2014年3月

决定性公理介绍

    很多人都玩过斗主,我也玩。当我在QQ游戏上玩得最HI的时候莫过于三个人都大叫一声“明牌!”,所有牌的游戏都能被互相看见。   

    这个时候,其实原本三个人的游戏变成了两个人在玩,地主与斗地主的一方。而且,打牌的双方都能知道对方有哪些招能用,哪些招用不了。
    这时,我们再大胆假设一下,我们认为双方都足够聪明,出牌都按最优的方式,即不失误。那么其实,这样的一局牌就变得很无趣了,因为当发完牌的同时,游戏的结果已经决定了。

    因为牌都亮着,必然有一方有一种打牌的策略,让他能在最后处于取胜状态。

    我们把这个游戏变得更为无趣。我们把先出牌的一方叫P1,后出牌的一方叫P2。在轮到某人出牌的时候,他只有有限多少出牌的选择。把可能出牌的办法都编号吧,比如当轮到打牌的时候,他就可以说,1号办法应对,2号办法应对,...,n号办法应对...

    于是,好好的斗地主就成了一个叫号的游戏,P1叫我用1号办法,P2叫8号办法,然后P1又叫19号办法,于是得到一串叫号的数列。因为游戏一定会在有限步内结束,于是我们能得到一个有限长数列,这个数列可能指向P1赢的状态,可能指向P2赢的状态。这两种状态,都能分别构成集合。

    如果,这时候我们要改变一下斗地主的规则(比如最后一手牌必须少于5张才算赢),那么,我们本质上是改变上述所得到的赢的状态所对应的集合。

    上面说到的东西,在数学中有一个叫博弈论(Game Theory)的分支在做研究,其实就是研究游戏啦。注意到,上面提到的对局有两个特点,第一,第一轮对局者都只能在有限个对局策略里选择,第二,对局一定能在有限的轮次中结论。

    如果策略选择和轮次都是无限的会怎么样呢?现在P1,P2能叫的号是所有自然数,而且每个人都要玩无限轮次。这样,同样在事先规定,哪些数列算赢,哪些数列算输。会怎么样了呢?是不是无论我们怎么改变游戏规则(就是改变赢的状态集合),这个游戏都在规则确定的同时,结果已经定了呢?

    如果,我们要继承斗地主时的感觉,当然我们要认为结果已经定了!于是,我们就这样认为他定了。这就是决定性公理(Axiom of Determinacy,简称AD)。他和熟知的选择公理(Axiom of Choice)矛盾的。那么和ZF是不是相容呢?可惜,决定性公理能推出ZF是自洽的,所以由哥德尔不完备性定理,ZF+AD是否自洽不能由ZF得到。   

    不过,这个公理很难让人认为是“真”的。它除了和选择公理矛盾,由这个决定性公理还能推出一系列太过于“卖萌”的数学“事实”。其中最有趣的是,由它可推出所有实数集合都是勒贝格可测的。这样一来,许多数学成为没意思的了。因此,数学家们还是不太想承认这个过于“萌”的公理。不过,它带来的一系列问题仍有在研究当中。

柯西函数方程和选择公理

      柯西函数方程的问题,就是说一个实函数$f$,对任意实数$x,y$都满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$。


      有些人马上会不假思索的回答,这是一个线性函数,$f(x)=xf(1)$。其实如果多问一句为什么,他们也会很熟练的给出“证明”, 但你会发现,他们会自然而不自然的用到下面的条件。


1、 连续
2、 可导
3、 个别点连续
4、 某个区间上有界
5、 单调

      没有这上面的条件,这些同学就很难证下去了。


      OK,其实对于满足这样条件的函数来讲,前文说的5个条件都是等价的。实际上有吧友列出了更多的等价情形,这里我就不再多讲,大家自己去找贴子吧。我这里再说一个重要的等价条件,关于可测的。


      条件6: $f$是一个Lebesgue可测函数。


      啊,有人可能会没有耐心了:“废话那么多,你倒给个不连续的例子呀!”


      咳咳!我还要继续多几句废话。这个例子,可以说能给,也可以说不能给。这让我想起我在一本集合论的书上,书的作者刚证完选择公理(Axiom of Choice)和良序原理(Well-ordering Prinple)等价时,幽默留下字句:“Show me the well-ordering on R, somebody cry!”。是的,是的,没有人类能写出来。而我要说的不连续的例子,就和这个选择公理有关。


      很多人看到这个公理的时候,书上都会用一到一些“生动”的例子,比如关于无穷双鞋子和无双袜子的事(罗素对选择公理的比喻)。还有的书会说到,这个和一些奇怪的事有关,比如把一个球球变成两个大的事(Banach-Tarski分球悖论)。这里,我要说的是,这个公理还有一个每个线性空间都有基,也是等价的。这个基是线性空间意义下的基,是代数基。很多书中,为了区别正交基之类的东东,把它叫做Hamel基。


      学了线性代数,我们知道了,一个空间是多少维的和我们把他看成哪个数域有关系。比如复数,如果看到复数域上的线性空间就是一维的,而在实数域上看是二维的,$\{ 1 , i \}$是一组基。同样,如果把实数看成有理数域上的线性空间是无限维。
     

