：为什么π是无理数？

不明指数：★★★★★

知识回顾： 在小学就学了π这个常数，它是园周长与直径的比值。还知道了π是一个无理数——一个无限不循环小数。 老师们说，3.1415926……，它没有循环，老师们还说，有各种数学家、科学家把π计算的到了数万亿位，它还是没有循环。稍微有“节操”书或者老师会说，一位叫兰伯特的数学家证明了π是无理数。反正是无理数！

较真追问：列出数万亿位也不能证明它是无理数呀，万一循环节是十万亿位呢？ 

何时解决： 大学一年级

解决课程： 高等数学、微积分或者数学分析

Top 1： 尺规作图为什么不能三等分任意角？

不明指数：★★★★★

知识回顾：尺规作图很有趣的。但很多人在三等分角那里卡住了。一问老师，答曰：“这是一个作图不能问题！”，就是说，用尺规作图是不能三等分任意角的。不过有人用带有“刻度”的尺子作出来，不过是不合法的。

较真追问：为什么是作图不能问题？ 

何时解决： 大学二年级或者大学三年级

解决课程： 近世代数或者抽象代数

总之，亲爱的小伙伴们，好好学习吧。到大学，你就都知道啦！

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

此文来源于网络，作者卢介景。

一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。——傅鹰

数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。—— F. Cajori

0、引言

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

    阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．

花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》．

1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。

代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。发展至今，它包含算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部分。

1、算术

算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。

--高斯（Gauss,1777-1855）

数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。

--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

 19世纪中叶，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺（Peano）进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

1古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。韦达（Viète）在他的《分析方法入门》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算，提出符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图创立一般符号代数的的数学家，他开创的符号代数，经笛卡尔（Descarte）改进后成为现代的形式。笛卡尔用小写字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。这种用法已经成为当今的标准用法。

 “＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特（T. Harriot）创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。

3、高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号，表示包括的极限的长式子，但导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。

线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz，1693年）。

1750年克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的Cramer克莱姆法则）。

1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。

参照克莱姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《对积分和世界体系的探讨》中，证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。1841年，德国数学家雅可比（Jacobi）总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西（Cauchy），他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为0，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。

大约在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯- 约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。

矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。

1848年，英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵（matrix）这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。在1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley的进一步发展。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵的逆在内的代数问题。1858年，Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论，即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式

det（AB）=det（A）det（B）为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论。

数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既V×W不等于W×V）的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre）一书中提出的（1844）。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为1的矩阵，或简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs发表了关于《向量分析基础》（Elements of Vector Analysis）的著名论述。其后物理学家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

4、数论

以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

“2早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的倍，3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。

丢番图的《算术》中给出了求所有整数解的方法。费尔马指出在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。

5、抽象代数

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（modern algebra），它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（Galois, Evariste,1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

(1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。

1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；

有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。

        诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。

1920~1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。

        1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

        诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

6、后记

现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

这是一篇流传于2014年年中时期的坊间网文。文章以调侃的风格描写了20年来在数学界发生的几个受人关注的事件。还是比较有趣的写法，虽然哆嗒数学网的小编对一些陈述不尽同意，尤其是动不动身败名裂的那几段。

前两天跟一个老同学聊近年来数学上的重大发现，结果作为科普人的我说着说着就发现，数学史原来就是一部八卦史。这个圈子奇葩辈出，怪事叠显。恩，这也正是我们本行从业人员不能自拔的一大乐趣。特此重新整理如下，绝对不保证事实正确性，与现实如有雷同纯是巧合。

故事首先从85年的 Andrew Wiles 说起。此人生在剑桥，但是考大学的时候2B了，没考上剑桥，去了离家不远的国王学院，毕业后好歹也去了牛津大学读了数学博士，但是毕业已经27岁了。作为数学从业人员，大家都知道，27岁才博士毕业，基本就是 “此人智商也就稀松平常” 的同义语。数学界的最高奖菲尔兹奖只发给40岁以下的人，你丫27岁才毕业，在这个行当里还有几年好混啊，对吧。正如妈妈总会拿邻居家的小孩来对比一样，看看人家特仑苏陶大神，20岁就博士毕业了，24岁都终身教授了，这才有大师范儿。

回头说这个 Wiles ，毕业后颠簸了几年总算去 Princeton 找了份教职，正式迈入伪大佬行列。人们都知道在美国混教职，前七年最难熬，因为每年都有发文章的硬性要求，发不出来就下岗。熬过七年就是终身教授了。这个 Wiles 一去也是玩了命儿地憋文章啊，没日没夜地写。但是他干了件惊天地的NB事儿，每年都扣下几篇写好的文章不发。这是在干啥，等被别人抢发了么？NO，作为一个吊丝大叔，他在盘算一个宏伟的逆袭计划。

大概 85 年左右，数学界发现只要证明 Taniyama 猜想就证明了费马大定理。这个费马大定理可是几百年未决的世纪大难题。Wiles 当时就决定搞这个。这个很有不成功则成仁的勇气，因为几百年来无数英雄天才都在这上面折了腰。搞出来就是一代伟人，搞不出来就是将生命燃烧成一缕烟化作一堆灰埋在春泥里。从85年起，Wiles 就开始闭关修炼费马大定理，谁也没告诉，一个人宅小黑屋里偷偷地搞。恩，搞数学其实就是这样的。生物化学物理都要合作，唯有数学，没有合作这一说，所有大成就都是一个吊人宅小黑屋里偷偷地搞，然后搞出来让大家膜拜他的智商的。这一宅就是好多好多年，但是要晋升终身教授每年都要有文章啊，这时候，前几年攒下的文章就派上用场了，每年都拿出来发一点，最后也有惊无险地成为了终身教授。

宅了整整七年后，竟然终于搞出来了。七年啊，练龙象般诺功也该练到第八九层了都。逆袭了，就这三个字。但是好景不长，还未满一年，就被发现这个证明有错。数学上被发现论文有错可是大事。生物化学还可以是解释试验方法不对，仪器有问题，小白鼠长得丑，之类乱七八糟的原因，但是数学论文有错，只有一个原因，就是你智商有问题。
 
    数学史上就有个数学家，挺有名的但是忘了叫啥了，论文发表错了三次，直接身败名裂。投文章的没杂志收了，灰溜溜地退出数学界了。主要是数学论文不好懂，别人看你证明怎么着也得看半个月半年的，看了这么久原来发现有错，这不是耍人谋杀生命么。为了避免身败名裂的厄运， Wiles 没办法又开始宅了。好在这下是终身教授了，宅着也没人开除他。这一宅又是三四年，终于把这个 bug 给修复了。然后，这个故事就结束了，Happy ending， 这位 Wiles 从老吊丝摇身一变成为了武林泰山北斗。

时间转到了2003年。俄罗斯，也就是毛子国，Perelman 说他证明了也是一个一百多年的世纪大问题庞加莱猜想。大家都惊了，此人是谁?问问此行专家，专家都说此人貌似很NB。但是NB在什么地方?不知道，也没见他发过啥文章啥的。而且也不在美国，是在毛子国的一个大学做研究员。这个问题实在是太重要了，于是美国各个大学都开始读他的证明。数学家读同行的文章是怎么读呢？恩，当时是这样的。一个教授，带几个博士后，加几个博士，组成一个小组。每周开会一次，大家看个一两页，一起讨论把搞懂。恩对，每周只能看一两页。然后一堆天才像参详武功秘笈一样，每周争吵讨论才能看懂。就这么几百页的文章看了一年多，大家觉得没啥问题，貌似都看懂了。然后世界才发现，啊，写这个武功秘籍的人原来是大师。看着都这么费劲，写出来的人岂不是智商超越宇宙边际了。

这时候，突然有一个小组，宣布他们发现了 Perelman 的文章有错。正如当年 Wiles 也被发现有错一样。不过这次是另外一种结局，Perelman 给世界的回复只有一句话 “我的文章没错，是丫的没看懂”。然后，最后事实证明，挑错的那个小组的教授们身败名裂了。数学界真的是风险行业，动不动就身败名裂的，入行的骚年们请三思啊。

然后就照例是 Happy ending 时间了，全世界的大学，教授，记者都飞去了莫斯科去找这位扫地神僧。结果人家一概不见。不搞讲座，不领奖，不接受采访。几百万美元的奖励不要，还是宅在老房子里啃黑面包。是真的啃黑面包，因为记者采访到他常去的那个超市的售货员，说 Perelman 总是胡子拉碴衣衫不整地过来买菜，高档的东西统统买不起，每天都买黑面包和通心粉。恩，这就是事实，这就是大师范儿。Perelman 现在在哪里在干什么没人知道，估计还是在宅着研究下一个大问题吧。

再往后，时间到了2013年，这次轮到中国人了。依然是一个老吊丝。此人叫张益唐，年轻的时候在野鸡大学 Purdue University 拿了博士学位，结果博士论文被发现有错，直接身败名裂没找到工作。此后流浪于美国各地，中餐馆小旅社之类的都打过工，还在 Subway 打过工。美国东北部的另一个野鸡大学 University of New Hamshire 当数学系院长的是张益唐的学长，看他可怜给了他一个没有编制没有身份的讲师席位。这一干就是二十多年。光阴荏苒，张益唐已经五十多了，还是个乡下野鸡大学的没编制的讲师。但是突然在2013年，又一个吊丝逆袭了。老张证明了一个几千年的大问题。也就是素数的间隔是有限的。顿时武林又沸腾了，附近的哈佛麻省都邀请老张去开讲座讲讲他的证明，老张很愉快地答应了，但是又补了一句，我还要改期末考试卷，我改完了再去啊。

此后的事儿就是人人上流传甚广的数学家刷下限的事儿了。老张证明了素数的间隔是有限的，但是这个间隔到底最大是多少呢，各路围观群众都一窝蜂地进来，改进方法，发现新的下限值。老张一开始发现的是七千万，很快一个多月后这个值就被无数围观群众刷到了七万。数学家真是可怕的动物不是么。然后人们突然发现，刷下限的人当中竟然有特仑苏陶的身影。回忆一下本文开始提到的，特仑苏陶就是那个20岁博士毕业，24岁终身教授，文章发了几百篇的超级大神一派掌门。此人也过来刷下限了?干这种低档子事?恩，其实特仑苏陶研究这个素数问题也有好些年了，不过一直没有大进展。这次竟然被一个老吊丝抢了风头，估计心里甚为不是滋味吧。不过他依然能放下身段，凭借自己的不灭智商，在围观人群中刷新了好几次下限，也真是难得的谦虚和勤奋了。

