2016年7月

0,1,π,e,i就是射雕英雄传中五大高手

 

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作者,江苏省徐州市第二十四中学   罗伟


瑞士数学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界做出贡献,更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,写了886本书籍和论文,其中有分析、代数、数论、几何、物理、天文学、弹道学、航海学、建筑学等,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年。


欧拉公式e^(iπ) + 1 = 0中( a^b 表示a的b次方,下同),有五个数,0,1,e,π,i, 其中0,1是有理数,e是自然对数的底,π是圆周率,i 是 -1的一个平方根,体现了数学的一种奇异美。i、e是欧拉创造的,π是欧拉推广的,欧拉把这五个重要的符号用公式统一起来了,可看做数学这颗大树中各个分支的代表,0和1代表算数,i代表代数,π代表几何学,e代表分析学。有朋友要问,欧拉是数学家,怎么和射雕英雄传牵扯在一起呢,我们看过电视剧的都知道,剧中有东邪、西毒、南帝、北丐、中神通五位武林高手,他们也许和数学也有某种联系呢?不信,你听我说说。


 
一、    东邪----黄药师  

 


 
首先,这五大高手和五行有关,作者金庸在名字中都有暗示。“东为木”:黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”,其实不然。金庸使用的是繁体字,“药”字的正确写法是“藥”,一根巨木,赫然在下。

 


正中带有七分邪,邪中带有三分正”的人物,是“桃花岛”的岛主,亦是桃花岛派武学创始人。“桃花影落飞神剑,碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照,造诣非凡,已臻化境,为金庸小说中武功绝顶的高手之一。


黄药师上通天文,下通地理,五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画,甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓,无一不精。


    e,作为数学常数,是自然对数函数的底数。其近似数约为e = 2.71828182845904523536……,目前为止,已知小数点后约20亿位,也知道是无限不循环小数。


有时称它为欧拉数,以瑞士数学家欧拉命名,欧拉定义如下:

 

 

它的另外一个定义是

 

 

 e也为超越数(不为有理系数多项式的根的数)。东邪性情孤僻,行动怪异,身形飘忽,有如鬼魅,算是性格怪异,行动为常人所不解,在常人看来是无理的,漠视“传统礼教”,然却最敬重忠臣孝子个性行事潇洒。又看做超越常人的。e书写流畅洒脱,似弹指神通,又如开创桃花岛一片美景,e^x不论对它微分几次,结果都还是e^x,正如黄药师对他妻子的真情,难怪数学系学生会e用比喻坚定不移的爱情!e又如电脑上网浏览器,我们点击它,可查询古往今来各门学问,都易如反掌。还有一些,你们掌握吗?


e的近似解:培格推导出计算欧拉常数e的公式e≈3-sqrt(5/63)(sqrt表示开根号)。 


印度数学家拉马努金的变形公式:


 

二、西毒-----欧阳锋 


 
西毒欧阳锋——“西为金”:“锋”赖“金”利。作为音乐家的欧阳锋,常备乐器不是吉他,而是铁筝。仍是“金”制。“西,色白”:长居白驼山,他本人、侄儿、部属皆作白衣装。


作为射雕时代中的头号反派人物,只想武功天下第一,使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等,因逆练郭靖乱改的九阴真经,第二次华山论剑中夺得天下第一。却被黄蓉用计逼疯,跟自己的影子打斗,接着离开华山,后来与洪七公在华山比武,洪七公之功由正转逆,欧阳锋则反由逆转正,两人内力顿时合而为一,水乳交融,一人是在寒冷澈骨时,因对方内力传来而如沐春风,另一人是在全身炙热时,接受对方内力而顿感清凉,两人当下融为一幅“太极之图”。就在时刻,洪七公一跃而起,抱住欧阳锋,说“咱俩殊途同归,最后变成哥俩好”。欧阳锋刹时回光返照,心中一片澄明,与洪七公相拥大笑,两人在笑声中同时辞世。


我们对 要熟悉一些,祖冲之计算出小数点前六位:π= 355/113 = 3.141592 ……,1000年后,西方才把π的值改进。π 是第十六个希腊字母的小写,希腊在西方,π表示圆的周长与直径的比值,也等于圆形之面积与半径平方之比,1736年, 欧拉也开始用π表示圆周率。1974年,人们第一次用计算机来计算π,在运算70小时后,算出小数点后2037位,如今,已算出小数点后万亿位。

 

π也是无理数和超越数,欧阳锋也算行为怪异,年轻与嫂子私通生下欧阳克,但却只让其叫他叔叔,在《神雕侠侣》中收杨过为儿子,但与东邪比,作恶多端,恩将仇报。一般人不理解。逆练九阴真经;仗着自己的绝世天资与前半生对武学的深厚基底,将所有经脉颠倒移位,练成一种新的厉害武功,越练越怪,越怪越强。因而在第二次华山论剑中夺得天下第一。算是超越完成任务,但疯癫不如常人。π如蛤蟆功,又如灵蛇拳法:手臂犹似忽然没了骨头,如变了一根软鞭,打出后能在空中任意拐弯  。最后和洪七公决斗,恢复神智。两人同归于尽,也算是圆满。


我们可以定义π为满足sin(x) = 0的最小正实数


这里的正弦函数定义为幂级数

 

 

1844年,德国达瑟用不到两个月的时间把π计算到小数点后200位,因超常的计算能力被高斯推荐在汉堡科学院工作。据说,达瑟的计算公式是

 

 

1655年,英国数学家约翰•瓦里斯得到一个π的公式:

 

 

法国数学家维达发现π的公式:

 

1998年《π》(又译名《死亡密码》)显示了数学人的痴迷。
逆练九阴真经,打通全身静脉的后果,功力大增:

 

 
如果东邪西毒合作,会是什么样的情形呢?