      于是我问,这个空间有基吗? 选择公理说,有!那基长什么样,选择公理说,不告诉你!同样,无论怎么cry,也没有人能把这个基很清楚的呈现出来。但有了这个基,我们就能造出不连续的例子了。同样,这个不连续的例子,也和选择公理一样是不清不楚的存在的。


      恩,有人了解公理集合论的人的会说,数学家更多接受的是公理体系是ZF公理体系(策梅洛-弗兰克尔公理体系),选择公理并不被所有数学家接受(尽管大部分数学家接受,据说是70%)。那么我和那些少数派一样,也不承认选择公理会怎么样呢。


      My god!似乎下面的文字会让人更崩溃的。


      回忆一下实变的内容(如果你学过的话,当然这是一门很变态的课)。我们曾经“构造”了一个不可测的集合,但如果你能回忆起每一个细节话,你会很失望,这样集合的构造,也用到了那个“无所不能”的选择公理。实际上数学界的大牛告诉我们,在ZF下是没有办法推出或者推翻不可测的集合是不是存在的。下面的东东,也能构成一个没有矛盾的体系(数理逻辑中叫“自洽”):


      "ZF体系" + "所有实数子集都可测"。


      刚才说的条件6,记得吗。不可测的函数是因为不可测集合存在才存在的。于是,在这个体系下,所有函数都可测了,于是满足柯西函数方程的函数在这个体系下就都连续了。

 


附1: 满足柯西函数方程条件,但不连续的反例。见这里

 

 

附2: 可测实函数,若对任意实数$x,y$,有$f(x+y)=f(x)+f(y)$,则$f$为线性函数。
证明:令$g(x)=f(x)-xf(1)$,则对任意实数$x,y$,有$g(x+y)=g(x)+g(y)$。
易见对任何有理数$q$有$f(q)=qf(1)$,于是$g(q)=0$。
令$A=\{x~:~g(x)>0\}$,$B=\{x~:~g(x)<0\}$,注意$A=-B$,于是有相同测度,即$m(A)=m(B)$。
若$m(A)=m(B)>0$,由这里的证明有,$A-B$包含一区间,于是包含一有理数,
取$s\in A,t\in B$,满足$s-t=r$为一有理数,则有
$0=f(r)=f(s-t)=f(s)-f(t)>0$,矛盾。
于是只能$m(A)=m(B)=0$,得到$g^{-1}(0)$为零测度集的余集。
取一实数$a$,使得$g(a)>0$,观察集合$C=\{x~:~g(x-a)=0\}=\{x~:~g(x)=g(a)\}$
左边的集合表达式,说明$C=a+g^{-1}(0)$是一个零测度集的余集。
右边的集合表达式,因为$g(a)>0$,说明$C\subset A$是一个零测集。
矛盾。

如何让子空间“变成”完备度量空间

    一个度量空间$(X,d)$,如果对于度量$d$,每一个柯西列都收敛,我们就说$X$是完备度函空间。于是我们知道$\mathbb{R}$在通常度量$d(x,y)=|x-y|$下是完备度量空间。对一般的$\mathbb{R}^n$,在通常度量(欧基里德度量)下是完备度量空间。

 

    现在,我们来看看完备度量空间的子空间是不是完备度量空间。Wiki上说完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。这话的确没错,但我们这里换个思路来想这个完备性。当$(X,d)$是一个完备度量空间,取一个子集$A\subset X$,并继承$X$的度量$d$,得到一个度量空间$(A,d)$,这个时候通过$d$能一个拓扑空间。这个时候,我们只考虑拓扑结构,如果$A$不是闭子集,那么我们能不能换一个度量$\rho$,$(A,\rho)$与$(A,d)$是相同的拓扑结构,但$\rho$是一个完备度量。如果有,我们就说$A$能有相容的完备度量。

 

    先在$\mathbb{R}$来看一个简单情况,开区间$(0,1)$实数集的非闭子集,我们取$\rho(x,y)=|\cot(\pi x) - \cot(\pi y)|$,那么$\rho$就是完备度量,而且他诱导的是相同的拓扑,因为$y=-\cot(\pi x)$是$(0,1)$到$\mathbb{R}$的同胚。

 

这其实给了我们一个思路,就是找相容完备度量的时候,可以把它用同胚映射到一个熟知的完备度量空间上,从而得到相要的结果。于是,利用这个思路,我们很容易得到,$[0,1)$有相容完备度量,因为它同胚于实数上的闭子集$[0,+\infty)$;两个不交开区间的并(比如$(0,1)\cup(2,3)$)有 相容完备度量,因为它和$\mathbb{R}^2$的两条平行直线同胚。

 

现在来一个难一点的。无理数集和有理数集,他们分别有相容的完备度量吗?

 

    如果有人知道贝尔纲定理,很容易知道,有理数集是不可能的有相容完备度量的。贝尔纲定理说,完备度量空间是第二纲的,而有理数是第一纲的,所以他没有相容的完备度量。

 

无理数呢?其实,一般拓扑里有一个终极定理可以解决这个问题。回贴的人会有人贴出来吗。