2016年12月

月光女侠拨弦机

 

作者 Natalie Wolchover, 2016年8月4日发表


译者 林开亮, 2016年12月6日译 

 

(本文由译者授权哆嗒数学网发布,我们欢迎转载)

 

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译者按:原文标题“Moonshine Master Toys With String Theory”,译自https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/

本文译出当天,我曾将译稿与原文一并转呈杨振宁先生(他一直关心年轻的华裔科学家),次日收到杨先生的回复如下:

She is evidently a very interesting person. Do you know more about her background?    How did you get a copy of the quanta interview?


很遗憾,对这位女侠,我所知的,也仅仅限于Wikipedia提供的材料。读者中如有知情者,请能告诉我更多的情报,我对程之宁当然也很想了解更多。

 

 

物理——数学家程之宁(Miranda Chih‐Ning Cheng)正在努力研究以驾驭存在于弦论、代数和数论之间的一个奇妙联系。
 

http://duodaa.com/blog/usr/uploads/2016/12/53089372.jpg
程之宁照片,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

2010年,位于冰岛南部的艾雅法拉火山爆发之后,程之宁因为 航班取消而滞留在巴黎。程之宁当时是 哈佛大学的博士后,研究弦论。在等待烟消云散之际, 她开始思考不久前挂在网上的一篇论文,该论文的三位作者(见大栗博司等人的文章“Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24”)指出了联系极遥远的一些数学对象之间的一个数值上的巧合。 “我仿佛沐浴在另一种月光里”,程回忆当时的思考说, “它可能是另一种月光吗?”

 

她恰好读过一本关于“魔幻月光(monstrous moonshine)”的书, 这是一种数学结构,其存在的最初迹象, 也仅仅是一种类似的数字上的巧合:1970年代末,数学家 John Mckay 注意到一个称之为  j-函数的第一重要系数 196884 恰好是 1 与 196883 之和,这两个数是一个称为魔群(monster group)可以表示的空间的 头两个维数。到 1992 年,研究者已经追踪到这个朦胧(因此比喻为“月光”)的对应的 一个不大可能的源头:弦论。弦论是一个备选的基本物理理论,它将 基本粒子投像为(cast as)小的振动弦。在一个特殊的弦论模型中, j-函数描述了 弦的振动,而魔群则俘获了这些弦所活动的时空网的对称。

 

程之宁说,在艾雅法拉火山爆发之前,这都是“陈芝麻烂谷子”了—— 对物理学家来说,只是一个已经休眠的数学火山。 作为魔幻月光之根基的弦论模型,跟现实世界的粒子或时空的几何完全不沾边。 但程之宁说,新的月光——如果真的有——也许不一样。它涉及到 K3曲面——她和许多弦论专家作为现实时空的一个玩具模型来研究的几何对象。

 

在她从巴黎启航回家之前,程之宁已经找到了新的月光存在的更多证据。 她与合作者 John Duncan 和 Jeff Harvey 逐渐梳理出不止一个而是23个新月光 的证据,这些新月光是一种数学结构,在对称群与数论中称为仿模形式(mock modular forms, 包含j-函数为特例)的基本对象之间 架起了桥梁。这23个月光的存在性,被作为“伴影月光猜想(Umbral Moonshine Conjecture)”在2012年正式提出, 去年被 Duncan 及其合作者证明。

 

与此同时,37岁的程之宁,也在追踪作为23个月光之基础的 K3 弦论—— 这是弦论的一个特殊版本,其中时空具有一个 K3 曲面的几何。她和其他弦论学者 希望能够用伴影月光的数学思想来详细研究 K3 模型的性质。这反过来可以成为 理解那些无法直接探测的现实世界——比如,黑洞内部——的有力工具。阿姆斯特丹大学 的助理教授程之宁,在 法国国家科研中心休假期间,跟 《量子杂志》(Quanta Magazine)谈论起月光的神秘,她对弦论的期望, 并分享了她那传奇的人生轨迹:从台湾的一个朋客摇滚乐(punk‐rock)高中辍学, 而最终成为一个探究数学与物理最深奥的思想的研究者。 访谈内容如下:

 



拨云现月的“月光女侠”程之宁,由荷兰女摄影师Ilvy Njiokiktjien 为《量子杂志》提供

 

 

《量子杂志》:您研究所谓 K3 曲面上的弦论。它们是什么,为什么重要?

程之宁:弦论学家说,时空一共10维。既然我们只能感知4维, 其它6维必定卷曲或“紧化”得很小以至于看不到,就像一根非常细的电线的周环一样。 而额外的维数如何紧化的可能性太多了——比方说,大概有10的500次方种可能, 因此,几何不可能断定哪一种紧化比其余的紧化能更好地描述现实。 我们也不可能逐一研究所有可能模型的物理性质。 因此,你会代之以考察一个玩具模型。如果你喜欢精确结果而不是 近似结果,如我的情况那样,那么你通常最终会考虑一个K3 紧化, 它是介于太简单与太复杂之间的紧化。 它也俘获了 Calabi‐Yau 流形(研究得最多的一类紧化) 以及基于 Calabi‐Yau 流形紧化的弦论的一些关键性质。 K3 还有一个好处,你通常可以对它做直接的精确计算。

 

《量子杂志》: K3 实际上看起来像什么?

程之宁:你可以先设想一个平坦的环面,然后将它折叠, 于是将会产生不平的边边角角。数学家有办法将它磨平,其结果就是一个 光滑的 K3 曲面。

 

《量子杂志》:因此你可以探明在这个框架下的物理学, 弦在这个时空几何中游走?

程之宁:是的,在我的博士论文中,我探究了这个理论下的黑洞的性态。 一旦你有了卷曲的与K3相关的 Calabi‐Yau 流形,就可以形成黑洞。 那么,这些黑洞的性态如何——尤其是它们的量子性质如何?

 

《量子杂志》:那就是说,您可以试图解决信息悖论这个悬疑已久的谜题—— 当量子信息跌入黑洞中将会发生什么?

程之宁:当然。你可以探讨各种类型的黑洞—— 如现实的天体物理黑洞或来自弦论的超对称黑洞——的信息悖论和性质。 研究第二种黑洞将会给你的现实问题投来一线光明, 因为它们共享同样的悖论。 这就是理解 K3 下的弦论以及那一紧化下出现的黑洞 也可以给 其它问题的研究带来曙光的原因所在。至少,这是一个期望, 而且我认为这是一个合乎情理的期望。

 

《量子杂志》:您是否认为弦论确实描述了现实,或者 您只是为了它本身而纯粹研究的东西?