上面这些人都很神奇。最后结尾再来一个最神奇的。此人叫望月新一。个人主页的首页上就是一个大大的 “宇宙际级几何学者”。 看上去很山寨吧?但是其实人家是大神。生于日本，六岁去美国，23岁博士毕业于 Princeton，文章发了无数，一看就是武林新秀青年才俊。但是他毕业后不声不响地回了日本，宅在京都大学后就再也杳无音信。终于，很多很多年后，2012年，他都四十多了，青年才俊变中年大叔了，他宣布他证明了ABC猜想。这个又是一个几百年的大问题。
 
    这次世界又沸腾了，因为他年轻的时候就很NB啊，写出来的东西有可信度，身败名裂的可能性不大。但是大家一读了就懵了，这玩意谁也读不懂。望月新一基本重新建立的整个数学的体系，要读懂起码得把他以前写的几千页的东西全读懂。几千页听起来不多，但是想想，数学可是一周只能读一两页的东西。还真的有个教授，给系里请了一年年假，决心宅一年把读懂，结果读了一个月就逃回来上班了。据他说，他估计没有十年读不懂。然后大家就崩溃了。我们不懂，那把望月新一请来美国给我们讲讲啊，哈佛啥的都发了邀请，望月只回了一句话 “我的东西没办法给你们讲懂” ，然后就又没消息了。现在怎么样了呢？这个世界正在等待一个愿意花十年把望月的东西读懂的人。谁愿意读谁去读去吧，他读懂了我们就听他讲解个大意就好了。总会有人愿意抱着 “朝闻道，夕死可矣” 的决心去读望月新一的文章的吧。
 

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

    所谓悖论就是矛盾的命题。众所周知，数学是非常追求严谨的。在数学中是绝对不允许悖论存在的。因为数学体系内部“可能存在”的悖论，历史上引发了三次数学危机，让数学家们费尽了心神。好在结果是好的，总算解决问题，解决危机。

    但是，现在危机又来了！

    据世界数学联盟主席马斯•马提卡透露，由于这次危机来的过于迅猛，让数学界是如此的措手不及。

   这次引发危机的主要是下面三个悖论。且听哆嗒数学网的小骗向你慢慢道来

一、    自然数悖论。
自然数是数学的基石，我们一直认为有无穷多个自然数彼此不相等。但是，最新的结果太令人震撼了——其实所有自然数居然是全部是相等的。
证明过程大致如下：
对于自然数m和n。设max(m,n)表示m和n中的最大值。如果max(m,n)=0，则有m=n=0。现在假设max(m,n) = k 时有m=n,则max(m,n)=k+1时有max (m-1,n-1)=k。 就是说m-1=n-1。得到m=n也成立。于是由归纳法得到结论。

二、圆周率悖论
    圆周率π是曾经是数学里最重要的无理数之一。但最新结果表明，他是有理数，而且是自然数，就等于4。请参见下图：

 
三、    虚数单位悖论
我们中学学的复数现在也不靠谱了。就在于那个平方等于-1的虚数单位i。 这回悖论产生更简单，只需要一个式子：

   现在马斯•马提卡主席已经召集世界上的数学权威人士，一起商讨危机的解决方案，用以拯救生命岌岌可危的数学学科。

   哆嗒数学网，小愚4月1日为您报道。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

作者系道格拉斯·霍夫斯塔特，美国印地安纳州布鲁明顿印地安纳大学认知科学教授。

嗨！欢迎光临！此刻我算是老板（真走运）！

先请你看一下圆周率π，或说得更准确一点儿，是它的十进位展开式中的前几位：

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944....

你是否曾对中的数字排列如此混乱而感到困惑？为什么 “圆的周长含有多少个直径的长度” 这样一个简单而又自然的问题，竟导致这么一个玄奥难解的数，它不仅不是整数，甚至也不是两个整数之比？

再看看下面的数字花样：

1, -3, 5, -7, 9, -11, 13, -15, 17, -19, .....
你会想到它和圆的直径或周长有某种关联吗？可能不会。怎么可能呢？奇数列和圆周会有什么关系？为什么这些奇数的符号还变来变去？再让我们对这个模式做一点儿小小的修改，将这些奇数改为其倒数，并在它们之间添上加号：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 - 1/19 +.....

这个新的模式描绘了一种沿着数轴的锯齿状的运动。从1开始，然后向左1/3，再向右1/5，又向左1/7，再向右1/9，如此继续下去。当然，步长会变得越来越短，所以你会看出我们不可避免地逐渐瞄准到了一个特定的点，这个点明显地会大于2/3而又小于1。这个点到底在数轴上什么地方？这样的问题是否值得关注？

在告诉你这个点是什么之前，让我先问一下，你是否真的在乎了解这个问题？有的人会觉得这种涉及无限的模式很吸引人，甚至感到神奇；而另外一些人则会耸耸肩说：“这算什么？谁会在乎这个？”这两种态度反映出在人类成员中的一种根深蒂固的一分为二的状况。有时我会感到迷惑不解，那些说“不在乎”的人，到底是由于天生或遗传上就对数学的美和魅力有某种“免疫力”呢，还是需要有合适的人出来对他们讲合适的话，或给他们举出合适的例子，再或者给他们看合适的图片，才能使他们睁开眼敞开心灵，看到数学的魅力。我并不知道这类问题的答案，但我觉得，如果到目前为止你还在读这篇前言而不是在打鼾，那你还算是至少对数学及其模式的迷人之处可能有点感觉的人。

那么我刚才所讲的数轴上的那个点究竟在哪里？下面就是答案（可以肯定不是显而易见的！）：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + 1/17 - 1/19 + ....= π/4

这意味着，被用作在数轴上左右来回运动步长的奇数的倒数，与完美的曲线圆和它的笔直的直径之间，有着不可思议的密切关系。这样一种奇特的事实究竟来自何方？

圆周率π到底是高深莫测还是极为简单？如果你知道如何去看它，它就变得非常简单；而最明显的作法（如列出其十进制展开式）却使之变得不可想象地棘手难解。从事数学就是如此。对以正确的适当方式去观察模式的人，秘密是敞开的；而对那些没能摸到窍门儿的人来说，秘密就掩盖着。

人类从事数学已有几千年了，许许多多的秘密已被发现，当然也已被公开了，从而在横跨几大洲的范围内，通过对隐藏在数学中的关键性模式的建构和分享，达成了某种集体共识。但是不管学习了多少这类关键性的模式，似乎没人能达到这样一种状态，即对所遇到的每一个挑战都能通过应用已知的模式加以解决。为了取得新的进展，常常需要有全新的想法。这些想法是突然闪现的，似乎真正是来自天才的头脑。

为什么会是这种情况？为什么数学总是要求有天才的灵光闪现呢？我们大家都记得在小学时，只要学会了几条固定的规则，就能把任意两个数相加，乘法、减法和除法的情况也是如此。（想象一下，如果只是把一组数字加到一起都需要天才的创造力的话，那日子真是没法过了！人们有时的确会说到“很有创意的记帐法”(这是英语中一个讽刺的词，用来指公司在帐上玩花样以蒙骗股民。一般记帐只需要算术的加减乘除。[译者注])之类的话，但那完全是两回事…）也许你知道求某个数平方根的技巧，有点像是长除法。不管怎样，小时候父亲就教过我，我曾花费了大量的时间计算2、3、5 等数的平方根，这给我带来了极大的乐趣，但这并不需要创造力——实际上涉及的创造力是零。

与此类似，一个孩子也可以使用简单的硬性的计算规则，列出一个递增的素数表：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,59....

做法是十分简单和机械性的，但是，这种简单的体力劳动所得到的结果却显得十分混乱。除了看出头一个素数之后的所有素数都是奇数外，其中还有什么别的模式？为什么前后两数之差在上下跳动：2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, ....? 正如你可能会想到的，不久表中就会出现某个“8”，然后在某处会现“10”，并且随后就会有越来越大的偶数出现在这个差值列表中。但是，模式是什么？

在某种意义上，你也可以说没有模式。然而在这个序列中，的确存在着不可思议的，隐藏着的规律性。这里涉及的是它的增长率。简而言之，当 n 越来越大趋于无限的过程中，第 n 个素数的值越来越接近 n log n，其中“log n”是自然对数，意思是说，当它是著名的常数 e 的幂时，我们可得到 n。这里我不打算定义 e 或是自然对数，因为我这里要表述的观点与这些技术细节无关。我要讲的是，在数学中，每当遇到一个表现为混沌的现象时，最终都会表明，原来都是具有某种意外的、隐藏着的模式的；但是，每次都需要有新的创造力去辨认出这些模式，然后还需要有进一步的创造力去严格证明这些模式。

就上面所讲的“素数定理”而言，直到1900年左右这个重要的结果才最终得到了证明，在阿达马（Jacques Hadamard）和德·拉·瓦莱·布森（Charles-Jean de la Vallée Poussin）令人惊叹的证明中，用到了复数的解析工具。目的是为了解释素数序列的密度(素数定理的另一结果是：不超过n的素数的数目，随着n的增大趋近于n/logn。[译者注])，而通过的却是万万想不到的门径！但是话又说回来，谁又曾料到基于奇数的倒数的无限来回又能和圆及其直径发生关系呢？

你可能还不清楚我讲所有这些到底是为了说明什么。其实很简单，简而言之，我的意思是说要发现数学问题的答案，似乎从来就没有像做算术演算那样的固定处方。从事数学，事实上是在挑战最伟大的人类心灵，因为和机械式地自动操作相反，它不断地要求产生新的思想。

为什么情况会是这样？为什么研究数学和算术演算会如此不同？难道就不可能存在固定的一套方法用以得到所有的数学证明吗？这套规则可能会多于在小学里学到的加法和除法等规则，也可能更困难，或者更微妙精细，但难道就不可能在原则上是存在的吗？