 

 

拉马努金公式展现无穷级数与连续分数之间的惊人关系,级数和连续分数都可以用π、e表示出来。

 

 

下面一个美得让人惊讶的方程,不仅包括π、e,还包括无理数、阶乘和无穷极限。

 


 

三、南帝----段智兴
  

                                           
南帝,真名段智兴,天龙八部中主角段誉的孙子,大理国的皇帝(如图一),后因故出家,法号一灯(如图二),出自《法华经》:以一灯传诸灯,终至万灯皆明。“南为火”:一灯大师之“灯”待“火”点燃。其秘技为“一阳指”,而太阳是最大的一个火球。“南,色赤”:“灯”与“阳”皆作赤红色。


第一次华山论剑,东邪西毒南帝北丐中神通 五个人大战七天七夜,全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一, 武林奇书九阴真经被王重阳夺得,其目的是避免天下武林大乱。为防自己死后无人能阻欧阳锋,而在第一次华山论剑的第二年来到大理,用先天功交换了段智兴的一阳指。却不料和王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染,并诞下私生子。不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上飘”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子,瑛姑因而向段智兴求医。而段智兴本欲施救,待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”;知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通,因而醋意大发。加上他即将要参加华山论剑,而救人将消耗大量功力,犹豫之间,未救而致其死亡。后因心怀愧疚,万念俱灰之下段智兴出家为僧,法号“一灯”。


后来黄蓉身受重伤来到一灯大师住处寻求救治,一灯为黄蓉疗伤,因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤,后瑛姑来此寻仇。郭靖假扮一灯挡住一刀后,瑛姑才觉悔意。后一灯出现,瑛姑则羞愧而远去。随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分,也借助《九阴真经》所载的疗养法门,终得复原功力。


i是-1的一个平方根,在初中阶段,我们知道-1没有实平方根,随着数系的扩大,到高中阶段,由于需要,就产生了i,为虚数单位,且i²=-1,这样数系就由实数扩大到了复数。i看上去就像一盏灯,也像一灯的绝技一阳指,根据五行相克的理论,一阳指最能破解欧阳锋的蛤蟆功,但也不是很容易,要出其不备才有奇效,这才有王重阳装死棺材中重创欧阳锋使其几十年不敢踏中原半步的后话, i名为虚数,如一阳指能治病救人,但要耗费巨大的内力,也如段智兴的心理状态,因愧疚心里不踏实,后又能不断帮助别人。i也像数字1,但没有联通,说明比北丐洪七公看似差一点,但终究有无法跨越的距离。


南帝与西毒的合作可得到πi,其中π是无理数、实数、超越数,i是虚数、复数、代数数,πi是复数、复超越数。


由i拓展也可得到四元数。四元数是一个包含复平面在内的四维空间。可以表示成以下形式:Q = a + bi + cj + dk ,其中i,j,k都是三个互相垂直方向上的单位向量(与虚数i一样),他们都和实轴垂直,两个四元数相加或相乘,可以看成是关于i,j,k的多项式,按照下面的规律产生如下结果:


I² = j² = k² = -1


ij = -ji = k  jk = -kj = i  ki = -ik =j 


       
四、北丐----洪七公

 


 
北丐洪七公 “北为水”:七公姓“洪”,果见洪水汤汤,“北,色黑”.书中不曾描写七公衣服颜色。但他作为丐帮老头子,估计不管衣服原色为何,上身之后,必将改造成唯一色调:总是黑。(从图看,有点不对,毕竟是天下第一帮丐帮帮主吗,也要注意点形象。)
洪七公为丐帮帮主,为人正义且机智,生性贪吃,曾经因贪吃误事,自断其右手食指,故也称"九指神丐",无论黑白两道都十分敬重他。在桃花岛,洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功,岛主吹箫,欧阳弹筝,老七公没得钱买乐器,只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状,实为艰苦朴素、廉洁自律之典范。洪七公和蔼正义,具有一切正派人物所应具有的优点,一直率领丐帮抗击金兵。其独门武学为"打狗棒法"及"降龙十八掌"。


洪七公一生最大的敌人为"西毒"欧阳锋,曾被其暗算多次,几乎丧命。晚年与欧阳锋于华山比武,两人打了四日,总之是打得神困力倦,几欲虚脱,斗过棍棒,休息了一下,两人接著又比拼内力,结果竟战到天下两个均已奄奄一息。两人隔天又开始比起了纸上谈兵,比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法,杨过演给欧阳锋看,欧阳锋再思考破解的杖法,两人拆解了三天,到第三日欧阳锋已破解打狗棒法的前三十五路,而打狗棒法的第三十六路天下无狗,这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白,似乎老了十多岁,这才将之破解。后比试内功,耗尽功夫,欧阳锋恢复记忆,两人大笑,互相拥抱而逝。


数字1给洪七公,数字1和0是自然数、有理数、实数,看上去很自然,是实实在在存在的,天下第一就是这个1字,首先,丐帮为天下第一大帮,对外用降龙十八掌抗击金兵,对内用打狗棒除暴安良、劫富济贫,洪七公为人善良,就是面对老毒物遇到危险差点被火烧,也冒着生命危险去救他,满满的正能量。

 

数学上,你知道1有什么特殊的用处吗?


三角函数的变换很多都离不开1。


南帝和北丐同为首领,1和i在一起,组成了更广阔的一片新天地,那就是任何复数都可以由二者表示出来。


z=a•1 + b•i,其中a、b为实数

 


 
虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面,复平面上每一点对应着一个复数。


东邪、西毒和北丐在一起
 


五、中神通----王重阳

 


 
中神通王重阳——‘中央为土”:原名“王喆”,这姓名两个字皆具“土”形。 “中央,色黄”:王重阳既为道教大师,而道士用黄冠束发,因此又被称作“黄冠”。


王重阳少年时曾大举义旗,与金兵对敌,但因不遗余力,动用数千人力,历时数年建成“活死人墓”,在其中暗藏器甲粮草,作为起事之根本。由于将士伤亡殆尽,王重阳愤而出家,自称“活死人”,后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳,二人,化敌为友,携手同闯江湖。


林朝英对王重阳甚有情意,欲以身相许,但王重阳以国事为重,不谈私情, 两人本已化敌为友,后来却又因爱成仇,约在终南山上比武决胜,斗了几千招,始终难分胜败。


最终林朝英和王重阳打赌,石头上刻字,胜过王重阳,逼使他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择。但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住,自己另在古墓不远处盖了全真观,出家为道士,那就是重阳宫。而后道书读得多了,大彻大悟,乃苦心潜修,功成丹圆后,前往山东布教,建立全真道,先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子,后世称“全真七真人”。