程之宁:就我个人而言,我一直把现实世界放在脑后—— 不过,真的真的非常靠后了。 我利用它作为决定研究前进的大致方向的一种灵感。 但我日常的研究并不是以解决现实世界的难题为目标。 在基本高能物理中,需要新的思想, 但很难说这些思想会来自何处。 理解弦论的基本、根本结构, 是必要和有益的。你必须从那些你可以计算东西的地方起步, 那通常会将你引向非常数学化的角落。 理解现实世界所付出的代价可能是长期的, 但在这一阶段是必要的。

 

《量子杂志》:对物理和数学,你是否一直有诀窍?

程之宁:儿时在台湾,我更喜欢文学,那是我最热衷的。 在我12岁左右时,我被音乐吸引,流行音乐、摇滚(rock)和朋克(punk)。 我一直很擅长数学和物理,但并非真正感兴趣。 我总觉得中小学对我是一种煎熬,总是想方设法逃学。 我试图跟老师打赌我没有必要去听课。 或者当我完全没病的时候我会请上几个月的病假。 又或者我在这里那里跳一级。 我想,我只是不知道如何对付当局。

大概是教学内容太简单了。我跳了两级,但那没有用。他们把我弄到一个特殊班, 结果更糟,因为班上的每个人都非常争强好胜, 而我恰好完全无法应对这种竞争。最终我 超级沮丧,我决定要么自我了断要么辍学。 于是,在16岁时,我辍学了, 并且离开了家,因为我坚信父母会逼迫我重回学校, 而我是坚决不肯的。 因此我开始在一家音像店工作,那时我也在一个 乐队演出,我喜欢这个乐队。

 

《量子杂志》:您如何从那里走向弦论的?

程之宁:长话短说,我有点受挫或厌烦。我想做点音乐之外的事情。 因此我试图回到大学,但有一个问题,我高中没有毕业。但在我辍学之前, 我在一个特殊班中,班里的每一个孩子都擅长理科。 因此我可以通过他们进入大学。 所以我想,没问题,太好了,我进入大学后先修物理或数学, 然后转到文学。因此,我进入了物理系,跟它有了断断续续的关系, 常常去上课,然后试着学习文学,同时也在乐队演奏。 后来我意识到,自己并非那么擅长文学。同时,有一个非常优秀的教师讲 量子力学。我只去听过他的一堂课后,就想,这实在太酷了。 我开始投入了稍微多一点的精力到数学和物理的学习, 我开始从中找到平和。那就是数学和物理开始吸引我的所在, 因为我在乐队玩音乐的另一半生活不知怎的有点混沌。 音乐汲取了你许多情感。你总是与人在一起工作, 音乐关于关心生活、关心情感——你必须把你自己的 许多奉献给它。而数学与物理似乎具有这种平和安静的美。 这是一个宁静的世界。

后来在大学快毕业时,我想,好了,让我再学一年物理, 然后此生与它了结,就可以自由漂泊我的人生了。因此我决定去荷兰见世面,学物理,而后来我确实也到了那里。

 

《量子杂志》:您在乌特勒支大学诺贝尔物理奖得主 Gerard’t Hooft 指导下 取得硕士学位,而后又在阿姆斯特丹大学做博士。是什么吸引你去那里?

程之宁:跟Gerard’t Hooft做研究当然是一个重要因素。但是, 学习更多的东西也是一个重要因素——这让我认识到 存在如此多有趣的问题。而且那是主要的因素。 对我而言,日常的片段也很重要。 学习的过程、思考的过程,正是优美之所在。 每天你都会遇到一些问题或思考方式, 或这个事实将会引出那个事实——我想,哦, 这真美。Gerard 不是一个弦论学家——但 他对量子引力的正确领域应该是什么非常开明, 因此允许我走别的道路。 我被弦论吸引,是因为它在数学上是严格的,而且很漂亮。

 

《量子杂志》:对于您现在研究的工作, 除了美感之外,您是否为数学与物理之间这些看似遥远的部分之间的联系的神秘性而着迷?

程之宁:神秘的方面联系着我个性中不好的一面,我执迷不悟的一面。 这是我的推动力之一,从普通人的观点来看,我要说这有点负面,尽管从科学家的观点来看并非如此。 但还有一个正面的推动力,就是我真的享受学习不同的东西并感受到自己何等无知。 我享受那种感觉,就像“我对此一无所知,我真的想了解!”所以那就是一个动机—— 待在数学与物理之间的边界地。月光是一个也许需要各种灵感和知识的谜题。 当然,它也需要美——这是一个优美的故事。 难以言说它为什么如此美。它的美,不同于一首歌或一幅画的美。

 

《量子杂志》:差别在哪里?

程之宁:通常来说,一首歌的美,在于它触发了某种情感, 引发你的共鸣。数学上的美不是那样。那种一种更结构化的东西。 它让你感觉到某种永恒得多的东西,并且独立于你而存在。 它让我感受到自己的渺小,我喜欢那种感觉。

 

《量子杂志》:确切地说,月光是什么?

程之宁:一个月光将一个有限对称群的表示关联到一个具有特殊对称性的函数。 这一关联的基础,至少在魔幻月光的情形,是弦论。 弦论有两种几何。一个是“世界面(worldsheet)”的几何。如果你有一条弦—— 本质上是一个圆周——在随时运动,那么你会得到一个圆柱面。这就是为何我们称之为 世界面的几何的原因;这就是弦本身的几何。 如果你弯曲圆柱面并将两端粘帖,就会得到一个环面(轮胎面)。 这个环面的对称会给你j-函数。弦论中的另一个几何是时空本身, 它的对称会给你魔群。

 

《量子杂志》:一旦你们找出了作为23个伴影月光之基础的K3弦论, 这些月光将会让你在K3弦论的研究途径方面有何收获?