事实上，这正是二十世纪初在数学家们心中的普遍信念——必然会存在某种固定的，严格的规则集合，用一个完全不用思考的自动机，能够完全机械地产生所有的数学真理。数学家们为什么会相信这个？因为他们是证明概念的信奉者，而在十九世纪，证明概念的焦点变得越来越清晰，所谓一个证明似乎就是在一个形式公理系统内部进行严格符号操作而得到的必然结果。

换句话说，纯逻辑似乎可以通过称为“符号逻辑”的一套形式规则被机械化，然后向里面输入几条特定的公理（例如，交换律、结合律和分配律，加上“数学归纳法”），然后开始运作就行了！人们可以得到这样的机器，至少在原则上用它可以一个接一个地输出数学真理，并且从原则说，每一条真理都能或迟或早地从这台机器中产生出来。

这就是当时数学家们关于他们的学科的普遍信念。你可能会认为，他们在想到这一点时多少会有些失落感，甚至觉得受到威胁，因为这意味着在他们专业中的一切都可用一台无心灵、无思想、无理解力的自动机或机器人来替代完成。但是，使人感到奇怪的是，这种前景并未使数学家们感到困扰；事实上，倒是使他们对自己学科的高度规范，高度一致，高度精确有了进一步的信心。

随后，在1931年，伴随着年青的奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔的出现，这种想法被打得粉碎。25岁的哥德尔瞄准将数学视为机械地符号操作的观念，证明其内部潜藏着致命的矛盾。只要你将一台产生真理的机器交到哥德尔手上，他就会检验一下它的结构，瞬时间就交给你一个你的这台机器永远也产生不出来的真数学命题。至于他怎么知道这台机器产生不了这个命题？他怎样利用这台机器的结构制造了这样一条它永远产出不了的真的数学命题？那好办，阅读完此书你就会知道了。最重要的是，哥德尔完全摧毁了将数学视为纯粹机械性活动的观念。他确凿地表明，创造性的思想将永远体现在数学中，创造力将永远是必需的。在所有这些事情中，最令人惊叹的是，年轻的哥德尔是证明了事实的确是如此。他的证明，是地球上所有曾进行过的数学思考中最有创意的成果之一。

所以数学虽然是一门有关模式和规则的科学，但是从其本性来讲却并不是一个总体模式或总体规则而已。数学自身的本质在于，虽然它包括模式，而模式又构成模式（如此这般以致无穷），然而总会有不能预见到的在新的层次上的模式；新的层次上的模式总是会使人感到意外，总是好像在回避先前已有的思维方式。

哥德尔定理是如此奇妙，如此使人惊喜！虽然在我看来，1931年看到这一点的数学家们应该感到高兴才是，但是相反地，他们却是如此难以接受。数学家们一直沉浸于对他们所从事的学科具有完美的机械性的想象之中，而现在却被告知数学是不可预测的，难以驾驭的，充满着对持续创造能力的永恒需求。这个信息多少会使人惊慌失措和感到威胁，并不符合他们对自身学科的想象。

然而随着二十世纪进程的展开，随着观念的梳理和澄清，数学家们逐渐认识到，这种对其学科性质的看法非但并不那么可怕，那么糟糕，而且是不可避免的。随着计算机渗入我们的生活，人们开始看到在计算机适合做的事和心灵适合做的事之间，存在着巨大的鸿沟。因此，哥德尔带来的信息显得越来越合理，甚而是必然的。但所有这一切并不意味着哥德尔证明本身就变得显而易见了——远非如此！哥德尔的观念是美妙的，而其艰深的一整套思想对大多数人来说，却是难以消化的；几十年当中，只有少数人才能够理解。

这个问题的解决落在了内格尔和纽曼——他们俩个人都不是数学家，而是有关数学和人类心灵的深刻思想家——身上。他们合写的初版于1958年，现已成为经典的《哥德尔证明》一书，使哥德尔证明为广大的读者所了解。这本书曾在成千上万人中传播，改变了其中很多人的生活，其中就包括当时只有十来岁的我本人。就我个人来讲，我的确要把我生活中的全部事业追溯到那至关重要的一天：当时是1959年秋天，在门罗公园的开普勒书店里，我完全偶然地见到了《哥德尔证明》。

可能此刻在中国，有个人——可能就是你——正在书店里面随意浏览这本书，正在翻动它的书页并正在读着眼前这些词句。或许如果你买了这本书，会使你的生活发生革命性的变化，就像这本书对我那样！当然，也可能什么也没有发生。或许正在读这些话的不是你，而是站在书店别处的另外的人。也可能你根本就不在书店里。或许你还正在睡觉呢！但是不管是哪种情况，不管是你或是别的什么人，我的确希望在中国有人能发现这本书，能感受到它是如此之美妙，如此之激动人心，就像我在14岁，然后在15岁，再在16岁，以及之后在所有的年龄段时所感受到的那样。事实上，从对这些思想的感受的角度讲，我从来就没有变得太老。这些思想是如此美妙，如此难以忘怀，如此神秘，它们将会伴随你整个一生。

我个人的情况是，我已用了几十年的时间来思考哥德尔的观念，我选择了认知科学这个专业领域，因为我想要了解人类的心灵怎么会不像最初所感到的那样简单，而是具有如此丰富得多的创造性；我想要了解心灵和机器之间难以捉摸的联系；我想要了解数的模式为什么一方面是如此完满和单纯，另一方面又如此不可预见和狂乱；我想要了解隐藏在思维、创造力和意识背后的秘密。

如果你问我是否取得了最后的成功，答案是“当然没有！”如果是的话，生活将会变得令人厌烦。如果人的心灵会被化简为几条僵化的规则，即便是相当大的一个僵化规则的集合，那会是一件令人极度悲哀的憾事。哥德尔证明了，情况不会是这样。我们是幸运的，因为我们的心灵是如此不可预知；而正因如此，生活才充满了情趣。尽管如此，我们仍在进行努力来科学地了解我们自身。

如果要说在科学发现中有哪一件工作曾使我们洞察到我们自身心灵的微妙和深度，那就是哥德尔在1930-1931年间所创造的关于不完全性定理的证明。我希望你在阅读这本宝石般珍贵的小书时，是像在进行会获得极大欢乐的一次航行。这次航行是在驶向数学的核心，数学思想的核心，思想本身的核心，说到底是在驶向人类心灵的核心。就像是乘坐过山车一样，这将是一次你会不时地感到昏眩，失去方向感，迷狂的曲折旅程。但正因如此，这将是你所有过的最不可思议的经历。

我当然希望如此。祝你一路顺风。

2007年2月

布鲁明顿 印地安纳州

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

来自挪威科学与文学院的阿贝尔官方网站消息 (AbelPrize.no)。 2015年阿贝尔奖得主于3月25日揭晓。该殊荣由来自美国的两位数学泰斗约翰·纳什和路易斯·尼伦伯格获得，表彰他们在“非线性微分方程理论及其在几何分析中的应用”上的“令人瞩目和开创性的贡献”。

约翰·纳什，现年86岁。1994年因为博弈论的研究获得诺贝尔经济学奖。另外，约翰纳什的名字被人熟知，还因为描写他人物传记电影《美丽心灵》的播出。该电影获得了2002年奥斯卡金像奖的最佳影片奖和最佳导演奖。

路易斯·尼伦伯格，现年90岁，出生于加拿大。他拥有着最长时间及最受人尊敬数学家职业生涯。和约翰·纳什喜欢独自研究不同的是，路易斯·尼伦伯格喜欢和其他人合作做研究。他90%的论文都是和其他人合作完成的。

年度颁奖仪式将在5月19日在挪威首都奥斯陆举行。奖金600万挪威克朗，约合82万美元。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

今天(2015年3月23日)谷歌徽标出现了一位女性，在这位女性背后，是一大堆“数学元件”——圆规、钟表、陀螺、茶杯与甜甜圈。

是的，今天纪念了一位女性数学家。

她，曾经让大数学家希尔伯特为她的教职工作的落选而大骂哥廷根的教授们。

她，曾经被家爱因斯坦曾高度评价，称赞她是“自妇女接受高等教育以来最杰出的富有创造性的数学天才”。

她，是历史上第一位女数学博士。

她，为环论的奠基性工作，让抽象代数真正意义上成为一个数学分支。

她是德国数学家——艾米·诺特。

1935年，癌症夺取了这位伟大女数学家的生命。爱因斯坦亲自为她撰写了讣闻，著名数学家外尔、范德瓦尔登、亚历山德罗夫都为她写了悼词。其中外尔这样写道：

她曾经是充满生命活力的典范，

以她那刚毅的心情和生活的勇气，

坚定地屹立在我们这个星球上，

所以大家对此毫无思想准备。

她正处于她的数学创造能力的顶峰。

她那深远的想像力，

同她那长期经验积累起来的技能，

已经达到完美的平衡。

她热烈地开始了新问题的研究。而这一切现在突然宣告结束，

她的工作猝然中断。

坠落到了黑暗的坟墓，

美丽的、仁慈的、善良的，

他们都轻轻地去了；

聪颖的、机智的、勇敢的，

他们都平静地去了；

我知道，但我决不认可，

而且我也不会顺从。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

    今年三八妇女节之前，《华尔街日报》“新浪”微博在３月６日和３月７日连发了一篇文章的上、下两部分。这篇题为《Sex and the City：“剩女”经济学》的文章，似乎是用经济学理论为“剩女”正名——原来“剩女”其实是“胜女”。其实，对研究者而言，还是价值中立、感情零度比较好。剩女，胜女或圣女，名称而已，如果有人因此感情严重受伤害，那是她／他个人的事，研究者没义务为之做心理按摩。

而且，如果研究者感情偏向太热烈，或许会讲了互相矛盾的话而不自知。比如，那篇文章说，“很多男性在婚姻市场上会有强烈的双重标准，要上的厅堂下的厨房，聪慧风趣漂亮赚钱之外还要扫地洗碗做饭看娃，一边说男女平等，一边要三从四”。但文章后面又说，“假如我们把所有男人女人按照相貌、收入、性格等综合排序，那么最棒的男性最终可能选择了第二组女性，第二组男性选择了第三组女性。最后剩下的就是受教育最高收入最高的女性，还有第三组男性”。男人真要有那么强烈的双重标准，最棒的男性凭什么选择第二组女性？如果他最终选择了第二组女性，那么他的双重标准只是哄哄自尊心的牛皮而已，不值得研究者认真对待。