王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世,想起她一生对自己情痴,悲痛万分,于是悄悄从密道进墓,见到两间石室顶上她的遗刻的玉女心经,招招克敌全真武功,后精研这玉女心经的破法,终未成功。


后来武林奇书“九阴真经”出现在江湖中,引起各路武林人士争夺。华山论剑,力压四强,天下第一,王重阳因此夺得九阴真经。他决意不练经中功夫,但为好奇心所驱使,禁不住翻阅一遍。一经过目,思索上十余日,即已全盘豁然领悟,后回到活死人墓,在最隐秘刻下九阴真经的要旨,并一一指出破除玉女心经之法。


王重阳旧疾复发,为了在身死之后留下一个克制西毒欧阳锋之人,求段智兴传他一阳指,以先天功作为交换,后来王重阳假装病死,以一阳指破掉了欧阳锋的蛤蟆功,使得欧阳锋退回西域。王重阳也在此之后逝去。


王重阳和洪七公都有义举,曾抗击金兵,以国家为重,所以在五大常数中只有0和1供选择,才有切实意义,王重阳的武功第一,缘于研究玉女心经,夺得九阴真经后,自己禁不住翻阅,有违当初华山论剑不研习九阴真经功夫之嫌,虽然没传授全真七子相关功夫。然世界还算相对公平的,黄药师、洪七公、一灯大师都练过九阴真经或运用之疗伤来恢复功力,欧阳锋也逆练九阴真经,武功达到新高。在射雕英雄传中,王重阳已经故去,对他的描写只是残存在部分人的回忆中,所以用0来表示以为最佳。


在数学中,你知道0有什么妙用吗?


学生们曾被教授0的任意次幂都是0,但是很多时候认为0的0次幂是未定义的(部分数学书把0的0次幂也规定成1,比如陶哲轩的实分析——编者注)。如果你要画出x^y的示意图的话,你会看到在点(0,0)是不连续的。关于0的0次方的应该是多少的讨论已经很久了,这个争论曾风行整个19世纪。

 

中神通与北丐的组合:

 

任何一个不等于0的数的0次幂都等于1,这就相当于人们纪念中神通这一天下第一武林高手。

 

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用,因为数字计算机只能识别和处理由0、1符号串组成的代码。其运算模式正是二进制。0、1是基本算符。非常简单方便,易于用电子方式实现。

 

还有一个式子,你理解吗?

 

 

问世间是否此山最高

 

或者另有高处比天高

 

在世间自有山比此山更高

 


欧拉不仅包含科学创见,而且富有科学思想,他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如果数学家也能来一次华山论剑,相信欧拉也是绝顶高手之一。


参考文献:数学之恋 克利福德•A•皮科夫 注  马东玺 译 湖南科学技术出版社

 

 

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万物皆圆,无处不圆

 

 

原文作者:Jill Howard

译文作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师。

 

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就像其他有趣的图形一样,圆形在我们周围随处可见。但你会经常注意到他们吗?古往今来圆形一直让人醉心其中,让我们一起来看看一些历史上著名而神秘的圆形。

 

圆形的设计理念在全世界的古代文明和近代文明的文物中所发现。人类在史前4000年前就建造了巨石阵,也许你曾听说过最有名的巨石阵位于英格兰威尔特郡。该遗址极具宗教气息,并且也有人认为其依照天文观测构筑而成,太阳将会在夏至日(一年中白天最长的一天)升起时的方向与其中一块石柱的指示方向相一致。欲知巨石阵的更多信息请浏览网站English Heritage.

 

 

在古希腊文化中,圆被认为是完美的形状。你能想到为什么吗?例如,一个圆有多少条对称轴?对希腊人来说,圆圈是神圣的对称和平衡的象征。希腊数学家们着迷于圆的几何形状,数个世纪以来都在探索它们的性质。 

 


至今仍吸引着人们的一种圆圈是麦田怪圈。虽然近来他们一直是阴谋论和恶作剧恶搞的对象,但从古代就已经有了相关报道。没有人真的知道这些复杂的模式是如何形成的。欲知麦田怪圈的更多信息请浏览网站http://en.wikipedia.org/wiki/Crop_circle  

 


对于圆来讲存在着很多未解之谜。其中一个希腊人未曾解决并且从未有人能够解决的问题,是被称为“化圆为方”的问题。即只用尺规作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积。你不能简单地测量或计算圆的面积,而只能采用几何作图的方式。几个世纪以来人们一直试图解决这个问题,但在1882年它被证明在数学上是不可能的。为此,那些继续不断尝试解决它的人被认为是在白日做梦,而“化圆为方者”也成为那些做事荒谬不切实际之人的代名词。欲知更多关于化圆为方的问题请浏览网站http://mathforum.org/isaac/problems/pi3.html

 


另一个著名的圆形之谜是博罗米恩环。这三个环互锁而彼此无法分开,但是如果你拿走一个圆环的另外两个也会随之分开。这个圆环的历史可在http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/查阅。这个古老的,视觉上令人费解的问题令艺术家以及数学家着迷。这个概念不局限于圆环。不同的形状如三角形和矩形也同样适用。该作品的例子如下所示:

 


 

 时至今日圆仍然有着重要的象征意义——它们经常被用来象征和谐与统一。例如,观察一下奥林匹克标志。它有不同颜色的五环套接而成,代表了世界五大洲在良性竞争的精神下团结在一起。

 


 
现在看看你的周围,能看到有多少圆。也许你从未停下来去思考他们,但圆是无处不在的,他们真是美丽动人。也许你想尝试制作圆的模式和图片,或者在此网站上的许多圆的问题中一展身手。首先,看一下Borromean Mind Boggler 或者Overlapping Circles .