程之宁:我们还不清楚,但这是可以期待的猜测: 月光的存在会告诉你,这个理论必定具有一个代数结构(你必须 能够对代数的元素做操作)。如果你考察一个理论,然后问, 在一定能级范围内存在哪种粒子?这个问题就不能穷尽了, 因为随着能级越来越大,问题也没有尽头。 在魔幻月光中,这彰显在这一事实中, 你观察j-函数,它有无穷多项, 那无穷多项基本上表征了粒子的能级。 但我们知道,这里潜在着一个代数结构—— 有一个机制将低能态关联到高能态。因此,这个无穷无尽的问题 有一个结构; 它不只是随机的。

正如你可以想到的, 有一个代数结构就可以帮助你 理解,表征这个理论的结构是什么—— 如果你看看低能态,它们就会告诉你高能态的一些信息。 然后,它会给你更多的工具去做计算。 如果你想理解高能级下的一些东西(比如黑洞内部), 那么我有更多的信息可以提供。 我可以用手头的低能数据计算我想了解的高能态的信息。 这就是我们的期望。
伴影月光告诉你,一定存在类似于此的某种结构,尽管我们尚不清楚它是什么。 从更一般的角度理解它,势必要求我们理解这个代数结构。 那将会引出对这个理论的一个深刻得多的理解。那就是我们的期望。

 

相关阅读:

数学家追踪“月光幻影”(Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow)https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/


及其中译本http://www.huanqiukexue.com/a/qianyan/tianwen__wuli/2016/0923/26494.html


译者简介:林开亮,先后就读于天津大学和首都师范大学数学专业,现任教于西北农林科技大学。热衷数学科普的翻译与写作,曾主持翻译《当代大数学家画传》和《数学与人类思维》,参与翻译《数学家讲解小学数学》和《数学巨匠》。发表的部分作品可见http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2016/talk.php?20160612A

 

 

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美国数学评选2016公众媒体10大热门数学事件

 

原文发布于美国数学会官网。

编译作者:Mathyrl 哆嗒数学网翻译组成员,软件工程师。

 

 

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近日,美国数学会官网发布一个榜单,点评了2016年在数学界或者社会上产生较大影响的,关于数学或者数学家的10个事件。这些关于数学和数学家的故事,由于出现在许多主流媒体上及其趣味性,从而对数学界和一般公众产生了影响。当然,是站在美国人的角度来点评的。

 

书和电影:《隐藏人物》

Margot Lee Shetterly(左图)的第一本书《隐藏人物》(Hidden Figures)讲述了黑人女性数学家们的故事,1958年,在美国国家航空航天局(NASA)采取措施完全消除种族隔离之前,她们在NASA的任务中做出了重要贡献。Christine Darden,现年73岁,从NASA退休之前成为声震工程研究的领导者。Katherine Johnson,98岁,负责计算水星计划和阿波罗计划的火箭轨迹。这部故事的电影版本,由Taraji P. Henson,Octavia Spencer和Janelle Monáe主演,预计于2017年1月发行。媒体对这本书和即将到来的电影进行了广泛的报道。

(照片:Aran Shetterly,下图)


 

《知无涯者》:关于拉马努金的电影

 

电影《知无涯者》是基于印度数学家拉马努金的生平,这位数学家死于32岁。曾经以扮演《贫民窟的百万富翁》男主角马里克而一炮而红的英籍印度裔演员戴夫·帕特尔饰演数学天才拉马努金,而1991年63届奥斯卡影帝杰瑞米·艾恩斯饰演拉马努金的同事兼支持者——另一位传奇数学家,哈代。 小野健(今年发表了一篇题为《我对Ramanujan的探寻》的自传)和2014年菲尔兹奖得主,印度裔数学家巴尔戈瓦对电影提出了建议。

(照片,从左到右: 小野健,影片副制片人和数学顾问; 杰瑞米·艾恩斯,饰演哈代 ,德维卡·贝斯饰演拉马努金妻子佳纳克伊;戴夫·帕特尔,饰演拉马努金; 巴尔戈瓦,影片副制片人和数学顾问。)

 

(《知无涯者电影海报》,下图)

 

2016 国际数学奥林匹克—— 美国又赢了


美国国际数学奥林匹克(IMO)队连续第二年在IMO中获得第一名。韩国落后美国7分,中国夺得第三。所有六个美国队成员在比赛中全部获得金牌。国家和地方新闻媒体以及社交媒体报道了美国教练Po-Shen Loh(卡内基梅隆大学),以及他对团队,团队的训练和比赛的描述。 (照片,从左到右:Ankan Bhattacharya,Allen Liu,Ashwin Sah,Michael Kural,Yuan Yao,Junyao Peng;由美国数学协会/卡内基梅隆大学提供)Ankan赢得了2016年全美的“谁想要成为数学家”比赛, Ashwin和Michael都是前参赛选手。

 

 

Andrew Hacker以及他的言论——“谁需要数学?”

实质上,Andrew Hacker认为,由于只有5%的人在他们的工作中使用代数或几何学,大多学生不需要学习这些科目。 纽约时报和许多其他出版物报道了他的观点,发表了专栏,并评论了他的书《数学神话和其他STEM妄想》。几个月后,Hacker参加了与James Tanton的辩论,辩论在国家数学博物馆(MoMath)的场所举行,并由纽约客进行报道。

 

安德鲁·怀尔斯获得2016年阿贝尔奖

 

世界各地的媒体,特别是在英国,宣布安德鲁·怀尔斯“由于他通过半稳定椭圆曲线的模猜想的方式对费马大定理的绝妙证明,打开了一个数论新时代”被评为2016年阿贝尔奖获奖者的消息。 美国国家公共电台(NPR)提供了关于怀尔斯的更多传记性细节,包括:“1963年,当他是一个在英格兰剑桥长大的十岁男孩时,怀尔斯在当地图书馆找到一本关于费马大定理的书的副本,怀尔斯回忆说,他对于他作为一个小男孩都可以理解的问题很感兴趣,然而三百年来它仍然没有被解决,‘我知道从那一刻起我永远不会放手,’他说,‘我必须得解决它。’”

(照片,安德鲁·怀尔斯,下图)

 

 

Eugenia Cheng:关于数学和烤馅饼

数学家Eugenia Cheng,目前在芝加哥艺术学院,给艺术学生教数学,广泛地做讲座,同时继续她的研究。她的书《如何烤制π:数学的可食用性探索》于2015年出版,令人感兴趣的是她把数学和烘焙联系起来。她接受纽约时报的采访,并与著名脱口秀主持人史蒂芬·科拜尔出现在晚场秀。Cheng坚持认为,公众的理解 ——数学很难,只有有才华的数学家才能做数学 ——完全错了,相反,她说,数学的存在是为了让生活更顺利,解决那些可以通过应用数学最强大的工具 ——逻辑 ——来解决的问题。”