老农我一贯强调中学程度的极端重要——当然，这首先是因为老农自己只有中学程度。不过，那篇文章所研究的问题，倒是一个极好例子，证明中学程度足够混社会了。

实际上，用一点中学数学，很容易就可以看出：如果女男趋于平等，平均教育程度和中位收入等大致都相同，那么高学历、高职位、高收入的女性一定会遇到择偶困难。

美国大学里，现在女生比例越来越高。不少学校的招生办公室的最大任务是守住60%这条线，不让女生超过。这些女生对男生有什么看法？老农在美国校园打猪草时，听过这样一个笑话。

丽莎约会回来，同室女生琳达问：“这个新朋友怎么样啊？”丽莎说：“还行，虽然是男人，他倒不笨。”

受过教育的女人一般很难容忍愚蠢的男人。“胜女”通常也希望嫁一个比她聪明些的丈夫。但是，智商分布曲线决定了她们中的相当一部份无法实现这一愿望。且看下面的智商分布图。智商分布曲线在两端（高智商与低智商）大滑坡，人越聪明，数量越少。不查正态分布表格，难以想象有才女子竞争如意郎君之激烈。

衡量智商高于（或低于）平均值的一种量度是均方差——为中学里未读过统计基础知识的同学理解方便——这里不管这一统计术语的定义，暂以“台阶”称之。比平均智商高一个台阶的人占人口总数的16%，高两个台阶的则只有2.2%。如果智商至少高一个台阶的女子一定要找至少高两个台阶的聪明男人，那就是八个争一个。这里假设在同龄人中争，不考虑其他因素的影响。

即使要求不那么高，比如说，智商比平均值高一至一个半台阶的女子，找到智商比她高半个台阶的男人就心满意足了。在一万个同龄女人里，智商在这一段的有918个。但在一万零六百个同龄男人里（按106:100的男女出生率算），智商比她们高半个台阶的聪明男人只有467个。是两个争一个。

上面还只是考虑了智商单一因素。如果再考虑其他择偶条件，诸如情商要高，人要长得帅，经济状况要好，等等，那么，即使将范围扩大到同龄人之外，“胜女”也是很难找到婆家的。

只要你具备中学程度的统计常识，再加一条科学常识（智商或人的其他属性通常呈正态分布）和两条生活常识（女人通常还是想结婚的；而且她们通常想找一个比自己略强的男人——这一条包括了那篇文章讲的男性高工资地区会有较多女性的情况），你就知道：“胜女”嫁人难，不是男人的错，更不是女人的错，正态分布的“钟形曲线”（Bell Curve）——其形状像一口倒扣的大钟——才是罪魁祸首。“钟形曲线”决定了“胜女”和她们愿嫁的男人之间，必然存在着不可调和的人数比例失调。

“女子无才便是德”这一貌似愚昧的华夏古老格言背后，居然有着中学程度的深刻智慧。女人普遍受教育了，智力开发了，有才了，选择配偶的眼界高了，建立家庭就要困难些，大龄未婚女子也必然增多。这是世界性趋势。

当然，我们不可能倒退到“美好”旧时光。好在按唯物辩证法，人是其社会关系的总和。现在不讲阶级斗争了，人最重要的社会关系就成了女男关系。对自己最重要的关系，不管有什么问题，人在实践中一定会找出解决办法，至少会把旧的问题改造成新的问题。

或许，因着教育上的全面优势，女性正日益强势，她们正在向“第一性”迈进。美国有心理学家预言：如果女人成了“第一性”，她们就会有“第一性”的心理。到了那一天，她们会倾向于嫁（或许那时会说“娶”）一个年龄略小的温顺听话的美貌男人。那时候，苦恼的就该是“剩男”了。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

哆嗒数学网注：作者系美国波兰裔逻辑学家和数学家塔尔斯基，逻辑学方面逻辑学家们将塔斯基的成就与亚里士多德、弗雷格、罗素和哥德尔相提并论。数学上他发现了著名的“分球怪论”——巴拿赫-塔尔斯基悖论，引发了数学界对选择公理更深刻的讨论。本文作者从几何学出发，不断深入，详细讨论了任意学科的"逻辑概念"这一概念。其间还讨论了“数学是否是逻辑的一部分”这样的问题。此文原载于《世界哲学》2014年3期。

1、 我演讲的题目是一个问题；它属于现如今非常时髦的一类问题。你们还常常听到另一类问题：什么是心理学、什么是物理学、什么是历史学？这类问题有时由在特定科学中工作的专家来回答，有时由科学哲学家来回答；在这样的问题上，有时，人们也把逻辑学家当作所谓的权威而问及其观点。好了，让我们这样来说，在一门特定的科学中工作的专家通常是这样一些人，他们至少有资格为这门科学给出一个好的定义。在这个范围内，你们通常会期望从科学哲学家那里获得一种明智的讨论。逻辑学家显然不是权威，逻辑学家并没有特殊资格来回答这类问题。相反，逻辑学家的角色和影响具有负面特点——他提出批评意见，指出某种表述多么糊涂，对某一门科学的说明多么不明确。鉴于逻辑学家讨论其他科学的定义的负面方式，逻辑学家在讨论自己的科学并且试图说逻辑是什么的时候，当然必须特别谨慎。

对于“什么是逻辑？”或者“什么是如此这般的科学？”这个问题，回答可能是千差万别的。在有些情况下我们会说明这门科学的名称的流行用法。因此，要说什么是心理学时，你可以试试说明使用“心理学”这个词的大多数人通常指什么。有些情况下，我们并不在意使用一个词的所有人的流行用法，而是在意有资格使用它的人的流行用法，这些人是该领域的专家。这里，我们就会在意心理学家对“心理学”这个词的理解。在另一些情况下，我们的回答带有规范性特征：我们建议这个词以特定的方式使用，而不管它实际使用的方式。另一些回答似乎另有不同的目的，对此我难以说明白它是什么；人们常常会谈论把握一个概念专有的、真正的意义，或者某种独立于实际用法、独立于任何规范性建议的东西，抑或某种类似于这个概念背后柏拉图式的理念的东西。最后这种探讨对我来说十分怪异，我会忽略不计，因为对这类问题我无法给出任何明智的说明。

让我提前告诉你们，要回答“什么是逻辑概念？”这个问题，我的做法是为“逻辑概念”这个术语的一种可能用法提出一项建议或提议。对我而言，即便这个建议并非与“逻辑概念”这个术语的所有流行用法一致，它也至少与实践中所遇到的一种用法一致。我认为这个术语在几种不同意义上使用，而我的建议说明了其中一种意义。①此外，我将不讨论“什么是逻辑？”这个一般性的问题，我把逻辑看作一门科学、一个真句子系统，这些句子中包含指称特定概念、逻辑概念的语词。在这里我仅考虑该问题的一个方面，即逻辑概念的问题，而不考虑比如逻辑真的问题。

2、 我的建议的基本思想要回归到德国数学家F. 克莱因(Felix Klein)。在19世纪后半叶，F. 克莱因在几何基础中做出了相当严肃的工作，对该领域后来的研究产生了巨大的影响。②吸引他的一个问题是区分各种几何体系、各种几何理论中讨论的概念，比如普通欧氏几何、仿射几何和拓扑学。我将尝试把他的方法扩展到几何学之外，还把这种方法应用到逻辑学。我倾向于相信，同样的思想还可以扩展到其他科学。据我所知，至今还没有人尝试这样做，但是或许可以运用克莱因的想法，阐述一些合理的建议，用于区分生物学概念、物理学概念与化学概念。

现在让我试着向你们非常简要地解释克莱因的思想。克莱因的思想基于“变换”这个技术性的名词，而这个词又是每个人都熟知的、来自高中数学的另一个名词——“函数”的特例。我们都知道，一个函数或者函数性关系是一个具有如下性质的二元关系r，无论考虑什么样的对象$x$ ，至多存在一个对象$y$ 使得$x$ 与$y$ 具有关系$r$ 。这些使这样一个$y$ 存在的$x$ 称为“自变量值”。对应的y称为“函数值”。我们也写成$y=r(x)$；这就是通常的函数记号。自变量值的集合称为“函数的定义域”，函数值的集合在《数学原理》中称为该函数的“反域”(counter-domain)，更常见的叫法是“值域”(range)。所以，每个函数都有定义域和值域。数学中经常处理由数构成定义域和值域的函数。然而，还有其他类型的函数。比如可以考虑由点构成定义域和值域的函数。特别地，在几何学中，我们处理定义域与值域均与整个几何空间重合的函数。这样的函数被看作几何空间到自身的“变换”。此外，我们还常常处理一些$1-1$ 函数，这些函数具有如下性质：对任何两个不同的自变量值，对应的函数值总是不同的。我们便说这样的函数在其定义域和值域之间建立了一一对应关系。因此，定义域和值域均与整个空间重合的1－1函数称为几何空间到自身的一一变换(更简单地称为“变换”)。现在开始讨论普通几何空间的变换。

接着让我们考虑我们高中就熟知的普通欧氏几何。这门几何学最初是一门经验科学——其目的在于研究我们周围的世界。这个世界充斥着各种物理对象，尤其是刚性物体，刚性物体的一个特征是它们在移动时不改变形状。这样一个刚性物体的每一次运动都对应于某种变换，因为一个刚性物体在开始移动时占据一个位置，而作为该运动的结果它又占据另外一个位置。这个刚性物体在运动开始占据的每一个点都对应同一物体在运动终止之时占据的一个点。于是便有了一个函数性关系。这确实不是一个其定义域包含空间中所有点的函数性关系，但是由几何学可知，它总是可以扩展到整个空间。现在，这个变换的典型特征是两点之间的距离不变。如果x和y有一定的距离，而$f(x)$ 和$f(y)$ 是对应于$x$ 和$y$ 的终点，那么$f(x)$ 和$f(y)$ 之间的距离等于$x$ 和$y$ 之间的距离。我们称距离对这个变换保持不变。这是刚性物体的运动特性——要是它不成立，我们便不会称这个物体为刚性物体。