 

 

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小怪兽说:“解释是二流智商的活儿。”

 

原文作者:Ben Orlin , 英国数学教师。 

译文作者:小饕,哆嗒数学网群友。就读于邯郸市第一中学,中学生。

 

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你想把我卷入一阵热血沸腾的盛怒之中吗?这儿有以下几个选择:


烧毁一个废弃的书店;

 

赞助商立法禁止在甜品中添加花生酱;

 

不假思索地告诉我你觉得黑猩猩宝宝不太可爱。

 


再或者,简单干脆些,就直接对我说出这句出自伟大数学家哈代的语录:


 


 

热血啊……


沸腾啊……


啊!热血沸腾啊……
 


我尽力了,但我就是做不到去痛恨哈代。他创作了完美的教科书,把数学之美当做毕生的信仰,还完成了许多其他的功绩。


但是我可以厌恶这个观点,这个有毒的文化基因,这些在我看来是我们对数学潜在的固有成见:产生新的数学观点的信念一直是对人们的最高召唤,而沉湎于陈旧的思想只能是无趣的唠叨,也只适合那些我们称作老师的顽固而堕落的傻瓜。


这并不是哈代发明的观点,他只是把它讲了出来。


所以,在此我代表那些被称作老师的顽固而堕落的傻瓜,希望能够发起一场保卫解释之艺术的运动。

 

1、 解释转化知识

 


我的第一个证人嘛,下面有请……欧几里德!


这么说吧,欧几里德并不是第一个进攻几何学的希腊学者,而且远远不是。在他初涉这个领域之前,好几个世纪的杰出的数学家们早已名留青史。那么,是什么让他成为数学证明的鼻祖而名扬四海呢?又为什么传统学校的几何学通常都叫做“欧几里德几何学”?为什么我在他去世后的2500年又提出他的名字?


这是因为他写了一本书,《几何原本》。


这是因为他强化了自己的思想观点。


这是因为他做出了解释。


在欧几里得之前,几何学零散地排列着,正如同收藏的珠宝散落在沙滩上。观点存在。证明也存在。但它们之间少有组织、结构和条理性。


欧几里得把几何学统一成了一个清晰、逻辑的系统。他罗列出基本的假设(称为公理),然后把每个几何定理都追溯回这些公理,不论它们看起来多么互不相干或者繁琐复杂。他的工作把支零破碎的数学整合成了一个单个的连贯的有机整体。

 


欧几里得改变了数学,不是通过创造新的主张,而是通过阐述已有观点之间的联系。


也就是说:通过解释。


二流的大脑也挺不错的,是吧?

 


2.解释改变世界

 

 
欧几里得并不是唯一一个通过数学解释来改变世界的。比萨的列昂纳多(也就是人们熟知的其死后的昵称斐波那契)带领现代数字体系登上了新大陆。


在列昂纳多之前,欧洲也算是受够了罗马数字:计算起来低效、缓慢又繁琐。但在阿尔及尔的一家造船厂里,小列昂纳多学到了一套更好的系统。这些数字——1,2,3,4,5,6,7,8,9,还有这个奇怪的0-都诞生于印度,并在阿拉伯半岛得以完善,而现在通过列昂纳多传播到了欧洲。它们很快在商人阶级中流行起来。然后终于,倾扫了整个世界。


列昂纳多向整个大陆重新诠释了算法。在此期间,他将历史推向了现代,实现了数字语言的全球化。
二流智商们再得一分。

 


3、解释衡量理解程度

 

 
艾伯特·爱因斯坦——很明显又一个他们口中的傻瓜——曾说过:“如果你不能把它简单地解释出来,就说明你还没能很好地理解。”但其实我们并不需要利用爱因斯坦来解释这儿的智慧。


每一个上学的孩子都知道向朋友们解释一些东西可以帮助你自己更好地掌握它。


每一位导师(从小学的到大学的)都能体会到教授知识可以帮助自己将那些松散的片段整合到自己的理解中去。


而每一位研究人员也都见证过将自己的观点写下或说出能够使它们更加纯粹和清晰-就像蒸发掉多余的水而使调料更顺滑,更浓醇。
可见解释不仅对他人有好处,也对解释者本身有好处。

 

 

4、解释营造交流圈

 

 

哈代是一个骄傲的,有着卓越贡献的数学研究团队成员。所以我认为他如此盲目和坚决地把“学术研究”和“交流圈”分开也是挺令人费解的。


如今,研究数学就是要发展新的观点。这对集体智慧的书库做着不断地补充。这显然是一件很酷的事。


但是当你传授这新的观点,或者写作易懂的书籍—也就是说,当你解释的时候——你也是在做一些很酷的事儿。
你在组织和安排这座图书馆。

 

 
如果我们都采用了哈代提出的说法,我们就只能是将一大堆从未读过的新书堆砌到书架上。没有人会去编辑或巩固整理这些知识。没有人会去组织整合前人的努力。也没有人会在图书馆中去引进新的学者。


哈代的这点建议实是自我打击。它在构建一个只有研究而没有交流的学术研究圈子。


它创建了一个有书无人读的图书馆。 


那么我们应该感到高兴,因为哈代看到了他自己过去的坏主意——尽管他对这种事很不情愿,但他的确写了一些像《一个数学家的辩白》这样的书以及其它一些容易理解的文章。

 

5、未解释的知识从世间消失
 


也许你会觉得我夸大了数学对于解释的反感。当然,这样的支持研究而反教学、反与教学有关的全部的也不见得全都那样普遍和那么严重的危害,是吧?


这样一来,我推出最后一件展品:ABC猜想。


ABC猜想于1985年首次提出,是数学界尚未证明的伟大猜想之一。它是一个与数论有关的有力说法,如果它正确,定将产生许多深刻的间接影响。


然后,就在2012年的8月,它被证明了。


嗯……或许被证明了吧。


我们不能确定。


这位掌握着证明全过程的数学家名叫望月新一。他花了几十年的时间去发展自己的理论,那包括了500页难以理解的信息,充满了各种符号和文字,还有新颖的概念模式。这项成就太具创新性以至于——不幸的是——还没有人有能力去检查和验证。


他在解决问题方面的个人成就被几个典型的解释错误所隐没了。他的证明就在那儿,没有解释,没有改变,就如同蛇颈里没有消化的大餐。


我们最好找些二流的大脑来帮忙吧。


对吧,哈代?
 


当然,我的控诉不是针对哈代的。


我的控诉甚至不针对研究中片面的精英主义。(想要把学术研究带头人的自我重视和智商优势的自我感觉从他们那里清除,就如同想要从摇滚乐中清除性别差异。这几乎不可能实现,而且就算实现,结果也未必如你所愿。)


我的控诉是针对你应当关注观点本身而痛恨分享观点这样扭曲的信念。


我的控诉是针对把学术研究从持续支持和解释的生态系统中分离出来这样的做法,那完全是搬起石头砸自己的脚!