 

 

诺贝尔物理学奖 ——拓扑学解释

 

诺贝尔物理学奖于2016年10月4日授予戴维·索利斯(华盛顿大学,西雅图),邓肯·霍尔丹(普林斯顿大学)和迈克尔·科斯特利兹(布朗大学)。瑞典皇家科学院的嘉奖包括以下声明:“三个获奖者在物理学中使用拓扑概念对于他们的发现是决定性的。”拓扑学是一个数学分支,描述那些只是逐步变化的属性。使用拓扑作为一种工具,他们能够使专家感到震惊。科学院的发言人,索尔斯·汉森,试图使用肉桂卷来解释拓扑,视频被许多新闻媒体和社交媒体报道。

 

 


数学毁灭性武器

数学家和华尔街前“金融工程师”Cathy O'Neil的书《数学毁灭性武器》,研究了一下她所谓的WMD(数学毁灭性武器) ——模型和算法,它们无意间“把人类的成见,误解和偏见编码进入软件系统,这些软件系统越来越多地管理我们生活。”她的挑衅思想被《发现》节目,美国国家公共电台(NPR)和其他媒体报道。

 

 

球堆积问题

寻找最有效的球堆积是数学家长期以来感兴趣的一个问题。3月,柏林数学学院和柏林洪堡大学的博士后研究员Maryna Viazovska发表了一份证明:在8维空间,E8是球形物体最密堆积。她通过使用模形式的理论来找到8维的“辅助”函数,从而做出了这个证明。辅助函数使数学家能够计算给定维度中允许的最大球体密度。 《Quanta杂志》和《新科学家》报道了这项研究发现,这是数学家非常感兴趣的,并向广泛的读者群体解释了这些概念。

(图片:E8根系统的可视化表示)

 


圆周率节

 

像往常一样,圆周率日引发庆祝活动,竞赛和媒体报道。严肃的一面是,数学家Carlos Castillo-Chavez研究亚利桑那州立大学的流行病,并使用“π”来研究一切循环的东西,如他自己对于循环再发生的流感的研究。而有趣的一面,John Conway,最近说,“‘派’可能是‘无理’的,但免费比萨饼就是一切”他与必胜客合作,编写了三个不同难度的数学问题,为“消费者和数学奇才”提出了独特的挑战。第一个正确解决并提交正确答案的人的奖品是3.14年的免费比萨饼。 美国数学学会(AMS)在普罗维登斯学院举办了一年一度的圆周率节“谁想成为数学家”数学竞赛。

 

 

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数学将被证明是错的,如果这程序停止运行

 

原文作者,Jacob Aron,New Scientist物理科学记者。

译文作者:小王子 哆嗒数学网翻译组成员,就读于山西大学。

 

 

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我们使用了150年之久的现代数学将被证明是错误的——如果这样一个新的计算机程序停止了运行。还好,这不太可能发生。但是,支持它的代码正测试着数学体系的局限。

    这个程序就是一台模拟的图灵机,是由密码破译学家艾伦·图灵发明的数学计算模型。1936年的时候,图灵就指出,任何计算机算法的行为都可以被一台简单的机器模拟出来:一台以不同状态和指令在无限长的带子上读写0,1为工作原理的机器。并且算法越复杂,机器所需要使用的状态就越多。

 

 

    现在,麻省理工学院的Scott AaronsonAdam Yedidia已经制造了三台图灵机,他们与一些深刻的数学问题紧密联系。这些问题包括了已经困扰人们150年之久的黎曼假设的证明,黎曼假设是一个对质数的分布规律的猜想。

    一直以来,图灵机都用于探求类似的难题。这些难题源自于上世纪30年代一系列撼动数学界的带有哲学意味的新发现。首先,库尔特·哥德尔证明了总有一些数学命题既不能被证明是真的,也不能被证明是假的——他们是不可以被判定的。特别地,对于“这句话是假的”这个命题(说谎者悖论),他用了全新的数学视角做出如此解读:一个合乎逻辑但又自相矛盾的脑筋急转弯。

 

 

没有能证明一切的万能公理

 

    哥德尔的理论给自己留了一条退路。如果你改变了建立在证明之上的基本假设——公理,虽然你可以使一个问题变得可判定了,但这样却会让其它的一些问题变得不可判定。换句话说,就是不存在能证明一切的万能公理系统。

 

根据哥德尔的结论,图灵相信一定存在一些在标准公理体系下无法预测其行为的图灵机,含选择公理C的策梅洛-弗兰克尔集合论,或者更接地气些可描述为ZFC,ZFC是绝大部分数学的基础。但是我们根本不知道这些标准公理体系有多复杂。

 

    现在,Yedidia和Aaronson已经创造了一台带有7918个状态、具有这个ZFC属性的图灵机,并把它命名为“Z”。

 

    “我们试图能更具体地描述出在进入不可证明性的‘黑洞’前它需要使用多少个状态。” Aaronson说。

 

    他们在计算机上模拟了Z,理论上Z小得可以被当成一个物理设备建立起来。加利福尼亚大学洛杉矶分校的陶哲轩说:“假设忽略物理的摩擦和能源的消耗,如果当时有人已经开启了这样一个物理设备,那么我们可以相信它将无限运行。”

 

无边无际

 

    Z将在它的7918条指令中永久循环下去,然而如果它最终停止了,就将证明ZFC矛盾。数学家们不必太恐慌,因为只要他们简单地转向一组稍稍强一些的公理集合。这样的公理系统是存在的,并且可以用来验证Z的行为,但是这样做几乎得不到什么收获,因为总有一台图灵机可以超越任何公理。

 

    “我们可以把任何被给定的公理系统想象成一个有特定内存大小和处理能力的计算机。”陶哲轩说,“我们可以转向一台拥有更多内存的计算机,但是,不管计算机有多大的存储空间,仍然存在一些超出它能力的任务,是它无法完成的。”

 

Aaronson和Yedidia已经创造了另外两台机器,这可能给数学家们节约不少的时间。长期以来,有两个著名的数学问题一直被相信是真的,并且也只有当它们被证明是确实假的时候,这两台机器才会停止。它们分别是哥德巴赫猜想和黎曼假设。哥德巴赫猜想指出,每一个大于2的偶数是两个素数之和,黎曼假设认为,所有的素数分布都遵循一定的规律。后者形成了部分现代数论的基础,如果不幸地被推翻了,将会是一个重大的颠覆。