正如你们看到的那样，在几何学中我们很自然来考虑这个空间中的一种特殊变换，也就是不改变点之间的距离的变换。数学家有一个坏习惯，从其他领域——物理学、人类学等等借用一个词，赋予它一种相关而不同的意义。对“运动”这个词他们已然这样做了。他们在数学意义上使用“运动”这个词，在这种意义上，它只是表示距离不变的变换。因而一个特殊的物理对象、一个刚性物体的运动导致某种变换；但是对于数学家来说，运动只不过是不改变距离的变换。这样的变换更恰当地称为“等距变换”(isometric transformation)。

克莱因接着指出，欧几里得几何学中讨论的所有概念对所有运动都保持不变，也就是说，对所有等距变换都保持不变。让我再说一遍我们说一个概念对某些变换保持不变的意思是什么。我在一种非常宽泛和一般的意义上使用“概念”这个词，粗略地说，意思是在某种类似于《数学原理》的类型分层中所有可能类型的对象。因此，概念包括个体(在这里就是点)、个体的类、个体的关系、个体的类的类，等等。比如，说个体的类对变换f保持不变是什么意思？它的意思是，$x$ 属于这个类当且仅当$f(x)$ 也属于这个类，换句话说，这个类由这个变换映射到自身。说一个关系对变换f保持不变又是什么意思？它的意思是，x和y具有这种关系当且仅当$f(x)$ 和$f(y)$ 也具有这种关系。我们可以很容易地按熟悉的方式把不变性的概念扩展到类的类、类之间的关系等等。

对欧几里得几何学的详细分析表明，在这门几何学中讨论的所有概念，不仅对运动保持不变、对等距变换保持不变，而且还对更广泛的变换类保持不变，即对几何学家所谓“相似性变换”保持不变。有一些变换并非都保持距离，但可以说它们在所有方向上统一增大或缩小几何图形的尺寸。更确切地说，有些相似性变换不保持距离，但是都保持两个距离的比例。比方说，你有三个点$x$ 、$y$ 和$z$ ，如果$y$ 到$z$ 的距离比x到y的距离大25％，那么相似性变换的结果仍然是三个点$f(x)$ 、$f(y)$ 和$f(z)$ ，其中$f(y)$ 到$f(z)$ 的距离比$f(x)$ 到$f(y)$ 的距离大25％。换句话说，一个三角形变换为另一个相似三角形，两者都有相同的角，而且它们的边成比例增大或缩小。于是，在欧几里得几何学中讨论的所有性质，对所有可能的相似性变换保持不变。顺便说一句，这意味着在欧几里得几何学中不能讨论度量单位的概念。我们不应该问这样一位几何学家，从他的学科观点看，米制系统和非米制系统哪个更好。用欧氏的术语来说，我们无法区分一米和一码，甚至也不能把一厘米与一码区分开。任何两条线段都是“相同的”，因为你总可以通过相似性变换把一条线段变换成另一条线段。属于一条线段的每种欧几里得性质也属于其他每一条线段。

克莱因接着说，对所有相似性变换的不变性是度量几何学(普通欧氏几何的另外一个名称)的特性。③这一点可以用定义来表达：一个度量概念，或者度量几何学的概念，只不过是对所有可能的相似性变换保持不变的概念。我们当然也可以设想一门学科，在其中我们考虑较窄范围的变换类，比如只考虑等距变换，或者只考虑保持左右两边的区分的变换(在普通几何学中无法给出这种区分)，或者只考虑保持顺时针运动与逆时针运动的区分的变换(在通常的欧几里得几何学中也无法给出这种区分)。但是，通过缩小可容许变换的类的范围，可以作出更多的区分，也就是说，我们拓宽了对可容许变换保持不变的概念的类。在这个方向上，几何学的极端情况就是挑出4个点，给它们命名，然后只考虑那些让这4个点保持不变的变换。这将意味着引入一个坐标系，然后我们将处于几何学范围的极限位置，即处于所谓的分形几何的位置。实际上，在这种情形中，除了一个“不足道的”恒等变换，不会有可容许的变换。

另一方面，可从反方向入手；不是缩小可容许变换的类的范围并以这种方式拓宽不变性概念的类的范围，而是做相反的事情，拓宽变换类。比如，我们还可以增加距离可变的变换，但是不变的东西是点彼此之间的线性位置。更确切地说，如果3个点在一条直线上，那么它们经过变换之后的像也在一条直线上。如果一个点位于其他两个点之间，那么它的像也位于其他两点的像之间。有人称这样的变换为“仿射变换”。共线性(coilinearity)和居间性(betweeness)恰好是两个对所有这类变换保持不变的概念。使用这样的概念的几何学分支称为仿射几何学。④在这门几何学中，我们无法区分一些东西，比如一条线段与另一条线段，实际上我们无法在三角形中作出任何区分。这样说来，任何两个三角形都是相等的，也就是说，从仿射几何学的观点看是不可区分的。这意味着，在仿射几何学中，我们无法指出任何一种性质，它为某一个三角形所具有，而不为所有其他三角形所具有。在度量几何学中，我们知道许多这样的性质，例如等边性、直角性。在仿射几何学中，我们无法作出任何这样的区分。我们所能区分的，乃是把三角形与四边形区分开，因为不存在仿射变换可以从一个三角形出发而得出一个四边形。因此，这里我们有了一个更宽范围的变换类的例子，这致使我们也有了一个更窄范围的概念类的例子，这些概念都对这个较宽范围的变换类保持不变；概念越少，特征更“一般”。

我们再往前走一步。比如，我们可以增加一些甚至不保存居间性关系的变换，甚至增加一些把位于同一条直线上的点变成位于不同直线上的点的变换。粗略地说，这里被保持的典型事物就是联通性或者封闭性。联通了的图仍是联通的。封闭了的曲线仍是封闭的。从“负面”角度看事物，有时候人们说，这些变换就是那些不“打碎”或“撕裂”的变换。这是一种非常不精确的表述方式，但是你们中有些人大概已经猜到我在想什么；我在想所谓的连续变换，这部分几何学，亦即处理对这些变换保持不变的概念的几何学，就是拓扑学。在度量几何学中，可以把一个三角形与另外一个三角形区别开；在仿射几何学中无法做到这一点，但仍然可以把一个三角形和一个(比如说)四边形区分开。而在拓扑学中，我们无法在两个多边形之间作出区分，甚至在一个多边形和一个圆之间也无法区分，因为给定一个多边形，如果我们想象它由金属丝制成，那么总可以把它弯成一个圆或者任意其他多边形。这样的变换是连续的：任何联通的东西不分离出来。在拓扑学中可以区分一些东西，比如说，把一个三角形从两个三角形区分出来。因为如果一根三角形的金属丝可以弯曲成两个三角形，那么就把它分裂为两部分，每个三角形从一部分得到——这就不会是连续变换。

3、 现在假设我们继续思考这一点，还考虑更宽范围的变换类。在极端的情形中，我们会考虑空间、论域或者“世界”到自身的所有一一变换组成的类。处理对这个最宽范围的变换类保持不变的概念的科学将是哪一门科学呢？这里只有非常少的概念，所有这些概念都具有非常一般性的特征。我认为，它们就是逻辑概念，称一个概念是“逻辑的”，如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变。⑤这样的提议或许听起来有些奇怪——看它是否合理的唯一方式便是讨论它的某些推论，看它会导致什么样的结果，若我们同意在这种意义上使用“逻辑的”这个词，就必须相信这些结果。

一个自然的问题是这样的：考虑在现有的任何逻辑系统(比如《数学原理》)中可定义的语词所指的概念。在《数学原理》中定义的概念都是我提议的那种意义上的逻辑概念吗？回答是肯定的；这是一个很简单的元逻辑结果，很久以前(1936年)林登堡姆和我就在一篇短文中进行了阐述。虽然这个结果是简单的，但是我依然认为大多数逻辑教科书应该包含这个结果，因为它显示了逻辑手段所能表达的事物的一种特性。我不会用非常精确的方式表述这个结果，但是它的本质恰如我刚才所言。《数学原理》中定义的每个概念，对任何其他常见的逻辑系统中的那些东西，对“世界”或“论域”到自身的每个一一变换都是保持不变的。⑥

下面我们系统地寻找逻辑概念的例子，从最简单的语义范畴⑦或类型开始，逐步达到越来越复杂的范畴或类型。比如，我们可以从个体、从最低类型的对象开始，并且问下面这个问题：个体中的逻辑概念的例子有哪些？我的意思是：哪些个体的例子在上述意义上是逻辑的？答案很简单：不存在这样的例子。不存在这种类型的逻辑概念，这仅仅是因为我们总能找到世界到自身的一个变换，其中一个个体变换成另一个个体。我们总可以定义这样一个函数，这个简单事实意味着在这个层次上不存在逻辑概念。

如果我们进入下一个层次，到达个体的类，我们问：个体的类有哪些在这种意义上是逻辑概念？依然由一个简单论证便得出结论，恰有两个个体类是逻辑概念，即全域类和空类。只有这两个类才是对论域到自身的每个变换保持不变的个体类。

如果我们再进一步并考虑二元关系，简单论证即可表明，只有4个二元关系在这种意义上是逻辑概念：总是在任意两个对象之间成立的全域关系，绝不会成立的空关系，当“两个”对象相等时只在它们之间成立的恒等关系，以及与它相反的多样性关系。因此，全域关系、空关系、恒等关系以及多样性关系，这四者是个体之间仅有的逻辑的二元关系。这一点很有趣，因为皮尔士、施罗德和其他19世纪的逻辑学家在关系理论中恰好引入和讨论了这4种关系。如果你考虑三元关系、四元关系等等，情况也是类似的：对于这些关系中的每一种关系，你都将有少量的有穷多个逻辑关系。