我的控诉是针对那些认为解释是次要艺术的人。


而最重要的是,我的控诉是针对那些不觉得黑猩猩宝宝可爱的人。


我是说,快来看,伙伴们。睁大你们的眼睛!

 

 

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香农——信息时代之父,今年1100100诞辰

 

原文作者, SIOBHAN ROBERTS , 科学新闻工作者。

译文作者,斜风细雨,哆嗒数学网翻译组成员,大学教师。

 

 

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12年前加利福尼亚理工学院的数学家、工程师,罗伯特·麦克利斯获得了得香农奖。在芝加哥一个国际论坛上,他发表获奖感言时,他介绍了香农其人。香农于2001年去逝。

 

麦克利斯设想几千年以后,第166卷银河百科全书(艾萨克·阿西莫夫第一个构想)将包含以下传记:

 

克劳德·香农:公元1916年生于地球(第三太阳行星)。被认为是信息时代之父,他于公元1948年提出了信道容量的公式。经过数学家和工程师的数十年努力,所设计的可靠通信系统,其数据速率达到香农极限的百分之一。

 

 

某些时候,在百科全书中的较为简单直白的词条与其含义并不相符。信道容量这一平淡的词是指:在给定媒体中,在不丢失完整性的情况下,可在其中传输数据的最大速率。香农极限是可知的,与电话线到光缆的差别不同(传输速率提高了很多),香农极限更像绝对零度和光速一样,在现实世界中是极难达到的。但是香农的巨大突破并不仅仅是提出了一种计算这一极限的方法。首先,也是最重要的,他提出了将信息进行量化的概念。1948年在其传奇论文“通信中的数学理论”中,香农提出了应用“比特”(离散的“0”和“1”)对数据进行测量,香农将发明这个词的荣誉归功于约翰·图基,当时在贝尔实验室工作的他将二进制数(binary digit)缩写为比特(bit)。

 

《信息》的作者詹姆斯·格雷克在投稿前告诉我:“将香农与爱因斯坦进行对比更有意义。爱因斯坦贡献突出,地位显赫。但我们并没生活在相对论时代,而是生活在信息时代。正是香农,在我们所拥有的电子设备中,在我们注视的每一个计算机屏幕上,以及所有数字通信的方法中都留下了他的印迹。他是这样一个人:他改变了世界,而且在更改以后,旧世界已经被人们彻底遗忘。”格雷克说:“那个旧世界将信息看作是模糊的不重要的,只是图书馆中信息架上的某些陈列。而香农的新世界中,强调信息,信息是随处可见的。”麻省理工的电子工程师/副教授大卫·福尔内说“他重新建造了一个全新的世界,从宙斯的额头开始”。“比特”马上就轰动了,科学家尝试用比特测量鸟的叫声、人类的语言和神经脉冲。(1956年香农写了一篇名为《时尚》的文章反对这一现象)

 

虽然香农主要工作在模拟技术,还是有人提议他为数字时代之父。他的启蒙思路不只来源于他1948年的文章,同时还包含他十年前发表的硕士论文。这一论文将乔治·布尔19世纪的布尔代数(基于由二进制“0”“1”代表的“真”“假”值变量)与电子电路中的中继与交换结合起来。计算机科学家及历史浑家荷曼·哥斯廷将这一论文称之为:“目前所写出的最重要的硕士论文之一。”并认为“论文从艺术到科学上改变了电路的设计。”贝尔实验退休数学家尼尔·斯洛那也赞同这一观点,他是香农论文集的编辑,同时也是“整数序列在线百科全书(OEIS)”的发起人。斯洛那说:“当然,香农的工作属于通信理论,没有他我们现在可能是在等我们的电报。”他说“但是对于电路设计来说,似乎是香农的极大爱好,他喜欢小机器,他也喜欢焊接。”

 

例如,香农曾经建造了一台可以用罗马数字进行算术运算的计算机,并命名为THROBAC I。(Thrifty Roman-Numeral Backward-Looking Computer后向简洁罗马数字计算机),他还建造了火焰喷射喇叭和火箭驱动飞盘。他建造了自动下棋机器人,可在对手行棋后给出奇妙的评论。在后来人工智能先驱马文·闵斯基的启发下,他设计了一个被称为“终结机器”的机器人。当你把开关拨到“开”,盒子打开并伸出一个机械手,它把开关拨回到“关”,然后机械手缩回到盒子里去。在马萨诸塞州温彻斯特香农的家中(香农称为“熵宅”)堆满了他的小发明,他的车库中存放了至少30辆奇特的独轮车,一个没有脚蹬的独轮车,一个是方形的轮胎的独轮车,一个特为两个人骑的独轮车。他所考虑的问题有:任何人都可以骑的最小的独轮车是什么样的?“他已经建造了几个非常小的独轮车” 伯克里大学的退休数学教师,同时也是香农最后一篇论文的合作者埃尔温·伯利坎普告诉我,香农是伯利坎普论文答辩委员会成员,他向伯利坎普请教怎么玩四个球。“他说自己的手太小,确实如此,他的手确实比其他人的小一些,所以他在开始的时候,很难握住四个球。” 伯利坎普说。他后来掌握了这一技能,并进一步用他的杂技表来进行测量。“他是现实的黑客”数字哲学家安布尔·凯斯说。

 

1960年,如同那顽皮盒子里的那支手一样,香农退休了。他不再参与他所创建的那个领域时的任何活动,写作也很少。他仍然在焊接,那些时间他本可在追求那些周围科学家正在追求的更大荣誉。1973年,在以色列的阿什凯隆召开的信息论国际研讨会上,国际电子电器工程师学会命名了香农奖,并把这一奖项授于香农本人。香农正在遭受严重的神经疾病,他打起精神做了一个精彩的演讲作为回报,很快又回到原来的状态。1985年,在英国布莱顿的国际研讨会上,香农奖授于南加利福尼亚大学的所罗门·格罗姆。后来,格罗姆从回忆他前天的一个恶梦开始了他的演讲:他梦见将要进行自己的演讲,而在前排的除了香农之外的专家应当起身。但是,就在格罗姆本人的前边,就是香农本人。他的又一次出现(包括在宴会上的小插曲)成了这次研讨会的一个话题,但他根本没有到会。

 

 