 

现实意义

 

    实际上,他们没有无限期运行他们的图灵机来证明这些问题是错误的打算。“这不是攻克这个问题的有效方式,”来自亚特兰大佐治亚理工学院的Lance Fortnow说。

 

    解释数学问题,图灵机有不同的实际意义:它协助计算了复杂问题的复杂性。如果说Z机器有7918个状态,那哥德巴赫的机器就有4888个状态,而黎曼的是5372个状态,这表明ZFC问题是这三个问题中最复杂的。“这更符合大多数人对不同事物的直观的比较方式。”Aaronson 说。

 

    现在Yedidia 已经将他的将他的代码放到网上,数学家们也争相把这些图灵机的大小缩减至极致。尽管还没有验证,但是在Aaronson 博客下的一位评论者声称他已经创造了一台只需31个状态的哥德巴赫机。

 

Fortnow表示图灵机的实际大小是不影响的。他说,“文章表明我们可以有比ZFC强的而可以很精简的图灵机,但是即使它们变得更精简了,在基础数学的研究上它也不会允许我们有更多的松懈。”

 

    但Aaronson 说进一步地缩减Z将会带来一些有意思的讨论——关于数学底层构建的局限性的——一些哥德尔和图灵希望能知道的事情。“他们也许会说,‘这真是太棒了,但是你可以搞定只需要800个状态的图灵机吗?80个状态的呢?’” Aaronson表示,“我想要知道,是否可以有一台这样的机器,它的行为能独立于ZFC而只有10个状态。”

 

 

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匠人精神:一辈子研究的自行车数学

 

 

此文原载于《自然》网站。

译文作者:radium 哆嗒数学网翻译组成员。

 

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Jim Papadopoulos 花了一辈子的时间琢磨自行车运动中蕴含的数学问题,现在他的工作已经发现了新的苗头。

 

在波士顿马萨诸塞州,七辆自行车倚靠在Jim Papadopoulos地下室的墙上,自行车上的油漆被擦挂过,轮胎也是扁的。作为婚礼礼物的手工框架覆盖着一丝细尘。“在我搬家的时候,我把我大部分作为研究的自行车都扔掉了,”他说。而那些些保留下来的自行车对他来讲都是意义非凡的。“这些都是我过去骑的。”

 

Papadopoulos,62岁,他十分痴迷于自行车,一生中大部分时间都在玩弄自行车,时常忽视掉其他事情。当他还是一个在大学读书的少年时他就参加业余比赛,他深陷于其中的乐趣。每一次在骑自行车时,他都在考虑自行车中蕴含的数学奥秘。其中最主要的是:在踩踏板时,到底是什么看不见的力量使自行车保持平衡?为什么一开始操纵向右转自行车会向左方倾斜以及驶向左方?自行车在前进时是怎样靠自己保持平衡而不依靠骑手?

 

在纽约的一个叫Ithaca的小镇上时,作为一个在康奈尔大学的年轻工程师,他十分痴迷于研究这些问题。但是他并没有发表他的大部分想法,并最终离开了学术界。到20世纪90年代末,他在一家企业操纵机械来制造卫生纸。“最后,如果从来没有人发现你的工作,那它就是毫无意义的”他说。

 

但后来有人发现了他的工作。在2003年,他来自康奈尔的老朋友,也是他的合作者-----工程师Andy Ruina,给他打了一通电话。一个叫Arend Schwab的荷兰科学家来到他的实验室想重新开始他们这个团队关于自行车稳定性的研究。

 

“Jim,你得成为这个团队的一员。”Ruina对他说。

 

两个车轮是合情理的

 

于是这些研究员们一起继续破解一个长达世纪之久的争论:是什么让没有骑手的自行车靠自己保持平衡,并在《皇家学会会议录》和《科学》上发表。他们试图给500亿美元的全球自行车产业——一个比纯数学更加依赖直觉和经验的产业——带来新的科学高度。他们的研究成果可能会刺激一些必要的创新,如帮助设计师去创造一个新一代的踏板和电动车,使其乘坐起来更稳定,更安全。通过洞察自行车的原理也有转移到其它领域的潜力,比如假肢和机器人的研究。

 “每个人都知道如何骑自行车,但几乎没有人知道我们是怎样骑自行车的。”一个在加利福利亚大学研究机械学的工程师Mont Hubbard说道,“纯粹从智力角度来看,自行车的研究是非常有趣的。但它也有实际意义,因为他影响着身边的每一个人。”

那些只会用牛顿运动三大定律来完成项目的工程师的理念是过时的,对于一个机械学家来讲,自行车难题特别有诱惑力。“我们都被困在19世纪,那时数学、物理和工程之间没有任何差异”,Ruina说“自行车仅仅是一个数学问题,只是它碰巧和你见到的某样东西有关而已”。

第一个脚蹬车的专利,也是两轮自行车的前生,要追溯到1818年。自行车的发展在试验和错误中摸索前行,并在二十世纪初便有了它们今天的模样。但是几乎没有人想过它们是怎样工作的以及为什么这样工作。William Rankine,一个苏格兰工程师分析过蒸汽机,在1869年第一个谈论’countersteering’现象,即骑手能通过简单地扭转手柄向右使自行车向左行驶,并让自行车向左倾斜。

倾斜和驾驶之间的联系产生了自行车最奇怪的特征:当自行车滑行时可以靠自己平衡。猛推一个没人骑的自行车时,它会在摇摆中前行,但它通常会恢复它的前进轨迹。在1899年,英国数学家Francis Whipple导出了最早的也是持续时间最长的自行车的数学模型,这个模型可以用来探索自行车的自我稳定的原理。Whipple 模型中的自行车有4个刚体----两个轮子,骑手的车架和前叉——被两个轴和铰链通过重力作用。

在自行车运动轨迹模型中插入一个对特定自行车的度量,就像逐帧放映的动画。一个工程师可以使用一种称为特征值分析的技术来研究自行车的稳定性,因为这可能是一个飞机设计问题。1910年,依靠这样的分析,数学家Felix Klein 和Fritz Noether参照了理论物理学家Arnold Sommerfeld的关于回转效应——车轮利用旋转走势抵抗倾斜——的贡献。把自行车向左推这时快速旋转的前轮将向左转,自行车有可能保持直立。