如果你再进入下一个层次，考虑类的类，情况变得更有趣一些。我们不说“类的类”，而说“类的性质”，并且问：类的哪些性质是逻辑概念？答案仍旧很简单，尽管十分难以精确地阐述。可以证明，(个体的)类的性质中只有与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念。一个类由3个元素组成，或者由4个元素组成……这个类是有穷的，或者一个类是无穷的——这些都是逻辑概念，而且本质上是这个层次中仅有的逻辑概念。

在我看来，这个结果相当有趣，因为在19世纪，有一些关于我们的逻辑是外延的逻辑还是内涵的逻辑的讨论。人们说过多次，尤其是数理逻辑学家说过多次，我们的逻辑确实是外延的逻辑。⑧这意味着，如果两个概念有相同的外延，便不能从逻辑上加以区分，即使它们的内涵不同。正如通常所认为的那样，我们不能从逻辑上区分性质和类。现在根据我们的建议，可以证明我们的逻辑甚至比外延的逻辑还要少，它是数的逻辑、数字关系的逻辑。如果两个类中每个类恰有两个个体，我们便不能从逻辑上区分它们，因为如果你有两个类，每个类都由两个个体组成，你总能找到论域的一个变换，在这个变换下，一个类变换为另外一个类。每一项属于两个个体组成的一个类的逻辑性质，都属于恰好包含两个个体的每一个类。

如果你接着考虑更复杂的概念，比如类之间的关系，那么逻辑概念的种类就会增加。在这里你将平生第一次遇到许多重要的和有趣的逻辑关系，学过逻辑基础的人对这些关系了如指掌。我指这样一些东西：类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系；所有这些关系都是通常意义上的逻辑关系的例子，在我所说的意义上它们也都是逻辑的。由此你便有了关于逻辑概念是什么的想法。我自己仅仅考虑了4种最简单的类型，只在这些类型的范围内讨论了逻辑概念的例子。作为这个讨论的结论，我想转向另一个问题，在听我的说明时，你们中有些人大概已经有了这个问题。

4、 数学是否是逻辑的一部分？这是常常被问及的问题。在这里我们仅考虑该问题的一个方面，即数学概念是否都是逻辑概念，而不涉及比如数学真命题是否都是逻辑真命题这样的问题，它超出了我们讨论的范围。众所周知，全部数学可以在集合论⑨或类理论中构造，因此，上述问题可以归约为如下问题：集合论的概念是否都是逻辑概念？我们又知道，所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义⑩，即归属概念或属于关系的概念，因此我们的问题的最后一种形式是：属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念？答案似乎令人失望。我们可以这样来发展集合论、属于关系的理论，使得这个问题的答案是肯定的，或者我们也可以这样来进行，使得这个问题的答案是否定的。

所以答案是：“如你所愿！”你们都知道，由于悖论的出现，主要是本世纪之交在集合论中出现的罗素悖论，必须重新对集合论基础进行彻底的研究。这项研究至今绝没有完成的一个结果是说，在集合论经历惨痛重击之后，两种构造从集合论中挽救出来的东西的方法发展起来了。一种方法本质上是《数学原理》的方法、怀特海和罗素的方法——类型方法。第二种方法是策梅洛、冯•诺依曼和贝奈斯等人的方法——一阶方法。现在让我们从这两种方法的观点来看我们的问题。(11)

使用《数学原理》的方法，集合论就是逻辑的一部分。该方法可以大致描述如下：我们有一个基础论域，即个体域，然后我们从这个个体域构造一些概念，比如类、关系、类的类、关系的类等等。然而只有基本论域、个体域才是根本的。一个变换定义在这个个体域上，而这个变换又诱导出由个体、个体之间的关系等等构成的类上的变换。更明确地说，我们考虑最低类型的全类，一个变换以这个全类为定义域和值域。然后这个变换也诱导出一个变换，其定义域和值域是第二类型的全类，即个体的类的类。当我们讨论“世界”到自身的变换时，我们仅仅指基本论域、个体域的变换(这个论域可以解释为物理对象的论域，尽管《数学原理》中没有任何东西强迫我们接受这样一个解释)。使用这个方法，显然，属于关系确实是一个逻辑概念。它出现于几个类型中，因为个体是个体的类的元素，个体的类又是个体的类的类的元素等等。恰恰根据诱导变换的定义，属于关系对世界到自身的每个变化都保持不变。

另一方面，考虑构造集合论的第二种方法，这里我们没有类型分层，只有一个论域，个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念。现在，显然这个属于关系不是逻辑概念，因为正如我前面提到的那样，个体之间只有4个逻辑关系：全域关系、空关系、恒等关系和多样性关系。如果个体和集合被看作属于同一个论域，那么属于关系并不是这些关系中的任何一种关系；因此，在这第二种设想之下，数学概念不是逻辑概念。

这个结论在我看来非常有趣，因为这两个可能的答案对应于两种不同类型的思想。我认为，一种关于逻辑、集合论和数学的一元论看法(依据这一看法，整个数学是逻辑的一部分)，要求助于现代哲学家的一种基础倾向。另一方面，若是数学家听说数学这门在他们看来是世界上最高的学科竟然是某种像逻辑那样不足道的东西，他们一定会很沮丧；因此，他们喜欢这样来发展集合论，在其中集合论的概念不是逻辑概念。我所给出的建议，自身并不蕴含对于数学概念是否是逻辑概念这个问题的回答。

*1966年5月16日，塔尔斯基在伦敦大学贝德福德学院以《什么是逻辑概念？》为题做了一次演讲，然后根据演讲录音整理了一份打字稿。1973年4月20日，在纽约州立大学布法罗分校的会议上，他依据这份打字稿做了一次主题演讲，该校教授著名的美国逻辑学家、哲学家、数学家和逻辑史家J. 柯可兰(1937—)对本次演讲做了详细的笔记，并在笔记基础上写了一份扩展性说明，发表在该大学的报纸上。1982年，塔尔斯基把打字稿以及需要完善的说明交给了柯可兰。柯可兰纠正了稿件中存在的标点符号、句子结构和语法问题，并添加了参考文献和脚注。1983年，塔尔斯基去世。在其去世前他的儿子扬•塔尔斯基和夫人玛丽亚•塔尔斯基征得塔尔斯基同意决定发表经柯可兰编辑后的文章。编辑版本最后于1986年发表在《逻辑史和逻辑哲学》第7卷。征得扬•塔尔斯基教授、柯可兰教授和《逻辑史和逻辑哲学》现任主编裴克豪斯(Volker Peckhaus)教授的许可，我们把塔尔斯基的这篇经典论文翻译介绍给国内读者。该文发表时编者柯可兰教授在文前加了一段“编者导论”和一段“编辑处理”，文后还有一个“编者致谢”，限于篇幅译文删除了这些内容。本文在翻译过程中得到了圣何塞州立大学(San Jose State University)牟博教授的热情支持和帮助，西南大学的马明辉博士提出过具体的修改意见。一并致谢！——译者

Alfred Tarski,"What are Logical Notions?" Edited by John Corcoran, in History and Philosophy of Logic, vol. 7, 1986

•  【注释】

•  ①把这些说明与塔尔斯基1935年的论文中关于真的说明以及1936年的论文中关于逻辑后承的说明(特别是第420页)联系起来看，很有启发性。也可以参阅柯可兰(Corcoran, 1983)，特别是第xx－xxii页。

•  ②例如，参见克莱因(Klein, 1872)。

•  ③这个领域的术语不统一，有些读者可能不太熟悉塔尔斯基的用法。此处的术语源自塔尔斯基(Tarski, 1935b)，其中用“描述几何学”表示普通欧几里得几何学中仅基于“点”和“介于……之间”(塔尔斯基称为“描述的初始概念”)的那一部分。用“度量几何学”这个词表示全部的普通欧几里得几何学(如塔尔斯基注解，它可以看作仅基于“点”和“同余”——塔尔斯基称这些概念为“度量的初始概念”)。在同一篇论文中，塔尔斯基指出，描述几何学在如下意义上是度量几何学的一个真子部分：“介于……之间”可由“点”和“同余”来定义，而“同余”不能由“点”和“介于……之间”来定义。

•  ④目前使用的“仿射几何学”恰恰就是在这种意义上使用的。塔尔斯基这里所谓的“仿射几何学”，在1935年的文献(Tarski, 1935b)中称为“描述几何学”。一个并非相似性的仿射变换，可以在平面几何学中通过平面到其自身的一个非垂直的、相交“复制平面”的平行投射而得到。具体地说，一个恰当放置的等腰直角三角形的像是不等边的，但三角形所有的像都是三角形。

•  ⑤如果不考虑莫特纳的文章(Mautner, 1946)(塔尔斯基当时似乎并不知道这篇论文)，我相信是塔尔斯基第一次以英语把克莱因的厄尔兰根纲领应用于逻辑。不过，在席尔瓦(Silva, 1945)用意大利语写的论文中，我们找到一些应用，这些应用预示了后来模型论的一些基本要素。凯瑟尔(Keyser, 1922, p. 219)与威尔(Weyl, 1949, p. 73)隐约表明了逻辑与厄尔兰根纲领之间相互联系的可能性。塔尔斯基从1923年到1938年的论文(Tarski, 1983)中并没有提到F. 克莱因。厄尔兰根纲领对逻辑历史发展的影响有待研究。厄尔兰根纲领在物理学、尤其是相对性中的作用也尚需研究。

•  ⑥在布法罗演讲中，塔尔斯基指出，目前的说明可以应用到狭义的集合、集合的类等“概念”，但是《数学原理》中的真值函数、量词和关系算子等等，可以解释为狭义的概念，按照这种解释，这里的说明同样适合它们。例如，把真值T和F解释为论域和空集，立即致使把真值函数解释为(更高层的)概念。这种解释对于数学家来说是常见的和自然的，但它们牵扯到当代逻辑哲学家研究的那种哲学问题。

•  ⑦在论文《真之概念》(Tarski, 1935a)中，塔尔斯基对语义范畴有一段扩展性讨论(这些语义范畴恰好包含怀特海和罗素所处理的“类型”)。在第125页，塔尔斯基把语义范畴这个概念归于胡塞尔。

•  ⑧参见怀特海和罗素(Whitehead and Russell, 1910), III(2)。

•  ⑨在这里，塔尔斯基在一种模糊的、一般的意义上使用“集合论”这个词，在这种意义上，几种不同的具体理论也有资格成为集合论。特别地，怀特海－罗素的类型论与(一阶的)策梅洛－弗兰克尔理论都有资格成为集合论。在这一点上要注意，塔尔斯基把目前各种“集合理论”只看作这个领域中可以有用地发展起来的小样本。编者在“导论”中，相对于类型论，只在一种狭义上使用“集合论”。

•  ⑩这个说明预设以下约定：一个给定的概念被说成可以通过某个固定的概念来定义，如果存在一个除下述概念外不使用任何其他概念的(对给定概念的)定义：(1)固定的概念；(2)论域；(3)其他已被接受的逻辑概念。例如，显然，使用属于关系而绝不用任何其他东西，就无法定义空集。还需要注意，塔尔斯基说“所有通常的集合论概念”而非“所有集合论关系”；后者有不可数多个，定义却只有可数多个。

•  (11)塔尔斯基认为第一种方法还包括一个高阶的基础的逻辑，第二种方法还包括一个一阶的基础的逻辑。当然可以在多种类的一阶基础逻辑中重新解释类型论，但与本演讲在精神上和文字上都不相洽。类似地，也可以在高阶逻辑中发展策梅洛的集合论。这同样也与本演讲的精神不相洽——尽管策梅洛自己可能已经这样做过，这是一个历史事实。顺便说一句，建立这两种方法的历史性文章都发表于同一年，即1908年。

【参考文献】

•  [1]J. Corcoran(1983),"Editor's Introduction to the Revised Edition", in Tarski 1983.