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国际奥数竞赛:中国18年来首次跌出前两名

 

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在香港举办的2016年第57届国际数学奥林匹克(IMO)各个队伍成绩日前揭晓。和上届一样,美国、韩国、中国成为前三名。美国队以214分,全队金牌的成绩蝉联第一,而韩国和中国的位次发生变化,韩国队以207分的成绩升至第二,中国队204分降至第三。中韩两队同样是4金2银。从总分名次来看,这是中国队1999年开始,连续18届参加该项赛事,第一次跌出前两名。而美国队经过这次蝉联第一之后,成为历史上第四支蝉联第一的队伍。另外三只队伍分别是,匈牙利、前苏联和中国队。 

 

 

东道主中国香港队总分161,3金2银1铜,取得第九名,这是香港队参加此项赛事以来的历史最好成绩。中国台湾队也有不错发挥,总分175,3金3银,取得第五的佳绩。中国澳门的成绩是108分,1金1银,39名。

 

 

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陶哲轩:川普不适合当美国总统应该成为共同知识

作者:陶哲轩,著名数学家,2006年菲尔兹奖得主。

译者:浪荡游侠,哆嗒数学网翻译组成员。

 

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在博弈论中,有如下两个概念:

共有知识:每个人都知道的信息。

共同知识:不但是每个人都知道的信息,而且每个人都知道别人也知道该信息。[而且每个人都知道别人也知道其他人知道该信息]

此二者,差之毫厘,谬以千里。

 

 

安徒生童话里《皇帝的新衣》就是一个经典的例子。皇帝没穿衣服是“共有知识”,但不是“共同知识”。在小孩戳破之前,每个人都知道皇帝是裸着的,然而他们不知道别人看见的也是一个裸体的皇帝。因此,他们不愿承认自己属于看不见皇帝新衣的笨人。这个荒唐的骗局也是因此才持续了好一段时间。

现实中,美国总统的竞选上也上演了这么一出闹剧。我们提出如下命题:

命题1: 共和党候选人唐纳德·川普是无法成为一个合格的美利坚合众国的总统。

该命题对很大一部分美国民众来讲是“共同知识”。 即便很多川普的支持者也在私下里怀疑这个命题是否为真。当然,他们是绝不会当众说出来的。 两党诸多精英也在某种程度上印证了这个命题,比如2012年的总统候选人米特·罗尼发表演讲称川普是一个“骗子”。今年的总统候选人希拉里·克林顿也在演讲中提到了川普有多不靠谱。

然而,即便命题1从某种意义上已经成为了“共有知识”,但是它离“共同知识”还差得远:一个人也许私下里认为川普不是一个靠谱的美国总统,但他们认为川普成为总统是合理的,因为他们周围的人、媒体和政客似乎都这么想。

我想现在是时候将这个骗局结束了:川普不适合当总统。所有人都知道这个事,但需要更多的人大声说出来!

注: 我预期会有很多回复说希拉里·克林顿也不适合当美国总统。个人来讲,我觉得这种说法是不对的,起码希拉里比川普靠谱多了。但不管怎么说,这种言论并没有从逻辑上证明川普可以胜任美国总统。 本文所关注的是命题1的正确性,因此,我将删除所有本质是“希拉里也一样”的言论。然而,美国选举制度中确实存在着一些根本的缺陷,尤其是“多数制”(即“胜者全取”)的制度。在这种制度下,一旦候选人定下来,投票人只能在两个多数党的候选人之间进行选择。不然他们就只能弃权,或者象征性地投个反对票。在一个候选人明显不适合当总统时,这种制度的缺陷便会明显地体现出来,就像现在一样。我觉得有必要讨论一下是否应该对美国的选举制度进行改革。从我个人来讲我很倾向用我的祖国澳大利亚所用的“排序复选制”(参见注解[1])。这种制度下对第三方的投票是真正有用的,而不像现在制度下只具有形式上的意义。关于选举制度的回复,我将认为是切题的。当然这些都是后话了,在这次美国大选之前是不可能对选举制度做任何修改了。

 

译者注:

[1]. 排序复选制:在候选人超过两名的情况下,选民在选票上按喜好排列其支持的候选者。计票时,首先依照选票上的第一选择来计算候选人的得票,得票最少的候选人将被淘汰,然后将其得票依第二选择重新分配给其他候选人,按票数再排序后,再将最少票的候选者排除,并将其选票分配给余下的候选人,如此类推,直至有候选人取得过半数选票为止。

 

 

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香港回归后首次大型国际活动:国际奥数竞赛

 

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2016 年第 57 届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)今日(7月6日)在香港举办,按国际数学奥林匹克香港委员会主席岑嘉评的说法,这是香港回归后首次大型国际活动。

去年在泰国清迈举办的国际数学奥林匹克比赛中,由于中国队的团体总分输给美国队屈居第二,引起了一次关于奥数的社会大讨论。这回中国队能重新夺回第一吗?

 

 

实际上,中国队一直是这项比赛的“巨无霸”。从1999年开始,中国队连续17年在这项赛事中,非冠即亚。毫无疑问,中国队还是这次比赛的夺冠的最大热门。

 

然而,中国选手在IMO上的出色表现,并没有让奥数在国内得到一致的好评。在反对奥数的各界人士中,不乏数学大家,曾经的菲尔兹奖得主丘成桐曾这样评价到:“奥林匹克数学竞赛的组织者是一个帮助中学生的国际组织,他们都不是一流的数学家,所做的也只是引起学生对数学的兴趣,对发展整个数学没有起到什么作用。在数学界看来,‘奥数’就像是报纸上的娱乐版,看过之后也就扔到垃圾筒里了,根本不可能拿到课堂上去讲的。……,出‘奥数’题目的很少是一流的数学家,他们出题很偏,在研究数学的人看来,学生解决非一流数学家出的很偏的问题,并没什么了不起的。”


 
但大数学家之中,也有不少支持者,比如同样是华裔,同样是曾经的菲尔兹奖得主的陶哲轩。陶哲轩教授甚至是IMO基金会赞助者,他本人先后三次参加IMO,分别获得铜牌、银牌、金牌,至今保持着最年青获得IMO金牌的记录(那年陶哲轩12岁)。
 