1970年4月,化学家以及科普作家David Jones在《今日物理》的一篇文章上驳斥了这个理论。他讽刺道,骑在一系列理论上无法驾驶自行车。Jones 建了一辆在前端有一个反向旋转车轮的自行车,可以有效地消除回转效应。但是在行驶中手不受约束这方面还有点疑问。

这一发现促使他寻找另一种可能存在的力。他对比了自行车的前轮和可以随着运动方向移动的商场购物车的脚轮。自行车的前轮可以像脚轮一样,因为车轮与地面之间的接触点,位于操作轴后面5厘米至10厘米之前的任何地方(见《无人自行车保持直立吗?》)。这段距离被称为“前轮尾迹”。Jones发现如果一个自行车有太长的前轮尾迹将稳定到很难前进。然而,如果前轮尾迹是负的,将是一个“死亡陷阱”,他会在你释放手把的时候的一瞬间让你翻跟头。

 

 

当一个自行车开始摇摇欲坠,他推断,脚轮效应使前端在重心下降的情况下转向,从而保持自行车竖直。对于Jones来说,脚轮的前轮尾迹是自行车自我稳定的唯一解释。在他40年后出版的回忆录中,他认为他的这个发现是他的伟大成就之一。“我现在被誉为现代自行车理论之父,”他说。

 

增速转动

 

那篇文章将给一个在Corvallis Oregon的少年Jim Papadopoulos 留下了深刻的印象,他虽然拥有极高的天赋,但他的家庭生活却支离破碎。在1967年,他的父亲Michael,一个来自英国的应用数学家,开始在俄勒冈州立大学工作。但是 Michael Papadopoulos在抗议越南战争后被拒绝继续任期并与该大学进行了长达十年之久的法律纷争,这使他失去工作和家庭,只能在垃圾桶搜寻废料。Jim的母亲在20世纪70年代初自杀了,“就在我睁开眼看世界并决定我是谁时” Papadopoulos 说,“我的家庭就支离破碎了。”

 

他在自行车上找到慰藉。他骑着Peugeot AO8(一款自行车)在城镇中穿梭,头发披在肩上。他没有再上课,成绩也严重下滑。在他17岁时,他辍学,离开家。但是就在他放弃研究时,他的老师给了他Jones的一篇文章。

Papadopoulos发现它十分迷人,但又让人困惑。“我得学习这玩意儿,”他想。他一个夏天都在加利福尼亚州伯克利闲荡,并在空余时间阅读George Arfken的教材《物理学家的数学方法》。然后他在俄勒冈州的Eugene的胶合板厂工作,赚取足够的钱购买传奇的Schwinn Paramount牌自行车去参加每周的比赛。在1973年,他为在英国利物浦的框架制造商Harry Quinn工作,但他干得糟糕,Harry Quinn辞退了他。

Papadopoulos于1975年返回俄勒冈,在州立大学度过了一年,然后在剑桥的麻省理工学院(MIT)开始机械工程本科的学习。他在学校干的很好。石油公司艾克森后来支持他继续在断裂力学上攻读博士学位。Michael Cleary作为Papadopoulos的顾问,认为他很适合做学术。“我认为Jim将会成为一名大学教授-------我们当然希望它会在麻省理工学院”,他告诉来自艾克森公司内部杂志的一位作家。

Papadopoulos 有其他的想法,他一直在学习Whipple模型和Jones的文章。在一个夏天,他在加利福利亚州洛帕克的美国地质调查局实习,也是在那里,他遇到了Andy Ruina。

他们两个很快就成了朋友,当Ruina在康奈尔获得工作时,他聘用Papadopoulos 作为博士后。“我们一直谈论自行车,但我没有意识到关于自行车他想做一件严肃而认真的事情。”Ruina说。

Papadopoulos 使Ruina相信那些自行车公司-----像石油公司-----可能有兴趣支持学术研究。所以他开始筹款,为自行车制造商提供帮助。只要$5,000,他们成为康奈尔自行车研究项目的赞助人,一个雄心勃勃的计划------研究在雨中刹车失灵时的各种形式下车轮的力量——开始滋生。

 

 

 

“每一个人都知道如何骑自行车,但没有人知道我们怎样骑得自行车。”

 

Papadopoulos的第一个目标是彻底明白是什么使一辆自行车比另一辆更稳定。他坐在办公室仔细翻阅了30个发表出来的试图表达自行车运动的等式。但他对这样的“伪科学”表示憎恶,他说:这些等式是如何处理连接自行车车架形状和几何的第一步。但是每一个新的模型对早期的工作很少提及或根本没有提及。许多都充满了错误,并且很难做对比。他需要从头开始。

 

经过一年的工作,他手里有了一个他相信是最终的方程组。现在,是它们该回应他的时候了。“每次我都盯着方程,在那儿坐几个小时,试图弄清它们的含义。”他说。

 

他首先就脚轮尾迹,重新写了自行车方程,这是Jones 所主张的关键变量。他希望发现如果前轮尾迹是负的,自行车将不稳定。但是,他的计算结果则不然。在他当时准备的一份报告中,他简述了一辆异乎寻常的自行车,自行车的重量突出在车把的前面。“一个足够向前的质心可以补偿一个微小的负向的前轮尾迹。”他写到。没有单变量,这似乎可以解释自我稳定。

这个发现意味着这里没有简单的经验法则能保证这样的自行车易于驾驶。对于Papadopoulos来说,前轮尾迹是有用的,回转效应是有用的,质心也应该是有用的,这都是具有启发性的。最早的框架建造者只是偶然发现一个感觉不错的设计,并在自行车蕴含的知识宇宙中只看到了冰山一角。但他们并没有通过测试其中蕴含的几何原理来改变自行车的设计。

 

崩溃

 

两年后,Ruina不再支持Papadopoulos,除了自行车制造商Murray,就仅仅得到了两个人,Dahon和Moulton的唯一的行业捐赠。他们是小轮自行车的制造商-----也许是因为这种自行车非常规的设计让他们难以驾驶。Ruina 开玩笑说他应该改名为“折叠自行车研究项目”。这是绞刑架下的幽默(面临大难时的幽默)。

 

