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柯西函数方程和选择公理

柯西函数方程的问题,就是问如果一个实函数f(x),对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)。那么这样的函数是什么?
 
 
有些人马上会不假思索的回答,这是一个线性函数,而且是一条过原点的直线,f(x)=ax, 其中a=f(1)。如果多问一句为什么,他们之中也会很熟练的给出“证明”, 但你会发现,他们会自然而不自然的用到下面的条件。
 
 
条件1:  f(x)是连续函数
条件2:  f(x)是可导函数
条件3:  f(x)在个别点是连续
条件4:f(x)在某个区间上有界
条件5:f(x)在(在某个区间)单调
 
没有这上面的条件,这些同学就很难证下去了。
 
 
的确是这样,其实对于满足这样条件的函数来讲,前文说的5个条件都是等价的。实际上有朋友列出了更多的等价情形,这里我就不再多讲,大家自己去找贴子吧。我这里再说一个重要的等价条件,关于可测的(可测是专业词汇,不懂没关系不是重点)。
 
 
条件6: f(x)是一个勒贝格可测函数。
 
 
啊,有人可能会没有耐心了:“废话那么多,你倒给个不连续的例子呀!”
 
 
咳咳!我还要继续多几句废话。这个例子,可以说能给,也可以说不能给。因为这和数学中的一条公理有关系——选择公理。在数学里选择公理是一条非常神奇的公理,它的大意是说如果有很多集合(可能有无穷多个),每个集合里都有东西(即非空),那么我可以从每个集合论抓取一个元素组成新的集合。
 
这似乎是一条看似显然应该成立的公理。你会说随便抓啊!我会问怎么个随便法?你会再强调,随便就是随便啊!我再问,有多随便?实际上,这个公理导出的一些推论让一些人“三观尽毁”!我们之所以觉得应该是真的,是因为大部分人会把有限世界的经验和感觉直接移植到无穷世界,这有事时候会出问题。
 
选择公理能做出一种看似违反物理定律的操作(巴拿赫-塔尔斯基悖论),一个皮球,切上几刀,把切好的碎片重新拼接组合,最终能拼接处和之前大小一模一样的两个皮球。另外,选择公理能把任何集合排成良序——一种其中任意元素都可比较大小且任何子集都有最小值顺序。这让我想起我在一本集合论的专业教材上,书的作者幽默留下字句:“Show me the well-ordering on R, somebody cry!”(有人会叫嚣,你把实数的一个良序写出来给我瞅瞅!)。是的,是的,我写不出来,也没有人类能写出来。
 
罗素对选择公理有个有意思的比喻:“如果有无穷多双鞋,我可以告诉你都选左脚的那只;但如果是无穷双袜子,我们应该怎么选呢?”
 
尽管有一些反直觉的推论,绝大部分数学家还是相信选择公理是真的。
 
选择公理在线性空间理论里能得到一个很强大的结论——任何线性空间都有基,有的书还特别强调是代数意义下的基,叫做Hamel基。
 
我们来回顾一些线性代数的知识。数域F上线性空间的基,是这样一个集合B。对空间中的任何一个元素r,我们都可以从B中找到有限个元素b(1),b(2),...,b(n), 和相同数量的数域F中非零的元素f(1),f(2),...,f(n),r能写成r=f(1)b(1)+f(2)b(2)+f(n)b(n)。而且这种写法还是唯一的。(这和你手里的线性代数书的表述可能不一样,但是你不用怀疑表述的等价性)
 
上诉B中元素的个数,叫做这个线性空间的维数。
 
我们还知道,一个空间是多少维的和我们把他看成哪个数域上的空间有关系。比如复数,如果看到复数域上的线性空间就是一维的,任何一个非零单点集合都是这个空间的基,而在实数域上看是二维的,{1,i}是一组基。
     
 
于是我问,如果把实数集合看成有理数域上的线性空间,那么这个空间有基吗? 选择公理说,有!那基长什么样,选择公理说,不告诉你!——但我们可以肯定这个基有无穷多的元素,这个空间是无限维的。但无论怎么样,也没有人能把这个基很清楚的呈现出来。但有了这个基,我们就能造出不连续的例子了。
 
对于任何一个实数r,我们都可以从这个基中找到有限个元素b(1),b(2),...,b(n), 和相同数量的非零有理数q(1),q(2),...,q(n),最终把r写成r=q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n)。而且这种写法是唯一的。
 
现在我们来“构造”函数了。我们在这个基中定位一个具体的元素t,那么对于某个实数x,他写成的样子有可能是x=q·t+q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n),就是t前面有个有理数系数q。也有可能写成的结果里,根本没有t。那么前者情况,我们令f(x)=q, 后一种情况我们令f(x)=0。因为表示方式是唯一的,你可以验证,这样定义的函数f(x)的确满足对所有实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)。
 
这个函数的确满足我们想要的性质,但我无法告诉是f(1)等于多少,f(e)等于多少,f(π)等于多少。
 
     有人会说,你用选择公理做出的东西太奇怪,难道不用选择公理做不出这种不连续的例子吗?
 
      似乎下面的文字会让有的人更崩溃的。
 
 
      回忆一下实变函数的课程内容(如果你学过的话,当然这是一门很变态的课)。我们曾经“构造”过不可测的集合,但如果你能回忆起每一个细节话,你会很失望,这样集合的构造,也用到了那个“无所不能”的选择公理。实际上数学界的大牛告诉我们,在ZF下是没有办法推出或者推翻不可测的集合是不是存在的。下面的东东,也能构成一个没有矛盾的体系(数理逻辑中叫“自洽”):
 
 
      "ZF体系" + "所有实数子集都可测"。
 
 
      刚才说的条件6,记得吗。不可测的函数是因为不可测集合存在才存在的。于是,在这个体系下,所有函数都可测了,于是满足柯西函数方程的函数在这个体系下就都连续了。
 
 
附: f(x)为可测实函数,若对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=f(1)x为线性函数。
证明:令g(x)=f(x)−xf(1),则对任意实数x,y,有g(x+y)=g(x)+g(y)。现在证g(x)=0。
易见对任何有理数q有f(q)=qf(1),于是g(q)=0。
令A={x : g(x)>0},B={x : g(x)<0},则A,B都可测。
注意A=−B,于是A,B有相同测度,即m(A)=m(B)。
 
若m(A)=m(B)>0,由这里的证明有,A−B=A+A包含一区间(实变经典定理,正测度集合代数和包含区间),于是包含一有理数,
取s∈A,t∈B,满足s−t=r为一有理数,则有
0=g(r)=g(s−t)=g(s)−g(t)>0,矛盾。
 
于是只能m(A)=m(B)=0,得到L = {x : g(x)=0} 为零测度集的余集。
若有实数a,使得g(a)>0,观察集合:
C = {x : g(x−a)=0} = {x : g(x)=g(a)}
中间集合表达式,说明C=a+L是一个零测度集的余集。
右边的集合表达式,因为g(a)>0,说明C是A的子集,是一个零测集。
矛盾
若有g(a)<0,则g(-a)>0,亦有矛盾
于是g(x)=0