“我对参加国际数学奥林匹克竞赛有着非常美好的回忆。”,陶哲轩教授说,“和其它任何学校的运动会一样,在IMO有一群有着差不多能力与爱好的人在一起狂热的进行比拼。我强烈推荐这个赛事给每一位高中生,因为它也是一个全国性和国际性的旅行机会。参加IMO可能是一位有天赋青年数学精英改变一生的事件。因此,我将全身心的支持国际数学奥林匹克基金会。”
 


事实上,近几届获得数学界最高荣誉菲尔兹奖的人中,很多人都是IMO的奖牌获得者。也许IMO对他们数学兴趣的培养,起到过至关重要的作用——这个对兴趣培养的作用,无论是丘成桐还是陶哲轩都是同意的。
 

 

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我们的世界因为这17个公式而改天换地

 

原文作者:Max Nisen,Quartz网站记者。

译文作者:我是崔小白,哆嗒数学网翻译组成员,就读于中国矿业大学。

 

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今年早些时候,数学家斯伊恩•图尔特出版了一本十分优秀而专业的书籍,书名为《探索未知:改变世界的17个公式》。该书审视了有史以来最为关键的公式,并从人类背景而非技术背景下进行了解读。

 

我们询问斯图尔特教授为什么决定写这本书:

 

“公式可以非常枯燥,也可以非常复杂,但主要是因为它们通常是在一个枯燥且复杂的方式下呈现的,和学校的数学老师相比我更具优势:我不会试图教你如何做运算。你可以欣赏公式的美丽和重要性,而不需要懂得如何计算... 本书主要目的在于定位公式所处的文化和人文背景,并揭开它们隐藏在背后影响历史进程的面纱。公式是我们文化的重要组成部分。隐藏在公式背后的故事--发现/发明了它们的人以及他们所生活的时代——都是引人入胜的。”

 

 

这与受到金融危机影响的那些人尤为相关。

 

 

布莱克•斯科尔斯期权定价模型,是位于第17位的一个衍生品定价方程,可以有助于阐释该问题。

 

 

摘自同斯图尔特教授的电邮交流:

 

 

“从数学角度来看,它实际上是一个相当简单的方程。真正带来麻烦的是数学系统建模的复杂性。你不需要成为一个内行去搞懂将数百亿美元借给别人并且指望归还的那些人,他们的想法是多么的幼稚可笑…”

 

人们对待一个理论公式过于严肃认真,滥用其假设,用其为错误的决策辩解,花费上万亿美元搭建纸牌屋(译者注:用纸牌砌成的房子,形容脆弱,不堪一击),这使得危机不可避免:

“我认为一旦金融工具在巨额交易条件下,情况会变得太过复杂以至于危机是无可避免的,没人能完全理解它们的价值和所带来的风险。当市场用真实的货币交易真实的商品时,过度交易只能到达实际存在的上限。当交易变成虚拟商品(金融衍生品)兑换虚拟货币(杠杆作用)时,由于没有客观世界的限制,市场就会变为脱离现实的幻境。”

 

 

现在我们来看看这17个公式:

 

勾股定理

含义:直角三角形的斜边的平方等于它的两条直角边的平方和。

 

历史:尽管归功于毕达哥拉斯,但是尚未确定他是第一个证明该公式的人。第一个明显的证据来自于欧几里德,也许巴比伦人比毕达哥拉斯早1000年就知道这个概念。

 

重要性:该公式是众多几何学的核心,将其与代数相联系,并且是三角学的基础。该公式对于精确的测绘、制图、导航是不可或缺的。

 

现代应用: 三角原理用于确定全球定位系统导航(GPS)的相对位置。

 

 

 

对数及其恒等式

 

含义:对数可以化乘为加。

 

历史:最初的概念是由苏格兰梅奇斯顿的地主约翰•纳皮尔在大量使用乘法运算时发现的,使得那些令人难以置信的繁琐和费时的计算会变得更容易和快捷。后来由亨利•布里格斯使其变得更加易于计算和使用。

 

重要性:对数是革命性的,它使得工程师和天文学家的计算更快更准确。随着计算机的问世,该公式似乎不再那么重要,但是对于科学家来说它仍然是不可或缺的。

 

 

现代应用: 对数可以有助于我们理解放射性衰变。

 

 

 

 

微积分基本定理

含义:可以计算出瞬时速率的变化

 

历史:微积分,正如我们所知在17世纪晚期由艾萨克•牛顿和戈特弗里德•莱布尼茨所发现。有关发现权的剽窃和先后有着长时间的争论。这也许永远无法解决。现在我们使用的逻辑和部分符号来自于上面两个人。

 

重要性:摘自斯图尔特的书,“对比任何其他的数学技术,它创造了现代世界”。微积分是我们理解如何测量线、面、体的关键。它是许多自然法则的基础,也是微分方程的来源。

 

现代应用:任何一个需要得出最优解的数学问题。医学、经济学和计算机科学的必备知识。

 

 

 

牛顿万有引力定律

含义:计算两个物体之间的引力。

 

历史:艾萨克•牛顿在翰尼斯•开普勒早期工作的帮助下得到了该定律。 他还使用甚至剽窃了罗伯特•胡克的工作。

 

重要性:微积分技术一直用于描述世界是如何运行的。时至今日我们仍然将它用于卫星和探测器的轨道设计。即使后来被爱因斯坦的相对论所取代,但它对于阐述物体之间如何相互作用仍然是至关重要的。

 

价值: 我们有太空发射任务时,该方程是用来寻找最佳的引力“管道”或路径,使它们可以尽可能地节约燃料。同时它也使得卫星电视成为可能。

 

 

 

 

复数

含义:虚数的平方为负值。

 

历史:虚数最初是由著名的赌徒/数学家吉罗拉莫•卡尔达诺提出,后由拉斐罗•邦别利和约翰•沃利斯进行了拓展。他们一直作为一种奇特而重要的数学基本问题存在,直到威廉•哈密顿阐述了这个定义。

 

重要性:摘自斯图尔特的书,“...如果没有该公式,很多现代科技,从电灯到数码相机不可能被发明出来。”虚数可以用于复分析,它可以让工程师们在平面上解决实际的问题。

 

现代应用: 广泛应用于电器工程和复变函数理论。

 

 

 

 

多面体欧拉公式

含义:描述了一个空间的的形状或结构,与度量方式无关。

 