•  [2]C. J. Keyser(1922), Mathematical Philosophy, E. P. Dutton & Company, p. 219.

•  [3]F. Klein(1872),"A Comparative Review of Recent Researches in Geometry", English trans, by M. W. Haskell, in Bulletin of the New York Mathematical Society, 2(1892-1893).

•  [4]A. Lindenbaum and A. Tarski(1936),"On the Limitations of the Means of Expression of Deductive Theories", in Tarski 1983.

•  [5]F. I. Mautner(1946),"An Extension of Klein's Erlanger Programm: Logic as an Invariant Theory", in American Journal of Mathematics, 68(1946).

•  [6]J. S. Silva(1945),"On Automorphisms of Arbitrary Mathematical Systems", English trans, by A. J. F. de Oliveira, in History and Philosophy of Logic, 6(1985).

• [7]A. Tarski(1935a),"The Concept of Truth in Formalized Languages", in Tarski 1983.

•  [8]A. Tarski(1935b),"Some Methodological Investigations on the Definability of Concepts", in Tarski 1983.

•  [9]A. Tarski(1936),"On the Concept of Logical Consequence", in Tarski 1983.

•  [10]A. Tarski(1969),"Truth and Proof", in Scientific American 220, no. 6.

•  [11]A. Tarski(1983), Logic, Semantics, Metamathematics, 1[st] ed. (ed. and trans. Woodger, J. H.), Clarendon Press, 1956.

•  [12]A. Tarski and S. Givant(1987), A Formalization of Set Theory Without Variables, American Mathematical Society.

•  [13]H. Weyl(1949), Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press, p. 73.

•  [14]A. Whitehead and B. Russell(1910), Principia Mathematica, vol. 1, Cambridge University Press.

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

3月14日是白色情人节，如果之前2月14日那天收到过情人节礼物，那么这天就是应该回赠的日子。

对于“数学痴”们，3月14日同样是个非常特别的日子，叫做圆周率节，因为组成这个日期的三个日期3、1、4正好是圆周率π展开3.1415926……的前三个数字。另外，3.14还是π的近似值中最常用的，在很多时候3.14和π是不加区别的应用于各种算式中。

哆嗒数学网这里不得不多嘴一句。别看圆周率日的建立理由如此戏谑，就像把双十一定成光棍节一样，但其实圆周率节是有正式“名分”的。2009年美国众议院通过决议设立圆周率节。所以在美国，这个节日可以称为“国家圆周率节”。为此，谷歌在2010年3月14日发布了谷歌徽标来纪念这个节日。

那么，对于有伴儿的你，还如此热爱数学，应该过哪个节呢？问题是，这是问题吗？一起玩，一起吃，然后一起度过浪漫时刻——情人们过节不就这些事儿吗。

一起看电影？没问题！当然我们不推荐《死亡密码π》这部黑白的惊悚片了。关于数学家的电影很多，《美丽心灵》还有刚刚获得奥斯卡最佳改编剧本奖的《模仿游戏》，里面的女主对数学家男主那是相当的好！

一起吃饭？同样没问题！π在英语里读作“派”，和单词Pie同音。Pie在中国现在有了一个最时髦的叫法，叫做“打卤馕”。那么，问题就来了，“打卤馕”中国哪家强？必胜客吗?不知道必胜客有没有我需要的那种，不过，不管有没有，吃的都是“派”啦。

最后，还做浪漫的事？向他或者她念首诗吧：

你就是π，

虽然永远无法触及，

但我一直默默接近

……

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

每年3月8日，是“联合国妇女权益和国际和平日”，在中国这个节日经常被称为“三八妇女节”。然而，这个节日名称越来越不被人喜欢，女人们不喜欢被称为“妇女”，更不喜欢被称为“三八”；男人们也一样，他们不喜欢在这表达爱与温情的节日里，表达的对象被唤作那样。于是，这个节日在很多人嘴里已经变成了“女人节”或者“妹子节”。

虽然，我们要在本文里谈“数学妹子”，但其实喜欢数学的“妹子”很少，成为数学家的妹子就更少了。成为数学家的“妹子”中，似乎也很少有完美榜样。希帕蒂亚，虽然才貌双全，但死的过于悲惨；热尔曼，为了数学不得不放弃女人扮靓的“权力”而女扮男装；柯瓦列夫斯卡娅，虽然荣誉颇丰，但一度极度贫困，且寿命不长；还有一位叫诺特的女数学家，干脆直接被另一些男人叫做“男人婆”。似乎要成为女数学家，女人们要么短命，要么得放弃外在的美丽，这是很多“妹子”绝不能接受的，尤其后者。

在当代，为数不多的“数学妹子”们也在努力的成为榜样。2014年，米尔扎哈妮成为了获得数学最高奖“菲尔兹奖”的第一位女性。在数学界给喜欢数学的女孩们提供了一个大大的榜样。而“菲尔兹奖”的颁发机构国际数学联合会的现任主席多贝茜，也是一位“妹子”。在大部分都是男人的数学界里，多贝茜主席的女王范儿一定是很多“妹子”们喜欢的感觉。

然而，榜样的多少与是否完美不见得是“数学妹子”稀少的原因。女孩子不喜欢数学，或者其他科学，也许在她们很小的时候就决定了。有研究表明，原因就在于他们的玩具。男孩们得到的玩具往往是积木、橡皮泥、汽车、武器，这些玩具既影响了孩子的空间抽象与理解能力，又促使他们对机械等产生了持续的兴趣，使得他们在未来更容易进入理工科学习。而女孩得到的则大多是芭比娃娃、洋娃娃、过家家的器具，这些玩具则更多的是对孩子的主观感受能力进行培养，使得他们在未来进入艺术或者人文领域的可能更大。研究还说，性别本身和先天智力因素并非主因。

Duang！那么问题就来了，改变“数学妹子”稀少的现状，我们应该做什么，从娃娃抓起？这个，我们哆嗒数学网的小编还真不知道。 不过美国人已经开始行动了。他们设计了符合小女孩心理的“工程学”玩具，在各个地方宣传数学和理工科的对未来找工作的作用——理工科的“妹子”在收入方面比非理工科的“妹子”多出33%。就连总统奥巴马都坐不住了，他站出来说：“我坚信一件事，我们需要更多对数学、科学、工程学感兴趣的女生，我们有一半的人并没有涉身这些领域，这就意味着有大量的天才，没有得到他们应该需要的鼓励和支持。”

好吧，我来说我们要做什么，虽然我一开始是反对说这个的。从身边的小事做起，我建议当身边的“妹子”做成一道他思考很久后才得到答案的题目后，给个大拇指，说句“你真棒”。因为她天赋并不比你差，只是一开始玩错了玩具……

新闻晨报记者 李星言

　　上海学生熟悉的华东师大版《一课一练》，要在英国出分册了。昨天，记者向华东师大出版社核实，《一课一练》 数学分册英国版已经在翻译中，有望于今年暑期出版。而《一课一练》英国版的起因，则是上海学生在全球PISA中取得的好成绩，让英国教育界决意“取经”。

　　据悉，在《一课一练》英国版共有11册，分别对应英国从小学到初中的11个年级，将以原书中题目为基础，进行适当改变，但不会降低难度。

  有望今年暑假出版

　　昨天傍晚，福州路上的上海书城人头攒动，不少家长带着孩子来购买新学期的教辅书，而《一课一练》则是他们的首选。三年级学生陈佳凡买了数学分册，他说，这是班上同学的必备教辅书，老师也经常会列举其中的题目进行讲解。

　　就在今年1月，华东师大出版社与英国著名的哈珀柯林斯出版社签订协议，将推出《一课一练》数学分册的英国版，名字定为《上海数学一课一练》。目前，这套书正在翻译过程中，有望于今年暑假正式出版。

　　“把‘上海数学’放进书名里，就是因为英国方面非常重视上海在基础教育、尤其是数学方面的教育经验。”华东师大出版社社长王焰表示。

　　2013年12月3日，经济合作与发展组织(经合组织，OECD)发布了2012年《国际学生评估项目》(PISA2012)结果。数据显示，上海中学生的数学、阅读、科学能力均为世界第一。数学成绩方面，上海学生平均分是613分，英国学生仅为494分。其中，上海学生数学素养的平均成绩为600分，比第二名高38分。这一权威的评估结果在西方引发轰动。据悉，正是上海学生在PISA考试中的优异成绩，成为此次《上海数学一课一练》出版的重要原因。

　　“降低难度就失去意义了”

　　华东师范大学出版社教辅分社社长倪明透露，《上海数学一课一练》共有11册，分别对应英国从小学到初中的11个年级。该书将以原书中题目为基础，根据当地教育的需要，由既熟悉国内教材、又对英国教育有深入了解的专家团队，负责翻译与改编。

