拓扑学家的正弦曲线

 

原文作者,Evelyn Lamb,数学及科学普及自由作家。

翻译作者,radium,哆嗒数学网翻译组成员。

校对,sanshi。

 

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在拓扑空间中,拓扑学家的正弦曲线的经典在于它连通但非道路连通,即你可以看到他的终点线,但你不能从这里跑到那里。

 

 

分析和拓扑的学生初看这个集合有四个基本的性质:开区间、闭区间、紧的以及连通性。在前面的这些性质中似乎连通性是最简单的。


连通这个词语的解释很好理解,但在数学中要严格地定义却出奇的困难。拓扑学家的正弦曲线就是众多例子中的一个,这个例子可以明确的说明连通的含义。

 

在通常词典里,我们通常认为连通是两个物体之间的性质:A和B如果以某种方式重叠或者你可以从A连到B那么我们说A和B是连通的。在数学里面连通性是一个集合的性质。那么我们如何让自然语言的思想数学化并应用它?一个似乎很理所当然的定义是,如果你可以从集合中的一点到集合中的任意一点那么我们称之为连通。但是如果是联排公寓又如何呢?

 

在联排公寓中,你可以从一个房间到同一单元的另一个房间,但如果你不离开联排公寓你就不能从一个单元到另一个单元。那么联排公寓楼连通么?我想应该是连通的。所以这不是连通的正确定义。能够在集合中从任意一点到另一点是一个非常有用的数学性质,但是这个性质太强了。数学家称这样的空间为道路连通,稍后我们会仔细讲讲它。


连通性是一个很微妙的东西,我们再次尝试着定义如下:一个集合X是连通的,如果你不能粘贴一子集在某个非空子集A中,而剩余的部分在非空子集B中,以至于A、B不相交。这里有一个小问题:这样的定义可能会完全失效,因为这会让太多的空间分裂。我们可以将所有实数集分裂成这样的集合:大于等于0,小于0。它们不相交,因此以我们的定义实数轴是不连通的。很明显通常的实数轴因该是连通的但是这样的定义让它不连通了,所以,这就错了。

 

问题在哪里呢?我们将分界点包含在一个集合中而没在另一个集合中。如果我们让两个集合同时包含分界点,集合将会相交;如果两个集合都不包含分界点,集合将不会相交,但是这两个集合也就不能覆盖实轴上所有的点。“正确”的答案是从两个区间中排除端点。 区间不包含它的端点我们称为开的。所以我们说集合X是连通的,如果你不能做到粘贴某一子集在非空开子集A中,而剩余的部分在非空开子集B中,且A、B不相交。

 

这个定义不仅仅在一维集合中成立;我们也可以在更高维定义开集。基本上,一个集合是开集如果这个集合中没有任何一个点位于边界上,或者等价的定义,如果集合中每一个点都存在完全包含在集合中的一个小邻域那么这个集合为开集。

 

下面是拓扑学家的正弦曲线的一部分,注意到图形的左边部分实际上并没变成实心的。这只是由于用有限的常识去理解无限的结果。图像由Morn the Gorn提供,维基共享资源。

 

这个空间是函数 f(x)=sin(1/x)在(0,1]区间加点(0,0)的图像。我们可以看见随着x接近0,1/x越来越大,所以sin(1/x)在-1到1之间剧烈震荡。拓扑学家的正弦曲线是数学系学生看到的第一个例子,它连通但非道路连通。你可以看见他的终点线,但你不能从这儿到那儿去。

 

为什么连通?让我们尝试着将它分到两个不相交的开集。其中的一个集合包含点(0,0)因为是开集,它也包含以(0,0)为中心的领域内。无论多么小的领域内它都将包含一些x正半轴的点和在y轴上的0点。也就是说着它将包含一些f(x)的图像。这就意味着如果我们想要分裂空间我们不得不将函数f(x)的图像的一部分分到一个集合,而剩下的部分分到另一个集合。但是这儿没有办法分裂这个图像,是连续的曲线,就像实轴一样是连通的。


那为何拓扑学家的正弦曲线不是道路连通的呢?假设你正尝试着从 f(x)图像上的一点到(0,0)点,你将会一直走,走到永远。你会真的真的很接近它,但总会有一条无限长的路还在你面前。


一个密切相关的空间是封闭的拓扑学家的正弦曲线。一个封闭的空间包含所有边界点,边界点意味着可以任意接近集合里面的点。随着曲线f(x)震荡,所有在y轴上-1到1之间的点越来越接近曲线上的点,所以为了使拓扑学家的正弦曲线成为闭集,我们也在y轴上划分一个-1到1的线段,作为边界。这样不会破坏其他的拓扑性质——它依然连通但非道路连通——但是现在也封闭了。有些人喜欢玩这样玩儿。


如果你之前学过拓扑学,你可能看到过一条称做紧致性的拓扑学性质的定义:一个集合是紧致的,如果每一个开覆盖都有有限子覆盖。拓扑学家的正弦曲线不是紧致的,但是封闭的拓扑学家的正弦曲线却是。本着挫败数学教科书的精神,我将为读者留下一个思考题:找出拓扑学家的正弦曲线的一个开覆盖但是没有有限子覆盖,然后指出为什么这例子在封闭的拓扑学家正弦曲线中不成立。在一个闭,不可数,无处稠密的[0,1]区间的子集之后写下你的答案,然后送到康托广场,Log2(3)邮箱

 

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仅有一条评论

  1. tom tom

    路漫漫其修远兮,吾将上下而求索。致连通非道路连通

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