历史:笛卡尔首次表述了顶点、棱、面三者之间的数量关系,随后的定义、证明和发表是莱昂哈德•欧拉在1750年完成的。

 

重要性:地形测量学发展的基础,它可以延伸到任何连续表面的几何形状。也是工程师和生物学家的一个重要工具。

 

现代应用: 拓扑学可以用于解释DNA的行为和功能。

 

 

 

 

正态分布

含义:定义了标准正态分布

 

历史:早期研究是由布莱斯•帕斯卡开始的,但是其分布的逐步形成是由伯努利完成的。我们目前的钟形曲线来自比利时数学家阿道夫•凯特勒。

 

重要性:该公式是现代统计学的基础。没有该公式,科学和社会科学不会以现在的形式出现。

 

现代应用: 用于在临床试验中确定药物相对于负面影响是否足够有效。

 

 

 

 

波动方程

含义:描述波的行为的微分方程,最初始于对振动小提琴弦的行为的研究。

 

历史:18世纪数学家丹尼尔•伯努利和让•达朗贝尔首次阐述了该公式,尽管他们是以略微不同的方式提出。

 

重要性:由波的行为推广到声音的传递方式,地震如何发生,以及海洋的行为。

 

现代应用: 石油公司引爆炸药,然后可以从随后的声波中读取数据来预测地质构造。

 

 

 

 

傅里叶变换

含义:描述时间作为频率的函数模式。

 

历史:约瑟夫•傅里叶发现了这一方程,该方程是从他著名的热流方程和前面描述的波动方程中扩展而来。

 

重要性:该方程可以将复杂的模式分离、清理和分析,对于许多类型的信号分析是至关重要的。

 

现代应用: 用于将信息图像压缩为JPEG格式,以及发现分子的结构。

 

 

 

 

纳维尔-斯托克斯方程

含义:等式左边反映的是流体微元的加速度,等式右边反映的是施加在上面的力。

 

历史:莱昂哈德•欧拉首次对流体的运动进行了模拟,法国工程师路易斯•克劳德•纳维叶和爱尔兰数学家斯乔治•托克斯构建了我们现在仍在使用的模型。

 

重要性:一旦计算机强大到足以解决这个方程,便可以开辟了一个复杂的和非常有用的物理领域。这对于设计更符合空气动力学的车辆是非常有用的。

 

现代应用:此外,该方程有助于推动现代客机的发展。

 

 

 

 

 

麦克斯韦方程组

含义:映射出电场和磁场之间的关系。

 

历史:迈克尔•法拉第对电磁之间的联系做了开创性的研究,詹姆斯•克拉克•麦克斯韦将其转化为方程,从根本上改变物理学。

 

重要性:有助于预测和帮助理解电磁波,同时也有助于许多现代技术的实现。

 

现代应用: 雷达、电视和现代通信。

 

 

 

 

 

热力学第二定律

含义:能量和热量随时间的推移而消散。

 

历史:萨迪•卡诺首次提出自然界是不可逆的。数学家路德维希•玻尔兹曼拓展了该定律,威廉•汤姆森正式表述了该定律。

 

重要性:它对于我们通过熵的概念来理解能量和宇宙是必不可少的。它有助于我们认识到热能提取工作的限制,并有助于发明更好的蒸汽机。

 

现代应用: 证明物质是由原子构成时,起到了一定的作用。

 

 

 

 

 

 

 

爱因斯坦相对论

含义:能量等于质量乘以光速的平方。

 

历史:很少有人知道(非物理学家)爱因斯坦的方程起源于由阿尔伯特•迈克尔逊和爱德华•莫雷实验,该实验证明了按牛顿的方式改变参照系条件下,光并没有发生移动。随后爱因斯坦在他的著名论文中就狭义相对论和广义相对论(1915)和广义相对论(1905)进行了深入的研究。

 

重要性:也许它是历史上最著名的方程式。彻底改变了我们对物质和现实的看法。

 

现代应用:有助于核武器的发明,如果全球定位系统没有考虑它的话,你的位置会偏离上千码。

 

 

 

 

薛定谔方程

含义:建立物质的波模型而不是粒子模型。

 

历史:1924年路易•维克多•德布罗意发现物质的双重性质。我们所见的方程是1927年埃尔温•薛定谔推导的,构建工作是由沃纳•海森堡那样的物理学家完成的。

 

重要性:彻底改变了物理学在微观尺度的观点。粒子以概率的方式出现,具有不确定的观点是革命性的。

 

现代应用: 对半导体和晶体管的使用是至关重要的,因此大多数现代计算机技术也依赖于它。

 

 

 

 

 

 

 

香农信息论

含义:通过概率及其符号估计一段代码的信息量。

 

历史:二战后的几年里由贝尔实验室的工程师克劳德•香农发现。

 

重要性: 摘自斯图尔特的书,“这是信息时代迎来的方程。” 通过阻止工程师们寻找过于高效的代码,它建立了从光盘到数字通信的界限。

 

现代应用: 用于很多容错检测的编码。你们这几天上网了吗?

 

 

 

 

 

逻辑斯蒂增长模型

含义:在有限资源的条件下估计种群隔代的数量变化。

 

历史:1975年罗伯特•梅可能是第一个指出该模型人口增长可能产生混沌的人。数学家弗拉基米尔•阿诺德和斯蒂芬•斯梅尔的重要工作使人们认识到混沌是微分方程产生的结果。

 

重要性:有助于混沌理论的发展,该理论完全改变了我们对自然系统工作方式的理解。

 

现代应用: 用于模拟地震和预测天气。

 

 

 

 

布莱克—斯科尔斯期权定价模型

含义:对衍生品的定价是基于无风险假设,并且当不存在套利机会时它的价格是正确的。

 

历史:费舍尔•布莱克和迈伦•斯科尔斯建立了模型,罗伯特•莫顿进行了拓展,后面两个人获得了1997年诺贝尔经济学奖。

 

重要性:有助于建立现在上万亿美元的衍生品交易市场。有人认为不当的使用公式(及其推论)导致了金融危机。特别是方程的几个假设不适用在现实金融市场。

 

现代应用: 在金融危机之后,仍有更多的拓展模型用来对大多数衍生品进行定价。

 

 

 

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