虽然Papadopoulos在自行车研究的数学方面取得进展,他作为第一作者只发表过一篇与该主题相关的论文。“我找到了很多令人愉快的新发现然后成功地发展其中的细节。详细地写出来却很无聊。”他说。没有钱和出版物,他在自行车研究中的时间大大减少了。在1989年,他把他的自行车放在一辆客货车然后向西方行驶到伊利诺伊州,他当时的妻子在那里有一份工作。他忍受了一系列教学和工业界的工作,这些都是他所讨厌的。在他的业余时间,他为自行车科学迷创立并主持了核心自行车科学电子邮箱列表,他也为现实版的电视节目“Junkyard Wars”组建了一辆可容纳几个手提箱的车

 

在2001年,MIT工程师也是第一台现代自行车发明者David Wilson邀请了Papadopoulos 合作了第三版的“自行车科学”。债务和家庭责任使Papadopoulos应接不暇。 他没有把第一章发给 Wilson,也停止了回复电子邮件。 Wilson感觉被背叛了,“他是一个很聪明的家伙,” Wilson说,“但是他总是不能完完整整做完一件事。”Papadopoulos 说,他完整地完成了工作,但他多花费了两年,部分是由于离婚带来的过重的压力。

 

重返自行车研究

 

在康奈尔, Ruina继续前进。他将团队对自行车的见解应用到了一个新的领域:机器人。如果自行车能够在没有控制系统的情况下表现出这种优雅的稳定性,他推断,这有可能设计出一种拆卸式步行机来完成相同的事。在1998年,他与荷兰代尔夫特理工大学Schwab的研究生Martijn Wisse合作,建立了一个双足行走的机器人,可以在没有电机的情况下沿着轻微的斜坡行走,并将能量存储在摇摆臂中。只需添加一些电动机就产生了一个能够在水平地面上行走的节能机器人。

 

在2002年,Schwab决定与 Ruina一起度过他的公休假,他们开始讨论老式自行车的运行。那时 Ruina叫上了Papadopoulos并支付他来访问的费用。“这是我第一次见到这个天才”Schwab 说。

 

 

 

“一旦你有自动自行车,你可以做很多疯狂的实验”

 

随着越来越多的自行车行驶在路上,Schwab难以想象居然没有人发表正确的自行车方程组,或者把方程应用到自行车的设计挑战上。在一年内,他和现在在荷兰的特文特大学的工程师Jaap Meijaard独立得出了他们自己的方程,并发现与Papadopoulos的完全一致。他们在韩国的一个工程会议上提出了这些最佳的方程。四个合作者共同发表了这些公式。

 

现在的挑战是证明它不仅仅是一个数学发现。Schwab和一个学生花了一年的时间制造了一个有着一个极小负向前轮尾迹,能够自我稳定的自行车。看起来像剃须刀,滑板车和跷跷板的后代。他把重心斜置到前轮的前面,然后用一个反向旋转的轮去抵消回转效应。在自行车靠惯性滑行的视频中,你可以看见他倾斜然后猛然转向右,但它又很快自己恢复平衡。实验证明,Papadopoulos对于导致自行车稳定或不稳定因素的解释是正确的。

 

然而,在等待了30年之后,他的发现才引起了大量读者注意。Papadopoulos感到很气馁。“它没有按照我的想象改变任何事”他说。今年的自行车架看起来跟去年没什么两样。“人们仍然因循守旧,”他说。然而,其他的研究人员已经被拉进了该组织的轨道,引起了足够大的势头,使他们得以在2010年发起一个自行车和摩托车动力学会议。来自世界各地的修补匠聚集到一起,其中一些人也建立了形状怪异的自行车用来测试设计原理。

 

今年会议的组织者之一,加利福尼亚大学戴维斯分校的工程师Jason Moore试图探索自行车车架几何形状与手把的客观测量----它操作的容易性。这项工作的是受大量对飞行员的研究所启发。Moore创造了一个仿人类控制的模型,通过在自行车转向装置的检测器上装备传感器,来执行在自行车上的各种倾斜和速度方面的演习。为了强迫自己平衡并且仅靠掌握方向盘运动来行驶(而不是靠改变他的重量),他不得不通过穿上刚性的上半身安全带来把自己束缚在自行车上。这项研究确认了存在已久的假设------自行车的手把越稳定越好,这间接给框架建造者提供了一个方法来优化他们的设计。

 

它也带来了一个谜题:转向装置转矩所需的是Whipple自行车模型所预言的两倍或三倍。这可能是由轮胎的摩擦和弯曲引起的,而这些在模型中并没有考虑,但没有人能肯定。为了进一步的测试,Moore和他的同事建立了一个可以平衡自己的机器人自行车。“一旦你有机器人自行车,你可以做很多疯狂的实验,而不必把实验员推入危险之中。”他说。(他早期处理的实验之一需要他用一根木条从一旁猛击来重新保持平衡。)不像许多其他无人驾驶的自行车机器人,它不需使用内部陀螺仪来保持直立,但依赖于独立的转向装置。Moore把这个问题丢给了Schwab进行进一步研究。

 

如今,Schwab拥有Papadopoulos一直梦想的那种实验室,而Papadopoulos也很感激能够合作。“这是你可以想象的最美妙的事情。”他说。Schwab的其他项目包括“线控转向”自行车,能够让他分离操舵运动和平衡机制;“转向辅助”自行车,可在低速保持稳定。他也发现了一个后方转向的斜躺车(一种可躺卧蹬骑的自行车),显示了自我稳定性,其中一部分利用了增大前轮来增强回转效应。后方转向的斜躺车的主要优点是,它比标准的斜躺车拥有更短的链条,这将导致更高效的能量传递。“以前人们试图建造它们,但它们无法驾驶。”Schwab说。

 

Papadopoulos现在在波斯顿东北大学有一个教职,他现在正重新适应学术界的生活。他与人合作,检验一些思索良久的想法,关于为什么一些自行车在高速行驶中会摆动。他相信他可以用一个阻尼器通过“吸收”座椅中的震动来消除因为速度导致的摆动。他和他的新同事以及学生正在涉及其他类型的问题,并不是所有的问题都与自行车相关。

 

在他的地下室,Papadopoulos打开棕色文档储藏柜的抽屉,开始浏览那些起皱的马尼拉纸做的文件夹上的有标签的注释,如同“轮胎压力”、“生物力学”和“康奈尔”。他拿出一本教科书“运动生理学?我从来没有真正了解它。”他说,他把它抛到一边。在抽屉的底部,他找到一个厚厚的有关自行车研究想法的文件夹,上面标记为“未完成”。

