柯西函数方程的问题，就是问如果一个实函数f(x)，对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)。那么这样的函数是什么？
有些人马上会不假思索的回答，这是一个线性函数，而且是一条过原点的直线，f(x)=ax, 其中a=f(1)。如果多问一句为什么，他们之中也会很熟练的给出“证明”， 但你会发现，他们会自然而不自然的用到下面的条件。
条件1: f(x)是连续函数
条件2: f(x)是可导函数
条件3: f(x)在个别点是连续
条件4：f(x)在某个区间上有界
条件5：f(x)在(在某个区间)单调
没有这上面的条件，这些同学就很难证下去了。
的确是这样，其实对于满足这样条件的函数来讲，前文说的5个条件都是等价的。实际上有朋友列出了更多的等价情形，这里我就不再多讲，大家自己去找贴子吧。我这里再说一个重要的等价条件，关于可测的（可测是专业词汇，不懂没关系不是重点）。
条件6： f(x)是一个勒贝格可测函数。
啊，有人可能会没有耐心了：“废话那么多，你倒给个不连续的例子呀！”
咳咳！我还要继续多几句废话。这个例子，可以说能给，也可以说不能给。因为这和数学中的一条公理有关系——选择公理。在数学里选择公理是一条非常神奇的公理，它的大意是说如果有很多集合(可能有无穷多个)，每个集合里都有东西(即非空)，那么我可以从每个集合论抓取一个元素组成新的集合。
这似乎是一条看似显然应该成立的公理。你会说随便抓啊！我会问怎么个随便法？你会再强调，随便就是随便啊！我再问，有多随便？实际上，这个公理导出的一些推论让一些人“三观尽毁”！我们之所以觉得应该是真的，是因为大部分人会把有限世界的经验和感觉直接移植到无穷世界，这有事时候会出问题。
选择公理能做出一种看似违反物理定律的操作(巴拿赫-塔尔斯基悖论)，一个皮球，切上几刀，把切好的碎片重新拼接组合，最终能拼接处和之前大小一模一样的两个皮球。另外，选择公理能把任何集合排成良序——一种其中任意元素都可比较大小且任何子集都有最小值顺序。这让我想起我在一本集合论的专业教材上，书的作者幽默留下字句：“Show me the well-ordering on R, somebody cry!”(有人会叫嚣，你把实数的一个良序写出来给我瞅瞅！)。是的，是的，我写不出来，也没有人类能写出来。
罗素对选择公理有个有意思的比喻：“如果有无穷多双鞋，我可以告诉你都选左脚的那只；但如果是无穷双袜子，我们应该怎么选呢？”
尽管有一些反直觉的推论，绝大部分数学家还是相信选择公理是真的。
选择公理在线性空间理论里能得到一个很强大的结论——任何线性空间都有基，有的书还特别强调是代数意义下的基，叫做Hamel基。
我们来回顾一些线性代数的知识。数域F上线性空间的基，是这样一个集合B。对空间中的任何一个元素r，我们都可以从B中找到有限个元素b(1)，b(2),...,b(n), 和相同数量的数域F中非零的元素f(1),f(2),...,f(n)，r能写成r=f(1)b(1)+f(2)b(2)+f(n)b(n)。而且这种写法还是唯一的。（这和你手里的线性代数书的表述可能不一样，但是你不用怀疑表述的等价性）
上诉B中元素的个数，叫做这个线性空间的维数。
我们还知道，一个空间是多少维的和我们把他看成哪个数域上的空间有关系。比如复数，如果看到复数域上的线性空间就是一维的,任何一个非零单点集合都是这个空间的基，而在实数域上看是二维的，{1,i}是一组基。
于是我问，如果把实数集合看成有理数域上的线性空间，那么这个空间有基吗？ 选择公理说，有！那基长什么样，选择公理说，不告诉你！——但我们可以肯定这个基有无穷多的元素，这个空间是无限维的。但无论怎么样，也没有人能把这个基很清楚的呈现出来。但有了这个基，我们就能造出不连续的例子了。
对于任何一个实数r，我们都可以从这个基中找到有限个元素b(1)，b(2),...,b(n), 和相同数量的非零有理数q(1),q(2),...,q(n)，最终把r写成r=q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n)。而且这种写法是唯一的。
现在我们来“构造”函数了。我们在这个基中定位一个具体的元素t，那么对于某个实数x，他写成的样子有可能是x=q·t+q(1)b(1)+q(2)b(2)+q(n)b(n)，就是t前面有个有理数系数q。也有可能写成的结果里，根本没有t。那么前者情况，我们令f(x)=q, 后一种情况我们令f(x)=0。因为表示方式是唯一的，你可以验证，这样定义的函数f(x)的确满足对所有实数x,y，有f(x+y)=f(x)+f(y)。
这个函数的确满足我们想要的性质，但我无法告诉是f(1)等于多少，f(e)等于多少，f(π)等于多少。
有人会说，你用选择公理做出的东西太奇怪，难道不用选择公理做不出这种不连续的例子吗？
似乎下面的文字会让有的人更崩溃的。
回忆一下实变函数的课程内容(如果你学过的话，当然这是一门很变态的课)。我们曾经“构造”过不可测的集合，但如果你能回忆起每一个细节话，你会很失望，这样集合的构造，也用到了那个“无所不能”的选择公理。实际上数学界的大牛告诉我们，在ZF下是没有办法推出或者推翻不可测的集合是不是存在的。下面的东东，也能构成一个没有矛盾的体系(数理逻辑中叫“自洽”)：
"ZF体系" + "所有实数子集都可测"。
刚才说的条件6，记得吗。不可测的函数是因为不可测集合存在才存在的。于是，在这个体系下，所有函数都可测了，于是满足柯西函数方程的函数在这个体系下就都连续了。
附： f(x)为可测实函数，若对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)=f(1)x为线性函数。
证明：令g(x)=f(x)−xf(1)，则对任意实数x,y，有g(x+y)=g(x)+g(y)。现在证g(x)=0。
易见对任何有理数q有f(q)=qf(1)，于是g(q)=0。
令A={x : g(x)>0}，B={x : g(x)<0}，则A，B都可测。
注意A=−B，于是A，B有相同测度，即m(A)=m(B)。
若m(A)=m(B)>0，由这里的证明有，A−B=A+A包含一区间(实变经典定理，正测度集合代数和包含区间)，于是包含一有理数，
取s∈A,t∈B，满足s−t=r为一有理数，则有
0=g(r)=g(s−t)=g(s)−g(t)>0，矛盾。
于是只能m(A)=m(B)=0，得到L = {x : g(x)=0} 为零测度集的余集。
若有实数a，使得g(a)>0，观察集合:
C = {x : g(x−a)=0} = {x : g(x)=g(a)}
中间集合表达式，说明C=a+L是一个零测度集的余集。
右边的集合表达式，因为g(a)>0，说明C是A的子集，是一个零测集。
矛盾
若有g(a)<0,则g(-a)>0,亦有矛盾
于是g(x)=0