　　由于两国学制和课程标准都不一样，比如英国版《一课一练》5年级的内容，可能会同时涉及到上海版四年级、六年级的内容，所以将根据英国的年级课标，来选取具体的知识体系内容。

　　值得一提的是，英国版《一课一练》并没有降低难度，“不然就失去意义了。”倪明表示。

　　英国曾派老师来沪“取经”

　　上海老师和英国老师在数学教育上的区别，到底在哪里？

　　为了求解，去年2月下旬，英国教育和儿童事务部副部长莉兹·特鲁斯女士率领英国教育代表团专程来沪“取经”，探访福山外国语小学、建平中学西校、上海中学，了解上海基础教育均衡发展、尤其是学生数学成绩出众的原因。上海市基础教育国际课程比较研究所所长、原上海中学校长唐盛昌，与英国教育代表团就“PISA2012上海领先与上海中学数学有潜质学生培育”这一话题进行了交流。此后，唐盛昌又应英国教育大臣迈克尔·戈夫之邀，参加英国首届教育改革高端峰会并作主题发言。

　　英国教育部则与上海市教委进一步合作，互派小学数学老师，分享教学经验。去年9月，英国71名优秀数学老师来到上海进行了为期两周的交流活动；11月，上海的29名教师也被派到英国，在一些小学驻校三周。

　　在上海的基地小学，部分英国老师为中国孩子临时上课，展示出教学时对发散性思维的培养和鼓励孩子寻找知识的能力。有意思的是，英国老师教学时更发散，而中国的老师更强调推理的逻辑过程，现场不少教育专家表示，也许这正是中国的教育培养创新能力较弱，但是学生数理逻辑基本功比较扎实，而英国教育更能够培养孩子动手能力和创新能力的原因。

　　当时，前往洋泾菊园小学交流的英国老师苏珊听的是五年级的“循环小数”课程和二年级的“2的乘法”，“中国小学的数学教学中计算教学目标非常清晰，而且每个年级之间的衔接很科学”。

　　在英国教师结束中国考察之际，曾进行了专门的讨论总结。在他们看来，“上海数学教育秘密”首先是“相信”与“期望”。在上海的老师眼中，每个孩子都能够学好学校所教的基础数学，上海老师和家长对每个孩子都寄予很高的期望，由此形成了合力。此外，“上海经验”还包括数学教师的专业性较强，重视在职进修和集体分享等。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

本文作者系华东师范大学数学系林磊

我们华东师范大学数学系在开放接受外校的插班生初期进行的复试时，曾经出过这样一道数学分析题：

设$A$、$B$是一个鸭蛋壳形状的曲面上距离最远的两点。证明：过$A$点的切平面与过$B$点的切平面相互平行.

首先，我们来看看命题人希望看到的解答：

解法一：设该曲面为$\Gamma:G(x,y,z)=0$。$A(x_1',y_1',z_1')$，$B(x_2',y_2',z_2')$，是$\Gamma$上使距离平方：

$$|AB|^2=(x_1'-x_2')^2+(y_1'-y_2')^2+(z_1'-z_2')^2$$

达到最大，且满足限制条件

$$G(x_1',y_1',z_1')=0,~\text{及}~~G(x_2',y_2',z_2')=0$$

的两点. 于是，根据拉格朗日乘数法，考虑函数

$$F(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+\lambda G(x_1,y_1,z_1)+\mu G(x_2,y_2,z_2)$$

则令函数$F$的各变$(x_1',y_1',z_1',x_2',y_2',z_2')$处的偏导数为零，得

$$ 2(x_1'-x_2')+\lambda G_x(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(y_1'-y_2')+\lambda G_y(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(z_1'-z_2')+\lambda G_z(x_1',y_1',z_1')=0\\ ~\\ 2(x_1'-x_2')+\mu G_x(x_2',y_2',z_2')=0\\ ~\\ 2(y_1'-y_2')+\mu G_y(x_2',y_2',z_2')=0\\ ~\\ 2(z_1'-z_2')+\mu G_z(x_2',y_2',z_2')=0\\ $$

所以，

$$\dfrac{x_1'-x_2'}{G_x(x_1',y_1',z_1')} = \dfrac{y_1'-y_2'}{G_y(x_1',y_1',z_1')}= \dfrac{z_1'-z_2'}{G_z(x_1',y_1',z_1')}~~~~~~~~~~(1) \\~\\ \dfrac{x_1'-x_2'}{G_x(x_2',y_2',z_2')} = \dfrac{y_2'-y_2'}{G_y(x_2',y_2',z_2')}= \dfrac{z_1'-z_2'}{G_z(x_2',y_2',z_2')}~~~~~~~~~~(2) $$

于是，由$(1)$式，非零向量$(x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')$与向量$\vec{n_1}=( G_x(x_1',y_1',z_1'),G_y(x_1',y_1',z_1'),G_z(x_1',y_1',z_1'))$共线，同理，由$(2)$式，非零向量$(x_1'-x_2',y_1'-y_2',z_1'-z_2')$与向量$\vec{n_2}=( G_x(x_2',y_2',z_2'),G_y(x_2',y_2',z_2'),G_z(x_2',y_2',z_2'))$共线，从而，过$A$点的切平面的法向量$\vec{n_1}$与过$B$点的切平面的法向量$\vec{n_2}$共线，所以，两切平面平行。

考试下来，此题几乎没有人得分. 分析下来，学生对题目不理解，无法将描述性的语言转化为数学语言，甚至都没有给出曲面的方程！实际上，所谓鸭蛋壳形状的曲面是指一个光滑的凸的封闭曲面。 而光滑的是指曲面在任意点处都有切平面存在，即可假设定义曲面$\Gamma$的函数$G(x,y,z)$在任意点处都有至少连续的一阶偏导数，且偏导数不全为零。 许多学生根本就没有想到可以自己假设曲面的方程! 当然，更没法想到此题实际上是一道条件极值的问题，并可以应用拉格朗日乘数法。

有一个学生对曲面方程做了这样的假设：

$$\Gamma':~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1~\text{其中}~a>b>c>0$$

然后断言，$A(-a,0,0)$，$B(a,0,0)$是$\Gamma'$上距离最远的两点。于是过这两点的切平面都与$yOz$平面平行。但是，我们知道，鸭蛋是有大头与小头的，所以它并不是中心对称的，而椭球面太完美了！所以曲面太特殊，不够一般化。另外，就是对于椭球面，$x$轴上的两顶点是椭球面上距离最远的两顶点也不是个显然的事实，所以这个证明基本是不能得分的。

下面，我们利用三角不等式来证明上述事实 (此证明受湖北武汉的陈起航老师的启发，在此表示感谢)：

设$P(x_1,y_1,z_1)$，$Q(x_2,y_2,z_2)$是曲面$\Gamma'$上的任意两点，则 $$|OP|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}=a\sqrt{\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{a^2}+\dfrac{z_1^2}{a^2}}\le a\sqrt{\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}+\dfrac{z_1^2}{c^2}}=a$$

同理，$|OQ|\le a$，从而$|PQ|\le|OP|+|OQ|\le 2a$。且从上述不等式取等号的条件分析，等号仅当$P$，$Q$取曲面$\Gamma'$在$x$轴上的两交点时才成立。因此，$\Gamma'$上的两点间的最大距离是$2a$，且$A$、$B$是使距离为$2a$的唯一点。

但事实上，就是不用多元函数的条件极值的方法，我们还是可以完成这个题目的证明的. 请看下面的解法。

解法二：过$A$点与$B$点任取一平面$\pi_1$，设与曲面$\Gamma$的交线为$\alpha$，这是一条过$A$点与$B$点的封闭的平面曲线. 以$B$为原点，$\overline{BA}$为$y$轴正向，建立平面直角坐标系。由于$A$点与$B$点是曲线$\alpha$上距离最远的两点，于是，曲线$\alpha$在以$B$为圆心，$|AB|$为半径的圆内(或圆上)，从而曲线$\alpha$在$A$点取得极大值，则根据费马引理，曲线$\alpha$在$A$点处的切线$l_1$平行于$x$轴，即$l_1\perp AB$。同理，如果过$A$点与$B$点取另一平面$\pi_2$，得与曲面$\Gamma$的交线为$\beta$，则平面曲线在$A$点的切线$l_2\perp AB$。由于$l_1$与$l_2$ 是以$A$为交点的相交直线，且它们都是曲面$\Gamma$在$A$点的切线，因此这两直线确定了过$A$点的切平面（注意：切平面的存在性是已知的！），$\overline{AB}$就是该切平面的法向量。 同理，$\overline{AB}$也是曲面过$B$点的切平面的法向量，于是，过这两点的切平面平行！

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

​

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa

美国当地时间2月22日（北京时间2月23日），第87届奥斯卡获奖名单全部出炉。 《鸟人》成为最大赢家，获得最佳影片、最佳导演、最佳摄影、最佳原创剧本四项大奖。 讲述数学家图灵故事的电影《模仿游戏》获得最佳改编剧本奖。 而剧中图灵的扮演者“卷福”本尼迪克特·康伯巴奇在影帝的角逐中输给了《万物理论》霍金的扮演者“小雀斑”埃迪·雷德梅恩，被网友戏称“图灵”败给了“霍金”。

《模仿游戏》改编自安德鲁·霍奇斯编著的传记《艾伦·图灵传》，讲述“计算机科学之父”艾伦·图灵的传奇人生，故事主要聚焦于图灵在二战期间协助盟军破译德国密码系统“恩格玛”的经历。影片中图灵和他的团队经历无数挫折与失败，终于发明了密码破解装置——克里斯托弗，成功破译史上最难解的“谜”，拯救了二战中至少1400万人的生命。然而战后，英国政府却发现了他最深不可告人的秘密——他是一个同性恋。图灵因此被判有罪，被“化学阉割”。

​

这部影片中，“图灵机”以及“图灵测试”这些数学或者计算机科学的专业名词也得到了艺术化的演绎，让人知道了这位伟大数学家的其他学术成就。

关注微信：DuoDaaMath 每天获得更多数学趣文

新浪微博：http://weibo.com/duodaa