Papadopoulos思索了一秒,然后进行了修改:“大部分未完成”。

 

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艾瑞深中国校友会网:《2016中国大学学科评价报告》数学排名

 

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2016年10月31日,艾瑞深中国校友会网大学研究团队发布了《2016中国大学学科评价报告》。同期公布了99个一级学科的排行榜,当然包括数学学科。星级排名的最高星级为8星(★★★★★★★★)。
 
获得最高星级8星的有2所大学——北京大学和中国科学院大学,他们分别排在第一名和第二名。办学层次定位为世界一流学科。有三所大学并列第三——复旦大学、山东大学、南开大学,办学层次评定为世界知名高水平学科。四川大学排名第六,中国科学技术大学排名第七。北京师范大学、清华大学、兰州大学、武汉大学、上海科技大学这五所大学排名并列第八。
 
共有270所大学进入榜单,最后附上星级排名的详细图表,注意排名中大量并列的情况,哆嗒数学网的小编提醒你,这是中国校友会网排名 的特色。

 

 

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代数拓扑的数学方法正在变革脑科学

 

此文原载于《麻省理工科技评论》网站。

译文作者:芝城柿子芝士 哆嗒数学网翻译组成员,就读于芝加哥大学。

 

 

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没有人彻底了解大脑各部分间的连接图全貌,但是代数拓扑的工具正逐渐帮助人们管中窥豹。
 

人的连接体指的是大脑中不同部分间的网络连接。这些连接表现为大脑中的白质:轴突束。轴突是神经细胞上的突起物,它们连接了组成灰质的神经细胞体。

脑科学的传统观点认为,灰质主要负责信息处理和认知,而白质负责大脑中不同部分间的信息传递。所以白质,也就是连接体,就是大脑的连接图。

人们对这个结构所知甚少,但有几个引人注目的项目正在对它进行研究。研究表明连接体比人们原来认为的还要复杂。人的大脑里有大约10的10次方个神经元,它们之间有10的14次方个突触连接。找出它们连接的方式是个极富挑战的工作,特别是因为连接体的结构取决于观察的大小尺度。

研究还发现了证据,表明白质在学习和协调大脑活动方面发挥的作用比人们所想的重要。但是这作用和连接体的结构的具体关系仍处于未知。

 


  

所以说在跨度巨大的不同尺度上了解连接体的结构是神经科学最大的挑战之一,但人们并没有合适的数学工具来研究这个课题。

如今,由于代数拓扑这个数学领域的发展,局面开始改变。这门传统上只是关于分类空间和图形的晦涩学科,现在也逐渐开始为神经科学家们所用。宾夕法尼亚大学的Ann Sizemore和她的同僚向人们展示了它如何革命性地推进了我们对连接体的了解。

代数拓扑学家的目标非常具有挑战性:他们致力于研究拓扑空间在不同尺度下的对称性。

在数学领域内,对称性指的是任何从不同的视角下看起来不变的东西。比如说正方形旋转90度后看起来没有任何变化,这就是一种对称性。

还有一些数学结构,它们在不同大小尺度下保持不变。它们被称作稳定同调(persistent homology)。寻找它们成了研究连接体的关键步骤。

神经科学家早就知道某些认知功能需要调动分散在大脑各处的许多神经节点。这些节点如何被白质连接起来的是整个连接体项目的中心问题之一。

神经科学家们通过观察水在其中的扩散来研究白质纤维。扩散核磁造影技术可以显现出水扩散的路径,从而显现出白质的结构。

为了进一步研究,Sizemore和她的同事们测量了八个健康成年人的大脑,这样他们就可以寻找在每个人大脑中都相同的结构。他们专门研究了已知在认知系统中有作用的83个区域之间的连接,这些区域包括听觉系统,视觉系统,和触觉、压力、痛感有关的体感系统等等。

这样得到了一个连接图以后,Sizemore和她的同事们运用了代数拓扑的技巧来研究它。这个新方法让他们得到了一些重要的新认识。

首先,它揭示了某些神经节群之间是“完全连接”的——意思是节群里的每个节点都和其他所有节点相连,整个节群组成一个叫做团的结构。所有和认知有关的系统都是由包括不同数量的节点的团组成的。

但是,研究还揭示了另一组重要的拓扑结构。这个结构叫做圈,就是闭合的环。它指的是一个节点连接着另一个节点,第二个又连着第三个,等等,直到最后一个节点连接上了第一个节点,就是一个完整的圈。

圈在大脑中产生了一个神经回路,不仅可以在大脑各处传递信息,还可以帮助反馈环作用。这些作用大概是记忆的产生或行为的控制。Sizemore和她的同事们说他们的研究发现了许许多多不同大小的圈。

不像团的范围主要局限在大脑中的特定部位比如皮质,圈的延伸范围很广。它们连接起这些功能非常不同的区域。“这些圈用一个长环连接了进化上早期和晚期出现的区域,使两者在控制脑功能上发挥的独特作用都有所降低。”Sizemore和她的同事们说。

团和圈的另一个区别体现在他们的密度。团代表了完全连接的节点,所以它们是密集的结构;环状的圈则相对比较分散。事实上,看和它们有关的大脑各部分间的所缺失的连接数量,是描述它们特点的一个方法。

圈实质上描述了连接体中的洞。Sizemore和同事们的工作表明了这些洞的作用很重要。“这些结果第一次向大家展示,代数拓扑的技巧给连接体结构的研究提供了全新的视角。这个视角把环状回路作为大脑建筑结构的关键特点。”研究团队说。

这个引人入胜的工作使代数拓扑在更好地研究连接体方面的贡献初露端倪。正如所有好的科学研究一样,这项工作不仅回答了问题,更提出了许多新问题。既然发现了圈可以比其他任何网络结构提供更多认知上的计算,那就可以问:这是些什么样子的计算呢?

另一个研究新方向是:现在的人工智能系统所依赖的神经网络是从大脑的结构中取得的灵感。既然分析发现了大脑中新的结构,人工智能领域将如何吸收这些结果,又如何在他们的工作中引入代数拓扑呢?

无疑这是一个代数拓扑学家的激动时刻。

参考: arxiv.org/abs/1608.03520 : Closures and Cavities in the Human Connectome

 

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