随机性有时也能让数学更容易

 

作者:Kevin Hartnett,《量子》杂志记者

翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 

 

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随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

作者:Kevin Hartnett,《量子》杂志记者

翻译,TonyLee,哆嗒数学网翻译组成员。

 


 

随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上,经常会让事情更容易。

 

 


 

在数学家可用的所有工具当中,随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性,它主要的目标是在浩瀚的对象海洋中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的,整个数学宏伟目标才有可能实现。

 

 

然而,最近量子》杂志的一篇文章随机表面隐藏着错综复杂的秩序》(Random Surfaces Hide an Intricate Orde涉及到了一个新的证明。在这个证明中,随机性使得一切变得不同。证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。该证明的作者发现,几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。巴黎第十一大学数学家、该论文合著者尼古拉斯·库里安(Nicolas Curien)也说道,令人惊讶的是,引入随机性能让你做更多的事情

 

 

 事实证明,随机性在很多方面对数学有帮助。

 

  

例如,数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在,例如具有某种对称性的几何体 要解决这些存在性问题,最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象,但这需要一些运气。我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象,菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道,他的领域涉及随机过程。

 

 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。 下面与我们一起来看看吧。

 

 如果一个问题不太可能直接解决,那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如,如果考虑某一类型的对象的存在性你可以这样思考随机选择其中一个对象,则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种概率方法是数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős)开创的。

 

 

随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。 研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中,您想知道如果仅在一种颜色的点上移动,那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。

 

 

当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时,路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格,此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置,您可以把它们放在任何您想放的地方,但之后方块的放置就难很多,因为它们必须符合您已经放置的所有方块。

 

 

 然而,当您的路径随机进行时,您不必担心您过去走过的每一步。 从某种意义上说,每一步都像第一步一样自由:只要掷硬币决定下一步去哪里。

 

 

数学家试图利用这个事实。一种叫做被称为KPZ公式推导关系将随机网格的结果转换为确定性的结果,反之亦然。在这样的理论下,这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算,布兰迪斯大学数学家、论文合著者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前(更难证明的)关于在规则网格上渗流的结果是一致的,这也使KPZ公式得到了验证。

 

如果一个数学问题比较简单,那数学家可能不需要使用随机性。 但对数学家而言,大多数重要的数学问题都很难直接回答了。 “这可能是显而易见的我还是重申一下,在大多数情况下,对于数学或理论物理方面的问题,如果不借助一些工具,直接回答是不可能的。纽约大学数学家保罗·布尔加德(Paul Bourgade)如是说道。我们只是没有解决问题的工具。在某些情况下,随机性使事情变得更松散,足以问题的解决成为可能。

 

 

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